Programación lineal ejercicios
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El documento presenta ejemplos de resolución de problemas de programación lineal mediante el método gráfico. Se explican dos ejercicios que involucran graficar desigualdades y determinar puntos de ensayo. Luego, se presenta un problema de maximización de ingresos sujeto a restricciones de recursos, cuya solución óptima es 40 liquidaciones y 12 auditorías. Finalmente, se analizan otros dos ejercicios de asignación de recursos bajo restricciones.
Programación lineal ejercicios
- 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 1 PROGRAMACIÓN LINEAL GRÁFICADE DESIGUALDADES EJERCICIO N° 1 2X1 + 4X2 ≤ 12 1) Convertir la desigualdad en igualdad 2X1 + 4X2 = 12 2) Graficar una recta Recta.- representa una ecuación de 1° Curva.- representa una ecuación de 2° X1 X2 0 6 3 0 3) Escojo un punto de ensayo. Recomendado: P(0,0) 4) Determino si el punto de ensayo satisface la desigualdad
- 2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 2 EJERCICIO N°2 3x1 + 6x2 ≥ 17 3X1 + 6X2 = 17 X1 X2 0 5 2.8 0 P (0,0) 3(0)+6(0) ≥17 0 ≥ 17 FALSO
- 3. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 3 RESOLUCIÓN POR EL MÉTODO GRÁFICO EJERCICIO N° 3 Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de Empresas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de $300. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de $100. El máximo de liquidaciones mensuales disponible es de 60. LIQUIDACIONES AUDITORÍAS DISPONGO DE: X1 X2 HORAS DE TRABAJO 8 40 800 HORAS DE REVISIÓN 5 10 320 UTILIDAD 100 300 FUNCIÓN OBJETIVO MAXIMIZAR: Z=100X1+300X2 S.a. 8X1+40X2 ≤ 800 5X1+10X2 ≤ 320 X1 ≤ 60 Cond. Téc. X1, X2 ≥ 0 8X1+40X2 = 800 X1 X2 0 100 20 0 8(0)+40(0) ≤ 800
- 4. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 4 0 ≤ 800 VERDADERO 5X1+10X2 = 320 X1 X2 0 64 32 0 5(0)+10(0) ≤ 320 0 ≤ 320 VERDADERO X1 = 60 PUNTO X1 X2 Z A 0 0 0 B 0 20 6000 C 40 12 7600 D 60 2 6600 E 60 0 6000
- 5. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 5 Para calcular los puntos C Y D por el método de eliminación 8X1+40X2 = 800 5X1+10X2 = 320 (-4) 8X1 + 40X2 = 800 -20X1 - 400X2 = -1280 -12X1 = - 480 X1 = 40 8(40) + 40X2 = 800 40X2 = 800 -320 X2 = 12 X1 = 60 5(60) + 10X2 = 320 10X2 = 320 – 300 X2 = 2 Solución Óptima (SO): Z =7600 Restricciones Activas (RA): 1,2 Restricciones Inactivas: (RI): 3 Variables Óptimas (VO): X1 = 40; X2 = 12
- 6. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 6 COMPROBACIÓN 1) 8 X1 + 40 X2 ≤ 800 8(40)+40(12) ≤ 800 320 + 480 ≤ 800 800 ≤ 800 Hay Equilibrio 8 X1 + 40 X2 + h1 = 800 8(40) + 40 (12) + h1 = 800 800 + h1 = 800 h1 = 0 2) 5 X1 + 10 X2 ≤ 320 5(40) + 10(12) ≤ 320 200 + 120 ≤ 320 320 ≤ 320 Hay equilibrio 5 X1 + 10 X2 + h2 = 320 5(40) + 10(12) + h2 = 320 200 + 120 + h2 = 320 h2 = 0 3) X1 ≤ 60 40 ≤ 60 Hay Holgura X1 + h3 = 60 40 + h3 = 60 h3 = 20 Entonces, para maximizar los ingresos se debe hacer 40 liquidaciones y 12 auditorías para tener un ingreso de $7600. Además existe una holgura de 20 liquidaciones respecto al límite máximo de liquidaciones posibles en el mes. CONCEPTOS: Maximización: representa el punto más lejos del origen. Minimización: representa el punto más cercano al origen. Arco Convexo: Sector de posibles soluciones limitado por cada contorno de las ecuaciones. RESTRICCIONES ACTIVAS E INACTIVAS Restricciones Activas.- aquellas rectas que son parte de la solución, se cumple la igualdad al sustituir las variables. Restricciones Inactivas.- aquellas rectas que no forman parte de la solución. HOLGURAY EL EXCEDENTE Variable de Holgura.- representa la cantidad de recursos no utilizados, para su cálculo se la anota como +h en el miembro izquierdo de la desigualdad. Variable de excedente.- representa la cantidad por encima de un nivel mínimo requerido. Para su cálculo se la anota como -h en el miembro izquierdo de la desigualdad.
- 7. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 7 Ambas variables deben cumplir con la condición de no negatividad; es decir deben ser diferentes o mayores que cero. EJERCICIO N°4 Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la Empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánicos. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio, y cuál es este? FUNCIÓN OBJETIVO MAX: Z= 200X1 + 250X2 VARIABLES: X1= número de mecánicos X2= número de electricistas X1≥ X2 X1≤ 2X2 Lim. X2≤ 30 X1≤ 20 C.T X1, X2 ≥ 0 X1= X2 X1= 2X2 X2= 30 X1=20 0 ≥ 0 0 ≤ 2(0) 0 ≤ 30 0 ≤ 20 verdadero verdadero verdadero verdadero X1 X2 0 5 10 15 20 0 5 10 15 20 X1 X2 0 10 20 30 40 0 5 10 15 20
- 8. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 8 PUNTOS X1 X2 Z B 20 10 6500 C 20 20 9000 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z= 9000 V.O. X1= 20 X2=20 RA=1, 4 RI= 2, 3 COMPROBACIÓN 1. X1≥ X2 20≥20 Hay equilibrio 2. X1≤ 2X2 20 ≤ 2(20) 20 ≤ 40 Hay holgura X1 + H1 = 2X2 20 + H1 = 2(20) 20 + H1 = 40 H1 = 40-20 H1 = 20
- 9. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 9 3. X2≤ 30 20 ≤ 30 Hay holgura X2 + H2 = 30 20 + H2 = 30 H2 = 10 4. X1≤20 20 ≤ 20 Hay equilibrio PROFESIONALES DISPONIBLES HOLGURA EXCEDENTE MECÁNICOS 20 ELECTRICISTAS 30 10 EJERCICIO N°5 TIPOS DE SOLUCIONES Solución única Función objetivo: MIN: Z = 2X + 3Y S.a. -3x+2y ≤ 6 x +y ≤ 10.5 -x+2y ≥ 4 C.T. X, Y ≥ 0
- 10. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 10 1) -3x+2y =6 2) X +y=10.5 3)-x+2y=4 0 ≤ 6 0 ≤ 105 0 ≥ 4 verdadero verdadero falso PUNTOS X Y Z A 0 2 6 SOLUCIÓN ÓPTIMA Z=6 V.O. X =0 Y= 2 RA=3 RI=1, 2 X1 X2 0 -4 2 0 X1 X2 0 -2 3 0 X1 X2 0 10.5 10.5 0
- 11. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 11 COMPROBACIÓN: 1) -3x+2y ≤ 6 -3(0)+2(2) ≤ 6 4 ≤ 6 Hay holgura -3(0)+2(2)+H1=6 4+H1=6 H1=3 2) x +y ≤ 10.5 0+2 ≤ 10.5 2 ≤ 10.5 Hay holgura (0)+2+H2=10.5 2+H2=10.5 H2=8.5 3) -x+2y ≥ 4 -0+2(2) ≥ 4 4 ≥4 EJERCICIO N°5 Solución múltiple Función objetivo: MAX: Z = 5/2X1 + X2 S.a. 3x1 + 5x2 ≤ 15 5x1 + 2x2 ≤ 10 C.T. x1; x2 ≥ 0 1) 3x1+5x2 ≤ 15 2)5X1 +2x2 ≤ 10
- 12. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 12 0 ≤ 15 0 ≤ 10 verdadero verdadero SOLUCIÓN ÓPTIMA Z=5 V.O X1 =20/19 X2= 45/19 RA=1; 2 POSIBLES SOLUCIONES ÓPTIMAS X1 Desde 20/19 Hasta 45/19 20/19 ≤ X1 ≤ 2 X2 0 ≤ X2 ≤ 45/19 Donde Z = 5 Para calcular el Punto C X1 X2 0 5 3 0 X1 X2 0 2 5 0
- 13. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 13 3x1+5x2 =15 (-2) 5X1 +2x2=10(5) -6x1 - 10x2 =-30 25x1 +10x2 =50 19x1 0 =20 x1=20/19 3(20/19)+5x2 =15 60/19+5x2 =15 x2 =45/19 PUNTO C= (20/19; 45/19) COMPROBACIÓN: 1) 3x1+5x2 ≤ 15 3(20/19)+5(45/19) ≤ 15 15 ≤ 15 2) 5X1 +2x2 ≤ 10 5(20/19)+2(45/19) ≤ 10 10 ≤10 EJEMPLO N°7 NO ACOTADO Una de las variables de decisión puede asumir calores indefinidamente. Función objetivo: MAX: Z= 5000A + 4000B
- 14. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 14 S.a. A+B≥5 A-3B≤0 30A+10B≥135 C.T. A; B ≥ 0 1) - A+B = 5 2) A-3B ≤ 0 3) 30A+10B = 135 A=3B 0 ≥ 5 0 ≤ 0 0 ≥ 135 Falso Verdad Falso No acotada no hay solución EJERCICIO N° 8 Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 7 de A B 0 5 5 0 A B 0 5 5 0
- 15. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 15 manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 Km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 Km, calcular cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. FUNCIÓN OBJETIVO Z = 150A+ 300B RESTRICCIONES S.a. 8A + 2B ≥ 16 A + B ≥ 5 2A + 7B ≥ 20 C.T. A, B ≥ 0 1) 8A + 2B ≥ 16 2) A + B ≥ 5 3) 2A + 7B ≥ 20 0 ≥ 16 0 ≥ 5 0 ≥ 20 Falso Falso Falso PUNTOS X1 X2 Z B 1 4 1350 C 3 2 1050 A B 0 2 8 0 A B 0 5 5 0 A B 10 0 0 2.86=3
- 16. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 16 SOLUCIÓN OBJETIVO Z= 1050 V.O. A= 3 B= 2 RA= 2,3 RI= 1 COMPROBACIÓN 1. 8A +2B ≥ 16 8(3)+2(2) ≥ 16 24+4 ≥ 16 28 ≥ 16 Hay Excedente 8A +2B - H1 = 16 8(3)+2(2) - H1= 16 28 – H1 = 16 H1 = 12 2. A + B ≥ 5 3 + 2 ≥ 5 5 ≥ 5 3. 2A+7B ≥ 20 2(3)+7(2) ≥ 20 6+14 ≥ 20 20 ≥ 20 Este es un problema no acotado, pero si tiene solución.
- 17. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 17 EJERCICIO N°9 PROBLEMAS NO FACTIBLES Tienen un conjunto factible vacío FUNCIÓN OBJETIVO MAX: Z= 3000E + 4000F S.a. E +F ≤ 5 E -3F ≤ 0 10E + 15F ≤ 150 20E + 10F ≤ 160 30E +10F ≥ 150 C.T. E,F ≥0 1.- E +F = 5 2.- E -3F = 0 3.- 10E + 15F = 150 0 ≤ 5 0 ≤ 0 0 ≤ 150 verdadero verdadero verdadero 4.- 20E + 10F = 160 5.- 30E +10F = 150 0 ≤ 160 0 ≥ 150 verdadero falso E F 3 6 1 2 E F 0 5 5 0 E F 15 0 0 10 E F 0 8 16 0 E F 0 5 15 0
- 18. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO FACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA INVESTIGACIÓN OPERATIVA I QUINTO SEMESTRE “A” YAMBAY JOSSELIN Página 18 No tienen solución