Raz mat

RAZONAMIENTO MATEMATICO
TEORIA Y PROBLEMAS
1a EDICIÓN

WALTER PARDAVÉ LIVIA
RAZONAMIENTO MATEMATICO
TEORIA Y PROBLEMAS
1a EDICIÓN
Sistemas & Computadores Ltda.
Bucaramanga - 1999

PRIMERA EDICION
Enero de 1999
DIAGRAMACIÓN E IMPRESIÓN
Sistemas & Computadores Ltda.
Centro Empresarial Chicamocha Of. 303 Sur
Telf: (97) 6343558 - Fax (97) 6455869
Bucaramanga - Colombia
ISBN: 958-8037-19-0
Prohibida la reproducción parcial o total de esta obra,
por cualquier medio, sin autorización escrita del autor
Impreso en Colombia

A mi esposa Chelita y a mis hijas
Maria Camila y Dina Marcela

9
TABLA DE CONTENIDO
PREAMBULO ......................................................................................................... 11
COMO RESOLVER UN PROBLEMA? ................................................................. 13
CAPITULO I: OPERACIONES FUNDAMENTALES .......................................... 21
CAPITULO II: OPERADORES MATEMATICOS ................................................. 39
CAPITULO III: SERIES NUMERICAS ................................................................. 61
CAPITULO IV: HABILIDAD OPERATIVA ........................................................ 107
CAPITULO V: RAZONAMIENTO GEOMETRICO ........................................... 127
CAPITULO VI: CRIPTOGRAMA ........................................................................ 149
CAPITULO VII: RAZONAMIENTO LOGICO ................................................... 171
CAPITULO VIII: TRAZO DE FIGURAS............................................................. 179
CAPITULO IX: PSICOTECNICO ........................................................................ 183
CAPITULO X: PERIMETROS Y AREAS SOMBREADAS ............................... 209
CAPITULO XI: TEST EVALUACION................................................................. 231

11
PREAMBULO
El razonamiento matemático, es un tipo particular de exigencia a
nivel pre-universitario y superior, que se ha generalizado en lo últimos
años, por ello este libro habrá de permitirles ejercitar sus capacidades
en las áreas matemáticas, además de brindarles importantes mecánicas
resolutivas para que superen con exitos los exámenes o evaluaciones
que han de someterse.
Pretendo llegar al estudiantado y público en general con un trabajo
novedoso en cuanto a contenidos y metodología de presentación de
temáticas como: operadores matemáticos, criptograma, trazo de
figuras, habilidad operativa, figuras análogas, etc.
Quiero agradecer a las personas que han hecho propicia esta edición,
a quienes me favorezcan con su preferencia y dedicar la obra a mis
alumnos pasados, presentes y futuros; de quienes aprendo mucho
cada día.
EL AUTOR

13
COMO RESOLVER UN PROBLEMA?
‘Todos tenemos problemas”. Es una frase, muy conocida y aceptada por todos.
En efecto la vida nos enfrenta a situaciones que debemos resolver continuamente,
algunas veces nosotros solos, otras con ayuda de los demás. Pero no solo existen
problemas a nivel personal, las sociedades en las cuales nos desenvolvemos y en
las de todo el mundo afrontan dificultades o problemas, los cuales pueden ser
económicos, culturales, religiosos, etc., en fin, de una gran diversidad.
El planeta tierra se enfrenta a múltiples problemas, llámese por ejemplo la
existencia de vida en otros planetas, hasta cuando durará la energía solar etc. No
hay ciencia que no se enfrente a problemas en sus respectivos campos. Es decir,
existe una inmensa variedad y cantidad de problemas que afectan al ser humano,
los hay desde muy simples hasta realmente complejos, tanto que al hombre le
toma muchos años resolverlos. Pero así como van surgiendo los problemas, van
surgiendo las soluciones, al desarrollo que actualmente el hombre ha resuelto
con esa admirable tenacidad e inteligencia que le caracterizan.
Toda esta variedad y cantidad de problemas que existen han hecho también que
muchos hombres se pregunten: ¿Existe un método universal para su solución ?.
Se ha buscado la respuesta en las Matemáticas. Sabemos que casi todas las
cuestiones matemáticas son susceptibles de solución, pero para resolver un
problema matemático tiene que estar expresado en el lenguaje de las matemáticas
y esto representa otra gran dificultad.
Si hablamos de problemas biológicos, económicos, raciales, políticos, etc, : los
cuales son realmente difíciles de resolver, porque generalmente sus problemas
tienen más de una incógnita y/o dependen de un gran número de elementos
variables que muchas veces no se pueden aislar, por lo que es muy difícil
relacionarlos exactamente con los datos; todo lo cual implica que en tales sectores
con los conocimientos que actualmente posee la ciencia, es imposible plantear
una ecuación matemática,. Por ejemplo el problema de la salud de una persona
que depende, entre otras, cosas de la edad, la temperatura, la presión sanguínea,
la alimentación, etc., cuando nos enfermamos no existe a disposición del médico

14
una ecuación en la que él reemplace determinados datos y al despejar la ecuación
aparezca como respuesta que enfermedad padecemos y que hay que hacer para
curarnos. El médico tiene que resolver el problema de curarla apoyado en su
experiencia personal y en el estudio de otros casos análogos. Así sucede con
varias otras ciencias que no pueden resolver sus problemas matemáticamente.
Para suerte nuestra, por ahora, vamos a enfrentarnos a problemas susceptibles
de ser resueltos matemáticamente, ellos al igual que cualquier otro tipo de
problema, tienen datos e incógnitas.
Podemos decir que los datos son las informaciones de las cuales disponemos
para poder resolver el problema, informaciones que tienen que ver con la incógnita,
es decir lo que desconocemos.
Hablemos ahora de los problemas que habremos de resolver durante nuestra
preparación. Ellos pertenecen a las matemáticas elementales, pueden incluso
resolverse por distintos métodos, y como ahora estamos tratando de aumentar
nuestra capacidad de razonamiento, vamos a dar una serie de pautas que habremos
de aplicar en cada problema para conseguir su solución. ¿Significa esto que nos
vamos a mecanizar?. De ninguna manera, cada problema es una particularidad
en la cual Ud. debe aplicar creativamente los consejos que a continuación he de
describir.
Nuestro plan de solución es el siguiente:
1. Querer resolver el problema
2. Entender el problema
3. Imaginar un plan para resolverlo
4. Realizar un plan,
5. Examinar la solución obtenida.

15
1. QUERER RESOLVER EL PROBLEMA
Es el primer paso y consiste en una actitud fundamentalmente de carácter anímico.
Debe Ud. estar predispuesto psicológicamente a resolver las dificultades, por
más simples o complicados que el problema le parezca, Ud. debe estar dispuesto
a enfrentarse a él y a vencerlo. Cada problema es un reto a su capacidad; es un
reto que Ud. acepta y que hará para que para superarlo, haga uso de todas las
armas disponibles que le permitan resolverlo. Su actitud en estos casos es
determinante: ¡El hombre no logra nada que no se proponga! Recordemos sino
aquella célebre frase del Dr. Barnard “Si piensas que estas vencido lo estas”, “Si
piensas que puedes, podrás”.
Querer resolver el problema es haberlo resuelto ya en un 50%.
2. ENTENDER EL PROBLEMA
Es este el segundo paso. Es muy importante que Ud. entienda el problema, pues
es casi seguro que de no hacerlo asi no podrá resolverlo a plenitud. Imagínese
que usted corresponsal de una revista, y es designado para hacer un comentario
sobre una conferencia que abordará el tema “La acción de los ácidos Ribonucleico
y desoxiribonucleíco en los origenes de la vida”. Usted llega a la conferencia y
ésta se desarrolla fundamentalmente desde el punto de vista técnico, abarcando
complicadas descripciones químicas y biológicas que usted desconoce y que por
lo tanto no le permiten entender casi nada de lo que allí se habla ¡Cree usted que
podrá escribir un buen artículo acerca de lo que ha escuchado pero no ha
entendido?. Lo más probable es que no pueda hacerlo. Lo mismo se ha de pasar
ante un problema matemático sino lo entiende, si no sabe de que se trata, es muy
probable que no pueda resolverlo.
Para facilitar su labor de entendimiento, le sugiero, que inicialmente analice
detalladamente el enunciado; trate de fijar con precisión la incógnita, los datos y
las condiciones; estudiando, hágase las siguientes preguntas:

16
* ¿Cuál es la incógnita? Apuntela.
* ¿Cuáles son los datos? Apuntelos
* ¿Hay alguna condición? Señalela
* ¿Con los datos podré satisfacer la condición ¡ Pienselo!
* ¿Son los datos suficientes? ¿Son pocos? ¿O son demasiados?
* ¿El problema pertenece al Algebra? a la Geometría? A que área de las
matemáticas pertenece?.
* ¿De que se trata este problema? ¿Que cantidades intervienen en él? ¿Intervienen
personas, edades, porcentajes, áreas?.
* ¿Recuerda a leerlo a algún otro problema? ¿En qué se parecen?.
* ¿Puede cambiarle de datos a este problema, sin que su estructura varíe?.
Es decir lo que usted debe hacer es investigar, y ésta, es una actitud mental
importante, por cuanto cualquier rama de las ciencias, exactas o no, por la cual
usted se incline, está en constante investigación. El hombre pasa su vida
investigando diferentes hechos y situaciones debido a su insaciable curiosidad y
afán de progreso.
Cada problema deber ser una aventura intelectual, es un reto que usted tiene que
vencer, para ello es necesario conocer todo lo que pueda acerca de él, piense en,
todos los problemas que hasta ahora ha resuelto durante su vida, no negará que
siempre ha empezado analizándolos en sus diferentes partes, lo cual le permitió
dominar al problema, es decir entenderlo totalmente.
3. IMAGINAR UN PLAN DE SOLUCION
Imagine usted En estos momentos desea cruzar una orilla a otra de un rio y no
existe un puente para tal efecto, siendo considerable la anchura del río, piense,
cuál seria su actitud? Su deseo de cruzar (paso l), se la hará entender la situación
en la que se encuentra, analizará usted de que medios dispone para lograrlo, y
+

17
empezará a esbozar un plan para cruzarlo, ¿lo hará a nado?, ¿Se construirá una
embarcación?, ¿Intentará buscar un lugar adecuado para cruzarlo?. Note que
estas son formas de resolver la dificultad que le afecta y que usted está viendo
cuál le conviene más. ¿No es así?.
De la misma manera proceda ante un problema matemático, después del paso (2)
ya está usted convertido en un investigador, para lo cual deber estar su capacidad
de esfuerzo original trabajando al máximo. Tal vez este usted desorientado en el
camino que le lleve a la solución, pregúntese:
* ¿Que relación existe entre mis datos y mis incógnitas?
* ¿Puedo representar matemáticamente la relación existente entre datos e
incógnitas? ¿Si? ¿Cómo?, ¿No?, ¿Porqué?.
* ¿Puedo escribir los datos en función de las incógnitas?
* ¿Y la condición? ¿La puede representar?
* ¿Si hago un gráfico?, ¿Será mejor?
Si áun no da con la idea definitiva; piense asi:
* ¿He visto antes algo parecido?
* ¿Conozco esta clase de problemas? ¿A qué campo pertenecen?
* ¿Conozco alguna propiedad relacionada con el problema?
* ¿He estudiado antes algo que podría servirme ahora?
* ¿Vi antes resolver algún problema parecido? ¿Si? ¿Puedo utilizar áquel método
para resolver este problema?
* ¿Puedo introducir algunas incógnitas o datos auxiliares que no cambien la
esencia del problema, y que me permiten resolverlo?.
Si no puede resolver el problema propuesto, trate de resolver primeramente algún
problema relacionado con él.
+

18
* Puede usted imaginar algún problema más accesible, pero relacionado con el
quetieneenfrente?¿Ounproblemamásgeneral?¿Ounproblemamásespecial?.
* Esta utilizando todos los datos? ¿La condición, la ha entendido íntegramente?
¿Está usándola bien? ¿No se olvidó de algún dato o propiedad?.
Si se trata de un problema geométrico, es siempre recomendable dibujar las figuras
que intervienen y señalar en ellas los datos e incógnitas que le den.
Es decir inicialmente debe de recurrir a la anologia, revisar sus conocimientos,
apelando a su sagacidad y habilidad mental que algunos psicólogos llaman
“Iluminación” o “Bright idea” (Idea Brillante), que consiste en dar, por intermedio
del razonamiento con la idea que ha de constituir la clave órientadora de su
futura acción en procura de la solución.
4. REALIZAR EL PLAN QUE LE LLEVARA A LA
SOLUCIÓN
En el punto anterior, ya dió con el camino para resolver el problema, ahora sólo
le queda materializarlo, efectuar las operaciones y demostraciones indispensables,
ya sean ellas geométricas, algebraicas o aritméticas.
Si fuera problema demostrativo es preciso encontrar la cadena de razonamientos
que tiene como primer eslabón la hipótesis y como último la tésis.
Si fuera problema de hallar una incógnita, escoja el método de resolver ecuaciones
más adecuado y realice las operaciones necesarias para encontrar la solución.
Realice su plan ordenadamente, controlando cada paso, para ir viendo así si es
correcto lo que va haciendo.
Si aún no tiene mucha práctica, numere cada uno de los pasos que va dando,
realice con cuidado las operaciones y cálculos, poniéndolos en lugar visible de
tal manera que luego pueda ubicarlos fácilmente, para su revisión.
Fundamentalmente cada uno de los pasos que vaya dando, es decir, debe tener
plena conciencia del principio en el cual esta basándose para dar tal o cual paso.

19
Finalmente después de una interesante aventura intelectural habra logrado dar
con la solución y no lo oculte, ahora le invade una gran satisfacción, una gran
alegría, que premio el esfuerzo realizado y le insta a seguir resolviendo la mayor
cantidad de problemas, pues sabe usted que en la práctica está la clave del éxito.
5. REPASANDO EL PROBLEMA
Con el objetivo de fijar conceptos y métodos; de ejercitar su razonamiento,
autocriticar su trabajo intelectual, debe efectuar una revisión análitica del proceso
seguido. Debe estar convencido de que la solución es correcta efectuando para
ello, una, revisión de todo lo que ha hecho.
Así mismo, para aumentar sus fronteras intelectuales, trate de generalizar el
problema y encontrarle otras aplicaciones. Aquí debe hacerse notorio su dominio
del problema, preguntese
* ¿Puedo constatar el resultado? ¿Cómo?
* ¿Puedo constatar el razonamiento seguido paso a paso? ¿Debo de repasarlo?
* ¿Puedo derivar resultados diferentes? ¿Cuál es?
* ¿Puedo crear un problema semejante dándome yo mismo los datos?
* ¿Puedo esbozar otra manera de resolver el problema?
* ¿Puedo, el método que aquí he empleado, utilizarlo para resolver otros
problemas?, ¿En cuáles?
Toda esta serie de preguntas harán que pueda llegar a dominar totalmente un
problema, haciendoquesucapacidadderazonamientoysuexperiencia matemática
aumente notablemente, y harán que se vaya formando en usted el espiritu de la
búsqueda científica que le llevaran ha aventurarse en trabajos intelectuales cada
vez más arduos con la convicción de que es usted capaz de resolver cualquier
problema, teniendo las bases necesarias, sólo tiene que proponerlo.

21
CAPITULO I
OPERACIONES FUNDAMENTALES
Para resolver los problemas pertenecientes a este capitulo, no necesitamos más
que conocer los principios fundamentales que rigen a la suma, resta, multiplicación
ydivisión;ademásdetenerrapidezparaefectuarloscálculosnuméricosnecesarios.
Por lo tanto nos remitiremos a la solución de problemas como los que a
continuación se detallan:
1.
Hallar el valor de A + B + C + D en
777777............................77777
777777............................77777
77777............................77777
.............................................
...........................................
..........................................
...........................................
..........................................
77777
7777
777
77
7
____________________
DCBA
Solución
Recordemos los principios que utilizamos para sumar habitualmente.
77 Sumandos

22
* La cifra de las unidades del resultado de la suma total, está dada por la suma
de las cifras de los sumandos.
* Las cifras que le siguen son el resultado de sumar las respectivas columnas,
aumentándoles en cada caso lo que se lleva de la suma anterior.
* Realizada la suma de cada columna, Si es mayor que 9 unidades; la cifra de
la derecha se coloca debajo de la columna sumada (“se pone”, “se queda”, y
la (a) otra (s) se le agrega (n) a la columna siguiente (“se lleva”)
Así en nuestro caso:
la. Columna: A 77(7) = 539 “Se queda” A=9
“Se lleva 53”
2a. Columna: B76(7) = 532 + 53 = 58 “Se pone” B=5
3a. Columna: C 75(7) 525 + 58 = 583 “Se pone” C = 3
4a. Columna: D 74(7) = 518 + 58 = 536 “Se pone” D=6
Finalmente entonces : A + B + C + D = 9 + 5 + 3 + 6 = 23
¿Ha entendido usted? ... ¡Cerciórese que así seal. No olvide los principios utilizados
y apliquelos a problemas que tengan la misma estructura.
2.
Si : (a + b + c)2
= 144. Hallar abc + bca + cab.
Solución:
* Del dato tenemos: (a + b + c)2
= 144 a + b + c = 12 ¿Diga usted porqué
tomamos la raíz (12) con signo positivo y no con negativo?.
à

23
* Ahora coloquemos los sumandos en forma vertical, tenemos:
abc +
bca
cab
???
* De donde notamos que la cifra de las unidades será igual al valor de la suma:
(a + b + c), entonces,
Cifra de las unidades c+a+b = 12 se “pone” 2
Cifra de las decenas b+c+a+1 = 13 se “queda” 3
Cifra de las centenas a+b+c+1 = 13, aquí acaba la suma.
Luego : abc + bca + cab = 1332. ¿De acuerdo? Ahora hagos unos problemas
sobre multiplicación ¿Sabe usted multiplicar? ¿Si? ... ¡Vamos a comprobarlo!
3.
Supongamos que : mnp x a = 214
b x mnp = 412
c x mnp = 366. Hallar : mnp x abc
Solución:
Recordemos como multiplicamos habitualmente. Ejemplo
432 x 432 x Multiplicando
123 123 Multiplicador
1296 3 x 432
864 2 x 432 Productos parciales
432 1 x 432
53136

24
Como puede usted observar cada producto parcial es resultado de multiplicar al
multiplicando por cada cifra del multiplicador, y los respectivos resultados
(productos parciales) se van colocando uno debajo del otro corriéndolos un lugar
hacia la izquierda.
¿Entiende usted? Bien ahora apliquemos tal principio a nuestro problema.
mnp x abc mnp x mnp x
abc abc
c x mnp Reemplazamos 366
los respectivos 412
b x mnp valores
a x mnp 214
25886
Finalmente diremos que: mnp x abc = 25,886 ¿Está todo claro?...
4.
Ejercite usted su entendimiento resolviendo:
Si:S x LUNA = 3088
L x LUNA = 2435
O = Cero Hallar LUNA x SOL
RPTA: 311235

25
5.
Se multiplica el número 47 por otro de 2 cifras y resulta 1786. Si la cifra de las
decenas del número desconocido es 3. Diga cuál es dicho número sin efectuar
ninguna división. ¿Es posible?.
Solución:
¡Claro que es posible! lo que nos falta es la cifra de las unidades del número
buscado, el cual al multiplícarse por 47 nos da 1786. Pensemos entonces, la cifra
de las unidades multiplicada por 7 tiene que acabar en 6. ¿De a acuerdo?. Entonces
¿Qué número multiplicado por 7 acaba en 6?. ¡Correcto!., el único que cumple
es 8.
Luego el número buscado será : 38
6.
Multiplico el número 29 por un número de 2 cifras que tiene ocho decenas y
obtengo como resultado un número que acaba en 65. Sin realizar ninguna
operación, dé usted el valor del multiplicador.
RPTA 85
¿Podría usted «inventar» problemas semejantes a los anteriores?.
7.
Un alumno ha de multiplicar un número por 50, pero al hacerlo se olvida de
poner el cero a la derecha, hallando así un producto que se diferencia del verdadero
en 11610. ¿Cuál es el número que le dieron para multiplicar?.

26
Solución
* Piense en lo que va a leer a continuación
* Si el alumno hacia lo correcto, el número pedido iba a quedar multiplicado
por 50, pero como no ha puesto el 0, concluimos que el número ha quedado
únicamente multiplicado por 5, ¿De acuerdo?
* A su vez, la anterior conclusión, implica que la diferencia entre ambos productos
sea 50 - 5 = 45 veces el número pedido, diferencia, que a su vez por el dato,
es igual a 11610. Luego, si 45 veces el número pedido es igual a 11610,
entonces el número pedido será : 11610 / 45 = 258.
8
¿Cuál es el menor número que multiplicado por 33 nos da un número cuyas
cifras son todas 7?
Solución
* Si es N el número pedido, tenemos que : Nx33=77......7
De donde podemos ver que : N=77 7÷33, como vemos el cociente de esta
división debe ser exacto y nos permite hallar el número pedido. Dividiremos
por lo tanto, entre 33 a un número que tenga las cifras 7 necesarias para hacer
que el resto sea cero.
* Pero, tal vez usted, me diga: ¿Cómo sabemos cuántas cifras 7 posee el número
que hace de Dividendo?.
* Su pregunta es correcta, pero en realidad no hay necesidad de saberlo, puesto
que podemos divir de la siguiente manera: Tomamos para empezar como
dividendo a 77, al dividir entre 33 el resto, no es cero; entonces aumentamos
una cifra 7 al dividendo y volvemos a dividir, si el resto aún no es cero,
continuamos aumentando cifras 7 al dividendo hasta lograr que la división sea

27
exacta; una vez que lo logremos ya sabemos que el número buscado (N) será
el cociente de la división realizada.
* Luego dividiendo de la manera indicada, hallamos N = 23,659.
9.
¿Cuál es el menor número de 5 cifras que multiplicado por 33 nos da un producto
cuyas cifras son todas 8?.
RPTA : 40404
10.
Entre 8 personas tienen que pagar por partes iguales $20.000.-, como algunas de
ellas no pueden hacerlo, cada una de las restantes tiene que pagar $1.500 más
para cancelar la deuda.
¿Cuántas personas no pagarán?
Solución
Razonando a la vez que realizando los cálculos tendremos
* Si entre 8 personas tienen que pagar $20,000 en partes iguales, luego, cada
pagará: 20,000 / 8 = 2.500
* Como se van algunas sin pagar, ahora cada una de las que se quedan
pagan $1,500 más, quiere decir que cada una de las que se queda pagará:
2,500 + 1,500 = 4,000
* Sien ahora digamos así : Si hay que pagar 20,000 y cada persona paga
$4,000 ¿Cuántas personas pagarán? ¡claro! tiene usted razón, pagarán:
20,000 / 4,000 = 5 personas.
* Entonces sí inicialmente eran 8 personas y ahora son sólo 5 las que pagan
concluimos en que se han ido sin pagar 8 - 5 = 3 personas.

28
PROBLEMAS PROPUESTOS
* Tiempo de duración : lh 30'
1. Pedro tiene 2436 pesos. María tiene 3118 pesos más que pedro y 2025 pesos
menos que los que Jorge tiene. A su vez Casimiro tiene 2400 más que María
y 2300 menos que Armando.
¿Cuánto poseen entre todos?
a) $37377 = b) $43777 = d) $37777 =
c) $33777 = e) N.A
2. Jaime a cambio de “y” metros de casimir ha entregado “x” metros de paño
¿Cuánto cuestan 2 metros de casimir si, al metros de paño se pagan “3m”
pesos
a) 2xn/y b 2xn/y2 c) xn/2y d) f. datos e) 2ny/x
3. Se han distribuido 7,000 pesos entre cuatro personas de la siguiente manera
A la primera 1.245.20 pesos, a la segunda se le dió una Cantidad que excede
a lo de la primera en 85.40 pesos a la tercera tanto como a las dos primeras
juntas, menos 1,000 pesos y a la cuarta se le entregó el resto del dinero.
¿Cuánto le correspondió a esta última?.
a) 1,575.80 b)1,33 0.60 c)l,575.8 d)2,848.40 e)N.A.

29
4. En el presente problema hallar: E = (A+B) - (C+D)
79 sumandos 6 5 6 5 6 5 6 5. . . . . . . 6 5 6 5 +
6 5 6 5 6 5 6. . . . . . . 5 6 5 6
6 5 6 5 6 5. . . . . . . 6 5 6 5
6 5 6 5 6. . . . . . . 5 6 5 6
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
6 5 6 5
6 5 6
6 5
6
4 7 3 9
D C A B
a) 12 b) 6 c) 5 d) 2 e) N.A
5. Si se sabe que: a + b + c = 27 - d - (e + f)
Hallar: E = abcdef+bcdefa+fabcde+cdefab+efabcd+defabc
Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.
a) 27 b) 29 c) 35 d) 54 e) Faltan datos
6. Si sabemos que
300 cifras 200 cifras
A = 999 . . . . . . . . . . 9999 B = 848484. . . . . . . . . .84

30
178 cifras 200 cifras
C = 313131 . . . . . . . . . . 313131 D = 656565 . . . . . . . . . .6565
Hallar entonces : E = A + E - ( D - C )
Dar como respuesta la suma de las cifras del resultado
a) 865 b) 346 c) 858 d) 820 e) N.A.
7. Hallar la suma de las cifras del resultado de multiplicar: abc x 512; sabiendo
que la suma de los productos parciales (sumados convencionalmente) nos
da 4096
a) 32 b) 19 c) 25 d) N.A. e) Faltan datos
8. Hallar E = (b + c) - ( a + d), si en el producto:
abcd x 95, la diferencia de los productos parciales en 15,372.
a) 12 b) 8 c) 5 d) 6 e) N.A.
9. Un comerciante adquirió 780 naranjas a 4.48 pesos cada una, y por cada
docena que compraba le regalaban una. A cómo debe vender cada una de las
que le quedan luego de haber perdido 12 naranjas, si quiere obtener una
utilidad de 1,075.20.
a) $5.85 b) $5.00 c) $5.50 d) $6.10 e) N.A.
10. Un vendedor de manzanas compra 152 Kg. de ellas a $15= el kg. después de
haber vendido 32 Kg. a 18 cada kilo, guarda el resto por varios días
malográndose el 30%. A cómo debe vender el Kg. de lo que le queda para
que pueda obtener un total de 144 pesos de ganancia?.
a) $22 b) $20 c) $19 d) $21 e) N.A.

31
11. Ivonne y Mariela tienen 10 y 8 naranjas respectivamente. Cuando se prestaban
a comerlas llega Fernando, con quien comparten las naranjas; comiendo
todos por igual. Al retirarse Fernando saca 60 de su bolsillo y le da 30
acada una como agradecimiento por su acción; sorprendentemente Ivonne
se niega a recibirlos aduciendo que la repartición del dinero ha sido injusta
y que a cada una se le debe dar de acuerdo al número de naranjas que cada
una de ellas haya recibido Fernando. Finalmente, luego de reflexionar,
Fernando se da cuenta del error que habla cometido en el reparto del dinero
y le da a Ivonne lo que le corresponde. Tal suma es
a) $ 35 b) $ 45 c) $ 55 d) $ 40 e) $ 20
12. Se ha repartido una ración de vino a todos los soldados de una guarnición Si
se sabe que con un litro alcanzaba para dos raciones y media, y que el tonel
de 210 litros ha costado 787 50 pesos. Se desea saber cuántos soldados
intervinieron en la maniobra sabiendo que el vino nos ha ocasionado un gasto
total de 40,950 pesos.
a) 23,700 soldados b) 27,300 soldados c) 20,730 soldados
d) 20,073 soldados e) 20,037 soldados
13. Un cañon dispara 35 balas cada hora y otro solamente 24 balas en el mismo
tiempo y cuando empezó a disparar el segundo, el primero ya habla estado
disparando 3 horas. Hallar la suma de las cifras de los números que representan
la cantidad de cañonazos que cada uno habla disparado hasta que en total
entre los dos dispararon juntos 518 cañonazos y desde que ambos dispararon
juntos.
a) 26 b) 31 c) 29 d) 32 e) N.A.
14. Pedrin ha vendido 20 bicicletas y 40 motos por un precio total de $53,600.=,
que excede en 6,000 pesos a lo que en total pagó por todos ellos.
Si el costo de una moto es el cuádruple que el de una bicicleta, aunque las
utilidades que cada una de ellas produce están en relación a la de sus costos;

32
digase ¿Cuál es la diferencia entre los precios de costo de una bicicleta y una
moto?
a) $690 b) $960 c) $l,280 d) $320 e) N.A.
15. En cierta feria salen premiados un juego; 20 adultos, 10 mujeres y 5 niños,
recibiendo entre todos ellos un total de 9,250 pesos. Si sabemos que una
mujer recibe tanto dinero como 2 niños y que un adulto recibe tanto como 4
mujeres. ¿Cuál es la diferencia entre lo que reciben 2 adultos y 3 mujeres?.
a)$400 b) $960 c) $1.280 d) $320 e) N.A.
16. Para la sala de un teatro se habían proyectado cierto número de filas con 35
butacas cada uno; pero por disposición de la Gerencia, el mismo número
total de butacas que hablan inicialmente proyectado, se distribuyen ahora
aumentando 18 filas y disminuyendo 14 butacas en cada una. Diga usted
cuál es el número total de butacas que se han proyectado.
a) 915 b) 855 c) 682 d) 945 e) N.A.
17. Con un cierto número hago las siguientes operaciones: lo elevo al cuadrado,
al resultado le quito 15 y lo multiplico por 3, al número así obtenido 10
divido entre 6 y luego lo elevo al cubo, obteniendo un número al cual luego
de aumentarle 19 unidades le extraigo raíz cuadrada para obtener 12 como
resultado final. Siendo positivo el número que tenía inicalmente, diga ¿Cuál
de los siguientes es el doble de él?.
a) 10 b) 6 c) 14 d) 21 e) 12
18. Hacerle un “favor” a un amigo significa lo siguiente : Darle pesos luego
duplicarle el dinero que tenga después que le di 10 pesos y para no
perjúdicarme tanto, cobrarle 15 por cada “favor”.
a) $14 b) $ 3 c) 5 d) 2 e) N.A.
+

33
OPERACIONES COMBINADAS
El presente capitulo, tiene por objeto presentarle un método bastante simple de
resolver cierto tipo de problemas, los cuales muchas veces se resuelven por
ecuaciones, las que acarrean un mayor uso de tiempo en la solución.
I. Suma y diferencia
Si de dos números nos dan como datos su suma (S) y diferencia (D) pidiéndonos
hallar ambas cantidades, procederemos de la siguiente manera:
SUMA + DIFERENCIA S + D
No. mayor = =
2 2
SUMA - DIFERENCIA S - D
No. menor = =
2 2
1.
La suma de 2 números es 800 y su diferencia 200. Hallar cada uno de ellos.
Solución
800 + 200
No. mayor = = 500
2
S = 800 800 - 200
D = 200 No. Menor = = 300
2
+

34
2.
La suma de 2 cantidades es 11/10 y el menor es 1/10 menos que el mayor. Dichos
números son:
Solución
En este caso:
11/10 + 1/10 12 3
Suma = 11/10 No. mayor = = =
2 20 5
11/10 - 1/10 10 1
Diferencia = 1/10 No. menor = = =
2 20 2
3.
- ¿Qué hora? le pregunta Juan a José
- José le responde Quedan del día 8 horas menos que los transcurridos.
- Decir : ¿Qué hora es?.
Solución:
En el momento en que usted está leyendo este problema, notará que del día han
transcurrido cierto número de horas y aún faltan transcurrir otras, para que el día
acabe. Esta situación se produce en cada momento del día, es decir, en todo
instante hay horas transcurrida. y horas que faltan transcurrir, y ambos tipos
de horas se completan entre sí para dar las 24 horas del dia, ¿No es asi?.
En nuestro problema las horas que quedan son 8 menos que las transcurridas, es
decir, su diferencia es 8. Entonces:

35
24 + 8
HORAS TRANSCURRIDAS = No. Mayor = = 16 horas
2
Quiere decir, que si han transcurrido 16 horas del día, son las 4 p.m.
4.
Cuando un buque navega en un río en el sentido de la corriente la velocidad que
desarrolla es 80 Krn/h. y cuando lo hace en contra de ella su velocidad es de 20
Km/h. Si se sabe que ambos casos el motor funciona a plena potencia, Diga:
¿Cuál es la velocidad de la corriente?.
Solución
* Suponga usted que en estos momentos se encuentra en una lancha sobre el rio
Amazonas, Si navega a favor de la corriente, la velocidad de la lancha se verá
aumentada en el valor de la velocidad de la corriente que favorece al
movimiento, es decir en este caso ambas velocidades se suman. ¿De acuerdo?.
* Cuando vaya usted en contra de la corriente las velocidades se restarán
¿Porqué?.
No olvide además que para que usted pueda viajar en contra de la corriente, la
velocidad de la lancha tiene que ser mayor que la velocidad de la corriente ¿Por
qué?
Entonces tenemos
80 + 20
No. Mayor = V. Lancha = = 50 Km/h
2
80 - 20
No. Menor = V. Corriente = = 30 Km/h
2

36
5.
Un campo de forma rectangular tiene 180 metros de perímetro. Calcular su área,
sabiendo que el largo excede el ancho en 18 metros.
Solución
* El perímetro de un rectángulo es dos veces la suma de sus 2 lados, ¡Demuéstrelo
usted!
* Entonces, si el perímetro vale 180 m. la suma de sus 2 lados será 90 mts.
* Que una cantidad A exceda a otra B en una cantidad “m” significa; primero
que A es mayor que B y además que la diferencia entre ambos equivale a “m”
es decir, A - B = m.
En nuestro caso la diferencia entre largo y ancho es 18 mts. puesto que el
largo EXCEDE el ancho en tal cantidad. ¿De acuerdo?.
Entonces
90 + 18
LARGO = No. Mayor = = 54 m
2
90 - 18
ANCHO No. Menor = = 36 m
2
El área será : 54 x 36 = 1.994 m2
6.
Entre 2 personas tienen 196 pesos. Si una de ella diera a la otra, los 2 tendrían
iguales cantidades. ¿Cuánto tiene la mayor?.

37
Solución
En este caso la suma es $ 196
La diferencia es 2 x 8 = $ 16. Explique usted porqué?
Entonces:
196 + 16 212
No. Mayor = = 106 pesos
2 2
PROBLEMAS PROPUESTOS
* Tiempo de Duración 20 minutos
1. Hallar el mayor de 2 números sabiendo que su suma es el máximo número de
3 cifras y diferencia es máximo número de 2 cifras en el sistema decimal. El
duplo del mayor es:
a) 1.098 b) 2989 c) 1,198 d) 900 e) 918
2. Qué hora será dentro de 3 horas, si en este momento las horas transcurridas
son excedidas en 10 por las que aún no han pasado?
a) 7p.m b) 10 a.m c) 10 p.m d) 5 p.m e) 8 p.m
3. Agosto trae 30 días. Mi cumpleaños será aquel día en el cual los días que ya
haya vivido, excederán el doble de 6 a los que aún falten vivir de aquel mes.
Qué día de Agosto es mi cumpleaños.
a) 22 Agost. b) 9 Agost. c) 21 Agost. d) 12 Agost. e) N.A

38
4. Una botella con su tapa cuesta $ 3.50 y la tapa sólo cuesta 0.50 menos que la
botella. ¿Cuánto vale la botella?.
a)$ 3. b) $ 2.= c) 1.50 d) 3.50 e) 2.75
5. Una aguja con soporte vale $ 11/16 y el soporte vale 1/16 menos que la
aguja. ¿Cuánto vale esta?
a) $ 2 2/23 b) 2 3/2 c) 1/8 d) 3/8 e) N.A.
6. El doble del perímetro de un rectangulo es 816 mts. y el ancho tiene 8 metros
menos que el largo. El área es m2
es
a) 39,984 b) 39,489 c) 3,264 d) 38,994 e) N.ant.
7. Es una fiesta en la cual hay 42 personas, la primera dama baila con 7 caballeros,
la segunda con 8, la tercera con 9, y así sucesivamente hasta que la última
baila con todos los caballeros. ¿Cuántos caballeros hay?.
a) 24 b) 16 c) 18 d) 20 e) 30
8. Jaime tiene 20 años más que Patty,
dentro de 20 años ambos tendrán 76
años. ¿Cuántos años tenía Jaime hace 3 años?.
a) 25 años b) 5 años c) 25 años d) 33 años e) 28 años
9. Se compran 2 piezas de género, una de ellas ha costado $ 600. y la otra $
2.000. Un metro de la segunda vale $ 10 más que un metro de la primera, y
con $ 70 puede comprarse un metro de cada una,. ¿Cuántos metros de género
se tienen en total?
a) 60 mts b)70 mts c) 20 mts d) 50 mts e) 65 mts

39
CAPITULO II
OPERADORES MATEMATICOS
1. CONCEPTO :
Son símbolos especiales de operación que tiene por finalidad realizar operaciones
combinadas (Suma, resta, .. etc.) por medio de una estructura matemática
previamente definida.
2. SIMBOLOS :
* = operador asterisco.
π = operador pi.
β = operador Beta.
ω = operador omega.
En caso que no se conozcan el nombre del símbolo se denomina operador
matemático, tales como :
Λ = operador matemático.
~ = operador matemático.
3. APLICACIÓN :
1. Si : m*n=m2
+n2
Hallar : 5*3=
a) 34 B)7 c)8 d)15 e)5/3

40
Solución :
Según la estructura matemática
m*n=m2
+n2
↓ ↓ ↓ ↓
5 *3=52
+ 32
= 34 Rpta. “a”
2. Si (a∇b)Y
= (a+b)/(a-b)
Calcular : (9∇7)Ψ
- (3∇1)Ψ
a) 12 b)60 c)8 d)6 e)16
Solución :
La estructura matemática indica que ha de sumar en el numerador y restan en un
denominador, entonces :
(9∇7)Ψ
- (3∇1)Ψ
(9+7)/(9-7)-(3+1) (3-1) = 8-12 = 6 Rpta.“d”
3. Si:
2
yx
yx
+
=∫ Hallar:
∫ ∫ ∫ )26()3735(
a)2 b)9 c)2 d)13 e)N.A.

41
Solución:
En este ejemplo se realiza primeramente lo que está en el paréntesis.
∫ ∫ ∫ )26()3735(
2
2
26
26
2
26
2
3735
=
+
=
++
∫
∫
Rpta. “c”
4 Dada la siguiente tabla :
3L3=30
3L0=3
0L3=3
Calcular : 3033L 303
a)3,333 b)300 c)60606 d)3336 e)30,000
Solución :
En este ejemplo no se da una estructura matemática literal, pero si una tabla que
permite establecer la regla.

42
Luego:
↓↓↓↓
3033 L Realizando el sentido de la flecha y aplicando la tabla :
303
0 3L3=30 ponemos “0” llevamos “3”.
3033 L seguimos en la siguiente flecha, 3L0=3 según la tabla, pero
303 como levamos 3 à 3L3=30, ponemos “0” llevamos “3”
00
3033 L continuamos en la flecha siguiente 0L3=3 como llevamos 3
303 implica #L#=30 ponemos “0” llevamos “3”
3033 L Luego 3 opera con el 3 llevamos 3L3=30 como no hay más
303 que realizar ponemos 30 quedando la operación.
30000
5. Dada la siguiente relación :
KΦ
= K2
-5 y Hα
I= HΦ
IΦ
Efectuar : 7α
3+4α
5
a)1 1/15 b)2.11 c)19 d)11.55 e)0
Solución : Aplicando según el operador a, luego con el operador Φ.
7α
3 +4α
5
7Φ
+ 4Φ
3Φ
5Φ
7 5
3 5
4 5
5 5
44
4
1155
2
2
2
2
−
−
+
−
−
= = . Rpta. “d”

43
6. Si.
= ÷ψ Σ ∫
El valor de: es:
por
a) 3.6 b) 1.2 c) 0.1414 d) 0.2777 e) 2/3
Solución: Realizando por separado, se tiene:
= 51
/ 32
= 5/9, = 43
/ 25
= 2
Reemplazando : 5/9¸2= 5/18 = 0.27777 rpta. “d”
7. Encontrar el resultado de: 20λβ 10-1
siendo: pλβ 1/q= °∈=π
π
π ∈
+
+
)sen(p80
25p
Σ
∫
∂
Ψ
5
2
1 3
4
5
3 2
5
2
1 3
4
5
3 2

44
a) 1 b)
2
2
c)2 d) 7 e) 0
Solución: Efectuando y operando:
20λβ 10-1
= 20λβ (1/10) = 2
2
1
2
2
90sen
45Sen
90
45
1080
2520
==
°
°
=
π
π
=
π
π
+
+
8) Dada las siguientes relaciones:
~(l) = 0, l(~) = -1
∇( →) = , →(∇) = 25
¿Cuál de estas expresiones es correcta?
a): {→(∇)}{~(l)} = +1
β): {l(~)}{∇(→)} = -1
λ): {→(∇) +~(l)} ∇(→) = 625
a) Sólo α b)Sólo β d) Sólo λ d) α y λ e) α,b,λ
Solución: Reemplazando valores en: α, β, λ , se tiene:
α) {25}0
= Correcto
β) {-1}-2
= {1/-1}2
= -1, Incorrecto
λ) { 25+0}2
= 625 correcto
Rpta. “d”

45
9) Si:
↑↓ 2 5 3
2 20 5 3
5 5 10 23
3 2 23 50
Hallar: 523 ↑↓ 523
a) 503 b) 5002 c) 305 d) 758 e) 532
Solución:
La forma de efectuar el operador en el cuadrado es mediante la intersección de la
línea horizontal con la línea vertical; luego se opera igual al problema No 4.
2 3 5 ↑↓ 5↑↓3=23 Obtenemos del cuadro ponemos 3 llevamos 2
5 2 3 Quedando 3 llevamos 2 quedando.
3
2 3 5 ↑↓ Siguiendo 3↑↓2 = 2 (del cuadro) como llevamos 2
entonces
5 2 3 2 ↑↓2 = 20 ponemos “02 llevamos 2
0 3
2 3 5 ↑↓ Igualmente 2↑↓5 = 5 pero como llevamos 2 resulta
5↑↓2 = 5
5 2 3 Finalmente queda 503 Rpta “a”
5 0 3
10) si se cumple la relación:
5 ≤ p < 12 → P ~
= P + ½
5≤ p<3 → P~
= P – ½

46
calcular :
≈
≈
≈≈












−
−
=
)5.2(
)5.0()
2
1
5(
H
a) 0 b) –2.5 c) 0.5 d) 5 e) 9
Solución:
Realizando las condiciones por parte
(5 ½ ~
) : 5 ≤ 5 ½ < 12 → 5 ½ + ½ = 6
(0.5)~
: -5 < 0.5 < 3 → 0.5 – ½ = 0
(-2.5)~
: -5≤ -2.5 < 3 → -2.5 – ½ = -3
Luego: {(6-0)/-3}~
= (-2)~
→ -2 – ½ = -2.5
Rpta. “b”
11) Si:
A#= B, C#=D a) 2D
B#= E , E#=C b) 0.5
c)2
Hallar: d) E
((A#)# + E # e) 2C
(B#)#

47
Solución: Según los datos se tiene que realizar la operaciones así:
((A#)# + E # = (B#)# = E# = C
Reemplazando: C+C = 2C = 2
C C
Rpta. “c”
12) Dada la siguiente tabla:
103*30=106
120*14=125 Hallar el valor de la operación
361*37=371 605*132
a) 608 b) 613 c)737 d) 696 e) 611
Solución:
El valor de la tabla se obtiene de sumar el primer número con la suma de us
cifras del segundo número:
103+3+0= 106
120+1+4= 125
361+3+7= 371
Luego 605+1+3+2 = 611 Rpta “e”

48
13) Si: m = m y m = m2
+ 2m +1
Calcular [ 13 + 3 ] / 1
a) 328 b) 228 c) 114 d) 57 e) N.A.
solución:
Comenzamos empleando el operador círculo y luego el operador cuadrado.
m = m2
+2m +1
13 = 132
+2x13 + 1 = 196
1 = 12
2x1 +1 = 4
3 = 2 3 = 2( 32
+2x3 + 1) 32
Reemplazando: (196 +32) /4 = 228/4 = 57 Rpta. “d”
14) Siendo: AS/.B = logB
A , A%B = logA
BA
Hallar: (8/.2 +2%4) S/.9
a) 2 b) 7 c) 1/7 d) 0.5 e) Faltan datos.
Solución: Es un operador donde se emplea logaritmos, quizás muchos de los
estudiantes no dominan el logaritmo.
+

49
Le doy una idea del concepto de logaritmo, así: “El logaritmo es el exponente
que eleva la base para obtener el número dado”, ejemplo:
25
= 32 transformado a logaritmo log2
32 = 5
donde, el número es 32, la base es 2 y
el exponente 5. Porque 5 es el exponente que eleva a la base 2 para obtener 32.
Veamos otro ejemplo:
0.25-4
= 256 a logaritmo será log0.25
16 el exponente es 4
Entonces nos queda: (3+4) S/49 → 7S/49
Ahora nuevamente empleamos el operador signo (S/)
7 S/ 49 = log49
7 el exponente es ½ Rpta “d”
15) Si:
a
b
= 4a
- 3b
Hallar
3
2
5
X
4
1
3
a) 31 b) 62 c) 27 d) 33 e) 360
+

50
Solución: efectuando por separado
3
2
= 4 (3) - 3(2) = 6
3
2
5
=
5
6
= 4(5) -3(6) = 2
1
3
= 4(1) - 3(39) = -5
4
1
3
=
4
-5
= 484) -3(-5) = 31
Ahora como nos pide el producto del 2 x 31 = 62 Rpta “b”
16) Si R α P = 3R – 2P Y R λ P = 5R +P
Calcular: (Bα4) λ (5λ2)
(6λ2)α(2α3)

51
Solución: Efectuando por parte según la condición, así:
RαP=3R-2P RλP= 5R+P
8α4=3(8)-2(4) 5λ2=5(5)+2
8α4= 16 5λ2=27
Luego para el Igualmente
siguiente efectuando para:
2α3=3(2)-2(3) 6λ2=5(6)+2
233=0 6λ2= 32
Ahora reemplazando y nuevamente efectuando con las condiciones dadas:
16λ27 = 5(16)+27 = 107 Respuesta.
32α0 3(32)-2(0) 96
17) Dado la siguiente forma de operación en:
(aΞB)¹ = A% (I)
B%
(A-B)%
M% = 1x2x3x4x . . . xM (II)
Hallar: (7Ξ5)≠ + (8Ξ3)≠
Solución: empezamos aplicando la condición (I), después la condición (II)
simplificamos, veamos:

52
(7Ξ5)≠ = 7%
= 1x2x3x4x5x6x7 = 21
5%
(7 - 5%
) 1x2x3x4x5x1x2
(8Ξ3)≠ = 8%
= 1x2x3x4x5x6x7x8 = 56
3%
(8 - 3%
) 1x2x3x1x2x3x4x6
Por tanto la respuesta será: 21+56 = 77
18) Dada la siguiente operación:
A,B = 2A - B , X = 6X + 7
Calcular el valor de N en:
N,5
= 25
Solución: el operador rectángulo que se encuentra en el triángulo hace la función
de X luego:
6 N,5 + 7 = 25 resolviendo queda:
N,5 = 3
Ahora aplicamos la condición del operador rectángulo, así:
Entonces: 2(N)-5 = 3 → N= 4 Respuesta

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