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- 1. Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos
- 2. Desarrollo del pensamiento algebraico Bloque 1 Uso del código algebraico para expresar las reglas que gobiernan los patrones numéricos Presentación Este bloque de actividades tiene dos propósitos: (i) Presentarte un acercamiento alternativo para el estudio del álgebra con la finalidad de reavi- var los conocimientos matemáticos que adquiriste en tus estudios en el bachi- llerato y (ii) Sujetar a tu análisis una propuesta didáctica en la que se aplican las facilidades que ofrece un procesador algebraico para favorecer el aprendi- zaje del álgebra como un lenguaje que permite expresar y justificar generali- zaciones sobre el comportamiento de patrones numéricos. Las actividades de este bloque, y los demás que conforman este libro, están diseñadas de acuerdo con un precepto teórico desarrollado por el psicó- logo Jerome Bruner. Este precepto teórico consiste en el establecimiento de un formato de comunicación entre el que enseña con el que va a aprender de él, este formato, aunque aparentemente es rígido, ofrece una flexibilidad que permite introducir sutilmente nuevos elementos del código de comunicación, en nuestro caso, del código algebraico. La presentación de las actividades pa- rece repetitiva, sin embargo no lo es, siempre hay algún nuevo elemento ma- temático al pasar de una hoja de trabajo a otra, ya sea el tipo de valores numéricos que se emplean o algún nuevo elemento en la estructura algebraica de las expresiones que se inducen en cada actividad. Por ejemplo, se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las inversas de esas funciones. Se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecua- ciones lineales con una incógnita; del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico al ámbito de la lectura de esas expresiones. Te invitamos que analices estas actividades bajo la perspectiva del tipo de aprendizaje matemático que los alumnos de educación básica pueden des- arrollar si ellos las realizan. Nuestra mayor expectativa es que tu análisis se vea enriquecido cada vez que concluyas un bloque de actividades, con lo que estarás propiciando el desarrollo de competencias docentes que en un futuro cercano pondrás en práctica como docente de educación básica. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 3. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 1 Patrones numéricos: Valores de entrada y salida Valor de Valor de Un estudiante tecleó en su entrada salida calculadora una expresión al- 1 5 gebraica que produce lo si- 2 6 guiente: 3 7 Si el valor de entrada es 1 el 4 8 programa da por resultado 5; 5 9 si introduce 2, da por resulta- do 6, y así sucesivamente. 1. ¿Qué resultado va a dar la calculadora tecleas 6 como valor de entrada? __________ ¿Si es 10 ? __________ ¿Si el valor de entrada es 0? _______________________ ¿Qué operación hiciste para obtener esos resultados? __________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Puedes construir una expresión algebraica para que tu calculadora produzca los mis- mos resultados que la de ese estudiante? Escribe tu expresión en el cuadro de abajo. 3. Usa el programa que hiciste para encontrar los números que faltan en la tabla. Valor de 17 35.02 89.73 107.06 299.1 307.09 entrada Valor de 511 613.03 salida ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores asociados a 511 y 613.03? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 511 es el correcto? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 4. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 2 Valores proporcionales (1) Valor de Valor de 1. Se tecleó en la calculadora una expresión algebraica que entrada salida produce esta tabla de valores. 7 14 8 16 9 18 15 30 18 32 2. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 5? _________________ ¿ Si es 25? ___________________ ¿Si es 17? ____________________________ ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener esos resultados? ________________ ___________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores? Escribe tu programa en el cuadro de abajo. 3. Teclea en tu calculadora el programa que hiciste para encontrar los valores que faltan en esta tabla. Valor de 25 37.03 59.83 117.18 136.1 200.79 entrada Valor de 551 653.38 salida 4. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada pa- ra 551 y 653.38? ______________________________________________________ 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 653.38 es correc- to? _____________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 5. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 3 Valores proporcionales (2) 1. Completa la siguiente tabla. Valor de Valor de entrada salida 2.5 7.5 3.1 9.3 4 12 5.3 6.2 47.4 73 3. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para obtener los valores que faltan en la tabla? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4. ¿Puedes programar tu calculadora para encontrar los valores de salida? Escribe tu programa en el cuadro de abajo. 5. Comprueba que tu programa permite obtener los mismos valores que se muestran en la tabla. 6. Completa la tabla de abajo usando el programa que construiste. 9 17 18.04 47.01 50.4 63.9 89.1 92.4 6. ¿Qué operaciones aritméticas hizo tu programa para obtener los valores de entrada asociados a 89.1 y 92.4? ________________________________________________ ___________________________________________________________________ 7. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 92.4 es correcto? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 6. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 4 Reglas de dos pasos (1) Valor de Valor de Un estudiante produjo la tabla de la izquierda usando un pro- entrada salida grama. 1.1 3.2 2.6 6.2 3 7 4.3 9.6 5 11 1. ¿Qué valor de salida va a dar la calculadora si el valor de entrada es 50? _________________ ¿Si es 81? _____________ ¿Y si es 274? ______________ 2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores de salida? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga produzca la misma tabla de valores? Escribe tu programa en el cuadro de abajo. 4. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Valor 12 16 19.05 48.02 51.45 62.7 de en- trada Valor 88.2 95.4 de sali- da 5. Ese estudiante afirma que puede usar el programa que hiciste para comprobar que 88.2 es el valor de salida correcto ¿Estás de acuerdo con él? _________________ Indica con la mayor precisión posible cómo puedes usar tu programa para comprobar que el valor que obtuviste para 95.4 es el correcto. ________________________________________ ___________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 7. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 5 Reglas de dos pasos (2) Un estudiante construyó un programa que hace lo siguiente: Valor de Valor de entrada salida 1 1 2 3 3 5 4 7 5 9 1. ¿Qué resultado dará la calculadora si el valor de entrada es 6? ____________ ¿Si es 7? __________________ ¿Si es 15? ______________________________ 2. ¿Qué operaciones aritméticas hizo el programa para obtener esos valores? ________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. Programa tu calculadora para que produzca la misma tabla que hizo ese estudiante. Escribe tu programa en el cuadro de la derecha. Comprueba que tu programa produce los mismos valores de salida que se muestran en la tabla. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de 10 11 15 27 259.14 entrada Valor de 25 137 salida 5. ¿Cómo puedes comprobar que el valor de entrada que obtuviste para 137 es correcto? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 8. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 6 Patrones con valores negativos (1) 1. Completa la siguiente tabla. -10 -9.7 -7.8 -6.2 -5.3 -4.6 -0.7 0 1.3 12.4 -9.5 -9.2 - 7.3 -5.7 2. ¿Puedes programar tu calculadora para que haga el trabajo de completar la tabla?. Escribe tu programa en el cuadro de la de- recha. Usa el programa que hiciste para obtener los valores que se muestran en la tabla ante- rior. ¿Pudiste obtener los mismos valores? _____________ Si no es así, modifica tu programa e intenta de nuevo. 3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste. -20 -14.7 -13.8 -12.3 -9.6 2.5 -10.3 0 4. Usa tu programa para comprobar que los valores de entrada que obtuviste para -10.3 y 0 son correctos. ¿Obtuviste los mismos valores? ________ Si no, modifica tu progra- ma e intenta de nuevo. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 9. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 7 Patrones con valores negativos (2) Valor de Valor de Encuentra los valores que faltan. entrada salida -15 -16.5 -14.5 -16 -12.4 -13.9 -10.2 -11.7 -5.8 -4.6 -0.9 0 1. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar los valores que faltan en la tabla? Escribe un ejemplo usando uno de los valores de entrada de la tabla. ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2. ¿Puedes programar tu calculadora para reproducir los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la de- recha. Asegúrate de que tu programa permite en- contrar los mismos valores que se muestran en la tabla. 3. Completa la siguiente tabla usando el programa que hiciste. -20 -13.8 -10.83 -.05 -17.3 -11.9 -9.72 10 4. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor de entrada que obtuvis- te para -9.72 es correcto. ________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 10. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 8 Constante de proporcionalidad fraccionaria (1) Se construyó la siguiente tabla usando un programa: Valor de Valor de entrada salida 10.5 5.25 14.42 7.21 15.3 7.65 16.7 8.35 20.1 10.05 1. ¿Qué resultado producirá la calculadora si el valor de entrada es 6? _____________ ¿Si es 19.3? ___________ ¿Si es 56? ___________ ¿Si es 177? ______________ 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe- ros(as) pueda entenderte. ____________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la misma tabla? Escríbelo en el cuadro de abajo. Comprueba que tu programa te permite obtener los mismos valores que se muestran en la tabla. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 11. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 9 Constante de proporcionalidad fraccionaria (2) Valor de Valor de Se produjo esta tabla usando un programa en la calculadora: entrada salida 6 9 8 12 14 21 15 22.5 18 27 1. ¿Qué resultado me va a dar la calculadora el valor de entrada es 10? ______________ ¿Si es 13.4? __________________ ¿Si es 15.6? ____________ 2. Explica cómo obtuviste esos resultados de manera que cualquiera de tus compañe- ros(as) pueda entenderte _____________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca los mismos valores que se mues- tran n la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de abajo. 4. Usa tu programa para completar la siguiente tabla. Valor de 20 35 44 72 entrada Valor de 33 57 75 123 salida 5. Explica cómo usarías tu programa para comprobar que el valor que encontraste para 57 es el correcto. _________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 12. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 10 Constante de proporcionalidad fraccionaria (3) 4 4.04 ¿Puedes encontrar los valores que faltan? 6 6.06 9 9.09 10 10.1 12 12.12 15.5 17.8 19.2 20.4 50.2 1. Explica cómo encontraste el valor asociado a 15.5 de manera que cualquiera de tus compañeros(as) pueda entenderte. ______________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 2. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener los valores de la tabla? Escribe tu programa en el cuadro de la derecha. Comprueba que tu programa produce los mismos números que aparecen en la tabla. Si no, modifícalo e intenta de nuevo. 3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. 1 3.1 9 32 2.222 4.343 12.12 38.784 4. Explica cómo puedes comprobar que el valor que obtuviste para 38.784 es el correcto. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 13. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 11 Lectura de expresiones algebraicas (1) 1. Se va a usar el programa Número de Número de entrada salida 2+2×b para completar esta 3 tabla. Encuentra los valores que faltan sin usar la calcu- 9 ladora. 11.5 12 15 18 Teclea ese programa en tu calculadora y comprueba si tus respuestas son correctas. Si tus respuestas no fueron correcta corrígelas de acuerdo con lo que obtuviste en la calcu- ladora y explica a qué se debió tu error. 2. Observa el programa 3+5×a. Sin usar la calculadora, completa la siguiente tabla de acuerdo con los valores que ese programa produciría. Valor de 2 4 5 8 12 20 entrada Valor de 53 78 salida 3. Teclea el programa en tu calculadora y úsalo para comprobar tus respuestas. ¿Tus res- puestas coincidieron con los resultados que te da la calculadora? ________________ Si no fue así, ¿a qué crees que se deba que sean distintos tus resultados y los de la calculadora?_______________________________________________________ ________________________________________________________________ 4. Teclea en tu calculadora el programa (3+5)×a y completa la siguiente tabla. Valor de 2 4 5 8 12 20 entrada Valor de 53 78 salida 5. Compara los resultados que obtuviste con los de la tabla del inciso (2). ¿A qué crees que se deban las diferencias? Explícalo con un ejemplo _______________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 14. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 12 Lectura de expresiones algebraicas (2) La siguiente tabla se produjo con un programa en la calculadora: 7 23 9 29 10 32 12 38 16 50 1. Un estudiante dice que el programa 2+3×b le permite producir los valores de esa tabla. ¿Estás de acuerdo con él? ___________ Escribe un ejemplo que tu justifique tu res- puesta ________________________________________________________ 2. Una estudiante dice que el programa 2+b+b×2 también produce los valores de esa ta- bla. ¿Estás de acuerdo con ella? ________________ Escribe un ejemplo que justifi- que tu respuesta. __________________________________________________ 3. Otra estudiante dice que el programa 5×a+2−2×a también produce los valores de esa tabla. ¿Estás de acuerdo con ella? ___________ Escribe dos ejemplos que justifiquen tu respuesta. ___________________________________________________ 4. ¿Puedes encontrar otro programa que permita obtener los valores de esa tabla? Escri- be todos los programas que encuentres. _____________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 15. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 13 Reglas de dos pasos (3) 1. Una estudiante hizo un programa que proce la siguiente ta- bla: Valor de Valor de entrada salida 7 20 7.5 21.5 8.2 23.6 9 26 9.6 27.8 2. Si el valor de entrada es 10, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________ Si el valor de entrada es 12, ¿qué valor de salida dará la calculadora? _____________ 3. La calculadora dio 17.5 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________ Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 17.5. ______ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 4. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la tabla del inciso (1)? Es- cribe tu programa en el recuadro. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Valor de 3 5.1 9.4 22 entrada Valor de 17 15.2 32.6 80 salida Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 16. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 14 Constante de proporcionalidad fraccionaria (4) Valor de Valor de 1. Una estudiante hizo un programa que produce lo si- entrada salida guiente: 10 2.5 15 3.75 20 5 25 6.25 30 7.5 2. Si el valor de entrada es 56, ¿qué valor de salida arrojará la calculadora? ________ 3. Si la calculadora da 87 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? _________ 4. Explica con detalle qué hiciste para encontrar el valor asociado a 87 ____________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 5. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la tabla del inciso (1)? Es- cribe tu programa en el recuadro. 6. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Valor de 3 5.1 9.4 22 entrada Valor de 1 1.65 2.7 8.75 salida Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 17. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 15 1. Un estudiante hizo un programa que produce la siguiente 2 5 tabla: 3 7.5 4 10 5 12.5 2. Si el valor de entrada es 6, ¿qué valor de salida va a dar la calculadora? __________ 3. ¿Si el valor de entrada es 7? _______________ ¿Si es 55? __________________ 4. La calculadora dio 35 como valor de salida. ¿Cuál es el valor de entrada? __________ 5. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 35? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 6. ¿Puedes programar tu calculadora para 7. que haga produzca la tabla del inciso (1)? Escribe tu programa en el recuadro. 8. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Valor de 3 5.1 9.4 12.2 entrada Valor de 8.5 15.5 23.5 35 salida Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 18. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 16 Constante de proporcionalidad fraccionaria (5) 0.15 0.015 1. Esta tabla se hizo utilizando un programa. 0.27 0.027 0.3 0.03 1.5 0.15 2.03 0.203 2. Si el valor de entrada es 10 ¿qué valor de salida dará la calculadora? ____________ 3. La calculadora dio 37 como valor de salida, ¿cuál es el valor de entrada? __________ 4. ¿Qué operaciones aritméticas hiciste para encontrar el valor asociado a 37? _______ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 4. ¿Cómo puedes comprobar que el valor que asociado a 37 es el correcto? Explícalo con detalle. ______________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 5. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca la tabla del inciso (1)? Es- cribe tu programa en el recuadro. 6. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. 3 5.1 9.4 12.2 0.4 0.63 1.18 35 Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 19. Desarrollo del pensamiento algebraico Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo- que explica el papel que desempeñan las tablas de valores en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute amplia- mente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor. 2. Con base en la experiencia que has vivido al realizar las actividades de este blo- que explica el papel que desempeña el uso de un procesador algebraico en este acercamiento didáctico. ¿Puede sustituirse ese papel con otro tipo de recurso? Discute ampliamente tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor. 3. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas se transita del ámbito de las funciones lineales al de las ecuaciones lineales con una incógnita. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sus- tento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu pro- fesor. 4. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas “se transita de las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b, a las in- versas de esas funciones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede en- contrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañeros(as) y tu profesor. 5. En la presentación de este bloque de actividades se afirma que a través de ellas “se transita del ámbito de la producción de expresiones algebraicas para expresar la regla que gobierna el comportamiento de un patrón numérico, al ámbito de la lectura de esas expresiones”. Identifica en qué parte de las actividades se puede encontrar sustento para esa afirmación. Discute tu respuesta con tus compañe- ros(as) y tu profesor. 6. En la presentación de este bloque de actividades se mencionan las funciones de la forma f(x)=x+a, f(x)=ax y f(x)=ax+b. Indaga en fuentes bibliográficas o en Inter- net cuáles son las definiciones de los siguientes conceptos: (i) Dominio de una función. (ii) Contradominio de una función. (iii) Imagen de una función. (iv) Regla de correspondencia de una función. Ejemplifica esos conceptos con extractos de las actividades que has realizado en este bloque. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz