Problemas v. unidimensionales

EJERCICIOS
VARIABLES
UNIDIMENSIONALES
© Inmaculada Leiva Tapia IES Alborán

ÍNDICE:
Ejercicio 1: Pesos de recién nacidos
Ejercicio 3: Variable estadística discreta
Ejercicio 4: Tiempo de retraso en una empresa
Ejercicio 16: Temperaturas en el interior de la Tierra
Ejercicio 19: Intervalos con distinta amplitud

EJERCICIO 1:
En una maternidad se han tomado los pesos de 50 recién nacidos:
2,8 3,2 3,8 2,5 2,7 3,7 1,9 2,6 3,5 2,3
3,0 2,6 1,8 3,3 2,9 2,1 3,4 2,8 3,1 3,9
2,9 3,5 3,0 3,1 2,2 3,4 2,5 1,9 3,0 2,9
2,4 3,4 2,0 2,6 3,1 2,3 3,5 2,9 3,0 2,7
2,9 2,8 2,7 3,1 3,0 3,1 2,8 2,6 2,9 3,3
a) Construye una tabla con los datos agrupados en 6 intervalos de
amplitud 0,4 kg.
b) Representa gráficamente esta distribución.
c) Calcula los parámetros de centralización( media, moda y mediana ).
d) Calcula la varianza y la desviación típica.

Es una variable estadística continua. Hacemos el recuento de datos y obtenemos la siguiente
tabla de frecuencias, que vamos completando con ayuda de la hoja de cálculo Calc.
Intervalos Lím. Inf Lím.sup Marcas xi fi Fi fi*xi fi*xi^2
[1,8;2,2] 1,8 2,2 2 6 6 12 24
]2,2;2,6] 2,2 2,6 2,4 9 15 21,6 51,84
]2,6;3,0] 2,6 3 2,8 18 33 50,4 141,12
]3,0;3,4] 3 3,4 3,2 11 44 35,2 112,64
]3,4;3,8] 3,4 3,8 3,6 5 49 18 64,8
]3,8;4,2] 3,8 4,2 4 1 50 4 16
TOTALES 4,2 50 141,2 410,4
Media x =
2,824 Varianza = 0,233 D.típica = 0,483
N/2 = 25 ≤ 33 = Fi → Int.mediano ]2,6;3,0] Interpolando,
3 3 − 1 5
3 − 2 , 6 =
2 5 − 1 5
M e − 2 , 6 → M e = 2 , 6 +
2 5 − 1 5
3 3 − 1 5 ⋅ (3 − 2 , 6 ) = 2 , 8 2 2
Moda: fi (máx.)= 18 → Int.modal ]2,6;3,0] Interpolando,
M o − 2 , 6
1 8 − 9
=
3 − M o
1 8 − 1 1
→ M o = 2 , 6 +
1 8 − 9
(1 8 − 9 ) + (1 8 − 1 1 )
⋅( 3 − 2 , 6 ) = 2 , 8 2 5

Con ayuda del programa GeoGebra y de su hoja de cálculo, obtenemos el histograma de
la variable,así como la determinación gráfica de la moda y de la mediana.

Mo − 2,6
18−9 =
3 − Mo
18−11
Mo = 2,6 + 9
9+ 7
· (3 − 2,6)= 2,825

33 − 15
3 − 2,6 = 25 − 15
Al índice
Me 2,6 25 15
Me−2,6 = + − 33−15
·(3 − 2,6)= 2,822

EJERCICIO 3:
Completa la siguiente tabla y después representa la distribución y halla:
a) Medidas de centralización: media, moda y mediana.
b) Medidas de posición: los tres cuartiles y el percentil 20. Interpreta su
significado.
c) Medidas de dispersión: varianza, desviación típica y coeficiente de
variación de Pearson. Interpreta su significado.
d) Representa el diagrama de Box-Whisker de esta variable.
xi fi Fi hi
1 4 0,08
2 4
3 16 0,16
4 7 0,14
5 5 28
6 38
7 7 45 0,14
8
N=

xi fi Fi hi Hi % acumul. fi·xi
1 4 4 0,08 0,08 8 4 1 4
2 4 8 0,08 0,16 16 8 4 16
3 8 16 0,16 0,32 32 24 9 72
4 7 23 0,14 0,46 46 28 16 112
5 5 28 0,1 0,56 56 25 25 125
6 10 38 0,2 0,76 76 60 36 360
7 7 45 0,14 0,9 90 49 49 343
8 5 50 0,1 1 100 40 64 320
TOTAL 50 1 238 1352
Media 4,76 Varianza = 4,382 D.típica = 2,093
C.V. (Pearson) = 0,44 → 44% (media poco representativa)
para hallar cuartiles (con Fi):
N/4 = 12,5 ≤ 16 = Fi → (= P25 = C25/100 )
N/2 = 25 ≤ 28 = Fi →
3N/4 = 37,5 ≤ 38 = Fi → (= P75 = C75/100 )
para hallar percentiles (con % acumulado):
20% ≤ 32 % → →
xi2 fi·xi2
x =
Q1 = 3
Me = 5 (=Q2 = P50 = C50/100)
Q3 = 6
P20 = 3 ( = C20/100 )

Diagrama de barras
de f. absolutas Diagrama de barras acumulativo
1 2 3 4 5 6 7 8
12
10
8
6
4
2
0
38
28
1 2 3 4 5 6 7 8
60
50
40
30
20
10
0
Q1= 3 Me= 5
Q3= 6
16
Mo= 6

11
Para construir el diagrama Box-Whisker se determinan:
● Rango intercuartílico → RIQ = Q3 – Q1 = 6 – 3 = 3
● Factor de escala → FE = 1,5 · RIQ = 1,5 · 3 = 4,5
● Frontera interior inferior → f1 = Q1 – FE = 3 - 4,5 = -1,5
● Frontera interior superior → f2 = Q3 + FE = 6 + 4,5 = 10,5
● Valor adyacente inferior → VAI = 1 ( menor dato ≥ f1)
● Valor adyacente superior → VAS = 8 ( mayor dato ≤ f2)
● Valores anómalos → los datos que están fuera del intervalo
] f1 , f2 [ = ] -1,5 ; 10,5 [
No hay ninguno.
1 2 33 4 5 6 7 8
1 (min) Q1= 3 Me= 5 Q3= 6 8 (max)
Al índice

EJERCICIO 4:
La siguiente tabla recoge los minutos de retraso en la incorporación al
trabajo de los empleados de una empresa.
Retraso en minutos Nº de empleados
[0,4) 5
[4,8) 15
[8,12) 18
[12,16) 10
[16,20) 4
a) Representa los datos mediante un histograma.
b) Calcula el retraso medio y la desviación típica.¿Cómo de homogénea
es la distribución?
c) Calcula la mediana y los cuartiles. Explica qué miden estos
parámetros.
d) Construye el diagrama de caja y bigotes de la distribución.

Intervalos Lím. Inf Lím.sup Marcas xi fi Fi fi*xi fi*xi^2
[0,4) 0 4 2 5 5 10 20
[4,8) 4 8 6 15 20 90 540
[8,12) 8 12 10 18 38 180 1800
[12,16) 12 16 14 10 48 140 1960
[16,20) 16 20 18 4 52 72 1296
TOTALES 20 52 492 5616
Media x =
9,462 Varianza = 18,471 D.típica = 4,298
N/2 = 26 ≤ 38 Int.mediano [8,12)
38−20
12−8 =
26−20
Me−8 → Me= 8 +
Moda fi(máxima)= 18 Interv.modal [8,12)
26−20
38−20 ⋅(12−8)= 9,333
Mo−8
18−15 =
12−M o
18−10
→ M o = 8 +
1 8 − 1 5
( 1 8 − 1 5 ) + ( 1 8 − 1 0 )
⋅( 1 2 − 8 ) = 9 , 0 9 0 9

El coeficiente de variación( de Pearson) es
CV = σx
= 4,30
9,46 = 0,45
La desviación típica es el 45% de la media, por lo que ésta es poco
representativa. O sea, la distribución es poco homogénea.
N/4 = 13 ≤ 20
3N/4 = 39 ≤ 48
RIQ = Q3 – Q1= 6,2667
→ Q 1 = 4 +
1 3 − 5
2 0 − 5 ⋅ ( 8 − 4 ) = 6 , 1 3 3 3
→ Q 3 = 1 2 +
3 9 − 3 8
4 8 − 3 8 ⋅ ( 1 6 − 1 2 ) = 1 2 , 4
Si ordenamos los 52 empleados por orden creciente del tiempo
de retraso:
El primer 25% de ellos se retrasa 6,13 minutos o menos
El primer 50% se retrasa 9,33 minutos o menos
El primer 75% de ellos se retrasa 12,4 minutos o menos.

15
CONSTRUCCIÓN DEL DIAGRAMA BOX-WHISKER
Para construir el diagrama Box-Whisker se determinan:
● Rango intercuartílico → RIQ = Q3 – Q1 = 12,4 - 6,13 = 6,27
● Factor de escala → FE = 1,5 · RIQ =1,5 · 6,27 = 9,41
● Frontera interior inferior → f1 = Q1 – FE = 6,13 – 9,41 = -3,28
● Frontera interior superior → f2 = Q3 + FE = 12,4 + 9,41 = 21,81
● Valor adyacente inferior → VAI = 0 ( menor dato ≥ f1 )
● Valor adyacente superior → VAS = 20 ( mayor dato ≤ f2 )
● Valores anómalos → los datos que están fuera del intervalo
] f1 , f2 [ = ] -3,28 ; 21,81 [ .No hay ninguno
0 (min) Q1= 6,13 Me= 9,33 Q3= 12,4 20 (max)

Mo − 8
18−15 =
12 − Mo
18−10
Mo = 8 + 3
3+ 8
· (12 − 8)= 9,0909

38 − 20
12 − 8 = 26 − 20
Al índice
Me 8 26 20
Me−8 = + − 38−20
·(12 − 8)= 9,333

EJERCICIO 16:
En una zona de interés geológico del interior de la tierra, se ha medido
la temperatura máxima diaria durante 43 días, obteniendo la tabla
Temperatura(ºC) Nº de días
[70,75) 3
[75,80) 7
[80,85) 10
[85,90) 12
[90,95) 8
[95,100) 3
Calcula:
a) La temperatura más habitual. b) La temperatura media.
c) La temperatura mediana. d) La temperatura máxima del 30% de
las temperaturas más bajas. e) La temperatura mínima del 40%
de las temperaturas más elevadas
f) Las temperaturas máxima y mínima del 50% central de las
temperaturas g) El nº de días en que la temperatura es inferior a 92º
h) El nº de días en que la temperatura es superior a 82º
i) El nº de días en que la temperatura oscila entre 82º y 92º
j) La varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación.

Horas Lím. Inf Lím.sup Marcas xi Fi fi*xi fi*xi^2
[70,75) 70 75 72,5 3 3 217,5 15768,75
[75,80) 75 80 77,5 7 10 542,5 42043,75
[80,85) 80 85 82,5 10 20 825 68062,5
[85,90) 85 90 87,5 12 32 1050 91875
[90,95) 90 95 92,5 8 40 740 68450
[95,100) 95 100 97,5 3 43 292,5 28518,75
100 43 3667,5 314718,75
N/2 = 21,5 ≤ 32 Int.mediano [85,90)
Me:
Moda Max f= 12 Interv.mod [85,90)
Mo:
N/4 = 10,75 ≤ 20
3N/4 = 32,25 ≤ 40
nº pers. = fi
x =
Δ1 = 12 –10 Δ2 = 12 –8
32−20
90−85 =
21,5−20
Me−85 →Me= 85 +
21,5−20
32−20 ⋅(90−85)= 85,625
Mo−85
12−10 =
90−Mo
12−8
→ M o = 8 5 +
1 2 − 1 0
( 1 2 − 1 0 )+ ( 1 2 − 8 )
⋅ ( 9 0 − 8 5 ) = 8 6 , 6 7
→ Q 1 = 8 0 +
1 0 , 7 5 − 1 0
2 0 − 1 0 ⋅ ( 8 5 − 8 0 ) = 8 0 , 3 7 5
→ Q 3 = 9 0 +
3 2 , 2 5 − 3 2
4 0 − 3 2 ⋅ ( 9 5 − 9 0 ) = 9 0 , 1 5 6

SOLUCIONES:
a) La temperatura más habitual: Mo = 86,67º
b) La temperatura media: x = 85,29º
c) La temperatura mediana: Me = 85,63º
d) La temperatura máxima del 30% de las temperaturas más bajas:
P30 = 81,45º
e) La temperatura mínima del 40% de las temperaturas más elevadas:
P60 = 87,42º
f) Las temperaturas máxima y mínima del 50% central de las temperaturas:
Q1 = 80,38º y Q3 = 90,16º
g) El nº de días en que la temperatura es inferior a 92º:
aprox. 35 días
h) El nº de días en que la temperatura es superior a 82º:
aprox. 29 días
i) El nº de días en que la temperatura oscila entre 82º y 92º:
aprox. 21 días
j) La varianza, la desviación típica y el coeficiente de variación:
σ2 = 44,54 , σ = 6,67 y C.V. = 7,82%
Al índice

EJERCICIO 19:
Se ha preguntado a un grupo de deportistas las horas que dedican a
entrenamiento durante el fin de semana.
Los resultados aparecen en la siguiente distribución de frecuencias:
Horas Nº de personas
[0, 0’5) 10
[0’5, 1’5) 10
[1’5, 2’5) 18
[2’5, 4) 12
[4, 8] 12
a) Representa gráficamente estos datos mediante el histograma de
frecuencias absolutas.
b) Calcula la mediana, e interpreta su significado.
c) Indica razonadamente el intervalo modal.

Es una variable estadística continua, pero con los intervalos de distinta amplitud,
lo que hace diferente algunos cálculos como veremos.
Horas Lím. Inf Lím.sup Marcas xi Fi fi*xi fi*xi^2 amplitud
[0;0,5) 0 0,5 0,25 10 10 2,5 0,63 0,5 20
[0,5;1,5) 0,5 1,5 1 10 20 10 10 1 10
[1,5;2,5) 1,5 2,5 2 18 38 36 72 1 18
[2,5;4) 2,5 4 3,25 12 50 39 126,75 1,5 8
[4;8] 4 8 6 12 62 72 432 4 3
8 62 159,5 641,38
N/2 = 31 ≤ 38 Int.mediano [1,5;2,5)
Me:
Moda Max alt. = 20 Interv.modal [0;0,5)
Mo:
nº pers. = fi alturasi
x =
Δ1 = 20 – 0 Δ2 = 20 –10
38−20
2,5−1,5 =
31−20
Me−1,5 → Me= 1,5 +
31−20
38−20 ⋅( 2,5−1,5)= 2,11
Mo−0
20−0 =
0,5−Mo
20−10
→ Mo = 0 +
20−0
(20−0)+ (20−10)
⋅(0.5−0)= 0,33

Hay que tener en cuenta que al ser intervalos de distinta
amplitud, hay que hallar las alturas correspondientes a
cada rectángulo dividiendo las frecuencias ( o áreas) entre
las amplitudes ( bases ):
Altura = Área / base = fi / ai
Para la moda, hay que buscar en el histograma el intervalo
de mayor densidad de frecuencia, o sea, el de mayor altura
( que no tiene por qué coincidir con el de mayor área ), y
después hacer la interpolación correspondiente.

La mediana sigue correspondiendo al primer valor de las
frecuencias acumuladas que supera a la mitad del número
total de datos.
Para la localización de la mediana gráficamente, hay que
representar el histograma con las alturas acumuladas, para
realizar la interpolación:
Altura acumulada = f.absoluta acumulada / amplitud = Fi /ai
En el caso de intervalos de distinta amplitud,hay que observar
que el histograma acumulativo no es necesariamente creciente.
nº pers. = fi alturasi Alturas(acum)i
Horas Fi amplitud
[0;0,5) 10 10 0,5 20 20
[0,5;1,5) 10 20 1 10 20
[1,5;2,5) 18 38 1 18 38
[2,5;4) 12 50 1,5 8 33,33
[4;8] 12 62 4 3 15,5
62

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