L algebras
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Este documento describe L-álgebras, donde los elementos se multiplican en lugar de sumarse. Para evitar divisores de cero, estas álgebras deben definirse sobre números primos. Se provee el ejemplo de una tabla multiplicativa de L4 que no tiene divisores de cero cuando se restringe a los elementos 1 y 3, formando así una subálgebra isomorfa a los números complejos. Finalmente, se muestra cómo igualar a cero un polinomio sobre esta subálgebra L4 separa la parte compleja de la parte real.
L algebras
- 1. L-Álgebras José Antonio González Perant Si en el trabajo sobre I-Álgebras diseñamos el producto entre los elementos i tratando el subíndice como suma ahora lo haremos mediante la multiplicación. Los elementos los tomaremos sobre Z(n,.) donde n será de una dimensión más que los vectores, para eliminar el elemento cero de la multiplicación. Esto es; Esto nos plantea un primer problema, los divisores de cero, si queremos quela operación sea cerrada y no nos aparezca los elementos i sub cero debemos limitar estas álgebras sobre números primos, eliminado así los divisores de cero. El corchete de signo como vimos al final del trabajo sobre I-Álgebras son prácticamente irrelevantes, sólo debemos tener una matriz de signos simétrica para poder seguir manteniendo la conmutatividad de estos elementos. Veamos ahora un primer ejemplo. Consideremos; Con la tabla multiplicativa siguiente; Si hacemos el determinante y este siempre mantiene el signo podremos ver que sí tiene inverso multiplicativo. Ajustando como solución de d obtenemos las siguientes expresiones:
- 2. Que como podemos observar no tienen solución real. La única solución posible a la primera ecuación es que todos los términos sean igual a cero. Por lo que ya hemos encontrado una tabla multiplicativa que tiene inverso. En realidad solo podremos tener tablas de este tipo cuando Ln esté definida de manera que n cumpla que la siguiente expresión sea un número primo, para poder mantener la forma hipercuadrática y por lo tanto mantener el signo. Que son los números primos de Fermat. Caso n=4. Como sabemos 4 no es primo y al no serlo la tabla multiplicativa que tenemos poseerá divisores de cero. Véase; Si restringimos a 1,3 tenemos la tabla multiplicativa de los complejos que será una subálgebra si retransformamos de la siguiente manera. 1 j i 1 1 j i j j 0 -j i i -j -1
- 3. Probemos un resultado. Sean a,c,e,z pertenecientes a los complejos y sean b,d,f,t a los reales, u peteneciente a L4. Teniendo en cuenta también que j*j=0. P(u)=0 siendo P un polinomio. ∑ ∑ ∑ ∑ Igualando partes a cero y llamado P1 al polinomio complejo, P2 al polinomio con los coeficientes reales de la parte j igualada a cero tenemos. Si aplicamos series de Taylor podemos transformar dichos polinomios en funciones analíticas.