Rarepaso
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Este documento presenta una revisión teórica del control de procesos industriales continuos. Explica conceptos clave como modelos de procesos, realimentación, elementos de control, diseño de sistemas de control, clasificación de sistemas, respuesta temporal y de frecuencia, lugar de las raíces, funcionamiento y estabilidad de sistemas de control, y sistemas de tiempo discreto.
![6 CAP´
ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS
Amplificadores electr´nicos
o
Sistemas de control
Rob´tica
o
Sistemas din´micos lineales en general
a
Los paquetes inform´ticos denominados Computer Aided Control System Design (CACSD)
a
son de gran ayuda para estos menesteres. Algunos de ellos son Matlab y Scilab.
Par´metros y variables
a
En los modelos matem´ticos las magnitudes que evolucionan en el tiempo se llaman variables
a
del sistema o, a veces, se˜ales. Estas variables son funciones de la variable independiente t, que
n
representa el tiempo.
Las magnitudes que no evolucionan (o cuya evoluci´n no se tiene en cuenta) se llaman
o
par´metros del sistema.
a
En cada uno de los sistemas f´ ısicos que vamos a estudiar (mec´nicos, el´ctricos, t´rmicos, de
a e e
fluidos, t´rmicos y mixtos) existe un conjunto de variables y par´metros que lo caracterizan. En
e a
los sistemas el´ctricos, por ejemplo, las variables son el voltaje, la carga, la intensidad, el flujo
e
magn´tico, etc. mientras que los par´metros son la resistencia, el coeficiente de autoinducci´n, la
e a o
capacidad, etc. En los sistemas mec´nicos de translaci´n las principales variables que intervienen
a o
son la fuerza f , el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleraci´n a siendo sus par´metros
o a
significativos la masa m, el componente de rozamiento b y el componente de elasticidad k. En
los sistemas mec´nicos de rotaci´n estas variables son el momento T , el desplazamiento angular
a o
θ, la velocidad angular ω y la aceleraci´n α siendo sus par´metros significativos el momento de
o a
inercia J, el componente de rozamiento B y el componente de elasticidad K.
En los sistemas t´rmicos las variables son el flujo calor´
e ıfico q y la temperatura θ , y las
variables la resistencia t´rmica Rt y la capacitancia t´rmica Ct . Y, por ultimo, en los sistemas
e e ´
de fluidos las variables son el caudal f y la presi´n p y sus par´metros la resistencia del fluido
o a
Rf , la inductancia del fluido Lf y la capacitancia del fluido Cf [?, sec. 2.2].
Clase de Sistema Variables Par´metros
a
Sistemas Mec´nicos (tras.)
a f, x, v, a m, k, b
Sistemas Mec´nicos (rot.)
a T, θ, ω, α m, k, b
Sistemas El´ctricos
e v, i, φ R, L, C
Sistemas T´rmicos
e θ, q Rt , Ct
Sistemas de Fluidos p, f Rf , Cf
A pesar de las diferencias que existen entre las variables que caracterizan a las distintas clases de
sistemas f´
ısicos, existen ciertas semejanzas fundamentales que pueden y deben ser aprovechadas
de manera que la modelizaci´n resulte sencilla y a ser posible unificada para todos los sistemas.
o
1.2. La realimentaci´n en los sistemas de control
o
Un sistema de control sirve para controlar el valor de ciertas variables de salida por medio
de otras variables de entrada.
Hay dos procedimientos para ello denominados control en lazo abierto y control en lazo
cerrado. Veamos c´mo funcionan en el caso monovariable.
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-6-320.jpg)
![˜
1.4. DISENO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 9
1.4. Dise˜ o de los sistemas de control
n
Como hemos visto, la fase de an´lisis de un sistema tiene por objeto la obtenci´n de un
a o
modelo matem´tico a partir de observaciones y experiencias obtenidas a partir de un sistema
a
real.
El problema inverso consiste en la s´
ıntesis o dise˜o y construcci´n, si procede, de un deter-
n o
minado sistema a partir de un supuesto modelo. Este problema se denomina realizaci´n. o
La realizaci´n tiene en general una mayor dificultad que el an´lisis, precisando de la utiliza-
o a
ci´n de conceptos matem´ticos de cierta complejidad. La realizaci´n tiene adem´s la dificultad
o a o a
a˜adida del montaje y puesta a punto ya que resulta pr´cticamente imposible construir un sis-
n a
tema cuyo funcionamiento sea exactamente igual al previsto en el modelo. Por ello suele ser
necesario un proceso de aproximaciones sucesivas con repetidas fases de an´lisis-s´
a ıntesis.
1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precisi´n
o
Tanto en la fase de an´lisis como en la de s´
a ıntesis resulta de gran utilidad disponer de
m´todos de medida que permitan cuantificar el comportamiento din´mico de los sistemas. Estas
e a
medidas se efect´an en t´rminos de las denominadas especificaciones de funcionamiento de los
u e
sistemas din´micos de las cuales las m´s relevantes son estabilidad, precisi´n y rapidez [Ogata 82,
a a o
sec. 10.1]. Estas especificaciones tratan de dar una medida del mayor o menor grado de buen
funcionamiento del sistema.
La estabilidad es la especificaci´n m´s importante ya que es exclusiva, es decir, es una
o a
condici´n necesaria para el funcionamiento del sistema. Todo el mundo tiene una noci´n intuitiva
o o
de estabilidad. Cuando hablamos de la estabilidad (o inestabilidad) de un barco, de un avi´n, o
de un autom´vil o de cualquier otro objeto din´mico, sabemos m´s o menos a qu´ nos estamos
o a a e
refiriendo. La inestabilidad puede provocar una r´pida parada o, en ocasiones, puede conducir
a
al deterioro e incluso a la destrucci´n del sistema.
o
La rapidez y la precisi´n son virtudes, esencialmente contrapuestas, exigibles en mayor o
o
menor medida a los sistemas de control. Parece l´gico, por ejemplo, que una m´quina herramienta
o a
realice sus operaciones de forma r´pida y precisa; sin embargo se puede ver intuitivamente que
a
ciertas operaciones de gran precisi´n no pueden ser adem´s muy r´pidas.
o a a
1.5. Clasificaci´n de los sistemas de Control
o
Causalidad Los sistemas de control se pueden clasificar atendiendo a diferentes propieda-
des.
Se dice que un sistema es causal si existe una relaci´n de causalidad entre entradas y
o
salidas. Los sistemas f´
ısicos existentes en la Naturaleza son siempre causales. Atendiendo
a esta propiedad tenemos
• Sistemas causales
• Sistemas no causales
N´mero de variables Un sistema se denomina monovariable cuando tiene una unica variable
u ´
de entrada y una unica variable de salida. En los dem´s casos se llama multivariable.
´ a
Tenemos asi,
• Sistemas monovariables](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-9-320.jpg)
![´
1.6. MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA 11
• Sistemas de par´metros concentrados
a
• Sistemas de par´metros distribuidos
a
En los primeros los par´metros se suponen concentrados en puntos concretos del sistema
a
mientras que en los segundos est´n distribuidos espacialmente.
a
Ejercicio 1.5.1 En los siguientes sistemas de control identificar las entradas y salidas e indicar
c´mo se controlan y como obtiene la respuesta.
o
Fuerza actuando sobre una masa
Bicicleta
Climatizador de un autom´vil
o
M´quina tragaperras
a
M´quina herramienta funcionando con un aut´mata.
a o
Ejercicio 1.5.2 Poner ejemplos de otros sistemas de control y repetir con ellos el ejercicio
anterior.
1.6. Modelo de funci´n de transferencia
o
El modelo matem´tico de funci´n de transferencia se obtiene aplicando la transformaci´n de
a o o
Laplace a las ecuaciones diferenciales que modelizan un sistema lineal de par´metros constantes.
a
Si el sistema es monovariable la ecuaci´n diferencial que lo describe es de la forma (??):
o
(n)
an y (t) + . . . + a2 y (t) + a1 y(t) + a0 y(t)
¨ ˙
(m)
= bm u (t) + . . . + b2 u(t) + b1 u(t) + b0 u(t)
¨ ˙
Apliquemos la transformaci´n de Laplace a las variables u(t) e y(t):
o
L[u(t)] = U (s)
(1.1)
L[y(t)] = Y (s)
Para hallar la transformada de Laplace de la ecuaci´n diferencial (1.1) es necesario conocer los
o
valores de las condiciones iniciales, es decir, los valores de la funci´n y de sus derivadas desde
o
primer orden hasta orden n − 1 en el instante t = 0. Sean estos valores los siguientes:
(n−1)
y0 , y 0 , y0 ,
˙ ¨ y0 (1.2)
Aplicando la transformaci´n de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´n (1.1) obtenemos:
o o
(n−1)
an [sn Y (s) − sn−1 y0 − . . . − y0 ] + . . .
+a2 [s2 Y (s) − sy0 − y0 ] + a1 [sY (s) − y0 ] + a0 Y (s)
˙ (1.3)
= U (s)[bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ]
Pasando los t´rminos correspondientes a las condiciones iniciales al segundo miembro queda
e
Y (s)(an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 ) = U (s)(bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 )
(n−2) (n−1) (1.4)
+sn−1 an y0 + . . . + s[an y0 + . . . + a2 y0 ] + an y0 + . . . + a2 y0 + a1 y0
˙](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-11-320.jpg)
![´
1.8. LINEALIZACION 15
Supongamos que perturbamos la soluci´n de forma que
o
x(t) = x0 (t) + δx(t), u(t) = u0 (t) + δu(t) (1.22)
y que las potencias (δx)i , (δu)i , i 1, son muy peque˜as comparadas con δx, δu. Es decir
n
(δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i 1
Derivando (1.22) tenemos
˙ ˙ ˙
x(t) = x0 (t) + δx(t)
de donde
˙
δx(t) = x(t) − x0 (t)
˙ ˙
Supongamos ahora que f (.) es lo suficientemente lisa (sin cambios bruscos) para admitir el
desarrollo en serie de Taylor
f [x(t), u(t), t] = f [x0 (t), u0 (t), t] + fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu)
x(t) − x0 (t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu)
˙ ˙ (1.23)
˙
δx(t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu)
en donde
∂f ∂f
fx (t) = , fu (t) =
∂x x0 ,u0 ∂u x0 ,u0
En el caso multivariable f (.), x(.), u(.) son vectores. Entonces fx (.) y fu (.) son los jacobianos
Jx0 , Ju0 de f (.) respecto de x y de u, respectivamente, que dependen de x0 (.), u0 (.).
∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1
. . . ∂xn . . . ∂un
∂f ∂x1 ∂f ∂u1
Jx0 = = ... ... ... , Ju0 = = ... ... ... (1.24)
∂x x0 ,u0 ∂fn ∂fn ∂u x0 ,uo ∂fn ∂fn
∂x1 . . . ∂xn x0 ,u0 ∂u1 . . . ∂un x0 ,u0
De esta manera se obtiene la ecuaci´n linealizada
o
˙
δx = fx δx + fu δu (1.25)
que se puede escribir en la forma habitual
˙
¯ ¯
x(t) = A¯ (t) + B u(t)
x
¯ ¯
siendo x(t) = δx(t), u(t) = δu(t), A(t) = fx (t), B(t) = fu (t). Es importante destacar que las
matrices A y B (jacobianos) son funciones de tiempo si la soluci´n de la ecuaci´n diferencial no
o o
es constante.
Ejemplo 1.8.1 El dep´sito de la figura ?? tiene secci´n constante de ´rea A1 y est´ lleno de
o o a a
agua hasta una altura h(t) variable. El caudal q(t) de salida de agua se controla mediante una
v´lvula que abre o cierra el orificio de salida de ´rea a(t).
a a
Vamos a obtener el primero modelo no lineal, y despu´s, el modelo lineal por linealizaci´n.
e o
La energ´ potencial de una masa m de agua situada en la superficie, es decir a una altura
ıa
h(t) es Ep = mgh(t). La misma masa de agua cuando sale por el tubo tendr´ una energ´ cin´tica
a ıa e
1 2 . Por el principio de conservaci´n de la energ´ ambas energ´ han de ser iguales,
Ec = 2 mv(t) o ıa, ıas
1
Ep = mgh(t) = mv(t)2 = Ec ,
2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-15-320.jpg)
![20 CAP´
ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS
Las matrices que definen la forma can´nica observador de G(s) son
o
−a1 1 0 . . . 0 b1
−a2 0 1 . . . 0 b2
. . . ..
Aor = . . . Bor = .
.
. . . . 0 .
(1.33)
−an−1 0 0 . . . 1 bn−1
−an 0 0 . . . 0 bn
Cor = 1 0 0 . . . 0 Dor = 0
Las matrices que definen la forma can´nica controlabilidad de G(s) son
o
0 0 . . . 0 −an 1
1 0 . . . 0 −an−1 0
Acd = 0 1 . . . 0 −an−2 Bcd = 0
. . .. . . .
. . . . . . (1.34)
. . . . .
0 0 . . . 1 −a1 0
Ccd = β1 β2 . . . βn−1 βn Dcd = 0
Las matrices que definen la forma can´nica observabilidad de G(s) son
o
0 1 0 ... 0 β1
0 0 1 ... 0 β2
Aod = . . .
. . . .. .
Bod = .
. . . . 0 .
0 0 0 ... 1 βn−1 (1.35)
−an −an−1 . . . −a2 −a1 βn
Cod = 1 0 0 . . . 0 Dod = 0
Los n´meros β1 , β2 , . . . , βn que aparecen en las dos ultimas formas can´nicas, controlabilidad
u ´ o
y observabilidad, son los denominados par´metros de Markov, cuyo valor viene dado por
a
1 0 ... 0 0
β1 a1 1 . . . 0 0 b1
β2 . . b2
... ..
.
.. . .
. . . . . .
... =
..
βn−1 . 1 0 bn−1
an−2 an−3
βn bn
..
an−1 an−2 . a1 1
Por ultimo, las matrices de la forma can´nica diagonal correspondiente a una realizaci´n definida
´ o o
por sus matrices A, B, C, D, est´ definida por la transformaci´n P que pasa la matriz de planta
a o
a su forma diagonal. Si los valores propios de A son todos distintos, la transformaci´n P es una
o
matriz cuadrada cuyas columnas son los vectores propios de A. Las nuevas matrices, por (1.30)
son:
ˆ
A = P −1 AP = diag[λ1 , λ2 , . . . , λn ]
ˆ ˆ ˆ (1.36)
B = P −1 B, C = CP, D = D
Si la matriz A tiene valores propios repetidos, la matriz P es la que transforma A en su forma
can´nica de Jordan.
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-20-320.jpg)
![˜
2.2. GRAFOS DE FLUJO DE SENAL 25
que es el modelo transformado. Este modelo de estado transformado puede representarse me-
diante un diagrama de bloques en el cual U(s) es la entrada, Y(s) la salida y X(s) el estado,
las tres transformadas por Laplace. Por ser estas variables son multidimensionales, se acos-
tumbra a representarlas mediante flechas m´s gruesas que las que se utilizan para los bloques
a
monovariables [Ogata 82, sec. 14.2]. En la figura 2.2 se ha representado el diagrama de bloques
correspondiente a 2.1.
D
U(s) sX(s) 1 X(s) Y(s)
B C
s
A
Figura 2.2: Diagrama de bloques del modelo de estado
2.2. Grafos de flujo de se˜ al
n
Cuando los sistemas son de cierta complejidad, el m´todo de representaci´n por diagramas de
e o
bloques puede resultar laborioso en su construcci´n y m´s a´n en la tarea de simplificaci´n para
o a u o
obtener las funciones de transferencia, puesto que las reglas de simplificaci´n de los diagramas
o
de bloque no son sistem´ticas. El m´todo de los grafos de flujo de se˜al resulta entonces m´s
a e n a
adecuado, por su mayor simplicidad y por disponer de una formula para la obtenci´n de las
o
funciones de transferencia [Ogata 82, sec. 4.7].
U(s) Y(s)
T(s)
U(s) T(s) Y(s)
Figura 2.3: Rama entre dos nodos
Los grafos de flujo de se˜al tienen unicamente dos elementos, que se indican a continuaci´n:
n ´ o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-25-320.jpg)
![28 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
El cofactor ∆i de una trayectoria Pi se obtiene eliminando de la expresi´n (2.2) del determi-
o
nante del grafo, los t´rminos en los que aparezcan ciclos que tocan a la trayectoria.
e
2.3. C´lculo de la respuesta temporal
a
La respuesta temporal de un sistema es el conjunto de valores que toma su salida en funci´no
del tiempo cuando al mismo se aplica una entrada dada. Los t´rminos entrada y salida se refieren
e
a una variable (sistema monovariable), o a varias (sistema multivariable). Existen varios m´todos
e
de obtenci´n de la respuesta temporal, de los que mencionaremos los siguientes:
o
U(s) Y(s)
G(s)
Figura 2.7: Funci´n de transferencia de un sistema
o
1. Resoluci´n de las ecuaciones diferenciales.
o
Una vez obtenido el modelo matem´tico por medio de ecuaciones diferenciales pueden
a
aplicarse los m´todos matem´ticos de resoluci´n anal´
e a o ıtica las mismas para hallar la res-
puesta. De este m´todo derivan los m´todos basados en la transformada de Laplace, para
e e
el caso de sistemas lineales, y los basados en la integraci´n num´rica de las ecuaciones
o e
diferenciales, validos para sistemas lineales y no lineales.
2. M´todos basados en la transformada de Laplace.
e
La aplicaci´n transformada de Laplace suministra un m´todo de resoluci´n de las ecuacio-
o e o
nes diferenciales lineales, ya descrito anteriormente, que permite obtener la salida (trans-
formada) de un sistema multiplicando la entrada (transformada) por la funci´n de trans-
o
ferencia (Figura 2.7).
3. Resoluci´n de las ecuaciones de estado.
o
El m´todo de obtenci´n de la respuesta y(t), dada la entrada u(t), es el siguiente:
e o
a) Hallar G(s) a partir de las ecuaciones del sistema f´
ısico.
b) Hallar U (s) = L[u(t)]
c) Hallar Y (s) = U (s)G(s)
d) Hallar y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [U (s)G(s)]
A partir de ´ste m´todo general se han desarrollado diferentes variantes en funci´n, sobre
e e o
todo, del procedimiento empleado para realizar el apartado 3d , es decir, el c´lculo de la funci´n
a o
antitransformada de la funci´n Y (s).
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-28-320.jpg)
![´
2.3. CALCULO DE LA RESPUESTA TEMPORAL 29
M´todo de la integral de convoluci´n
e o
Este m´todo [Ogata 82, sec. 6.1] consiste en aplicar la propiedad de convoluci´n de la trans-
e o
formada de Laplace cuya expresi´n es,
o
L[f1 (t) ⊗ f2 (t)] = F1 (s)F2 (s) (2.3)
siendo ⊗ la operaci´n de convoluci´n definida por la expresi´n:
o o o
t t
f1 (t) ⊗ f2 (t) = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ = f1 (τ )f2 (t − τ )dτ
0 0
Si la entrada u(t) es un impulso de Dirac aplicado en t = 0 es decir u(t) = δ(t), entonces U (s) = 1
y la respuesta y(t) se denomina respuesta impulsional del sistema o funci´n ponderatriz. Su
o
expresi´n es
o
y(t) = L−1 [1.G(s)] = g(t)
La funci´n ponderatriz es la transformada inversa de Laplace de la funci´n de transferencia.
o o
Conocida la funci´n ponderatriz g(t) puede hacerse el c´lculo de la respuesta a una entrada
o a
cualquiera u(t) aplicando la propiedad (2.3):
y(t) = L−1 [U (s)G(s)] = u(t) ⊗ g(t)
es decir
t
y(t) = u(τ )g(t − τ )dτ
0
Este m´todo puede utilizarse cuando no resulta f´cil obtener el modelo matem´tico del sistema
e a a
y puede obtenerse la respuesta impulsional por alg´n m´todo experimental. tambi´n se utiliza
u e e
en el an´lisis y dise˜o de los sistemas discretos.
a n
M´todo de integraci´n compleja
e o
Consiste en aplicar la definici´n matem´tica de la transformada inversa de Laplace para
o a
hallar la respuesta:
σ+j∞
1
y(t) = L−1 [Y (s)] = Y (s)est ds
2πj σ−j∞
Aunque no se utiliza en la pr´ctica del c´lculo de la respuesta, por existir otros procedimientos
a a
m´s simples, la integraci´n compleja constituye la base matem´tica de los m´todos basados en
a o a e
el c´lculo de ra´
a ıces y residuos que vamos a ver a continuaci´n.
o
M´todo de descomposici´n en fracciones simples
e o
Como sabemos, si el sistema es lineal, monovariable y de par´metros concentrados, la funci´n
a o
de transferencia G(s) es una funci´n racional en s:
o
b(s)
G(s) =
a(s)
Si la entrada es u(t) y su transformada de Laplace es U (s), la expresi´n de la transformada de
o
Laplace Y (s) de la salida, en el caso de condiciones iniciales nulas, es
bm sm + . . . + b1 s + b0
Y (s) = U (s)G(s) = U (s) (2.4)
an sn + . . . + a1 s + a0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-29-320.jpg)
![30 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
es tambi´n una funci´n racional de la forma
e o
N (s)
Y (s) = (2.5)
D(s)
en donde N (s) y D(s) son polinomios es s.
Dado que las funciones racionales admiten siempre una expansi´n en fracciones simples, la
o
expresi´n (2.5) puede expresarse como suma de fracciones simples [Ogata 82, sec. 2.4]. Para ello
o
hallaremos las ra´ ıces s1 , s2 , s3 , . . . , sn del denominador D(s). Si D(s) es m´nico, Y (s) puede
o
escribirse en la forma
N (s)
Y (s) = (2.6)
(s − s1 )(s − s2 )(s − s3 ) . . . (s − sn )
Seg´n que las ra´ de D(s) sean simples (todas distintas) o m´ltiples, la expansi´n en fracciones
u ıces u o
simples de la expresi´n (2.5) es diferente.
o
Ra´
ıces simples
Si las ra´
ıces son simples (reales o complejas) la expresi´n (2.5) admite la siguiente descom-
o
posici´n en fracciones simples:
o
K1 K2 K3 Kn
Y (s) = + + + ... + (2.7)
s − s1 s − s2 s − s3 s − sn
en la cual los n´meros K1 , K2 , K3 , . . . , Kn se llaman los residuos de la funci´n Y (s) (ver Ap´ndice
u o e
sobre Variable Compleja) y se obtienen por la f´rmula o
N (s)
Ki = (s − si ) (2.8)
D(s) s=si
La obtenci´n de la respuesta y(t) resulta trivial, ya que la funci´n antitransformada de cada
o o
sumando de la expresi´n (2.7) es conocida. Por tanto
o
y(t) = K1 es1 t + K2 es2 t + K3 es3 t + . . . + Kn esn t (2.9)
Si hay ra´ıces complejas puede obtenerse una expresi´n alternativa a la (2.8) para cada par de
o
ra´
ıces conjugadas. Sean si , sj un par de ra´
ıces complejas conjugadas
si = σ + jω, sj = σ − jω
Puede verse f´cilmente que los residuos correspondientes Ki yKj , calculados por la f´rmula (2.8),
a o
Ki = A + jB, Kj = A − jB
son tambi´n complejos conjugados. Pasando a coordenadas polares, los residuos se escriben,
e
Ki = M ∠θ, Kj = M ∠ − θ
y en forma exponencial,
Ki = M ejθ , Kj = M e−jθ (2.10)
siendo M el m´dulo y θ y el argumento de los residuos.
o
La parte yc (t) de la respuesta, dada por (2.9), asociada a ´ste par de ra´
e ıces complejas con-
jugadas es
yc (t) = Ki esi t + Kj esj t](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-30-320.jpg)
![32 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
Calculo de las ra´
ıces, residuos y respuesta por ordenador
Cuando el polinomio denominador D(s) de la funci´n Y (s) es de segundo grado, las ra´ se
o ıces
obtienen por la f´rmula de la ecuaci´n de segundo grado. Si es de grado superior al segundo puede
o o
aplicarse el m´todo de Ruffini, cuando las ra´
e ıces son enteras, pero, en general, se debe recurrir
al empleo de m´todos num´ricos. Dada al actual disponibilidad de ordenadores personales, el
e e
c´lculo de las ra´
a ıces por m´todos num´ricos es quiz´s el m´todo adecuado, ya que, adem´s,
e e a e a
pueden utilizarse los recursos del computador para efectuar otros c´lculos, tales como residuos,
a
respuesta temporal etc., as´ como para realizar todo tipo de representaciones gr´ficas.
ı a
2.4. Sistema de primer orden
Sabemos que el orden de un sistema con funci´n de transferencia G(s) = b(s)/a(s) es el
o
grado del polinomio a(s) denominador de G(s) [Ogata 82, sec. 6.3]. La funci´n de transferencia
o
de un sistema de primer orden estrictamente causal se puede escribir en la forma
A
G(s) =
s+a
Su diagrama de bloque puede verse en la figura 2.8. Vamos a analizar dos casos, correspondientes
U(s) A Y(s)
s+a
Figura 2.8: Diagrama de bloque de un sistema de primer orden
a entrada impulso y a entrada escal´n, con condiciones iniciales nulas.
o
Entrada impulso. Respuesta impulsional
Si u(t) = δ(t), impulso de Dirac, hallamos su transformada de Laplace U (s):
U (s) = [δ(t)] = 1
por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida, es
A
Y (s) = U (s)G(s) =
s+a
La respuesta temporal, dada por (2.17) es
y(t) = Ae−at = Ae−t/τ
El par´metro τ= 1/a se llama constante de tiempo del sistema de primer orden. En la figura 2.9
a
se ha representado la respuesta impulsional de un sistema de primer orden.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-32-320.jpg)
![2.4. SISTEMA DE PRIMER ORDEN 33
Respuesta impulsional
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Figura 2.9: Respuesta impulsional del sistema de primer orden
Entrada escal´n unitario
o
Si la entrada al sistema es el escal´n unitario, u(t) = 1(t), su transformada de Laplace es
o
1
U (s) = L[1(t)] =
s
por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es
A
Y (s) = U (s)G(s) =
s(s + a)
Para hallar la respuesta temporal a partir de
A K1 K2
Y (s) = = +
s(s + a) s s+a
hemos de calcular los residuos mediante la formula (2.16):
A A
K1 = (s − 0) =
s(s + a) s=0 a
A A
K2 = (s + a) =−
s(s + a) s=−a a
Una vez hallados los residuos, la respuesta dada (2.17) es
A A −at
y(t) = − e
a a
En la figura 2.10 se ha representado la respuesta a una entrada escal´n de un sistema de primer
o
orden.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-33-320.jpg)
![34 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
Respuesta al escalon
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Figura 2.10: Respuesta al escal´n del sistema de primer orden
o
Cuando las condiciones iniciales no son nulas, no es aplicable la ecuaci´n (2.4) sino que hemos
o
de recurrir a la (1.7). En el caso del sistema de primer orden con m = 0, n = 1, la ecuaci´n o
diferencial del sistema (??) se escribe,
a1 y + a0 y = b0 u
˙
Aplicando la ecuaci´n (1.7), tenemos
o
b0 a1 y(0)
Y (s) = U (s) +
a1 s + a0 a1 s + a0
Dividiendo numerador y denominador de (2.44) por a1 y haciendo b0 /a1 = A, a0 /a1 = a queda,
A y(0)
Y (s) = U (s) +
s+a s+a
A partir de esta ecuaci´n se puede determinar f´cilmente y(t) conociendo u(t).
o a
2.5. Sistema de segundo orden
El polinomio caracter´ ıstico de un sistema de segundo orden es de segundo grado [Ogata 82,
sec. 6.4]. La funci´n de transferencia tiene la forma para m = 1, n = 2:
o
b1 s + b 0
G(s) =
a2 s2+ a1 s + a0
Vamos a estudiar en primer lugar el caso en que b = 0, cuya transmitancia se suele expresar:
2
ωn
G(s) =
s2 + 2ξωn s + ωn
2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-34-320.jpg)
![2.5. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 35
2
U(s) ωn Y(s)
2 2
s + 2ξω ns + ω n
Figura 2.11: Diagrama de bloque de un sistema de segundo orden
2
siendo ωn = a0 /a2 , 2ξωn = a1 /a2 . El par´metro ωn se llama frecuencia natural del sistema
a
mientras que ξ se denomina coeficiente de amortiguamiento. Su diagrama de bloque puede verse
en la figura 2.11 Analizaremos dos casos, correspondientes a entrada impulso y a entrada escal´n,
o
con condiciones iniciales nulas.
Entrada impulso. Respuesta impulsional
Si u(t) = δ(t), impulso de Dirac, hallamos su transformada de Laplace U (s):
U (s) = L[δ(t)] = 1
por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es
2
ωn
Y (s) = U (s)G(s) =
s2 + 2ξωn s + ωn
2
Las ra´
ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica son:
s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2
Para hallar los residuos aplicamos la formula (2.16):
2
ωn
K1 = (s + ξωn − jωn 1 − ξ2)
s2 + 2ξωn s + ωn
2
s=s1
de donde resulta
2
ωn −jωn
K1 = =
s + ξωn + jωn 1− ξ2 s=s1
2 1 − ξ2
Del mismo modo
2
ωn jωn
K2 = =
s + ξωn − jωn 1 − ξ2 s=s1
2 1 − ξ2
En coordenadas polares,
ωn π
M= , θ=−
2 1− ξ2 2
con lo que los residuos se expresan
ωn −π
K1 = , ∠
2 1− 2
ξ2
ωn π
K2 = , ∠ ,
2 1−ξ 2 2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-35-320.jpg)
![36 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
y la respuesta temporal se obtiene ahora aplicando la f´rmula (2.12):
o
ωn
y(t) = e−ξωn t sin ωn 1 − ξ2 t
1− ξ2
En la figura 2.12 se ha representado la respuesta impulsional del sistema de segundo orden.
Respuesta impulsional
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
t
Figura 2.12: Respuesta impulsional del sistema de 2o orden
Entrada escal´n unitario
o
Si la entrada al sistema es el escal´n unitario, u(t) = 1(t), su transformada de Laplace U (s)
o
es,
1
U (s) = L[1(t)] =
s
por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es,
2
ωn
Y (s) = U (s)G(s) =
s(s2 + 2ξωn s + ωn )
2
Las ra´
ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica son ahora,
s1 = 0, s2,3 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2
Calculemos los residuos, por la formula (2.16):
2
ωn
K1 = (s − 0) =1
s(s2 + 2ξωn s + ωn )
2
s=0
2
ωn 1 jξ
K2 = (s − s2 ) =− +
s(s2 + 2ξωn s + ωn )
2
s=s2 2 2 1 − ξ2
2
ωn 1 jξ
K3 = (s − s3 ) =− −
s(s2 + 2ξωn s + ωn )
2
s=s3 2 2 1 − ξ2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-36-320.jpg)
![2.5. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 39
Por el teorema de traslaci´n en el tiempo de la transformada de Laplace sabemos que
o
L[f (t − T )1(t − T )] = e−sT F (s),
en donde L(f (t)) = F (s), asi que ha de ser
L(y(t)) = L(u(t − T )1(t − T )) = e−sT U (s),
por lo que la funci´n de transferencia de este elemento es
o
RT (s) = e−sT
El elemento de retraso en el tiempo aparece frecuentemente en la pr´ctica y hace que el
a
sistema deje de ser lineal y que su control resulte m´s dif´
a ıcil. Uno de los ejemplos m´s t´
a ıpicos
es un tubo por el que circula un fl´ido que transporta una se˜al de temperatura. En la figura
u n
2.16 tenemos el esquema de un sistema de control de calefacci´n. Funciona asi: si la medida
o
θm que da el term´metro es menor que la temperatura de referencia θref (previamente fijada)
o
entonces el controlador aumenta la se˜al el´ctrica vc que env´ a v´lvula y ´sta se abre un poco
n e ıa a e
m´s; en cambio, si θ θref , disminuye dicha se˜al cerrando un poco la v´lvula y, si son iguales,
a n a
(θ = θref ) la se˜al que env´ no cambia y la v´lvula permanece en la misma posici´n. Se trata,
n ıa a o
pues, de un sistema de control en lazo cerrado que responde al diagrama de bloques de la figura
2.15.
Perturbaci´n
o
θref vc V´lvula
a
m m r θ-
?
-+ - K - y - Tubo -+ - Habitaci´n
o
− 6 Caldera
θm
Term´metro
o
Figura 2.15: Sistema de control de temperatura
Respuesta de los sistemas de orden superior
El m´todo general de obtener la expresi´n de la respuesta temporal en sistemas de orden
e o
superior es el indicado en la secci´n 2.3. El c´lculo de ra´
o a ıces y residuos puede resultar tedioso
para sistemas de orden superior al segundo, por lo que se hace casi imprescindible el empleo de
un computador.
La respuesta temporal de un sistema de orden superior consta de una serie de sumandos,
tal y como aparece en las expresiones (2.13) y (2.15). Como puede verse, est´ formada por una
a
superposici´n de t´rminos asociados a los polos de la ecuaci´n caracter´
o e o ıstica. Puesto que para
sistemas estables los t´rminos exponenciales deben ser decrecientes con el tiempo, algunos de ellos
e
habr´n quedado casi totalmente amortiguados al transcurrir un peque˜o intervalo de tiempo,
a n
mientras que otros permanecer´n durante tiempos m´s largos. Los polos correspondientes a los
a a
t´rminos que m´s tiempo permanecen influyendo en la respuesta se llaman polos dominantes.
e a
Son siempre los t´rminos asociados a las ra´
e ıces m´s pr´ximas al eje imaginario.
a o
A menudo resulta conveniente hacer un an´lisis simplificado de los sistemas de orden su-
a
perior. Este an´lisis suele consistir en la sustituci´n de la transmitancia del sistema por otra
a o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-39-320.jpg)
![40 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
Referencia de Controlador
Temperatura poporcional
Tubo
Aire
Termómetro
Caldera
Válvula Habitación
Gas
Ventilador
Figura 2.16: Control de la temperatura de una habitaci´n
o
cuya ecuaci´n caracter´
o ıstica sea de orden inferior, segundo o tercero generalmente, con ra´
ıces
situadas en los polos dominantes de la transmitancia original. Por este motivo, el conocimiento
del comportamiento del sistema de segundo orden resulta de importancia transcendental en el
an´lisis y dise˜o de los sistemas [Ogata 82, sec. 6.5].
a n
2.6. Respuesta del modelo de estado
Se trata de obtener la expresi´n de la respuesta y(t) de un sistema din´mico dado, conociendo
o a
las matrices A, B, C, D que constituyen su modelo de estado
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
y(t) = Cx(t) + Du(t)
as´ como la entrada o control del sistema, u(t) [Ogata 82, sec. 14.5]. La soluci´n de la ecuaci´n
ı o o
diferencial del vector de estado
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙ (2.16)
se puede obtener por un procedimiento similar al utilizado para resolver una ecuaci´n diferencial
o
lineal de primer orden de la forma
x(t) = ax(t) + bu(t)
˙
en la que x(t) y u(t) son funciones del tiempo. Por ello resolveremos primeramente esta ecuaci´n.
o
Tomando la transformada de Laplace tenemos:
s X(s) − x(0) = aX(s) + bU (s)
X(s)(s − a) = x(0) + bU (s)
x(0) b
X(s) = + U (s)
s−a s−a](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-40-320.jpg)
![2.6. RESPUESTA DEL MODELO DE ESTADO 41
La transformada inversa L−1 se obtiene aplicando el teorema de convoluci´n:
o
t
L−1 [F1 (s)F2 (s)] = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ
0
Tomando F1 (s) = 1/(s − a) y F2 (s) = bU (s) obtenemos
t
x(t) = eat x(0) + ea(t−τ ) b u(τ )dτ (2.17)
0
Intuitivamente podemos esperar que la soluci´n de la ecuaci´n del vector de estado (2.16) tenga
o o
una forma parecida a (2.17) Para obtenerla utilizaremos la funci´n exponencial matricial que se
o
define como:
∞
X2 Xk Xk
eX = exp(X) = In + X + + ... + =
2! k! k!
k=0
en donde X ∈ Cn×n e In es la matriz identidad de orden n. Se sabe por la teor´ de funciones
ıa
de matrices que esta serie converge para todo t finito y para toda matriz cuadrada A finita.
Ahora, para resolver la ecuaci´n diferencial del vector de estado (2.16), utilizaremos el mismo
o
m´todo que nos ha servido para hallar la soluci´n de la ecuaci´n diferencial de primer orden.
e o o
Aplicando la transformada de Laplace al sistema
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
obtenemos
X(s) − x(0) = AX(s) + BU (s)
X(s)(sIn − A) = x(0) + BU (s)
X(s) = (sIn − A)−1 x(0) + (sIn − A)−1 BU (s) (2.18)
Para hallar la antitransformada x(t) supongamos primero que u(t) = 0. Entonces tenemos
X(s) = (sIn − A)−1 x(0)
1 A −1
= In − x(0)
s s
1 A A2
= In + + 2 + . . . x(0)
s s s
La soluci´n x(t) buscada se obtiene hallando la transformada inversa de esta serie:
o
A2 t 2
x(t) = 1(t) In + At + + . . . x(0)
2!
∞
(At)k
= = eAt
k!
k=0
Supongamos ahora el caso general, es decir u(t) = 0. Aplicando el teorema de convoluci´n se
o
deduce de (2.18) que
t
x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ (2.19)
0
que es la soluci´n de la ecuaci´n del vector de estado.
o o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-41-320.jpg)
![42 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
Una vez conocida x(t), la respuesta temporal y(t) del sistema se obtiene inmediatamente de
(2.16) por sustituci´n:
o
y(t) = Cx(t) + Du(t)
Otra forma de obtener la soluci´n del modelo de estado
o
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
es la siguiente. Denotemos por x(t) al vector de estado, es decir
x(t) = [x1 (t), . . . , xn (t)]T
t
y por 0 x(τ )dτ a su integral en t:
t t t
x(τ )dτ = [ x1 (τ )dτ, . . . , xn (τ )dτ ]
0 0 0
Consideremos primero el caso simplificado en que A = 0. Entonces la ecuaci´n de estado
o
queda reducida a
x(t) = Bu(t)
˙
Para resolverla vamos a realizar el cambio de variable
z(t) = e−At x(t) (2.20)
Derivando esta ecuaci´n tenemos
o
z(t) = −Ae−At x(t) + e−At x(t)
˙ ˙
= −Ae−At x(t) + e−At (Ax(t) + Bu(t))
= e−At Bu(t)
Integrando esta ecuaci´n diferencial obtenemos
o
t
z(t) = z(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ
0
y, deshaciendo el cambio (2.20),
t
e−At x(t) = z(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ
0
ya que z(0) = e−At x(0) = z(0). Despejando x(t) obtenemos
t
x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ
0
que es la soluci´n buscada.
o
2.6.1. An´lisis Modal
a
Hemos obtenido una f´rmula que nos permite hallar la soluci´n x(t) del modelo de estado,
o o
dadas las matrices A y B y el valor x(0) de condiciones iniciales. Vamos a estudiar ahora las
relaciones que existen entre ciertas propiedades de los datos A, B y x(0) y de la soluci´n x(t).
o
Para ello hemos de repasar previamente algunos conceptos de Algebra Lineal.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-42-320.jpg)
![2.6. RESPUESTA DEL MODELO DE ESTADO 43
Dependencia lineal
Vamos a suponer que tenemos un sistema de n vectores columna
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a1 = . , a2 = . , . . . , an = .
.
. .
. .
.
am1 am2 amn
pertenecientes al espacio vectorial Cm (a veces puede ser Cm ) y n escalares x1 , . . . , xn ∈ C. La
operaci´n
o
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn b2
a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = = .
.
.
. .
.
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn bm
se denomina combinaci´n lineal de a1 , a2 , . . . , an . En forma matricial se escribe
o
Ax = b
en donde A ∈ Cm×n , x ∈ Cn , b ∈ Cn . Si, dados a1 , . . . , an , existe un conjunto de escalares
x1 , . . . , xn , no todos nulos, tales que los elementos de la combinaci´n lineal b1 , b2 , . . . , bn , son
o
todos nulos, entonces se dice que los vectores a1 , a2 , . . . , an son linealmente dependientes. En
caso contrario se dice que son linealmente independientes.
Un concepto estrechamente relacionado con la dependencia lineal es el de rango. Se define
el rango de una matriz A = [aij ] , como el n´mero m´ximo de filas (o de columnas) linealmente
u a
independientes. Resulta evidente que si disponemos de alg´n procedimiento para calcular el
u
rango de una matriz podemos averiguar si un sistema de vectores es linealmente independiente
o no lo es.
Recordemos que la dimensi´n de un espacio vectorial V es el n´mero m´ximo de vectores
o u a
linealmente independientes en V . Si en un espacio vectorial, por ejemplo en Cn , tenemos n
vectores e1 , e2 , . . . , en linealmente independientes, ´stos forman una base del espacio vectorial.
e
Valores propios y vectores propios
Sea A una aplicaci´n lineal, dada en cierta base por la matriz cuadrada A ∈ Cn×n , en el
o
espacio vectorial Cn .
1. Sea λ ∈ C. Se dice que λ es un valor propio de A si existe un vector x ∈ Cn , x = 0, tal que
Ax = λx
Es importante remarcar que x ha de ser no nulo (x = 0) ya que de otro modo todo
elemento λ ∈ C ser´ un vector propio. Los valores propios son las ra´
ıa ıces λi , i = 1, . . . , n
de la ecuaci´n |λIn − A| = 0
o
2. Sea x ∈ Cn . Se dice que x es un vector propio de A si existe un escalar λ ∈ C tal que
Ax = λx
Cada vector propio wi es la soluci´n x del sistema de ecuaciones Ax = λi x, en donde λi
o
es un valor propio, para i = 1, . . . , n. Los vectores propios w1 , . . . , wn se suelen denominar
vectores propios por la derecha.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-43-320.jpg)
![44 CAP´
ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL
Diagonalizaci´n
o
Otro resultado conocido importante es que si una aplicaci´n lineal A : Cn → Cn tiene n va-
o
lores propios distintos λ1 , λ2 , . . . λn , entonces tiene n vectores propios w1 , w2 , . . . , wn linealmente
independientes. En este caso la matriz W = [w1 , w2 , . . . , wn ], cuyas columnas son los vectores
propios, es invertible y entonces se verifica
W −1 AW = W −1 A[w1 , w2 , . . . , wn ]
= W −1 [Aw1 , Aw2 , . . . , Awn ]
= W −1 [λ1 w1 , λ2 w2 , . . . , λn wn ]
= diag[λ1 , λ2 , . . . , λn ]
:= Λ
es decir que la matriz A es semejante a una matriz diagonal Λ.
Las filas v1 , v2 , . . . , vn de la matriz V = W −1 suelen denominarse vectores propios por la
izquierda ya que, seg´n acabamos de ver, W −1 AW = Λ = [λ1 , λ2 , . . . , λn ] y, por tanto, W −1 A =
u
ΛW −1 es decir V A = V λ.
Respuesta espectral
Veamos ahora c´mo podemos caracterizar la respuesta del sistema libre
o
x = Ax,
˙ x ∈ Cn , A ∈ Cn×n (2.21)
en relaci´n a los valores propios y vectores propios de la matriz A. Vamos a suponer que los
o
valores propios λ1 , λ2 , . . . , λn de A sean todos distintos. En este caso, sus vectores propios (por
la derecha), w1 , w2 , . . . , wn son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de
Cn . Entonces podemos expresar la soluci´n x(t) de (2.21), por pertenecer a Cn , como una
o
combinaci´n lineal de los vectores de la base, es decir, de la forma
o
x(t) = x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn (2.22)
en donde x1 (t), . . . , xn (t) ∈ C. Derivando esta ecuaci´n y sustituyendo en (2.21) queda
o
x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn =
˙ ˙ ˙
= A(x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn )
= λ1 x1 (t)w1 + λ2 x2 (t)w2 + . . . + λn xn (t)wn
de donde, por ser w1 , . . . , wn linealmente independientes, se deduce que
x1 (t) = λ1 x1 (t)
˙
x2 (t) = λ2 x2 (t)
˙
.
.
.
xn (t) = λn xn (t)
˙
Las soluciones de este sistema de ecuaciones, que se obtienen de forma inmediata, son
xi (t) = xi (0)eλi t , i = 1, 2, . . . , n
Sustituyendo en (2.22) obtenemos como soluci´n
o
n
x(t) = xi (0)eλi wi
i=1](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-44-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 3
Respuesta de frecuencia
3.1. Respuesta de frecuencia
Se define la respuesta de frecuencia de un sistema como la respuesta en estado estacionario
ante una entrada sinusoidal. Los m´todos de an´lisis y dise˜o de sistemas basados en la respuesta
e a n
de frecuencia han sido y son muy utilizados por varias razones. En primer lugar, la facilidad de
obtenci´n de la respuesta y estabilidad de los sistemas por m´todos gr´ficos supon´ una ventaja,
o e a ıa
dada la escasa disponibilidad de los computadores digitales, sobre los complicados c´lculos con
a
n´meros complejos exigidos por los m´todos de respuesta temporal y del lugar de las ra´
u e ıces. En
segundo lugar, los m´todos de respuesta de frecuencia pueden servir para el an´lisis y dise˜o de
e a n
sistemas cuya funci´n de transferencia se desconoce, por sencillas mediciones de amplitud y fase
o
en la entrada y en la salida, pudiendo incluso determinarse la funci´n de transferencia. Y en
o
tercer lugar por ser muchas de las variables de entrada a los sistemas de naturaleza sinusoidal
u ondulatoria, siendo en estos casos necesario el conocimiento de la respuesta de frecuencia
[Ogata 82].
A sin(ωt) y(t)
G(s)
Figura 3.1: Sistema con entrada sinusoidal
3.2. Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal
Vamos a considerar un sistema lineal, monovariable y estable, con funci´n de transferencia
o
G(s), representado en la figura 3.1, al cual se aplica una entrada sinusoidal.
Para hallar la respuesta aplicamos el m´todo de descomposici´n en fracciones simples basado
e o
en el c´lculo de las ra´
a ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica y de los residuos. En primer lugar, dada
la funci´n de entrada
o
u(t) = A sin ωt (3.1)
obtenemos
Aω
U (s) = L[u(t)] =
s2 + ω2
45](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-45-320.jpg)
![46 CAP´
ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA
Por tanto la transformada de Laplace de la respuesta es
Aω
Y (s) = U (s)G(s) = G(s)
s2 + ω 2
Hallando su transformada inversa obtenemos la respuesta temporal:
Aω
y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 G(s)
s2 + ω2
Por tratarse de un sistema lineal, G(s) es una funci´n racional que se puede expresar como
o
cociente entre el polinomio N (s) y el polinomio D(s):
N (s)
G(s) =
D(s)
Las ra´ıces del denominador de Y (s) ser´n las del factor s2 + ω 2 junto con las las de D(s), es
a
decir,
s1 = jω, s2 = −jω, s3 , s4 , . . .
y, por lo tanto, Y (s) puede descomponerse en fracciones simples de la forma
K1 K2 K3 K4
Y (s) = + + + + ... (3.2)
s − jω s + jω s − s3 s − s4
Para hallar K1 y K2 aplicamos la f´rmula (2.8) del cap´
o ıtulo 5:
Aω AG(jω)
K1 = G(s)(s − jω) = (3.3)
s2 + ω2 s=jω 2j
Aω AG(−jω)
K2 = = (3.4)
s2 + ω 2 G(s)(s + jω) s=−jω −2j
Sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) queda
AG(jω) AG(−jω) K3 K4
Y (s) = (s − jω) + (s + jω) + + + ...
2j −2j s − s3 s − s4
La transformada inversa de Laplace de esta funci´n es la respuesta temporal.
o
AG(jω) jωt AG(−jω) −jωt
y(t) = e − e + K3 es3 t + K4 es4 t + . . . (3.5)
2j 2j
Obs´rvese que, por tratarse de un sistema estable, las ra´
e ıces correspondientes a la ecuaci´n
o
caracter´ ıstica D(s) = 0 estar´n en el semiplano complejo izquierdo y, por tanto, los sumandos
a
K3 es3 t + K4 es4 t + . . . de la respuesta tender´n a cero en estado estacionario.
a
G(jω) es una cantidad compleja que en notaci´n exponencial se puede expresar
o
G(jω) = M ejφ (3.6)
siendo M = |G(jω)| y φ = ∠G(jω). Del mismo modo,
G(−jω) = M e−jφ (3.7)](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-46-320.jpg)
![3.3. DIAGRAMAS DE NYQUIST 47
Sustituyendo (3.6) y (3.7) en (3.5) la expresi´n de la respuesta en estado estacionario yss y queda
o
AM ejφ jωt AM e−jφ −jωt ej(ωt+φ) − e−j(ωt+φ)
yss (t) = e − e = AM
2j 2j 2j
o bien
yss = AM sin(ωt + φ) (3.8)
La respuesta de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es tambi´n sinusoidal, de la misma
e
frecuencia, con una amplitud igual a la de la entrada multiplicada por M , y con un de fase φ
respecto a la entrada, siendo M el m´dulo y φ el argumento de G(jω).
o
Mediante la f´rmula anterior se puede obtener la respuesta de un sistema a una entrada
o
u(t) = A sin ωt, para cualquier valor de ω. Para ello, para una ω dada, se determinan los
valores de M y de φ y se sustituyen en (3.8). Para evitar los c´lculos con n´meros complejos se
a u
desarrollaron m´todos gr´ficos para hallar M y φ en funci´n de ω por medio de diagramas. Los
e a o
mas empleados son los diagramas de Nyquist y de Bode.
3.3. Diagramas de Nyquist
El diagrama de Nyquist es el lugar geom´trico que describe el vector G(jω) en el plano
e
complejo al variar ω entre −∞ y ∞ [Ogata 82, sec. 9.3]. Aunque la frecuencia negativa no tiene
significado f´
ısico, s´ que tiene un significado matem´tico que permite formular el criterio de
ı a
estabilidad de Nyquist.
Un m´todo b´sico para confeccionar el diagrama de Nyquist consiste en escribir una tabla en
e a
la que para cada valor de ω calculemos los valores del m´dulo M y del argumento φ de G(jω),
o
o bien la parte real y la parte imaginaria. Por ejemplo, para la funci´n
o
1
G(s) =
s+1
sustituimos s por jω y damos a ω los valores 0, 0,5, 1, 1,5, . . ., y calculamos M = |G(jω)| y
φ = ∠G(jω), coloc´ndolos en la tabla 3.1.
a
ω M φ
0.0 1.000 0.0
0.5 0.894 -26.6
1.0 0.707 -45.0
1.5 0.555 -56.3
2.0 0.447 -63.4
3.0 0.316 -71.6
5.0 0.196 -78.7
10.0 0.100 -84.3
Cuadro 3.1: Respuesta de frecuencia
Con la ayuda de esta tabla se traza f´cilmente el diagrama de Nyquist, representado en la
a
figura 3.2, dibujando en el plano complejo cada uno de los extremos de los vectores G(jω) dados
por la tabla en coordenadas polares que, como puede apreciarse, es una circunferencia.
En la figura 3.2 se muestran los diagramas de Nyquist de diferentes sistemas definidos por
sus funciones de transferencia.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-47-320.jpg)
![48 CAP´
ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA
a a.b
s+a (s+a)(s+b)
Imag
Imag
Real Real
a.b.c a.b
(s+a)(s+b)(s+c) s(s+a)(s+b)
Imag
Real Imag Real
Figura 3.2: Algunos diagramas de Nyquist
Los diagramas de Nyquist no son eficaces para efectuar medidas del m´dulo y fase de G(jω),
o
dada la dificultad de determinar con precisi´n el valor de ω que corresponde a cada punto de
o
la curva. Sin embargo pueden servir para identificar las funciones de transferencia de algunos
sistemas por comparaci´n de la forma de sus gr´ficas de Nyquist con la de otras te´ricas pre-
o a o
viamente trazadas. Adem´s, muestran gr´ficamente la estabilidad de los sistemas de control,
a a
por aplicaci´n del criterio de Nyquist, seg´n el numero de veces que la curva circunde al punto
o u
(−1 + 0j) del plano complejo.
3.4. Diagramas de Bode
Los diagramas de Bode representan el vector G(jω) en dos gr´ficas, una para el m´dulo y
a o
otra para la fase. En la primera se representa el m´dulo M = G(jω) en decibelios, en funci´n
o o
del logaritmo decimal de ω, y en la segunda la fase, φ = G(jω) tambi´n en funci´n de log ω
e o
[Ogata 82, sec. 9.2].
Como vamos a ver, el trazado de los diagramas de Bode se simplifica por utilizar coordenadas
logar´
ıtmicas. Supongamos que las ra´ del numerador (ceros) de G(s) son z1 , z2 , . . . , zm y que
ıces
las del denominador (polos) son p1 , p2 , . . . , pn . G(s) puede entonces expresarse de la forma
(s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm )
G(s) = A (3.9)
(s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )
Para hallar la respuesta de frecuencia sustituimos s por jω en (3.9).
(jω − z1 )(jω − z2 ) . . . (jω − zm )
G(jω) = A (3.10)
(jω − p1 )(jω − p2 ) . . . (jω − pn )
Calculemos el m´dulo y el argumento de esta expresi´n.
o o
|jω − z1 ||jω − z2 | . . . |jω − zm |
M = |G(jω)| = A (3.11)
|jω − p1 ||jω − p2 | . . . |jω − pn |](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-48-320.jpg)
![3.4. DIAGRAMAS DE BODE 55
-2
0n
z
dB
/d
ec
-π/2 nz
jω
Figura 3.9: Diagrama de Bode del factor 1/( −z1 + 1)np
Ra´
ıces complejas en el denominador
Como f´cilmente puede deducirse, si existe un factor de segundo orden de la forma
a
2
s s
+ 2ξ +1
ωn ωn
en el denominador de G(s), los diagramas de Bode son sim´tricos, respecto al eje ω, a los
e
obtenidos en el apartado anterior. Se han representado en la figura 3.11.
Para valores de ξ = 1, 1/2, 1/4 . . ., el m´dulo y el argumento de del factor de 2o orden de la
o
expresi´n (3.17) ha sido calculado por computador y representado en la figura 3.12.
o
Los valores de ξ 1, no representados en las gr´ficas, corresponden al caso de ra´
a ıces reales
y distintas, ya estudiado.
Elemento de retraso en el tiempo
Corresponde a un elemento del sistema que provoca un retraso en el tiempo en un deter-
minada magnitud. Sea una magnitud x(t) que se aplica a la entrada del elemento de retraso
representado en la figura 3.13. La salida y(t) es id´ntica a la entrada x(t) aunque retrasada un
e
tiempo dado T . Es decir
y(t) = x(t − T )u(t − T )
La funci´n de transferencia de este elemento es e−sT ya que
o
L[x(t − T )u(t − T )] = X(s)e−sT
Es un elemento no lineal por lo que no est´ incluido en la expresi´n de G(s) dada en (3.9). El
a o
diagrama de Bode se realiza hallando el m´dulo y el argumento de e−sT para s = jω.
o
M = |e−jωT | = 1
φ = ∠e−jωT = −ωT = −10log ωT](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-55-320.jpg)
![56 CAP´
ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA
ωn=10 /d
ec
dB
ζ=1/8 40
ωn/10 ωn 10ωn
Figura 3.10: Diagrama de Bode del factor (s2 + 2ξωn s + ωn )
2
3.5. Trazado por computador
La realizaci´n de un programa de ordenador que genere los trazados de Nyquist o de Bode
o
es muy sencilla. Se sigue un procedimiento an´logo al empleado en el apartado 3.3 para la
a
confecci´n manual del diagrama de Nyquist por medio de una tabla. A partir de un valor inicial
o
de ω, igual o pr´ximo a cero, el computador ha de calcular |G(jω)| y ∠G(jω). A continuaci´n
o o
se incrementa ω y se vuelven a calcular los mismos valores, continuando as´ el proceso hasta que
ı
ω alcance un valor establecido previamente. Los valores calculados pueden almacenarse en un
fichero del disco para su posterior representaci´n por medio de otro programa de gr´ficos o bien
o a
pueden ir represent´ndose a la vez que se calculan en la pantalla del ordenador [Maltab].
a
3.6. Criterio de estabilidad de Nyquist
Una de las principales aplicaciones de los m´todos de respuesta de frecuencia es la determi-
e
naci´n de la estabilidad, absoluta y relativa, de los sistemas de control. El criterio de Nyquist
o
permite conocer la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, tal como el representado en la
figura 3.14 conociendo la respuesta de frecuencia de su funci´n de transferencia en lazo abier-
o
to G(s)H(s) [Ogata 82, sec. 9.5]. Puesto que la respuesta de frecuencia de un sistema en lazo
abierto puede hallarse experimentalmente, se puede por este m´todo averiguar la estabilidad de
e
un sistema sin conocer su funci´n de transferencia.
o
El sistema de control de la figura 3.14 ser´ estable si su funci´n de transferencia, dada por
a o
G(s)
T (s) =
1 + G(s)H(s)
no tiene polos en el semiplano derecho complejo. Como los polos de T (s) son los ceros de la
funci´n F (s) = 1 + G(s)H(s), una forma de averiguar la estabilidad del sistema ser´ hallar el
o a
n´mero de ceros que tiene F (s) en el semiplano derecho.
u](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-56-320.jpg)
![3.6. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 57
-4
0
dB
ωn=10 /d
ec
ζ=1/8
Figura 3.11: Diagrama de Bode del factor 1/(s2 + 2ξωn s + ωn )
2
El criterio de Nyquist est´ basado en el principio del argumento, de Cauchy, estudiado en la
a
teor´ de variable compleja. Este principio establece que, dada una funci´n F (s) de la variable
ıa o
compleja s, anal´ıtica en un recinto R limitado por camino cerrado c excepto en un n´mero finito
u
de polos, la diferencia entre el n´mero ZF de ceros y el n´mero PF de polos de F (s) existentes
u u
en el recinto R, es igual al n´mero de vueltas que da el vector F (s) alrededor del origen del
u
plano de la funci´n, en un sentido dado, al recorrer la variable s el camino cerrado c que rodea
o
a R, en el mismo sentido. Es decir,
1
ZF − PF = ∆c arg[F (s)]
2π
en donde ∆c arg F (s) significa el incremento del argumento de F (s) al recorrer la variable un
camino c.
Este principio nos puede servir para averiguar la diferencia entre el n´mero de ceros ZF y el
u
n´mero de polos PF de una funci´n F (s) en el semiplano derecho C0 . Para ello la variable s
u o
ha de recorrer un camino (camino de Nyquist) que encierre por completo a dicho semiplano.
El camino de Nyquist, como puede apreciarse en la figura 3.15 se compone del eje imaginario
del plano complejo s y de una semicircunferencia de radio infinito situada en el semiplano
derecho. Al recorrer la variable s este camino en el sentido de las flechas, la funci´n F (s) recorre
o
una curva en el plano F (s). El n´mero de vueltas, en el sentido del camino de Nyquist, que da
u
el vector F (s) alrededor del origen ser´ igual a ZF − PF .
a
Si utilizamos el plano G(s)H(s) en lugar de F (s) y representamos en ´l la funci´n G(s)H(s),
e o
vemos que la curva obtenida es igual a la obtenida en el plano F (s) pero desplazada en una
unidad hacia la izquierda(figura 3.16).
Por tanto el n´mero de vueltas que da el vector F (s) alrededor del origen en el plano F (s)
u
es igual al n´mero de vueltas que da el vector 1 + G(s)H(s) alrededor del punto (−1 + 0j) en
u
el plano G(s)H(s) (figuras 3.15 y 3.16).](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-57-320.jpg)
![´
3.7. MARGENES DE FASE Y DE GANANCIA 59
U(s) Y(s)
G(s)
H(s)
Figura 3.14: Sistema de control en lazo cerrado
PLANO s PLANO F(s)
im im
re 1 re
Figura 3.15: Camino de Nyquist y curva G(s)H(s)
No de vueltas de G(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j) =
No polos de T (s) en spd - No de polos de G(s)H(s) en spd
o bien:
No de polos de T (s) en spd = N o de vueltas de G(s)H(s)
alrededor de (−1 + 0j) + No de polos de G(s)H(s) en spd
Esta ultima expresi´n constituye el criterio de Nyquist. Puesto que generalmente (aunque no
´ o
siempre) la funci´n de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) corresponde a un sistema estable,
o
el No de polos de G(s)H(s) en spd suele ser cero.
3.7. M´rgenes de fase y de ganancia
a
Adem´s de servir para hallar la estabilidad absoluta, los diagramas de Nyquist y de Bode
a
nos informan sobre el grado de estabilidad o estabilidad relativa del sistema [Ogata 82, sec. 9.7].
El margen de fase y el margen de ganancia son dos magnitudes que pueden obtenerse de dichos
diagramas y que son unos ´ındices de la estabilidad relativa del sistema.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-59-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 4
Lugar de las ra´
ıces
Los par´metros de un sistema lineal de regulaci´n pueden variar por motivos diversos. La
a o
variaci´n puede ser involuntaria, por cambios que se van produciendo en los componentes con
o
el paso del tiempo, por influencia de los cambios del medio, etc., o voluntaria, cuando se desea
modificar valores de algunos componentes para mejorar el comportamiento del sistema. Hemos
visto c´mo la posici´n de las ra´
o o ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica en el plano complejo indica la
estabilidad, absoluta y relativa del sistema, as´ como otros datos de inter´s relacionados con sus
ı e
especificaciones de funcionamiento. El lugar geom´trico de las ra´
e ıces es el lugar geom´trico que
e
U(s) Y(s)
K G(s)
H(s)
Figura 4.1: Sistema de control con K variable
describen las ra´ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica cuando var´ un par´metro del sistema desde
ıa a
cero hasta infinito. Este par´metro variable est´ relacionado con uno o con varios coeficientes de
a a
la ecuaci´n caracter´
o ıstica y puede ser, en general, un valor asociado a un componente cualquiera
del sistema, si bien el caso m´s usual es indicado en la figura 4.1, en la que el par´metro variable
a a
es la ganancia est´tica K de la funci´n de transferencia en lazo abierto [Ogata 82, cap8].
a o
4.1. Fundamento del m´todo
e
Vamos a considerar el sistema lineal cuyo diagrama de bloques aparece en la figura 4.1. G(s)
y H(s) son funciones de transferencia, es decir funciones racionales, y K es el par´metro cuya
a
variaci´n va a producir el lugar de las ra´
o ıces. La funci´n de transferencia del sistema es:
o
KG(S)
T (s) = (4.1)
1 + KG(S)H(s)
63](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-63-320.jpg)
![64 CAP´
ITULO 4. LUGAR DE LAS RA´
ICES
La funci´n de transferencia en lazo abierto KG(s)H(s) puede ponerse en la forma
o
Z(s) (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm )
KG(S)H(s) = K =K (4.2)
P (s) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn )
en donde z1 , z2 , . . . , zm son los ceros y p1 , p2 , . . . , pn son los polos de G(s)H(s), ra´
ıces de los
polinomios Z(s) y P (s) respectivamente.
Puesto que KG(s)H(s) es una funci´n de variable compleja, vamos a expresarla en forma
o
exponencial para poder operar con los vectores en modo gr´fico. a
|s − z1 |ejφz1 |s − z2 |ejφz2 . . . |s − zm |ejφzm
KG(S)H(s) = K
|s − p1 |ejφp1 |s − p2 |ejφp2 . . . |s − pn |ejφpn
Esta ecuaci´n, agrupando los m´dulos por un lado y los argumentos por otro, puede escribirse
o o
|s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | jΣφi
KG(S)H(s) = K e (4.3)
|s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn |
en donde
Σφi = φz1 + φz2 + . . . + φzm − φp1 − φp2 − . . . − φpn (4.4)
La ecuaci´n caracter´
o ıstica del sistema es
Z(S)
1+K =0 (4.5)
P (s)
o bien,
Z(S)
K = −1 (4.6)
P (s)
y en forma exponencial,
Z(S)
K = e±j(2k+1)π k = 0, 1, 2, . . . (4.7)
P (s)
ya que el n´mero −1 es un vector de m´dulo unidad y argumento m´ltiplo impar de π. Por
u o u
tanto, en cada uno de los puntos del lugar geom´trico de las ra´ se debe satisfacer la ecuaci´n
e ıces o
|s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | jΣφi
K e = e±j(2k+1)π (4.8)
|s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn |
De esta ecuaci´n se deducen las denominadas condiciones de magnitud y de ´ngulo. La condici´n
o a o
del ´ngulo establece que el argumento de G(s)H(s) ha de ser un m´ltiplo impar de ±π en todos
a u
los puntos del lugar. Es decir
arg[KG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π (4.9)
La condici´n de magnitud dice que el m´dulo de G(s)H(s) debe ser igual a la unidad en todos
o o
los puntos del lugar geom´trico de las ra´
e ıces.
|s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm |
|KG(s)H(s)| = K =1
|s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn |
o bien
|s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn |
K= (4.10)
|s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm |
Estas dos condiciones permiten establecer un proceso en dos etapas para la construcci´n del
o
lugar de las ra´
ıces.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-64-320.jpg)
![4.2. REGLAS BASICAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RA´
´ ICES 65
1. Se construye el lugar de las ra´
ıces aplicando solamente la condici´n de ´ngulo, tomando
o a
todos los puntos s del plano complejo para los cuales la suma de los ´ngulos φzi de todos
a
los vectores que van desde los ceros de G(s)H(s) hasta s, menos la suma de los ´ngulos
a
φpj de todos los vectores que van desde los polos hasta s, sea un m´ltiplo impar de π.
u
2. Una vez que se ha trazado el lugar, se aplica la condici´n de magnitud (4.10) para deter-
o
minar el valor de K que corresponde a cada punto s del lugar. El valor de K en cada punto
s del lugar es igual al producto de las longitudes de todos los vectores que van desde s a
los polos, dividido entre el producto de las longitudes de todos los vectores que van desde
s a los ceros.
Basadas en las condiciones de ´ngulo y magnitud y en los principios del c´lculo complejo,
a a
se deducen una serie de reglas pr´cticas que permiten bosquejar con relativa facilidad el
a
trazado del lugar de las ra´
ıces.
4.2. Reglas b´sicas del trazado del lugar de las ra´
a ıces
N´ mero de ramas
u
Existe una rama simple del lugar por cada ra´ de la ecuaci´n caracter´
ız o ıstica siendo por
tanto el n´mero de ramas igual al orden de la ecuaci´n caracter´
u o ıstica, e igual al mayor entre los
n´meros de polos y de ceros de G(s)H(s) [Ogata 82, sec. 8.4].
u
Origen y final del lugar
El lugar comienza para K = 0 en los polos de G(s)H(s) y termina para K = ∞ en los ceros
de G(s)H(s). Cada rama del lugar parte de un polo, ya que para K = 0 los polos en lazo cerrado
coinciden con los polos en lazo abierto, y termina en un cero, ya que para K = ±∞ los polos
en lazo cerrado (polos de G(s)/[1 + G(s)H(s)] coinciden con los ceros en lazo abierto (ceros de
G(s)H(s)). Si el n´mero de polos es mayor que el n´mero de ceros, cabe suponer que hay en
u u
el infinito tantos ceros como polos en exceso y, por tanto, existir´n ramas que terminan en el
a
infinito. De igual modo, si el n´mero ceros excede al de polos, existir´n ramas que parten de
u a
polos situados en el infinito.
Tramos en el eje real
El lugar geom´trico pasa por todos los puntos del eje real que est´n a la izquierda de un
e a
n´mero impar de polos y ceros. La demostraci´n, aplicando la condici´n de ´ngulo es inmediata.
u o o a
Simetr´ del lugar
ıa
El lugar es sim´trico respecto al eje real del plano complejo. En efecto, para cada punto del
e
lugar, asociado a una ra´ compleja de la ecuaci´n caracter´
ız o ıstica, existir´ otro sim´trico respecto
a e
al eje real, asociado a la ra´ compleja conjugada de la primera.
ız
N´ mero de as´
u ıntotas
Si el n´mero de polos de G(s)H(s) es mayor que el de ceros (n m), (funci´n de transferencia
u o
en lazo abierto estrictamente propia) hay n−m ramas que terminan en el infinito y existen n−m
as´
ıntotas tangentes a las ramas del lugar en los ceros ubicados en el infinito. Si el n´mero de
u](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-65-320.jpg)
![4.2. REGLAS BASICAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RA´
´ ICES 67
Angulos de partida y de llegada del lugar
Son los ´ngulos de las tangentes al lugar de las ra´
a ıces en los puntos inicial y final, respecti-
vamente. El ´ngulo de partida del lugar desde un polo, para K = 0, y el ´ngulo de llegada del
a a
lugar a un cero, para K = ∞, se determinan por medio de la condici´n de ´ngulo expresada en
o a
(4.9), hallando el ´ngulo de un punto s infinitamente pr´ximo al polo o cero considerado.
a o
4.2.1. Trazado del lugar de las ra´
ıces por computador
La ecuaci´n caracter´
o ıstica (4.5) del sistema puede expresarse
P (s) + KZ(s) = 0 (4.15)
Un m´todo num´rico directo de obtener el trazado del lugar de las ra´
e e ıces consiste en hallar
todas las ra´ıces de la ecuaci´n (4.15) para cada valor de K, representando gr´ficamente cada
o a
una de ellas por un punto en el plano complejo. Un computador puede hallar, mediante un
procedimiento de c´lculo num´rico, las ra´
a e ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica para un conjunto
finito de valores de K pertenecientes a un intervalo tambi´n finito, y representar gr´ficamente
e a
el lugar geom´trico resultante en la pantalla o impresora. Eligiendo un intervalo de valores
e
de suficientemente amplio y un incremento de K suficientemente peque˜o, puede obtenerse un
n
trazado de apariencia continua al quedar los puntos del trazado muy pr´ximos entre s´ Mediante
o ı.
programas espec´ ıficos de dise˜o asistido por computador de sistemas de control (CACSD) puede
n
trazarse con facilidad el lugar de las ra´ ıces. As´ por ejemplo, el programa MATLAB [Maltab]
ı,
dispone de una librer´ de CACSD denominada control toolbox en la que se encuentra una
ıa
funci´n, denominada rlocus que efect´a el trazado del lugar de las ra´ en la pantalla, y si se
o u ıces
desea en la impresora, del ordenador. De este mode se ha realizado el trazado del lugar geom´trico
e
de las ra´ de la figura 4.2 que corresponde a un sistema cuya funci´n de transferencia en lazo
ıces o
abierto es
10
G(s)H(s) =
s(s2 + 4s + 5)
4
3
2
1
Eje Imag
0
-1
-2
-3
-4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Eje Real
Figura 4.2: Trazado del lugar de las ra´
ıces mediante MATLAB](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-67-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 5
Funcionamiento de los sistemas de
control
5.1. Especificaciones de funcionamiento
Cada sistema din´mico evoluciona en el tiempo de una forma particular que lo caracteriza.
a
Las especificaciones de funcionamiento son las cualidades que permiten describir los rasgos m´s a
interesantes del comportamiento din´mico de los sistemas [Ogata 82, sec. 10.1].
a
Un sistema de control est´ siempre asociado al proceso o planta que controla y, por tanto,
a
ser´n las condiciones exigidas al comportamiento de ´ste las que demanden unas determinadas
a e
prestaciones al sistema de control. A menudo deber´ satisfacer un gran n´mero de especifica-
a u
ciones y frecuentemente existir´n varias soluciones aceptables. El dise˜o suele aceptarse como
a n
bueno si en ´l se da un adecuado compromiso entre coste y prestaciones. El comportamiento
e
se manifiesta en la evoluci´n de las variables de salida del proceso o planta y puede medirse
o
mediante ´ ındices de funcionamiento. El control deber´ dise˜arse de manera que se optimicen
a n
algunos de estos ´ındices de funcionamiento, con ciertas condiciones o restricciones impuestas a
las variables para asegurar el correcto comportamiento del sistema.
Se plantea as´ un problema optimizaci´n, similar a los que se dan en otras ´reas la eco-
ı o a
nom´ ingenier´ etc., cuya resoluci´n puede abordarse por m´todos matem´ticos. En t´rminos
ıa, ıa o e a e
generales, el problema de optimizaci´n consiste en minimizar una funci´n, denominada funci´n
o o o
objetivo, sujeta a determinadas restricciones. No vamos a abordar aqu´ el tema de la optimi-
ı
zaci´n de sistemas, desarrollado en tratados avanzados de ingenier´ de control, sino a mostrar
o ıa
una serie de especificaciones generales de funcionamiento que deben cumplir los sistemas de
control. De algunas de estas especificaciones se derivan ´ ındices de funcionamiento que pueden
ser utilizados en el dise˜o de los sistemas de control, bien por el m´todo de optimizaci´n o bien
n e o
por otros m´todos.
e
Las especificaciones m´s importantes que ha de satisfacer un sistema de control se refieren
a
a los siguientes aspectos de su comportamiento:
1. Estabilidad. La condici´n de estabilidad absoluta es esencial para todo sistema de control.
o
La estabilidad relativa es un ´
ındice del buen funcionamiento del sistema.
2. Rapidez de respuesta. La rapidez de respuesta de un sistema viene dada por sus carac-
ter´
ısticas de su respuesta temporal o bien de su respuesta de frecuencia.
3. Precisi´n. La respuesta de un servosistema debe seguir lo m´s fielmente posible a la
o a
entrada de referencia y por tanto la diferencia entre ambas o error debe ser m´
ınima.
71](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-71-320.jpg)
![72 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Estas especificaciones de funcionamiento pueden apreciarse analizando las curvas de respuesta
temporal y de respuesta de frecuencia del sistema objeto de estudio.
Respuesta temporal
La forma m´s natural de observar el funcionamiento de un sistema es el examen de su
a
respuesta temporal. Si la salida del sistema debe seguir a la entrada, podemos aplicar una
funci´n conocida a dicha entrada y examinar la salida obteniendo de la misma las caracter´
o ısticas
de inter´s. Se utilizan como funciones de entrada el impulso de Dirac, la funci´n escal´n unitario,
e o o
y las funciones rampa, par´bola, y sucesivas potencias de t. Las especificaciones de respuesta
a
temporal de un sistema de control se suelen referir generalmente a la respuesta del sistema a una
entrada escal´n unitario ya que en tal respuesta aparecen de forma clara ciertas caracter´
o ısticas
esenciales del sistema de control [Ogata 82, sec. 6.4].
La respuesta de un sistema a un escal´n unitario se suele representar en forma de una gr´fica,
o a
en la que se indican unas determinadas especificaciones de sus caracter´ ısticas m´s notables. En
a
el caso del sistema de segundo orden, las e especificaciones pueden hallarse anal´ ıticamente. En
la figura 5.1 se ha representado la respuesta al escal´n de un sistema y sus correspondientes
o
especificaciones. Se ha supuesto que la ganancia est´tica del sistema vale la unidad es decir
a
yss = 1.
Figura 5.1: Respuesta temporal
Rebasamiento m´ximo
a
Es la desviaci´n m´xima MP de la respuesta respecto al escal´n de entrada. Se suele expresar
o a o
en tanto por ciento del valor del escal´n.
o
El valor de MP puede hallarse, para el caso del sistema de segundo orden, igualando a cero
la derivada de su expresi´n de la respuesta temporal
o
1
y(t) = 1 + e−ξωn t sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) (5.1)
1 − ξ2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-72-320.jpg)
![5.1. ESPECIFICACIONES DE FUNCIONAMIENTO 75
Valor de estado estacionario
Es el l´
ımite al que tiende la respuesta cuando el tiempo tiende a infinito. Para una entrada
escal´n unitario tiene un valor igual a la ganancia est´tica del sistema. Puede hallarse aplicando
o a
el teorema del valor final de la transformada de Laplace. La transformada de la respuesta es,
Y (s) = [y(t)] = U (s) T (s)
siendo U (s) la transformada de la entrada y T (s) la funci´n de transferencia. Aplicando el
o
teorema del valor final,
yss = l´ y(t) = l´ [sY (s)] = l´ [s U (s) T (s)]
ım ım ım (5.3)
t→∞ s→0 s→0
Pero la transformada de Laplace de la funci´n escal´n unitario es 1/s, luego
o o
1
yss = l´ [s T (s)] = l´ T (s)
ım ım
s→0 s s→0
Respuesta de frecuencia
La respuesta de frecuencia de un sistema se define como la respuesta en en estado estacionario
del sistema a una entrada sinusoidal [Ogata 82, sec. 9.2]. Como ya sabemos, para una entrada
sinusoidal,
u(t) = A sin(ωt)
la respuesta en estado estacionario de un sistema lineal, con funci´n de transferencia G(s), es
o
tambi´n sinusoidal, de la forma
e
yss (t) = M sin(ωt + φ), M = |G(jω)|, φ = ∠G(jω)
La respuesta de frecuencia se suele expresar mediante diagramas en los que se representan el
m´dulo y la fase en funci´n de la pulsaci´n ω. En la figura 5.2 se ha representado el diagrama
o o o
de Bode de un sistema en el que se indican ciertos valores de la respuesta de frecuencia que se
utilizan habitualmente y que tienen relaci´n con las especificaciones de funcionamiento. Tales
o
valores son:
Frecuencias de corte. Generalmente el sistema tiene una zona, denominada zona de fre-
cuencias medias, en que la ganancia |G(jω)| se mantiene pr´cticamente constante, siendo
a
menor fuera de dicha zona. Las frecuencias de corte ωA y ωB son aquellas en que la ganan-
cia M es inferior en 3 dB a la ganancia en la zona de frecuencias medias. En los sistemas
de control es frecuente que ωA sea cero.
Anchura de banda BW. Es la banda o intervalo de frecuencias comprendida entre la fre-
cuencia de corte inferior ωA y la frecuencia de corte superior ωB .
Ganancia a frecuencias medias. A veces la ganancia del sistema a frecuencias comprendidas
dentro de la anchura de banda se considera constante, con un valor de M = |G(jωm )|,
siendo ωm un valor intermedio de la pulsaci´n.
o
Margen de fase y margen de ganancia. Son una medida de la estabilidad relativa de los
sistemas.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-75-320.jpg)
![76 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Figura 5.2: Respuesta de frecuencia
5.2. An´lisis del error
a
El error es una variable que aparece en todo sistema de control como consecuencia de la
realimentaci´n negativa y es un ´
o ındice relacionado directamente con la precisi´n del sistema
o
[Ogata 82, cap. 7]. En el sistema de la figura 5.3 el error es . El error depende de la funci´n de
o
entrada u(t) aplicada y del propio sistema definido por las funciones G(s) y H(s). Para facilitar
el an´lisis del error, se define el tipo del sistema y se calcula el error en estado estacionario
a
considerando unas funciones de entrada predefinidas.
U(s) Y(s)
G(s)
H(s)
Figura 5.3: Sistema de Control
Error de estado estacionario
Es el error existente para una entrada determinada cuando la variable de salida se ha esta-
bilizado. Se calcula aplicando el teorema del valor final de la transformada de Laplace.
ss = l´
ım (t) = l´ s (s)
ım (5.4)
t→∞ s→0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-76-320.jpg)
![78 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Es interesante conocer el error del sistema para cada una de las funciones de mando b´sicas
a
ya que, conocidas ´stas, puede hallarse, por el principio de superposici´n, el error para una
e o
funci´n de entrada cualquiera. En efecto, si la funci´n de entrada es u(t), se puede desarrollar
o o
en serie de Taylor de la forma,
u(0)
˙ r(0) 2
¨
u(t) = u(0) + t+ t + ...
1! 2!
por lo que el error para la entrada u(t) ser´ igual al error para entrada escal´n m´s el error para
a o a
entrada rampa etc.
Constantes de error
Las constantes de error de posici´n Kp , de velocidad Kv y de aceleraci´n Ka se definen,
o o
asociadas a las funciones b´sicas de entrada escal´n, rampa y par´bola, de la forma siguiente:
a o a
Kp = l´ [G(s)H(s)]
ım
s→0
Kv = l´ [sG(s)H(s)]
ım
s→0
Ka = l´ [s2 G(s)H(s)]
ım
s→0
Ahora podemos hallar los errores de estado estacionario correspondientes a las entradas
escal´n, rampa y par´bola, en funci´n de estas constantes, aplicando la f´rmula (5.6).
o a o o
sU (s)
ss = l´
ım
s→0 1 + G(s)H(s)
Si la entrada es un escal´n, como u(t) = r0 u(t) y U (s) = r0 /s, el error para entrada escal´n es:
o o
r0 r0
pss = l´
ım =
s→0 1 + G(s)H(s) 1 + Kp
Si la entrada es de tipo rampa, u(t) = v0 t, U (s) = v0 /s2 y el error para entrada rampa ser´:
a
v0 v0
vss = l´
ım =
s→0 s + sG(s)H(s) Kv
a0 2
Si la entrada es de tipo par´bola, u(t) =
a 2 t , U (s) = a0 /s3 , el error para entrada par´bola es:
a
a0 a0
ass = l´
ım =
s→0 s2 + s2 G(s)H(s) Ka
Tipo de sistema
Se llama tipo de sistema al n´mero de ra´ nulas del numerador de la trasmitancia de error,
u ıces
o bien del denominador de la funci´n, denominada funci´n de transferencia en lazo abierto,
o o
G(s)H(s). Dicho de otra manera, es el n´mero de integradores que tiene la funci´n G(s)H(s).
u o
Sea p el tipo de un sistema definido por las funciones G(s) y H(s). La funci´n de transferencia
o
en lazo abierto del sistema es:
N (s) N (s)
G(s)H(s) = = p
D(s) s D1 (s)](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-78-320.jpg)
![´
5.2. ANALISIS DEL ERROR 79
siendo D1 (s) un polinomio sin ra´ nulas. La ecuaci´n (5.3) puede ponerse en forma factorizada
ıces o
hallando las ra´
ıces de N (s) y D(s):
m
KGH i=1 (ai s+ 1)
G(s)H(s) = n
sp j=1 (aj s + 1)
Obs´rvese que la constante KGH es equivalente a Kp para un sistema de tipo cero, a Kv para
e
un sistema de tipo 1, y a Ka para un sistema de tipo 2.
Vamos a determinar cuanto vale el error de estado estacionario para cada una de las entradas
b´sicas, y para cada tipo de sistema. Poniendo N (s) y D(s) en la forma factorizada y aplicando
a
la f´rmula (5.7) queda
o
n
sU (s)sp j=1 (aj s + 1) sp+1 U (s)
ss = l´
ım m = l´
ım
s→0 KGH i=1 (ai s + 1) + sp n (aj s
j=1 + 1) s→0 KGH + sp
Mediante la f´rmula (5.4) se ha confeccionado la tabla 4.1 que da los valores del error de estado
o
estacionario para cada tipo de sistema y para entradas escal´n, rampa y par´bola.
o a
Tipo Escal´n
o Rampa Par´bola
a
r0
0 1+KGH ∞ ∞
v0
1 0 KGH ∞
a0
2 0 0 KGH
3 0 0 0
Cuadro 5.1: Error de estado estacionario
Se puede deducir de esta tabla que, a medida que aumenta el tipo del sistema, disminuye el
error. No obstante, ello implica la adici´n de integradores en la funci´n de transferencia en lazo
o o
abierto G(s)H(s), lo que puede afectar a la estabilidad.
Coeficientes de error
Se suelen denominar a veces coeficientes din´micos de error y se utilizan para hallar el error
a
en funci´n del tiempo, con lo que no s´lo podemos determinar el error de estado estacionario sino
o o
tambi´n el error din´mico. La expresi´n del error viene dada, en funci´n de estos coeficientes,
e a o o
por
C1 C2 Cn (n)
(t) = C0 u(t) + r(t) +
˙ u(t) + . . . +
¨ u (t)
1! 2! n!
siendo C0 , C1 , C2 , . . . , Cn los coeficientes de error y u(t) la entrada de referencia. Para hallar los
coeficientes de error ha de aplicarse la integral de convoluci´n al c´lculo de ( t):
o a
t
(t) = wE (τ )u(t − τ )dτ (5.8)
0
siendo w(t) la transformada inversa de la trasmitancia de error
W (s) = 1/[1 + G(s)H(s)]](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-79-320.jpg)
![80 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Si existen las n primeras derivadas de u(t), la funci´n u(t − τ ) puede desarrollarse en serie de
o
Taylor de la forma:
τ2
u(t − τ ) = u(t) − τ u(t) + u(t) − . . .
˙ ¨
2!
Aplicando la f´rmula (5.8) para el c´lculo de (t) y tomando el valor final de la expresi´n
o a o
resultante, se deduce que los coeficientes de error vienen dados por las expresiones siguientes:
C0 = l´ wE (s),
ım
s→0
dwE
C1 = l´
ım ,
s→0 ds
d2 wE
C2 = l´
ım
s→0 ds2
.
.
.
dn wE
Cn = l´
ım
s→0 dsn
5.3. Sensibilidad a las variaciones de los par´metros
a
La sensibilidad de un sistema a las variaciones de los par´metros expresa el cambio que se
a
produce en su comportamiento al cambiar el valor de tales par´metros [2, sec. 5.3]. En t´rminos
a e
matem´ticos, la sensibilidad de una funci´n F respecto a otra funci´n P se define como el
a o o
o o F
cociente entre la variaci´n relativa de F y la variaci´n relativa de P , y se denota por SP
P dF/F d(ln F ) P dF
SF = = = (5.9)
dP/P d(ln P ) F dP
Un sistema de control cuyas funciones de sensibilidad tienen valores reducidos se suele denominar
sistema robusto. En nuestro caso F es una funci´n de la variable compleja s, que representa una
o
funci´n de transferencia que determina el comportamiento del sistema, y P es un par´metro o
o a
funci´n cuya variaci´n hace que F tambi´n var´ En la figura (5.5) se representa un sistema
o o e ıe.
compuesto por dos bloques en cascada, con funciones de transferencia G1 y G2 , y otro formado
por los mismos bloques en lazo cerrado. Vamos a hallar la sensibilidad del sistema, en ambos
casos, con respecto a las variaciones de G1 . En el primer caso los bloques G1 y G2 est´n ena
cascada. La funci´n de transferencia total del sistema es
o
F = G1 G 2
Seg´n (5.9) la sensibilidad respecto del par´metro G1 es:
u a
F G1 dF G1
SG1 = = G2 = 1
F dG1 G1 G 2
Este resultado indica que, en ´ste sistema de lazo abierto, a una variaci´n reactiva en el par´metro
e o a
P corresponde una variaci´n relativa id´ntica en F y por lo tanto en su respuesta.
o e
El segundo caso es un sistema con realimentaci´n negativa de la salida a trav´s del bloque
o e
G2 . La funci´n de transferencia es:
o
G1
F =
1 + G1 G2](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-80-320.jpg)
![5.4. SENSIBILIDAD A LAS VARIABLES PERTURBADORAS 81
U(s) Y(s)
G1(s) G2(s)
U(s) Y(s)
G1(s)
G2(s)
Figura 5.5: Sistemas en cascada y en lazo cerrado
La sensibilidad respecto del par´metro G1 es ahora:
a
F G1 dF 1
SG1 = =
F dG1 1 + G1 G 2
Lo que indica que la sensibilidad respecto a la variaci´n del par´metro G1 se ha dividido por un
o a
factor (1 + G1 G2 ) en relaci´n al caso anterior. Sin embargo, si hallamos la sensibilidad respecto
o
al par´metro G2 , elemento de realimentaci´n,
a o
F G2 dF G2 −G21 −G1 G2
SG2 = = 2
= −1
F dG2 F (1 + G1 G1 ) 1 + G 1 G2
vemos que el sistema es muy sensible sus variaciones.
5.4. Sensibilidad a las variables perturbadoras
Hasta ahora se ha analizado la respuesta temporal y algunas especificaciones como la preci-
si´n de los sistemas de control, considerando que la entrada o entradas al sistema son se˜ales
o n
de referencia o mando deseadas e impuestas al sistema para obtener un determinado compor-
tamiento. Los sistemas se ven a menudo afectados por otras entradas no deseadas, de origen
diverso, que se aplican en algunos de sus componentes. Este tipo de entradas se suelen denomi-
nar entradas perturbadoras y suelen producirse por ruidos que afectan a las entradas de mando,
variaciones inevitables en los par´metros del sistema o cambios en el medio en que est´ actuando
a a
el sistema [2, sec. 5.4]. En los casos en que no sea posible eliminar las entradas perturbadoras
puede reducirse su efecto por medio de la realimentaci´n negativa. Consideremos la entrada no
o
deseada d del diagrama de bloques de la figura 5.6.
Las funciones de transferencia relativas a la salida y con relaci´n a cada una de las entradas
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-81-320.jpg)
![82 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
D(s)
X(s) Y(s)
G 1(s) G 2(s)
H(s)
Figura 5.6: Sistema de control con entrada perturbadora
son:
Y (s) G1 G2
=
U (s) 1 + G1 G 2 H
Y (s) G2
=
D(s) 1 + G1 G 2 H
Los polinomios caracter´ ısticos de ambas ecuaciones son id´nticos pero los numeradores difieren
e
en el factor G1 de la primera. Para atenuar el efecto de la entrada d se deber´ hacer cumplir la
a
condici´n G1 G2, actuando sobre los componentes del sistema.
o
5.5. Indicies de comportamiento de los sistemas
En el dise˜o de un sistema de control de tipo SISO (Single Input Single Output) pueden
n
utilizarse como ´ındices de funcionamiento los valores caracter´
ısticos de la respuesta temporal o de
la respuesta de frecuencia que hemos visto en el presente cap´ ıtulo [Ogata 82, sec. 7.3]. Mediante
´stos ´
e ındices se establecen criterios de control que, aplicados al dise˜o de los componentes de
n
los sistemas, pueden determinar los valores ´ptimos de ciertos par´metros. Por ejemplo, puede
o a
establecerse como criterio minimizar el tiempo de respuesta del sistema. Para ello podr´ tomarse
ıa
como ´ ındice de comportamiento del sistema el tiempo de subida t definido por la curva de
respuesta temporal de la figura 5.1. Quiz´s sea m´s conveniente, en otro sistema de control, el
a a
criterio de minimizar el error de estado estacionario. Suelen as´ mismo adoptarse otros ´
ı ındices
de calidad del sistema tales como
t t t
2
(t)d(t), | (t)|dt, t| (t)|dt
0 0 0
En la teor´ de control moderna, aplicable a sistemas MIMO (M´ltiple Input M´ltiple Output)
ıa u u
el ´
ındice I de comportamiento que ha de minimizarse para establecer un control ´ptimo suele
o
tener la forma
t1
I= f [x(t), u(t), t]d(t)
t0
en la que x(t) es el vector de estado, u(t) el vector de entradas y f la funci´n objetivo. Se han
o
desarrollado diferentes m´todos de dise˜o como el de asignaci´n de polos, controlador ´ptimo y
e n o o
otros basados en la teor´ de la programaci´n lineal y en la estad´
ıa o ıstica.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-82-320.jpg)
![5.6. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 83
5.6. Estabilidad de los sistemas de control
La estabilidad es la m´s importante entre las especificaciones de funcionamiento. M´s a´n,
a a u
es una condici´n necesaria para un aceptable comportamiento din´mico del sistema [Kuo 82,
o a
cap. 7].
Como ya hemos estudiado, la respuesta de un sistema de control cuyo modelo externo es
una funci´n de transferencia de orden n se basa en las ra´
o ıces si , i = 1, . . . , n de su ecuaci´n
o
caracter´ıstica. Si alguna de las ra´ si tiene parte real positiva, el t´rmino exponencial corres-
ıces e
pondiente de la respuesta, dada por
n
y(t) = ki esi t
i=1
tiende a infinito y el sistema es inestable. La inestabilidad de un sistema origina un funciona-
miento incorrecto del mismo, al quedar la respuesta fuera de los l´
ımites aceptables y puede, en
ocasiones, causar la destrucci´n del sistema o de algunos de sus componentes.
o
Pero no s´lo se requiere una repuesta estable del sistema definido por los valores actuales
o
de los par´metros asociados a sus componentes (estabilidad absoluta), sino que tal respuesta
a
debe permanecer estable aunque determinados par´metros sufran ciertas variaciones (estabilidad
a
relativa).
Estados de equilibrio
Supongamos que el modelo de un sistema din´mico es la ecuaci´n diferencial
a o
x = f (x, t)
˙ (5.10)
en donde x ∈ Rn , t ∈ R, f : Rn ×R → Rn y supongamos que la funci´n f satisface las condiciones
o
necesarias para la existencia y unicidad de la soluci´n x(t). Si f (x, t) no depende expl´
o ıcitamente
de t decimos que el sistema din´mico es aut´nomo. Por ejemplo, un p´ndulo que oscila libremente
a o e
y
α
x
θ
¢¡ ¢¡ ¢¡
¡¡¡ ¢ ¢
¢¡ ¢¡ ¢¡
¢ ¢¡¢¡¢¡
¡¡¡ ¢ ¢
¡ ¢¡ ¢¡
¢¡¢¡¢¡
¢¡¡¡¢ ¢
¡ ¡ ¡ ¢ ¢
mg
Figura 5.7: Estado de equilibrio de un p´ndulo
e
(figura 5.7), sin fuerzas exteriores, es un sistema aut´nomo. En efecto, aplicando la 2a ley de
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-83-320.jpg)
![84 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Newton, la ecuaci´n diferencial de este sistema es
o
d2 θ(t)
m l2 = −m g l sin θ(t)
dt
es decir,
d2 θ(t) g
= − sin θ(t),
dt l
cuyo segundo miembro no depende de t en forma expl´ ˙
ıcita. Si hacemos θ = x1 , θ = x2 , obtenemos
como modelo de estado
x1 (t) = x2 (t)
˙
x2 (t) = − g sin x1 (t)
˙ l
Una noci´n que todo el mundo intuye es la de punto de equilibrio. En el caso del p´ndulo, un
o e
punto de equilibrio es el definido por las condiciones iniciales α(t) = 270◦ , α (t) = 0 puesto que,
con esa posici´n y velocidad iniciales y en ausencia de fuerzas exteriores, no se mover´. Con la
o a
notaci´n habitual en el espacio de estado, dicho punto de equilibrio es
o
3
xe1 2π
xe1 = =
xe2 0
1
Otro punto de equilibrio es xe2 = [ 2 π, 0]T .
Se dice que un sistema din´mico definido por la ecuaci´n diferencial (5.10) tiene un punto o
a o
estado de equilibrio en x = xe , siendo xe un vector constante, si se cumple que f (xe , t) = 0 para
todo t. Se deduce de (5.10) que, si x(t0 ) = xe , entonces x(t) = xe para todo t t0 . Es decir
que toda soluci´n x(t) cuyo punto inicial es x(t0 ) = xe permanece en el mismo punto xe . Un
o
punto de equilibrio se denomina aislado si en un entorno de dicho punto no existe otra soluci´n o
constante.
Si realizamos el cambio x = x−xe se ve que el punto de equilibrio xe se traslada al origen del
espacio de estado en las nuevas variables de estado x . Por ello se suele considerar habitualmente
el origen como punto de equilibrio.
Estabilidad
La estabilidad de un sistema puede definirse con diferentes criterios que han dado lugar
a sucesivos conceptos de estabilidad aunque con significados equivalentes. Podemos pensar
intuitivamente que un sistema din´mico es estable en un punto xe de equilibrio si una ”pe-
a
que˜a”perturbaci´n de dicho estado en un instante t0 produce una evoluci´n din´mica tambi´n
n o o a e
”peque˜a”para t t0 . Volviendo al ejemplo del p´ndulo, se ve que este sistema es estable en el
n e
estado de equilibrio xe1 = [ 2 π, 0]T , pero es inestable en el punto xe2 = [ 1 π, 0]T .
3
2
Otro ejemplo en el que se podemos apreciar la idea de estabilidad es el representado en la
figura (5.8) Se trata de una bola colocada en una depresi´n topogr´fica (a), en la c´spide de
o a u
una altitud (b) y en un punto de un valle elevado (c). Vamos a suponer que existe rozamiento
y que, a partir de cada posici´n de equilibrio, se imprime un peque˜o desplazamiento a la bola.
o n
Sabemos por la experiencia que en el caso (a) la bola se mover´ de forma oscilante hasta que
a
finalmente quedar´ en reposo en el mismo estado de equilibrio que antes (equilibrio estable). En
a
el caso (b), un peque˜o desplazamiento har´ que la bola caiga al precipicio (equilibrio inestable).
n a
Por ultimo, en el caso (c), un peque˜o desplazamiento har´ que la bola vuelva a su posici´n de
´ n a o
equilibrio estable, como en el caso (a), pero un desplazamiento mayor puede hacer que la bola
pase a una nueva posici´n de equilibrio estable o incluso, para un desplazamiento a´n mayor,
o u
caiga al precipicio.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-84-320.jpg)
![5.6. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 85
¥¦ ¥¡
¦¡¡¥¦¥¦
¡£¤£¤
¤££¤
¡
¡
¡
¢¡
¢¡
(a) (b) (c)
Figura 5.8: Posiciones de equilibrio de una bola
Por estos y otros ejemplos podemos pensar que el concepto de estabilidad no parece del todo
simple. As´ es, y por ello se ha definido de muchas formas a lo largo del tiempo. A continuaci´n
ı o
se da la definici´n de Lyapunov.
o
Definicion 1 [Estabilidad]
Se dice que un estado de equilibrio en x = 0 es
(i) Estable: si para cualquier escalar 0 existe un escalar δ tal que x(t0 ) e δ implica
x(t) e para todo t ≥ t0 .
(ii) Asint´ticamente estable: si es estable y si, adem´s, x → 0 cuando x → ∞
o a
(iii) Inestable: si no es estable.
x2
x(t)
ε
δ
x1
x0
Figura 5.9: Estabilidad de Lyapunov
La figura (5.9) puede ayudar a comprender esta definici´n. En ella se ha representado una
o
posible trayectoria en R2 y dos c´
ırculos de radios δ y . Decimos que el sistema es estable si para](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-85-320.jpg)
![86 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
cada existe un δ tal que si el estado inicial x0 est´ dentro del c´
a ırculo de radio δ entonces la
ırculo de radio , para t ≥ t0 .
trayectoria x(t) queda dentro del c´
Prueba de Routh-Hurwitz
Si la ecuaci´n caracter´
o ıstica del sistema se halla en forma factorizada, la estabilidad del
sistema puede determinarse de modo inmediato por inspecci´n de las ra´
o ıces. Si hay alguna ra´
ız
con parte real positiva el sistema es inestable. La prueba de Routh es un m´todo para averiguar
e
el n´mero de ra´ de la ecuaci´n caracter´
u ıces o ıstica que se encuentran en la mitad derecha del plano
complejo, es decir, tienen parte real positiva [Kuo 82, sec. 7.5]. Consideremos un sistema cuya
ecuaci´n caracter´
o ıstica sea
an sn + an−1 sn−1 + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 = 0 (5.11)
Una condici´n necesaria para que las ra´ de la ecuaci´n tengan todas la parte real negativa es
o ıces o
que los coeficientes de dicha ecuaci´n tengan todos el mismo signo y que no haya ninguno nulo.
o
La condici´n necesaria y suficiente para que las ra´
o ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica se en-
cuentren ubicadas en el semiplano derecho es que los determinantes de Hurwitz D1 , D2 , . . . , Dn
de dicha ecuaci´n sean todos positivos. Los determinantes de Hurwitz correspondientes a la
o
ecuaci´n caracter´
o ıstica (5.11) est´n definidos de la siguiente manera:
a
an−1 an−3 an−5
an−1 an−3
D1 = an−1 , D2 = , D3 = an an−2 an−4
an an−2
0 an−1 an−3
an−1 an−3 an−5 an−7 ...
an an−2 an−4 an−6 ...
0 an−1 an−3 an−5 ...
Dn = 0 0 an−2 an−4 ...
.
. .. .. .. ..
. . . . .
0 0 0 ... a0
Para evitar el c´lculo de determinantes de orden elevado se forma la tabla de Routh, de la
a
forma que continuaci´n se indica.
o
Las primera fila se forma con los coeficientes pares y la segunda con los impares. Las sucesivas
filas se forman a partir de las dos primeras del modo siguiente:
an an−2 an an−4 an an−6
an−1 an−3 an−1 an−5 an−1 an−7
b1 = , b2 = , b3 =
−an−1 −an−1 −an−1
an−1 an−3 an−1 an−5 an−1 an−7
b1 b 2 b1 b3 b1 b4
c1 = , c2 = , c3 = (5.12)
−b1 −b1 −b1
De este modo se calculan los coeficientes y se van colocando en la tabla de Routh como se indica
en la tabla 5.2. El proceso contin´a hasta la fila n + 1. El criterio de Routh establece que la
u
condici´n necesaria y suficiente para que todas las ra´
o ıces de la ecuaci´n caracter´
o ıstica tengan
parte real negativa es que todos los elementos de la primera columna de la tabla tengan el mismo
signo. De otro modo, el n´mero de cambios de signo habidos en los elementos de dicha columna
u
es igual al n´mero de ra´ de la ecuaci´n caracter´
u ıces o ıstica con parte real positiva. Puede probarse](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-86-320.jpg)
![88 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
en donde A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , sabemos que si u(t) es una funci´n continua (o
o
continua a trozos), la soluci´n x(t) de la ecuaci´n diferencial con la condici´n inicial x(0) = x0
o o o
tiene una unica soluci´n, que viene dada por la expresi´n
´ o o
t
x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ
0
Para demostrar esta f´rmula, multipliquemos ambos miembros de (5.13) por eAt , por la izquierda:
o
eAt x(t) = eAt Ax(t) + eAt Bu(t)
˙
Teniendo en cuenta que
d −At
[e x(t)] = −e−At Ax(t) + e−At x(t)
˙
dt
queda
d −At
[e x(t)] = eAt Bu(t)
dt
e, integrando, obtenemos la soluci´n:
o
t
x(t) = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ
0
Si el instante inicial es t = t0 en vez de t = 0, las condiciones iniciales ser´n x0 = x(t0 ) y la
a
expresi´n de la soluci´n es entonces
o o
t
x(t) = eA(t−t0 ) x(t0 ) + e−A(τ −t0 ) Bu(τ )dτ (5.14)
t0
A veces se utiliza la notaci´n
o
φ(t, t0 ) := eA(t−t0 )
en donde φ(t, to ) se denomina matriz de transici´n entre estados. Es f´cil ver que tiene las
o a
siguientes propiedades
d
1. dt φ(t, t0 ) = Aφ(t, t0 )
2. φ(t, t) = In
3. φ(t0 , t) = φ−1 (t, t0 )
4. φ(t, t0 ) = φ(t, t1 )φ(t1 , t0 ), t 0 ≤ t1 ≤ t
Utilizando la matriz de transici´n, la soluci´n se escribe
o o
t
x(t) = φ(t, t0 ) x(t0 ) + φ(t0 , τ )Bu(τ )dτ (5.15)
t0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-88-320.jpg)
![5.7. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 89
Controlabilidad
Ya sabemos hallar la soluci´n del sistema (5.13), aplicando la f´rmula (5.15). Dado que el
o o
estado x(t) del sistema pertenece al espacio vectorial R n , obviamente hay en el mismo un numero
infinito de estados. Nos plantemos el siguiente problema: ¿Es controlable el sistema? Es decir, ¿es
posible, por medio del control, alcanzar todos los estados? M´s exactamente, dados dos estados
a
cualesquiera, uno inicial x(t0 ) = x0 y otro x1 , ¿existir´ alg´n vector de entrada u(t) tal que la
a u
soluci´n x(t) del sistema, para un tiempo finito t = t1 t0 , valga x(t1 ) = x1 ?
o
Definicion 2 Se dice que el sistema (5.13) es completamente controlable (o, sin m´s, controla-
a
ble) si, dado un instante inicial t0 y dados dos estados cualesquiera, uno inicial x(t0 ) = x0 y otro
final xf , existe un tiempo t1 t0 y un vector de control u(t), t0 ≤ t ≤ t1 , tales que x(t1 ) = xf .
Es f´cil ver (realizando el cambio de coordenadas x = x − xf ) que siempre podemos con-
a
siderar que el estado final es el origen del espacio de estado, es decir, xf = 0. Por ello, no se
pierde generalidad si en los razonamientos suponemos xf = 0.
Si en la f´rmula (5.14) ponemos t0 = 0, x(0) = x0 , xf = 0, queda
o
t1
−eAt1 x(0) = eA(t1 −τ ) Bu(τ )dτ
0
y, simplificando,
t1
−x(0) = e−Aτ Bu(τ )dτ
0
Consideremos el conjunto
t1
Γt1 = e−Aτ Bu(τ )dτ : u(t) ∈ C z [0, t1 ]
0
en donde C z [0, t1 ] denota el espacio lineal de las funciones continuas a trozos, con discontinuidades
de salto finito, en [0, t1 ]. Podemos considerar que el conjunto Γt1 est´ definido por la aplicaci´n
a o
lineal
C z [0, t1 ] → Rn
t
u(t) → 0 1 e−A(τ Bu(τ )dτ
con lo que Γt1 es un subespacio vectorial que se denomina subespacio de controlabilidad. Como
vamos a ver a continuaci´n, la matriz Q ∈ Rn×nm dada por
o
Q = [B AB A2 B . . . An−1 B]
est´ estrechamente relacionada con el problema que estamos estudiando y se llama matriz de
a
controlabilidad.
Teorema 5.7.1 El sistema
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙ (5.16)
en donde A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , es controlable si y s´lo si la matriz de controlabilidad Q tiene
o
rango n
Demostracion: ´
a) Necesidad : Sistema controlable =⇒ rg Q = n](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-89-320.jpg)
![90 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Supongamos que el sistema es controlable. Para probar que rg Q = n vamos a ver que la condici´n
o
contraria, rg Q n, nos lleva a una contradicci´n.
o
Si rg Q n, las filas de la matriz Q son linealmente dependientes, por lo que ha de existir
un vector no nulo q ∈ Rn tal que
qB = 0, qAB = 0, qA2 B = 0, . . . , qAn−1 B = 0 (5.17)
Sabemos que la soluci´n del sistema (5.16) es
o
t
x(t) = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ (5.18)
0
Sea t0 = 0, x(0) = x0 e impongamos que x(t) = 0 para t = t1 0, lo cual puede hacerse por ser
el sistema controlable. Entonces tenemos
t1
x(t1 ) = 0 = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ
0
Sabemos, por la teor´ de matrices [?, p.69], que la funci´n exponencial matricial e−At se puede
ıa o
expresar como polinomio en A de grado, a lo sumo, n − 1, de la forma
e−At = r0 I + r1 A + . . . + rn−1 An−1
en donde ri , i = 0, . . . , n − 1, son funciones escalares de τ que pueden calcularse. Sustituyendo
en la ecuaci´n anterior y simplificando, queda
o
t1
−x0 = − (r0 I + r1 A + . . . + rn−1 An−1 )B u(τ )dτ
0
Multiplicando por la izquierda por q tenemos
t1
−qx0 = − (qr0 I + qr1 A + . . . + qrn−1 An−1 )B u(τ )dτ
0
pero, seg´n (5.17), ha de ser qB = 0, qAB = 0, . . . , qAn−1 B = 0, de donde resulta que
u
qx0 = 0
Al ser el sistema completamente controlable, esto ha de ser v´lido para cualquier x0 , es decir
a
∀x0 : qx0 = 0, lo cual implica que ha de ser q = 0.
Hemos llegado a una contradicci´n y, por tanto, se ha de verificar que
o
rg Q = n
b) Suficiencia: rg Q = n =⇒ Sistema controlable.
Suponiendo que rg Q = n, vamos a probar que, para cualquier estado inicial x0 , existe un control
u(t), 0 ≤ t ≤ t1 , que, sustituido en (5.18), hace que x(t1 ) = 0. Vamos a “fabricar” una funci´n
o
u(t) cumpla esto. Para ello vamos a utilizar la matriz sim´trica constante
e
t1
Tτ
M= e−Aτ BB T e−A dτ
0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-90-320.jpg)
![5.7. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 91
y su forma cuadr´tica asociada
a
t1
Tτ
αT M α = αT e−Aτ BB T eA α dτ (5.19)
0
t1
= φ(τ )φT (τ )dτ
0
t1
2
= φ(τ ) e dτ ≥ 0
0
En donde α ∈ Rn . Est´ claro que M es semidefinida positiva y que ser´ singular si y s´lo si
a a o
existe un vector no nulo α ∈ R
ˆ n tal que
αT M α = 0
ˆ ˆ (5.20)
ya que entonces Ker M = {0}. Pero, si fuera as´ seg´n (5.20) y por la propiedad de la norma
ı, u
ıdea de matrices que dice A = 0 ⇐⇒ A = 0, entonces deber´ ser φ(τ ) = 0, 0 ≤ τ ≤ t1 .
eucl´ ıa
Ahora bien, como
t2 t3
eAt = In + At + A2 + A3 + . . .
2! 3!
tenemos que
τ2 τ3
φ(τ ) = αT e−AT = αT (In − Aτ + A2
ˆ ˆ − A3 + . . .) B = 0, 0 ≤ τ ≤ t1
2! 3!
de donde se deduce que
αT B = 0, αT AB = 0, αT A2 B = 0, . . .
ˆ ˆ ˆ
y, por tanto, αT Q = 0. Pero esto no es posible ya que, por hip´tesis, rg Q = n. Por tanto no
ˆ o
puede existir un vector α que verifique (5.20), como hab´
ˆ ıamos supuesto, y resulta que la matriz
M no es singular.
Si ahora tomamos como vector “fabricado” de control
T
u(t) = −B T eA t M −1 x0 , 0 ≤ t ≤ t1 ,
sustituyendo en (5.18) para t = t1 queda
t1
Tτ
x(t1 ) = eAt1 [x0 − e−A M −1 x0 dτ ]
0
= eAt1 [x0 − M M −1 x0 ] = 0
que era lo que quer´
ıamos y, por tanto, el sistema es controlable. 2
Observabilidad
En un sistema din´mico las variables accesibles, observables si se quiere, son las salidas. En
a
cambio, las variables de estado son variables internas que, en principio, no son accesibles ni, por
tanto, observables, al menos directamente. La observabilidad es la cualidad que permite, cuando
existe, determinar las variables de estado de un sistema din´mico a partir de las variables de
a
salida del mismo.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-91-320.jpg)
![92 CAP´
ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL
Definicion 3 Se dice que un sistema din´mico lineal, definido por
a
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
˙
(5.21)
y(t) = Cx(t)
es completamente observable o, sin m´s, observable, si para cualquier instante inicial t0 y para
a
cualquier estado inicial x(t0 ) = x0 existe un tiempo finito t1 t0 tal que el conocimiento de u(t)
y de y(t) para t0 t t1 es suficiente para determinar x0 de forma unica.
´
Teorema 5.7.2 El sistema din´mico lineal y de coeficientes constantes (5.21) es observable si
a
y s´lo si la matriz de observabilidad R ∈ Rnm×n ,
o
C
CA
2
R := CA ,
.
.
.
CAn−1
tiene rango igual a n.
La demostraci´n es parecida a la del teorema (5.7.1). Ver [?, p.113].
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-92-320.jpg)
![Bibliograf´
ıa
[1] P.H. Lewis, C. Yang Sistemas de Control en Ingenier´ Prentice Hall, Madrid, 1999.
ıa.
[Kuo 82] B. Kuo
Sistemas Autom´ticos de Control
a
Ed. Continental. 1982
[Maltab]
MATLAB Reference Guide
The MathWorks Inc., 1994
[Ogata 82] K. Ogata
Ingenier´ de Control Moderna
ıa
Prentice Hall International, 1982
[Ogata 87] K. Ogata
Discrete-Time Control Systems
Prentice Hall International, 1987
93](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-93-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 6
Sistemas de Tiempo Discreto
6.1. Introducci´n
o
El progresivo perfeccionamiento y la disminuci´n del coste de los microprocesadores, desde
o
su aparici´n en 1971, ha permitido su utilizaci´n en aplicaciones diversas entre las que destacan
o o
las de control. En la actualidad los sistemas de control basados en microprocesadores pueden
competir en precio con los dise˜ados con componentes anal´gicos, incluso en sistemas monovaria-
n o
bles, siendo de prestaciones muy superiores. Un controlador digital puede realizar la funci´n de
o
un controlador anal´gico en un sistema de regulaci´n. Pero adem´s, el controlador digital puede
o o a
realizar procesos de control mucho mas complejos y precisos no s´lo en sistemas monovariables
o
sino tambi´n en los multivariables. Adem´s de la tarea de control el microprocesador puede
e a
realizar otras como, por ejemplo, el almacenamiento de datos en la memoria, la visualizaci´n de
o
resultados, la comunicaci´n con otros controladores u ordenadores para intercambio de datos, la
o
supervisi´n del proceso, c´lculos de todo tipo, y otras muchas, inimaginables en un sistema de
o a
control de tipo anal´gico. Por todo ello los sistemas de control digital se han extendido desde las
o
tradicionales aplicaciones aeroespaciales y militares hasta otras de consumo como, por ejemplo,
la industria automovil´ıstica y los electrodom´sticos.
e
6.2. Sistemas de tiempo discreto
Para un estudio detallado de estos sistemas vease [Ogata 87]. Los sistemas de tiempo discre-
to son aquellos cuyas magnitudes s´lo pueden tomar un n´mero finito de valores las cuales son
o u
funciones de la variable discreta tiempo (figura 6.1). Los sistemas f´
ısicos existentes en la Natu-
raleza son siempre de tiempo continuo. Los sistemas de tiempo discreto surgen de una manera
.
0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 9.9 0 to 10 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 5.9 to 0 6 ..0.25cm¿[0.15,0.6]
........
.
..... .
x(t)
t
tt1..k
t02 ...
.
t
Figura 6.1: Se˜ales de tiempo continuo y discreto
n
95](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-95-320.jpg)
![96 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Computador u(kT) u(t) y(t)
D/A Planta
- Algoritmo -
y(kT)
A/D
Reloj
Figura 6.2: Sistema de control por computador
artificial al considerar, por diferentes razones, que los valores de las variables s´lo existen para
o
valores discretos del tiempo.
6.2.1. Sistemas intr´
ınsecamente discretos
Existen sistemas inherentemente discretos, como son los sistemas electr´nicos digitales se-
o
cuenciales s´
ıncronos, en los que las transiciones entre estados solo ocurren en instantes discretos
de tiempo dados por un oscilador. As´ aunque las se˜ales existen para todos los valores del
ı, n
tiempo, el sistema solo es activo en los instantes que va marcando el reloj; en el resto del tiempo
el sistema permanece est´tico, no cambia. Los computadores son un claro ejemplo de este tipo
a
de sistemas.
Filtros digitales
Son tambi´n sistemas intr´
e ınsecamente discretos son los filtros digitales. Un filtro digital es
un programa de computador que opera sobre una secuencia n´m´rica de entrada y obtiene como
u e
resultado otra secuencia nu´rica de salida.
e
Dicretizaci´n del tiempo por razones de c´lculo
o a
En cierto sentido pueden considerarse discretos los sistemas que, siendo continuos, se discre-
tizan a efectos de c´mputo por resultar as´ mas sencilla la obtenci´n de resultados por ordenador.
o ı o
Ello permite la obtenci´n de modelos digitales de sistemas continuos y su resoluci´n por orde-
o o
nador.
6.2.2. Sistemas controlados por computador
Los sistemas de control por computador son sistemas mixtos, es decir, tienen una parte
o subsistema que evoluciona en tiempo cont´ ınuo y otra que lo hace en tiempo discreto. El
subsistema de tiempo discreto se suele denominar controlador digital. Este, en instantes discretos
de tiempo, muestrea un conjunto de se˜ales del subsistema continuo, las procesa y las transmite
n
de nuevo al sistema. Estos sistemas, cuya naturaleza es continua en parte, son discretos desde el
punto de vista del controlador que s´lo conoce los valores de las se˜ales en instantes discretos.
o n
En la figura 6.2 se represenenta el diagrama de bloques de uno de estos sistemas [?].](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-96-320.jpg)
![6.3. SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO MUESTREADOS 97
Clk(kT)
x h(t)
x(t) C
Figura 6.3: Circuito de muestreo y retenci´n
o
Sistemas de eventos discretos
En estos sistemas existen procesos que evolucionan de modo concurrente, es decir, simult´nea-
a
mente. Cada proceso puede estar gobernado localmente por un sistema digital apropiado, con
frecuencia un aut´mata programable, y todos los procesos est´n controlados por un computador
o a
central. Este computador puede estar a su vez conectado con otros mediante una red de ´rea a
local (LAN).
Su estudio abarca ciertas ´reas t´cnicas como automatismos, sistemas operativos de tiempo
a e
real, buses de conexi´n de perif´ricos y redes locales asi como otras m´s te´ricas como son los
o e a o
distintos modelos matem´ticos existentes, entre los que podemos citar, GRAFCET, redes de
a
Petri [1] y las teor´ sobre procesos estoc´sticos y procesos de colas. Su campo de aplicaci´n es
ıas a o
la automatizaci´n de procesos industriales.
o
6.3. Sistemas de tiempo continuo muestreados
El proceso de muestreo de una se˜al anal´gica consiste en sustituir la se˜al original continua
n o n
en el tiempo por una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo [2,
sec. 11.1]. En la figura 6.1, x(t) se ha representado una se˜al continua en el tiempo. El muestreo
n
de esta se˜al consiste en obtener la secuencia x 0
n ∗ (t ), x∗ (t ), x∗ (t ), x∗ (t ), . . . correspondiente a
1 2 3
los valores de x(t) en los instantes t0 , t1 , t2 , t3 , . . .. A este proceso sigue otro de cuantificaci´n o
que consiste en convertir los valores anal´gicos obtenidos por el muestreo en n´meros.
o u
En la pr´ctica, la se˜al x(t) es generalmente de naturaleza el´ctrica. El proceso de muestreo
a n e
se realiza mediante un circuito electr´nico de muestreo y retenci´n o Sample and Hold (SH)
o o
similar al de la figura 6.3. En este circuito, el interruptor S es activado por un impulso de control
en cada instante de muestreo tk , cargando el condensador C a la tensi´n x(tk ). El condensador
o
mantiene la teni´n hasta que se vuelve a cerrar S en el instante tk+1 . En la figura 6.4 se han
o
representado las se˜ales de entrada x(t) y de salida xh (t) de este circuito. Si el intervalo de tiempo
n
(tk+1 − tk ) que transcurre entre cada dos muestreos consecutivos es constante el muestreo se
denomina peri´dico y el intervalo T = (tk+1 − tk ), per´
o ıodo de muestreo. Otros tipos de muestreo
son el de orden m´ltiple, el de per´
u ıodo m´ltiple y el de per´
u ıodo aleatorio. El m´s com´n es el
a u
muestreo peri´dico.
o
Puede observarse en la figura 6.4 que la se˜al de salida del circuito de muestreo y retenci´n no
n o
es una funci´n de tiempo discreto sino que es continua (constante) en cada per´
o ıodo de muestreo,
presentando discontinuidades en los instantes de muestreo.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-97-320.jpg)
![98 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
◦◦◦◦ 0.25cm¿
x◦
◦◦◦
◦◦h
.
0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 23.9 0 to 24 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 14 5.9 to 14 6 ¡.1cm¿(t) ..........
t
tt1..k
t02 ...
.
t
Figura 6.4: Muestreo y retenci´n de la se˜al
o n
x(t)
Vcc
3R/2
R
CIRCUITO COMBINACIONAL
R
b2
R
b1
R
b0
R
R
R/2
Figura 6.5: ADC de 3 bits de tipo flash](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-98-320.jpg)
![´ ˜
6.4. RECONSTRUCCION DE LA SENAL MUESTREADA 99
0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 0 to 10 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 0 to 0 6 ◦◦◦◦(t) ..........
x◦
.
◦◦◦
◦◦∗
¡.1cm¿0.25cm¿[0.15,
t
tt1..k
t02 ...
.
t tt1..k
t02 ...
.
t
Figura 6.6: Reconstrucci´n de la se˜al con ZOH
o n
El proceso de cuantificaci´n es realizado por otro circuito electr´nico, un convertidor anal´gi-
o o o
co digital (ADC), que obtiene el c´digo binario de cada uno de los valores xh (t) que el circuito
o
SH va presentando en su salida. Entre los ADC existentes podemos rese˜ar los tipos de aproxi-
n
maciones sucesivas, integrador, contador y paralelo (flash). Por su simplicidad se ha representado
en la figura 6.5 un ADC de 3 bits de tipo flash. Este convertidor efect´a la conversi´n del va-
u o
lor anal´gico de xh (t) presentado en su entrada a c´digo Jhonson, que es convertido a binario
o o
natural por un circuito combinacional.
Este tipo de convertidores proporciona una gran velocidad de conversi´n, s´lo limitada por
o o
los tiempos de los comparadores y del circuito l´gico combinacional.
o
6.4. Reconstrucci´n de la se˜ al muestreada
o n
El problema complementario al de muestreo de una se˜al es el de la reconstrucci´n de la
n o
misma a partir de una secuencia de muestras. Consiste en obtener la se˜al original continua en
n
el tiempo a partir de una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo.
El m´todo utilizado en la pr´ctica consiste en realizar dos etapas: conversi´n digital-anal´gica
e a o o
y retenci´n de la se˜al de salida del convertidor [2, sec. 11.4]. Un convertidor digital-anal´gico
o n o
realiza la primera etapa mientras que la segunda es producida por un circuito de retenci´n o
incorporado generalmente en el propio convertidor. Por este m´todo se obtiene la se˜al xr a
e n
partir de sus muestras x∗ (t) (figura 6.6). Debe observarse que la se˜al xr (t) no es la se˜al
n n
original x(t) sino una se˜al obtenida a base de pulsos de altura x(kT ) y anchura T . No obstante,
n
la se˜al original x(t) puede obtenerse, en teor´ exactamente, a partir de sus muestras siempre
n ıa
que sea una se˜al de banda limitada, es decir, que la m´xima pulsaci´n de los arm´nicos de su
n a o o
espectro sea inferior a una dada ωmax = B.
6.4.1. Teorema del muestreo
Si una se˜al x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con per´
n ıodo Ts , tal que ωs =
2π/Ts 2B, la se˜al x(t) puede ser reconstruida completamente a partir de la se˜al muestreada
n n
x∗ (t).](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-99-320.jpg)
![100 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
δ(t) 1(t)-1(t-T)
ZOH(s)
Figura 6.7: Elemento de retenci´n de orden cero
o
6.4.2. Teorema de Shannon
Si una se˜al x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con per´
n ıodo Ts , tal que ωs =
2π/Ts 2B, la se˜al original x(t) viene dada por la expresi´n
n o
∞
sin[ωs (t − kTs )/2]
x(t) = x(kTs ) (6.1)
ωs (t − kTs )/2
k=−∞
La demostraci´n de estos teoremas puede hallarse en [?, sec. 6.5]
o
6.4.3. El elemento de retenci´n de orden cero (ZOH)
o
El filtro paso-bajo ideal realiza la operaci´n expresada por (6.1). Sin embargo tal filtro no
o
existe en la realidad por lo que la reconstrucci´n de la se˜al a partir de sus muestras debe hacerse
o n
en la pr´ctica con filtros paso-bajo reales de orden cero, uno etc. El mas sencillo es el circuito
a
de retenci´n de orden cero o Zero Order Hold (ZOH). Este circuito consta en esencia de un
o
condensador que se mantiene cargado a la tensi´n de cada uno de los impulsos que constituyen
o
las muestras x ∗ (t) (figura 6.3) Supongamos que, en t = 0, se aplica un impulso unitario a la
entrada del ZOH. La salida es un pulso de duraci´n T (figura 6.7). Las transformadas de Laplace
o
las variables de entrada y salida son:
(1 − e−sT )
L[δ(t)] = 1, L[1(t) − 1(t − T )] =
s
y por tanto, la funci´n de transferencia del circuito de retenci´n de orden cero es
o o
1 − e−sT
ZOH(s) = (6.2)
s
6.4.4. La transformada estrella
La se˜al muestreada x∗ (t) puede expresarse matem´ticamente por medio de una suma de
n a
impulsos en los instantes de muestreo, de amplitud x(kT ), de la forma
x∗ (t) = x(0)δ(t) + x(T )δ(t − T ) + x(2T )δ(t − 2T ) + . . .
∞
= x(kT )δ(t − kT ) (6.3)
k=0
Su transformada de Laplace, a veces denominada transformada estrella [Ogata 87, sec. 3.5], es
∞
X ∗ (s) = x(0) + x(T )e−sT + x(2T )e−2sT + . . . = x(kT )e−skT (6.4)
k=0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-100-320.jpg)
![6.5. LA TRANSFORMADA Z 101
Transformada estrella de la secuencia 1(kT)
25
20
15
Parte real de 1*(s)
10
5
0
-5
-10
10
5 1
0 0.5
0
-5
-0.5
imag -10 -1
real
Figura 6.8: Aspecto de una funci´n X ∗ (s) (parte real)
o
Podemos ver que X ∗ (s) es una funci´n peri´dica en el plano s (figura 6.8), con per´
o o ıodo jωs .
En efecto, si s = 2π/T es la pulsaci´n de muestreo y n es un n´mero entero:
o u
∞ ∞
∗ −kT (s+jnωs )
X (s + jnωs ) = x(kT )e = x(kT )e−skT e2πknj (6.5)
k=0 k=0
es decir que
∞
X ∗ (s + jnωs ) = x(kT )e−skT = X ∗ (s) (6.6)
k=0
La expresi´n matem´tica de la se˜al xr puede hallarse teniendo en cuenta que se obtiene a
o a n
partir de x∗ (t) y de la sucesi´n de pulsos obtenidos con el elemento ZOH. Por tanto,
o
∞
1 − e−sT
∗
Xr (s) = ZOH(s)X (s) = x(kT )e−kT s (6.7)
s
k=0
6.5. La transformada z
Hemos visto que la transformada de Laplace de una se˜al muestreada x∗ (t) es (6.4):
n
∞
L[x∗ (t)] = X ∗ (s) = x(kT )e−kT s (6.8)
k=0
Definimos una nueva variable z mediante el cambio
esT = z](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-101-320.jpg)
![102 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Con la nueva variable z, la ecuaci´n (6.4) se puede escribir
o
∞
X ∗ (s) = x(kT )z −k = X(z) (6.9)
k=0
La transformada z de una funci´n x(t) se define como
o
∞
Z[x(kT )] = X ∗ (s)|esT =z = x(kT )z −k = X(z) (6.10)
k=0
La transformada z de una funci´n x(t) es la transformada de Laplace de la funci´n x∗ (t) (x(t)
o o
muestreada), haciendo esT = z.
As´ como la transformada de Laplace serv´ para modelizar los sistemas continuos, la trans-
ı ıa
formada z hace el mismo papel en los de los sistemas discretos.
6.5.1. Propiedades y teoremas de la transformada z
Se describen a continuaci´n algunas propiedades de la transformada z. Por simplicidad se
o
supone que el per´ıodo de muestreo T es la unidad. Las demostraciones son inmediatas aplicando
la definici´n de la transformada z. Para un estudio m´s completo v´ase [Ogata 87, sec. 2.4].
o a e
1. Es una transformaci´n lineal:
o
Z[ax(k) + by(k)] = aZ[x(k)] + bZ[y(k)] = aX(z) + bY (z)
2. Multiplicaci´n por la constante ak :
o
z
Z[ak x(k)] = X
a
3. Traslaci´n real:
o
Z[x(k − n)] = z −n X(z)
n−1
Z[x(k + n)] = z [X(z) −n
x(k)z −k ]
k=0
4. Traslaci´n compleja:
o
Z[e−ak x(k)] = X(ea z)
5. Valor inicial:
x(0) = l´ X(z)
ım
z→∞
6. Valor final:
l´ x(k) = l´ (1 − z −1 )X(z)
ım ım
k→∞ z→1
6.5.2. Transformadas de algunas funciones elementales
Aplicando la definici´n, las propiedades y los teoremas antes enunciados, pueden obtenerse
o
las transformadas z de algunas funciones sencillas, de uso com´n, que se indican en la tabla 6.1
u](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-102-320.jpg)
![6.5. LA TRANSFORMADA Z 103
f (t) F (s) F (z)
δ(t) 1 δK (0)
1 z
1(t) s z−1
1 Tz
t s2 (z−1)2
1 2 1 1 T 2 z (z+1)
2t s3 2 (z−1)3
1 3 1 1 T 3 z (z 2 +1+4 z)
3! t s4 3! (z−1)4
1 n 1 (−1)n−1 ∂ n−1 z
n! t sn l´ a→0
ım (n−1)! ∂an−1 z−e−aT
1 z
e(−a t) s+a z−e(−a T )
w sin(w T ) z
sin(w t) s2 +w2 −2 z cos(w T )+z 2 +1
s z (−cos(w T )+z)
cos(w t) s2 +w2 −2 z cos(w T )+z 2 +1
s+a z (−e(−a T ) cos(w T )+z)
e(−a t) cos(w t) (s+a)2 +w2 −2 z e(−a T ) cos(w T )+z 2 +e(−2 a T )
w z e(−a T ) sin(w T )
e(−a t) sin(w t) (s+a)2 +w2 −2 z e(−a T ) cos(w T )+z 2 +e(−2 a T )
(s+σ) sin(φ)+w cos(φ) z (cos(φ) e(−σ T ) sin(w T )−sin(φ) cos(w T ) e(−σ T ) +sin(φ) z)
e(−σ t) sin(w t + φ) (s+σ)2 +w2 e(−2 σ T ) −2 z cos(w T ) e(−σ T ) +z 2
(s+σ) cos(φ)−w sin(φ) z (cos(φ) e(−σ T ) cos(w T )+sin(φ) sin(w T ) e(−σ T ) −cos(φ) z)
e(−σ t) cos(w t + φ) (s+σ)2 +w2 −e(−2 σ T ) +2 z cos(w T ) e(−σ T ) −z 2
Cuadro 6.1: Transformadas z de algunas funciones
6.5.3. Transformada z de diferencias finitas
Se define la diferencia primera hacia atr´s, entre x(k) y x(k − 1), como
a
∆x(k) = x(k) − x(k − 1)
La transformada z de ∆x(k) es
Z[∆x(k)] = Z[x(k) − x(k − 1)] = Z[x(k)] − Z[x(k − 1)]
= X(z) − z −1 X(z) = (1 − z −1 )X(z)
La diferencia segunda hacia atr´s se define como la diferencia de la diferencia primera, es decir
a
∆2 x(k) = ∆[∆x(k)] = ∆[x(k) − x(k − 1)] = ∆[x(k)] − ∆[x(k − 1)]
= x(k) − x(k − 1) − x(k − 1) + x(k − 2)
= x(k) − 2x(k − 1) + x(k − 2)
Por tanto, la transformada z de la diferencia segunda es
Z[∆2 x(k)] = Z[x(k) − 2x(k − 1) + x(k − 2)]
= X(z) − 2z −1 X(z) + z −2 X(z)
= (1 − 2z −1 + z −2 )X(z)](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-103-320.jpg)
![104 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
es decir
Z[∆2 x(k)] = (1 − z −1 )2 X(z)
y del mismo modo pueden obtenerse
Z[∆3 x(k)] = (1 − z −1 )3 X(z)
Z[∆4 x(k)] = (1 − z −1 )4 X(z)
.
.
.
Z[∆n x(k)] = (1 − z −1 )n X(z)
Se deduce aqu´ que la operaci´n de tomar la diferencia hacia atr´s de orden n de x(k) corresponde
ı o a
a multiplicar por (1 − z −1 )n su transformada X(z).
La diferencia primera hacia delante entre x(k + 1) y x(k), se define como
∆x(k) = x(k + 1) − x(k)
La transformada z de esta diferencia es
Z[∆x(k)] = Z[x(k + 1) − x(k)] = Z[x(k + 1)] − Z[x(k)]
= zX(z) − zx(0) − X(z) = (z − 1)X(z) − zx(0)
La diferencia segunda hacia adelante es
∆2 x(k) = ∆[x(k + 1) − x(k)] = ∆x(k + 1) − ∆x(k)
= x(k + 2) − x(k + 1) − x(k + 1) + x(k)
= x(k + 2) − 2x(k + 1) + x(k)
La transformada z de esta diferencia es
Z[∆2 x(k)] = Z[x(k + 2) − 2x(k + 1) + x(k)]
= z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) − 2[zX(z) − zx(0)] + X(z)
= (z − 1)2 X(z) − z(z − 1)x(0) − z[x(1) − x(0)]
y, por tanto,
Z[∆2 x(k)] = (z − 1)2 X(z) − z(z − 1)x(0) − z∆x(0)
siendo ∆x(0) = x(1) − x(0).
Procediendo de as´ podemos obtener las expresiones de las diferencias hacia adelante tercera,
ı
cuarta etc. La transformada z de la diferencia hacia adelante de orden n resulta:
n−1
n n
Z[∆ x(k)] = (z − 1) X(z) − z (z − 1)n−i+1 ∆i x(0)
i=0
6.6. Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z
Una ecuaci´n diferencia de orden n es una expresi´n de la forma:
o o
an y(k) + an−1 y(k − 1) + . . . + a0 y(k − n) = bn x(k) + bn−1 x(k − 1) + . . . + b0 x(k − n) (6.11)
en donde x e y son funciones de la variable discreta k. Hallando la transformada z de ambos
miembros de la expresi´n queda:
o
(an + an−1 z −1 + . . . + a0 z −n )Y (z) = (bn + bn−1 z −1 + . . . + b0 z −n )X(z)](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-104-320.jpg)
![´
6.7. OBTENCION DE LA TRANSFORMADA Z INVERSA 105
La relaci´n entre Y (z) y X(z) se denomina funci´n de transferencia discreta G(z):
o o
Y (z) bn + bn−1 z −1 + . . . + b0 z −n
G(z) = = (6.12)
X(z) an + an−1 z −1 + . . . + a0 z −n
o, multiplicando numerador y denominador por z n ,
bn z n + bn−1 z n−1 + . . . + b0
G(z) =
an z n + an−1 z n−1 + . . . + a0
Puede apreciarse la semejanza de las ecuaciones (6.11) y (6.12) con ecuaci´n diferencial
o
(n) (m)
an y + . . . + a2 y + a1 y + a0 y = bm x + . . . + b2 x + b1 x + b0 x
¨ ˙ ¨ ˙
y la funci´n de transferencia
o
bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0
G(s) =
an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0
de un sistema continuo. La ecuaci´n diferencial y la funci´n de transferencia en s describen un
o o
sistema continuo, mientras que la ecuaci´n diferencia y la funci´n de transferencia en z describen
o o
uno discreto.
6.7. Obtenci´n de la transformada z inversa
o
La transformada inversa Z −1 de una funci´n X(z) es la sucesi´n de valores x(kT ), k =
o o
0, 1, 2, . . ., tal que Z[x(kT )] = X(z).
Hay que tener en cuenta que con Z −1 no se obtiene la funci´n x(t), puesto que en la sucesi´n
o o
obtenida x(kT ) no est´n incluidos los valores de x(t) comprendidos entre cada dos valores
a
consecutivos de k. A continuaci´n se indican los m´todos mas usuales de hallar la transformada
o e
Z −1 [Ogata 87, sec. 2.5].
6.7.1. M´todo de integraci´n compleja
e o
La transformaci´n inversa se obtiene, por integraci´n en el campo complejo, resolviendo la
o o
integral (6.13) a lo largo de un contorno cerrado C del plano complejo z que encierre a todos
los polos.
n
1
x(kT ) = z k−1 X(z)dz = Ki (6.13)
2πj c
i=1
siendo K1 , K2 , . . . , Kn , los residuos de la funci´n
o z k−1 X(z) en cada uno de sus polos z1 , z2 , . . . , zn .
6.7.2. M´todo de la divisi´n directa
e o
La transformada inversa Z −1 de una funci´n X(z), expresada en forma de cociente entre
o
los polinomios N (z) y D(z), puede hallarse efectuando la divisi´n larga de N (Z) entre D(z),
o
obteni´ndose una serie infinita de potencias en z −1 :
e
N (z)
X(z) = = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . .
D(z)
La secuencia x(kT ) es, directamente, la formada por los coeficientes ak :
x(kT ) = ak](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-105-320.jpg)
![´
6.9. MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 107
U(z) Y(z)
G(z)
Figura 6.9: Sistema SISO de tiempo discreto
Los valores y(0), y(1), y(2) obtenidos hasta aqu´ son las condiciones iniciales que debe tener la
ı
ecuaci´n diferencia (6.15) para que la funci´n Y (z) obtenida al hallar su transformada z sea la
o o
propuesta. Por tanto, para hallar la transformada inversa Z −1 de la funci´n Y (z), se resuelve la
o
ecuaci´n diferencia (6.15) con condiciones las iniciales y(0), y(1), y(2) halladas. Para ello, se van
o
dando a k los valores 0, 1, 2, . . ., obteni´ndose los valores de y(k) correspondientes a Z −1 [X(z)].
e
Es decir
y(3) = b2 x(2) + b1 x(1) + b0 x(0) − a2 y(2) − a1 y(1) − a0 y(0)
y(4) = b2 x(3) + b1 x(2) + b0 x(1) − a2 y(3) − a1 y(2) − a0 y(1)
y(5) = b2 x(4) + b1 x(3) + b0 x(2) − a2 y(4) − a1 y(3) − a0 y(2)
y(6) = b2 x(5) + b1 x(4) + b0 x(3) − a2 y(5) − a1 y(4) − a0 y(3)
.
. .
.
. .
Este proceso puede implementarse en un sencillo programa de ordenador que resuelva la ecuaci´n
o
diferencia (6.15) con los datos y condiciones iniciales indicadas. Si los polinomios que forman
Y (z) fueran de orden n, la ecuaci´n diferencia (6.15) ser´ de orden n, procedi´ndose de modo
o ıa e
similar.
6.9. Modelos matem´ticos de los sistemas de tiempo discreto
a
Sabemos que un sistema de tiempo discreto es aquel cuyas variables son funciones de la
variable discreta tiempo. En la figura 6.9 se ha representado el diagrama de bloques de un
sistema SISO de tiempo discreto. Del mismo modo que un sistema lineal y continuo en el
tiempo es aquel cuyo modelo matem´tico es una ecuaci´n diferencial lineal, de orden n, de
a o
coeficientes constantes, un sistema lineal de tiempo discreto es aquel cuyo modelo matem´tico
a
es una ecuaci´n diferencia lineal, de orden n, de la forma indicada por (6.11):
o
an y(k) + an−1 y(k − 1) + . . . + a0 y(k − n) = bn x(k) + bn−1 x(k − 1) + . . . + b0 x(k − n)
Esta ecuaci´n relaciona los valores de la salida discreta y(k) con los valores de la entrada discreta
o
x(k), en los instantes k, (k − 1), . . . , (k − n). La relaci´n entre Y (z), transformada z de la salida
o
y(k), y X(z), transformada z de la entrada X(k), es la funci´n de transferencia del sistema
o
discreto: Y (z) = G(z)X(z)
6.9.1. Filtros digitales
La implementaci´n de una ecuaci´n diferencia mediante un programa de ordenador es un
o o
filtro digital. El computador genera los valores de la secuencia y(k) dados por la ecuaci´n di-
o
ferencia (6.11). Un filtro digital es, por naturaleza, un sistema discreto ya que las variables
de entrada y de salida son discretas (secuencias de n´meros) y la relaci´n entre ambas es una
u o
ecuaci´n diferencia.
o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-107-320.jpg)
![108 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
* *
x(t) x (t) y(t) y (t)
*
G(s) *
X(s) T X (s) Y(s) T Y (s)
Figura 6.10: Sistema continuo muestreado
6.9.2. Sistemas continuos muestreados
La entrada a un sistema continuo de funci´n de transferencia G(s) es una se˜al x∗ (t) mues-
o n
treada con per´
ıodo T , dada por (6.3):
∞
x∗ (t) = x(kT )δ(t − kT )
k=0
siendo x(t) una se˜al de tiempo continuo. A su vez, la salida y(t) se vuelve a muestrear, con
n
ıodo, obteni´ndose y ∗ (t). Deseamos hallar la relaci´n entre la salida muestreada Y ∗ (s)
igual per´ e o
y la entrada muestreada X ∗ (s) (figura 6.10). La transformada de Laplace de la salida y(t) es
Y (s) = X ∗ (s)G(s)
y, por tanto,
y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [G(s)X ∗ (s)]
Aplicando el teorema de convoluci´n,
o
t
y(t) = g(t − τ )x∗ (τ )dτ
0
Sustituyendo el valor de x∗ (t) dado por (6.3) resulta
t ∞
y(t) = g(t − τ ) x(kT )δ(τ − kT )dτ
0 k=0
∞ t
= g(t − τ )x(kT )δ(τ − kT )dτ
k=0 0
∞
= g(t − kT )x(kT ) (6.16)
k=0
que es una se˜al continua. La salida y(t) se muestrea, dando y ∗ (t)
n
∞ ∞
∗
y (t) = g(nT − kT )x(kT ) δ(t − nT )
n=0 k=0
y, por tanto,
∞ ∞
Y ∗ (s) = Y (z) = g(nT − kT )x(kT ) z −n
n=0 k=0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-108-320.jpg)
![´
6.9. MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 109
ahora, haciendo m = n − k queda
∞ ∞
Y (z) = Z[y(t)] = g(mT )x(kT )z −(k+m)
m=0 k=0
∞ ∞
−m
= g(mT )z x(kT )z −k
m=0 k=0
= G(z)X(z) (6.17)
En consecuencia,
Y ∗ (s) = [X ∗ (s)G(s)]∗ = G∗ (s)X ∗ (s) (6.18)
es decir
Y ∗ (s)
G∗ (s) =
X ∗ (s)
o bien
Y (z)
G(z) =
X(z)
Este resultado dice que dado un sistema de tiempo continuo, definido por su funci´n de transfe-
o
rencia G(s), con entrada x∗ (t) obtenida mediante muestreo de per´ıodo T de una se˜al continua
n
ıodo T para obtener y ∗ (t) (figura
x(t), y con salida continua y(t) que se muestrea con igual per´
6.10), se comporta como un sistema discreto con funci´n de transferencia G(z), siendo G(z) la
o
transformada z de la funci´n ponderatriz g(t) del sistema.
o
6.9.3. Modelo de estado de tiempo discreto
El acercamiento al modelo de estado de tiempo discreto puede hacerse de diferentes maneras.
Una de ellas, que exponemos a continuaci´n, consiste en convertir el modelo de estado de tiempo
o
continuo, definido por (6.19), en discreto. El procedimiento que seguiremos consiste en discretizar
el tiempo, es decir, dividirlo en intervalos finitos, y hallar la soluci´n del sistema de ecuaciones
o
diferenciales (6.19) en cada intervalo [Ogata 87, cap2]. El problema de hallar la soluci´n del
o
sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes
˙
x = Ax + Bu
(6.19)
y = Cx + Du
es un resultado conocido de la teor´ de ecuaciones diferenciales (cons´ltese por ejemplo [?]):
ıa u
t
x(t) = eA(t−t0 ) x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ (6.20)
t0
La matriz
Φ(t) = eAt (6.21)
se denomina matriz de transici´n. Por ser la funci´n exponencial de la matriz At, est´ definida
o o a
mediante la serie
∞
At (At)k
Φ(t) = e = (6.22)
k!
k=0
y existen varios procedimientos para calcularla. Utilizando esta matriz, la ecuaci´n (6.20) se
o
puede escribir
t
x = Φ(t − t0 )x(0) + Φ(t − τ )Bu(τ )dτ (6.23)
t0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-109-320.jpg)
![110 CAP´
ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
uk
u k-2 u k+2
T
u k+3
u k-1 u k+1
Td
yk-2 yk+2
yk yk+3
yk+1
yk-1
Figura 6.11: Sistema continuo muestreado
Supongamos que la entrada al sistema descrito por descrito por (6.19) es un conjunto de se˜ales
n
denotadas por u(t) y que cada una de estas se˜ales es del tipo de la se˜al xh (t) representada
n n
en la figura (6.4). Se trata pues de se˜ales que proceden, posiblemente, de un proceso previo de
n
muestreo y retenci´n, con per´
o ıodo T , de otras se˜ales de tiempo cont´
n ınuo. Entonces se cumple
u(t) = u(kT ), kT ≤ t (k + 1)T, k = 0, 1, 2, . . .
ya que el valor de las se˜ales se mantiene constante en cada intervalo T . Supongamos ahora que
n
las se˜ales de salida que forman y(t) se muestrean con el mismo per´
n ıodo T pero con un retraso
Td , tal que 0 Td T , respecto de la entrada u(k) (figura 6.11), de modo que los instantes de
muestreo de las se˜ales de salida son t = kT + Td , para k = 0, 1, 2, . . .. Denotemos por uk e yk
n
las secuencias de entrada y salida obtenidas. Sus valores son
uk = u(kT ), yk = y(kT + Td )
La f´rmula (6.20) nos permite obtener la soluci´n de la ecuacion diferencial del vector de estado
o o
(6.19) en un intervalo cualquiera. Consideremos el intervalo [tk , tk+1 ]. En el mismo, las se˜ales
n
de entrada u(t) son constantes y su valor es uk . Sea xk el valor de las variables de estado en el
instante inicial tk . Entonces,
tk+1
x(tk+1 ) = eA(tk+1 −tk ) x(tk ) + eA(tk −τ ) Bu(tk )dτ (6.24)
tk
o bien, sustituyendo tk por kT y tk+1 por kT + T ,
T
x(kT + T ) = eAT x(kT ) + eAτ dτ Bu(tk ) (6.25)
0
La salida, obtenida a partir de (6.19) y (6.25) es
Td
y(k) = y(kT + Td ) = CeATd x(kT ) + C eAτ dτ Bu(kT ) + Du(kT )
0
Si hacemos
T
ˆ
A = eAT , ˆ
B= eAτ dτ B
0
Td
ˆ
C = CeATd , ˆ
D=C eAτ dτ B + D (6.26)
0](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-110-320.jpg)
![Cap´
ıtulo 7
Sistemas controlados por
computador
Los sistemas controlados por computador han cobrado creciente importancia en el mundo
industrial durante las ultimas d´cadas. El control digital sustituye con ventaja al anal´gico
´ e o
incluso hasta en las m´s modestas aplicaciones [?].
a
En los sistemas de control por computador (figura 7.1) el controlador digital (µP) recibe
la secuencia de valores e(kT ) = e∗ (t), muestreada de la se˜al continua e(t) y cuantificada por
n
un CAD, y realiza con ellos el algoritmo de control definido por la funci´n D(z), obteniendo la
o
secuencia x∗ (t) = x(kT ). Un CDA conectado a un elemento ZOH genera la se˜al continua xr (t)
n
que se aplica a la planta del sistema. En este tipo de sistemas hay que tener en cuenta la funci´n
o
µP ZOH Planta
* *
u e e x 1-e -sT xr y
A/D D(z) D/A G(s)
T s
Figura 7.1: Sistema de control por computador
de transferencia del elemento de retenci´n ZOH tal como se ha representado en la figura 7.1. Si
o
la salida y(t) se muestrea, podemos considerar al conjunto formado por el elemento ZOH y la
planta como un sistema continuo muestreado. Estos dos bloques pueden asociarse formando en
ZOH Planta
*
x 1-e -sT xr y y*
G(s)
s T
Figura 7.2: Bloques ZOH y planta
113](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-113-320.jpg)
![116 CAP´
ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR
7.2. Dise˜ o del controlador digital
n
En los sistemas controlados por computador el objetivo del dise˜o es hallar los algoritmos
n
que debe efectuar el computador para que el funcionamiento del sistema sea el adecuado. Existen
numerosos m´todos de dise˜o basados tanto en la teor´ cl´sica de funciones de transferencia
e n ıa a
como en la teor´ moderna de variables de estado y control ´ptimo.
ıa o
Los procedimientos que a continuaci´n se describen se basan en sustituci´n de un controlador
o o
anal´gico dado por otro digital, tal que su funcionamiento entrada-salida sea similar. En la figura
o
7.4 se ha representado un sistema con control anal´gico C(s). El controlador anal´gico C(s) se
o o
desea sustituir por otro digital D(z) obteni´ndose el diagrama de bloques de la figura 7.5. Para
e
hacer que el funcionamiento entrada-salida del controlador digital D(z) sea lo mas parecido
posible al del anal´gico C(s) al que sustituye existen varios procedimientos, de los que cuales
o
citamos algunos a continuaci´n [Ogata 87, sec. 4.2].
o
7.2.1. Equivalencia al muestreo y retenci´n.
o
Este m´todo consiste en hacer que el funcionamiento en modo muestreado con retenci´n
e o
de orden cero (ZOH) del controlador anal´gico sea equivalente al del controlador digital por el
o
que va a ser sustituido (7.5). Para que el funcionamiento entrada-salida de ambos controladores
ZOH Controlador
* -sT er (t) *
e(t) e (t) x(t) x (t)
1-e C(s)
E(s) T
*
E (s) s E r(s) X(s) T
*
X (s)
* *
e(t) e (t) x(t) x (t)
A/D D(z) D/A
* *
E(s) T E (s) X(s) T X (s)
Controlador Digital
Figura 7.5: Sustituci´n por equivalencia ZOH
o
sea equivalente, ha de ser igual la relaci´n X ∗ (s)/E ∗ (s) entre la salida muestreada y la entrada
o
muestreada. Es decir que
∗
1 − e−sT C(s)
D(z) = C(s) = (1 − z −1 )Z[ ]
s z=esT s
7.2.2. Invariancia al impulso
Al aplicar un impulso unitario a la entrada de ambos controladores, la salida del controlador
digital ha de ser igual a la salida muestreada del controlador anal´gico. En este caso no existe
o
retenci´n de la se˜al de entrada en el controlador anal´gico (7.6). Puesto que la entrada es un
o n o
unico impulso, la entrada e(t) y la entrada muestrada e∗ (t) son id´nticas. La respuesta al impulso
´ e
es, para el primer controlador
X(s) = E ∗ (s)C(s)](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-116-320.jpg)
![˜
7.2. DISENO DEL CONTROLADOR DIGITAL 117
Controlador
* *
e(t) e (t) x(t) x (t)
*
C(s) *
E(s) T E (s) X(s) T X (s)
* *
e(t) e (t) x(t) x (t)
A/D D(z) D/A
* *
E(s) T E (s) X(s) T X (s)
Controlador Digital
Figura 7.6: Sustituci´n por invariancia al impulso
o
mientras que su respuesta muestreada es
X ∗ (s) = [E ∗ (s)C(s)]∗ = E ∗ (s)C ∗ (s)
Por tanto, para que la salida del controlador digital sea tambi´n X ∗ (s), ha de verificarse que
e
X(z) = E(z)D(z)
de donde se deduce que
D(z) = C ∗ (s)|z=esT = Z[C(s)]
7.2.3. Invariancia al escal´n
o
Al aplicar un escal´n unitario a la entrada de ambos controladores, la salida del controlador
o
digital ha de ser igual a la salida muestreada del controlador anal´gico (7.7). En este caso la
o
respuesta al escal´n del controlador anal´gico es
o o
Controlador
*
e(t) x(t) x (t)
C(s) *
E(s) X(s) T X (s)
* *
e(t) e (t) x(t) x (t)
A/D D(z) D/A
* *
E(s) T E (s) X(s) T X (s)
Controlador Digital
Figura 7.7: Sustituci´n por invariancia al escal´n
o o
1
X(s) = E(s)C(s) = C(s)
s](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-117-320.jpg)
![118 CAP´
ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR
La salida muestreada del controlador anal´gico ser´
o a
∗
1
X ∗ (s) = C(s)
s
Como la salida del controlador digital ha de ser tambi´n X ∗ (s), se deduce que
e
∗
1 1
X(z) = E(z)D(z) = = Z[ C(s)] (7.1)
C(s) z=esT s
pero la transformada z de la entrada escal´n unitario es
o
z
Z[e(t)] =
z−1
Sustituyendo en (7.1) queda
z 1
D(z) = Z[ C(s)]
z−1 s
y la funci´n de transferencia del controlador ha de ser
o
z−1 1
D(z) = Z[ C(s)]
z s
Obs´rvese que se obtiene el mismo resultado que en m´todo de equivalencia al muestreo y
e e
retenci´n.
o
7.2.4. Integraci´n num´rica
o e
Este m´todo consiste en implementar un algoritmo en el controlador que realice la integraci´n
e o
num´rica de la ecuaci´n integro diferencial del controlador anal´gico. Por ejemplo, para un
e o o
controlador de tipo PID, con funci´n de transferencia
o
X(s) Ki
C(s) = = Kp + + sKd
E(s) s
la salida se relaciona en el dominio del tiempo con la entrada por la ecuaci´n
o
t
de(t)
x(t) = Kp e(t) + Ki e(t)dt + Kd (7.2)
0 dt
esta ecuaci´n se puede resolver num´ricamente a trav´s diferentes algoritmos, basados en utilizar
o e e
diferencias hacia adelante o diferencias hacia atr´s, regla trapezoidal para integrales, etc. Una
a
de las posibles ecuaciones diferencia que resuelven la ecuaci´n (7.2) es
o
Ki T Kd Ki T 2Kd Kd
x(k) = Kp + + e(k) − Kp − + e(k − 1) + e(k − 2)
2 T 2 T 2
7.2.5. Coincidencia de polos y ceros
Los polos y ceros del controlador digital se hacen coincidir con los polos y ceros del controlador
anal´gico mapeados en el plano z mediante la transformaci´n z = esT .
o o](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-118-320.jpg)
![˜
7.2. DISENO DEL CONTROLADOR DIGITAL 119
7.2.6. Transformaci´n bilineal
o
La transformaci´n
o
2 z−1
s=
T z+1
se denomina transformaci´n bilineal y hace corresponder el semiplano de la izquierda del plano
o
complejo s con el interior del c´
ırculo de radio unidad en el plano complejo z. Se obtiene al utilizar
la regla trapezoidal en la integraci´n num´rica de las ecuaciones diferenciales. El controlador
o e
digital obtenido por este m´todo es estable si su hom´logo anal´gico tambi´n lo es.
e o o e
7.2.7. M´todos modernos de dise˜ o.
e n
En los sistemas actuales de control multivariable (MIMO) se utilizan t´cnicas de Dise˜o
e n
Asistido por Ordenador de Sistemas de Control, CACSD (Computer-Aided Control System
Design), que facilitan el trabajo a los ingenieros de dise˜o de sistemas. Se han desarrollado
n
paquetes de Software de Autom´tica y Control que integran potentes herramientas para el
a
an´lisis, simulaci´n y dise˜o de sistemas. De algunos de estos programas existen versiones para
a o n
ordenadores personales como, por ejemplo, MATLAB, CC, MATRIX, CTRL-C, SIMNON, etc
[Maltab, Control Toolbox].
En el aspecto del dise˜o se utilizan, adem´s de los m´todos cl´sicos del lugar de las ra´ y
n a e a ıces
los m´todos gr´ficos de respuesta de frecuencia, los m´todos modernos, que permiten optimizar
e a e
el dise˜o en funci´n de las especificaciones requeridas (control ´ptimo), realizar controladores
n o o
que se adaptan de forma autom´tica al proceso que controlan (autosintonizados) etc., y son, por
a
tanto, de gran utilidad.](https://image.slidesharecdn.com/rarepaso-120215114425-phpapp02/85/Rarepaso-119-320.jpg)
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Rarepaso
- 1. Automatizaci´n de Procesos Industriales o (REPASO TEORIA DE CONTROL) Ingeniero de Organizaci´n. Curso 1o o Jose Mari Gonz´lez de Durana a Dpto. I.S.A., EUITI e ITT - UPV/EHU Vitoria-Gasteiz Marzo 2002
- 2. 2
- 3. Indice 1. Modelos de procesos continuos 5 1.1. Procesos de tiempo cont´ ınuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. La realimentaci´n en los sistemas de control . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3. Elementos b´sicos un sistema de control . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4. Dise˜o de los sistemas de control . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precisi´n o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5. Clasificaci´n de los sistemas de Control . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6. Modelo de funci´n de transferencia . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7. Modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8. Linealizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.9. Transformaciones entre modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2. Respuesta temporal 21 2.1. Diagramas de bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2. Grafos de flujo de se˜al . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3. C´lculo de la respuesta temporal a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4. Sistema de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5. Sistema de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.6. Respuesta del modelo de estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.6.1. An´lisis Modal . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Respuesta de frecuencia 45 3.1. Respuesta de frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2. Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3. Diagramas de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5. Trazado por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.6. Criterio de estabilidad de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.7. M´rgenes de fase y de ganancia . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4. Lugar de las ra´ ıces 63 4.1. Fundamento del m´todo . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.2. Reglas b´sicas del trazado del lugar de las ra´ a ıces . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.1. Trazado del lugar de las ra´ıces por computador . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3
- 4. 4 INDICE 5. Funcionamiento de los sistemas de control 71 5.1. Especificaciones de funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2. An´lisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.3. Sensibilidad a las variaciones de los par´metros a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4. Sensibilidad a las variables perturbadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5. Indicies de comportamiento de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.6. Estabilidad de los sistemas de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.7. Controlabilidad y Observabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6. Sistemas de Tiempo Discreto 95 6.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2. Sistemas de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.2.1. Sistemas intr´ ınsecamente discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2.2. Sistemas controlados por computador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.3. Sistemas de tiempo continuo muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.4. Reconstrucci´n de la se˜al muestreada . . . . . . . . . . o n . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.1. Teorema del muestreo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.4.2. Teorema de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4.3. El elemento de retenci´n de orden cero (ZOH) . o . . . . . . . . . . . . . . 100 6.4.4. La transformada estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.5. La transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.5.1. Propiedades y teoremas de la transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5.2. Transformadas de algunas funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . 102 6.5.3. Transformada z de diferencias finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.6. Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.7. Obtenci´n de la transformada z inversa . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.1. M´todo de integraci´n compleja . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.2. M´todo de la divisi´n directa . . . . . . . . . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 105 6.7.3. M´todo de expansi´n en fracciones simples . . . e o . . . . . . . . . . . . . . 106 6.8. M´todo de resoluci´n num´rica de la ecuaci´n diferencia e o e o . . . . . . . . . . . . . . 106 6.9. Modelos matem´ticos de los sistemas de tiempo discreto a . . . . . . . . . . . . . . 107 6.9.1. Filtros digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.9.2. Sistemas continuos muestreados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.9.3. Modelo de estado de tiempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7. Sistemas controlados por computador 113 7.1. Estabilidad en el plano z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 7.2. Dise˜o del controlador digital . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.1. Equivalencia al muestreo y retenci´n.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.2. Invariancia al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2.3. Invariancia al escal´n . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2.4. Integraci´n num´rica . . . . . . . . . . o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.5. Coincidencia de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 7.2.6. Transformaci´n bilineal . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.7. M´todos modernos de dise˜o. . . . . . e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
- 5. Cap´ ıtulo 1 Modelos de procesos continuos Los procesos continuos o, mejor dicho, de tiempo continuo, son los que admiten modelos mate- m´ticos relativamente simples, basados en ecuaciones diferenciales. Estos modelos muchas veces a son lineales, o admiten ser linealizados, por lo que se obtienen con relativa facilidad y son exactos (siempre y cuando las hip´tesis supuestas sean ciertas). Suelen representar el comportamiento o de sistemas f´ısicos que siguen leyes f´ ısicas elementales. Los procesos continuos pueden controlarse utilizando controladores anal´gicos o digitales o dando lugar, respectivamente, a sistemas de control anal´gicos a sistemas controlados por com- o putador. 1.1. Procesos de tiempo cont´ ınuo Tiempo continuo significa que la variable independiente de las ecuaciones del modelo ma- tem´tico es el tiemp t del proceso y que ´ste var´ de forma continua en un intervalo de R. Las a e ıa ecuaciones diferenciales del modelo son, en general, ecuaciones en derivadas parciales (EDP) pero muchas veces se pueden reducir a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) e incluso a veces a ecuaciones diferenciales ordinarias lineales y con coeficientes constantes. Esto da lugar a la siguiente clasificaci´n de los sistemas de tiempo cont´ o ınuo: Sistemas de par´metros distribuidos (EDP) a Sistemas de par´metros concentrados (EDO) a Sistemas lineales (EDO lineales) Sistemas lineales de par´metros constantes (EDO lineales con coeficientes constantes) a De todos ellos los ultimos son los m´s simples y para ellos se ha desarrollado una teor´ ´ a ıa matem´tica muy potente basada en el Algebra Lineal. Esto es importante para el ingeniero ya a que puede calcular con facilidad la soluci´n de muchos problemas que aparecen en algunas ramas o t´cnicas como por ejemplo e Circuitos el´ctricos e Sistemas mec´nicos a Sistemas t´rmicos e Sistemas de fl´idos u 5
- 6. 6 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Amplificadores electr´nicos o Sistemas de control Rob´tica o Sistemas din´micos lineales en general a Los paquetes inform´ticos denominados Computer Aided Control System Design (CACSD) a son de gran ayuda para estos menesteres. Algunos de ellos son Matlab y Scilab. Par´metros y variables a En los modelos matem´ticos las magnitudes que evolucionan en el tiempo se llaman variables a del sistema o, a veces, se˜ales. Estas variables son funciones de la variable independiente t, que n representa el tiempo. Las magnitudes que no evolucionan (o cuya evoluci´n no se tiene en cuenta) se llaman o par´metros del sistema. a En cada uno de los sistemas f´ ısicos que vamos a estudiar (mec´nicos, el´ctricos, t´rmicos, de a e e fluidos, t´rmicos y mixtos) existe un conjunto de variables y par´metros que lo caracterizan. En e a los sistemas el´ctricos, por ejemplo, las variables son el voltaje, la carga, la intensidad, el flujo e magn´tico, etc. mientras que los par´metros son la resistencia, el coeficiente de autoinducci´n, la e a o capacidad, etc. En los sistemas mec´nicos de translaci´n las principales variables que intervienen a o son la fuerza f , el desplazamiento x, la velocidad v y la aceleraci´n a siendo sus par´metros o a significativos la masa m, el componente de rozamiento b y el componente de elasticidad k. En los sistemas mec´nicos de rotaci´n estas variables son el momento T , el desplazamiento angular a o θ, la velocidad angular ω y la aceleraci´n α siendo sus par´metros significativos el momento de o a inercia J, el componente de rozamiento B y el componente de elasticidad K. En los sistemas t´rmicos las variables son el flujo calor´ e ıfico q y la temperatura θ , y las variables la resistencia t´rmica Rt y la capacitancia t´rmica Ct . Y, por ultimo, en los sistemas e e ´ de fluidos las variables son el caudal f y la presi´n p y sus par´metros la resistencia del fluido o a Rf , la inductancia del fluido Lf y la capacitancia del fluido Cf [?, sec. 2.2]. Clase de Sistema Variables Par´metros a Sistemas Mec´nicos (tras.) a f, x, v, a m, k, b Sistemas Mec´nicos (rot.) a T, θ, ω, α m, k, b Sistemas El´ctricos e v, i, φ R, L, C Sistemas T´rmicos e θ, q Rt , Ct Sistemas de Fluidos p, f Rf , Cf A pesar de las diferencias que existen entre las variables que caracterizan a las distintas clases de sistemas f´ ısicos, existen ciertas semejanzas fundamentales que pueden y deben ser aprovechadas de manera que la modelizaci´n resulte sencilla y a ser posible unificada para todos los sistemas. o 1.2. La realimentaci´n en los sistemas de control o Un sistema de control sirve para controlar el valor de ciertas variables de salida por medio de otras variables de entrada. Hay dos procedimientos para ello denominados control en lazo abierto y control en lazo cerrado. Veamos c´mo funcionan en el caso monovariable. o
- 7. ´ 1.3. ELEMENTOS BASICOS UN SISTEMA DE CONTROL 7 En el control en lazo abierto (figura 1.1) la entrada u(t) act´a directamente sobre el dispo- u sitivo de control (controlador) C del sistema para producir el efecto deseado en la variables de salida, aunque sin comprobar el valor que toma dicha variable. w(t) u(t) y(t) - m- ? - C P - Figura 1.1: Control en lazo abierto Un sistema de control en lazo cerrado tiene una entrada u(t), llamada de referencia o de consigna, que sirve para introducir en el sistema el valor deseado para la salida y(t). Esta salida se mide con un de captador M y dicha medida ym (t) se compara con el valor u(t) de la entrada de referencia. La diferencia (t) = u(t) − ym (t) entre ambos valores incide sobre el dispositivo controlador C y la salida de ´ste, vc (t), sobre el elemento actuador A el cual a su vez ejerce la e debida acci´n sobre planta P en el sentido de corregir la diferencia (t). En la figura 1.2 se ha o representado un sistema de control en lazo cerrado. Con un razonamiento intuitivo podemos llegar a la conclusi´n de que el sistema en lazo o cerrado responde mejor ante la presencia de la entrada perturbadora w(t). Y as´ es en muchos ı casos. Sin embargo, hay que ser muy cautos ante este tipo de razonamientos ya muchas veces que pueden fallar. No es posible predecir el comportamiento del sistema con feedback sin conocer previamente su modelo matem´tico. a w(t) u(t) m (t) -+ - C vc (t) v(t) ? -+m r y(t) - A - P - − 6 ym (t) M Figura 1.2: Sistema de control en lazo cerrado El procedimiento de medir la se˜al de salida y restarla de la de entrada se llama realimenta- n ci´n negativa. El lazo que se forma al realizar la realimentaci´n suele denominarse lazo o bucle o o de regulaci´n. o 1.3. Elementos b´sicos un sistema de control a Los sistemas de control se pueden realizar con diversas tecnolog´ (mec´nica, neum´tica, ıas a a electr´nica, etc.) pero sus elementos esenciales, indicados a continuaci´n, son siempre los mismos. o o Advertimos, no obstante, que la terminolog´ puede ser algo enga˜osa en ciertos contextos, ıa n quiz´s por utilizaci´n inadecuada, por traducci´n defectuosa del Ingl´s o por uso generalizado a o o e de algunos t´rminos. As´ en nuestra ´rea de conocimiento el t´rmino controlar se usa en el e ı, a e sentido de gobernar o conducir, mientras que en el lenguaje coloquial se dice a veces “controlar” con otro significado.
- 8. 8 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Entradas: son los terminales que tiene el sistema de control por los que puede recibir est´ ımulos que influyen en su evoluci´n. Pueden ser o Entradas de mando o de control: sirven para introducir ´rdenes. o Entradas de referencias o consigna: son entradas de mando que imponen los valores deseados a sus correspondientes salidas. Entradas perturbadoras: son entradas que reciben est´ ımulos indeseados. Salidas: son los terminales que tiene el sistema de control para emitir la respuesta, es decir, para que la respuesta pueda ser observada por el hombre o medida por una m´quina. a Planta: es el objeto que se desea controlar. Es un conjunto de componentes y piezas ensambla- dos entre s´ y que cumplen una determinada funci´n. ı o Proceso: es una serie de operaciones que se realizan sobre uno o varios objetos con un fin determinado. Perturbaciones: Son alteraciones que se pueden producir en los componentes de una planta o proceso. Controlador Es un dispositivo que procesa la se˜al (t), es decir la diferencia entre la entrada n de referencia u(t) y la medida de la salida ym (t), y produce una se˜al de salida v(t) n adecuada para controlar la planta. Actuador Es el dispositivo que convierte la se˜al de salida del controlador vc (t) en otra se˜al n n v(t), posiblemente de distinta naturaleza y generalmente de mayor potencia, y la aplica a la planta o proceso. Captador Es el dispositivo de medida. Convierte la se˜al de salida y(t) en otra magnitud n (generalmente el´ctrica) ym (t), apta para ser restada del valor de la entrada u(t). e Ejercicio 1.3.1 Describir el funcionamiento de los siguientes sistemas de control e identificar todos los elementos b´sicos de cada uno de ellos. a 1. Sistema de control de la temperatura de una habitaci´n utilizando una estufa el´ctrica con o e termostato. 2. Sistema de control del nivel de un dep´sito de agua utilizando un flotador y una v´lvula. o a 3. Control de la trayectoria que sigue de un ser humano al desplazarse. 4. Control de posici´n de un ca˜on. o n´ 5. Control del nivel de un dep´sito. o 6. Regulaci´n de la velocidad de un motor. o 7. Control de la posici´n angular de un motor con reductor. o 8. Regulaci´n de la velocidad de la m´quina de vapor. o a
- 9. ˜ 1.4. DISENO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 9 1.4. Dise˜ o de los sistemas de control n Como hemos visto, la fase de an´lisis de un sistema tiene por objeto la obtenci´n de un a o modelo matem´tico a partir de observaciones y experiencias obtenidas a partir de un sistema a real. El problema inverso consiste en la s´ ıntesis o dise˜o y construcci´n, si procede, de un deter- n o minado sistema a partir de un supuesto modelo. Este problema se denomina realizaci´n. o La realizaci´n tiene en general una mayor dificultad que el an´lisis, precisando de la utiliza- o a ci´n de conceptos matem´ticos de cierta complejidad. La realizaci´n tiene adem´s la dificultad o a o a a˜adida del montaje y puesta a punto ya que resulta pr´cticamente imposible construir un sis- n a tema cuyo funcionamiento sea exactamente igual al previsto en el modelo. Por ello suele ser necesario un proceso de aproximaciones sucesivas con repetidas fases de an´lisis-s´ a ıntesis. 1.4.1. Nociones de estabilidad, rapidez y precisi´n o Tanto en la fase de an´lisis como en la de s´ a ıntesis resulta de gran utilidad disponer de m´todos de medida que permitan cuantificar el comportamiento din´mico de los sistemas. Estas e a medidas se efect´an en t´rminos de las denominadas especificaciones de funcionamiento de los u e sistemas din´micos de las cuales las m´s relevantes son estabilidad, precisi´n y rapidez [Ogata 82, a a o sec. 10.1]. Estas especificaciones tratan de dar una medida del mayor o menor grado de buen funcionamiento del sistema. La estabilidad es la especificaci´n m´s importante ya que es exclusiva, es decir, es una o a condici´n necesaria para el funcionamiento del sistema. Todo el mundo tiene una noci´n intuitiva o o de estabilidad. Cuando hablamos de la estabilidad (o inestabilidad) de un barco, de un avi´n, o de un autom´vil o de cualquier otro objeto din´mico, sabemos m´s o menos a qu´ nos estamos o a a e refiriendo. La inestabilidad puede provocar una r´pida parada o, en ocasiones, puede conducir a al deterioro e incluso a la destrucci´n del sistema. o La rapidez y la precisi´n son virtudes, esencialmente contrapuestas, exigibles en mayor o o menor medida a los sistemas de control. Parece l´gico, por ejemplo, que una m´quina herramienta o a realice sus operaciones de forma r´pida y precisa; sin embargo se puede ver intuitivamente que a ciertas operaciones de gran precisi´n no pueden ser adem´s muy r´pidas. o a a 1.5. Clasificaci´n de los sistemas de Control o Causalidad Los sistemas de control se pueden clasificar atendiendo a diferentes propieda- des. Se dice que un sistema es causal si existe una relaci´n de causalidad entre entradas y o salidas. Los sistemas f´ ısicos existentes en la Naturaleza son siempre causales. Atendiendo a esta propiedad tenemos • Sistemas causales • Sistemas no causales N´mero de variables Un sistema se denomina monovariable cuando tiene una unica variable u ´ de entrada y una unica variable de salida. En los dem´s casos se llama multivariable. ´ a Tenemos asi, • Sistemas monovariables
- 10. 10 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS • Sistemas multivariables Linealidad Seg´n que las ecuaciones diferenciales sean lineales o no lo sean: u • Sistemas lineales • Sistemas no lineales Evoluci´n en el tiempo o • Sistemas de tiempo continuo • Sistemas de tiempo discreto • Sistemas de eventos discretos Los sistemas de tiempo continuo son aquellos en que las magnitudes se representan por funciones continuas de la variable real tiempo. En los sistemas de tiempo discreto las magnitudes s´lo pueden tomar un n´mero finito de o u valores y son funciones de la variable discreta tiempo. Los sistemas de eventos discretos, hoy d´ llamados sistemas comandados por eventos ıa (event-driven systemas) o sistemas reactivos, son los que est´n comandados esencialmente a por se˜ales eventuales. Esto es, no existe un per´ n ıodo que marque las transiciones de las variables sino que ´stas evolucionan unicamente cuando en el sistema suceden ciertos e ´ sucesos o eventos con ellas relacionados. Invariancia de los par´mtros. a • Sistemas estacionarios • Sistemas no estacionarios Un sistema invariante en el tiempo o sistema estacionario es aquel cuyos par´metros no a var´ con el tiempo. La respuesta de un sistema estacionario es independiente del instante ıan de tiempo en el que se aplique la entrada y los coeficientes de la ecuaci´n diferencial que o rige el funcionamiento del sistema son constantes. Un sistema no estacionario es el que tiene uno o m´s par´metros que var´ con el tiempo. a a ıan El instante de tiempo en que se aplica la entrada al sistema debe conocerse y los coeficientes de su ecuaci´n diferencial dependen del tiempo. o Determinismo Seg´n que la evoluci´n del sistema pueda o no ser determinada con antela- u o ci´n: o • Sistemas estoc´sticos a • Sistemas deterministas Cuando se conocen exactamente las magnitudes que se aplican a las entradas y leyes que rigen la evoluci´n del sistema, su comportamiento futuro es predecible. Un sistema se o denomina determinista cuando, dentro de ciertos l´ ımites, su comportamiento futuro es predecible y repetible. De otro modo el sistema se denomina estoc´stico, por contener variables aleatorias. a Localizaci´n de los par´metros: o a
- 11. ´ 1.6. MODELO DE FUNCION DE TRANSFERENCIA 11 • Sistemas de par´metros concentrados a • Sistemas de par´metros distribuidos a En los primeros los par´metros se suponen concentrados en puntos concretos del sistema a mientras que en los segundos est´n distribuidos espacialmente. a Ejercicio 1.5.1 En los siguientes sistemas de control identificar las entradas y salidas e indicar c´mo se controlan y como obtiene la respuesta. o Fuerza actuando sobre una masa Bicicleta Climatizador de un autom´vil o M´quina tragaperras a M´quina herramienta funcionando con un aut´mata. a o Ejercicio 1.5.2 Poner ejemplos de otros sistemas de control y repetir con ellos el ejercicio anterior. 1.6. Modelo de funci´n de transferencia o El modelo matem´tico de funci´n de transferencia se obtiene aplicando la transformaci´n de a o o Laplace a las ecuaciones diferenciales que modelizan un sistema lineal de par´metros constantes. a Si el sistema es monovariable la ecuaci´n diferencial que lo describe es de la forma (??): o (n) an y (t) + . . . + a2 y (t) + a1 y(t) + a0 y(t) ¨ ˙ (m) = bm u (t) + . . . + b2 u(t) + b1 u(t) + b0 u(t) ¨ ˙ Apliquemos la transformaci´n de Laplace a las variables u(t) e y(t): o L[u(t)] = U (s) (1.1) L[y(t)] = Y (s) Para hallar la transformada de Laplace de la ecuaci´n diferencial (1.1) es necesario conocer los o valores de las condiciones iniciales, es decir, los valores de la funci´n y de sus derivadas desde o primer orden hasta orden n − 1 en el instante t = 0. Sean estos valores los siguientes: (n−1) y0 , y 0 , y0 , ˙ ¨ y0 (1.2) Aplicando la transformaci´n de Laplace a ambos miembros de la ecuaci´n (1.1) obtenemos: o o (n−1) an [sn Y (s) − sn−1 y0 − . . . − y0 ] + . . . +a2 [s2 Y (s) − sy0 − y0 ] + a1 [sY (s) − y0 ] + a0 Y (s) ˙ (1.3) = U (s)[bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ] Pasando los t´rminos correspondientes a las condiciones iniciales al segundo miembro queda e Y (s)(an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 ) = U (s)(bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ) (n−2) (n−1) (1.4) +sn−1 an y0 + . . . + s[an y0 + . . . + a2 y0 ] + an y0 + . . . + a2 y0 + a1 y0 ˙
- 12. 12 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS y haciendo cn−1 = an y0 ... (n−2) (1.5) c1 = an y0 + . . . + a2 y0 (n−1) c0 = an y0 + . . . + a2 y0 + a1 y0 ˙ la ecuaci´n puede escribirse de la forma o bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 Y (s) = U (s) (1.6) an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 cn−1 sn−1 + . . . + c2 s2 + c1 s + c0 + (1.7) an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 Se define la funci´n de transferencia como el cociente entre las transformadas de Laplace de la o salida Y (s) y de la entrada U (s) del sistema cuando todas las condiciones iniciales son nulas. Es decir bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 b(s) G(s) = n + . . . + a s2 + a s + a = (1.8) an s 2 1 0 a(s) Entonces la expresi´n de la transformada de Laplace de la salida del sistema puede escribirse o c(s) Y (s) = G(s)U (s) + (1.9) a(s) El polinomio denominador a(s) de la funci´n de transferencia se denomina polinomio carac- o ter´ ıstico del sistema. La ecuaci´n o an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 = 0 (1.10) que resulta de igualar a cero el polinomio caracter´ ıstico se denomina ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema. Sistemas multivariables La generalizaci´n del concepto de funci´n de transferencia a sistemas multivariables se realiza o o por medio de la matriz de funciones de transferencia. La matriz de funciones de transferencia de un sistema con q entradas y p salidas es una matriz g11 (s) . . . g1j (s) . . . g1q (s) . .. . . . . . . . . . G(s) = gi1 (s) . . . gij (s) . . . giq (s) (1.11) . . .. . . . . . . . . gp1 (s) . . . gpj (s) . . . gpq (s) cuyos elementos son funciones racionales. El elemento gij de esta matriz denota la funci´n de o transferencia existente entre la salida yi y la entrada uj del sistema: Yi (s) gij (s) = (1.12) Uj (s)
- 13. 1.7. MODELO DE ESTADO 13 Los sistemas de ecuaciones diferenciales admiten una representaci´n m´s general que las o a dadas por los modelos de funci´n de transferencia o de estado. Aplicando la transformaci´n de o o Laplace al sistema (??) obtenemos P (s)X(s) = Q(s)U (s) Y (s) = R(s)X(s) + W (s)U (s) (1.13) que se denomina descripci´n polin´mica del sistema o o 1.7. Modelo de estado El modelo matem´tico de un sistema lineal monovariable de par´metros constantes es una a a ecuaci´n diferencial ordinaria lineal o (n) an (t) x (t) + . . . + a2 (t)¨(t) + a1 (t)x(t) + a0 (t)x(t) = u(t) x ˙ (1.14) junto con otra ecuaci´n algebraica o (m) y(t) = bm (t) x (t) + . . . + b2 (t)¨(t) + b1 (t)x(t) + b0 (t)x(t), x ˙ (1.15) o bien un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Entonces es siempre posible despejar la derivada de orden m´ximo y obtener una expresi´n de la forma a o ˙ x = f (t, x), (1.16) que suele llamarse forma normal. Haciendo los cambios x1 := x, x2 := x, x3 := x, . . ., el sistema ˙ ¨ se pueden escribir en la forma ˙ x = Ax + Bu A ∈ Rn×n B ∈ Rn×q (1.17) y = Cx + Du C ∈ Rp×n D ∈ Rp×q en donde x1 u1 y1 x2 u2 y2 xi , uj , yk ∈ R x= . u= . y= . (1.18) . . . . .. i = 1 . . . n, j = 1 . . . q, k = 1 . . . p. xn uq xp La primera ecuaci´n de (1.17) se llama ecuaci´n de estado y la segunda, ecuaci´n de salida. o o o 1.8. Linealizaci´n o La teor´ de los sistemas lineales es aplicable a cualquier clase sistema din´mico cuyo com- ıa a portamiento pueda expresarse en la forma ˙ x = Ax + Bu y = Cx + Du Los sistemas f´ ısicos son en general no lineales. La mayor dificultad que surge en el estudio de estos sistemas es que no existen clases de sistemas no lineales, mediante las cuales su estudio
- 14. 14 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS podr´ asemejarse al de los sistemas lineales, sino que han de ser estudiados de forma individual ıa y utilizando m´todos particulares en cada caso. Por ello los resultados que se obtienen no son e generales sino que est´n circunscritos al ´mbito del sistema objeto de estudio. a a En muchos casos el unico m´todo existente para el estudio de un sistema no lineal dado, ´ e aparte de la experimentaci´n en el propio sistema, es la simulaci´n. Los actuales paquetes de o o CACSD (dise˜o asistido por computador de sistemas de control) permiten simular con facilidad n una gran variedad de sistemas no lineales. Un m´todo muy importante para el estudio de los sistemas no lineales es el de Linealizaci´n. e o Este m´todo permite que algunos sistemas no lineales puedan ser considerados como lineales e dentro de un entorno alrededor de cierto punto, o trayectoria, de funcionamiento. La importancia de este m´todo radica en que al convertir un sistema no lineal dado en otro lineal, pueden e aplicarse al mismo todos los resultados de la teor´ de Sistemas Lineales con lo que su estudio ıa resulta sistem´tico y los resultados obtenidos son generales en el ´mbito de los sistemas lineales. a a Sea un sistema din´mico no lineal definido por el sistema de ecuaciones no lineales de primer a grado ˙ x = f (x, t), x(t0 ) = x0 (1.19) donde f est´ definida en alg´n subconjunto abierto Ω × I ∈ Rn × R. Se dice que el sistema a u descrito por (1.19) tiene un punto de equilibrio aislado xe ∈ Rn si se cumple 1. f (xe , t) = 0, ∀t ∈ I 2. f (x, t) = 0, ∀t ∈ I ∀x = xe en alg´n entorno de x u Como xe es independiente de t, podemos escribir d ˙ x = (x − xe ) dt = f ((x − xe ) + xe , t) = g(x − xe , t) para alguna funci´n g. De aqu´ que o ı ˙ x = g(¯ ), x x = x − xe ¯ (1.20) ¯ Entonces x = O es un punto de equilibrio de (1.20). Por tanto, podemos considerar siempre el origen como un punto de equilibrio, sin m´s que realizar un simple cambio de coordenadas. a Si un sistema evoluciona con peque˜as desviaciones alrededor de un punto de funcionamiento n o estado de equilibrio (x0 , u0 ), puede admitir ser linealizado en ese punto. De forma m´s general, a el sistema puede admitir ser linealizado a lo largo de una trayectoria (x0 (.), u0 (.)) en el espacio de estado. Vamos a suponer que el sistema est´ expresado en forma de un sistema de ecuaciones dife- a renciales de primer grado, en general no lineales, denominadas ecuaciones de estado: ˙ x = f (x(t), u(t), t), x ∈ Rn , u ∈ R q (1.21) y que {x0 (.), u0 (.)} es una soluci´n nominal del sistema, que representa una trayectoria en el o espacio de estado. Consideremos primeramente el caso monovariable x = f (x(t), u(t), t), ˙ x ∈ R, u ∈ R
- 15. ´ 1.8. LINEALIZACION 15 Supongamos que perturbamos la soluci´n de forma que o x(t) = x0 (t) + δx(t), u(t) = u0 (t) + δu(t) (1.22) y que las potencias (δx)i , (δu)i , i 1, son muy peque˜as comparadas con δx, δu. Es decir n (δx)i = o(δx, δu), (δu)i = o(δx, δu), i 1 Derivando (1.22) tenemos ˙ ˙ ˙ x(t) = x0 (t) + δx(t) de donde ˙ δx(t) = x(t) − x0 (t) ˙ ˙ Supongamos ahora que f (.) es lo suficientemente lisa (sin cambios bruscos) para admitir el desarrollo en serie de Taylor f [x(t), u(t), t] = f [x0 (t), u0 (t), t] + fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu) x(t) − x0 (t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu) ˙ ˙ (1.23) ˙ δx(t) = fx (t)δx(t) + fu (t)δu(t) + o(δx, δu) en donde ∂f ∂f fx (t) = , fu (t) = ∂x x0 ,u0 ∂u x0 ,u0 En el caso multivariable f (.), x(.), u(.) son vectores. Entonces fx (.) y fu (.) son los jacobianos Jx0 , Ju0 de f (.) respecto de x y de u, respectivamente, que dependen de x0 (.), u0 (.). ∂f1 ∂f1 ∂f1 ∂f1 . . . ∂xn . . . ∂un ∂f ∂x1 ∂f ∂u1 Jx0 = = ... ... ... , Ju0 = = ... ... ... (1.24) ∂x x0 ,u0 ∂fn ∂fn ∂u x0 ,uo ∂fn ∂fn ∂x1 . . . ∂xn x0 ,u0 ∂u1 . . . ∂un x0 ,u0 De esta manera se obtiene la ecuaci´n linealizada o ˙ δx = fx δx + fu δu (1.25) que se puede escribir en la forma habitual ˙ ¯ ¯ x(t) = A¯ (t) + B u(t) x ¯ ¯ siendo x(t) = δx(t), u(t) = δu(t), A(t) = fx (t), B(t) = fu (t). Es importante destacar que las matrices A y B (jacobianos) son funciones de tiempo si la soluci´n de la ecuaci´n diferencial no o o es constante. Ejemplo 1.8.1 El dep´sito de la figura ?? tiene secci´n constante de ´rea A1 y est´ lleno de o o a a agua hasta una altura h(t) variable. El caudal q(t) de salida de agua se controla mediante una v´lvula que abre o cierra el orificio de salida de ´rea a(t). a a Vamos a obtener el primero modelo no lineal, y despu´s, el modelo lineal por linealizaci´n. e o La energ´ potencial de una masa m de agua situada en la superficie, es decir a una altura ıa h(t) es Ep = mgh(t). La misma masa de agua cuando sale por el tubo tendr´ una energ´ cin´tica a ıa e 1 2 . Por el principio de conservaci´n de la energ´ ambas energ´ han de ser iguales, Ec = 2 mv(t) o ıa, ıas 1 Ep = mgh(t) = mv(t)2 = Ec , 2
- 16. 16 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS h( t ) q( t ) a( t ) Figura 1.3: Dep´sito o por lo que la velocidad de salida del agua es v(t) = 2gh(t). Como el caudal de salida se obtiene multiplicando el ´rea a(t) de salida por la velocidad v(t) a del agua, tenemos q(t) = a(t)v(t) = a(t) 2gh(t) Por otro lado, el caudal q(t) ha de ser igual a la variaci´n del volumen A1 h(t) de agua en el o dep´sito, es decir o d dh q(t) = A1 h(t) = A1 dt dt Igualando las dos ultimas expresiones obtenemos la ecuaci´n diferencial, no lineal, que es el ´ o modelo matem´tico. a dh 1 = a(t) 2gh(t) dt A1 Vamos a hacer la linealizaci´n del sistema. Para ello, lo primero es escoger un punto de o funcionamiento (o estado de equilibrio). Vamos a escoger a0 y h0 como valores de equilibrio para a(t) y h(t). Esto, en la pr´ctica, significar´ que la altura h(t) se va a mantener con un a a valor pr´ximo a h0 y que el valor del caudal q(t) va a ser cercano a a0 . Esto mismo se puede o expresar definiendo dos nuevas variables x(t) := h(t) − h0 y u(t) := a(t) − a0 que representan los “peque˜os” incrementos que toman las variables h(t) y a(t) respecto del punto de equilibrio. n La funci´n f de la ecuaci´n 1.20 es ahora o o 1 f (h, a) = a(t) 2gh(t), A1 en donde h(t) y a(t) hacen el papel de x(t) y u(t), respectivamente. Las derivadas parciales de f , respecto de h y respecto de u, en el punto ho , a0 , nos dan los par´metros de la linealizaci´n. a o Derivando f respecto de h, tenemos ∂f 1 2ga ga = √ = √0 := A, ∂h ho ,a0 A1 2 2gh ho ,a0 A1 2gh0
- 17. 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 17 y, derivando f respecto de a, ∂f 1 = 2gh0 := B. ∂a ho ,a0 A1 Con esto, ya tenemos el modelo linealizado en h0 , a0 respecto de las variables x(t) y a(t): x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t) Obs´rvese que para obtener el modelo hemos supuesto (impl´ e ıcitamente) que no hay p´rdidas de e energ´ por rozamiento. ıa 1.9. Transformaciones entre modelos En las anteriores secciones hemos visto las expresiones habituales de los modelos matem´ticos a de los sistemas de tiempo continuo. El modelo m´s general, v´lido para sistemas lineales y no a a lineales, es el modelo de ecuaci´n diferencial. Los sistemas lineales admiten el modelo de estado o y, si son de coeficientes constantes, el modelo de funci´n de transferencia o, m´s general, el o a modelo denominado representaci´n polinomial. o La preguntas que surgen inmediatamente son que, dada la representaci´n de un sistema en o uno de los modelos, ¿es posible obtener su representaci´n en otros modelos? Si la respuesta a o esta pregunta es afirmativa, ¿c´mo se pasa de unos a otros modelos? o Ecuaci´n diferencial → funci´n de transferencia o o La obtenci´n del modelo de funci´n de transferencia a partir del modelo de ecuaci´n dife- o o o rencial lineal y de coeficientes constantes se realiza de modo inmediato, como hemos visto en la secci´n (1.6), aplicando la transformaci´n de Laplace a la ecuaci´n diferencial (1.1), suponiendo o o o condiciones iniciales nulas: (n) an y (t) + . . . + a2 y (t) + a1 y(t) + a0 y(t) ¨ ˙ (m) = bm u (t) + . . . + b2 u(t) + b1 u(t) + b0 u(t) ¨ ˙ con lo que se obtiene la funci´n de transferencia (1.8) o bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 b(s) G(s) = n + . . . + a s2 + a s + a = an s 2 1 0 a(s) Como puede verse, si exceptuamos las condiciones iniciales, la funci´n de transferencia contiene o exactamente la misma informaci´n que la ecuaci´n diferencial. Los coeficientes de constantes o o ai , bj , i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , m de la ecuaci´n diferencial son los coeficientes de los polinomios o denominador a(s) y numerador b(s) de la funci´n de transferencia G(s). o La transformaci´n inversa, de funci´n de transferencia a ecuaci´n diferencial, se obtiene o o o aplicando la transformaci´n inversa L o −1 de Laplace a la expresi´no X(s)(bm sm + . . . + b2 s2 + b1 s + b0 ) = Y (s)(an sn + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 ) En el supuesto de unicidad de la transformaci´n inversa L−1 de Laplace, el resultado vuelve a o ser la ecuaci´n diferencial (1.1) o
- 18. 18 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Ecuaci´n diferencial → ecuaciones de estado o Este paso, como ya se ha indicado en la secci´n (1.14) consiste en obtener el sistema en forma o normal equivalente a la ecuaci´n diferencial dada. o Funci´n de transferencia → ecuaciones de estado o El paso del modelo de estado al de funci´n de transferencia se realiza aplicando la transfor- o maci´n de Laplace a las ecuaciones de estado del sistema. El paso inverso, del modelo de funci´n o o de transferencia al de estado se denomina realizaci´n. o Obtenci´n de la matriz de transferencia a partir del modelo de estado o Sea un sistema din´mico cuyo modelo de estado viene dado por las ecuaciones a ˙ x = Ax + Bu (1.26) y = Cx + Du en donde x ∈ Rn , u ∈ Rq , y ∈ Rp , A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×q , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×q . Apliquemos la transformaci´n de Laplace a la ecuaci´n de estado o o sIn X(s) = AX(s) + BU(s) sIn X(s) − AX(s) = BU(s) (sIn − A)X(s) = BU(s) La matriz sIn − A es un haz regular de matrices, o matriz polin´mica de grado uno. Es decir, o es una matriz cuyos elementos son polinomios cuyo grado m´ximo es uno. Esta matriz se llama a ıstica del sistema. Su determinante |sI − A| se llama polinomio caracter´ matriz caracter´ ıstico del sistema y es siempre distinto de cero por lo que esta matriz es siempre invertible. Por tanto podemos poner X(s) = (sIn − A)−1 BU(s) (1.27) Apliquemos ahora la transformada de Laplace a la ecuaci´n de salida, segunda ecuaci´n de(1.26) o o Y(s) = CX(s) + DU Sustituyendo (1.27) en esta ecuaci´n queda o Y(s) = C(sIn − A)−1 BU(s) + DU con lo que la matriz de transferencia es Y(s) G(s) = = C(sIn − A)−1 B + D U(s) Realizaci´n o La obtenci´n del modelo de estado a partir del modelo de matriz de transferencia se llama o realizaci´n. Esta denominaci´n se debe a que la informaci´n suministrada por el modelo de o o o estado, que contiene datos sobre la estructura interna del sistema, se encuentra m´s pr´xima a o a la realidad que la dada por el modelo de funci´n de transferencia que s´lo se refiere a la o o relaci´n entre la entrada y la salida del sistema. Como veremos m´s adelante, a partir de las o a matrices A, B, C, B, que definen un modelo de estado dado, puede obtenerse inmediatamente
- 19. 1.9. TRANSFORMACIONES ENTRE MODELOS 19 el denominado diagrama de simulaci´n. Este diagrama contiene toda la informaci´n necesaria o o para construir un sistema f´ ısico (anal´gico o digital) que responde al modelo de estado dado. o Por ello, por conveniencia, se suele llamar realizaci´n a la cuaterna de matrices A, B, C, D. o Dada la realizaci´n A, B, C, D de un sistema cuyo modelo de estado o ˙ x = Ax + Bu (1.28) y = Cx + Du corresponde a la matriz de transferencia G(s), es decir que G(s) = C(sIn −A)−1 B +D, podemos escribir otra realizaci´n haciendo el cambio de base o ¯ x = P x, |P | = 0 (1.29) ¯ en el espacio de estado. Sustituyendo en (1.28) x por P x obtenemos como modelo de estado transformado: ¯˙ ¯ ¯x ¯ x = P −1 AP x + P −1 Bu = A¯ + Bu ¯ x + Du (1.30) y = CP x + Du = C ¯ ¯ Obs´rvese c´mo al hacer un cambio de base en el espacio de estado hemos obtenido una nueva e o o ¯ ¯ ¯ ¯ realizaci´n definida por las matrices A, B, C, D. Parece l´gico pensar que un cambio de base no o deber´ de afectar al comportamiento din´mico entrada-salida del sistema y, en efecto, as´ ocurre. ıa a ı Es f´cil ver que las matrices de transferencia y los polinomios caracter´ a ısticos de las realizaciones ¯ ¯ ¯ ¯ A, B, C, D y A, B, C, D son id´nticos. e Existen, por tanto, infinidad de realizaciones de una matriz de transferencia G(s), ya que podemos definir infinitas matrices P de transformaci´n. La transformaci´n del vector de estado o o definida en (1.29) se llama transformaci´n de semejanza ya que la matriz de planta A del modelo o de estado original y P −1 AP del transformado son semejantes. De las infinitas posibles realizaciones de una determinada matriz de transferencia G(s), definidas cada una de ellas por sus matrices A, B, C, D, hay algunas, denominadas can´nicas, o que tienen una forma especial y que corresponden a ciertas configuraciones con nombre propio del sistema f´ ısico a ellas asociado. Son las formas can´nicas denominadas controlador, observador, o controlabilidad, observabilidad y diagonal. Veamos c´mo son las formas can´nicas correspondientes a una funci´n de transferencia dada o o o G(s) (caso monovariable). Supongamos que el polinomio caracter´ ıstico de G(s) es m´nico, es o decir, el coeficiente del t´rmino de grado n-simo es 1, y que G(s) es estrictamente propia. e Entonces la funci´n de transferencia se puede escribir de la forma o b1 sn−1 + b2 sn−2 + . . . + bn−1 s + bn G(s) = (1.31) sn + a1 sn−1 + a2 sn−2 + . . . + an−1 s + an Obs´rvese que los coeficientes ai , bj de los polinomios numerador y denominador aparecen en e orden inverso al habitual. Las matrices que definen la forma can´nica controlador de G(s) son o −a1 −a2 . . . −an−1 −an 1 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 Bcr = 0 Acr = . . .. . . . . . . . . . . . . . . (1.32) 0 0 ... 1 0 0 Ccr = b1 b2 . . . bn−1 bn Dcr = 0
- 20. 20 CAP´ ITULO 1. MODELOS DE PROCESOS CONTINUOS Las matrices que definen la forma can´nica observador de G(s) son o −a1 1 0 . . . 0 b1 −a2 0 1 . . . 0 b2 . . . .. Aor = . . . Bor = . . . . . . 0 . (1.33) −an−1 0 0 . . . 1 bn−1 −an 0 0 . . . 0 bn Cor = 1 0 0 . . . 0 Dor = 0 Las matrices que definen la forma can´nica controlabilidad de G(s) son o 0 0 . . . 0 −an 1 1 0 . . . 0 −an−1 0 Acd = 0 1 . . . 0 −an−2 Bcd = 0 . . .. . . . . . . . . . (1.34) . . . . . 0 0 . . . 1 −a1 0 Ccd = β1 β2 . . . βn−1 βn Dcd = 0 Las matrices que definen la forma can´nica observabilidad de G(s) son o 0 1 0 ... 0 β1 0 0 1 ... 0 β2 Aod = . . . . . . .. . Bod = . . . . . 0 . 0 0 0 ... 1 βn−1 (1.35) −an −an−1 . . . −a2 −a1 βn Cod = 1 0 0 . . . 0 Dod = 0 Los n´meros β1 , β2 , . . . , βn que aparecen en las dos ultimas formas can´nicas, controlabilidad u ´ o y observabilidad, son los denominados par´metros de Markov, cuyo valor viene dado por a 1 0 ... 0 0 β1 a1 1 . . . 0 0 b1 β2 . . b2 ... .. . .. . . . . . . . . ... = .. βn−1 . 1 0 bn−1 an−2 an−3 βn bn .. an−1 an−2 . a1 1 Por ultimo, las matrices de la forma can´nica diagonal correspondiente a una realizaci´n definida ´ o o por sus matrices A, B, C, D, est´ definida por la transformaci´n P que pasa la matriz de planta a o a su forma diagonal. Si los valores propios de A son todos distintos, la transformaci´n P es una o matriz cuadrada cuyas columnas son los vectores propios de A. Las nuevas matrices, por (1.30) son: ˆ A = P −1 AP = diag[λ1 , λ2 , . . . , λn ] ˆ ˆ ˆ (1.36) B = P −1 B, C = CP, D = D Si la matriz A tiene valores propios repetidos, la matriz P es la que transforma A en su forma can´nica de Jordan. o
- 21. Cap´ ıtulo 2 Respuesta temporal 2.1. Diagramas de bloques Un diagrama de bloques es un conjunto de rect´ngulos o bloques, cada uno de los cuales a representa un componente del sistema, enlazados entre s´ a trav´s de flechas que representan a ı e variables del sistema. U(s) Y(s) G(s) H(s) Figura 2.1: Diagrama de bloques de un sistema de regulaci´n o Los diagramas de bloques utilizan cuatro elementos b´sicos en sus esquemas: a 1. Flecha: Representa a una variable del sistema. Sobre la misma se indica la correspondiente variable. En la figura 2.1, U (s) e Y (s) son dos variables. 2. Bloque: Representa a un componente del sistema. Es un rect´ngulo dentro del cual se a indica la correspondiente funci´n de transferencia. Tiene una variable de entrada y otra o de salida, representadas por dos flechas, de forma que la variable de salida es el producto de la variable de entrada por la funci´n de transferencia. El bloque G(s) de la figura 2.1 o representa a un componente del sistema identificado matem´ticamente por su funci´n de a o transferencia G(s). La variable de entrada es E(s) y la de salida Y (s) , de manera que, Y (s) = E(s)G(s) 3. Punto de suma: Representa la operaci´n de suma o resta entre varias variables. Se o representa por un c´ırculo con varias variables de entrada y una de salida, siendo esta ultima ´ igual a la suma algebraica de todas las variables de entrada. Los signos de esta suma deben 21
- 22. 22 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL indicarse en cada variable si son negativos. En la figura 2.1 se suman algebraicamente las variables U (s) e R(s) siendo E(s) el resultado, es decir, E(s) = U (s) − H(s)Y (s) 4. Punto de bifurcaci´n: Una flecha, que representa a una variable, se puede bifurcar o en varias, cada una de las cuales representa a la misma variable. Se representa por un punto grueso. En la figura 2.1 la variable de salida Y (s) se bifurca en dos, en el punto de bifurcaci´n indicado. o El diagrama de bloques permite representar un sistema de regulaci´n incluyendo todos sus o componentes y especificando la funci´n de transferencia de cada uno de ellos. Cuando el n´me- o u ro de componentes es elevado puede resultar conveniente realizar agrupamientos entre varios bloques para simplificar el esquema. Por otro lado suele ser necesario obtener funciones de transferencia globales de un conjunto de bloques, o incluso de todo el diagrama, para efectuar posteriores procesos de c´lculo. Existen una serie de reglas, derivadas de los teoremas del ´lgebra a a elemental, que sirven para simplificar los diagramas de bloque, obteniendo un bloque unico y su ´ correspondiente funci´n de transferencia, a partir de otros varios. o El bloque es un elemento multiplicativo: la variable de salida de un bloque es igual a la variable de entrada al mismo multiplicada por su funci´n de transferencia. Por otro lado, las o variables se suman algebricamente en los puntos de suma. Por tanto, podemos aplicar a los diagramas de bloques las propiedades alg´bricas de la suma y el producto, tales como: e Propiedad conmutativa del producto y de la suma. Propiedad asociativa del producto y de la suma. Propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Elementos neutros de la suma y del producto. Elementos sim´tricos de la suma y del producto. e En las tablas 2.1 y 2.2 se muestran algunas de estas reglas que, sin ser las unicas, pueden ´ resultar de utilidad para simplificar los diagramas de bloques. En cada fila de la tabla se ha representado el diagrama de bloques original, en la primera columna, y el diagrama equivalente o simplificado en la segunda. Diagrama de bloques del modelo de estado Sabemos que el modelo de estado de un sistema din´mico es a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t) en donde x ∈ Cn , u ∈ Cq , y ∈ Cp . Aplicando la transformada de Laplace, supuestas nulas las condiciones iniciales, obtenemos sX(s) = AX(s) + BU (s) Y (s) = CX(s) + DU (s) (2.1)
- 23. 2.1. DIAGRAMAS DE BLOQUES 23 Diagrama de bloques Diagrama equivalente Z X U V X V Y Z Y U X Y U Y G1 G2 G 1G 2 U Y U Y G1 G1+G 2 G2 U Y U Y G G Y Y G U Y U Y G G U U 1/G Cuadro 2.1: Simplificaci´n de diagramas de bloque o
- 24. 24 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Diagrama de bloques Diagrama equivalente U Y U Y G G V V G U Y U Y G G V V 1/G U Y U Y G 1/H G H H U Y U G Y G 1+GH H U Y U G Y G 1+G H Cuadro 2.2: Simplificaci´n de diagramas de bloque o
- 25. ˜ 2.2. GRAFOS DE FLUJO DE SENAL 25 que es el modelo transformado. Este modelo de estado transformado puede representarse me- diante un diagrama de bloques en el cual U(s) es la entrada, Y(s) la salida y X(s) el estado, las tres transformadas por Laplace. Por ser estas variables son multidimensionales, se acos- tumbra a representarlas mediante flechas m´s gruesas que las que se utilizan para los bloques a monovariables [Ogata 82, sec. 14.2]. En la figura 2.2 se ha representado el diagrama de bloques correspondiente a 2.1. D U(s) sX(s) 1 X(s) Y(s) B C s A Figura 2.2: Diagrama de bloques del modelo de estado 2.2. Grafos de flujo de se˜ al n Cuando los sistemas son de cierta complejidad, el m´todo de representaci´n por diagramas de e o bloques puede resultar laborioso en su construcci´n y m´s a´n en la tarea de simplificaci´n para o a u o obtener las funciones de transferencia, puesto que las reglas de simplificaci´n de los diagramas o de bloque no son sistem´ticas. El m´todo de los grafos de flujo de se˜al resulta entonces m´s a e n a adecuado, por su mayor simplicidad y por disponer de una formula para la obtenci´n de las o funciones de transferencia [Ogata 82, sec. 4.7]. U(s) Y(s) T(s) U(s) T(s) Y(s) Figura 2.3: Rama entre dos nodos Los grafos de flujo de se˜al tienen unicamente dos elementos, que se indican a continuaci´n: n ´ o
- 26. 26 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL 1. Arista: Es un segmento de l´ ınea orientado que discurre entre dos nodos. Corresponde a un componente del sistema definido por su funci´n de transferencia o transmitancia. o Es equivalente al elemento bloque de los diagramas de bloque. En la figura 2.3, se ha representado una rama, con transmitancia T (s), entre los nodos correspondientes a las variables U (s) y Y (s), y su diagrama de bloques equivalente. Se cumple que Y (s) = U (s)T (s) 2. Nodo: Es un peque˜o c´ n ırculo y corresponde a una variable del sistema. El valor de la variable de un nodo es igual a la suma de los productos transmitancias de todas las ramas que entran al nodo, multiplicadas por las variables correspondientes a los nodos de los que parten. El nodo sustituye a la flecha de variable, al punto de suma y al punto de bifurcaci´n o de los diagramas de bloque. As´ en la figura 2.4, el valor de la variable y es ı, Y = U1 T1 + U2 T2 + U3 T3 U1(s) T1(s) T2(s) U2(s) Y(s) T3(s) U3(s) Figura 2.4: Nodo con tres ramas de entrada En los grafos de flujo de se˜al la suma algebraica de variables se realiza mediante transmi- n tancias unitarias con signo positivo o negativo. Por ejemplo, en la figura 2.5, X = U1 − U2 + U3 El punto de bifurcaci´n de los diagramas de bloque se realiza tambi´n mediante una transmi- o e tancia unitaria, como puede apreciarse en la figura 2.6, en la que la variable U se bifurca a otros tres nodos. Formula de la ganancia de Mason El diagrama de bloques y el grafo de flujo de se˜al contienen la misma informaci´n: ambos n o describen conjunto de ecuaciones lineales entre las variables del sistema. Las funciones de trans- ferencia determinan las relaciones existentes entre cada salida y cada una de las entradas. La formula de la ganancia de Mason viene a ser un caso particular de resoluci´n de sistemas de o ecuaciones por aplicaci´n de la regla de Crammer. Para aplicar la formula de Mason es preciso o realizar las definiciones siguientes:
- 27. ˜ 2.2. GRAFOS DE FLUJO DE SENAL 27 U1(s) 1 -1 U2(s) Y(s) 1 U3(s) Figura 2.5: Suma algebraica de variables Y(s) 1 T(s) 1 U(s) Y(s) 1 Y(s) Figura 2.6: Realizaci´n de un punto de bifurcaci´n o o 1. Trayectoria: Es cualquier camino, recorrido en el sentido indicado por las flechas de las ramas, entre un nodo de entrada y otro de salida, que pase s´lo una vez por cada nodo. o Se denomina ganancia de trayectoria al producto de las transmitancias de todas las ramas de la trayectoria. 2. Ciclo: Es cualquier camino cerrado, recorrido en el sentido indicado por las flechas de las ramas, que pase s´lo una vez por cada nodo. Se denomina ganancia de lazo al producto o de las transmitancias de todas las ramas del lazo. Sean P1 , P2 , . . . , Pn las ganancias de todas las trayectorias existentes entre un nodo de entrada P y otro de salida Q, y sean L1 , L2 , . . . , Ln las ganancias de todos los lazos del grafo. La funci´n de transferencia TQP = YQ /UP dada por la f´rmula de Mason es: o o P1 ∆1 + P2 ∆2 + . . . + Pn ∆n TQP = ∆ siendo ∆ el determinante del grafo de flujo de se˜al (con m´s propiedad de la matriz asociada n a al grafo) y ∆1 , ∆2 , . . . , ∆n los cofactores correspondientes a cada una de las trayectorias. El determinante ∆ del gr´fo se obtiene mediante la expresi´n siguiente (f´rmula de Mason): a o o ∆=1− Li + Li Lj − Li Lj Lk + . . . (2.2) en la que Li es la suma de las ganancias de todos los ciclos, Li Lj es la suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de dos ciclos disjuntos, Li Lj Lk es la suma de los productos de las ganancias de todas las combinaciones posibles de tres ciclos disjuntos, etc.
- 28. 28 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL El cofactor ∆i de una trayectoria Pi se obtiene eliminando de la expresi´n (2.2) del determi- o nante del grafo, los t´rminos en los que aparezcan ciclos que tocan a la trayectoria. e 2.3. C´lculo de la respuesta temporal a La respuesta temporal de un sistema es el conjunto de valores que toma su salida en funci´no del tiempo cuando al mismo se aplica una entrada dada. Los t´rminos entrada y salida se refieren e a una variable (sistema monovariable), o a varias (sistema multivariable). Existen varios m´todos e de obtenci´n de la respuesta temporal, de los que mencionaremos los siguientes: o U(s) Y(s) G(s) Figura 2.7: Funci´n de transferencia de un sistema o 1. Resoluci´n de las ecuaciones diferenciales. o Una vez obtenido el modelo matem´tico por medio de ecuaciones diferenciales pueden a aplicarse los m´todos matem´ticos de resoluci´n anal´ e a o ıtica las mismas para hallar la res- puesta. De este m´todo derivan los m´todos basados en la transformada de Laplace, para e e el caso de sistemas lineales, y los basados en la integraci´n num´rica de las ecuaciones o e diferenciales, validos para sistemas lineales y no lineales. 2. M´todos basados en la transformada de Laplace. e La aplicaci´n transformada de Laplace suministra un m´todo de resoluci´n de las ecuacio- o e o nes diferenciales lineales, ya descrito anteriormente, que permite obtener la salida (trans- formada) de un sistema multiplicando la entrada (transformada) por la funci´n de trans- o ferencia (Figura 2.7). 3. Resoluci´n de las ecuaciones de estado. o El m´todo de obtenci´n de la respuesta y(t), dada la entrada u(t), es el siguiente: e o a) Hallar G(s) a partir de las ecuaciones del sistema f´ ısico. b) Hallar U (s) = L[u(t)] c) Hallar Y (s) = U (s)G(s) d) Hallar y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [U (s)G(s)] A partir de ´ste m´todo general se han desarrollado diferentes variantes en funci´n, sobre e e o todo, del procedimiento empleado para realizar el apartado 3d , es decir, el c´lculo de la funci´n a o antitransformada de la funci´n Y (s). o
- 29. ´ 2.3. CALCULO DE LA RESPUESTA TEMPORAL 29 M´todo de la integral de convoluci´n e o Este m´todo [Ogata 82, sec. 6.1] consiste en aplicar la propiedad de convoluci´n de la trans- e o formada de Laplace cuya expresi´n es, o L[f1 (t) ⊗ f2 (t)] = F1 (s)F2 (s) (2.3) siendo ⊗ la operaci´n de convoluci´n definida por la expresi´n: o o o t t f1 (t) ⊗ f2 (t) = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ = f1 (τ )f2 (t − τ )dτ 0 0 Si la entrada u(t) es un impulso de Dirac aplicado en t = 0 es decir u(t) = δ(t), entonces U (s) = 1 y la respuesta y(t) se denomina respuesta impulsional del sistema o funci´n ponderatriz. Su o expresi´n es o y(t) = L−1 [1.G(s)] = g(t) La funci´n ponderatriz es la transformada inversa de Laplace de la funci´n de transferencia. o o Conocida la funci´n ponderatriz g(t) puede hacerse el c´lculo de la respuesta a una entrada o a cualquiera u(t) aplicando la propiedad (2.3): y(t) = L−1 [U (s)G(s)] = u(t) ⊗ g(t) es decir t y(t) = u(τ )g(t − τ )dτ 0 Este m´todo puede utilizarse cuando no resulta f´cil obtener el modelo matem´tico del sistema e a a y puede obtenerse la respuesta impulsional por alg´n m´todo experimental. tambi´n se utiliza u e e en el an´lisis y dise˜o de los sistemas discretos. a n M´todo de integraci´n compleja e o Consiste en aplicar la definici´n matem´tica de la transformada inversa de Laplace para o a hallar la respuesta: σ+j∞ 1 y(t) = L−1 [Y (s)] = Y (s)est ds 2πj σ−j∞ Aunque no se utiliza en la pr´ctica del c´lculo de la respuesta, por existir otros procedimientos a a m´s simples, la integraci´n compleja constituye la base matem´tica de los m´todos basados en a o a e el c´lculo de ra´ a ıces y residuos que vamos a ver a continuaci´n. o M´todo de descomposici´n en fracciones simples e o Como sabemos, si el sistema es lineal, monovariable y de par´metros concentrados, la funci´n a o de transferencia G(s) es una funci´n racional en s: o b(s) G(s) = a(s) Si la entrada es u(t) y su transformada de Laplace es U (s), la expresi´n de la transformada de o Laplace Y (s) de la salida, en el caso de condiciones iniciales nulas, es bm sm + . . . + b1 s + b0 Y (s) = U (s)G(s) = U (s) (2.4) an sn + . . . + a1 s + a0
- 30. 30 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL es tambi´n una funci´n racional de la forma e o N (s) Y (s) = (2.5) D(s) en donde N (s) y D(s) son polinomios es s. Dado que las funciones racionales admiten siempre una expansi´n en fracciones simples, la o expresi´n (2.5) puede expresarse como suma de fracciones simples [Ogata 82, sec. 2.4]. Para ello o hallaremos las ra´ ıces s1 , s2 , s3 , . . . , sn del denominador D(s). Si D(s) es m´nico, Y (s) puede o escribirse en la forma N (s) Y (s) = (2.6) (s − s1 )(s − s2 )(s − s3 ) . . . (s − sn ) Seg´n que las ra´ de D(s) sean simples (todas distintas) o m´ltiples, la expansi´n en fracciones u ıces u o simples de la expresi´n (2.5) es diferente. o Ra´ ıces simples Si las ra´ ıces son simples (reales o complejas) la expresi´n (2.5) admite la siguiente descom- o posici´n en fracciones simples: o K1 K2 K3 Kn Y (s) = + + + ... + (2.7) s − s1 s − s2 s − s3 s − sn en la cual los n´meros K1 , K2 , K3 , . . . , Kn se llaman los residuos de la funci´n Y (s) (ver Ap´ndice u o e sobre Variable Compleja) y se obtienen por la f´rmula o N (s) Ki = (s − si ) (2.8) D(s) s=si La obtenci´n de la respuesta y(t) resulta trivial, ya que la funci´n antitransformada de cada o o sumando de la expresi´n (2.7) es conocida. Por tanto o y(t) = K1 es1 t + K2 es2 t + K3 es3 t + . . . + Kn esn t (2.9) Si hay ra´ıces complejas puede obtenerse una expresi´n alternativa a la (2.8) para cada par de o ra´ ıces conjugadas. Sean si , sj un par de ra´ ıces complejas conjugadas si = σ + jω, sj = σ − jω Puede verse f´cilmente que los residuos correspondientes Ki yKj , calculados por la f´rmula (2.8), a o Ki = A + jB, Kj = A − jB son tambi´n complejos conjugados. Pasando a coordenadas polares, los residuos se escriben, e Ki = M ∠θ, Kj = M ∠ − θ y en forma exponencial, Ki = M ejθ , Kj = M e−jθ (2.10) siendo M el m´dulo y θ y el argumento de los residuos. o La parte yc (t) de la respuesta, dada por (2.9), asociada a ´ste par de ra´ e ıces complejas con- jugadas es yc (t) = Ki esi t + Kj esj t
- 31. ´ 2.3. CALCULO DE LA RESPUESTA TEMPORAL 31 Sustituyendo los valores de Ki y Kj dados por (2.10) queda yc (t) = M ejθ e(σ+jω)t + M e−jθ e(σ−jω)t y operando, yc (t) = M eσt ej(ωt+θ) + e−j(ωt+θ) (2.11) pero e+j(ωt+θ) = cos(ωt + θ) + j sin(ωt + θ) e−j(ωt+θ) = cos(ωt + θ) − j sin(ωt + θ) Sustituyendo en (2.11) resulta yc (t) = 2M eσt cos(ωt + θ) (2.12) Ra´ ıces m´ ltiples u Si el polinomio D(s) tiene ra´ m´ltiples la expansi´n de Y (s) en fracciones simples difiere ıces u o de la dada por (2.7). Sea sj una ra´ repetida r veces (grado de multiplicidad r) y sean las otras ız ra´ ıces, s1 , s2 , . . . , sn , todas ellas simples. La expresi´n de Y (s) es ahora o N (s) Y (s) = (s − s1 )(s − s2 ) . . . (s − sj )r . . . (s − sn ) Entonces la expansi´n de Y (s) en fracciones simples es de la forma o K1 Kj1 Kj2 Kjr Kn Y (s) = + ... + 1 + 2 + ... + r + ... + (2.13) s − s1 (s − sj ) (s − sj ) (s − sj ) s − sn Para hallar los residuos correspondientes a las ra´ ıces simples sigue siendo v´lida la expresi´n a o (2.8), mientras que para los residuos Kj1 , Kj2 , . . . , Kjn , asociados a la ra´ m´ltiple sj , deben ız u aplicarse las f´rmulas siguientes: o N (s) Kjr = (s − sj )r D(s) s=sj d N (s) Kjr−1 = (s − sj )r ds D(s) s=sj . . . 1 dk N (s) Kjr−k = (s − sj )r K! dsk D(s) s=sj . . . 1 dr−1 N (s) Kj1 = (s − sj )r (r − 1)! dsr−1 D(s) s=sj (2.14) La respuesta y(t), antitransformada de Laplace de la expresi´n (2.13), es: o y(t) = K1 es1 t + K2 es2 t + K3 es3 t + . . . + Kn esn t +Kj1 esj t + tKj2 esj t + . . . + tr−1 Kjr esj t (2.15)
- 32. 32 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Calculo de las ra´ ıces, residuos y respuesta por ordenador Cuando el polinomio denominador D(s) de la funci´n Y (s) es de segundo grado, las ra´ se o ıces obtienen por la f´rmula de la ecuaci´n de segundo grado. Si es de grado superior al segundo puede o o aplicarse el m´todo de Ruffini, cuando las ra´ e ıces son enteras, pero, en general, se debe recurrir al empleo de m´todos num´ricos. Dada al actual disponibilidad de ordenadores personales, el e e c´lculo de las ra´ a ıces por m´todos num´ricos es quiz´s el m´todo adecuado, ya que, adem´s, e e a e a pueden utilizarse los recursos del computador para efectuar otros c´lculos, tales como residuos, a respuesta temporal etc., as´ como para realizar todo tipo de representaciones gr´ficas. ı a 2.4. Sistema de primer orden Sabemos que el orden de un sistema con funci´n de transferencia G(s) = b(s)/a(s) es el o grado del polinomio a(s) denominador de G(s) [Ogata 82, sec. 6.3]. La funci´n de transferencia o de un sistema de primer orden estrictamente causal se puede escribir en la forma A G(s) = s+a Su diagrama de bloque puede verse en la figura 2.8. Vamos a analizar dos casos, correspondientes U(s) A Y(s) s+a Figura 2.8: Diagrama de bloque de un sistema de primer orden a entrada impulso y a entrada escal´n, con condiciones iniciales nulas. o Entrada impulso. Respuesta impulsional Si u(t) = δ(t), impulso de Dirac, hallamos su transformada de Laplace U (s): U (s) = [δ(t)] = 1 por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida, es A Y (s) = U (s)G(s) = s+a La respuesta temporal, dada por (2.17) es y(t) = Ae−at = Ae−t/τ El par´metro τ= 1/a se llama constante de tiempo del sistema de primer orden. En la figura 2.9 a se ha representado la respuesta impulsional de un sistema de primer orden.
- 33. 2.4. SISTEMA DE PRIMER ORDEN 33 Respuesta impulsional 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t Figura 2.9: Respuesta impulsional del sistema de primer orden Entrada escal´n unitario o Si la entrada al sistema es el escal´n unitario, u(t) = 1(t), su transformada de Laplace es o 1 U (s) = L[1(t)] = s por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es A Y (s) = U (s)G(s) = s(s + a) Para hallar la respuesta temporal a partir de A K1 K2 Y (s) = = + s(s + a) s s+a hemos de calcular los residuos mediante la formula (2.16): A A K1 = (s − 0) = s(s + a) s=0 a A A K2 = (s + a) =− s(s + a) s=−a a Una vez hallados los residuos, la respuesta dada (2.17) es A A −at y(t) = − e a a En la figura 2.10 se ha representado la respuesta a una entrada escal´n de un sistema de primer o orden.
- 34. 34 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Respuesta al escalon 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t Figura 2.10: Respuesta al escal´n del sistema de primer orden o Cuando las condiciones iniciales no son nulas, no es aplicable la ecuaci´n (2.4) sino que hemos o de recurrir a la (1.7). En el caso del sistema de primer orden con m = 0, n = 1, la ecuaci´n o diferencial del sistema (??) se escribe, a1 y + a0 y = b0 u ˙ Aplicando la ecuaci´n (1.7), tenemos o b0 a1 y(0) Y (s) = U (s) + a1 s + a0 a1 s + a0 Dividiendo numerador y denominador de (2.44) por a1 y haciendo b0 /a1 = A, a0 /a1 = a queda, A y(0) Y (s) = U (s) + s+a s+a A partir de esta ecuaci´n se puede determinar f´cilmente y(t) conociendo u(t). o a 2.5. Sistema de segundo orden El polinomio caracter´ ıstico de un sistema de segundo orden es de segundo grado [Ogata 82, sec. 6.4]. La funci´n de transferencia tiene la forma para m = 1, n = 2: o b1 s + b 0 G(s) = a2 s2+ a1 s + a0 Vamos a estudiar en primer lugar el caso en que b = 0, cuya transmitancia se suele expresar: 2 ωn G(s) = s2 + 2ξωn s + ωn 2
- 35. 2.5. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 35 2 U(s) ωn Y(s) 2 2 s + 2ξω ns + ω n Figura 2.11: Diagrama de bloque de un sistema de segundo orden 2 siendo ωn = a0 /a2 , 2ξωn = a1 /a2 . El par´metro ωn se llama frecuencia natural del sistema a mientras que ξ se denomina coeficiente de amortiguamiento. Su diagrama de bloque puede verse en la figura 2.11 Analizaremos dos casos, correspondientes a entrada impulso y a entrada escal´n, o con condiciones iniciales nulas. Entrada impulso. Respuesta impulsional Si u(t) = δ(t), impulso de Dirac, hallamos su transformada de Laplace U (s): U (s) = L[δ(t)] = 1 por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es 2 ωn Y (s) = U (s)G(s) = s2 + 2ξωn s + ωn 2 Las ra´ ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica son: s1,2 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2 Para hallar los residuos aplicamos la formula (2.16): 2 ωn K1 = (s + ξωn − jωn 1 − ξ2) s2 + 2ξωn s + ωn 2 s=s1 de donde resulta 2 ωn −jωn K1 = = s + ξωn + jωn 1− ξ2 s=s1 2 1 − ξ2 Del mismo modo 2 ωn jωn K2 = = s + ξωn − jωn 1 − ξ2 s=s1 2 1 − ξ2 En coordenadas polares, ωn π M= , θ=− 2 1− ξ2 2 con lo que los residuos se expresan ωn −π K1 = , ∠ 2 1− 2 ξ2 ωn π K2 = , ∠ , 2 1−ξ 2 2
- 36. 36 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL y la respuesta temporal se obtiene ahora aplicando la f´rmula (2.12): o ωn y(t) = e−ξωn t sin ωn 1 − ξ2 t 1− ξ2 En la figura 2.12 se ha representado la respuesta impulsional del sistema de segundo orden. Respuesta impulsional 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t Figura 2.12: Respuesta impulsional del sistema de 2o orden Entrada escal´n unitario o Si la entrada al sistema es el escal´n unitario, u(t) = 1(t), su transformada de Laplace U (s) o es, 1 U (s) = L[1(t)] = s por tanto Y (s), transformada de Laplace de su salida es, 2 ωn Y (s) = U (s)G(s) = s(s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 Las ra´ ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica son ahora, s1 = 0, s2,3 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2 Calculemos los residuos, por la formula (2.16): 2 ωn K1 = (s − 0) =1 s(s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 s=0 2 ωn 1 jξ K2 = (s − s2 ) =− + s(s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 s=s2 2 2 1 − ξ2 2 ωn 1 jξ K3 = (s − s3 ) =− − s(s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 s=s3 2 2 1 − ξ2
- 37. 2.5. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 37 El m´dulo y el argumento de K2 son o 1 1 M = 2 1 − ξ2 ξ θ = −arctan 1 − ξ2 En coordenadas polares, K2 = M ∠θ, K3 = M ∠ − θ La respuesta temporal se obtiene aplicando las f´rmulas (2.12) y (2.9): o 1 y(t) = 1 + e−ξωn t cos(ωn 1 − ξ 2 t + θ)) 1 − ξ2 Im s2 ωn φ α Re s3 Figura 2.13: Situaci´n de las ra´ o ıces complejas conjugadas A veces interesa indicar la respuesta en funci´n del ´ngulo correspondiente a las ra´ o a ıces complejas conjugadas. Dichas ra´ ıces son s2,3 = −ξωn ± jωn 1 − ξ2 de donde 1 − ξ2 φ = − arctan . ξ Pero como ξ θ = − arctan , 1 − ξ2 ha de ser θ = 90o − φ. Si introducimos una nuava variable α, tal que α + φ = 180o , tenemos θ = 90 − φ = 90 − (180 − α) = α − 90,
- 38. 38 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL y ello nos permite expresar la respuesta en funci´n de α. o 1 y(t) = 1 + e−ξωn t cos(ωn 1 − ξ 2 t + α − 90o )) 1− ξ2 1 =1− e−ξωn t sin (ωn 1 − ξ 2 t + α). 1− ξ2 Es interesante la interpretaci´n gr´fica de la figura 2.13. Las ra´ s2 y s3 se hallan situadas o a ıces ırculo de radio wn , formando ´ngulos φ y −φ con el eje real; el ´ngulo α es el suplementario en un c´ a a de φ. En la figura 2.14 se ha representado la respuesta a una entrada escal´n del sistema de segundo o orden. Si el sistema tiene condiciones iniciales no nulas se procede de igual modo que el indicado para el sistema de primer orden, utilizando la ecuaci´n (1.11), y hallando la antitransformada o de Laplace de la expresi´n resultante. o Respuesta al escalon 1.5 1 0.5 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 t Figura 2.14: Respuesta al escal´n del sistema de segundo orden o Elemento de retraso en el tiempo Es un componente que provoca el retraso de una se˜al en el tiempo. En concreto, si u(t) es n la se˜al de entrada al elemento de retraso, entonces la salida y(t) es id´ntica a la entrada u(t) n e aunque retrasada un tiempo dado T . Es decir y(t) = u(t − T )1(t − T ) ¿Cual ser´ su funci´n de transferencia? a o U (s) - RT (s) Y (s) -
- 39. 2.5. SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN 39 Por el teorema de traslaci´n en el tiempo de la transformada de Laplace sabemos que o L[f (t − T )1(t − T )] = e−sT F (s), en donde L(f (t)) = F (s), asi que ha de ser L(y(t)) = L(u(t − T )1(t − T )) = e−sT U (s), por lo que la funci´n de transferencia de este elemento es o RT (s) = e−sT El elemento de retraso en el tiempo aparece frecuentemente en la pr´ctica y hace que el a sistema deje de ser lineal y que su control resulte m´s dif´ a ıcil. Uno de los ejemplos m´s t´ a ıpicos es un tubo por el que circula un fl´ido que transporta una se˜al de temperatura. En la figura u n 2.16 tenemos el esquema de un sistema de control de calefacci´n. Funciona asi: si la medida o θm que da el term´metro es menor que la temperatura de referencia θref (previamente fijada) o entonces el controlador aumenta la se˜al el´ctrica vc que env´ a v´lvula y ´sta se abre un poco n e ıa a e m´s; en cambio, si θ θref , disminuye dicha se˜al cerrando un poco la v´lvula y, si son iguales, a n a (θ = θref ) la se˜al que env´ no cambia y la v´lvula permanece en la misma posici´n. Se trata, n ıa a o pues, de un sistema de control en lazo cerrado que responde al diagrama de bloques de la figura 2.15. Perturbaci´n o θref vc V´lvula a m m r θ- ? -+ - K - y - Tubo -+ - Habitaci´n o − 6 Caldera θm Term´metro o Figura 2.15: Sistema de control de temperatura Respuesta de los sistemas de orden superior El m´todo general de obtener la expresi´n de la respuesta temporal en sistemas de orden e o superior es el indicado en la secci´n 2.3. El c´lculo de ra´ o a ıces y residuos puede resultar tedioso para sistemas de orden superior al segundo, por lo que se hace casi imprescindible el empleo de un computador. La respuesta temporal de un sistema de orden superior consta de una serie de sumandos, tal y como aparece en las expresiones (2.13) y (2.15). Como puede verse, est´ formada por una a superposici´n de t´rminos asociados a los polos de la ecuaci´n caracter´ o e o ıstica. Puesto que para sistemas estables los t´rminos exponenciales deben ser decrecientes con el tiempo, algunos de ellos e habr´n quedado casi totalmente amortiguados al transcurrir un peque˜o intervalo de tiempo, a n mientras que otros permanecer´n durante tiempos m´s largos. Los polos correspondientes a los a a t´rminos que m´s tiempo permanecen influyendo en la respuesta se llaman polos dominantes. e a Son siempre los t´rminos asociados a las ra´ e ıces m´s pr´ximas al eje imaginario. a o A menudo resulta conveniente hacer un an´lisis simplificado de los sistemas de orden su- a perior. Este an´lisis suele consistir en la sustituci´n de la transmitancia del sistema por otra a o
- 40. 40 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Referencia de Controlador Temperatura poporcional Tubo Aire Termómetro Caldera Válvula Habitación Gas Ventilador Figura 2.16: Control de la temperatura de una habitaci´n o cuya ecuaci´n caracter´ o ıstica sea de orden inferior, segundo o tercero generalmente, con ra´ ıces situadas en los polos dominantes de la transmitancia original. Por este motivo, el conocimiento del comportamiento del sistema de segundo orden resulta de importancia transcendental en el an´lisis y dise˜o de los sistemas [Ogata 82, sec. 6.5]. a n 2.6. Respuesta del modelo de estado Se trata de obtener la expresi´n de la respuesta y(t) de un sistema din´mico dado, conociendo o a las matrices A, B, C, D que constituyen su modelo de estado x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ y(t) = Cx(t) + Du(t) as´ como la entrada o control del sistema, u(t) [Ogata 82, sec. 14.5]. La soluci´n de la ecuaci´n ı o o diferencial del vector de estado x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (2.16) se puede obtener por un procedimiento similar al utilizado para resolver una ecuaci´n diferencial o lineal de primer orden de la forma x(t) = ax(t) + bu(t) ˙ en la que x(t) y u(t) son funciones del tiempo. Por ello resolveremos primeramente esta ecuaci´n. o Tomando la transformada de Laplace tenemos: s X(s) − x(0) = aX(s) + bU (s) X(s)(s − a) = x(0) + bU (s) x(0) b X(s) = + U (s) s−a s−a
- 41. 2.6. RESPUESTA DEL MODELO DE ESTADO 41 La transformada inversa L−1 se obtiene aplicando el teorema de convoluci´n: o t L−1 [F1 (s)F2 (s)] = f1 (t − τ )f2 (τ )dτ 0 Tomando F1 (s) = 1/(s − a) y F2 (s) = bU (s) obtenemos t x(t) = eat x(0) + ea(t−τ ) b u(τ )dτ (2.17) 0 Intuitivamente podemos esperar que la soluci´n de la ecuaci´n del vector de estado (2.16) tenga o o una forma parecida a (2.17) Para obtenerla utilizaremos la funci´n exponencial matricial que se o define como: ∞ X2 Xk Xk eX = exp(X) = In + X + + ... + = 2! k! k! k=0 en donde X ∈ Cn×n e In es la matriz identidad de orden n. Se sabe por la teor´ de funciones ıa de matrices que esta serie converge para todo t finito y para toda matriz cuadrada A finita. Ahora, para resolver la ecuaci´n diferencial del vector de estado (2.16), utilizaremos el mismo o m´todo que nos ha servido para hallar la soluci´n de la ecuaci´n diferencial de primer orden. e o o Aplicando la transformada de Laplace al sistema x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ obtenemos X(s) − x(0) = AX(s) + BU (s) X(s)(sIn − A) = x(0) + BU (s) X(s) = (sIn − A)−1 x(0) + (sIn − A)−1 BU (s) (2.18) Para hallar la antitransformada x(t) supongamos primero que u(t) = 0. Entonces tenemos X(s) = (sIn − A)−1 x(0) 1 A −1 = In − x(0) s s 1 A A2 = In + + 2 + . . . x(0) s s s La soluci´n x(t) buscada se obtiene hallando la transformada inversa de esta serie: o A2 t 2 x(t) = 1(t) In + At + + . . . x(0) 2! ∞ (At)k = = eAt k! k=0 Supongamos ahora el caso general, es decir u(t) = 0. Aplicando el teorema de convoluci´n se o deduce de (2.18) que t x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ (2.19) 0 que es la soluci´n de la ecuaci´n del vector de estado. o o
- 42. 42 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Una vez conocida x(t), la respuesta temporal y(t) del sistema se obtiene inmediatamente de (2.16) por sustituci´n: o y(t) = Cx(t) + Du(t) Otra forma de obtener la soluci´n del modelo de estado o x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ es la siguiente. Denotemos por x(t) al vector de estado, es decir x(t) = [x1 (t), . . . , xn (t)]T t y por 0 x(τ )dτ a su integral en t: t t t x(τ )dτ = [ x1 (τ )dτ, . . . , xn (τ )dτ ] 0 0 0 Consideremos primero el caso simplificado en que A = 0. Entonces la ecuaci´n de estado o queda reducida a x(t) = Bu(t) ˙ Para resolverla vamos a realizar el cambio de variable z(t) = e−At x(t) (2.20) Derivando esta ecuaci´n tenemos o z(t) = −Ae−At x(t) + e−At x(t) ˙ ˙ = −Ae−At x(t) + e−At (Ax(t) + Bu(t)) = e−At Bu(t) Integrando esta ecuaci´n diferencial obtenemos o t z(t) = z(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ 0 y, deshaciendo el cambio (2.20), t e−At x(t) = z(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ 0 ya que z(0) = e−At x(0) = z(0). Despejando x(t) obtenemos t x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ 0 que es la soluci´n buscada. o 2.6.1. An´lisis Modal a Hemos obtenido una f´rmula que nos permite hallar la soluci´n x(t) del modelo de estado, o o dadas las matrices A y B y el valor x(0) de condiciones iniciales. Vamos a estudiar ahora las relaciones que existen entre ciertas propiedades de los datos A, B y x(0) y de la soluci´n x(t). o Para ello hemos de repasar previamente algunos conceptos de Algebra Lineal.
- 43. 2.6. RESPUESTA DEL MODELO DE ESTADO 43 Dependencia lineal Vamos a suponer que tenemos un sistema de n vectores columna a11 a12 a1n a21 a22 a2n a1 = . , a2 = . , . . . , an = . . . . . . . am1 am2 amn pertenecientes al espacio vectorial Cm (a veces puede ser Cm ) y n escalares x1 , . . . , xn ∈ C. La operaci´n o a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn b2 a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = = . . . . . . am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn bm se denomina combinaci´n lineal de a1 , a2 , . . . , an . En forma matricial se escribe o Ax = b en donde A ∈ Cm×n , x ∈ Cn , b ∈ Cn . Si, dados a1 , . . . , an , existe un conjunto de escalares x1 , . . . , xn , no todos nulos, tales que los elementos de la combinaci´n lineal b1 , b2 , . . . , bn , son o todos nulos, entonces se dice que los vectores a1 , a2 , . . . , an son linealmente dependientes. En caso contrario se dice que son linealmente independientes. Un concepto estrechamente relacionado con la dependencia lineal es el de rango. Se define el rango de una matriz A = [aij ] , como el n´mero m´ximo de filas (o de columnas) linealmente u a independientes. Resulta evidente que si disponemos de alg´n procedimiento para calcular el u rango de una matriz podemos averiguar si un sistema de vectores es linealmente independiente o no lo es. Recordemos que la dimensi´n de un espacio vectorial V es el n´mero m´ximo de vectores o u a linealmente independientes en V . Si en un espacio vectorial, por ejemplo en Cn , tenemos n vectores e1 , e2 , . . . , en linealmente independientes, ´stos forman una base del espacio vectorial. e Valores propios y vectores propios Sea A una aplicaci´n lineal, dada en cierta base por la matriz cuadrada A ∈ Cn×n , en el o espacio vectorial Cn . 1. Sea λ ∈ C. Se dice que λ es un valor propio de A si existe un vector x ∈ Cn , x = 0, tal que Ax = λx Es importante remarcar que x ha de ser no nulo (x = 0) ya que de otro modo todo elemento λ ∈ C ser´ un vector propio. Los valores propios son las ra´ ıa ıces λi , i = 1, . . . , n de la ecuaci´n |λIn − A| = 0 o 2. Sea x ∈ Cn . Se dice que x es un vector propio de A si existe un escalar λ ∈ C tal que Ax = λx Cada vector propio wi es la soluci´n x del sistema de ecuaciones Ax = λi x, en donde λi o es un valor propio, para i = 1, . . . , n. Los vectores propios w1 , . . . , wn se suelen denominar vectores propios por la derecha.
- 44. 44 CAP´ ITULO 2. RESPUESTA TEMPORAL Diagonalizaci´n o Otro resultado conocido importante es que si una aplicaci´n lineal A : Cn → Cn tiene n va- o lores propios distintos λ1 , λ2 , . . . λn , entonces tiene n vectores propios w1 , w2 , . . . , wn linealmente independientes. En este caso la matriz W = [w1 , w2 , . . . , wn ], cuyas columnas son los vectores propios, es invertible y entonces se verifica W −1 AW = W −1 A[w1 , w2 , . . . , wn ] = W −1 [Aw1 , Aw2 , . . . , Awn ] = W −1 [λ1 w1 , λ2 w2 , . . . , λn wn ] = diag[λ1 , λ2 , . . . , λn ] := Λ es decir que la matriz A es semejante a una matriz diagonal Λ. Las filas v1 , v2 , . . . , vn de la matriz V = W −1 suelen denominarse vectores propios por la izquierda ya que, seg´n acabamos de ver, W −1 AW = Λ = [λ1 , λ2 , . . . , λn ] y, por tanto, W −1 A = u ΛW −1 es decir V A = V λ. Respuesta espectral Veamos ahora c´mo podemos caracterizar la respuesta del sistema libre o x = Ax, ˙ x ∈ Cn , A ∈ Cn×n (2.21) en relaci´n a los valores propios y vectores propios de la matriz A. Vamos a suponer que los o valores propios λ1 , λ2 , . . . , λn de A sean todos distintos. En este caso, sus vectores propios (por la derecha), w1 , w2 , . . . , wn son linealmente independientes y, por tanto, forman una base de Cn . Entonces podemos expresar la soluci´n x(t) de (2.21), por pertenecer a Cn , como una o combinaci´n lineal de los vectores de la base, es decir, de la forma o x(t) = x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn (2.22) en donde x1 (t), . . . , xn (t) ∈ C. Derivando esta ecuaci´n y sustituyendo en (2.21) queda o x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn = ˙ ˙ ˙ = A(x1 (t)w1 + x2 (t)w2 + . . . + xn (t)wn ) = λ1 x1 (t)w1 + λ2 x2 (t)w2 + . . . + λn xn (t)wn de donde, por ser w1 , . . . , wn linealmente independientes, se deduce que x1 (t) = λ1 x1 (t) ˙ x2 (t) = λ2 x2 (t) ˙ . . . xn (t) = λn xn (t) ˙ Las soluciones de este sistema de ecuaciones, que se obtienen de forma inmediata, son xi (t) = xi (0)eλi t , i = 1, 2, . . . , n Sustituyendo en (2.22) obtenemos como soluci´n o n x(t) = xi (0)eλi wi i=1
- 45. Cap´ ıtulo 3 Respuesta de frecuencia 3.1. Respuesta de frecuencia Se define la respuesta de frecuencia de un sistema como la respuesta en estado estacionario ante una entrada sinusoidal. Los m´todos de an´lisis y dise˜o de sistemas basados en la respuesta e a n de frecuencia han sido y son muy utilizados por varias razones. En primer lugar, la facilidad de obtenci´n de la respuesta y estabilidad de los sistemas por m´todos gr´ficos supon´ una ventaja, o e a ıa dada la escasa disponibilidad de los computadores digitales, sobre los complicados c´lculos con a n´meros complejos exigidos por los m´todos de respuesta temporal y del lugar de las ra´ u e ıces. En segundo lugar, los m´todos de respuesta de frecuencia pueden servir para el an´lisis y dise˜o de e a n sistemas cuya funci´n de transferencia se desconoce, por sencillas mediciones de amplitud y fase o en la entrada y en la salida, pudiendo incluso determinarse la funci´n de transferencia. Y en o tercer lugar por ser muchas de las variables de entrada a los sistemas de naturaleza sinusoidal u ondulatoria, siendo en estos casos necesario el conocimiento de la respuesta de frecuencia [Ogata 82]. A sin(ωt) y(t) G(s) Figura 3.1: Sistema con entrada sinusoidal 3.2. Respuesta de un sistema a entrada sinusoidal Vamos a considerar un sistema lineal, monovariable y estable, con funci´n de transferencia o G(s), representado en la figura 3.1, al cual se aplica una entrada sinusoidal. Para hallar la respuesta aplicamos el m´todo de descomposici´n en fracciones simples basado e o en el c´lculo de las ra´ a ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica y de los residuos. En primer lugar, dada la funci´n de entrada o u(t) = A sin ωt (3.1) obtenemos Aω U (s) = L[u(t)] = s2 + ω2 45
- 46. 46 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA Por tanto la transformada de Laplace de la respuesta es Aω Y (s) = U (s)G(s) = G(s) s2 + ω 2 Hallando su transformada inversa obtenemos la respuesta temporal: Aω y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 G(s) s2 + ω2 Por tratarse de un sistema lineal, G(s) es una funci´n racional que se puede expresar como o cociente entre el polinomio N (s) y el polinomio D(s): N (s) G(s) = D(s) Las ra´ıces del denominador de Y (s) ser´n las del factor s2 + ω 2 junto con las las de D(s), es a decir, s1 = jω, s2 = −jω, s3 , s4 , . . . y, por lo tanto, Y (s) puede descomponerse en fracciones simples de la forma K1 K2 K3 K4 Y (s) = + + + + ... (3.2) s − jω s + jω s − s3 s − s4 Para hallar K1 y K2 aplicamos la f´rmula (2.8) del cap´ o ıtulo 5: Aω AG(jω) K1 = G(s)(s − jω) = (3.3) s2 + ω2 s=jω 2j Aω AG(−jω) K2 = = (3.4) s2 + ω 2 G(s)(s + jω) s=−jω −2j Sustituyendo (3.3) y (3.4) en (3.2) queda AG(jω) AG(−jω) K3 K4 Y (s) = (s − jω) + (s + jω) + + + ... 2j −2j s − s3 s − s4 La transformada inversa de Laplace de esta funci´n es la respuesta temporal. o AG(jω) jωt AG(−jω) −jωt y(t) = e − e + K3 es3 t + K4 es4 t + . . . (3.5) 2j 2j Obs´rvese que, por tratarse de un sistema estable, las ra´ e ıces correspondientes a la ecuaci´n o caracter´ ıstica D(s) = 0 estar´n en el semiplano complejo izquierdo y, por tanto, los sumandos a K3 es3 t + K4 es4 t + . . . de la respuesta tender´n a cero en estado estacionario. a G(jω) es una cantidad compleja que en notaci´n exponencial se puede expresar o G(jω) = M ejφ (3.6) siendo M = |G(jω)| y φ = ∠G(jω). Del mismo modo, G(−jω) = M e−jφ (3.7)
- 47. 3.3. DIAGRAMAS DE NYQUIST 47 Sustituyendo (3.6) y (3.7) en (3.5) la expresi´n de la respuesta en estado estacionario yss y queda o AM ejφ jωt AM e−jφ −jωt ej(ωt+φ) − e−j(ωt+φ) yss (t) = e − e = AM 2j 2j 2j o bien yss = AM sin(ωt + φ) (3.8) La respuesta de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es tambi´n sinusoidal, de la misma e frecuencia, con una amplitud igual a la de la entrada multiplicada por M , y con un de fase φ respecto a la entrada, siendo M el m´dulo y φ el argumento de G(jω). o Mediante la f´rmula anterior se puede obtener la respuesta de un sistema a una entrada o u(t) = A sin ωt, para cualquier valor de ω. Para ello, para una ω dada, se determinan los valores de M y de φ y se sustituyen en (3.8). Para evitar los c´lculos con n´meros complejos se a u desarrollaron m´todos gr´ficos para hallar M y φ en funci´n de ω por medio de diagramas. Los e a o mas empleados son los diagramas de Nyquist y de Bode. 3.3. Diagramas de Nyquist El diagrama de Nyquist es el lugar geom´trico que describe el vector G(jω) en el plano e complejo al variar ω entre −∞ y ∞ [Ogata 82, sec. 9.3]. Aunque la frecuencia negativa no tiene significado f´ ısico, s´ que tiene un significado matem´tico que permite formular el criterio de ı a estabilidad de Nyquist. Un m´todo b´sico para confeccionar el diagrama de Nyquist consiste en escribir una tabla en e a la que para cada valor de ω calculemos los valores del m´dulo M y del argumento φ de G(jω), o o bien la parte real y la parte imaginaria. Por ejemplo, para la funci´n o 1 G(s) = s+1 sustituimos s por jω y damos a ω los valores 0, 0,5, 1, 1,5, . . ., y calculamos M = |G(jω)| y φ = ∠G(jω), coloc´ndolos en la tabla 3.1. a ω M φ 0.0 1.000 0.0 0.5 0.894 -26.6 1.0 0.707 -45.0 1.5 0.555 -56.3 2.0 0.447 -63.4 3.0 0.316 -71.6 5.0 0.196 -78.7 10.0 0.100 -84.3 Cuadro 3.1: Respuesta de frecuencia Con la ayuda de esta tabla se traza f´cilmente el diagrama de Nyquist, representado en la a figura 3.2, dibujando en el plano complejo cada uno de los extremos de los vectores G(jω) dados por la tabla en coordenadas polares que, como puede apreciarse, es una circunferencia. En la figura 3.2 se muestran los diagramas de Nyquist de diferentes sistemas definidos por sus funciones de transferencia.
- 48. 48 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA a a.b s+a (s+a)(s+b) Imag Imag Real Real a.b.c a.b (s+a)(s+b)(s+c) s(s+a)(s+b) Imag Real Imag Real Figura 3.2: Algunos diagramas de Nyquist Los diagramas de Nyquist no son eficaces para efectuar medidas del m´dulo y fase de G(jω), o dada la dificultad de determinar con precisi´n el valor de ω que corresponde a cada punto de o la curva. Sin embargo pueden servir para identificar las funciones de transferencia de algunos sistemas por comparaci´n de la forma de sus gr´ficas de Nyquist con la de otras te´ricas pre- o a o viamente trazadas. Adem´s, muestran gr´ficamente la estabilidad de los sistemas de control, a a por aplicaci´n del criterio de Nyquist, seg´n el numero de veces que la curva circunde al punto o u (−1 + 0j) del plano complejo. 3.4. Diagramas de Bode Los diagramas de Bode representan el vector G(jω) en dos gr´ficas, una para el m´dulo y a o otra para la fase. En la primera se representa el m´dulo M = G(jω) en decibelios, en funci´n o o del logaritmo decimal de ω, y en la segunda la fase, φ = G(jω) tambi´n en funci´n de log ω e o [Ogata 82, sec. 9.2]. Como vamos a ver, el trazado de los diagramas de Bode se simplifica por utilizar coordenadas logar´ ıtmicas. Supongamos que las ra´ del numerador (ceros) de G(s) son z1 , z2 , . . . , zm y que ıces las del denominador (polos) son p1 , p2 , . . . , pn . G(s) puede entonces expresarse de la forma (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) G(s) = A (3.9) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn ) Para hallar la respuesta de frecuencia sustituimos s por jω en (3.9). (jω − z1 )(jω − z2 ) . . . (jω − zm ) G(jω) = A (3.10) (jω − p1 )(jω − p2 ) . . . (jω − pn ) Calculemos el m´dulo y el argumento de esta expresi´n. o o |jω − z1 ||jω − z2 | . . . |jω − zm | M = |G(jω)| = A (3.11) |jω − p1 ||jω − p2 | . . . |jω − pn |
- 49. 3.4. DIAGRAMAS DE BODE 49 o, de forma m´s conveniente para los diagramas, a ω ω ω |j −z1 + 1||j −z2 + 1| . . . |j −zm + 1| G(jω) = K ω ω ω (3.12) |j −p1 + 1||j −p2 + 1| . . . |j −pn + 1| en donde K es la ganancia est´tica de G(s) a (−z1 )(−z2 ) . . . (−zm ) K=A (−p1 )(−p2 ) . . . (−pn ) El argumento o fase de G(jω) vale ∠(jω − z1 ) + ∠(jω − z2 ) + . . . + ∠(jω − zm ) φ = ∠G(jω) = (3.13) ∠(jω − p1 ) + ∠(jω − p2 ) + . . . + ∠(jω − pm ) En los diagramas de Bode, el m´dulo M se expresa en decibelios, es decir o MdB = 20 log M con lo que la expresi´n (3.12) puede ponerse, o MdB = 20 log K (3.14) 2 2 2 ω ω ω +20 log + 1 + 20 log + 1 + . . . + 20 log +1 −z1 −z2 −zm 2 2 2 ω ω ω −20 log + 1 − 20 log + 1 − . . . − 20 log +1 −p1 −p2 −pn M = 20 log K φ = 0º Figura 3.3: Diagrama de Bode del factor K De aqu´ se deduce que el diagrama de Bode se puede realizar trazando las gr´ficas corres- ı a pondientes a cada uno de los sumandos de las expresiones (3.15), para el m´dulo, y (3.13), para o el argumento, y sumando luego dichas gr´ficas. Vamos a ver como se realiza el trazado, indivi- a dualizado para cada sumando del m´dulo y de la fase, seg´n que las ra´ o u ıces sean nulas, reales o complejas, as´ como para la constante de ganancia est´tica K. ı a
- 50. 50 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA Factor de ganancia est´tica K a El factor K de (3.12) representa un sumando constante, de valor 20 log K, ya que no depende de ω. La fase vale cero para todo valor de ω. w log 20 M = φ = 90º Figura 3.4: Diagrama de Bode del factor s Factor s en el numerador Un factor s en el numerador corresponde a un cero de G(s) en el origen (z1 = 0). La gr´fica a del m´dulo est´ determinada por la ecuaci´n. o a o MdB = 20 log |jω| = 20 log ω Esta ecuaci´n representa una recta, de pendiente 20 dB, en el diagrama de Bode. La gr´fica de o a la fase viene dada por φ = ∠jω = 90o El diagrama de Bode se ha representado en la figura 3.4. Factor s en el denominador Un factor s en el denominador corresponde a un polo de G(s) en el origen (p1 = 0). La gr´fica del m´dulo est´ determinada por a o a 1 MdB = 20 log = −20 log ω jω Esta ecuaci´n representa una recta, de pendiente -20 dB, en el diagrama de Bode. La gr´fica de o a la fase viene dada por 1 φ=∠ = −90o jω
- 51. 3.4. DIAGRAMAS DE BODE 51 M = -20 log w φ = -90º Figura 3.5: Diagrama de Bode del factor 1/s El diagrama de Bode se ha representado en la figura 3.5. jω Factor ( −z1 + 1) del numerador jω Si z1 es un cero real de G(s), la gr´fica del m´dulo del factor ( −z1 + 1) del numerador de a o G(s) viene dada, seg´n (2.24) por u 2 ω MdB = 20 log +1 (3.15) ω1 siendo ω1 = −z1 . Vamos a considerar tres partes de la curva. En la zona en que ω ω1 despreciamos (ω/ω1 )2 frente a la unidad, con lo que el m´dulo vale o MdB = 20 log 1 = 0 En la zona en que ω ω1 despreciamos la unidad frente a (ω/ω1 )2 con lo que el m´dulo vale o ω MdB = 20 log ω1 que corresponde a una recta, de pendiente 20 dB, que pasa por el punto log ω = log ω1 del eje log ω. Por ultimo, en el punto ω = ω1 , seg´n (3.15), el m´dulo vale ´ u o √ MdB = 20 log 2 = 3dB Para trazar la curva de la fase procedemos de manera similar a la empleada para el m´dulo. El o argumento del factor (jω − z1 ) del numerador de G(s) es ω φ = tan−1 (3.16) ω1
- 52. 52 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA a c ad / de dB 20 ω1/10 ω1 10 ω1 jω Figura 3.6: Diagrama de Bode del factor ( −z1 + 1) Para ω ω1 la fase, dada por (3.16), es φ = tan−1 (0) = 0 Para ω ω1 , φ = tan−1 (∞) = 90o Y para ω = ω1 , φ = tan−1 (1) = 45o Para trazar el diagrama de Bode se efect´an aproximaciones rectas de las curvas de m´dulo y de u o fase en las zonas de ω ω1 y de ω ω1 , que se unen con el punto ω = ω1 , en el cual el m´dulo o vale 3 decibelios y la fase 45 grados, mediante un segmento de curva realizada a mano alzada o con una plantilla. En la pr´ctica se considera que ω a ω1 cuando es diez veces (una d´cada) e menor y que ω ω1 cuando es diez veces mayor. La gr´fica de Bode del factor (s/ω1 + 1) se a representa en la figura 3.6. jω Factor ( −p1 + 1) del denominador Este caso es muy similar al anterior. Si p es un polo real de G(s), las expresiones del m´dulo o y de la fase son, haciendo ω1 = −p1 , id´nticas a las obtenidas en el apartado anterior, aunque e jω con signo cambiado. En efecto, el m´dulo de 1/( −p1 + 1) es, seg´n (3.15): o u 2 2 ω ω MdB = 20 log(1) − 20 log + 1 = −20 log +1 ω1 ω1 y el argumento, ω ω φ = 0 − tan−1 = −tan−1 ω1 ω1
- 53. 3.4. DIAGRAMAS DE BODE 53 -2 0 dB /d ec ad a ω1/10 ω1 10 ω1 jω Figura 3.7: Diagrama de Bode del factor 1/( −z1 + 1) Las gr´ficas de m´dulo y de fase, sim´tricas respecto al eje ω a las obtenidas para el factor a o e jω ( −p1 + 1) del numerador, se han representado en la figura 3.7. Ra´ ıces m´ ltiples u Si G(s) tiene un n´mero nz de ceros z1 o un n´mero np de polos p1 repetidos, existir´ un u u a factor de la forma (s − z1 )nz en el numerador o de la forma (s − p1 )np en el denominador de la expresi´n (3.10). Las expresiones del m´dulo y fase, obtenidas a partir de (3.12) y (3.13) fase o o son, para el primer caso 2 ω MdB = 20nz log +1 ω1 ω φ = nz tan−1 ω1 El diagrama de Bode correspondiente se ha representado en la figura 3.8. En el segundo caso existir´ un factor de la forma (s − p1 )np en el denominador de G(s). Las a expresiones del m´dulo y de la fase ser´n: o a 2 ω MdB = −20np log +1 ω1 ω φ = −np tan−1 ω1 El diagrama de Bode se ha representado en la figura 3.9. Si las ra´ ıces z1 o p1 repetidas son nulas (ra´ ıces en el origen del plano complejo) se obtienen diagramas de Bode similares a los representados en las figuras 3.4 y 3.5, si bien la pendiente de la recta del m´dulo es 20nz o 20np , o y la ordenada de la recta de fase es +90o nz o −90o np .
- 54. 54 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA da e ca /d dB nz 20 nz π/2 jω Figura 3.8: Diagrama de Bode del factor ( −z1 + 1)nz Ra´ ıces complejas en el numerador Si dos ra´ z1 , z2 del numerador de G(s) son complejas conjugadas, los t´rminos (s − z1 ) y ıces e (s − z2 ) de la expresi´n (3.9) pueden agruparse dando lugar a un factor de segundo orden, de la o forma s2 + 2ξωn s + ωn 2 (3.17) en el que ωn es la pulsaci´n natural y ξ el coeficiente de amortiguamiento. Dividiendo por ξωn o obtenemos s 2 s + 2ξ +1 (3.18) ωn ωn Vamos a considerar en primer lugar el caso en que ξ = 1. Entonces la expresi´n (3.18) queda o 2 2 s s s +2 +1= +1 ωn ωn ωn Este caso corresponde a una ra´ doble s = −ωn , y ha sido estudiado en el apartado anterior. ız El diagrama de Bode es, por tanto, el de la figura 3.8 con nz = 2. Para valores de ω menores que la unidad hemos de obtener el m´dulo y el argumento de la o expresi´n (3.18), en funci´n de ω, para cada valor de ω. Sustituyendo s por jω queda o o 2 ω ω 1− + 2ξ j ωn ωn El diagrama de Bode se ha representado en la figura 3.10.
- 55. 3.4. DIAGRAMAS DE BODE 55 -2 0n z dB /d ec -π/2 nz jω Figura 3.9: Diagrama de Bode del factor 1/( −z1 + 1)np Ra´ ıces complejas en el denominador Como f´cilmente puede deducirse, si existe un factor de segundo orden de la forma a 2 s s + 2ξ +1 ωn ωn en el denominador de G(s), los diagramas de Bode son sim´tricos, respecto al eje ω, a los e obtenidos en el apartado anterior. Se han representado en la figura 3.11. Para valores de ξ = 1, 1/2, 1/4 . . ., el m´dulo y el argumento de del factor de 2o orden de la o expresi´n (3.17) ha sido calculado por computador y representado en la figura 3.12. o Los valores de ξ 1, no representados en las gr´ficas, corresponden al caso de ra´ a ıces reales y distintas, ya estudiado. Elemento de retraso en el tiempo Corresponde a un elemento del sistema que provoca un retraso en el tiempo en un deter- minada magnitud. Sea una magnitud x(t) que se aplica a la entrada del elemento de retraso representado en la figura 3.13. La salida y(t) es id´ntica a la entrada x(t) aunque retrasada un e tiempo dado T . Es decir y(t) = x(t − T )u(t − T ) La funci´n de transferencia de este elemento es e−sT ya que o L[x(t − T )u(t − T )] = X(s)e−sT Es un elemento no lineal por lo que no est´ incluido en la expresi´n de G(s) dada en (3.9). El a o diagrama de Bode se realiza hallando el m´dulo y el argumento de e−sT para s = jω. o M = |e−jωT | = 1 φ = ∠e−jωT = −ωT = −10log ωT
- 56. 56 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA ωn=10 /d ec dB ζ=1/8 40 ωn/10 ωn 10ωn Figura 3.10: Diagrama de Bode del factor (s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 3.5. Trazado por computador La realizaci´n de un programa de ordenador que genere los trazados de Nyquist o de Bode o es muy sencilla. Se sigue un procedimiento an´logo al empleado en el apartado 3.3 para la a confecci´n manual del diagrama de Nyquist por medio de una tabla. A partir de un valor inicial o de ω, igual o pr´ximo a cero, el computador ha de calcular |G(jω)| y ∠G(jω). A continuaci´n o o se incrementa ω y se vuelven a calcular los mismos valores, continuando as´ el proceso hasta que ı ω alcance un valor establecido previamente. Los valores calculados pueden almacenarse en un fichero del disco para su posterior representaci´n por medio de otro programa de gr´ficos o bien o a pueden ir represent´ndose a la vez que se calculan en la pantalla del ordenador [Maltab]. a 3.6. Criterio de estabilidad de Nyquist Una de las principales aplicaciones de los m´todos de respuesta de frecuencia es la determi- e naci´n de la estabilidad, absoluta y relativa, de los sistemas de control. El criterio de Nyquist o permite conocer la estabilidad de un sistema en lazo cerrado, tal como el representado en la figura 3.14 conociendo la respuesta de frecuencia de su funci´n de transferencia en lazo abier- o to G(s)H(s) [Ogata 82, sec. 9.5]. Puesto que la respuesta de frecuencia de un sistema en lazo abierto puede hallarse experimentalmente, se puede por este m´todo averiguar la estabilidad de e un sistema sin conocer su funci´n de transferencia. o El sistema de control de la figura 3.14 ser´ estable si su funci´n de transferencia, dada por a o G(s) T (s) = 1 + G(s)H(s) no tiene polos en el semiplano derecho complejo. Como los polos de T (s) son los ceros de la funci´n F (s) = 1 + G(s)H(s), una forma de averiguar la estabilidad del sistema ser´ hallar el o a n´mero de ceros que tiene F (s) en el semiplano derecho. u
- 57. 3.6. CRITERIO DE ESTABILIDAD DE NYQUIST 57 -4 0 dB ωn=10 /d ec ζ=1/8 Figura 3.11: Diagrama de Bode del factor 1/(s2 + 2ξωn s + ωn ) 2 El criterio de Nyquist est´ basado en el principio del argumento, de Cauchy, estudiado en la a teor´ de variable compleja. Este principio establece que, dada una funci´n F (s) de la variable ıa o compleja s, anal´ıtica en un recinto R limitado por camino cerrado c excepto en un n´mero finito u de polos, la diferencia entre el n´mero ZF de ceros y el n´mero PF de polos de F (s) existentes u u en el recinto R, es igual al n´mero de vueltas que da el vector F (s) alrededor del origen del u plano de la funci´n, en un sentido dado, al recorrer la variable s el camino cerrado c que rodea o a R, en el mismo sentido. Es decir, 1 ZF − PF = ∆c arg[F (s)] 2π en donde ∆c arg F (s) significa el incremento del argumento de F (s) al recorrer la variable un camino c. Este principio nos puede servir para averiguar la diferencia entre el n´mero de ceros ZF y el u n´mero de polos PF de una funci´n F (s) en el semiplano derecho C0 . Para ello la variable s u o ha de recorrer un camino (camino de Nyquist) que encierre por completo a dicho semiplano. El camino de Nyquist, como puede apreciarse en la figura 3.15 se compone del eje imaginario del plano complejo s y de una semicircunferencia de radio infinito situada en el semiplano derecho. Al recorrer la variable s este camino en el sentido de las flechas, la funci´n F (s) recorre o una curva en el plano F (s). El n´mero de vueltas, en el sentido del camino de Nyquist, que da u el vector F (s) alrededor del origen ser´ igual a ZF − PF . a Si utilizamos el plano G(s)H(s) en lugar de F (s) y representamos en ´l la funci´n G(s)H(s), e o vemos que la curva obtenida es igual a la obtenida en el plano F (s) pero desplazada en una unidad hacia la izquierda(figura 3.16). Por tanto el n´mero de vueltas que da el vector F (s) alrededor del origen en el plano F (s) u es igual al n´mero de vueltas que da el vector 1 + G(s)H(s) alrededor del punto (−1 + 0j) en u el plano G(s)H(s) (figuras 3.15 y 3.16).
- 58. 58 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA ζ=1/128 ζ=1/64 ζ=1/32 ζ=1/16 ζ=1/8 ζ=1/4 ζ=1/2 ζ=1 ζ=1/128 ζ=1 Figura 3.12: Variaci´n del coeficiente de amortiguamiento ξ o Elemento de retraso X(s) -sT Y(s) e Figura 3.13: Elemento de retraso en el tiempo Por otro lado, sea ng nh G(s) = , H(s) = , dg dh en donde (ng , dg ) y (nh , dh ) son los polinomios numerador y denominador de G(s) y de H(s), respectivamente. Entonces tenemos que ng G(s) dg ng d h T (s) = = ng nh = = 1 + G(s)H(s) 1 + dg dh d g d h + ng nh y que d g d h + ng nh F (s) = 1 + G(s)H(s) = dg dh de donde los polos de T (s) son los ceros de F (s). Adem´s, los polos de G(s)H(s) son los polos a de F (s). Por tanto, PT = ZF , PGH = PF , los polos de F (s) son los mismos que los de G(s)H(s). Adem´s, como ya se ha indicado ante- a riormente, los polos de T (s) son los ceros de la funci´n F (s) = 1 + G(s)H(s). Por lo tanto se o deduce que:
- 59. ´ 3.7. MARGENES DE FASE Y DE GANANCIA 59 U(s) Y(s) G(s) H(s) Figura 3.14: Sistema de control en lazo cerrado PLANO s PLANO F(s) im im re 1 re Figura 3.15: Camino de Nyquist y curva G(s)H(s) No de vueltas de G(s)H(s) alrededor de (-1 + 0j) = No polos de T (s) en spd - No de polos de G(s)H(s) en spd o bien: No de polos de T (s) en spd = N o de vueltas de G(s)H(s) alrededor de (−1 + 0j) + No de polos de G(s)H(s) en spd Esta ultima expresi´n constituye el criterio de Nyquist. Puesto que generalmente (aunque no ´ o siempre) la funci´n de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) corresponde a un sistema estable, o el No de polos de G(s)H(s) en spd suele ser cero. 3.7. M´rgenes de fase y de ganancia a Adem´s de servir para hallar la estabilidad absoluta, los diagramas de Nyquist y de Bode a nos informan sobre el grado de estabilidad o estabilidad relativa del sistema [Ogata 82, sec. 9.7]. El margen de fase y el margen de ganancia son dos magnitudes que pueden obtenerse de dichos diagramas y que son unos ´ındices de la estabilidad relativa del sistema.
- 60. 60 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA PLANO s PLANO G(s)H(s) im im re -1 re Figura 3.16: Camino de Nyquist y curva 1 + G(s)H(s) Margen de ganancia de un sistema estable es la mayor constante real M , por la cual podemos multiplicar la funci´n de transferencia en lazo abierto G(s)H(s), manteniendo estable el sistema o en lazo cerrado. En el diagrama de Nyquist de G(s)H(s) representado en la figura 3.17 el margen de fase M vale Kc 1 MG = = K1 d siendo K la ganancia est´tica de la funci´n G(s)H(s) cuya estabilidad relativa queremos de- a o terminar y K la ganancia est´tica para que el sistema sea marginalmente estable, es decir la a correspondiente a la curva que pasa por (−1 + 0j), como puede verse en la figura 3.17. Margen de fase es el m´ximo incremento de fase, sin afectar al m´dulo, que puede darse a a o la funci´n de transferencia en lazo abierto G(s)H(s), manteniendo estable el sistema en lazo o cerrado. Es igual a 180o + φ, siendo φ la fase de G(s)H(s) cuando la curva pasa por (−1 + 0j). Los m´rgenes de fase y de ganancia pueden tambi´n obtenerse del diagrama de Bode, tal y como a e puede apreciarse en la figura 3.18.
- 61. ´ 3.7. MARGENES DE FASE Y DE GANANCIA 61 PLANO G(s)H(S) PLANO G(s)H(S) im im d -1 re -1 re ϕm Margen de ganancia = 1/d Margen de fase = ϕm Figura 3.17: M´rgenes de ganancia y de fase a Mg ϕm Figura 3.18: M´rgenes de ganancia y de fase en el diagrama de Bode a
- 62. 62 CAP´ ITULO 3. RESPUESTA DE FRECUENCIA
- 63. Cap´ ıtulo 4 Lugar de las ra´ ıces Los par´metros de un sistema lineal de regulaci´n pueden variar por motivos diversos. La a o variaci´n puede ser involuntaria, por cambios que se van produciendo en los componentes con o el paso del tiempo, por influencia de los cambios del medio, etc., o voluntaria, cuando se desea modificar valores de algunos componentes para mejorar el comportamiento del sistema. Hemos visto c´mo la posici´n de las ra´ o o ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica en el plano complejo indica la estabilidad, absoluta y relativa del sistema, as´ como otros datos de inter´s relacionados con sus ı e especificaciones de funcionamiento. El lugar geom´trico de las ra´ e ıces es el lugar geom´trico que e U(s) Y(s) K G(s) H(s) Figura 4.1: Sistema de control con K variable describen las ra´ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica cuando var´ un par´metro del sistema desde ıa a cero hasta infinito. Este par´metro variable est´ relacionado con uno o con varios coeficientes de a a la ecuaci´n caracter´ o ıstica y puede ser, en general, un valor asociado a un componente cualquiera del sistema, si bien el caso m´s usual es indicado en la figura 4.1, en la que el par´metro variable a a es la ganancia est´tica K de la funci´n de transferencia en lazo abierto [Ogata 82, cap8]. a o 4.1. Fundamento del m´todo e Vamos a considerar el sistema lineal cuyo diagrama de bloques aparece en la figura 4.1. G(s) y H(s) son funciones de transferencia, es decir funciones racionales, y K es el par´metro cuya a variaci´n va a producir el lugar de las ra´ o ıces. La funci´n de transferencia del sistema es: o KG(S) T (s) = (4.1) 1 + KG(S)H(s) 63
- 64. 64 CAP´ ITULO 4. LUGAR DE LAS RA´ ICES La funci´n de transferencia en lazo abierto KG(s)H(s) puede ponerse en la forma o Z(s) (s − z1 )(s − z2 ) . . . (s − zm ) KG(S)H(s) = K =K (4.2) P (s) (s − p1 )(s − p2 ) . . . (s − pn ) en donde z1 , z2 , . . . , zm son los ceros y p1 , p2 , . . . , pn son los polos de G(s)H(s), ra´ ıces de los polinomios Z(s) y P (s) respectivamente. Puesto que KG(s)H(s) es una funci´n de variable compleja, vamos a expresarla en forma o exponencial para poder operar con los vectores en modo gr´fico. a |s − z1 |ejφz1 |s − z2 |ejφz2 . . . |s − zm |ejφzm KG(S)H(s) = K |s − p1 |ejφp1 |s − p2 |ejφp2 . . . |s − pn |ejφpn Esta ecuaci´n, agrupando los m´dulos por un lado y los argumentos por otro, puede escribirse o o |s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | jΣφi KG(S)H(s) = K e (4.3) |s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn | en donde Σφi = φz1 + φz2 + . . . + φzm − φp1 − φp2 − . . . − φpn (4.4) La ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema es Z(S) 1+K =0 (4.5) P (s) o bien, Z(S) K = −1 (4.6) P (s) y en forma exponencial, Z(S) K = e±j(2k+1)π k = 0, 1, 2, . . . (4.7) P (s) ya que el n´mero −1 es un vector de m´dulo unidad y argumento m´ltiplo impar de π. Por u o u tanto, en cada uno de los puntos del lugar geom´trico de las ra´ se debe satisfacer la ecuaci´n e ıces o |s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | jΣφi K e = e±j(2k+1)π (4.8) |s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn | De esta ecuaci´n se deducen las denominadas condiciones de magnitud y de ´ngulo. La condici´n o a o del ´ngulo establece que el argumento de G(s)H(s) ha de ser un m´ltiplo impar de ±π en todos a u los puntos del lugar. Es decir arg[KG(s)H(s)] = Σφi = ±(2k + 1)π (4.9) La condici´n de magnitud dice que el m´dulo de G(s)H(s) debe ser igual a la unidad en todos o o los puntos del lugar geom´trico de las ra´ e ıces. |s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | |KG(s)H(s)| = K =1 |s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn | o bien |s − p1 ||s − p2 | . . . |s − pn | K= (4.10) |s − z1 ||s − z2 | . . . |s − zm | Estas dos condiciones permiten establecer un proceso en dos etapas para la construcci´n del o lugar de las ra´ ıces.
- 65. 4.2. REGLAS BASICAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RA´ ´ ICES 65 1. Se construye el lugar de las ra´ ıces aplicando solamente la condici´n de ´ngulo, tomando o a todos los puntos s del plano complejo para los cuales la suma de los ´ngulos φzi de todos a los vectores que van desde los ceros de G(s)H(s) hasta s, menos la suma de los ´ngulos a φpj de todos los vectores que van desde los polos hasta s, sea un m´ltiplo impar de π. u 2. Una vez que se ha trazado el lugar, se aplica la condici´n de magnitud (4.10) para deter- o minar el valor de K que corresponde a cada punto s del lugar. El valor de K en cada punto s del lugar es igual al producto de las longitudes de todos los vectores que van desde s a los polos, dividido entre el producto de las longitudes de todos los vectores que van desde s a los ceros. Basadas en las condiciones de ´ngulo y magnitud y en los principios del c´lculo complejo, a a se deducen una serie de reglas pr´cticas que permiten bosquejar con relativa facilidad el a trazado del lugar de las ra´ ıces. 4.2. Reglas b´sicas del trazado del lugar de las ra´ a ıces N´ mero de ramas u Existe una rama simple del lugar por cada ra´ de la ecuaci´n caracter´ ız o ıstica siendo por tanto el n´mero de ramas igual al orden de la ecuaci´n caracter´ u o ıstica, e igual al mayor entre los n´meros de polos y de ceros de G(s)H(s) [Ogata 82, sec. 8.4]. u Origen y final del lugar El lugar comienza para K = 0 en los polos de G(s)H(s) y termina para K = ∞ en los ceros de G(s)H(s). Cada rama del lugar parte de un polo, ya que para K = 0 los polos en lazo cerrado coinciden con los polos en lazo abierto, y termina en un cero, ya que para K = ±∞ los polos en lazo cerrado (polos de G(s)/[1 + G(s)H(s)] coinciden con los ceros en lazo abierto (ceros de G(s)H(s)). Si el n´mero de polos es mayor que el n´mero de ceros, cabe suponer que hay en u u el infinito tantos ceros como polos en exceso y, por tanto, existir´n ramas que terminan en el a infinito. De igual modo, si el n´mero ceros excede al de polos, existir´n ramas que parten de u a polos situados en el infinito. Tramos en el eje real El lugar geom´trico pasa por todos los puntos del eje real que est´n a la izquierda de un e a n´mero impar de polos y ceros. La demostraci´n, aplicando la condici´n de ´ngulo es inmediata. u o o a Simetr´ del lugar ıa El lugar es sim´trico respecto al eje real del plano complejo. En efecto, para cada punto del e lugar, asociado a una ra´ compleja de la ecuaci´n caracter´ ız o ıstica, existir´ otro sim´trico respecto a e al eje real, asociado a la ra´ compleja conjugada de la primera. ız N´ mero de as´ u ıntotas Si el n´mero de polos de G(s)H(s) es mayor que el de ceros (n m), (funci´n de transferencia u o en lazo abierto estrictamente propia) hay n−m ramas que terminan en el infinito y existen n−m as´ ıntotas tangentes a las ramas del lugar en los ceros ubicados en el infinito. Si el n´mero de u
- 66. 66 CAP´ ITULO 4. LUGAR DE LAS RA´ ICES polos de G(s)H(s) es menor que el de ceros (n m) hay m−n ramas que se inician en el infinito y existen m − n as´ ıntotas tangentes a las ramas del lugar en los polos ubicados en el infinito. Angulos de las as´ ıntotas con el eje real El ´ngulo α formado por cada as´ a ıntota y el eje real viene dado por la expresi´n: o ±(2k + 1)π α= K = 0, 1, 2, . . . (4.11) n−m Si n m, hay ramas que terminan en ceros situados en el infinito de modo que, a medida que s tiende a infinito, esas ramas se van acercando a las as´ ıntotas. En el l´ ımite, el ´ngulo formado a entre un punto s del lugar y un polo pi o un cero zj ser´ el ´ngulo a de la as´ a a ıntota. α = l´ arg(s − pi ) = l´ arg(s − zj ) = l´ arg(s) ım ım ım s→∞ s→∞ s→∞ y, aplicando la condici´n de ´ngulo expresado en (4.9), o a mα − nα = ±(2K + 1)π, K = 0, 1, 2, . . . de donde se deduce que el ´ngulo α es el dado por (4.11). a Si n m, las as´ ıntotas son tangentes a las ramas en los polos situados en el infinito y sigue siendo v´lida la expresi´n (4.11). a o Intersecci´n de las as´ o ıntotas con el eje real Todas las as´ ıntotas se cortan en un punto del eje real σc , denominado centroide de las as´ ıntotas, dado por la expresi´n o n m i=1 pi − i=1 zi σc = (4.12) n−m Puntos de ruptura de salida y de entrada al eje real Un punto de ruptura de salida del eje es un punto del lugar en el que dos ramas, que discurren por el eje real y que se aproximan cada vez m´s entre s´ a medida que aumenta K, se unen, a ı bifurc´ndose sim´tricamente en el plano complejo a partir de ´l. Un punto de ruptura de entrada a e e al eje es un punto del lugar en el que dos ramas, que discurren sim´tricas por el plano complejo e y se aproximan cada vez m´s entre s´ a medida que aumenta K, se unen, bifurc´ndose en el eje a ı a real a partir de ´l. e Los puntos de ruptura de salida y de entrada al eje se determinan por la condici´n o dK =0 (4.13) ds pero por (4.6) podemos poner dK d P (s) =− ds ds Z(s) de donde d d Z(s) P (s) − P (s) Z(s) = 0 (4.14) ds ds Las ra´ ıces reales de esta ecuaci´n nos dar´n los valores de los puntos de ruptura de salida y de o a entrada. No todas las ra´ıces han de ser necesariamente puntos de ruptura.
- 67. 4.2. REGLAS BASICAS DEL TRAZADO DEL LUGAR DE LAS RA´ ´ ICES 67 Angulos de partida y de llegada del lugar Son los ´ngulos de las tangentes al lugar de las ra´ a ıces en los puntos inicial y final, respecti- vamente. El ´ngulo de partida del lugar desde un polo, para K = 0, y el ´ngulo de llegada del a a lugar a un cero, para K = ∞, se determinan por medio de la condici´n de ´ngulo expresada en o a (4.9), hallando el ´ngulo de un punto s infinitamente pr´ximo al polo o cero considerado. a o 4.2.1. Trazado del lugar de las ra´ ıces por computador La ecuaci´n caracter´ o ıstica (4.5) del sistema puede expresarse P (s) + KZ(s) = 0 (4.15) Un m´todo num´rico directo de obtener el trazado del lugar de las ra´ e e ıces consiste en hallar todas las ra´ıces de la ecuaci´n (4.15) para cada valor de K, representando gr´ficamente cada o a una de ellas por un punto en el plano complejo. Un computador puede hallar, mediante un procedimiento de c´lculo num´rico, las ra´ a e ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica para un conjunto finito de valores de K pertenecientes a un intervalo tambi´n finito, y representar gr´ficamente e a el lugar geom´trico resultante en la pantalla o impresora. Eligiendo un intervalo de valores e de suficientemente amplio y un incremento de K suficientemente peque˜o, puede obtenerse un n trazado de apariencia continua al quedar los puntos del trazado muy pr´ximos entre s´ Mediante o ı. programas espec´ ıficos de dise˜o asistido por computador de sistemas de control (CACSD) puede n trazarse con facilidad el lugar de las ra´ ıces. As´ por ejemplo, el programa MATLAB [Maltab] ı, dispone de una librer´ de CACSD denominada control toolbox en la que se encuentra una ıa funci´n, denominada rlocus que efect´a el trazado del lugar de las ra´ en la pantalla, y si se o u ıces desea en la impresora, del ordenador. De este mode se ha realizado el trazado del lugar geom´trico e de las ra´ de la figura 4.2 que corresponde a un sistema cuya funci´n de transferencia en lazo ıces o abierto es 10 G(s)H(s) = s(s2 + 4s + 5) 4 3 2 1 Eje Imag 0 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Eje Real Figura 4.2: Trazado del lugar de las ra´ ıces mediante MATLAB
- 68. 68 CAP´ ITULO 4. LUGAR DE LAS RA´ ICES 4.3. Ejemplos Como aplicaci´n vamos a realizar el trazado del lugar de las ra´ de un sistema de regulaci´n o ıces o cuya funci´n de transferencia en lazo abierto es o s+6 G(s)H(s) = (s + 2)(s2 + 8s + 25) El m´todo que vamos a seguir consiste en utilizar las reglas expuestas en el cap´ e ıtulo para obtener los elementos geom´tricos que faciliten el trazado a mano alzada. e 1. N´mero de ramas. u La ecuaci´n caracter´ o ıstica es (s + 2)(s + 8s + 25) + K(s + 6) = 0 Es de orden 3 luego el lugar tiene 3 ramas. 2. Origen y final del lugar. Los polos de G(s)H(s) son: s1 = −2, s2 = −4 + 3j, s3 = −4 − 3j Los ceros de G(s)H(s) son: z1 = −6 El lugar comienza en los polos y termina en los ceros. Como hay dos polos en exceso, hay dos ramas que terminan en el infinito. 3. Tramos en el eje real. Desde el polo s = −2 hasta el cero z = −6, los puntos del eje est´n a la izquierda de un a n´mero impar de polos mas ceros, luego el lugar coincide con el eje entre s1 y z1 . u 4. Simetr´ del lugar. ıa El lugar es sim´trico respecto al eje real del plano complejo. Esta condici´n siempre se e o cumple. 5. N´mero de as´ u ıntotas. En este caso: n = n´mero de polos = 3, m = n´mero de ceros = 1. Por lo tanto, hay u u 3 − 1 = 2 as´ ıntotas. 6. Angulos de las as´ ıntotas con el eje real. Aplicando la f´rmula (4.11) o ±(2k + 1)π α= K = 0, 1, 2, . . . n−m a ıntotas valen, para K = 0: α = ±π/2. Es decir, las dos as´ los ´ngulos de las as´ ıntotas cortan al eje real en ´ngulo recto. a
- 69. 4.3. EJEMPLOS 69 7. Intersecci´n de las as´ o ıntotas con el eje real. El punto σc de intersecci´n de las as´ o ıntotas con el eje real se obtiene mediante la f´rmula o 4.12, sumando todos los polos, restando los ceros y dividiendo el resultado entre n − m: −2 − 4 + 3j − 4 − 3j − (−6) σc = = −2 3−2 8. Puntos de ruptura de salida y de entrada al eje real. Aplicando la ecuaci´n (4.14) tenemos o d d (s + 6) (s + 2)(s2 + 8s + 25) − (s + 2)(s2 + 8s + 25) (s + 6) = 0 ds ds (s + 6)(s2 + 20s + 41) − (s3 + 10s2 + 41s + 50) = 0 2s3 + 28s2 + 120s + 196 = 0 Las ra´ ıces de esta ecuaci´n son o s1 = −8,069682 s2 = −2,965159 + 1,830861j s3 = −2,965159 + 1,830861j La ra´ real s1 = −8,069682 de esta ecuaci´n no corresponde a ning´n punto de ruptura ız o u ya que queda fuera del lugar. 10 5 Eje Imag 0 -5 -10 -10 -5 0 5 10 Eje Real Figura 4.3: Trazado del lugar de las ra´ ıces mediante MATLAB 9. Angulos de partida y de llegada del lugar. Tomando un punto s del lugar muy pr´ximo al polo p2 , vamos a aplicar la condici´n de o o a ´ngulo (4.9): φz1 − φp1 − φp2 − φp3 = ±(2k + 1)π Los ´ngulos que forman los vectores dirigidos a p2 desde todos los dem´s polos y ceros son: a a φz1 = arg(p2 − z1 ) = arctan(3/2) = 56◦ 18 32 (4.16) ◦ ◦ φp1 = arg(p2 − p1 ) = 180 − φz1 = 123 41 (4.17) φp3 = arg(p2 − p3 ) = 90 (4.18)
- 70. 70 CAP´ ITULO 4. LUGAR DE LAS RA´ ICES El ´ngulo de partida es φp2 ya que es el ´ngulo del vector que va desde p al punto s, a a infinitamente pr´ximo. Despejando φp2 , o φp2 = φz1 − φp1 − φp3 ± (2k + 1)π y para K = 0 queda φp2 = 56◦ 18 32 − 123◦ 41 − 90◦ + 180◦ = 22◦ 37 11 El trazado del lugar de las ra´ de este ejemplo, generado por computador con el programa ıces MATLAB, aparece en la figura 4.3. En la figura 4.4 se ha realizado el trazado del lugar de las ra´ del sistema cuya funci´n de ıces o transferencia en lazo abierto es s+1 G(s)H(s) = s(s + 2)(s2 + 6s + 13) La obtenci´n de este trazado, a mano alzada y siguiendo las reglas estudiadas en este cap´ o ıtulo se deja como ejercicio al lector. 6 4 2 Eje Imag 0 -2 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 4 6 Eje Real Figura 4.4: Trazado del lugar de las ra´ ıces mediante MATLAB
- 71. Cap´ ıtulo 5 Funcionamiento de los sistemas de control 5.1. Especificaciones de funcionamiento Cada sistema din´mico evoluciona en el tiempo de una forma particular que lo caracteriza. a Las especificaciones de funcionamiento son las cualidades que permiten describir los rasgos m´s a interesantes del comportamiento din´mico de los sistemas [Ogata 82, sec. 10.1]. a Un sistema de control est´ siempre asociado al proceso o planta que controla y, por tanto, a ser´n las condiciones exigidas al comportamiento de ´ste las que demanden unas determinadas a e prestaciones al sistema de control. A menudo deber´ satisfacer un gran n´mero de especifica- a u ciones y frecuentemente existir´n varias soluciones aceptables. El dise˜o suele aceptarse como a n bueno si en ´l se da un adecuado compromiso entre coste y prestaciones. El comportamiento e se manifiesta en la evoluci´n de las variables de salida del proceso o planta y puede medirse o mediante ´ ındices de funcionamiento. El control deber´ dise˜arse de manera que se optimicen a n algunos de estos ´ındices de funcionamiento, con ciertas condiciones o restricciones impuestas a las variables para asegurar el correcto comportamiento del sistema. Se plantea as´ un problema optimizaci´n, similar a los que se dan en otras ´reas la eco- ı o a nom´ ingenier´ etc., cuya resoluci´n puede abordarse por m´todos matem´ticos. En t´rminos ıa, ıa o e a e generales, el problema de optimizaci´n consiste en minimizar una funci´n, denominada funci´n o o o objetivo, sujeta a determinadas restricciones. No vamos a abordar aqu´ el tema de la optimi- ı zaci´n de sistemas, desarrollado en tratados avanzados de ingenier´ de control, sino a mostrar o ıa una serie de especificaciones generales de funcionamiento que deben cumplir los sistemas de control. De algunas de estas especificaciones se derivan ´ ındices de funcionamiento que pueden ser utilizados en el dise˜o de los sistemas de control, bien por el m´todo de optimizaci´n o bien n e o por otros m´todos. e Las especificaciones m´s importantes que ha de satisfacer un sistema de control se refieren a a los siguientes aspectos de su comportamiento: 1. Estabilidad. La condici´n de estabilidad absoluta es esencial para todo sistema de control. o La estabilidad relativa es un ´ ındice del buen funcionamiento del sistema. 2. Rapidez de respuesta. La rapidez de respuesta de un sistema viene dada por sus carac- ter´ ısticas de su respuesta temporal o bien de su respuesta de frecuencia. 3. Precisi´n. La respuesta de un servosistema debe seguir lo m´s fielmente posible a la o a entrada de referencia y por tanto la diferencia entre ambas o error debe ser m´ ınima. 71
- 72. 72 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Estas especificaciones de funcionamiento pueden apreciarse analizando las curvas de respuesta temporal y de respuesta de frecuencia del sistema objeto de estudio. Respuesta temporal La forma m´s natural de observar el funcionamiento de un sistema es el examen de su a respuesta temporal. Si la salida del sistema debe seguir a la entrada, podemos aplicar una funci´n conocida a dicha entrada y examinar la salida obteniendo de la misma las caracter´ o ısticas de inter´s. Se utilizan como funciones de entrada el impulso de Dirac, la funci´n escal´n unitario, e o o y las funciones rampa, par´bola, y sucesivas potencias de t. Las especificaciones de respuesta a temporal de un sistema de control se suelen referir generalmente a la respuesta del sistema a una entrada escal´n unitario ya que en tal respuesta aparecen de forma clara ciertas caracter´ o ısticas esenciales del sistema de control [Ogata 82, sec. 6.4]. La respuesta de un sistema a un escal´n unitario se suele representar en forma de una gr´fica, o a en la que se indican unas determinadas especificaciones de sus caracter´ ısticas m´s notables. En a el caso del sistema de segundo orden, las e especificaciones pueden hallarse anal´ ıticamente. En la figura 5.1 se ha representado la respuesta al escal´n de un sistema y sus correspondientes o especificaciones. Se ha supuesto que la ganancia est´tica del sistema vale la unidad es decir a yss = 1. Figura 5.1: Respuesta temporal Rebasamiento m´ximo a Es la desviaci´n m´xima MP de la respuesta respecto al escal´n de entrada. Se suele expresar o a o en tanto por ciento del valor del escal´n. o El valor de MP puede hallarse, para el caso del sistema de segundo orden, igualando a cero la derivada de su expresi´n de la respuesta temporal o 1 y(t) = 1 + e−ξωn t sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) (5.1) 1 − ξ2
- 73. 5.1. ESPECIFICACIONES DE FUNCIONAMIENTO 73 para hallar sus valores extremos. −ξωn y(t) = e−ξωn t ˙ sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) + ωn cos(ωn 1 − ξ 2 t − φ) 1 − ξ2 −ξωn = e−ξωn t sin(ωn 1 − ξ 2 t) cos(φ) − cos(ωn 1 − ξ 2 t) sin(φ) 1 − ξ2 +ωn cos(ωn 1 − ξ 2 t)cos(φ) + sin(ωn 1 − ξ 2 t) sin(φ) (5.2) pero sabemos que sin φ = 1 − ξ2, cos φ = −ξ Sustituyendo en (5.2) queda −ξωn y(t) = e−ξωn t ˙ (−ξ) sin(ωn 1 − ξ 2 t) − 1 − ξ 2 cos(ωn 1 − ξ 2 t) 1 − ξ2 + ωn e−ξωn t (−ξ) cos(ωn 1 − ξ 2 t) + 1 − ξ 2 sin(ωn 1 − ξ 2 t) Operando resulta, −ξ 2 ωn y(t) = e−ξωn t ˙ + ωn 1 − ξ2 sin(ωn 1 − ξ 2 t) 1− ξ2 Igualando a cero la derivada queda sin(ωn 1 − ξ 2 t) = 0 Los valores de t que satisfacen esta ecuaci´n son o nπ t= , n = 0, 1, 2, . . . ωn 1 − ξ2 Para n = 0, instante inicial, t = 0, y(t) tiene un m´ ınimo. Para valores sucesivos de n se van alternando m´ximos y m´ a ınimos. La sobreoscilaci´n m´xima MP corresponde al primer m´ximo o a a de y(t), es decir para n = 1. El instante tP en que se produce es π tP = ωn 1 − ξ2 El valor m´ximo 1 + MP se obtiene sustituyendo tP en (5.1): a 1 + MP = y(tP ) 1 = 1+ e−ξωn tp (− 1 − ξ 2 cos π + ξ sin π) 1− ξ2 √ 1−ξ 2 Mp = e−ξπ/
- 74. 74 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Tiempo de subida Es el tiempo tr que transcurre desde que la respuesta es del 10 % hasta que alcanza el 90 % del valor final. Suele tambi´n definirse como el tiempo que tarda la respuesta en alcanzar por e primera vez el valor final. En el sistema de segundo orden puede calcularse. El valor de y(t) dado por (5.1) ha de valer 1: 1 y(t) = 1 = 1 + e−ξωn t sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) 1− ξ2 y, por tanto, sin(ωn 1 − ξ 2 t − φ) = 0 operando queda sin(ωn 1 − ξ 2 t) cos φ = cos(ωn 1 − ξ 2 t) sin φ es decir 1 − ξ2 tan(ωn 1 − ξ 2 t) = tan φ = − ξ despejando t obtenemos el tiempo de subida: arctan(− 1 − ξ 2 /ξ) tr = ωn 1 − ξ2 Tiempo de retraso Es el tiempo td transcurrido desde el instante inicial hasta que la respuesta adquiere el 50 % del valor final. Tiempo de respuesta Es el tiempo ts transcurrido desde que se aplica la entrada escal´n hasta que la respuesta se o estabiliza dentro de una banda de tolerancia de error definida por un porcentaje del valor final. Para un sistema de segundo orden subamortiguado, se calcula teniendo en cuenta que la respuesta est´ comprendida entre las dos curvas envolventes exponenciales dadas por la siguiente a expresi´n: o 1 y(t) = 1 ± e−ξωn t 1−ξ 2 La constante de tiempo es 1/(ξωn ). Si se fija una banda de tolerancia de error del 2 %, y se cumple que 0 ξ 0,9, tenemos, en el caso peor, e−ξωn t 0,02 1 − 0,92 − ξωn t ln(0,02 1 − 0,92 ) = −4,74 El tiempo de establecimiento es, por tanto 4,74 ts ξωn es decir, unas cinco constantes de tiempo.
- 75. 5.1. ESPECIFICACIONES DE FUNCIONAMIENTO 75 Valor de estado estacionario Es el l´ ımite al que tiende la respuesta cuando el tiempo tiende a infinito. Para una entrada escal´n unitario tiene un valor igual a la ganancia est´tica del sistema. Puede hallarse aplicando o a el teorema del valor final de la transformada de Laplace. La transformada de la respuesta es, Y (s) = [y(t)] = U (s) T (s) siendo U (s) la transformada de la entrada y T (s) la funci´n de transferencia. Aplicando el o teorema del valor final, yss = l´ y(t) = l´ [sY (s)] = l´ [s U (s) T (s)] ım ım ım (5.3) t→∞ s→0 s→0 Pero la transformada de Laplace de la funci´n escal´n unitario es 1/s, luego o o 1 yss = l´ [s T (s)] = l´ T (s) ım ım s→0 s s→0 Respuesta de frecuencia La respuesta de frecuencia de un sistema se define como la respuesta en en estado estacionario del sistema a una entrada sinusoidal [Ogata 82, sec. 9.2]. Como ya sabemos, para una entrada sinusoidal, u(t) = A sin(ωt) la respuesta en estado estacionario de un sistema lineal, con funci´n de transferencia G(s), es o tambi´n sinusoidal, de la forma e yss (t) = M sin(ωt + φ), M = |G(jω)|, φ = ∠G(jω) La respuesta de frecuencia se suele expresar mediante diagramas en los que se representan el m´dulo y la fase en funci´n de la pulsaci´n ω. En la figura 5.2 se ha representado el diagrama o o o de Bode de un sistema en el que se indican ciertos valores de la respuesta de frecuencia que se utilizan habitualmente y que tienen relaci´n con las especificaciones de funcionamiento. Tales o valores son: Frecuencias de corte. Generalmente el sistema tiene una zona, denominada zona de fre- cuencias medias, en que la ganancia |G(jω)| se mantiene pr´cticamente constante, siendo a menor fuera de dicha zona. Las frecuencias de corte ωA y ωB son aquellas en que la ganan- cia M es inferior en 3 dB a la ganancia en la zona de frecuencias medias. En los sistemas de control es frecuente que ωA sea cero. Anchura de banda BW. Es la banda o intervalo de frecuencias comprendida entre la fre- cuencia de corte inferior ωA y la frecuencia de corte superior ωB . Ganancia a frecuencias medias. A veces la ganancia del sistema a frecuencias comprendidas dentro de la anchura de banda se considera constante, con un valor de M = |G(jωm )|, siendo ωm un valor intermedio de la pulsaci´n. o Margen de fase y margen de ganancia. Son una medida de la estabilidad relativa de los sistemas.
- 76. 76 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Figura 5.2: Respuesta de frecuencia 5.2. An´lisis del error a El error es una variable que aparece en todo sistema de control como consecuencia de la realimentaci´n negativa y es un ´ o ındice relacionado directamente con la precisi´n del sistema o [Ogata 82, cap. 7]. En el sistema de la figura 5.3 el error es . El error depende de la funci´n de o entrada u(t) aplicada y del propio sistema definido por las funciones G(s) y H(s). Para facilitar el an´lisis del error, se define el tipo del sistema y se calcula el error en estado estacionario a considerando unas funciones de entrada predefinidas. U(s) Y(s) G(s) H(s) Figura 5.3: Sistema de Control Error de estado estacionario Es el error existente para una entrada determinada cuando la variable de salida se ha esta- bilizado. Se calcula aplicando el teorema del valor final de la transformada de Laplace. ss = l´ ım (t) = l´ s (s) ım (5.4) t→∞ s→0
- 77. ´ 5.2. ANALISIS DEL ERROR 77 Si consideramos el sistema de la figura 5.3, el error vale (s) = U (s) − (s)G(s)H(s) y, por tanto, U (s) (s) = (5.5) 1 + G(s)H(s) Se llama trasmitancia de error WE (s) a la funci´n de transferencia que relaciona la entrada al o sistema U (s) con el error (s). (s) 1 WE = = U (s) 1 + G(s)H(s) En los sistemas lineales, G(s) y H(s) son funciones racionales de s. Por tanto podemos poner N (s) G(s)H(s) = D(s) siendo N (s) y D(s) dos polinomios en s. La trasmitancia de error puede expresarse ahora de la forma, D(s) WE (s) = N (s) + D(s) Mediante la expresi´n (5.5) podemos obtener (t), hallando la antitransformada de Laplace, y o el error de estado estacionario sU (s) ss = l´ s (s) = l´ ım ım (5.6) s→0 s→0 1 + G(s)H(s) o bien, D(s) ss = l´ sU (s) ım (5.7) s→0 N (s) + D(s) Entradas de mando b´sicas a Para analizar el error de un sistema se utilizan, por simplicidad, las funciones de entrada b´sicas o normalizadas que son la funci´n escal´n, la funci´n rampa, la funci´n par´bola y otras a o o o o a de orden superior en t (figura 5.4). Escalón Rampa Parábola u(t) = r0 1(t) u(t) = v0 t 1 u(t) = 2 a 0 t 2 t t t Figura 5.4: Funciones de prueba
- 78. 78 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Es interesante conocer el error del sistema para cada una de las funciones de mando b´sicas a ya que, conocidas ´stas, puede hallarse, por el principio de superposici´n, el error para una e o funci´n de entrada cualquiera. En efecto, si la funci´n de entrada es u(t), se puede desarrollar o o en serie de Taylor de la forma, u(0) ˙ r(0) 2 ¨ u(t) = u(0) + t+ t + ... 1! 2! por lo que el error para la entrada u(t) ser´ igual al error para entrada escal´n m´s el error para a o a entrada rampa etc. Constantes de error Las constantes de error de posici´n Kp , de velocidad Kv y de aceleraci´n Ka se definen, o o asociadas a las funciones b´sicas de entrada escal´n, rampa y par´bola, de la forma siguiente: a o a Kp = l´ [G(s)H(s)] ım s→0 Kv = l´ [sG(s)H(s)] ım s→0 Ka = l´ [s2 G(s)H(s)] ım s→0 Ahora podemos hallar los errores de estado estacionario correspondientes a las entradas escal´n, rampa y par´bola, en funci´n de estas constantes, aplicando la f´rmula (5.6). o a o o sU (s) ss = l´ ım s→0 1 + G(s)H(s) Si la entrada es un escal´n, como u(t) = r0 u(t) y U (s) = r0 /s, el error para entrada escal´n es: o o r0 r0 pss = l´ ım = s→0 1 + G(s)H(s) 1 + Kp Si la entrada es de tipo rampa, u(t) = v0 t, U (s) = v0 /s2 y el error para entrada rampa ser´: a v0 v0 vss = l´ ım = s→0 s + sG(s)H(s) Kv a0 2 Si la entrada es de tipo par´bola, u(t) = a 2 t , U (s) = a0 /s3 , el error para entrada par´bola es: a a0 a0 ass = l´ ım = s→0 s2 + s2 G(s)H(s) Ka Tipo de sistema Se llama tipo de sistema al n´mero de ra´ nulas del numerador de la trasmitancia de error, u ıces o bien del denominador de la funci´n, denominada funci´n de transferencia en lazo abierto, o o G(s)H(s). Dicho de otra manera, es el n´mero de integradores que tiene la funci´n G(s)H(s). u o Sea p el tipo de un sistema definido por las funciones G(s) y H(s). La funci´n de transferencia o en lazo abierto del sistema es: N (s) N (s) G(s)H(s) = = p D(s) s D1 (s)
- 79. ´ 5.2. ANALISIS DEL ERROR 79 siendo D1 (s) un polinomio sin ra´ nulas. La ecuaci´n (5.3) puede ponerse en forma factorizada ıces o hallando las ra´ ıces de N (s) y D(s): m KGH i=1 (ai s+ 1) G(s)H(s) = n sp j=1 (aj s + 1) Obs´rvese que la constante KGH es equivalente a Kp para un sistema de tipo cero, a Kv para e un sistema de tipo 1, y a Ka para un sistema de tipo 2. Vamos a determinar cuanto vale el error de estado estacionario para cada una de las entradas b´sicas, y para cada tipo de sistema. Poniendo N (s) y D(s) en la forma factorizada y aplicando a la f´rmula (5.7) queda o n sU (s)sp j=1 (aj s + 1) sp+1 U (s) ss = l´ ım m = l´ ım s→0 KGH i=1 (ai s + 1) + sp n (aj s j=1 + 1) s→0 KGH + sp Mediante la f´rmula (5.4) se ha confeccionado la tabla 4.1 que da los valores del error de estado o estacionario para cada tipo de sistema y para entradas escal´n, rampa y par´bola. o a Tipo Escal´n o Rampa Par´bola a r0 0 1+KGH ∞ ∞ v0 1 0 KGH ∞ a0 2 0 0 KGH 3 0 0 0 Cuadro 5.1: Error de estado estacionario Se puede deducir de esta tabla que, a medida que aumenta el tipo del sistema, disminuye el error. No obstante, ello implica la adici´n de integradores en la funci´n de transferencia en lazo o o abierto G(s)H(s), lo que puede afectar a la estabilidad. Coeficientes de error Se suelen denominar a veces coeficientes din´micos de error y se utilizan para hallar el error a en funci´n del tiempo, con lo que no s´lo podemos determinar el error de estado estacionario sino o o tambi´n el error din´mico. La expresi´n del error viene dada, en funci´n de estos coeficientes, e a o o por C1 C2 Cn (n) (t) = C0 u(t) + r(t) + ˙ u(t) + . . . + ¨ u (t) 1! 2! n! siendo C0 , C1 , C2 , . . . , Cn los coeficientes de error y u(t) la entrada de referencia. Para hallar los coeficientes de error ha de aplicarse la integral de convoluci´n al c´lculo de ( t): o a t (t) = wE (τ )u(t − τ )dτ (5.8) 0 siendo w(t) la transformada inversa de la trasmitancia de error W (s) = 1/[1 + G(s)H(s)]
- 80. 80 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Si existen las n primeras derivadas de u(t), la funci´n u(t − τ ) puede desarrollarse en serie de o Taylor de la forma: τ2 u(t − τ ) = u(t) − τ u(t) + u(t) − . . . ˙ ¨ 2! Aplicando la f´rmula (5.8) para el c´lculo de (t) y tomando el valor final de la expresi´n o a o resultante, se deduce que los coeficientes de error vienen dados por las expresiones siguientes: C0 = l´ wE (s), ım s→0 dwE C1 = l´ ım , s→0 ds d2 wE C2 = l´ ım s→0 ds2 . . . dn wE Cn = l´ ım s→0 dsn 5.3. Sensibilidad a las variaciones de los par´metros a La sensibilidad de un sistema a las variaciones de los par´metros expresa el cambio que se a produce en su comportamiento al cambiar el valor de tales par´metros [2, sec. 5.3]. En t´rminos a e matem´ticos, la sensibilidad de una funci´n F respecto a otra funci´n P se define como el a o o o o F cociente entre la variaci´n relativa de F y la variaci´n relativa de P , y se denota por SP P dF/F d(ln F ) P dF SF = = = (5.9) dP/P d(ln P ) F dP Un sistema de control cuyas funciones de sensibilidad tienen valores reducidos se suele denominar sistema robusto. En nuestro caso F es una funci´n de la variable compleja s, que representa una o funci´n de transferencia que determina el comportamiento del sistema, y P es un par´metro o o a funci´n cuya variaci´n hace que F tambi´n var´ En la figura (5.5) se representa un sistema o o e ıe. compuesto por dos bloques en cascada, con funciones de transferencia G1 y G2 , y otro formado por los mismos bloques en lazo cerrado. Vamos a hallar la sensibilidad del sistema, en ambos casos, con respecto a las variaciones de G1 . En el primer caso los bloques G1 y G2 est´n ena cascada. La funci´n de transferencia total del sistema es o F = G1 G 2 Seg´n (5.9) la sensibilidad respecto del par´metro G1 es: u a F G1 dF G1 SG1 = = G2 = 1 F dG1 G1 G 2 Este resultado indica que, en ´ste sistema de lazo abierto, a una variaci´n reactiva en el par´metro e o a P corresponde una variaci´n relativa id´ntica en F y por lo tanto en su respuesta. o e El segundo caso es un sistema con realimentaci´n negativa de la salida a trav´s del bloque o e G2 . La funci´n de transferencia es: o G1 F = 1 + G1 G2
- 81. 5.4. SENSIBILIDAD A LAS VARIABLES PERTURBADORAS 81 U(s) Y(s) G1(s) G2(s) U(s) Y(s) G1(s) G2(s) Figura 5.5: Sistemas en cascada y en lazo cerrado La sensibilidad respecto del par´metro G1 es ahora: a F G1 dF 1 SG1 = = F dG1 1 + G1 G 2 Lo que indica que la sensibilidad respecto a la variaci´n del par´metro G1 se ha dividido por un o a factor (1 + G1 G2 ) en relaci´n al caso anterior. Sin embargo, si hallamos la sensibilidad respecto o al par´metro G2 , elemento de realimentaci´n, a o F G2 dF G2 −G21 −G1 G2 SG2 = = 2 = −1 F dG2 F (1 + G1 G1 ) 1 + G 1 G2 vemos que el sistema es muy sensible sus variaciones. 5.4. Sensibilidad a las variables perturbadoras Hasta ahora se ha analizado la respuesta temporal y algunas especificaciones como la preci- si´n de los sistemas de control, considerando que la entrada o entradas al sistema son se˜ales o n de referencia o mando deseadas e impuestas al sistema para obtener un determinado compor- tamiento. Los sistemas se ven a menudo afectados por otras entradas no deseadas, de origen diverso, que se aplican en algunos de sus componentes. Este tipo de entradas se suelen denomi- nar entradas perturbadoras y suelen producirse por ruidos que afectan a las entradas de mando, variaciones inevitables en los par´metros del sistema o cambios en el medio en que est´ actuando a a el sistema [2, sec. 5.4]. En los casos en que no sea posible eliminar las entradas perturbadoras puede reducirse su efecto por medio de la realimentaci´n negativa. Consideremos la entrada no o deseada d del diagrama de bloques de la figura 5.6. Las funciones de transferencia relativas a la salida y con relaci´n a cada una de las entradas o
- 82. 82 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL D(s) X(s) Y(s) G 1(s) G 2(s) H(s) Figura 5.6: Sistema de control con entrada perturbadora son: Y (s) G1 G2 = U (s) 1 + G1 G 2 H Y (s) G2 = D(s) 1 + G1 G 2 H Los polinomios caracter´ ısticos de ambas ecuaciones son id´nticos pero los numeradores difieren e en el factor G1 de la primera. Para atenuar el efecto de la entrada d se deber´ hacer cumplir la a condici´n G1 G2, actuando sobre los componentes del sistema. o 5.5. Indicies de comportamiento de los sistemas En el dise˜o de un sistema de control de tipo SISO (Single Input Single Output) pueden n utilizarse como ´ındices de funcionamiento los valores caracter´ ısticos de la respuesta temporal o de la respuesta de frecuencia que hemos visto en el presente cap´ ıtulo [Ogata 82, sec. 7.3]. Mediante ´stos ´ e ındices se establecen criterios de control que, aplicados al dise˜o de los componentes de n los sistemas, pueden determinar los valores ´ptimos de ciertos par´metros. Por ejemplo, puede o a establecerse como criterio minimizar el tiempo de respuesta del sistema. Para ello podr´ tomarse ıa como ´ ındice de comportamiento del sistema el tiempo de subida t definido por la curva de respuesta temporal de la figura 5.1. Quiz´s sea m´s conveniente, en otro sistema de control, el a a criterio de minimizar el error de estado estacionario. Suelen as´ mismo adoptarse otros ´ ı ındices de calidad del sistema tales como t t t 2 (t)d(t), | (t)|dt, t| (t)|dt 0 0 0 En la teor´ de control moderna, aplicable a sistemas MIMO (M´ltiple Input M´ltiple Output) ıa u u el ´ ındice I de comportamiento que ha de minimizarse para establecer un control ´ptimo suele o tener la forma t1 I= f [x(t), u(t), t]d(t) t0 en la que x(t) es el vector de estado, u(t) el vector de entradas y f la funci´n objetivo. Se han o desarrollado diferentes m´todos de dise˜o como el de asignaci´n de polos, controlador ´ptimo y e n o o otros basados en la teor´ de la programaci´n lineal y en la estad´ ıa o ıstica.
- 83. 5.6. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 83 5.6. Estabilidad de los sistemas de control La estabilidad es la m´s importante entre las especificaciones de funcionamiento. M´s a´n, a a u es una condici´n necesaria para un aceptable comportamiento din´mico del sistema [Kuo 82, o a cap. 7]. Como ya hemos estudiado, la respuesta de un sistema de control cuyo modelo externo es una funci´n de transferencia de orden n se basa en las ra´ o ıces si , i = 1, . . . , n de su ecuaci´n o caracter´ıstica. Si alguna de las ra´ si tiene parte real positiva, el t´rmino exponencial corres- ıces e pondiente de la respuesta, dada por n y(t) = ki esi t i=1 tiende a infinito y el sistema es inestable. La inestabilidad de un sistema origina un funciona- miento incorrecto del mismo, al quedar la respuesta fuera de los l´ ımites aceptables y puede, en ocasiones, causar la destrucci´n del sistema o de algunos de sus componentes. o Pero no s´lo se requiere una repuesta estable del sistema definido por los valores actuales o de los par´metros asociados a sus componentes (estabilidad absoluta), sino que tal respuesta a debe permanecer estable aunque determinados par´metros sufran ciertas variaciones (estabilidad a relativa). Estados de equilibrio Supongamos que el modelo de un sistema din´mico es la ecuaci´n diferencial a o x = f (x, t) ˙ (5.10) en donde x ∈ Rn , t ∈ R, f : Rn ×R → Rn y supongamos que la funci´n f satisface las condiciones o necesarias para la existencia y unicidad de la soluci´n x(t). Si f (x, t) no depende expl´ o ıcitamente de t decimos que el sistema din´mico es aut´nomo. Por ejemplo, un p´ndulo que oscila libremente a o e y α x θ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¡¡¡ ¢ ¢ ¢¡ ¢¡ ¢¡ ¢ ¢¡¢¡¢¡ ¡¡¡ ¢ ¢ ¡ ¢¡ ¢¡ ¢¡¢¡¢¡ ¢¡¡¡¢ ¢ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ mg Figura 5.7: Estado de equilibrio de un p´ndulo e (figura 5.7), sin fuerzas exteriores, es un sistema aut´nomo. En efecto, aplicando la 2a ley de o
- 84. 84 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Newton, la ecuaci´n diferencial de este sistema es o d2 θ(t) m l2 = −m g l sin θ(t) dt es decir, d2 θ(t) g = − sin θ(t), dt l cuyo segundo miembro no depende de t en forma expl´ ˙ ıcita. Si hacemos θ = x1 , θ = x2 , obtenemos como modelo de estado x1 (t) = x2 (t) ˙ x2 (t) = − g sin x1 (t) ˙ l Una noci´n que todo el mundo intuye es la de punto de equilibrio. En el caso del p´ndulo, un o e punto de equilibrio es el definido por las condiciones iniciales α(t) = 270◦ , α (t) = 0 puesto que, con esa posici´n y velocidad iniciales y en ausencia de fuerzas exteriores, no se mover´. Con la o a notaci´n habitual en el espacio de estado, dicho punto de equilibrio es o 3 xe1 2π xe1 = = xe2 0 1 Otro punto de equilibrio es xe2 = [ 2 π, 0]T . Se dice que un sistema din´mico definido por la ecuaci´n diferencial (5.10) tiene un punto o a o estado de equilibrio en x = xe , siendo xe un vector constante, si se cumple que f (xe , t) = 0 para todo t. Se deduce de (5.10) que, si x(t0 ) = xe , entonces x(t) = xe para todo t t0 . Es decir que toda soluci´n x(t) cuyo punto inicial es x(t0 ) = xe permanece en el mismo punto xe . Un o punto de equilibrio se denomina aislado si en un entorno de dicho punto no existe otra soluci´n o constante. Si realizamos el cambio x = x−xe se ve que el punto de equilibrio xe se traslada al origen del espacio de estado en las nuevas variables de estado x . Por ello se suele considerar habitualmente el origen como punto de equilibrio. Estabilidad La estabilidad de un sistema puede definirse con diferentes criterios que han dado lugar a sucesivos conceptos de estabilidad aunque con significados equivalentes. Podemos pensar intuitivamente que un sistema din´mico es estable en un punto xe de equilibrio si una ”pe- a que˜a”perturbaci´n de dicho estado en un instante t0 produce una evoluci´n din´mica tambi´n n o o a e ”peque˜a”para t t0 . Volviendo al ejemplo del p´ndulo, se ve que este sistema es estable en el n e estado de equilibrio xe1 = [ 2 π, 0]T , pero es inestable en el punto xe2 = [ 1 π, 0]T . 3 2 Otro ejemplo en el que se podemos apreciar la idea de estabilidad es el representado en la figura (5.8) Se trata de una bola colocada en una depresi´n topogr´fica (a), en la c´spide de o a u una altitud (b) y en un punto de un valle elevado (c). Vamos a suponer que existe rozamiento y que, a partir de cada posici´n de equilibrio, se imprime un peque˜o desplazamiento a la bola. o n Sabemos por la experiencia que en el caso (a) la bola se mover´ de forma oscilante hasta que a finalmente quedar´ en reposo en el mismo estado de equilibrio que antes (equilibrio estable). En a el caso (b), un peque˜o desplazamiento har´ que la bola caiga al precipicio (equilibrio inestable). n a Por ultimo, en el caso (c), un peque˜o desplazamiento har´ que la bola vuelva a su posici´n de ´ n a o equilibrio estable, como en el caso (a), pero un desplazamiento mayor puede hacer que la bola pase a una nueva posici´n de equilibrio estable o incluso, para un desplazamiento a´n mayor, o u caiga al precipicio.
- 85. 5.6. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS DE CONTROL 85 ¥¦ ¥¡ ¦¡¡¥¦¥¦ ¡£¤£¤ ¤££¤ ¡ ¡ ¡ ¢¡ ¢¡ (a) (b) (c) Figura 5.8: Posiciones de equilibrio de una bola Por estos y otros ejemplos podemos pensar que el concepto de estabilidad no parece del todo simple. As´ es, y por ello se ha definido de muchas formas a lo largo del tiempo. A continuaci´n ı o se da la definici´n de Lyapunov. o Definicion 1 [Estabilidad] Se dice que un estado de equilibrio en x = 0 es (i) Estable: si para cualquier escalar 0 existe un escalar δ tal que x(t0 ) e δ implica x(t) e para todo t ≥ t0 . (ii) Asint´ticamente estable: si es estable y si, adem´s, x → 0 cuando x → ∞ o a (iii) Inestable: si no es estable. x2 x(t) ε δ x1 x0 Figura 5.9: Estabilidad de Lyapunov La figura (5.9) puede ayudar a comprender esta definici´n. En ella se ha representado una o posible trayectoria en R2 y dos c´ ırculos de radios δ y . Decimos que el sistema es estable si para
- 86. 86 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL cada existe un δ tal que si el estado inicial x0 est´ dentro del c´ a ırculo de radio δ entonces la ırculo de radio , para t ≥ t0 . trayectoria x(t) queda dentro del c´ Prueba de Routh-Hurwitz Si la ecuaci´n caracter´ o ıstica del sistema se halla en forma factorizada, la estabilidad del sistema puede determinarse de modo inmediato por inspecci´n de las ra´ o ıces. Si hay alguna ra´ ız con parte real positiva el sistema es inestable. La prueba de Routh es un m´todo para averiguar e el n´mero de ra´ de la ecuaci´n caracter´ u ıces o ıstica que se encuentran en la mitad derecha del plano complejo, es decir, tienen parte real positiva [Kuo 82, sec. 7.5]. Consideremos un sistema cuya ecuaci´n caracter´ o ıstica sea an sn + an−1 sn−1 + . . . + a2 s2 + a1 s + a0 = 0 (5.11) Una condici´n necesaria para que las ra´ de la ecuaci´n tengan todas la parte real negativa es o ıces o que los coeficientes de dicha ecuaci´n tengan todos el mismo signo y que no haya ninguno nulo. o La condici´n necesaria y suficiente para que las ra´ o ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica se en- cuentren ubicadas en el semiplano derecho es que los determinantes de Hurwitz D1 , D2 , . . . , Dn de dicha ecuaci´n sean todos positivos. Los determinantes de Hurwitz correspondientes a la o ecuaci´n caracter´ o ıstica (5.11) est´n definidos de la siguiente manera: a an−1 an−3 an−5 an−1 an−3 D1 = an−1 , D2 = , D3 = an an−2 an−4 an an−2 0 an−1 an−3 an−1 an−3 an−5 an−7 ... an an−2 an−4 an−6 ... 0 an−1 an−3 an−5 ... Dn = 0 0 an−2 an−4 ... . . .. .. .. .. . . . . . 0 0 0 ... a0 Para evitar el c´lculo de determinantes de orden elevado se forma la tabla de Routh, de la a forma que continuaci´n se indica. o Las primera fila se forma con los coeficientes pares y la segunda con los impares. Las sucesivas filas se forman a partir de las dos primeras del modo siguiente: an an−2 an an−4 an an−6 an−1 an−3 an−1 an−5 an−1 an−7 b1 = , b2 = , b3 = −an−1 −an−1 −an−1 an−1 an−3 an−1 an−5 an−1 an−7 b1 b 2 b1 b3 b1 b4 c1 = , c2 = , c3 = (5.12) −b1 −b1 −b1 De este modo se calculan los coeficientes y se van colocando en la tabla de Routh como se indica en la tabla 5.2. El proceso contin´a hasta la fila n + 1. El criterio de Routh establece que la u condici´n necesaria y suficiente para que todas las ra´ o ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica tengan parte real negativa es que todos los elementos de la primera columna de la tabla tengan el mismo signo. De otro modo, el n´mero de cambios de signo habidos en los elementos de dicha columna u es igual al n´mero de ra´ de la ecuaci´n caracter´ u ıces o ıstica con parte real positiva. Puede probarse
- 87. 5.7. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 87 fila 1: an an−2 an−4 an − 6 an−8 ... fila 2: an−1 an−3 an−5 an−7 an−9 ... fila 3: b1 b2 b3 b4 b5 ... fila 4: c1 c2 c3 c4 c5 ... . . . . . . . . . . . . . . . fila n-2: e1 e2 e3 0 0 ... fila n-1: f1 f2 0 0 0 ... fila n: g1 0 0 0 0 ... Cuadro 5.2: Tabla de Routh que la condici´n de los determinantes de Hurwitz es equivalente a la condici´n de los elementos o o de la primera columna de la tabla de Routh. Si en la primera columna de la tabla de Routh aparece alg´n elemento nulo, el m´todo u e falla por producirse divisi´n entre cero. Debe entonces sustituirse cada elemento nulo por un o arbitrario, peque˜o y positivo n´mero , tal que 0 1, procediendo a realizar el citado n u algoritmo. Si es cero un elemento de la primera columna y son adem´s nulos todos los elementos de la a fila correspondiente, debe hallarse, en primer lugar, la ecuaci´n auxiliar cuyos coeficientes son o los de la fila de encima a la de coeficientes nulos. Algunas ra´ ıces de la ecuaci´n caracter´ o ıstica se obtienen resolviendo la ecuaci´n auxiliar. Luego se divide el polinomio caracter´ o ıstico por el polinomio de la ecuaci´n auxiliar, y se aplica la prueba de Routh al resultado de la divisi´n. o o La prueba de Routh sirve tambi´n para determinar intervalos de ciertos par´metros ajusta- e a bles para los cuales el sistema es estable. Para ello se forma una tabla de Routh que puede tener elementos expresados como funci´n de par´metros. Expresando la condici´n de que no exista o a o ning´n cambio de signo en la primera columna de la tabla, resultar´n las relaciones que deben u a de cumplir los par´metros para asegurar la estabilidad. a Estabilidad relativa El criterio de Routh es un m´todo r´pido de an´lisis de la estabilidad de un sistema de control e a a sin hallar las ra´ de la ecuaci´n caracter´ ıces o ıstica. No solo sirve para hallar la estabilidad absoluta sino que puede utilizarse para hallar la estabilidad relativa. Se define la estabilidad relativa como la distancia entre el eje imaginario y la ra´ de la ecuaci´n caracter´ ız o ıstica m´s pr´xima al mismo. a o Para hallar la estabilidad relativa por el criterio de Routh se debe proceder por tanteo. Si un sistema dado es estable, la prueba de Routh nos dir´ que todas las ra´ quedan en el semiplano a ıces izquierdo complejo. Desplazamos los ejes hacia la izquierda una distancia arbitraria a, haciendo el cambio de variable s = z −a, y volvemos a aplicar la regla de Routh. Si, por no existir cambios de signo en la primera columna de la tabla, las ra´ vuelven a quedar en el semiplano izquierdo, ıces la estabilidad relativa ser´ de, por lo menos, a unidades. a 5.7. Controlabilidad y Observabilidad Dado el modelo lineal de un sistema din´mico a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (5.13) y(t) = Cx(t)
- 88. 88 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL en donde A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n , sabemos que si u(t) es una funci´n continua (o o continua a trozos), la soluci´n x(t) de la ecuaci´n diferencial con la condici´n inicial x(0) = x0 o o o tiene una unica soluci´n, que viene dada por la expresi´n ´ o o t x(t) = eAt x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ 0 Para demostrar esta f´rmula, multipliquemos ambos miembros de (5.13) por eAt , por la izquierda: o eAt x(t) = eAt Ax(t) + eAt Bu(t) ˙ Teniendo en cuenta que d −At [e x(t)] = −e−At Ax(t) + e−At x(t) ˙ dt queda d −At [e x(t)] = eAt Bu(t) dt e, integrando, obtenemos la soluci´n: o t x(t) = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ 0 Si el instante inicial es t = t0 en vez de t = 0, las condiciones iniciales ser´n x0 = x(t0 ) y la a expresi´n de la soluci´n es entonces o o t x(t) = eA(t−t0 ) x(t0 ) + e−A(τ −t0 ) Bu(τ )dτ (5.14) t0 A veces se utiliza la notaci´n o φ(t, t0 ) := eA(t−t0 ) en donde φ(t, to ) se denomina matriz de transici´n entre estados. Es f´cil ver que tiene las o a siguientes propiedades d 1. dt φ(t, t0 ) = Aφ(t, t0 ) 2. φ(t, t) = In 3. φ(t0 , t) = φ−1 (t, t0 ) 4. φ(t, t0 ) = φ(t, t1 )φ(t1 , t0 ), t 0 ≤ t1 ≤ t Utilizando la matriz de transici´n, la soluci´n se escribe o o t x(t) = φ(t, t0 ) x(t0 ) + φ(t0 , τ )Bu(τ )dτ (5.15) t0
- 89. 5.7. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 89 Controlabilidad Ya sabemos hallar la soluci´n del sistema (5.13), aplicando la f´rmula (5.15). Dado que el o o estado x(t) del sistema pertenece al espacio vectorial R n , obviamente hay en el mismo un numero infinito de estados. Nos plantemos el siguiente problema: ¿Es controlable el sistema? Es decir, ¿es posible, por medio del control, alcanzar todos los estados? M´s exactamente, dados dos estados a cualesquiera, uno inicial x(t0 ) = x0 y otro x1 , ¿existir´ alg´n vector de entrada u(t) tal que la a u soluci´n x(t) del sistema, para un tiempo finito t = t1 t0 , valga x(t1 ) = x1 ? o Definicion 2 Se dice que el sistema (5.13) es completamente controlable (o, sin m´s, controla- a ble) si, dado un instante inicial t0 y dados dos estados cualesquiera, uno inicial x(t0 ) = x0 y otro final xf , existe un tiempo t1 t0 y un vector de control u(t), t0 ≤ t ≤ t1 , tales que x(t1 ) = xf . Es f´cil ver (realizando el cambio de coordenadas x = x − xf ) que siempre podemos con- a siderar que el estado final es el origen del espacio de estado, es decir, xf = 0. Por ello, no se pierde generalidad si en los razonamientos suponemos xf = 0. Si en la f´rmula (5.14) ponemos t0 = 0, x(0) = x0 , xf = 0, queda o t1 −eAt1 x(0) = eA(t1 −τ ) Bu(τ )dτ 0 y, simplificando, t1 −x(0) = e−Aτ Bu(τ )dτ 0 Consideremos el conjunto t1 Γt1 = e−Aτ Bu(τ )dτ : u(t) ∈ C z [0, t1 ] 0 en donde C z [0, t1 ] denota el espacio lineal de las funciones continuas a trozos, con discontinuidades de salto finito, en [0, t1 ]. Podemos considerar que el conjunto Γt1 est´ definido por la aplicaci´n a o lineal C z [0, t1 ] → Rn t u(t) → 0 1 e−A(τ Bu(τ )dτ con lo que Γt1 es un subespacio vectorial que se denomina subespacio de controlabilidad. Como vamos a ver a continuaci´n, la matriz Q ∈ Rn×nm dada por o Q = [B AB A2 B . . . An−1 B] est´ estrechamente relacionada con el problema que estamos estudiando y se llama matriz de a controlabilidad. Teorema 5.7.1 El sistema x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (5.16) en donde A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , es controlable si y s´lo si la matriz de controlabilidad Q tiene o rango n Demostracion: ´ a) Necesidad : Sistema controlable =⇒ rg Q = n
- 90. 90 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Supongamos que el sistema es controlable. Para probar que rg Q = n vamos a ver que la condici´n o contraria, rg Q n, nos lleva a una contradicci´n. o Si rg Q n, las filas de la matriz Q son linealmente dependientes, por lo que ha de existir un vector no nulo q ∈ Rn tal que qB = 0, qAB = 0, qA2 B = 0, . . . , qAn−1 B = 0 (5.17) Sabemos que la soluci´n del sistema (5.16) es o t x(t) = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ (5.18) 0 Sea t0 = 0, x(0) = x0 e impongamos que x(t) = 0 para t = t1 0, lo cual puede hacerse por ser el sistema controlable. Entonces tenemos t1 x(t1 ) = 0 = eAt x(0) + e−Aτ Bu(τ )dτ 0 Sabemos, por la teor´ de matrices [?, p.69], que la funci´n exponencial matricial e−At se puede ıa o expresar como polinomio en A de grado, a lo sumo, n − 1, de la forma e−At = r0 I + r1 A + . . . + rn−1 An−1 en donde ri , i = 0, . . . , n − 1, son funciones escalares de τ que pueden calcularse. Sustituyendo en la ecuaci´n anterior y simplificando, queda o t1 −x0 = − (r0 I + r1 A + . . . + rn−1 An−1 )B u(τ )dτ 0 Multiplicando por la izquierda por q tenemos t1 −qx0 = − (qr0 I + qr1 A + . . . + qrn−1 An−1 )B u(τ )dτ 0 pero, seg´n (5.17), ha de ser qB = 0, qAB = 0, . . . , qAn−1 B = 0, de donde resulta que u qx0 = 0 Al ser el sistema completamente controlable, esto ha de ser v´lido para cualquier x0 , es decir a ∀x0 : qx0 = 0, lo cual implica que ha de ser q = 0. Hemos llegado a una contradicci´n y, por tanto, se ha de verificar que o rg Q = n b) Suficiencia: rg Q = n =⇒ Sistema controlable. Suponiendo que rg Q = n, vamos a probar que, para cualquier estado inicial x0 , existe un control u(t), 0 ≤ t ≤ t1 , que, sustituido en (5.18), hace que x(t1 ) = 0. Vamos a “fabricar” una funci´n o u(t) cumpla esto. Para ello vamos a utilizar la matriz sim´trica constante e t1 Tτ M= e−Aτ BB T e−A dτ 0
- 91. 5.7. CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD 91 y su forma cuadr´tica asociada a t1 Tτ αT M α = αT e−Aτ BB T eA α dτ (5.19) 0 t1 = φ(τ )φT (τ )dτ 0 t1 2 = φ(τ ) e dτ ≥ 0 0 En donde α ∈ Rn . Est´ claro que M es semidefinida positiva y que ser´ singular si y s´lo si a a o existe un vector no nulo α ∈ R ˆ n tal que αT M α = 0 ˆ ˆ (5.20) ya que entonces Ker M = {0}. Pero, si fuera as´ seg´n (5.20) y por la propiedad de la norma ı, u ıdea de matrices que dice A = 0 ⇐⇒ A = 0, entonces deber´ ser φ(τ ) = 0, 0 ≤ τ ≤ t1 . eucl´ ıa Ahora bien, como t2 t3 eAt = In + At + A2 + A3 + . . . 2! 3! tenemos que τ2 τ3 φ(τ ) = αT e−AT = αT (In − Aτ + A2 ˆ ˆ − A3 + . . .) B = 0, 0 ≤ τ ≤ t1 2! 3! de donde se deduce que αT B = 0, αT AB = 0, αT A2 B = 0, . . . ˆ ˆ ˆ y, por tanto, αT Q = 0. Pero esto no es posible ya que, por hip´tesis, rg Q = n. Por tanto no ˆ o puede existir un vector α que verifique (5.20), como hab´ ˆ ıamos supuesto, y resulta que la matriz M no es singular. Si ahora tomamos como vector “fabricado” de control T u(t) = −B T eA t M −1 x0 , 0 ≤ t ≤ t1 , sustituyendo en (5.18) para t = t1 queda t1 Tτ x(t1 ) = eAt1 [x0 − e−A M −1 x0 dτ ] 0 = eAt1 [x0 − M M −1 x0 ] = 0 que era lo que quer´ ıamos y, por tanto, el sistema es controlable. 2 Observabilidad En un sistema din´mico las variables accesibles, observables si se quiere, son las salidas. En a cambio, las variables de estado son variables internas que, en principio, no son accesibles ni, por tanto, observables, al menos directamente. La observabilidad es la cualidad que permite, cuando existe, determinar las variables de estado de un sistema din´mico a partir de las variables de a salida del mismo.
- 92. 92 CAP´ ITULO 5. FUNCIONAMIENTO DE LOS SISTEMAS DE CONTROL Definicion 3 Se dice que un sistema din´mico lineal, definido por a x(t) = Ax(t) + Bu(t) ˙ (5.21) y(t) = Cx(t) es completamente observable o, sin m´s, observable, si para cualquier instante inicial t0 y para a cualquier estado inicial x(t0 ) = x0 existe un tiempo finito t1 t0 tal que el conocimiento de u(t) y de y(t) para t0 t t1 es suficiente para determinar x0 de forma unica. ´ Teorema 5.7.2 El sistema din´mico lineal y de coeficientes constantes (5.21) es observable si a y s´lo si la matriz de observabilidad R ∈ Rnm×n , o C CA 2 R := CA , . . . CAn−1 tiene rango igual a n. La demostraci´n es parecida a la del teorema (5.7.1). Ver [?, p.113]. o
- 93. Bibliograf´ ıa [1] P.H. Lewis, C. Yang Sistemas de Control en Ingenier´ Prentice Hall, Madrid, 1999. ıa. [Kuo 82] B. Kuo Sistemas Autom´ticos de Control a Ed. Continental. 1982 [Maltab] MATLAB Reference Guide The MathWorks Inc., 1994 [Ogata 82] K. Ogata Ingenier´ de Control Moderna ıa Prentice Hall International, 1982 [Ogata 87] K. Ogata Discrete-Time Control Systems Prentice Hall International, 1987 93
- 94. 94 BIBLIOGRAF´ IA
- 95. Cap´ ıtulo 6 Sistemas de Tiempo Discreto 6.1. Introducci´n o El progresivo perfeccionamiento y la disminuci´n del coste de los microprocesadores, desde o su aparici´n en 1971, ha permitido su utilizaci´n en aplicaciones diversas entre las que destacan o o las de control. En la actualidad los sistemas de control basados en microprocesadores pueden competir en precio con los dise˜ados con componentes anal´gicos, incluso en sistemas monovaria- n o bles, siendo de prestaciones muy superiores. Un controlador digital puede realizar la funci´n de o un controlador anal´gico en un sistema de regulaci´n. Pero adem´s, el controlador digital puede o o a realizar procesos de control mucho mas complejos y precisos no s´lo en sistemas monovariables o sino tambi´n en los multivariables. Adem´s de la tarea de control el microprocesador puede e a realizar otras como, por ejemplo, el almacenamiento de datos en la memoria, la visualizaci´n de o resultados, la comunicaci´n con otros controladores u ordenadores para intercambio de datos, la o supervisi´n del proceso, c´lculos de todo tipo, y otras muchas, inimaginables en un sistema de o a control de tipo anal´gico. Por todo ello los sistemas de control digital se han extendido desde las o tradicionales aplicaciones aeroespaciales y militares hasta otras de consumo como, por ejemplo, la industria automovil´ıstica y los electrodom´sticos. e 6.2. Sistemas de tiempo discreto Para un estudio detallado de estos sistemas vease [Ogata 87]. Los sistemas de tiempo discre- to son aquellos cuyas magnitudes s´lo pueden tomar un n´mero finito de valores las cuales son o u funciones de la variable discreta tiempo (figura 6.1). Los sistemas f´ ısicos existentes en la Natu- raleza son siempre de tiempo continuo. Los sistemas de tiempo discreto surgen de una manera . 0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 9.9 0 to 10 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 5.9 to 0 6 ..0.25cm¿[0.15,0.6] ........ . ..... . x(t) t tt1..k t02 ... . t Figura 6.1: Se˜ales de tiempo continuo y discreto n 95
- 96. 96 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Computador u(kT) u(t) y(t) D/A Planta - Algoritmo - y(kT) A/D Reloj Figura 6.2: Sistema de control por computador artificial al considerar, por diferentes razones, que los valores de las variables s´lo existen para o valores discretos del tiempo. 6.2.1. Sistemas intr´ ınsecamente discretos Existen sistemas inherentemente discretos, como son los sistemas electr´nicos digitales se- o cuenciales s´ ıncronos, en los que las transiciones entre estados solo ocurren en instantes discretos de tiempo dados por un oscilador. As´ aunque las se˜ales existen para todos los valores del ı, n tiempo, el sistema solo es activo en los instantes que va marcando el reloj; en el resto del tiempo el sistema permanece est´tico, no cambia. Los computadores son un claro ejemplo de este tipo a de sistemas. Filtros digitales Son tambi´n sistemas intr´ e ınsecamente discretos son los filtros digitales. Un filtro digital es un programa de computador que opera sobre una secuencia n´m´rica de entrada y obtiene como u e resultado otra secuencia nu´rica de salida. e Dicretizaci´n del tiempo por razones de c´lculo o a En cierto sentido pueden considerarse discretos los sistemas que, siendo continuos, se discre- tizan a efectos de c´mputo por resultar as´ mas sencilla la obtenci´n de resultados por ordenador. o ı o Ello permite la obtenci´n de modelos digitales de sistemas continuos y su resoluci´n por orde- o o nador. 6.2.2. Sistemas controlados por computador Los sistemas de control por computador son sistemas mixtos, es decir, tienen una parte o subsistema que evoluciona en tiempo cont´ ınuo y otra que lo hace en tiempo discreto. El subsistema de tiempo discreto se suele denominar controlador digital. Este, en instantes discretos de tiempo, muestrea un conjunto de se˜ales del subsistema continuo, las procesa y las transmite n de nuevo al sistema. Estos sistemas, cuya naturaleza es continua en parte, son discretos desde el punto de vista del controlador que s´lo conoce los valores de las se˜ales en instantes discretos. o n En la figura 6.2 se represenenta el diagrama de bloques de uno de estos sistemas [?].
- 97. 6.3. SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO MUESTREADOS 97 Clk(kT) x h(t) x(t) C Figura 6.3: Circuito de muestreo y retenci´n o Sistemas de eventos discretos En estos sistemas existen procesos que evolucionan de modo concurrente, es decir, simult´nea- a mente. Cada proceso puede estar gobernado localmente por un sistema digital apropiado, con frecuencia un aut´mata programable, y todos los procesos est´n controlados por un computador o a central. Este computador puede estar a su vez conectado con otros mediante una red de ´rea a local (LAN). Su estudio abarca ciertas ´reas t´cnicas como automatismos, sistemas operativos de tiempo a e real, buses de conexi´n de perif´ricos y redes locales asi como otras m´s te´ricas como son los o e a o distintos modelos matem´ticos existentes, entre los que podemos citar, GRAFCET, redes de a Petri [1] y las teor´ sobre procesos estoc´sticos y procesos de colas. Su campo de aplicaci´n es ıas a o la automatizaci´n de procesos industriales. o 6.3. Sistemas de tiempo continuo muestreados El proceso de muestreo de una se˜al anal´gica consiste en sustituir la se˜al original continua n o n en el tiempo por una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo [2, sec. 11.1]. En la figura 6.1, x(t) se ha representado una se˜al continua en el tiempo. El muestreo n de esta se˜al consiste en obtener la secuencia x 0 n ∗ (t ), x∗ (t ), x∗ (t ), x∗ (t ), . . . correspondiente a 1 2 3 los valores de x(t) en los instantes t0 , t1 , t2 , t3 , . . .. A este proceso sigue otro de cuantificaci´n o que consiste en convertir los valores anal´gicos obtenidos por el muestreo en n´meros. o u En la pr´ctica, la se˜al x(t) es generalmente de naturaleza el´ctrica. El proceso de muestreo a n e se realiza mediante un circuito electr´nico de muestreo y retenci´n o Sample and Hold (SH) o o similar al de la figura 6.3. En este circuito, el interruptor S es activado por un impulso de control en cada instante de muestreo tk , cargando el condensador C a la tensi´n x(tk ). El condensador o mantiene la teni´n hasta que se vuelve a cerrar S en el instante tk+1 . En la figura 6.4 se han o representado las se˜ales de entrada x(t) y de salida xh (t) de este circuito. Si el intervalo de tiempo n (tk+1 − tk ) que transcurre entre cada dos muestreos consecutivos es constante el muestreo se denomina peri´dico y el intervalo T = (tk+1 − tk ), per´ o ıodo de muestreo. Otros tipos de muestreo son el de orden m´ltiple, el de per´ u ıodo m´ltiple y el de per´ u ıodo aleatorio. El m´s com´n es el a u muestreo peri´dico. o Puede observarse en la figura 6.4 que la se˜al de salida del circuito de muestreo y retenci´n no n o es una funci´n de tiempo discreto sino que es continua (constante) en cada per´ o ıodo de muestreo, presentando discontinuidades en los instantes de muestreo.
- 98. 98 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO ◦◦◦◦ 0.25cm¿ x◦ ◦◦◦ ◦◦h . 0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 23.9 0 to 24 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 14 5.9 to 14 6 ¡.1cm¿(t) .......... t tt1..k t02 ... . t Figura 6.4: Muestreo y retenci´n de la se˜al o n x(t) Vcc 3R/2 R CIRCUITO COMBINACIONAL R b2 R b1 R b0 R R R/2 Figura 6.5: ADC de 3 bits de tipo flash
- 99. ´ ˜ 6.4. RECONSTRUCCION DE LA SENAL MUESTREADA 99 0.5cm,0.5cm¿point at 0 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 0 to 10 0 0.25cm¿[0.15,0.6] from 0 0 to 0 6 ◦◦◦◦(t) .......... x◦ . ◦◦◦ ◦◦∗ ¡.1cm¿0.25cm¿[0.15, t tt1..k t02 ... . t tt1..k t02 ... . t Figura 6.6: Reconstrucci´n de la se˜al con ZOH o n El proceso de cuantificaci´n es realizado por otro circuito electr´nico, un convertidor anal´gi- o o o co digital (ADC), que obtiene el c´digo binario de cada uno de los valores xh (t) que el circuito o SH va presentando en su salida. Entre los ADC existentes podemos rese˜ar los tipos de aproxi- n maciones sucesivas, integrador, contador y paralelo (flash). Por su simplicidad se ha representado en la figura 6.5 un ADC de 3 bits de tipo flash. Este convertidor efect´a la conversi´n del va- u o lor anal´gico de xh (t) presentado en su entrada a c´digo Jhonson, que es convertido a binario o o natural por un circuito combinacional. Este tipo de convertidores proporciona una gran velocidad de conversi´n, s´lo limitada por o o los tiempos de los comparadores y del circuito l´gico combinacional. o 6.4. Reconstrucci´n de la se˜ al muestreada o n El problema complementario al de muestreo de una se˜al es el de la reconstrucci´n de la n o misma a partir de una secuencia de muestras. Consiste en obtener la se˜al original continua en n el tiempo a partir de una secuencia de valores que corresponden a instantes discretos de tiempo. El m´todo utilizado en la pr´ctica consiste en realizar dos etapas: conversi´n digital-anal´gica e a o o y retenci´n de la se˜al de salida del convertidor [2, sec. 11.4]. Un convertidor digital-anal´gico o n o realiza la primera etapa mientras que la segunda es producida por un circuito de retenci´n o incorporado generalmente en el propio convertidor. Por este m´todo se obtiene la se˜al xr a e n partir de sus muestras x∗ (t) (figura 6.6). Debe observarse que la se˜al xr (t) no es la se˜al n n original x(t) sino una se˜al obtenida a base de pulsos de altura x(kT ) y anchura T . No obstante, n la se˜al original x(t) puede obtenerse, en teor´ exactamente, a partir de sus muestras siempre n ıa que sea una se˜al de banda limitada, es decir, que la m´xima pulsaci´n de los arm´nicos de su n a o o espectro sea inferior a una dada ωmax = B. 6.4.1. Teorema del muestreo Si una se˜al x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con per´ n ıodo Ts , tal que ωs = 2π/Ts 2B, la se˜al x(t) puede ser reconstruida completamente a partir de la se˜al muestreada n n x∗ (t).
- 100. 100 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO δ(t) 1(t)-1(t-T) ZOH(s) Figura 6.7: Elemento de retenci´n de orden cero o 6.4.2. Teorema de Shannon Si una se˜al x(t) de banda limitada (ωmax = B) se muestrea con per´ n ıodo Ts , tal que ωs = 2π/Ts 2B, la se˜al original x(t) viene dada por la expresi´n n o ∞ sin[ωs (t − kTs )/2] x(t) = x(kTs ) (6.1) ωs (t − kTs )/2 k=−∞ La demostraci´n de estos teoremas puede hallarse en [?, sec. 6.5] o 6.4.3. El elemento de retenci´n de orden cero (ZOH) o El filtro paso-bajo ideal realiza la operaci´n expresada por (6.1). Sin embargo tal filtro no o existe en la realidad por lo que la reconstrucci´n de la se˜al a partir de sus muestras debe hacerse o n en la pr´ctica con filtros paso-bajo reales de orden cero, uno etc. El mas sencillo es el circuito a de retenci´n de orden cero o Zero Order Hold (ZOH). Este circuito consta en esencia de un o condensador que se mantiene cargado a la tensi´n de cada uno de los impulsos que constituyen o las muestras x ∗ (t) (figura 6.3) Supongamos que, en t = 0, se aplica un impulso unitario a la entrada del ZOH. La salida es un pulso de duraci´n T (figura 6.7). Las transformadas de Laplace o las variables de entrada y salida son: (1 − e−sT ) L[δ(t)] = 1, L[1(t) − 1(t − T )] = s y por tanto, la funci´n de transferencia del circuito de retenci´n de orden cero es o o 1 − e−sT ZOH(s) = (6.2) s 6.4.4. La transformada estrella La se˜al muestreada x∗ (t) puede expresarse matem´ticamente por medio de una suma de n a impulsos en los instantes de muestreo, de amplitud x(kT ), de la forma x∗ (t) = x(0)δ(t) + x(T )δ(t − T ) + x(2T )δ(t − 2T ) + . . . ∞ = x(kT )δ(t − kT ) (6.3) k=0 Su transformada de Laplace, a veces denominada transformada estrella [Ogata 87, sec. 3.5], es ∞ X ∗ (s) = x(0) + x(T )e−sT + x(2T )e−2sT + . . . = x(kT )e−skT (6.4) k=0
- 101. 6.5. LA TRANSFORMADA Z 101 Transformada estrella de la secuencia 1(kT) 25 20 15 Parte real de 1*(s) 10 5 0 -5 -10 10 5 1 0 0.5 0 -5 -0.5 imag -10 -1 real Figura 6.8: Aspecto de una funci´n X ∗ (s) (parte real) o Podemos ver que X ∗ (s) es una funci´n peri´dica en el plano s (figura 6.8), con per´ o o ıodo jωs . En efecto, si s = 2π/T es la pulsaci´n de muestreo y n es un n´mero entero: o u ∞ ∞ ∗ −kT (s+jnωs ) X (s + jnωs ) = x(kT )e = x(kT )e−skT e2πknj (6.5) k=0 k=0 es decir que ∞ X ∗ (s + jnωs ) = x(kT )e−skT = X ∗ (s) (6.6) k=0 La expresi´n matem´tica de la se˜al xr puede hallarse teniendo en cuenta que se obtiene a o a n partir de x∗ (t) y de la sucesi´n de pulsos obtenidos con el elemento ZOH. Por tanto, o ∞ 1 − e−sT ∗ Xr (s) = ZOH(s)X (s) = x(kT )e−kT s (6.7) s k=0 6.5. La transformada z Hemos visto que la transformada de Laplace de una se˜al muestreada x∗ (t) es (6.4): n ∞ L[x∗ (t)] = X ∗ (s) = x(kT )e−kT s (6.8) k=0 Definimos una nueva variable z mediante el cambio esT = z
- 102. 102 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO Con la nueva variable z, la ecuaci´n (6.4) se puede escribir o ∞ X ∗ (s) = x(kT )z −k = X(z) (6.9) k=0 La transformada z de una funci´n x(t) se define como o ∞ Z[x(kT )] = X ∗ (s)|esT =z = x(kT )z −k = X(z) (6.10) k=0 La transformada z de una funci´n x(t) es la transformada de Laplace de la funci´n x∗ (t) (x(t) o o muestreada), haciendo esT = z. As´ como la transformada de Laplace serv´ para modelizar los sistemas continuos, la trans- ı ıa formada z hace el mismo papel en los de los sistemas discretos. 6.5.1. Propiedades y teoremas de la transformada z Se describen a continuaci´n algunas propiedades de la transformada z. Por simplicidad se o supone que el per´ıodo de muestreo T es la unidad. Las demostraciones son inmediatas aplicando la definici´n de la transformada z. Para un estudio m´s completo v´ase [Ogata 87, sec. 2.4]. o a e 1. Es una transformaci´n lineal: o Z[ax(k) + by(k)] = aZ[x(k)] + bZ[y(k)] = aX(z) + bY (z) 2. Multiplicaci´n por la constante ak : o z Z[ak x(k)] = X a 3. Traslaci´n real: o Z[x(k − n)] = z −n X(z) n−1 Z[x(k + n)] = z [X(z) −n x(k)z −k ] k=0 4. Traslaci´n compleja: o Z[e−ak x(k)] = X(ea z) 5. Valor inicial: x(0) = l´ X(z) ım z→∞ 6. Valor final: l´ x(k) = l´ (1 − z −1 )X(z) ım ım k→∞ z→1 6.5.2. Transformadas de algunas funciones elementales Aplicando la definici´n, las propiedades y los teoremas antes enunciados, pueden obtenerse o las transformadas z de algunas funciones sencillas, de uso com´n, que se indican en la tabla 6.1 u
- 103. 6.5. LA TRANSFORMADA Z 103 f (t) F (s) F (z) δ(t) 1 δK (0) 1 z 1(t) s z−1 1 Tz t s2 (z−1)2 1 2 1 1 T 2 z (z+1) 2t s3 2 (z−1)3 1 3 1 1 T 3 z (z 2 +1+4 z) 3! t s4 3! (z−1)4 1 n 1 (−1)n−1 ∂ n−1 z n! t sn l´ a→0 ım (n−1)! ∂an−1 z−e−aT 1 z e(−a t) s+a z−e(−a T ) w sin(w T ) z sin(w t) s2 +w2 −2 z cos(w T )+z 2 +1 s z (−cos(w T )+z) cos(w t) s2 +w2 −2 z cos(w T )+z 2 +1 s+a z (−e(−a T ) cos(w T )+z) e(−a t) cos(w t) (s+a)2 +w2 −2 z e(−a T ) cos(w T )+z 2 +e(−2 a T ) w z e(−a T ) sin(w T ) e(−a t) sin(w t) (s+a)2 +w2 −2 z e(−a T ) cos(w T )+z 2 +e(−2 a T ) (s+σ) sin(φ)+w cos(φ) z (cos(φ) e(−σ T ) sin(w T )−sin(φ) cos(w T ) e(−σ T ) +sin(φ) z) e(−σ t) sin(w t + φ) (s+σ)2 +w2 e(−2 σ T ) −2 z cos(w T ) e(−σ T ) +z 2 (s+σ) cos(φ)−w sin(φ) z (cos(φ) e(−σ T ) cos(w T )+sin(φ) sin(w T ) e(−σ T ) −cos(φ) z) e(−σ t) cos(w t + φ) (s+σ)2 +w2 −e(−2 σ T ) +2 z cos(w T ) e(−σ T ) −z 2 Cuadro 6.1: Transformadas z de algunas funciones 6.5.3. Transformada z de diferencias finitas Se define la diferencia primera hacia atr´s, entre x(k) y x(k − 1), como a ∆x(k) = x(k) − x(k − 1) La transformada z de ∆x(k) es Z[∆x(k)] = Z[x(k) − x(k − 1)] = Z[x(k)] − Z[x(k − 1)] = X(z) − z −1 X(z) = (1 − z −1 )X(z) La diferencia segunda hacia atr´s se define como la diferencia de la diferencia primera, es decir a ∆2 x(k) = ∆[∆x(k)] = ∆[x(k) − x(k − 1)] = ∆[x(k)] − ∆[x(k − 1)] = x(k) − x(k − 1) − x(k − 1) + x(k − 2) = x(k) − 2x(k − 1) + x(k − 2) Por tanto, la transformada z de la diferencia segunda es Z[∆2 x(k)] = Z[x(k) − 2x(k − 1) + x(k − 2)] = X(z) − 2z −1 X(z) + z −2 X(z) = (1 − 2z −1 + z −2 )X(z)
- 104. 104 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO es decir Z[∆2 x(k)] = (1 − z −1 )2 X(z) y del mismo modo pueden obtenerse Z[∆3 x(k)] = (1 − z −1 )3 X(z) Z[∆4 x(k)] = (1 − z −1 )4 X(z) . . . Z[∆n x(k)] = (1 − z −1 )n X(z) Se deduce aqu´ que la operaci´n de tomar la diferencia hacia atr´s de orden n de x(k) corresponde ı o a a multiplicar por (1 − z −1 )n su transformada X(z). La diferencia primera hacia delante entre x(k + 1) y x(k), se define como ∆x(k) = x(k + 1) − x(k) La transformada z de esta diferencia es Z[∆x(k)] = Z[x(k + 1) − x(k)] = Z[x(k + 1)] − Z[x(k)] = zX(z) − zx(0) − X(z) = (z − 1)X(z) − zx(0) La diferencia segunda hacia adelante es ∆2 x(k) = ∆[x(k + 1) − x(k)] = ∆x(k + 1) − ∆x(k) = x(k + 2) − x(k + 1) − x(k + 1) + x(k) = x(k + 2) − 2x(k + 1) + x(k) La transformada z de esta diferencia es Z[∆2 x(k)] = Z[x(k + 2) − 2x(k + 1) + x(k)] = z 2 X(z) − z 2 x(0) − zx(1) − 2[zX(z) − zx(0)] + X(z) = (z − 1)2 X(z) − z(z − 1)x(0) − z[x(1) − x(0)] y, por tanto, Z[∆2 x(k)] = (z − 1)2 X(z) − z(z − 1)x(0) − z∆x(0) siendo ∆x(0) = x(1) − x(0). Procediendo de as´ podemos obtener las expresiones de las diferencias hacia adelante tercera, ı cuarta etc. La transformada z de la diferencia hacia adelante de orden n resulta: n−1 n n Z[∆ x(k)] = (z − 1) X(z) − z (z − 1)n−i+1 ∆i x(0) i=0 6.6. Ecuaciones diferencia y funciones de transferencia en z Una ecuaci´n diferencia de orden n es una expresi´n de la forma: o o an y(k) + an−1 y(k − 1) + . . . + a0 y(k − n) = bn x(k) + bn−1 x(k − 1) + . . . + b0 x(k − n) (6.11) en donde x e y son funciones de la variable discreta k. Hallando la transformada z de ambos miembros de la expresi´n queda: o (an + an−1 z −1 + . . . + a0 z −n )Y (z) = (bn + bn−1 z −1 + . . . + b0 z −n )X(z)
- 105. ´ 6.7. OBTENCION DE LA TRANSFORMADA Z INVERSA 105 La relaci´n entre Y (z) y X(z) se denomina funci´n de transferencia discreta G(z): o o Y (z) bn + bn−1 z −1 + . . . + b0 z −n G(z) = = (6.12) X(z) an + an−1 z −1 + . . . + a0 z −n o, multiplicando numerador y denominador por z n , bn z n + bn−1 z n−1 + . . . + b0 G(z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a0 Puede apreciarse la semejanza de las ecuaciones (6.11) y (6.12) con ecuaci´n diferencial o (n) (m) an y + . . . + a2 y + a1 y + a0 y = bm x + . . . + b2 x + b1 x + b0 x ¨ ˙ ¨ ˙ y la funci´n de transferencia o bm sm + bm−1 sm−1 + . . . + b1 s + b0 G(s) = an sn + an−1 sn−1 + . . . + a1 s + a0 de un sistema continuo. La ecuaci´n diferencial y la funci´n de transferencia en s describen un o o sistema continuo, mientras que la ecuaci´n diferencia y la funci´n de transferencia en z describen o o uno discreto. 6.7. Obtenci´n de la transformada z inversa o La transformada inversa Z −1 de una funci´n X(z) es la sucesi´n de valores x(kT ), k = o o 0, 1, 2, . . ., tal que Z[x(kT )] = X(z). Hay que tener en cuenta que con Z −1 no se obtiene la funci´n x(t), puesto que en la sucesi´n o o obtenida x(kT ) no est´n incluidos los valores de x(t) comprendidos entre cada dos valores a consecutivos de k. A continuaci´n se indican los m´todos mas usuales de hallar la transformada o e Z −1 [Ogata 87, sec. 2.5]. 6.7.1. M´todo de integraci´n compleja e o La transformaci´n inversa se obtiene, por integraci´n en el campo complejo, resolviendo la o o integral (6.13) a lo largo de un contorno cerrado C del plano complejo z que encierre a todos los polos. n 1 x(kT ) = z k−1 X(z)dz = Ki (6.13) 2πj c i=1 siendo K1 , K2 , . . . , Kn , los residuos de la funci´n o z k−1 X(z) en cada uno de sus polos z1 , z2 , . . . , zn . 6.7.2. M´todo de la divisi´n directa e o La transformada inversa Z −1 de una funci´n X(z), expresada en forma de cociente entre o los polinomios N (z) y D(z), puede hallarse efectuando la divisi´n larga de N (Z) entre D(z), o obteni´ndose una serie infinita de potencias en z −1 : e N (z) X(z) = = a0 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . D(z) La secuencia x(kT ) es, directamente, la formada por los coeficientes ak : x(kT ) = ak
- 106. 106 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 6.7.3. M´todo de expansi´n en fracciones simples e o Este m´todo es similar al utilizado en la transformaci´n inversa de Laplace. Consiste en des- e o componer la funci´n X(z), cuya antitransformada x(kT ) se desea hallar, en suma de fracciones o simples, de la forma X(z) k1 k2 kn = + + ... + z z − p1 z − p 2 z − pn en donde p1 , p2 , . . . , pn son los polos (simples) de X(z). De aqu´ se obtiene inmediatamente Z −1 , ı ya que zai Z −1 = ai pk i z − pi Si X(z) tiene polos m´ltiples se utilizan las mismas f´rmulas de expansi´n en fracciones simples u o o para el caso de ra´ m´ltiples utilizadas en la obtenci´n de la transformada inversa de Laplace. ıces u o 6.8. M´todo de resoluci´n num´rica de la ecuaci´n diferencia e o e o Si G(z) est´ expresada en forma de cociente de polinomios en z, con coeficientes num´ricos, a e la antitransformada y(k) puede hallarse num´ricamente mediante computador, resolviendo una e ecuaci´n diferencia. Para simplificar las expresiones suponemos una G(z) con numerador de o segundo orden el denominador de tercero, de la forma b2 z 2 + b1 z + b0 G(z) = (6.14) z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 Sea X(z) la funci´n de entrada de G(z) e Y (z) la de salida. Entonces, o b2 z 2 + b 1 z + b 0 Y (z) = X(z) z 3 + a2 z 2 + a1 z + a0 Si la entrada x(kT ) es la funci´n δ de Kroneker, o x(k) = 1, k = 0x(k) = 0, k 0 su transformada es X(z) = 1 y, por tanto, Y (z) = G(z). Pongamos la funci´n de transferencia o (6.14) en forma de ecuaci´n diferencia: o y(k + 3) + a2 y(k + 2) + a1 y(k + 1) + a0 y(k) = b2 x(k + 2) + b1 x(k + 1) + b0 x(k) o bien y(k + 3) = b2 x(k + 2) + b1 x(k + 1) + b0 x(k) − a2 y(k + 2) − a1 y(k + 1) − a0 y(k) (6.15) Demos valores a k. Para k = −3 obtenemos: y(0) = b2 x(−1) + b1 x(−2) + b0 x(−3) − a2 y(−1) − a1 y(−2) − a0 y(−3) Pero x(−1) = x(−2) = x(−3) = y(−1) = y(−2) = y(−3) = 0, luego y(0) = 0. Para k = −2: y(1) = b2 x(0) + b1 x(−1) + b0 x(−2) − a2 y(0) − a1 y(−1) − a0 y(−2) = b2 x(0) = b2 Para k = −1: y(2) = b2 x(1) + b1 x(0) + b0 x(−1) − a2 y(1) − a1 y(0) − a0 y(−1) = b1 − a2 b2
- 107. ´ 6.9. MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 107 U(z) Y(z) G(z) Figura 6.9: Sistema SISO de tiempo discreto Los valores y(0), y(1), y(2) obtenidos hasta aqu´ son las condiciones iniciales que debe tener la ı ecuaci´n diferencia (6.15) para que la funci´n Y (z) obtenida al hallar su transformada z sea la o o propuesta. Por tanto, para hallar la transformada inversa Z −1 de la funci´n Y (z), se resuelve la o ecuaci´n diferencia (6.15) con condiciones las iniciales y(0), y(1), y(2) halladas. Para ello, se van o dando a k los valores 0, 1, 2, . . ., obteni´ndose los valores de y(k) correspondientes a Z −1 [X(z)]. e Es decir y(3) = b2 x(2) + b1 x(1) + b0 x(0) − a2 y(2) − a1 y(1) − a0 y(0) y(4) = b2 x(3) + b1 x(2) + b0 x(1) − a2 y(3) − a1 y(2) − a0 y(1) y(5) = b2 x(4) + b1 x(3) + b0 x(2) − a2 y(4) − a1 y(3) − a0 y(2) y(6) = b2 x(5) + b1 x(4) + b0 x(3) − a2 y(5) − a1 y(4) − a0 y(3) . . . . . . Este proceso puede implementarse en un sencillo programa de ordenador que resuelva la ecuaci´n o diferencia (6.15) con los datos y condiciones iniciales indicadas. Si los polinomios que forman Y (z) fueran de orden n, la ecuaci´n diferencia (6.15) ser´ de orden n, procedi´ndose de modo o ıa e similar. 6.9. Modelos matem´ticos de los sistemas de tiempo discreto a Sabemos que un sistema de tiempo discreto es aquel cuyas variables son funciones de la variable discreta tiempo. En la figura 6.9 se ha representado el diagrama de bloques de un sistema SISO de tiempo discreto. Del mismo modo que un sistema lineal y continuo en el tiempo es aquel cuyo modelo matem´tico es una ecuaci´n diferencial lineal, de orden n, de a o coeficientes constantes, un sistema lineal de tiempo discreto es aquel cuyo modelo matem´tico a es una ecuaci´n diferencia lineal, de orden n, de la forma indicada por (6.11): o an y(k) + an−1 y(k − 1) + . . . + a0 y(k − n) = bn x(k) + bn−1 x(k − 1) + . . . + b0 x(k − n) Esta ecuaci´n relaciona los valores de la salida discreta y(k) con los valores de la entrada discreta o x(k), en los instantes k, (k − 1), . . . , (k − n). La relaci´n entre Y (z), transformada z de la salida o y(k), y X(z), transformada z de la entrada X(k), es la funci´n de transferencia del sistema o discreto: Y (z) = G(z)X(z) 6.9.1. Filtros digitales La implementaci´n de una ecuaci´n diferencia mediante un programa de ordenador es un o o filtro digital. El computador genera los valores de la secuencia y(k) dados por la ecuaci´n di- o ferencia (6.11). Un filtro digital es, por naturaleza, un sistema discreto ya que las variables de entrada y de salida son discretas (secuencias de n´meros) y la relaci´n entre ambas es una u o ecuaci´n diferencia. o
- 108. 108 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO * * x(t) x (t) y(t) y (t) * G(s) * X(s) T X (s) Y(s) T Y (s) Figura 6.10: Sistema continuo muestreado 6.9.2. Sistemas continuos muestreados La entrada a un sistema continuo de funci´n de transferencia G(s) es una se˜al x∗ (t) mues- o n treada con per´ ıodo T , dada por (6.3): ∞ x∗ (t) = x(kT )δ(t − kT ) k=0 siendo x(t) una se˜al de tiempo continuo. A su vez, la salida y(t) se vuelve a muestrear, con n ıodo, obteni´ndose y ∗ (t). Deseamos hallar la relaci´n entre la salida muestreada Y ∗ (s) igual per´ e o y la entrada muestreada X ∗ (s) (figura 6.10). La transformada de Laplace de la salida y(t) es Y (s) = X ∗ (s)G(s) y, por tanto, y(t) = L−1 [Y (s)] = L−1 [G(s)X ∗ (s)] Aplicando el teorema de convoluci´n, o t y(t) = g(t − τ )x∗ (τ )dτ 0 Sustituyendo el valor de x∗ (t) dado por (6.3) resulta t ∞ y(t) = g(t − τ ) x(kT )δ(τ − kT )dτ 0 k=0 ∞ t = g(t − τ )x(kT )δ(τ − kT )dτ k=0 0 ∞ = g(t − kT )x(kT ) (6.16) k=0 que es una se˜al continua. La salida y(t) se muestrea, dando y ∗ (t) n ∞ ∞ ∗ y (t) = g(nT − kT )x(kT ) δ(t − nT ) n=0 k=0 y, por tanto, ∞ ∞ Y ∗ (s) = Y (z) = g(nT − kT )x(kT ) z −n n=0 k=0
- 109. ´ 6.9. MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 109 ahora, haciendo m = n − k queda ∞ ∞ Y (z) = Z[y(t)] = g(mT )x(kT )z −(k+m) m=0 k=0 ∞ ∞ −m = g(mT )z x(kT )z −k m=0 k=0 = G(z)X(z) (6.17) En consecuencia, Y ∗ (s) = [X ∗ (s)G(s)]∗ = G∗ (s)X ∗ (s) (6.18) es decir Y ∗ (s) G∗ (s) = X ∗ (s) o bien Y (z) G(z) = X(z) Este resultado dice que dado un sistema de tiempo continuo, definido por su funci´n de transfe- o rencia G(s), con entrada x∗ (t) obtenida mediante muestreo de per´ıodo T de una se˜al continua n ıodo T para obtener y ∗ (t) (figura x(t), y con salida continua y(t) que se muestrea con igual per´ 6.10), se comporta como un sistema discreto con funci´n de transferencia G(z), siendo G(z) la o transformada z de la funci´n ponderatriz g(t) del sistema. o 6.9.3. Modelo de estado de tiempo discreto El acercamiento al modelo de estado de tiempo discreto puede hacerse de diferentes maneras. Una de ellas, que exponemos a continuaci´n, consiste en convertir el modelo de estado de tiempo o continuo, definido por (6.19), en discreto. El procedimiento que seguiremos consiste en discretizar el tiempo, es decir, dividirlo en intervalos finitos, y hallar la soluci´n del sistema de ecuaciones o diferenciales (6.19) en cada intervalo [Ogata 87, cap2]. El problema de hallar la soluci´n del o sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes ˙ x = Ax + Bu (6.19) y = Cx + Du es un resultado conocido de la teor´ de ecuaciones diferenciales (cons´ltese por ejemplo [?]): ıa u t x(t) = eA(t−t0 ) x(0) + eA(t−τ ) Bu(τ )dτ (6.20) t0 La matriz Φ(t) = eAt (6.21) se denomina matriz de transici´n. Por ser la funci´n exponencial de la matriz At, est´ definida o o a mediante la serie ∞ At (At)k Φ(t) = e = (6.22) k! k=0 y existen varios procedimientos para calcularla. Utilizando esta matriz, la ecuaci´n (6.20) se o puede escribir t x = Φ(t − t0 )x(0) + Φ(t − τ )Bu(τ )dτ (6.23) t0
- 110. 110 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO uk u k-2 u k+2 T u k+3 u k-1 u k+1 Td yk-2 yk+2 yk yk+3 yk+1 yk-1 Figura 6.11: Sistema continuo muestreado Supongamos que la entrada al sistema descrito por descrito por (6.19) es un conjunto de se˜ales n denotadas por u(t) y que cada una de estas se˜ales es del tipo de la se˜al xh (t) representada n n en la figura (6.4). Se trata pues de se˜ales que proceden, posiblemente, de un proceso previo de n muestreo y retenci´n, con per´ o ıodo T , de otras se˜ales de tiempo cont´ n ınuo. Entonces se cumple u(t) = u(kT ), kT ≤ t (k + 1)T, k = 0, 1, 2, . . . ya que el valor de las se˜ales se mantiene constante en cada intervalo T . Supongamos ahora que n las se˜ales de salida que forman y(t) se muestrean con el mismo per´ n ıodo T pero con un retraso Td , tal que 0 Td T , respecto de la entrada u(k) (figura 6.11), de modo que los instantes de muestreo de las se˜ales de salida son t = kT + Td , para k = 0, 1, 2, . . .. Denotemos por uk e yk n las secuencias de entrada y salida obtenidas. Sus valores son uk = u(kT ), yk = y(kT + Td ) La f´rmula (6.20) nos permite obtener la soluci´n de la ecuacion diferencial del vector de estado o o (6.19) en un intervalo cualquiera. Consideremos el intervalo [tk , tk+1 ]. En el mismo, las se˜ales n de entrada u(t) son constantes y su valor es uk . Sea xk el valor de las variables de estado en el instante inicial tk . Entonces, tk+1 x(tk+1 ) = eA(tk+1 −tk ) x(tk ) + eA(tk −τ ) Bu(tk )dτ (6.24) tk o bien, sustituyendo tk por kT y tk+1 por kT + T , T x(kT + T ) = eAT x(kT ) + eAτ dτ Bu(tk ) (6.25) 0 La salida, obtenida a partir de (6.19) y (6.25) es Td y(k) = y(kT + Td ) = CeATd x(kT ) + C eAτ dτ Bu(kT ) + Du(kT ) 0 Si hacemos T ˆ A = eAT , ˆ B= eAτ dτ B 0 Td ˆ C = CeATd , ˆ D=C eAτ dτ B + D (6.26) 0
- 111. ´ 6.9. MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO 111 el sistema discreto obtenido queda descrito por las ecuaciones ˆ ˆ xk+1 = Axk + Buk ˆ ˆ k + Cuk (6.27) yk = Cx Estas ecuaciones se llaman ecuaciones de estado de tiempo discreto y constituyen el modelo de ˆ estado, o interno, de tiempo discreto. Obs´rvese que la matriz A es la que hemos denominado e ˆ ˆ ˆ ˆ matriz de transici´n Φ(t) en (6.22), para t = T . Las matrices A, B, C y D pueden hallarse o facilmente por c´lculo num´rico a partir de la serie (6.22). a e
- 112. 112 CAP´ ITULO 6. SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
- 113. Cap´ ıtulo 7 Sistemas controlados por computador Los sistemas controlados por computador han cobrado creciente importancia en el mundo industrial durante las ultimas d´cadas. El control digital sustituye con ventaja al anal´gico ´ e o incluso hasta en las m´s modestas aplicaciones [?]. a En los sistemas de control por computador (figura 7.1) el controlador digital (µP) recibe la secuencia de valores e(kT ) = e∗ (t), muestreada de la se˜al continua e(t) y cuantificada por n un CAD, y realiza con ellos el algoritmo de control definido por la funci´n D(z), obteniendo la o secuencia x∗ (t) = x(kT ). Un CDA conectado a un elemento ZOH genera la se˜al continua xr (t) n que se aplica a la planta del sistema. En este tipo de sistemas hay que tener en cuenta la funci´n o µP ZOH Planta * * u e e x 1-e -sT xr y A/D D(z) D/A G(s) T s Figura 7.1: Sistema de control por computador de transferencia del elemento de retenci´n ZOH tal como se ha representado en la figura 7.1. Si o la salida y(t) se muestrea, podemos considerar al conjunto formado por el elemento ZOH y la planta como un sistema continuo muestreado. Estos dos bloques pueden asociarse formando en ZOH Planta * x 1-e -sT xr y y* G(s) s T Figura 7.2: Bloques ZOH y planta 113
- 114. 114 CAP´ ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR uno cuya funci´n de transferencia sea o 1 − e−sT G1 (s) = G(s) s La relaci´n entre las transformadas z de las secuencias de salida y de entrada ser´ o a Y (z) G1 (z) = X(z) siendo ∗ ∗ 1 − e−sT G(s) G1 (z) = G∗ (s)|z=esT = 1 G(s) = (1 − z −1 ) s z=esT s z=esT es decir G(s) G1 (z) = (1 − z −1 )Z s La funci´n de transferencia total del sistema en lazo cerrado se obtiene ahora con facilidad por o las reglas de simplificaci´n de los diagramas de bloques. o Y (z) D(z)G1 (z) T (z) = = U (z) 1 + D(z)G1 (z) La funci´n de transferencia T (z) sirve para realizar la simulaci´n del sistema completo. o o 7.1. Estabilidad en el plano z La estabilidad absoluta y relativa de un sistema lineal de tiempo invariante est´ determinada a por la posici´n de sus polos en el plano s: si est´n ubicados en el semiplano de la izquierda, el o a sistema es estable. La transformada z es una transformaci´n conforme del plano s en el plano z dada por la o expresi´n: o z = esT Mediante esta transformaci´n la recta s = jω (eje imaginario) del plano s se transforma en un o ırculo de radio unidad en el plano z. En efecto, aplicando la transformaci´n queda z = ejωT c´ o que es la ecuaci´n de un c´ o ırculo de radio unidad (figura 7.3) en el plano z. La condici´n de o estabilidad en el plano s es que la parte real de todos y cada uno de los polos sea negativa: σi 0 i = 1, . . . , n siendo σi la parte real de cada uno de los polos. En el plano z, esta condici´n se transforma ya o que, si σ 0, z = esT = e(σ+jω)T = eσT ejωT implica |z| = eσT 1 Por tanto, la condici´n de estabilidad en el plano z es que los polos del sistema han de quedar o dentro de la circunferencia de radio unidad y de centro el origen del plano z.
- 115. 7.1. ESTABILIDAD EN EL PLANO Z 115 S1 S2 S3 S4 z2 z3 z1 z5 z0 S0 S5 Figura 7.3: Transformaci´n z = esT o u ε x y C(s) G(s) H Figura 7.4: Sistema con controlador anal´gico C(s) o
- 116. 116 CAP´ ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR 7.2. Dise˜ o del controlador digital n En los sistemas controlados por computador el objetivo del dise˜o es hallar los algoritmos n que debe efectuar el computador para que el funcionamiento del sistema sea el adecuado. Existen numerosos m´todos de dise˜o basados tanto en la teor´ cl´sica de funciones de transferencia e n ıa a como en la teor´ moderna de variables de estado y control ´ptimo. ıa o Los procedimientos que a continuaci´n se describen se basan en sustituci´n de un controlador o o anal´gico dado por otro digital, tal que su funcionamiento entrada-salida sea similar. En la figura o 7.4 se ha representado un sistema con control anal´gico C(s). El controlador anal´gico C(s) se o o desea sustituir por otro digital D(z) obteni´ndose el diagrama de bloques de la figura 7.5. Para e hacer que el funcionamiento entrada-salida del controlador digital D(z) sea lo mas parecido posible al del anal´gico C(s) al que sustituye existen varios procedimientos, de los que cuales o citamos algunos a continuaci´n [Ogata 87, sec. 4.2]. o 7.2.1. Equivalencia al muestreo y retenci´n. o Este m´todo consiste en hacer que el funcionamiento en modo muestreado con retenci´n e o de orden cero (ZOH) del controlador anal´gico sea equivalente al del controlador digital por el o que va a ser sustituido (7.5). Para que el funcionamiento entrada-salida de ambos controladores ZOH Controlador * -sT er (t) * e(t) e (t) x(t) x (t) 1-e C(s) E(s) T * E (s) s E r(s) X(s) T * X (s) * * e(t) e (t) x(t) x (t) A/D D(z) D/A * * E(s) T E (s) X(s) T X (s) Controlador Digital Figura 7.5: Sustituci´n por equivalencia ZOH o sea equivalente, ha de ser igual la relaci´n X ∗ (s)/E ∗ (s) entre la salida muestreada y la entrada o muestreada. Es decir que ∗ 1 − e−sT C(s) D(z) = C(s) = (1 − z −1 )Z[ ] s z=esT s 7.2.2. Invariancia al impulso Al aplicar un impulso unitario a la entrada de ambos controladores, la salida del controlador digital ha de ser igual a la salida muestreada del controlador anal´gico. En este caso no existe o retenci´n de la se˜al de entrada en el controlador anal´gico (7.6). Puesto que la entrada es un o n o unico impulso, la entrada e(t) y la entrada muestrada e∗ (t) son id´nticas. La respuesta al impulso ´ e es, para el primer controlador X(s) = E ∗ (s)C(s)
- 117. ˜ 7.2. DISENO DEL CONTROLADOR DIGITAL 117 Controlador * * e(t) e (t) x(t) x (t) * C(s) * E(s) T E (s) X(s) T X (s) * * e(t) e (t) x(t) x (t) A/D D(z) D/A * * E(s) T E (s) X(s) T X (s) Controlador Digital Figura 7.6: Sustituci´n por invariancia al impulso o mientras que su respuesta muestreada es X ∗ (s) = [E ∗ (s)C(s)]∗ = E ∗ (s)C ∗ (s) Por tanto, para que la salida del controlador digital sea tambi´n X ∗ (s), ha de verificarse que e X(z) = E(z)D(z) de donde se deduce que D(z) = C ∗ (s)|z=esT = Z[C(s)] 7.2.3. Invariancia al escal´n o Al aplicar un escal´n unitario a la entrada de ambos controladores, la salida del controlador o digital ha de ser igual a la salida muestreada del controlador anal´gico (7.7). En este caso la o respuesta al escal´n del controlador anal´gico es o o Controlador * e(t) x(t) x (t) C(s) * E(s) X(s) T X (s) * * e(t) e (t) x(t) x (t) A/D D(z) D/A * * E(s) T E (s) X(s) T X (s) Controlador Digital Figura 7.7: Sustituci´n por invariancia al escal´n o o 1 X(s) = E(s)C(s) = C(s) s
- 118. 118 CAP´ ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR La salida muestreada del controlador anal´gico ser´ o a ∗ 1 X ∗ (s) = C(s) s Como la salida del controlador digital ha de ser tambi´n X ∗ (s), se deduce que e ∗ 1 1 X(z) = E(z)D(z) = = Z[ C(s)] (7.1) C(s) z=esT s pero la transformada z de la entrada escal´n unitario es o z Z[e(t)] = z−1 Sustituyendo en (7.1) queda z 1 D(z) = Z[ C(s)] z−1 s y la funci´n de transferencia del controlador ha de ser o z−1 1 D(z) = Z[ C(s)] z s Obs´rvese que se obtiene el mismo resultado que en m´todo de equivalencia al muestreo y e e retenci´n. o 7.2.4. Integraci´n num´rica o e Este m´todo consiste en implementar un algoritmo en el controlador que realice la integraci´n e o num´rica de la ecuaci´n integro diferencial del controlador anal´gico. Por ejemplo, para un e o o controlador de tipo PID, con funci´n de transferencia o X(s) Ki C(s) = = Kp + + sKd E(s) s la salida se relaciona en el dominio del tiempo con la entrada por la ecuaci´n o t de(t) x(t) = Kp e(t) + Ki e(t)dt + Kd (7.2) 0 dt esta ecuaci´n se puede resolver num´ricamente a trav´s diferentes algoritmos, basados en utilizar o e e diferencias hacia adelante o diferencias hacia atr´s, regla trapezoidal para integrales, etc. Una a de las posibles ecuaciones diferencia que resuelven la ecuaci´n (7.2) es o Ki T Kd Ki T 2Kd Kd x(k) = Kp + + e(k) − Kp − + e(k − 1) + e(k − 2) 2 T 2 T 2 7.2.5. Coincidencia de polos y ceros Los polos y ceros del controlador digital se hacen coincidir con los polos y ceros del controlador anal´gico mapeados en el plano z mediante la transformaci´n z = esT . o o
- 119. ˜ 7.2. DISENO DEL CONTROLADOR DIGITAL 119 7.2.6. Transformaci´n bilineal o La transformaci´n o 2 z−1 s= T z+1 se denomina transformaci´n bilineal y hace corresponder el semiplano de la izquierda del plano o complejo s con el interior del c´ ırculo de radio unidad en el plano complejo z. Se obtiene al utilizar la regla trapezoidal en la integraci´n num´rica de las ecuaciones diferenciales. El controlador o e digital obtenido por este m´todo es estable si su hom´logo anal´gico tambi´n lo es. e o o e 7.2.7. M´todos modernos de dise˜ o. e n En los sistemas actuales de control multivariable (MIMO) se utilizan t´cnicas de Dise˜o e n Asistido por Ordenador de Sistemas de Control, CACSD (Computer-Aided Control System Design), que facilitan el trabajo a los ingenieros de dise˜o de sistemas. Se han desarrollado n paquetes de Software de Autom´tica y Control que integran potentes herramientas para el a an´lisis, simulaci´n y dise˜o de sistemas. De algunos de estos programas existen versiones para a o n ordenadores personales como, por ejemplo, MATLAB, CC, MATRIX, CTRL-C, SIMNON, etc [Maltab, Control Toolbox]. En el aspecto del dise˜o se utilizan, adem´s de los m´todos cl´sicos del lugar de las ra´ y n a e a ıces los m´todos gr´ficos de respuesta de frecuencia, los m´todos modernos, que permiten optimizar e a e el dise˜o en funci´n de las especificaciones requeridas (control ´ptimo), realizar controladores n o o que se adaptan de forma autom´tica al proceso que controlan (autosintonizados) etc., y son, por a tanto, de gran utilidad.
- 120. 120 CAP´ ITULO 7. SISTEMAS CONTROLADOS POR COMPUTADOR
- 121. Bibliograf´ ıa [1] M. Silva Las Redes de Petri: en la Autom´tica y la Inform´tica. Editorial AC a a [2] Charles L. Phillips Feedback Control Systems Prencice Hall Inc., 1988 [3] K.Lockyer La producci´n industrial, su administraci´n. Representaciones y Servicios de o o Ingenier´ S.A., Mexico, 1988. ıa [4] M.P. Groover Automation, Production systems and Computer Integrated Manufacturing. Prentice Hall. [5] David Harel “Statecharts: A Visual formalism for Complex Systems”, Science of Computer Programming 8, (1987), pp. 231-274. [6] Object Modeling Group OMG Unified Modeeling Language Specification. Object Modeling Group, Inc., Version 1.3, June 1999. [7] Hans Vangheluwe Modeling and Simulation Concepts. McGill, CA, CS 522 Fall Term 2001. 121