Programacion dinamica

PROGRAMACION DINAMICA
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 La Programación Dinámica es un método de optimización de extraordinaria
versatilidad. Si bien fue desarrollada especialmente para la resolución de problemas
en Procesos de Decisión en Múltiples Pasos, diferentes investigaciones han
mostrado que las mismas ideas pueden utilizarse en otro tipo de problemas de
matemática aplicada, e incluso pueden ser útiles en el planteo de algunas cuestiones
teóricas. Habiendo surgido en los inicios de la época de las computadoras, la
Programación Dinámica fue, además, concebida con un ojo puesto en esta potente
herramienta. La Ecuación Funcional que se obtiene, para cada problema, a través
del uso del Principio de Optimalidad de Bellman permite, con mayor o menor
esfuerzo dependiendo del caso, establecer una recurrencia que es, en sí misma, un
algoritmo que resuelve el problema en cuestión.
 El objetivo de esta presentacion es brindar informacion sobre la programacion
dinamica y sus diferentes temas. Persiguiendo este n, procuramos, en la medida en
que el espacio lo permitió, exponer todos los pasos de cada razonamiento y los
elementos teóricos básicos para su comprensión.
INTRODUCCION

 En informática,
la programación
dinámica es un método para
reducir el tiempo de
ejecución de
un algoritmo mediante la
utilización de subproblemas
superpuestos y subestructur
as óptimas, como se
describe a continuación.
 El matemático Richard
Bellman inventó
la programación
dinámica en 1953 que se
utiliza para optimizar
problemas complejos que
pueden ser discretizados y
secuencializados.
PROGRAMACION DINAMICA
ETAPAS:
Se pueden definir como cada uno
de los pasos que se deben seguir
para llegar al objetivo. Las
representamos por líneas
discontinuas.
ESTADOS:
Son las diversas condiciones
posibles en la que
el sistema podría estar en esa
etapa del problema. Se
representan por círculos

 La programación dinámica no cuenta con una formulación matemática
estándar, sino que se trata de un enfoque de tipo general para la solución
de problemas, y las ecuaciones específicas que se usan se deben
desarrollar para que representen cada situación individual.
 Comúnmente resuelve el problema por etapas, en donde cada etapa
interviene exactamente una variable de optimización (u optimizadora)
 La teoría unificadora fundamental de la programación dinámica es el
Principio de Optimalidad, que nos indica básicamente como se puede
resolver un problema adecuadamente descompuesto en etapas
utilizando cálculos recursivos.
 “Una política óptima tiene la propiedad de que, independientemente de
las decisiones tomadas para llegar a un estado particular, en una etapa
particular, las decisiones restantes deben constituir una política óptima
para abandonar ese estado”
FORMULACIÓN Y SOLUCIÓN DE
PROBLEMAS

 Un grado de creatividad
 Un buen conocimiento de la
estructura general de los
problemas de programación
dinámica para reconocer cuando
un problema se puede resolver
por medio de estos
procedimientos y como esto se
puede llevar a cabo.
PARA RESOLVER PROBLEMAS DE
PROGRAMACIÓN DINÁMICA SE
NECESITA:

CARACTERÍSTICAS DE LOS
PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN
DINÁMICA
El problema se puede dividir
en etapas que requieren una
política de decisión en cada
una.
Cada etapa tiene cierto
número de estados
asociados a ella
El efecto de la política de
decisión en cada etapa es
transformar el estado actual en
un estado asociado con la
siguiente etapa.
El procedimiento de solución
esta diseñado para encontrar
una política óptima para el
problema completo.

Existen dos formas de plantear la fórmula de recursividad en los
problemas de programación dinámica:
 Recursividad de Retroceso: el problema se resuelva partiendo
de la última etapa hacia la primera.
 Recursividad de Avance: el problema se resuelve partiendo de
la primera etapa hacia la última.
RECURSIVIDAD

Un caza fortunas de Missouri decide irse al oeste a unirse a la
fiebre del oro en California . Tiene que hacer el viaje en diligencia
a través de territorios sin ley donde existían serios peligros de
ser atacados por merodeadores. Aún cuando su punto de
partida y destino eran fijos, tenia muchas opciones en cuanto a
que estados debía elegir como puntos intermedios. Se desea
estimar la ruta mas segura , como el costo de la póliza para
cualquier jornada de la diligencia esta basada en una evaluación
de seguridad del recorrido, la ruta mas segura debe ser aquella
que tenga el costo total mas barato.
 ¿Cuál es la ruta que minimiza el costo total de la póliza ?
EJEMPLO PROTOTIPO (EL
PROBLEMA DE LA DILIGENCIA)

SISTEMA DE CAMINOS Y LOS COSTOS
DEL PROBLEMA DE LA DILIGENCIA

Los cálculos se realizan en etapas dividiendo el problema en
subproblemas.
 Después, se considera por separado cada subproblema con el
fin de reducir el número de operaciones de cálculo.
 Se comienza con una pequeña porción del problema original y
se encuentra la solución optima.
 Luego, se agranda gradualmente el problema y se encuentra la
solución óptima actual a partir de la que le precede , hasta
resolver el problema original completo.
 En cada problema aumentado se puede encontrar la solución
óptima tomando en cuenta los resultados obtenidos en la
interacción anterior.
SOLUCIÓN

Para este caso se empleará el desarrollo del problema
con un recorrido hacia atrás. Cuando el cazafortunas
tiene una sola etapa por recorrer (n=4), su ruta de ahí
en adelante esta perfectamente determinada por su
estado actual (ya sea H o I) y su destino final, x4 = J , de
manera que la ruta para esta ultima jornada en
diligencias es s J La solución al problema es:
 f * 4 (H) = 3 f * 4 (I) = 4
PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

Se trabaja de manera similar con los otros dos estados
posibles s=E y s=G, cuando quedan dos jornadas por
viajar,los resultados son:
 f * 3 (E) = 4
 f * 3 (F) = 7
 f * 3 (G) = 6
PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN

 Un árbol binario no es más que una estructura de datos cuyos nodos
pueden tener un hijo a la izquierda o a la derecha ( no más de 2). Por lo
tanto un árbol binario de búsqueda no es más que un tipo de árbol binario
cuya estructura de árbol se representa en informática.
Arboles Binarios de Búsqueda
Óptimos
Estos árboles pueden realizar operaciones de:
Búsqueda : La búsqueda en un árbol binario de búsqueda consiste en acceder a la raíz del árbol, si el
elemento a localizar coincide con éste la búsqueda ha concluido con éxito, si el elemento es menor se
busca en el subárbol izquierdo y si es mayor en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no
ha sido encontrado es que no existe en el árbol. Estas búsquedas son bastantes eficientes teniendo un
máximo de comparaciones en el rango de [log2(N+1)] y N
Insertado: La inserción es similar a la búsqueda y se puede dar una solución tanto iterativa como
recursiva. Si tenemos inicialmente como parámetro un árbol vacío se crea un nuevo nodo como único
contenido el elemento a insertar. Si no lo está, se comprueba si el elemento dado es menor que la raíz
del árbol inicial con lo que se inserta en el subárbol izquierdo y si es mayor se inserta en el subárbol
derecho.
Borrado: esta operación es más compleja y hay que tener en cuenta a borrar un nodo hija o padre el
impacto que tendrá en la estructura del mismo.

 R. Bellman, «On the Theory of Dynamic
Programming», Proceedings of the National Academy
of Sciences 38(8):716-719, 1952
 L.L. Cooper, M.W. Cooper, Introduction to dynamic
programming, Pergamon Press, Elmsford NY, 1981
 C. Cotta, Programación dinámica. Introducción y
ejercicios resueltos, UMA Editorial, Málaga, 2018
 G.L. Nemhauser, Introduction to dynamic
programming, Wiley & Sons, New York NY, 1967.
BIBLIOGRAFIA

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