Programacion Dinamica
- 1. República Bolivariana de Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Politécnico Santiago Mariño Extensión-Maracay 2do corte Alumno: Luis Cabanerio C.I. 26.336.324 Sección SA
- 2. Introducción Una subestructura óptima significa que se pueden usar soluciones óptimas de subproblemas para encontrar la solución óptima del problema en su conjunto. Por ejemplo, el camino más corto entre dos vértices de un Grafo se puede encontrar calculando primero el camino más corto al objetivo desde todos los vértices adyacentes al de partida, y después usando estas soluciones para elegir el mejor camino de todos ellos. En general, se pueden resolver problemas con subestructuras óptimas siguiendo estos tres pasos: • Dividir el problema en subproblemas más pequeños. • Resolver estos problemas de manera óptima usando este proceso de tres pasos recursivamente. • Usar estas soluciones óptimas para construir una solución óptima al problema original.
- 3. Definiciones y etapas En informática, la programación dinámica es un método para reducir el tiempo de ejecución de un algoritmo mediante la utilización de subproblemas superpuestos y subestructuras óptimas Elementos que intervienen en un problema de programación dinámica: 1.- ETAPAS: Se pueden definir como cada uno de los pasos que se deben seguir para llegar al objetivo. Las representamos por líneas discontinuas. 2.- ESTADOS: Son las diversas condiciones posibles en la que el sistema podría estar en esa etapa del problema. Se representan por círculos. 3.- POLÍTICA: Es cualquiera de los caminos que llevan de la primera a la última etapa. 4.- SUBPOLÍTICA: Es un subconjunto de la política.
- 4. Características 1.- Una de las características esenciales es la toma de decisiones en secuencia. 2.- El problema se puede dividir en etapas, las cuales requieren de una política de decisión, en cada una de ellas. 3.- Es necesarios conocer pocos datos para describir el problema en cada etapa. 4.- La dependencia del resultado de las decisiones de una pequeña cantidad de variables. 5.- En cualquier etapa, el resultado de una decisión, altera los valores numéricos de la pequeña cantidad de variables relacionadas con el problema.
- 5. Esquema de una etapa ETAPA i RESTO E S T A D O S Qi X il …. X ij …. X iJ Qi Variable de estado en la etapa i Xij Uno d los valore que puede adoptar la variable de decisión XI en la etapa i XI* Decisión optima de la etapa i
- 6. Formulación y solución de problemas La programación dinámica no cuenta con una formulación matemática estándar, sino que se trata de un enfoque de tipo general para la solución de problemas, y las ecuaciones específicas que se usan se deben desarrollar para que representen cada situación individual. Comúnmente resuelve el problema por etapas, en donde cada etapa interviene exactamente una variable de optimización (u optimizadora)
- 7. Para resolver problemas de programación dinámica se necesita: • Un grado de creatividad • Un buen conocimiento de la estructura general de los problemas de programación dinámica para reconocer cuando un problema se puede resolver por medio de estos procedimientos y como esto se puede llevar a cabo.
- 8. Características de los problemas de los programas de programación dinámica: • El problema se puede dividir en etapas que requieren una política de decisión en cada una. • Cada etapa tiene cierto número de estados asociados a ella. • El efecto de la política de decisión en cada etapa es transformar el estado actual en un estado asociado con la siguiente etapa. • El procedimiento de solución esta diseñado para encontrar una política óptima para el problema completo.
- 9. Recursividad Existen dos formas de plantear la fórmula de recursividad en los problemas de programación dinámica: • Recursividad de Retroceso: el problema se resuelva partiendo de la última etapa hacia la primera. • Recursividad de Avance: el problema se resuelve partiendo de la primera etapa hacia la última. Las formulaciones de avance y retroceso son en realidad equivalentes en términos de cálculo. Sin embargo, hay situaciones donde habría alguna diferencia, en la eficiencia del cálculo, según la formulación que se utilice. Esto sucede en particular en problemas donde intervine la toma de decisiones conforme transcurre el tiempo. En esto caso las etapas se designan con base en el estricto orden cronológico de los periodos que ellas representan y la eficiencia de los cálculos dependerá de si se utiliza formulación de avance o retroceso.
- 10. El problema de la diligencia Un caza fortunas de Missouri decide irse al oeste a unirse a la fiebre del oro en California . Tiene que hacer el viaje en diligencia a través de territorios sin ley donde existían serios peligros de ser atacados por merodeadores. Aún cuando su punto de partida y destino eran fijos, tenia muchas opciones en cuanto a que estados debía elegir como puntos intermedios. Se desea estimar la ruta mas segura , como el costo de la póliza para cualquier jornada de la diligencia esta basada en una evaluación de seguridad del recorrido, la ruta mas segura debe ser aquella que tenga el costo total mas barato. ¿Cuál es la ruta que minimiza el costo total de la póliza ?
- 11. Sistema de caminos y los costos del problema de la diligencias A B C C E F G H I J Missouri California 2 4 3 5 1 4 4 6 3 7 1 4 6 3 3 3 3 4 Costos de transición 2 4 3A B C D 7 4 6 3 2 4 4 1 5 E F G B C D 1 4 6 3 3 3 H I E F G 3 4 H I J
- 12. Arboles binarios de búsqueda óptimos Sea A un árbol binario de raíz R e hijos izquierdo y derecho (posiblemente nulos) HI y HD , respectivamente. Decimos que A es un árbol binario de búsqueda (ABB) si y solo si se satisfacen las dos condiciones al mismo tiempo: • "HI es vacío" {displaystyle lor } lor ("R es mayor que todo elemento de HI" {displaystyle land } land "HI es un ABB"). • "HD es vacío" {displaystyle lor } lor ("R es menor que todo elemento de HD" {displaystyle land } land "HD es un ABB"). Donde " {displaystyle land } land" es la conjunción lógica "y", y " {displaystyle lor } lor" es la disyunción lógica "o".
- 13. El problema del vendedor viajero El problema del vendedor viajero, problema del vendedor ambulante, problema del agente viajero o problema del viajante (TSP por sus siglas en inglés (Travelling Salesman Problem)), responde a la siguiente pregunta: dada una lista de ciudades y las distancias entre cada par de ellas, ¿cuál es la ruta más corta posible que visita cada ciudad exactamente una vez y al finalizar regresa a la ciudad origen? Este es un problema NP-Hard dentro en la optimización combinatoria, muy importante en investigación operativa y en ciencias de la computación. El problema fue formulado por primera vez en 1930 y es uno de los problemas de optimización más estudiados. Es usado como prueba para muchos métodos de optimización. Aunque el problema es computacionalmente complejo, se conoce gran cantidad de heurísticas y métodos exactos, así que es posible resover planteamientos concretos del problema desde cien hasta miles de ciudades.
- 14. Estructura de la programación dinámica Todo problema de programación dinámica debe reunir los siguientes pasos: a.- El problema se divide en etapas, con una política de decisión requerida en cada etapa. b.- Cada etapa tiene algunos estados asociados. c.- Cada problema debe tener una variable de estado; la cual nos dice todo lo que necesitamos saber sobre el sistema, a fin de tomar decisiones. d.- Cada estado debe contar con una decisión, la cual es una oportunidad para cambiar las variables de estado en una forma probabilística. e.- El efecto de una decisión a cada etapa es transformar el estado corriente (actual), en uno asociado con la próxima etapa. f.- Dado el estado corriente, la política óptima para las etapas que quedan es independiente a la política adoptada en etapas anteriores. En este caso “etapa anterior”, significa tiempo
- 15. Conclusión Un problema de optimización que se pueda dividir en etapas y que sea dinámico en el tiempo puede resolverse por programación dinámica. Las soluciones se pueden ver de manera parcial. Si es posible se validan los resultados usando otros métodos de solución como programación lineal, no lineal, entera o teoría de redes