PROBLEMAS:ELASTICIDAD
- 1. SEPARATA N° 6 DE FISICA I (CB-302V) ELASTICIDAD 1.- La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: Peso = w Area transversal = A Longitud = L Módulo de Young = Y Si una pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, hallar la deformación de la barra considerando barra la deformación por peso propio. L 2.- Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de young Y, gira libremente con velocidad 2w angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos. Determinar: w a) La deformación producida en la barra b) En donde se produce el esfuerzo máximo 3.- Una barra cilíndrica homogénea de peso Q, longitud L0, sección S, que cuelga de un extremo tiene módulo de Young E y coeficiente Poisson µ. Halle a) El esfuerzo en cualquier punto de la barra (σ) b) La deformación longitudinal unitaria (∈) c) La variación de la sección recta (∆S) ∆V d) El cambio relativo del volumen L0 V0 e) La energía potencial de deformación (∆U) s 2 4.- Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos. a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla? c) ¿Qué deformación sufre cada varilla? Modulo de Young: Cobre: 11 x 1010 Pa Acero: 20 x 1010 Pa 5.- Una barra A de 1m de longitud y 5cm2 de área transversal, se suelda tope a tope con otra barra B de longitud L y 2cm2 de área transversal. La barra compuesta se somete a una comprensión de 30,000 Nw. Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 1
- 2. Determinar la longitud L si las deformaciones de las dos barras son iguales YA/YB = ½. ¿Cuál es el esfuerzo y la deformación unitaria en cada barra A y B? 6.- Sobre un bloque homogéneo de longitudes (en SI) Lx, Ly y Lz, se aplican las fuerzas Fx, Fy en las direcciones mostradas. Si E es el módulo de Young y v es el módulo de Poisson. Halle: a) El esfuerzo en el eje y b) La deformación unitaria a lo largo del eje c) La variación del área paralelo al plano YZ d) La variación unitaria del volumen Y Fv 7.- Sea un prisma sólido de dimensiones I1, I2 y I3 sumergido en agua a cierta profundidad. Haciendo uso de las deformaciones unitarias demostrar que la deformación de volumen del prisma está ∆V P dado por = 3 ( 1 − 2σ ) Ly V Y Donde P es la presión ejercida por el Fx Fx líquido Y el módulo de Young del prisma y X σ la constante de poisson. Lx 8.- Una masa de 1 kg cuelga de un cable de Z L2 Fv acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo θ en el vértice. a) Calcule la deformación del alambre b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre en dos veces el peso de la masa (Y acero = θ 21 x 1010 Pa). m 9.- La presión sobre un objeto sumergido en el mar aumenta linealmente con la profundidad. Por cada 10 m de profundidad, la presión sobre el objeto aumenta aproximadamente en 1 atm. ¿A qué profundidad se comprimirá el objeto el 99,9% de su volumen en la superficie? Evalúe la profundidad para los materiales que se indican. (Considere que ρ (agua de mar) = 1,030 gr/cm3 y la gravedad g 9,8 m/s2, B = Módulo de compresibilidad. MATERIAL B (x 1010Pa) Cu 10 Acero 19 Vidrio 3,6 10.- Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos d/2 D/2 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo F 2 F L
- 3. están sujetas a una fuerza axial F, determinar la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza. 11.- Un cable de acero de área transversal A = 3 cm 2 tiene una densidad ρ 1 = 2,4 kg/m. Si se cuelga 300 m de cable sobre un acantilado vertical ¿Cuánto se alargará el cable por su propio peso? Eacero (módulo de Young) = 2 x 1011 Pa. 12.- Un alambre de 2,0 m de largo y área de sección transversal de 0,10 cm 2 soporta una carga de 102 kg. El alambre se alarga 0,22 cm. Encuentre el esfuerzo de tensión, el esfuerzo de deformación y el módulo de young para el alambre. 13.- Una esfera sólida de plomo de 0,50 m3 de volumen se sumerge en el océano a una profundidad donde la presión es igual a 2,0 x 107 N/m2. El módulo volumétrico del plomo es igual a 7,7 x 10 9 N/m2 ¿Cuál es el cambio en e l volumen de la esfera? 14.- Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 10 8, el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor. OSCILACIONES 1.- Considere un oscilador amortiguado. Suponga que la masa es de 375 g. la constante de resorte igual a 100 N/m y b = 0,1 kg/s. a) Establezca la ED del MAA y soluciónelo ilustrando con gráficos b) ¿Cuánto tarda la amplitud en reducirse a la mitad de su valor inicial? c) ¿Cuánto tiempo transcurre para que la energía mecánica se reduzca a la mitad de su valor inicial? d) Demuestre que, en general, la tasa a la cual se reduce la amplitud en un oscilador armónico amortiguado es la mitad de la tasa a la cual disminuye la energía mecánica. 2.- a) Deducir la expresión de la potencia aplicada en una cuerda b) Una cuerda de densidad 7 x 10-3, se somete a una tensión de 100 N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 50 Hz con amplitud de 10cm? 3.- Sobre el efecto Doppler a) ¿Quién fue Doppler? b) Deduzca la expresión si la fuente esta en movimiento c) ¿Cuál fue la velocidad del automovilista que alego ante el juez “yo pase luz verde” al ser acusado de pasar luz roja? d) Indique el procedimiento mediante el cual la policía detecta infracción a las velocidades mínimas permitidas. Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 3
- 4. 4.- En el sistema mostrado en la figura Obtenga la expresión de la energía mecánica para todo instante de tiempo t. K Si: X = Acos (w0 t + φ) g: aceleración de la gravedad + X= 5.- Un oscilador armónico simple amortiguado tiene λ = 0 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg m a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de - amortiguamiento débil? b) Determinar el valor λ para el movimiento amortiguado débil c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m. 6.- En la figura mostrada halle la frecuencia angular w0 del MAS resultante para pequeños desplazamientos x del centro de masa, si el disco, homogéneo rueda sin deslizar Datos: M ≡ Masa del disco k R R ≡ Radio del disco M K ≡ Constante del resorte 7.- Un resorte con k = 2,0 N/m y un contrapeso fijo a él oscilan en un medio viscoso. El primer máximo de + 5,0 cm del punto de equilibrio, se observa cuando t = 1,0 s y el siguiente, de + 4,9 cm cuando t = 3,0 s. Halle: a) La posición del contrapeso a los 3,5 s? b) ¿Cuál era su posición en t = 0s? c) ¿Cuál es la masa del contrapeso? d) ¿Cuál es el factor de calidad Q? 0 SUG: Q = W0/b 8.- Una barra uniforme de masa M y largo L gira alrededor de uno de sus extremos y oscila en un plano vertical. Encuentre el periodo de oscilación si la amplitud del movimiento es pequeño. Punto 9.- Un péndulo físico en al forma de un cuerpo plano efectúa L un movimiento armónico simple con una frecuencia de CM 0,450 Hz. Si el péndulo tiene una masa de 2,20 kg y el pivote se localiza a 0,350 m del centro de masa, determine Mg el momento de inercia del péndulo. 10.- Una cuerda uniforme tiene una masa de 0,300 kg y 5,00 m un longitud de 6,00 m. Calcule la velocidad de un pulso en esta cuerda. 1,00 m 11.- Una onda senoidal que viaja en la dirección x positiva tiene una amplitud de 15,0 cm, una y(cm) 2,00 kg 40,0 cm Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 4 15,0 cm x(cm)
- 5. longitud de onda de 40,0 cm y frecuencia de 8,00 Hz. El desplazamiento vertical del medio en t = 0 y x = 0 también es de 15,0 cm, como se ilustra en la figura. Encuentre el número de onda angular, el periodo, la frecuencia angular y la velocidad de la onda. 12.- Una cuerda tensada que tiene una masa por unidad de longitud de µ = 5,00 x 10-2 kg/m se somete a una tensión de 80,0 N ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar ondas senoidales a una frecuencia de 60,0 Hz y una amplitud de 6,00 cm? 13.- Una fuente puntual emite ondas sonoras con una salida de potencia promedio de 80,0 w a) Encuentre la intensidad a 3,00 m de la fuente b) Encuentre la distancia a la cual el sonido se reduce a un nivel de 40 dB 14.- Un tren que se mueve con una velocidad de 40 m/s suena su silbato, el cual tiene una frecuencia de 500 Hz. Determine las frecuencias escuchadas por un observador estacionario a medida que el tren se aproxima s él y cuando pasa y se aleja del observador. 15.- a) ¿En qué consiste el efecto Doppler? b) ¿Qué relación existe entre el efecto Doppler y la teoría de la expansión del universo? c) Si una ambulancia se acerca a usted que esta en reposo, a 50 km/h y emite una frecuencia de 440 Hz. ¿Cuál es la frecuencia que usted percibe? d) Deducir la relación que usa 16.- Escriba las ecuaciones diferenciales para el M.A.S y las soluciones finales para cada uno de los casos. Muestre gráficamente la solución e interprételas 17.- Obtener el periodo de oscilación del sistema mostrado 18.- Una cuerda con densidad lineal 5 x 10 -2 kg/m se someta a una tensión de 50N. R a) ¿Cuánta potencia debe aplicarse a la cuerda para generar M ondas senoidales de frecuencia 60 H2 y una amplitud de 60 cm? M k b) Deducir las relaciones que usa. 19.- Identifique el problema físico relacionado con a) m && = -kx – kv x b) Ordénelo acomódelo y resuelva la ecuación diferencial c) Haga un esbozo para las soluciones b 2k 2k Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 5 m
- 6. 20.- El cuerpo del sistema en la figura. Tiene una masa de 1,5 kg y la constante del resorte es k = 0,8 N/m. Supóngase que se desplaza hacia abajo el cuerpo 12 cm y después se le suelta. Si la fricción tienen módulo F R = 0,23 v, en N, (en donde v = rapidez), determine, a) Describa el movimiento. b) La frecuencia natural del sistema. b) El periodo de oscilación del sistema. c) Escriba la función que describa la posición en función del tiempo. d) Escriba la función que describa la velocidad en función del tiempo. dx 21.- Una masa M, conectada a un resorte de masa x v m, oscila con MAS sobre una superficie horizontal lisa. La constante del resorte es k y la longitud en el equilibrio es l. Encuentre: a) La energía cinética del sistema cuando la masa tiene su velocidad v. m M b) El período de oscilación Sug: Suponga que todas las partes del resorte oscilan en fase y que la velocidad de un segmento dx es proporcional a la distancia desde el xV punto fijo; esto es, Vx = , también note que la masa de un segmento l m del resorte es dm = dx l 22.- Si ϕ (x,t) = 0,1 sen (3,14 x -1,05t + π/12) con x y ϕ en m y t en s, es la ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda de masa 300 g y 5m de longitud. Hallar: a) La velocidad de la onda b) La velocidad de la partícula situada en x = 0,3 m y en t = 3 s c) Los puntos más cercanos a x = 1 m cuya diferencia de fase con éste sea π/3. d) La aceleración de una partícula situada en función del tiempo situada en x = 0,8 m e) La tensión en la cuerda 23.- Determine la frecuencia natural del siguiente sistema O 24.- Un oscilador armónico simple amortiguado R tiene b = 0,11 kg/s, k = 180 N/m y m = 0,310 kg θ a) ¿Es un movimiento sobreamortiguado o de amortiguamiento débil? b) Determinar el valor λ para el movimiento semi-circunferencia amortiguado débil? c) Escriba la ecuación de movimiento. Si para t = 0, tiene una amplitud de 0,5 m. Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 6
- 7. 25.- En la figura se muestra un bloque de m = 750 gr y los resortes tiene constante k = 56 n/m. El valor b = 0 0,162 NS/m a) ¿Cuál es el periodo del movimiento? b) Escriba el desplazamiento en función del tiempo, si en t = 0, x = 0 y en t = Is x = 0,12 m 1 c) Demuestre que la energía mecánica total es E = k λ k 2 λ 1 − t t KA e2 m = E0 e m m Siendo E0 la energía mecánica total en t = 0 (suponga que un movimiento con amortiguamiento pequeño) 26.- El cuerpo del sistema en la figura. Tiene una masa de 1,5 kg y la constante del resorte es k = 0,8 N/m. Supóngase que se desplaza hacia abajo el cuerpo 12 cm y después se le suelta. Si la fricción tienen módulo FR = 0,23 V, en N, (en donde V = rapidez), determinar el número de oscilaciones del cuerpo en el intervalo de tiempo necesario para que la amplitud disminuya a un tercio de su valor inicial. 27.- Dos masas rígidas en forma de L, como se muestra en la figura, oscila con pequeños desplazamientos alrededor de su posición K de equilibrio (barra a horizontal). La barra b es de masa m despreciable y la barra a tiene densidad lineal λ(x) = cx kg/m 1 con (c = cte) y x se mide a partir de O. El sistema puede oscilar x libremente alrededor de O. El resorte es de masa despreciable. h 28.- Un oscilador armónico simple esta descrito por la ecuación x(t) = A sen 0,1t + B Sen 0,1t donde X,A y B se miden en unidades m.k.s a) Exprese la ecuación anterior en la forma x = C sen (wt + ϕ) Si se conoce que para t = 0, v0 = 0,35 m/s y a0 = -0,02 m/s2 b) Evaluar la energía cinética y potencial para t = 5 seg. c) Evalúe el valor promedio en un periodo de la energía cinética y potencial del oscilador armónico (suponga que el oscilador armónico es el sistema masa resorte). K L=2L = 2L = 1m 29.- En la siguiente Fig. Se muestra un alambre en equilibrio de masa despreciable de un punto “O” y sujeto en uno de sus extremos a un resorte de L1 constante elástico k = 60 N/m a un amortiguador 0 de constante b = 14 N seg/m y el otro extremo una L2 b L M = 1 kg 7 Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo
- 8. masa de 1kg. Si el alambre lo guiamos un ángulo θ0 = 10° y lo soltamos de esa posición a partir del reposo. Encontrar: a) La frecuencia del movimiento del sistema b) ¿Cuál es la fase del movimiento? c) ¿Cuál es decremento logarítmico? I 30.- Para el sistema que se muestra en la Fig. Determinar: a a) La ecuación de movimiento b) La frecuencia de los osciladores amortiguados m c) El coeficiente de amortiguamiento para amortiguamiento crítico. h 31.- Demostrar que en una oscilación amortiguado se k cumple: x 2π ( b / 2mω0 ) Ln n = 1/ 2 xn +1 b 2 1 − 2mω0 32.- Una placa P hace un movimiento armónico simple horizontal sobre una superficie sin fricción con una Us B frecuencia f = 1,5 Hz. Un bloque descansa sobre la K placa, como se muestra en la figura adjunta y el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la placa es µ2s = 0,60 ¿Cuál es la máxima amplitud de oscilación que puede tener el sistema sin que resbale el bloque sobre la placa? P 33.- Un cilindro de peso W y radio r está suspendido por una cuerda que le da vuelta en la forma que se indica en la figura adjunta. Un extremo de la cuerda está unido directamente a un soporte rígido mientras que el otro extremo está unido a un resorte de constante de elasticidad k. Si el cilindro se gira. Un ángulo θ 3 y se suelta, determine la frecuencia natural del sistema. k 34.- El sistema muestra un resorte, de constante k, fijo al eje de un cilindro de radio r y masa m. r Si el cilindro rueda sin deslizar sobre la superficie áspera. Encuentre. a) La ecuación que describe el movimiento θ subsiguiente del cilindro. b) La frecuencia de oscilación c) La energía mecánica o Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 8
- 9. 35.- Un bloque de 2 kg se sujeta a un resorte de constante k = 200 N/m. El resorte se extiende en 5 cm y en t = 0 se le suelta. Halle: a) El desplazamiento en función del tiempo b) La velocidad cuando x = +A/2 c) La aceleración cuando x = + A/2 (i) Use la parte ii) del ejemplo anterior para hallar a cuando x = A/2 iii) ¿Cuál es la fuerza sobre el bloque cuando t = π/15 s? 36.- Deduzca la frecuencia angular para a) Péndulo simple b) Péndulo físico c) Péndulo de torsión 37.- Una varilla uniforme de masa m y de longitud L se hace girar libremente por un extremo (a) ¿Cuál es el periodo de su oscilación? b) ¿Cuál es la longitud de un péndulo simple con el periodo? 38.- Un bloque de 0,5 kg se sujeta a un resorte (k = 12,5 N/m). La frecuencia del movimiento amortiguado es de 0,2% inferior a la frecuencia del movimiento natural (a) ¿Cuál es la constante de amortiguamiento? (b) ¿Cómo varía la amplitud con el tiempo? c) ¿Cuál es la constante de amortiguamiento crítico? 39.- Halle la rapidez de una pulsación en una cuerda. 40.- Uno de los extremos de una cuerda está fijo. La cuerda cuelga de una polea y a su otro extremo tiene amarrado un bloque de 2 kg de masa, como se muestra en la figura. La parte horizontal de la cuerda tiene una longitud de 1,60 m y una masa de 20,0 g ¿Cuál es la velocidad de una pulsación transversal sobre la cuerda? π π 41.- La ecuación de una onda es y(x,t) = 0,05 sen ( 10 x − 40t ) − m . Halle: (a) 2 4 la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de la onda: (b) la velocidad de la partícula y su aceleración en x = 0,5 m y t = 0,05 s. 42.- Deduzca la E.D. de una onda. 43.- La función de onda de una onda es y(x,t) = 0,02 sen (0,4x + 50t + 0,8) donde x y y están en centímetros. Halle: (a) la longitud de onda; (b) la constante de fase; (c) el periodo; (d) la amplitud; (e) la velocidad de la onda y (f) la velocidad de la partícula en x = 1 cm y t = 0,5 s. 44.- La función de onda de una onda estacionaria sobre una cuerda está dada por y(x,t) = 0,02 sen (0,3x) cos (25t) donde x y y están en centímetros y t está en segundos. (a) Halle la longitud de onda y la velocidad de onda de las Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 9
- 10. ondas componentes (b) ¿Cuál es la longitud de la cuerda si esta función representa la tercera armónica? (c) ¿En qué puntos es la velocidad de la partícula permanente cero? 45.- Las ondas transversales sobre una cuerda tienen una amplitud de 1,5 cm, una longitud de onda de 40 cm y viajan a una velocidad de 30 m/s. Si la densidad lineal de masa de la cuerda es de 20 g/m. ¿Qué potencia debe proporcionársele a la cuerda? 46.- Halle las frecuencias en tubo cerrado. 47.- Halle las frecuencias en tubo abierto. 48.- La longitud de una columna de aire se varia ajustando el nivel de agua dentro de un tubo. Sobre el extremo abierto del tubo, se coloca un diapasón al que se hace vibrar. A continuación se hace bajar el nivel del agua y se escucha la primera resonancia cuando la longitud de la columna de aire es de 18,9 cm y después cuando es de 57,5 cm ¿Cuál es la frecuencia del diapasón?. Tome la velocidad del sonido como de 340 m/s. Si conoce la frecuencia del resorte ¿Qué puede hallar? 49.- Un coche de policía se mueve a una velocidad de 50 m/s en la misma dirección de un camión que lleva una velocidad de 25 m/s. La sirena de la policía tiene una frecuencia de 1200 Hz. ¿Cuál es la frecuencia que oye el conductor del camión cuando el coche de policía está (a) detrás del camión o (b) delante del camión? Considere que la velocidad del sonido es de 350 m/s. 50.- El sonido emitido por una fuente alcanza una posición determinada con una intensidad I1 ¿Cuál es el cambio en el nivel de intensidad cuando otra fuente idéntica se coloca en la proximidad de la primera? (No hay una relación de fase fija entre las fuentes). 51.- ¿Cuál es la potencia incidente en un tímpano de 0,4 cm 2, de área para los siguientes niveles de intensidad sonora: (a) 120 dB (el umbral del dolor): (b) 0 dB (el umbral de la audición). 52.- Una partícula que cuelga de un resorte oscila con una frecuencia angular de 2,00 rad/s. El resorte esta suspendido del techo de la caja de un elevador y cuelga sin moverse (respecto de la caja del elevador) conforme la caja desciende a una velocidad constante de 1,50 m/s. La caja se detiene repentinamente, a) ¿Con que amplitud oscila la partícula?, b) Cual es la ecuación de movimiento para la partícula? (Elija la dirección hacia arriba como positiva) Profesor del curso: Lic. Percy Victor Cañote Fajardo 10