Problemas Optimizacion
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El documento presenta tres problemas de optimización de funciones. El primero resuelve cómo encontrar las dimensiones de una lata cilíndrica de capacidad 1/3 de litro que minimice los costos. El segundo maximiza el volumen de una piscina rectangular de base cuadrada que debe cubrirse con 192 m2 de baldosas. El tercero presenta tres problemas adicionales similares sobre triángulos y trozos de hilo.
![2º Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las CCSS II
Problemas de optimización de funciones
Problema resuelto
Se quiere construir una lata de bebida con capacidad de un tercio de litro. El material con el
que se harán las bases es el doble de caro que el material con el que se construirá la cara
lateral cuyo precio es de p €/m2. Calcula las dimensiones de la lata más económica.
El desarrollo del cilindro es:
Lo primero que tenemos que plantear es la función que
debemos hacer mínima:
El volumen es 1 l=1000cm3
Como tenemos dos variables el radio R, y la altura h. El valor
del volumen de la lata nos va a dar la relación entre ambas
2 2 1000 1000
V =r h ⇒ r h= ⇒ h=
3 3 r
2
Ahora hay que buscar la función que vamos minimizar, para
ello usamos la superficie del cilindro y el precio del material
que vamos a usar:
f r =2 r 2 · p 2 rh · 2p , realizando las operaciones
y sustituyendo el valor de h, nos queda,
2 1000 derivando e igualando a cero:
f r =2p ·2 r
3r
(recuerda que 2p es una constante distinta de cero, basta con igualar a cero el otro factor)
f ' r =2p · 4 r−
1000
3r 2 1000
⇒ 4 r − 2 =0 ⇒12 r 3−1000=0
3r
3
⇒r =
1000
12
⇒r=
3 1000
12
≈3 cm
En r = 3 cm se alcanza un mínimo o un máximo, para comprobar que es es el mínimo podemos
realizar dos comprobaciones:
Primera comprobación: considerar el intervalo [1, 100] ya que el radio del cilindro no tiene sentido
que sea mayor de 100cm =1 m ni menor que 1cm y calcular f(1), f(3), f(100)
f 1=679,2 p f 3=335,3 p f 100=125670,6 p
por lo tanto el mínimo se alcanza en 3 cm
Segunda comprobación, realizamos la segunda derivada y hacemos f '' (3) y ver que el resultado es
positivo
f ' ' r =2p 4
2000
3r 3 ⇒ f ' ' 30
Por lo tanto las dimensiones de la lata son r =3 cm y h = 11,8 cm](https://image.slidesharecdn.com/problemasoptimizacion-100219154101-phpapp02/85/Problemas-Optimizacion-1-320.jpg)
Problemas Optimizacion
- 1. 2º Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las CCSS II Problemas de optimización de funciones Problema resuelto Se quiere construir una lata de bebida con capacidad de un tercio de litro. El material con el que se harán las bases es el doble de caro que el material con el que se construirá la cara lateral cuyo precio es de p €/m2. Calcula las dimensiones de la lata más económica. El desarrollo del cilindro es: Lo primero que tenemos que plantear es la función que debemos hacer mínima: El volumen es 1 l=1000cm3 Como tenemos dos variables el radio R, y la altura h. El valor del volumen de la lata nos va a dar la relación entre ambas 2 2 1000 1000 V =r h ⇒ r h= ⇒ h= 3 3 r 2 Ahora hay que buscar la función que vamos minimizar, para ello usamos la superficie del cilindro y el precio del material que vamos a usar: f r =2 r 2 · p 2 rh · 2p , realizando las operaciones y sustituyendo el valor de h, nos queda, 2 1000 derivando e igualando a cero: f r =2p ·2 r 3r (recuerda que 2p es una constante distinta de cero, basta con igualar a cero el otro factor) f ' r =2p · 4 r− 1000 3r 2 1000 ⇒ 4 r − 2 =0 ⇒12 r 3−1000=0 3r 3 ⇒r = 1000 12 ⇒r= 3 1000 12 ≈3 cm En r = 3 cm se alcanza un mínimo o un máximo, para comprobar que es es el mínimo podemos realizar dos comprobaciones: Primera comprobación: considerar el intervalo [1, 100] ya que el radio del cilindro no tiene sentido que sea mayor de 100cm =1 m ni menor que 1cm y calcular f(1), f(3), f(100) f 1=679,2 p f 3=335,3 p f 100=125670,6 p por lo tanto el mínimo se alcanza en 3 cm Segunda comprobación, realizamos la segunda derivada y hacemos f '' (3) y ver que el resultado es positivo f ' ' r =2p 4 2000 3r 3 ⇒ f ' ' 30 Por lo tanto las dimensiones de la lata son r =3 cm y h = 11,8 cm
- 2. Problema resuelto Se quiere construir una piscina en forma de paralelepípedo recto de base cuadrada . Disponemos de 192 m2 de baldosas para recubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla las dimensiones de la piscina para que el volumen sea máximo. Como el paralelepípedo es de base cuadrada tenemos tan solo dos variables el lado del cuadrado (base) que llamaremos x y la altura de la piscina que llamaremos y. Hay que dar una relación entre estas dos variables, para ello usamos que disponemos de 192 m2 de baldosas para recubrir las paredes y el fondo : El área total que tenemos que recubrir es: 2 2 192− x 2 A= x 4xy ⇒ x 4xy=192 ⇒ y= 4x Sabemos que el volumen de un paralelepípedo es el área de la base por la altura, en nuestro caso : V = yx 2 , por lo tanto la función a maximizar, una vez sustituido y, es: 192−x 2 2 192x− x3 derivando e igualando a cero: f x = · x ⇒ f x = 4x 4 192−3x 2 192−3x 2 2 192 f ' x= ⇒ =0 ⇒ x = ⇒ x=8 al igual que antes comprobamos que se 4 4 3 trata de un máximo, para ello calculamos la segunda derivada en 8 y comprobamos que es un numero negativo −6x f ' ' x = ⇒ f ' ' 8=−120 4 2 2 192− x 192−8 Hay que calcular el valor de la altura de la piscina y= ⇒ y= =4 4x 4· 8 Por lo tanto la base de la piscina es un cuadrado de lado 8 m y cuya altura es de 4 m. PROBLEMAS 1. Halla las dimensiones de los lados de un triangulo rectángulo de 10cm de hipotenusa para que su área sea máxima. ( solución cada uno de los catetos mide 50 cm, esto es, es un triangulo rectángulo e isósceles) 2. Se dispone de un hilo metálico de 140 cm de longitud. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que uno de ellos tenga longitud el doble de otro y tal que al construir con cada uno de ellos un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima Encuentra la longitud de cada trozo (solución los trozos miden 30, 60 y 50 metros) 3. Calcula la base y la altura de del triangulo isósceles de perímetro 8 cm y de área máxima 8 4 3 (solución la base mide cm y la altura mide cm 3 3