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Este documento describe un bloque de actividades para el desarrollo del pensamiento algebraico en estudiantes de educación básica. El propósito es extender el uso del álgebra en la resolución de problemas que involucran conceptos como área, perímetro y porcentaje, así como la formulación de conjeturas. Se abordan problemas que requieren el uso de expresiones algebraicas y paréntesis. El bloque concluye con problemas que invitan a formular conjeturas sobre propiedades numéricas.
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- 1. Bloque 6 El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas
- 2. Desarrollo del pensamiento algebraico Bloque 6 El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas El propósito esencial de este bloque de actividades es extender el uso del código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que involu- cran los conceptos de área, perímetro y porcentaje y a la formulación de con- jeturas sobre situaciones más abstractas relativas a propiedades del sistema de numeración decimal y la paridad de los números enteros. En la primera sección de actividades se acude al apoyo visual que pro- porcionan los patrones geométricos para propiciar el desarrollo de habilidades para identificar patrones numéricos más sofisticados. De la misma manera, se abordan situaciones que involucran los conceptos de área y perímetro para in- troducir relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones al- gebraicas donde es necesario el uso de paréntesis como signos de agrupación. En la tercera sección se abordan problemas que involucran el concepto de porcentaje, también en estos casos es necesario emplear paréntesis como signos de agrupación. El planteamiento y resolución de los problemas propues- tos en esta sección y en la anterior ya no descansa en el reconocimiento de un patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos que se proporcionan y su representación mediante expresiones algebraicas. El elemento que se mantiene presente es la noción de función (programa) que se ha venido cultivando en los bloques 1-5. En la cuarta sección se plantean problemas que se ubican en un con- texto estrictamente matemático, estos problemas involucran la representación algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos de números en el contexto del sistema de numeración decimal. La sección se cierra con problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números enteros. Como en los bloques anteriores, te invitamos a que realices estas acti- vidades reflexionando sistemáticamente sobre el tipo de aprendizajes y compe- tencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas y también sobre los momentos en que puedan tener dificultades y las estrategias didácticas para ayudarles a superarlas. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 3. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 47 PATRONES GEOMÉTRICOS 1 Observa las siguientes figuras. 1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión. 2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar construir la figura que va en el lugar número 17? _____________________ número 100? ____________________ Nota que la figura 1 tiene un cuadrado, que la figura 2 tiene tres cuadrados, que la figura 3 tiene cinco cuadrados, etc. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayudaría a con- testar esta pregunta. 4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla? Lugar que ocupa la Número de cuadrados figura en la sucesión que se necesitan 48 75 123 351 411 507 Escribe sobre la línea el programa que hiciste. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 4. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 48 PATRONES GEOMÉTRICOS 2 Observa la siguiente sucesión de figuras. ... 1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión. 2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar construir la figura que va en el lugar número 9? _______________________ número 17? ____________________ 4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. ¿Puedes crear un programa para completar la siguiente tabla? Lugar que ocupa la Número de cuadrados figura en la sucesión que se necesitan 48 75 123 427 469 601 Escribe sobre la línea el programa que hiciste. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 5. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 49 PATRONES GEOMÉTRICOS 3 Observa la siguiente sucesión de figuras. 1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión. 2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para 3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan construir el marco del cuadrado gris en para construir el marco del cuadra- la figura que va en el lugar número 27? do gris en la figura que va en el lu- _____________________________ gar número 40? _______________ 4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla? Lugar que ocupa la Número de cuadrados figura en la sucesión que se usan en el marco 48 75 704 772 840 Escribe sobre la línea el programa que hiciste. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 6. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 50 VENTANAS En la sala de escultura de un museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes características: Las ventanas tienen distintas medidas, pero en todas la altura mide el triple de lo que mide el ancho. 1. ¿Puedes completar la siguiente tabla? Ancho de la ventana 0.75m 0.86 1.28 Altura de la ventana 3.51 4.23 2. Los marcos de las ventanas están hechos con madera cuyo precio por metro es $53.00. Contesta lo siguiente usando esa información. a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.5 metros de ancho? ___________________________________________________________________ b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. ¿Puedes hacer un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala del museo? Escribe tu programa sobre la línea de abajo. _____________________________________ 4. Explica con claridad qué representa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del problema. ______________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 7. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 51 ALGO MÁS SOBRE VENTANAS En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes carac- terísticas: Las ventanas tienen distintas medidas, pero en todas su altura mide 50 cm menos que el triple de lo que mide el ancho. 1. ¿Puedes completar la siguiente tabla? Ancho 0.30m 0.45m 1.30m Altura 4.45m 6.55m 2. Los marcos de las ventanas están hechos de madera cuyo precio es $ 62.00 por me- tro. a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.3 metros de ancho? ________ b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo? ____________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ 3. ¿Puedes construir un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las ventanas de esa sala del museo? Escribe aquí tu programa y úsalo para completar la si- guiente tabla. Ancho de la ventana 0.35m 0.65m 0.84m 1.20m Costo del marco $334 4. Explica cómo razonaste para construir tu programa. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 8. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 52 MAQUETAS En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición de maquetas con diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las ma- quetas están colocadas en mesas con las siguientes características: El largo de cada mesa mide un metro más que el doble del ancho. En la figura de la derecha se muestran las cubiertas de algunas mesas. ancho largo 1. Completa la siguiente tabla. Ancho de la mesa Largo de la mesa 2. La madera con la que está construida la 1.40 metros cubierta de las mesas cuesta $155.00 por metro cuadrado. ¿Puedes programar 2.55 metros tu calculadora para obtener el costo de 3.45 metros la cubierta de esas mesas? Escribe tu 2.75 metros programa en la línea de abajo 6.5 metros ______________________________ 4.4 metros 3. ¿Puedes hacer un programa que te permita calcular el costo del marco para cualquiera de las ventanas de esa sala del museo? Escribe tu pro- grama en el cuadro de la derecha. 4. Para construir tu programa utilizaste una letra. Explica con detalle qué representa esa letra en términos de los datos del problema. _______________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 9. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 53 REBAJAS En una tienda de libros y discos están haciendo la siguiente oferta 15% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta. 1. Completa la siguiente tabla. Precio en la Cantidad que Precio de etiqueta se descuenta oferta $ 34.00 $ 18.75 $ 126.80 $ 28.50 $ 150.00 $ 72.35 $ 29.40 2. ¿Puedes construir un programa que haga lo siguiente? Si le das el precio de etiqueta te da por resultado el precio de oferta. Escribe en el cuadro de la derecha el pro- grama que hiciste. 3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla. Precio en la etiqueta Precio de oferta $ 84.00 $ 28.75 $ 226.80 $ 29.60 $ 140.00 $ 142.80 $ 144.50 4. En el programa que hiciste usaste una letra. Explica con detalle qué significa esa letra en términos de los datos del problema. ___________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 10. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 54 ¡DESCUENTO GENERAL! En una papelería están haciendo la siguiente oferta. 18% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta. 1. De acuerdo con esa información completa la siguiente tabla. Precio en la Cantidad que se Precio de oferta etiqueta descuenta $14.40 $17.10 $ 23.40 $ 45.00 $26.10 $ 30.60 $ 46.80 2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si el valor de entrada es la can- tidad que se descuenta, el valor de salida debe ser el precio de oferta. Escribe aquí tu programa: ________________________________________________ 3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si le das al programa la cantidad que se descuenta, te debe dar como resultado el precio marcado en la etiqueta. Escribe tu programa: ______________________________________________ 4. Usa los programas que hiciste para completar las siguientes tablas. a) Cantidad que se $ 15.40 $ 18.75 $ 8.90 $ 10.00 $ 14.35 descuenta Precio de oferta b) Cantidad que se $ 11.70 $6.75 $8.90 $8.40 $9.60 descuenta Precio marcado en la etiqueta 5. Para contestar la pregunta (2) construiste un programa. ¿Qué significa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del problema? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 11. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 55 BIENES RAÍCES Una empresa de bienes raíces está vendien- F do terrenos con las siguientes medidas: o n El fondo del terreno mide 30 metros más d que el doble de lo que mide el frente. o Frente De acuerdo con esos datos contesta lo siguiente. 1. El señor Pérez tuvo que usar 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró? ________________________________________________________________ 2. La señora Gómez tuvo que usar 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró? ________________________________________________________________ 3. La señora Rodríguez tuvo que usar 156 metros de tela de alambre para cercar el te- rreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró? _______________________________________________________________ 4. El señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos me- tros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno? ________________________________________________________________ 5. Explica cómo razonaste para dar respuesta a las preguntas anteriores. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 6. ¿Programaste tu calculadora para resolver los problemas anteriores? Si lo hiciste, escribe sobre la línea el programa que usaste. _______________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 12. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 56 ¿SI MODIFICO EL PERÍMETRO CAMBIA EL ÁREA? Una persona tiene un terreno que está junto a un arroyo. Compró 100 metros de ARROYO tela de alambre para cercar la parte de su terreno que no colinda con el arroyo. TERRENO Lado largo Lado corto Área del te- Esa persona quiere aprovechar que el rreno arroyo le sirve para limitar un lado de su 50 terreno y desea usar sus 100 metros de 30 cerca de manera que le quede un terreno 60 rectangular con la mayor área posible. 10 Eso depende de la medida de sus lados. 70 8 65 1. Completa la tabla que está a la derecha 58 para que observes eso. 55.5 54.8 53.4 50.2 50.15 2. ¿Puedes programar tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla? Si pudis- te hacerlo escribe tu programa en la línea de abajo ___________________________________ 3. ¿Cuáles son las medidas del lado Lado largo = _______________ m largo y del lado corto que debe te- ner el terreno para que su área sea Lado corto = _______________ m la mayor posible? Área = _________________ m2. 4) ¿Qué significa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del proble- ma? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 13. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 57 NUMEROS PALÍNDROMOS Observa los siguientes números. 131 1441 47874 1537351 327898723 ¿Qué característica especial tienen esos números? ______________________________ _______________________________________________________________________ A ese tipo de números se les llama números palíndromos. Un número palíndromo puede te- ner tres dígitos, o cuatro dígitos, o los que uno quiera. 1. Completa la siguiente tabla con números palíndromos que contengan el número de dígi- tos que se indica en cada caso. NÚMEROS PALÍNDROMOS Tres dígitos Cuatro dígitos Cinco dígitos Seis dígitos 2. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das dos dígitos te dé por resul- tado un palíndromo de tres dígitos? Para hacer esto construye un programa en el que incluyas uses dos letras. Escribe tu programa sobre la línea. ________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das dos dígitos te dé por resultado un palíndromo de cuatro dígitos? Escribe tu programa en el es- pacio de la derecha 4. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das tres dígitos te dé por resultado un palíndromo de seis dígitos? Escribe tu programa en el es- pacio de la derecha. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 14. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 58 NÚMEROS CONSECUTIVOS Observa los siguientes números. 678 123 789 234 1. ¿Qué característica especial tienen en esos números? __________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. Anota en los cuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica. 3. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das sólo un dígito, te dé por re- sultado un número de tres dígitos como los de los ejemplos anteriores? Escribe tu programa en el espacio de la derecha. 4. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca números como los que se mues- tran abajo usando como valor de entrada un número de un dígito? 1234 5678 4567 2345 3456 Escribe tu programa sobre la línea. ________________________________________ 5. Explica tan claramente como te sea posible cómo razonaste para construir tu progra- ma. _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 6. ¿Puedes hacer un programa que produzca números como los siguientes? 135 246 357 579 468 Anota aquí tu programa: _______________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 15. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 59 NÚMEROS PARES E IMPARES Se les llama números consecutivos a los números enteros que van uno enseguida del otro, como el 3 y el 4, el 11 y el 12, el 125 y el 126, etc. 1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo con él? _______ ¿Porqué? __________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 2. Haz un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea la suma de ese número y su consecutivo. Anota tu programa en el es- pacio de abajo. 3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números consecutivos el resultado siempre es un múltiplo de tres. ¿Estás de acuerdo con él? ______ ¿Porqué? _______________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ 3. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, te dé por resultado la suma de ese número y los dos números que le siguen en la suce- sión numérica? Si pudiste hacerlo escríbelo en el cuadro de abajo. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 16. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 60 CONJETURAS 1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos números consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo con ella? _________ ¿Porqué? ____ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ 2. Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor de salida sea el producto de ese número y su consecutivo. Escribe ese programa en el cuadro de abajo. 3. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números impares el resultado es un número par. ¿Estás de acuerdo con él? ____ ¿Porqué? __________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ 4. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es cualquier número entero, el valor de salida siempre sea un número impar? Si pudiste hacerlo escríbelo en el siguiente cuadro. Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 17. Desarrollo del pensamiento algebraico HOJA DE TRABAJO 61 UN JUEGO MATEMÁTICO 1. Piensa en un número entero que esté entre 1 y 10, a ese número súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10 el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos resultados que anotaste, ¿qué resultado final obtuviste? __________________________________________ 2. Un estudiante dice que siempre que haga esto va a obtener 20. ¿Estás de acuerdo? ________________ 3. Da un ejemplo que justifique tu respuesta. _________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________ 4. ¿Puedes hacer un programa que represente ese juego con números? Escríbelo en el cuadro de abajo. 5. En el programa que hiciste usaste una letra, ¿qué representa esa letra en términos de los elementos de ese juego? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender. _______________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 6. Una estudiante dice que siempre va dar lo mismo, no importa que empieces con un número mayor que 10. ¿Estás de acuerdo? __________ Da dos ejemplos que justifi- quen tu respuesta ______________________________________________________ _____________________________________________________________________ 7. Otro alumno dice que puedes empezar con cualquier número, ya sea negativo, positivo, e incluso con números decimales, y que siempre va dar lo mismo. ¿Estás de acuerdo con él? ____________________ Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 7. Un estudiante que dice que a2+a2 da los mismos valores que (a+b)2. ¿Estás de acuerdo con él? Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta. _________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Tenoch Cedillo y Valentín Cruz
- 18. Desarrollo del pensamiento algebraico Actividades que se sugieren para el futuro docente 1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques de actividades 1-6 se aborda el desarrollo de las habilidades y nociones matemáticas que a continuación se presentan e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: (i) in- troductorio, (ii) de fortalecimiento o (iii) de aplicación. - Reconocimiento de patrones numéricos. - Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamien- to de un patrón numérico. - Noción de función lineal. - Equivalencia de expresiones algebraicas. - Noción de función inversa de una función lineal. - Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. - Producción de expresiones algebraicas que contienen parénte- sis. - Simplificación de términos semejantes. - Noción de ecuación. - Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas. - Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas - Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones numéricos y/o resolución de problemas. 2. Indaga en las fuentes que consideres pertinentes a qué se le llama “paridad de los números enteros” y qué aplicaciones tiene esta noción en la resolución de proble- mas. Discute lo que encontraste con tus compañeros y tu profesor. 3. Redacta un ensayo de una cuartilla donde discutas el tipo de aprendizajes y com- petencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al realizar este tipo de actividades. 4. Redacta un breve ensayo donde reflexiones sobre el tipo de competencias docen- tes que desarrollaste al realizar las actividades de este bloque Tenoch Cedillo y Valentín Cruz