Problema 13
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Este documento presenta la demostración de que una matriz triangular superior es invertible si y solo si todos los elementos de su diagonal principal son distintos de cero. Explica que se requieren dos demostraciones: una para probar la condición de ida y otra para la condición de regreso. La demostración de ida consiste en suponer que la matriz es invertible y demostrar que los elementos de la diagonal no pueden ser cero, mientras que la demostración de regreso supone que los elementos de la diagonal no son cero para demostrar la invertibilidad de la matriz.
Problema 13
- 1. PROBLEMA 13 Demuestra que una matriz triangular superior es invertible si y sólo si todos los elementos de la diagonal principal son distintos de cero. EJEMPLOS
- 2. PROBLEMA 13 • El problema es del tipo “si y sólo si”, lo que significa que se tienen que hacer dos demostraciones: una de ida, y una de regreso. • La demostración de ida es: – suponer que la matriz triangular superior es invertible, y demostrar que todos los elementos de su diagonal no son cero. • La demostración de regreso es: – suponer que los elementos de la diagonal son distintos de cero, y demostrar que la matriz es invertible.
- 3. PROBLEMA 13 LA IDA • Supongamos que la matriz triangular superior A es invertible. Debemos probar que en la diagonal no hay ceros. • Sabemos dos cosas: – A es triangular superior (hay puros ceros debajo de la diagonal). – A es invertible.
- 4. PROBLEMA 13 LA IDA • Como A es invertible, entonces: – Teorema 12 (Hoffman): A es equivalente por filas a la matriz identidad de la misma dimensión. • La idea es: – supongamos que algún elemento de la diagonal es cero. ¿Cuál es la contradicción?
- 5. PROBLEMA 13 LA IDA ILUSTRACION Tomemos una matriz triangular superior y hagamos cero algún elemento de su diagonal principal. Según el teorema, deberíamos de poder escrbir el segundo renglón de la matriz identidad como combinación lineal de las filas Pero… ¿lo podemos lograr?
- 6. PROBLEMA 13 LA IDA ILUSTRACION ¿Cómo le hacemos para que se haga 1? Si sumamos la mitad de la fila de arriba, lo podríamos lograr. Sin embargo, el cero que estaba a la izquierda ya sería otro número. Ese un problema. ¿Podemos lograr un 1 con otras filas? No, porque por definición todo lo de abajo es cero. ¿Qué significa esto? No se puede lograr llevar esta matriz a la matriz identidad.
- 7. PROBLEMA 13 LA IDA IDEA Podemos suponer que el renglón i-ésimo de A empieza con cero (es decir, estamos suponiendo que A si tiene un cero en su diagonal): Luego, podemos intentar probar que el renglón i-ésimo de la matriz indentidad no podrá escribirse como CL de los demás renglones de A:
- 8. PROBLEMA 13 EL REGRESO • Ahora, supongamos que la matriz triangular superior A no tiene ceros en la diagonal. Debemos probar que es invertible. • Usamos el mismo teorema de hace rato. Parece que el regreso es más fácil que la ida.
- 9. PROBLEMA 13 EL REGRESO IDEA • Lo que debemos hacer es probar que A es equivalente por filas a la matriz identidad. • Pero eso es sencillo: – cada fila la dividimos entre su primer elemento no nulo (que estará sobre la diagonal principal, por hipótesis). • Así, toda la diagonal se hace de puros 1’s, y de ahí se ve que cada renglón de la matriz identidad se puede escribir como CL de renglones de A (parecido a una eliminación gaussiana).
- 10. PROBLEMA 13 EL REGRESO ILUSTRACION Le sumamos el renglón 2 y le Le sumamos el Obtenemos la restamos el renglón 3. identidad. renglón 3.
- 11. • ¿Cómo le hacemos para el problema 14? • En resumen: jugar con la multiplicación de matrices. • Próximamente…