Asintotas - FIEE UNI 2014 II
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Este documento define y explica los diferentes tipos de asíntotas que pueden tener las funciones: asíntotas verticales, horizontales y oblicuas. Describe cómo calcular cada tipo de asíntota dependiendo de si el grado del numerador es mayor, menor o igual al grado del denominador al simplificar la función. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular cada tipo de asíntota. Finalmente, proporciona dos problemas de ejemplo para que el lector practique calcular las asíntotas de funciones.
Asintotas - FIEE UNI 2014 II
- 6. Definición de una asíntota Cuando la gráfica de una función se acerca a una recta cuando x o y tienden a infinito, dicha recta se llama ASÍNTOTA de la función. No todas las funciones tienen asíntotas. Las asíntotas de una función pueden ser: Verticales Horizontales Oblicuas
- 10. Tipos de asíntotas x = c y x Asíntotas Verticales x = c y x
- 12. Tipos de asíntotas y = L y = f(x) y x y = L y = f(x) y x Asíntotas Horizontales
- 15. Tipos de asíntotas Asíntotas Oblicuas y x y = ax + b
- 17. Asíntotas verticales +∞=− → )(lim xf cx −∞=− → )(lim xf cx +∞=+ → )(lim xf cx La recta x = c es una asíntota vertical de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: +∞=+ → )(lim xf cx Ejemplo: −∞= −− → 2 1 lim 2 xx +∞= −+ → 2 1 lim 2 xx 2 1 )( − = x xf La recta x = 2 es una asíntota vertical
- 18. Asíntotas horizontales Lxf x = −∞→ )(lim Lxf x = +∞→ )(lim La recta x = L es una asíntota horizontal de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: Ejemplo: 1 2 )( − = x x xf 2 1 2 lim = −−∞→ x x x 2 1 2 lim = −+∞→ x x x La recta y = 2 es una asíntota horizontal
- 19. Asíntotas oblicuas a x xf x = −∞→ )( lim a x xf x = +∞→ )( lim baxxf x =− −∞→ ))((lim La recta y = ax + b es una asíntota oblicua de una función f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones: a) b) baxxf x =− +∞→ ))((lim Ejemplo: 1 2 )( 2 − = x x xf 2 2 lim )( lim 2 2 = − = ±∞→±∞→ xx x x xf xx 2)2 1 2 (lim))((lim 2 =− − =− ±∞→±∞→ x x x axxf xx La recta y = 2x+2 es una asíntota oblicua
- 20. Asíntotas de funciones racionales Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función simplificada es igual a 0. Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador. Asíntotas Verticales
- 21. Ejemplo 1: Calcular las asíntotas verticales ( ) x x xf 22 52 + − =Dada la función Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador: 2 + 2x = 0 ⇒ x = -1 La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función. Asíntota vertical x = -1
- 22. Primero simplicamos la función. ( ) 9 12102 2 2 − ++ = x xx xf ( )( ) ( )( ) 3 42 33 423 9 12102 3 2 − + = −+ ++ = − ++ x x xx xx x xx La(s) asíntota(s) aparecen cuando el denominator (después de simplificar) es igual a 0. x – 3 = 0 ⇒ x = 3 La recta vertical x = 3 es la única asíntota vertical de esta función. Ejemplo 2: Calcular las asíntotas verticales
- 23. ( ) 6 5 2 −− − = xx x xg ( )( )32 5 6 5 2 −+ − = −− − xx x xx x El denominador es igual a 0 cuando x + 2 = 0 ⇒ x = -2 o x - 3 = 0 ⇒ x = 3 Esta función tiene dos asíntotas verticales, una x = -2 y la otra x = 3 Ejemplo 3: Calcular las asíntotas verticales
- 24. Asíntotas horizontales Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones (ambas condiciones no pueden ocurrir en la misma función): • El grado del numerador es menor que el grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = 0. • El grado del numerador es igual al grado del denominador. En este caso, la asíntota es la recta horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente de mayor grado del numerador y b es el del denominador. Cuando el grado del numerador es mayor que el grado del denominador la función no tiene asíntota horizontal.
- 25. Ejemplo 4: Calcular las asíntotas horizontales 0 27 53 lim 3 2 = − −+ −∞→ x xx x ( ) 27 53 3 2 − −+ = x xx xf 0 27 53 lim 3 2 = − −+ +∞→ x xx x Tiene una asíntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3). La recta horizontal y = 0 es la asíntota horizontal.
- 26. Ejemplo 5: Calcular las asíntotas horizontales 5 6 975 536 lim 2 2 = −+ +− ±∞→ xx xx x ( ) 975 536 2 2 −+ +− = xx xx xg El grado del numerador (2) es igual al grado del denominador (2), luego la recta y = 6/5 es una asíntota horizontal. La recta y = 6 /5 es la asíntota horizontal.
- 27. Ejemplo 6: Calcular las asíntotas horizontales ( ) 1 952 2 3 + −+− = x xx xf No tiene asíntotas horizontales porque el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.
- 28. Asíntotas oblicuas Las asíntotas oblicuas aparecen cuando el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el grado del denominador.
- 29. Ejemplo 7: Calcular las asíntotas oblicuas ( ) 1 952 2 23 +− −++ = xx xxx xf Tiene una asíntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno más que el grado del denominador (2). 1 952 lim )( lim 23 23 = +− −++ = ±∞→±∞→ xxx xxx x xf xx 3 1 943 lim))((lim 2 2 = +− −+ =− ±∞→±∞→ xx xx xxf xx La recta y = x + 3 es asíntota oblicua
- 30. Problemas Calcula las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones: ( ) 2 2 2 15 7 10 x x f x x x + − = + + Vertical: x = -2 Horizontal : y = 1 Oblicua: no tiene ( ) 2 2 5 7 3 x x g x x + − = − Vertical: x = 3 Horizontal : no tiene Oblicua: y = 2x +11