Volantesde inercia

ANÁLISIS Y DISEÑO DE VOLANTES DE
INERCIA DE MATERIALES
COMPUESTOS
Lluís Ripoll Masferrer
2005

Agradecimientos
Agradezco muy especialmente al Dr. José Luis Pérez que ha sido mucho más que un direc-
tor de tesis. Por la oportunidad de introducirme en el mundo apasionante de los volantes
de inercia, por los conocimientos que me ha transmitido y por su experiencia y buen
hacer. Sobre todo, por su paciencia, puesta a prueba en las innumerables horas que me
ha dedicado, y la de su familia, que ha soportado con infinita bondad las incomodidades
causadas por nuestro trabajo.
A los compañeros del área de Enginyeria Mecànica de la UdG. Especialmente a Pere
Maimí por la colaboración que ha sido imprescindible para los resultados logrados. La
comprensión y las ayudas continuas de Narcís Gascons, Joan Andreu Mayugo y Norbert
Blanco. Un recuerdo a nuestro amigo Joan Cabarrocas.
También al Dr. Robert Taylor por su ayuda en los casos especiales de simulación por
elementos finitos y al Dr. Eugeni Valencia por sus orientaciones y consejos.
iii

Índice general
1. INTRODUCCIÓN 1
1.1. Volantes de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Almacenamiento de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2. Elementos de un acumulador cinético . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.3. El rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.4. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Estudio sobre el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Actuales direcciones de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2. Aplicaciones de bajo coste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3. Objetivo de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.4. Alcance del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Principios básicos y estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1. Origen de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2. Modelización para sistemas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3. Materiales aplicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. Organización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. TENSIONES MECÁNICAS 13
2.1. Bases del análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1. Origen de las tensiones mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.2. Elemento circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.3. Esquema de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2. Fuerza centrífuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
v

vi ÍNDICE GENERAL
2.2.1. Ecuaciones para un rotor con simetría circular . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Propiedades del material para fibras orientadas tangencialmente . 18
2.2.3. Ecuaciones para condiciones de tensión plana . . . . . . . . . . . 19
2.2.4. Desplazamiento radial en tensión plana . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.5. Tensiones en condiciones de tensión plana . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.6. Punto singular de la solución en tensión plana . . . . . . . . . . . 26
2.2.7. Ejemplo calculado en tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.8. Cálculo en condiciones de deformación plana . . . . . . . . . . . 31
2.2.9. Ejemplo calculado en deformación plana . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.10. Consideraciones para fibras axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.11. Ejemplo de fibra axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3. Aceleración angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1. La aceleración angular en el rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2. Tensiones de la aceleración angular . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.3. Ejemplo de tensiones de aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Condiciones de contorno interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1. Rigidez interior del rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2. Efecto de la rigidez radial sobre las tensiones . . . . . . . . . . . . 45
3. TENSIONES RESIDUALES DEL MATERIAL 47
3.1. Tensiones térmicas originadas en el curado . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1. Generación de tensiones durante el curado . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2. Deformaciones térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.3. Ecuaciones para condiciones de tensión plana . . . . . . . . . . . 50
3.1.4. Desplazamiento radial en tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.5. Tensiones en tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.6. Punto singular de la solución en tensión plana . . . . . . . . . . . 53
3.1.7. Ejemplo calculado en tensión plana . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.8. Cálculo en condiciones de deformación plana . . . . . . . . . . . 56
3.1.9. Ejemplo calculado en deformación plana . . . . . . . . . . . . . . 59

ÍNDICE GENERAL vii
3.2. Tensiones residuales por hidratación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.1. Absorción de humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.2. Tensiones en condiciones de tensión plana . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3. Condiciones de deformación plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2.4. Combinación de tensiones residuales . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4. MEJORA DE LOS SISTEMAS DE TENSIONES 71
4.1. Estado de deformación plana modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.1. Limitaciones del cálculo en deformación plana . . . . . . . . . . . 71
4.1.2. Deformación axial constante (DAC) . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.3. Método DAC aplicado a las tensiones centrífugas . . . . . . . . . 74
4.1.4. Condición de fuerza axial nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.1.5. Ejemplo del DAC aplicado a las tensiones centrífugas . . . . . . . 78
4.1.7. Método DAC aplicado a las tensiones residuales térmicas . . . . . 81
4.1.8. Método DAC aplicado a las tensiones residuales por hidra-tación 83
4.2. Modelo unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.1. Unificación de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2.2. Zonas axiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.3. Propiedades de las zonas libre y uniforme . . . . . . . . . . . . . . 87
4.2.4. Zona de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.2.5. Función de progresión aproximada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2.6. Rotores de longitud corta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2.7. Consideraciones sobre la tensión cortante axial . . . . . . . . . . 99
4.2.8. Modelo unificado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.2.9. Análisis de otros modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5. TENSIONES RESIDUALES EN ESTADOS NO UNIFORMES 107
5.1. Tensiones de curado a temperatura no uniforme . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1. Curado a temperatura no uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2. La temperatura en función del radio . . . . . . . . . . . . . . . . 108

viii ÍNDICE GENERAL
5.1.3. Desplazamiento radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.1.4. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.1.5. Punto singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.1.6. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.2. Tensiones en estados transitorios de hidratación . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.1. Absorción de humedad en un rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.2.2. Proceso de absorción de humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.3. Distribución aproximada de la humedad . . . . . . . . . . . . . . 119
5.2.4. Desplazamiento radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.2.5. Tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2.6. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.2.7. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6. FORMULACIÓN GENERAL Y MODELOS MULTICAPA 131
6.1. Desarrollo de la formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.1. Formulación general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.2. Condiciones de la formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.1.3. Desarrollo de la formulación general . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1.4. Puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.1.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.2. Aplicación a modelos multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.1. Rotores multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2.2. Nomenclatura y fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.3. Determinación de las constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.2.4. Ejemplo de rotor multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.3. Resistencia ante la rotura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.1. Resistencias para el cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
6.3.2. Resistencia individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.3.3. Criterio de fallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.3.4. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

ÍNDICE GENERAL ix
7. PRETENSADO EN EL BOBINADO 159
7.1. Proceso de pretensado en el bobinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.1. Mejora de tensiones mediante las tensiones residuales . . . . . . . 159
7.1.2. Tensiones residuales de bobinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7.1.3. Ventajas del pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.1.4. Fabricación con pretensado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.1.5. Rigidez radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
7.2. Modelo elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.1. Proceso de estudio de las tensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.2.2. Modelo analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.3. Rotor de un solo material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.2.4. Ejemplo de un rotor de un solo material . . . . . . . . . . . . . . 168
7.2.5. Rotor de varios materiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
7.2.6. Ejemplo de rotor con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.3. Cálculo mediante elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.3.1. Limitación del cálculo directo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
7.3.2. Método de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.3.3. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.4. Consideraciones viscoelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.4.1. Propiedades viscoelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.4.2. Resultados experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.4.3. Reducción a un sistema elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
7.4.4. Curado in situ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.4.5. Propuestas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
8. PRETENSADO TÉRMICO 187
8.1. Rotor de material único curado en dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.1. Estudios sobre las tensiones térmicas . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8.1.2. Tensiones residuales en el curado a temperatura no uniforme . . 187
8.1.3. Proceso de curado en dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
8.1.4. Consideraciones sobre el curado del material . . . . . . . . . . . . 191

x ÍNDICE GENERAL
8.1.5. Tensiones residuales en un rotor homogéneo curado en dos etapas 192
8.2. Rotor con mandrino curado con pretensado térmico . . . . . . . . . . . . 194
8.2.1. Tensiones en un rotor con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . . 194
8.2.2. Proceso de pretensado en un rotor con mandrino . . . . . . . . . 195
8.2.3. Tensiones de pretensado en un rotor con mandrino . . . . . . . . 197
8.2.4. Aumento del pretensado térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.3. Rotor de un solo material curado con pretensado térmico . . . . . . . . . 200
8.3.1. Proceso de curado en tres etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.3.2. Tensiones de pretensado en el curado en tres etapas . . . . . . . 201
8.4. Consideraciones sobre el proceso de curado . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.1. Coeficientes de dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.4.2. Dilataciones en el curado de la resina . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.4.3. Influencia de las dilataciones sobre el pretensado térmico . . . . . 206
9. DISEÑO DE VOLANTES DE INERCIA 209
9.1. Rotores simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1.1. Condiciones del estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1.2. Rotores de pared delgada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
9.1.3. Rotores de pared gruesa y material único . . . . . . . . . . . . . 212
9.1.4. Criterios de optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.2. Rotores multicapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2.1. Optimización de un rotor de dos capas . . . . . . . . . . . . . . . 219
9.2.2. Resultado del rotor de dos capas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
9.2.3. Rotor con capa elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9.3. Rotores con pretensado térmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.3.1. Rotor de fibra de vidrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.3.2. Rotor de fibra de vidrio con mandrino . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.CONCLUSIONES 231
10.1. Sistema analítico de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
10.2. Diseño de volantes de inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

ÍNDICE GENERAL xi
10.3. Futuras líneas de investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Lista de símbolos1
Símbolos generales
a parámetro de anisotropía
aH, aR parámetros generales de los coeficientes de dilatación térmica
b parámetro de fuerza centrífuga
bH, bR parámetros generales de los coeficientes de dilatación por hidratación
c humedad
cr parámetro elástico
c0, ...c5 coeficiente de la ecuación humedad
d parámetro de la deformación axial
e parámetro térmico de temperatura uniforme
e1, e2 parámetros térmicos de temperatura no uniforme
fc fuerza centrífuga unitaria
fθ fuerza unitaria de aceleración
g parámetro de humedad uniforme
g0, ...g4 parámetros de humedad no uniforme
h parámetro de aceleración
k constante elástica (con subíndices)
l longitud axial del rotor
m masa
m exponente de la tensión cortante radial-axial
m variables de integración por partes
n variables de integración por partes
n exponente de la tensión axial
nH, nR parámetros generales del módulo de Poisson
p presión
p parámetro elástico
q parámetro elástico
r radio
rc radio de curado
s parámetro elástico
t espesor de pared del cilindro
1
No se incluyen los símbolos particulares usados en un solo apartado.
xiii

xiv ÍNDICE GENERAL
t0, t1 coeficientes de la ecuación de temperatura
u desplazamiento radial
v velocidad lineal
w desplazamiento axial
x función de integración
y función de integración
z posición axial
A constante de contorno
B constante de contorno
C constante de contorno de tensiones de aceleración
D constante de contorno de tensiones de aceleración
E módulo elástico (con subíndices)
Ec energía cinética
F fuerza (con subíndices)
G módulo de rigidez (con subíndices)
HA, HB coeficientes de la ecuación tensión tangencial
H0, ...H4 coeficientes polinómicos de la ecuación tensión tangencial
Hl, Hll coeficientes logarítmicos de la ecuación tensión tangencial
M momento de un par de fuerzas
RA, RB coeficientes de la ecuación tensión radial
R0, ...R4 coeficientes polinómicos de la ecuación tensión radial
Rl, Rll coeficientes logarítmicos de la ecuación tensión radial
T temperatura
Tc temperatura de curado
Tf temperatura final
U1, ...U5 coeficientes polinómicos de la ecuación desplazamiento radial
Ul, Ull coeficientes logarítmicos de la ecuación desplazamiento radial
S superficie
V volumen
X resistencia longitudinal a tracción
Xc resistencia longitudinal a compresión
Y resistencia transversal a tracción
Yc resistencia transversal a compresión
α coeficiente dilatación térmica (con subíndices)
α aceleración angular
αi, α
0
i parámetros de la matriz para multicapa
αH, αR parámetros de los coeficientes de dilatación térmica
β coeficientes de dilatación por hidratación (con subíndices)
βi, β
0
i parámetros de la matriz para multicapa
βH, βR parámetros de los coeficientes de dilatación por hidratación
γ deformación angular (con subíndices)
ε deformación unitaria (con subíndices)
κ disminución de módulo elástico radial en el bobinado
η parámetro de bobinado
λ coeficiente de conducción térmica

ÍNDICE GENERAL xv
ν Módulo de Poisson (con subíndices)
νH, νR parámetro de relación elástica
ρ densidad
σ tensión (con subíndices)
τ tensión cortante (con subíndices)
υ desplazamiento tangencial
ϕ progresión TP-DAC
ω velocidad angular
Subíndices
e exterior
i interior, número de capa
r dirección radial
w bobinado
z dirección axial
L dirección longitudinal a la fibra
T dirección transversal a la fibra
θ dirección tangencial
Acrónimos
DAC deformación axial constante
DP deformación plana
MEF método de los elementos finitos
TP tensión plana

Capítulo 1
INTRODUCCIÓN
1.1. Volantes de inercia
1.1.1. Almacenamiento de energía
El volante de inercia es, básicamente, un sistema de almacenamiento de energía mecáni-
ca. Su principal característica frente a otros sistemas es la capacidad de absorber y ceder
energía en poco tiempo. Es adecuado para sistemas mecánicos de ciclo energético dis-
continuo donde el periodo de tiempo sea muy corto, por lo que, tradicionalmente, se ha
utilizado en motores y compresores alternativos, prensas y troqueladoras, etc.
En volantes tradicionales la cantidad de energía es menor que en otros sistemas de al-
macenamiento, pero en las últimas décadas se fabrican de materiales compuestos, lo que
ha supuesto un aumento notable de su capacidad de almacenamiento. Esta innovación
permite aplicarlos a campos en los que antes era totalmente impensable, por ejemplo,
para almacenamiento de energía en automóviles, trenes o autobuses, satélites, etc.
Con este nuevo tipo de volantes se superan, en algunos aspectos, los sistemas clásicos de
almacenamiento de energía. Por ejemplo, si se comparan con las tradicionales baterías
químicas, los volantes ofrecen mayor potencia energética, tanto entregada como absorbi-
da. Las baterías, debido a su proceso químico, son muy lentas en el proceso de carga y
descarga, y si se pretende disminuir el tiempo su rendimiento desciende a valores del 20
o el 30%.
Para comparar los acumuladores cinéticos con otros sistemas de almacenamiento se uti-
lizan los conceptos de densidad de energía y de densidad de potencia para expresar la
capacidad de almacenar y de intercambiar energía por unidad de masa del acumulador.
En la figura 1.1 se presenta un gráfico comparativo entre los volantes de inercia y algunos
sistemas comunes aplicados a vehículos, obtenido de Kulkarni (1982) [30]. Se representan
en coordenadas de densidad de energía, en Wh·kg−1
, y densidad de potencia, en W·kg−1
,
las regiones de trabajo de los volantes, las baterías químicas, los motores de combustión
interna y la célula de combustión.
1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
Gasolina-MCI
MgHx-MCI
NiZn
Pb-ácido
Volantes
Metanol-MCI
Metanol
Cel. Comb.
LiAl-FeS2
Batería Al-aire
100
1000
Potencia / masa
(W·kg-1
)
10 100 1000
Energía / masa
(Wh·kg-1
)
Figura 1.1: Comparación de la densidad de potencia en función de la densidad de energía
entre acumuladores de energía: volantes, motores de combustión interna, baterías y células de
combustión, (Kulkarni [30]).
En la figura 1.1 se observa que la densidad de potencia en los volantes es muy eleva-
da comparada con los diversos tipos de baterías químicas, incluso con los motores de
combustión interna. En cambio, su densidad de energía es parecida a las baterías conven-
cionales y es más baja que las baterías especiales y los motores. Por lo tanto, la principal
característica de los volantes es su alta densidad de potencia.
Estos dos parámetros son muy genéricos y dan una visión global de los sistemas. Si se
quiere una comparación completa hay que tener en cuenta otros factores, por ejemplo el
número de ciclos de vida, los costes de fabricación y explotación, etc.
En la figura 1.1 se comparan los volantes con los sistemas más tradicionales pero existen
otros sistemas alternativos, menos conocidos. Por ejemplo en Olszewski y otros (1988)
[36] se comparan con el almacenamiento neumático y se deduce que la eficiencia y la
densidad de energía es más alta en los volantes.
1.1.2. Elementos de un acumulador cinético
En las aplicaciones más clásicas los volantes reciben la energía a través de una transmisión
mecánica, como si fueran un subconjunto de la máquina. En estos casos es habitual
que tengan un multiplicador para aumentar las revoluciones, o incluso un variador para

1.1. VOLANTES DE INERCIA 3
adaptarse a distintos regímenes, como se expone en Jeﬀerson y Ackerman (1996) [25].
Cada vez es más frecuente que el volante incorpore un motor-generador eléctrico propio,
de forma que configura una máquina aislada, conectada al exterior únicamente por cables
eléctricos igual que una batería eléctrica. Su principal ventaja es la versatilidad porque
se adapta fácilmente a cualquier necesidad energética mediante una adecuada regulación
electrónica. Físicamente está formado por cinco elementos básicos, figura 1.2: (1) el rotor,
(2) los cojinetes, (3) el motor-generador, (4) el recipiente de vacío y (5) el sistema de
regulación.
Motor-Generador
Recipiente
Rotor
Cojinetes
Figura 1.2: Elementos de un acumulador cinético.
1 El rotor es el elemento central del acumulador, donde se almacena propiamente la
energía. Está formado principalmente por la masa cilíndrica y el eje central.
2 Los cojinetes de giro suelen ser simples rodamientos de alta velocidad. En mode-
los más sofisticados se montan cojinetes de levitación magnética que eliminan las
pérdidas por rozamiento.
3 El motor-generador convierte la energía eléctrica en cinética y viceversa. Gira soli-
dario al rotor y puede estar situado en paralelo con el disco, como se muestra en la
figura 1.2, o concéntrico a la masa circular. En este último las bobinas estatóricas
se sitúan sobre el eje central fijo y las rotóricas en el interior de la masa cilíndrica.
4 El conjunto está encerrado en un recipiente de protección que evita el acceso a los
elementos móviles. En algunos casos se efectúa el vacío para eliminar el rozamiento
aerodinámico.
5 Además de las partes mecánicas, incorpora un equipo de regulación de la potencia
eléctrica que gestiona el flujo de energía con el exterior.
Este tipo de acumuladores, además de ser versátiles, minimizan las pérdidas por fricción
y la energía se mantiene durante horas o incluso días. Por contra, tienen pérdidas en la
entrada y salida de energía debido al rendimiento eléctrico del motor.

1.1.3. El rotor
En los rotores de la mayoría de aplicaciones actuales los metales de alta resistencia se
sustituyen por materiales compuestos ligeros. Su baja densidad está compensada por el
aumento de la velocidad de giro y es muy frecuente que su velocidad periférica supere la
velocidad del sonido. Hay que tener en cuenta que la densidad del material afecta tanto
a la energía cinética como a la tensión del material, porque ambas son función de la
masa y del cuadrado de la velocidad. Por lo tanto, un material de alta densidad no es
necesariamente mejor para un volante, su energía cinética máxima depende tanto de la
masa como de la resistencia.
Para una misma geometría la energía cinética del rotor depende de la tensión admisible
y es independiente de la densidad, como se expone en Genta (1985) [19]. En efecto, como
se observa en la ecuación 1.11
la energía cinética Ec de un volante es función de la tensión
admisible σ, del volumen de material V y de un coeficiente geométrico K.
Ec = K V σ (1.1)
La energía cinética depende, además del material, de la geometría del rotor. La fuerza
centrífuga de una porción de masa se compensa con otra opuesta situada a 180o
y el
recorrido de la fuerza por el interior del rotor determina los puntos sometidos a tensión.
Luego, la configuración geométrica de un rotor depende tanto de la posición de la masa
como de las zonas intermedias preparadas para resistir el flujo de fuerzas. En este sentido,
los rotores aplicados a volantes de inercia tienen unas determinadas configuraciones que
optimizan los resultados. El artículo de Post y Post (1973) [41] hace un resumen de los
tipos básicos de rotores y compara sus principales características.
Las configuraciones de los rotores metálicos no son útiles para materiales compuestos,
como expone Genta (1985) [19]. Por ejemplo, la unión de la llanta con el eje mediante
un disco de espesor axial variable, frecuente en los rotores metálicos, es perjudicial para
los materiales compuestos. Esta configuración es excesivamente rígida y debe sustituirse
por una unión elástica que permita cierta libertad radial a la llanta.
En Post y Post (1973) [41] y Genta (1985) [19] se presentan las configuraciones más
típicas para los rotores de materiales compuestos, que se resumen en la figura 1.3.
Las configuraciones constructivamente más complejas tienen un funcionamiento mecánico
más simple. En el modelo (a) el material de los radios es más elástico que en la llanta
y permiten la necesaria deformación radial. En los casos (b) y (c) los aros curvados
tienen también elasticidad radial. En el (f) la flexión del cubo en forma de z permite
simultáneamente el desplazamiento axial y radial. En los casos (d) y (e) el rotor está
formado por múltiples anillos, en el primero están unidos por una capa fina de material
elastómero que permite un desplazamiento radial entre ellos y en el segundo cada anillo
es de un material compuesto distinto, con elasticidad creciente en el interior.
1
Se demuestra con las ecuaciones 9.1 y 9.2 del capítulo 9

1.1. VOLANTES DE INERCIA 5
(d) Anillos con elastómero (e) Híbrido multicapa (f) Cubo cónico
(c) Aros axiales
(b) Aros radiales
(a) Radios
Figura 1.3: Configuraciones de rotores para volantes y sus uniones con el eje.
1.1.4. Aplicaciones
La aplicación más destacable de los últimos años ha sido para el suministro de energía
eléctrica a satélites en la industria aeroespacial. Durante las horas solares se almacena la
energía proveniente de las placas fotovoltaicas, de forma similar a las baterías eléctricas
pero con menos peso y mayor fiabilidad, Christopher y Beach (1998) [8].
Otro campo es la aplicación a los vehículos urbanos, cuya velocidad es discontinua y la
energía cinética se pierde en forma de calor durante las frenadas. El acumulador cinético
es capaz de almacenar la energía de la frenada porque su potencia, a diferencia de las
baterías químicas de la figura 1.1, es suficiente para absorber la energía en unos segundos
y para devolverla en la aceleración. Se aplica a automóviles, Álvarez y otros (1998) [1] y
a autobuses, Jeﬀerson y Ackerman (1996) [25].
En los trenes, tanto urbanos como interurbanos, trabajan igual que en los vehículos
urbanos y se aplican tanto si el motor es eléctrico como de combustión interna, Herbst
y otros (1998) [24]. De forma similar aunque para menos energía se aplica a los tranvías
urbanos, Jeﬀerson y Ackerman (1996) [25]. En cambio, en los trenes de alta velocidad
es distinto, el acumulador debe estar situado en las estaciones porque su masa es muy
grande comparada con la masa del tren.
Existen otras aplicaciones, por ejemplo en las redes de suministro de energía eléctrica
para evitar los cortes de corriente, Koch (1997) [28]. Se utilizan como fuente complemen-
taria durante las interrupciones de corta duración, con periodos de tiempo entre 10 y 60
segundos, según Darrelman (1999) [10].

1.2. Estudio sobre el rotor
1.2.1. Actuales direcciones de estudio
Para mejorar las aplicaciones de los volantes es necesario aumentar la energía específica
del rotor, tanto por unidad de peso como de volumen. Pero en la mayoría de aplicaciones
interesa disminuir los costes de fabricación para que sean competitivos con otros sistemas.
Lo primero se consigue básicamente aumentando la velocidad de giro, para lo segundo,
más complejo, se debe combinar la utilización de materiales baratos con la simplificación
de los procesos de fabricación. En ambos casos es necesario estudiar nuevas formas para
aumentar la resistencia del rotor.
u u
Figura 1.4: La deformación radial del material dificulta la unión con el eje.
Según Genta (1985) [19] los principales problemas en un rotor de material compuesto son
la baja resistencia a tensión radial y la unión de la llanta con el eje interior. La tensión
radial en el anillo sólo aparece si el espesor de pared es grande, tiene poca importancia
en los volantes metálicos pero es muy perjudicial en materiales compuestos2
.
La unión con el eje es otro tema difícil en los volantes. Existen dos sistemas excluyentes:
uniones muy rígidas y uniones elásticas. Las rígidas soportan la fuerza centrífuga me-
diante la tensión radial y se utilizan en volantes metálicos. Las elásticas permiten el
desplazamiento radial u de la llanta, como se muestra en la figura 1.4, y la fuerza cen-
trífuga sólo crea tensión tangencial. En los volantes de material compuesto se utilizan las
uniones elásticas para disminuir la tensión radial.
Esta problemática ha generado diversas líneas de estudio. Una solución es dividir el rotor
en anillos concéntricos unidos por finas capas de material muy elástico, como se muestra
en el tipo (c) de la figura 1.3. En Genta (1985) [19] se describe y analiza esta solución,
pero últimamente han aparecido nuevas investigaciones con combinaciones de materiales
más complejas, por ejemplo en Gabrys y Bakis (1997) [17].
Una variante de la solución anterior es utilizar una matriz de módulo elástico muy bajo
en los rotores fabricados de fibra bobinada. La elasticidad de la matriz permite unas
2
Esta tensión radial será motivo de estudio en este trabajo.

1.2. ESTUDIO SOBRE EL ROTOR 7
dilataciones en dirección radial, perpendicular a la fibra, que son suficientes para anular
la tensión radial. Esta tipología también está ensayada en Gabrys y Bakis (1997) [17].
La solución más estudiada es el rotor híbrido multicapa, representado en la figura 1.3(e).
Su proceso de distribución de tensiones y deformaciones está descrita de forma resumida
en Kitade (2000) [27]. Actualmente se siguen estudiando nuevas formas de optimización
mediante combinación de materiales y su posición radial, como en Ha y otros (1999) [21]
y Ha y otros (2001) [22], en los que se maximiza la energía almacenada manteniendo las
tensiones dentro del límite de resistencia del material.
Otra solución estudiada es la creación de tensiones residuales de compresión mediante
un bobinado con hilo muy tensado. Se han publicado algunos ensayos experimentales
en Hahn y Kempner (1993) [23] y Kempner y Hahn (1995) [26] aplicados a tubos para
fluidos a presión, aunque los resultados son poco positivos. Gabrys y Bakis (1998) [18]
lo aplica a rotores y ensaya el bobinado con un curado in situ, pero los resultados siguen
siendo limitados.
Ha y otros (1998) [20] estudia la optimización a través de sistemas mecánicos de fabri-
cación, utiliza múltiples anillos del mismo material montados con interferencia radial. Los
resultados en los cálculos teóricos son buenos pero su dificultad está en la fabricación.
También existen estudios sobre la influencia del mandrino metálico en la creación de
las tensiones residuales, White y Zhang (1993) [53], para aplicaciones con proceso de
fabricación simple.
Las mejoras en los acumuladores cinéticos no se limitan al rotor. Se están estudiando otros
campos, por ejemplo, en la suspensión magnética del rotor para disminuir el rozamiento
y acumular energía durante periodos más largos, en los sistemas eléctricos de gestión de
la energía para facilitar el intercambio, etc. Estos campos son muy interesante pero se
apartan mucho del objetivo del presente trabajo.
1.2.2. Aplicaciones de bajo coste
Los objetivos en el estudio del rotor son distintos según las diversas aplicaciones. En los
satélites lo más importante es minimizar el peso, debido al enorme coste de la puesta en
órbita, y en menor medida el volumen. Los costes del material y de fabricación son poco
importantes en comparación con aquéllos.
En las aplicaciones a vehículos móviles, automoción, trenes, etc. el peso y el volumen
tienen una importancia limitada, en cambio los costes son esenciales debido a las grandes
series de producción.
En las aplicaciones terrestres inmóviles, redes eléctricas, etc. el peso y el volumen no
tienen importancia, porque se dispone de más espacio pero, en cambio, el coste es decisivo.
En estas dos últimas y, sobre todo, si se pretende conseguir que la aplicación sea gene-
ralizada, el acumulador debe tener un coste limitado. En las innovaciones no es suficiente
avanzar en la cantidad de energía por unidad de peso, hay que utilizar procesos de fa-
bricación más económicos.

Los rotores híbridos multicapa perfeccionados suelen tener unos costes de material eleva-
dos. Se fabrican con múltiples materiales de módulo elástico progresivo, en donde la fibra
de vidrio y la de carbono son la más elástica y la más rígida respectivamente. Para con-
seguir una progresión uniforme es necesario utilizar materiales de elasticidad intermedia
poco usuales y, por lo tanto, más caros, de forma que los costes de material pueden ser
superiores incluso al del rotor construido exclusivamente en fibra de carbono.
1.2.3. Objetivo de la tesis
El estudio que se presenta en esta tesis está en la línea de conseguir que los acumuladores
cinéticos sean asequibles a las aplicaciones más corrientes de la industria, mejorando las
características de los rotores en las aplicaciones de bajo coste. En este sentido se estudian
soluciones empleando materiales corrientes y procesos de fabricación simples, de forma
que se puedan llevar a la práctica con medios económicos más asequibles.
Para ello se han propuesto dos objetivos. El primero es completar el sistema analítico
para el cálculo de rotores fabricados con materiales compuestos, atendiendo a todos los
tipos de cargas necesarias para el diseño y determinando las componentes de la tensión
que influyen en el cálculo por resistencia.
El segundo es analizar el diseño de rotores para las aplicaciones de bajo coste. Se in-
tentan proponer configuraciones alternativas para el rotor. Algunas de ellas necesitan
procesos de fabricación particulares que se deben simular mediante un modelo de cálculo
propio. Finalmente, partir de las limitaciones energéticas de los rotores simples se debe
determinar la mejora en las prestaciones el rotor.
1.2.4. Alcance del estudio
En el análisis del rotor se elabora un sistema analítico de cálculo completo que permite
estudiar distintos diseños de rotor. Para su desarrollo se parte de los principios básicos
generales y se presentan cada uno de los pasos del proceso analítico hasta obtener la
solución global. En él se tienen en cuenta todas las posibles cargas del rotor que afectan
de forma significativa a su resistencia. Se determina el estado de tensiones completo en
todos los puntos para su aplicación al cálculo de la resistencia.
En la predicción de la rotura se considera que para el estudio de los diseños es más
importante el análisis comparativo de las diversas configuraciones que la obtención de
valores absolutos muy precisos. Así, en el cálculo de resistencia, al igual que en la mayoría
de autores, no se consideran los efectos de la fatiga, ni tampoco se entra en el estudio
a fondo de los criterios de fallo estático. Estos dos temas serían motivo de trabajos
posteriores cuando se apliquen a proyectos concretos.
Para las propiedades del material se toman los valores comunes aceptados entre los au-
tores y para las propiedades especiales aplicadas en los nuevos métodos de fabricación se
toman de resultados experimentales similares de otros autores. Los materiales compuestos
tienen un comportamiento menos regular que los metales y sus propiedades pueden va-

1.3. PRINCIPIOS BÁSICOS Y ESTRUCTURA 9
riar según las condiciones de fabricación y, por lo tanto, los resultados en este nivel de
estudio tienen un valor solamente especulativo. Para confirmar la validez final de los re-
sultados sería necesario continuar este estudio mediante un análisis más profundo sobre
los materiales y sobre todo realizar los ensayos experimentales pertinentes.
Dentro del rotor se pretende estudiar solamente la llanta porque es el núcleo principal
del almacenamiento de energía, no se incluyen los otros elementos secundarios. Se ini-
cia con el estudio de las configuraciones básicas de la llanta, siguiendo los criterios de
optimización propios de las aplicaciones industriales del rotor. Posteriormente se amplia
a nuevas configuraciones obtenidas modificando el proceso de fabricación, con el objeto
de mejorar los resultados manteniendo los coste. En ambos casos se pretende deducir
criterios generales para el diseño, que posteriormente puedan se aplicar a proyectos de
rotores.
Aunque la condición básica de este trabajo sea la de conseguir rotores de bajo coste,
tampoco interesa realizar un estudio profundo de los costes, porque dependen de la
fabricación particular. Se pretende estudiar las configuraciones y los procesos que no
supongan, al menos inicialmente, unos costes elevados. Para ello se utiliza la fibra de
vidrio como material básico y el bobinado como proceso elemental de fabricación. En
este sentido se intentan utilizar rotores que incluyen el mandrino metálico de bobinado
para ahorrar el proceso de extracción y simplificar la unión al eje.
1.3. Principios básicos y estructura
1.3.1. Origen de las tensiones
La cantidad de energía almacenable está limitada principalmente por las tensiones in-
ternas del rotor, ya que en el resto de elementos no ofrecen excesivos problemas. Los
cojinetes de apoyo sólo presentan limitaciones de velocidad si el peso es muy elevado, y
el motor-generador y el sistema eléctrico no tienen problemas importantes en el límite
de velocidad dentro de los rangos habituales, como en el caso de Ashley (1996) [2]. Si
el rotor está dirigido a las aplicaciones de altas prestaciones esta problemática es muy
distinta, como en Borneman y otros (1994) [4].
Las tensiones del rotor tienen dos orígenes: las provenientes de las exigencias mecánicas y
las generadas por el propio material, también llamadas tensiones residuales. Estas últimas
permanecen en ausencia de velocidad y, por lo tanto, no dependen del nivel de energía
almacenada.
Las tensiones mecánicas están originadas principalmente por la fuerza centrífuga, aunque
también por la aceleración angular, el efecto giroscópico, el peso propio, el desequilibrio
de masas y las vibraciones, como se expone en Genta (1985) [19]. Estas se describen y
valoran en el apartado 2.1.1.
Las tensiones residuales están originadas por el propio material y pueden ser de dos tipos:
las de curado o térmicas y las de hidratación, estudiadas en Springer y Tsai (1981) [47].

1.3.2. Modelización para sistemas de cálculo
El estudio de las tensiones en un rotor tiene dos partes: la primera calcular los límites
de utilización de un rotor, o sea, los valores máximos de la velocidad y la aceleración, y
la segunda, menos directa, conocer los parámetros más influyentes para proponer nuevas
formas y optimizar el diseño. Para ello, se deducen las expresiones analíticas de las
deformaciones y las tensiones y, paralelamente, se aplica el método de los elementos
finitos sólo en algunos casos particulares.
El estudio mediante la formulación analítica permite entender los fenómenos internos
que crean tensiones y, por lo tanto, analizar las causas de rotura del rotor. Se puede,
entonces, valorar fácilmente la influencia de cada parámetro y las consecuencias de una
posible variación. Con estos conocimientos es más rápido crear nuevos modelos con ciertas
posibilidades de éxito.
Los modelos de elementos finitos aplicados a un rotor calculan las tensiones para una
geometría concreta con resultados más completos y más precisos que los desarrollados
en este trabajo, pero en la práctica es un método más laborioso y más lento para probar
nuevas geometrías, como en el caso de Nagy y otros (1999) [35]. Además, la relación entre
características finales y parámetros es menos evidente y, en consecuencia, las modifica-
ciones se realizan casi por tanteo, Wu y otros (1995) [54].
En el presente estudio se analiza el comportamiento del rotor principalmente a través de
las fórmulas analíticas, como hacen la mayoría de autores citados en la bibliografía. Se
establecen los principios básicos y se deducen las ecuaciones que describen el compor-
tamiento del rotor. En ellas se utilizan parámetros que sean lo más comprensibles posibles
para analizar la causa de las tensiones. Las fórmulas finales se han simplificado al máxi-
mo y se componen de términos polinomiales en función del radio, en los que se agrupan
los factores de las distintas cargas. En algunos casos, después de deducir una primera
expresión basada en principios particulares, se amplía para generalizar su aplicación y
optimizar el resultado.
Después de cada análisis se aplican las fórmulas a ejemplos concretos para entender la
naturaleza del fenómeno y comprobar la coherencia de los resultados. Los ejemplos de las
deducciones más significativas se complementan con cálculos mediante elementos finitos
para verificar la correspondencia de los resultados.
1.3.3. Materiales aplicados
El estudio está orientado a los materiales compuestos con fibras en una sola dirección que
son los usuales en los volantes de altas velocidades, como se ha descrito anteriormente.
Se omite la formulación aplicada a materiales isótropos, muy comunes en los estudios
clásicos, aunque se deducen como un caso particular de las ecuaciones generales. Para
los ejemplos se utilizan los materiales compuestos más representativos en los rotores, la
fibra de vidrio y fibra de carbono con matriz epoxi.
La fabricación de un rotor con estos tipos de materiales se realiza mediante bobinado

1.3. PRINCIPIOS BÁSICOS Y ESTRUCTURA 11
de una mecha de fibras sobre un mandrino. El rotor queda formado por fibras unidi-
reccionales orientadas circularmente de forma que consigue una gran resistencia a las
tensiones tangenciales. A esta orientación, en dirección tangencial, se la denomina "fi-
bras a 0o
", y se toma como referencia porque es la dirección natural.
También se contempla, como caso especial, que un rotor pueda contener fibras en la
dirección axial y se denominan "fibras a 90o
". El presente trabajo no se aplica a otras
orientaciones con ángulos distintos a estos dos. En la bibliografía hay pocos estudios de
rotores con fibras orientadas en direcciones distinta a estas dos, Ha y otros (1998) [20]
θ
z
Fibras 0º Fibras 90º
Figura 1.5: Orientación de las fibras: 0o tangencial y 90o axial.
Interesa que las fibras estén orientadas a 0o
para resistir la fuerza centrífuga del rotor a
través de la componente tangencial de la tensión. Las fibras a 90o
no resisten tensiones
tangenciales, ni las radiales, porque ambas direcciones son normales a esta dirección, sólo
resisten tensiones axiales, que aparecen en algunos rotores de gran longitud.
1.3.4. Organización
El presente trabajo se compone de distintas fases de estudio y aplicación. En los seis
primeros capítulos se deducen las ecuaciones que rigen el comportamiento de un rotor
sometido a cargas. Los restantes, basándose en estas ecuaciones, se destinan a analizar y
mejorar el diseño.
En los capítulos 2 y 3 se exponen los principios básicos del origen de las tensiones mecáni-
cas y residuales respectivamente, y se deducen las ecuaciones clásicas que son la base del
resto del estudio.
En los capítulos 4 y 5 se amplían las ecuaciones de los capítulos anteriores para mejorar
el cálculo y ampliar sus aplicaciones. En el capítulo 4 se analizan y se perfeccionan los
sistemas de cálculo y se propone uno nuevo que unifica los anteriores. El capítulo 5 es
una ampliación del 3, en el cual se calculan las tensiones residuales que se crean bajo
estados no uniformes de temperatura y humedad.
En el capítulo 6 se deduce una formulación general que unifica las tensiones de las distintas
cargas, estudiadas en los capítulos anteriores, y que se aplica a rotores multicapa. También
se determina la resistencia final del rotor que se utiliza para valorar el límite de un diseño.

Desde el punto de vista puramente matemático el planteamiento del capítulo 6 podía
haberse adoptado desde el capítulo 2, al menos en lo referente a los sistemas de cálculo
tradicionales, pero se ha creído conveniente presentar el estudio de tensiones de forma
gradual. Con ello se puede profundizar más en los aspectos técnicos de cada tipo de carga
y dejar la formulación matemática global para el final.
En los capítulos 7 y 8 se estudian dos técnicas de fabricación para mejorar las prestaciones
del rotor. En el capítulo 7 se elabora un sistema de cálculo de las tensiones de bobinado,
se estudian sus limitaciones y se proponen posibles mejoras. En el 8 se propone un
nuevo camino de mejora, aportación original respecto a la bibliografía, basado en una
modificación del proceso de curado del material.
Finalmente, en el capítulo 9, se aplican los sistemas de cálculo anteriores y se exponen
algunos parámetros para valorar el rendimiento energético de un rotor. Para concluir se
determina el límite energético de las configuraciones clásicas y se comprueba la mejora
que se obtiene aplicando las técnicas propuestas en los capítulos anteriores.

Capítulo 2
TENSIONES MECÁNICAS
2.1. Bases del análisis
2.1.1. Origen de las tensiones mecánicas
Las tensiones de origen mecánico son más importantes que las tensiones residuales ori-
ginadas por el propio material. Están causadas, como se ha descrito en el apartado 1.3.1,
por la fuerza centrífuga, la aceleración angular, el efecto giroscópico, el peso propio, el
desequilibrio de masas y las vibraciones.
Las tensiones originadas por la fuerza centrífuga son totalmente internas al rotor y se
orientan principalmente en dirección tangencial y radial. Sus valores son muy elevados y
constituyen la causa más importante de rotura.
La aceleración angular genera tensiones cortantes debido al par motor. Suelen ser des-
preciables en el cálculo del rotor, aunque en algunos casos especiales, en los que interesa
una rápida variación de energía almacenada, pueden llegar a ser importantes.
El volante de inercia de un acumulador cinético tiene un efecto giroscópico importante.
Si está montado sobre un sistema móvil con cambios bruscos de dirección, por ejemplo
en vehículos, se generan fuerzas que tienden a conservar la posición. Pero se reducen si
el volante se apoya sobre soportes elásticos dotados de la libertad angular necesaria.
Las fuerzas del peso propio son muy pequeñas comparadas con las de inercia y en volantes
de materiales compuestos generan unas tensiones totalmente despreciables.
El desequilibrio de masas crea una fuerza entre la zona desequilibrada del rotor y los
cojinetes de apoyo. En un rotor de alta velocidad podrían ser muy importantes si no se
controlan mediante una fabricación adecuada. Los sistemas de compensado de masas del
rotor permiten mantener estas fuerzas dentro de unos límites tolerables.
Las tensiones generadas por vibraciones son alternas y podrían producir fatiga pero se
procura que su valor sea mínimo. Las generadas por la dinámica del rotor son inaprecia-
bles, sólo existen pequeñas oscilaciones originadas por el motor. Las debidas a los modos
13

14 CAPÍTULO 2. TENSIONES MECÁNICAS
propios de vibración del rotor se tienen en cuenta durante el diseño y se procura que las
frecuencias naturales estén lejanas de la velocidad de giro para evitar el acoplamiento con
el desequilibrio residual. Finalmente, el eje de rotación se monta en la misma dirección
que la gravedad para que la fuerza peso sea constante a lo largo de una vuelta.
Para valorar su importancia en un rotor, Genta (1983) [19] presenta una tabla de valores
comparativos de las tensiones equivalentes respecto de la resistencia del material. Estos
valores se refieren al punto más tensionado de un volante clásico formado por llanta y
brazos y son sólo orientativos porque varían mucho con la configuración geométrica.
Carga σ0
/σmáx
Fuerza de inercia 1/1,45
Momento giroscópico 1/20
Peso propio 1/150
Torsor de aceleración 1/1700
En la pràctica las tensiones del momento giroscópico son despreciables si se apoya sobre un
soporte elàstico. Las del peso propio son pequeñas, especialmente en rotores de material
compuesto, y son constantes a lo largo de una vuelta si el eje es vertical. En cambio, las
de aceleración pueden ser elevadas en aplicaciones especiales con tiempo de aceleracón
pequeño. Las dos primeras no se tienen en cuenta en los trabajos consultados y esta
última sólo en algunos, por ejemplo en Portnov y otros [40] (2004). Por lo tanto, en este
trabajo se analizan sólo las tensiones de la fuerza centrífuga y las de aceleración.
2.1.2. Elemento circular
En los volantes de alta velocidad solamente se contemplan geometrías circulares con
simetría axial. Antiguamente se construían llantas unidas al eje central mediante un
número determinado de radios pero se ha demostrado que los resultados no son buenos
para altas velocidades. También existen algunos modelos de volantes de configuración
totalmente radial, sin llanta circular, pero tampoco son los óptimos.
z
r
σr
σθ σz
θ
Figura 2.1: Coordenadas cilíndricas del rotor y direcciones de las tensiones.

2.1. BASES DEL ANÁLISIS 15
En el cálculo se utilizan coordenadas cilíndricas porque describen con más precisión y
simplicidad la geometría y las cargas del rotor, y facilita la formulación analítica.
El análisis de las tensiones se desarrolla a partir del elemento diferencial de la figura 2.2.
Inicialmente sólo se analizan las tensiones en el plano radial, las tensiones en dirección
axial se introducirán más adelante. Se incluyen las tensiones normales, en direcciones
tangencial σθ y radial σr, y la tensión cortante τrθ. En su interior se generan dos fuerzas
de inercia: fc debida a la velocidad de giro ω y fθ a la aceleración angular α.
σθ
σr+dσr
fc
r
ω, α r
z
τrθ+dτrθ
dr
dθ
σθ+dσθ
τrθ
σr
τθr
τθr+dτθr
fθ
Figura 2.2: Tensiones en un elemento diferencial plano del rotor.
De la suma de fuerzas en dirección radial y circunferencial de dichas fuerzas se deducen
las ecuaciones de equilibrio, 2.1
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
∂σr
∂r
+
1
r
∂τrθ
∂θ
+
1
r
(σr − σθ) + fc = 0
∂τrθ
∂r
−
1
r
∂σθ
∂θ
+
2
r
τrθ + fθ = 0
(2.1)
Las dos fuerzas internas generadas por unidad de volumen están en función de la densidad
del material ρ, y del radio r. Además, la fuerza centrífuga fc es función de la velocidad
angular ω, y fθ de la aceleración angular α.
fc = ρrω2
; fθ = ρrα (2.2)
A estas consideraciones de equilibrio de fuerzas hay que añadir las consideraciones ge-
ométricas o cinéticas. En los cuerpos circulares los desplazamientos y deformaciones en las
direcciones tangencial y radial no son independientes entre sí, las deformaciones unitarias
tangencial εθ, radial εr y angular γrθ se relacionan con los desplazamientos tangencial υ
y radial u de la figura 2.3 mediante las ecuaciones cinéticas 2.3

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
1
r
∂υ
∂θ
+
u
r
εr =
∂u
∂r
γrθ =
1
r
∂u
∂θ
+
∂υ
∂r
−
υ
r
(2.3)
θ
v
u
r
γrθ
dr
rdθ
Figura 2.3: Desplazamientos: tangencial υ, radiales u y angular γrθ.
Es importante destacar que el desplazamiento radial u genera simultáneamente una de-
formación radial εr y una tangencial εθ, y es debido a la geometría cerrada del cilindro,
en donde el perímetro es función del radio. Esta dependencia geométrica origna algunos
efectos cruzados entre las tensiones tangencial y radial. Algunos son favorables, por ejem-
plo, la fuerza centrífuga, que es radial, ge-nera también tensión tangencial, pero otros son
perjudiciales, por ejemplo, una tensión tangencial que no sea proporcional al radio ge-
nera tensión radial. Esta dependencia complica el comportamiento del rotor y obliga a
un estudio más profundo.
El desplazamiento axial en z, en cambio, es geométricamente independientes de los des-
plazamientos tangenciales y radiales, únicamente se genera una pequeña deformación por
efecto Poisson. De ahí que el comportamiento en la dirección axial sea menos importante.
2.1.3. Esquema de resolución
En el estudio de deformaciones y tensiones de origen mecánico se analizan por separado
los efectos de la fuerza centrífuga y de la aceleración angular. Las tensiones creadas por
cada una de ellas son independientes.
Ambos estudios se aplican primero para fibras orientadas tangencialmente (0o
) y después
a fibras axiales (90o
). Las tangenciales son más importantes y, si no se indica lo contrario,
se considera que todas las capas están orientadas en esta dirección. Las axiales son muy
raras en volantes, sólo tienen interés en ciertas aplicaciones de multicapa como se ha
comentado en el capítulo 1.
El cálculo de tensiones se realiza bajo las hipótesis de contorno clásicas: tensión plana y
deformación plana. Primero se resuelve en condiciones de tensión plana y posteriormente

2.2. FUERZA CENTRÍFUGA 17
en deformación plana. La tensión plana, que considera una tensión axial nula, simula
un volante de pequeña longitud, y la deformación plana, que considera una deformación
axial nula, se utiliza para longitud grande. Este último caso se estudia más a fondo en el
capítulo 4.
En todos los casos se sigue el mismo proceso de cálculo. Partiendo de las ecuaciones
elásticas del material y de las ecuaciones cinéticas de la geometría se deducen las expre-
siones de las tensiones en función del desplazamiento radial u o del circunferencial υ. Con
estas tensiones y la ecuación de equilibrio de fuerzas se obtiene la ecuación diferencial del
desplazamiento en función del radio, que una vez resuelta se sustituye en las ecuaciones
de la tensión anteriores. Las ecuaciones finales permiten determinar el desplazamiento y
las tensiones en función del radio r.
2.2. Fuerza centrífuga
La fuerza centrífuga es la fuente más importante de tensiones y requiere un estudio
muy detallado. La optimización de la geometría de un rotor pasa en gran medida por la
minimización de sus efectos sobre la resistencia, de manera que su análisis es el punto
central del estudio de un volante de inercia.
2.2.1. Ecuaciones para un rotor con simetría circular
El comportamiento analítico del rotor se deduce de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas
2.1 y de las ecuaciones cinéticas 2.3, que se simplifican notablemente en esta geometría.
Si la velocidad es constante y, por lo tanto, la aceleración angular es nula, la fuerza de
la aceleración fθ es cero. Además, si el rotor tiene simetría circular todos los parámetros
son independientes de la posición angular y sus derivadas respecto de ∂θ son nulas, con lo
que, las dos ecuaciones 2.1 quedan independientes, la primera con las tensiones normales,
σθ y σr, y la segunda con la tensión cortante, τrθ.
En este caso, para el cálculo con fuerza centrífuga es suficiente considerar la primera
ecuación, sin el término en ∂θ
∂σr
∂r
+
1
r
(σr − σθ) = −fc (2.4)
En las ecuaciones cinéticas 2.3 la condición de simetría anula los siguientes términos: la
derivada ∂θ, el desplazamiento tangencial υ y la deformación angular γrθ. Por lo cual,
las ecuaciones 2.3 se simplifican y se reducen a dos ecuaciones
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ =
u
r
εr =
∂u
∂r
= u,r
(2.5)

En ellas las deformaciones, εθ y εr, son función solamente del desplazamiento radial u y
de su derivada con respecto del radio u,r.
2.2.2. Propiedades del material para fibras orientadas tangen-
cialmente
Si el rotor está sometido únicamente a fuerza centrífuga se pueden admitir ciertas sim-
plificaciones en la ecuación constitutiva del material.
En la figura 2.2 se aplica solamente la fuerza centrífuga fc y se crean las tensiones normales
en dirección radial σr y en dirección tangencial σθ. La tensión axial σz depende del efecto
Poisson y su valor es mucho menor que las otras, incluso, en rotores de poca longitud
es prácticamente nula. Ésta será objeto de estudio más adelante, principalmente en el
capítulo 4. Las tensiones cortantes se pueden considerar nulas: la tensión τθr es función
sólo de la fuerza de aceleración fθ, la tensión τrz es muy pequeña porque está creada por
las variaciones de σz y la tensión τzθ es nula a causa de la simetría del rotor sobre el eje
axial z.
En estas condiciones el estudio del comportamiento del material se reduce a determinar
las tres tensiones normales, tangencial θ, radial r y axial z, y sus deformaciones. Luego
la ecuación elástica es
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
εz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νθz
Ez
−
νrθ
Eθ
1
Er
−
νrz
Ez
−
νzθ
Eθ
−
νzr
Er
1
Ez
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
σz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(2.6)
Cabe destacar que la matriz de elasticidad es simétrica y, en consecuencia, se cumplen
las relaciones
νrθ
Eθ
=
νθr
Er
;
νzθ
Eθ
=
νθz
Ez
;
νzr
Er
=
νrz
Ez
(2.7)
Esta ecuación es válida para cualquier material anisótropo y se puede simplificar con
algunas igualdades en el caso concreto que sea ortótropo.
En los volantes de inercia, como se ha dicho anteriormente, el material del rotor es siempre
ortótropo. Además, para resistir la fuerza centrífuga sus fibras se orientan a 0o
, o sea, la
dirección tangencial θ coincide con la longitudinal L de las fibras, y la radial r y la axial
z con la transversal T, como se observa en la figura 2.4. En este trabajo se considerará
que tienen esta dirección, excepto que no se diga lo contrario. También se considerará
que las dos direcciones transversales son idénticas y se cumplen las igualdades

θ (L)
r (T)
z (T)
Figura 2.4: Orientación tangencial de las fibras (0o), direcciones: L longitudinal y T transversal
a las fibras
Er = Ez ; νrz = νzr ; νθz = νθr (2.8)
Esta relación se comprueba según los coeficientes de Poisson de la figura 2.5
σz
εr
(νrz)
σz
εθ
(νθz)
εθ
σr
(νθr)
εz
σr
(νzr)
r
θ
z
Figura 2.5: Coeficientes de Poisson en fibra a 0o
En la formulación analítica no se incluirán estas igualdades para no perder el origen de
cada uno de los parámetros, a pesar de que simplificarían las ecuaciones 2.7 y 2.8. Sus
valores se tendrán en cuenta en las ecuaciones finales al sustituir por las propiedades
longitudinales o transversales de la fibra.
2.2.3. Ecuaciones para condiciones de tensión plana
Las ecuaciones anteriores se simplifican si se considera que el sistema cumple las condi-
ciones de tensión plana en las direcciones θ y r. Su resolución es mucho más simple que
el sistema global con todas las tensiones y no se pierde apenas precisión en los resulta-
dos cuando el rotor tiene poca longitud axial. Es el sistema utilizado por la mayoría de
autores.
La ecuación elástica 2.6 queda reducida a los parámetros relativos a los ejes θ y r, porque
esta condición supone que la tensión axial debe necesariamente ser nula, σz = 0, y la
deformación axial no interviene en el cálculo. Luego, la ecuación queda reducida a

⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νrθ
Eθ
1
Er
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(2.9)
Para el desarrollo es útil disponer de las tensiones en función de las deformaciones
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
EθEr
1 − νθr νrθ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Er
νrθ
Eθ
νθr
Er
1
Eθ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(2.10)
A su vez las deformaciones están en función del desplazamiento radial según las ecua-
ciones cinéticas 2.5. Sustituyendo y simplificando algunas propiedades del material según
las igualdades 2.7 se obtienen las ecuaciones básicas de las tensiones en función del de-
splazamiento radial
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ =
Eθ
1 − νθrνrθ
³u
r
+ νθr u,r
´
σr =
Er
1 − νθrνrθ
³
νrθ
u
r
+ u,r
´
(2.11)
Estas tensiones junto con la derivada de la tensión radial σr respecto del radio, designada
por σr,r
σr,r =
Er
1 − νθrνrθ
³
νrθ
u,r
r
− νrθ
u
r2
+ u,rr
´
deben cumplir la ecuación de equilibrio 2.4, y se obtiene la ley de desplazamiento
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u = b r (2.12)
en la cual se han agrupado los factores constantes en dos parámetros, que se denominan
a y b, y se definen de la siguiente forma
a =
r
Eθ
Er
; b = −
1 − νrθνθr
Er
ρ ω2
(2.13)
El parámetro a es función únicamente del material y representa el grado de anisotropía
de las propiedades elásticas, en este caso del módulo elástico. Dicho parámetro tiene gran
importancia para el desarrollo analítico y es un factor decisivo en las ecuaciones finales.

El b es función principalmente de la fuerza centrífuga, dada por el factor ρω2
, y de algunas
propiedades del material. No tiene un significado tan claro como el de a, se ha definido
de esta forma simplemente para agrupar términos y facilitar el proceso de resolución.
2.2.4. Desplazamiento radial en tensión plana
La función de desplazamiento radial u en función del radio se obtiene resolviendo la
ecuación diferencial 2.12. El proceso tiene varias substituciones que se presentan a con-
tinuación.
En primer lugar se aplica un cambio de variable clásico en la bibliografía que introduce
una nueva variable y
u = y (r−a
+ ra
) (2.14)
Con este cambio se elimina el sumando sin derivada de la ecuación 2.12 y queda de la
forma
y,rr(r−a
+ ra
) + y,r
£
(1 − 2a)r−a−1
+ (1 + 2a)ra−1
¤
= b r
Aplicando un segundo cambio que sustituya la derivada por una nueva variable x se
disminuye el orden de la ecuación diferencial
y,r = x (2.15)
con lo que el grado de la ecuación disminuye y queda un sólo término con derivada
x,r +
(1 − 2a)r(−1−a)
+ (1 + 2a)r(−1+a)
r−a + ra
| {z }
g(r)
x = b
r
r−a + ra
| {z }
f(r)
(2.16)
La nueva ecuación es una función de x(r), en cual los factores independientes se agrupan
en dos nuevas funciones de r, g(r) y f(r), y su solución es la función estándar siguiente
x =
A0
e
R
g(r) dr
+
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr
e
R
g(r) dr
(2.17)
Cada término incluye varios factores que se operan individualmente, de forma sucesiva.
Primero se integra la función g(r), que a su vez se separa en dos integrales, Ia e Ib

Z
g(r) dr =
Z
1 − 2a
(1 + r2a) r
dr
| {z }
Ia
+
Z
(1 + 2a) r−1+2a
1 + r2a
dr
| {z }
Ib
= (1 − 2a) ln r + 2 ln (1 + r2a
)
(2.18)
en donde las soluciones individuales son
Ia =
(1 − 2a)
−2a
Z −2a
r2a + 1
1
r2a
+ 1
dr =
1 − 2a
−2a
ln
1
1
r2a
+ 1
= (1 − 2a) ln r −
1 − 2a
2a
ln (1 + r2a
)
(2.19)
Ib =
1 + 2a
2a
Z
2ar2a
− 1
1 + r2a
dr =
1 + 2a
2a
ln (1 + r2a
)
(2.20)
El término exponencial se obtiene fácilmente debido a las funciones logarítmicas de la
integral 2.18
e
R
g(r) dr
= r1−2a
(1 + r2a
)2
(2.21)
Por otra parte, el término independiente f(r) de la ecuación 2.16 se puede escribir en la
forma
f(r) = b
r1+a
1 + r2a
(2.22)
para simplificar los elementos de la integral del segundo sumando de la ecuación 2.17. A
dicha integral se la denomina Ic
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = b
Z
r2−a
(1 + r2a
) dr
| {z }
Ic
= b
µ
r3−a
3 − a
+
r3+a
3 + a
¶
(2.23)
Sustituyendo estos términos en la ecuación 2.17 se obtiene la ecuación de la variable
intermedia x
x = A0 r2a−1
(1 + r2a)2
+ b
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r3−a
3 − a
+
r3+a
3 + a
¶
(2.24)
en la cual A0
es la primera constante de integración. A su vez, integrando la función x se
obtiene la variable y de la ecuación 2.15. Para su resolución se separa en dos integrales,
denominadas I1 y I2, y se añade una segunda constante de integración B0

y =
R
x dr = A0
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
dr
| {z }
I1
+ b
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r3−a
3 − a
+
r3+a
3 + a
¶
dr
| {z }
I2
= A0 −1
2a (1 + r2a)
+ b
r3+a
(9 − a3)(1 + r2a)
+ B0
(2.25)
La integral I1 se resuelve por sustitución
I1 =
−1
2a (1 + r2a)
(2.26)
La integral I2 se resuelve por partes definiendo los términos m y dn. El primero coincide
con el resultado de la integral Ic de la ecuación 2.23
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
m =
r3−a
3 − a
+
r3+a
3 + a
⇒ dm = r2−a
(1 + r2a
) dr
dn =
r2a−1
(1 + r2a)2
dr ⇒ n =
−1
2a(1 + r2a)
I2 =
−1
2a(1 + r2a)
µ
r3−a
3 − a
+
r3+a
3 + a
¶
−
Z
−1
2a
r2−a
dr =
r3+a
(9 − a3)(1 + r2a)
(2.27)
Finalmente, deshaciendo el cambio inicial de la ecuación 2.14 se obtiene la ecuación del
desplazamiento u en función del radio
u(r) = y
1 + r2a
ra
= −
A0
2a
1
ra
+ b
r3+a
9 − a2
1
ra
+ B0 1 + r2a
ra
(2.28)
Para simplificar la ecuación se redefinen las variables de integración en A y B y se agrupan
los términos en r según las potencias r−a
, ra
y r3
u(r) = A
1
ra
+ B ra
+
b
9 − a2
r3
(2.29)
Los dos primeros determinan la progresión del desplazamiento en el radio. Las constantes
A y B se determinan por las condiciones de contorno en el radio interior y exterior, o
en las fronteras entre capas si el rotor es multicapa. El tercero contiene la constante b
definida en la ecuación 2.13 y representa la aportación de la fuerza centrífuga.
Se observa que el factor más decisivo para determinar el tipo de solución es el parámetro
a. Afecta a los tres términos de la ecuación y especialmente a los dos primeros. Está
definido en la ecuación 2.13 y depende de la anisotropía de las propiedades elásticas del
material en las direcciones radial y tangencial. Es un factor importante para las tensiones

finales porque determina la coherencia entre los desplazamientos de distintas zonas del
rotor.
Si el material es isótropo el valor es a = 1, ecuación 2.13. Es el caso, por ejemplo, de los
rotores de metal, utilizados en volantes de bajas prestaciones. Para este valor la ecuación
del desplazamiento se reduce a la ecuación clásica
u(r) =
1
r
A + r B +
b
8
r3
(2.30)
Ambas ecuaciones, 2.29 y 2.30, coinciden con las ecuaciones de la bibliografía, por ejemplo
en Kitade (2000) [27] o en Timoshenko y Goodier (1970) [49]
Los desplazamientos radiales son aparentemente poco importantes para el diseño de un
rotor, pero no es así. Su ecuación es necesaria dentro del proceso analítico para determinar
las tensiones, y el valor de su pendiente en r influye sobre la tensión radial máxima.
Además, el desplazamiento en el radio interior del rotor es muy importante para elegir el
tipo de unión entre la llanta y el eje; cuanto mayor sea este desplazamiento más elástica
debe ser la unión, como se verá en el apartado 2.4.2.
2.2.5. Tensiones en condiciones de tensión plana
Las tensiones, tangencial σθ y radial σr, en condiciones de tensión plana se obtienen
sustituyendo el desplazamiento radial u y su derivada u,r en las ecuaciones de tensiones
2.11. La derivada en el radio del desplazamiento es
u,r(r) = −
a
ra+1
A + a ra−1
B +
3 b
9 − a2
r2
(2.31)
Agrupando términos el resultado queda de la siguiente forma
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = a2
cr
∙
(1 − νθr a)
1
ra+1
A + (1 + νθr a) ra−1
B +
1 + 3νθr
9 − a2
b r2
¸
σr(r) = cr
∙
(νrθ − a)
1
ra+1
A + (νrθ + a) ra−1
B +
νrθ + 3
9 − a2
b r2
¸ (2.32)
En ellas se utiliza la constante cr para agrupar algunas propiedades del material
cr =
Er
1 − νrθ νθr
=
Eθ
(a − νrθ)(a + νrθ)
(2.33)
Esta constante no tiene ningún significado físico destacable, su único objeto es simplificar
los términos de la ecuación. Con ella la constante b definida en 2.13 se puede escribir de
forma simplificada

b = −
ρ ω2
cr
(2.34)
Las ecuaciones de tensiones σθ y σr tienen una estructura parecida a la del desplazamiento
radial u, ecuación 2.29. Las potencias en a ahora son r−a−1
y ra−1
y la del término con
el factor de velocidad b es en r2
.
Es evidente que las tensiones en la dirección z son nulas por tratarse de un estado de
tensión plana. La deformación axial εz definida dentro de la ecuación inicial 2.6 vale
εz = −
νzθ
Eθ
σθ −
νzr
Er
σr (2.35)
Esta solución es aplicable a cualquier material anisótropo. Si tiene isotropía en las
propiedades elásticas las ecuaciones se simplifican, los módulos elásticos son iguales,
Eθ = Er y a = 1 según la ecuación 2.13, y el módulo de Poisson es constante en to-
das las direcciones, νθr = νrθ = ν. Luego, las ecuaciones de las tensiones quedan
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = cr
∙
(1 − ν)
1
r2
A + (1 + ν) B +
1 + 3ν
8
b r2
¸
σr(r) = cr
∙
(ν − 1)
1
r2
A + (ν + 1) B +
3 + ν
8
b r2
¸ (2.36)
Estas ecuaciones también coinciden con la bibliografía clásica, por ejemplo Timoshenko
y Goodier (1970) [49].
Las constantes A y B son propias de cada aplicación. En un rotor simple, con un solo
material y libre en los radios interior ri y exterior re, estas constantes se pueden hallar
analíticamente igualando a cero las tensiones radiales en estos dos puntos
σr(ri) = 0 ; σr(re) = 0
Sus valores son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A =
(3 + νrθ) b
(a − νrθ) (9 − a2)
ra+3
i r2a
e − ra+3
e r2a
i
r2a
e − r2a
i
B =
(3 + νrθ)b
(a + νrθ) (9 − a2)
ra+3
i − ra+3
e
r2a
e − r2a
i
(2.37)
Este resultado también equivale a las fórmulas presentadas en la bibliografía clásica,
Timoshenko y Goodier (1970) [49].

2.2.6. Punto singular de la solución en tensión plana
La solución anterior, deducida a partir de leyes generales, no es válida para todos los
valores del parámetro a. En las ecuaciones aparece un denominador con el factor (9−a2
)
y, por lo tanto, cuando a = 3 el resultado es infinito. Este valor constituye un punto
singular de las ecuaciones que necesita una atención especial.
Esta discontinuidad aparece en la solución matemática pero no se intuye que tenga un
significado físico. El parámetro a es función del material, según la ecuación 2.13, y si el
valor a = 3 correspondiera a un material hipotético no utilizado en rotores, el problema
se quedaría en un simple concepto matemático, pero este valor está dentro la gama de
materiales utilizados y, en consecuencia, es necesario rehacer el proceso de cálculo para
hallar otra solución.
El valor mínimo dentro de la gama de materiales es a = 1 y corresponde a los materiales
isótropos. Los materiales compuestos, utilizados en la fabricación de rotores, tienen va-
lores de a superiores a la unidad; la fibra de vidrio con resina epoxi tiene un valor cercano
a 2 y la fibra de carbono con epoxi, mucho más rígida, alcanza un valor de 4. El resto de
fibras suelen tener valores intermedios, por lo tanto, en alguna de ellas el valor puede ser
3.
Analizando el proceso anterior se observa que la solución de la integral Ic de la ecuación
2.23 no es válida para un valor de a = 3. El factor r2−a
adopta el valor r−1
y la solución
no es una función polinómica sino logarítmica. La solución correcta, denominada Ic3, es
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = b
Z
(r−1
+ r5
) dr
| {z }
Ic3
= b
µ
ln r +
r6
6
¶
(2.38)
El desarrollo posterior sigue los mismos pasos pero con las modificaciones que genera este
cambio. En todas las ecuaciones aparece la nueva función logarítmica. La ecuación 2.24
se convierte en
x = A0 r5
(1 + r6)2
+ b
r5
(1 + r6)2
µ
ln r +
r6
6
¶
(2.39)
La integral I2 también es particular, se denomina I23
I23 =
Z
r5
(1 + r6)2
µ
ln r +
r6
6
¶
dr =
r6
36
ln r − 1
1 + r6
(2.40)
En la ecuación y se modifica el segundo sumando
y = A0 −1
6(1 + r6)
+ b
r6
(6ln r − 1)
36(1 + r6)
+ B0
(2.41)

y en la ecuación del desplazamiento el tercer sumando de la ecuación 2.29 se desdobla y
aparece un término en función de r3
ln r
u(r) = A
1
r3
+ B r3
−
b
36
r3
+
b
6
r3
ln r (2.42)
Las expresiones de las tensiones deducidas a partir de u y u,r contienen también un nuevo
término en r2
ln r
u,r = −A
3
r4
+ B 3r2
+
b
9
r2
+
b
2
r2
ln r
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = 9 cr
∙
(1 − 3 νrθ)
1
r4
A + (1 + 3 νrθ) r2
B +
−1 + 3νθr
36
br2
+
1 + 3νθr
6
br2
ln r
¸
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 3)
1
r4
A + (νrθ + 3) r2
B +
−νrθ + 3
36
b r2
+
νrθ + 3
6
b r2
ln r
¸
(2.43)
Esta solución es válida para el punto a = 3, pero cabe preguntarse qué sucede en los
valores próximos a 3. Se ha comprobado, con algunos ejemplos, que dentro de un intervalo
de ±0,01 el resultado de las ecuaciones generales 2.31 y 2.32 no sufre discontinuidad.
El tamaño del incremento es suficiente porque es inferior a la precisión habitual del
parámetro a, determinado a partir de los valores de las propiedades elásticas. Luego, las
ecuaciones generales son aplicables siempre, a excepción del propio punto a = 3.
También se ha comprobado que las ecuaciones siguen siendo continuas para un intervalo
de ±10−6
,en cambio, para un intervalo de ±10−7
se generan resultados irregulares en los
puntos próximos a a = 3. Esto se atribuyen a la herramienta computacional de cálculo,
no a la función matemática.
De todo ello se deduce que la existencia del punto singular no depende de un fenómeno
físico sino simplemente matemático. La integral de r−i
en la ecuación 2.23 tiene una
formulación muy distinta en los valores de a próximos a 3 que en el propio valor 3. En los
valores próximos la solución es una potencia, (−i) r1−i
, mientras que en 3 es una función
logarítmica, lni; a pesar de ello, la función matemática es totalmente continua.
2.2.7. Ejemplo calculado en tensión plana
Las fórmulas deducidas para las condiciones de tensión plana se aplican a continuación a
un ejemplo simple. Se pretende observar algunas características del comportamiento del
rotor y deducir algunos principios para el diseño. También se compara con los resultados
obtenidos mediante el método de los elementos finitos (MEF).
Se aplica a un rotor de un solo material, fibra de vidrio, y de pared gruesa, con radio

interior ri = 0,3 m y exterior re = 0,5 m1
. Se somete a una velocidad de 10000 rpm.
Los resultados se exponen en la figura 2.6 en función del radio, expresado en valor uni-
tario, r/re, para que sea más universal. En el gráfico de la izquierda se representa el
desplazamiento calculado mediante las ecuaciones 2.30 y 2.37. A la derecha se represen-
tan las tensiones, tangencial y radial, de la ecuación 2.32.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 2.6: Desplazamiento radial (u) y tensiones, tangencial (σθ) y radial (σr) de un rotor en
condiciones de tensión plana.
En el gráfico de desplazamiento radial u se observa que el valor varía muy poco con el
radio, en la tensión tangencial el valor máximo se halla en el radio interior y la tensión
radial, con el factor de escala de 10, el máximo está en el centro.
1 2 3
(a)
σθ’
u1’ u2’ u3’
(b)
ω
σθ
σr
(c)
∆u ∆u
ω
Figura 2.7: Generación de tensiones en un rotor a partir de las deformaciones en distintas
zonas.
1
El material y los radios se han elegido de manera conveniente para aplicarlo al diseño, como se verá
en el apartado 9.1.3, y se mantienen en todos los ejemplos posteriores.

El comportamiento del rotor no es evidente, la fuerza centrífuga aumenta con el radio,
pero ni el desplazamiento ni la tensión tangencial son mayores en el radio exterior que
en el resto. Su valor no depende sólo de la fuerza local, sino que el rotor se comporta
como una estructura cerrada, con sus parámetros relacionados entre sí. La deformación
tangencial εθ, y en consecuencia la tensión tangencial, están en función del desplazamiento
radial u como se comprueba en la ecuación 2.5.
En la figura 2.7 se muestra esquemáticamente la relación entre desplazamiento y ten-
siones, y explica la generación de estos gráficos. El rotor se divide en tres aros simples
(a) y se somete a un velocidad ω. En un primer paso se considera que los tres aros son
independientes entre sí y se crean tensiones tangenciales y desplazamientos individuales,
como muestra el dibujo (b). En cada uno la tensión tangencial media σ0
θ es función de r2
y la dilatación u0
de r3
, de ahí que los aros tiendan a separarse entre sí, u0
1 < u0
2 < u0
3.
En un segundo paso (c) se obliga a los aros a unirse de nuevo para formar un cilindro
único, o sea, el interior se dilata y el exterior se contrae. El desplazamiento radial del aro
1 sigue aumentando, u1 = u0
1 +∆u, y el de 3 disminuye, u3 = u0
3 −∆u, de manera que los
desplazamientos finales de los tres aros son prácticamente iguales, como se observa en la
figura 2.6. Para ello es necesaria una tensión radial σr de tracción en las fronteras entre
aros, que a su vez, aumenta la tensión tangencial del aro 1 y disminuye la del 3. La tensión
tangencial final es superior en el interior que en el exterior porque la tensión inicial es
función de r2
y la diferencia de desplazamiento es función de r3
. Ambas tensiones se
corresponden con la figura 2.6.
z
r
σθ (Pa)
l/2
Figura 2.8: Tensión tangencial en condiciones de tensión plana.
z
r
σr (Pa)
l/2
Figura 2.9: Tensión radial en condiciones de tensión plana.
En la figura 2.6 se demuestra que la tensión tangencial no es uniforme, lo que supone

una menor resistencia en el radio interior. En los resultados del ejemplo, figura 2.6, la
diferencia respecto del valor medio es del 25%.
La tensión radial, aún siendo muy inferior a la tangencial, es más perjudicial para los
materiales compuestos porque las fibras están orientadas en dirección tangencial. En el
ejemplo su valor es 15 veces inferior a la tangencial pero la resistencia transversal a la
fibra es 30 veces menor que la longitudinal, como se verá en el apartado 6.3.2, y el rotor
fallaría por tensión radial.
Para verificar las fórmulas, el resultado de este ejemplo se compara con el obtenido en
un modelo calculado mediante el MEF. Los datos del modelo son los mismos que en
el ejemplo anterior, solamente se añade una longitud axial. Se elige un valor pequeño,
l = 80 mm, para que sea inferior al espesor de la pared del cilindro y simule la condición
de tensión plana.
Se utilizan elementos axisimétricos respecto del eje de rotación z y los resultados se
representan sobre una superficie en el plano rz. El origen del eje z está situado en el
extremo del rotor, como se ha definido en la figura 2.1. El modelo tiene un eje de simetría
en el radio situado en z = l/2, con elementos de borde que sólo permiten el desplazamiento
en r, tal como se representa en las figuras de resultados 2.8 y 2.9.
Las tensiones en las figuras 2.8 y 2.9 varían muy poco con la posición axial, solamente la
tensión radial tiene un ligero descenso al aproximarse al extremo lateral del rotor, z = 0.
En la figura 2.10 se comparan los resultados de las ecuaciones, de la figura 2.6, represen-
tados con línea continua y los obtenidos en MEF, con puntos discontinuos. Estos últimos
corresponden a un radio situado en la posición axial z = l/2 y en las tensiones radiales
se incluye, además, el resultado de un radio situado en z = 0.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
250
300
350
400
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
35
r / r
e
Tensión
radial
(MPa)
Ecuación
MEF, z = 0
MEF, z = l/2
Ecuación
MEF
Figura 2.10: Comparación de las tensiones, tangenciales y radiales, con las obtenidas mediante
el MEF.
En los gráficos de comparación de tensiones de la figura 2.10 se observa que la diferencia

en las tensiones tangenciales es inapreciable. En las tensiones radiales existe una pequeña
diferencia en la zona central, originada por la posición axial elegida, el resultado para
z = l/2 es algo superior, mientras que para z = 0 es inferior. Se observa, además, que
el primer valor y el último se apartan de cero, pero es debido a un defecto de lectura de
resultados del modelo que se podría corregir fácilmente con una extrapolación.
Con este ejemplo se puede concluir que las ecuaciones deducidas son válidas para el
cálculo de deformaciones y tensiones. En los capítulos siguientes se estudia más a fondo
la posición axial y se da una explicación a la pequeña discrepancia en las tensiones
radiales.
2.2.8. Cálculo en condiciones de deformación plana
Si la longitud axial del volante es grande el cálculo de tensiones realizado en condiciones
de tensión plana tiene ciertas limitaciones. Es habitual calcular los elementos de gran
longitud mediante las condiciones de deformación plana, pero en el caso de los rotores este
sistema presenta también algunas limitaciones. A pesar de ello, aquí se aplica al cálculo
del rotor y más adelante, en el capítulo 4, se añadirán algunas condiciones específicas.
Este sistema parte de las mismas ecuaciones iniciales de los apartados 2.2.1 y 2.2.2, pero
en la ecuación constitutiva del material 2.6 no son válidas las simplificaciones del apartado
2.2.3. En ellas mantiene la tensión σz y la deformación εz, a pesar ser nula por la propia
condición de deformación plana. La expresión de εz, deducida de la ecuación 2.6, es ahora
εz = −
νzθ
Eθ
σθ −
νzr
Er
σr +
1
Ez
σz = 0 (2.44)
de donde la tensión axial es
σz = Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr
¶
(2.45)
Las expresiones de εθ y εr en función de σr y σθ se obtienen ahora del propio sistema 2.6
y de la ecuación de σz anterior
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
1 − νθzνzθ
Eθ
σθ −
µ
νθr
Er
+
νθzνzr
Er
¶
σr
εr = −
µ
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
¶
σθ +
1 − νrzνzr
Er
σr
(2.46)
En ellas, por la simetría expresada en las ecuaciones 2.7, se verifica la igualdad
νθr
Er
+
νθzνzr
Er
=
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
(2.47)

y los factores que multiplican a las tensiones, que dependen sólo de las propiedades del
material, se resumen en los tres parámetros p, q y s siguientes:
p =
1 − νrzνzr
Er
; q =
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
; s =
1 − νθzνzθ
Eθ
(2.48)
Estas definiciones se pueden simplificar si el material tiene todas las fibras orientadas
tangencialmente, o sea a 0o
, y las propiedades en las direcciones transversales son iguales,
ecuación 2.8,
p =
1 − ν2
zr
Er
; q =
νrθ (1 + νzr)
Eθ
; s =
1 − νrθνθr
Eθ
(2.49)
Reescribiendo en forma matricial las ecuaciones 2.46, igual que en la ecuación 2.9 del
cálculo en condiciones de tensión plana, queda
⎧
⎨
⎩
εθ
εr
⎫
⎬
⎭
=
⎡
⎣
s −q
−q p
⎤
⎦
⎧
⎨
⎩
σθ
σr
⎫
⎬
⎭
(2.50)
en donde las tensiones, siguiendo el mismo razonamiento que en la ecuación 2.11, son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ =
p
ps − q2
µ
u
r
+
q
p
u,r
¶
σr =
s
ps − q2
³q
s
u
r
+ u,r
´
(2.51)
A su vez, sustituyendo estas tensiones en la ecuación de equilibrio de fuerzas 2.4, se
deduce la misma ecuación de desplazamiento 2.12 de tensión plana
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u = b r (2.52)
pero con coeficientes a y b distintos
a =
r
p
s
; b = −
ps − q2
s
ρ ω2 (2.53)
y su solución es la misma que en tensión plana, ecuación 2.29,
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
b
9 − a2
r3
(2.54)
Finalmente, sustituyendo este desplazamiento y su derivada en las ecuaciones 2.51 se
obtienen las tensiones

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = a2
cr
⎡
⎢
⎣
µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
µ
1 + a
q
p
¶
ra−1
B +
1 + 3
q
p
9 − a2
b r2
⎤
⎥
⎦
σr(r) = cr
⎡
⎣
³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B +
q
s
+ 3
9 − a2
b r2
⎤
⎦
(2.55)
en donde los parámetros cr y b, que dependen de las propiedades del material, se definen
a través de los parámetros intermedios p, q y s
cr =
s
ps − q2
; b = −
ρ ω2
cr
(2.56)
Si las fibras están orientadas a 0o
los parámetros de la ecuación 2.55 se pueden relacionar
directamente con las propiedades del material
a =
r
Eθ
Er
1 − ν2
zr
1 − νθrνrθ
; cr =
(1 − νθr νrθ) Er
(1 + νrz) (1 − 1 νrθ νθr − νrz)
q
p
=
νθr
1 − νrz
;
q
s
=
νrθ(1 + νrz)
1 − νθr νrθ
(2.57)
Además de las tensiones σθ y σr, en deformación plana, existe la tensión σz de la ecuación
2.45. Simplificando las propiedades según la igualdad de la ecuación 2.7(1) se reduce a
σz(r) = νθzσθ + νrzσr (2.58)
En un rotor simple de un solo material y libre en el radio interior ri y exterior re las
constantes de contorno A y B valen
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
(3 + νrθ) b
µ
νrθ(1 + νrz)
1 − νθr νrθ
− a
¶
(9 − a2)
ra+3
i r2a
e − ra+3
e r2a
i
r2a
e − r2a
i
B =
(3 + νrθ) b
µ
νrθ(1 + νrz)
1 − νθr νrθ
+ a
¶
(9 − a2)
ra+3
i − ra+3
e
r2a
e − r2a
i
(2.59)
Como se observa en las ecuaciones 2.54 y 2.55 esta solución presenta un punto singular
para a = 3, igual que en tensión plana. El origen es el mismo y se resuelve rehaciendo
las ecuaciones con la solución logarítmica de la ecuación 2.38. La expresión del desplaza-
miento coincide con la ecuación 2.42 de tensión plana y las tensiones son ligeramente
distintas

u(r) = A
1
r3
+ Br3
−
b
36
r3
+
b
6
r3
ln r
σθ(r) = 9 cr
∙µ
1 − 3
νθr
1 − νrz
¶
1
r4
A +
µ
1 + 3
νθr
1 − νrz
¶
r2
B
+
µ
−1 + 3
νθr
1 − νrz
¶
b
36
r2
+
µ
1 + 3
νθr
1 − νrz
¶
b
6
r2
ln r
¸
σr(r) = cr
∙µ
νrθ(1 + νrz)
1 − νθrνrθ
− 3
¶
1
r4
A +
µ
νrθ(1 + νrz)
1 − νθrνrθ
+ 3
¶
r2
B
+
µ
−
νrθ(1 + νrz)
1 − νθrνrθ
+ 3
¶
b
36
r2
+
µ
νrθ(1 + νrz)
1 − νθrνrθ
+ 3
¶
b
6
r2
ln r
¸
(2.60)
2.2.9. Ejemplo calculado en deformación plana
Igual que en tensión plana se presenta a continuación un ejemplo aplicando las fórmulas
deducidas en condiciones de deformación plana. Se utilizan los mismos datos del rotor
que en la sección 2.2.7 para comparar los resultados de ambos sistemas.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
Figura 2.11: Desplazamiento radial y tensiones en condiciones de deformación plana.
Los resultados se presentan en la figura 2.11 con el mismo formato que en tensión plana:
a la izquierda los desplazamientos según la ecuación 2.54 y a la derecha las tensiones,
tangencial y radial, ecuación 2.55, y axial, ecuación 2.58.

Los valores son parecidos a los obtenidos en tensión plana, las diferencias son pequeñas.
El desplazamiento, igual que en tensión plana, es casi constante, incluso el valor en el
radio interior es ligeramente mayor que en el exterior. Los gráficos de las tensiones tienen
la misma forma que en tensión plana, pero la tangencial tiene más pendiente y la radial
es más alta debido a la variación radial del desplazamiento.
También se presenta la tensión axial, sus valores son pequeños aunque no despreciables,
es máximo en la zona central y el mínimo en el radio exterior. Estos valores son poco
fiables, de manera que son analizados y recalculados en el capítulo 4.
Estos resultados, igual que los de tensión plana, se comparan con los obtenidos mediante
el cálculo en elementos finitos. Para ello, se utiliza también un modelo axisimétrico como
el de las figuras 2.8 y 2.9, pero con doble restricción axial para simular las condiciones
de deformación plana.
Los resultados se presentan en las figuras 2.12 y 2.13 y se observa que las tensiones son
constantes en la dirección axial, como es propio de la deformación plana.
z
r
σθ (Pa)
l/2
Figura 2.12: Tensiones tangenciales en deformación plana.
z
r
σr (Pa)
l/2
Figura 2.13: Tensiones radiales en deformación plana.
Estos valores se comparan con los resultados de las ecuaciones en la figura 2.14. Para ello,
se capturan los valores de las tensiones sobre el radio z = l/2 y se representan en puntos
discontinuos, mientras que los resultados de las ecuaciones se muestran en línea continua.
Se observa que los resultados son totalmente idénticos, excepto en los extremos por no
haber extrapolado los valores de MEF, y su coincidencia es superior a la de tensión plana
en la figura 2.10.

0.6 0.7 0.8 0.9 1
200
250
300
350
400
450
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r / r
e
Tensión
radial
(MPa)
MEF
Ecuación
MEF
Ecuación
Figura 2.14: Comparación de las tensiones, tangenciales y radiales, con las obtenidas mediante
el método de los elementos finitos (MEF).
En esta comparación no se incluye la tensión axial, porque como se ha dicho se apartan
de la realiadad y será objeto de un estudio más profundo en el capítulo 4.
2.2.10. Consideraciones para fibras axiales
Antes de afrontar el estudio de un rotor con fibras orientadas a 90o
hay que recordar que
sólo se aplican en rotores multicapa, como se ha expuesto en el apartado 1.3.3. A pesar
de ello en estos primeros capítulos se considera un rotor hipotético formado solamente
por fibras a 90o
con el fin de estudiar su comportamiento analítico.
θ (T)
r (T)
z (L)
Figura 2.15: Rotor con fibras orientadas axialmente (90o).
Si la fibras están orientadas a 90o
, como se indica en la figura 2.15, la dirección longitu-
dinal del material L coincide con la dirección axial y las transversales T con la radial y
la tangencial. En el cálculo son aplicables la ecuación 2.6 y a las igualdades 2.7, pero las
correspondencias entre propiedades de la ecuación 2.8 se sustituyen por

Er = Eθ ; νrθ = νθr ; νθz = νrz ; νzθ = νzr (2.61)
Estas relaciones se comprueban con los coeficientes de Poisson de la figura 2.16
r
θ
z
σr
εθ
(νθr)
εr
σθ
(νrθ)
σz
εθ
(νθz)
σz
εr
(νrz)
Figura 2.16: Coeficientes de Poisson en la fibra a 90o
El cálculo del rotor en condiciones de tensión plana es el mismo que para fibras a 0o
, tanto
el proceso deductivo como las ecuaciones finales, pero ahora se simplifica mucho. En el
plano de estudio, θr, el material tiene propiedades isótropas y el parámetro a se reduce a
la unidad. Con ello las ecuaciones se simplifican: los parámetros de cálculo definidos en
las ecuaciones 2.13 y 2.34 quedan
a = 1 ; b = −
ρ ω2
cr
(2.62)
y el parámetro cr, definido en 2.33, ahora es
cr =
Er
1 − ν2
θr
(2.63)
Las deformaciones y tensiones se calculan directamente con la fórmulas del estado de
tensión plana para un material isótropo, ecuaciones 2.30 y 2.36, aunque con propiedades
elásticas y parámetros propios para las fibras a 90o
. El módulo ν isótropo de estas ecua-
ciones se puede sustituir directamente por νθr.
El cálculo en condiciones de deformación plana no se reduce al del material isótropo como
en la tensión plana anterior, porque interviene la tensión axial. El proceso y las fórmulas
finales son las mismas que para fibras a 0o
, pero con algunas simplificaciones.
Los parámetros p, s y q, de las ecuaciones 2.48, apenas se simplifican al aplicar las nuevas
propiedades de las ecuaciones 2.61 y quedan de la siguiente forma
p = s =
1 − νrzνzθ
Er
=
1 − νθzνzθ
Eθ
; q =
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
(2.64)
El valor de a sigue siendo la unidad, según la ecuación 2.53, y las ecuaciones del desplaza-
miento 2.54 y las tensiones 2.55 se simplifican a

u(r) =
1
r
A + r B +
b
8
r3
σθ(r) = cr
⎡
⎢
⎢
⎣
µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B +
1 + 3
µ
1 −
q
p
¶
8
br2
⎤
⎥
⎥
⎦
σr(r) = cr
⎡
⎣
³q
s
− 1
´ 1
r2
A +
³q
s
+ 1
´
B +
3 +
³
1 −
q
s
´
8
br2
⎤
⎦
(2.65)
en donde cr y las relaciones de parámetros son ahora
cr =
(1 − νθz νzθ) Eθ
1 − ν2
rθ − 2 νθz νzθ (1 + νrθ)
q
p
=
νrθ + νθzνzθ
1 − νθzνzθ
;
q
s
=
νrθ + νθzνzθ
1 − νθzνzθ
(2.66)
La tensión axial se determina con la ecuación 2.48, simplificada por la ecuación 2.61
σz(r) = νθz(σθ + σr) (2.67)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σr
*10
Figura 2.17: Desplazamiento y tensiones en un rotor con fibras axiales, a 90o, calculado en
tensión plana.

2.3. ACELERACIÓN ANGULAR 39
2.2.11. Ejemplo de fibra axial
En el ejemplo de un rotor con fibras axiales se toman las mismas dimensiones que los
ejemplos anteriores pero se disminuye la velocidad de giro a 2500 rpm, para que las
tensiones estén dentro de los límites de la resistencia.
Los resultados para tensión plana se presentan en la figura 2.17. En ellos se observa que la
pendiente negativa del desplazamiento es superior a la del rotor con fibra a 0o
, y por tanto,
la tensión tangencial varía mucho con el radio, de forma que su valor en el radio interior es
doble que en el exterior. También se genera una tensión radial proporcionalmente mayor,
si se compara con los ejemplos anteriores.
Los resultados para deformación plana se presentan en la figura 2.18, se incluye la tensión
axial. Los valores coinciden prácticamente con los valores obtenidos en tensión plana, su
diferencia es inapreciable. La tensión axial es prácticamente lineal, sin un valor máximo
en la zona central como el rotor con fibra 0o
en la figura 2.11.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r / r
e
σ
θ
σ
r
*10
σz
Figura 2.18: Desplazamiento y tensiones en rotor con fibras a 90o calculado en deformación
plana.
Con este ejemplo se concluye que los resultados obtenidos con las fórmulas para fibras a
0o
son totalmente coherentes.
2.3. Aceleración angular
2.3.1. La aceleración angular en el rotor
Un volante de acumulador cinético, además de la fuerza centrífuga generada por la ve-
locidad de giro, está sometido a fuerzas de aceleraciones y desaceleraciones causadas por

los intercambios de energía con el exterior.
En las aplicaciones comunes las tensiones generadas por la aceleración son muy pequeñas
en comparación con las originadas por la fuerza centrífuga y carecen de importancia.
Sin embargo pueden existir ciertas aplicaciones donde no sean despreciables, por ejemplo
en volantes que deban liberar la energía en muy poco tiempo para producir un choque
mecánico, o absorberla para evitar impacto.
Para la resistencia del rotor las tensiones de aceleración son más perjudiciales en los
volantes fabricados con material compuesto que en los de metal. Las fibras orientadas
en dirección circunferencial presentan una gran resistencia a las tensiones tangenciales
pero muy baja a las tensiones cortantes de la aceleración angular. Así, las aceleraciones
grandes que en volantes de materiales homogéneos no tienen importancia, en volantes de
materiales compuestos pueden producir la rotura.
A pesar de tener unas aplicaciones muy limitadas se ha considerado oportuno considerar
las fuerzas de aceleración en el cálculo, de forma que el diseño del volante se realiza con
las tensiones completas.
2.3.2. Tensiones de la aceleración angular
Se considera que el par de aceleración se aplica a través de la superficie interior del rotor,
desde un eje central o generado por un motor eléctrico situado en el interior del rotor.
α
τθr
τθr+dτθr
τrθ+dτrθ
τrθ
σr
σr+dσr
σθ
σθ+dσθ
fθ
τi
re
ri
Figura 2.19: Tensiones creadas por una aceleración (α) aplicada desde el radio interior.
En la figura 2.19 se representan las tensiones en un elemento diferencial del rotor creadas
por la aceleración, iguales a las tensiones del elemento diferencial inicial en la figura 2.2.
La aceleración angular α del rotor se consigue aplicando una tensión de cortante τi en la
superficie interior en ri. Se considera que esta superficie es rígida, tanto en la dirección
circunferencial como en la axial y, en consecuencia, la tensión es uniforme en ambas
direcciones.

Los incrementos diferenciales de cada una de las tensiones, en la figura 2.19, no se asignan
al azar sino según un criterio que facilita la resolución. Aunque el par de aceleración esté
aplicado en el radio interior y las tensiones disminuyan al aumentar el radio, desde τi
en ri hasta 0 en re, el incremento de la tensión, dτrθ se asigna a la cara exterior del
elemento diferencial, como se indica en la figura 2.19, donde la tensión es menor. Si dicho
incremento se situase en el radio interior del elemento diferencial, el sistema planteado
sería incompleto y su resultado erróneo; en este caso se debería añadir una ecuación sobre
las condiciones de contorno del desplazamiento y la resolución sería más larga.
En dicho elemento es aplicable el equilibrio de fuerzas de la ecuación 2.1(2) que relaciona
la tensión cortante τrθ con la fuerza de aceleración unitaria fθ definida en la ecuación
2.2.
Si, además de la uniformidad en la carga, el rotor tiene simetría circular, se eliminan los
términos en ∂θ de las ecuaciones 2.1 y las dos funciones quedan independientes. En este
caso, la tensión cortante τθr es función sólo de la fuerza de aceleración fθ y la ecuación
2.1(2) se reduce a
∂τrθ
∂r
+
2
r
τrθ = −fθ (2.68)
La tensión cortante τrθ induce una deformación angular γrθ y una deformación tangencial
υ. Ambas están relacionadas por la ecuación 2.3(3), en la cual se elimina por simetría
circular el término en ∂θ
γrθ =
∂υ
∂r
−
υ
r
(2.69)
Para relacionar esta deformación angular γrθ y la tensión cortante τrθ la ecuación del
material 2.6 se debe completar
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
εz
γrθ
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νθz
Ez
0
−
νrθ
Eθ
1
Er
−
νrz
Ez
0
−
νzθ
Eθ
−
νzr
Er
1
Ez
0
0 0 0
1
Grθ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
σz
τrθ
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(2.70)
Las otras dos tensiones cortantes siguen siendo nulas. Solamente se generaría una tensión
cortante en el plano θz si la tensión τi, aplicada a la superficie interna, fuese variable con
z, pero más arriba se ha supuesto que es constante y, por lo tanto, la tensión τθz es nula.
En este cálculo no tiene sentido distinguir entre tensión plana y deformación plana porque,
como se ha dicho, las tensiones y los desplazamientos radiales son independientes de la
tensión τrθ.
De la ecuación elástica completa 2.70 es suficiente para el cálculo considerar la relación

τrθ = Grθ γrθ (2.71)
Con estas dos ecuaciones, 2.69 y 2.71, se obtiene la relación entre la tensión cortante τrθ
y el desplazamiento tangencial υ
τrθ = Grθ
³
υ,r −
υ
r
´
(2.72)
Con esta tensión y su derivada respecto del radio
τrθ,r = Grθ
³
υ,rr −
υ,r
r
+
υ
r2
´
la ecuación de equilibrio 2.68 se puede reescribir en función del desplazamiento angular
υ,rr +
1
r
υ,r −
1
r2
υ = h r (2.73)
en la cual, el parámetro de aceleración h incluye la aceleración angular α y las propiedades
del material. Tiene el mismo significado que el parámetro b en las ecuaciones de la fuerza
centrífuga. Su valor es
h =
ρ α
Grθ
(2.74)
La ecuación 2.73 tiene la misma estructura que la ecuación 2.12 pero con un valor a = 1.
La solución es la misma y se aplican unas constantes de integración C y D
υ = C
1
r
+ D r +
h
8
r3
(2.75)
Sustituyendo ésta ecuación y su derivada en la ecuación 2.72 se obtiene la tensión cortante
τrθ = Grθ
∙
−
2
r2
C +
h
4
r2
¸
(2.76)
Es interesante notar que en esta ecuación se ha eliminado la constante D y la tensión es
función de una sola constante de integración. Físicamente es lógico porque en la ecuación
2.75 la constante D multiplica a r y los desplazamientos proporcionales al radio no
producen distorsión angular y, en consecuencia, tampoco tensión cortante.
A continuación se hallan las constantes C y D para un rotor simple de un solo material.
Las condiciones de contorno son las representadas en la figura 2.19, sujeto al eje por el
radio interior ri y libre el radio exterior re. Además, se elige el origen del desplazamiento
tangencial υ en el radio interior.

υ(ri) = 0 ; τrθ(re) = 0
Aplicando estas condiciones a las ecuaciones 2.75 y 2.76 se obtienen las constantes
C =
h
8
re
4
; D = −
C
ri
2
−
h
8
ri
2
(2.77)
En este cálculo no se ha tenido en cuenta la orientación de las fibras y, por lo tanto, es
válido para las dos direcciones, 0o
y 90o
. Solamente afecta al valor del módulo de rigidez
Grθ.
Para determinar la ecuación de la tensión 2.76 no es necesario plantear el sistema a
partir del desplazamiento tangencial υ, basta con aplicar la simple ecuación de equilibrio
de fuerzas y las condiciones de contorno. A pesar de ello, se ha resuelto de esta forma
para seguir la misma metodología que en el resto de cargas, de manera que se dispone de
un sistema general coherente que puede facilitar la resolución de problemas posteriores.
2.3.3. Ejemplo de tensiones de aceleración
Los resultados de las ecuaciones del desplazamiento tangencial y la tensión se muestran
en un ejemplo, aplicado sobre el mismo rotor que los casos anteriores. Este se somete a
un par en el eje interior, de valor suficiente para que el rotor acelere a 10000 rad/s2
. Con
las ecuaciones 2.75 y 2.76 se determinan los resultados de la figura 2.20.
0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
r / r
e
Desplazamiento
tangencial
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
r / r
e
Tensión
cortante
(MPa)
Figura 2.20: Desplazamiento tangencial y tensión cortante de un rotor sometido a un par de
aceleración.
Estos resultados son totalmente coherentes, la tensión cortante es máxima en el interior
y se hace nula en el exterior. El desplazamiento tangencial, tomando como referencia un

valor nulo en el radio interior, aumenta con el radio, aunque su pendiente es decreciente
porque la tensión disminuye. El resto de tensiones, σθ, σr y σz, son nulas.
2.4. Condiciones de contorno interiores
2.4.1. Rigidez interior del rotor
En los apartados anteriores se ha estudiado el cilindro exterior del rotor, exento de la
sujeción mecánica con el eje interior, y se ha sometido solamente a las fuerzas generadas
por la velocidad de giro y por la aceleración angular. Pero la unión mecánica con el
eje interior transmite a la superficie interior del cilindro otras fuerzas que modifican las
tensiones del cilindro. En general se pueden resumir en una fuerza tangencial y otra
radial. La tensión cortante τi creada por las fuerzas del par de aceleración de la sección
anterior es un caso particular de la fuerza tangencial. Para que exista una fuerza radial
no es necesario una acción exterior, se puede generar con el propio desplazamiento radial
u de la fuerza centrífuga.
ri
Fr
Fθ
v
u
kθ
kr
Figura 2.21: Rigidez de la superficie interior al desplazamiento tangencial υ y al radial u.
Para estudiar los efectos de esta unión mecánica con el eje se considera que tiene una
cierta rigidez y se opone a los desplazamientos del radio interior ri del rotor. Esta rigidez
se descompone en las dos direcciones, como se indica en la figura 2.21, una radial que
relaciona la fuerza Fr con el desplazamiento u y otra tangencial que relaciona Fθ con el
desplazamiento υ.
Esta rigidez se define mediante dos constantes de proporción unitarias que relacionan las
tensiones con los desplazamientos unitarios. Se define una constante tangencial, kθ en
la figura 2.21, que relaciona la tensión cortante τrθ con el desplazamientos tangencial υ
dividido por ri, y una radial kr que relaciona la tensión normal σr con el desplazamiento
radial u dividido por ri.

2.4. CONDICIONES DE CONTORNO INTERIORES 45
kθ =
τrθ
υ
ri
; kr =
σr
u
ri
(2.78)
2.4.2. Efecto de la rigidez radial sobre las tensiones
La rigidez tangencial no genera nuevas tensiones en el rotor, afecta simplemente al des-
plazamiento tangencial del rotor respecto al eje central. Al valor del desplazamiento
tangencial υ respecto de la superficie interior, calculado en la sección 2.3, hay que sumarle
el desplazamiento generado por kθ.
La rigidez radial es más importante, crea tensiones radiales y tangenciales en el rotor.
Se calculan con las fórmulas anteriores, ecuaciones 2.32 y 2.55, pero modificando las
condiciones de contorno. Ahora son
σr(ri) = kr
u
ri
; σr(re) = 0
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
r / r
e
Tensiones
(MPa)
k
r
= 0
1 e10
2 e10
4 e10
8 e10
σ
r
x10
σ
θ
Figura 2.22: Modificación del desplazamiento y de las tensiones al aumentar gradualmente la
rigidez interna del rotor (kr).
Para observar sus consecuencias sobre las tensiones se usa el rotor del ejemplo de la sección
2.2.7 y se aplica una rigidez radial kr de valores crecientes, desde 0 hasta 2∗π ∗8·1010
Pa.
En la figura 2.22 se representan las variaciones en los gráficos de desplazamiento radial
y de tensiones.
Se observa que para kr = 0 los gráficos coinciden con los resultados de la figura 2.6. El
desplazamiento radial disminuye si la rigidez aumenta, sobre todo en el radio interior,
r/re = 0,6, donde se aplica la fuerza Fr. Las tensiones radiales aumentan en el radio
interior a causa de la fuerza interior, en cambio, las tangenciales disminuyen ligeramente.

El efecto más perjudicial de esta unión es el aumento de la tensión radial. Si la rigidez
es nula la rotura del rotor se produce en el valor máximo de la tensión radial, como se
ha comentado en el apartado 2.2.7 y de determinará en el capítulo 6. Luego, para no
aumentar la tensión σr es deseable que la unión con el eje sea lo más elástica posible y
sea capaz de absorber el desplazamiento radial propio del rotor.

Capítulo 3
TENSIONES RESIDUALES DEL
MATERIAL
3.1. Tensiones térmicas originadas en el curado
3.1.1. Generación de tensiones durante el curado
En los materiales compuestos se generan tensiones residuales durante el proceso de cu-
rado de la resina que permanecen durante toda la vida de la pieza. Estas se suman a
las tensiones de la fuerza centrífugas y disminuyen la capacidad de almacenamiento de
energía del rotor.
Aparecen durante el proceso de calentamiento del material compuesto que acelera la
transformación química de la resina. Según Domininghaus (1993) [11], las resinas epoxi
experimentan durante este ciclo térmico tres fases de dilatación: se expanden en el calen-
tamiento y se contraen en el proceso de curado y en el enfriamiento. En los dos primeros
la resina se halla todavía en estado viscoso y no se crean tensiones estables, en cambio,
durante el enfriamiento, con la matriz totalmente solidificada, las dilataciones generan
tensiones permanentes. En el capítulo 8, dedicado a proceso especiales de curado, se
estudian con más detalle estas dilataciones.
Las tensiones residuales están originadas por la diferencia entre el coeficiente de dila-
tación térmica en dirección de las fibras, o longitudinal αL, y el coeficiente en dirección
perpendicular, o transversal αT , figura 3.1. Este último es mayor que el longitudinal
porque la resina tiene un coeficiente más elevado que la fibra, y por la disposición uni-
direccional de las fibras. Así, en la dirección transversal se suman las dilataciones de las
dos fases y predomina la matriz, mientras que en la longitudinal la fibra retiene la matriz
y predomina la dilatación de la fibra.
La diferencia entre la dilatación transversal y la longitudinal no es suficiente para generar
tensiones internas en una pieza de material compuesto, es necesario además que la con-
figuración estructural no admita esta diferencia. Es el caso de las piezas planas formadas
por apilado de capas con fibras en distintas orientaciones, estudiadas en Springer y Tsai
47

48 CAPÍTULO 3. TENSIONES RESIDUALES DEL MATERIAL
αT
αL
αT
Figura 3.1: Coeficientes de dilatación térmica según la orientación de las fibras.
[47] (1981), en las que sobre una misma dirección se superponen deformaciones distintas
y se igualan mediante tensiones internas. También se generan en las piezas con fibras
distribuidas en círculos cerrados.
El rotor de fibra bobinada es un ejemplo de anillos cerrados, en el cual las deformaciones
tangenciales son distintas de las radiales porque unas dependen del coeficiente longitudi-
nal y las otras del transversal. Para entender con más detalle la generación de tensiones
térmicas en el rotor se expone un caso simple formado por distintos anillos concéntricos,
ver Tzeng y Pipes (1992) [52].
La figura 3.2 representa un sector circular dividido en tres anillos uniformes con las
deformaciones y tensiones más importantes generadas en el enfriamiento. En la dirección
circunferencial la contracción térmica es prácticamente nula, en cambio en la radial es
elevada porque coincide con la dirección transversal de las fibras. La contracción radial εr
del anillo intermedio intenta acercar los anillos laterales pero su rigidez tangencial impide
el desplazamiento y se crea una tensión radial de tracción σr entre ellos. La fuerza radial
sobre el anillo interior se compensa con una tensión tangencial σθ a tracción y en el
exterior con una tensión de compresión.
Este fenómeno es coherente con las relaciones cinéticas de un cilindro de la ecuación
2.3. El desplazamiento radial u creado por la deformación εr genera una deformación
tangencial εθ que origina la tensión tangencial σθ de los anillos.
Estas tensiones son nulas si el cilindro es de pared delgada pero su valor aumenta con
el espesor de pared. En el caso de los volantes de inercia, en donde el espesor es elevado
para aumentar la masa, alcanzan el 10 o 20 % del valor de las tensiones centrífugas y, por
lo tanto, afectan a la resistencia del rotor.
Las tensiones térmicas generadas en el material sólido son permanentes pero con el tiempo
experimentan una ligera disminución. Según Tzeng (2001) [51] la relajación de estas
tensiones en rotores puede alcanzar del 10 al 20 % de su valor inicial, lo cual influye muy
poco en el cálculo final de la resistencia.

3.1. TENSIONES TÉRMICAS ORIGINADAS EN EL CURADO 49
σθ
σθ
σr σr
εr
εr
Figura 3.2: La deformación radial térmica εr genera una tensión radial σr en el centro y dos
tangenciales σθ, de tracción y compresión, en los extremos.
3.1.2. Deformaciones térmicas
Para determinar las tensiones residuales de origen térmico hay que introducir en el cálculo
las deformaciones térmicas generadas en el enfriamiento. Están en función de los coefi-
cientes de dilatación térmica, que de forma genérica se denominan según la dirección, αθ
tangencial, αr radial y αz axial. También del incremento de temperatura ∆T del rotor,
desde la temperatura de curado Tc a la temperatura ambiente Tf , o sea ∆T = Tf − Tc.
Este incremento es siempre negativo porque la temperatura de curado es superior a la
ambiental.
A la ecuación elástica general 2.6 se añaden las deformaciones de origen térmico.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
εz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νθz
Ez
−
νrθ
Eθ
1
Er
−
νrz
Ez
−
νzθ
Eθ
−
νzr
Er
1
Ez
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
σz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
αθ
αr
αz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
∆T (3.1)
Los pasos seguidos para el cálculo del desplazamiento y las tensiones térmicas son los
mismos que en el mecánico. De la ecuación constitutiva del material 3.1 y las ecuaciones
cinéticas 2.3 se deducen las ecuaciones de tensiones en función del desplazamiento, se
aplican a la ecuación de equilibrio 2.1 y se obtiene la ecuación de desplazamiento radial
u. En la ecuación de equilibrio se considera que las cargas unitarias de velocidad y
aceleración son nulas, fc = fθ = 0, pues se pretende calcular sólo las tensiones térmicas.
Igual que en el estudio mecánico, este cálculo es válido para fibras en cualquier dirección,
aunque se aplica principalmente a las fibras orientadas tangencialmente (0o
). Si las fibras
se orientan axialmente (90o
) se añaden algunas consideraciones al final de la sección.

3.1.3. Ecuaciones para condiciones de tensión plana
El cálculo en condiciones de tensión plana, igual que en el mecánico, es el más simple y
se puede aplicar a rotores de poca longitud. En él se considera una tensión axial nula,
σz = 0, y se elimina de la ecuación general. Tampoco interviene la deformación εz y la
ecuación 3.1 queda
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νrθ
Eθ
1
Er
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
αθ
αr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
∆T (3.2)
Las tensiones se pueden expresar en función de las deformaciones y de la temperatura
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
EθEr
1 − νθr νrθ
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Er
νrθ
Eθ
νθr
Er
1
Eθ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ − αθ∆T
εr − αr∆T
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
(3.3)
Las deformaciones se sustituyen por los desplazamientos radial u, según las ecuaciones
cinéticas 2.5 y las ecuaciones de las tensiones resultantes son parecidas a las mecánicas
pero con un nuevo término en función de la temperatura.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ =
Eθ
1 − νθrνrθ
³u
r
+ νθru,r − (αθ + νθrαr)∆T
´
σr =
Er
1 − νθrνrθ
³
νrθ
u
r
+ u,r − (νrθαθ + αr)∆T
´
(3.4)
Estas tensiones deben cumplir la ecuación de equilibrio 2.4, ahora con la fuerza centrífuga
nula, fc = 0.
∂σr
∂r
+
1
r
(σr − σθ) = 0 (3.5)
Sustituyendo y simplificando se obtiene la ecuación de desplazamiento, donde aparece un
segundo término de tipo e r−1
que es función de la dilatación térmica.
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u =
e
r
(3.6)
El nuevo parámetro e depende del incremento de temperatura ∆T y de los coeficientes
de dilatación térmica, αθ y αr, además de las propiedades elásticas del material. Tiene
una función parecida al factor b de la fuerza centrífuga, pero para la temperatura.
e =
£
(νrθ − a2
) αθ + (1 − νrθ) αr
¤
∆T (3.7)

3.1.4. Desplazamiento radial en tensión plana
La ecuación del desplazamiento radial en función del radio se obtiene integrando la
ecuación diferencial 3.6. Su estructura es semejante a la ecuación 2.12, sólo se modi-
fica la función de r del segundo término que pasa a r−1
. Su proceso de resolución es el
mismo aunque con pequeñas variaciones.
Aplicando los cambios de variable y y x, de las ecuaciones 2.14 y 2.15, se obtiene una
función similar a la ecuación 2.16. Sólo se modifica el exponente de r del segundo término,
ahora es negativo, y se define una nueva función f(r)
x,r +
(1 − 2a)r(−1−a)
+ (1 + 2a)r(−1+a)
r−a + ra
| {z }
g(r)
x = e
r−1
r−a + ra
| {z }
f(r)
(3.8)
Su solución es la misma ecuación 2.17, pero con una función f(r) distinta. Para facilitar
los cálculos se reescribe en la forma
f(r) = e
ra−1
1 + r2a
(3.9)
En el producto de f(r) por la función exponencial de la ecuación 2.21 aparece una nueva
integral, denominada Id, parecida a la anterior Ic.
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = e
Z
r−a
(1 + r2a
) dr
| {z }
Id
= e
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
(3.10)
Sustituyendo ésta en la ecuación 2.17 se obtiene la ecuación de x, similar a la ecuación
2.24, con una constante de integración A0
x = A0 r2a−1
(1 + r2a)2
+ e
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
(3.11)
Al deshacer el cambio de la ecuación 2.15 para obtener el parámetro y es necesario
resolver dos integrales. La primera es idéntica a I1 de la ecuación 2.25 y está resuelta en
la ecuación 2.26 y la segunda, que introduce la constante de integración B0
, es nueva y
se denomina I3
y = A0
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
dr + e
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
dr
| {z }
I3
= A0 −1
2a(1 + r2a)
+ e
r1+a
(1 − a2)(1 + r2a)
+ B0
(3.12)

La integral I3 se resuelve por partes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
m =
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
dm = r−a
(1 + r2a
) dr
dn =
r2a−1
(1 + r2a)2
dr n =
−1
2a(1 + r2a)
I3 =
−1
2a(1 + r2a)
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
−
Z
−1
2a
r−a
dr =
r1+a
(1 − a2)(1 + r2a)
(3.13)
Sustituyendo el parámetro y en la ecuación 2.14 y agrupando las constantes de integración
se obtiene la expresión final del desplazamiento en función del radio
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
e
1 − a2
r (3.14)
Es similar a la ecuación 2.29 de la fuerza centrífuga, con los dos primeros sumandos son
idénticos. El tercero es una función de r, con el factor a de anisotropía elástica, definido
en la ecuación 2.13, y el factor de temperatura e, definido en la ecuación 3.7.
3.1.5. Tensiones en tensión plana
Las tensiones tangenciales y radiales de origen térmico en condiciones de tensión plana
se deducen de las ecuaciones 3.4 sustituyendo el desplazamiento de la ecuación 3.14 y su
derivada
u,r(r) = −
a
ra+1
A + a ra−1
B +
e
1 − a2
A su vez, se sustituye el parámetro e de la ecuación 3.7 para que sea función directa de
la temperatura
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = a2
cr
∙
(1 − aνrθ)
1
ra+1
A + (1 + aνrθ) ra−1
B + (νrθνθr − 1) (αθ − αr)
∆T
1 − a2
¸
σr(r) = cr
∙
(νrθ − a)
1
ra+1
A + (νrθ + a) ra−1
B + (ν2
rθ − a2
) (αθ − αr)
∆T
1 − a2
¸
(3.15)
Es interesante notar que el término que incluye la temperatura no depende del radio.
Esto no significa que el efecto de la temperatura sobre las tensiones sea el mismo en
todos radios, influye también en las constantes de integración, A y B, como se verá más
adelante.

En la dirección axial, la tensión es nula y la deformación axial εz se determina directa-
mente con la ecuación 2.35 y las tensiones anteriores.
Las constantes de integración, A y B, dependen de cada aplicación. Para el caso concreto
de un cilindro de material único, y con radio interior ri y exterior re, valen
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
(νrθ + a) (αθ − αr) ∆T
(1 − a2)
ra+1
i r2a
e − ra+1
e r2a
i
r2a
e − r2a
i
B =
(νrθ − a) (αθ − αr) ∆T
(1 − a2)
ra+1
i − ra+1
e
r2a
e − r2a
i
(3.16)
3.1.6. Punto singular de la solución en tensión plana
La solución presentada en las ecuaciones 3.14 y 3.15 es válida para todos valores de a,
excepto para a = 1. Este punto presenta una solución singular que hay que resolver
particularmente como se ha hecho en el apartado 2.2.6 para a = 3. El parámetro a
es propio de cada material y el valor a = 1 corresponde, según la ecuación 2.13, a los
materiales isótropos con Eθ = Er.
Este punto singular, a efectos prácticos, es más problemático que el punto a = 3 de las
tensiones centrífugas. El valor 3 corresponde a materiales que tienen una relación entre
módulos elásticos de 32
, según la ecuación 2.13. En la práctica es poco probable encontrar
un material que tenga una relación entre los dos módulos elásticos, determinados en
ensayos experimentales, igual a 9 en todos sus decimales, como se ha comentado en el
apartado 2.2.6. En cambio, si el material es isótropo se mide en una sola dirección y se
asigna el mismo valor a las dos y, con lo cual, el cociente es necesariamente idéntico a
1. Por lo tanto, en los cálculos reales es muy poco probable que se produzca un error en
las tensiones centrífugas, debido al punto singular a = 3, en cambio, en las térmicas se
producirá siempre que el material sea isótropo.
Si en un material se cumple que Eθ = Er también deben ser iguales los módulos de
Poisson, νrθ = νθr, para que se cumplan las igualdades de la ecuación 2.7. Con ello se
simplifica el parámetro e de la ecuación 3.7
e = (νrθ − 1) (αθ − αr)∆T (3.17)
La explicación matemática del punto singular es la misma que en las ecuaciones de las
tensiones centrífugas. El segundo sumando de la integral Id en la ecuación 3.10 no es
válido para a = 1 porque la función es del tipo r−1
y la solución no es polinómica sino
logarítmica. A la nueva integral se denomina Id1
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = e
Z
r−1
(1 + r2
) dr
| {z }
Id1
= e
µ
ln r +
r2
2
¶
(3.18)

El primer sumando, ln r, coincide con la ecuación 2.38 de las tensiones centrífugas y su
desarrollo posterior es el mismo. El segundo afecta a la integral I3, que ahora se denomina
I31, y se resuelve de la siguiente manera
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
m = ln r +
r2
2
dm = (r−1
+ r) dr
dn =
r
1 + r2
dr n =
−1
2(1 + r2)
I31 =
−1
2(1 + r2)
µ
ln r +
r2
2
¶
−
Z
−1
2
r−1
dr =
r2
4
−1 + 2ln r
1 + r2
(3.19)
Finalmente la ecuación de desplazamiento queda
u(r) =
1
r
A + r B −
e
4
r +
e
2
r ln r (3.20)
y las tensiones derivadas de ésta valen
σθ(r) = cr
∙
(1 − νrθ)
1
r2
A + (1 + νrθ)B +
e
2
(1 + νθr) ln r
+
e
4
(−1 + νθr) − (αθ + νθrαr) ∆T
i
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 1)
1
r2
A + (νrθ + 1)B +
e
2
(νrθ + 1) ln r
+
e
4
(−νrθ + 1) − (νrθ αθ + αr) ∆T
i
(3.21)
Son parecidas a las ecuaciones generales 3.15 pero no se sustituye el parámetro e, porque
no supone ninguna simplificación.
Las constantes de integración de un cilindro simple para a = 1 son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
e
2
νrθ + 1
νrθ − 1
r2
e r2
i ( ln ri − ln re)
r2
i − r2
e
B =
e
2
µ
r2
e ln ri − r2
i ln re
r2
i − r2
e
¶
+
e
4
νrθ − 1
νrθ + 1
+
(νrθ αθ + αr) ∆T
νrθ + 1
(3.22)
Si se aplica a un material que además de tener a = 1, o sea, con propiedades elásticas
iguales en las direcciones θ y r, también son iguales en la dirección z y lo mismo para las
propiedades térmicas, el cálculo tiene interés para comprobar la coherencia del sistema.
En estas condiciones los coeficientes de dilatación son iguales, αθ = αr = αz = α, y el
factor de temperatura e de la ecuación 3.17 vale cero. En las ecuaciones de la tensiones

3.21 se anulan los términos en e pero no se elimina totalmente el efecto de la temperatura,
permanece en el último sumando. Las tensiones térmicas no son necesariamente nulas,
es preciso aplicar las condiciones de contorno para determinar su valor.
Si además de estas condiciones del material el rotor es de un sólo material, las tensiones
térmicas son nulas. Las constantes de integración, determinadas en la ecuación 3.22, valen
A = 0 y B = α∆T. Los resultados del desplazamiento 3.20 y de las tensiones 3.21 son
totalmente lógicos: el rotor se dilata pero no tiene tensiones térmicas.
u(r) = α ∆T ; σθ(r) = 0 ; σr(r) = 0
3.1.7. Ejemplo calculado en tensión plana
Las ecuaciones anteriores, en condiciones de tensión plana. se aplican a un ejemplo de
rotor simple para observar las tensiones residuales y compararlas, al igual que en los
ejemplos de las tensiones centrífugas, a los resultados obtenidos en un modelo de elemen-
tos finitos. Se aplica al mismo rotor de la tensión centrífuga en la sección 2.2.7, fabricado
con fibra de vidrio orientada a 0o
y con radios ri = 0,3 m y re = 0,5 m. Los coeficientes
de dilatación son αθ = 8,6 y αr = 22,1 10−6
/o
C y se somete a ∆T = −100 o
C.
En la figura 3.3 se representan el desplazamiento y las tensiones residuales en función
del radio, expresado en valores unitarios. El gráfico del desplazamiento está calculado
mediante la ecuación 3.14 y la tensión tangencial y radial con la ecuación 3.15, esta
última con un factor de escala 10.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 3.3: Desplazamiento radial y tensiones residuales de origen térmico, en condiciones de
tensión plana.
Se observa que el desplazamiento radial es negativo y la contracción es mucho mayor en
el exterior que en el interior. A pesar de ello la tensión radial es positiva, o sea que entre

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
r / r
e
Tensión
radial
(MPa)
Ecuación
MEF
Ecuación
MEF, z = l/2
MEF, z = 0
Figura 3.4: Comparación de las tensiones residuales térmicas con los resultados obtenidos en
MEF.
la zona exterior e interior existe tracción radial, tal como se muestra en la figura 3.2.
La tensión tangencial es casi simétrica, de tracción en el interior y de compresión en el
exterior, y la suma suma total es nula.
Hay que destacar que los gráficos de tensiones tienen la misma forma que los generados
por la fuerza centrífuga, expuestos en la figura 2.6. Tienen el mismo signo y los valores
máximos se hallan en la misma región: la tensión tangencial es máxima en el radio interior
y la radial en el centro. Los valores máximos de las tensiones térmicas y centrífugas se
suman y disminuye la resistencia del rotor, de ahí que, las tensiones residuales térmicas
son claramente perjudiciales.
El cálculo con elementos finitos se realiza con el mismo modelo que en el ejemplo de
tensiones centrífugas de la sección 2.27. Los resultados se presentan en las figura 3.4, junto
con los resultados de las ecuaciones de la figura 3.3 y se observa que su la equivalencia es
muy buena: es casi perfecta en la tensión tangencial y tiene una ligera desviación en la
radial. Esta diferencia está en función de la posición axial elegida para leer los resultados
del MEF; los correspondientes a un radio situado sobre el centro axial del cilindro, o sea
en z = l/2, son más elevados y los del extremo, en z = 0, están por debajo.
3.1.8. Cálculo en condiciones de deformación plana
El resultado anterior se complementa con el cálculo en condiciones de deformación plana.
El proceso es el mismo que en tensión plana pero con algunas variaciones, similares a las
del capítulo de fuerzas centrífugas.
La deformación plana se aplica con la condición de εz = 0 en la ecuación constitutiva del
material 3.1, de donde se deduce

εz = −
νzθ
Eθ
σθ −
νzr
Er
σr +
1
Ez
σz + αz∆T = 0 (3.23)
y la tensión axial es
σz = Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr − αz∆T
¶
(3.24)
Sustituyendo σz en el propio sistema 3.1 se obtienen las expresiones de εθ y εr en función
de las tensiones σr y σθ
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
1 − νθzνzθ
Eθ
σθ −
µ
νθr
Er
+
νθzνzr
Er
¶
σr + (αθ + νθzαz)∆T
εr = −
µ
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
¶
σθ +
1 − νrzνzr
Er
σr + (αr + νrzαz)∆T
(3.25)
Si se reescriben en la forma de la ecuación 2.50 aparecen los mismos parámetros p, q y
s, definidos en la ecuación 2.48, pero con un nuevo término que contiene el efecto de la
temperatura
⎧
⎨
⎩
εθ
εr
⎫
⎬
⎭
=
⎡
⎣
s −q
−q p
⎤
⎦
⎧
⎨
⎩
σθ
σr
⎫
⎬
⎭
+
⎧
⎨
⎩
αθ + νθzαz
αr + νrzαz
⎫
⎬
⎭
∆T (3.26)
Las deformaciones se sustituyen por el desplazamiento radial de las ecuaciones 2.5 y se
obtienen las tensiones
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ =
p
ps − q2
∙
u
r
+
q
p
u,r −
µ
αθ +
q
p
αr + (νθz +
q
p
νrz)αz
¶
∆T
¸
σr =
s
ps − q2
hq
s
u
r
+ u,r −
³q
s
αθ + αr + (
q
s
νθz + νrz)αz
´
∆T
i
(3.27)
Sustituidas en la ecuación de equilibrio 3.5 se deduce una ecuación de desplazamiento
idéntica que en el estado plano de la ecuación 3.6, pero con los parámetros a y e distintos.
El primero coincide con la definición de la ecuación 2.53 de las tensiones centrífugas y el
segundo se define de la siguiente forma
e =
h³q
s
− a2
´
αθ +
³
1 −
q
s
´
αr +
h³q
s
− a2
´
νθz +
³
1 −
q
s
´
νrz
i
αz
i
∆T (3.28)
La solución de la ecuación del desplazamiento radial es la misma que en tensión plana,
expresada en la ecuación 3.14. En este caso el desplazamiento radial es función también

del coeficiente de dilatación térmica axial αz, aplicado dentro del parámetro e de la
ecuación 3.28.
Las tensiones se obtienen sustituyendo el desplazamiento en las ecuaciones 3.27
σθ(r) = a2
cr
∙µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
³
1 + a
q
s
´
ra−1
B
+
µ
q2
p s
− 1
¶
[αθ − αr + (νθz − νrz)αz]
∆T
1 − a2
¸
σr(r) = cr
∙³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B
+
µ
q2
s2
+ a2
¶
∆T
1 − a2
¸
(3.29)
La tensión σz se deduce directamente de la ecuación 3.24
σz(r) = νθzσθ + νrzσr − Ez αz∆T (3.30)
Las constantes de integración A y B dependen de las condiciones de contorno y para el
caso de un cilindro simple de un solo material valen
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
³q
s
+ a
´ [αθ − αr + (νθz − νrz)αz]∆T
(1 − a2)
ra+1
i r2a
e − ra+1
e r2a
i
r2a
e − r2a
i
B =
³q
s
− a
´ [αθ − αr + (νθz − νrz)αz]∆T
(1 − a2)
ra+1
i − ra+1
e
r2a
e − r2a
i
(3.31)
Esta solución presenta el mismo punto singular que en tensión plana para a = 1. En este
caso el parámetro e se simplifica
e =
n³q
s
− 1
´
o
∆T (3.32)
La solución particular se obtiene con el mismo proceso de la tensión plana, a partir de
la ecuación 3.18. El desplazamiento se calcula con la misma ecuación, 3.20, pero con
parámetros propios, y las tensiones con las ecuaciones

σθ(r) = cr
∙µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B +
e
2
µ
1 +
q
p
¶
ln r
+
e
4
µ
−1 +
q
p
¶
−
µ
αθ +
q
p
αr +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
αz
¶
∆T
¸
σr(r) = cr
∙µ
q
p
− 1
¶
1
r2
A +
µ
q
p
+ 1
¶
B +
e
2
µ
q
p
+ 1
¶
ln r
+
e
4
µ
−
q
p
+ 1
¶
−
µ
q
p
αθ + αr +
µ
q
p
νθz + νrz
¶
αz
¶
∆T
¸
(3.33)
Si el material es isótropo en las propiedades elásticas y en las térmicas el resultado se
simplifica. El coeficiente de dilatación α es único para las tres direcciones y el parámetro
térmico e de la ecuación 3.32 es nulo. Pero las tensiones no se anulan directamente porque
dependen de las condiciones de contorno.
Aplicando este material isótropo al cilindro simple las constantes de integración de la
ecuación 3.31 valen A = 0 y B = (1 + ν)α∆T. El desplazamiento se reduce a una simple
dilatación isótropa y las tensiones, tangencial y radial, son nulas, pero la axial no. Su
valor es poco real, tal como se estudiará en el capítulo 4.
u(r) = (1 + ν)α ∆T ; σθ(r) = 0 ; σr(r) = 0 ; σz = −Ez αz∆T
3.1.9. Ejemplo calculado en deformación plana
Las ecuaciones deducidas para deformación plana se aplican a continuación a un rotor
simple con los mismos datos que el ejemplo de tensión plana del apartado 3.1.7. Los
resultados de la ecuación de desplazamiento 3.14 y las ecuaciones de tensiones 3.29 se
presentan en la figura 3.5.
Se observa que la forma de los gráficos es la misma que en tensión plana, pero los valores
son muy distintos. En el desplazamiento radial se incrementa la pendiente, su valor mín-
imo de −0,55 se incrementa hasta −0,75 mm. En las tensiones la diferencia es mayor,
los valores se multiplican por dos. No es lógico tener unas diferencias tan grandes por el
simple cambio de condiciones de cálculo, luego es dudosa la validez de las ecuaciones en
deformación plana.
Para estudiar estos resultados se comparan con los obtenidos mediante un modelo de
elementos finitos. Esta comparación es especialmente útil para resolver las dudas comen-
tadas anteriormente sobre la validez de las ecuaciones. Se utiliza, para el ejemplo, el
mismo modelo que en las tensiones centrífugas de la sección 2.2.10 pero aplicando un
incremento de temperatura de −100o
C igual que en el ejemplo de tensión plana. Las
tensiones, tangencial y radial, obtenidas en MEF, para los puntos de un radio situado a

l/2, se representan en la figura 3.6 y comparan con los resultados de las ecuaciones de la
figura 3.5.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
Figura 3.5: Deformación y tensiones residuales térmicas para deformación plana.
Se observa que los resultados del cálculo en MEF son idénticos que los de las ecuaciones,
incluso son más coincidentes que los de tensión plana del grafico 3.4. En consecuencia,
la diferencia entre los resultados de tensión plana y deformación plana no depende de
las ecuaciones de cálculo sino de las propias condiciones del sistema. En ambos casos la
resolución es correcta, en cambio, las condiciones de cálculo son dudosas.
Estudiando estos resultados se observa que la condición de deformación plana no es válida
para estudiar las tensiones térmicas. En un material compuesto con las fibras orientadas
en una sola dirección, como se representa en la figura 3.1, el coeficiente de dilatación en
dirección longitudinal a las fibras (αL) es casi nulo mientras que en dirección transversal
(αT ) es elevado. Si el rotor tiene las fibras orientadas tangencialmente se generan dilata-
ciones térmicas en la dirección axial grandes, pero si se restringe la deformación en esta
dirección se crean tensiones axiales elevadas. En el ejemplo se observa que el valor de
la tensión axial es muy grande, del mismo orden que la tangencial. Este valor anormal
distorsiona las tensiones en las otras dos direcciones y su valor aumenta artificialmente.
En las tensiones centrífugas este fenómeno no existe porque la fuerza centrífuga crea sola-
mente deformación tangencial y radial, y la axial es prácticamente nula. La deformación
axial, creada por el efecto Poisson de las deformaciones tangencial y radial, es pequeña
y la tensión axial inducida también es reducida.
Las tensiones térmicas generadas en un rotor con fibras orientadas en dirección axial, a
90o
, son poco importantes. Si el material fuese totalmente homogéneo, sólo con fibra a

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-30
-20
-10
0
10
20
30
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
5
10
15
20
25
30
35
r / r
e
Tensión
radial
(MPa)
MEF
Ecuación
MEF
Ecuación
Figura 3.6: Comparación de las tensiones residuales térmicas calculadas con las de MEF.
90o
, serían nulas; pero si se combina con capas a 0o
o con otros materiales, aluminio por
ejemplo, aparecen las tensiones térmicas.
Los coeficientes de dilatación en las direcciones tangencial y radial son iguales y corres-
ponden con el coeficiente transversal del material αT , como se muestra en la figura 3.7.
En este plano tangencial-radial, donde la estructura es cerrada, no se crean distorsiones
y, por lo tanto, tampoco tensiones térmicas. En la dirección axial el coeficiente coincide
con el longitudinal αL, distinto de los otros, pero tampoco crea distorsiones porque las
deformaciones son libres.
θ (αT)
r (αT)
z (αL)
Figura 3.7: Propiedades térmicas en fibras axiales.
No ocurre lo mismo si se combinan con capas a 0o
o con otros materiales de distinto coe-
ficiente de dilatación, se crean distorsiones y tensiones residuales. Para ello, es necesario
conocer el comportamiento térmico del material con fibras a 90o
.
Como en los casos anteriores se determinan primero las ecuaciones en condiciones de
tensión plana. En las direcciones tangencial y radial las propiedades elásticas se cumplen

las igualdades de la ecuación 2.61 y en las térmicas αθ = αr, ambas corresponden a la
dirección transversal de la fibra.
En el análisis de las tensiones se siguen los mismos pasos que para fibras a 0o
, pero con
notables simplificaciones. Los parámetros a y e, definidos en las ecuaciones 2.13 y 3.7, se
determinan aplicando las igualdades entre las propiedades elásticas, en la ecuación 2.61,
y entre las térmicas αθ = αr
a =
r
Eθ
Er
= 1 ; e =
£
(νrθ − a2
) αθ + (1 − νrθ) αr
¤
∆T = 0
El parámetro a, propio del material, coincide con el valor del punto singular de las
ecuaciones térmicas anteriores y el parámetro e, referente al incremento de temperatura,
es nulo. La ecuación de desplazamiento 3.6 se simplifica
u,rr +
1
r
u,r −
1
r2
u = 0 (3.34)
Las ecuaciones de desplazamiento y tensiones se determinan mediante el mismo proceso
que en el caso particular de a = 1 de las ecuaciones 3.20 y 3.21,
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
u(r) =
1
r
A + r B
σθ(r) = cr
∙
(1 − νrθ)
1
r2
A + (a + νrθ) B − (1 − νrθ) αr∆T
¸
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 1)
1
r2
A + (νrθ + 1) B − (νrθ − 1) αr∆T
¸
(3.35)
En un cilindro simple, de un solo material y extremos libres, las constantes de contorno
son: A = 0 y B = αr ∆T. El desplazamiento se reduce a la simple deformación térmica
y las tensiones son nulas.
u(r) = αr ∆T ; σθ(r) = 0 ; σr(r) = 0
En el análisis en condiciones de deformación plana se aplican las igualdades entre propieda-
des del material de la ecuación 2.61. En los parámetros definiciones en la ecuación 2.48
se cumple que p = s, y los parámetros a y e, definidos en 2.53 y 3.28, toman los mismos
valores que en tensión plana
a =
r
p
s
= 1
e =
h³q
s
− a2
´
αθ +
³
1 −
q
s
´
αr +
h³q
s
− a2
´
νθz +
³
1 −
q
s
´
νrz
i
αz
i
∆T = 0

3.2. TENSIONES RESIDUALES POR HIDRATACIÓN 63
La ecuación de desplazamiento coincide con la ecuación 3.35(1) de tensión plana. Las
ecuaciones de las tensiones, tangencial y radial, se deducen como en el caso singular de
a = 1 de las ecuaciones 3.33. La tensión axial de la ecuación 3.30 se modifica por la
igualdad entre propiedades del material
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = cr
∙µ
1 − a
q
p
¶
1
r2
A +
³
1 +
q
s
´
B −
µ
1 +
q
p
¶
(αr + νrzαz)∆T
¸
σr(r) = cr
∙³q
s
− 1
´ 1
r2
A +
³q
s
+ 1
´
B −
³q
s
+ 1
´
(αr + νrzαz)∆T
¸
σz(r) = νrz(σθ + σr) − Ez αz∆T
(3.36)
Las constantes A y B se determinan mediante las condiciones de contorno. Si se aplica a
un cilindro simple las constantes de integración son
A = 0 ; B = (αr + νrzαz) ∆T
y el desplazamiento se reduce a una dilatación térmica, mientras que las tensiones, tan-
gencial y radial, son nulas. En cambio, la tensión axial es distinto de cero, pero su valor
no es real como se comenta en el apartado 3.1.8.
u(r) = (αr + νrzαz) ∆T ; σθ(r) = 0 ; σr(r) = 0 ; σz(r) = −Ez αz∆T
Con estas formulas, junto con las deducidas en los apartados anteriores, se pueden calcular
rotores con capas alternas 0o
y 90o
. Este tipo de estructura están estudiadas en el artículo
de Tzeng y Pipes (1992) [52]
3.2. Tensiones residuales por hidratación
3.2.1. Absorción de humedad
Los materiales compuestos también adquieren tensiones residuales debido la hidratación
de la resinas. El proceso de absorción de humedad ambiental es muy lento hasta alcanzar
la saturacuón, y supone un pequeño aumento de peso del material y una cierta dilatación
de la matriz. Para el caso del rotor, el primero es poco importante y no afecta a la inercia,
pero el segundo crea tensiones residuales parecidas a las tensiones térmicas.
Algunos autores, por ejemplo Springer y Tsai (1981) [47], estudian las tensiones gene-
radas por la absorción conjuntamente con las de origen térmico, porque sus procesos de
formación a través de las deformaciones es parecido. Aquí, en cambio, se analizan por
separado, aunque en el cálculo global del rotor se incluyen ambas dentro del sistema único

de ecuaciones. Para el diseño es conveniente separarlas porque las tensiones aparecen en
momentos de distintos de la vida del rotor. Las térmicas se generan en la fabricación y
permanecen casi constantes a lo largo de la vida del material, en cambio, las de hidratación
se aparecen durante el uso, a medida que el material absorbe la humedad ambiental. Si el
espesor de la pieza es de pocos milímetros dura pocos días, pero si es grande dura años,
o incluso toda la vida. En los rotores, donde el espesor es grande, al inicio de su vida
tienen solamente tensiones térmicas y con el tiempo aparecen las de hidratación.
La deformación unitaria ε generada en una resina por hidratación es función del aumento
de la humedad ∆c y del coeficiente de dilatación por hidratación β
ε = β ∆c (3.37)
En un material compuesto la dilatación de la resina queda distorsionada por las fibras,
de forma similar a la dilatación térmica del apartado 3.1.1. Si las fibras están orientadas
en una sola dirección, como se muestra en la figura 3.8, la dilatación en la dirección de la
fibra es distinta que en las otras dos. En ella, la rigidez de la fibra retiene a la matriz, y la
dilatación global es muy baja, mientras que en las direcciones perpendiculares la matriz
se dilata libremente.
βT
βL
βT
Figura 3.8: Coeficientes de dilatación según la orientación de las fibras
Esta diferencia de dilataciones da lugar a coeficientes distintos, en las dirección de la fibras
se denomina coeficiente longitudinal βL y en las otras direcciones coeficiente transversal
βT . En un rotor los coeficientes de dilatación se expresan en coordenadas cilíndricas βθ,
βr y βz, y toman los valores βL o βT según la orientación de las fibras, igual que los
coeficientes térmicos.
El mecanismo de generación de tensiones residuales en el rotor es el mismo que en las
tensiones térmicas descrito en el apartado 3.1.1. Si las fibras están orientadas circunferen-
cialmente la hidratación genera una dilatación radial mayor que la tangencial porque βT
es mayor que βL. A su vez, siguiendo el mismo razonamiento de la figura 3.2 del térmico,
estas dilataciones generan tensiones residuales en dirección radial y tangencial.

Las tensiones residuales de hidratación son de signo contrario a las térmicas; en el enfri-
amiento el material se contraía mientras en la hidratación dilata. Luego, es interesante
notar que las tensiones residuales de ambos fenómenos se contrarrestan.
3.2.2. Tensiones en condiciones de tensión plana
El proceso analítico de cálculo de tensiones residuales por hidratación es igual que en
el térmico. La ecuación del material 3.38 se obtiene de la ecuación 2.6 añadiendo las
deformaciones por hidratación. Es idéntica a la ecuación 3.1 del térmico pero con los
coeficientes de dilatación por hidratación β y grado de humedad ∆c.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
εz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νθz
Ez
−
νrθ
Eθ
1
Er
−
νrz
Ez
−
νzθ
Eθ
−
νzr
Er
1
Ez
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
σz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
βθ
βr
βz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
∆c (3.38)
En condiciones de tensión plana se reduce a dos direcciones
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νrθ
Eθ
1
Er
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
βθ
βr
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎭
∆c (3.39)
Siguiendo el mismo proceso que el apartado 3.1.3 se obtiene la ecuación de desplazamien-
to, muy parecida a la ecuación 3.6 del térmico, con un nuevo parámetro g, función de la
humedad ∆c.
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u =
g
r
(3.40)
g =
£
(νrθ − a2
) αθ + (1 − νrθ) αr
¤
∆c (3.41)
Siguiendo los mismos pasos la ecuación del desplazamiento radial es
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
g
1 − a2
r (3.42)
y de las tensiones son

⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ(r) = a2
cr
∙
(1 − aνrθ)
1
ra+1
A + (1 + aνrθ) ra−1
B + (νrθνθr − 1) (βθ − βr)
∆c
1 − a2
¸
σr(r) = cr
∙
(νrθ − a)
1
ra+1
A + (νrθ + a) ra−1
B + (ν2
rθ − a2
) (βθ − βr)
∆c
1 − a2
¸
(3.43)
En un cilindro simple de material único las constantes de integración son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
(νrθ + a) (βθ − βr) ∆c
(1 − a2)
r2a
e ra+1
i − r2a
i ra+1
e
r2a
e − r2a
i
B =
(νrθ − a) (βθ − βr) ∆c
(1 − a2)
ra+1
i − ra+1
e
r2a
e − r2a
i
(3.44)
Esta solución no es válida en el punto singular para a = 1. Para este valor el parámetro
g queda
g = (νrθ − 1) (βθ − βr) ∆c (3.45)
y el desplazamiento radial y las tensiones son:
u(r) =
1
r
A + r B −
g
4
r +
g
2
r ln r (3.46)
σθ(r) = cr
∙
(1 − νrθ)
1
r2
A + (1 + νrθ)B +
e
2
(1 + νrθ) ln r
+
e
4
(−1 + νrθ) − (βθ + νrθβr) ∆c
i
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 1)
1
r2
A + (νrθ + 1)B +
e
2
(νrθ + 1) ln r
+
e
4
(−νrθ + 1) − (νrθ βθ + βr) ∆ c
i
(3.47)
Las constantes de integración para un cilindro simple son las mismas que en el térmico
pero cambiando el parámetro térmico e por el de hidratación g.
Si el material es isótropo en las propiedades elásticas y en los coeficientes de absorción,
βθ = βr = β, el parámetro g es nulo pero las tensiones no son nulas. Si se aplica a
un cilindro de material único las constantes de contorno son A = 0 y B = β ∆c y los
desplazamientos y las tensiones son
u(r) = β ∆c ; σθ(r) = 0 ; σr(r) = 0

Para comprobar los resultados se presenta un ejemplo aplicado al rotor de los apartados
anteriores, con iguales dimensiones y el mismo material, y se somete a un incremento de
humedad del 0,5 %.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 3.9: Desplazamiento radial y tensiones residuales de un cilindro con un incremento de
humedad del 0,5%, calculados en tensión plana
En la figura 3.9 se observa que los resultados son parecidos a los del caso térmico de la
figura 3.3 pero de signo contrario. El desplazamiento aumenta con el radio, al revés que
el térmico, y con un valor medio alrededor de cero. La tensión tangencial también crece
con el radio y la radial es negativa. Son de signo contrario a las creadas por la fuerza
centrífuga y favorecen las tensiones finales del rotor.
3.2.3. Condiciones de deformación plana
En el cálculo en condiciones de tensión plana se determinan las deformaciones y las
tensiones siguiendo el mismo proceso que en el apartado 3.1.7, pero partiendo de la
ecuación 3.38.
La ecuación del desplazamiento radial es la misma que en tensión plana mostrada en la
ecuación 3.42, pero con un parámetro g distinto
g =
n³q
s
− a2
´
βθ +
³
1 −
q
s
´
βr +
h³q
s
− a2
´
νθz +
³
1 −
q
s
´
νrz
i
βz
o
∆c (3.48)
en donde p, q y s están definidos en las ecuaciones 2.48 y a en 2.53. Las tensiones son
ahora:

σθ(r) = a2
cr
∙µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
³
1 + a
q
s
´
ra−1
B
+
µ
q2
p s
− 1
¶
[βθ − βr + (νθz − νrz)βz]
∆c
1 − a2
¸
σr(r) = cr
∙³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B
+
q2
s2
− a2
∆c
1 − a2
¸
(3.49)
σz(r) = νθzσθ + νrzσr − Ez βz ∆c (3.50)
Las constantes de integración en el caso de un cilindro simple son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A = −
³q
s
+ a
´ [βθ − βr + (νθz − νrz)βz] ∆c
(1 − a2)
r2a
2 ra+1
1 − r2a
1 ra+1
2
r2a
2 − r2a
1
B =
³q
s
− a
´ [βθ − βr + (νθz − νrz)βz] ∆c
(1 − a2)
ra+1
1 − ra+1
2
r2a
2 − r2a
1
(3.51)
Esta solución tiene el mismo punto singular que en el térmico, en a = 1. El parámetro g
se simplifica y queda
g =
n³q
s
− 1
´
o
∆c (3.52)
La ecuación del desplazamiento radial es la misma que en tensión plana, ecuación 3.46,
y las tensiones valen
σθ(r) = cr
∙µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B +
g
2
µ
1 +
q
p
¶
ln r
+
g
4
µ
−1 +
q
p
¶
−
µ
βθ +
q
p
βr +
µ
νθz +
q
p
νθz
¶
βz
¶
∆c
¸
σr(r) = cr
∙µ
q
p
− 1
¶
1
r2
A +
µ
q
p
+ 1
¶
B +
g
2
µ
q
p
+ 1
¶
ln r
+
g
4
µ
−
q
p
+ 1
¶
−
µ
q
p
βθ + βr +
µ
q
p
νθz + νθz
¶
βz
¶
∆ c
¸
(3.53)

Aplicando las ecuaciones 3.38 y 3.39 al ejemplo de tensión plana se obtienen los resultados
de la figura 3.10. Se observa que los gráficos tienen la misma forma, invertidos respecto
del térmico incluida la tensión axial. Pero, al igual que en el térmico, los valores son
mayores que los resultados obtenidos en tensión plana y se explica por la misma causa, la
condición de deformación plana impide la deformación axial generada por la hidratación.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-60
-40
-20
0
20
40
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
Figura 3.10: Desplazamiento y tensiones residuales en deformación plana para ∆c = 0,5 %.
De este ejemplo se concluye, igual que en el térmico, que el cálculo en condiciones de
deformación plana tampoco es válido para determinar las tensiones residuales por hidrat-
ación.
3.2.4. Combinación de tensiones residuales
Las dos tensiones, térmicas y de hidratación, se superponen creando una tensión residual
única. Pero no aparecen en el mismo momento, las térmicas existen desde el inicio y
las de hidratación se añaden progresivamente. Las tensiones residuales llegan al estado
permanente cuando la hidratación se ha completado y su valor se obtiene sumando de
los resultados anteriores.
Tal como se ha comentado, ambas son similares pero de efecto contrario. Al inicio, después
de la fabricación, las tensiones residuales son sólo térmicas y se suman a las centrífugas
disminuyendo la resistencia del rotor. Con el tiempo la hidratación genera gradualmente
tensiones que contrarrestan el efecto negativo de las térmicas. Al finalizar el proceso
de hidratación sus tensiones superan las térmicas de forma que las tensiones residuales
finales son favorables para la resistencia del rotor.
Para comprobar el estado final de las tensiones residuales en el rotor se aplica al ejemplo
de los apartados anteriores, 3.2.2 y 3.2.3. En la figura 3.11 se representan los gráficos
finales y se observa que las tensiones son del mismo signo que las de hidratación de la

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.4
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 3.11: Desplazamiento radial y tensiones residuales térmicas y por hidratación.
figura 3.9 aunque sus valores son menores y, por lo tanto, las tensiones generadas por
hidratación son mayores que las térmicas.
La influencia de las tensiones residuales sobre las totales del rotor es perjudicial durante
la primera etapa de la vida del rotor, pero disminuye con el tiempo y al final, cuando se
ha completado el proceso de hidratación, llega a ser favorable.

Capítulo 4
MEJORA DE LOS SISTEMAS DE
TENSIONES
En los dos capítulos anteriores se han utilizado dos sistemas convencionales para el cálculo
de tensiones: las condiciones de tensión plana (TP) y de deformación plana (DP). Cada
uno de ellos tiene su campo de aplicación con sus ventajas y sus limitaciones. Pocas veces
en las publicaciones sobre cálculo de rotores se plantea estudiar a fondo estas limitaciones,
simplemente se toman como premisas iniciales.
En la bibliografía el cálculo de rotores en condiciones de TP es prácticamente universal,
a pesar de despreciar las tensiones en dirección axial z. En cambio, las condiciones DP
no se utilizan prácticamente nunca y las pocas veces que aparece está modificado para
apartarse de la deformación plana pura, como por ejemplo en Genta (1985) [19] o en Ha
y otros (2001) [22]. El cálculo en DP presenta algunas limitaciones que lo hacen poco
aconsejable para el cálculo de rotores, pero su enfoque es de gran utilidad para estudiar
el sistema general de tensiones.
En este capítulo se analizan en primer lugar las deficiencias del cálculo en deformación
plana y se propone un sistema modificado que resuelve las limitaciones para su aplicación
al cálculo de rotores. Posteriormente, se desarrolla un sistema general de cálculo que
unifica los sistemas y permite aproximarse a un sistema universal donde se tiene en
cuenta la posición axial z del punto estudiado.
4.1. Estado de deformación plana modificada
4.1.1. Limitaciones del cálculo en deformación plana
El cálculo bajo condiciones de deformación plana puede considerarse como un sistema
complementario del cálculo en tensión plana. Con él se pretende simular el comportamien-
to de rotores de longitud axial grande, mientras que la tensión plana simula los rotores
de longitud corta.
71

72 CAPÍTULO 4. MEJORA DE LOS SISTEMAS DE TENSIONES
El modelo de tensión plana considera que sólo existen tensiones en dos direcciones, por
ejemplo para el caso de los rotores en r y θ, y en la tercera, z, es nula. Esta condición
se cumple en los elementos mecánicos que están libres en la tercera dirección y tienen
una longitud pequeña en esta dirección. También se cumple elementos de longitud en
z grande pero, además de tener los extremos libres, debe tener las otras dos tensiones,
en r y θ, uniformes. El hecho de tener los extremos libres supone que la fuerza total en
z es cero y, por lo tanto, la tensión media en z es nula, pero no implica que no exista
ninguna tensión local. Éstas son totalmente nulas sólo si las deformaciones en z creadas
por el efecto Poisson son totalmente uniformes, de manera que no se generan tensiones
σz locales debido a la diferencia de desplazamiento en z entre dos puntos.
El rotor es un elemento con extremos axiales libres pero las tensiones en las otras dos
direcciones, tangencial y radial, no son uniformes. Luego la condición de TP se cumple
únicamente cuando la longitud z del rotor es pequeña.
Por otra parte, el modelo de deformación plana considera nula la deformación en la
tercera dirección εz. Se cumple en elementos mecánicos rígidamente fijados en ambos
extremos de manera que no permita ningún desplazamiento exterior en z. También se
cumple parcialmente en elementos mecánicos, que a pesar de estar libres en los extremos,
tengan una longitud grande y el valor medio de las tensiones en las otras dos direcciones
sea cero.
Para describir este último caso se muestra el elemento (a) de la figura 4.1 que está libre
en los extremos z y sometido a tensiones en la dirección θ. La tensión σθ es simétrica en
r, y por efecto Poisson tiende a generar una deformación εz también simétrica, como se
muestra en las secciones próximas al extremo. En las secciones alejadas de los extremos
los desplazamientos en z negativos y positivos se compensan entre sí y la deformación
en todos los puntos tiende al valor medio, o sea a cero. Un ejemplo de este caso es un
elemento sometido a momento flector puro, que tendría una tensión como en la figura
4.1(a).
σθ
εz
(a)
z
r
θ
εz
(b)
σθ
Figura 4.1: Desplazamientos axiales de las deformaciones εz según las tensiones σ en la cara
superior.
En el caso (b) el valor medio de la tensión σθ no es nulo y las deformaciones εz generadas
por efecto Poisson tampoco tienen un valor medio nulo, como se ve en las secciones del

4.1. ESTADO DE DEFORMACIÓN PLANA MODIFICADA 73
extremo. En secciones alejadas, donde el desplazamiento se uniformiza, la deformación
en todos los puntos tiende al valor medio, que es distinto de cero. En este caso no se
cumple la condición de deformación plana.
El rotor es uno de estos casos, con extremos en z libres y con tensiones en las otras dos
direcciones no simétricas. La tensión tangencial de origen centrífugo es positiva en todos
los puntos, con un distribución semejante a σθ de la figura 4.1(b), y la tensión radial
es también siempre positiva con un máximo en el centro. Por lo tanto, las secciones
alejadas del extremo de un rotor no cumplen la condición de deformación plana porque
su deformación axial media no es nula (εz 6= 0).
A pesar de que el método de deformación plana no es válido para el cálculo del rotor
cargado con fuerzas centrífugas, los resultados para las tensiones tangencial y radial son
correctos, como se muestra en la figura 2.14. Pero los resultados de la tensión axial son
erróneos, tal como se observa en la figura 2.11 en donde los valores de σz son siempre
positivos y la fuerza axial no es cero, lo que contradice la condición de extremos libres.
Si las condiciones de deformación plana se aplican al cálculo de las tensiones residuales los
resultados son claramente erróneos, como se ha comentado en los apartados 3.1.9 y 3.2.3.
En los ejemplos presentados los resultados de las ecuaciones analíticas coinciden con los
del modelo en deformación plana en MEF, con lo que se comprueba que las ecuaciones
son correctas y el error es debido al modelo.
A pesar las deficiencias descritas este modelo es la única herramienta para afrontar el
estudio analítico de las secciones alejadas del extremo. Para ello, en este capítulo se
presenta una modificación de las condiciones de la deformación plana que determina
las tensiones en las secciones alejadas. También se obtiene un modelo aproximado para
calcular la zona de transición entre en estas secciones y las del extremo.
4.1.2. Deformación axial constante (DAC)
Como se ha visto en los capítulos anteriores para cumplir la condición de deformación
axial nula es necesario generar cargas axiales ficticias que contrarresten las deformaciones
axiales creadas por el efecto Poisson de la tensión tangencial y radial. Esto contradice la
condición del rotor de tener los extremos libres.
Este problema se soluciona introduciendo una deformación axial εz en los datos iniciales
y se mantiene el resto del proceso en las miosmas condiciones. Esta deformación es
coherente con las condiciones de contorno porque los extremos del rotor están libres sin
ninguna restricción en el desplazamiento axial.
Pocos autores afrontan dicho problema. Sung Kyu Ha en el artículo del 2001[22] introduce
una deformación axial en el cálculo de rotores. Considera que su valor es una función
lineal del radio y es igual para todas las secciones del rotor. Al final de este capítulo, en
el apartado 4.2.8, se analiza con más detalle esta propuesta.
Aquí se pretende, en un primer paso, simular solamente las secciones situadas lejos del
extremo axial. Parece evidente que en el rotor debe sufrir cierta deformación axial, pero

no es inmediato saber si varía o no con el radio. A continuación se demuestra que es
uniforme para los puntos alejados del extremo libre.
Se supone que el rotor tiene simetría axial y es uniforme en z, tanto en la geometría como
en las cargas. Esto supone que las tensiones tangenciales y radiales y las deformaciones
axiales generadas por efecto Poisson tienen también simetría axial. En puntos alejados del
extremo estas deformaciones no pueden variar con el radio porque las secciones transver-
sales al eje deben ser planas, en caso contrario el cilindro tendría que adoptar una forma
de tonel, lo cual es imposible en las secciones lejanas del extremo. A su vez, tampoco
pueden variar con z porque supondría que también varían las tensiones que las generan
y contradice la uniformidad en las cargas. Luego, en las secciones alejadas del extremo
la deformación debe ser necesariamente uniforme.
El sistema de cálculo por deformación plana se puede rehacer sustituyendo el valor cero
de la deformación axial por un valor constante. A este valor se denomina deformación
axial uniforme, εu
z , y al nuevo modelo de cálculo se le llama deformación axial constante
(DAC).
El valor de la deformación, εu
z , se determina mediante la condición de fuerza axial nula
porque los extremos del rotor están libres. Al final del capítulo, en el apartado 4.2.9,
se justifica que no es necesaria una segunda condición sobre momentos de fuerzas como
utiliza Ha y otros (2001) [22].
A continuación se desarrolla el cálculo del desplazamiento radial y las tensiones de las
zonas del rotor alejadas del extremo mediante una deformación axial constante. El cálculo
de las tensiones centrífugas se presenta por separado del cálculo de las residuales para
mantener una semejanza con los capítulos anteriores. En la sección 4.2 se extrapolan estos
resultados a los puntos más próximos al extremo para completar el cálculo del rotor.
4.1.3. Método DAC aplicado a las tensiones centrífugas
El cálculo en deformación axial constante se realiza siguiendo el mismo proceso que en
deformación plana, descrito en el apartado 2.2.8, pero suponiendo que la deformación
axial es un valor distinto de cero.
A partir de la ecuación constitutiva 2.6 se deduce el valor de εz pero no se iguala a cero,
como se ha hecho en la ecuación 2.44, sino que se asigna un valor constante εu
z . Al final
del proceso, en el apartado 4.1.4, se determina el valor adecuado de εu
z .
εu
z = −
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr +
1
Ez
σz (4.1)
σz = Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr + εu
z
¶
(4.2)
Sustituida en el propio sistema 2.6 se obtienen las deformaciones en función de las otras

dos tensiones y de un nuevo término con εu
z
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
1 − νθzνzθ
Eθ
σθ −
µ
νθr
Er
+
νθzνzr
Er
¶
σr − νθzεu
z
εr = −
µ
νrθ
Eθ
+
νrzνzθ
Eθ
¶
σθ +
1 − νrzνzr
Er
σr − νrzεu
z
(4.3)
Se reescriben, como la ecuación 2.50, en la forma
⎧
⎨
⎩
εθ
εr
⎫
⎬
⎭
=
⎡
⎣
s −q
−q p
⎤
⎦
⎧
⎨
⎩
σθ
σr
⎫
⎬
⎭
+
⎧
⎨
⎩
− νθz
− νrz
⎫
⎬
⎭
εu
z (4.4)
de donde se deducen las tensiones
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ =
p
ps − q2
∙
u
r
+
q
p
u,r +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
εu
z
¸
σr =
s
ps − q2
hq
s
u
r
+ u,r +
³q
s
νθr + νrz
´
εu
z
i
(4.5)
Derivando la ecuación σr
σr,r =
s
ps − q2
³q
s
u,r
r
−
q
s
u,r
r2
+ u,rr
´
y aplicando las tres ecuaciones a la de equilibrio, ecuación 2.4, se obtiene un desplaza-
miento igual a la ecuación 2.53 pero con un nuevo sumando en función de 1
r
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u = b r + d
1
r
(4.6)
en la cual el parámetro d contiene algunas propiedades del material y la deformación
axial εu
z
d = −
h³q
s
− a2
´
νθz +
³
1 −
q
s
´
νrz
i
εu
z (4.7)
El desplazamiento radial se obtiene de la ecuación 4.6 siguiendo el mismo proceso del
apartado 2.2.4, pero teniendo en cuenta el nuevo sumando en r−1
. En la ecuación inter-
media 2.16 la función f(r) tiene ahora dos sumandos que se resuelven en dos procesos de
integración paralelos. El sumando que contiene el parámetro b está resuelto en el propio
apartado 2.2.4 y el que contiene el d lo está en el apartado 3.2.4. La solución final para
el desplazamiento radial es la suma de los dos
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
b
9 − a2
r3
+
d
1 − a2
r (4.8)

en donde la deformación axial εu
z está incluido en el parámetro d según la expresión 4.7
La tensión tangencial y la radial se deducen sustituyendo el desplazamiento en las ecua-
ciones 4.5
σθ(r) = a2
cr
∙µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
µ
1 + a
q
p
¶
ra−1
B
+
1 + 3q
p
9 − a2
b r2
+
1 − q2
p s
1 − a2
(νθr − νrz) εu
z
#
σr(r) = cr
∙³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B
+
q
s
+ 3
9 − a2
b r2
+
a2
− q2
s2
1 − a2
z
#
(4.9)
y la tensión σz(r) se calcula a partir de éstas y la ecuación 4.2, simplificada con las
relaciones 2.8
σz(r) = νθzσθ + νrzσr + Ez εu
z (4.10)
Esta solución no es válida en los valores a = 3 y a = 1. Para el valor a = 3 coincide con
el punto singular de la solución de las fuerza centrífuga, estudiado en el apartado 2.2.6,
y a la solución particular de las ecuaciones 2.60 hay que añadir el término en d de la
ecuación 4.8 y el término en εu
z de las ecuaciones 4.9.
u(r) =
1
r3
A + r3
B −
b
36
r3
+
b
6
r3
ln r −
d
8
r
σθ(r) = a2
cr
∙µ
1 − 3
q
p
¶
1
r4
A +
µ
1 + 4
q
p
¶
r2
B
+
µ
−1 + 3
q
p
¶
b
36
r2
+
µ
1 + 3
q
p
¶
b
6
r2
ln r −
1 −
q2
p s
8
z
⎤
⎥
⎥
⎦
σr(r) = cr
∙³q
s
− 3
´ 1
r4
A +
µ
q)
s
+ 3
¶
r2
B
+
³
−
q
s
+ 3
´ b
36
r2
+
³q
s
+ 3
´ b
6
r2
ln r −
a2
−
q2
s2
8
z
⎤
⎥
⎦
(4.11)

Para el valor a = 1, también está estudiado dentro de las tensiones residuales, en el
apartado 3.1.6. La expresión del desplazamiento coincide con la ecuación 3.20 y las ten-
siones con las ecuaciones 3.33 pero cambiando el parámetro e por el parámetro d y el ∆T
por εu
z , y añadiendo los términos en b de las ecuaciones 4.8 y 4.9.
u(r) =
1
r
A + r B +
b
8
r3
−
d
4
r +
d
2
r ln r
σθ(r) = cr
∙µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B
+
1 + 3
q
p
8
b r2
−
d
4
µ
1 −
q
p
¶
+
d
2
µ
1 +
q
p
¶
ln r +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
εu
z
¸
σr(r) = cr
∙³q
s
− 1
´ 1
r2
A +
µ
q)
s
+ 1
¶
B
+
q
s
+ 3
8
b r2
−
d
4
³q
s
− 1
´
+
d
2
³q
s
+ 1
´
ln r +
³q
s
νθz + νrz
´
εu
z
¸
(4.12)
4.1.4. Condición de fuerza axial nula
Todos los resultados anteriores dependen de la deformación axial εu
z que se ha asignado
en la ecuación 4.1, pero su valor es inicialmente desconocido. Se determina mediante la
condición de extremos libres, o sea, fuerza axial nula.
La fuerza axial se calcula sumando la tensión σz en la superficie frontal del cilindro, desde
el radio interior ri hasta el exterior re. Luego la condición queda
Fz =
Z re
ri
σz2πr dr = 0 (4.13)
El valor de εu
z se puede determinar aplicando esta condición de dos maneras: sustituyendo
directamente la expresión de σz(r) dada por la ecuación 4.10 que incluye las tensiones
σθ(r) y σr(r), o mediante un cálculo iterativo. El primero da lugar a un sistema analítico
de resolución compleja, y más si el volante es multicapa con diversos materiales.
La resolución mediante el proceso iterativo es muy simple pero requiere repetir el cálculo
varias veces. Se elige un valor inicial de εu
z y se calcula la tensión σz y su fuerza Fz,
si el valor no es cero se repite con un nuevo valor de εu
z . Para que el proceso converja
rápidamente el nuevo valor se obtiene restando del valor εu
z de cálculo la deformación axial
media generada por la fuerza Fz. El sistema es bastante lineal y en pocas iteraciones se
consigue un valor de la fuerza casi nulo.

La deformación axial media εu
z creada por Fz para un rotor multicapa genérico se puede
determinar sustituyendo la fuerza axial por la integral de la ecuación 4.13
Fz =
Z re
ri
Ez εu
z r dr ⇒ εu
z =
R re
ri
σz r dr
R re
ri
Ez r dr
(4.14)
Para automatizar el proceso se asigna un valor inicial εu
z = 0, que corresponde al estado
deformación plana, y da lugar a una fuerza axial máxima pero se reduce rápidamente en
pocas iteraciones. En la práctica se comprueba que en cada iteración se divide por diez,
de manera que son suficientes dos o tres iteraciones para que la fuerza axial no influya
en las tensiones, ni en la resistencia final del rotor.
4.1.5. Ejemplo del DAC aplicado a las tensiones centrífugas
Para comprobar los resultados del DAC se aplica al ejemplo utilizado en la deformación
plana del apartado 2.2.9, con los mismos datos en el rotor y en las cargas. Después
de varias iteraciones se obtiene una deformación axial de εu
z = −3,54·10−3
m/m y una
fuerza axial inferior a 1N. Los resultados del desplazamiento y tensiones se presentan en
las figuras 4.2 y 4.3.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 4.2: Desplazamientos radiales y tensiones centrífugas en DAC
En las figuras 4.2 y 4.3 se observa que el desplazamiento radial, la tensión tangencial y la
radial son muy parecidas respecto del cálculo en DP de la figura 2.11, en cambio la tensión
axial sufre un cambio sustancial. El desplazamiento tiene una pendiente prácticamente
constante, la tensión tangencial tiene también una pendiente más suave y el valor máximo
de la radial disminuye ligeramente. La tensión axial se reduce mucho, el valor máximo
en la zona central varia de 38 a 7 MPa y en las laterales es negativo para que la fuerza
axial sea cero.

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
r / r
e
Tensión
axial
(MPa)
Figura 4.3: Tensión axial centrifuga en DAC
Para valorar estos resultados del DAC se comparan con los obtenidos en un modelo de
elementos finitos, igual que en el apartado 2.2.9 para los resultados del DP. Para ello
se crea un modelo con las mismas condiciones que la figura 2.8 del apartado 2.2.7 para
aplicarlo a TP, pero con una longitud axial mucho mayor, l = 1 m. En la figura 4.4 se
presentan los resultados sobre un radio situado sobre el eje de simetría, z = 0,5 m, y se
comparan con las gráficas anteriores de las figuras 4.2 y 4.3.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
r / r
e
Tensión
axial
(MPa)
Ecuación
MEF
Ecuación
MEF
σθ
σ
r
*10
Figura 4.4: Comparación de las tensiones obtenidas en DAC con los resultados de MEF.
En los gráficos de la figura 4.4 se observa que la coincidencia de los resultados de las
ecuaciones de DAC y los obtenidos en MEF es perfecta. Tanto en la tensión tangencial
como en la radial aparece una desviación insignificante.

Es importante resaltar que los resultados del desplazamiento y de las tensiones, tangen-
cial y radial, son prácticamente iguales que en TP. Por lo tanto, se concluye que los
resultados obtenidos por ambos sistemas son similares, solamente difieren en la tensión
y la deformación axiales. Esta diferencia es lógica porque las condiciones de cálculo son
distintas.
En el caso de fibras colocadas en dirección axial el cálculo en condiciones de deformación
axial constante se simplifica. Se aplican las consideraciones sobre los materiales expuestas
en el apartado 2.2.10 a las ecuaciones de deformación plana del apartado 2.2.9 modificadas
mediante la deformación axial constante.
En la ecuación 4.4 los parámetros p y s adoptan la forma de la ecuación 2.64 y el q
es el término general de la ecuación 2.48. De ella se obtiene también la ecuación de
desplazamiento 4.6, pero simplificada. El parámetro del material es a = 1, como en
2.2.10 y el parámetro de deformación de la ecuación 4.7 es ahora d = 0, porque νθz = νrz
según las ecuaciones 2.61.
La ecuación diferencial del desplazamiento con estas simplificaciones queda reducida a
u,rr +
1
r
u,r −
1
r2
u = b r
y su solución es un caso particular de la ecuación 4.8
u(r) =
1
r
A + r B +
b
8
r3
(4.15)
Sustituyendo ésta y su derivada en las ecuaciones 4.5 se obtienen las tensiones
σθ(r) = cr
µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
rB +
µ
1 + 3
q
p
¶
b
8
r2
+
µ
1 +
q
p
¶
νθz εu
z
σr(r) = cr
³q
s
− 1
´ 1
r2
A +
³q
s
+ 1
´
r B +
³q
s
+ 3
´ b
8
r2
+
³q
s
+ 1
´
νθz εu
z
(4.16)
en donde los cocientes entre parámetros se pueden poner en función directa de las
propiedades del material
q
p
=
νrθ + νθzνzθ
1 − νθzνzθ
;
q
s
=
νrθ + νθzνzθ
1 − νθzνzθ
La tensión axial de la ecuación 4.2 se simplifica aplicando las propiedades de la fibra axial
de las ecuaciones 2.8 y las relaciones debido a la fibra axial

σz(r) = νθz(σθ + σr) + Ezεu
z (4.17)
4.1.7. Método DAC aplicado a las tensiones residuales térmicas
Para el cálculo de tensiones térmicas en condiciones de DAC el proceso es el mismo que
en DP del apartado 3.1.8 pero añadiendo los términos de la deformación axial εu
z como se
ha hecho en el apartado 4.1.3. Las definiciones de los parámetros e y d, en las ecuaciones
3.28 y 4.16, son válidas. Los parámetros intermedios p, q y s de la ecuación 2.48 y el
parámetro a de la ecuación 2.53 también se conservan.
Dado que el proceso de cálculo es el mismo el resultado del desplazamiento y las tensiones
se obtienen fácilmente sumando los dos efectos en un único término
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
e + d
1 − a2
r (4.18)
σθ(r) = a2
cr
∙µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
³
1 + a
q
s
´
ra−1
B
+
µ
q2
p s
− 1
¶
∆T
1 − a2
+
1 − q2
p s
1 − a2
z
#
σr(r) = cr
∙³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B
+
µ
q2
s2
+ a2
¶
∆T
1 − a2
+
a2
− q2
s2
1 − a2
z
#
(4.19)
La ecuación de la tensión σz se deduce a partir de las ecuaciones 3.24 y 4.17.
σz(r) = νθzσθ + νrzσr − Ezαz∆T + Ez εu
z (4.20)
Estas ecuaciones tienen el punto singular en a = 1 y la solución particular se obtiene con
el mismo proceso que en tensión plana a partir de la ecuación 3.18. El desplazamiento y
las tensiones, tangencial y radial, son

u(r) =
1
r
A + r B −
e + d
4
r +
e + d
2
r ln r
σθ(r) = cr
∙µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B +
e + d
2
µ
1 +
q
p
¶
ln r +
e + d
4
µ
−1 +
q
p
¶
−
µ
αθ +
q
p
αr +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
αz
¶
∆T +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
εu
z
¸
σr(r) = cr
∙µ
q
p
− 1
¶
1
r2
A +
µ
q
p
+ 1
¶
B +
e + d
2
µ
q
p
+ 1
¶
ln r +
e + d
4
µ
−
q
p
+ 1
¶
−
µ
q
p
αθ + αr +
µ
q
p
νθz + νrz
¶
αz
¶
∆T +
³q
s
νθz + νrz
´
εu
z
¸
(4.21)
Si se aplica el sistema DAC al cilindro simple del ejemplo del apartado 3.1.9 se obtienen
los gráficos de desplazamiento y tensiones de las figuras 4.5 y 4.6.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 4.5: Desplazamiento y tensiones, tangencial y radial, térmicas en DAC
Los resultados de las figuras 4.5 y 4.6 son similares a los resultados en TP del apartado
3.1.5, en cambio son muy distintos de los resultados en DP de la figura 3.5. La tangencial
y la radial se reducen casi a la mitad, debido al efecto de la dilatación axial descrito en el
apartado 3.1.9. En la tensión axial la diferencia es aún mayor, porque al efecto anterior
se suma la deformación axial εu
z .
Con este ejemplo se comprueba que el cálculo en condiciones de DP es no es válido para
hallar las tensiones térmicas del rotor, tal como se ha expuesto en el apartado 3.1.9. En
cambio, el cálculo en condiciones DAC y en TP son totalmente correctos.

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
r / r
e
Tensión
axial
(MPa)
Figura 4.6: Tensión axial térmica en DAC
4.1.8. Método DAC aplicado a las tensiones residuales por hidra-
tación
Para el cálculo de las tensiones residuales por hidratación en condiciones DAC se sigue el
proceso de DP del apartado 3.2.3 pero añadiendo los términos de la deformación axial εu
z
del apartado 4.1.3. La definición del parámetro g de la ecuación 3.48 sigue siendo válida.
El desplazamiento y las tensiones se obtienen fácilmente uniendo las respectivas ecua-
ciones de ambos apartados
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
g + d
1 − a2
r
σθ(r) = a2
cr
½µ
1 − a
q
p
¶
1
ra+1
A +
³
1 + a
q
s
´
ra−1
B
+
µ
q2
p s
− 1
¶
∆c
1 − a2
+
1 − q2
p s
1 − a2
z
)
σr(r) = cr
½³q
s
− a
´ 1
ra+1
A +
³q
s
+ a
´
ra−1
B
+
q2
s2
− a2
∆c
1 − a2
+
a2
− q2
s2
1 − a2
z
)
(4.22)
Para determinar la tensión σz se aplican las ecuaciones 3.50 y 4.18

σz(r) = νθzσθ + νrzσr − Ezβz∆c + Ez εu
z (4.23)
El punto singular no varia, a = 1, y su solución particular se deduce del apartado anterior
cambiando los parámetros térmicos por los de humedad.
u(r) =
1
r
A + r B −
g + d
4
r +
g + d
2
r ln r
σθ(r) = cr
∙µ
1 −
q
p
¶
1
r2
A +
µ
1 +
q
p
¶
B +
g + d
2
µ
1 +
q
p
¶
ln r +
g + d
4
µ
−1 +
q
p
¶
−
µ
βθ +
q
p
βr +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
βz
¶
∆T +
µ
νθz +
q
p
νrz
¶
εu
z
¸
σr(r) = cr
∙µ
q
p
− 1
¶
1
r2
A +
µ
q
p
+ 1
¶
B +
g + d
2
µ
q
p
+ 1
¶
ln r +
g + d
4
µ
−
q
p
+ 1
¶
−
µ
q
p
βθ + βr +
µ
q
p
νθz + νrz
¶
βz
¶
∆T +
³q
s
νθz + νrz
´
εu
z
¸
(4.24)
Aplicando el sistema DAC al ejemplo de cilindro simple del apartado 3.2.3 se obtiene el
desplazamiento y las tensiones de las figuras 4.7 y 4.8.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 4.7: Desplazamiento y tensiones, tangencial y radial, en DAC para ∆c = 0,5 %
Estos resultados, igual que en el térmico, son muy parecidos a los obtenidos en TP del
apartado 3.2.2. Si se comparan con los gráficos en DP del apartado 3.2.3 se observa
que las tensiones, tangencial, radial y axial, son muy distintas, los valores disminuyen

4.2. MODELO UNIFICADO 85
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
r / r
e
Tensión
axial
(MPa)
Figura 4.8: Tensión axial en DAC para ∆c = 0,5 %
considerablemente. Se concluye, igual que en el apartado anterior, que los cálculos en DP
no son útiles para las tensiones de hidratación del rotor, en cambio, en TP y en DAC son
correctos y casi equivalentes a excepción de la tensión axial.
4.2. Modelo unificado
4.2.1. Unificación de modelos
En el análisis de las tensiones del rotor expuesto en los capítulos 2 y 3 se ha desarrollado
bajo las condiciones clásicas, estado de tensión plana (TP) y deformación plana (DP), y en
este capítulo 4 se ha modificado a deformación axial constante (DAC). A continuación se
presenta un modelo unificado para el cálculo de rotores que permite aplicar las condiciones
TP y DAC en un sistema único de ecuaciones. También se desarrolla, dentro de los límites
de un modelo analítico simple, un método para calcular cualquier estado intermedio entre
estas dos condiciones límite.
En todos los cálculos anteriores se ha hallado el desplazamiento radial y las tensiones en
función del radio r sin tener en cuenta la posición axial z. Con el nuevo sistema unificado
los resultados se determinan en función de ambos parámetros y las ecuaciones son tipo
σ(r, z) y ε(r, z), en donde z es la distancia al extremo libre del rotor, como se muestra
en la figura 4.9.
Para facilitar la exposición y simplificar la formulación matemática, el análisis de este
nuevo sistema se realiza de momento sobre las tensiones de la fuerza centrífuga. Más ade-
lante, en el capítulo 6 dedicado a la formulación general, las leyes que aquí se deducen se
aplican a todas las cargas, incluidas las térmicas y de hidratación. Esto permite centrarse
en el estudio de la influencia de la posición axial sobre las tensiones, prescindiendo del
tipo de carga.

4.2.2. Zonas axiales
Como es lógico los extremos libres del rotor influyen sobre el estado de tensiones y
deformaciones, de manera que sus valores son función, además del radio r, de la posición
axial z. Esta influencia decrece con la distancia al extremo y en los puntos muy alejados
pueden considerarse que es nula.
Para estudiar esta influencia en el caso de un rotor de gran longitud se distinguen tres
tipos de puntos o zonas según su posición axial: los puntos situados a poca distancia
del extremo libre, los situados a gran distancia del extremo y los intermedios o zona
de transición entre las dos. En la figura 4.9 se muestran estas zonas sobre una sección
longitudinal del rotor, en donde la distancia axial l se divide en una zona central, alejada
de los extremos, y dos laterales en cada uno de los extremos.
l
Zona extremo
Zona extremo (libre)
(condiciones TP)
Zona alejada (uniforme)
(condiciones DAC)
Zona transición
Zona transición
z r
t
zu
Figura 4.9: Zonas de cálculo diferenciadas por su posición z respecto a los extremos.
La zona del extremo se caracteriza por tener la tensión σz nula o prácticamente nula, como
consecuencia de la proximidad al borde libre. La zona alejada, sin influencia del extremo,
tiene las tensiones y deformaciones uniformes en z, y sólo varían con r. Finalmente la
zona de transición es simplemente una región intermedia entre ambas, en la cual, las
tensiones y deformaciones son función de r y de z simultáneamente.
Esta influencia del extremo implica que la distribución de tensiones es simétrica en el
eje axial y sus valores dependen de la distancia al extremo. Por esta razón, es suficiente
con analizar la mitad axial del rotor, la otra tendrá resultados simétricos. Además, es
conveniente tomar el origen de coordenadas axiales z en el extremo del cilindro, como se
ha hecho desde el principio del capítulo 2 en la figura 2.1. Para mantener las relaciones
geométricas, se toma como distancia de referencia el grosor del cilindro t, o sea la dife-
rencia entre radio exterior e interior, y la distancia z se expresa en unidades relativas de
z/t.
Los límites entre las zonas varía en función de las relaciones geométricas del rotor y de
las propiedades del material. Aunque, en realidad no existen fronteras definidas entre
las zonas, esta división es únicamente para facilitar la exposición y no influye en los
resultados del cálculo. Los límites que aquí se consideran son aproximados y su posición
en z es algo subjetiva, dependen del grado de precisión que se imponga en el cumplimiento
de las condiciones de zona libre y de zona uniforme. El más significativo para el estudio

de tensiones es la frontera entre la zona de transición y la uniforme, y a su posición en z
se denomina zu, figura 4.9.
A nivel orientativo se puede avanzar que los límites entre zonas, después de realizar el
cálculo en MEF de algunos ejemplos, están situados a unas distancias aproximadas de:
- La zona cercana al extremo libre de z/t = 0 a z/t ' 0,2.
- La zona intermedia o de transición entre z/t ' 0,2 y zu/t ' 2.
- La zona alejadas o uniforme a partir de zu/t ' 2.
4.2.3. Propiedades de las zonas libre y uniforme
La zona libre y la uniforme se pueden caracterizar fácilmente, cumplen unas condiciones
de tensión o deformación conocidas y se pueden calcular con los sistemas estudiados
anteriormente.
La zona próxima al extremo es la más simple de caracterizar, cumple la condición de
tensión axial σz = 0 y, por lo tanto, se calcula en condiciones de TP. En esta zona se
puede incluir, además de la superficie libre, los puntos cercanos al extremo, en los cuales la
tensión σz es suficientemente pequeña para que no influya sobre el estado de tensiones ni
en la resistencia. Para el cálculo son válidas las ecuaciones del desplazamiento radial u(r),
las tensiones σθ(r) y σr(r) y la deformación εz(r) deducidas en los capítulos anteriores.
La deformación axial εz en condiciones de TP, que ha sido poco estudiada en los capítulos
anteriores, tiene ahora una importancia decisiva para el análisis de la zona de transición.
Su valor se denomina ε0
z, por coincidir con el valor en z = 0, y varía con r porque es
función, en ausencia de tensiones residuales, de σθ(r) y σr(r) según la ecuación 2.35
ε0
z(r) = −
νzθ
Eθ
σθ −
νzr
Er
σr (4.25)
La zona alejada del extremo también se caracteriza fácilmente, incluso con más exactitud
que la zona del extremo. Su principal propiedad es no hallarse bajo la influencia del
extremo libre del cilindro y, por lo cual, las tensiones y deformaciones son uniformes
en z. Los puntos situados a una distancia superior a zu se pueden considerar iguales y
cumplen la condición de DAC, analizada en el apartado 4.1.2.
Todos sus parámetros son independientes de la posición axial z, y se pueden expresar con
funciones del radio, del tipo u(r), σθ(r), σr(r) y σz(r), a excepción de la deformación axial
εz que también es independiente del radio. Esta última se calcula mediante el proceso
iterativo del apartado 4.1.4, y corresponde al valor uniforme εu
z . La tensión axial σz es
especialmente útil para analizar las tensiones en la zona de transición y para distinguir su
valor del de otras posiciones z inferiores a zu, se denomina σu
z . En ausencia de tensiones
residuales se determina con la fórmula 4.10
σu
z (r) = νθrσθ + νrzσr + Ez εu
z (4.26)

Los valores de la tensión y la deformación axiales en la zona próxima y alejada son clara-
mente distintos. Las diferencias se pueden comprobar en los resultados de los ejemplos en
TP del apartado 2.2.7 y en DAC del 4.1.5. En ellos los datos del rotor eran los mismos:
fabricado de fibra de vidrio, de radios ri = 0,3 y re = 0,5 m y con velocidad angular
ω = 10000 rpm. En los dos gráficos de la figura 4.10 se reproducen los resultados de las
deformaciones y tensiones axiales de ambos ejemplos, figuras 2.6 y 4.2. En el gráfico de
deformaciones el resultado de TP, ε0
z correspondiente a z = 0, varía con r, mientras que
el de DAC, εu
z para la zona uniforme z > zu, es constante. En cambio, en las tensiones es
inverso, el resultado de TP es una constante igual a cero y el de DAC, σu
z , varía con r.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
x 10
-3
r / r
e
Deformación
axial,
ε
z
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-20
-15
-10
-5
0
5
10
r / r
e
Tensiones
axial,
σ
z
(MPa)
TP (ε
z
0
)
DAC (ε
z
u
)
TP
DAC (σ
z
u
)
C D
C' D'
Figura 4.10: Deformación y tensión axiales obtenidas en TP ( z = 0 ) y en DAC ( z = zu)
En la comparación de los gráficos de la figura 4.10 se observan interesantes coincidencias.
En las deformaciones se comprueba que el valor medio de ε0
z, ponderado por la superficie
axial, vale −3,55·10−3
m/m y coincide con el valor de εu
z calculado en DAC en el apartado
4.1.5. Igual pasa en las tensiones, el valor medio de σu
z es cero y coincide con el valor en
TP, aunque en este caso no es una coincidencia porque es consecuencia de la condición
de contorno del apartado 4.1.4.
También se observa que el gráfico de deformaciones ε0
z tiene la forma invertida del gráfico
de tensiones σu
z , son simétricos sobre una línea trazada en el valor medio. En ambos
gráficos los puntos de cruce con esta línea son coincidentes, los radios de C y D en las
deformaciones son iguales con los de C’ y D’ en las tensiones.
Estas observaciones no son meras coincidencias, se observan también en otros materiales
y en rotores multicapa. Tiene su explicación lógica dada la geometría anular del rotor y
el estado de cargas uniforme, y son de gran utilidad para entender el estado global de
tensiones del rotor que se estudia en los siguientes apartados.

4.2.4. Zona de transición
La zona de transición no cumple ninguna condición especial que simplifique el cálculo.
No se pueden aproximar al cálculo en tensión plana, dado que la tensión axial no tiene
porque ser nula, ni tampoco se puede suponer que la deformación es constante, porque
la distancia al extremo es muy corta para que todos los puntos radiales tengan el mismo
desplazamiento axial.
Un estudio analítico exhaustivo es demasiado complejo para afrontarlo en este trabajo.
Para el cálculo de la resistencia de un rotor no es necesario conocer con exactitud las
tensiones en todos puntos, es suficiente determinar las tensiones más desfavorables. Es
difícil que en esta zona exista un punto sensiblemente más desfavorable que en el resto,
lo más probable es que las tensiones sean intermedias entre las de la zona del extremo
y la zona uniforme, de forma que se pueden considerar como puntos de transición entre
ambos estados.
Para entender la naturaleza de las deformaciones y tensiones en esta zona de transición se
recurre a los resultados de los ejemplos anteriores. Si los valores del extremo, obtenidos
en TP, se comparan con los de la zona uniforme, obtenidos en DAC, se observa que
las diferencias en la tensión tangencial σθ, la radial σr y el desplazamiento u son mí-
nimas, tanto en las de origen centrífugo, figuras 2.6 y 4.2, como las térmicas, 3.3 y 4.5,
y las de hidratación, 3.9 y 4.7. Si en ambas zonas los resultados son similares, teniendo
condiciones muy distintas, se puede concluir que en los puntos de la zona de transición,
que tiene condiciones intermedias, siguen siendo similares. Además, la tensión cortante
τrθ creada por la aceleración angular debe ser también uniforme porque sus valores son
independientes de la posición axial, como se ha descrito en el apartado 2.3.2.
Las únicas que varían en la zona de transición son la tensión axial σz y la deformación
axial εz, tal como se ha expuesto en los gráficos resumidos de la figura 4.10. Luego,
el estudio de esta zona se centra en analizar la evolución de estos dos parámetros a lo
largo de zu de transición. Para ello es necesario introducir dos nuevos parámetros que
van ligados a ellos, la tensión cortante τrz y el desplazamiento axial w de la figura 4.11.
Dada la simetría de la sección longitudinal es suficiente con estudiar hasta l/2, y el eje
de simetría se toma como origen para el desplazamiento axial w.
σθ
σr
σz
τzr
τrz
z0=l/2
l/2
zu
A B
A’
B’
w=0
u
w
z
r u
w
Figura 4.11: Parámetros para el estudio de la zona de transición.

El cálculo de la zona de transición, entre AB y A’B’, se reduce básicamente a determinar
la tensión σz y de la deformación εz en función de r y z. El resultado son unas ecuaciones
del tipo σz(r, z) y εz(r, z) que posteriormente se aplican al cálculo del resto de tensiones.
Para deducir estas ecuaciones se disponen de pocos datos ciertos, a parte de la condición
de fuerza axial nula que se debe cumplir en todas las sección perpendicular al eje para
cualquier posición z. A partir de los cálculos en TP y en DAC se conocen los valores
iniciales y finales de ambas ecuaciones, mostrados en la figura 4.10, que corresponden a
z = 0 y z = zu respectivamente. Sobre ellos, se han comentado en el apartado anterior
algunas coincidencias interesantes para estudiar su progresión en z. En la figura 4.12
se representan los mismos resultados pero sobre una sección longitudinal de la zona
transitoria, los de TP en AB (z = 0) y las de DAC en A’B’ (z = zu).
Los gráficos de σz y εz de la figura 4.12 son muy útiles para entender el proceso de tran-
sición de ambos parámetros. Al inicio, sobre el borde libre AB en z = 0, la deformación
ε0
z varía en r y la tensión σz es nula. Al final, sobre el límite con la zona uniforme A’B’
en z = zu, la deformación εu
z es constante y la tensión σu
z es función de r. Los valores
medios en ambos gráficos son iguales: la deformación media de ε0
z, denominada εm
z , coin-
cide con la deformación constante εu
z y la tensión media de σu
z coincide con el valor cero
del extremo. También se representan las coincidencias en los radios de cruce de las dos
funciones variables: los radios de C y D en la curva de ε0
z coinciden con los radios de C’
y D’ en la curva de σu
z . Por todo ello se deduce que a lo largo de zu la deformación εz y
la tensión σz sufren una redistribución interna en los sucesivos radios hasta uniformarse
a partir de zu.
Zona
transitoria
zu
σz
u
D
B
A
A’
B’
D’
σz
σz=0
C
C’
εz
v
εz
B’
D’
A’
D
A
εz
m
εz
u
zu
r
εz
0
C
C’
B
DAC
TP
Figura 4.12: Deformaciones y tensiones al inicio y la final de la zona de transición, calculadas
en TP para z = 0 y en DAC para z = zu
.
Ambos procesos de redistribución en z tienen lugar en sentidos inversos. La deformación
es variable en r al inicio, en z = 0, y constante en z = zu, mientras que la tensión es
variable en z = zu. También son inversas las pendientes en r, la deformación ε0
z tiene
curvatura positiva mientras que en la tensión es negativa. Si a la deformación ε0
z se le

resta el valor medio εm
z , queda un valor variable en r, denominado εv
z, que se redistribuye
a cero en el otro extremo, igual que la tensión σu
z pero en sentido inverso.
Estas coincidencias se explican por la uniformidad en las cargas y continuidad elástica.
Las líneas axiales CC’ y DD’ mantienen la deformación y la tensión constantes en z.
En otra línea cualquiera en donde la deformación inicial ε0
z supera en εv
z al valor medio
εm
z necesita una tensión axial que comprima y genere una deformación que compense el
exceso, hasta reducirlo al valor medio en zu. Este proceso parece simple pero es necesario
hallar la ley de progresión en z de las tensiones.
Esta progresión o proceso de creación de tensiones axiales a través de z debe ser tal
que cumpla la condición de fuerza axial nula en todos los radios intermedios. Se sabe
que la distribución tensión axial σu
z cumple esta condición porque así se ha impuesto al
calcular εu
z en el apartado 4.1.4. Las distribuciones situadas en posiciones z intermedias
también cumplen si sus valores mantienen una misma proporción respecto de σu
z , como
se representa en la figura 4.13(a). Luego, se cumple si todas las líneas axiales, de radio r
constante, tienen la misma progresión en las tensiones axiales, como se representa en la
figura 4.13(b).
σz
u
B
A
A’
B’
C D
D’
(a) B
A
A’
B’
σz
u
C D
D’
(b)
Figura 4.13: Evolución de la tensión axial en la zona transitoria desde σz = 0 hasta σu
z ; (a)
sobre cada radio y (b) en z.
Si la progresión es la misma la tensión axial en la zona de transición se puede determinar
mediante una función de dos variables separadas, los valores finales σu
z función de r, y
una ley de progresión función de z, denominada ϕ. La tensión σu
z es el valor máximo y la
función de progresión aumenta con z, desde cero en z = 0 a 1 en z = zu
. Así, la tensión
en un punto cualquiera, de coordenadas (r, z), se determina con el producto de las dos
funciones independientes
σz(r, z) = ϕ(z) σu
z (r) (4.27)
La función de progresión ϕ(z) representa la capacidad de un rotor para crear tensiones
σz a medida que aumenta z y, en consecuencia, de compensar las diferencias de la de-
formación axial εv
z. Esta capacidad depende de las proporciones geométricas y de las
propiedades elásticas del material.

A partir de los valores σz(r, z) de la ecuación 4.27 se puede determinar εz(r, z) aplicando
la ecuación 2.6. La función de progresión ϕ, definida sobre σz, se podría sustituir por
otra función similar aplicada en la deformación εz, que a su vez determinaría σz. Pero
es razonable definirla sobre la tensión porque facilita el cumplimiento de la condición de
fuerzas axial y se puede aplicar directamente en las ecuaciones de cálculo por resistencia.
Ambos casos son una simplificación del comportamiento real de la zona transitoria y los
resultados son aproximados.
4.2.5. Función de progresión aproximada
Una vez descritas las características de la zona transitoria se determina la función de
progresión ϕ para la tensión axial de la ecuación 4.27. La creación de la tensión axial σz
está causada por la variación de la tensión cortante τrz en la dirección r, como se muestra
en la figura 4.14, debido al equilibrio de fuerzas en z
∂σz
∂z
+
∂τrz
∂r
= 0 (4.28)
La tensión cortante τrz está generada por la distorsión angular γzr debida a la variación
del desplazamiento axial w a largo de r, a su vez el desplazamiento es consecuencia de la
deformación axial εz. Ambas, γzr y εz, se relacionan mediante las funciones cinéticas del
plano axial de la figura 4.11, en donde el sentido de w es inverso de z.
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
εz =
∂w
∂z
γrz = −
∂w
∂r
+
∂u
∂z
(4.29)
En el apartado anterior se ha expuesto que el valor medio de la deformación axial εm
z
coincide con el valor uniforme εu
z y es constante en cualquier posición de z y r, como se
representa en la figura 4.12. Este valor uniforme crea un desplazamiento axial, denomina-
do uniforme wu, que es lineal en z y constante en r, y el desplazamiento total w se puede
expresar como suma de wu más otro término llamado transitorio wt, que sólo existe en
la zona transitoria.
wu(z) = z εu
z ; w(r, z) = wu(z) + wt(r, z) (4.30)
de ellos solamente wt es variable en r y capaz originar tensión axial, por lo cual, objeto
de estudio.
Por otra parte, la deformación axial, en ausencia de tensiones residuales, es función, según
la ecuación 2.6, de las tres tensiones
εz(r, z) = −
νzθ
Eθ
σθ(r) −
νzr
Er
σr(r)
| {z }
εu
z + εv
z(r)
+
1
Ez
σz(r, z) (4.31)

De las cuales se considera que las tensiones σθ y σr varían sólo en r porque, como se ha
comentado en el apartado anterior, son prácticamente constantes en z. A su vez, generan
por efecto Poisson una deformación axial también constante en z y, por lo tanto, debe
coincidir con el valor en el extremo ε0
z. Dicho valor de la deformación axial, al igual que
ε0
z, se puede expresar como suma del valor medio o uniforme εu
z , constante en z y en r, y
un valor variable εv
z, función de r.
En la ecuación 4.31 los dos términos distintos del uniforme son los causantes del des-
plazamiento transitorio wt de la ecuación 4.30, y constituyen la deformación denominada
transitoria εt
z porque sólo existe en la zona de transición
εt
z(r, z) = εv
z(r) +
1
Ez
σz(r, z) (4.32)
y la deformación total de la ecuación 4.31 queda
εz(r, z) = εu
z + εt
z(r, z)
Es importante notar que el factor εv
z es independiente de z y, por lo tanto, el valor ε0
z
determinado en z = 0, figura 4.13, es el mismo para cualquier posición en z. Aplicando
la ecuación 4.29(a) sólo para los términos transitorios de la ecuación 4.32 se cumple
wt,z = εv
z +
1
Ez
σz (4.33)
El valor de wt es cero en zu porque w coincide con wu de la zona uniforme. Es lógico
porque en zu la tensión axial σu
z logra compensar totalmente la deformación variable εv
z.
En cambio, el valor de wt es máximo en z = 0 y se denomina w0
t , como se indica en la
figura 4.14. Su distribución en r es parecida a la ε0
z de la figura 4.12.
τrz+dτrz
τzr+dτzr
σz+dσz
σz τzr
τrz
B
A
A’
B’
wt=0
zu
z
r
wt
dz
dr
wt
0
Figura 4.14: Desplazamiento axial en los límites de la zona de transición y tensiones en los
puntos intermedios.
Para relacionar el desplazamiento axial con la tensión cortante hay que aplicar la relación
constituyente en el plano rz

γrz =
τrz
Gzr
(4.34)
a la ecuación 4.29(b) y se obtiene
τzr = Gzr (− w,r + u,z)
Esta ecuación se simplifica al sustituir, según la ecuación 4.30, la derivada de w en r por
la derivada de wt y al despreciar la derivada de u en z. El desplazamiento radial u debe
ser constante en z porque el rotor no puede tomar la forma de tonel debido a la enorme
rigidez tangencial, solamente los puntos muy próximos al extremo en los cuales sufre una
pequeña variación que se analizará más abajo.
τzr = Gzr (− wt,r) (4.35)
Derivando respecto de z y sustituyendo la derivada del desplazamiento wt por la ecuación
4.33 se obtiene
τzr,z = −Gzr
µ
εv
z,r +
1
Ez
σz,r
¶
(4.36)
Para unificar esta función con la ecuación de equilibrio 4.28 en una fórmula general se
deriva aquélla por z y ésta por r, obteniendo la ecuación diferencial de segundo grado
siguiente
σz,zz −
Gzr
Ez
σz,rr = Gzr εv
z,rr (4.37)
Esta ecuación no se puede resolver directamente, es necesario introducir algunas rela-
ciones entre las tres variables que simplifiquen las incógnitas. De la ecuación 4.27 se
deduce que la doble derivada en r de σz es igual a la doble derivada de σu
z multiplicada
por el parámetro ϕ, que a su vez, se sustituye por la propia ecuación 4.27, y queda de la
siguiente forma
σz,rr = ϕ σu
z,rr =
σu
z,rr
σu
z
σz (4.38)
La variable εv
z,rr se puede sustiruir por una función de σu
z,rr si se considera que las tensiones
σθ y σr son prácticamente constantes en z, como se ha dicho anteriormente. Para ello la
ecuación 4.31 debe aplicarse simultáneamente a z = 0 y a z = zu.
En z = 0 la tensión σz es nula y la deformación de la ecuación 4.31 vale
εz(r) = −
νzθ
Eθ
σθ(r) −
νzr
Er
σr(r)
Su derivada respecto de r es igual a la derivada del término variable εv
z, o sea

εv
z,rr = −
νzθ
Eθ
σθ,rr −
νzr
Er
σr,rr (4.39)
En z = zu la tensión vale σz = σu
z y la deformación es constante, εz = εu
z , y vale
εu
z = −
νzθ
Eθ
σθ(r) −
νzr
Er
σr(r) +
1
Ez
σu
z (r)
Su derivada en r es nula y se obtiene
0 = −
νzθ
Eθ
σθ,rr −
νzr
Er
σr,rr +
1
Ez
σu
z,rr (4.40)
Luego de estas dos ecuaciones, 4.39 y 4.40, se deduce la relación
εv
z,rr = −
1
Ez
σu
z,rr (4.41)
Finalmente, sustituyendo las ecuaciones 4.38 y 4.41 a la ecuación 4.37 que una ecuación
diferencial fácilmente resoluble
σz,zz −
Gzr
Ez
σu
z,rr
σu
z
σz = −Gzrσu
z,rr (4.42)
Definiendo un parámetro n que agrupa variables
n2
=
Gzr
Ez
σu
z,rr
σu
z
(4.43)
la ecuación diferencial 4.42 queda
σz,zz − n2
σz = −n2
σu
z (4.44)
La solución es
σz = c1enz
+ c2e−nz
+ σu
z (4.45)
en donde las constantes c1 y c2 se determinan mediante las condiciones de contorno
z = 0 ⇒ σz = 0
z = zu ⇒
∂σz
∂z
= 0
(4.46)
y se obtiene
c1 = −σu
z
e−nzu
enzu + e−nzu
; c2 = −σu
z
enzu
enzu + e−nzu
(4.47)

Finalmente la tensión axial de la ecuación 4.45 es
σz = σu
z
µ
1 −
en(zu−z)
+ e−n(zu−z)
enzu + e−nzu
¶
(4.48)
y la función de progresión ϕ(z) definida en la ecuación 4.27 es
ϕ = 1 −
en(zu−z)
+ e−n(zu−z)
enzu + e−nzu
(4.49)
En esta ecuación el valor de zu influye poco en el resultado final, siempre que sea suficien-
temente elevado. Hay que tener en cuenta que la definición de zu es más conceptual que
real, como se ha comentado más arriba, en el apartado siguiente se sustituirá por un valor
físico, l/2. Respecto del parámetro n, definido en la ecuación 4.43, se comprueba que su
valor es bastante constante en r excepto en los puntos donde el valor de σu
z es próximo a
cero, pero en estos la función ϕ tiene poca importancia en el cálculo de resistencia porque
la tensión es baja. Luego el error cometido en el apartado 4.2.4 al considerar ϕ constante
en r es poco importante.
Para comprobar esta ecuación de ϕ(z) se aplica al rotor de fibra de vidrio de los apartados
anteriores. Sus valores se representan en la figura 4.15 y se comparan con los obtenidos
en MEF.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z / t
Función
de
progresión
Ecuación
MEF
Figura 4.15: Comparación de la función de progresión ϕ obtenida en el modelo simple y en el
cálculo por MEF.
Se observa que la forma es creciente como se ha mostrado en la figura 4.13. El valor es
cero en z = 0 y tiende asintóticamente a 1 en z elevadas, aunque se asume que el valor
es la unidad a partir de un cierto punto, el cual se ha designado por z = zu.

Si se comparan los resultados de la ecuación con los puntos obtenidos en MEF se observa
que la coincidencia es buena, a pesar de las varias simplificaciones introducidas durante
el cálculo. Cabe destacar la diferencia de pendientes en las proximidades de z = 0, en el
gráfico de la ecuación la pendiente es muy pronunciada, mientras que en MEF es suave,
prácticamente nula. Este fenómeno se explica por el efecto de borde y se atribuye a la
simplificación de la ecuación 4.35, en la cual se ha despreciado la variación de u en z.
Este desplazamiento sólo existe en las proximidades del borde libre y está relacionado
con la tensión cortante τrz que se estudiará más adelante.
La tensión cortante τrz se determina a partir de la tensión axial σz de la ecuación 4.28
τrz = −
Z
σz,zdr (4.50)
Sus valores se determinan por cálculo numérico porque en este caso es más simple que
el cálculo analítico. Además, permite introducir el valor adecuado de n obtenido en la
fórmula 4.43 que varía ligeramente con r debido al cociente σu
z,rr/σu
z .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
z / t
Tensiones
(MPa)
σ
z
τ
rz
Figura 4.16: Tensiones σz y τrz máximas en función de z
En la figura 4.16 se presentan los resultados de la tensión axial σz y tensión cortante
τrz para el ejemplo del rotor sometido a fuerzas centrífugas del apartado 4.1.5, con el
que se generaron los gráficos de la figura 4.10. Se representan las tensiones en función
de z, desde el borde del rotor en z = 0 hasta z = 0,6 mm (z/t = 3). En el cálculo se
obtiene una curva distinta para cada radio pero aquí sólo se muestra la curva de mayor
tensión, para σz corresponde a r = 0,5 m y para τrz a r = 0,45 m. El valor máximo de
σz esta situado en el punto más alejado del extremo, y su valor de −15 MPa coincide
con la tensión máxima de σz de la figura 4.10, situada en r = 0,5. La tensión τrz decrece
en z y su valor máximo en el extremo del rotor, en z = 0, es −5 MPa. Estos valores,

especialmente el de τrz, son muy inferiores a los valores máximos de las tensiones σθ y
σr del rotor, 410 MPa y 30 MPa respectivamente, determinados en el apartado 4.1.5.
Este cálculo es aceptablemente correcto para la determinación de la tensión axial σz,
como se muestra en la figura 4.15, pero es deficiente para la tensión τrz. En el borde,
en z = 0 de la figura 4.14, no puede existir físicamente ninguna tensión cortante y, en
consecuencia, este resultado no es aceptable. Esta cuestión será motivo de un análisis
más profundo en el apartado 4.2.7.
4.2.6. Rotores de longitud corta
Lo expuesto hasta ahora es aplicable directamente a los rotores de longitud larga, en los
que se distinguen claramente la zona uniforme y la transitoria, pero cabe preguntarse
como se comporta un rotor de longitud corta que no tenga zona uniforme.
En ese caso la longitud z0 = l/2 de la figura 4.11 es inferior a zu y la tensión y la
deformación axiales no llegan a uniformizarse. Las condiciones en el extremo libre del
rotor son las mismas y el proceso de formación de la tensión axial en la zona transitoria
es parecido, luego se puede aplicar el método de la función de progresión ϕ(z) pero
modificando las condicione en el límite interior. En la ecuación 4.46 la condición de
pendiente nula en la zona uniforme, en zu, debe sustituirse por la condición de pendiente
nula en el plano de simetría axial del rotor, o sea en z0
z = z0 ⇒
∂σz
∂z
= 0 (4.51)
Con esta modificación la función ϕ(z) de la ecuación 4.49 queda igual pero sustituyendo
zu por z0
ϕ = 1 −
en(z0−z)
+ e−n(z0−z)
enz0 + e−nz0
(4.52)
Durante el cálculo se aplican los conceptos de εu
z y σu
z aunque físicamente no existen en
el rotor. La tensión axial máxima se halla en z = l/2 y su valor es inferior a σu
z .
En los gráficos de la figura 4.17 se presenta la nueva función ϕ para el rotor del ejemplo
anterior pero con longitud corta. Se representa el resultado de distintos rotores, con
longitudes crecientes, 0.1, 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8 m, y con el mismo grosor de pared, t = 0,2
m. Se observa que el valor máximo para longitudes grandes es próximo a la unidad y
para longitudes inferiores decrece rápidamente. En rotores de l/2 inferior a 0,5t el valor
de ϕ no llega a 0,3 y σz es despreciable en los cálculos.
Con esta generalización se comprueba que el valor de la distancia zu no tiene importancia
a efectos de cálculo de tensiones, porque se puede aplicar z0 = l/2 y utilizar la ecuación
4.52 en los casos que la longitud del rotor sea grande. La distancia zu ha sido útil para
describir la generación de la tensión axial y deducir la ley de progresión.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
z / t
Función
de
progresión
rotor largo
rotores cortos
Figura 4.17: Modificación de la función de progresión ϕ al disminuir la longitud (l) del rotor.
4.2.7. Consideraciones sobre la tensión cortante axial
El sistema de cálculo de la tensión cortante τrz expuesto en el apartado 4.2.5 es incompleto
porque el resultado de la tensión cortante τrz en el extremo, en z = 0, no es cero. En
realidad, su valor es nulo porque está junto al borde libre, y los valors de ϕ, en la figura
4.15, son aproximados, sobre todo en los puntos cercanos al extremo. A continuación se
analiza con más profundidad el comportamiento de la tensión cortante τrz en la zona
próxima al extremo y se deduce una nueva función de ϕ, más completa, que se adapta
mejor al comportamiento real. Este efecto es parecido al estudiado por Pagano y otros
(1989) [37], aunque en aquel caso se aplica a placas planas laminadas y con tensiones de
borde originadas por la diferencia en la orientación del laminado de fibra.
En el estudio se analiza primero el efecto de borde y, posteriormente, se aplica al caso de
la tensión axial. El efecto de borde se analiza sobre la sección longitudinal de la figura
4.9, en la cual se sustituye la deformación axial εz de la figura 4.12 por una deformación
angular γrz de valor constante, denominada γu
rz y se determina la tensión cortante τrz
generada en una franja de espesor diferencial, dr, sobre una línea AB en dirección z,
figura 4.18(a).
En el punto B, situado lejos del extremo, se genera una tensión cortante uniforme τu
rz
τu
rz = Grz γu
rz (4.53)
En cambio, en el punto A, situado sobre la superficie libre del extremo, la tensión debe
ser necesariamente nula. En los puntos intermedios próximos al extremo la tensión τrz
varía con z, desde el valor uniforme τu
rz hasta anularse en z = 0, tal como se observa en
la zona AC de la figura 4.18(d). Su progresión es similar a la variación de la tensión axial

τzr +dτzr
τzr
σr+dσr
σr
(c)
(d)
τrz
u
τrz
C
A
B
τrz
u
(a)
τrz
u
dr
dz
A
B
z
r
(b) γrz
u
γrz=0
u
w
Figura 4.18: Comportamiento de una franja longitudinal sometida a tensión cortante τrz.
σz de la figura 4.13, pero aquí la distancia z de la zona de transición es mucho menor.
Esta variación de la tensión cortante se deduce analizando los desplazamientos, radial u y
axial w, figura 4.18(b), y las tensiones en dirección radial, σr y τzr, figura 4.18(c). Su dis-
minución es consecuencia de la aparición del desplazamiento radial u en las proximidades
del extremo libre que contrarresta la deformación γu
rz.
En todos los puntos debe cumplirse la ecuación 4.29(b), aunque en este caso el término
u,z debe considerarse también negativo, al igual que w,r, porque el extremo libre se halla
en la dirección negativa de z
γrz = −w,r − u,z (4.54)
Cuando se aplica en el extremo, en z = 0, se observa que la tensión τzr y deformación
angular γrz son nulas y las derivadas se compensan, w,r = −u,z. Pero, si se aplica a la
zona uniforme el ángulo γrz vale γu
rz y el desplazamiento radial u es nulo
γu
rz = −w,r (4.55)
Luego, la ecuación 4.54 significa que en todos los puntos se cumple que el valor aplicado
γu
rz es suma de la deformación angular y la derivada de u
γu
rz = γrz + u,z (4.56)
que expresada en función de la tensión cortante uniforme τu
rz y la tensión local τrz queda
τu
rz
Grz
=
τrz
Grz
+ u,z (4.57)
Las tensiones en dirección radial de la figura 4.18(c) cumplen la ecuación de equilibrio

σr,r + τzr,z = 0 (4.58)
en la cual la tensión radial es función de εr, según la ecuación 2.6, si se desprecian los
efectos de Poisson de las otras tensiones
σr ' Er εr (4.59)
que a su vez, se puede sustituir por el desplazamiento radial, según la ecuación 2.5(b)
σr = Er u,r (4.60)
De las ecuaciones 4.57, 4.58 y 4.60 se deduce la ecuación diferencial de la tensión cortante
para la franja en z sometida a una deformación constante γu
rz
τrz,zz −
Er
Grz
τrz,rr = −
Er
Grz
τu
rz,rr (4.61)
Esta ecuación es muy parecida a la ecuación diferencial 4.37 de la tensión axial en el
apartado 4.2.5 y se resuelve aplicando una simplificación similar. La tensión cortante τrz
se sustituye por el valor final τu
rz, función de r, y un parámetro de progresión ψ, función
de z, de manera quedan las variable separadas igual que en σz de la ecuación 4.27.
τrz(r, z) = ψ(z) τu
rz(r) (4.62)
Con el mismo razonamiento de la ecuación 4.38 se deduce
τrz,rr =
τu
rz,rr
τu
rz
τrz (4.63)
y la ecuación 4.61 queda
τrz,zz − m2
τrz = −m2
τu
rz (4.64)
en donde el parámetro m agrupa las propiedades elásticas y el cociente de la tensión
uniforme
m2
=
Er
Grz
τu
rz,rr
τu
rz
(4.65)
Su solución matemática es la misma que en la ecuación 4.44, o sea
τrz = c1emz
+ c2e−mz
+ τu
rz (4.66)

y aplicando las condiciones de contorno de la figura 4.18, en z = 0 τrz = 0 y en z = ∞
τrz = τu
rz, se obtiene
τrz = τu
rz (1 − e−mz
) (4.67)
Luego, la formación de la tensión cortante en las cercanías del borde libre es una función
exponencial de m que, según la ecuación 4.65, depende de las propiedades del material y
de la tensión cortante en la zona uniforme τu
rz(r).
Cabe recordar que la deformación angular γu
rz de un rotor sometido a fuerza centrífuga y
sin considerar el efecto de borde anterior no sería constante en z, sino que su valor variaría
según la función de la tensión τrz en la figura 4.16. No obstante, la resolución desarrollada
para una deformación angular constante tiene interés por haber encontrado el parámetro
de progresión exponencial m que determina la formación de la tensión cortante en las
cercanías del borde libre.
El valor de la tensión τrz determinado en el apartado 4.2.5, figura 4.16, debe modificarse
con el efecto de borde, según el parámetro de progresión exponencial m. Para ello no se
puede aplicar directamente la ecuación 4.67 porque la tensión τu
rz no sea constate en z
y no esta definida la deformación angular γu
rz ni la tensión τu
rz. No obstante, el proceso
mecánico para la generación de la tensión τrz en las proximidades del borde libre es el
mismo y, por lo tanto, la constante m se conserva.
Para determinar la función exacta de τrz en z habría que aplicar las consideraciones
anteriores al proceso deductivo de σz del apartado 4.2.5. Pero su resolución analítica es
compleja y no compensa porque no influye a penas en el cálculo de la rotura del rotor.
Se estima suficiente un cálculo aproximado, consistente en replantear la relación entre σz
y τrz de la ecuación 4.28 utilizando la nueva función de progresión de τrz y las funciones
determinadas en el apartado 4.2.5.
Se considera que la tensión cortante de la ecuación de equilibrio 4.28 inicial
σz,z + τrz,r = 0 (4.68)
está afectada por la ecuación 4.67 y su derivada es
τrz,r = τu
rz,r (1 − e−mz
) (4.69)
A su vez, el termino τu
rz,r se determina mediante la ecuación 4.50, aplicando la función de
la tensión axial σz aproximada de la ecuación 4.45. De manera que se obtiene una nueva
tensión axial
σz =
Z
(C1enz
+ C1e−nz
+ σu
z ) dz +
Z
e−mz
(C1enz
+ C1e−nz
+ σu
z ) dz
con unas nuevas constantes de integración que se determinan con las mismas condiciones
de contorno del apartado 4.2.6

z = 0 ⇒ σz = 0
z = z0 ⇒
∂σz
∂z
= 0
(4.70)
en donde z0 = l/2 según la figura 4.11. La solución de σz es una función igual a la
ecuación 4.27, pero la ley de progresión ϕ simple de la ecuación 4.52 queda sustituida
por una función más completa
ϕ = 1 −
(n − m)[1 + n
m
(1 − e−mz
)]en(z0−z)
− (n + m)[1 − n
m
(1 − e−mz
)]en(z0−z)
(n − m)enz0 − (n + m)e−nz0
(4.71)
Si se compara esta nueva ecuación con los resultados de la función ϕ simple y los de
MEF de la figura 4.15 en la nueva figura 4.19, se comprueba que ha mejorado y los
valores son prácticamente coincidentes en este ejmplo de MEF. Su pendiente en el origen
es también nula, igual que aquellos, gracias a la inclusión del factor exponencial e−mz
de la tensión cortante en la ecuación 4.67. Esta coincidencia no significa que en todos
los casos los resultados deban ser tan exactos, para validar definitivamente esta ecuación
sería necesario estudiar más puntos y con más ejemplos.
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z / t
Función
de
progresión
Ec. simple
MEF
Ec. completa
Figura 4.19: Ajuste de la función de progresión ϕ: la ecuación completa 4.71 se acerca más a
los resultados de MEF que la ecuación simple 4.52.
En la figura 4.20 se presentan los nuevos resultados de las tensiones σz y τrz del ejemplo
de la figura 4.16. Se observa que ahora la tensión cortante τrz en el extremo, en z = 0,
es nula y su valor máximo sólo llega a 3MPa. Es importante notar que la forma de estas
gráficas son parecidas a las obtenidas por Pagano y otros (1989) [37] para placas planas.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
z / t
Tensiones
(MPa)
σ
z
(ec. simple)
σ
z
(ec. completa)
τ
rz
(ec. simple)
τ
rz
(ec. completa)
Figura 4.20: Modificación de las tensiones σz y τrz máximas en función de z con la ecuación
de ϕ completa
La tensión cortante τrz tiene valores muy pequeños y es, con diferencia, la menos im-
portante de las tensiones. Siempre será muy inferior a la tensión axial porque depende
de la pendiente de σz en z, que a su vez, está limitada por las propiedades del material.
Además, el punto de valor máximo de la tensión cortante τrz nunca coincidirá con los
punto de valor máximo de la tensión axial.
Con ello se concluye que el efecto de la tensión cortante τrz sobre el cálculo final del rotor
es muy poco importante comparado con las otras tensiones. Por lo tanto, en este trabajo
no se tiene en cuenta la tensión cortante τrz para los estudios de diseño del rotor.
4.2.8. Modelo unificado
El método desarrollado para calcular la zona de transición se puede extender a la zona
del extremo y la uniforme. Así, los sistemas de cálculo en TP y en DAC son simples
casos particulares de la función de progresión ϕ, de manera que en un único sistema de
ecuaciones se incluyen todos los casos.
Antes de exponer el sistema unificado conviene recordar que la función de progresión
ϕ no es exacta, y su aplicación al cálculo de tensiones es aproximado, a excepción de
los valor extremos cero y uno. También que el objetivo final del cálculo es determinar el
límite de resistencia del rotor, no el estado completo de tensiones, y para ello es suficiente
conocer las tensiones del punto más desfavorable, o al menos tener la seguridad que no
existe ningún punto que sea significativamente más perjudicial.
La tensión axial de la ecuación 4.2 utilizada al inicio del cálculo de DAC, aplicable a la
zona uniforme, se puede extrapolar para cualquier posición mediante la función ϕ de la

ecuación 4.27 y la ecuación general queda
σz = ϕ Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr + εu
z
¶
(4.72)
De esta forma puede tomar cualquiera de las tres modalidades o zonas mediante el valor
de ϕ adecuado: con ϕ = 0 la tensión axial es nula y el cálculo se reduce al sistema de TP,
con ϕ = 1 la ecuación 4.72 se convierte en la propia ecuación 4.2 y el cálculo se reduce al
sistema de DAC y con un valor es intermedio, entre 0 y 1, corresponde a un punto z de
la zona de transición. Utilizando esta ecuación los tres sistemas se unifican en uno sólo y
abarca todas las posiciones de z.
Si se sustituye la ecuación de la tensión axial 4.2 por la ecuación 4.72 se puede rehacer el
cálculo de tensiones y deformaciones porque ϕ es independiente de r. Las ecuaciones de
deformaciones 4.3 son idénticas, sólo se introduce el parámetro ϕ en algunos términos
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
1
Eθ
− ϕ
νθzνzθ
Eθ
σθ −
µ
νθr
Er
+ ϕ
νθzνzr
Er
¶
σr − νθzϕεu
z
εr = −
µ
νrθ
Eθ
+ ϕ
νrzνzθ
Eθ
¶
σθ +
1
Er
− ϕ
νrzνzr
Er
σr − νrzϕεu
z
(4.73)
Estos términos se mantienen a lo largo de los cálculos de los apartados 4.1.3 4.1.7 y
4.1.8. Para no repetir todas las ecuaciones del cálculo se deja para el capítulo 6, donde
se desarrolla el proceso completo, la obtención de las ecuaciones finales.
Con el sistema unificado de cálculo de tensiones mediante la función ϕ se consiguen varios
objetivos. Por orden de importancia son:
1. Unificar el cálculo en un sólo sistema de ecuaciones, donde TP y DAC son dos casos
particulares con ϕ = 0 y ϕ = 1 respectivamente.
2. Permite entender la naturaleza de la transición entre la zona del extremo libre y la
zona uniforme.
3. Describe con bastante exactitud la variación de las tensiones en dicha zona.
4. Permite calcular la resistencia del rotor con la seguridad de que no existe un punto
claramente más desfavorable.
4.2.9. Análisis de otros modelos
Finalizado el estudio del comportamiento del rotor se analiza el modelo de Sung Kyu Ha
[22] comentado en el apartado 4.1.2. Se ha dejado para el final porque las descripciones
realizadas sobre la deformación y la tensión axiales permiten analizarlo con más facilidad.
El modelo de Ha considera que la deformación axial εz es constante en z, pero varía
linealmente con el radio, según la ecuación

εz(r) = ε0 + ε1r (4.74)
Los valores de ε0 y ε1 son dos constantes que Ha determina mediante las condiciones de
ΣFz = 0 y ΣM = 0, según las siguientes ecuaciones
Fz =
Z
σzdA = 0 ; M =
Z
σzrdA = 0 (4.75)
Este modelo sustituye el cálculo en condiciones de tensión plana utilizado por el resto
de autores y mejora los resultados, sobre todo en el cálculo de rotores de longitud axial
grande porque introduce la tensión axial. Pero tiene bastantes limitaciones, principal-
mente de tipo conceptual, que se analizan a continuación.
Aplica la misma distribución de deformaciones εz a todas las secciones transversales
independientemente de la posición z y, por lo tanto, no tiene en cuenta las variaciones
descritas en los apartados anteriores. Esta condición se aproxima más al cálculo en DAC
que en TP, o sea a la zona uniforme que la del extremo, pero la función lineal de εz
propuesta no es válida para ninguna de las dos, tampoco para un punto de la zona de
transición.
En la zona del extremo, z = 0, no cumple la condición básica de σz = 0, y la ecuación
lineal de εz de la ecuación 4.74 es muy distinta a la forma curva obtenida en el modelo
de TP. En el resultado del ejemplo de la figura 4.10(a) se observa que la forma curva del
gráfico de TP difícilmente se puede aproximar a una recta.
En el cálculo de la zona uniforme el término ε0 de la ecuación 4.74 es coherente con la
deformación uniforme, incluso conceptualmente coincide con εu
z calculado en DAC. Pero,
el término ε1 no puede existir físicamente en un punto alejado del extremo. Supondría que
el alargamiento axial en el radio exterior es distinto que en interior, lo cual es imposible
porque no puede adoptar una forma de tonel en la zona alejada del extremo.
En la zona de transición es más difícil analizar su validez porque, como se ha descrito,
en ella no se cumple ninguna condición específica como las otras dos zonas. Aunque se
puede objetar que los valores constantes en z de la deformación axial de este modelo
contradice la característica principal de la zona que, por ser de transición, la deformación
debe variar necesariamente con la posición z.
Además, este modelo tiene otra limitación importante: la condición de suma de momentos
para hallar ε1. La ecuación 4.75 no es propiamente una suma de momentos de las fuerzas
axiales en la sección transversal del rotor respecto de un eje diametral, porque en ella
la distancia r no es vectorial. De todas formas, si se determinase el momento de toda la
sección necesariamente sería nulo porque la tensión tiene simetría axial y, por lo tanto,
ε1 = 0. En cambio calculado con la distancia r se determina el momento de la distribución
radial de tensiones que casi nunca será nulo y ε1 6= 0.
En resumen, mejora el cálculo en TP pero no es correcto aplicar a todas las posiciones
axiales el mismo valor, ni es acertado determinar el coeficiente ε1 mediante la ecuación
de momentos.

Capítulo 5
TENSIONES RESIDUALES EN
ESTADOS NO UNIFORMES
5.1. Tensiones de curado a temperatura no uniforme
5.1.1. Curado a temperatura no uniforme
En el cálculo de las tensiones térmicas de los capítulos 3 y 4 se ha considerado que
el rotor se cura a temperatura uniforme y durante su utilización se mantiene también
a temperatura uniforme. Esto supone que el incremento de temperatura, que genera
tensiones residuales, es igual en todos puntos del volante, con un valor único para ∆T
del apartado 3.1.2.
Puede darse el caso que este incremento de temperaturas no sea uniforme en el radio.
Por ejemplo, si en el curado o durante el uso del rotor la temperatura de la superficie
interna del rotor es distinta que la externa.
En este capítulo no se pretende deducir un sistema para de resolver todas las posibles for-
mas en el incremento de temperatura de un rotor. A pesar del título genérico del capítulo,
el objetivo de este estudio es hallar nuevas formas de curado, mediante temperaturas no
uniformes, que mejoren las tensiones residuales del rotor.
El curado a temperatura no uniforme ha sido tratado por algunos autores pero en situa-
ciones distintas a las que aquí se consideran. Por ejemplo, en Lee y Springer (1990) [32] y
[33] y en Scott y Beck (1992) [46] se tiene en cuenta la distribución de temperaturas gen-
erada por la reacción química exotérmica y el flujo de calor hacia el exterior. En ambos,
se considera que la temperatura ambiental constante y la variación de temperaturas en
el radio es pequeña, porque el calor generado es muy bajo, y en consecuencia, los efectos
sobre las tensiones residuales es despreciable.
Aquí se estudia el caso de un curado realizado bajo un gradiente de temperatura im-
portante, creado de manera artificial manteniendo la superficie interna del rotor a una
107

108 CAPÍTULO 5. TENSIONES RESIDUALES EN ESTADOS NO UNIFORMES
temperatura distinta de la externa. Esta diferencia se puede conseguir, por ejemplo, ca-
lentando la superficie externa mediante un foco de calor y enfriando con aire fresco la
interna, tal como se representa en la figura 5.1.
No se consideran los estados transitorios temporales durante el calentamiento desde la
temperatura ambiental ni el enfriamiento después del curado. En el articulo de Lee y
Springer (1990) [33] se comprueba que no son importantes para las tensiones finales.
5.1.2. La temperatura en función del radio
La distribución radial de la temperatura en una pared cilíndrica con una temperatura
en la superficie externa distinta de la interna no es lineal, como en el caso de una pared
plana. La curvatura de la pared crea un gradiente más pronunciado en los radios pequeños
porque el área es menor.
En un punto cualquiera situado a un radio r, comprendido entre el radio interno ri y
el externo re, la temperatura T(r) es función de la temperaturas extremas, interna Ti y
externa Te.
Ti
r
dr
Q
Te
T+dT
ri
re
T
Foco de
calor
Q
Sumidero
de calor Q
Figura 5.1: La diferencia de temperaturas Ti a Te crea un flujo radial de calor Q un gradiente
de temperaturas dT
Para mantener la temperatura de la superficie externa Te distinta de la interna Ti es
necesario un flujo de calor entre ellas, como se muestra en la figura 5.1. Para ello, es
necesario aportar el calor Q en la superficie el externa y evacuarlo en la interna. Se
supone que las fugas a través de las superficies laterales son nulas y, por lo tanto, el flujo
es el mismo en todos los radios, cualquiera que sea la su posición axial.
Para determinar la distribución de temperaturas se considera el cilindro de espesor dife-
rencial dr situado en un radio r, en el cual el incremento diferencial de temperaturas dT
es función del flujo de calor Q. Se cumple la ley de transmisión de calor a través de una
pared, Incropera y DeWitt (1990) [31], por la que el flujo de calor Q (J/s) es función del
coeficiente de conductividad térmica λ (J/m so
C), de la superficie S (m2
) y del gradiente
de temperatura dT (o
C)
Q = −λ S
dT
dr
(5.1)

5.1. TENSIONES DE CURADO A TEMPERATURA NO UNIFORME 109
en donde, el signo negativo significa que el sentido del flujo es contrario al gradiente de
temperaturas.
Si se considera que el cilindro tiene una longitud unitaria, la superficie S se reduce a 2πr,
y el diferencial de temperatura es una función del radio r
dT = −
Q
2 πλ
dr
r
(5.2)
Integrando esta expresión con respecto del radio r se obtiene una distribución logarítmica
de temperaturas
T(r) = −
Q
2 πλ
ln r + C (5.3)
de donde la constante de integración C y el flujo de calor Q se deducen de los valores de
temperatura conocidos: en r = ri es T = Ti y en r = re es T = Te.
C = Ti +
Q
2 πλ
ln ri ; Q = (Te − Ti)
2 πλ
ln r1 − ln re
Con lo cual, la ecuación de temperatura es
T(r) = Ti + (Te − Ti)
ln r − ln ri
ln re − ln ri
(5.4)
Se trata de una función logarítmica del radio, con pendiente más pronunciada en los
radios menores porque la superficie es menor. Si el cilindro fuese de pared delgada, en
donde el radio exterior re es similar al interior ri, la función se puede aproximar a una
recta, pero no es el caso de los rotores para volantes de inercia que siempre son de pared
gruesa.
Después de mantener el rotor a las temperaturas constantes Ti y Te, durante el proceso de
curado, se enfría hasta la temperatura ambiente o temperatura final uniforme, Tf . Este
incremento ∆T(r), por el cual se generan las tensiones residuales descritas en el apartado
3.1.1, es también una función del radio. Su valor es la diferencia entre la temperatura
final Tf y la función inicial T(r)
∆T(r) = Tf − T(r) = t0 + t1 ln r (5.5)
Es también una función logarítmica, en donde se han agrupado se han agrupado los
factores constantes
t0 = Tf − Ti +
Te − Ti
ln re − ln ri
ln ri ; t1 = −
Te − Ti
ln re − ln ri
(5.6)

El término independiente t0 es el incremento constante de temperatura y t1es el factor
de escala de la función logarítmica de lnr.
En la figura 5.2 se muestra un ejemplo del gradiente de temperatura para un rotor
de pared muy gruesa, ri = 0,1re. Los valores extremos son Ti = 60o
C, Te = 180o
C y
la temperatura ambiente Tf = 20o
C. En este caso las constantes de la ecuación valen
t0 = 180 y t1 = 52,1.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
r / r
e
Temperatura
(ºC)
T(r)
T
f
Figura 5.2: Ejemplo de gradiente de temperatura de un rotor con Te = 160 oC y Ti = 60 oC.
5.1.3. Desplazamiento radial
A continuación se calcula el desplazamiento y las tensiones residuales de un rotor curado
a temperatura no uniforme. El cálculo se realiza únicamente con el sistema de tensión
plana. De momento no aplica el unificado deducido en el capitulo anterior, porque sólo
se pretende mostrar las diferencias respecto de los resultados a temperatura uniforme del
capítulo 3. En el capítulo 6, sobre formulación general, se utilizarán los términos deducidos
aquí en tensión plana para el sistema unificado y se deducirá la solución global. Por otra
parte, se considera que las fibras están orientadas a 0o
.
El cálculo de deformaciones y tensiones residuales es muy parecido al cálculo térmico del
capítulo 3. El incremento constante de temperatura ∆T de la ecuación 3.2 se sustituye
aquí por la función de la ecuación 5.6.
Las tensiones de la ecuación 3.4 son iguales pero con un incremento de temperatura ∆T
logarítmica. Sustituyendo estas tensiones y la derivada de σr en la ecuación de equilibrio
de fuerzas 3.5 se obtiene la ecuación de desplazamiento, muy parecida a la ecuación 3.6
pero con un nuevo término logaritmo
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u =
e1
r
+ e2
ln r
r
(5.7)

Las constantes e1 y e2 son función de la ecuación de temperatura 5.5 y las propiedades
del material
e1 = [(νrθ − a2
)t0 + νrθ t1] αθ + [(1 − νrθ)t0 + t1] αr
e2 = [(νrθ − a2
) αθ + (1 − νrθ )αr] t1
(5.8)
La ecuación desplazamiento en función del radio, u(r), se obtiene mediante el mismo
proceso de integración que el capítulo 3 pero con el factor r−1
ln r. La ecuación 3.8 queda
x,r +
(1 − 2a)r(−1−a)
+ (1 + 2a)r(−1+a)
r−a + ra
| {z }
g(r)
x = e1
r−1
r−a + ra
+ e2
r−1
ln r
r−a + ra
| {z }
f(r)
(5.9)
en donde la función f(r) tiene dos sumandos por lo que la integral de la ecuación 3.10 se
divide en dos términos, la propia integral Id y una función logarítmica denominada Ie
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = e1
Z
r−a
(1 + r2a
) dr
| {z }
Id
+ e2
Z
r−a
ln r (1 + r2a
) dr
| {z }
Ie
(5.10)
La integral Ie se resuelve por partes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
m = ln r dm =
1
r
dr
dn = (r−a
+ ra
) dr n =
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
Ie =
Z
ln r (r−a
+ ra
) dr =
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
ln r −
Z µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
1
r
dr
=
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
ln r −
Ã
r1−a
1 − a
2
+
r1+a
1 + a
2
!
(5.11)
Luego, en la ecuación general 3.12 se le suma una tercera integral denominada I4 y queda
y = A0
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
dr + e1
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
dr
+ e2
Z
r(2a−1)
(1 + r2a)
∙µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
ln r −
r1−a
(1 − a)2
+
r1+a
(1 + a)2
¸
dr
| {z }
I4
(5.12)

Dicha integral se resuelve también por partes, en la cual m coincide con la integral Ie
anterior
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
m =
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
ln r −
r1−a
(1 − a)2
+
r1+a
(1 + a)2
dm = ln r
1 + r2a
ra
dr
dn =
r2a−1
(1 + r2a)2
dr n =
−1
2a(1 + r2a)
I4 =
−1
2a(1 + r2a)
∙µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
ln r −
r1−a
(1 − a)2
+
r1+a
(1 + a)2
¸
-
Z
−1
2a(1 + r2a)
ln r
1 + r2a
ra
dr
| {z }
If
(5.13)
en donde, la nueva integral If también se resuelve por partes
m = ln r dm =
1
r
dr ; dn = r−a
dr n =
r1−a
1 − a
If =
1
2a
Z
ln r r−a
dr =
1
2a
µ
r1−a
1 − a
ln r −
Z
r1−a
1 − a
1
r
dr
¶
=
1
2a
r1−a
1 − a
ln r +
1
2a
r1−a
(1 − a)2
(5.14)
El resultado de la integral I4, después de simplificar y agrupar términos, es
I4 =
1
1 − a2
r1+a
1 + r2a
ln r +
1
2a(1 + r2a)
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
−
1
2a
r1−a
(1 − a)2
(5.15)
y la variable y, de la ecuación 5.12, es
y = A0 −1
2a(1 + r2a)
+
e1
1 − a2
r1+a
1 + r2a
+
e2
1 − a2
r1+a
1 + r2a
ln r
+
e2
1 − a2
r1+a
1 + r2a
µ
r1−a
1 − a
+
r1+a
1 + a
¶
+
e2
2a (1 − a2)
r1−a
+ B0
(5.16)
Finalmente, sustituyendo esta variable intermedia en la ecuación 2.14 se obtiene la
ecuación desplazamiento u(r), en la que se agrupan los términos en funciones de la vari-
able r

u(r) =
1
ra
A + ra
B +
µ
e1
1 − a2
−
2 e2
(1 − a2)2
¶
r +
e2
1 − a2
r ln r (5.17)
Esta solución es muy similar a la temperatura uniforme, de la ecuación 3.14, pero con el
coeficiente del término en r ampliado y un término logarítmico nuevo.
5.1.4. Tensiones
Las tensiones residuales originadas por el incremento logarítmico de temperatura se ob-
tienen de las mismas ecuaciones 3.4, a las que se aplica la nueva ecuación de desplaza-
miento 5.17, su derivada y la función ∆T(r) de la ecuación 5.5
σθ(r) = a2
cr
½
(1 − a νθr)
1
ra+1
A + (1 + a νθr) ra−1
B + (1 + νθr)
∙
e1
1 − a2
−
2 e2
(1 − a2)2
¸
+ νθr
e2
1 − a2
− (αθ + νθr αr) t0 +
∙
(1 + νθr)
e2
1 − a2
− (αθ + νθr αr) t1
¸
ln r
¾
σr(r) = cr
½
(νrθ − a)
1
ra+1
A + (νrθ + a) ra−1
B + (νrθ + 1)
∙
e1
1 − a2
−
2 e2
(1 − a2)2
¸
+
e2
1 − a2
− (νrθ αθ + αr) t0 +
∙
(νrθ + 1)
e2
1 − a2
− (νrθ αθ + αr) t1
¸
ln r
¾
(5.18)
Se comprueba que si la temperatura de curado es uniforme, o sea Ti = Te = T, los
resultados de la ecuación 5.18 coinciden con los de la ecuación 3.15.
Las constantes A y B de las condiciones de contorno en el caso particular de un rotor de
material único son
A = −
To (ra−1
2 − ra−1
1 ) + Tl (ln r1ra−1
2 − ln r2ra−1
1 )
(νrθ − a)
µ
ra−1
2
ra+1
1
−
ra−1
1
ra+1
2
¶
B = −
To
µ
1
ra−1
2
−
1
ra−1
1
¶
+ Tl
µ
ln r1
ra+1
2
−
ln r2
ra+1
1
¶
(νrθ + a)
µ
ra−1
1
ra+1
2
−
ra−1
2
ra+1
1
¶
(5.19)
en donde se han agrupado algunos factores en los parámetros To y Tl siguientes

To = (νrθ + 1)
µ
e1
1 − a2
−
2 e2
(1 − a2)2
¶
+
e2
1 − a2
Tl = (νrθ + 1)
e2
1 − a2
(5.20)
5.1.5. Punto singular
Esta solución, igual que en el apartado 3.1.6, no es válida para el valor a = 1 y es necesario
obtener la solución particular para este punto. En este caso las constantes e1 y e2 son
e1 = [(ν − 1)t0 + ν t1] αθ + [(1 − ν)t0 + t1] αr
e2 = (ν − 1) (αθ − αr) t1
(5.21)
Esta singularidad modifica simultáneamente las integrales Id y Ie de la ecuación 5.10.
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = e1
Z
(r−1
+ r) dr
| {z }
Id1
+ e2
Z
ln r (r−1
+ r) dr
| {z }
Ie1
(5.22)
La primera está resuelta por Id1 de la ecuación 3.18 y la segunda, que se denomina Ie1,
se resuelve por partes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
m = ln r dm =
1
r
dr
dn = (r−1
+ r) dr n = ln r +
r2
2
Ie1 = e2
Z
ln r (r−1
+ r) dr = e2
µ
ln r +
r2
2
¶
ln r −
Z µ
ln r +
r2
2
¶
1
r
dr
= e2
µ
1
2
ln 2
r +
r2
2
ln r −
r2
4
¶ (5.23)
Sustituyendo ambas en la ecuación 5.22 se obtiene la solución de variable intermedia x
2.17 y su integral y, según la ecuación 2.25. En ella distinguen tres integrales.

y = E0
Z
r
(1 + r2)2
dr + e1
Z
r
(1 + r2)2
µ
ln r +
r2
2
¶
dr
| {z }
I31
+ e2
Z
r
(1 + r2)2
∙
1
2
ln2
r −
r2
2
ln r +
r2
4
¸
dr
| {z }
I41
(5.24)
La primera es un caso particular del primer sumando de la ecuación 5.16, la segunda,
I31, está resuelta en la ecuación 3.19 y la tercera es un caso particular de I4, denominada
I41, que se soluciona de forma semejante
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
m =
1
2
ln2
r +
r2
2
ln r −
r2
4
dm = ln r (r−1
+ r) dr = ln r
1 + r2
r
dr
dn =
r
(1 + r2)2
dr n =
−1
2(1 + r2)
I41 =
−1
2(1 + r2)
µ
1
2
ln2
r +
r2
2
ln r −
r2
4
¶
−
Z
−1
2
ln r
dr
r
=
1
2(1 + r2)
µ
−
r2
2
ln r +
1
4
r2
+
1
2
r2
ln 2
r
¶ (5.25)
Sustituyendo estas integrales en la ecuación 5.24 y aplicando la ecuación 2.14 se obtiene
el desplazamiento u(r) para a = 1, que sustituye a la ecuación 5.17
u(r) =
1
r
A + r B +
³
−
e1
4
+
e2
8
´
r +
³e1
2
−
e2
4
´
r ln r +
e2
4
r ln2
r (5.26)
También se obtienen las tensiones

σθ(r) = cr
½
(1 − ν)
1
r2
A + (1 + ν) B − (1 + ν)
³e1
4
−
e2
8
´
+ ν
³e1
2
−
e2
4
´
− (αθ + ν αr) t0 +
h
(1 + ν)
³e1
2
−
e2
4
´
+ ν
e2
4
− (αθ + ν αr) t1
i
ln r
+ (1 + ν)
e1
4
ln 2
r
o
σr(r) = cr
½
(ν − 1)
1
r2
A + (ν + 1) B − (ν + 1)
³e1
4
−
e2
8
´
+
³e1
2
−
e2
4
´
− (ν αθ + αr) t0 +
h
(ν + 1)
³e1
2
−
e2
4
´
+
e2
4
− (ν αθ + αr) t1
i
ln r
+ (ν + 1)
e1
4
ln 2
r
o
(5.27)
Si se aplican a un rotor simple se deducen las constantes como
A = −
Tl (ln r1 − ln r2) + Tll (ln 2
r1 − ln 2
r2
(ν − 1)
µ
1
r2
1
−
1
r2
2
¶
B = −
To
µ
1
r2
2
−
1
r2
1
¶
+ Tl
µ
ln r1
r2
2
−
ln r2
r2
1
¶
+ Tll
µ
ln 2
r1
r2
2
−
ln 2
r2
r2
1
¶
(ν + 1)
µ
1
r2
2
−
1
r2
1
¶
(5.28)
en donde se agrupan los términos de la ecuación de σr(r) To, Tl y Tll que se definen como
To = −(ν + 1)
³e1
4
−
e2
8
´
+
³e1
2
−
e2
4
´
− (ν αθ + αr) t0
Tl = (ν + 1)
³e1
4
−
e2
8
´
+
e2
2
− (ν αθ + αr) t1
Tll = (ν + 1)
e2
4
(5.29)
Si además de a = 1, que equivale a Eθ = Er, el material es totalmente isótropo en todas
las propiedades elásticas y térmicas, con νθ = νr = ν y αθ = αr = α, los factores y las
tensiones se simplifican
e1 = (1 + ν)t1α ; e2 = 0

u(r) =
1
ra
A + ra
B −
(1 + ν)t1
4
r +
(1 + ν)t1
2
rln r
σθ(r) = cr
∙
(1 − ν)
1
r2
A + (1 + ν)B − (1 + ν) α t0 + (ν2
− 1)
α t1
4
(ν2
− 1) +
α t1
2
ln r
¸
σr(r) = cr
∙
(ν − 1)
1
r2
A + (ν + 1)B − (1 + ν) α t0 − (ν2
− 1)
α t1
4
+ (ν2
− 1)
α t1
2
ln r
¸
(5.30)
Se comprueba que para el caso de un rotor de material único el término constante del
incremento de temperatura, t0, no contribuye a las tensiones. Para ello se hallan las
constantes A y B y se sustituyen en las ecuaciones anteriores
σθ(r) =
µ
−
ln ri − ln re
r−2
i − r−2
e
1
r2
−
1
2
+
r−2
e ln ri − r−2
i ln re
r−2
e − r−2
i
− ln r
¶
E α t1
2
σr(r) =
µ
ln ri − ln re
r−2
i − r−2
e
1
r2
+
r−2
e ln ri − r−2
i ln re
r−2
e − r−2
i
− ln r
¶
E α t1
2
(5.31)
en las cuales el parámetro E es el módulo elástico del material isótropo.
5.1.6. Ejemplo
Si al rotor del ejemplo del apartado 3.1.7 se cambia la temperatura uniforme del curado
por un gradiente de temperatura las tensiones residuales disminuyen. La superficie exte-
rior se somete a una temperatura de 180o
C y la interior a 120o
C y después del curado
se enfría a una temperatura uniforme de 20o
C. El desplazamiento radial y las tensiones,
tangencial y radial residuales después del curado se presentan en la figura 5.3.
Comparando estos resultados con los del curado a temperatura uniforme a 120o
C de la
figura 3.3 se observa que la contracción radial es mayor. En el uniforme los desplazamien-
tos interno y externo eran de −0,15/ − 0,55 y ahora aumentan hasta −0,20/ − 0,80 mm,
lo cual es lógico porque el incremento medio de temperatura es mayor. En cambio, las
tensiones residuales disminuyen, la tangencial pasa de 14/ − 10 a 6,5/7,0 MPa y el valor
máximo de la radial cambia de 1,5 a 0,85 MPa.
Es muy interesante comprobar que a pesar de haber aumentado el incremento medio de
la temperatura las tensiones residuales generadas son menores. La zona externa del rotor
tiende a contraerse más que la interna y genera una ligera tensión radial de compresión
que compensa la tensión propia del enfriamiento.
La reducción de las tensiones residuales a pesar de ser importante, en este ejemplo al-
canza el 50%, es poco significativa dentro de las tensiones totales porque se suman a
las tensiones de la fuerza centrífuga. Para este mismo rotor las tensiones tangenciales

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
-5
0
5
10
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
Figura 5.3: Desplazamiento radial y tensiones térmicas generadas por un curado a temperatura
no uniforme
y radiales de la figura 2.6 en el apartado 2.2.7 son del orden de 400 MPa y 30 MPa
respectivamente, lo que supone una disminución de sólo el 2%.
5.2. Tensiones en estados transitorios de hidratación
5.2.1. Absorción de humedad en un rotor
En el capítulo 3 de tensiones residuales se han determinado las tensiones debidas a la
hidratación para una concentración de humedad constante, pero, igual que las tensiones
térmicas, en la práctica pueden darse estados de humedad no uniforme. A diferencia del
térmico, esta situación se da siempre en los rotores porque la resina se hidrata mediante
un proceso gradual de absorción de humedad, tal como se ha comentado en el apartado
3.2.1. La duración de este proceso es distinto según el espesor de la pared, en una pared
fina se completa en poco tiempo, pero si el espesor es grande y dura cierto tiempo, se
crean estados transitorios que deben tenerse en cuenta para el cálculo de tensiones.
El grado de humedad de la resina después del curado es muy bajo y absorbe lentamente
la humedad contenida en el ambiente. Las zonas próximas al exterior, en contacto directo
con el aire, absorben fácilmente la humedad y quedan saturadas en poco tiempo, pero
las interiores se hidratan lentamente a través de un proceso de difusión, que se describe
en Springer y Tsai (1981) [47]. Si el espesor de pared es de pocos milímetros el proceso
se completa en pocos meses pero en espesor grande puede durar años, o incluso no llega
a completarse nunca.

5.2. TENSIONES EN ESTADOS TRANSITORIOS DE HIDRATACIÓN 119
Los rotores para volantes de inercia suelen tener un espesor de pared grande, y es frecuente
que la hidratación se prolongue a largo de toda su vida. En estos casos, la humedad tiene
una distribución radial no uniforme que irá cambiando progresivamente con el tiempo y
genera tensiones también variables.
5.2.2. Proceso de absorción de humedad
Para la determinación del proceso de absorción de la humedad en un material compuesto
se sigue el sistema presentado por Springer y Tsai (1981) [47]. En él se determina el
contenido de la humedad en los puntos interiores de una pared plana inmersa en un
ambiente húmedo. El valor depende de la distancia x perpendicular a la superficie y del
tiempo t.
La hidratación depende de la humedad máxima y del coeficiente de difusión, que a su
vez depende de la temperatura, del tipo de resina y de la orientación de las fibras.
Según este autor el incremento de humedad ∆c en un punto x sigue una ley del tipo
∆c = (cm − ci)
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
1 −
4
π
∞
X
j=0
1
2j + 1
sin
(2j + 1) πx
h
exp
"
−
(2j + 1)2
π2
D t
h2
#
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(5.32)
en donde cm es la humedad máxima y ci la humedad inicial en%, h el espesor de la pared
en mm, t el tiempo en s y D el coeficiente de difusión en la dirección perpendicular a la
superficie externa en mm/s2
. A su vez la difusión depende de la temperatura T en o
K y
de dos constantes del material, Do y C.
D = Do ∗ exp(−C/T) (5.33)
Para ilustrar esta función en la figura 5.4 se presenta el resultado de un ejemplo en el que
se aplica una resina de difusión rápida. Se trata de placa plana de 100 mm de espesor,
de fibra de carbono y resina epoxi, T3000/976, con una humedad máxima del 0,6 % y
40o
C de temperatura. Para este material los parámetros, según Spriger, son: Do = 0,023
mm2
s−1
y C = 300o
K. En la figura se representa el grado de humedad en función de la
posición x y el tiempo, desde 1 hasta 40 años.
La humedad es simétrica porque la difusión se realiza en ambos superficies laterales. Se
comprueba que necesita mucho tiempo para llegar hasta el centro de la placa y saturarse
completamente, a pesar de estar a una temperatura relativamente elevada de 40o
C.
5.2.3. Distribución aproximada de la humedad
Para el cálculo de la resistencia de un rotor no es necesario conocer el proceso de absorción
de humedad. Como se ha descrito en el capítulo 3 las tensiones que genera son mucho

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x (m)
Humedad
(%)
40
20
10
5
1
Figura 5.4: Aumento de la humedad en el interior de una pared plana de 100 mm en sucesivos
años de vida, según Springer (1981) [47]
menos importantes que las centrífugas, e incluso menores que las térmicas. Además, si el
rotor no llega a la saturación total durante el tiempo vida, las tensiones son inferiores a
las calculadas en el capítulo 3. Por lo cual, en este trabajo no es necesario tener mucha
precisión en los valores de la distribución de la humedad en el estado transitorio.
Para poder aplicar la ley de distribución de la ecuación 5.32 a un rotor se realizan algunas
hipótesis simplificativas. Se considera que la humedad entra por las superficies del radio
exterior e interior, y no se considera la humedad que penetra por las caras laterales, lo
que supone una fuerte limitación para los rotores de corta longitud axial. Se desprecia
también el efecto de la curvatura, de forma que se aproxima a una pared plana.
La expresión matemática de la ecuación 5.32 se simplifica para adaptarla a la estructura
de las ecuaciones de los capítulos anteriores como se verá en el capítulo 6 de formulación
general. Los términos sinusoidales se sustituyen por una función polinómica en r para que
los términos del mismo tipo que en el resto de cargas. Se limita a un polinómio de cuarto
grado porque el número de términos de las ecuaciones generales no es excesivamente
grande y la precisión en los resultados sea suficiente. Este se adapta bien al perfil de la
función, excepto durante el tiempo inicial en los puntos próximos a la superficie exterior
y su influencia sobre las tensiones finales es mínima.
La función polinómica del incremento de humedad ∆c en función del radio r es del tipo
∆c = c0 + c1 r + c2 r2
+ c3 r3
+ c4 r4
(5.34)
en la cual los coeficientes ci se determinan a partir valores de ∆ci de la ecuación 5.32
tomados en cinco puntos ri representativos. Estos se calculan mediante el sistema
©
∆ci
ª
=
£
1 ri r2
i r3
i r4
i
¤ ©
ci
ª
(5.35)

La ecuación 5.32 considera que la humedad entra por las dos caras pero algunas veces el
rotor tiene la superficie interna impermeable a la humedad, por ejemplo si incorpora un
mandrino metálico. En este caso la humedad entra solamente por la superficie externa,
generando una distribución asimétrica y la humedad es máxima en el radio exterior y
mínima en el interior. Su distribución coincide con la mitad del gráfico simétrico de la
figura 5.4, porque la simetría supone que no existe flujo de humedad por la superficie
central. La ecuación es idéntica pero reemplazando el radio medio de la distribución por
el radio interior del rotor.
En la figura 5.5 se muestran las dos funciones, la simétrica (a) para un rotor con entrada de
humedad por el radio exterior el interior y la asimétrica (b) para un rotor con mandrino.
En ella se comprueba la bondad del ajuste de la ecuación 5.34 y se aplica un rotor
con misma geometría que en los ejemplos anteriores: ri = 0,3 y re = 0,5 m. Se utiliza
un material del tipo T3000/976 y se somete a una humedad máxima de 0.6% y una
temperatura de 40o
C durante 20 años. En la figura 5.5, junto con los valores de la función
polinómica, se representan los valores originales de la ley de Springer para comparar
ambas funciones.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r / r
e
Humedad
(%)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Humedad
(%)
Polinómica
Springer
Polinómica
Springer
r / r
e
Figura 5.5: Ajuste de una función polinómica a la ley de absorción de humedad de Springer en
un rotor sin mandrino (a) y con mandrino (b).
De los valores de la figura 5.5 se deduce que el ajuste es bueno, las diferencias son
inapreciables en el rotor sin mandrino (a) y muy pequeñas en el rotor con mandrino (b).
La equivalencia es totalmente aceptable para la condición de ajuste aproximado que se
expuso anteriormente.
Para periodos de tiempo pequeños la ecuación de Springer sigue teniendo el valor máximo
en el extremo pero decrece rápidamente con la distancia al extremo y se hace nula en
pocos milímetros, como se muestra en la figura 5.6. Si el periodo es muy breve y la
pendiente de la ecuación de Springer muy pronunciada la función polinómica en r de

la ecuación 5.34 no puede reproducirla porque el polinómio de cuarto grado tiene una
pendiente máxima limitada. Para compensar esta diferencia se asigna un valor máximo
en el extremo menor que el real, de forma que la nueva trayectoria se adapta mejor a la
ecuación de Springer.
En la figura 5.6 se presentan los resultados del ejemplo anterior pero para un tiempo de
1 año. En los extremos se aprecia que la ecuación de Springer decrece rápidamente y la
función polinómica sigue una trayectoria media. Con ello se consigue que el área inferior
sea la misma y las tensiones residuales generadas sean similares.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
r / r
e
Humedad
(%)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Humedad
(%)
Polinómica
Springer
Polinómica
Springer
r / r
e
Figura 5.6: Ajuste especial de la función polinómica a la ley de Springer para tiempos breves
en rotor sin y con mandrino.
En los ejemplos del final del capítulo, en la sección 5.2.7, se comprueba que las tensiones
en tiempos muy breves no son importantes porque las tensiones residuales de hidratación
son favorables a la resistencia del rotor. Por lo cual, se estima que ésta aproximación es
suficiente para el cálculo global del rotor.
5.2.4. Desplazamiento radial
Igual que el caso de la temperatura no uniforme después de deducir la ley de distribución
se determina el desplazamiento radial y las tensiones mediante el proceso del capítulo
3. Ahora el incremento de humedad constante se sustituye por la función radial de la
ecuación 5.34. Igual que el caso térmico anterior se aplica únicamente el sistema de
tensión plana y fibras orientadas a 0o
.
De la ecuación del material 3.38 se deduce la función desplazamiento, parecida a la
ecuación 3.40 pero con nuevos sumandos en el segundo término, agrupados en función de
r

u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u = g0
1
r
+ g1 + g2 r + g3 r2
+ g4 r3
(5.36)
en donde, las constantes están generadas por los factores del polinomio de ∆c y son
g0 = [(νrθ − a2
) βθ + (1 − νrθ) βr ] c0
g1 = [(2νrθ − a2
) βθ + (2 − νrθ) βr ] c1
g2 = [(3νrθ − a2
) βθ + (3 − νrθ) βr ] c2
g3 = [(4νrθ − a2
) βθ + (4 − νrθ) βr ] c3
g4 = [(5νrθ − a2
) βθ + (5 − νrθ) βr ] c4
(5.37)
Para resolver la ecuación del desplazamiento se utilizan los mismos cambios que en el
apartado 2.2.4 y la función f(r) tienen múltiples sumandos
f(r) = (g0
1
r
+ g1 + g2 r + g3 r2
+ g4 r3
)
ra
1 + r2a
(5.38)
Cada uno de ellos, al resolver la integral de la ecuación2.23, da lugar a una integral
distinta
Z
f(r) e
R
g(r) dr
dr = g0
Z
(r−a
+ ra
) dr
| {z }
Id
+ g1
Z
(r1−a
+ r1+a
) dr
| {z }
Ig
+ g2
Z
(r2−a
+ r2+a
) dr
| {z }
Ic
+ g3
Z
(r3−a
+ r3+a
) dr
| {z }
Ih
+ g4
Z
(r4−a
+ r4+a
) dr
| {z }
Ik
(5.39)
Las integrales Ic y Id estaban definidas en los capítulos 2 y 3 respectivamente y, por lo
tanto, están resueltos los factores que de ellas se derivan. Las restantes, Ig, Ih y Ik son
similares a las anteriores pero con exponentes distintos y su resolución es la misma
Ig =
Z
r1−a
(1 + r2a
) dr =
r2−a
2 − a
+
r2+a
2 + a
Ih =
Z
r3−a
(1 + r2a
) dr =
r4−a
4 − a
+
r4+a
4 + a
Ik =
Z
r4−a
(1 + r2a
) dr =
r5−a
5 − a
+
r5+a
5 + a
(5.40)

Al sustituir estos resultados en la ecuación 2.25 para la determinación de la variable y
algunos sumandos tienen integrales conocidas, I1, I2 y I3, y las nuevas se denominadas
I5, I6 y I7
y = A0
I1 + g0 I3 + g1
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r2−a
2 − a
+
r2+a
2 + a
¶
dr
| {z }
I5
+ g2 I2
+ g3
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r4−a
4 − a
+
r4+a
4 + a
¶
dr
| {z }
I6
+ g4
Z
r2a−1
(1 + r2a)2
µ
r5−a
5 − a
+
r5+a
5 + a
¶
dr
| {z }
I7
(5.41)
La integral I5 se resuelve por partes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
m =
r2−a
2 − a
+
r2+a
2 + a
dm = r1−a
(1 + r2a
) dr
dn =
r2a−1
(1 + r2a)2
dr n =
−1
2a(1 + r2a)
I5 =
−1
2a(1 + r2a)
µ
r2−a
2 − a
+
r2+a
2 + a
¶
−
Z
−1
2a
r1−a
dr =
r2+a
(4 − a2)(1 + r2a)
(5.42)
y las I6 y I7 son idénticas pero con exponentes distintos
I6 =
r4+a
(16 − a2)(1 + r2a)
(5.43)
I7 =
r5+a
(25 − a2)(1 + r2a)
(5.44)
Finalmente, deshaciendo el cambio de la ecuación 2.14 se obtiene el desplazamiento
u(r) =
1
ra
A + ra
B +
g0
1 − a2
r +
g1
4 − a2
r2
+
g2
9 − a2
r3
+
g3
16 − a2
r4
+
g4
25 − a2
r5
(5.45)
Se observa que los términos que contienen los factores g siguen una progresión regular
y sería fácil los factores de las potencias sucesivas a partir de un polinomio de c en la
ecuación 5.32 de grado mayor. Pero se estima que no es necesario para el cálculo final del
rotor, como se ha comentado al inicio de esta sección.

5.2.5. Tensiones
Las tensiones residuales originadas se obtienen, igual que en el capítulo 3, sustituyendo la
ecuación del desplazamiento en las ecuaciones de las tensiones. Las ecuaciones resultantes,
como en la ecuación del desplazamiento, tienen en número elevado de factores.
σθ(r) = a2
cr
∙
(1 − a νθr)
1
ra+1
A + (1 + a νθr) ra−1
B + (νrθνθr − 1) (βθ − βr)
c0
1 − a2
+ (νθrνrθ − 1)(2βθ − βr)
2 c1
4 − a2
r + (νθrνrθ − 1)(3βθ − βr)
3 c2
9 − a2
r2
4 c3
16 − a2
r3
5 c4
25 − a2
r4
¸
(5.46)
σr(r) = cr
∙
(νrθ − a)
1
ra+1
A + (νrθ + a) ra−1
B + (ν2
rθ − a2
) (βθ − βr))
c0
1 − a2
+ (ν2
rθ − a2
) (2βθ − βr))
c1
4 − a2
r + (ν2
rθ − a2
) (3βθ − βr))
c2
9 − a2
r2
+ (ν2
rθ − a2
) (4βθ − βr))
c3
16 − a2
r3
+ (ν2
rθ − a2
) (5βθ − βr))
c4
25 − a2
r4
¸
(5.47)
Las constantes de contorno, A y B, para el caso de un rotor de material único son
A = −
1
(νrθ − a)
µ
ra−1
e
ra+1
i
−
ra−1
i
ra+1
e
¶
£
Rc0(ra−1
e − ra−1
i ) + Rc1(rira−1
e − rera−1
i )
+Rc2(r2
i ra−1
e − r2
era−1
i ) + Rc3(r3
i ra−1
e − r3
era−1
i ) + Rc4(r4
i ra−1
e − r4
era−1
i )
¤
B = −
(νrθ − a)
µ
ra−1
i
ra+1
e
−
ra−1
e
ra+1
i
¶
∙
Rc0
µ
1
ra+1
e
−
1
ra+1
i
¶
+ Rc1(
ri
ra+1
e
−
re
ra+1
i
)
+Rc2(
r2
i
ra+1
e
−
r2
e
ra+1
i
) + Rc3(
r3
i
ra+1
e
−
r3
e
ra+1
i
) + Rc4(
r4
i
ra+1
e
−
r4
e
ra+1
i
)
¸
(5.48)
en donde se han agrupado algunos los factores en las siguientes constantes

Rc0 = (ν2
rθ − a2
) (βθ − βr))
c0
1 − a2
Rc1 = (ν2
rθ − a2
) (2βθ − βr))
c1
4 − a2
Rc2 = (ν2
rθ − a2
) (3βθ − βr))
c2
9 − a2
Rc3 = (ν2
rθ − a2
) (4βθ − βr))
c3
16 − a2
Rc3 = (ν2
rθ − a2
) (5βθ − βr))
c4
25 − a2
5.2.6. Puntos singulares
Como en casos anteriores esta solución no es válida para ciertos valores de a. Siguiendo
los mismos pasos se deducen las expresiones para cada uno.
Para a = 1 el desplazamiento radial es
u(r) =
1
r
A + r B −
g0
4
r +
g1
3
r2
+
g2
8
r3
+
g3
15
r4
+
g4
24
r5
+
g0
2
r ln r
(5.49)
y las tensiones son
σθ(r) = cr
∙
(1 − νθr)
1
r2
A + (1 + νθr) B − (1 − νθr)
g0
4
− (βθ + νθrβr) c0
+
h
(1 + 2νθr)
g1
3
i
r +
h
(1 + 3νθr)
g2
8
i
r2
+
h
(1 + 4νθr)
g3
15
i
r3
+
h
(1 + 5νθr)
g3
24
i
r4
+ (1 − νθr)
g0
2
ln r
i
(5.50)

σr(r) = cr
∙
(νrθ − 1)
1
r2
A + (νrθ + 1) B + (νrθ − 1)
g0
4
− (νrθβθ + βr) c0
+
h
(νrθ + 2)
g1
3
i
r +
h
(νrθ + 3)
g2
8
i
r2
+
h
(νrθ + 4)
g3
15
i
r3
+
h
(νrθ + 5)
g4
24
i
r4
+ (νrθ + 1)
g0
2
ln r
i
(5.51)
Para a = 2 el desplazamiento es
u(r) =
1
r2
A + r2
B −
g0
3
r −
g1
16
r2
+
g2
8
r3
+
g3
15
r4
+
g4
24
r5
+
g1
4
r2
ln r
(5.52)
y las tensiones son
σθ(r) = 4cr
∙
(1 − 2νθr)
1
r3
A + (1 + 2νθr) r B − (1 + νθr)
g0
3
+
h
(−1 + 2νθr)
g1
16
i
r +
h
(1 + 3νθr)
g2
5
i
r2
+
h
(1 + 4νθr)
g3
12
i
r3
+
h
(1 + 5νθr)
g3
21
i
r4
+ (1 − 2νθr)
g1
4
r ln r
i
(5.53)
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 1)
1
r2
A + (νrθ + 1) r B − (νrθ + 1)
g0
3
+
h
(−νrθ + 2)
g1
16
i
r +
h
(νrθ + 3)
g2
5
− (νrθβθ + βr)c2
i
r2
+
h
(νrθ + 4)
g3
12
i
r3
+
h
(νrθ + 5)
g4
21
i
r4
+ (νrθ + 2)
g1
4
r ln r
i
(5.54)
Para a = 3 el desplazamiento es

u(r) =
1
r3
A + r3
B −
g0
8
r −
g1
5
r2
−
g2
36
r3
+
g3
7
r4
+
g4
16
r5
+
g2
6
r3
ln r
(5.55)
y las tensiones son
σθ(r) = 9cr
∙
(1 − 3νθr)
1
r4
A + (1 + 3νθr) r2
B − (1 + νθr)
g0
8
+
h
−(1 + 2νθr)
g1
5
i
r +
h
(−1 + 3νθr
g2
36
i
r2
+
h
(1 + 4νθr)
g3
7
i
r3
+
h
(1 + 5νθr)
g3
16
i
r4
i
+ (1 − 3νθr)
g2
6
r2
ln r
(5.56)
σr(r) = cr
∙
(νrθ − 3)
1
r4
A + (νrθ + 3) r2
B + (−νrθ + 1)
g0
8
+
h
(νrθ + 2)
g1
5
i
r +
h
(−νrθ + 3)
g2
36
i
r2
+
h
(νrθ + 4)
g3
7
i
r3
+
h
(νrθ + 5)
g4
16
i
r4
+ (νrθ + 3)
g2
6
r2
ln r
i
(5.57)
Si se comparan estas tres soluciones se observa una progresión regular y sería fácil escribir
las ecuaciones para a = 4 y a = 5 sin necesidad de nuevas deducciones matemáticas. En
el siguiente capítulo, sobre formulación general, se exponen los términos completos para
los cinco valores.
5.2.7. Ejemplo
En el ejemplo del apartado 3.2.2 se ha determinado el desplazamiento y las tensiones
para el material saturado, a continuación se presentan los resultados en años sucesivos
de la vida del rotor, para 1, 10 y 40 años. Se considera que la resina epoxi es del tipo
976 y la temperatura equivalente de 30o
. Se elige algo superior a la media aritmética
de las temperaturas de ambientales porque según la ecuación 5.35 la difusibilidad varía
exponencialmente con la temperatura.

En los gráficos la figura 5.7 se representan las variaciones de cada parámetro con las
curvas progresivas para los tres periodos de tiempo y para el material saturado o vida
infinita. En el gráfico (a) de la primera figura se presenta la absorción de humedad y en
el (b) el desplazamiento radial, en el (c) tensión tangencial y en el (d) la radial.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-30
-20
-10
0
10
20
30
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-30
-20
-10
0
Tension
tangencial
(MPa)
1
10
40
∞
Humedad
(%)
Desplazamiento
(mm)
Tension
radial
(MPa
*10)
1
10
40
∞
∞
40
10
1
1
10
40
∞
r / r
e
r / r
e
r / r
e
r / r
e
(a) (b)
(c) (d)
Figura 5.7: Aumento del grado de humedad, desplazamiento radial, tensión tangencial y radial
de un rotor en sucesivos años de vida.
Para un tiempo infinito los valores del desplazamiento y las tensiones coinciden con los
resultados para el material saturado de la figura 3.9. Se comprueba que la humedad se
absorbe muy lentamente, al cabo de un año es muy baja y a los diez años sólo afecta
a la zona próxima al exterior. Durante los años de vida de un rotor la hidratación es
relativamente baja y las tensiones son también bajas comparadas con las obtenidas en
saturación. Por lo cual, afecta mucho menos de lo esperado en el capítulo 3.
Si el rotor se halla a temperaturas más altas la absorción de humedad es mucho mayor,
debido a la función exponencial de la temperatura en la ecuación 5.33.

Capítulo 6
FORMULACIÓN GENERAL Y
MODELOS MULTICAPA
6.1. Desarrollo de la formulación
6.1.1. Formulación general
En los capítulos anteriores se han estudiado cada tipo de tensión por separado pero
para el cálculo del rotor deben considerarse simultáneamente. Las tensiones mecánicas,
centrífugas y de aceleración, se superponen a las tensiones permanentes, térmicas y de
hidratación, dando lugar a una tensión única total. En este capítulo se unifican los cál-
culos individuales y se genera una formulación unificada para determinar las tensiones
globales. Se incluyen todos los tipos de cargas descritos anteriormente, incluso los esta-
dos no uniformes del capítulo 5. Una versión simplificada de esta formualción general fue
publicada en Pérez-Aparicio y Ripoll (2003) [39].
Aunque las tensiones finales son la suma de las tensiones individuales es conveniente
repetir el cálculo para incluir en un mismo proceso las variables de todas las cargas,
con el objetivo de dar coherencia al sistema de cálculo y utilizar parámetros generales
que simplifiquen las fórmulas finales. Como se ha visto, las ecuaciones de las distintas
cargas contienen términos comunes y términos particulares, y ahora se unifican formando
términos globales.
La tarea de unificación no es complicada porque en todas ellas se ha seguido un proceso
deductivo similar, de manera que los pasos intermedios y los términos de las ecuaciones
son parecidos. No es necesario repetir de nuevo todos los pasos del cálculo, en muchos
casos se pueden aplicar directamente las soluciones halladas anteriormente, por ejemplo
en la resolución de las ecuaciones diferenciales o en la definición de algunos parámetros
intermedios.
En este capítulo se elabora, además, un sistema de cálculo de rotores en multicapa.
En los anteriores se han resuelto solamente rotores monocapa, ahora con las ecuaciones
generales es fácil deducir un sistema completo de cálculo. Permite resolver cualquier tipo
131

132 CAPÍTULO 6. FORMULACIÓN GENERAL Y MODELOS MULTICAPA
de configuración híbrida distribuida en multicapa y en los capítulos 7 y 8 se utiliza para
calcular el pretensado mecánico y térmico porque en ellos el rotor se divide en zonas
radiales.
En la última sección del capítulo se estudia la rotura del rotor comparando las tensiones
calculadas con la resistencia del material. Los ejemplos de cálculo se aprovechan para
apuntar algunos procedimientos simples para la mejora del diseño.
6.1.2. Condiciones de la formulación
Para los cálculos se utilizan las condiciones del modelo unificado desarrollado en el capí-
tulo 4 que incluye, dentro de un único sistema de ecuaciones, los modelos de TP, DAC y
cualquier estado intermedio de la zona de transición.
Se aplican todas las cargas analizadas anteriormente, a excepción de la aceleración an-
gular. Por orden de importancia sobre las tensiones finales del rotor son:
1. Tensiones mecánicas producidas por la fuerza centrífuga originada por la velocidad
angular ω.
2. Tensiones residuales de origen térmico creadas en el enfriamiento después del curado,
∆T.
3. Tensiones residuales causadas por la hidratación de la resina, ∆c, a lo largo de la vida
del rotor.
No se incluye la aceleración angular porque crea una tensión cortante, τθr, independiente
del resto de tensiones que no es necesario calcularla dentro del sistema general de ecua-
ciones. Sus valores se determinan directamente de las ecuaciones 2.76 y 2.77 del apartado
2.32 a partir de la aceleración angular α.
La velocidad angular ω es un valor único y se aplica a través de la fuerza centrífuga fc
en la ecuación 2.2.
El incremento de la temperatura ∆T en el curado puede ser uniforme o variable en r.
En este último caso sólo se contempla un incremento producido por la diferencia de
temperaturas entre la superficie interna y la externa, descrita en el apartado 5.1.2. En él
se genera la distribución logarítmica de temperatura de las fórmulas 5.5 y 5.6 y que en
resumen son
∆T(r) = t0 + t1 ln r
t0 = Tf − Ti +
Te − Ti
ln re − ln ri
ln ri ; t1 = −
Te − Ti
ln re − ln ri
(6.1)
Se considera que durante el curado la temperatura en el radio interior ri es Ti y en el radio
exterior re es Te, y se enfría hasta una temperatura final uniforme Tf , figura 6.1(a). En
particular, si el curado se realiza con Ti = Te se reduce al caso de temperatura uniforme
del capítulo 3 y el incremento de temperatura ∆T de la ecuación 6.1 es Tf − Ti.

6.1. DESARROLLO DE LA FORMULACIÓN 133
Si el rotor incorpora un mandrino metálico interno, con un coeficiente de transmisión
térmica mucho más elevado que en el material compuesto, la variación radial de tempe-
ratura en el metal es prácticamente nula. En este caso la función de temperatura tiene
dos tramos diferenciados, un valor constante en el mandrino y una función logarítmica a
partir del radio externo del mandrino r0
i, figura 6.2, como se muestra en la curva inferior
de la figura 6.1(a).
∆c(r)
ci ce
ri r
ri’
(b)
re
mandrino
Tf
Ti
∆T (r)
Te
ri r re
ri’
(a)
mandrino
Figura 6.1: Distribución radial de temperatura y de humedad en función del radio. Si el rotor
incorpora un mandrino hasta r0
i las distribuciones son distintas.
En el capítulo 5 se ha descrito como la humedad ∆c difícilmente llegará a uniformizarse a
lo largo de la vida del rotor y, por lo tanto, el valor final es una función de r, figura 6.1(b).
En la ecuación 6.2 se resume las funciones 5.34 y 5.35 del estado transitorio deducidas a
partir de la ley de Springer de los apartados 5.2.2 y 5.2.3.
∆c = c0 + c1 r + c2 r2
+ c3 r3
+ c4 r4
(6.2)
Si el rotor incluye un mandrino metálico impermeable a la humedad la función es asimétri-
ca, como se describe en el apartado 5.2.3, y la línea de simetría de la distribución se sitúa
en el radio externo del mandrino r0
i, figura 6.1(b).
Las tensiones creadas por estas cargas se determinan con el modelo unificado descrito en
el apartado 4.2.8, en donde el parámetro ϕ(z), definido en los apartados 4.2.4 y 4.2.5,
permite simular cualquier posición axial. Su valor se determina mediante la ecuación
4.71 y es función de z; aunque en la práctica, las tensiones más desfavorables para la
resistencia se hallan en z > zu, o sea para ϕ = 1.
6.1.3. Desarrollo de la formulación general
En el desarrollo de la formulación general se siguen los mismos pasos que en el capítulo
2: a partir de las ecuaciones constitutivas del material, de la geometría del rotor y del
tipo de carga se deducen las ecuaciones del desplazamiento radial y las tensiones. Aquí se
presenta un resumen de este proceso, solamente los pasos imprescindibles para unificar

las variables y deducir las ecuaciones globales. En ellos se definen los nuevos parámetros
intermedios que simplifican las expresiones. No es necesario resolver de nuevo las ecua-
ciones diferenciales porque se utilizan las soluciones halladas en los capítulos anteriores.
r
z
ri
ri’
re
σθ
σr
σz
Figura 6.2: Coordenadas y estado de tensiones en un punto del cilindro
Un punto cualquiera del rotor, definido por la posición radial r y la distancia z al extremo
lateral, como se muestra en la figura 6.2, cumple la ecuación constitutiva del material de
la ecuación 2.6 ampliada con el incremento de la temperatura y de la humedad
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ
εr
εz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
Eθ
−
νθr
Er
−
νθz
Ez
−
νrθ
Eθ
1
Er
−
νrz
Ez
−
νzθ
Eθ
−
νzr
Er
1
Ez
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
σθ
σr
σz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
+
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
αθ
αr
αz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
∆T +
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
βθ
βr
βz
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
∆c (6.3)
Las propiedades del material que varían en función de la dirección θ, r y z toman un valor
distinto según la orientación de las fibras, longitudinal (L) o transversal (T). Éstas se
orientan sólo en las dos direcciones vistas en capítulos anteriores: circunferencial y axial,
o sea, 0o
y 90o
según la nomenclatura de la figura 1.5. Deben asignarse, por lo tanto,
los valores de los módulos elásticos E, los coeficientes de Poisson ν, los coeficientes de
dilatación térmica α y los coeficientes de dilatación por hidratación β.
A partir de la ecuación 6.3 se deduce la deformación axial εz, igual que en el cálculo en
DP del apartado 2.2.8, como una función de las tensiones y las dilataciones
εz = −
νzθ
Eθ
σθ −
νzr
Er
σr +
1
Ez
σz + αz∆T + βz ∆c (6.4)
De ella se obtiene la tension axial σz
σz = Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr + εz − αz∆T − βz ∆c
¶
(6.5)

El proceso de cálculo de esta tensión σz es distinto que en las otras dos tensiones, σθ
y σr. Tal como se ha estudiado en el capítulo 4, su valor depende principalmente de la
posición z, de manera que es nulo en el extermo, z = 0, y alcanza un valor máximo y
estable en puntos lejanos del extremo. A este último se ha denominado σu
z y se calcula
mediante el sistema DAC de la sección 4.1, pero ahora con todas las cargas. Para ello,
debe determinarse, según el proceso iterativo del apartado 4.1.4, un valor constante de
εz, denominado εu
z , que sustituido en la propia ecuación 6.5 da lugar a una Fz nula.
σu
z = Ez
µ
νzθ
Eθ
σθ +
νzr
Er
σr + εu
z − αz∆T − βz ∆c
¶
(6.6)
Para hallar la tensión σz en un punto cualquiera de coordenadas r y z se aplica el cálculo
aproximado de la sección 4.2. En la ecuación 4.27 la tensión σz es el producto de la
tensión σu
z , que es función sólo de r, y con el parámetro ϕ, que es función de z.
σz(r, z) = ϕ(z) σu
z (r) (6.7)
El parámetro ϕ es independiente del tipo de carga y su valor viene dado en la ecuación
4.71. En él se incluye, junto con la posición z, el sistema de cálculo: ϕ = 0 corresponde
a TP (z = 0), ϕ = 1 a DAC (z > zu) y 0 < ϕ < 1 a la zona de transición.
Este cálculo constituye el modelo unificado descrito en el apartado 4.2.8 que permite
determinar las tensiones y deformaciones en cualquier posición r y z. Cabe hacer notar
que deben realizarse dos cálculos sucesivos, el primero para determinar εu
z mediante el
DAC, con ϕ = 1, y el segundo para hallar las tensiones en la posición z, con el valor de
ϕ correspondiente.
Siguiendo con el proceso deductivo de las formulas, la tensión axial σz de la ecuación
6.7 se sustituye en la ecuación general 6.3 y se obtienen las deformaciones tangencial y
radial
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
εθ =
µ
1
Eθ
− ϕ
νθz νzθ
Eθ
¶
σθ −
µ
νθr
Er
+ ϕ
νθzνzr
Er
¶
σr − νθzϕεu
z
+ (αθ + νθzϕαz) ∆T + (βθ + νθzϕβz) ∆c
εr = −
µ
νrθ
Eθ
+ ϕ
νrzνzθ
Eθ
¶
σθ +
µ
1
Er
− ϕ
νrz νzr
Er
¶
σr − νrzϕεu
z
+ (αr + νrzϕαz) ∆T + (βr + νrzϕβz) ∆c
(6.8)
Esta ecuación se simplifica agrupando las propiedades elásticas en los parámetros p, q y
s, igual que en apartado 2.2.8, y definiendo nuevos parámetros αH, αR y βH, βR para
agrupar las propiedades térmicas y de hidratación respectivamente.

p =
1 − ϕνrzνzr
Er
s =
1 − ϕνθzνzθ
Eθ
q =
νθr + ϕνθzνzr
Er
=
νrθ + ϕνrzνzθ
Eθ
αH = αθ + νθzϕαz αR = αr + νrzϕαz
βH = βθ + νθzϕβz βR = βr + νrzϕβz
(6.9)
En donde, el subíndice H representa la dirección tangencial θ y el R la radial r. Se observa
que la composición de las ecuaciones de estos cuatro parámetros son muy similares, en
cada una se suma un coeficiente, α o β, con el efecto del coeficiente en la dirección
axial ponderado con el parámetro ϕ. Utilizando estos parámetros la ecuación de las
deformaciones 6.8 se reescribe de la siguiente forma
⎧
⎨
⎩
εθ
εr
⎫
⎬
⎭
=
⎡
⎣
s −q
−q p
⎤
⎦
⎧
⎨
⎩
σθ
σr
⎫
⎬
⎭
−
⎧
⎨
⎩
νθz
νrz
⎫
⎬
⎭
ϕεu
z +
⎧
⎨
⎩
αH
αR
⎫
⎬
⎭
∆T +
⎧
⎨
⎩
βH
βR
⎫
⎬
⎭
∆c
(6.10)
Estas deformaciones están relacionadas con el desplazamiento radial u mediante las condi-
ciones de geometría cilíndrica según las ecuaciones cinéticas 2.3 o sus expresiones simpli-
ficadas de la ecuación 2.5
εθ =
u
r
; εr = u,r
Aislando las tensiones de la ecuación 6.10 se deduce
⎧
⎨
⎩
σθ
σr
⎫
⎬
⎭
=
1
p s − q2
⎡
⎣
p q
q s
⎤
⎦
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
u
r
+ νθz ϕ εu
z − αH ∆T − βH ∆c
u,r + νrz ϕ εu
z − αR ∆T − βR ∆c
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
(6.11)
y unificando términos se reescriben de la siguiente forma
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σθ = a2
cr
³u
r
+ νH u,r + nH ϕ εu
z − aH ∆T − bH ∆c
´
σr = cr
³
νR
u
r
+ u,r + nR ϕ εu
z − aR ∆T − bR ∆c
´ (6.12)
en donde, se agrupan las propiedades del material en los parámetros a y cr del capítulo
2 y en otros nuevos. De ellos, νH, νR y nH, nR agrupan sólo propiedades elásticas y aH,
aR y bH, bR, agrupan también propiedades térmicas y de hidratación.

a =
r
p
s
cr =
s
ps − q2
a2
cr =
p
ps − q2
νH =
q
p
νR =
q
s
nH = νθz + νH νrz nR = νR νθz + νrz
aH = αH + νHαR aR = νRαH + αR
bH = βH + νHβR bR = νRβH + βR
(6.13)
Estas definiciones tienen una estructura similar a las ecuaciones 6.9, estan formados
por la suma del parámetro en una dirección más el efecto del parámetro en dirección
perpendicular.
En las ecuaciones 6.12 el término en εu
z es un valor constante, mientras que ∆T y ∆c
pueden variar con r, según las ecuaciones 6.1 y 6.2. Estas tensiones deben cumplir la
condición de equilibrio de fuerzas de la ecuación 2.1(a) o su simplificada 2.4, en la cual
el término de la fuerza centrífuga es fc = ρω2
r
σr,r +
1
r
(σr − σθ) = −fc (6.14)
Sustituyendo las tensiones por los valores de la ecuación 6.12 se obtiene la ecuación del
desplazamiento en forma de polinomio en r
u,rr +
1
r
u,r −
a2
r2
u = (d+e0+g0)
1
r
+ g1 + (b + g2) r + g3 r2
+ g4 r3
+ e1
ln r
r
(6.15)
en donde se agrupan los parámetros por cargas como en los capítulos anteriores, pero
ahora su definición es globales.
b = −
ρ ω2
cr
g0 = (−a2
bH + bR) c0
d = (a2
nH − nR)ϕ εu
z g1 = (−a2
bH + 2 bR) c1
e0 = (−a2
aH + aR) t0 + aR t1 g2 = (−a2
bH + 3 bR) c2
e1 = (−a2
aH + aR) t1 g3 = (−a2
bH + 4 bR) c3
g4 = (−a2
bH + 5 bR) c4
(6.16)
En cada uno de ellos se resume el efecto de una carga: el parámetro b es función de la
velocidad angular (ω), el d de la deformación axial uniforme (εu
z ), los parámetros e de la
temperatura (∆T) y los g de la humedad (∆c).

La ecuación diferencial 6.15 se resuelve mediante el proceso del apartado 2.2.4 ampliado
por las soluciones parciales de los capítulos 3 y 5. Esta ampliación es posible gracias a
la composición polinómica de la función f(r), definida en la ecuación 2.16, que permite
resolver las integrales de las ecuaciones 2.23 y 2.25 mediante sumandos separados. Ca-
da uno de los término genera soluciones parciales que están resueltas en los siguientes
apartados: 1
r
en 3.1.4, r0
en 5.2.4, r en 2.2.4, r2
en 5.2.4, r3
en 5.2.4 y ln r
r
en 5.1.3.
La solución global del desplazamiento es también polinómica
u = A
1
ra
+ B ra
+ U1 r + U2 r2
+ U3 r3
+ U4 r4
+ U5 r5
+ U1l r ln r (6.17)
en la cual los coeficientes A y B son dependientes de las condiciones de contorno y en los
coeficientes U se agrupan las constantes de las cargas para cada uno de los sumandos:
U1 =
d + e0 + g0
1 − a2
−
2 e1
(1 − a2)2
U4 =
g3
16 − a2
U2 =
g1
4 − a2
U5 =
g4
25 − a2
U3 =
b + g2
9 − a2
U1l =
e1
1 − a2
(6.18)
Las tensiones, tangencial y radial, se obtienen aplicando la ecuación del desplazamiento
a las ecuaciones 6.12. En ellas también se agrupan las constantes de las cargas para cada
sumando.
σθ = HA A
1
ra+1
+HB B ra−1
+ H0+ H1 r + H2 r2
+ H3 r3
+ H4 r4
+ Hl ln r (6.19)
H0 = a2
cr [(1 + νH)U1 + νH U1l + nH ϕ εu
z − aH t0 − bH c0] (6.20)
H1 = a2
cr [(1 + 2νH)U2 − bH c1] HA = a2
cr (1 − a νH)
H2 = a2
cr [(1 + 3νH) U3 − bH c2] HB = a2
cr (1 + a νH)
H3 = a2
cr [(1 + 4νH) U4 − bH c3] Hl = a2
cr [(1 + νH) U1l − aH t1]
H4 = a2
cr [(1 + 5νH) U5 − bH c4]
σr = RA A
1
ra+1
+ RB B ra−1
+ R0 + R1 r + R2 r2
+ R3 r3
+ R4 r4
+ Rl ln r
(6.21)

R0 = cr [(νR + 1)U1 + U1l + nR ϕ εu
z − aR t0 − bR c0] (6.22)
R1 = cr [(νR + 2)U2 − bR c1] RA = cr (νR − a)
R2 = cr [(νR + 3) U3 − bR c2] RB = cr (νR + a)
R3 = cr [(νR + 4) U4 − bR c3] Rl = cr [(νR + 1) U1l − aR t1]
R4 = cr [(νR + 5) U5 − bR c4]
Finalmente la tensión axial se obtiene de la ecuación 6.7, sustituyendo σu
z de la ecuación
6.6. Su valor varía con la posición z a través de ϕ.
σz = ϕ [νθz σθ + νrz σr + Ez (εu
z − αz ∆T − βz ∆c)] (6.23)
6.1.4. Puntos singulares
Esta solución no es válida si el valor de a es entero, de 1 a 5. Para cada uno existe una
solución particular deducida en capítulos anteriores. A continuación se resumen todas
las soluciones en una sola ecuación para cada parámetro, u, σθ y σr, incluida la solución
del apartado anterior, en la que los coeficientes tienen expresiones particulares para cada
valor de a. La ecuación del desplazamiento es
u = A
1
ra
+ B ra
+ U1 r + U2 r2
+ U3 r3
+ U4 r4
+ U5 r5
+ U1l r ln r
+ U2l r2
ln r + U3l r3
ln r + U4l r4
ln r + U5l r5
ln r + Ull r ln2
r
(6.24)
en donde los coeficientes U están definidos en la tabla 6.25 para cada valor de a. Los
coeficientes no especificados conservan el valor general de la ecuación 6.18 o, si no están
definidos ni en uno ni en otro, son nulos.
a = 1 U1 = −
d + e0 + g0
4
+
e1
8
U1l =
d + e0 + g0
2
−
e1
4
Ull =
e1
4
a = 2 U2 = −g1/16 U2l = g1/4
a = 3 U3 = −(b + g2)/36 U3l = (b + g2)/6
a = 4 U4 = − g3/64 U4l = g3/8
a = 5 U5 = −g4/100 U5l = g4/10
(6.25)

La ecuación general de la tensión tangencial es
σθ = A
1
ra+1
+ B ra−1
+ H0 + H1 r + H2 r2
+ H3 r3
+ H4 r4
+ Hl ln r
+ H1l r ln r + H2l r2
ln r + H3l r3
ln r + H4l r4
ln r + Hll ln2
r
(6.26)
en la cual los coeficientes H están definidos en la tabla 6.27 y los no especificados aquí,
ni en la ecuación 6.20, son cero. En las formulas se incluyen algunos valores U de la tabla
6.25.
a = 1 Hl = a2
cr [(1 + νH) U1l − aH t1 + 2νH Ull] Hll = a2
cr [(1 + νH) Ull]
a = 2 H1 = a2
cr [(1 + 2νH) U2 − bH c1 + νH U2l] H1l = a2
cr [(1 + 2νH) U2l]
a = 3 H2 = a2
cr [(1 + 3νH) U3l]
a = 4 H3 = a2
cr [(1 + 4νH) U4l]
a = 5 H4 = a2
cr [(1 + 5νH) U5l]
(6.27)
La ecuación de la tensión radial es
σr = A
1
ra+1
+ B ra−1
+ R0 + R1 r + R2 r2
+ R3 r3
+ R4 r4
+ Rl ln r
+ R1l r ln r + R2l r2
ln r + R3l r3
ln r + R4l r4
ln r + Rll ln2
r
(6.28)
en donde los coeficientes R están definidos en la tabla 6.29 y los no especificados están
definidos en la ecuación 6.22 o son nulos.
a = 1 Rl = cr [(νR + 1) U1l − aR t1 + 2Ull] Rll = cr [(νR + 1) Ull]
a = 2 R1 = cr [(νR + 2) U2 − bR c1 + U2l] R1l = cr [(νR + 2) U2l]
(6.29)
Para los valores de a muy próximos a cada uno de los valores enteros siguen siendo válidas
las ecuaciones generales del apartado anterior, tal como se ha descrito en el estudio del
punto singular del apartado 2.2.6.

6.1.5. Ejemplo
Para comprobar el sistema general de cálculo se presenta un ejemplo con carga centrífuga
y tensiones residuales simultáneamente. Se aplica al ejemplo del apartado 4.1.5 pero con
la carga térmica del apartado 4.1.7.
Los datos del rotor son: fibra de vidrio y resina epoxi curada, radios 0,3 y 0,5 m, curado
a temperatura uniforme de 120o
C y enfriado hasta 20o
C y gira a 10000 rpm. Se calcula el
desplazamiento y las tensiones en tres posiciones de z de 0,4, 0,1 y 0 m. Se supone, igual
que en los otros casos, que la rigidez del sistema de unión con el eje es muy baja, kr = 0.
No se aplican cargas de humedad porque cuando aparecen las tensiones de hidratación a
lo largo de la vida se reducen las tensiones globales del rotor.
El proceso de cálculo tiene dos partes:
1 El calculo en DAC: asignando ϕ = 1 se determina el valor εu
z , siguiendo el método del
apartado 4.1.4 y con la función σu
z se hallan los valores de n y m, de las ecuaciones
4.43 y 4.65.
2 El calculo para la posición z: se determina el valor de ϕ con la ecuación 4.71 y,
finalmente, el desplazamiento y las tensiones con las ecuaciones 6.17, 6.19, 6.21 y
6.23.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
z = 0,4 m
z = 0,1 m
z = 0,0 m
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 6.3: Deformación y tensiones en tres posiciones axiales de un rotor de fibra de vidrio.
Los resultados del desplazamiento radial u, la tensión tangencial σθ, la radial σr y la axial
σz se muestra en la figura 6.3. Se observa que el desplazamiento, la tensión tangencial
y la radial son prácticamente coincidentes para las tres posiciones y son independientes
de z, tal como se ha comentado en el capítulo 4. La tensión axial aumenta con z y el
resultado en la posición z = 0,4 m, en donde el valor medio ϕ es 0,97, es aplicable para
z mayores. Estos resultados son totalmente coherentes con los del capítulo 4.

Es evidente que este último tiene las tensiones más desfavorables y, por lo cual, es el
único se utiliza en los cálculos posteriores. O sea, a partir de ahora solamente se utiliza
ϕ = 1.
6.2. Aplicación a modelos multicapa
6.2.1. Rotores multicapa
En el capítulo 1 se ha comentado que el tipo de rotor más aplicado en la actualidad
es la configuración en multicapa. Está compuesto por varias capas de distinto material
apiladas como muestra en la figura 1.3(e). Su objetivo principal es disminuir los efectos
perjudiciales de la tensión radial.
En el apartado 2.2.7 se ha expuesto el proceso elástico de generación de la tensión radial
y aumento de la tensión tangencial en el radio interior. En la figura 2.7 se muestra que las
tensiones y los desplazamientos en los aros individuales, dibujo (b), se modifican debido
a las diferencia entre sus desplazamientos, u0
3 > u0
2 > u0
1. Para que el cilindro permanezca
unido, dibujo (c), el aro interior debe dilatarse y el exterior debe contraerse, para lo cual
es necesaria una tensión radial de tracción. Pero si la diferencia de desplazamiento entre
ellos fuese menor la tensión radial sería también menor.
1 2 3
(a) Eθ1< Eθ2< Eθ3
σθ
σr
(c)
∆u ∆u
0
≈
∆u
3
2
1 u
u
u ≈
≈
σθ’
(b)
ω
u1’ u2’ u3’
Figura 6.4: Disminución de las tensiones, respecto del rotor simple de la figura 2.7, mediante
3 capas de material distinto, con elasticidades crecientes.
Una forma fácil de conseguir que la diferencia de desplazamiento sea menor es aumen-
tando la elasticidad del material en los aros interiores. En la figura 6.4 muestra el mismo
proceso que en la figura 2.7 pero para un rotor híbrido, en el cual los tres aros son de
material distinto material y de rigidez creciente con el radio (Eθ1 < Eθ2 < Eθ3). En la
primera etapa (b), con aros independientemente, las tensiones tangenciales σ0
θ son las
mismas que en la figura 2.7 pero los desplazamientos, u0
3, u0
2 y u0
1, son ahora similares.
En la segunda etapa (c) el desplazamiento radial ∆u necesario para unirlos es pequeño
y, por lo tanto, la tensión radial σr es menor y la tangencial σθ aumenta poco.
Para que el desplazamiento radial fuese constante a lo largo del radio, la rigidez del
material debería variar progresivamente en función de r3
, pero esto es imposible. Esta

6.2. APLICACIÓN A MODELOS MULTICAPA 143
variación sólo puede ser discreta, porque la rigidez depende principalmente de la elas-
ticidad longitudinal de la fibra y sólo se dispone de un número limitado de tipos de
fibras. Luego, la progresión se consigue bobinando en capas sucesivas ordenadas según
su elasticidad y con un espesor adecuado al incremento de rigidez.
6.2.2. Nomenclatura y fórmulas
El cálculo del rotor multicapa se realiza aplicando a cada capa las ecuaciones del apartado
6.1.3. En la figura 6.5 se muestra el rotor con las capas numeradas a partir del radio
interior, desde 1 hasta n. Los radios de separación se numeran en el mismo sentido,
al radio interior (ri) le corresponde r1 y al exterior (re) rn+1, de forma que una capa
cualquiera i está delimitada por el radio inferior ri y el superior ri+1.
r1 r2 ri ri+1 rn rn+1
1 i n
i+1
ri+2
Figura 6.5: Nomenclatura de capas y radios en un rotor multicapa.
Si el rotor lleva incorporado el mandrino metálico de bobinado se considera como una
capa más y le corresponde el número 1. Si una capa, aún siendo de un único material,
tiene dos zonas diferenciadas por alguna de sus propiedades, ya sea en las características
iniciales o finales, o durante alguna fase del proceso de fabricación, se considera como dos
capas distintas. Es el caso, por ejemplo, del curado por etapas del capítulo 8, en el cual
dos o más zonas de una capa se curan en momentos distintos y, a efectos de cálculo, se
consideran como capas distintas.
En el cálculo las ecuaciones de desplazamiento y tensiones 6.17, 6.19, 6.21 y 6.23 se
aplican para cada capa. Las constantes de tipo U, H y R son propias para cada capa
i (Ui
, Hi
y Ri
) y dependen de las propiedades de los materiales y las cargas del rotor.
Las constantes A y B, también propias para cada capa ( Ai
y Bi
), dependen de sus
condiciones de contorno.

6.2.3. Determinación de las constantes
Las constantes Ai
y Bi
de una capa se determinan mediante las condiciones de con-
tinuidad, o sea, igualando el desplazamiento ui
y la tensión radial σi
r en la frontera entre
dos capas. Con ellas se genera, para el total de las n capas, un sistema de 2n ecuaciones
con 2n incógnitas. En cada una se aplican las fórmulas 6.17 y 6.21, aunque es más prác-
tico utilizar las ecuaciones 6.24 y 6.28 del material singular porque son más generales, a
pesar de tener algunos coeficientes nulos cuando el material no es singular.
Estas ecuaciones se aplican a los radios frontera entre capas, de manera que la variable
r se convierte en constante ri, en cambio, las constantes Ai
y Bi
son ahora incógnitas.
Sus términos polinómicos se unifican ahora en tres factores, dos para las incógnitas, Ai
y Bi
, y uno para el resto de sumandos porque son constantes.
El desplazamiento ui
(ri) en el radio inferior ri de la capa i es
ui
(ri) = βi
u Ai
+ γi
u Bi
+ αi
u (6.30)
en donde las constantes βi
u, γi
u y αi
u son
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
βi
u =
1
ra
i
γi
u = ra
i
αi
u = Ui
1 ri + Ui
2 r2
i + Ui
3 r3
i + Ui
4 r4
i + Ui
5 r5
i + Ui
1l ri ln ri + Ui
2l r2
i ln ri
+ Ui
3l r3
i ln r + Ui
4l r4
i ln r + Ui
5l r5
i ln r + Ui
ll ri ln2
ri
(6.31)
Lo mismo para la tensión radial σi
r(ri), pero las constantes denominan βi
r, γi
r y αi
r
σi
r(ri) = βi
r Ai
+ γi
r Bi
+ αi
r (6.32)
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
βi
r =
Ri
A
ra+1
i
γi
r = Ri
B ra−1
i
αi
r = Ri
0 + Ri
1 ri + Ri
2 r2
i + Ri
3 r3
i + Ri
4 r4
i + Ri
l ln r i + Ri
1l ri ln ri
+ Ri
2l r2
i ln ri + Ri
2l r2
i ln ri + Ri
3l r3
i ln ri + Ri
4l r4
i ln ri + Ri
ll ln2
ri
(6.33)
Para la frontera superior de la capa i las ecuaciones son las mismas pero sustituyendo ri
por ri+1. En ellas, algunos términos son nulos cuando el material no es singular, según la
definición de los coeficientes de las tablas 6.25 y 6.29.

Estas ecuaciones se aplican a los límites de las n capas, figura 6.5: en las fronteras entre
dos capas sucesivas y en los límites, inferior de la primera capa y superior de la última.
En la frontera entre dos capas sucesivas, i y i + 1, con un radio ri+1, el desplazamiento
y la tensión radial de las dos capas deben ser iguales, o sea
⎧
⎨
⎩
ui
(ri+1) = ui+1
(ri+1)
σi
r(ri+1) = σi+1
r (ri+1)
(6.34)
Sustituyendo estos términos por las ecuaciones anteriores, 6.30 y 6.32, se obtiene las
ecuaciones genéricas:
⎧
⎨
⎩
βi
u Ai
+ γi
u Bi
− βi+1
u Ai+1
− γi+1
u Bi+1
= αi+1
u − αi
u
βi
r Ai
+ γi
r Bi
− βi+1
r Ai+1
− γi+1
r Bi+1
= αi+1
r − αi
r
(6.35)
Además, en el límite inferior de la primera capa, con radio r1, el desplazamiento u1
(r1) y
la tensión radial σ1
r(r1) depende de las condiciones particulares del sistema de unión con
el eje. En general, están relacionadas por una constante de rigidez radial kr, definida en la
ecuación 2.78(b) del apartado 2.4.1, que relaciona la tensión radial con el desplazamiento
radial unitario. Luego, se cumple que
σ1
r(r1) = kr
u1
(r1)
ri
(6.36)
Sustituyendo el desplazamiento y la tensión por las ecuaciones 6.30 y 6.32 queda
µ
β1
r −
kr
r1
β1
u
¶
| {z }
β1
ur
A1
+
µ
γ1
r −
kr
r1
γ1
u
¶
| {z }
γ1
ur
B1
= −
µ
α1
r +
kr
r1
α1
u
¶
| {z }
α1
ur
(6.37)
y agrupando los términos constantes la condición de contorno se simplifica a
β1
ur A1
+ γ1
ur B1
= −α1
ur (6.38)
La rigidez kr puede tomar dos valores extremos, si es muy baja y la tensión se aproxima
a cero y las constantes se simplifican
σ1
r(r1) = 0 ⇒
⎧
⎨
⎩
β1
ur = β1
r
γ1
ur = γ1
r
α1
ur = α1
r
(6.39)
Si es muy alta el desplazamiento es nulo y las constantes quedan

u1
(r1) = 0 ⇒
⎧
⎨
⎩
β1
ur = β1
u
γ1
ur = γ1
u
α1
ur = α1
u
(6.40)
Para el límite superior de la última capa, de radio rn+1, la condición es muy simple, el
rotor está siempre libre y la tensión radial es nula
σn
r (rn+1) = 0 (6.41)
Sustituyendo la tensión por la ecuación 6.23 se deduce
βn
r An
+ γn
r Bn
= −αn
r (6.42)
Todas estas ecuaciones forman un sistema resoluble: tiene 2n incógnitas, dos (Ai
y Bi
)
para cada una de las n capas, y se han generado 2n ecuaciones, 2(n − 1) en las fronteras
entre capas y dos en el radio interior y exterior.
Para la resolver las ecuaciones 6.38 6.35 y 6.42 se escriben en forma matricial
TC = F (6.43)
en donde C es el vector de incógnitas Ai
y Bi
, T es la matriz de coeficientes β y γ y F
es el vector de valores independientes α. Los vectores se forman por orden de capas
C =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
A1
B1
A2
B2
A3
B3
...
Ai
Bi
Ai+1
Bi+1
...
An−1
Bn−1
An
Bn
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
F =
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
α1
ur
α2
u − α1
u
α2
r − α1
r
α3
u − α2
u
α3
r − α2
r
...
αi+1
u − αi+1
u
αi+1
r − αi
r
...
αn
u − αn−1
u
αn
r − αn−1
r
−αn
r
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
(6.44)
y la matriz de coeficientes se distribuye de la siguiente forma

T =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−β1
ur −γ1
ur 0 0
β1
u γ1
u −β2
u −γ2
u
β1
r γ1
r −β1
r −γ1
r 0
...
βi
u γi
u −βi+1
u −γi+1
u
βi
r γi
r −βi+1
r −γi+1
r
...
0 βn−1
u γn−1
u −βn
u −γn
u
βn−1
r γn−1
r −βn
r −γn
r
0 0 βn
r γn
r
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(6.45)
Resolviendo la ecuación 6.43 mediante un programa de cálculo se obtienen todas las
constantes Ai
y Bi
. Cada capa tiene unas las ecuaciones del desplazamiento radial 6.17
y de tensiones 6.19, 6.21 y 6.23 propias, donde la única variable es r. Si el material de
una capa es singular, con un valor de a entero, las tres primeras ecuaciones se deben
sustituirse por sus homólogas 6.24, 6.26 y 6.28.
6.2.4. Ejemplo de rotor multicapa
Para comprobar el sistema de cálculo de rotores multicapa se presenta a continuación un
ejemplo con dos capas. Es útil, además, para ilustrar las ventajas del multicapa respecto
del rotor simple y, para lo cual, se aplica al mismo rotor del ejemplo del apartado 6.1.5
pero sustituyendo la mitad de su espesor por fibra de carbono, como se indica en la figura
6.6.
r3=re
r2
r1
Capa 2 (fibra de carbono)
Capa 1 (fibra de vidrio)
Figura 6.6: Rotor de 2 capas
La capa interna (1) es de fibra de vidrio y la (2) de fibra de carbono. En el exterior se
coloca la fibra de carbono porque su módulo elásticos longitudinal (El = 130 GPa) es
superior al módulo de la fibra de vidrio (El = 38,6 GPa).
La frontera entre las capas se situa a 0,40 m, de manera que los radios, según la nomen-
clatura de la figura 6.5, son: r1 = 0,30, r2 = 0,40 y r3 = 0,50 m. Se aplican los mismas

condiciones: una velocidad de 10000 rpm, un incremento de temperatura de −100 o
C, un
valor de ϕ = 1 y una elasticidad interior de kr = 0.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
0
100
200
300
400
500
600
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 6.7: Desplazamiento y tensiones de un rotor de dos capas, fibra de vidrio y fibra de
carbono.
En la figura 6.7 se presentan los resultados de desplazamiento radial u, la tensión tan-
gencial σθ y las tensiones radial σr y axial σz multiplicadas por 10. En las tensiones se
identifica claramente el radio de límite de capas.
Si se comparan estos resultados con los del rotor simple de fibra de vidrio de la figura 6.3
se observan ciertas mejoras. El desplazamiento radial es menor, el valor máximo, en el
radio interior, disminuye de 3,2 a 1,8 mm, lo cual es beneficioso para la unión del rotor con
el eje. El gráfico de la tensión tangencial ha cambiado de forma, el valor máximo situado
en el radio interior ha disminuido y aparece otro máximo al inicio de la segunda capa.
En el primero ha disminuido de 420 a 270 MPa, pero en el segundo ha aumentado hasta
480 MPa, incluso por encima del valor máximo del rotor simple. El gráfico de la tensión
radial es totalmente distinto, el máximo de zona central, de 32 MPa, se ha sustituido
por una compresión de −6 MPa en la frontera entre capas, y los valores máximos son
ahora de 5 y 7 MPa en el centro de cada una de las capa. El gráfico de la tensión axial
también se ha reducido, los valores extremos de 8 y −16 han pasado a 3 y −7,5 MPa
respectivamente.
Esta variación se explica por la adaptación de los desplazamientos representada en la
figura 6.4 del apartado 6.2.1. La fibra de carbono es más rígida que la fibra de vidrio y
la capa exterior se dilata menos que la interior. Como se verá en los apartados siguientes
este cambio supone una mejora significativa en la resistencia del rotor porque la tensión
radial y la axial son más perjudiciales que la tensión tangencial1
.
1
En los ejemplos del artículo Ripoll y Pérez Aparicio (2005) [45] se comprueba la influencia negativa
de la tensión axial en rotores multicapa sobre las prestaciones finales del volante.

Para verificar estos resultados se comparan con los valores obtenidos en un cálculo me-
diante MEF. En las figuras 6.8 y 6.9 se muestra el modelo de la sección axial y los
resultados de las tensiones.
σθ
z
r
σr
z
r
Figura 6.8: Tesión tangencial y radial de una sección del rotor bi-capa
l/2
z
r
σz
Figura 6.9: Tensión axial de una sección del rotor bi-capa
Se observa que la tensión tangencial prácticamente constantes en z. La tensión radial
también es bastante constante, excepto en las cercanías del borde libre, z ' 0, donde
sufre una ligera disminución que no se aprecia en el resultado de las fórmulas. Es debido
al efecto de borde de la tensión τzr, consistente en un pequeño desplazamiento radial u
que se ha considerado en el apartado 4.2.7 pero se ha omitido en la deducción inicial
al despreciar la derivada de u de la ecuación 4.35. Finalmente, la tensión axial también
disminuye hasta hacerse nula en el borde, z = 0.

0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
-5
0
5
10
r / r
e
Tensiones
(MPa)
Ecuación
MEF
σ
r
σ
z
Figura 6.10: Comparación de los resultados de las ecuaciones con los de MEF para ϕ = 1.
En la figura 6.10 se muestran estos resultados sobre los gráficos de tensiones para facilitar
la comparación. Para representar los valores correspondientes a ϕ = 1 se ha elegido un
radio situado en z = 0,4 m, o sea 2t, donde las tensiones son máximas. Se observa que la
concordancia es perfecta en las tres tensiones.
6.3. Resistencia ante la rotura
6.3.1. Resistencias para el cálculo
Las tensiones determinadas en los cálculos deben compararse con el límite de resistencia
del material para asegurar la ausencia del fallo y para optimizar el diseño. Los métodos
de comparación nunca son exactos y menos en el caso de materiales compuestos.
En este trabajo la resistencia del material se analiza solamente bajo condiciones estáticas
porque el rotor está sometido a condiciones de fatiga poco importantes. En el apartado
2.1.1 se ha comentado que las tensiones más destacadas son las originadas por la fuerza
centrífuga, de forma que la oscilación de las tensiones se puede considerar que sigue el
ciclo de la energía almacenada. Por lo tanto, el material está sometido a un ciclo dinámico
muy poco exigente: las tensiones son siempre del mismo signo y el número de ciclos de
vida muy limitado.
Esta simplificación es habitual en las publicaciones, en su mayoría sólo tienen en cuenta
la resistencia estática. Son pocos los autores que introducen en los cálculos las consi-
deraciones a fatiga y aún con exigencias muy reducidas. Por ejemplo, en Flanagan (1986)
[14] y Flanagan y otros (1990) [15] se considera un máximo de 105
ciclos.
Dentro del cálculo estático tampoco se pretende, según los objetivos de este trabajo,

6.3. RESISTENCIA ANTE LA ROTURA 151
analizar a fondo los fenómenos de rotura del rotor. La predicción en materiales compuestos
sometido a tensiones combinadas es bastante más compleja que los materiales metálicos,
los criterios de fallo publicados dan resultados más dispares. Es un tema de actualidad
sobre el que se siguen realizando estudios y publicando nuevas propuestas que se ajustan
más a los resultados experimentales. Para determinar cual de ellos ofrece una predicción
más ajustada a la realidad se requeriría un análisis profundo y seguramente con pruebas
experimentales que se escapan del objetivo y las posibilidades de este trabajo. Aquí,
solamente se pretende analizar la formación de tensiones y su repercusión sobre las líneas
de diseño. La predicción de la rotura se realiza mediante cálculos convencionales en la
misma línea que otras investigaciones actuales, por ejemplo, Gabrys y Bakis (1997) [17]
y Christensen y DeTeresa(2003) [5].
Antes de afrontar el cálculo completo cada una de las tensiones se compara con su re-
sistencia particular para observar de una forma simple su influencia sobre el daño del
material. Este método permite dirigir los pasos del diseño previo y más adelante, en el
cálculo definitivo a través del criterio de fallo, se determina la existencia o no de rotura
en el rotor.
6.3.2. Resistencia individual
La comparación individual de cada tensión con su resistencia límite se realiza directa-
mente sobre el propio gráfico de tensiones. Es evidente que no es válida para el cálculo
definitivo pero ofrece una información válida para descubrir las tensiones más perjudi-
ciales y orientar las decisiones básicas del diseño. Este sistema es utilizado por Gabrys y
Bakis (1997) [17] en la presentación de su estudio de diseño óptimo.
A continuación se aplica a los resultados de los ejemplos anteriores, para lo cual se
incluyen los límites de resistencia del materiala a los gráficos de tensiones. En el ejemplo
multicapa se añade un nuevo diseño para mostrar el proceso aproximado de optimización
a través del sistema gráfico.
Para la comparación se tiene en cuenta la orientación de la fibra en el rotor. La tensión en
la dirección de la fibra se compara con la resistencia longitudinal del material compuesto
y las dos tensiones perpendiculares a la fibra con la transversal. En los ejemplos no
se aplican fibras en direcciones distintas a la tangencial (0o
) o la axial (90o
) descritas
en el apartado 1.3.3. Tampoco comparan las tensiones cortantes porque, en condiciones
habituales, son poco importantes y no afectan a la resistencia del rotor.
En primer lugar, en la figura 6.11, se aplica a las tensiones del rotor simple de un único
material del ejemplo del apartado 6.1.5, cuyos resultado se han expuestos en la figura
6.3. Las resistencias de tracción y compresión del material compuesto, formado por fibra
de vidrio y resina epoxi, son: 1062 MPa y 610 MPa, en dirección longitudinal, y 31 y
118 MPa, en dirección transversal. Estas tensiones límite se representan en el gráfico en
forma de línea discontinua.
En los resultados de la figura 6.11 se observa que la resistencia longitudinal a tracción
(σθ lı́m = 1062 MPa) es muy superior a la tensión tangencial del rotor, cuyo máximo es

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
r / r
e
Tensión
(MPa)
σ
θ
σ
θ lim
σ
r
*10
σ
z
*10
σ
r lim
*10
Figura 6.11: Comparación de las tensiones del rotor de una capa con unas tensiones límite
iguales a las resistencias del material
de 410 MPa. La resistencia transversal (σr lı́m = 31 MPa) es prácticamente igual al valor
máximo de la tensión radial y es muy superior a valor máximo de la tensión axial. Las
tensiones negativas no es necesario compararlas porque la diferencia es mayor. Con ello
se deduce que la tensión radial es la más perjudicial y el rotor se encuentra prácticamente
en condiciones límite, muy próximo a la rotura. Es evidente que para mejorar el diseño
del rotor el valor de esta tensión debe disminuir y, precisamente, este es el objetivo del
diseño multicapa comentado en el apartado 6.2.1, o sea, reducir la tensión radial en la
zona central del rotor.
La comparación en un rotor multicapa debe hacerse en cada capa por separado porque
sus resistencias son distinta. En la figura 6.12 se muestra el gráfico de resistencias para
el rotor de dos capas del ejemplo del apartado 6.2.4. Las resistencias de la fibra de vidrio
de la primera capa son la mismas que en el ejemplo anterior, y en la fibra de carbono la
resistencias de tracción y compresión son: 1800 y 1400 MPa para la dirección longitudinal
y de 80 y 168 MPa para la dirección transversal.
En este caso las resistencias son muy superiores a las tensiones porque se mantienen las
mismas cargas del ejemplo anterior y el diseño ha mejorado. Para facilitar la comparación
las tensiones no se comparan directamente con sus resistencias sino con una resistencia
disminuida o tensión límite. Éstas se obtienen dividiendo las resistencias por un factor,
el mismo en todas ellas, que iguala la tensión más desfavorable a su tensión límite. Para
este ejemplo el factor de reducción es de 3,7, que iguala la tensión longitudinal límite con
la tensión tangencial máxima en la segunda capa.
En este rotor la tensión más desfavorable es la tangencial en la fibra de carbono, sobre el
radio frontera. En cambio, la tensión radial está muy lejos de su tensión límite, el efecto
multicapa la ha convertido en tensiones de compresión. La axial también es inferior a
la tensión límite. En este caso tampoco se representan los límites de compresión porque
están lejos de las tensiones.

Con ello se comprueba que el diseño en multicapa es mucho mejor que el rotor de material
único. En la figura 6.11 la tensión más desfavorable iguala a su resistencia, con lo cual el
factor de reducción es 1, mientras que en el multicapa es 3,7.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
0
200
400
600
800
r / r
e
Tensión
(MPa)
σ
θ
σ
θ lim
σ
r
*10
σ
z
*10
σ
r lim
*10
Figura 6.12: Comparación de las tensiones del rotor de dos capas con unas tensiones límite 3.7
veces inferiores a las resistencias.
A pesar de la mejora en este primer diseño en multicapa se pueden otras configuraciones
mejores. El rotor está formado por dos capas iguales y variando el radio frontera entre
capas varía también la distribución de tensiones. Para hallar el radio que da lugar a un
factor de reducción máximo es necesario un proceso de optimización, que en este caso no
es perfecto porque se utiliza un criterio de decisión del fallo incompleto.
Para mejorar la resistencia, teniendo en cuenta los resultados de la figura 6.12, debe
disminuir la tensión tangencial en la segunda capa. Aunque, ahora las mejoras son más
difíciles que en el caso anterior, porque la tensión tangencial es esencial para la fuerza
centrífuga, en cambio, la tensión radial es secundaria y solamente se crea accidentalmente
debido a la diferencias de desplazamiento.
Si el radio frontera es menor la tensión tangencial en la segunda capa, manteniendo la
velocidad de giro, disminuye ligeramente. Esta variación tiene un límite porque la tensión
radial en el centro de la capa aumenta. Después de sucesivos tanteos se determina el radio
óptimo aproximado de 0,35 m. En la figura 6.13 se presentan las nuevas tensiones y los
valores tensiones límite con un factor de reducción de 4.
En la figura 6.13 se observa que la comparación en la tensión tangencial tiene una forma
parecida al ejemplo anterior, en cambio, la tensión radial de la segunda capa se iguala
prácticamente con la tensión límite. Con respecto al ejemplo anterior el factor de reduc-
ción aumenta de 3,7 hasta 4 y la mejora en este caso es muy limitada. Ahora el punto
crítico es doble, la tensión tangencial de 450 MPa y la tensión radial de unos 20 MPa,
ambos en la segunda capa. En este sentido el diseño está optimizado, dentro del límite

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
r / r
e
Tensión
(MPa)
σ
θ
σ
θ lim
σ
r
*10
σ
z
*10
σ
r lim
*10
Figura 6.13: Con la optimización de los radios del rotor de 2 capa las tensiones llegan a ser 4
veces inferiores a las resistencias.
aproximado del método, porque cualquier modificación en las dimensiones puede mejorar
un los puntos pero empeoraría el otro.
6.3.3. Criterio de fallo
Para el cálculo final se han examinado cuatro criterios de fallo posibles: Tsai-Wu, Hashin,
Christensen y Puck. Están descritos y analizados en Pérez-Aparicio y otros (2005) [38]
y, entre ellos, se ha elegido el criterio de Christensen (1997) [7]. Es más realista que el de
Tsai-Wu, a pesar de ser quizás el más citado en la bibliografía para cálculo de rotores.
El criterio de Christensen separa el fallo de la matriz del fallo de la fibra, que en el
caso de laminados unidireccionales y con tensiones longitudinales y transversales quedan
claramente diferenciados. Con respecto a los otros dos criterios no ofrece unas ventajas
claras.
En esta discusión hay que tener en cuenta que la elección del criterio es importante para
determinar el límite de las prestaciones de un rotor, pero no lo es tanto para comparar
distintas configuraciones del rotor. Así que, para el objetivo de este trabajo es poco
relevante la elección del criterio y las conclusiones finales variarían poco si se empleara
un criterio distinto.
En la figura 6.14 se representan la notaciones de las tensiones normales y cortantes con
respecto a la dirección de las fibras. A cada un de ellas el material tiene un límite de
resistencia a tracción (t) y a compresión (c), designados por
σ1(t) σ1(c) σ2, σ3(t) σ2, σ3(c) σ5, σ6
X X0
Y Y 0
S
(6.46)
La tensión σ4 no se aplica porque en los rotores es muy baja.

σ3
σ1
σ2
σ6
σ4
σ5
X
X’
S
Y
Y’
Figura 6.14: Notación de esfuerzos según la dirección de las fibras
Según el criterio de Christensen el fallo en la matriz viene dado por la ecuación:
α1k1(σ2 + σ3) + (1 + 2α1)
∙
1
4
(σ2 − σ3)2
+ σ2
4
¸
+ β(σ2
6 + σ2
5) ≤ k2
1 (6.47)
k1 =
Y 0
2
; α1 =
1
2
µ
Y 0
Y
− 1
¶
; β =
µ
Y 0
2S
¶2
(6.48)
y en la fibra por la expresión:
−α2k2σ1 +
1
4
(1 + 2α2)σ2
1 −
(1 + α2)2
4
(σ2 + σ3)σ1 ≤ k2
2 (6.49)
k2 =
X
2
; α2 =
1
2
µ
X
X0
− 1
¶
(6.50)
Los parámetros k1 y k2 representan la resistencia del material compuesto a compresión
transversal y tensión longitudinal respectivamente, mientras que α1 y α2 son medidas de
la diferencia de resistencia entre tracción y compresión.
La rotura aparece cuando se produce la igualdad en la ecuación 6.47 o en la ecuación 6.49.
Si ésta no se produce a la relación entre el segundo y el primer término de las ecuaciones
se llama factor o índice de rotura. Su valor oscila entre cero y uno, si es próximo a cero
significa que tiene la máxima seguridad y si vale uno que está en el límite de rotura.
En los ejemplos del apartado siguiente, además del factor de rotura calculado por el crite-
rio de Christensen, se incluye el según el criterio de Tsai-Wu porque es el más tradicional
y muy utilizado por otros autores. Con ello, se tiene un punto de referencia y se puede
comparar con los resultados de otros trabajos. En los próximos capítulos solamente se
utiliza el criterio de Christensen.
6.3.4. Ejemplos
En este apartado se determinan los factores de rotura de los tres ejemplos del apartado
anterior. Su geometría, las cargas aplicadas y, por lo tanto, las tensiones son las mismas.

Se aplica el criterio de Christensen, aunque también se añade el resultado del criterio de
Tsai-Wu.
Los resultados del rotor unicapa de fibra de vidrio se presentan en la figura 6.15, en el
gráfico (a) las tensiones y en el (b) el factor de rotura. Se observa que los puntos más
desfavorables se hallan en la zona central, donde el valor del factor de rotura sobrepasa la
unidad. Este resultado es muy coherente con la conclusión de la comparación individual
de la figura 6.11.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Tsai-Wu
Christensen
Figura 6.15: Tensiones y factor de rotura en un rotor simple a 10000 rpm.
Cabe destacar que los valores del factor de rotura en ambos criterios son sensiblemente
distintos, en el punto máximo la diferencia es del 20 %. Ambos son próximos a la unidad,
aunque según Christensen rompe y según Tsai-Wu queda un cierto margen se seguridad.
Esto se explica porque son conceptualmente distintos, el criterio de Tsai-Wu es una
función ponderada de todas las tensiones, de ahí que el perfil no tenga puntos de inflexión,
en cambio el de Christensen distingue el modo de fallo y da lugar cambios bruscos de la
pendiente. Este último es el más fiable porque, como se ha comentado, se adapta mejor
al tipo de rotura de un rotor.
Los resultados del ejemplo multicapa de dos capas con igual grosor se muestran en la
figura 6.16. Coincidiendo con el apartado anterior el punto más desfavorable está en la
segunda capa, en el radio frontera. Si se compara con el resultado del rotor monocapa
el factor disminuye a la cuarta parte, según el criterio de Christensen, que también se
aproxima al valor del apartado anterior.
En este caso también existe cierta diferencia entre ambos, pero ahora el resultado del
criterio de Tsai-Wu es más elevado que el de Christensen. Su explicación puede estar en
el tipo de rotura, ahora la tensión tangencial es la más perjudicial y la rotura se produce
en dirección longitudinal a las fibras.
Los resultados del rotor multicapa optimizado, con capas de distinto espesor, se muestran

en la figura 6.17. El punto más desfavorable sigue siendo en la segunda capa en el radio
frontera y el factor de rotura mejora respecto del anterior, diminuye de 0,26 a 0,23. En
este caso también el resultado del criterio de Tsai-Wu es algo superior al de Christensen.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
Tsai-Wu
Christensen
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 6.16: Tensiones y factor de rotura para el rotor de 2 capas.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
Tsai-Wu
Christensen
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 6.17: Tensiones y factor de rotura para el rotor de 2 capas optimizado.
Estos resultados de resistencia son más precisos que las simples comparaciones del aparta-
do anterior y, por lo tanto, son concluyentes para el cálculo del rotor. No obstante, en
los gráficos individuales se aprecia mejor la causa de la rotura y es más fácil dirigir las
modificaciones hacia la mejora del diseño óptimo, tal como se comprueba en el ejemplo
del rotor de dos capas.

Capítulo 7
PRETENSADO EN EL
BOBINADO
7.1. Proceso de pretensado en el bobinado
7.1.1. Mejora de tensiones mediante las tensiones residuales
En el capítulo anterior se ha estudiado el efecto global de las tensiones sobre la resisten-
cia del rotor y se describe el sistema de mejora más usual basado en la configuración
multicapa. En este capítulo y el siguiente se estudian otras formas de mejora a partir de
las tensiones residuales.
Las tensiones residuales tienen distinto signo según su origen, y se suman o se restan a
las tensiones de la fuerza centrífuga. Las de origen térmico se suman y son perjudiciales,
en cambio, las de hidratación son de signo contrario y disminuyen la tensión final. Estas
últimas tienen el inconveniente que no son permanentes, aparecen lentamente con el
tiempo, y no son aptas para aumentar la velocidad del rotor.
Existen otras tensiones residuales, no estudiadas anteriormente, de tipo mecánico que se
generan durante el proceso bobinado de la fibra. Son de signo contrario a las centrífugas
y, por lo tanto, se pueden aplicar para disminuir las tensiones finales del rotor.
En este capítulo se describe el proceso de formación de las tensiones de bobinado y se
elabora un modelo de cálculo para determinar las tensiones generadas. En su análisis se
considera, para una primera aproximación, que el material es elástico y, posteriormente,
se complementa con las modificaciones experimentales de sus propiedades.
7.1.2. Tensiones residuales de bobinado
En el estudio de las tensiones realizado hasta el momento no se han considerado las
tensiones residuales de bobinado. Su origen es totalmente distinto a las tensiones resi-
duales generadas por el material, nacen de la simple acción mecánica del tensado del hilo
159

160 CAPÍTULO 7. PRETENSADO EN EL BOBINADO
durante el bobinado. Aunque algunas veces se habla de hilo en realidad se refiere a un
conjunto de hilos o filamento, formado por centenares de hilos de diámetro muy pequeño,
como se muestra en la figura 7.1(c).
En la fabricación de un rotor siempre es necesaria una cierta tensión en el hilo para
asegurar el correcto apilado de las fibras. En la figura 7.1(a) se representa el proceso de
enrollado con una tensión de bobinado σw en el hilo de entrada que se compensa con
un momento de giro M en el mandrino. La tensión σw del filamento crea una presión
radial pw contra la superficie para adaptarse a la curvatura cilíndrica, figura 7.1(b) y
(c). Esta presión es necesaria para el material porque evita que en la zona de apoyo se
formen pequeñas bolsas de aire que perjudicarían la uniformidad del compuesto. También
favorece el aumento de la concentración de fibra porque la presión entre los hilos favorece
que la resina fluya hacia el exterior y se reduce la distancia entre fibras. Por lo tanto,
la tensión de bobinado aumenta la resistencia a tracción del material bobinado, como
exponen Hahn y Kempner (1993) [23].
σw
(a)
M
Cilindro base
σw
(b)
pw
(c)
pw
Figura 7.1: Fabricación de un rotor con una tensión de bobinado σw y generación de la presión
radial pw.
La tensión de bobinado σw permanece en las fibras internas del rotor en forma de tensión
tangencial, incluso después de suspender la tensión exterior de la última vuelta, debido a
la fricción entre hilos y la elasticidad del material. Por la misma razón, la presión pw entre
las fibras también permanece en el interior del rotor en forma de tensión radial. Estas
dos tensiones, la tangencial y la radial, dan lugar a las tensiones residuales de bobinado.
En un proceso de bobinado convencional, con una tensión de hilo relativamente baja, se
generan tensiones internas despreciables, pero si la tensión es elevada se generan tensiones
residuales importantes que modifican el comportamiento final del rotor. En su interior
se combina la tracción de las fibras con la compresión de la matriz dando lugar a un
estado de precompresión similar al que se genera en el interior del hormigón pretensado.
A este tipo de tensiones residuales se les puede denominar, por similitud con el hormigón,
tensiones de pretensado.

7.1. PROCESO DE PRETENSADO EN EL BOBINADO 161
7.1.3. Ventajas del pretensado
Al bobinar un rotor con hilo fuertemente traccionado puede parecer, en una primera in-
tuición, que disminuye la capacidad para resistir la fuerza centrífuga, pero en un estudio
más detallado se demuestra que en realidad aumenta. A continuación de describe el pro-
ceso de formación de tensiones residuales de pretensado y se comprueba que disminuyen
las tensiones finales del rotor.
Si a un cilindro de material compuesto se le añade una capa exterior del mismo material
bobinando con hilo tensado se generan las tensiones internas de la figura 7.2. Sobre el
cilindro base, que actúa de mandrino en la figura 7.2(a), se enrollan vueltas sucesivas
de hilo con tensión σw hasta completar la capa. Esta tensión permanece en el cilindro
exterior en forma de tensión tangencial σθ de tracción, como se muestra en la sección
radial de la figura 7.2(b), y genera otra compresión en el cilindro base, necesaria para
mantener el equilibrio de fuerzas. Entre ambos cilindros se crea, a su vez, una presión p de
contacto para mantener el equilibrio en cada uno de ellos, figura 7.2(c). En consecuencia,
el bobinado genera una tensión radial de compresión σr de valor p en la frontera y decrece
hasta anularse en los radios extremos, figura 7.2(d).
Cilindro base
σw
(a)
p σr
(d)
p
(c)
p
σw σθ
(b) σw
Figura 7.2: Tensión tangencial y radial creadas por la tensión de bobinado.
Si se comparan estas tensiones con los resultados del ejemplo del capítulo anterior, fi-
guras 6.3 y 6.11, se comprueba que sus efectos son beneficiosos. En la tensión radial, la
compresión generada en el pretensado disminuye la tracción de la fuerza centrífuga. En la
tensión tangencial, la compresión del cilindro interior también disminuye la tracción de
la centrífuga, en cambio, la tracción del cilindro exterior se suma a la tensión centrífuga.
En este punto, a pesar de aumentar la tensión, no se perjudica la resistencia del rotor
porque no es crítico, como se comprueba en la figura 6.15.
Los valores de estas tensiones se determinan más adelante, en los apartados 7.2.3 y 7.2.5,
y se analiza su influencia sobre las prestaciones finales del rotor. Además del cálculo de
tensiones con propiedades elásticas se introduce la corrección debido al comportamiento
viscoelástico del material, en la sección 7.4.

7.1.4. Fabricación con pretensado
Antes de afrontar el estudio analítico de las tensiones residuales de bobinado es necesario
exponer una serie de consideraciones sobre el proceso de fabricación.
Los rotores de material compuesto se fabrican mediante el bobinado del hilo sobre mandri-
no rígido, como se representa en la figura 7.1(a). El mandrino gira a velocidad constante
sobre su eje y tira del hilo a través un punto exterior. Dicho punto tiene dos mecanismos,
uno de desplazamiento axial, para rellenar por igual todo el ancho del cilindro, y otro
de rozamiento del hilo, para crear la tensión de bobinado. Este rozamiento es regulable,
mediante un sistema de pesos, y permite modificar la tensión del hilo σw.
El filamento de bobinado del rotor puede presentar dos formas: hilos impregnados de
resina húmeda y cinta con resina seca. En el primero el filamento se sumerge en resina
líquida inmediatamente antes de depositarse sobre el cilindro, mientras que en el segundo
se ha sometido previamente a un proceso de impregnado y curado parcial, de manera que
durante el bobinado presenta un aspecto de cinta sólida. En ambos sistemas se obtiene
un resultado final muy parecido, excepto en las tensiones de pretensado.
En el bobinado con filamento húmedo las tensiones residuales de pretensado se relajan
fácilmente a causa de la resina viscosa, en cambio, con cinta seca de mayor rigidez son
más estables. Para el cálculo, estas últimas se modelizan fácilmente, basta con aplicar un
coeficiente de corrección al modelo elástico para introducir el comportamiento viscoelás-
tico. En el filamento húmedo las ecuaciones del sistema elástico es totalmente insuficiente
y es necesario recurrir a unas ecuaciones más complejas, como se expone en el artículo
de Kempner y Hahn (1995) [26].
7.1.5. Rigidez radial
Las tensiones residuales de bobinado, aunque se generan por la tensión tangencial, de-
penden en gran parte de la rigidez radial del material. La tensión tangencial en la capa
externa de la figura 7.2(b) se mantiene gracias a la presión radial p sobre la capa interna,
figura 7.2(c), pero si tiene poca rigidez radial la presión disminuye y la tensión tangencial
se relaja.
Los materiales compuestos siempre tienen una rigidez en dirección transversal a la fibra
muy inferior a la longitudinal, pero si la matriz no está curada esta diferencia es mucho
mayor. Esto supone una grave dificultad para conservar las tensiones residuales de bobi-
nado desde el momento de su fabricación hasta el curado completo de la matriz en el
autoclave.
Tarnopol’skii y Beil (1983) [48] presentan un resumen de los estudios hechos sobre la pér-
dida de rigidez en dirección transversal y su aplicación al bobinado. Más recientemente,
Hahn y Kempner (1993) [23], Kempner y Hahn (1995) [26] y Gabrys y Bakis (1998)
[18], exponen los resultados de nuevos ensayos para conseguir mantener las tensiones
residuales de bobinado. Todos ellos toman como base inicial para el cálculo la hipótesis
que el material tiene propiedades elásticas y posteriormente lo modifican introduciendo

7.2. MODELO ELÁSTICO 163
parámetros que tienen en cuenta la pérdida de rigidez transversal.
Aquí se sigue el mismo procedimiento, primero se desarrolla un sistema de cálculo basado
en un modelo elástico y, posteriormente, se aplican las consideraciones viscoelásticas para
la pérdida de rigidez radial. Con ello, se consigue analizar con detalle el mecanismo de
generación de tensiones y sentar las bases de la simulación para el cálculo.
7.2. Modelo elástico
7.2.1. Proceso de estudio de las tensiones
Para determinar las tensiones del rotor originadas por la tensión del hilo es necesario
crear un modelo que simule la mecánica del bobinado. Como se ha dicho, en este primer
cálculo se considera que durante el bobinado el material es elástico y sus propiedades
coinciden con las del material curado.
En el apartado 7.1.3 se ha descrito brevemente el origen de la tensión tangencial y la
radial a partir de la tensión de bobinado σw. En la figura 7.2 se ha mostrado el proceso
de forma global, pero para entender las tensiones finales es necesario dividirlo en pasos
elementales, vuelta a vuelta.
Aunque la tensión del hilo σw sea constante en todo el bobinado la tensión tangencial
residual no es uniforme como se ha presentado en la figura 7.2. Su valor disminuye
progresivamente al acumularse encima sucesivas vueltas de bobinado. Esta relajación de
la tensión residual es inherente al proceso de fabricación por bobinado y es distinta a
la relajación originada por el comportamiento viscoelástico del material que se estudiará
más adelante.
La tensión tangencial se determina mediante la suma de tensiones elementales. Cada
vuelta de bobinado con tensión σw ejerce una presión radial sobre el resto del cilindro,
denominada pw en la figura 7.1, y se induce una pequeña tensión tangencial de compre-
sión, igual que en la figura 7.2, pero con un cilindro exterior de grosor muy pequeño.
En la figura 7.3 se muestran las tensiones tangenciales parciales de las dos primeras
vueltas (1) y (2), la última (n) y la suma final de todas ellas. En la primera vuelta,
figura 7.3(a), la tensión σw comprime sólo el cilindro base, en la segunda, figura 7.3(b),
σw comprime el cilindro base más la primera vuelta, y sucesivamente hasta la última que
comprime las n − 1 anteriores.
La tensión tangencial final se obtiene sumando las tensiones de todas las vueltas, figura
7.3(d). En el radio exterior conserva la tensión de bobinado σw de la última vuelta, pero
en cualquiera de las otras a la tensión σw se le restan las compresiones de las vueltas
bobinadas posteriormente. En el cilindro base se acumulan las n compresiones.
Luego, la tensión de bobinado σw no se convierte directamente a tensión tangencial sino
que se relaja debido a la superposición de vueltas de bobinado. Esta secuencia es útil para
calcular las tensiones residuales finales y es el fundamento del modelo elástico aplicable a

σw
(a)
1
(b) σw
1 2
σw
(c)
1 2
n
σθ σw
(d)
n
1 2
Cilindro base
Figura 7.3: Relajación de tensiones tangenciales residuales de bobinado debido a la superposi-
ción de vueltas.
rotores de un solo material. Si el rotor es multicapa, con materiales diferentes, el sistema
es más complejo y en apartado 7.2.5 desarrolla un modelo generalizado aplicable para
cualquier disposición de materiales.
7.2.2. Modelo analítico
El cálculo de tensiones residuales de bobinado se realiza solamente en condiciones de
tensión plana, porque presenta una ecuación matemática de resolución asequible; en
condiciones deformación plana o en DAC daría lugar a una ecuación diferencial muy
compleja. En los capítulos anteriores se ha comprobado que los resultados de TP y de
DAC difieren poco, a excepción de la tensión axial, y se supone que la similitud se
conserva también aquí. Además, el error en los valores finales causados por del método
de cálculo es pequeño comparado con la imprecisión en los valores de las propiedades del
material no curado.
A pesar de obtener las tensiones residuales a partir de un cálculo en TP se determina un
valor de tensión axial aproximado para los puntos alejados del extremo. Se supone que
los valores de la tensión tangencial y la radial son muy similares a los que se obtendrían
en DAC, tal como se ha comprobado en los capítulos anteriores para otros casos. Con
esta aproximación se determina el valor de la tensión axial mediante la formula de DAC.
El sistema de cálculo se basa en simular analíticamente el proceso de formación gradual
de la capa pretensada como una superposición de la n vueltas del bobinado, igual que en
la figura 7.3. Las tensiones de cada una son similares a las generadas en un ajuste por
interferencia de dos cilindros, el exterior es un aro fino correspondiente a la vuelta de
hilo bobinado y el interior es el cilindro base más las vueltas anteriores. El aro exterior
debe tener una tensión tangencial igual a la tensión del hilo σw, y genera la presión de

contacto pw de la figura 7.1.
Para la simulación se supone que el espesor de una vuelta es de valor infinitésimo, así en
un determinado el radio de bobinado rw se añade un aro de grosor diferencial, drw, tal
como se representa en la figura 7.4(b). El aro está sometido a una tensión tangencial σw
y ejerce sobre el cilindro una presión diferencial dpw. El cilindro recibe esta presión en
forma de tensión radial dσr superficial y en su interior se genera una tensión tangencial
de compresión dσθ, figura 7.4(a).
Este modelo sustituye la forma espiral del hilo por sucesivos anillos cerrados sobre si
mismos e independientes del resto. Considera que en todos los puntos de la última vuelta
tiene una tensión tangencial uniforme, por lo cual, las tensiones cortantes entre ella y la
vuelta anterior son nulas. Finalmente, supone que las tensiones son idénticas en toda su
longitud axial, o sea, el aro tiene la misma longitud que el rotor.
dpw
σw
σw
rw
drw
(b)
dσθ
dσr=dpw
rw
(a)
ri
Figura 7.4: Modelo elemental de cálculo de tensiones de bobinado para una tensión de hilo σw.
El anillo diferencial se comporta como un cilindro de pared delgada sometido a presión
interior dpw, figura 7.4(b), y una tensión tangencial σw que se relacionan según la fórmula
dpw =
σw drw
rw
(7.1)
El cilindro interior se comporta como un cilindro sometido a presión exterior, dσr = dpw,
y en sus puntos interiores se crean tensiones tangenciales y radiales. Las tensiones totales
del rotor se obtienen sumando las tensiones de los sucesivos anillos diferenciales según la
configuración del rotor.
7.2.3. Rotor de un solo material
A continuación se resuelve el caso de un rotor simple de material único en el que la zona
exterior está bobinada con tensión. Se fabrica en dos fases, primero el cilindro interior,
de r1 y r2 en la figura 7.5, y posteriormente se añade la capa pretensada, de r2 y r3.
El cilindro interior se obtiene mediante un bobinado convencional sobre un mandrino

r1
r2
r3
rw drw
Figura 7.5: Rotor de material único con una capa de pretensado dividida en anillos diferenciales.
metálico que se retira después del curado. Sobre este cilindro base se bobina la capa
pretensada aplicando la tensión de hilo descrita de la figura 7.2.
A la capa tensada se le aplica el modelo de aro con espesor diferencial drw del apartado
anterior, con el radio rw entre r2 y r3, figura 7.5. Este aro diferencial se apoya sobre un
cilindro interior, ri y rw de la figura 7.4(a), de material homogéneo, en el cual el radio
interior es constante, ri = r1. Ambos están sometidos las tensiones de la figura 7.4 y
cumplen la ecuación 7.1.
La tensión tangencial y radial del cilindro interior se calculan con las ecuaciones de un
cilindro de pared gruesa sometido a una presión exterior, dpw. Para ello se utilizan las
propias ecuaciones generales 6.17, 6.19 y 6.21 pero con las siguientes simplificaciones:
ϕ = 0 para simular condiciones de TP, sin los términos debidos a la fuerza centrífuga y
los efectos térmicos y de hidratación. Quedan reducidas a
u(r) = A
1
ra
+ B ra
σθ(r) = HA A
1
ra+1
+ HB B ra−1
σr(r) = RA A
1
ra+1
+ RB B ra−1
(7.2)
El cilindro tiene aplicada solamente una presión exterior en las condiciones de contorno.
De la figura 7.4 y la ecuación 7.1 se deduce
r = r1 ; σr = 0
r = rw ; σr =
σw drw
rw
(7.3)
Estas condiciones afectan a los coeficientes A y B y se determinan con la ecuación 7.2(c)

A =
σw ra
1
RA
ra
w drw
r2a
w − r2a
1
B = −
σw
RB
ra
w drw
r2a
ω − r2a
1
(7.4)
Aplicando estos valores a las ecuaciones 7.2 se obtiene el desplazamiento y las tensiones
diferenciales correspondientes a la presión exterior dpw
du(r) = σw
µ
r2a
1
RA
1
ra
−
ra
RB
¶
ra
w drw
r2a
ω − r2a
1
dσθ(r) = −σw a
µ
r2a
1
ra+1
+ ra−1
¶
ra
w drw
r2a
w − r2a
1
dσr(r) = σw
µ
r2a
1
ra+1
− ra−1
¶
ra
w drw
r2a
w − r2a
1
(7.5)
Su resolución es distinta en el cilindro base y en la zona pretensada. En cilindro base, con
un radio r entre r1 y r2 de la figura 7.5, el radio de bobinado rw varía entre los valores
extremos r2 y r3 y la solución es
u(r) = σw
µ
r2a
1
RA
1
ra
−
ra
RB
¶
Iw(r2, r3)
σθ(r) = −σw a
µ
r2a
1
ra+1
+ ra−1
¶
Iw(r2, r3)
σr(r) = σw
µ
r2a
1
ra+1
− ra−1
¶
Iw(r2, r3)
(7.6)
en donde Iw(r2, r3) es la integral
Iw(r2, r3) =
Z r3
r2
ra
w
r2a
w − r2a
1
drw (7.7)
En la zona de pretensado, cuando r es superior a r2, la solución es función solamente
de las vueltas bobinadas por encima de r, o sea, el radio de bobinado rw varía desde el
propio radio r hasta r3. La solución es muy parecidas a las ecuaciones anteriores excepto
para la tensión tangencial σθ. En ella el valor inicial es la tensión de pretensado σw, como
se observa en la figura 7.3.
σθ(r) = σw −
Z r3
r
σw a
µ
r2a
1
ra+1
+ ra−1
¶
ra
w drw
r2a
w − r2a
1
(7.8)
Luego, las ecuaciones del desplazamiento y las tensiones para la zona de pretensado son

u(r) = σw
µ
r2a
1
RA
1
ra
−
ra
RB
¶
Iw(r, r3)
σθ(r) = σw
∙
1 − a
µ
r2a
1
ra+1
+ ra−1
¶
Iw(r, r3)
¸
σr(r) = σw
µ
r2a
1
ra+1
− ra−1
¶
Iw(r, r3)
(7.9)
y la integral con los límites r y r3 vale
Iw(r, r3) =
Z r3
r
ra
w
r2a
w − r2a
1
drw (7.10)
Las integrales de las ecuaciones 7.7 y 7.10 no tienen una fórmula primitiva simple, válida
para todos los valores de a. Su resolución se comenta más adelante en la ecuación 7.19,
porque es igual pero el factor independiente (r2a
1 ) es más genérico.
La tensión axial σz se determina a partir de la ecuación 6.23, eliminando los términos de
temperatura y humedad. Los valores de la tensión tangencial σθ y la radial σr deberían
ser de DAC pero se utilizan, como se ha comentado más arriba, los resultados anteriores
obtenidos en TP. Luego, la tensión axial aproximada para el cilindro base y para la zona
bobinada se calcula con la ecuación
σz(r) = ϕ [νθz σθ + νrz σr + Ez εu
z ] (7.11)
La deformación axial εu
z se determina con el mismo sistema iterativo del apartado 4.1.4,
aplicando la tensión axial a las ecuaciones 4.13 y 4.14 hasta obtener una fuerza axial
suficientemente baja.
7.2.4. Ejemplo de un rotor de un solo material
A continuación se presentan los resultados de un rotor de material único con una capa
pretensada. Se elige el mismo ejemplo que los capítulos anteriores, de fibra de vidrio
con radios ri = 0,3 y re = 0,5 m, al que se le aplica una tensión de bobinado σw = 50
MPa a partir de r = 0,4 m. Se supone que las propiedades del material son siempre las
del material curado del capítulo anterior, EL = 38,6 y ET = 8,27 MPa y νTL = 0,26
y νTT = 0,6. Las resistencias longitudinales, tracción y compresión, son X = 1062 y
Xc = 610 y las transversales Y = 31 y Yc = 118 MPa.
En la figura 7.6 se presentan los resultados del desplazamiento y las tensiones residuales
después del bobinado para una posición axial alejada del extremo. El desplazamiento
es negativo en la zona interior y aumenta hasta cero en el exterior. Este valor debe ser
necesariamente cero porque el proceso de bobinado se detiene en re. La tensión tangencial
es positiva en la zona exterior y negativa en la interior, tal como se ha expuesto en la

figura 7.2. En el radio exterior tiene un valor de 50 MPa y decrece con la distancia debido
al fenómeno de relajación de tensiones de la figura 7.3. La compresión radial es máxima
en la frontera con un valor de −8,8 MPa y la tensión axial tiene poca importancia. Ambas
son de signo contrario a las de origen centrífugo, como se puede comprobar comparando
con la figura 6.3.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-0.35
-0.3
-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 7.6: Desplazamiento radial y tensiones en un rotor de fibra de vidrio con una capa
pretensada
Para valorar el efecto del pretensado en el rotor se comparan los resultados del rotor
sin pretensado del apartado 6.3.4. Todos los datos son iguales excepto la velocidad, que
se ha disminuido a 9670 rpm, para que el factor de rotura del rotor sin pretensado sea
unitario y facilita la comparación. En la figura 7.7 se presentan los gráficos de tensiones
y el factor de rotura según el criterio de Christensen de un rotor convencional y un rotor
con pretensado.
En el gráfico de tensiones se observa que la variación absoluta no es muy importante pero
en el gráfico del factor de rotura se comprueba que su influencia sobre la resistencia final
es significativa. Su valor máximo, en la zona central, a mejorado a causa de la disminución
de la tensión radial.
En este ejemplo se comprueba que la técnica del pretensado es buena para mejorar las
prestaciones de un rotor de pared gruesa porque modifica las tensiones en el punto débil
del rotor. Pero estos resultados no son reales porque se ha considerado que el material
tiene propiedades elásticas, los valores definitivos son más reducidos aunque dependen
mucho de la fabricación.

0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
sin pretensado
con pretensado
Figura 7.7: Comparación de las tensiones totales y del factor de seguridad de un rotor de fibra
de vidrio con y sin pretensado.
7.2.5. Rotor de varios materiales
Si el rotor está formado por varias capas de distinto material no son aplicables las ecua-
ciones anteriores. Las constantes A y B de la ecuación 7.4 son válidas sólo si el cilindro
base (r1, r2) y la capa bobinada (r2, rw) tienen las mismas propiedades. Si el rotor tiene
al menos dos materiales debe plantearse como un caso genérico que se presenta a contin-
uación.
En un rotor multicapa de n capas, enumeradas desde el interior según la figura 6.5, puede
haber una o varias capas bobinadas con pretensado. Lo más lógico es que sea la capa
más externa n, aunque en algunos casos podría interesar pretensar una capa intermedia
cualquiera i. Si es la externa n se ejerce presión sobre las n − 1 capas restantes, pero si
es una capa intermedia i se comprimen sólo las i − 1 inferiores.
En el cálculo de tensiones residuales creadas por una capa i pretensada intervienen so-
lamente la propia capa i y las i − 1 capas inferiores, tal como se muestra en la figura
7.8(a). El proceso de cálculo tiene tres pasos: (1) sustituir las i − 1 capas inferiores por
un cilindro equivalente, (2) determinar las tensiones de pretensado dentro de la capa i y
(3) calcular las tensiones en las capas inferiores.
El cilindro equivalente de las i − 1 capas inferiores es un sistema elástico que sufre
el mismo desplazamiento radial ui
cuando está sometido a una tensión radial exterior
σi
r. Analíticamente equivale a determinar la constante elástica radial kr definida en la
ecuación 2.78 del aparado 2.4.1, pero en el radio ri de la capa i y se denominada ki
r en
la figura 7.8(b).
ki
r =
σi
r
ui
ri
(7.12)

Las tensiones en la capa de pretensado se calculan con el mismo proceso de apilado de
aros diferenciales del apartado anterior. La capa pretensada, de ri a ri+1, se divide en
aros de radio rw y espesor diferencial drw, como muestra la figura 7.8(b). Cada uno ejerce
una presión diferencial dpw sobre el cilindro interno de radio rw, formado por el cilindro
equivalente, ki
r, más la parte bobinada, de r1 a rw.
r1
ri
ri+1
1
i
(a)
ri
ri+1
rw drw
kr
i
(b)
Figura 7.8: Progresión del aro diferencial de bobinado en un rotor multicapa
Para el cálculo se aplican las ecuaciones 7.2 anteriores, pero con unas nuevas constantes
A y B. La tensión radial en el radio inferior σi
r depende del desplazamiento ui
y de la
constante elástica del cilindro equivalente ki
r. En el radio de bobinado rw la tensión radial
es la misma que en el caso anterior
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
r = ri ⇒ σi
r =
ki
r
ri
ui
r = rw ⇒ σr =
σw drw
rw
(7.13)
Los nuevos coeficientes son
A = −
σω m
RA
ra
w drw
r2a
w + η
B = −
σω
RB
ra
w drw
r2a
w + η
(7.14)
en donde el factor η resume algunos parámetros independientes del punto de bobinado
rw y vale:
η = r2a
i
RB − ki
r
RA − ki
r
RA
RB
(7.15)
También se puede escribir, según las ecuaciones 6.22, 6.13 y 6.9, en función directa de
las propiedades elásticas del material

η = r2a
i
Eθ − ki
r (a − νθr)
Eθ + ki
r (a + νθr)
(7.16)
Sustituyendo las constantes A y B en las ecuaciones 7.2 se obtienen los valores diferen-
ciales
du(r) = −σw
µ
η
RA
1
ra
+
ra
RB
¶
ra
w drw
r2a
w + η
dσθ(r) = −σw a
³ η
ra+1
+ ra−1
´ ra
w drw
r2a
w + η
dσr(r) = −σw
³ η
ra+1
+ ra−1
´ ra
w drw
r2a
w + η
(7.17)
Para calcular el desplazamiento y las tensiones en un radio r dentro de la capa bobinada
se acumulan los anillos diferenciales desde r hasta exterior ri+1. El resultado es
u(r) = −σw
µ
η
RA
1
ra
+
ra
RB
¶
Iw(r, ri+1)
σθ(r) = σw
h
1 + a
³ η
ra+1
− ra−1
´
Iw(r, ri+1)
i
σr(r) = −σw
³ η
ra+1
+ ra−1
´
Iw(r, ri+1)
(7.18)
y la integral Iw(r, ri+1) es
Iw(r, ri+1) =
Z ri+1
r
ra
w
r2a
w − η
drw (7.19)
Esta integral Iw no tiene una fórmula primitiva simple que sea válida para todos los
valores de a, como se ha comentado anteriormente para las ecuaciones 7.7 y 7.10, se
resuelve mediante cálculo numérico. Pero si el valor de a es entero existe una solución
finita que puede ser útil para comprobar del sistema de cálculo.
Para a = 2 es
Iw = η
−1
4
Ã
1
4
ln
r − η
1
4
r + η
1
4
+
1
2
arctan
r
η
1
4
!
(7.20)
y para a = 4 es

Iw = η
−3
8
(
1
8
ln
r − η
1
8
r + η
1
8
+ arctan
r
η
1
8
+
1
8
√
2
ln
r2
+
√
2η
1
8 + η
1
4
r2 −
√
2η
1
8 − η
1
4
+
1
4
√
2
∙
arctan
µ
√
2
r
η
1
8
+ 1
¶
+ arctan
µ
√
2
r
η
1
8
− 1
¶¸¾
(7.21)
El valor aproximado de la tensión axial se determina, igual que en el rotor de material
único, con la ecuación 7.11 y aplicando las tensiones de la ecuación 7.18.
Las capas inferiores se calculan como un cilindro sometido a presión exterior, utilizando
la solución del rotor multicapa del capítulo 6 y considerando i − 1 capas, entre r1 y ri.
Para ello se sustituye la condición de tensión radial exterior nula de la ecuación 6.41 por
una compresión radial, aplicada al radio ri, igual al valor de σr(ri) de la ecuación 7.18.
Las ecuaciones 7.18 son parecidas a la solución que se propone en el artículo de Tarnopol’skii
y Beil (1983) [48], aunque solamente considera el bobinado sobre mandrino metálico y
no es aplicable a un rotor multicapa genérico.
7.2.6. Ejemplo de rotor con mandrino
Para comprobar el sistema de cálculo anterior se aplica a un rotor de fibra que incorpore
el mandrino metálico de bobinado. Aunque, no es propiamente un rotor multicapa de
varios materiales compuestos, el cálculo debe realizarse con el mismo sistema.
Con este ejemplo se estudia, además, un tipo de configuración que presenta algunas
ventajas económicas, como se comentado en el apartado 1.2.4. A pesar de tener en condi-
ciones normales unas tensiones muy desfavorables, mejoran sustancialmente al aplicar un
pretensado durante el bobinado.
Para el ejemplo se elige el rotor del apartado 6.1.5 pero con un mandrino de aluminio,
como se muesta en la figura 7.9.
r2
r3
r1 Mandrino
Fibra
Figura 7.9: Rotor de fibra con mandrino de bobinado incorporado
El rotor es de fibra de vidrio con radio interior de r1 = 0,3 m y exterior de r3 = 0,5 m, y
ahora el mandrino de aluminio sustituye la fibra de vidrio hasta r2 = 0,31 m. Se aplica
una tensión de bobinado de σw = 50 MPa a toda la fibra de vidrio, desde 0,31 hasta 0,5

m. Las propiedades elásticas del aluminio son: E = 70 GPa y ν = 0,34 y la resistencia
a la rotura X = 300 MPa. En la fibra de vidrio se aplican las propiedades del material
curado, igual que las del apartado 7.2.4.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
r / r
e
Desplazamiento
(mm)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 7.10: Desplazamiento radial y tensiones residuales de pretensado de un rotor fibra de
vidrio con mandrino de aluminio
En la figura 7.10 se presentan los resultados del cálculo, el desplazamiento radial y las
tensiones, después del pretensado, según las ecuaciones 7.18. El desplazamiento es nega-
tivo, en el interior es mínimo y en el exterior es cero. La tensión tangencial es igual a la
de bobinado, σθ = 50 MPa, en el exterior, r/re = 1, y disminuye con el radio, llegando a
ser negativa en la propia capa de pretensado. En el mandrino la compresión tangencial
alcanza un valor de −250 MPa debido al pequeño grosor de aluminio comparado con la
capa de fibra pretensada. La tensión radial de compresión alcanza un valor significativo
para la fibra, el máximo es de −11 MPa. La tensión axial es pequeña en la fibra y en el
mandrino llega a −41 MPa, aunque es poco importante para la resistencia del aluminio.
Si estas tensiones se aplican conjuntamente con el resto de cargas se comprueba que
el rotor con mandrino mejora sustancialmente, aunque hay que tener en cuenta que un
rotor con mandrino tiene unas tensiones muy desfavorables. Este rotor, sin pretensado y
curado a 120o
C, tiene una velocidad máxima, para un factor de rotura unitario, de 6843
rpm, muy inferior a 9670 rpm del mismo rotor pero sin mandrino.
En la figura 7.11 se presenta la comparación de los resultados de las tensiones y el factor
de rotura del rotor sin pretensado y con pretensado. Se observa que las tensiones se
modifican sustancialmente, la tensión tangencial en el aluminio disminuye de 450 a 200
MPa, la radial en la fibra se reduce de 180 MPa a 80 MPa y la axial en el mandrino que
pasa de −6 a −48 MPa. Estas variaciones suponen una mejora sustancial del factor de
rotura, sobre todo en el aluminio, disminuye de 1 a 0,55.
Con esta mejora en las tensiones de pretensado la velocidad máxima, para un factor de
rotura unitario, es de 9220 rpm, o sea, próxima a la velocidad del rotor sin mandrino.

7.3. CÁLCULO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS 175
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-400
-200
0
200
400
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
sin pretensado
con pretensado
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 7.11: Comparación de las tensiones y el factor de rotura en un rotor de fibra de vidrio
con mandrino con y sin pretensado.
7.3. Cálculo mediante elementos finitos
7.3.1. Limitación del cálculo directo
En los capítulos anteriores los resultados obtenidos en el cálculo analítico de las tensiones
mecánicas y térmicas se han comprobado mediante ejemplos simples calculados en MEF,
aquí se pretende lo mismo para las tensiones de bobinado. En aquéllos ha sido suficiente
utilizar las herramientas habituales de los programas comerciales, pero en las tensiones
de pretensado estos recursos son insuficientes, al menos para aplicar un cálculo directo.
A continuación se presenta un procedimiento de cálculo de las tensiones del bobinado
mediante una simulación MEF, a través de un proceso acumulativo de tensiones.
Existen varias dificultades en la simulación del bobinado que no permiten aplicar direc-
tamente los programas comunes. La geometría del rotor no es única, se modifica gra-
dualmente durante el proceso de bobinado. Además, la carga varía simultáneamente con
la geometría, de manera que la fuerza externa se desplaza radialmente, pero los efectos
internos permanecen y las tensiones se acumulan.
Para simular la generación de estas tensiones es necesario seguir el proceso gradual de
formación del rotor durante el bobinado. A cada vuelta se crean condiciones geométricas
y de carga nuevas, y a la vez, se acumulan las tensiones que cada una de ellas genera.
Se utiliza el mismo programa comercial que en los capítulos anteriores, pero aplicando
en un proceso de simulación especial para conseguir la creación de la tensión de hilo y la
acumulación de las vueltas del bobinado. La tensión se simula aplicando una dilatación
térmica ficticia y el bobinado se obtiene apilando modelos elementales, de forma similar
al procedimiento utilizado en el cálculo analítico.

7.3.2. Método de cálculo
El método de cálculo se basa en dividir la capa pretensada en subcapas, que simulan
una o varias vueltas de bobinado, y para cada una se crea un submodelo de cálculo.
El proceso es parecido al seguido en el cálculo analítico de la figura 7.4, pero ahora los
aros son discretos. A cada submodelo se le aplica la tensión de bobinado mediante un
incremento de temperatura ficticio que genera una tensión tangencial equivalente. Las
tensiones globales del pretensado se obtienen sumando las parciales de cada submodelo.
La figura 7.12 representa el proceso de simulación de un rotor multicapa que tiene una
tensión de bobinado σw aplicada a una capa intermedia i, igual que el rotor de la figura
7.8. Se elige un modelo en forma de sector circular desde el radio r1 hasta el radio ri+1,
cuyos radios laterales pueden desplazarse sólo en dirección radial. La capa pretensado i
se divide subcapas, figura 7.12(a), de forma parecida a los incrementos dr de la figura 7.8,
y para cada una de ellas se confecciona un submodelo. En la figura 7.12(b) se representa
el submodelo de la subcapa j que está formado por las i − 1 capas, desde r1 hasta ri, las
j − 1 subcapas, desde ri hasta rj y la propia subcapa de tensado j, desde rj hasta rj+1.
(c)
σθ
εθw
u
u
(b)
εθw(∆T)
r1
ri
rj rj+1
r2
1
j
1
j
ri+1
r1 ri
r2
(a)
n
rn
i
Figura 7.12: Proceso de simulación de la tensión de bobinado mediante un ∆T.
Para simular las tensiones parciales creadas por el bobinado de la subcapa j se aplica una
deformación térmica igual a la deformación tangencial εθw que generaría de la tensión
de bobinado σw, como representa en la figura 7.12(b). Para ello se elige un incremento
de temperatura arbitrario ∆T y se determinan unos coeficientes de dilatación térmica
ficticios αθw y αrw, válidos solamente en la subcapa de tensado, calculados a partir de la
deformación εθw. Sus valores son
αθw =
σw
Eθ ∆T
; αrw = −νrθ
σw
Eθ ∆T
(7.22)
La creación de tensiones sigue el proceso mecánico de la figura 7.12(a) y (b). El incremento
de temperatura ∆T supondría una deformación tangencial εθw pero las condiciones de
contorno en los radios laterales no permiten ningún desplazamiento tangencial y se genera
la tensión tangencial de bobinado σw deseada. Dicha subcapa se apoya sobre el resto del

7.3. CÁLCULO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS 177
cilindro, las i−1 capas y las j −1 subcapas, de forma que la tensión tangencial induce un
desplazamiento radial u y una tensión tangencial σθ de compresión el resto del cilindro.
El desplazamiento u afecta también a la subcapa j y la tensión tangencial de tracción σw
disminuye ligeramente debido a la tensión σθ, apartándose del valor deseado. Se corrige
aplicando un factor multiplicador a los resultados finales, dado que la tensión final es
siempre proporcional a la dilatación térmica aplicada.
7.3.3. Ejemplo
Para comprobar este método de cálculo se aplica al rotor de fibra de vidrio del apartado
7.2.4 y los resultados se comparan con los del cálculo analítico. Se elige un ángulo del
sector muy pequeño para facilitar la visualización de las tensiones, de manera que las
direcciones horizontal y vertical coincidan con la radial y tangencial en todos los puntos.
La capa pretensada i = 2, desde r2 = 0,4 a r3 = 0,5 m, se divide en 13 subcapas que dan
lugar a 13 submodelos de cálculo.
θ
r
r1
r2 rj
σθ (Pa)
rj+1
Figura 7.13: Tensión tangencial generada por la pretensión de la subcapa j=5
σr (Pa)
θ
r
Figura 7.14: Tensión radial generada por la pretensión de la subcapa j=5
En la figuras 7.13 y 7.14 se presentan los resultados y las condiciones de contorno del
submodelo correspondiente a j = 5. Se muestra el cilindro base de r1 a r2, dividido en 4
elementos radiales, y las 5 primeras subcapas de la zona de pretensada con un elemento
en cada una. La última, de rj a rj+1, corresponde a la subcapa j con tensión.
En la figura 7.13 de la tensión tangencial se observa que la subcapa de tensado última
está a tracción y las restantes están a compresión, aunque la tensión cambia progresiva-
mente y no como en la figura 7.12(c). Su valor máximo, 48,0 MPa, no alcanza la tensión

de bobinado, σw = 50 MPa, debido a la contracción u del cilindro base, como se ha
comentado más arriba, y todas las tensiones deben corregirse con factor multiplicador
50/48.
La tensión radial de la figura 7.14 debería ser máxima en la frontera (rj) y nula en los dos
extremos pero observan algunas desviaciones. Están originadas en parte por el modelo
pero, sobre todo, por la diferencia de escala entre la tensión tangencial y la radial, de
manera que un pequeño error en la primera se multiplica por 10 en la radial. Del modelo
se puede objetar que el valor máximo en rj depende del cambio progresivo de la tensión
tangencial y el valor en el extremo derecho está influido por los efectos de borde y por
las pequeñas diferencias entre la dirección radial y la horizontal. Estas desviaciones se
corrigen simplemente extrapolando los valores en los puntos de lectura y se obtienen
resultados totalmente correctos.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-40
-20
0
20
40
60
r / r
e
Tensión
tangencial
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-10
-8
-6
-4
-2
0
r / r
e
Tensión
radial
(MPa)
σ
θ
total
σ
θ
parcial
σr
total
σ
r
parcial
Figura 7.15: Tensiones residuales, parciales y totales, generadas por las subcapas pretensadas.
Las tensiones globales se obtienen sumando los resultados de los 13 submodelos, como se
muestra en los gráficos de la tensión tangencial y la radial de la figura 7.15. Ambos son
totalmente coherentes, en la tangencial el valor es máxima en el radio exterior y decrece
con el radio, y en la compresión radial el valor es máxima en el centro y nulo en los
extremos. También se comprueba que la tensión tangencial en r/re = 1 coincide con la
tensión de bobinado, σw = 50 MPa,
Si se comparan con los resultados con los resultados del cálculo analítico de la figura
7.6 se comprueba los valores coinciden. En la figura 7.16 se presentan los resultados del
cálculo analítico con líneas y los de MEF con puntos, y se observa que las desviaciones
son mínimas.
La coincidencia entre ambos sistemas de cálculo es importante para comprobar la validez
de las dos simulaciones. Aunque hay que reconocer que en algunos aspectos ambos mo-
delos son coincidentes y, por lo tanto, la validez absoluta solamente se obtendría mediante
la comprobación a través de resultados experimentales.

7.4. CONSIDERACIONES VISCOELÁSTICAS 179
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
r / r
e
Tensiones
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
MEF
Figura 7.16: Comparación de las tensiones de bobinado obtenidas en el cálculo analítico y en
el modelo acumulativo de MEF.
7.4. Consideraciones viscoelásticas
7.4.1. Propiedades viscoelásticas
En la simulación del bobinado se ha considerado que el material es totalmente elástico,
ahora se estudia la influencia del comportamiento real del material sobre las tensiones
residuales. Las tensiones residuales del rotor se generan durante el bobinado y, poste-
riormente, se somete al proceso de curado de la resina, se calienta a la temperatura de
curado y, una vez solidificada, se enfría. A lo largo de este proceso las propiedades del
material varían y solamente tiene comportamiento elástico después del curado.
Algunos autores no dan importancia a esta variación y estudian el problema solamente
con las propiedades definitivas, es el caso de Liu (1965) [34] y Dvorak y Prochazka (1996)
[13]. Otros, más realistas, tienen en cuenta la diferencia de propiedades, Hahn y Kempner
(1993) [23], Kempner y Hahn (1995) [26] y Gabrys y Bakis (1998) [18].
Si el material no está solidificado su comportamiento es distinto al considerado en los
apartados anteriores. Al inicio del proceso, durante el bobinado, la fibra se encuentra en
estado sólido pero la resina, todavía no curada, se comporta como un material viscoelás-
tico. La rigidez en dirección longitudinal de la fibra es elevada y es capaz de soportar
las tensiones de bobinado σw, pero en dirección transversal es muy baja. En el dibujo
de la figura 7.17(a) se observa como la matriz se interpone entre los hilo de las fibras y
transmite la tensión radial σr. Si la resina se halla en estado no curado y, por lo tanto,
sin consistencia sólida, cede a la presión y provoca el desplazamiento radial u.
En un rotor cilíndrico las deformaciones y tensiones en dirección tangencial y radial son
dependientes entre sí, de manera que el desplazamiento radial u produce una disminución
de la tensión de bobinado σw, como se muestra en las figuras 7.17(b) y (c).

σr
u
(a)
fibra
σr
u
matriz
fibra
σw
(b)
εθw
σrw
σw
εθ
σr
(c)
σθ
u
σθ
Figura 7.17: Relajación de tensiones de bobinado debido a la falta de rigidez de la matriz.
En el bobinado la tensión tangencial σw induce una presión radial pw o tensión radial
σrw, como se ha visto en la figura 7.1 y ahora se muestra en la figura 7.17(b); es más,
la tensión tangencial σw necesita de la tensión radial σrw para mantenerse en el rotor en
forma de tensión residual. Si el material no es rígido en la dirección radial y con la tensión
σrw sufre un desplazamiento u, figura 7.17(c), la deformación tangencial de bobinado εθw
disminuye hasta εθ. Luego, la tensión tangencial, que inicialmente es la de bobinado σw,
se reduce hasta σθ y, a su vez, la radial σrw también se reduce hasta σr. Por lo cual, la
falta de rigidez de la matriz produce la relajación de las tensiones residuales.
Para que existan tensiones residuales de bobinado es necesario que la matriz sea suficien-
temente rígida durante todo el proceso, desde el bobinado hasta el estado sólido final. El
comportamiento viscoelástico de la resina antes de su endurecimiento en el curado es de
suma importancia para las tensiones de pretensado del rotor.
7.4.2. Resultados experimentales
En la fabricación de un rotor el hilo de bobinado puede presentar dos formas: un filamento
impregnando con resina en estado fluido, o una cinta impregnada de resina semicurada
en estado seco. En ambos casos el rotor se somete, una vez completado el bobinado, a la
temperatura de curado para endurecer la matriz.
Los artículos de Hahn y Kempner(1993) [23], Kempner y Hahn (1995) [26] estudian los
dos sistemas de bobinado a través de unos ensayos de laboratorio y un cálculo analítico.
Su experimento consiste en colocar galgas de presión sobre el mandrino de bobinado y
medir la evolución de la tensión radial durante el bobinado. Paralelamente simulan la
generación de tensiones residuales, mediante cálculo numérico, considerando que cada
tensión es suma de dos componentes, una elástica y otra de fluencia en función del
tiempo. Aplicando los resultados experimentales de la presión superficial al sistema de
cálculo deducen los valores reales de las propiedades del material, tanto elásticas como
de fluencia. Finalmente, con el sistema de cálculo y las propiedades, determinan las
distribuciones en el radio de las tensiones residuales del rotor al final del proceso de

bobinado.
Los artículos concluyen que las tensiones residuales en el bobinado con cinta seca depen-
den sólo de la componente elástica del modelo y no se relajan con el tiempo, pero los
valores obtenidos son relativamente bajos. Las tensiones en el bobinado con el filamento
húmedo dependen de las dos componentes, elástica y de la fluencia, y con el tiempo sus
valores acaban siendo prácticamente nulos.
Los datos experimentales de estos autores son muy interesantes, se utilizan para compro-
bar la validez del sistema de cálculo de la sección 7.2 y, principalmente, para deducir las
tensiones reales del bobinado. Para ello, se reproducen los cálculos de los artículos con las
ecuaciones 7.18, aplicando las propiedades experimentales, y los resultados se comparan
con las distribuciones del artículo, figura 7.18.
0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
r (m)
Tensiones
(MPa)
0.029 0.03 0.031 0.032
-5
0
5
10
15
20
25
30
r (m)
Tensión
tangencial
(MPa)
σ
θ
σ
r
*10
σ
θ
Hahn
N=5 N=10 N=15
Figura 7.18: Reproducción de los resultados de Hahn y Kempner (1991) [23] mediante el modelo
de cálculo de este capítulo.
El ejemplo del artículo está formado por un rotor con mandrino de aluminio, bobinado
con cinta seca de fibra de vidrio tensada y con los datos siguientes: radios del mandrino
25,4 y 28,8 mm, grosor de la cinta bobinada 0,23 mm y tensión de bobinado 29,3 MPa.
Las propiedades del material durante el bobinado deducidas en el artículo a partir de los
experimentos, con el subíndice w, son: ELw = 27200 MPa, ETw = 2,17 MPa y νTLw =
0,22. Es importante resaltar que el valor del módulo elástico tangencial es parecido al
valor del material curado, EL = 38600 MPa, en cambio, el modulo radial es muy inferior
a ET = 8270 MPa y, por tanto, la rigidez transversal del material sin curar es unas 4000
veces inferior a la del material curado. Esto implica, según lo expuesto en el apartado
anterior, una importante relajación de las tensiones residuales.
En la figura 7.18(a) se representa la tensión tangencial y la radial generadas al bobinar
100 vueltas de cinta tensada. Los resultados de la tensión tangencial obtenidos en la
ecuación se comparan con los del artículo y se deduce que la coincidencia en muy buena,

por lo que se deduce que el modelo de cálculo de la sección 7.2 es correcto.
En cuanto a las tensiones residuales se observa que la tangencial se ha relajado totalmente
excepto en los dos extremos, o sea, junto al mandrino y en el radio exterior. La radial
también es muy pequeña, en la fibra es de 0,4 MPa. En el gráfico (b) se presenta la
tensión tangencial para espesores muy pequeños, con un número de vueltas muy bajo, 5,
10 y 15, y se comprueba que también se relaja.
De estos resultados se deduce que las tensiones residuales generadas en el bobinado uti-
lizando materiales normales, filamento húmedo y cinta seca, son muy bajas. Con filamento
húmedo las tensiones se relajan totalmente y con cinta seca sólo se acumulan en unas
pocas vueltas. A la vista de estos resultados se concluye que para obtener tensiones de
pretensado hay que recurrir a materiales especiales, con más rigidez radial. Para ello es
necesario que durante el proceso de bobinado la resina tenga mayor dureza.
7.4.3. Reducción a un sistema elástico
A partir de los resultados anteriores se deduce que el sistema de cálculo de la sección 7.2
puede simular las tensiones de residuales del bobinado con cinta seca, solamente necesita
variar las propiedades del material con los valores experimentales. Es suficiente considerar
la modificaciones de los parámetros elásticos, no es necesario introducir la fluencia con
del tiempo del material.
Las propiedades que más varían son los módulos elásticos, sobre todo el transversal ETw.
Su valor depende de múltiples factores, en Tarnopol’skii y Beil (1983) [48] se exponen
algunos ejemplos de la relación con la temperatura y la presión, y en Lee y Springer (1990)
[33] en función del grado de curado. Pero es un fenómeno complejo y no se hallan leyes
generales que resuman los diferentes casos particulares, por lo que es necesario recurrir a
la experimentación según las condiciones particulares de cada caso.
En los cálculos de las tensiones residuales es suficiente considerar que se modifica el
módulo transversal ETw, el resto las propiedades influyen poco. Esta variación se puede
tener en cuenta con un parámetro que dependa del proceso de curado del material. Se
define un coeficiente de variación κ de la siguiente forma
κ =
µ
ET
ETw
¶1
2
(7.23)
en donde ET es el módulo elástico transversal en el material curado y ETw es el valor
modificado durante el proceso de bobinado. Este valor afecta directamente a la rigidez
radial Er del rotor y, en consecuencia, al parámetro a de la ecuación 2.13, que durante
el bobinado aw se modifica de la forma
aw = κ a (7.24)
La ventaja de utilizar el parámetro κ es que depende solamente del comportamiento de
la matriz, y está en función de la rigidez de la resina antes del curado. Su valor oscila

entre 1 en estado curado y 150 en estado fluido, según Kempner y Hahn (1995) [26], para
el caso de cinta seca es de 60 según Hahn (1993) [23].
7.4.4. Curado in situ
La relajación de tensiones residuales es lógico que se reduzca si se abrevia el tiempo
transcurrido entre el bobinado la solidificación por curado. Este tiempo es mínimo si el
endurecimiento de la resina empieza en el momento que se deposita sobre el cilindro, y
para ello el rotor debe someterse a la temperatura de curado durante el bobinado. A este
procedimiento se denomina curado in situ.
Existen experiencias de este procedimiento publicadas, por ejemplo el artículo de Gabrys
y Bakis (1998) [18]. Presenta los resultados de la medida experimental de las tensiones
residuales creadas en una serie rotores bobinados sobre un mandrino de aluminio y su
posterior extracción. En el bobinado utiliza filamento húmedo fuertemente tensado y
la temperatura se mantiene a 120o
C. Una vez completada la fabricación coloca ban-
das extensométricas en las superficies interior y exterior, y mide las tensiones residuales
cortando radialmente el rotor.
Los resultados, según el autor, están muy lejos de lo esperado, incluso son contrarios a lo
que pretendía con el pretensado. En la superficie interior se obtienen tensiones tangen-
ciales de tracción y en la exterior de compresión. Los autores exponen estos resultados
experimentales pero no se detienen a analizar las causas de esta aparente contradicción.
Si se aplica el cálculo del rotor multicapa del apartado 7.2.5, utilizando las propiedades
del material deducidas en los experimentos de Hanh y Kempner del apartado 7.4.2, se
obtienen unas conclusiones interesantes. El cálculo es poco preciso por falta de datos pero
los resultados coinciden con las tendencias de los experimentos.
En el cálculo se simulan secuéncialmente cada uno de los pasos de fabricación: bobinado,
curado, extracción del mandrino y enfriado. Se obtienen unas tensiones residuales glo-
bales de tracción en el radio interior y de compresión en el externo, igual que los resultados
experimentales, y los valores numéricos son parecidos. Así por ejemplo, para el rotor de
ri/re = 0,5 los resultados de la deformación tangencial, en unidades de 10−6
, expe-
rimentales del artículo y los determinados en el cálculo para el radio interior y exterior
son:
ri re
Valor experimental según Gabrys y Bakis (1998) [18] 1070 −745
Resultado del calculado con modelo del apartado 7.2.5 703 −592
La diferencia no es alta si se considera que se desconocen algunos detalles sobre la con-
fección del ensayo y los valores de las propiedades del material, tomados de experiencias
similares, son sólo aproximaciones.
De todo ello se concluye en primer lugar, que los resultados del cálculo con el sistema
desarrollado en la sección 7.2 son bastante coincidentes con los experimentales. En se-

gundo lugar, que el curado in situ no resuelve el problema del pretensado, al menos en
el bobinado con filamento húmedo.
7.4.5. Propuestas alternativas
El pretensado mejora, al menos en teoría, la resistencia del rotor pero en la práctica, como
se ha comprobado más arriba, tiene bastantes problemas de fabricación. Para afrontar con
profundidad esta cuestión es imprescindible realizar ensayos experimentales y conocer el
comportamiento exacto del material, pero se escapa del alcance de este trabajo y podría
ser el objeto de un estudio futuro. No obstante, con la información disponible en los
artículos citados y con los resultados obtenidos en el sistema de cálculo desarrollado se
presentan a continuación algunas soluciones posibles para mejorar el pretensado.
Una primera propuesta es bobinar con cinta seca con grado de curado lo más alto posible.
La resina se acerca al comportamiento elástico y evita la relajación de tensiones, pero
por contra, disminuye la resistencia a tracción radial entre dos vueltas sucesivas. Este
problema se podría evitar bobinando con cinta de grado de curado distinto según la zona;
menor en el radio medio para que resista la tensión radial final y mayor en los radios
extremos.
película
de resina
no curada
lámina
curada
σw
F
F
Figura 7.19: Pretensado mediante bobinado de lámina totalmente curada unida por una fina
película de resina.
Otra opción es bobinar con cinta totalmente curada, añadiendo una fina película de resina
fluida no curada entre dos vueltas consecutivas, figura 7.19. La cantidad de resina debería
reducirse a la cantidad imprescindible para tapar los poros pero sin disminuir la rigidez
radial. En este caso habría de asegurar que no queda perjudicada la resistencia final de
la unión entre dos cintas curadas previamente.
En este último caso se podría sustituir la cinta de amplitud pequeña, 2 o 3 mm, por una
lámina de amplitud igual al ancho del rotor, como se representa en la figura 7.19. De esta
forma se aseguraría la perfecta superposición de capas y se evitarían las irregularidades

producidas en la unión lateral de dos cintas. Por contra, la fuerza total de tensado debe
ser mucho mayor y la resistencia del mandrino podría se insuficiente. En tal caso, la
tensión unitaria del filamento se debería complementar con la presión de uno o varios
rodillos exteriores, como se muestra en la figura 7.19.

Capítulo 8
PRETENSADO TÉRMICO
8.1. Rotor de material único curado en dos etapas
8.1.1. Estudios sobre las tensiones térmicas
Las tensiones residuales de origen térmico estudiadas en el capítulo 3 y aplicadas al cálculo
de resistencia del capítulo 6 son perjudiciales para las tensiones finales del rotor. Si el
curado se realiza con distribuciones de temperatura no uniforme las tensiones residuales
son menores, como se comprueba en los ejemplos del capítulo 5. Luego, es interesante
estudiar distintos tipos de distribuciones de temperatura para obtener tensiones residuales
menos perjudiciales.
En un estudio más profundo se pueden hallar nuevos procesos térmicos para el curado,
combinando varias distribuciones no uniformes, que generen tensiones residuales prácti-
camente nulas. Incluso, en algunos de ellos se obtienen tensiones de signo contrario a las
habituales y, por lo tanto, beneficiosas para las tensiones finales del rotor.
Estas tensiones residuales de signo contrario son parecidas a las tensiones generadas por
el pretensado en el bobinado y son igualmente beneficiosas para el rotor. A estos procesos
térmicos se les puede llamar por similitud, pretensado térmico. Las tensiones en teoría
son iguales pero en la práctica son mucho mejores, no sufren la relajación de aquéllas
porque están generadas durante el enfriamiento posterior al curado, cuando el material
está totalmente solidificado.
8.1.2. Tensiones residuales en el curado a temperatura no uni-
forme
Para entender los procesos que dan lugar al pretensado térmico es necesario analizar
las dilataciones del rotor. Éstas se deben combinar de forma adecuada para que las
dilataciones y contracciones de distintas zonas del rotor generen las tensiones favorables.
Para ello, antes de entrar en el estudio de los procesos térmicos complejos se exponen
187

188 CAPÍTULO 8. PRETENSADO TÉRMICO
brevemente las dilataciones en los curado simples descritos en los capítulos 3 y 5.
El curado a temperatura uniforme, descrito en la sección 3.1, es el más simple y sus
tensiones sirven de referencia. Con ellas se valora la mejora en las tensiones para los
distintos procesos térmicos que se presentan en este capítulo.
Para facilitar la exposición y valorar los resultados se aplica a un único rotor las distintas
formas de curado. Se utiliza el mismo ejemplo que en los capítulos anteriores, un rotor
de fibra de vidrio orientada a 0o
y radios 0,3 y 0,5 m. Las propiedades del material son:
EL = 38,6 GPa, ET = 8,27 GPa, νθr = 0,26, αθ = 8,6 y αr = 22,1 10−6
1/o
C.
En la figura 8.1 se presentan los resultados cuando se somete a una distribución uniforme,
capítulo 3, con una temperatura de curado (Tc) de 120o
C y una temperatura ambiente o
final (Tf) de 20o
C. Los gráficos de desplazamiento y tensiones corresponden a un radio
situado lejos del extremo axial, o sea con ϕ = 1. La figura incluye los gráficos necesarios
para el estudio comparativo de los distintos procesos de curado: las temperaturas, el
desplazamiento radial y las tensiones residuales. En este último no se representa la tensión
axial porque no necesaria para el estudio del proceso.
0.6 0.8 1
0
50
100
150
Temperatura (ºC)
0.6 0.8 1
-0.6
-0.4
-0.2
0
Desplazamiento (mm)
0.6 0.8 1
-20
-10
0
10
20
Tensiones (MPa)
T
c
σ
θ
σ
r
*10
T ambiente
T
f
Figura 8.1: Temperaturas, desplazamiento y tensiones residuales de un curado a temperatura
uniforme.
Estas tensiones, figura 8.1, coinciden con los resultados del ejemplo para el cálculo térmico
del sistema DAc en la figura 4.5. Cabe destacar que la tensión radial es de tracción a
pesar de sufrir una contracción radial superior en el radio exterior que en el interior. Este
comportamiento no se explica solamente por la curvatura del rotor, porque la proporción
entre radios (0, 30 y 0,50 m) es inferior a la de sus desplazamientos (−0,15 y −0,56 mm).
Es debido, principalmente, por la diferencia entre los coeficientes de dilatación térmica
en dirección radial y tangencial, como se ha descrito en el apartado 3.1.1.
Estos resultados se utilizan para valorar la reducción de las tensiones residuales en los
distintos procesos de curado. Aunque, la valoración global debe hacerse sobre las tensiones
finales del rotor, o sea, añadiendo las tensiones de la fuerza centrífuga. Para ello, se aplica
la velocidad máxima, 9681 rpm, para el límite de rotura y se obtienen los resultados de
las tensiones totales y del factor de rotura de la figura 8.2.
El sistema más simple de mejora es el curado con la distribución de temperaturas no
uniforme del capítulo 5. El curado del rotor anterior se modifica, la temperatura en el

8.1. ROTOR DE MATERIAL ÚNICO CURADO EN DOS ETAPAS 189
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 8.2: Tensiones y factor de rotura para el rotor curado a temperatura uniforme y sometido
a su velocidad límite de 9681 rpm
radio interior se mantiene a la temperatura de curado, Tc, y en el exterior se eleva a
200o
C. Los resultados obtenidos se muestran en la figura 8.3
0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
Temperatura (ºC)
0.6 0.8 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Desplazamiento (mm)
0.6 0.8 1
-10
-5
0
5
10
Tensiones (MPa)
σ
θ
σr
*10
T ambiente
T
c
Figura 8.3: Temperaturas, deformación y tensiones residuales de un curado a temperatura no
uniforme.
El desplazamiento radial de contracción ha aumentado respecto del caso uniforme de la
figura 8.1, pero el incremento es mayor en el radio exterior que en el interior y, por lo
tanto, la zona central está más comprimida. En las tensiones se observa que la radial
disminuye respecto de la figura 8.1, el valor máximo de 1,6 MPa se reduce a 0,4 MPa.
Con este ejemplo se comprueba que un gradiente positivo de temperatura favorece las
tensiones residuales del rotor pero tiene unos límites. La temperatura en la cara exterior
no puede aumentar indefinidamente porque, al ser muy superior a la temperatura de
curado, perjudica la resina. Aunque podría aumentar un poco utilizando en esta zona
un tipo de resina distinta, con temperatura de curado más elevada. Por otra parte, la
temperatura en el radio interior no debe ser inferior a la de curado.

8.1.3. Proceso de curado en dos etapas
En los dos casos anteriores el curado del rotor se realiza en una sola distribución de
temperaturas, en el cual todos los puntos se curan simultáneamente. Pero se puede realizar
en dos etapas con dos zonas de curado. Si el rotor se somete a una distribución de
temperaturas no uniforme, con uno de los valores extremos inferior a Tc, solamente se
cura una parte del rotor, y es necesario aplicar una segunda distribución con un valor
superior a Tc en la zona no curada.
En el curado convencional de una sola etapa consta de una distribución uniforme de
temperaturas y del posterior enfriamiento hasta la temperatura ambiente. Ahora en el
curado dos etapas, cada una de ellas consta de una distribución de temperaturas y del
posterior cambio térmico hasta la siguiente. En la distribución de temperaturas se produce
el curado de una parte del material y en el cambio térmico se generan las tensiones
residuales.
Ti
a
Ti
b
Tc
rc
a
ri re
Te
b
Te
a
a b
Figura 8.4: Estados de temperatura en el curado en dos etapas.
En la figura 8.4 se muestran las distribuciones de temperaturas para conseguir el curado
en dos etapas, en la primera se somete a la distribución a y en la segunda a la b. En la
distribución a la temperatura interior Ta
i en ri es superior a Ta
e y queda solidificada la
zona interior hasta el radio ra
c . En la distribución b la temperatura exterior Tb
e es superior
a Tb
i , de manera que en ra
c se alcanza Tc y se solidifica el resto.
En la primera etapa el límite de la zona curada situado en ra
c no es un punto definido,
en realidad es una franja de transición donde el grado de curado de la resina varía
gradualmente. Más adelante se analizará con más detalle este fenómeno, de momento
para simplificar se considera puntual. En la segunda etapa el coeficiente de transmisión
térmica del material curado es algo distinto del inicial y la distribución b presenta un

pequeño cambio de pendiente en ra
c . Esto no afecta al curado final y se considera que la
curva sigue siendo una función única.
Las tensiones residuales aparecen durante los cambios de temperatura y solamente en
las zonas solidificadas. En la etapa 1, con el cambio de a a b, se crean tensiones desde ri
hasta ra
c , y en la etapa 2, con el enfriamiento desde b hasta la temperatura final, se crean
en todo el rotor. La tensión residual final es la suma de las tensiones en ambas etapas.
Se observa que la segunda etapa es muy parecida al curado no uniforme descrito en el
apartado anterior, figura 8.3(a), incluso la distribución b tiene la misma la pendiente,
pero la temperatura en el radio interior Tb
i es muy inferior a Tc y se generan tensiones
residuales más bajas.
8.1.4. Consideraciones sobre el curado del material
La cinética de curado de la resina no influye en las tensiones residuales cuando el curado
se realiza simultáneamente en todos los puntos del rotor, pero en el curado por etapas
afecta a la zona de transición en el límite de curado ra
c . En este capítulo se considera que
la frontera es puntual pero en realidad el grado de curado varía progresivamente en una
franja. Antes de entrar en el cálculo de las tensiones se determina la variación del grado
de curado en la franja de transición y se valoran las consecuencias al reducirla a un solo
punto.
Para el estudio de la cinética de curado se sigue el modelo de Lee y Springer (1990) [33]
que, a su vez, se basa en los datos de Dusi y otros (1987) [12]. Este modelo determina
la variación del grado de curado en función del tiempo y la temperatura para la resina
epoxi de tipo 976. Aunque se aplica a un sólo tipo de resina, es suficiente para comprobar
su influencia sobre las propiedades del material en la franja de transición. Para otros
tipos de resina la evolución sería similar, aunque con valores de tiempo y temperatura
distintos.
Las fórmulas y los parámetros de la resina 976 se aplican a un rotor con la misma ge-
ometría que en los ejemplos anteriores, de radios 0,3 y 0,5 m. Se somete a una distribución
de temperatura no uniforme, con una temperatura máxima de 180o
C en el radio interior
y de 40o
C en el exterior, los resultados se muestran en la figura 8.5. En el gráfico de
grado de curado se muestra la progresión del curado mediante distintas curvas tomadas
a intervalos de 20 min. El curado es más rápido donde la temperatura es más elevada,
en cambio en donde es inferior a 120o
C apenas experimenta transformación química.
El grado de curado de un punto aumenta progresivamente con el tiempo, aunque a
intervalos cada vez más pequeños. Su valor máximo tiene un límite cercano al 90%,
pero es suficiente porque algunos autores lo consideran totalmente curado a partir del
80%. En el resto de puntos, donde no se alcanzan estos valores, también aumenta con
el tiempo a intervalos cada vez más pequeños, de manera en los últimos minutos avanza
muy lentamente.
Lee y Springer consideran en sus estudios que por debajo del 20 % el material se comporta
como un fluido viscoso y por encima del 60 % como un sólido, de forma que la transición de

0.3 0.4 0.5
0
40
80
120
160
200
r (m)
Temperatura
ºC
0.3 0.4 0.5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
r (m)
Grado
de
curado
(%)
r
c
r
c
T
c
t = 20, 40, 60, 80, 100, 120 min
fluido
sólido
Figura 8.5: Distribución de temperatura y curvas de grado de curado obtenidos cada 20 min.
Determinación del radio de curado rc.
las propiedades mecánicas, de fluido a sólido, se realiza dentro de este estrecho margen
de grados curado. Por otra parte, en el ejemplo se observa que las curvas tienen una
pendiente máxima en los valores comprendidos entre el 40 y el 60 %, con lo cual la zona
con propiedades intermedias entre fluido y sólido es pequeña. Aunque, en otros casos
puede ser distinta porque también depende de la pendiente del gráfico de temperaturas.
Por todo ello se concluye que el error que se comete al considerarlo puntual es poco
importante para las tensiones residuales. Para determinar el límite el cambio para el
cálculo, que se ha denominado radio de curado rc en las figuras 8.4 y 8.5, se elige el radio
correspondiente a un grado de curado intermedio del 40 %. A su vez, este radio determina
en el gráfico de temperatura, figura 8.5, el valor correspondiente a la temperatura de
curado Tc.
8.1.5. Tensiones residuales en un rotor homogéneo curado en
dos etapas
Las tensiones residuales del curado en dos etapas se determinan sumando las tensiones
generadas en cada una de ellas. Se calculan aplicando las ecuaciones del capítulo 6 como
si el rotor fuese de dos capas, separadas por el radio ra
c .
En la figura 8.6 se presentan las temperaturas, el desplazamiento radial y las tensiones
para cada una de las dos etapas. El rotor es el mismo que en el ejemplo del apartado
8.1.2 pero sometido a unas temperaturas, interior y exterior, en la distribución a de
160o
C y 60o
C, y en la b de 90o
C y 170o
C. Finalmente se enfría hasta la temperatura
ambiente de 20o
C. Cabe observar que la distribución b tienen una pendiente en el gráfico
de temperatura idéntica al caso de la figura 8.3, aunque todos los valores son 30o
C más
bajos.

En la primera etapa (1), la distribución a solidifica la zona interior, hasta ra
c , porque su
temperatura es superior a Tc, y el ella se generan tensiones por el cambio de temperaturas
hasta b. Esta zona se contrae porque se enfría, en cambio a partir de ra
c se dilata, aunque
mecánicamente permanece unida a la parte sólida. En el gráfico de las tensiones se observa
que sólo existen en zona solidificada y sus valores son parecidos a los del enfriamiento
normal de la figura 8.1.
0.6 0.8 1
0
50
100
150
Temperatura (ºC)
0.6 0.8 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Desplazamiento (mm)
0.6 0.8 1
-10
0
10
Tensiones (MPa)
0.6 0.8 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.6 0.8 1
-10
0
10
0.6 0.8 1
0
50
100
150
a b
r
c
a
/ r
e
1
T
c
2
1
1
2
σ
θ
σ
r
*10
σ
θ
σ
r
*10
T ambiente
b
r
c
a
/ r
e
r
c
a
/ r
e
r
c
a
/ r
e
T
f
Figura 8.6: Temperaturas, desplazamientos y tensiones residuales de un rotor curado en dos
etapas.
En la segunda etapa, con el rotor totalmente curado, la temperatura cambia desde la dis-
tribución b hasta la temperatura final. El incremento de desplazamiento en esta segunda
etapa es similar al desplazamiento del curado a temperatura no uniforme de la figura 8.3.
La tensión radial final tiene un valor máximo de 0,5 MPa, que es muy parecido al valor
máximo de la figura 8.3 pero en un punto próximo al radio interior. En cambio, en la
zona central, donde se produce la rotura del rotor mostrada en la figura 8.2, el valor de
la tensión radial es prácticamente nulo. Las tensiones tangenciales no tienen influencia
sobre la rotura final del rotor.
El resultado de la tensión radial de este ejemplo es muy interesante; comprueba que el
curado en dos etapas consigue que las tensiones residuales térmicas no sean perjudiciales
para la resistencia final del rotor. Este tipo de curado fue publicado en Ripoll y Pérez-
Aparicio (2004) [44].

8.2. Rotor con mandrino curado con pretensado tér-
mico
8.2.1. Tensiones en un rotor con mandrino
En el apartado 7.2.6 se han estudiado las tensiones de un rotor con mandrino aplicando
un pretensado mecánico y se comprueba la mejora que supone para las tensiones finales.
Aquí se pretende obtener el mismo resultado pero mediante un pretensado térmico. Una
versión previa de esta aplicación fue publicada en Ripoll y Pérez-Aparicio (2003) [42].
r2
r3
Aluminio Fibra
r1
Figura 8.7: Rotor con mandrino de bobinado incorporado.
Antes de entrar en el proceso de pretensado se determinan las tensiones residuales ge-
neradas en el rotor del ejemplo presentado en el apartado 7.2.6, aunque sin pretensado
mecánico y con un curado a temperatura uniforme de 120o
C. Estos resultados se utilizarán
como referencia para analizar las mejoras del pretensado térmico. Dicho rotor es de fibra
de vidrio con mandrino de aluminio, como se muestra en la figura 8.7, y tiene los siguientes
radios: r1 = 0,3 m, r2 = 0,31 m y r3 = 0,5 m. Las dimensiones exteriores del rotor
coinciden con el resto ejemplos para que los resultados sean comparables.
0.6 0.8 1
0
50
100
150
Temperatura (ºC)
0.6 0.8 1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
Desplazamiento (mm)
0.6 0.8 1
-50
0
50
100
150
Tensiones (MPa)
σ
θ
σ
r
*10
T ambiente
T
c
T
f
Figura 8.8: Temperaturas, desplazamiento radial y tensiones residuales correspondientes al
curado uniforme de un rotor con mandrino.
En la figura 8.8 se exponen los resultados y se observa que las tensiones residuales son
especialmente elevadas, como se ha comentado en el apartado 7.2.6. En el mandrino la

8.2. ROTOR CON MANDRINO CURADO CON PRETENSADO TÉRMICO 195
tensión tangencial alcanza 120 MPa y en la fibra la tensión radial es de 3,7 MPa, muy
superior a la del rotor sin mandrino de la figura 8.1 que valía 1,5 MPa.
Si al rotor con estas tensiones residuales se le añade una velocidad angular hasta alcanzar
el límite de rotura se obtienen los resultados de la figura 8.9. El punto más débil, con un
factor de rotura igual a la unidad, está el mandrino y es debido a la tensión tangencial.
Su valor máximo es de 450 MPa, del cual 120 es de la tensión residual y el resto de la
fuerza centrífuga. La tensión radial es menos perjudicial, sólo llega hasta 18 MPa.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 8.9: Tensiones y factor de rotura del rotor con mandrino de aluminio con tensiones
residuales y centrífugas.
8.2.2. Proceso de pretensado en un rotor con mandrino
Un rotor con mandrino se puede curar en dos etapas, de forma parecida al rotor de un solo
material del apartado 8.1.3. En este caso el mandrino metálico, en estado sólido, supone
una barrera de contención para el material en estado viscoso y provoca el pretensado de
la fibra.
Para conseguir el efecto de pretensado en la primera distribución de temperaturas a se
debe refrigerar la cara interior del rotor, como se representa en la figura 8.10. La tem-
peratura en el mandrino es prácticamente constante porque el coeficiente de transmisión
térmica del metal es muy superior al material compuesto. En ella queda cura la zona exte-
rior, a partir del radio ra
c , porque se halla a una temperatura es superior a Tc. La segunda
distribución b es simple, se mantiene a una temperatura uniforme Tc para completar el
curado de la zona intermedia, desde el mandrino r2 hasta ra
c .
En la figura 8.10 se observa que después de la distribución de temperaturas a el rotor
tiene tres capas: el mandrino metálico, la zona exterior curada y una zona intermedia
todavía no curada. Así pues, la zona intermedia no solidificada queda retenida entre dos
capas sólidas.

r
r1 r2 r3
T
Tc
rc
a
Ti
a
a
Te
a
sólido tapas
laterales
r
r1 r3
T
Tc
rc
a
Tf
b
a
p
Figura 8.10: Rotor con mandrino curado en 2 etapas, a con refrigeración interior y b a tem-
peratura uniforme.
Con el cambio de temperatura desde la distribución a hasta la b se generan unas tensiones
muy especiales. El mandrino interior se calienta hasta Tc y tiende a dilatarse, mientras
que la capa exterior se enfría y tiende a contraerse, con lo cual, se genera una presión
p en la zona intermedia. A estas dilataciones hay que añadirle la dilatación del propio
material no curado al calentarse hasta Tc.
En este proceso es importante analizar el comportamiento del material no curado. Según
los trabajos experimentales de bobinado citados en la sección 7.2.2, Hahn y Kempner
(1993) [23], Kempner y Hahn (1995) [26] y Gabrys y Bakis (1998) [18] el material no
curado, formado por la resina en estado viscoso y la fibra sólida, sufre una fluencia
temporal muy importante cuando se somete a cargas. Por lo cual, se puede considerar
que su comportamiento se aproxima al de un fluido viscoso, dentro de un límite de
desplazamiento y con un movimiento lento. Este comportamiento se explica fácilmente
si se considera que la resina puede fluir lentamente entre las fibras sólidas, hasta que
predominan las fuerzas de presión hidrostática.
Si la capa intermedia del rotor se comporta como un fluido necesita un confinamiento
lateral para mantener la presión p. Esto se consigue cubriendo el rotor mediante dos tapas
laterales, como se indica en el dibujo de la figura 8.10, que serán retiradas al completar
el proceso de curado. Éstas se unen entre sí mediante algún elemento mecánico externo
capaz de soportar la fuerza axial de la presión.
Durante la distribución b permanece la presión interna y con la solidificación de la zona
intermedia se convierte en tensión residual de compresión. Finalmente, el rotor se enfría
hasta la temperatura ambiente o final Tf , igual que en el curado convencional, y el
incremento de la tensión residual de esta etapa disminuye ligeramente la compresión
final.

Con este proceso térmico se obtiene una tensión radial de compresión similar a la del
pretensado por bobinado, con los mismos efectos favorables sobre las tensiones. A dife-
rencia de aquél, las tensiones finales son permanentes porque se ha tenido en cuenta la
solidificación del material. Es un proceso muy sencillo, se basa en la simple dilatación tér-
mica, y fácil de aplicar, sólo necesita generar las temperaturas en los radios extremos. Los
resultados obtenidos en el cálculo analítico son más fiables que en el bobinado porque se
base en unos comportamientos del material bastante probados, aunque sería conveniente,
antes aplicarlos a un rotor real, incluir una fase de experimentación.
Otra ventaja importante del pretensado térmico es la reducción de costes, ya que no es
necesario incrementar los medios de fabricación, a excepción de un foco caliente y un
foco frío para mantener la distribución de temperaturas. Su potencia térmica es pequeña
porque el material compuesto tiene un coeficiente de transmisión de calor muy bajo.
8.2.3. Tensiones de pretensado en un rotor con mandrino
Las tensiones residuales del pretensado térmico se determinan sumando las tensiones de
las dos etapas, igual que en el apartado 8.1.5. Cada una de ellas se calcula mediante el
sistema multicapa del capítulo 6, en el que se considera que cada zona de curado es una
capa distinta, porque sus propiedades son diferentes al menos durante una etapa.
Para el cálculo es necesario simular el comportamiento del material no curado, tanto las
propiedades mecánicas como las térmicas. En el ejemplo del apartado 8.1.5, con una zona
de material no curado, no ha sido necesario esta simulación porque el material no curado
no interviene en la generación de las tensiones finales.
Para simular su comportamiento mecánico, sin necesidad de recurrir a las leyes de un
fluido, se elabora un sistema equivalente que permite aplicar directamente las ecuaciones
del capítulo 6. Para ello, se asignan al material unas propiedades elásticas ficticias que
generan las mismas tensiones que un fluido, o sea, soporta la presión hidrostática y no
crea tensiones cortantes internas. Esto se consigue aplicando un módulo elástico E muy
bajo, pero conservando un coeficiente de compresibilidad volumétrica Ev igual que la
mezcla fibra más resina.
La variación unitaria de volumen, ∆V/V , en un fluido es función del coeficiente compre-
sibilidad volumétrica Ev y la presión p, según la ecuación
∆V
V
= Ev p
En un sólido isótropo de comportamiento elástico sometido a una compresión hidrostática
el valor de ∆V/V depende del módulo elástico, del módulo de Poisson y de la tensión σ.
Luego, haciendo p = σ se obtiene el coeficiente de compresibilidad volumétrica Ev
∆V
V
= 3
1 − 2ν
E
σ −→ Ev = 3
1 − 2ν
E
(8.1)
Para la aplicación de esta ecuación se asigna el valor real de Ev y se eligen dos valores

ficticios para E y ν. Pero, para que simular un fluido del valor de E debe ser próximo
a cero y, por lo tanto, ν debe ser próximo a 0,5. Hay que tener en cuenta que en esta
simulación los valores de las propiedades son poco importantes para la precisión de las
tensiones residuales.
En la simulación del material no curado se le asignan los mismos coeficientes de dila-
tación, αL y αT , que en el material sólido. La dilatación en la fibra es la misma porque
permanece sólido y en la resina es muy parecida. Más adelante, en el apartado 8.4.2, se
describirán algunos resultados experimentales de la dilatación de la resina epoxi. En ellos
se comprueba que la dilatación que sufre la resina al calentarse desde la temperatura
ambiente hasta la temperatura de curado, son muy parecidos si se halla en estado sólido
y en estado fluido más su posterior curado.
En el ejemplo de cálculo se aplica un coeficiente compresibilidad volumétrica del material
no curado de Ev = 34,5 MPa y se elige un valor ν = 0,499, y ambos determinan por la
ecuación 8.1 E = 0,023 MPa. Las dimensiones del rotor son las mismas que el ejemplo
del apartado 8.2.1 y las temperaturas de curado son: 0o
C y 200o
C para la distribución a,
120o
C para la b y 20o
C para la temperatura final.
En la figura 8.11 se muestran las dos etapas: la primera etapa, con la distribución a queda
curado a partir ra
c y cambia a la distribución b, y en la segunda, con la distribución b se
completa el curado y se enfría hasta la temperatura final.
0.6 1
0
50
100
150
200
Temperatura (ºC)
0.6 1
-0.5
0
0.5
Desplazamiento (mm)
0.6 1
-200
-150
-100
-50
0
50
Tensiones (MPa)
0.6 0.8 1
-0.5
0
0.5
0.6 1
-200
-150
-100
-50
0
50
0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
a
b
rc
a
/ re
1
T
c
2
1
1
2
σ
θ
σ
r
*10
σ
θ
σ
r
*10
T ambiente
b
r
c
a
/ r
e
r
c
a
/ r
e
r
c
a
/ r
e
1 exteriror
1 mandrino
p
T
f
Figura 8.11: Temperaturas, desplazamientos y tensiones residuales de un rotor con mandrino
de las dos etapas de curado que genera pretensado térmico.
En la etapa 1, con el cambio de temperatura de a a b, se genera la presión p de la zona no
curada. El desplazamiento 1 del gráfico se crea por la acción simultánea de las tres capas,

el madrino se calienta de 0o
C a 120o
C y tiende a dilatarse (1 mandrino), la capa sólida
exterior se enfría y tiende a contraerse (1 exterior) y la capa intermedia, no curada, se
adapta a la posición de las otras dos. Las tensiones σr y σθ son constantes e iguales a la
presión p de 7 MPa. Con ello se comprueba que la simulación del estado fluido descrita
en el apartado anterior aplicada a la zona no curada es correcta.
En la etapa 2 solamente se enfría de b hasta la temperatura ambiente y los incrementos
de desplazamiento y tensiones son idénticos que en el curado a temperatura uniforme
del apartado 8.2.1. La presión se reduce pero la tensión radial final sigue siendo de
compresión, y su valor en el centro es de 5 MPa.
Con este proceso térmico se consigue un verdadero pretensado. Las tensiones de com-
presión, radial en la fibra y tangencial en el mandrino, contrarrestan las tensiones de
tracción inducidas por la fuerza centrífuga. En la figura 8.12 se comparan las tensiones y
el factor de rotura del rotor sin el pretensado de la figura 8.9 con las del rotor pretensado
y se comprueba que la mejora del mismo orden que en el modelo elástico del pretensado
mecánico. Este cálculo analítico se puede realizar mediante un modelo de MEF basado
en las mismas hipótesis y ha sido publicada en Ripoll y Pérez-Aparicio (2004) [43].
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
sin pretensado
con pretensado
Figura 8.12: Variación de las tensiones y el factor de rotura en un rotor con mandrino sometido
a pretensado térmico.
8.2.4. Aumento del pretensado térmico
La configuración del rotor semicurado de la etapa 1 en la figura 8.10, con material viscoso
confinado, permite que la presión de pretensado se pueda aumentar de forma mecánica. La
presión creada por sólo por dilataciones térmicas se puede incrementar desde el exterior
a través de una sobrecarga en las tapas laterales.
Las tapas laterales de la figura 8.10 se sustituyen por otras más pequeñas que se adaptan
al tamaño de la capa no curada, como se muestra en la figura 8.13, para empujar sólo
la superficie fluida. La fuerza exterior Fz debe ser suficiente para mantener la presión
térmica p, pero si es superior se genera una sobrepresión o presión mecánica, pm.

Fz
Fz
pm
Figura 8.13: Aumento del pretensado térmico mediante con una sobrecarga mecánica lateral
El aumento de la fuerza exterior crea un pequeño desplazamiento axial debido a la com-
presibilidad del material no curado y la elasticidad de las dos capas sólidas. Las superficies
laterales del rotor sufren una pequeña hendidura, a menos que se haya previsto durante
el bobinado un pequeño resalte en esta zona que la compense.
Esta variante del pretensado presenta algunas incógnitas del comportamiento de las ten-
siones, por ejemplo los efectos de borde al retirar las tapas laterales o la relajación con
el tiempo del exceso de tensiones residuales. Esta propuesta debería completarse con es-
tudios más detallados, incluso, realizando ensayos experimentales para asegurar el com-
portamiento del material a presión y temperatura elevada. Por todo ello, en este trabajo
no se aplica al cálculo final del rotor y se deja como una simple propuesta.
8.3. Rotor de un solo material curado con pretensa-
do térmico
8.3.1. Proceso de curado en tres etapas
La técnica del pretensado térmico se ha mostrado eficaz en un rotor con mandrino metáli-
co, dado que se aplica fácilmente y consigue una mejora importante. La presencia del
mandrino metálico es esencial para crear la presión de pretensado; ofrece una superficie
de contención y su coeficiente de dilatación térmica es muy favorable. En un rotor sin
mandrino metálico, formado por un sólo material compuesto, también se puede gene-
rar un pretensado térmico, aunque el proceso es más laborioso y con resultados menos
favorables.
Para crear el pretensado térmico en un rotor de un solo material se requieren tres etapas
de curado. El proceso es similar al rotor con mandrino pero añadiendo una etapa previa
para generar una capa sólida en el interior del rotor que sustituye al mandrino. En este
caso, las dos capas de contención tienen el mismo coeficiente de dilatación y la diferencia
de dilataciones es menor.
En la figura 8.14 se representan las tres etapas del curado de un rotor sin mandrino

8.3. ROTOR DE UN SOLO MATERIAL CURADO CON PRETENSADO TÉRMICO 201
ri
Ti
a
Te
b
Tc
Te
a
Ti
b
rc
a
re
a b
Tc
ri re
c
Tf
ri re
Tc
rc
b
c Te
b
Ti
b
b
rc
a
p
Figura 8.14: Etapas de curado para obtener un pretensado térmico en un rotor sin mandrino
para generar un pretensado térmico. La primera etapa consta de una distribución de
temperaturas a, con Ta
i superior a Ta
e para solidificar una capa interior hasta ra
c , y el
cambio a la distribución b. Las otras dos son idénticas que en el rotor con mandrino, en
la segunda la distribución b crea la capa exterior, a partir de rb
c, y cambia a la distribución
c. Antes del cambio es necesario colocar las tapas laterales de contención para retener
la presión p en la zona intermedia, generada por la dilatación de la capa interior y la
contracción de la exterior. En este caso, la dilatación de la capa interior es menor que en
el mandrino metálico y se crea una presión más baja. Finalmente, en la tercera etapa el
rotor se enfria hasta la temperatura ambiente Tf .
8.3.2. Tensiones de pretensado en el curado en tres etapas
Las tensiones residuales se calculan como en los casos anteriores, acumulando las tensiones
generadas en cada etapa. Para mostrar las tensiones se aplica al rotor de fibra de vidrio
utilizado en los ejemplos de la sección 8.1. Las temperaturas interior y exterior en cada
distribución son: en a de 160o
C y 50o
C, en b de 30o
C y 200o
C y la temperatura ambiente
de 20o
C. En la figura 8.15 se muestran los gráficos de temperatura, el desplazamiento y
las tensiones después de cada etapa.
La primera etapa es muy parecida a la del ejemplo del curado en dos etapas del apartado
8.1.5 y sólo aparecen tensiones en la capa interna solidificada. En el desplazamiento, esta
capa sólida interior arrastra el resto de material que todavía se halla en estado viscoso.
La segunda y tercera etapas son muy parecidas a las dos etapas del rotor con mandrino
de la figura 8.11. En el cambio de b a c, como se muestra en el gráfico del desplazamiento,
la capa interior tiende a dilatarse (2 interior) y la exterior a contraerse (2 exterior), y la
presión p entre ambas las desplaza hasta la curva común 2. La presión p de 4 MPa es
la misma en la tensión tangencial y en radial, y es inferior a la del rotor con mandrino
(7 MPa). En la tercera etapa, con el curado total y el enfriamiento final, las tensiones

0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
Temperatura (ºC)
0.6 0.8 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
Desplazamiento (mm)
0.6 0.8 1
-40
-20
0
20
Tensiones (MPa)
0.6 1
0
50
100
150
200
0.6 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.6 1
-40
-20
0
20
0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
0.6 0.8 1
-0.5
-0.25
0
0.25
0.5
0.6 1
-40
-20
0
20
σ
θ
σ
r
*10
a
b
σ
r
*10
σ
θ
σ
r
*10
σ
θ
c
b
c
T ambiente
r
c
a
/r
e
r
c
b
/r
e
r
c
a
/r
e
1
2
3
1
2
1
2
3
T
c
T
c
r
c
a
/r
e
r
c
b
/r
e
2 interior
2 exterior
T
f
T
c
r
c
b
/r
e
r
c
b
/r
e
r
c
a
/r
e
r
c
a
/r
e
p
Figura 8.15: Temperaturas, desplazamientos y tensiones residuales de las tres etapas de curado
para el pretensado térmico de un rotor de material compuesto.
disminuyen y la compresión radial desciende hasta 2,5 MPa.
Con este ejemplo se comprueba que, a pesar de no disponer de un elemento metálico, es
posible generar un pretensado térmico en un rotor de material único, aunque el resul-
tado es menos favorable. Se podría aumentar aplicando el mismo sistema mecánico del
apartado 8.2.4 para el rotor con mandrino y que no se analiza en este trabajo.
Para valorar la mejora final se somete a la velocidad límite del rotor sin pretensado de-
terminado en el apartado 8.1.2. Los resultados a esta velocidad, 9681 rpm, se representan
en la figura 8.16 y se comparan con los resultados del rotor sin pretensado de la figura
8.2. Se observa que la tensión radial ha disminuido y el factor de rotura ha mejorado
hasta 0,87.
A pesar de conseguir tensiones de pretensado la mejora final es menor que en el rotor
con mandrino. En el capítulo siguiente se estudiará más a fondo sus consecuencias sobre
el diseño del rotor.

8.4. CONSIDERACIONES SOBRE EL PROCESO DE CURADO 203
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
-100
0
100
200
300
400
500
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
sin pretensado
con pretensado
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 8.16: Variación de las tensiones y el factor de rotura en un rotor sometido a pretensado
térmico.
8.4. Consideraciones sobre el proceso de curado
8.4.1. Coeficientes de dilatación térmica
En todos los cálculos anteriores se han determinado las tensiones térmicas utilizando unos
coeficientes de dilatación (αL y αT ) del material compuesto únicos, válidos para todas las
temperaturas. Estos valores, tomados de la bibliografía, están obtenidos con el material
solidificado y a temperaturas próximas a la temperatura ambiente. Todos los autores
aplican estos valores y los utilizan para cualquier temperatura. Pero cabe preguntarse, si
su valor se mantiene a temperaturas próximas al curado, o incluso, si son válidos para el
material no curado.
Es conocido que el coeficiente varía con la temperatura y su valor es distinto cuando la
resina no está curada. No obstante, su efecto es poco importante en el cálculo de rotores
convencionales curados a temperatura uniforme. Pero, en el rotor curados por etapas,
donde intervienen las dilataciones de la resina sin curar, la influencia de estos coeficientes
puede ser importante.
En los cálculos de pretensado anteriores se ha supuesto que los valores son únicos, con el
objetivo de simplificar la exposición. Se ha tenido en cuenta que su influencia sobre los
resultados finales no modifica la tendencia de las tensiones de pretensado y, por lo tanto,
lo expuesto hasta ahora es válido con algunas modificaciones en los valores.
Ahora, una vez descrito el proceso del pretensado, se complementa con el análisis de
los coeficientes y su influencia sobre las tensiones residuales. Pero, este análisis no es
exhaustivo, porque existe poca información sobre el comportamiento del material, por lo
tanto, si se hubiese introducido al inicio del capítulo la exposición el proceso quedaría
menos clara.

A continuación se exponen algunas consideraciones deducidas de los resultados de algunos
experimentos publicados sobre el comportamiento de la resina epoxi. Se deduce el posible
comportamiento del rotor durante el curado por etapas y la influencia sobre las tensiones
residuales. Es evidente que es necesario un estudio más a fondo, y sólo con una acertada
experimentación se podrían obtener resultados fiables.
8.4.2. Dilataciones en el curado de la resina
La fibra no sufre ninguna modificación estructural durante el proceso de curado, sola-
mente se dilata por el cambio de temperatura. Además, su influencia sobre las dilataciones
globales del material es limitada porque el coeficiente térmico es mucho menor que en la
resina.
Durante el proceso de curado la resina sufre un cambio químico y pasa de estado fluido a
sólido. Este cambio de estructura interna comporta unas dilataciones que se suman a las
propiamente térmicas y crean un ciclo que no se puede resumir en un simple coeficiente
de dilatación.
Para entender las dilataciones de la resina epoxi durante el curado se expone el resultado
de un ensayo de laboratorio publicado por Yates y otros (1979) [55]. En la figura 8.17 se
reproduce de manera simplificada uno de los ejemplos de dilatación lineal de la resina en
función del tiempo y en función de la temperatura. Se calienta una pequeña muestra de
resina de 20 a 125o
C, del punto A al B del gráfico, se mantiene a esta temperatura durante
100 minutos, desde B a C, y finalmente se enfría hasta 20o
C, de C a D. En la primera fase,
con la resina en estado fluido, se dilata, en la segunda, donde se produce la transformación
química, se contrae y en la tercera en estado sólido continua la contracción.
Tiempo (min)
0,940
0,960
0,980
1,000
1,020
0 60 120 180 240 300 360
125º
B
A
C
D
Dilatación
0,940
0,960
0,980
1,000
1,020
B
A
C
D
0 50 100 150
Temperatura (ºC)
Dilatación
Figura 8.17: Dilataciones de la resina durante el curado en función del tiempo y la temperatura,
Yates y otros (1979) [55]
Para otros tipos de resina epoxi se observa la misma tendencia si bien con valores dis-
tintos. En este caso tienen una forma muy similar a la descripción genérica que realiza

Domininghaus (1993) [11], en el que se expone con más detalle las dilataciones reales en
el curado de las resinas epoxi. En la figura 8.18 se reproduce de manera aproximada el
gráfico que presenta el autor.
-0,005
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Temperatura (ºC)
B2
fluido
sólido
E1
B1
E2
C1
F
O
A
D
C2
Dilatación
Figura 8.18: Dilatación lineal de una resina epoxi durante el proceso curado. Domininghaus
(1993) [11].
Este ciclo de Domininghaus es muy parecido los valores experimentales de Yates en el
gráfico (b) de la figura 8.17. La resina en estado líquido se dilata con la temperatura
a partir de 20o
, punto A, donde se toma el origen de coordenadas de la dilatación. Las
dilataciones en un proceso ideal para una resina que cura a 120o
C sigue el trayecto B1,
C1, F y D que coincide con la figura 8.17. De B1 a C1 se realiza en cambio de fluido a
sólido y la línea discontinua de los puntos en E1 representa la separación teórica entre
ambos estados. El cambio de pendiente en el punto F corresponde a la temperatura de
transición vítrea de la resina.
Para el autor la dilatación final de la resina, después de completar el ciclo de curado, es
prácticamente nula, o sea, considera que la diferencia entre A y D es despreciable. De ahí
concluye que la resina epoxi no cambia de volumen al realizar el proceso de curado.
Domininghaus también observa que en un proceso real la fase de solidificación, de B1
a C1, no se realiza en condiciones totalmente isotérmicas. La reacción empieza antes de
alcanzar la temperatura de 120o
C, a partir de un punto B2. Además, como la reacción es
exotérmica, la temperatura interna de material sobrepasa la exterior y alcanza el punto
C2 por encima de 120o
C. En los experimentos de laboratorio, Yates no observa este efecto
porque la muestra de resina es muy pequeña y su temperatura coincide con la del baño
exterior.
La pendiente de la recta DF corresponde al coeficiente de dilatación térmica de la resina en
estado sólido. Su valor se utiliza para determinar los coeficientes del material compuesto,
αL y αT definidos en el apartado 3.1.1, utilizados en todos los cálculos.

Aunque, según Domininghaus, el material tiene las propiedades de sólido a partir del
punto E2, muy posiblemente su rigidez es todavía insuficiente para evitar la relajación
de las tensiones residuales. En este sentido, los artículos de Lee y Springer (1990) [32] y
[33], citados en el apartado 8.1.4, consideran que la resina se comporta como un material
sólido a partir de un grado de curado del 60%, sin embargo, determinan las tensiones
residuales solamente cuando la resina está totalmente curada, o sea, se mantienen a partir
del punto C2.
En la relajación de las tensiones residuales, además del grado de curado, puede intervenir
también la variación de las propiedades de la resina con el aumento de la temperatu-
ra. Por ejemplo, la rigidez radial de un material compuesto varía con la temperatura
según los estudios de Bolotin y Bolotina (1972) [3] y Kostritskii y Tsirkin (1981) [29],
expuesto en Tarnopol’skii y Beil (1983) [48]. Estos efectos no están estudiados para el
caso de la relajación de tensión y sería necesario realizar experimentos para conocer su
comportamiento exacto.
8.4.3. Influencia de las dilataciones sobre el pretensado térmico
De los gráficos anteriores se deduce que las dilataciones que intervienen en el proceso de
curado son muy superiores que las determinadas mediante los coeficientes de dilatación
de valor único, αL y αT , de los apartados anteriores. El valor de la dilatación en los
puntos B1 o B2 de la figura 8.18 es más del doble de las del material sólido de la recta
DF. Pero, si se analiza detalladamente el proceso mecánico del pretensado se observa que
su influencia sobre las tensiones residuales es mínima.
-0,005
0,000
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220
Temperatura (ºC)
viscoso
elástico
B1
C1
F
O
A
D
F1
Tc
Dilatación
Figura 8.19: Diagrama simplificado para el estudio de la influencia de las dilataciones de curado
en el pretensado.

En la figura 8.19 se presenta un gráfico simplificado para analizar la influencia de estas
dilataciones sobre las tensiones de pretensado. Para ello, se supone que el incremento de
temperatura debido a la reacción exotérmica es despreciable y se sigue la línea vertical
B1C1. Además, se considera, igual que en Lee y Springer (1990), que las dilataciones de
la transformación química no generan tensiones residuales permanentes.
Si en el rotor la capa de material no curado no está confinada, como sucede en la figura
8.4, la dilatación de la resina no genera tensiones porque se expande libremente. En
cambio si está confinada, como en las figuras 8.10 y 8.14, la diferencia de dilataciones
entre la resina fluida y la sólida de la figura 8.19 modifica las tensiones residuales. En
este caso, la dilatación del estado fluido en la recta AB1 es superior a la dilatación del
sólido en la recta DF, y el valor de la presión p, calculado para esta última, será mayor.
Este incremento de presión es momentáneo porque en el punto B1 empieza el proceso
de curado y la resina se contrae. El exceso de dilatación de la recta AB1 se contrarresta
con la contracción en la línea de curado B1C1, aunque no siempre por igual porque el
valor de la dilatación varía con la temperatura de la resina fluida al inicio de la etapa
de presión. Por ejemplo, si se aplican las temperaturas de la figura 8.11 al gráfico de
dilataciones de la figura 8.19 se deduce que el valor medio de la dilatación es parecido al
valor de la contracción. Por lo tanto, el aumento de presión queda anulada, o al menos
muy disminuida, por la contracción del curado.
Por otra parte, la resina sólida tiene un pequeño incremento de dilatación, entre C1 y
F1, debido cambio de pendiente en la temperatura de transición vítrea, pero es poco
importante. Lo mismo ocurre con la dilatación entre el punto inicial A y final D.
De todo ello se concluye que las dilataciones reales de la resina en estado viscoso y
durante el curado no modifican sustancialmente los resultados de las tensiones residuales
de pretensado calculadas anteriormente. A pesar de ello, antes de aplicarlo a un rotor
habría que analizar más a fondo el comportamiento de la resina, incluso, realizar algún
ensayos de laboratorio porque los diagramas de dilataciones son distintos para cada tipo
de resina.

Capítulo 9
DISEÑO DE VOLANTES DE
INERCIA
9.1. Rotores simples
9.1.1. Condiciones del estudio
En este capítulo no se pretende realizar el diseño completo de un volante de inercia
porque intervienen otros elementos no estudiados. Su objetivo es analizar la parte del
volante que almacena la energía, o sea la masa del rotor distribuida en forma cilíndrica.
Ni siquiera se incluyen las otras partes del rotor como el eje central para el apoyo de los
cojinetes ni la unión de este con el cilindro.
La masa cilíndrica del rotor es la parte central del volante y de su configuración dependen
todos los demás elementos. Aquí se pretende determinar los límites de almacenamiento
de energía de las distintas configuraciones y hallar las formas óptimas de rotor para ser
aplicadas luego al diseño de volantes de bajo coste.
Dentro de las configuraciones se estudian las formas geométricas del rotor y algunos
aspectos de su proceso de fabricación, en cambio, no se incluye el estudio de los materiales.
Se utilizan solamente materiales más comunes en la fabricación de rotores y, además,
que sean representativos. Las conclusiones genéricas de este trabajo se pueden rehacer
fácilmente para otros materiales más específicos, con mejores propiedades. También se
pueden aplicar a otras configuraciones, con más capas o combinando otros materiales.
Para el estudio del diseño del rotor se analiza en primer lugar la influencia del espesor de
pared sobre el rendimiento energético, luego se comparan con las propuestas de mejora
estudiadas en los capítulos anteriores, la estructura en multicapa y el pretensado.
Los diseños se valoran bajo el objetivo principal, comentado en el capítulo 1, de obtener
un rotor de bajo coste, aunque se cuantifican también la masa y el volumen.
Para los ejemplos se eligen los siguientes materiales: acero AISI 4130, aluminio 7075, fibra
de vidrio Scotch/epoxi y fibra de carbono T300/2500. Los valores de las propiedades de
209

210 CAPÍTULO 9. DISEÑO DE VOLANTES DE INERCIA
los cuatro se muestran en la tabla 9.1, donde se añade el uretano, ya que se utiliza como
complemento en algunas aplicaciones. Las propiedades que dependen de la orientación
de la fibra incluyen la dirección, L para longitudinal y T para transversal.
Propiedad y dirección Acero Aluminio F. vidrio1
F. carbono Uretano
4130 7075 Scotch/epoxi T300/2500
Mód. elástico L2
(GPa) 210 70 38.6 130 0.015
Mód. elástico T3
(GPa) 210 70 8.27 9.0 0.015
Mód. de Poisson TL 0.30 0.33 0.26 0.30 0.48
Mód. de Poisson TT 0.30 0.33 0.60 0.52 0.48
Rigidez torsional LT (GPa) 80.8 26.9 4.14 4.55 0.005
Densidad (kg·m−3
) 7860 2700 1800 1600 1034
Res. tracción L (MPa) 1050 450 1062 1800 41
Res. compresión L (MPa) 1050 450 610 1400 41
Res. tracción T (MPa) 1050 450 31 80 41
Res. compresión T (MPa) 1050 450 118 168 41
Res. cortante LT (MPa) 664 231 72 48 24
Coef. dil. térmica L (10−6
/o
C) 11.7 23.0 8.6 -0.3 233
Coef. dil. térmica T (10−6
/o
C) 11.7 23.0 22.1 28.1 233
Coef. dil. humedad L (%−1
) 0 0 0 0 -
Coef. dil. humedad T (%−1
) 0 0 0.6 0.6 -
(Tabla 9.1)
9.1.2. Rotores de pared delgada
Un rotor cilíndrico de pared delgada es la forma más simple para el análisis de tensiones.
La diferencia entre los radios extremos, re y ri del rotor mostrado en la figura 9.1, es
pequeña y la velocidad angular ω crea una velocidad lineal v igual en todos los puntos,
de manera que toda la masa contribuye por igual a la energía cinética. Además, las
tensiones son uniformes en toda la sección y el cálculo es muy simple. Por lo cual esta
configuración se toma como referencia para el análisis de otros diseños.
La energía cinética Ec almacenada en el rotor de pared delgada se aproxima a la energía de
una única masa sometida a una velocidad lineal uniforme v. En su interior sólo se genera
tensión tangencial, σθ, el resto de componentes son nulas, y su valor es proporcional al
cuadrado de la velocidad. Luego, la energía almacenada en el rotor depende sólo de la
resistencia del material en la dirección circunferencial.
La energía cinética y la tensión tangencial de un cilindro de pared delgada se obtienen a
partir de las siguientes expresiones simples
Ec = 1
2
V ρ v2
; σθ = ω2
r2
ρ (9.1)
1
Con las fibras orientadas en una sola dirección.
2
Longitudinal (L) a la orientación de las fibras.
3
Tranvesal (T) a la orientación de las fibras.

9.1. ROTORES SIMPLES 211
re
υ
ω l
σθ
ri
Figura 9.1: Rotor cilíndrico de pared delgada
así pues, la energía cinética es función sólo del volumen V del material y tensión tangencial
σθ
Ec = 1
2
V σθ (9.2)
En esta expresión se demuestra que la energía cinética de un rotor de pared delgada es
independiente de la masa y de la densidad del material. Si la masa es pequeña la fuerza
de inercia es menor y admite una velocidad de giro más alta, por lo tanto, se compensan.
El diseño de un rotor de pared delgada es muy simple, basta con aplicar la ecuación 9.2.
Si se comparan los resultados para una determinada geometría de los materiales básicos
de la tabla 9.1 se comprueba, comparando las resistencias, que los materiales compuestos
tienen una capacidad de energía igual o superior a los metales.
En algunas aplicaciones interesa maximizar la energía por unidad de masa, o densidad de
energía, como se ha comentado en el capítulo 1. El valor para un rotor de pared delgada
se obtiene dividiendo los dos términos de la ecuación 9.2 por la masa
Ec
m
=
1
2
σθ
ρ
(9.3)
En los rotores de pared delgada la densidad de energía depende sólo de la resistencia
a tracción y de la densidad. Si se comparan los materiales básicos de la tabla 9.1 se
comprueba que los materiales compuestos son mucho mejores que los metales porque su
densidad es mucho menor. En la tabla 9.2 se muestra los valores de densidad de energía
para los materiales de la tabla 9.1.
Acero Aluminio F. vidrio F. carbono
4130 7075 Scotch/epoxi T300/2500
Densidad de energía (kJ·kg−1
) 67 83 295 562
(Tabla 9.2)
En otros tipos de rotores, distintos a los de pared delgada, las ecuaciones 9.2 y 9.3 no son

tan simples. En Genta (1985) [19] se hace un estudio a fondo de la relación de la energía
por unidad de masa para diversas configuraciones del rotor.
Los rotores de pared delgada pueden alcanzar un nivel de energía por unidad de masa muy
elevado pero necesitan un espacio grande, a causa del volumen interior inutilizado. En
algunas aplicaciones, donde se busca además de una masa reducida un volumen ocupado
mínimo, es necesario recurrir a los rotores de pared gruesa.
9.1.3. Rotores de pared gruesa y material único
Los rotores de pared gruesa tienen un comportamiento más complejo que los de pared
delgada. Ni las tensiones ni la velocidad son uniformes, cada punto tiene su propia re-
sistencia y aporta una energía cinética distinta. Pero lo más destacable es la influencia
de la tensión radial sobre la resistencia del rotor, que en algunos casos llega a ser más
importante que la propia tensión tangencial.
re
ri
υe
ω l
Figura 9.2: En los cilindro de pared gruesa la velocidad periférica máxima, ve depende de re/ri.
El análisis del diseño se realiza sobre un caso concreto, del cual se mantienen siempre
constantes las dimensiones exteriores del rotor y sólo se modifica el radio interior, ri en
la figura 9.2. En los próximos apartados también se modifica la configuración de los ma-
teriales y el proceso de fabricación, pero siempre con formas parecidas a las utilizadas
en los ejemplos de capítulos anteriores, de manera que se facilita la comparación. Las
dimensiones comunes son el radio exterior re de 0.5 m y la longitud axial de 1 m. Se uti-
lizan sólo los cuatro materiales de la tabla 9.1, dos metales y dos materiales compuestos,
porque son suficientes para observar las líneas principales de diseño. Los dos diseños en
material compuesto tienen las fibras orientadas a 0o
, curan a una temperatura común de
120o
C y la temperatura ambiente final es de 20o
C.
El primer análisis se realiza sobre la velocidad lineal. En este caso, el valor constante v
del rotor de pared delgada en la figura 9.1 se sustituye por la velocidad periférica ve, en el
radio exterior re del rotor de la figura 9.2. Su valor se utiliza como parámetro de referencia
en este primer análisis, teniendo en cuenta que en los puntos interiores la velocidad es
inferior.
Su valor máximo está limitado por la resistencia del material, igual que en el rotor de

pared delgada, pero en el rotor de pared gruesa depende también del radio interior ri. En
la figura 9.3 se muestran la variación del valor límite la velocidad periférica ve en función
de la relación de radios, ri/re, para el caso de rotores de material único. En el cálculo se
utilizan las ecuaciones del capítulo 6 y se aplica un factor de rotura, según el criterio de
Christensen, igual a la unidad.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
200
400
600
800
1000
1200
r
i
/ r
e
Velocidad
periférica
(m/s)
F. carbono T300/epoxi
F. vidrio E/epoxi
Aluminio 7075
Acero AISI 4130
0.80
0.75
0.72
Figura 9.3: Velocidad periférica ve máxima admisible para distintos materiales en función de
la relación ri/re.
En la figura 9.3 se observa que los rotores de compuesto admiten una velocidad más ele-
vada que los metálicos, sobre todo para en los rotores de ri/re grandes, o sea, de espesor
de pared pequeño. Partiendo de un rotor de pared delgada, al aumentar el espesor de
pared, la velocidad aumenta ligeramente para los cuatro materiales. En el caso de los
metales esta tendencia se mantiene hasta espesores pequeños, pero para los materiales
compuestos cambia bruscamente en un punto. Su velocidad admisible disminuye rápida-
mente a partir de un valor ri/re o un punto de cambio, como se aprecia en la figura 9.3,
y en espesores muy grandes su valor llega a ser comparable al de los metales.
Cabe destacar que el rotor de fibra de vidrio utilizado en los ejemplos de los capítulos
anteriores, con re = 0,5 y ri = 0,3 m, corresponde al punto ri/re = 0,6 situado en la
zona de pendiente negativa. Si se hubiese tomado un valor de ri/re = 0,75 los resulta-
dos hubieran sido muy distintos, pero su comportamiento tendría menos interés para el
estudio.
Este fenómeno es de notable interés para el diseño de rotores de materiales compuestos.
Esto mismo está descrito en Genta (1985) [19], aunque mediante otros parámetros. En
este punto de inflexión o cambio de tipo de rotura, los rotores de pared delgada rompen
por tensión tangencial pero los de pared gruesa rompen por tensión radial, tal como se
ha descrito en el capítulo 6.

0.7 0.8 0.9 1
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
0.72
0.75
0.80
0.72
0.75
0.80
r
i
/ r
e
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
Figura 9.4: Tensiones y factor de rotura de tres rotores de de fibra de vidrio con relación de
radio ri/re cercano al punto de máxima velocidad periférica
Para visualizar el cambio de tipo de rotura en la figura 9.4 se presentan los gráficos de
tensiones y factor de rotura para los tres rotores de fibra de vidrio próximos al punto de
cambio, correspondientes a los tres valores de ri/re, 0.72, 0.75 y 0.80, representados sobre
la curva de la fibra de vidrio de la figura 9.3. En el gráfico de las tensiones, igual que en
los gráficos del capítulos anteriores, se representan simultáneamente los valores de σθ, σr
y σz, las dos últimas con un factor de escala diez.
La forma del gráfico de tensiones es muy parecida a la figura 6.3 del apartado 6.1.5 y la
del factor de rotura a la figura 6.15. Ahora el factor de rotura máximo para los tres casos
es igual a 1, tal como se ha impuesto en el cálculo para obtener la velocidad la máxima
permisible. Si se comparan los tres rotores se observa que la curva del factor de rotura
en el caso ri/re = 0,80 tiene el valor máximo en ri a causa de la tensión tangencial, en
cambio en los otros dos el máximo está en el centro a causa del fallo a tensión transversal
ocasionado por σr y σz. Esto explica el cambio de pendiente brusco de la curva en el
punto ri/re = 0,75, en el cual el gráfico del factor de rotura tiene simultáneamente dos
máximos de valor unitario, r = ri y en el centro.
Con este ejemplo se concluye que en los rotores de material compuesto con fibra orientada
a 0o
la velocidad máxima decae bruscamente a partir de un cierto espesor de pared debido
a la baja resistencia transversal del material. El espesor de pared de este punto varía para
cada tipo de material compuesto y depende de sus propiedades mecánicas: la densidad,
la elasticidad, la resistencia, etc.
A partir del gráfico de velocidad máxima, figura 9.3, se determina la energía cinética
de la figura 9.5. Su valor es cero en ri/re = 1 y aumenta con el espesor de la pared
porque aumenta la masa del rotor. Al principio de la curva, en espesores pequeños, el
rotor de fibra de carbono presenta los mejores resultados, el de fibra de vidrio y el de
acero son muy parecidos y el de aluminio tiene una energía muy inferior. Las diferencias

0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
250
300
350
r
i
/ r
e
Energía
(MJ)
F. carbono T300/epoxi
F. vidrio E/epoxi
Aluminio 7075
Acero AISI 4130
Figura 9.5: Energía cinética máxima de los rotores simples en función del radio interior ri.
entre los materiales compuestos y los metales del gráfico de velocidades se compensan
por la mayor densidad de estos últimos. A partir del punto de cambio las curvas de los
materiales compuestos varían su tendencia, igual que en el gráfico de velocidad, y los
valores para espesores grandes llegan a ser inferiores que para el caso de los metales.
En Genta (1985) [19] se cuantifica esta perdida de energía de los materiales compuestos,
pero se valora mediante un parámetro distinto. Se define un factor de forma que incluye
simultáneamente la energía máxima y la resistencia del material. Esta información es
equivalente porque el gráfico de la figura 9.5 se ha determinado a partir de la resistencia.
9.1.4. Criterios de optimización
Para el diseño óptimo de rotores no es suficiente con tener en cuenta los parámetros de
velocidad máxima o de energía cinética, es necesario aplicar parámetros más globales.
Estos dependen de las condiciones de diseño según el tipo de máquina, por ejemplo,
en acumuladores aplicados a satélites interesa que la masa sea mínima, en cambio en
acumuladores estáticos para el suministro eléctrico el peso no es importante.
En este sentido, aquí se van a estudiar tres condiciones o variables de diseño: la masa, el
volumen ocupado y el coste. En cada caso se aplica la más importante según el uso del
volante, aunque también se pueden aplicar varias de ellas con un orden de preferencia.
Para cuantificar estas variables se usan valores unitarios: energía por unidad de masa, o
densidad energía, energía por unidad de volumen y energía por unidad de coste. El diseño
óptimo es el que consigue un valor más elevado en uno o varios de estos tres parámetros.

Éstas tres variables están citadas en Danfelt y otros (1977) [9], aunque la más estudiada en
los últimos tiempos ha sido la densidad de energía, por ejemplo en Gabrys y Bakis (1998)
[17] o Ha y otros (2001) [22], quizás debido a las aplicaciones espaciales. La densidad
tienes unas aplicaciones limitadas, en cambio la condición sobre el coste es mucho más
universal, interviene en mayor o menor grado en todas las aplicaciones de los volantes.
Pero su estudio es más complejo que la densidad porque depende de más factores, por
ejemplo del material, la fabricación, los accesorios utilizados, el mantenimiento, etc.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
600
r
i
/ r
e
Densidad
de
energia
(kJ/kg)
F. carbono
F. vidrio
Aluminio
Acero
Figura 9.6: Densidad de energía máxima en el rotor en función del radio interior ri.
La densidad de energía se obtiene dividiendo los valores del gráfico de energía de la figura
9.5 por la masa del cilindro, y se representa en la figura 9.6. No se tiene en cuenta la masa
de las otras partes del rotor como el eje, etc. Los valores de los puntos de ri/re próximos
a la unidad coinciden con los valores de densidad de energía para el rotor de pared
delgada de la tabla 9.2, obtenidos mediante la ecuación 9.3. Estos valores disminuyen
si el espesor de pared aumenta, o sea para relaciones de ri/re menores, en los metales
varían lentamente en todo el gráfico, pero en los dos materiales compuestos sufren un
descenso brusco a partir del punto de cambio. Los valores para el rotor de aluminio son
algo superiores a los del acero debido a su menor densidad.
La fibra de carbono es siempre tiene valores superior a la fibra de vidrio, debido a su mayor
resistencia. En espesores pequeños, en puntos de ri/re cercanos a la unidad, los materiales
compuestos son muy superiores a los metales, pero en espesores grandes descienden y se
son del mismo orden que los metales. El punto de cambio de los materiales compuestos
tienen el mismo valor ri/re en los gráficos anteriores.
De la figura 9.6 se concluye que los mejores resultados en la densidad de energía se
obtienen con los materiales compuestos pero con una limitación importante a partir de

un cierto espesor de pared. El valor de ri/re del punto de cambio define el límite en el
espesor de los rotores simples de materiales compuestos.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
r
i
/ r
e
Energía
/
volumen
(MJ/m
3
)
F. carbono
F. vidrio
Aluminio
Acero
Figura 9.7: Energía máxima por unidad de volumen ocupado en función del radio interior ri.
La energía por unidad de volumen ocupado se determina dividiendo los valores de la figura
9.5 por el volumen ocupado, entendido éste como el volumen de la máquina inutilizado
por el volante. Se calcula sumando el volumen del propio material más el volumen interior,
o sea el volumen encerrado por la superficie exterior. En algunas aplicaciones este espacio
puede contener el motor eléctrico y habría que modificar esta definición.
Los resultados se presentan en la figura 9.7. La forma de los gráficos y la relación entre
ellos coinciden con los de energía total a causa de las condiciones de cálculo, se mantienen
constantes el diámetro exterior y longitud y, por lo tanto, también el volumen encerrado.
Un rotor de material compuesto según la variable de volumen ocupado tiene muy poca
ventaja sobre los rotores metálicos, también para espesores reducidos. En cambio, el de
acero, que en la densidad de energía era el peor, ofrece muy buenos resultados.
El cálculo de la energía por unidad de coste puede ser muy complejo, como se ha comen-
tado anteriormente. Aquí para simplificar se cuantifica solamente el coste del material del
cilindro, no se contabilizan las partes del rotor ni los gastos de fabricación. No cabe duda
que para afrontar un estudio sobre rotores de bajo coste sería imprescindible considerar
cada uno de ellos y añadir los costes de los elementos auxiliares del rotor.
El coste del material del rotor se determina de forma simple, a partir del precio por
unidad de peso. Además, para el análisis comparativo de diversas configuraciones de este
trabajo es suficiente con disponer de la relación entre el precio de los cuatro materiales.
Para que la relación de precios sea fiable se obtienen de una única fuente, el artículo de

0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r
i
/ r
e
Energía
/
coste
(kJ/$)
F. carbono
F. vidrio
Aluminio
Acero
Figura 9.8: Energía máxima dividida por el coste del material en función del radio interior ri.
Flanagan (1986) [14], cuyo autor se dedica a la fabricación de volantes de inercia con estos
materiales. Aunque la fecha es algo antigua se supone que la relación entre los precios ha
variado poco. Los valores utilizados para los cuatro materiales, expresados en $/kg, son:
acero 3.3, aluminio 9.3, fibra de vidrio 8.1 y fibra de carbono 38.5.
Los resultados de energía por unidad de coste se muestran en la figura 9.8. La valoración
de los materiales es ahora muy distinta de los gráficos anteriores, en espesores reducidos el
más favorable es la fibra de vidrio, seguido por el acero. En espesores grandes los valores
de los dos materiales compuestos decrecen y el acero es claramente el mejor.
Este gráfico es interesante para el objetivo propuesto al inicio, en el apartado 1.2.3, sobre
el diseño de rotores de bajo coste, de forma que los resultados de los siguientes apartados
que requieren un cálculo de optimización se realizan en función de la energía por unidad
de coste, si se realizase con los otros parámetros el resultado sería algo distinto.
Para valorar las mejoras de las configuraciones estudiadas en este capítulo se comparan
los resultados con los gráficos de la figura 9.8 de rotores simples de un solo material. Entre
ellos el más interesante es el rotor de fibra de vidrio porque ofrece el mejor resultado y
por esta razón desde el capítulo 2 se ha elegido para todos los ejemplo de cálculo.
Las propuestas de mejora se basan en las técnicas desarrolladas en los capítulos anteriores.
En primer lugar se aplica la estructura multicapa del capítulo 6 y una variante consistente
en alternar capas de material elástico en el rotor de material compuesto. También se aplica
el pretensado térmico en un rotor de fibra de vidrio simple y con mandrino. En cambio,
no se aplica el pretensado en el bobinado porque, como se ha descrito en el capítulo 7,
hacen falta datos experimentales que es escapan de los objetivos de este trabajo.

9.2. ROTORES MULTICAPA 219
9.2. Rotores multicapa
9.2.1. Optimización de un rotor de dos capas
Para aumentar la capacidad de almacenamiento de energía en rotores de material com-
puesto de grandes espesores se utilizan los rotores multicapa, descritos en el apartado
6.2.4. Su objetivo es disminuir la tensión radial, como se ha comentado en la figura 6.11.
re
r2
ri
F. de carbono
F. de vidrio
Figura 9.9: Rotor de gran espesor con dos capas con un r2 que optimiza la energía.
Aquí se estudia solamente un caso sencillo de dos capas, utilizando el material de fibra de
vidrio y de carbono de la tabla 9.1. Aunque es un caso sencillo es suficiente para observar
las mejoras del método multicapa.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
0.84
0.85
0.86
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
r
2
/ r
e
Figura 9.10: Tensiones y factor de rotura del rotor de dos capas con ri/re = 0,6 y r2/re = 0,85
que optimiza la energía. Las curvas 0.84 y 0.86 sólo tienen un punto igual a la unidad.
La dimensiones exteriores son las mismas que en los apartados anteriores, re = 0,5 y
l = 1 m. La fibra de carbono se sitúa en el exterior y la fibra de vidrio en el interior, tal
como se representa en la figura 9.9, para que la elasticidad sea progresiva. El radio r2 de

separación entre las capas se determina por optimización, o sea para cada ri se calcula
el valor de r2 da lugar a la máxima energía por unidad de coste.
En la figura 9.10 se presenta un ejemplo de dicha optimización. Se aplica al rotor de
ri = 0,3 m, o sea ri/re = 0,6, utilizado en los ejemplos de los capítulos precedentes y la
solución es r2 = 0,425 m, r2/re = 0,85. Este valor no coincide con el rotor mejorado del
apartado 6.3.4 de idénticas dimensiones y con los mismos materiales porque la condición
de optimización es distinta.
En la figura 9.10 se presentan las tensiones y el factor de rotura para el radio óptimo
r2/re = 0,85 en trazo negro y en el gráfico del factor de rotura se incluyen también las
curvas de color para dos radios próximos, uno anterior, r2/re = 0,84, y otro posterior,
r2/re = 0,86. Se observa que la curva del radio óptimo tiene dos máximos iguales a la
unidad, en cambio los otros tienen un solo punto igual a la unidad. Si se compara la
situación de estos dos puntos del gráfico de r2/re = 0,85 con el gráfico de tensiones se
deduce que el valor máximo de la izquierda coincide con los valores máximos de la tensión
axial y radial y el de la derecha con el máximo de la tensión tangencial.
En la optimización de otros puntos ri/re no tiene porque cumplirse que existan dos puntos
máximos del factor de rotura iguales a la unidad, como en la figura 9.10, el valor máximo
depende de otros factores que distorsionan esta forma ideal.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r
i
/ r
e
Energia
/
coste
(kJ/$)
F. vidrio + F. carbono
Fibra de vidrio
Fibra de carbono
A
Figura 9.11: Curva de energía por unidad de coste para rotores de dos capas optimizados.
9.2.2. Resultado del rotor de dos capas
Si el calculo del apartado anterior se repite para otros valores ri/re, cada uno de ellos
con un valor de r2 que optimiza la energía por unidad de coste, se obtiene la curva de

la figura 9.11. También se incluyen las curvas de los rotores simples de fibra de vidrio y
fibra de carbono de la figura 9.8 para comparar los resultados.
En la figura 9.11 se observa que la curva del multicapa sólo existe para puntos inferiores
a ri/re ' 0,7, en los superiores el valor óptimo de r2 es superior a re y la capa de fibra
de carbono es nula. Por lo tanto, la combinación de una capa de fibra de vidrio con una
de fibra de carbono solamente mejora los resultados de energía por unidad de coste en
rotores de grandes espesores.
El rotor de dos capas nunca supera el máximo absoluto de energía por unidad de coste del
rotor fabricado solamente de fibra de vidrio. Los valores mejoran en rotores de espesor
grande, donde el valor inicial es muy bajo. Presenta también un punto de cambio de
pendiente (A), en ri/re = 0,466, muy similar a la curva de material único, y corresponde
también a un cambio de tipo de rotura.
Cada uno de los rotores multicapa determinados para la figura 9.11 le corresponde un
valor de densidad de energía y de energía por unidad de volumen. Estos se representan
en la figura 9.12, en donde se incluye también las curvas del rotor de una sola capa para
comparar los resultados.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
600
r
i
/ r
e
Densidad
de
energía
(kJ/kg)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
600
r
i
/ r
e
Energía
/
volumen
(MJ/m
3
)
F. vidrio +
F. carbono
F. carbono
F. vidrio
F. vidrio + F. carbono
F. carbono
F. vidrio
A
A
Figura 9.12: Densidad de energía y energía por unidad de volumen de un rotor con dos capas.
En el gráfico de la densidad de energía de la figura 9.12(a) se observa que a partir del
punto de origen, en ri/re ' 0,7, la densidad aumenta hasta el valor máximo en el punto
de cambio (A), ri/re = 0,466. Es interesante observar que en espesores grandes la curva
del multicapa supera a la curva de la fibra de carbono, aunque el máximo queda por
debajo de los valores absolutos para espesor pequeños.
La curva de energía por unidad de volumen ocupado de la figura 9.12(b), es similar a
la anterior pero el máximo es más acentuado y su valor supera el máximo absoluto del
rotor de fibra de carbono. Este punto máximo (A), de cambio importante de pendiente,
es muy singular y es interesante conocer su causa.

En la figura 9.13 se presentan las tensiones y el factor de rotura para el punto A, en el
cual ri/re = 0,466 y r2 = 0,332. El factor de rotura, en trazo negro, tiene tres puntos
máximos, dos de ellos coinciden con la unidad y el tercero está muy próximo. Al igual
que en la figura 9.10 se añaden dos curvas correspondientes dos valores de r2 próximos,
uno superior y otro inferior, para deducir la evolución de rotura. Se observa que en el
inferior el factor de rotura se produce en la capa de fibra de carbono, causada por la
tensión tangencial y la tensión radial simultáneamente, y en el superior se produce en la
fibra de vidrio, causada por la tensión radial.
Con este ejemplo se deduce que el rotor de dos capas no mejora la energía por unidad
de coste en valores absolutos, aunque sí para espesores grandes. La densidad de energía
aumenta mucho más aunque tampoco en valor absoluto y la energía por unidad de volu-
men es claramente superior. Se debe tener en cuenta que el diseño se ha optimizado para
los costes, si se hubiese optimizado para otra condición el aumento sería superior.
0.4 0.6 0.8 1
-500
0
500
1000
1500
2000
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
r / r
e
Factor
de
rotura
0.658
0.664
0.670
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10 r
2
/ r
e
Figura 9.13: Tensiones y factor de rotura del punto de cambio (A). Se añaden las curvas del
factor de seguridad de r2 anterior y posterior al valor óptimo.
Si el rotor multicapa no se limitase a dos capas o se hubiesen elegido dos materiales más
compatibles entre sí, los resultados de densidad y energía por unidad de volumen serían
claramente mejores. El resultado de la energía por unidad de coste dependería del precio
unitario de los nuevos materiales.
9.2.3. Rotor con capa elástica
Otra forma de aumentar la energía sin incrementar apenas el coste del material es incluir
en el interior del rotor una o varias capas de material elástico. Es una variante del rotor
multicapa, con capas gruesas de material resistente y capas finas de material elástico sin
fibras. Esta técnica ya ha sido utilizada por Gabrys y Bakis (1997) [17]. En la figura 9.14
se muestra un rotor de dos capas de fibra de vidrio separadas por una capa de uretano

r1
r4
r3
r2
Uretano
Fibra de vidrio
Figura 9.14: Rotor con una capa de material elástico.
Las ventajas se muestran mediante un ejemplo basado en el rotor de fibra de vidrio del
apartado 9.1.3 al que se añade una capa de uretano, como se muestra en la figura 9.14.
La posición y el espesor de la capa, o sea r2 y r3, se determinan mediante la optimización
de la energía por unidad de coste, igual que para r2 en el apartado anterior.
En la figura 9.15 se presentan los resultados de la energía por unidad de coste en la curva
Fv+U+Fv, junto con las curvas iniciales. También se incluyen algunos resultados del
rotor con dos capas de uretano que se designa como Fv+U+Fv+U+Fv. La posición de
las dos capas también se determina mediante el proceso de optimización anterior.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
r
i
/ r
e
Energia
/
coste
(kJ/$)
Fv + U + Fv Fibra de vidrio
Fibra de carbono
Fv + U + Fv + U + Fv
Figura 9.15: Modificación de la curva de energía por unidad de coste de un rotor de fibra de
vidrio al introducir una o dos capas de material elástico.
En rotores de espesor pequeño, con ri/re cercanos a la unidad, el resultado no varía
respecto al rotor sin capa elástica mientras que en espesores grandes el aumento es im-

portante. El valor máximo no mejora, simplemente se desplaza el punto de cambio de
pendiente, de ri/re = 0,75 disminuye a 0.68.
Los resultados del rotor de dos capas elásticas se limitan a tres puntos porque el cálculo
es más complejo. A pesar de ello los puntos se encuentran en la zona más representativa
y determinan el punto de cambio de pendiente. El valor de ri/re disminuye a 0.65, con
lo que el espesor del rotor puede ser mayor.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
-200
0
200
400
600
800
1000
1200
r / r
e
Tensiones
(MPa)
0.7 0.8 0.9 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
r / r
e
Factor
de
rotura
σ
θ
σ
r
*10
σ
z
*10
A B C D E
Figura 9.16: Tensiones y factor de rotura en el punto de cambio (ri/re =0.65) de un rotor con
dos capas de uretano después del cálculo optimizado.
El cálculo de optimización para dicho rotor presenta cuatro grados de libertad o variables,
dos radios para cada capa elástica. En la figura 9.16 se presenta el resultado de las
tensiones y del factor de rotura. Para este caso en el gráfico de tensiones se muestran
los cuatro radios de cambio de material y en el del factor de rotura se observa que está
optimizado, el valor es igual a la unidad en cuatro puntos simultáneamente (A, B, C y
D) y en el quinto (E) está muy próximo.
En la figura 9.17 se presentan la densidad de energía y la energía por unidad de volumen
para esta solución y se comparan con el rotor de fibra de vidrio. En ambos se observa que
para espesores pequeños la energía no aumenta mientras que para espesores grandes el
incremento es importante. El valor máximo absoluto no mejora en la densidad de energía
y tiene un ligero aumento en la energía por unidad de volumen.
En los tres gráficos se observa que la inclusión de capas elásticas retrasa la caída de la
resistencia al aumentar el espesor, prolongando los valores altos de la curva de material
único a rotores de mayor espesor.
Si se comparan las mejoras obtenidas por el sistema multicapa y el sistema de la capa
elástica se observa que el primero ofrece mejores resultados en la densidad de energía
y en la energía por unidad de volumen, en cambio, con el segundo se obtienen mejores
resultados en la energía por unidad de coste.

9.3. ROTORES CON PRETENSADO TÉRMICO 225
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
600
r
i
/ r
e
Densidad
de
energía
(kJ/kg)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
r
i
/ r
e
Energía
/
volumen
(MJ/m
3
)
Fv + U + Fv
F. carbono
F. vidrio
F. carbono
F. vidrio
Fv + U + Fv
+ U + Fv
Fv + U + Fv
+ U + Fv
Fv + U + Fv
Figura 9.17: Variación de la densidad de energía y energía/volumen debido a las capas elásticas
9.3. Rotores con pretensado térmico
9.3.1. Rotor de fibra de vidrio
La energía almacenada en los rotores de un solo material del apartado 9.1.3 se puede
incrementar aplicando el pretensado térmico del capítulo 8 sin apenas aumentar apenas
el coste de fabricación.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
50
100
150
200
r / r
e
Temperatura
(ºC)
a
b
c
T. ambiente
Figura 9.18: Distribuciones de temperatura de un curado con pretensado.
A modo de ejemplo se aplica al rotor de fibra de vidrio para obtener un valor de energía
por unidad de coste más elevado. El curado a 120o
C se sustituye por el curado por etapas
con pretensado térmico de la sección 8.3. Las temperaturas interior y exterior, en o
C, de
cada distribución son: (a) 140/100, (b) 0/220, (c) 120/120 y ambiente 20/20, y se aplican
independientemente del espesor de pared del rotor. En la figura 9.18 se representan los
gradientes para el caso de ri = 0,3 m (ri/re = 0,6).

El rotor adquiere las tensiones residuales descritas en la sección 8.3, en el que la tensión
radial residual es negativa y permite que la velocidad límite sea más elevada. Las tensiones
se calculan solamente con el coeficiente de dilatación térmica convencional igual que en
la sección 8.3, aunque en realidad podría ser algo distinto según se ha comentado en la
sección 8.4.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
r
i
/ r
e
Energía
/
coste
(kJ/$)
Fibra de vidrio
Fibra de carbono
F. vidrio pretensado
Figura 9.19: Aumento de la energía por unidad de coste en un rotor con pretensado térmico.
La energía máxima almacenada en el rotor pretensado es superior que en el rotor conven-
cional de la figura 9.8. En la figura 9.19 se presenta el valor de energía por unidad de coste
del rotor de fibra de vidrio pretensado y se compara con la del rotor convencional. Se
observa que la energía aumenta en todos los puntos de ri/re a excepción de espesores muy
delgados donde no llegan a generarse tensiones de pretensado. El incremento no es muy
importante, aproximadamente de un 10% para ri/re = 0,9 y un 40% para ri/re = 0,2,
aunque en este último el valor en curado convencional es extremadamente bajo.
También aumenta la densidad de energía y la energía por unidad de volumen como se
observa en la figura 9.20. El incremento es similar al incremento del gráfico de energía
por unidad de coste porque sin modificar la masa ni el volumen se mejora la resistencia.
Con este ejemplo se comprueba que la mejora de las prestaciones de un rotor de material
compuesto mediante el pretensado es poco importante. En la práctica puede ser algo
superior debido a la dilatación producida durante el proceso químico de curado descrito
en la sección 8.4. Este resultado se podría mejorar si se sustituyera la resina convencional
por una que tuviese un coeficiente de dilatación térmica superior.

0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
600
r
i
/ r
e
Densidad
de
energía
(kJ/kg)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
100
200
300
400
500
r
i
/ r
e
Energía
/
volumen
(MJ/m
3
)
F. carbono
F. vidrio
F. carbono
F. vidrio
F.vidrio
pretensado
F.vidrio
pretensado
Figura 9.20: Aumento de la densidad de energía y energía por unidad de volumen aplicando
un pretensado térmico.
9.3.2. Rotor de fibra de vidrio con mandrino
Un rotor con mandrino de bobinado puede disminuir los costes de fabricación como se ha
comentado en el apartado 1.2.4. A continuación se estudia un rotor de este tipo aunque no
se incluye el coste de fabricación y, por lo tanto, el resultado no es directamente compa-
rable con los que no tienen pretensado térmico. Si se fabrica con un curado convencional
la energía máxima es muy baja, pero si se aplica el pretensado térmico de la sección 8.2
ésta aumenta mucho.
0.6 0.7 0.8 0.9 1
0
50
100
150
200
r / r
e
Temperatura
(ºC)
a
b
T. ambiente
Figura 9.21: Distribuciones de temperatura en un rotor de ri = 0,3 m curado con pretensado.
En el ejemplo se aplica a un rotor de la fibra de vidrio con un mandrino de aluminio curado
en dos etapas, con temperaturas interior y exterior en cada distribución: (a) 0/220o
C,
(b) 120/120o
C y temperatura ambiente 20o
C. En la figura 9.21 se muestra el gradiente
de temperatura generado para el caso de ri = 0,3 m ( ri/re = 0,6).

0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
5
10
15
20
25
30
35
r
i
/ r
e
Energía
/
coste
(kJ/$)
Fibra de vidrio
Aluminio
Al. + F. vidrio (pretensado)
Al. + F. vidrio
Figura 9.22: Curvas de energía por unidad de coste del rotor de aluminio más fibra de vidrio
con y sin pretensado.
En la figura 9.22 se muestran los resultados de la energía máxima por unidad de coste
y se compara con los resultados anteriores del rotor de fibra de vidrio y de aluminio de
la figura 9.8. Se incluye también el resultado de un rotor con mandrino curado a 120o
C
para mostrar el aumento de las prestaciones conseguidas en el pretensado térmico. Igual
que en los rotores de varios materiales de los apartados anteriores en todos los casos se
determina el espesor de pared del aluminio mediante un cálculo de optimización de la
energía por unidad de coste.
El rotor de aluminio más fibra de vidrio sin pretensado tiene una resultado muy bajo
como se observa en figura 9.22, su valor es inferior al rotor de aluminio e inferior al de
fibra de vidrio. Además, para valores de ri/re inferiores a 0,4 el espesor del aluminio es
inferior a 1 mm y el resultado coincide con el rotor de fibra de vidrio. Lo mismo para
valores superiores a 0,66 donde la fibra de vidrio se minimiza y coincide con el rotor de
aluminio.
El resultado del rotor pretensado es superior al rotor de fibra de vidrio para espesores
grandes. Para espesores pequeños, ri/re > 0,6, el resultado es inferior, aunque en esta
zona el espesor de aluminio no llega a 1mm y no tiene sentido real. A pesar de obtener un
incremento pequeño de la energía por unidad de coste se debe recordar que se comparan
únicamente los costes del material, si se añaden los costes de fabricación el resultado del
rotor de fibra de vidrio serían más bajo.
En los gráficos de densidad de energía y energía por unidad de volumen de la figura 9.23
se observa que la variación con respecto al rotor de un solo material es muy similar al
gráfico del coste. Para espesores grandes se consigue un pequeño incremento. Únicamente
cabe resaltar que la curva del rotor de aluminio y fibra de vidrio sin pretensado tiene un

0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
250
300
r
i
/ r
e
Densidad
de
energía
(kJ/kg)
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
50
100
150
200
r
i
/ r
e
Energía
/
volumen
(MJ/m
3
)
Aluminio
F. vidrio
Aluminio
F. vidrio
Al.+ Fv (pret.)
Al. + Fv
Al.+ Fv (pret.)
Al. + Fv
Figura 9.23: Aumento de la densidad de energía y energía por unidad de volumen de un rotor
con mandrino aplicando un pretensado térmico.
salto en ri/re = 0,65. Esto es debido al cambio de material. A partir de este punto, el
rotor pasa a ser totalmente de aluminio, según el cálculo de optimización del coste, y en
la figura 9.22 la curva es continua.

Capítulo 10
CONCLUSIONES
10.1. Sistema analítico de cálculo
En este trabajo se ha desarrollado un sistema analítico de cálculo para rotores muy
completo. Se han previsto los tipos de cargas que deben tenerse en cuenta durante el
diseño: la fuerza centrífuga, la fuerza de aceleración y las tensiones residuales, térmica
y de hidratación. Para estas dos últimas se resuelven casos especiales de distribuciones
radiales no uniformes de temperatura y humedad. Se analizan todas las componentes de
la tensión y se determinan las tres componentes normales y dos componentes cortantes,
la tercera es nula en los rotores.
En el cálculo de tensiones se aplican las condiciones de tensión plana, utilizado por
la mayoría de autores, y se amplia con el cálculo en condiciones de deformación axial
constante que es una variante mejorada de la deformación plana. El primero es aplicable
a los puntos situados cerca del extremo axial y el segundo se utiliza para los puntos
muy lejanos. Sus resultados son excelentes, comparados con los obtenidos en modelos
de elementos finitos, y se comprueba que son mejores que los resultados del cálculo
en tensión plana. Ambos sistemas son aplicables simultáneamente, la tensión plana para
puntos situados en el extremo libre del rotor y la deformación axial constante para puntos
interiores.
Estos sistemas simples se amplían mediante un nuevo procedimiento de cálculo que está
libre de condiciones restrictivas y permite determinar las tensiones en cualquier punto
del rotor. Para ello, se deduce una función aproximada para la tensión axial y la ten-
sión cortante radial-axial en función del radio y la posición axial. Dicha función permite
desarrollar un sistema unificado de cálculo, en que los sistemas de tensión plana y de
deformación axial constante son casos particulares de un sistema global, capaz de deter-
minar las tensiones de un punto situado en cualquier posición axial. Este nuevo sistema
tiene una formulación analítica relativamente sencilla y se adapta muy bien a los resul-
tados de algunos ejemplos obtenidos mediante elementos finitos.
El sistema unificado de cálculo se complementa con diversas particularidades del rotor: se
desarrolla una aplicación para el cálculo de rotores multicapa, se deducen las ecuaciones
231

232 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES
específicas para los materiales singulares, en los cuales las ecuaciones generales no son
válidas, y se prevé el cálculo de rotores con capas de fibras orientadas axialmente que
actúan de refuerzo en configuraciones especiales.
En el análisis de las tensiones generadas en el proceso de fabricación se deduce un sistema
de cálculo para determinar las tensiones residuales de bobinado y a la vez, se desarrolla
un proceso de cálculo paralelo mediante elementos finitos basado en la simulación de
las vueltas de bobinado. En ambos sistemas, a pesar de ser distintos, se obtienen unas
tensiones prácticamente coincidentes. Además, permiten simular, hasta ciertos límites, el
bobinado de materiales no curados con propiedades viscoelásticas.
Esta simulación de materiales viscoelásticos se aplica, junto con el modelo multicapa,
para determinar las tensiones residuales generadas en el curado por etapas. Ello permite
estudiar los resultados de la optimización a través del pretensado térmico.
10.2. Diseño de volantes de inercia
En el diseño de volantes, atendiendo la diversidad de aplicaciones, se establecen tres
variables de diseño distintas: la masa, el volumen y el coste del material. A cada campo
de aplicación se le puede asignar una variable de optimización propia, en este trabajo se
han considerado las aplicaciones que necesitan optimizar la energía por unidad de coste.
En el análisis de la configuración de los rotores se ha estudiado en primer lugar el límite
de los rotores simples, de un solo material, variando la relación entre radio interior y
exterior. Se aplica a los materiales que se consideran básicos: el compuesto de fibra de
carbono con matriz epoxi, el compuesto fibra de vidrio con matriz epoxi, el aluminio y
el acero. Cada uno se analiza bajo las tres variables de diseño y se comprueba que los
materiales compuestos ofrecen mejores prestaciones que los metales. La fibra carbono es
superior en la densidad de energía y en la energía por unidad de volumen, mientras que
la fibra de vidrio es superior en la energía por unidad de coste. Pero ambos casos las
variables sufren una notable descenso en los rotores con una relación de radios inferior a
un determinado valor, debido a la falta de resistencia transversal a la fibra.
Estos resultados se utilizan para valorar tress nuevas configuraciones desarrolladas a
partir de los estudios analíticos anteriores. Se pretende constrarrestar los efectos de la
falta de resistencia transversal y, con ello, aumentar la energía por unidad de coste o, al
menos, evitar su descenso en los rotores con una relación de radios pequeña.
Si al rotor de fibra de vidrio se añade una capa de fibra de carbono, formando la con-
figuración típica en multicapa, la energía por unidad de coste aumenta ligeramente pero
solamente en los rotores con una relación de radios pequeña. Si se le añade una capa de
material elástico diminuye el valor de la relación de radios en que se produce el descenso,
ampliando la gama de rotores de altas prestaciones. Si se sustituye el curado conven-
cional por el curado con pretensado térmico aumenta la energía por unidad de coste para
cualquier relación de radios, aunque el aumento es pequeño.
Finalmente, el sistema de análisis de las tensiones residuales de bobinado permite des-

10.3. FUTURAS LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN 233
cubrir las causas de los resultados experimentales negativos de otros autores y proponer
una nueva estrategia de fabricación que disminuye la relajación de tensiones y favorece
el pretensado.
10.3. Futuras líneas de investigación
Durante la elaboración de esta tesis han surgido nuevas propuestas de estudio que per-
miten abrir nuevas líneas de investigación para completar el sistema de cálculo y seguir
avanzando en el diseño de los volantes. Entre ellas se pueden destacar las siguientes:
• Completar el sistema de cálculo mejorando las funciones de la tensión axial y la
tensión cortante radial-axial del capítulo 4 y aplicarlas al estudio de configura-
ciones particulares de rotores donde su valor puede ser más significativo. Además,
cualquier modificación en las ecuaciones habría que incorporarla al sistema general
del capítulo 6 para que el cálculo se realizara de forma directa.
• Continuar los estudios de pretensado, tanto a través del bobinado, capítulo 7, como
del pretensado térmico, capítulo 8, aplicando otros materiales y realizando ensayos
experimentales, porque los resultados que aquí se han presentado están limitados
a unos ejemplos simples de aplicación. Los datos utilizados están obtenidos de la
bibliografía pero necesario conocer a fondo las propiedades de los materiales, en
situaciones particulares de presión, temperatura, grado de curado, etc. Posterior-
mente, habría que comprobar los resultados del cálculo en rotores reales.
• Completar el estudio sobre los sistemas de mejora del diseño del capítulo 9 incorpo-
rando nuevos materiales y nuevas geometrías. Para ello será imprescindible disponer
de una tabla completa de datos, con las propiedades mecánicas y térmicas, costes,
etc. y obtenidos bajo las mismas condiciones para que los resultados sean compa-
rables. Es muy probable que los datos de la bibliografía no ofrezcan garantías de
que se cumplan estas condiciones, en cuyo caso habrá que recurrir a los ensayos
experimentales.
• Incorporar los valores unitarios de energía almacenable según la masa, el volumen y
el coste a un sistema automático de optimización y toma de decisiones. Se deberá
definir un parámetro global mediante la suma ponderada de los tres valores unitar-
ios. Dicha ponderación será distinta para cada tipo de máquina, de manera que el
rotor óptimo será específico para cada aplicación.

234 CAPÍTULO 10. CONCLUSIONES

Bibliografía
[1] Álvarez J., Callejón I., Forns S., Bosch R., Salomón G., Küik J.; Acumuladores
cinéticos. Aplicación a vehículos de tracción urbana ; Barcelona (1998)
[2] Ashey S.; Designing Safer Flywheel; Mechanical Engineering (1996), 118(11), p. 88-
91
[3] Bolotin V. V., Bolotina K. S.; Polymer Mech. 178 (1972)
[4] Borneman H. J., Urban C., Boegler T.; High Speed Superconducting Flywheel System
for Energy Storage; Physica C 235-240 (1994 ), p. 3455-3456
[5] Christensen R. M., DeTeresa S. J.; Failure Plane Orientations for Transverse Load-
ing of a Unidirectional Fiber Composites; International Journal of Solids and Struc-
tures, 40 (2003) p. 7055-7062
[6] Christensen R. M.; The numbers of elastic propierties and failure parameters for
fiber composites; J. Eng. Materials and Technology, Vol. 120, p. 110-113 (1998)
[7] Christensen R. M.; Stress Based Yiel/Failure Criteria for Fiber Composites; J. Com-
posites Materials, Vol 11 (Oct. 1977), p. 395-404
[8] Christopher D. A., Beach R.; Flysheel Technology Development Program for
Aerospace Aplication; IEEE AES System Magazine (1998), 13(6), p. 9-14
[9] Danfelt E. L, Hewes S. A., Chou T. W.; Optimizationof Composite Flyhell Design;
International journal of Mechanical Sciences (1977), 19, p. 69-78
[10] Darrelmann H.; Comparison of High Power Short Time Flywheel Storage Systems;
IEEE 0-7803-5624-1/99, p. 30-2
[11] Domininghaus H.; Plastics for Engineers; Hanser, (1993)
[12] Dusi M. R., Lee W. I., Ciriscioli P. R., Springer G. S.; Cure kinetics and viscosity of
fiberite 976 Resin; Journal of Composite Materials, (1987) 21, p. 243-261
[13] Dvorak G. J., Prochazka P.; Thick-walled composite cylinders with optimal fiber
prestress; Composites, Vol 27B 6 (1996)
[14] Flanagan R. C.; Design, Manufacture and Test Result for Four High Energy Density
Fibre Composites Rotor; Proceedings, IECEC ’86, p. 901-907
235

236 BIBLIOGRAFÍA
[15] Flanagan R. C., Aleon C., Anderson W. M., Olberman J.; Design of a Flywheel Surge
Power Unit for Electric Vehicle Drives; Intersociety Energy Conversion Engineering
Conference, 25 (1990) p. 211-217 (American Institute of Chemical Engineers, New
York)
[16] Gabrys C. W., Bakis C. E.; Fabrication of Tick Filament Wound Carbon Epoxy
Ring Ussing In-Situ Curing: Manufacturing and Quality; Conf. American Society
for Composites. Technomic. Lancaster. PA. 1994. p. 1090-1097
[17] Gabrys C. W., Bakis C. E.; Design and Testing of Composite Flywheel Rotors ;
ASTM STP 1242 (1997) p. 1-22
[18] Gabrys C. W., Bakis C. E. ; Simplified Analysis of Residual Stresses in In-Situ Cured
Hoop-Wound Rings; Journal of Composites Material, Vol. 32, No 13/1998
[19] Genta G.; Kinetics Energy Storage: Theory and Practice of Advanced Flywheel Sys-
tems; London: Butterworhs & Co., Ltd 1985
[20] Ha S. K., Jeong H. M., Cho Y. S.; Optimum Design of Thick-Walled Composite
Ring for an Energy Storage System, Journal of Composite Materials (1998), 32(9),
p. 851-73
[21] Ha S. K., Yang H. I., Kim D. J.; Optimal Design of Hybrid Composite Flywheel
With a Permanent Magnet Rotor; Journal of Composite Materials (1999), 33(16),
p. 1544-75
[22] Ha S. K., Yang H. I., Kim D. J.; Optimum Design of Multi-Ring Composite Flywheel
Rotor Using a Modified Generalized Plane Strain Assumption; International Journal
of Mechanical Sciences 43 (2001), p. 993-1007
[23] Hahn H. T., Kempner E. A., Lee S. S.; The stress development during filament
winding of thick cylinders; Composites Manufacturing (1993), 4(3), p. 147
[24] Herbst J. D., Manifold S. M., Murphy B. T.; Desingn, Fabrication and Testing of 10
MJ Composite Flywheel Energy Storage Rotors; Center for Electromechanics, The
University of Texas at Austin
[25] Jeﬀerson C. M., Ackerman M.; A Flywheel Variator Energy Storage System; Energy
Conversion and Management (1996),37(11), p. 1484-1491
[26] Kempner E. A., Hahn H. T.; Eﬀect of Radial Stress Relaxation on Fiber Stress
in Filament Winding of Thick Composites; Composites Manufacturing. 6(1995), p.
67-77
[27] Kitade; Flywheels; Comprehensive Composite Materials, Vol.6.29, Elsevier Science
Ltd (2000)
[28] Koch B.; Flyweels, Challenging battery storage for ride-througgh of power interrup-
tions; Electrical World, Desember (1997), p. 44-47
[29] Kostritskii S. N., Tsirkin M. Z.; Mech. Composite Materials, 1981

BIBLIOGRAFÍA 237
[30] Kulkarni S. V.; Composite Material Flyheels and Containment Systems; Energy and
Tech. Rev., L.L.N.Lab., march 1982, p. 18-29
[31] Incropera F. P., DeWitt D. P.; Fundamentals of Heat and Mass Transfer; Jhon Wiley
& Sons Ltd (1990)
[32] Lee S., Springer G. S.; Filament Winding Cylinders: 1 Process Model; J. Composites
Materials, 24 (1990), p. 1270-1298
[33] Lee S., Springer G. S.; Filament Winding Cylindres: III Selection of the Process
Variables; J. Composites Materials, 24 (1990), p. 1344-1366
[34] Liu C., Chamis C. C.; Residual Strees in Filament Wound Laminates and Optimum
Programmed Winding Tension; Proc. 20th Anual Technical Conference. Reinforced
Plastics Division, Soc. Platics Industry, New York, (1965), Section 5-D, p. 1-10
[35] Nagy G., Rosenwasser S., Mehle G.; Evaluation and Testing of Graphite Fiber Com-
posite Materials for High Speed Rotors; IEEE Transactions on Magnetics, Vol. 35,
No. 1, January (1999)
[36] Olszewski M., Eisenhaure D. B., Beachley N., Kirk J. A.; Advanced Energy Systems-
On the Fly or Under Pressure; Mechanical Engineering, june (1988)
[37] Pagano N. J., Soni S. R.; Models for Studying Free-edge Eﬀects; Interlaminar Re-
sponse of Materials, Ed N.J.Pagano, Elsevier Science Publishers B.V. (1989)
[38] Pérez-Aparicio J. L., Palma R., Bravo R.; Comparación de criterios de fallo en
estados tensionales complejos; VI Congreso AEMAC, Julio (2005) Valencia, p. 757-
764
[39] Perez-Aparicio J. L., Ripoll L.; Solución Generalizada para Piezas Cilíndricas de
Material Compuesto; V Congreso AEMAC, 1-3 Julio 2003, Zaragoza, p. 801-809
[40] Portnov G. ,Cruz I., Fiﬀe R. P., Arias F.; Limit Regimes of Braking of Disc-Type
Composite Flywheels Made by Filament Winding; Mechanics of Composite Materials,
Vol. 40, No. 1 (2004), p. 37-44
[41] Post R. F., Post S. F.; Flyheels; Sci. Am. 2229 (1973), p. 17-23
[42] Ripoll L., Pérez Aparicio J. L.; Minimización de tensiones en cilindros bobinados
mediante pretensado térmico; V Congreso AEMAC, 1-3 Julio 2003, Zaragoza, p.
69-77
[43] Ripoll L., Pérez Aparicio J. L; Optimización de Tensiones en Volantes Unicapa
Mediante Pretensado Térmico; SEMNI 2004 Lisboa.
[44] Ripoll L., Pérez Aparicio J. L. ; Tensiones residuales en cilindros de materiales
compuestos curados a temperatura no uniforme ; Anales de Ingeniería Mecánica, 15,
2004 León.
[45] Ripoll L., Pérez Aparicio J. L.; Análisis de las tensiones axiales en volantes de inercia
de materiales compuestos; VI Congreso AEMAC, Julio (2005) Valencia, p. 749-756

238 BIBLIOGRAFÍA
[46] Scott E. P., Beck J. V.; Estimation of thermal properties in carbon/epoxy composite
materials during curing; Journal of Composite Materials Vol 26 No 1 (1992), p.
20—36
[47] Springer G. S., Tsai S. W.; Environmental Eﬀects on Composite Material; Edited by
George S. Springel, Department of Mechanical Engineering & Applied Mechanics,
The Univerity of Michigan, (1981)
[48] Tarnopol’skii Y. M., Beil A. I.; Problems of the Mechanics of Composites Winding;
Handbook of Composites. Vol. 4-Fabrication of Composites, A. Kelly and S. T.
Mileiko, eds., Elsevier, Amsterdam, (1983), p. 45-108
[49] Timoshenko S., Goodier J. N.; Theory of Elasticity; McGraw-Hill, New York, NY,
(1970)
[50] Tsai, S. W.; Theory of Composites Design. Think Composites; (1992) Dayton, Ohio
[51] Tzeng J. T. ; Stress Relaxation in Composites Flyheeels; SAMPE 2001 - Long Beach,
CA May, (2001), p. 6-10
[52] Tzeng J. T., Pipes R. B.; Thermal and Residual Stress Analysis for In-Situ and Post
Consolidated Composites Ring; Composites Manufacturing. 3(1992), p. 273-279
[53] White S. R., Zhang Z.; The Eﬀect of Mandrel Material on the Processing Induced
Residual Stresses in Thick Filament Wound Composite Cylinders; J. Reinforced
Plastics and Composites, 12, (1993), p. 698-711
[54] Wu G., Wang G., Luo B.; Numerical Analysis of Stresses Within the High Speed
Flywheel in the Regenerative Braking System of a City Bus; Society of Automotive
Engineers, 952599, (1995)
[55] Yates B., McCalla B. A., Phillips L. N., Kingston-Lee D. M., Rogers K. F.; The
thermal expansion of carbon fibre-reinforced plastics. Part 5. The influence of matrix
curing characteristics ; Journal of Materials Science, Vol 14 (1979), p. 1207—1217

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