Razonamiento+matemático+3+ +intelectum
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Este documento presenta la estructura y contenido del libro de Razonamiento Matemático para tercer grado de secundaria. Consta de cuatro unidades que abordan temas como ecuaciones, edades, móviles, cronometría, entre otros. Cada unidad incluye lecturas motivadoras, contenido teórico, problemas resueltos, actividades y ejercicios de refuerzo. El objetivo es desarrollar las habilidades de razonamiento lógico, operativo y organizativo en los estudiantes.
Resolución:
(7 - 11) = 3
2
7
2
11 9
+ = =
(24 . 9) = 5
3
24 9
3
15
- = =
(30 - 20) = 5
2
30
2
20 25
+ = =
Reemplazando:
E = [3 - 5]5
E =
2
3
2
5
5
+
< F
E = 45
E = 25
E = 32
9 Si:
;
;
a b
a b a b
a b a b
2
<
$
q =
+
+
*
Halla el valor de: (2 q 1) q (2 q 3)
Resolución:
(2 q 1) = 2(2) + 1 = 5
(2 q 3) = 2 + 3 = 5
Reemplazando:
(2 q 1) q (2 q 3)
5 q 5
2(5) + 5
10 + 5
15
10 Se define:
a =
; " "
; " "
a si a es par
a si a es impar
2
2
2
1
2
2
+
-
Z
[
]
]
]
]
Calcula: 7 + 10 + 3 - 8
Resolución:
7 = 24
2
7 1
2
48
2
- = =
10 = 51
2
10 2
2
102
2
+ = =
3 = 4
2
3 1
2
8
2
- = =
8 = 33
2
8 2
2
66
2
+ = =
Reemplazando:
7 + 10 + 3 - 8
24 + 51 + 4 - 33
46](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-68-320.jpg)
![72 Intelectum Evolución 3.°
9 Si: a * b = (2a + b)b.
Calcula el valor de x en la expresión: (x * 3) = 27
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
10 Si: (x – 3) % (2y) = y(x + 1), halla el valor de: 7 % 8
A) 40 B) 44 C) 48
D) 36 E) 32
11 Si: @
x y x y
2 2
3
1
= +
Halla:
@
@
R
3 1
6 10
=
A) 6 B) 7 C) 8
D) 10 E) 64
12 Si: c * y = c - y
Calcula: [(4 * 3) * (12 * 13)] * [8 * (6 * 4)]
A) 9 B) 14 C) -4
D) 22 E) 26
NIVEL 2
13 Si se sabe que:
a $ b = 2ab – 13
a % b = 45 – 3ab
Calcula: (4 $ 3) % (1 $ 7)
A) 12 B) 10 C) 8
D) 9 E) 15
14 Sabiendo que: a * (a + b) = ab
Halla x en: 5 * x = 15
A) 2 B) 3 C) 8
D) 5 E) 0
15 Si: 3 .
a b a b
2
2
=
:
Halla: 27 8
:
A) 96 B) 100 C) 104
D) 108 E) 112
16 Se define:
a [ b = ab + 1
- ba - 1
Calcula el valor e:
M = 6 [ 2
A) 28 B) 76 C) 88 D) 108 E) 128](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-72-320.jpg)
![75
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2
33 Si sabemos que:
a* = 2a + 1, si a es par
a* = 2a + 2, si a es impar
Halla: (2*)*
A) 2 B) 4 C) 12
D) 6 E) 10
34 Si: ; ; ( 1)
a
a
a b
b
b c c
1
2 1
#
2
2
=
-
+ = - = -
3 4
Halla: ((2 ) )
# 3 4
A)
3
95 B)
16
121 C)
16
81
D)
14
105 E)
17
93
35 Si: [x] = n + n < x < n + 1; 6 n ! Z, x ! R.
Halla: [2,5] + [-2,5]
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2
36 Si:
a + 1; si a $ b
b + 1; si a < b
a * b =
Calcula: [(4 * 3) * (12 * 13)] * [8 * (6 * 4)]
A) 9 B) 14 C) 16 D) 22 E) 26
37 Se define:
a2
– b2
; si a es par
a2
+ b2
; si a es impar
a * b =
Calcula: (2 * 1) * (1 * 2)
A) 25 B) 30 C) 32
D) 34 E) 36
38 Si se sabe que:
(-1)a
; si a es par
(-1)b
; si a es impar
a * b =
Calcula: (8 * 9) + (5 * 6)
A) 0 B) 1 C) –1
D) 2 E) –2
NIVEL 1
1. C
2. E
3. C
4. C
5. B
6. A
7. B
8. E
9. A
10. B
11. E
12. C
NIVEL 2
13. A
14. C
15. A
16. C
17. E
18. C
19. B
20. C
21. D
22. B
23. B
24. E
25. E
NIVEL 3
26. C
27. D
28. D
29. C
30. C
31. D
32. C
33. C
34. B
35. C
36. C
37. D
38. D
Claves](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-75-320.jpg)
![110 Intelectum Evolución 3.°
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)
Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, el valor de
la otra magnitud también aumenta o disminuye en la misma proporción. El cociente de
sus valores correspondientes permanece constante.
(Valor de A) DP (Valor de B) &
B
A = constante
Ejemplo:
Beatriz realiza las compras en el mercado, en el cual adquirió 6 kg de arroz por un costo
de S/. 15, comparando las magnitudes peso y costo tendremos:
Peso (kg) 2 6 12
Costo (S/.) 5 15 30
÷ 3 # 2
÷ 3 # 2 Peso (kg)
12
5
15
30
6
2
Costo (S/.)
Conclusión:
• Si el peso adquirido se duplica (6 # 2 = 12) el costo también se duplica (15 # 2 = 30).
• Si el peso adquirido se reduce a la tercera parte (6 ÷ 3 = 2) el costo también se redu-
ce a la tercera parte (15 ÷ 3 = 5).
( )
( )
.
Valores Costo
Valores Peso
cte
5
2
15
6
30
12
= = = =
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP)
Dos magnitudes son IP si cuando el valor de una de las magnitudes aumenta o
disminuye, el valor de la otra magnitud disminuye o aumenta, respectivamente en la
misma proporción. El producto de sus valores correspondientes permanece constante.
(Valor de A) IP (Valor de B) & A # B = constante
Ejemplo:
12 obreros pueden realizar un trabajo en 6 días, comparando las magnitudes número
de obreros y número de días, tendremos:
n.° de obreros 4 12 24
n.° de días 18 6 3
÷ 3 # 2
# 3 ÷ 2
n° de
obreros
n° de días
3
6
18
12 24
4
Conclusión:
• Si el número de obreros se duplica (12 # 2 = 24) el número de días se reduce a la
mitad (6 ÷ 2 = 3).
• Si el número de obreros se reduce a la tercera parte (12 ÷ 3 = 4) el número de días
se triplica (6 # 3 = 18).
[Valor (n.° de obreros)][Valor (n.° de días)] = 4 # 18 = 12 # 6 = 24 # 3 = cte.
Magnitudes proporcionales
Atención
La gráfica de dos magnitudes
DP resultan ser puntos sobre
la recta.
(A) DP (B)
&
Valor de B
Valor de A = constante
Atención
La gráfica de dos magnitudes
IP resultan puntos sobre una
hipérbola equilátera.
(A) IP (B)
& (Valor de A)(Valor de B)
= constante](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-110-320.jpg)
![Intelectum Evolución 3.°
208
5 Halla el área de la región sombreada.
(ABCD es un cuadrado, y B y D son centros deAC
!
)
B C
A 12 cm
12 cm
D
Resolución:
Trazamos la diagonal AC para hallar el área por
diferencias:
B C
A 12 cm
12 cm
D
Luego:
Asombreada = 2[A ADC - A ADC]
= 2 . .
4
12
2
12 12
2
π -
< F
= 2(36p - 72)
= 72p - 144
= 72(p - 2) cm2
6 Halla el área de la región sombreada (ABCD es un
cuadrado y “O” centro del cuadrado).
B C
A 8 cm
8 cm
O
D
Resolución:
Trazamos la diagonal OD y procedemos de manera
análoga al problema anterior para hallar el área:
B C
A M 4 cm
4 cm
O
D
Luego:
Asombreada = 8[A OMD - A OMD]
= 8 . .
4
4
2
4 4
2
π -
< F
= 8(4p - 8)
= 32p - 64
= 32(p - 2) cm2
7 Halla el área de la región sombreada (ABCD es un
cuadrado y AED es un triángulo equilátero).
B C
A
12 cm
12 cm D
E
Resolución:
Trazamos la altura EH (H ! BC); la cual será
igual a la diferencia entre el lado del cuadrado
y la altura del triángulo equilátero.
B H C
A 6 cm 6 cm
12 cm
60°
30°
D
6 3
12 - 6 3
Luego:
Asombreada =
2
12 12 6 3
-
_ i
= 6 12 6 3
-
_ i
= 72 - 36 3
= 36 2 3
-
_ i cm2](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-208-320.jpg)
![209
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4
8 Halla el área de la región sombreada.
1 cm
1 cm
O
A
B
r
Resolución:
Q
O
A
B
r
P
r
1 - r
En el OQP, por Pitágoras:
r2
+ r2
= (1 - r)2
2r2
= 1 - 2r + r2
r2
+ 2r = 1
r2
+ 2r + 1 = 2
(r + 1)2
= 2
& r = 2 -1
Finalmente:
Asombreada = 2 1
2
π -
_ i
= 2 2 2 1
π - +
_ i
= 3 2 2 π
-
_ i cm2
9 Calcula el área de la región sombreada.
O
3 B
A
C
M
60°
Resolución:
Trazamos MO, entonces se forma un triángulo
equilátero y un sector circular cuyo ángulo es
120°.
O B
A
C
M
60°
60°
120°
Del gráfico:
Asombreada = A CAB - (ATAMO + A MOB)
= . . . .
360
6 60
4
3 3
360
3 120
2 2 2
π π
- +
d n
= 6p -
4
9 3 - 3p
= 3
4
9 3
π -
b l
= 3( )
4
3 3
π - cm2
10 Halla el área de la región sombreada.
A N
M
B
a cm
a
a cm a cm
Resolución:
Del gráfico:
Asombreada = A AB - [2 MN + 2 ANM]
= . .
a a a
2 2
3 2
2 2
2
4
2 2 2
π π π
- +
b b
l l
< F
= . a a a
2 4
9
4 4
2
2
2 2
π π π
- +
< F
= a a
8
9
4
3
2 2
π π
-
= a
8
3 2
π cm2](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-209-320.jpg)
![217
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4
3. Simplifica:
( !)
( !) ( !)
P
100 100
101 100
2
2 2
=
-
Resolución:
! !
( !) ( !) ( !) ( !)
! !
!( ) !( )
P
P
P
P
100 100 100
101 100 101 100
100 100 100
100 101 1 100 101 1
100
102 100
102
# #
# #
#
=
+ -
=
+ -
=
=
6 6
6 6
@ @
@ @
4. Halla “n”, en:
( )!
( )!
( )!
( )!
29
n
n
n
n
n
6
8
5
7
+
+
-
+
+
= +
Resolución:
( )!
( )( )( )!
( )!
( )( )( )!
29
n
n n n
n
n n n
n
6
8 7 6
5
7 6 5
+
+ + +
-
+
+ + +
= +
(n + 7)[(n + 8) - (n + 6)] = n + 29
(n + 7)2 = n + 29
2n + 14 = n + 29
n = 15
PRINCIPIO DE ADICIÓN
Si el suceso “A” puede realizarse de “m” maneras y el suceso “B” de “n” maneras,
entonces el suceso “A” o el suceso “B” se pueden realizar de “m + n” maneras.
Ejemplo:
Un producto se vende en 3 mercados, en el primero se tiene disponible en 6 tiendas,
en el segundo en 5 tiendas y en el tercero en 7 tiendas. ¿De cuántas maneras una
persona puede adquirir un artículo de dicho producto?
Resolución:
Como son 3 mercados y tenemos que decidir a cual vamos a ir, entonces:
n.° de maneras = 6 + 5 + 7
= 18
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Si un evento “A” se puede efectuar de “m” maneras y para cada una de estas, otro
evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos “A” y “B” se pueden
efectuar simultáneamente (o uno seguido del otro), de “m # n” maneras.
Ejemplo:
¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado
simultáneamente?
Resolución:
- Al lanzar una moneda puede salir cara o sello, luego hay 2 posibilidades.
- Al lanzar un dado puede salir: 1; 2; 3; 4; 5 ó 6, hay 6 posibilidades.
- Por lo tanto: n.° de resultados diferentes = 2 # 6 = 12
Recuerda
m2
- n2
= (m + n)(m - n)
Atención
(n + m)! ! n! + m!
(n # m)! ! n! # m!
!
m
n
a k !
!
!
m
n](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-217-320.jpg)
![Intelectum Evolución 3.°
238
1. Unión (,)
A , B = {x / x ! A 0 x ! B}
A B
U
A , B = B , A
2. Intersección (+)
A + B = {x / x ! A / x ! B}
A B
U
A + B = B + A
3. Diferencia (-)
A - B = { x / x ! A / x " B}
A B
U
A - B
4. Diferencia simétrica (i)
A T B = { x / x ! (A , B) / x " (A + B)}
A B
U
A T B = B T A
5. Complemento
A' = AC
= A = {x ! U / x " A}
A
U
A'
NÚMERO DE SUBCONJUNTOS
Sea el conjunto A, el número de subconjuntos está dado por:
Número de subconjuntos de A = 2n(A)
Ejemplo:
B = {3; 5; 8}; n(B) = 3
Subconjuntos de B: {3}; {5}; {8}; {3; 5}; {5; 8}; {3; 8}; {3; 5; 8}; b
` Número de subconjuntos de B = 23
= 8
CONJUNTO POTENCIA
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. El número de
elementos del conjunto potencia está dado por:
n[P(A)] = 2n(A)
Ejemplo:
A = {2; 4; 6}
P(A) = {b; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {4; 6}; {2; 6} {2; 4; 6}}
n[P(A)] = 23
= 8
CONJUNTO UNITARIO
También llamado singletón o singular, es aquel conjunto que posee un solo elemento.
Ejemplo:
A = {x / x > 0 / x2
= 16}
Se observa que hay un solo número que cumple con la condición, y ese es x = 4, por lo
tanto el conjunto A es unitario: A = {4}
OPERACIONES CON CONJUNTOS
• A , B = B , A 1 B
• n(A , B) = n(A) + n(B) ,
A y B son disjuntos
• A + B = Q , A y B son
disjuntos
• A + B = A , A 1 B
Atención
• A - B = A , A y B son
disjuntos
• A - B = Q , A 1 B
• A T B = A , B , A + B = Q
• A T B = B - A , A 1 B
Recuerda
B 1 A' , A y B son disjuntos
B'1 A' , A 1 B](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-238-320.jpg)
![Actividades de razonamiento
241
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4
1. Si los siguientes conjuntos:
A = {27; 62x - y
} / B = {3x + y
; 216} son iguales, halla
el valor de 2x + 3y.
A) 5 B) 8 C) 7 D) 10 E) 6
2. Halla 3x2
+ 2y; sabiendo que:
C = {2x + y; 2y - x; x + 8} es un conjunto unitario.
A) 36 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28
3. Dados los conjuntos:
P = {x2
+ 1 / x ! N / 1 < x < 5}
Q = { x
2
1
- / x ! N / x es impar menor que 13}
Halla: P + Q
A) {5} B) {3; 5} C) {5; 8} D) {3; 8} E) {3; 5; 8}
4. Dados los conjuntos:
A = {x ! N / x = °
3 / 2 < x < 19}
B = {x ! N / x = °
5 / 3 < x < 28}
C = {x ! N / x es divisor de 21}
¿Cuántos elementos tiene A , B , C?
A) 10 B) 11 C) 15 D) 18 E) 13
5. Si: n(A , B) = 30; n(A - B) = 12 y n(B - A) = 8, halla:
5[n(A)] - 4[n(B)]
A) 42 B) 38 C) 48 D) 60 E) 56
6. Para 2 conjuntos A y B se cumple:
n(A) + n(B) = 16
n[P(A)] = 64
n[P(A , B)] = 4096
Calcula: n(B - A)
A) 8 B) 6 C) 9 D) 5 E) 10
7. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32
francés, 33 portugués y 5 los tres idiomas. Calcula
el número de personas que hablan solo 2 de estos
idiomas.
A) 35 B) 30 C) 40 D) 25 E) 50
8. De 32 personas se sabe que 13 ven televisión,
15 escuchan radio y 26 leen periódico. También
se sabe que 9 personas solo realizan una de las
3 actividades, mientras que hay 12 que realizan
exactamente 2 actividades. ¿Cuántas personas no
realizan ninguna de las 3 actividades?
A) 5 B) 3 C) 6 D) 8 E) 4](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-241-320.jpg)
![246 Intelectum Evolución 3.°
24 Si el conjunto A es unitario.
A = {2a - 3; 4b - 5; a + b + 6}
Calcula: a + b
A) 32 B) 28 C) 29 D) 25 E) 20
25 ¿Quéregióndeldiagramacorrespondealresultado
de la operación:
(AC
+ B) - (B + C)?
U
A B
C
4 5
1 2 3
A) 2 B) 5 C) 2 y 3
D) 3; 4 y 5 E) 1 y 6
26 El conjunto A tiene 15 subconjuntos propios.
Calcula el cardinal de A.
A) 5 B) 8 C) 2 D) 4 E) 1 y 6
27 Si A y B son dos conjuntos incluidos en U, tales que:
n(A) = 15; n(B) = 17 y n(A + B) = 7. Halla n(A T B).
A) 15 B) 10 C) 17 D) 16 E) 18
NIVEL 1
1. E
2. C
3. D
4. C
5. B
6. D
7. E
8. E
9. A
10. B
NIVEL 2
11. C
12. A
13. D
14. E
15. B
16. A
17. D
18. E
19. A
20. B
NIVEL 3
21. A
22. B
23. E
24. C
25. B
26. D
27. E
28. B
29. E
30. E
Claves
28 n[P(A - B)] = 8
n[P(B - A)] = 16
n[P(A , B)] = 512
Halla: n[P(A + B)]
A) 1 B) 4 C) 18 D) 5 E) 2
29 Si: A es un conjunto definido por:
A = {b; 3; 7; 8; {8}; {5; 7}; {1; 3; 8}}, indica qué
alternativa es incorrecta.
A) b ! A B) {b} 1 A C) {5; 7} ! A
D) {7; 8} 1 A E) {{5; 7}; {8}} ! A
30 Dado el conjunto: A = {a; b; {a; b}; {f}; c}, indica
qué alternativa es incorrecta.
A) {c} 1 A B) {f} ! A C) {a; b} ! A
D) {a; b; c} 1 A E) {a; b} j A](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-246-320.jpg)
![Actividades de razonamiento
250 Intelectum Evolución 3.°
1. ¿Qué figura continúa?
; ; ; ; ...
A) B) C)
D) E)
2. Delassiguientesfichas,¿cuálesdebenserinvertidas
para que la suma de los puntos de la parte superior
sea el triple de la suma de los puntos de la parte
inferior?
1 2 3 4 5
A) 2 y 4 B) 1 y 5 C) 2 y 3
D) 3 y 4 E) 1 y 2
3. ¿Por lo menos cuántos de los círculos numerados
deben ser cambiados de posición para que el
resultado sea 60?
{[( 12 - 3 ) + 8 ] ' 2 } Ç 5
A) 5 B) 2 C) 1
D) 3 E) 4
4. ¿Por lo menos cuántos recuadros numerados deben
ser cambiados de posición para que el resultado sea
el mayor entero posible?
{[( 4 + 1 ) - 2 ] Ç 5 } ' 3
A) 4 B) 0 C) 2
D) 3 E) 1
5. Completa la sucesión.
; ; ; ; ...
A) B) C)
D) E)
6. Halla la figura que continúa.
; ; ; ; ...
A) B) C)
D) E)
7. ¿Qué figura no corresponde con las demás?
Fig. 1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4 Fig. 5
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
8. ¿Qué figura no corresponde al grupo?
Fig. 1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4 Fig. 5
A) 5 B) 2 C) 3
D) 4 E) 1](https://image.slidesharecdn.com/razonamientomatemtico3-intelectum-220116163454/85/Razonamiento-matematico-3-intelectum-250-320.jpg)
Razonamiento+matemático+3+ +intelectum
- 2. Razonamiento Matemático Razonamiento matemático Tercer grado de Secundaria Colección Intelectum Evolución © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com www.editorialsanmarcos.com Responsable de edición: Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Eder Gamarra Tiburcio / Jhonatan Peceros Tinco Josué Dueñas Leyva / Saby Camacho Martinez Óscar Díaz Huamán Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores: Miguel Lancho / Carol Clapés Hurtado / Melissa Chau / Cristian Cabezudo / Vilma Jacquelín Añazco / Lourdes Zambrano Ibarra Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 9000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.° 2013-18811 ISBN: 978-612-313-116-6 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001300694 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com Impresión: Industria Gráfica Cimagraf S.A.C. Psje. Santa Rosa 220 - 226 N.º 220, Santa Angélica, Lima, ATE RUC 20136492277 La Colección Intelectum Evolución para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.º 0304-2012-ED. La divulgación de la Colección Intelectum Evolución se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.º 29839, norma que protege a los usuarios de prácticas ilícitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
- 3. Presentación El vocablo razonamiento proviene del verbo razonar que significa ‘inferir, conjeturar ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión’. Deestamanerapodemosafirmarqueelrazonamientomatemáticoesaquelladisciplina académica que basada en los conocimientos de la matemática busca desarrollar las aptitudes y las habilidades lógicas de los estudiantes para deducir una solución a un problema, para sacar una consecuencia de algo por indicios y conducir a un resultado. Teniendoenconsideracióncuánimportanteespotenciarlashabilidades,hemoselaborado el libro de Razonamiento matemático como un instrumento pedagógico que conllevará a esta meta. La estructura de cada libro está diseñada de acuerdo a los nuevos lineamientos de la educación cuyo objetivo es que todos desarrollen la capacidad de pensar, creativa y críticamente y procesen de manera exitosa los conocimientos. Nuestra propuesta pedagógica se inicia con páginas binarias conformadas por una lectura de contexto matemático que motivará al estudiante a conectarse con este conocimiento al corroborar que le servirá y le será imprescindible en su vida actual y futura. Complementan las binarias la sección Matemática recreativa, que propone un problema cuyas pautas para solucionarlo se darán a través de un diálogo entre los personajes de la colección (mediadores cognitivos). Continúa el Marco teórico desarrollado de manera clara y precisa en cuatro unidades, que tienen como soporte los problemas resueltos, donde desarrollamos diversas estrategias que entrenarán las capacidades específicas del estudiante. Todo este marco teórico es aplicado a la práctica a través de dos secciones: Actividades de razonamiento, para que el estudiante inicie la aplicación del conocimiento procesado. Al final de cada actividad hay un reto. Y la sección Refuerza practicando, que afianzará aún más la práctica con problemas propuestos por niveles, para que el avance sea de modo progresivo y se pueda ser capaz de afrontar nuevos y grandes retos. Todo lo propuesto en la colección contiene situaciones de aprendizaje variadas que permitirán obtener resultados cualitativos y cuantitativos en el proceso cognoscitivo de los estudiantes. Nuestro firme propósito es formar jóvenes capacitados, preparados, competitivos, eficientes y eficaces. ¡A esforzarse y a triunfar!
- 4. Estructura del libro Página que inicia la unidad Conformada por una lectura matemática de contexto cotidiano que conducirá al estudiante a una motivación concreta al comprobar que la matemática está asociada a su entorno real. Matemática recreativa Sección que inicia de manera entretenida y divertida los conocimientos con un problema matemático que a través de un diálogo entre los personajes de la colección (mediadores cognitivos) se proporcionarán las pautas para solucionarlo. Contenido teórico Compuesto por una variedad de conoci- mientos enfocados en el razonamiento aritmético, razonamiento algebraico y ra- zonamiento geométrico los que a su vez ponen en práctica el razonamiento lógico abstracto, el razonamiento operativo y el razonamiento organizativo. El desarrollo de cada tema se ha hecho con criterio pedagógico teniendo en cuenta el grado académico.
- 5. Problemas resueltos Gran cantidad de problemas desarrollados por tema donde aplicamos diversas estrategias que entrenarán las capacidades del estudiante. Actividades de razonamiento Actividades propuestas para que el estudiante empiece su entrenamieto del conocimiento procesado; son actividades elaboradas también por tema. Al final de cada actividad hay un reto que el alumno debe intentar resolver. Refuerza practicando Problemas clasificados en niveles con la finalidad de que el alumno refuerce en forma progresiva y llegue preparado para enfrentarse a grandes y nuevos retos.
- 6. Contenido U1 Planteo de ecuaciones Planteo y resolución de problemas. 10 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 12 14 Edades Sujeto. Tiempo. Edad. 18 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 21 23 Móviles Tiempo de encuentro. Tiempo de alcance. Criterio de trenes. 27 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 30 32 Cronometría Problemas sobre campanadas. Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir. Problemas sobre adelantos y atrasos. Problemas sobre ángulos formados por las manecillas de un reloj. 36 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 42 44 Inducción - Deducción Razonamiento inductivo. Razonamiento deductivo. 47 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 50 52 Promedios Promedio aritmético (PA). Promedio geométrico (PG). Promedio armónico (PH). Promedio ponderado (PP). 56 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 59 61 U2 Operadores matemáticos Operación matemática. Operadores matemáticos convencionales. Operadores matemáticos arbitrarios. 66 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 69 71 Conteo de figuras Por conteo directo. Por inducción. 76 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 81 83 Fracciones Definición. Representación gráfica de una fracción. Principales tipos de fracciones (fracción propia, fracción impropia, fracción reductible, fracción irreductible, fracciones homogéneas, fracciones heterogéneas). Fracciones equivalentes. Relación parte-todo. Fracción generatriz. 88 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 93 95 Tanto por ciento Definición. Relación parte-todo. Descuentos y aumentos sucesivos. Variación porcentual. Aplicaciones comerciales. 99 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 104 106 Magnitudes proporcionales Magnitudes directamente proporcionales (DP). Magnitudes inversamente proporcionales (IP). Comparación simple. Comparación múltiple. Engranajes. 110 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 115 117 Orden de información Definición. Ordenamiento circular. Ordenamiento por cuadros de doble entrada. 121 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 128 131
- 7. U3 Sucesiones Concepto. Sucesiones gráficas. Sucesiones literales. Sucesiones numéricas. 138 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 142 144 Numeración Definición. Principios fundamentales. Numeral capicúa. Descomposición polinómica. Cambios de base. Representación literal de los números. Numeral de cifras máximas. Bases sucesivas. 147 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 153 155 Analogías y distribuciones numéricas Analogía numérica. Distribución numérica. Analogía gráfica. 158 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 161 163 Leyes de exponentes Definición. Potenciación(teoremas). Radicación (teoremas). 166 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 170 172 Productos notables Definición. Principales productos notables (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, desarrollo de un trinomio al cuadrado, desarrollo de un binomio al cubo, suma y diferencia de cubos, desarrollo de un trinomio al cubo, identidad trinómica de Argan’d, identidad de Gauss). 175 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 179 181 Relaciones de tiempo y parentesco Aplicaciones de relaciones de tiempo y parentesco. 184 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 187 189 U4 Razonamiento geométrico Triángulos. Clasificación según sus ángulos. Clasificación según sus lados. Líneas notables. Ángulos formados por bisectrices. Cuadriláteros. Clasificación. Teorema de Varignon. Tipos de trapecio. Tipos de paralelogramo. 194 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 199 201 Perímetros y áreas Perímetros. Áreas de regiones triangulares, cuadrangulares y círculares. 205 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 210 212 Análisis combinatorio Factorial de un número natural. Principio de adición. Principio de multiplicación. Variaciones. Permutaciones. Combinaciones. 216 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 222 224 Probabilidades Conceptos previos. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Evento. Operaciones con eventos. Sucesos mutuamente excluyentes. Probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. 228 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 232 234 Teoría de conjuntos Noción de conjunto. Determinación de un conjunto. Relaciones entre conjuntos (inclusión, igualdad, conjuntos comparables, conjuntos, disjuntos). Operaciones con conjuntos. Número de subconjuntos. Conjunto potencia. 237 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 241 243 Psicotécnico Definición. Secuencias gráficas. Rotación de figuras. Dominó. 247 Actividades de razonamiento. Refuerza practicando. 250 252
- 8. Curiosity La Mars Science Laboratory (abreviada MSL), conocida como Curiosity, del inglés “curiosidad”, es una misión espacial que incluye un astromóvil de exploración marciana dirigida por la NASA. Fue lanzado el 26 de noviembre del 2011, aterrizó en Marte exitosamente en el cráter Gale el 6 de agosto del 2012. La misión se centra en situar sobre la superficie marciana un vehículo explorador. Este vehículo es tres veces más pesado y dos veces más grande que los vehículos utilizados en la misión del 2004. Una vez en el planeta, el astromóvil tomó fotos para mostrar que amartizó con éxito. En el transcurso de su misión tomará decenas de muestras de suelo y polvo rocoso marciano para su análisis. La duración prevista de la misión es de 1 año marciano (1,88 años terrestres). Con un radio de exploración mayor que los vehículos enviados anteriormente. Investigará la capacidad pasada y presente de Marte para alojar vida. UNIDAD 1 Z X Y
- 9. Matemática recreativa Diálogo Demostración de que dos es igual a uno: 2 = 1 Sean dos números iguales a y b que pertenecen a los números naturales y son distintos de cero, escribiremos: a = b Multiplicamos a ambos lados de la igualdad por el número “b”, tenemos: ab = b2 Restamos a ambos lados de la igualdad el número a2 , tenemos: ab - a2 = b2 - a2 Factorizamos: a(b - a) = (b + a)(b - a) Y dividimos a ambos lados de la igualdad entre el número (b - a): (b a) a(b a) (b a) (b a)(b a) - - = - + - a = a + b Puesto que a = b, entonces la expresión es equivalente a: a = a + a Por lo tanto: a = 2a, finalmente dividimos entre “a”: 1 = 2 ¿Es correcta esta demostración?
- 10. 10 Intelectum Evolución 3.° Para resolver un problema de planteo de ecuaciones se debe entender la lectura del problema, si es posible relacionarlo con la realidad y a partir de ahí traducir el enuncia- do verbal a una expresión matemática. PLANTEO Y RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Debemos tener presente el siguiente procedimiento elemental para el planteo y reso- lución de un problema sobre ecuaciones. 1. Traducir el enunciado, de la forma verbal a la forma simbólica. Aunque a veces será necesario definir previamente algunas variables. 2. Resolver las ecuaciones. 3. Dar respuesta al problema (el valor de la incógnita no necesariamente es la respues- ta al problema). A continuación veamos algunos ejemplos de cómo se traducen los enunciados de la forma verbal a expresiones matemáticas. Enunciado (forma verbal) Expresión matemática 1 La suma de tres números consecutivos es 153. x + x + 1 + x + 2 = 153 2 La edad de Lalo es dos veces la edad de Beatriz. Lalo = 2x, Beatriz = x 3 La edad de Lalo es dos veces más que la edad de Beatriz. Lalo = 3x, Beatriz = x 4 El triple de un número, aumentado en 20. 3x + 20 5 El triple de un número aumentado en 20. 3(x + 20) 6 El exceso de A sobre B es 50. A - B = 50 7 Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y él el triple de lo que tú tienes. Yo = x; Tú = 2x, Él = 6x 8 En una fiesta hay tantos hombres como el doble del número de mujeres. H = 2x M = x 9 He comprado tantos pantalones como soles cues- ta cada uno. Compro x pantalones c/u cuesta S/.x 10 La suma de los cuadrados de dos números impa- res consecutivos es 74. (x + 1)2 + (x + 3)2 = 74 11 La suma de tres números pares consecutivos es 2400. x + x + 2 + x + 4 = 2400 12 La suma de tres números impares consecutivos es 2100. a + (a + 2) + (a + 4) = 2100 13 Gasté los 2/3 de lo que no gasté. No gasté = x; Gasté = 3 2 x 14 A es a B como 3 es a 5. B A 5 3 = 15 Por cada 2 fichas rojas tengo 3 fichas azules. A R 3 2 = ; R = 2k A = 3k Planteo de ecuaciones Por lo general, cuando se quiere representar una cantidad se emplea la letra x, que representa la incógnita de la ecuación. Ejemplo: Mi dinero: “x” Importante Cuando se tenga una cantidad impar de números consecutivos, se toma x como número central y luego se obtienen los demás hacia adelante y hacia atrás. Veamos algunos ejemplos: • Tres números enteros consecutivos x - 1, x; x + 1 • Tres números pares o impares consecutivos x - 2; x; x + 2 • Cinco números enteros consecutivos x - 2; x - 1; x; x + 1; x + 2 • Cinco números pares o impares consecutivos x - 4; x - 2; x; x + 2; x + 4 Atención A es a B como 2 es a 3 se puede expresar como: • A y B son proporcionales a 2 y 3. • A es a 2 como B es a 3. • A y B están en la razón o relación de 2 a 3.
- 11. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 11 1 Entre Roxana y Fiorella tienen S/.1500. Si Roxana le da S/.100 a Fiorella, está tendría el doble de lo que le queda a Roxana. ¿En cuánto se diferencia lo que tienen ambas personas? Resolución: Realizando un esquema: Roxana S/.x Fiorella S/.(1500 - x) S/.1500 Dato: Roxana le da S/.100 a Fiorella Roxana tendrá: S/.(x - 100) Fiorella tendrá: S/.(1500 - x + 100) Por condición del problema: 1500 - x + 100 = 2(x - 100) 1600 - x = 2x - 200 1800 = 3x & x = 600 Entonces: 1500 - x = 1500 - 600 = 900 Luego, Roxana: S/.600; Fiorella: S/.900 Piden: S/.900 - S/.600 = S/.300 2 Un cazador le preguntó a una paloma: “¿Cuántas son ustedes?”, esta contestó: “Nosotras, más nosotras, más nosotras,máslamitaddenosotras,más1/4denosotras, más los 3/8 de nosotras, más usted somos 100?” Resolución: Sea “P” el número de palomas. Por condición del problema: P + P + P + P P P 2 4 8 3 + + + 1 = 100 P P P P 3 8 4 2 3 99 + + + = 3P + 8 9 P = 99 8 33 P = 99 & P = 24 ` Son 24 palomas. 3 El largo de un rectángulo excede al ancho en 7 m. si cada dimensión se aumenta en 2 m, el área es igual a 540 m2 . ¿Cuál es el área inicial del rectángulo? Resolución: Área inicial Área final = 540 m2 L L + 2 L + 7 L + 9 Por dato: (L + 9)(L + 2) = 540 = 27 # 20 L = 18 Piden el área inicial = L(L + 7) = 18(25) = 450 m2 4 Un lapicero cuesta S/.8 y un lápiz S/.5. Se quiere gastar exactamente S/.96, de manera de poder adquirir la mayor cantidad posible de lapiceros y lápices. ¿Cuál es este número? Resolución: Cantidad de lapiceros: x Cantidad de lápices: y Por dato del problema: 8x + 5y = 96 . . 7 8 ` La mayor cantidad será: 7 + 8 = 15 5 Se reparten 400 manzanas en cantidades iguales a un grupo de niños. Si hubiese 5 niños más, en- tonces a cada niño le tocaría 4 manzanas menos. ¿Cuántos niños son? Resolución: Sea “x” la cantidad de niños. Lo que recibe cada niño: x 400 Si hubiese 5 niños más recibirán: x 5 400 + Por condición del problema: 4 x x 400 5 400 - + = 400x + 2000 - 400x = 4x(x + 5) 2000 = 4x(x + 5) 500 = x(x + 5) 20 # 25 = x(x + 5) & x = 20 ` Son 20 niños. 6 La suma de la quinta parte de un número con los 3/8 del número excede en 49 al doble de la diferencia entre 1/6 y 1/12 del número. Halla el número. Resolución: Sea “x” el número. Por condición del problema: 2 49 x x x x 5 8 3 6 1 12 1 + - - = b l 49 x x 40 23 6 - = x 240 98 = 49 & x = 120 ` El número es 120.
- 12. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 12 1. En un hotel de dos pisos hay 48 habitaciones. Si las habitaciones del segundo piso son la mitad de las del primero, ¿cuántas habitaciones hay en el segundo piso? A) 40 B) 20 C) 8 D) 16 E) 32 2. La diferencia de dos números es 30. Si el mayor se disminuye en 10, se tiene el triple del menor. Halla el producto de los números dados. A) 400 B) 330 C) 220 D) 450 E) 200 3. De los animales que hay en un corral, la mitad son gallinas, la tercera parte patos, la décima parte pavos, y 150 son pollos. ¿Cuántos animales hay en el corral? A) 2250 B) 2230 C) 1236 D) 1230 E) 2000 4. En un zoológico hay 50 animales entre felinos y aves. Si se cuentan el número total de patas (extremidades) da 160, ¿cuál es el número de felinos? A) 20 B) 30 C) 40 D) 25 E) 10 5. Un comerciante adquirió polos de dos calidades, unos de 15 soles y otros de 18 soles. Pagó 600 soles por la compra de un total de 36 polos. Determina la cantidad de polos que adquirió a 18 soles. A) 20 B) 30 C) 15 D) 6 E) 16 6. Ruth tenía cierta suma de dinero. Gastó 30 soles en libros y los 3/4 de lo que le quedaba en ropa. Si le queda 30 soles, ¿cuánto tenía al principio? A) 120 B) 140 C) 100 D) 180 E) 150 7. El exceso de 8 veces un número sobre 60, equivale al exceso de 60 sobre 7 veces el número. Calcula dicho número. A) 14 B) 15 C) 8 D) 9 E) 7 8. Lo que tengo más lo que debo es 2200 soles. Si pagara lo que debo, me quedaría 1000 soles. ¿Cuánto debo? A) S/.300 B) S/.900 C) S/.500 D) S/.600 E) S/.1000
- 13. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 13 9. Halla un número, donde la suma de su mitad, cuarta y octava parte, resulta dicho número disminuido en la unidad. A) 7 B) 6 C) 4 D) 8 E) 5 10. Entre cierto número de personas compran un auto que cuesta S/.1200; el dinero que paga cada uno excede en 194 al número de personas. ¿Cuántas personas compran el auto? A) 6 B) 7 c) 8 D) 5 E) 4 11. Yo tengo el cuádruple de lo que tú tienes. Si tú tuvieras S/.5 más de lo que tienes yo tendría 2 veces más de lo que tú tendrías. ¿En cuánto se diferencian nuestras cantidades? A) S/.45 B) S/.40 C) S/.10 D) S/.30 E) S/.50 12. Cuatro hermanos tienen 300 manzanas. Si el número de manzanas del primero, se incrementa en 1, el segundo se reduce en 4, el del tercero se duplica y el del cuarto se reduce a la mitad, todos tendrían la misma cantidad. Halla la cantidad de manzanas del tercero. A) 70 B) 132 C) 65 D) 40 E) 33 13. En una granja se tienen pavos, gallinas y patos; sin contar las gallinas tenemos 5 aves, sin contar los pavos tenemos 7 aves y sin contar los patos tenemos 4 aves, luego el número de pavos es: A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 5 14. En un terreno de forma rectangular el largo excede en 6 metros al ancho. Si el ancho se duplica y el largo disminuye en 8 metros el área del terreno no varía. ¿Cuál es el perímetro del terreno? A) 52 m B) 13 m C) 10 m D) 23 m E) 17 m 1. D 2. A 3. A 4. B 5. A 6. E 7. C 8. D 9. D 10. A 11. A 12. E 13. C 14. A De la figura adjunta: CD = DG Superímetroes64m. Halla su área. Rpta.: 192 m2 B A C G D E F (6x) m (10x) m
- 14. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 14 NIVEL 1 1 Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? A) 190 B) 188 C) 176 D) 197 E) 181 2 Halla el número cuyo triple, aumentado en 4, sea igual al duplo del mismo número, aumentado en 14. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 3 Don Santiago tiene 35 años y su hijo 5 años. ¿Dentro de cuántos años la edad del hijo será igual a los 2/5 de la edad del padre? A) 14 B) 15 C) 13 D) 12 E) 11 4 De los animales que hay en un corral, la mitad son gallinas, la quinta parte patos, la novena parte pavos, y 510 son pollos. ¿Cuántos animales hay en el corral? A) 2750 B) 2700 C) 2650 D) 2950 E) 2500 5 Un granjero al morir dejó 35 vacas para que sean repartidas entre sus tres hijos de la siguiente manera: al mayor la mitad, al segundo la tercera parte y al tercero la novena parte. Como no se podía efectuar el reparto consultaron a un granjero vecino, el cual trajo una vaca de las suyas y la puso con las demás y de esa manera pudo concretarse el reparto. Determina cuántas vacas le toca a uno de ellos y con cuántas se retiró el vecino. A) 12 y 1 B) 16 y 2 C) 18 y 1 D) 18 y 2 E) 17 y 3 6 Caperucita Roja va por el bosque llevando una cesta con manzanas para su abuelita; si en el camino la detiene el lobo y le pregunta: “¿Cuántas manzanas llevas en tu cesta?”. Caperucita le responde: “Llevo tantas decenas como el número de docenas más uno”. ¿Cuántas manzanas llevaba Caperucita en su cesta? A) 30 B) 6 C) 120 D) 60 E) 19 7 A cierto encuentro futbolístico, asistió cierto número de espectadores, pagando cada uno S/.5 por entrada. En el encuentro de revancha asistió el triple de espectadores que en la primera vez y cada uno pagó ahora S/.8 por entrada. Si en la segunda recaudación se recibió S/.380 000 más que en la primera. ¿Cuántos espectadores asistieron al segundo encuentro? A) 6000 B) 20 000 C) 60 000 D) 40 000 E) 45 000 8 Se compraron 24 kg de productos entre azúcar y arroz. Si un kilogramo de azúcar cuesta 3 soles y un kilogramo de arroz cuesta S/.2. ¿Cuántos kilogramos de arroz se compró si el gasto total fue S/.64? A) 8 B) 16 C) 15 D) 9 E) 12
- 15. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 15 9 Una familia compuesta de ocho miembros entre adultos y niños asiste a un espectáculo por el cual el adulto paga S/.8 y un niño paga S/.5. Si el papá invirtió S/.49 por este buen espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños componen esta familia? A) 4 niños y 4 adultos B) 5 niños y 3 adultos C) 2 niños y 6 adultos D) 6 niños y 2 adultos E) 3 niños y 5 adultos 10 Un aula está compuesta por 40 alumnos entre hombres y mujeres. Si el triple de la cantidad de hombres excede en 8 a la mitad de la cantidad de mujeres, ¿cuál es la cantidad de hombres que hay en la sección? A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 NIVEL 2 11 Un número es el cuádruple de otro. Si se aumenta cada uno en seis, el producto aumenta en 456. Calcula dichos números y da como respuesta la suma de ellos. A) 70 B) 60 C) 50 D) 40 E) 30 12 La suma de tres números es 14 250, el primero es al segundo como 11 a 3 y su diferencia 600. ¿Cuál es el menor número? A) 115 B) 225 C) 325 D) 455 E) 450 13 Dos números están en la razón de 4 a 3. La mitad del mayor excede a la tercera parte del menor en 5. Encuentra el mayor. A) 5 B) 10 C) 20 D) 30 E) 40 14 La suma de dos números enteros consecutivos es igual a los 5/4 del primero, aumentada en los 49/64 del segundo. ¿Cuáles son los números? A) 16y17 B)20y21 C)22y23 D) 15 y 16 E) 17 y 18 15 Al preguntar un padre a su hijo cuánto gastó de los 350 soles que le dio, este le contesta: “Las tres cuartas partes de lo que no gasté”. ¿Cuánto le queda? A) S/.150 B) S/.200 C) S/.250 D) S/.300 E) S/.220 16 Halla dos números consecutivos, si sabemos que los 5/6 del menor al ser sumados con los 7/9 del mayor, nos da 33 de resultado. Da el menor de ellos. A) 19 B) 21 C) 24 D) 26 E) 20 17 SiunchocolatecuestaS/.1,50yuncaramelocuesta S/.0,50; entonces con S/.6,50 puedo comprar: A) 1 caramelo y 5 chocolates B) 1 caramelo y 4 chocolates C) 3 caramelos y 2 chocolates D) 4 caramelos y 3 chocolates E) Más de una es correcta
- 16. Intelectum Evolución 3.° 16 18 Un club deportivo está formado por futbolistas y basquetbolistas. El número de socios futbolistas es cinco veces el número de socios basquetbolistas. Si un socio futbolista paga S/.100 de cuota mensual y el basquetbolista S/.200, determina el número de socios basquetbolistas, si el ingreso mensual del club por este concepto asciende a S/.280 000. A) 400 B) 700 C) 500 D) 800 E) 600 19 Juan y Julio, dos amigos muy unidos, tienen juntos S/.600. Juan le dice a Julio: “Si me dieras un billete como este, tendríamos cada uno la misma cantidad”. Julio responde: “Si tú me dieras el billete que estás mostrando, tendría dos veces lo que te queda”. ¿De cuántos soles era el billete que mostraba Juan? A) S/.100 B) S/.50 C) S/.20 D) S/.10 E) S/.200 20 Se desea repartir “L” libros entre dos alumnos, P y Q, en forma proporcional a “m” y “n”, respectivamente. ¿Cuántos libros le corresponden al alumno? A) m n mL - B) m n mL + C) m n nL + D) m n nL - D) ( ) m n m n L + - NIVEL 3 21 La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 424. Halla el mayor de ellos. A) 99 B) 69 C) 107 D) 89 E) 100 22 Perdí los 3/5 de lo que tenía, si hubiera perdido los 2/3 de lo que perdí, tendría S/.10 más de lo que tengo. ¿Cuánto tenía? A) S/.20 B) S/.30 C) S/.40 D) S/.50 E) S/.60 23 Si a la mitad de los días del año transcurrido se le agrega la tercera parte de lo que falta para acabar el año, se obtiene el número de días transcurridos. ¿Qué fecha es? A) 26 de mayo B) 27 de mayo C) 26 de junio D) 27 de junio E) 23 de mayo 24 Para sufragar sus gastos una promoción escolar hace los cálculos siguientes: si cada uno de ellos da S/.750 faltan S/.2300, pero si cada uno da S/.800 sobran S/.2200. ¿Cuántos alumnos forman la promoción? UNI-2004 II A) 90 B) 50 C) 60 D) 95 E) 45
- 17. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 17 25 El perímetro de un rectángulo mide 44 m. Si la base de este rectángulo tuviese 3 m más y su altura 4 m menos, el área del nuevo rectángulo tendría 30 m2 menos que el del primero. Halla uno de los lados. A) 12 m B) 14 m C) 18 m D) 13 m E) 16 m 26 Jorge le dice a su amigo: “Dame cinco de tus caramelos y tendremos tantos el uno como el otro”. Este le responde: “Dame 10 de los tuyos y tendré el triple de los que te quedan”. ¿Cuántos caramelos tenía Jorge? A) 20 B) 30 C) 25 D) 35 E) 40 27 Como todos sus hijos habían tenido muy buenas notas en sus exámenes finales, un padre de familia los quiere premiar económicamente. Si a cada uno le daban $60, le sobraban $20; pero para darle $70 a cada uno, le faltarían $30. ¿De qué suma disponía el padre? A) $400 B) $360 C) $340 D) $320 E) $300 28 Doscantidadessontalesqueelcocientedelasuma entre la diferencia es igual a 11/2 de la diferencia, mientras que el cociente del mayor entre el menor es 6/5. Calcula la diferencia del mayor menos el menor. A) 1 B) 3 C) 2 D) 6 E) 5 29 Las edades de un padre y su hijo son tales que su cociente es 5. Si dentro de 14 años el cociente será 7/3, calcula la edad del padre dentro de 6 años. A) 45 B) 42 C) 43 D) 44 E) 41 30 Javier es 12 años mayor que su hermano Miguel. Dentro de ocho años la relación de sus edades será de 2 a 1. ¿Cuál será la edad de Miguel dentro de 14 años? A) 12 B) 16 C) 20 D) 14 E) 18 NIVEL 1 1. A 2. A 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C 8. A 9. B 10. A NIVEL 2 11. A 12. B 13. C 14. D 15. B 16. E 17. B 18. A 19. B 20. B NIVEL 3 21. C 22. D 23. A 24. A 25. A 26. C 27. D 28. C 29. E 30. E Claves
- 18. 18 Intelectum Evolución 3.° ELEMENTOS Sujetos Son los personajes del problema a quienes corresponden las edades y que intervienen en el problema. Tiempo Es uno de los elementos más importantes, ya que las condiciones del problema ocurren en tiempos diferentes (pasado, presente y futuro). Pasado Presente Futuro Yo Tú Él Tenía Tenías Tuvo Tengo Tienes Tiene Tendré Tendrás Tendrá Edad Representa el tiempo de vida de un sujeto. Se presentan dos tipos de problemas: a) Cuando interviene la edad de un solo sujeto. Ejemplo: Hace 8 años Edad actual Dentro de 12 años x - 8 x x + 12 b) Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos. Ejemplo: Hace 5 años Edades actuales Dentro de 6 años A B 25 22 30 27 36 33 Nota: • La diferencia de edades entre 2 personas en cualquiera de los tiempos siempre es un valor constante. 25 - 22 = 3 años (en el pasado) 30 - 27 = 3 años (en el presente) 36 - 33 = 3 años (en el futuro) • La suma en aspa de valores ubicados simétricamente es un valor constante. 25 + 27 = 22 + 30 30 + 33 = 27 + 36 25 + 33 = 22 + 36 Edades Observación Cuando hacemos referencia al tiempo pasado, será el tiempo que se debe restar. Ejemplo: Sea “x” mi edad actual, hace 8 años tenía: x - 8 Observación Cuando hacemos referencia al tiempo futuro, será el tiempo que se debe sumar. Ejemplo: Sea “x” mi edad actual, dentro de 10 años tendré: x + 10 Atención Cuando en un problema intervienen dos o más sujetos se sugiere el uso de cuadros de doble entrada con la finalidad de ordenar y relacionar los datos convenientemente.
- 19. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 19 1 La edad de Mario y Luis suman 42 años, pero hace 6 años la edad de Mario era el doble de la edad de Luis. ¿Qué edad tiene Mario? Resolución: Hacemos un cuadro: Hace 6 años Edad actual Mario x - 6 x Luis 36 - x 42 - x Según el enunciado: x - 6 = 2(36 - x) & x - 6 = 72 - 2x 3x = 78 & x = 26 ` Mario tiene 26 años. 2 Las edades de Pedro y Pablo suman 46 años. Pedro le dice a Pablo: “Cuando tú tenías la edad que yo tengo, mi edad era tan solo 8 años menos de la edad que hoy tienes“. ¿Qué edad tiene Pablo? Resolución: Realizando un cuadro: Pasado Presente Pedro 38 - x x Pablo x 46 - x Suma 46 Aplicando suma en aspa: x + x = 38 - x + 46 - x 4x = 84 & x = 21 Luego, Pablo tiene 25 años. 3 La edad de un hijo es los 4/9 de la edad de su padre. Si dentro de 5 años la mitad de la edad del padre será igual a la edad del hijo. ¿Cúal es la edad del padre? Resolución: Según los datos: Edad actual Dentro de 5 años Hijo x 9 4 x 9 4 + 5 Padre x x + 5 Por enunciado del problema: x x 2 5 9 4 5 + = + & x x 2 5 9 4 45 + = + 9x + 45 = 8x + 90 & x = 45 ` La edad del padre es 45 años. 4 Las edades actuales de Lucho y Hernán suman 48 años. Lucho le dice a Hernán. “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía 5 años me- nos de lo que hoy tienes. ¿Qué edad tiene Hernán? Resolución: Según los datos: Pasado Presente Lucho 43 - 2x 2x Hernán x 48 - 2x Suman 48 Aplicando suma en aspa: x + 2x = 48 - 2x + 43 - 2x 7x = 91 & x = 13 ` La edad de Hernán es: 48 - 2(13) = 22 años 5 Dentro de 10 años la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años la edad del padre era el triple de la edad de su hijo? Resolución: Según los datos: Hace 2 años Edad actual Dentro de 10 años Padre 2x - 12 2x - 10 x Hijo x - 12 x - 10 x Por condición del problema: 2x - 12 = 3(x - 12) 2x - 12 = 3x - 36 x = 24 ` La edad del hijo es 14 años. 6 Hace 2 años tenía la cuarta parte de la edad que tendré dentro de 22 años. ¿Dentro de cuántos años tendré el doble de la edad que tenía hace 4 años? Resolución: Según los datos: Hace 4 años Hace 2 años Dentro de “a” años Dentro de 22 años Yo x - 4 x - 2 x x + a x + 22
- 20. Intelectum Evolución 3.° 20 Según enunciado: x - 2 = x 4 22 + 4x - 8 = x + 2 3x = 30 & x = 10 También: x + a = 2(x - 4) x + a = 2x - 8 a = x - 8 x = 10 & a = 2 ` Dentro de 2 años. 7 Hace 14 años, la relación de mi edad y tu edad era de 5 a 1. Dentro de 6 años dicha relación será de 5 a 3. ¿Qué edad tengo? Resolución: Según los datos: Hace 14 años Edad actual Dentro de 6 años Mi edad 5k 5k + 14 5k + 20 Tu edad k k + 14 k + 20 Según el enunciado: k k 20 5 20 3 5 + + = 15k + 60 = 5k + 100 10k = 40 & k = 4 Luego, mi edad actual es. 5k + 14 = 5(4) + 14 = 34 ` Yo tengo 34 años. 8 Dentro de 12 años la edad de Luis será la edad que hoy tiene Kiara. Dentro de 16 años la edad de Luis será 4/5 de la edad de Kiara en ese entonces. ¿Cuál es la edad de Luis? Resolución: Según los datos: Edad actual Dentro de 12 años Dentro de 16 años Luis x x + 12 x + 16 Kiara x + 12 x + 28 Del enunciado: x + 16 = 5 4 (x + 28) 5x + 80 = 4x + 112 x = 32 ` La edad de Luis es 32 años. 9 Actualmente Carlos tiene 24 años y Walter tiene 36 años. Carlos afirma que se casará cuando transcurran tantos años como los transcurridos hasta el año que terminó la secundaria. La suma de las edades de Wal- ter y Carlos en el año en el que se case este último y la suma de las edades que tenían cuando Carlos ter- minó su secundaria, son entre sí como 19 es a 11. ¿A qué edad piensa casarse Carlos? Resolución: Según los datos: Hace “x” años Edad actual Dentro de “x” años Carlos 24 - x 24 24 + x Walter 36 - x 36 36 + x 60 - 2x 60 + 2x Por dato del problema: x x 60 2 60 2 11 19 - + = 60.11+22x=60#19-38x 60x = 60.8 & x = 8 ` Carlos se casará cuando tenga: 24 + 8 = 32 años 10 Hace “n” años tenía la mitad de lo que tendré dentro de “n” años, además dentro de “x” años tendré “y” años. Halla “y”. Resolución: Según los datos: Hace “n” años Edad actual Dentro de “n” años Dentro de “x” años Yo a - n a a + n a + x = y Por condición del problema: a - n = a m 2 + 2a - 2n = a + m a = 2n + m También: a + x = y ...(1) Reemplazamos a en (1): 2n + m + x = y ` y = 2n + m + x
- 21. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 21 1. José tiene 24 años y su edad es el triple de la edad que tenía Laura cuando José tenía la tercera parte de la edad que tiene Laura. ¿Qué edad tiene Laura? A) 25 años B) 20 años C) 15 años D) 30 años E) 24 años 2. Dentro de 6 años la edad de Jéssica será el triple de la edad de Violeta. ¿Cuál es la edad actual de Jéssica, si hace 2 años, la edad de ella era el cuádruple de la edad de Violeta? A) 66 años B) 33 años C) 50 años D) 25 años E) 18 años 3. Un niño dice: “Si a la edad que tenía hace 8 años la multiplico por la edad que tendré dentro de 8 años resulta 105. Halla la edad del niño. A) 10 años B) 9 años C) 13 años D) 8 años E) 12 años 4. Si al cuádruple de la edad que tendré dentro de 8 años le restamos el doble de la edad que tenía hace 5 años, resultaría 19 años, más el triple de mi edad. ¿Qué edad tengo? A) 17 años B) 31 años C) 13 años D) 23 años E) 18 años 5. Si multiplicamos por 3 los años que tendré dentro de 3 años y restamos el triple de lo que tenía hace 3 años se obtendrá los años que tengo ahora. ¿Qué edad tendré dentro de 10 años? A) 28 años B) 24 años C) 32 años D) 18 años E) 15 años 6. Si yo tuviera 5 años más, mi edad y tu edad estarían en la relación de 3 a 4. En cambio si tú tuvieras 8 años más, la relación sería de 1 a 2. Entonces yo tengo. A) 28 años B) 36 años C) 40 años D) 25 años E) 22 años 7. Si al año en que cumplí 12 años le sumas el año en que cumplí 20 años y a dicha suma le restas la suma del año que nací con el año actual, obtendrás 6. ¿Qué edad tengo? A) 32 años B) 26 años C) 18 años D) 18 años E) 20 años 8. Las edades de 3 hermanos suman 30 años. Si hace 4 años, dichas edades eran 3 números pares consecutivos, ¿cuál será la edad del mayor dentro de 30 años? A) 39 años B) 35 años c) 42 años D) 37 años E) 12 años
- 22. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 22 9. Hace 5 años nuestras edades estaban en la relación de 5 a 3, y dentro de 25 años, tu edad será a la mía como 5 es a 7. ¿Cuántos años tengo? A) 50 años B) 40 años C) 20 años D) 80 años E) 60 años 10. Juan es a años mayor que Luis y dentro de b años su edad será c veces la edad actual de Luis. ¿Qué edad tiene Luis? A)(a+b)/(c-1) B)(a+b)/(c+1) C)(a-b)/(c-1) D) (a - b)/(c + 1) E) a + b 11. Juana tiene una hija a los 20 años y una nieta 24 años después. Cuando la nieta tiene 11 años la abuela dice tener 45 años y la hija 30 años. ¿Cuál es la suma de las edades que ocultan ambas? A) 25 años B) 18 años C) 10 años D) 20 años E) 15 años 12. Pedro le dice a Juan: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será 63 años”. Determina la edad de Pedro y Juan. A) 28 y 21 B) 23 y 25 C) 31 y 30 D) 27 y 20 E) 30 y 32 13. Un padre tiene x años y su hijo y años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el cuádruple de la edad de su hijo? A) (4y - 3)/3 B) (x - 3y)/2 C) (3y - x)/2 D) (4x - y)/3 E) (x - 4y)/3 14. Las edades de tres personas hace 2 años eran como 3; 4 y 5 y dentro de 2 años serán como 5; 6 y 7. Halla la edad del mayor. A) 10 años B) 9 años C) 12 años D) 11 años E) 14 años “A” tiene ab años y “B” ab 3 años. Le preguntaron a Lucho por su edad y este indica que “A” le lleva tantos años como los años que le lleva él a “B”. Actualmente la suma de las edades de los tres es 36 años. Calcula (a + b). Rpta.: 9 1. E 2. A 3. C 4. D 5. A 6. E 7. B 8. C 9. D 10. A 11. E 12. A 13. E 14. C
- 23. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 23 NIVEL 1 1 Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años 3 veces su edad era la mía, ¿cuántos años tengo? A) 6 B) 9 C) 3 D) 12 E) 15 2 Dentro de 60 años Martín tendrá el cuádruple de su edad actual. Hace 5 años tenía: A) 25 B) 20 C) 85 D) 75 E) 15 3 SelepreguntaaAugustoporsuedadyélresponde: “Multipliquen por 3 los años que tendré dentro de 3 años y réstenle el triple de los que tenía hace 3 años y obtendrán precisamente los años que tengo”. ¿Qué edad tiene ahora? A) 11 B) 18 C) 20 D) 22 E) 25 4 Si al doble de mi edad se le quitan 13 años, se obtendrá lo que me falta para tener 50 años. ¿Cuánto me falta para cumplir el doble de lo que tenía hace 5 años? A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 5 Un padre tiene 30 años y su hija 3. ¿Dentro de cuántos años la edad del padre será el cuádruple de la edad de la hija? A) 15 B) 3 C) 5 D) 6 E) 10 6 Al preguntarle su edad a Vanessa, ella respondió: “Si al año en que cumplí los 15 años le suman el año en que cumplí los 26, y le restan la suma del año en que nací y el actual, obtienen 12”. La suma de las cifras de la edad de Vannesa es: A) 9 B) 10 C) 11 D) 6 E) 12 7 Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 42 años; pero hace a años la diferencia de nuestras edades era de 8 años. ¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple de la del otro? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 8 Si juntamos las edades de Juan y Pedro dentro de 8 años obtendríamos 64. Al acercarse María, Juan le dice: “Cuando tú naciste, yo tenía 4 años, pero cuando Pedro nació tú tenías 2 años. ¿Cuál es la edad de María? A) 22 B) 23 C) 27 D) 21 E) 24 9 Paulina tuvo su primer hijo a los 21 años, a los 27 años su tercer hijo; a fines de 1995 la suma de edades de dichos hijos es 32 años. ¿En qué año nació Paulina? A) 1945 B) 1955 C) 1962 D) 1964 E) 1948
- 24. Intelectum Evolución 3.° 24 10 En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuple de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940? A) 66 B) 72 C) 67 D) 70 E) 57 NIVEL 2 11 Dentro de 6 años la edad de Jessica será el triple de la edad de Violeta. ¿Cuál es la edad actual de Jessica, si hace 2 años la edad de ella era el cuádruple de la de Violeta? A) 54 B) 66 C) 72 D) 60 E) 56 12 Norma le dice a Marisol: “Tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, yo tendré el doble de la edad que tú tenías hace 12 años. ¿Cuánto suman sus edades actuales? A) 64 B) 68 C) 66 D) 63 E) 73 13 Un padre le dice a su hijo: “Yo tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas mi edad, la suma de nuestras edades será 162. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno? (En años). A) 72y54 B)64y48 C)70y56 D) 72 y 58 E) 70 y 54 14 Hace 5 años la edad de un padre fue 4 veces la del hijo y dentro de 5 años será solamente el doble de la de su hijo. ¿Qué edad tendrá el padre, cuando el hijo tenga los años que tuvo el padre cuando nació el hijo? A) 30 B) 35 C) 36 D) 40 E) 45 15 Cuandoyoteníaunañomenosdelaedadquetútienes, tú tenías 5 años menos de la edad que yo tengo. Pero cuando tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 110 años. ¿Qué edad tengo? A) 54 B) 52 C) 50 D) 48 E) 46 16 Charo es hija de Ángela y Luciana es hija de Charo. Cuando Luciana nació, la edad de Ángela era exactamente el doble de la edad de Charo; hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Luciana, Ángela dice tener 45 años y Charo dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Ángela, Charo y Luciana es de 90 años, ¿cuántos años oculta cada una de las señoras? A) Ángela = 5 y Charo = 5 B) Ángela = 4 y Charo = 4 C) Ángela = 5 y Charo = 3 D) Ángela = 3 y Charo = 4 E) Ángela = 4 y Charo = 3 17 Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades? A) 3 a 5 B) 2 a 3 C) 1 a 2 D) 2 a 5 E) 4 a 3
- 25. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 25 18 Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban en relación de 4 a 3, actualmente sus edades suman 59 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 a 7? A) 9 B) 8 C) 7 D) 20 E) 21 19 Preguntando a una persona por su edad responde: “Si al doble de mi edad le quitan 17 años, se obtendría su complemento aritmético”. Calcula la edad. A) 9 B) 39 C) 17 D) 17 ó 39 E) 9 ó 39 20 En el año 1988 un profesor sumó los añosdenacimientode45estudiantes de un aula y luego las edades de los estudiantes, enseguida sumó ambos resultados y obtuvo 89437. ¿Cuántos estudiantes ya cumplieron años en dicho año? A) 22 B) 23 C) 24 D) 25 E) 21 NIVEL 3 21 En 1987 Emilio tuvo tantos años como el doble de las 2 últimas cifras del año de su nacimiento. ¿Cuál es la suma de las cifras del año de su nacimiento? A) 11 B) 10 C) 21 D) 22 E) 18 22 Es sabido que los gatos tienen 7 vidas pero Minina gata techera pensó cierta noche: “Hoy termina mi segunda vida y en todos mis años he hecho lo que otros hacen en sus 7 vidas”. Si el número de años que ella lleva vividos es igual a la cuarta parte del número de meses vividos, menos 6, ¿cuántos años dura una de las vidas de un gato? A) 3 B) 6 C) 1,5 D) 4,5 E) 2 23 Luis cuenta que cuando cumplió años en 1994, descubrió que su edad era igual a la suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1979? A) 12 B) 13 C) 14 D) 10 E) 11 24 Julio nació 6 años antes que Victor, en 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Julio? A) 1935 B) 1938 C) 1940 D) 1942 E) 1932
- 26. Intelectum Evolución 3.° 26 25 En 1980 Bryan se percató que su edad coincidía con las 2 últimas cifras del año de su nacimiento; al comentárselo a su abuelito, este sorprendido le contestó que con él ocurría lo mismo. Calcula la diferencia de sus edades hace x años (18 < x < 40). A) 40 B) 20 C) 50 D) 90 – x E) 40 – x 26 En 1977 la edad de Pedro era ab y la de su abuelo ba. La diferencia de dichas edades es 45. Calcula la edad de Pedro si se sabe que en 1977 su edad coincidía con las dos últimas cifras de su año de nacimiento, pero en orden invertido. A) 12 B) 14 C) 16 D) 18 E) 20 27 ¿Cuántos años tendrá una persona dentro de 9 años; sabiendo que la diferencia entre la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 30 años con la edad que tuvo hace 2 años, es 2? A) 49 B) 51 C) 56 D) 60 E) 81 28 Las edades de dos personas son 36 y 24 años, por lo tanto están en la relación de 3 a 2. ¿En qué tiempo esta relación será de 5 a 4? Villarreal-2008 I A) 24 B) 12 C) 18 D) 48 E) 36 29 Juan y Pedro tienen respectivamente J y P años de edad (J > P). ¿Hace cuántos años la edad de Juan fue el triple de la edad de Pedro? A) J P 3 3 - B) P J 4 3 - C) 3P – J D) P J 2 3 - E) J – P 30 Un padre tiene n años y su hijo m años. ¿Dentro de cuántos años el padre tendrá el doble de la edad de su hijo? A) (n - m) B) (m - n) C) (n + 2m) D) (n - 2m) E) (n2 - 1) NIVEL 1 1. A 2. E 3. B 4. B 5. D 6. C 7. D 8. B 9. B 10. C NIVEL 2 11. B 12. B 13. A 14. A 15. A 16. C 17. B 18. B 19. E 20. A NIVEL 3 21. C 22. C 23. D 24. C 25. C 26. C 27. D 28. A 29. D 30. D Claves
- 27. 27 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 Dado un cuerpo que se mueve desde un punto “A” hasta “B” como se observa en la figura: e B A v t TIEMPO DE ENCUENTRO (tE) Es el tiempo que demoran dos móviles en encontrarse, viajando en sentidos contrarios. tE = v v d A B + B A tE vA vB d TIEMPO DE ALCANCE (tA) Es el tiempo que demora un móvil en alcanzar a otro que se mueve en el mismo sentido. B A tA vA vB d tA = v v d A B - CRITERIO DE TRENES Cuando un tren pasa delante de un observador Ejemplo: Un tren viaja a 30 m/s, demora 5 s en pasar delante de un observador. ¿Cuál es la longitud del tren? Resolución: 30 m/s L L Aplicando: e = v # t Reemplazando: L = 30 m/s # 5 s L = 150 m Cuando un tren pasa por un túnel Ejemplo: Un tren viaja a 48 m/s y demora 10 s en pasar un túnel de 400 m de longitud. ¿Cuál es la longitud del tren? Resolución: 48 m/s 400 m L m 400 Aplicando: e = v # t Reemplazando: L + 400 = 48 # 10 L + 400 = 480 L = 80 m Se cumple: e = v # t v = t e t = v e Móviles Es importante verificar que todas las magnitudes tengan unidades compatibles: e t v m s m/s km h km/h Recuerda En las relaciones: tE = v v d A + B tA = v v d A - B tE: tiempo de encuentro. tA: tiempo de alcance. d: distancia de separación. vA, vB: velocidades de los móviles. Atención Cuando un tren pasa delante de un observador se debe considerar a este como un punto, es decir el espacio que recorre el tren es la propia longitud del tren. Entonces: e = Ltren Luego: Ltren = vtren # t Atención Cuando un tren pasa por un túnel se debe considerar la longitud del túnel, es decir, el espacio que recorre el tren, es la longitud del tren más la longitud del túnel. Entonces: e = Ltren + Ltúnel Luego: Ltren + Ltúnel = vtren # t
- 28. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 28 1 Un auto viaja a razón de 108 km/h. ¿Cuántos metros recorrerá en 7 s? Resolución: La velocidad se expresa en m/s. v h km km m s h s m 108 1 1000 3600 1 30 # # = = v = 30 m/s Luego: e = v # t & e = 30 m/s # 7 s & e = 210 m t = 7 s e 2 Un policía persigue a un ladrón que se encuentra a 150 m de distancia. Si empezaron a correr simul- táneamente a razón de 14 m/s y 8 m/s, respectiva- mente, determina el tiempo, en segundos, que el policía demora en atrapar al ladrón. Resolución: Podemos aplicar la fórmula de tiempo de alcance: tA = v v d 1 2 - Reemplazamos: tA = / / / 25 m s m s m m s m s 14 8 150 6 150 - = = v1 = 14 m/s tA tA 150 m v2 = 8 m/s 3 Dosautosqueestánseparadospor360km avanzan en línea recta en sentidos opuestos acercándose cada vez más a razón de 25 km/h y 20 km/h. Determina luego de qué tiempo estarán separados 90 km por primera vez. Resolución: Del gráfico: e1 + 90 + e2 = 360 25t + 90 + 20t = 360 & 45t = 270 & t = 6 s t e1 e2 t 360 km 90 km v1=25km/h v2=20km/h 4 Un camión de 10 m de largo viaja en línea recta a ra- zón de 72 km/h. Determina el tiempo, en segundos para pasar completamente por un túnel de 150 m de longitud. Resolución: v = 20 m/s e = 160 m t = ? t = e/v & t = / m s m 20 160 = 8 s 150 m 10 m TÚNEL v = 72 km/h = 20 m/s 20 m/s 5 Dos autos parten del mismo lugar simultáneamente, pero en sentidos opuestos. El primero va a razón de 20 km/h y el segundo a 25 km/h. Determina el tiempo, en horas para estar separados 1800 km 1800 km v1=25 km/h v2=20 km/h Resolución: En este problema podemos aplicar la fórmula de tiempo de encuentro. tE = v v d 1 2 + Reemplazando: tE = / / km h km h km 25 20 1800 + tE = / km h km 45 1800 = 40 h
- 29. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 29 6 Maricarmen y Paolo están separados por 180 m. Si corren simultáneamente uno al encuentro del otro, con una rapidez de 6 m/s y 9 m/s respectiva- mente. Determina el espacio recorrido por Mari- carmen hasta encontrarse con Paolo. 180 m v1=6 m/s v2=9 m/s s Resolución: Aplicamos: tE = v v d 1 2 + Reemplazando: tE = / / m s m s m 6 9 180 + tE = / m s m 15 180 = 12 s Luego: eMaricarmen =v1 # t = 6 m/s # 12 s = 72 m 7 Los móviles mostrados en la figura parten simul- táneamente. Determina la distancia que recorre el más veloz hasta alcanzar al otro móvil. v1=9 m/s v2=4 m/s 65 m 65 m Resolución: Aplicamos: tA = v v d 1 2 - Reemplazando: tA = / / m s m s m 9 4 65 - & tA = / m s m 5 65 = 13 s Luego: eveloz = v # t = 9 m/s # 13 s = 117 m 8 Un pasajero que viaja en un tren de 150 m de longi- tud a razón de 25 m/s, desea calcular la longitud de un puente; utilizando un cronómetro registra que el tren cruza el puente en 20 s. ¿Cuál es la longitud del puente? Resolución: e = v # t 150+LP =25#20& 150 + LP = 500 & LP = 350 m LP 150 m v = 25 m/s PUENTE 9 En la figura mostrada los autos parten simultánea- mente. Determina el tiempo en segundos, para que se encuentren separados 9 m por segunda vez. 30 m 6 m/s 3 m/s Resolución: Para que se encuentren separados 9 m por se- gunda vez, el segundo debe pasar al primero. 30 m 9 m 3 t 6 t t t 6 m/s / 3 m/s Del gráfico: 30 + 3t + 9 = 6t & 39 = 3t & t = 13 s 10 Un avión hace el recorrido de la ciudad A hacia B en 2 h 40 min, al regresar de B hacia A aumenta su rapidez en 20 km/h y tarda 2 h. Determina la distancia entre A y B. Resolución: Según los datos: vida = x tida = 2 h 40 min = 8/3 h vregreso =x+20km/h tregreso = 2 h Como el recorrido es el mismo, entonces: e = v . t e = x . 3 8 = (x + 20 km/h) . 2 h & 3 4 x = x + 20 & x = 60 km/h Luego: e = (60 + 20) . 2 & e = 80 . 2 = 160 km
- 30. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 30 1. Usaín recorre 100 m en 10 segundos. Calcula su rapidez en km/h. A) 36 km/h B) 18 km/h C) 27 km/h D) 12 km/h E) 9 km/h 2. La rapidez de un avión es 720 km/h; el tiempo que demora en recorrer 800 m es de: A) 10 s B) 3 s C) 8 s D) 4 s E) 7 s 3. Dos móviles se dirigen uno al encuentro del otro. Si inicialmente están separados 750 km y sus velocidades son de 60 km/h y 90 km/h. ¿En cuántas horas se cruzan? A) 4 h B) 7 h C) 5 h D) 3 h E) 6 h 4. Lucía y Eddy se acercan a razón de 28 y 33 metros por minuto. Si luego de 8 minutos logran encontrarse, ¿cuántos metros estaban separados inicialmente? A) 320 m B) 388 m C) 420 m D) 500 m E) 488 m 5. Un automóvil viaja durante 8 horas a la misma velocidad. En la hora siguiente, el auto viaja en velocidad reducida a la mitad y durante la décima hora con una velocidad doble de la inicial. Si cubrió en total una distancia de 420 km, ¿con qué velocidad viajó en la última hora? A) 60 km/h B) 100 km/h C) 70 km/h D) 80 km/h E) 90 km/h 6. Un peatón recorre 23 km en 7 horas, los primeros 8 km con una velocidad superior en 1 km/h a la velocidad del resto del recorrido. Calcula la velocidad con que recorrió el primer trayecto. A) 5 km/h B) 4 km/h C) 2 km/h D) 6 km/h E) 3 km/h 7. Un viajero recorre 820 km en 7 horas, en autobús y en avión. En avión va a 200 km/h y en autobús a 55 km/h. ¿Cuál es la distancia que se recorrió en avión? A) 500 km B) 400 km C) 200 km D) 700 km E) 600 km 8. Un atleta va a recorrer 200 m con rapidez constante. Si al cabo de 25 segundos recorrió los 3/5 de lo que no recorrió, ¿cuál es su rapidez? A) 12 m/s B) 3 m/s C) 6 m/s D) 15 m/s E) 9 m/s
- 31. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 31 9. Un hombre camina 35 km, una parte a 4 km/h y la otra parte a 5 km/h. Si hubiese caminado a 5 km/h cuando andaba a 4 km/h y viceversa, hubiese andado 2 km más en el mismo tiempo. ¿Cuánto tiempo estuvo andando? A) 8 h B) 4 h C) 2 h D) 7 h E) 3 h 10. Dos automóviles recorren un mismo camino rectilíneo con velocidades de 50 km/h y 40 km/h con una diferencia de tiempos de 30 minutos. Halla la longitud del camino. A) 70 km B) 200 km C) 100 km D) 50 km E) 150 km 11. Las velocidades de dos autos son como 6 es a 5. El primero recorre 720 km en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? A) 800 km B) 600 km C) 500 km D) 700 km E) 400 km 12. Para recorrer un río de 280 km de longitud un bote demora 7 horas en el sentido de la corriente; pero cuando va en contra de la corriente demora 28 horas. ¿Cuál es la velocidad del bote? A) 40 km/h B) 15 km/h C) 30 km/h D) 20 km/h E) 25 km/h 13. ¿Cuánto tiempo tardará un tren de 300 m de largo, que marcha a la velocidad de 25 m/s, en pasar un túnel de 1800 m de largo? A) 82 s B) 84 s C) 85 s D) 41 s E) 42 s 14. Robertosalióensucarroconunavelocidadde40 km/h. Dos horas después, Marita salió del mismo lugar; ella manejó por la misma carretera a 50 km/h. ¿Cuántas horas ha manejado Marita cuando alcanzó a Roberto? A) 7 h B) 6 h C) 4 h D) 8 h E) 5 h 1. A 2. D 3. C 4. E 5. D 6. B 7. E 8. B 9. A 10. C 11. D 12. E 13. B 14. D Se había determinado que la rapidez constante de un móvil en trayectoria rectilínea era de 1 m/s, pero después se comprobó que a la medida de longitud usada le faltaba un decímetro de metro y que el cro- nómetro utilizado se adelantaba en 1/20 de segundo por cada segundo. Determina la verdadera rapidez del móvil en m/s. Rpta.: / m s 19 18
- 32. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 32 NIVEL 1 1 Un pez nada a una rapidez de 108 km/h. Determina el tiempo que utiliza en recorrer 120 m. v = 108 km/h v A) 5 s B) 7 s C) 4 s D) 6 s E) 8 s 2 Usaín Bolt batió el record mundial de 200 m en el mundial de Berlín del 2009, utilizando un tiempo de 19,19 s. Determina su rapidez promedio en m/s. A) 9,24 B) 10,35 C) 11,11 D) 10,42 m/s E) 9,87 3 Dos móviles distantes 200 km salen al encuentro desde dos puntos A y B con rapidez de 60 km/h y 40 km/h respectivamente. ¿En qué tiempo se encontrarán y a qué distancia de A? A) 2 h y 80 km B) 2 h y 100 km C) 2 h y 120 km D) 3 h y 120 km E) 3 h y 80 km 4 Un camión de 20 m marcha con una rapidez de 60 km/h por una carretera paralela a la vía del tren. Si el tren de 80 m de longitud lleva una rapidez de 45 km/h en la misma dirección, ¿qué tiempo demora el camión en pasar al tren? A) 24 s B) 25 s C) 32 s D) 36 s E) 28 s 5 Dos trenes de igual longitud se desplazan con rapidez constante y tardan 6 segundos en cruzarse cuandoviajanensentidoscontrarios.Sieldemayor rapidez tarda 8 segundos en pasar totalmente a otro cuando van en el mismo sentido, la relación entre la rapidez de los trenes es: A) 1/7 B) 3/4 C) 6/7 D) 5/9 E) 3/7 6 Dos trenes marchan sobre vías paralelas pero en sentidos contrarios, con velocidades respectivas de 60 y 30 km/h. Un observador situado en el segundo tren ve pasar al primero en 15 s. Halla la longitud de dicho tren. A) 350 m B) 375 m C) 380 m D) 400 m E) 340 m 7 Un tren tarda 60 s en cruzar un túnel de 120 m de longitud y en pasar delante de un observador emplea 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren? A) 80 m B) 90 m C) 100 m D) 50 m E) 60 m 8 Un tren pasa por delante de un observador inmóvil y demora 7 segundos, al pasar por una estación de 360 m demora 22 segundos. Halla su rapidez. A) 20 m/s B) 22 m/s C) 28 m/s D) 24 m/s E) 30 m/s 9 Un tren tardó 6 segundos en pasar por un semáforo y 24 segundos en atravesar un túnel de 240 metros de longitud. ¿Cuánto tardará en cruzar una estación de 160 m de longitud? A) 12 s B) 20 s C) 18 s D) 16 s E) 21 s
- 33. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 33 10 Si un vehículo viaja a una velocidad de 30 km/h. ¿Cuántas horas empleará para recorrer d km, si hace n paradas de m minutos cada una? A) d mn 4 3 - B) d mn 60 2 + C) d mn 140 3 4 - D) d m 140 3 4 + E) d mn 120 3 2 + NIVEL 2 11 Un ciclista corre por una pendiente hasta el final con una rapidez de 5 m/s y cuando regresa hacia el punto de partida lo hace a razón de 4 m/s demorándose en la ida y vuelta 15 min. Determina la longitud de la pendiente en metros. A) 2000 m B) 1500 m C) 1200 m D) 1300 m E) 1800 m 12 Las velocidades de 2 autos son como 6 es a 5. El primero recorre 720 km en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? A) 740 km B) 680 km C) 700 km D) 760 km E) 640 km 13 Un tren pasa delante de un poste en 10 s y cruza un puente en 15 s. ¿En cuánto tiempo el tren cruzaría el puente si este tuviera el triple de su longitud? A) 20 s B) 30 s C) 25 s D) 35 s E) 24 s 14 Un motociclista observa que 5 1 de lo que ha recorrido equivale los 5 3 de lo que le falta recorrer. ¿Cuántas horas habrá empleado hasta el momento, si todo el viaje lo hace en 12 horas? A) 10 h B) 8 h C) 9 h D) 11 h E) 7 h 15 A y B están separados 150 m. Si ambos corren al encuentro, este se produce al cabo de 10 s. Pero si el más rápido corre en pos del más lento; este es alcanzado en 30 s. Calcula la mayor rapidez. A) 9 m/s B) 10 m/s C) 12 m/s D) 5 m/s E) 6 m/s 16 Un chofer tiene que hacer un recorrido del pueblo A hasta el pueblo B, si conduce a una rapidez de 100 km/h llegaría a las 3 p.m. y si conduce a 150 km/h llegaría a la 1 p.m. ¿Cuál sería la rapidez a la que debería ir, si debe llegar a las 2 p.m.? A) 120 km/h B) 150 km/h C) 130 km/h D) 135 km/h E) 140 km/h 17 Un ciclista sale de un pueblo A hacia otro B a las 8 a.m. con una rapidez de 27 km/h; otro ciclista sale una hora después del mismo pueblo A, con una rapidez de 30 km/h y llega al pueblo B a la misma hora que el primer ciclista. Calcula la distancia que hay entre los dos pueblos. A)400km B)270km C)700km D) 150 km E) 900 km
- 34. Intelectum Evolución 3.° 34 18 Dos automóviles, simultáneamente pasaron por unmismopuntoconrapidezconstantede50km/h y 40 km/h, y en una misma dirección; después de 1/2 hora pasa un tercer automóvil por el mismo punto y en la misma dirección, alcanzando al primero 1,5 h más tarde que al segundo. ¿Cuál es la rapidez del tercer automóvil? A) 80 km/h B) 50 km/h C) 60 km/h D) 55 km/h E) 70 km/h 19 Unciclistapasaalas9a.m.porunpuebloParapidez constante dirigiéndose a Q, dos horas después por el mismo lugar pasó un auto con rapidez constante alcanzando al ciclista a las 12 del mediodía, y luego de llegar a Q y volver inmediatamente encontró al ciclista 3 h después del primer encuentro. ¿A qué hora llegó el ciclista a Q? A) 6 p.m. B) 10 p.m. C) 5 p.m. D) 8 p.m. E) 12 m. 20 ¿Cuántas horas emplea un tren que viaja a una rapidez de 40 km/h entre dos paradas para recorrer a kilómetros si hace n paradas de m minutos cada una? A) a nm 40 + B) a nm 40 30 + C) a nm 120 3 2 + D) a nm 120 2 3 + E) a nm 60 3 + NIVEL 3 21 Un ómnibus tarda 8 segundos en pasar por delante de un observador y 38 segundos en cruzar una estación. Sabiendo que si aumentamos la rapidez del ómnibus en 6 km/h más, tardaría 6 segundos en cruzar por delante de otro observador. Calcula la longitud de la estación. A) 120 m B) 130 m C) 140 m D) 150 m E) 160 m 22 Dos nadadores se dirigen con rapidez constante de un extremo de una piscina hacia el otro extremo, llegan al punto opuesto y vuelven inmediatamente. El primer encuentro se produce a 3 m de un extremo y el segundo a 1/5 de la longitud de la piscina respecto del otro extremo. ¿Cuál es la longitud de la piscina? A) 75 m B) 50 m C) 30 m D) 60 m E) 90 m 23 Se tiene un circuito cerrado de 420 metros. Dos corredores pasan por un mismo punto, en el mismo sentido, y al cabo de media hora uno de ellos le saca dos vueltas de ventaja al otro. Pero si pasaran en sentidos contrarios, a los 6 minutos se cruzarían por segunda vez. ¿Cuál es la rapidez del más lento? A) 50 m/min B) 55 m/min C) 56 m/min D) 58 m/min E) 60 m/min 24 Un móvil pasa por A a las 6 a.m. y llega a B a las 4 p.m.; otro móvil pasa por B a las 7 a.m. y llega a A a las 3 p.m. Si la distancia de A a B es xyz km, ¿a qué hora se encontraron por el camino? A) 11 a.m. B) 10 a.m. C) 12 m. D) 9 a.m. E) 1 p.m.
- 35. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 35 25 UnmaratonistapartedeAendireccióna Benelmismoinstantequedospersonas parten de B en sentidos opuestos. El maratonista encuentra a uno en M y al otro lo alcanza en N. Halla la distancia AB sabiendo que las dos personas marchan a la misma rapidez constante y que la rapidez del maratonista es 4 veces la de las personas. Además MN = 16 km. A) 30 km B) 32 km C) 40 km D) 36 km E) 48 km 26 Con respecto a la figura mostrada el móvil B parte 2 s después de A. Indica con una (V) si es verdadera y con una (F) si es falsa cada proposición. A 66 m B 3 m/s 2 m/s I. Se encuentran después de 62 s que salió el móvil A. ( ) II. El móvil B recorre 120 m hasta ser alcanzado por el móvil A. ( ) III. El móvil B utiliza 60 s para encontrarse con el móvil A. ( ) A) FFF B) FFV C) VFF D) VVV E) VVF 27 Un caminante descansa 10 minutos después de cada 5 km de recorrido. Al llegar al kilómetro 30, ¿cuántos minutos ha descansado? UNMSM 2000-I A) 50 minutos B) 45 minutos C) 55 minutos D) 1 hora E) 40 minutos 28 Dos personas A y B separadas por una distancia de 3600 metros salen a la misma hora y van al encuentro una de otra. El encuentro ocurre a los 2000 metros de uno de los puntos de partida. Si la persona que va más despacio hubiera salido 6 minutos antes que la otra, el encuentro hubiera ocurrido en el punto medio del camino, ¿cuál es la rapidez de cada persona? A)60m/miny70m/min B)50m/miny75m/min C)50m/miny70m/min D)60m/miny75m/min E)65m/miny75m/min 29 Dos círculos concéntricos de radios 60 y 40 cm respectivamente, se mueven de modo que sus centros recorren 2 rectas perpendiculares, con una rapidez de 8 y 6 m/s cada uno. ¿En qué tiempo los círculos pasarán de la posición tangentes interiores a tangentes exteriores? A)6s B)8s C)10s D)12s E)10,5s 30 Un móvil se desplaza de “A” hacia “B” en 10 s. Halla la rapidez media del móvil si: OA = 10 m. A) 2 m/s B) 2 m/s C) 2 1 m/s D) 1 m/s E) 2 2 m/s O B A NIVEL 1 1. C 2. D 3. C 4. A 5. A 6. B 7. E 8. D 9. C 10. B NIVEL 2 11. A 12. C 13. C 14. C 15. B 16. A 17. B 18. C 19. A 20. C NIVEL 3 21. D 22. C 23. C 24. A 25. A 26. D 27. A 28. D 29. C 30. B Claves
- 36. Intelectum Evolución 3.° 36 Para un mejor aprendizaje de este capítulo, clasificaremos los problemas de la siguiente manera: • Problemas sobre campanadas. • Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir. • Problemas sobre adelantos y atrasos. • Problemas sobre ángulos formados por las manecillas del reloj. PROBLEMAS SOBRE CAMPANADAS En este grupo veremos problemas que involucran campanas y relojes que indican la hora dando campanadas. Para ello se debe tener en cuenta lo siguiente: Número de intervalos = - 1 Número de campanadas Tiempo total = # (número de intervalos) (tiempo de cada intervalo) Ejemplo: Se tiene un reloj que indica la hora con igual número de campanadas. Si para indicar que son las 5:00 a.m., demoró 8 s, ¿cuánto demorará para indicar que son las 10:00 a.m.? Resolución: Gráficamente: 2 s 2 s 2 s 8 s 4 intervalos 2 s 1 2 3 4 5 2 s 2 s t . . . 9 intervalos 2 s 1 2 3 9 10 5:00 a.m. & 5 campanadas n.° intervalos = 5 - 1 = 4 Tiempo de cada intervalo = 8 ' 4 = 2 s 10:00 a.m. & 10 campanadas n.° intervalos = 10 - 1 = 9 Tiempo total = 9 # 2 s = 18 s ` Demora 18 s. PROBLEMAS SOBRE TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR En este grupo veremos problemas que involucran el transcurrir del tiempo ya sea 1 día, 1 semana, 1 mes o 1 año. Ejemplo: Si el tiempo transcurrido del día excede en 4 h a la tercera parte del tiempo que queda del día. ¿Qué hora es? Resolución: x Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir 24 - x Según el enunciado: x - x 3 24 - b l = 4 3x - 24 + x = 12 4x = 36 & x = 9 ` Son las 9:00 a.m. Cronometría Para expresar el número de intervalos, al número de campanadas le restamos una unidad. Ejemplo: 6 campanadas <> 5 intervalos 4 campanadas <> 3 intervalos 8 campanadas <> 7 intervalos Atención Otra forma: 5 campanadas 8 s 10 campanadas x s Luego: 5 campanadas <> 4 intervalos 10 campanadas <> 9 intervalos Entonces: 8 s 4 intervalos x 9 intervalos 4x = 72 x = 18 s Importante Para este tipo de problemas nos ayudaremos de un gráfico representado por una recta, tomando como base 1 día que tiene 24 horas. 24 h x 24 - x Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir
- 37. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 37 PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS Enestegrupoveremosproblemasqueinvolucranrelojesqueporunmalfuncionamiento se adelantan o atrasan. Para ello se debe tener en cuenta lo siguiente: Cuando un reloj se atrasa: Hora real = Hora que marca + Atraso total Cuando un reloj se adelanta: Hora real = Hora que marca - Adelanto total Ejemplo 1: Siendo las 4:00 p.m. un reloj se empieza a atrasar a razón de 4 minutos cada hora. ¿Qué hora marcará cuando en realidad sean las 4:00 a.m. del día siguiente? Resolución: • Observamos que desde las 4:00 p.m. hasta las 4:00 a.m. hay 12 horas. • Si en 1 hora se atrasa 4 minutos, entonces en 12 horas se atrasa: 12(4) = 48 minutos. • Luego: hora que marca = 4:00 a.m. - 48 min = 3:12 a.m. ` Marcará las 3:12 a.m. Ejemplo 2: Siendo las 3:30 p.m. un reloj marca las 3:36 p.m. Si dicho reloj se adelanta 1 minuto cada 2 horas, ¿a qué hora empezó a adelantarse? Resolución: • Como son las 3:30 p.m. y el reloj está marcando las 3:36 p.m., entonces se ha adelantado 6 minutos. • Ahora por cada 2 horas se adelanta 1 minuto, entonces para que tenga un adelanto de 6 minutos debió transcurrir: 6(2) = 12 horas. • Luego: hora que empezó a adelantarse = 3:30 p.m. - 12 h = 3:30 a.m. ` Empezó adelantarse a las 3:30 a.m. PROBLEMAS SOBRE ÁNGULOS FORMADOS POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ En este tipo de problemas veremos aquellos que involucran al desplazamiento tanto del horario como del minutero, y el ángulo que forman las manecillas a determinadas horas. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6° 30° Marcas horarias 30° 30° 2 • La circunferencia del reloj está dividida en 12 espacios separados por marcas horarias. • Cada espacio entre las marcas horarias tiene una medida de 30°. • El espacio comprendido entre 2 marcas horarias está dividido en 5 espacios que son los minutos. • El espacio correspondiente a un minuto tiene una medida de 6°. Atención Atraso Tiempo real HM HR Tiempo ficticio Atraso HR = HM + Atraso Donde: HR: hora real HM: hora marcada Atención Adelanto Tiempo real Adelanto HR HM Tiempo ficticio HR = HM - Adelanto Donde: HR: hora real HM: hora marcada Recuerda • Un reloj de manecillas posee 12 divisiones que corresponden a las horas y cada una de estas posee 5 pequeñas divisiones que corresponden a los minutos. • La circunferencia del reloj representa 360°. Luego: 60 div <> 60 min <> 360° 1 div <> 1 min <> 6°
- 38. Intelectum Evolución 3.° 38 Ahora analicemos los desplazamientos tanto del horario como del minutero. a) b) Desplazamiento del minutero (en minutos) Desplazamiento del minutero (en minutos) Desplazamiento del horario (en minutos) Desplazamiento del horario (en grados) 60 min 30 min 48 min 24 min x min 60 min 30 min 40 min 10 min x min 5 min 2,5 min 4 min 2 min (x/12) min 30° 15° 20° 5° (x/2)° Ejemplos: Grafica las posiciones de las manecillas del reloj en cada caso, e indica el ángulo que se desplaza el horario. • 2:24 • 4:12 • 6:40 • 10:44 Resolución: • 2:24 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 α • 4:12 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 α • 6:40 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 α • 10:44 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 α ° 2 24 α = b l a = 12° ° 2 12 α = b l a = 6° ° 2 40 α = b l a = 20° ° 2 44 α = b l a = 22° Atención Cada vez que el minutero avanza una cantidad en minutos, entonces el horario avanza en minutos la doceava parte de dicha cantidad. Ejemplo: minutero horario 36 min 3 min 12 min 1 min Observación Cada vez que el minutero avanza una cantidad en minutos, entonces el horario avanza la mitad de dicha cantidad pero en grados. Ejemplo: minutero horario 50 min 25° 20 min 10° Importante Para resolver este tipo de problemas se recomienda analizar a partir de la hora exacta anterior a la hora indicada. Ejemplo: Hora indicada Hora exacta 2:35 2:00 3:47 3:00 4:15 4:00
- 39. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 39 Fórmulas para calcular el ángulo que forman el horario y el minutero • Cuando el horario adelanta al minutero. 1 3 4 5 6 7 8 9 H M 10 11 12 2 θ “H” antes que “M” q = 30H - 2 11 M • Cuando el minutero adelanta al horario. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 H M 11 12 2 θ “M” antes que “H” q = 2 11 M - 30H Ejemplo: Halla el ángulo formado por las manecillas del reloj cuando son las 7:54. Resolución: Gráficamente: 1 3 4 5 6 7 8 H M 9 10 11 12 2 θ Se observa que el minutero adelanta al horario, entonces usamos la segunda relación: q = 2 11 M - 30H q = 2 11 (54) - 30(7) q = 297 - 210 q = 87° Observación Cuando el horario marca las 12 h se toma H = 0. Ejemplo: ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 12:10? M = 10; H = 0 q = 2 11 (M) - 30H q = 2 11 (10) - 30(0) q = 55° Halla q: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 θ H = 9; M = 36 q = 30(9) - 2 11 (36) & q = 72° Halla q: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 θ H = 5; M = 48 q = 2 11 (48) - 30(5) & q = 114°
- 40. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 40 1 Un reloj da 4 campanadas en 6 s. ¿En cuántos segundos dará 8 campanadas? Resolución: Campanadas Intervalos Tiempo 4 3 6 8 7 x Luego: 3x = 6 . 7 x = 14 s ` 8 campanadas dará en 14 s. 2 El reloj de una iglesia suena solamente cada hora para indicar la hora con el número de campanadas. ¿Cuántas campanadas dará en una semana? Resolución: En 1 día: Hasta el mediodía: 1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = 78 Hasta la medianoche: 1 + 2 + 3 + ... + 10 + 11 + 12 = 78 En un día el total será: 2(78) = 156 En una semana: 7(156) = 1092 campanadas 3 Si el doble de las horas transcurridas en un día es igual al cuádruple de las que faltan transcurrir. ¿Qué hora es? Resolución: Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir 24 - x x Según el enunciado: 2x = 4(24 - x) 2x = 96 - 4x 6x = 96 x = 16 ` Son las 4:00 p.m. 4 Faltan para las 8:00 a.m. la mitad de los minutos que pasarán desde las 6:00 a.m. de esta mañana hasta la hora actual. ¿Qué hora indica el reloj? Resolución: Hora exacta Tiempo transcurrido Tiempo que falta transcurrir 8:00 x 2x 6:00 2h = 120 min Del gráfico: 2x + x = 120 & 3x = 120 & x = 40 min Luego: 2x = 80 min Hora exacta: 6 h + 80 min ` Son las 7:20 a.m. 5 Un reloj se adelanta 10 minutos cada hora. Si son las 8:00 a.m. ¿Qué hora marcará el reloj a las 2 p.m.? Resolución: El tiempo transcurrido desde las 8:00 a.m. hasta las 2 p.m. es 6 horas. Si: 1 h 10 min 6 h x & x = 6 # 10 x = 60 min = 1 h Luego, la hora que marca es: 2 p.m. + 1 h = 3 p.m. 6 Un reloj se retrasa 10 minutos por día. ¿En cuántos días volverá a marcar la hora exacta? Resolución: Para que vuelva a marcar la hora exacta se debe retrasar 12 h = 720 min. Luego: 10 min 1 día 720 min x 10x = 720 & x = 72 días
- 41. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 41 7 ¿Cuánto mide el ángulo formado por las manecillas del reloj a las 6 h 20 min? Resolución: Como el horario está delante del minutero, podemos aplicar: q = 30H - 2 11 M, donde: H = 6 M = 20 Reemplazando: q = 30(6) - 2 11 (20) & 180 - 110 = 70° 8 ¿Cuántos minutos después de las 3 h se forma un ángulo de 53°, luego que el minutero sobrepasó al horario? Resolución: Como el minutero adelanta al horario podemos usar: q = 2 11 M - 30H, donde: q = 53° H = 3 Reemplazando: 53° = 2 11 M - 30(3) 53° = 2 11 M - 90 143 = 2 11 M & M = 26 Luego, 26 min después de las 3 h se forma el ángulo de 53°. 9 ¿A qué hora entre las 4 y 5 h las manecillas de un reloj forman un ángulo recto por primera vez? Resolución: Por primera vez cuando el horario está delante del minutero. q = 30H - 2 11 M q = 90° H = 4 Reemplazando: 90° = 30(4) - 2 11 M & 2 11 M = 30 & M = 11 60 ` La hora será: 4 h 5 11 5 min. 10 ¿A qué hora entre las 2 y las 3, las agujas de un reloj se superponen? Resolución: Como las agujas se superponen: q = 0°; H = 2 Entonces: 2 11 M = 30H Reemplazando: 2 11 M = 30(2) & M = 11 120 ` Se superponen a las 2 h 10 11 10 min. 11 ¿A qué hora, entre las 4 y 5, las manecillas de un reloj se encuentran en sentido opuesto? Resolución: Veamos en el reloj: 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 Como el minutero está adelante del horario, usamos la fórmula: q = M 2 11 – 30H Donde. H = 4; q = 180° Reemplazamos: 180 = M 2 11 – 30(4) M 2 11 = 300 M = 54 M 11 600 11 6 & = ` Son las 4 h 54 11 6 min.
- 42. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 42 1. Un campanario tarda 4 s en tocar 5 campanadas. ¿Cuánto tardará en tocar 10 campanadas? A) 3 s B) 6 s C) 9 s D) 12 s E) 15 s 2. Uncampanariotoca9campanadasen24s.¿Cuántas campanadas tocará en 18 segundos? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 3. Un campanario da 7 campanadas en 4 segundos. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 campanadas? A) 30 s B) 32 s C) 35 s D) 40 s E) 42 s 4. Un reloj da 3 campanadas cada 3 minutos. ¿En cuántos minutos dará 9 campanadas? A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 5. Un campanario señala las horas con igual número de campanadas. Si para dar las 5:00 a.m. demora 8 segundos, ¿cuánto demorará para indicar las 12:00 m.? A) 15 s B) 22 s C) 43 s D) 16 s E) 25 s 6. Un reloj se adelanta 7 minutos cada 6 horas. Al cabo de 18 horas, ¿cuánto se habrá adelantado? A) 15 min B) 16 min C) 18 min D) 21 min E) 24 min 7. ¿Qué hora es, si en este instante el tiempo que falta para acabar el día excede en 5 horas al tiempo transcurrido? A) 9:10 B) 9:20 C) 9:30 D) 9:40 E) 9:50 8. Manuel le pregunta a José por la hora y este le responde: “Para saber la hora, debes sumar la mitad del tiempo transcurrido del día con 1/3 del tiempo que falta para acabar el día”. ¿Qué hora es? A) 9:35 B) 9:34 C) 9:36 D) 9:45 E) 9:54
- 43. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 43 9. Un trabajador puede realizar una tarea en 7 horas. ¿Qué parte de la tarea hará desde las 8:45 a.m. hasta las 11:05 a.m.? A) 1/2 B) 1/3 C) 1/5 D) 2/3 E) 3/4 10. Son más de las 6 a.m. pero todavía no son las 10 a.m.. Si los minutos que transcurrieron es a los minutos que faltan por transcurrir como 3 es a 5. ¿Qué hora será dentro de 4 horas? A) 10 h 30 min B) 7 h 30 min C) 9 h 30 min D) 11 h 30 min E) 8 h 30 min 11. Halla 2 a b + _ i , si el reloj marca la 1:32 p.m. 12 6 3 9 11 10 2 1 4 5 7 8 A) 7° B) 9° C) 11° D) 13° E) 15° 12. ¿Cuántos grados le lleva el ángulo mayor al menor que forma el horario y el minutero a las 3:50? A) 15° B) 17° C) 14° D) 20° E) 10° 13. Entre las 8 y las 9 h, ¿a qué hora están superpuestas las agujas de un reloj? A) 8 h 44 min B) 8 h 42 min C) 8 h 45 min D) 8 h 43 11 7 min E) 8 h 44 11 7 min 14. ¿Cuál es el mayor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 12 h 36 min? A) 178° B) 188° C) 198° D) 162° E) 196° Halla “a”: α 3 6 9 12 α 3 6 9 12 Luego de 30 minutos Rpta.: 82,5° 1. C 2. A 3. B 4. B 5. B 6. D 7. C 8. C 9. B 10. D 11. D 12. E 13. D 14. C
- 44. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 44 NIVEL 1 1 ¿Qué hora es, si el tiempo transcurrido representa 5 1 del tiempo que falta transcurrir? A) 3 a.m. B) 4 a.m. C) 5 a.m. D) 6 a.m. E) 7 a.m. 2 ¿Qué hora es, si el tiempo transcurrido representa los 5 3 del tiempo que falta transcurrir? A) 17 h B) 8 h C) 9 h D) 10 h E) 12 h 3 Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. ¿En cuántos segundos dará 12 campanadas? A) 10 s B) 11 s C) 12 s D) 14 s E) 13 s 4 Faltan para las 9 horas la mitad de minutos que pasaron desde las 6 h. ¿Qué hora marca el reloj? A) 7 h B) 6 h C) 9 h D) 8 h E) 5 h 5 Silvana esperó a Juan en un paradero desde las 5 de la tarde con 35 minutos, y este apareció a las 6 de la tarde con 28 minutos. ¿Cuántos minutos duró la espera? A) 52 min B) 53 min C) 45 min D) 48 min E) 51 min 6 En cierto momento del día, el tiempo transcurrido es 1/5 de lo que falta transcurrir. ¿Qué hora es? A) 7 a.m. B) 6 a.m. C) 5 a.m. D) 4 a.m. E) 3 p.m. 7 Un reloj da 4 campanadas en 6 s. ¿En cuánto tiempo dará 8 campanadas? A) 6 s B) 12 s C) 10 s D) 13 s E) 14 s 8 Se tiene que realizar una tarea en 12 horas. ¿Qué parte de la tarea se hará desde las 6:15 a.m. hasta las 7:45 a.m.? A) 8 1 B) 3 2 C) 6 1 D) 8 3 E) 4 1 9 Un reloj da 5 campanadas en 5 s. ¿Cuántas campanadas dará en 25 segundos? A) 19 B) 20 C) 21 D) 23 E) 25 10 Un reloj se adelanta 2 minutos cada 8 minutos. Si ahora marca las 2 h 15 min y hace 3 horas que se adelanta, entonces la hora correcta es: A) 1 h 20 min B) 1 h 22 min C) 1 h 30 min D) 1 h 45 min E) 1 h 40 min
- 45. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 45 NIVEL 2 11 La cuerda de un reloj dura 16 horas 50 min. Si se da cuerda al reloj a las 3 horas 45 min, ¿hasta qué hora funcionará el reloj? A) 21 h 15 min B) 21 h 35 min C) 18 h 25 min D) 20 h 35 min E) 20 h 45 min 12 Un campanario tarda 8 segundos en tocar 5 campanadas. ¿Cuánto tiempo tardará en tocar 10 campanadas? A) 16 s B) 17 s C) 19 s D) 18 s E) 20 s 13 Un campanario tarda 3 segundos en tocar 4 campanadas. ¿Cuántas campanadas tocará en 8 segundos? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 7 14 Un reloj se adelanta 3 minutos cada 5 minutos. Si hace ya 45 minutos que viene funcionando con ese desperfecto, ¿qué hora señalará el reloj cuando sean en realidad las 8 h 50 min? A) 8:17 B) 10:25 C) 8:23 D) 9:17 E) 9:23 15 Un reloj señala la hora con igual número de campanadas. Si para indicar las 4 a.m. demoró 5 segundos, ¿cuánto tiempo empleará para indicar las 7 p.m.? A) 10 s B) 9 s C) 30 s D) 18 s E) 19 16 Un reloj se atrasa 5 minutos cada 45 minutos. Si ahora marca 4 h 10 min y hace 6 horas que se atrasa, entonces la hora correcta es: A) 4 h 55 min B) 4 h 53 min C) 4 h 51 min D) 4 h 50 min E) 4 h 29 min 17 Unrelojseadelanta4segundosporhora.¿Cuántos días como mínimo, deberán transcurrir para que vuelva a marcar la hora exacta? A) 600 días B) 500 días C) 450 días D) 700 días E) 850 días 18 Un reloj de alarma da 73 pitadas en 15 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 19 pitadas? A) 3,74 s B) 3,75 s C) 3,76 s D) 3,78 s E) 3,79 s 19 Un reloj tarda 12 segundos en tocar n campanadas. Si entre campanada y campanada tarda tantos segundoscomocampanadasda,¿cuáleselvalorden? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 NIVEL 3 20 ¿A qué hora entre las 10 y las 11 está el minutero exactamente a 6 minutos del horario? A) 10 h 42 min B) 10 h 46 min C) 10 h 48 min D) 10 h 30 min E) 10 h 52 min
- 46. Intelectum Evolución 3.° 46 21 ¿Cuáleselmenoránguloqueformanlasmanecillas del horario y minutero a las 3 h 30 min? A) 60° B) 70° C) 75° D) 80° E) 85° 22 Exactamente a las 9 de la mañana se malogra un reloj de modo que se adelanta 6 minutos cada 10 horas. ¿Cuánto tiempo pasará hasta que dicho reloj marque nuevamente la hora exacta? A) 50días B)49días C)48días D) 51 días E) 47 días 23 ¿Qué ángulo forman entre sí las agujas del horario y minutero a las 9 h 10 min? A) 145° B) 137° C) 123° D) 132° E) 134° 24 ¿Cuáleselmenoránguloqueformanlasmanecillas del horario y minutero a las 10 h 28 min? A) 120° B) 125° C) 146° D) 134° E) 147° 25 ¿Qué ángulo forman las manecillas del horario y minutero a las 9 h 18 min? A) 191° B) 171° C) 176° D) 178° E) 177° 26 ¿A qué hora entre las 8 y las 9 están opuestas las agujas del horario y minutero, aproximadamente? A) 8 h 12 11 10 min B) 8 h 10 11 10 min C) 8 h 20 11 10 min D) 8 h 12 11 9 min E) 8 h 12 11 9 min 27 Unrelojseadelanta75segundos por hora. Si el reloj es puesto a la hora exacta a las 6:00 a.m., ¿qué hora marcará cuando realmente sean las 8:00 p.m.? UNI 2001-I A) 20 h 17 min 30 s B) 20 h 42 min 30 s C) 20 h 00 min 00 s D) 21 h 22 min 30 s E) 20 h 22 min 30 s 28 ¿A qué hora por segunda vez, horario y minutero formarán un ángulo de 40° entre las 4 y las 5 horas? A) 4 h 19 2 1 min B) 4 h 29 3 1 min C) 4 h 27 11 1 min D) 4 h 28 10 1 min E) 4 h 29 11 1 min NIVEL 1 1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D 7. E 8. A 9. C 10. C NIVEL 2 11. D 12. D 13. B 14. D 15. A 16. D 17. C 18. B 19. C NIVEL 3 20. C 21. C 22. A 23. A 24. C 25. B 26. B 27. A 28. E Claves
- 47. 47 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 RAZONAMIENTO INDUCTIVO Es el paso de las proposiciones particulares a generales, es decir, mediante el análisis de experiencias sencillas con las mismas características del problema original, llegamos a conclusiones con amplia posibilidad de ocurrencia que lo llamaremos caso general. Casos particulares Inducción Caso general Ejemplo: ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la siguiente figura? 50 bolitas ... . . . . . . . . . . . . Resolución: Analizamos los casos particulares, conservando la forma original. 2 22 = 4 3 32 = 9 4 42 = 16 ` El número total de bolitas es: 502 = 2500 RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Es aquel tipo de razonamiento que va de lo general a lo particular. Se parte de una afirmación general (que ya ha sido demostrada), la cual se aplica a casos particulares. Casos particulares Deducción Caso general Ejemplo: • Se sabe que todos los bomberos son valientes. • Se sabe también que Pedro es bombero. Por lo tanto, se deduce que Pedro es valiente. Inducción - deducción Atención Ejemplo: (25)2 = 625 (45)2 = 2025 (75)2 = 5625 Podemos concluir que todo número que termina en 5 al elevarlo al cuadrado su resultado termina en 25. (N5)2 = ...25 Importante En esta parte se debe recordar las principales conclusiones básicas, ya aprendidas con anterioridad (criterios generales de la adición, sustracción, multiplicación y división) los cuales ayudarán a verificar los casos particulares. Analizando 3 casos particulares, conservando la forma original, tenemos que: La cantidad total de bolitas es el cuadrado del número de bolitas centrales en cada caso. Como se observa en el gráfico.
- 48. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 48 1 Calcula el valor de M y da como respuesta la suma de sus cifras, siendo: M = (666 ... 66)2 12 cifras Resolución: Caso 1: 62 = 36 & suma de cifras = 9 = 9(1) Caso 2: 662 = 4356 & suma de cifras = 18 = 9(2) Caso3:6662 =44 3556&sumadecifras=27=9(3) Luego, la suma de cifras de M será: 9(12) = 108 2 Si: 1A A2 = 3; calcula: E = 2(A + 3) + 7 Resolución: A2 = 3 # 1A 3 # A = ...2 & A = 4 Luego: E = 2(4 + 3) + 7 ` E = 21 3 Calcula F F = 98 99 100 101 1 # # # + Resolución: Observando nos damos cuenta que tiene una particularidad (producto de cuatro números consecutivos);analizamosloscasosmássimples: Caso 1: 1 2 3 4 1 # # # + = 5 & 1 # 4 + 1 Caso 2: 2 3 4 5 1 # # # + = 11 & 2 # 5 + 1 Caso 3: 3 4 5 6 1 # # # + = 19 & 3 # 6 + 1 Luego, el resultado es igual a multiplicar el menor y mayor de los números y sumarle 1. ` F = 98 # 101 + 1 = 9899 4 Si: P + R + E = 14 PR + EP = 125 Halla: PRE Resolución: Del dato: PR + EP 125 P + R = 5 & E = 9 P + E = 12 & R = 2 P = 3 Luego: PRE = 329 5 Si a la siguiente figura le trazamos 50 rectas parale- las a MN, ¿cuántos triángulos se contarán en total? M N Resolución: Caso 1: n.° de triángulos = 6 = 3(2) M N 1 +1 Caso 2: M N n.° de triángulos = 9 = 3(3) 2 +1 1 Caso 3: M N n.° de triángulos = 12 = 3(4) 3 2 1 +1 Luego: M N n.° total de triángulos = 3(51) 50 2 1 +1 ` El número total de triángulos es 153. 6 Si: MARCOS = 3(SMARCO) S = 1 / O ! cero; halla M. Resolución: SMARCO # 3 MARCOS • 3 # O = ...1 (S = 1) & O = 7 • 3C + 2 = ...7 (se lleva 2) & C = 5 • 3R + 1 = ...5 (se lleva 1) & R = 8 • 3A + 2 = ...8 (se lleva 2) & A = 2 • 3M = ...2 & M = 4
- 49. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 49 7 Halla la suma de cifras del resultado de: T = 999 ... 999 # 12 50 cifras Resolución: Caso 1: 9 # 12 = 108 & 9 = 9(1) Caso 2: 99 # 12 = 1188 & 18 = 9(2) Caso 3: 999 # 12 = 11 988 & 27 = 9(3) La suma de cifras de T será: 9(50) = 450 8 ¿Cuántos triángulos hay en la figura mostrada? 1 2 3 18 ... ... 19 20 Resolución: Aplicamos inducción: n.° de triángulos Caso 1: 1 1 = 1 + 4(0) -1 Caso 2: 2 5 = 1 + 4(1) -1 1 Caso 3: 3 9 = 1 + 4(2) -1 2 1 ` El número de triángulos es: 1 + 4(19) = 77 8 Si: 8n - 8n - 1 = 14, entonces (3n)3n es igual a: Resolución: 8n - 8 8n = 14 & 8n + 1 - 8n = 8 # 14 7 # 8n = 8 # 14 & 8n = 16 23n = 24 & 3n = 4 ` (3n)3n = 44 = 256 10 Si: a + b + c = 0 Calcula la suma de las cifras de T: T = (xxx ... xxx)2 100 cifras Sabiendo además que: x bc a ac b ab c 2 2 2 = + + Resolución: a + b + c = 0 & a3 + b3 + c3 = 3abc ... (a) Luego: x = abc a b c 3 3 3 + + = abc abc 3 = 3 & x = 3 Además: T = (333 ... 333)2 100 cifras Aplicamos inducción: Suma de cifras 32 = 9 9 = 9(1) 332 = 1089 18 = 9(2) 3332 = 110 889 27 = 9(3) ` Suma de cifras = 9(100) = 900
- 50. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 50 1. ¿Cuántos palitos se han empleado en total para formar la siguiente figura? 1 2 3940 . . . . . . . . . A) 1520 B) 1560 C) 1848 D) 1763 E) 1680 2. ¿Cuántos cerillos se han utilizado para formar la siguiente figura? 1 2 3 23 24 25 . . . ... . . . A) 1300 B) 1200 C) 1400 D) 1500 E) 1100 3. ¿Cuántas bolitas blancas habrá en la figura número 25? Fig. n.° 1 Fig. n.° 2 Fig. n.° 3 Fig. n.° 4 ... A) 305 B) 325 C) 300 D) 335 E) 315 4. ¿Cuántos cubos simples presenta la figura número 20? Fig. n.°1 Fig. n.° 2 Fig. n.° 3 Fig. n.° 4 ... A) 375 B) 350 C) 300 D) 200 E) 400 5. ¿Cuántostriángulossepuedencontarenlasiguiente figura? 1 2 3 ... . . . . . . 18 19 20 A) 420 B) 250 C) 610 D) 345 E) 820 6. ¿Cuántos puntos de contacto hay en F(20)? ; ; ; F(1) F(2) F(3) ... A) 450 B) 500 C) 550 D) 630 E) 650 7. Calcula la suma de cifras del resultado de A. ... ... A 555 555 999 999 cifras cifras 100 100 # = 1 2 3 4 4 4 4 1 2 3 4 4 4 4 A) 925 B) 625 C) 905 D) 900 E) 855 8. ¿Cuántos triángulos habrá en la figura de posición 20? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 ; ; ; ... A) 190 B) 240 C) 420 D) 200 E) 210
- 51. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 51 9. Calcula la suma de cifras del resultado de A. ( ... ) A 999 9995 cifras 101 2 = 1 2 3 4 4 4 4 A) 900 B) 925 C) 625 D) 901 E) 907 10. Calcula el total de bolitas de F(15). ; ; ; F(1) F(2) F(3) ... A) 272 B) 150 C) 136 D) 250 E) 408 11. Calcula la suma de los números de la fila 20 (F20) en: F1 F2 F3 F4 ... ... 2 4 6 8 10 12 14 16 20 18 A) 8020 B) 4040 C) 16 020 D) 8000 E) 16 000 12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra BUENO? B U E N O U E E N N N O O O O A) 8 B) 16 C) 32 D) 48 E) 64 13. Calcula la suma de cifras del resultado de N. 111...111 222...222 N = - 200 cifras 100 cifras A) 100 B) 200 C) 300 D) 450 E) 900 14. Calcula: ... ... ... M 13 23 1313 2323 131 313 232 323 13 13 23 23 cifras cifras 78 78 = + + + + ? S A) 46 B) 23 C) 69 D) 92 E) 115 Calcula el total de cuadraditos existentes, menos el número de cuadraditos pintados de la fila 20. . . . Fila 1 Fila 2 Fila 3 Rpta.: 218 1. E 2. A 3. B 4. E 5. C 6. D 7. D 8. E 9. E 10. C 11. A 12. B 13. C 14. C
- 52. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 52 NIVEL 1 1 ¿Cuántos cuadraditos no sombreados presenta la siguiente figura? A) 210 B) 171 C) 245 D) 190 E) 153 2 En la siguiente sucesión, determina el número de esferas en la figura 23. A) 253 B) 276 C) 325 D) 300 E) 552 3 Halla la suma de cifras del resultado final de: ( ... ) M 6666 66 cifras 2 135 = 1 2 3 4 4 4 4 A) 1215 B) 1422 C) 1400 D) 1323 E) 1200 4 En el siguiente arreglo numérico, halla la suma de todos los términos. 1 2 3 4 ... 30 2 3 4 5 ... 31 3 4 5 6 ... 32 h 30 ... A) 30 000 B) 23 400 C) 36 000 D) 27 000 E) 90 000 1 2 3 4 3233 35 34 . . . . . . . . . Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 ... 5 ¿Cuántos triángulos hay en F80? A) 100 B) 180 C) 190 D) 159 E) 179 6 Halla la suma de cifras de S. ( ... ) S 6666 6 a cifras 2 = 1 2 3 4 4 4 4 A) 3a2 + 1 B) 4a + 2 C) 9a D) 25a - 6 E) 5a2 - 2 7 ¿Cuántos rectángulos se podrán contar como máximo en la posición P(15)? P(1) P(2) P(3) P(4) A) 120 B) 140 C) 150 D) 160 E) 180 8 Calcula la siguiente suma: ... S 1 2 1 2 3 1 3 4 1 650 1 # # # = + + + + A) 650 1 B) 26 25 C) 1 D) 27 26 E) 650 26 9 Calcula la suma de los términos de la fila 23. 1 → F1 3 5 → F2 7 9 11 → F3 13 15 17 19 → F4 A)13243 B)16343 C)12167 D)15342 E)2654 ... F1 F2 F3 F4
- 53. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 53 10 Calcula la suma de cifras del resultado de: 1guatda.com/cmx.p111...11 22...2 - 50 cifras 25 cifras A) 50 B) 75 C) 200 D) 125 E) 625 NIVEL 2 11 Calcula el valor de: M 1 40 41 42 43 # # # = + Da como respuesta la suma de sus cifras. A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14 12 Calcula la suma de términos del siguiente arreglo de diez filas por diez columnas. A) 2515 B) 3000 C) 3421 D) 3993 E) 2187 13 Halla el número total de puntos de contacto en el siguiente arreglo: A) 810 B) 570 C) 670 D) 520 E) 940 3 6 9 12 ... 30 6 9 12 ... 33 9 12 15 ... 36 12 15 18 ... h 30 ... ... 1 2 3 19 20 14 ¿Cuántos puntos de intersección (línea - eje) se podrán contar en la siguiente configuración si la enumeración continúa hasta 50? A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27 15 ¿Cuántos puntos de corte hay en la figura? ... ... 1 2 3 2001 ... A) 8000 B) 8002 C) 8004 D) 2001 E) 4002 16 Efectúa: ... ... 1 3 5 4443 2 4 6 4444 + + + + + + + + A) 4443 4444 B) 2222 2223 C) 2 1 D) 2221 2222 E) 2220 2221 17 Calcula la cantidad total de esferas que hay en el siguiente arreglo triangular. A) 5000 B) 5020 C) 5050 D) 5100 E) 5150 12 4 2 6 8 0 10 1 2 3 98 99 100 ... . . . . . .
- 54. Intelectum Evolución 3.° 54 18 Calcula la suma de cifras del resultado del siguiente producto: ( ... ) ( ... ) R 333 331 333 338 cifras cifras 100 100 # = 1 2 3 44 4 4 1 2 3 44 4 4 A) 899 B) 898 C) 798 D) 799 E) 784 19 ¿Cuántos puntos de corte hay en F20? A) 400 B) 200 C) 480 D) 800 E) 420 20 ¿Cuántos cerillos se necesitarán para formar la figura de la posición (P200)? A) 27 000 B) 80 300 C) 28 900 D) 80 400 E) 28 500 NIVEL 3 21 Enelarreglomostrado,¿cuántoscerilloshayentotal? A) 600 B) 551 C) 672 D) 650 E) 630 ... F1 F2 F3 ... P3 P2 P1 1 2 3 4 5 ... . . . . . . 19 20 22 ¿Cuántos círculos sombreados hay en el siguiente arreglo? A) 183 B) 179 C) 205 D) 191 E) 181 23 A la clase de inducción asistió cierto número de alumnos. Si cada uno fue cortés con los demás y se contaron 1275 saludos, ¿cuántos alumnos asistieron a la clase? A) 25 B) 36 C) 40 D) 51 E) 50 24 Calcula la suma de todos los términos de: A)2n -1 B)2n+1 -1 C)2n+1 +1 D) 2n-1 - 1 E) 2n+1 - 2 25 Apartirdelafiguraquesepresentaacontinuación, indica la expresión, en función de N, que permite determinar el número total de cuadrados. UNI 2006-I A) ( )( ) N N N 6 1 2 1 + + B) ( ) N N 2 1 + C) ( )( ) N N N 3 1 2 + + D) ( ) N N 4 1 2 + E) ( ) N N 6 1 3 + ... ... . . . . . . 1 2 3 45 4647 899091 1 1 1 2 1 1 1 1 3 3 1 1 n n 1 4 1 4 6 h h N N
- 55. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 55 26 En la siguiente secuencia, determina el número de círculos no sombreados, en la colección de círculos que ocupa la figura 20. A) 400 B) 461 C) 561 D) 861 E) 360 27 ¿Cuántas bolitas blancas habrá en la figura 40? A) 800 B) 821 C) 856 D) 824 E) 868 28 En el siguiente arreglo triangular, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer “por inducción” en dirección de arriba hacia abajo y a igual distancia una letra de otra en cada lectura? N N N N N N N N N N N N O O O O O O O O O O O I I I I I I I I I I C C C C C C C C C C C C C C C C C U U U U U U U D D D D D D N N N N N I I I I R R R O O P F1 F2 F3 ... ... Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 A) 212 B) 211 C) 211 +1 D) 212 + 1 E) 212 - 1 29 En el siguiente arreglo numérico, halla la suma del primer y del último término de la fila 30. Fila 1 1 Fila 2 3 5 Fila 3 7 9 11 Fila 4 13 15 17 19 Fila 5 21 23 25 27 29 A) 1024 B) 900 C) 1250 D) 1800 E) 3000 30 Para construir el triángulo se han usado 120 esferas. Halla x. A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19 1 2 ... ... . . . . . . (x - 4) NIVEL 1 1. E 2. B 3. A 4. D 5. D 6. C 7. A 8. B 9. C 10. B NIVEL 2 11. B 12. B 13. B 14. C 15. B 16. B 17. C 18. A 19. C 20. D NIVEL 3 21. B 22. E 23. D 24. B 25. A 26. B 27. B 28. B 29. D 30. E Claves
- 56. 56 Intelectum Evolución 3.° TIPOS DE PROMEDIO Promedio aritmético (PA) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an PA = ... n a a a an 1 2 3 + + + + Ejemplo: Calcula el promedio aritmético de 17; 20, 23; 25; 30 y 35. Resolución: PA = 6 17 20 23 25 30 35 6 150 + + + + + = = 25 Promedio geométrico (PG) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an PG = ... a a a an n 1 2 3 # # # # Ejemplo: Calcula el promedio geométrico de 2; 3; 8 y 27. Resolución: PG = 2 3 8 27 16 81 4 4 # # # # = = 2 # 3 = 6 Promedio armónico (PH) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an PH = ... a a a a n 1 1 1 1 n 1 2 3 + + + + Ejemplo: Calcula el promedio armónico de 2; 3; 5; 6 y 7. Resolución: PH 2 1 3 1 5 1 6 1 7 1 5 210 105 70 42 35 30 5 210 282 5 47 175 = + + + + = + + + + = = Promedio ponderado (PP) Sean las cantidades: a1; a2; a3; ...; an Los pesos: p1; p2; p3; ...; pn PP = ... ... p p p p a p a p a p a p n n n 1 2 3 1 1 2 2 3 3 + + + + + + + + Promedios El promedio es una cantidad representativa de un conjunto de datos, cuyo valor está comprendido entre el menor y mayor de los datos. Ejemplo: Determina la nota promedio de un alumno si al dar 3 exámenes obtuvo 12; 14 y 10; siendo los pesos 1; 2 y 3, respectivamente. PP = ( ) ( ) ( ) 1 2 3 12 1 14 2 10 3 + + + + PP = 11, 6 12 28 30 6 + + = ! Observación Para dos o más datos a) Si no todos son iguales: PA > PG > PH b) Si todos los datos son iguales: PA = PG = PH Atención Solo para dos datos "a" y "b" se tiene: • MA(a; b) = a b 2 + • MG(a; b) = ab • MH(a; b) = a b ab 2 + También • MG2 = MA . MH • (a - b)2 = 4(MA2 -MG2 )
- 57. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 57 1 El promedio de 9 números es A/3. Si el promedio de 4 de ellos es 5A/8, halla el promedio de los nú- meros restantes. Resolución: Sean los números: a1, a2, a3, ... , a9 Por dato del problema: ... a a a a A 9 3 1 2 3 9 + + + + = & a1 + a2 + a3 + ... + a9 = 3A Luego: a a a a A 4 8 5 1 2 3 4 + + + = & a1 + a2 + a3 + a4 = 2 5 A Piden: a a a a a 5 5 6 7 8 9 + + + + Entonces: ( ... ) ( ) a a a a a a a a 5 1 2 3 9 1 2 3 4 + + + + - + + + / / A A A 5 3 5 2 5 2 = - = ` a a a a a A 5 10 5 6 7 8 9 + + + + = 2 La media aritmética de 50 números es “n” y la media aritmética de otros 30 números es (n - 8). Calcula el valor de “n” si la media aritmética de los 80 números es 12. Resolución: Sean los 50 números: a1, a2, a3, ..., a50 ... a a a a n 50 1 2 3 50 + + + + = & a1 + a2 + a3 + ... + a50 = 50n Sean los 30 números: b1, b2, b3, ..., b30 ... 8 b b b b n 30 1 2 3 30 + + + + = - & b1 + b2 + b3 + ... + b30 = 30n - 240 Luego: ( ... ) ( ... ) a a a a b b b b 80 1 2 3 50 1 2 3 30 + + + + + + + + + = 12 50n + 30n - 240 = 960 80n = 1200 & n = 15 ` El valor de “n” es 15. 3 Para dos números enteros y diferentes de cero y de la unidad, se cumple que: (MA)3 . (MH)3 = 4096 Halla la MA. Resolución: Dato: (MA)3 . (MH)3 = 4096 (MA # MH)3 = 4096 (MG2 )3 = 4096 (MG)2 = 16 Sean “a” y “b” los números: a . b = 16 8 2 Finalmente: MA(a, b) = 2 8 2 + = 5 4 La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de los alumnos de un aula. Halla la edad promedio. n.° de alumnos 6 4 8 10 9 Edad 12 13 14 11 15 Resolución: Edad promedio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 8 10 9 6 12 4 13 8 14 10 11 9 15 = + + + + + + + + 37 72 52 112 110 135 37 481 = + + + + = ` Edad promedio es 13. 5 Sean a y b dos números, si el producto de su media aritmética con su media armónica es igual al doble de su media geométrica; entonces el menor valor de “a + b” es: Resolución: Del enunciado: MA # MH = 2MG MG2 = 2MG MG2 - 2MG = 0 MG(MG - 2) = 0 MG = 0 0 MG = 2 ab = 2 14 & 1 + 4 = 5 22 & 2 + 2 = 4 41 & 4 + 1 = 5 ` El menor valor de a + b es 4.
- 58. Intelectum Evolución 3.° 58 6 Si: a b b c a c 5 10 8 + = + = + . Halla: ( ) ( ) MA a b c MA a b c 3 2 3 2 + + + + Resolución: De a b b c 5 10 + = + & 2a + 2b = b + c 2a + b = c ...(I) De b c a c 10 8 + = + & 4b + 4c = 5a + 5c 4b - 5a = c ...(II) De (I) y (II): 2a + b = 4b - 5a 7a = 3b a = 2(3k) + 7k c = 13k & b a k k 7 3 = ( ) ( ) MA a b c MA a b c k k k k k k k k 3 2 3 2 3 9 14 13 3 3 21 26 36 50 + + + + = + + + + = ` ( ) ( ) MA a b c MA a b c 3 2 3 2 18 25 + + + + = 7 El promedio armónico de 20 números diferentes es 18 y el promedio armónico de otros 30 números diferentes es 54. Halla el promedio armónico de los 50 números. Resolución: Sean los 20 números: a1; a2; a3; ...; a20 Por dato del problema: ... 18 a a a a 1 1 1 1 20 1 2 3 20 + + + + = ... a a a a 1 1 1 1 18 20 9 10 1 2 3 20 & + + + + = = Sean los 30 números: b1; b2; b3; ...; b30 Por dato del problema: ... b b b b 1 1 1 1 30 54 1 2 3 30 + + + + = ... b b b b 1 1 1 1 54 30 9 5 1 2 3 30 + + + + = = Luego: ... ... a a a a b b b b 1 1 1 1 1 1 1 1 50 1 2 3 20 1 2 3 30 + + + + + + + + + d d n n 30 9 10 9 5 50 9 15 50 = + = = 8 ¿Cuál es el valor de “n” si el promedio geométrico de las “n” primeras potencias de 3 es 2187? Resolución: Sean las n potencias de 3: 31 ; 32 ; 33 ; ..., 3n Por condición del problema: ... 2187 3 3 3 3n n 1 2 3 # # = 3 2187 3 3 ... n n n 1 2 3 7 ( ) n n 2 1 & = = + + + + + 3 n 2 1 n 2 1 7 & & = + + 3 = 7 & n = 13 9 La edad promedio de “P” alumnos de un aula es de “k” años, ninguno de ellos es mayor de “M” años. ¿Cuál es la mínima edad que puede tener uno de ellos? Resolución: Seanlasedadesdelos“P”alumnos:a1;a2;a3;...;aP Pordatodelproblema: ... P a a a a k P 1 2 3 + + + + = & a1 + a2 + a3 + ... + aP = Pk Sea a1 la edad mínima. Ninguno es mayor de M años, entonces: a2 = a3 = a4 = ... = aP = M Luego: a1 + M + M + M + ... + M = Pk (P - 1) a1 + M(P - 1) = Pk & a1 = Pk - PM + M ` a1 = P(k - M) + M 10 El promedio aritmético de 51 números enteros consecutivos es 75, halla dos números consecuti- vos que se debieron quitar para que el promedio aritmético de los números restantes sea 74. Resolución: Sean los 51 números consecutivos: x + 1, x + 2, x + 3, ..., x + 51 Por dato del problema: ( ) ( ) ... ( ) 75 x x x 51 1 2 51 + + + + + + = & (x + 1) + (x + 2) + ... + (x + 51) = 3825 Sean los 2 números consecutivos: a; a + 1 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 74 x x x a a 49 1 2 51 1 + + + + + + - + + = & 3825 - (2a + 1) = 3626 & 199 = 2a + 1 a = 99 & a + 1 = 100 ` Los números son 99 y 100.
- 59. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 59 1. La media geométrica de 2 números es 18 y su media armónica es 14,4. ¿Cuál es su media aritmética? A) 20 B) 22,5 C) 18,5 D) 22 E) 21 2. El producto de los tres promedios de dos números es 512. Si uno de los promedios es 6,4, halla el mayor de los tres promedios. A) 7,2 B) 8,4 C) 9 D) 10,5 E) 10 3. El promedio de 15 números es 18; si de estos 15 números se anulan el 21 y 28, entonces el promedio de los números restantes es: A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 20 4. El promedio aritmético de 60 números es 48; si de los 60 números se anulan el 75 y 79, entonces el promedio de los restantes es: A) 45 B) 48 C) 50 D) 47 E) 52 5. Halla el promedio de los siguientes números: 3; 5; 7, 9; ...; 21 A) 12 B) 13 C) 15 D) 14 E) 16 6. Halla el promedio de los siguientes números: 11; 15; 19; 23; ...; 75 A) 41 B) 43 C) 42 D) 45 E) 46 7. Los dos mayores promedios de 2 números son 4 y 5. Halla la MH. A) 3,2 B) 3,4 C) 3 D) 3,6 E) 3,8 8. Halla un número entero sabiendo que la media armónica de su mitad y su quinta parte es 16. A) 28 B) 56 C) 14 D) 42 E) 65
- 60. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 60 9. La edad promedio de 5 jóvenes es 17 años. Si ninguno de ellos es menor de 15 años, ¿cuántos años tendrán como máximo dos de los jóvenes? A) 18 B) 21 C) 20 D) 19 E) 17 10. La media aritmética de 3 números es 18. Si el mayor de los números es el doble del menor, y el intermedio es la media aritmética de los otros dos, el menor es: A) 12 B) 18 C) 24 D) 16 E) 20 11. Si: MG(a; b) = 12 y MG(a + b; b + 9) = 20. Siendo “a” y “b” enteros y “b” mayor que “a”. Calcula b - a. A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7 12. El siguiente cuadro corresponde a las edades de un grupo de alumnos de un colegio. Calcula la edad promedio por aula. Edad 16 17 18 19 30 Número de alumnos 25 30 50 10 35 A) 20 B) 17 C) 19 D) 18 E) 21 13. El promedio aritmético de 5 números impares consecutivos es igual a: I. El número intermedio. II. La media aritmética del cuarto y quinto número. III. La media aritmética de los extremos. IV. Lamediaaritméticadelsegundoycuartonúmero. Son verdaderas: A) Solo I B) Solo III C) I, III y IV D) III y IV E) I y III 14. El siguiente cuadro corresponde a los ingresos de un grupo de 20 familias de un barrio popular. Calcula el ingreso promedio por familia. n.° de familias Ingreso (S/.) 8 6 3 2 1 180 190 200 240 260 A) S/.163 B) S/.169 C) S/.194 D) S/.196 E) S/.189 “R” alumnos rindieron un examen. Después de la calificación, se vio que la nota promedio de los aprobados fue “A” y de los desaprobados fue “T”. Si la nota promedio de los “R” alumnos fue “U”, ¿cuántos aprobaron el curso? Rpta.: R A T U T - - b l 1. B 2. E 3. C 4. D 5. A 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. E 12. D 13. C 14. D
- 61. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 61 NIVEL 1 1 El promedio de 3 números es 20. Si la suma de los dos primeros es 39, ¿cuál es el tercer número? A) 20 B) 24 C) 18 D) 25 E) 21 2 El promedio de 3 números consecutivos es 18, calcula el promedio de los tres números consecutivos siguientes. A) 15 B) 21 C) 25 D) 28 E) 31 3 El promedio de 2 números pares consecutivos es 17, calcula el promedio de los dos números pares consecutivos siguientes. A) 22 B) 28 C) 21 D) 26 E) 23 4 La media aritmética de 4 números es 31. Si la media aritmética de los dos primeros es 23, calcula el promedio de los dos últimos. A) 38 B) 39 C) 42 D) 37 E) 41 5 Si la media geométrica de “a” y 12 es 6, halla a. A) 2 B) 7 C) 5 D)6 E) 3 6 Si la media armónica de “b” y 24 es 16, halla “b”. A) 12 B) 10 C) 14 D) 11 E) 8 7 El promedio de 3 números impares consecutivos es 15, calcula el promedio de los 4 números impares consecutivos siguientes. A) 25 B) 18 C) 22 D) 24 E) 19 8 La media aritmética de 2 números es 9. Si se triplica el primero y el segundo se disminuye en 2 unidades, el nuevo promedio es 15. Calcula la diferencia de dichos números. A) 6 B) 2 c) 10 D) 4 E) 8 9 Si: A = MA de 19 y 13 B = MA de 8 y 10 Calcula la MG de “A” y “B”. A) 12 B) 14 c) 17 D) 10 E) 11 10 La media aritmética de dos números es 6. Si la relación de dichos números es de 1 a 2, halla el mayor de ellos. A) 11 B) 12 C) 8 D) 16 E) 10 NIVEL 2 11 Halla el promedio: a; a; a; ...; a; b; b; b; ...; b 1 2 3 44 4 44 4 1 2 3 44 4 44 4 “b” veces “a” veces A) 2(a + b) B) a b ab 2 + C) 2ab D) a b ab + E) a b ab -
- 62. Intelectum Evolución 3.° 62 12 Dos números están en la relación de 16 y 9. ¿En qué relación estarán su media aritmética y su media geométrica? A) 23 24 B) 18 C) 21 23 D) 19 22 E) 24 25 13 El promedio de 20 números es 25; si se le agrega un número más el promedio sigue siendo 25. ¿Cuál es el nuevo número? A) 30 B) 25 C) 27 D) 23 E) 28 14 Halla el mayor de dos números tales que su media aritmética sea 18,5 y su media geométrica sea 17,5. A) 2 49 B) 5 23 C) 23 D) 2 25 E) 2 43 15 Si la MH de “a” y 4 es 6, y la MH de 8 y “b” es 12; calcula la MH de a y b. A) 20 B) 12 C) 15 D) 18 E) 16 16 Calcula la MH de dos números cuya MA es 20 y su MG es 10. A) 3 B) 5 C)7 D) 10 E) 8 17 Halla 2 números sabiendo que su media aritmética es 5 y su media armónica es 24/5. A) 5 y 5 B) 7 y 3 C) 6 y 4 D) 9 y 1 E) 8 y 2 18 La MG de 2 números es 6 y la MG de otros 2 números es 4. Halla la MG de los 4 números. A) 6 B) 3 C) 3 5 D) 2 6 E) 2 19 El promedio geométrico de 8 números es 8 y el promedio geométrico de otros 8 números es 4. ¿Cuál es el promedio geométrico de los 16 números? A) 7 2 B) 4 2 C) 3 2 D) 6 2 E) 5 2 20 El promedio de 20 números es 25, si se le agrega un número más al promedio este aumenta en 1. ¿Cuál es el nuevo número? A) 42 B) 50 C) 48 D) 44 E) 46 NIVEL 3 21 El promedio aritmético de 7 números es 26. Si la suma de los 5 primeros es 66, ¿cuál es el promedio aritmético de los otros dos números? A) 58 B) 62 C) 71 D) 47 E) 40 22 El promedio aritmético de 20 números es 35 y el promedio de otros 30 números es 60. Halla el promedio aritmético de los 50 números. A) 55 B) 52 C) 50 D) 35 E) 48
- 63. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 63 23 El doble de la MA de dos números es igual al cuadrado de su MG más 1. Si uno de los números es 120, ¿cuál es el otro? A) 6 B) 1 C) 3 D) 4 E) 7 24 Sabiendo que la MA de dos números es a la MG de los mismos como 5 es a 3. Calcula la razón de los números. A) 7 B) 5 C) 10 D) 9 E) 6 25 Para 2 números “a” y “b” se cumple que: MA # MH = 196 / MA # MG = 245 Halla (a + b). A) 38 B) 43 C) 47 D) 35 E) 41 26 La media armónica de 4 números es 8. Si dos de los números son 9 y 18; halla la MH de los otros dos números. A) 5 B) 6 C) 9 D) 10 E) 7 27 En un aula donde el número de hombresesalnúmerodemujeres como 3 es a 5, se ha determinado que el promedio de las edades de los hombres es 17 y el de las mujeres 15. Determina el promedio de las edades de todo el aula. A) 16,2 B) 15,75 C) 16,25 D) 16,5 E) 16 28 Si la media armónica del 20% y el 30% de un número entero es 19,2; halla dicho número. A) 50 B) 70 C) 80 D) 90 E) 60 29 Enuncolegioelnúmerodevarones es el 75% del número de mujeres. La estatura promedio del total de alumnos y de las mujeres es 1,57 m y 1,54 m respectivamente. Calcula la estatura promedio de los varones. A) 1,60 m B) 1,62 m C) 1,65 m D) 1,59 m E) 1,61 m 30 El promedio aritmético de 4 números naturales es 11 y cuando se, les agrupa de 3 en 3, dichos promedios aritmeticos son pares consecutivos. Halla el menor de los números. A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) 5 NIVEL 1 1. E 2. B 3. C 4. B 5. E 6. A 7. C 8. D 9. A 10. C NIVEL 2 11. B 12. E 13. B 14. A 15. E 16. B 17. C 18. D 19. B 20. E NIVEL 3 21. A 22. C 23. B 24. D 25. D 26. B 27. B 28. C 29. E 30. A Claves
- 64. Las plantas usan las matemáticas para sobrevivir Durante la noche, cuando la planta no puede utilizar la energía de la luz solar para convertir el dióxido de carbono en azúcares y almidón, debe regular sus reservas de este último para asegurar que duren hasta el amanecer. Los experimentos, realizados por científicos del Centro John Innes, en Norwich (este de Inglaterra), muestran que para ajustar su consumo de almidón de manera tan precisa la planta debe realizar un cálculo matemático: una división aritmética. Durante la noche, los mecanismos dentro de la hoja miden la cantidad de almidón. Y la información sobre el tiempo proviene de un reloj interno, similar al del reloj biológico del cuerpo humano. Los investigadores sugirieron que el proceso está mediado por las concentraciones de dos tipos de moléculas, llamadas “S” para el almidón y “T” para el tiempo. Si las moléculas de “S” estimulan la descomposición de almidón, mientras que las moléculas “T” evitan que esto ocurra, entonces la tasa de consumo de almidón (V) se establece por la relación de moléculas “S” a “T”. En otras palabras, “S” dividido entre “T”. UNIDAD 2
- 65. Matemática recreativa Diálogo La herencia del jeque Un jeque árabe tenía tres hijos y les dejó, al morir, 17 camellos, con el mandato, expresó, de que habían de repartirlos sin matar ningún de ellos, y de la manera siguiente: el mayor recibirá la mitad, el segundo, recibirá la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y este les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos. Explicamos la solución dada por el cadí: 17 + 1 = 18 camellos 18/2 = 9 del hijo mayor 18/3 = 6 del segundo hijo 18/9 = 2 del hijo menor Esto suma 17 camellos y uno del cadí son 18.
- 66. 66 Intelectum Evolución 3.° OPERACIÓN MATEMÁTICA Es un procedimiento que consiste en transformar una o más cantidades en otra llama- da resultado, sujeto a ciertas normas y convenciones previamente definidas. OPERADOR MATEMÁTICO Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Operadores matemáticos convencionales Operación matemática Operador matemático Adición + Sustracción - Multiplicación # División ÷ Radicación Logaritmación Log Sumatoria / Productoria P Operadores matemáticos arbitrarios * Operador asterisco # Operador grilla 3 Operador triángulo 4 Operador nabla X Operador cuadrado > Operador rectángulo 5 Operador círculo @ Operador arroba Ejemplo: Sabiendo que: m @ n = m2 + 3n Halla: 9 @ 12 Resolución: m @ n = m2 + 3n, Operador arroba “Ley de definición” 2.a componente 1.a componente Piden: 9 @ 12 = (9)2 + 3(12) = 81 + 36 = 117 Operadores matemáticos Atención Los operadores que se muestran en el cuadro adjunto (+; -; x; ÷; log; etc.) son la base para crear nuevas operaciones de diferentes reglas de definición. Recuerda El nombre que se le da a los operadores arbitrarios es se- gún el símbolo o figura a la que representan. La ley de definición nos indica la secuencia de operaciones básicas que se deben realizar con los componentes que se operan.
- 67. Problemas resueltos 67 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1 Si: a b c = c a b + Halla x en: 2 6 x = 0 x 2 ; x > 0 Resolución: 2 6 x = 0 x 2 x x 2 6 2 + = x x 8 2 = x2 = 16; x > 0 x = 4 2 Si: a * b = ab + 2(a X b), y a X b = a2 - b2 Halla: 3 * 2 Resolución: 3 * 2 = 3 . 2 + 2(3 X 2) = 6 + 2(32 - 22 ) = 6 + 2(5) = 16 3 Si: a = a(a + 1) Halla x en: x + 2 = 156 Resolución: x + 2 = 156 x + 2 = 12(13) x + 2 = 12 x + 2 = 3(4) x + 2 = 3 x = 1 4 Si: a = a2 - 4 b = b(b - 4) Halla x en: x = 21; x > 0 Resolución: x = 21 x 2 - 4 = 21 & x 2 = 25 ` x = 5; x > 0 x = x(x - 4) = 5(5 - 4) x = 5 5 Si a = 3 a - 1 + 8 b = 5b - 4 Halla x en: x = 5 Resolución: x = 5 5x - 4 = 3 5 - 1 + 8 5x - 4 = 3 4 + 8 5x - 4 = 3(5(4) - 4) + 8 5x - 4 = 56 5x = 60 ` x = 12 6 Si: a a b = ba Resuelve (x + 2) a 27 = (x - 5) a 81 Resolución: (x + 2) a 27 = (x - 5) a 81 27x + 2 = 81x - 5 33(x + 2) = 34(x - 5) 33x + 6 = 34x - 20 & 3x + 6 = 4x - 20 x = 26
- 68. 68 Intelectum Evolución 3.° 7 Siendo: m f n = ; m n m n m n m n mn D - + = - Halla el valor de: (5 f 3) D (6 D 2) Resolución: 5 f 3 = 4 5 3 5 3 2 8 - + = = 6 D 2 = 3 6 2 6 2 4 12 # - = = Reemplazando: (5 f 3) D (6 D 2) 4 D 3 12 4 3 4 3 1 12 # - = = 8 Si: a - b = a b 2 2 + m . n = m n 3 - . Halla el valor de: E = [(7 - 11) - (24 . 9)](30 - 20) Resolución: (7 - 11) = 3 2 7 2 11 9 + = = (24 . 9) = 5 3 24 9 3 15 - = = (30 - 20) = 5 2 30 2 20 25 + = = Reemplazando: E = [3 - 5]5 E = 2 3 2 5 5 + < F E = 45 E = 25 E = 32 9 Si: ; ; a b a b a b a b a b 2 < $ q = + + * Halla el valor de: (2 q 1) q (2 q 3) Resolución: (2 q 1) = 2(2) + 1 = 5 (2 q 3) = 2 + 3 = 5 Reemplazando: (2 q 1) q (2 q 3) 5 q 5 2(5) + 5 10 + 5 15 10 Se define: a = ; " " ; " " a si a es par a si a es impar 2 2 2 1 2 2 + - Z [ ] ] ] ] Calcula: 7 + 10 + 3 - 8 Resolución: 7 = 24 2 7 1 2 48 2 - = = 10 = 51 2 10 2 2 102 2 + = = 3 = 4 2 3 1 2 8 2 - = = 8 = 33 2 8 2 2 66 2 + = = Reemplazando: 7 + 10 + 3 - 8 24 + 51 + 4 - 33 46
- 69. Actividades de razonamiento 69 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1. Si H P = P H 2 15 + + x 3 = 14 Halla: 5 x2 A) 60 B) 30 C) 20 D) 50 E) 40 2. Si a * b = a - b m 3 n = n m + 1 Halla x en: (4 * 5) 3 x = 6 5 A) 5 B) 3 C) 2 D) 6 E) 4 3. Si: B = (B + 1)2 Halla A en: A = 100 A) 2 B) 2 + 1 C) 2 - 1 D) 2 E) 1 4. Si a 9 b = 4a + b Halla: (2 9 3) 9 (5 9 1) A) 70 B) 55 C) 40 D) 60 E) 65 5. Si: # m = 2(m - 3) *n = 3(n - 2) Halla x en: #(*x) = *(# 5) A) 3 B) 4 C) 1 D) 5 E) 2 6. Sabiendo que: a # b = a b ab 2 + Halla: R = # # 4 12 30 20 A) 8 B) 12 C) 10 D) 4 E) 9 7. Si: 3a 4 2b = a b - Halla: k = 48 4 18 A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 1 8. Si a 3 b = 2a - b p * q = 3p + q Halla el valor de: A = 8 5 6 4 3 * _ _ i i + (2 3 3) A) 3 B) 7 C) 8 D) 4 E) 5
- 70. Claves Reto 70 Intelectum Evolución 3.° 9. Si: (2a) * (3b) = 3a + 2b Halla: P = (4 * 3) * (2 * 9) A) 20 B) 16 C) 22 D) 15 E) 18 10. Si: x = x + 3 / x = 3 . x + 2 Halla: Q = 2 + 1 + 3 A) 19 B) 58 C) 48 D) 35 E) 29 11. Si: a + b; si a es par a - b; si a es impar a%b = Calcula: (2%5)%(7%1) A) 2 B) 3 C) 5 D) 1 E) 4 12. Si en el conjunto de los números naturales se define el operador 3 por: 3a - 2b ; si a > b 3b - 2a ; si b $ a a 3 b = Calcula: E = (3 3 1) 3 (1 3 2) A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 14 13. Sabiendo que: x y x + ; si: x . y $ 0 x . y; si: x . y < 0 x 5 y = Halla: (2 5 -1) 5 - 4 A) 1/3 B) -1/3 C) -2 D) 2/3 E) 2 14. Si se sabe que: a c b d = ad - bc; Halla “x” en: 2 x 5 2 3 8 4 1 = - 2 A) 15/2 B) 11/2 C) 10/2 D) 12/2 E) 13/2 1. A 2. D 3. C 4. E 5. B 6. D 7. E 8. A 9. E 10. C 11. D 12. C 13. A 14. E Se define: 3z - 2 ; si z $ 0 2z + 1 ; si z < 0 = z Halla “x” si además: x + -3 = 12 - 4 Rpta.: 11/3
- 71. Refuerza practicando 71 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 NIVEL 1 1 Si se sabe que: a b = 2a – 3b. Calcula el valor de: (4 3)(1 2) A) 6 B) 8 C) 4 D) 10 E) 2 2 Si: a q b = b2 + 2ab + a2 Halla el valor de: R = (2 q 3) q (–5) A) 100 B) 200 C) 300 D) 360 E) 400 3 Si: ( ) a b a ab b a b 2 2 2 3 7 = + + + Halla: 10 11 7 A) 19 B) 20 C) 21 D) 10 E) 11 4 Si: #(a) = 4; a ! 0 Halla m en: #( ) #( ). #( ) m 3 99 100 = A) 6 B) 3 C) 4 D) 2 E) 8 5 Si: a $ b = 5a – 9b + 21, calcula: (4 $ 5) $ (9 $ 7) A) -30 B) -26 C) -24 D) -20 E) -18 6 Halla E, si se sabe que: a b = a2 - b2 E = 2 1 + 4 2 + 1 0 A) 16 B) 12 C) 14 D) 10 E) 8 7 Se definen: a * b = 3a - 4b a b = a2 - 2ab + 47 El valor de: (5 * 3) 10 es: A) -2 B) -4 C) -1 D) 0 E) 6 8 Si: a * b = a2 – b2 , halla: 401 * 400 A) 800 B) 1600 C) 401 D) 400 E) 801
- 72. 72 Intelectum Evolución 3.° 9 Si: a * b = (2a + b)b. Calcula el valor de x en la expresión: (x * 3) = 27 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 10 Si: (x – 3) % (2y) = y(x + 1), halla el valor de: 7 % 8 A) 40 B) 44 C) 48 D) 36 E) 32 11 Si: @ x y x y 2 2 3 1 = + Halla: @ @ R 3 1 6 10 = A) 6 B) 7 C) 8 D) 10 E) 64 12 Si: c * y = c - y Calcula: [(4 * 3) * (12 * 13)] * [8 * (6 * 4)] A) 9 B) 14 C) -4 D) 22 E) 26 NIVEL 2 13 Si se sabe que: a $ b = 2ab – 13 a % b = 45 – 3ab Calcula: (4 $ 3) % (1 $ 7) A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) 15 14 Sabiendo que: a * (a + b) = ab Halla x en: 5 * x = 15 A) 2 B) 3 C) 8 D) 5 E) 0 15 Si: 3 . a b a b 2 2 = : Halla: 27 8 : A) 96 B) 100 C) 104 D) 108 E) 112 16 Se define: a [ b = ab + 1 - ba - 1 Calcula el valor e: M = 6 [ 2 A) 28 B) 76 C) 88 D) 108 E) 128
- 73. 73 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 17 Si: a * b = a + 4b - 3ab; halla el valor de x en: x * 2 = 3 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 18 Si: a b b a b = + Halla el valor de x en: 21 3 = x 5 a) 25 B) 30 C) 35 D) 40 E) 45 19 Siendo que: n = n2 + 4 y n = 2n - 1 Calcula: 1 - 3 A) 16 B) 20 C) 24 D) 28 E) 30 20 Si: m @ n = (m - n)2 + 1 Calcula el valor de: E =(9 @ 3)2 - 1 A) 1369 B) 1368 C) 1370 D) 1390 E) 1380 21 Si: m 5 n= 2m + n, halla el valor de x en: (2x + 4) 5 2 = 4 5 10 A) 8 B) –2 C) 0 D) 2 E) 4 22 Si: (x + 1) 6 (y - 1) = x + y Halla: K = ((5 6 3) 6 (4 6 2))(1 6 1) A) 194 B) 196 C) 198 D) 200 E) 206 23 Si: ; ; a b a b a b a b a b 2 2 9 2 # = + + * Halla: (1 9 3) + (4 9 2) A) 12 B) 22 C) 180 D) 118 E) 334 24 Si: D " E = b2 – 4ac b = D + E a = E - D c = b - a Halla: (1 " 2) " 3 A) –1 B) 3 C) 2 D) 1 E) 0
- 74. 74 Intelectum Evolución 3.° 25 Si: a * b = 3a + 2b + b2 a # b = a2 - ab + b2 Halla x en: 2 # x = 4 * x A) 4 B) 2 C) -4 D) 18 E) -2 NIVEL 3 26 Si: &x = x2 - 1 &( ) ( 2) x x x 9 = + Halla: 3 &2 9 + A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 4 27 Se define la operación: x = x (x + 1) Además: x+2 = 156 Calcula: x2 -5 A) –12 B) 10 C) –10 D) 12 E) 11 28 Si: p q q p 2 3 q p a = - Calcula el valor de: R = 256 729 24 12 a A) 2 B) 4 C) 3 D) 0 E) 1 29 Si: a2 f b3 = m + a = bm Halla el valor de x en: 16 f x3 = x; x > 0 A) 0 B) 1 C) 2 D) –1 E) 3 30 Si: f(x) = x . f(x + 1) Halla: M = ( ( ( )) ). ( ( ) ). ( ) ( ( ( ))) f f f f f f f f f 5 1 5 1 5 1 5 + + + A) 1 B) 6! C) 5 D) 6 E) 6 1 31 Calcula el valor de: 3 + 2 Si: x = (x - 1)(x + 1) y = y2 + 2y A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9 32 Si: a b N a bN + = = Halla x en: 2 2(4 ) 3 9 x x 1 1 = + - A) 1 B) 2 C) 3 D) –2 E) –3
- 75. 75 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 33 Si sabemos que: a* = 2a + 1, si a es par a* = 2a + 2, si a es impar Halla: (2*)* A) 2 B) 4 C) 12 D) 6 E) 10 34 Si: ; ; ( 1) a a a b b b c c 1 2 1 # 2 2 = - + = - = - 3 4 Halla: ((2 ) ) # 3 4 A) 3 95 B) 16 121 C) 16 81 D) 14 105 E) 17 93 35 Si: [x] = n + n < x < n + 1; 6 n ! Z, x ! R. Halla: [2,5] + [-2,5] A) 1 B) 0 C) -1 D) 2 E) -2 36 Si: a + 1; si a $ b b + 1; si a < b a * b = Calcula: [(4 * 3) * (12 * 13)] * [8 * (6 * 4)] A) 9 B) 14 C) 16 D) 22 E) 26 37 Se define: a2 – b2 ; si a es par a2 + b2 ; si a es impar a * b = Calcula: (2 * 1) * (1 * 2) A) 25 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 38 Si se sabe que: (-1)a ; si a es par (-1)b ; si a es impar a * b = Calcula: (8 * 9) + (5 * 6) A) 0 B) 1 C) –1 D) 2 E) –2 NIVEL 1 1. C 2. E 3. C 4. C 5. B 6. A 7. B 8. E 9. A 10. B 11. E 12. C NIVEL 2 13. A 14. C 15. A 16. C 17. E 18. C 19. B 20. C 21. D 22. B 23. B 24. E 25. E NIVEL 3 26. C 27. D 28. D 29. C 30. C 31. D 32. C 33. C 34. B 35. C 36. C 37. D 38. D Claves
- 76. 76 Intelectum Evolución 3.° El conteo de figuras puede realizarse de dos maneras: POR CONTEO DIRECTO Ejemplos: ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? Resolución: 1 2 3 5 4 6 Con 1 número: 1; 2; 3; 4; 5; 6 6 Con 2 números: 12; 34; 56 3 Con 3 números: 123; 234; 345; 456, 561; 612 6 Con 6 números: 123456 1 16 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? Resolución: 1 2 3 7 5 4 6 Con 1 número: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 7 Con 2 números: 12; 23; 45; 56; 67; 14; 25; 36 8 Con 3 números: 123; 456; 567 3 Con 4 números: 1245; 2356, 4567 3 Con 6 números: 123456 1 22 POR INDUCCIÓN Número de segmentos 1 2 3 n n.° de segmentos = ( ) n n 2 1 + Número de ángulos 1 2 3 n n.° de ángulos = ( ) n n 2 1 + Conteo de figuras Importante Mediante este método se asignan a cada una de las figuras interiores una letra o número. Luego se realiza el conteo indicando la figura pedida que tenga un número (letra), dos números (letra), y así sucesivamente. Recuerda Este método es el más ade- cuado para figuras irregula- res o figuras asimétricas, es decir, que no guardan cierta regularidad en sus partes.
- 77. 77 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 Número de triángulos n 1 2 3 ... n.° de triángulos = ( ) n n 2 1 + Número de cuadriláteros n 1 2 3 ... n.° de cuadriláteros = ( ) n n 2 1 + m n 1 2 2 3 ... ... 3 n.° de cuadriláteros = ( ) ( ) m m n n 2 1 2 1 # + + Número de cuadrados n n 1 2 2 3 ... ... 3 n.° de cuadrados = ( )( ) n n n 6 1 2 1 + + n m 1 2 2 3 ... ... 3 n.° de cuadrados = m . n + (m - 1)(n - 1) + (m - 2)(n - 2) + ... Número total de triángulos m n 1 1 2 2 3 . . . . . . 3 n.° total de triángulos = . n n m 2 1 + _ i > H Importante n.° de figuras ( ) n n 2 1 = + geométricas Esta fórmula se aplica en los siguientes casos: • Segmentos • Ángulos • Triángulos • Cuadriláteros • Hexágonos • Octágonos Atención ¿Cuántos triángulos hay en total? 1 1 2 2 3 3 4 n.°3 = 4 24 2 3 4 # # = d n Recuerda ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? 1 2 2 3 3 4 4 n.°4 = ( )( . ) 6 4 4 1 2 4 1 + + = 30
- 78. Problemas resueltos 78 Intelectum Evolución 3.° 1 ¿Cuántos segmentos se pueden contar en la figura? Resolución: Asignamos letras a cada punto y números a cada segmento. D O B C A F M N H K G J I E L 4 4 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 Número de segmentos AE = ( ) 2 4 5 = 10 Número de segmentos FJ = ( ) 2 4 5 = 10 Número de segmentos KO = ( ) 2 4 5 = 10 Número de segmentos BL = ( ) 2 2 3 = 3 Número de segmentos CM = ( ) 2 2 3 = 3 Número de segmentos DN = ( ) 2 2 3 = 3 ` Número total de segmentos = 3(10) + 3(3) = 39 2 ¿Cuántos ángulos agudos presenta la siguiente figura? Resolución: Asignamos una letra a cada punto y un núme- ro a cada ángulo simple. D B C 1 1 2 2 A F H G J I E Número de ángulos en DEF = ( ) 2 2 3 = 3 Número de ángulos en AJI = ( ) 2 2 3 = 3 Número de ángulos simples: � ABC; � GHI= 2 ` Número total de ángulos = 3 + 3 + 2 = 8 3 Halla el número total de triángulos en la figura. Resolución: Giramos la figura, para luego aplicar la fórmula. 1 1 2 3 4 2 3 4 ` Número de triángulos: 4 0 2 4 5 1 # # = b l # 4 = 40
- 79. 79 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 4 ¿Cuántostrapeciossepuedencontarenlasiguiente figura? 1 2 3 4 5 20 ... .. . Resolución: Asignamos a cada trapecio simple un número para aplicar fórmula. 1 2 3 4 19 .. . Se observa que la cantidad total de trapecios es igual a calcular la cantidad de trapecios de la parte sombreada, pero multiplicado por 3. Luego: Número total de trapecios = 3 cantidad de trapecios de laparte sombreada f p = 3 2 19 20 # b l = 570 5 Indica V o F. I. Hay 10 triángulos. II. Hay 4 cuadriláteros. III. Hay 4 pentágonos. Resolución: Asignando a cada región simple un número. 1 2 3 4 5 • Contando triángulos: Con 1 número: 1; 2; 3; 4; 5 $ 5 Con 2 números: 25; 34; 23; 45 $ 4 Con 3 números: 125 $ 1 Luego: Número de triángulos = 5 + 4 + 1 = 10 (V) • Contando cuadriláteros: Con 2 números: 12 $ 1 Con 3 números: 123 $ 1 Con 4 números: 2345 $ 1 Con 5 números: 12345 $ 1 Luego: Número de cuadriláteros = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 (V) • Contando pentágonos: Con 3 números: 245; 345; 234 $ 3 Con 4 números: 1245; 1235 $ 2 Luego: Número de pentágonos = 3 + 2 = 5 (F) ` VVF 6 ¿Cuántos cuadriláteros son cuadrados en la figura? Resolución: Asignamos números en la horizontal y en la vertical. 1 2 2 3 3 4 4 5 n.° de = 5 # 4 + 4 # 3 + 3 # 2 + 2 # 1 cuadrados = 20 + 12 + 6 + 2 = 40
- 80. 80 Intelectum Evolución 3.° 7 En la figura mostrada, el número de octágonos más el número de triángulos es: Resolución: Asignamos números a cada región triangular y octogonal, para aplicar la fórmula. 1 1 1 2 2 2 3 3 3 ` “T + O” = 12 + 6 = 18 • Sea “O” el número de octógonos. O = ( ) 6 2 3 4 = • Sea “T” el número de triángulos. T = 2 ( ) 2 3 4 d n= 12 8 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura que se pre- senta? Resolución: Asignamos números en la horizontal y vertical de las regiones cuadradas y letras en las regio- nes trapeciales. a b d c 1 2 2 3 4 5 4 3 n.° de cuadriláteros: = 2 4 5 2 5 6 # # # = 150 n.° de trapecios: a; b; c; d $ 4 Además, la figura principal forma otro cuadri- látero. ` n.° total de cuadriláteros = 150 + 4 + 1 = 155 9 Si: M = n.° total de triángulos. N = n.° total de segmentos. Halla (M + N) en la figura. Resolución: Asignamos números a las regiones inferiores y aplicamos fórmula. 1 2 3 1 2 3 4 5 n.° de triángulos = 3 ( ) 45 2 5 6 = d n Luego: M = 45 n.° de segmentos = 3 ( ) 6 ( ) 2 5 6 2 3 4 + d d n n = 45 + 36 = 81 Luego: N = 81 ` M + N = 45 + 81 = 126 10 ¿Decir cuántos triángulos hay en la siguiente figura? Resolución: Colocamos números a las regiones inferiores para aplicar la fórmula. A 1 2 3 1 2 3 4 4 Número de triángulos = 2 ( ) 2 4 5 2 # d n = 40 Además “A” también es un triángulo. `n.°totaldetriángulos = 40 + 1 = 41
- 81. Actividades de razonamiento 81 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1. ¿Cuántos segmentos hay? A) 138 B) 120 C) 130 D) 132 E) 144 2. Calcula el máximo número de sectores circulares en: A) 8 B) 10 C) 12 D) 6 E) 4 3. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar como máximo en la siguiente figura? A) 15 B) 14 C) 18 D) 12 E) 10 4. Halla el máximo número de cuadriláteros en la figura. A) 11 B) 12 C) 13 D) 15 E) 14 5. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura? A) 10 B) 13 C) 21 D) 11 E) 15 6. ¿Cuántos triángulos se cuentan en total? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 7. Halla el número total de cuadriláteros en la siguiente figura. A) 55 B) 36 C) 30 D) 32 E) 49 8. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura? A) 42 B) 25 C) 48 D) 36 E) 30
- 82. Claves Reto 82 Intelectum Evolución 3.° 9. ¿Cuántos triángulos con al menos un asterisco se cuentan en total en la figura? * * * A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 15 10. Halla el número total de triángulos. A) 124 B) 220 C) 216 D) 202 E) 221 11. Halla el número de cuadriláteros. A) 1237 B) 1742 C) 1245 D) 1189 E) 1386 12. Halla el número total de cuadrados. A) 215 B) 204 C) 206 D) 324 E) 102 13. De acuerdo a la figura mostrada: T = n.° de triángulos. C = n.° de cuadriláteros. Calcula: “T + C” A) 28 B) 30 C) 32 D) 34 E) 36 14. Halla el número total de triángulos en la siguiente figura: A) 90 B) 82 C) 78 D) 84 E) 80 1. E 2. B 3. D 4. C 5. B 6. E 7. A 8. D 9. D 10. C 11. E 12. B 13. B 14. D ¿Cuántos semicírculos se cuentan como máximo en la figura mostrada? 1 1 2 ... . . . 2 3 3 4 5 m n Rpta.: 2mn
- 83. Refuerza practicando 83 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 NIVEL 1 1 ¿Cuántos cuadriláteros hay? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 2 ¿Cuántos triángulos hay en la figura? A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 3 Halla el número total de cuadriláteros en: A) 21 B) 18 C) 9 D) 20 E) 23 4 ¿Cuántos cuadrados se pueden contar en total en la siguiente figura? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 5 ¿Cuántos paralelogramos hay en la siguiente figura? A) 50 B) 60 C) 30 D) 45 E) 20 6 ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco? * * * A) 6 B) 7 C) 9 D) 10 E) 11 7 Determina el número total de triángulos, en la siguiente figura: A) 60 B) 15 C) 30 D) 45 E) 50
- 84. 84 Intelectum Evolución 3.° 8 ¿Cuántos triángulos hay, en total, en la siguiente figura? A) 38 B) 42 C) 29 D) 40 E) 34 9 Halla el número total de triángulos en: A) 6 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16 10 ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura? 1 1 2 2 3 3 4 4 5 A) 60 B) 220 C) 150 D) 90 E) 75 NIVEL 2 11 ¿Cuántos triángulos con un círculo existen en la figura? A) 4 B) 7 C) 6 D) 5 E) 8 12 Halla el total de triángulos que se observan: A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 13 La mitad del número de segmentos de recta que se representan en la figura es: D E B A C F A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
- 85. 85 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 14 Halla el número de triángulos en: A) 13 B) 16 C) 17 D) 19 E) 18 15 ¿Cuántos triángulos se cuentan en total, tal que presenten al menos un asterisco en su interior? * * * A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 11 16 ¿Cuántos triángulos y cuántos cuadriláteros hay en esta figura? A) 10 ; 6 B) 12 ; 10 C) 12 ; 12 D) 10 ; 10 E) 12 ; 6 17 ¿Cuántos triángulos hay? A) 18 B) 24 C) 25 D) 36 E) 43 18 ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A) 31 B) 33 C) 35 D) 36 E) 32 19 ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura? A) 15 B) 21 C) 25 D) 31 E) 37
- 86. 86 Intelectum Evolución 3.° 20 Halla el número de triángulos en: 1 2 3 38 39 40 A) 39 B) 88 C) 40 D) 89 E) 86 NIVEL 3 21 ¿Cuántos semicírculos hay en total? A) 64 B) 32 C) 48 D) 72 E) 60 22 Halla el número total de pirámides de base cuadrada. A) 45 B) 60 C) 65 D) 70 E) 50 23 ¿Cuántas regiones simples tienen un solo asterisco? * * * * ** * * * A) 4 B) 5 C) 7 D) 6 E) 9 24 ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco? * * * A) 22 B) 19 C) 23 D) 18 E) 21 25 El número de triángulos en la figura es: A) 40 B) 46 C) 48 D) 36 E) 44
- 87. 87 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 26 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura? 20 19 18 3 21 ... A) 210 B) 236 C) 246 D) 270 E) 196 27 ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la siguiente figura? 1 2 3 19 20 ... ... ... ... . . . . . . A) 500 B) 600 C) 400 D) 800 E) 900 28 En la siguiente figura, ¿cuántos cuadriláteros hay? ¿Cuántos cuadrados hay? ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados se pueden observar? A) 190; 10; 120 B) 195; 20; 130 C) 200; 30; 140 D) 205; 40, 150 E) 210; 50; 160 29 Halla el total de triángulos en: 1 2 3 10 ... A) 130 B) 106 C) 195 D) 160 E) 105 30 ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura? 4 n n - 1 n - 2 3 2 1 A) ( )( ) n n 2 1 2 + - B) ( )( ) n n 2 1 2 - + C) ( )( ) n n 2 2 5 - + D) ( )( ) n n 4 2 6 - + E) ( )( ) n n 4 8 4 + - NIVEL 1 1. C 2. A 3. A 4. D 5. D 6. E 7. A 8. C 9. B 10. C NIVEL 2 11. C 12. E 13. C 14. B 15. E 16. C 17. C 18. C 19. D 20. C NIVEL 3 21. A 22. D 23. B 24. A 25. E 26. C 27. C 28. E 29. C 30. B Claves
- 88. 88 Intelectum Evolución 3.° DEFINICIÓN Se denomina así a todos los números racionales que cumplen con las siguientes condiciones. Numerador F = b a Denominador Donde: a y b ! z+ a ! b ° REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FRACCIÓN Para representar gráficamente una fracción, consideramos lo siguiente: Número de partes iguales que se consideran. F = b a Número de partes iguales en que se divide. Unidad: es la totalidad de una cantidad referencial. Ejemplos: 3 partes iguales. F = 5 3 & 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 Unidad: 5 partes iguales. 3 partes iguales. F 8 3 = & 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 Unidad: 8 partes iguales. Unidad Unidad 1/3 F 3 7 = & 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 7 3 1 <> Fracciones Atención ¿Cuáles de las siguientes ex- presiones representan frac- ciones? , , , , , , 3 2 5 8 4 3 0 5 7 4 6 3 4 π - - • Son fracciones: , , 3 2 5 7 3 4 Recuerda Toda fracción ya sea propia o impropia se puede representar gráficamente.
- 89. 89 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 PRINCIPALES TIPOS DE FRACCIONES Fracción propia Es aquella en la cual el numerador es menor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es menor que la unidad. F = b a ; a < b Ejemplos: ; ; ; 7 4 9 2 15 1 13 7 Fracción impropia Es aquella en la cual el numerador es mayor que el denominador. Al hacer la división correspondiente, el resultado es mayor que la unidad. F = b a ; a > b Ejemplos: ; ; ; 3 5 11 15 7 19 2 15 Fracción reductible Cuando el numerador y el denominador poseen factores en común (no son primos entre sí). Ejemplos: ; ; ; 8 4 24 30 100 8 16 6 Fracción irreductible Cuando el numerador y el denominador no poseen factores en común (son primos entre sí). Ejemplos: ; ; ; 7 3 2 9 11 5 100 23 Fracciones homogéneas Es un grupo de fracciones que tienen igual denominador. Ejemplos: ; ; ; 5 3 5 7 5 21 5 101 Fracciones heterogéneas Es un conjunto de fracciones que tienen diferente denominador. Ejemplos: ; ; ; 5 3 9 5 2 9 7 12 FRACCIONES EQUIVALENTES Son aquellos fracciones que utilizando términos diferentes expresan una misma parte de la unidad. 2 1 <> 4 2 <> 8 4 Atención Hallaunafracciónequivalente a 21/9, si la diferencia de sus términos es 32. 9 21 3 7 = & Frac. equiv. = k k 3 7 Luego: 7k - 3k = 32 4k = 32 & k = 8 ` Frac. equiv. = ( ) ( ) 3 8 7 8 24 56 = Importante ¿Cuál es la fracción propia e irreductible que resulta triplicada si se agrega a sus términos su denominador Sea: f = b a b b a b b a 3 & + + = b a 5 = b a b b a 2 3 & + = a b a 6 + = Luego: b a 5 1 =
- 90. 90 Intelectum Evolución 3.° RELACIÓN PARTE-TODO Viene a ser la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte, respecto a otra cantidad asumida como un todo. Luego: Lo que hace de parte & es, son, representa. F = b a Lo que hace de todo & de, del, respecto de. Ejemplos: 1. ¿Qué parte de 120 es 24? 120 24 5 1 = 2. ¿Qué parte de 90 es 20? 90 20 9 2 = 3. ¿Qué parte de 216 es 27? 216 27 8 1 = FRACCIÓN GENERATRIZ Exacto F = b a = Número decimal Periódico puro Periódico mixto Casos I. Decimal exacto 0,9 = 10 9 0,23 = 100 23 0,876 = 1000 876 5,73 = 100 573 II. Decimal periódico puro 0,5 9 5 = ! 0,87 99 87 = ! 0,965 999 965 = ! 3,8270 3 0,8270 3 9999 8270 = + = + III. Decimal periódico mixto 0,27 90 27 2 = - ! 0,5764 9900 5764 57 = - ! 0,0307 990 307 3 = - ! Atención ¿Qué fracción del total repre- senta la parte sombreada? s s s s s s 2s 2s 2s 2s 2s s s s 16 5 16 5 = Decimal periódico mixto ,abcde abcde ab 0 999 00 = - ! Decimal exacto , ... ... ... ab m ab m 0 100 0 = n cifras n cifras Decimal periódico puro , ... ... ... ab m ab m 0 99 9 = n cifras n cifras
- 91. Problemas resueltos 91 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1 Reduce: 2 E 3 2 3 1 3 2 2 1 2 1 = + - + - - Resolución: 2 E 3 2 3 1 3 2 2 1 2 1 = + - + - - 2 E 3 2 3 6 1 2 1 = + - + - 2 2 E 3 5 6 1 9 5 = + - = + ` E = 23/9 2 ¿Cuántas fracciones propias positivas menores que 9/11, cuyos términos son números enteros consecutivos, existen? Resolución: Sea f = N N 1 + la fracción propia cuyos términos son consecutivos según enunciado: N N 1 + < 11 9 11N < 9N + 9 2N < 9 N < 4,5 Entonces: N = 4; 3; 2 y 1 Luego las fracciones serán: ; ; y 5 4 4 3 3 2 2 1 ` Existen 4 fracciones propias menores que 9/11. 3 Dadastresfraccionesequivalentesam/n,seobserva que la suma de sus numeradores y denominadores son 77 y 165, respectivamente. Halla m/n. Resolución: Sean: , , na ma nb mb nc mc las fracciones equivalentes a m/n. Por condición del problema: ma + mb + mc = 77 m(a + b + c) = 77 ... (I) na + nb + nc = 165 n(a + b + c) = 165 ... (II) (I) ÷ (II): ( ) ( ) n a b c m a b c 165 77 + + + + = n m 15 11 7 11 # # = m m 15 7 ` = 4 Halla a + b si se cumple que: a b 11 3 + = 0,969696 ... Resolución: Del dato: 0, a b 11 3 96 + = ! a b 33 3 11 99 96 + = 3a + 11b = 32 . . 7 1 ` a + b = 7 + 1 = 8 5 Halla el valor de a si: a 55 2 = 0,a363636... Resolución: Del dato: 0, a a 55 2 36 = ! a a a 55 20 990 36 + = - 18(20 + a) = 100a + 36 - a 360 + 18a = 99a + 36 324 = 81a ` a = 4
- 92. 92 Intelectum Evolución 3.° 6 Si: 0, ( 1) N a a a 37 2 1 = + + b l ; halla a. Resolución: Del dato: ( ) N a a a 37 999 2 1 1 = + + b l 27. N = ( ) a a a 2 1 1 + + b l a debe ser impar: a = {1; 3; 5; 7} • Si: a = 1 & 27 # N = 121 No existe valor entero para N. • Si: a = 3 & 27 # N = 243 N = 9 • Si: a = 5 & 27 # N = 365 No existe valor entero para N. • Si: a = 7 & 27 # N = 487 No existe valor entero para N. ` a = 3 7 ¿Qué parte de 33 1 es lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5? Resolución: Sea x lo que le falta a 1/9 para ser igual a los 2/3 de 3/5 Entonces: . x 9 1 3 2 5 3 + = x x 9 1 5 2 45 13 & + = = Veamos ahora qué parte de 33 1 es 13/45. 3 3 1 45 13 3 10 45 13 150 13 = = 8 Una pelota cae de una altura. En cada rebote pier- de 1/3 de la altura anterior. Si después del tercer rebote se eleva 48 cm. ¿De qué altura inicial cayó? Resolución: Sea h la altura inicial. h 2 3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 h h h Si pierde 1/3 de altura, entonces se eleva 2/3 de la altura anterior. Luego en el 3.er rebote se eleva 48 cm: 48 h 3 2 3 2 3 2 = b d ln ` h = 162 cm 9 ¿Cuántas fracciones equivalentes a 133 76 existen tal que sean de la forma ba ab ? Resolución: Según el enunciado: ba ab 133 76 = ba ab 7 4 = b a a b 10 10 7 4 + + = 70a + 7b = 40b + 4b 66a = 33b 2a = b & b a k k 2 1 = Si: a = 1 & b = 2 a = 2 & b = 4 a = 3 & b = 6 a = 4 & b = 8 Luego las fracciones serán: ; ; ; 21 12 42 24 63 36 84 48 ` Existen 4 fracciones equivalentes. 10 Halla una fracción impropia cuya suma de térmi- nos sumado con el producto de los mismos es 76. Se sabe además que es equivalente a otra fracción que tiene por términos a las raíces de la ecuación: x2 - 8x + 15 = 0 Resolución: Sea f = a/b la fracción impropia. Dato: a+b+ab=76 ... (a) Luego resolvemos la ecuación: x2 - 8x + 15 = 0 x -5 x -3 x = 5 0 x = 3 Según enunciado: b a k k 3 5 = Reemplazando en a: 5k + 3k + (5k)(3k) = 76 8k + 15k2 = 76 15k2 + 8k -76 = 0 15k +38 k -2 k = - 15 38 0 k = 2 Entonces: ( ) ( ) b a 3 2 5 2 = ` b a 6 10 =
- 93. Actividades de razonamiento 93 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1. Efectúa: , 1 1 1 0 3 1 1 5 7 ' + + - > H ! A) 5 B) 1 C) 2 D) 4 E) 3 2. ¿Qué parte del área total del cuadrado, representa el área de la región sombreada? A) 3/8 B) 1/4 C) 1/3 D) 1/8 E) 3/16 3. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda: I. En: x y x y 2 3 2 4 - + + = 14 ; x = 4 ( ) II. Se cumple que: 0,33 ! > 0,3 ! ( ) III. La generatriz de 0,42 ! es 19/45. ( ) A) VFF B) FFV C) FVV D) VFV E) VVV 4. En un depósito hay 18 litros de agua; si se extrae la sexta parte, ¿cuántos litros de agua debo volver a sacar para que solo quede la mitad de su capacidad? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 5 5. Pedro tiene 9 años y la edad de Pedro es 2 3 de la de Enrique. ¿Qué edad tiene Enrique? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 6. ¿Qué parte de 3 2 representa, lo que falta a 7 2 para ser 5 2 ? A) 35 4 B) 35 6 C) 35 3 D) 35 5 E) 9 7 7. ¿Cuánto le falta a 11 4 para ser igual a los 3 2 de los 7 5 de los 9 4 de los 11 6 de 7? A) 37 B) 9 4 C) 9 5 D) 99 80 E) 8 3 8. Una persona inicialmente toma 16 metros de una varilla, luego toma los 3 2 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Halla entonces la longitud total de la varilla. A) 36 m B) 40 m C) 38 m D) 35 m E) 42 m
- 94. Claves Reto 94 Intelectum Evolución 3.° 9. Si a ambos términos de la fracción 2 1 se le agrega su denominador. ¿En cuánto aumenta la fracción? A) 4 1 B) 4 3 C) 2 1 D) 4 5 E) 4 6 10. El denominador de una fracción excede al numerador en 8. Si el numerador aumentara en 2 y el denominador en 6, la fracción sería igual a 3 1 . Halla dicha fracción. A) 12 4 B) 15 7 C) 21 13 D) 33 11 E) 9 3 11. Los 12 5 de la longitud de un muro equivale a los 3 2 de la longitud de otro muro, siendo uno de ellos 27 metros mayor que el otro. ¿Cuál es la longitud de cada uno? A) 72 y 45 m B) 38 y 48 m C) 74 y 40 m D) 76 y 42 m E) 38 y 34 m 12. Los 8 3 de un poste está pintado de azul, los 5 3 del resto está pintado de negro y lo que queda que es 2 m de blanco, ¿cuál es la altura del poste? A) 6 m B) 7 m C) 8 m D) 9 m E) 10 m 13. Alex tenía cierta cantidad de dinero, luego gastó 2 1 de lo que no gastó. Después no regaló 3 1 de lo que regaló. Finalmente pagó una deuda de S/.50 y le quedó S/.30. ¿Cuánto tenía al inicio? A) S/.420 B) S/.450 C) S/.360 D) S/.400 E) S/.480 14. Lolotieneunciertonúmerodehuevos,alservíctima de un robo, pierde 9 2 del total menos 5 huevos. Al comprar 37 huevos, después, se percata que el número inicial de huevos queda incrementado en 6 1 . ¿Cuántos huevos le robaron? A) 12 B) 15 C) 16 D) 19 E) 21 1. B 2. E 3. D 4. B 5. B 6. B 7. B 8. B 9. A 10. A 11. A 12. C 13. E 14. D Elena sale del colegio y luego de dar 56 pasos hacia su casa sale María y decide alcanzarla. Si Elena da 9 pasos mientras que María da 7, pero 3 pasos de esta equivalen a 5 de Elena. ¿Cuántos pasos dará Elena para ser alcanzada por María? Rpta.: 189
- 95. Refuerza practicando 95 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 NIVEL 1 1 Efectúa: Q = 1 1 1 2 1 1 1 + + - A) 2/5 B) 2/9 C) 5/4 D) 4/3 E) 3/2 2 ¿Qué parte del área total del rectángulo, representa el área de la región sombreada? A) 1/3 B) 1/4 C) 1/8 D) 2/7 E) 2/5 3 ¿Qué parte de 21 5 de los 9 7 de 63 es los 13 6 de los 8 5 de 52? A) 9 7 B) 7 9 C) 7 6 D) 13 8 E) 7 8 4 ¿Qué parte de 9 5 representa lo que le sobra a 5 3 para ser 6 1 ? A) 50 39 B) 39 60 C) 50 117 D) 50 13 E) 35 20 5 ¿Cuántas sesentaicuatroavas partes, es mayor 0,9375 que 0,109375? A) 40 B) 42 C) 50 D) 53 E) 70 6 ¿Cuántos cuartos hay en los 5 2 de los 4 10 de 30 unidades? A) 30 B) 120 C) 480 D) 7,5 E) 10,6 7 ¿En cuántos cuarentaicincoavos es mayor 3 2 que 9 5 ? A) 5 B) 1 C) 6 D) 9 E) 7 8 De un grupo de postulantes de una academia ingresanalauniversidad3/4delosquenoingresan. ¿Qué fracción de los postulantes ingresan? A) 7 4 B) 4 1 C) 7 3 D) 4 3 E) 3 1 9 Efectúa: L = 0,142857 + 0,666... A) 21 17 B) 3 1 C) 17 11 D) 23 5 E) 13 19
- 96. 96 Intelectum Evolución 3.° 10 Si: ; ; ; a b c d 5 3 3 2 8 5 11 7 = = = = ¿En qué orden debería ser escritas las fracciones para que aparezcan ordenadas de mayor a menor? A) bdca B) dbca C) cabd D) abcd E) abdc NIVEL 2 11 ¿Cuál es el número cuya tercera parte, más su duplo, más su quinta parte y más su triple, da como resultado 51 460? A) 3900 B) 9300 C) 9000 D) 9030 E) 3800 12 ¿Cuánto le falta a 7 3 para ser igual a los 3 2 de los 5 3 de los 7 4 de 105? A) 23 7 4 B) 23 7 2 C) 23 7 1 D) 23 4 7 E) 23 3 2 13 Encuentra una fracción tal que si se le agrega 1 al numerador la fracción se convierte en 7 2 , y si al denominador se le resta 2 se convierte en 4 1 . A) 13 3 B) 13 2 C) 14 3 D) 5 1 E) 9 7 14 Si recorrí 7 3 de un camino; ¿qué fracción de lo que recorrí es el exceso de lo que no recorrí sobre lo que recorrí? A) 6 1 B) 7 2 C) 3 1 D) 7 4 E) 4 1 15 ¿Qué parte de 3 3 1 es lo que le falta a 9 1 para ser igual a los 3 2 de 5 3 ? A) 45 11 B) 50 3 C) 150 13 D) 5 2 E) 150 41 16 El producto de los términos de una fracción es 272 y reducida es 17 4 , el numerador es: A) 34 B) 17 C) 4 D) 16 E) 8 17 Una fracción a/b, aumentada en sus 21 13 es 21 13 . Si a y b no tienen factores comunes, entonces: b - a es igual a: A) - 21 B) 21 C) 12 D) 8 E) 14
- 97. 97 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 18 El numerador de una fracción excede al denominador en 22. Si el numerador se resta 15, la diferencia entre la fracción primitiva y la nueva fracción es 3. Halla la fracción primitiva. A) 7 29 B) 5 27 C) 4 26 D) 28 6 E) 4 27 19 Si a los 11 5 de una cantidad se le suma los 2 3 de 2 1 de la misma cantidad, se obtiene los 22 7 de los 8 3 de 1484. Halla la cantidad original. A) 417 B) 714 C) 147 D) 471 E) 747 20 ¿Cuál es el número que disminuido en 7 unidades produce un resultado igual al que se obtiene multiplicándole por 10 3 ? A) 9 B) 10 C) 20 D) 14 E) 15 NIVEL 3 21 Si: 0, 0, 0, 1, a a a 1 2 3 27 + + = ! ! ! ! . Halla a. A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 22 Se tienen 2 grifos, el primer grifo llena un tanque en 3 h, el segundo llena el tanque en 4 h y un desagüe. ¿En qué tiempo vacía el mismo tanque el desagüe, sabiendo que al abrirse los 3 a la misma vez estando vacío, se llena los 3 2 del tanque en 1 h 36 min? A) 6 h B) 7 h C) 8 h D) 10 h E) 5 h 23 En una urbanización los 5 2 de agua de un tanque no se consume, 4 1 de lo que se consume se pierde por desperfecto de la tubería. ¿Qué parte del agua que se pierde consume cada familia, si se sabe que abastece a 120 familias por partes iguales? A) 50 3 B) 40 1 C) 80 1 D) 56 1 E) 100 1 24 Si a los términos de 3/7 le aumentamos 2 números que suman 500, resulta una fracción equivalente a la original. ¿Cuáles son los números? A) 100 y 400 B) 200 y 300 C) 150 y 350 D) 130 y 370 E) 250 y 400
- 98. 98 Intelectum Evolución 3.° 25 Una persona dispone de cierta cantidad de dinero para gastarla en 4 días. El primer día gasta 4 1 del dinero que tiene, el segundo día gasta 5 1 de lo que queda, el tercer día gastó 80 soles y el cuarto día gastó el doble del primer día. Si aún le quedan 80 soles, ¿cuánto gastó? A) S/.800 B) S/.960 C) S/.1150 D) S/.1300 E) S/.1520 26 ¿Cuántas fracciones propias existen, de términos impares y consecutivos que sean menores que 0,83? A) 9 B) 10 C) 7 D) 5 E) 8 27 He gastado los 8 5 de mi dinero, si en lugar de gastar los 8 5 hubiera gastado los 5 2 de mi dinero tendría ahora 72 soles más de lo que tengo. ¿Cuánto no gasté? A) 100 B) 120 C) 130 D) 160 E) 180 28 Se retiran de un depósito las 3 2 partes de su contenido menos 40 litros; con una segunda operación se saca 5 2 del resto y por último 84 litros restantes. Determina la capacidad del depósito. A) 250 L B) 260 L C) 280 L D) 290 L E) 300 L 29 Si: (0,aaa...) # 0, (a + 1)(a + 1)(a + 1)... = 0,518. Halla el valor de a para que se cumpla la igualdad. A) 11 B) 9 C) 8 D) 6 E) 7 30 Se deja caer una pelota desde una altura de H metros cada rebote que da alcanza los f metros de la altura anterior. Halla la altura que alcanzó si ha dado n rebotes (H = altura). A) n Hfn B) Hf n C) Hn f D) Hn fn E) Hf NIVEL 1 1. D 2. C 3. B 4. A 5. D 6. B 7. A 8. C 9. A 10. A NIVEL 2 11. B 12. A 13. C 14. C 15. C 16. E 17. B 18. B 19. C 20. B NIVEL 3 21. B 22. A 23. B 24. C 25. E 26. D 27. B 28. E 29. D 30. B Claves
- 99. 99 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 DEFINICIÓN Consiste en dividir una cantidad en 100 partes iguales y tomar un cierto número de dichas partes, es decir: Total = 100 partes iguales 100 1 100 1 100 1 ... 100 1 ... 100 1 100 1 n partes n partes = el n por ciento = n% = n 100 En general, si una cantidad se divide en 100 partes iguales, cada parte representa 1/100 del total. Ejemplos: • 50 partes = 50% = 100 50 • 25 partes = 25% = 100 25 • 75 partes = 75% = 100 75 • 60 partes = 60% = 100 60 • 10 partes = 10% = 100 10 • 100 partes = 100% = 100 100 Aplicación del tanto por ciento El n% de una cantidad A se calcula así: El n% de A = n 100 # A Ejemplos: • El 14% de 50 = 14 100 # 50 = 7 • El 60% de 80 = 100 60 # 80 = 48 • El 25% de 60 = 100 25 # 60 = 15 • El 10% del 20% de 300 = 100 10 100 20 # # 300 = 6 • El 25% del 75& de 160 = 100 25 100 75 160 30 # # = Tanto por ciento Atención Todo número expresado en porcentaje es el número sobre 100. Como: n% = 100 n & % = 100 1 Atención Toda cantidad representa el 100% respecto de sí misma es decir: N = 100% N
- 100. 100 Intelectum Evolución 3.° RELACIÓN PARTE - TODO Para expresar una relación parte-todo en tanto por ciento, basta con multiplicar por 100%. 100% Lo que hace de todo Lo que hace de parte # Ejemplos: • ¿Qué tanto por ciento es 20 de 80? 80 20 # 100% = 25% • ¿Qué tanto por ciento es 120 de 150? 150 120 # 100% = 80% • ¿Qué tanto por ciento representa 63 respecto de 21? 21 63 # 100% = 300% • ¿Qué tanto por ciento representa 500 de 125? 125 500 # 100% = 400% DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Descuentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué descuento único equivale 3 descuentos sucesivos del 10%; 20% y 50%? Resolución: D1 D2 D3 . . . -10% -20% -50% 100 90 # 100 80 # 50% = 36% ` Descuento único = 100% - 36% = 64% Aumentos sucesivos Ejemplo: ¿A qué aumento único equivale 3 aumentos sucesivos del 10%; 20% y 25%? Resolución: A1 A2 A3 . . . +10% +20% +25% 100 110 # 100 120 # 125% = 165% ` Aumento único = 165% - 100% = 65% Importante Sea “N” un número. 55% N + 28% N = 83%N 78%N - 39%N = 39%N También: N + 80%N = 180%N N - 30%N = 70%N Recuerda Si pierdo o gasto Queda 20% 80% 35% 65% 2,5% 97,5% 2% 98% m% (100 - m)% Si gano o agrego Resulta 22% 122% 45% 145% 2,3% 102,3% 0,5% 100,5% m% (100 + m)%
- 101. 101 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 VARIACIÓN PORCENTUAL (VP) Ejemplo: El ancho de un rectángulo aumenta en 20% mientras que el largo disminuye en 20%. ¿En qué tanto por ciento varía el área? Resolución: 100% 80% +20% -20% Inicio Final 100% 120% Ainicio = 100% # 100% Afinal = 80% # 120% = 100% = 96% -4% ` El área disminuye en: 100% - 96% = 4% APLICACIONES COMERCIALES Cuando se vende con ganancia Precio fijado: S/.70 Aumento: S/.20 Precio de costo S/.50 Ganancia S/.15 Descuento S/.5 Precio de venta: S/.65 Pventa = Pcosto + Ganancia P fijado = P venta + Descuento Cuando se vende con pérdida Precio de costo: S/.50 S/. 40 Pérdida S/.10 Precio de venta: S/. 40 Pventa = Pcosto - Pérdida Importante En los problemas de variación porcentual se puede utilizar la siguiente relación. VP = ó uci n min valor inicial aumento o dis _ f i p # 100% El aumento o disminución se obtiene mediante la dife- rencia entre el valor final y el valor inicial. Recuerda • Generalmente las ganan- cias o pérdidas se repre- sentan como un tanto por ciento del precio de costo. • Generalmente las rebajas o descuentos se repre- sentan como un tanto por ciento del precio fijado.
- 102. Problemas resueltos 102 Intelectum Evolución 3.° 1 Un futbolista dispara 12 penales acertando todos ellos. ¿Cuántos penales más debe patear (todos fallados), para tener una eficiencia del 60%? Resolución: Penales acertados & 12 Penales fallados & x Total de penales & 12 + x Luego: 60% Total = Acertados 60%(x + 12) = 12 100 60 (x + 12) = 12 3x + 36 = 60 3x = 24 x = 8 ` Debe patear 8 penales. 2 En un aula de la academia, el 30% de los alumnos son mujeres. Si el 20% de las mujeres y el 30% de los varones salen de paseo. ¿Qué porcentaje del aula fue de paseo? Resolución: Sea “T” el total de alumnos. Del dato: mujeres = 30%T Entonces: varones = 70%T Luego: 20% (mujeres) + 30% (varones) 20%(30%T) + 30%(70%T) . 30 100 20 %T + . 100 30 70. 70%T 6%T + 21%T & 27%T Finalmente, se fue de paseo el 27% del total. 3 Dos piezas de tela se vendieron a S/.240 cada una. En una se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. En toda la transacción, ¿se ganó o se perdió?, ¿cuánto? Resolución: Primera pieza de tela: PV1 = S/.240; G = 20%PC1 PV1 = PC1 + G 240 = PC1 + 20%PC1 240 = 120%PC1 & PC1 = S/.200 Segunda pieza de tela: PV2 = S/.240; P = 20%PC2 PV2 = PC2 - P 240 = PC2 - 20PC2 240 = 80%PC2 & PC2 = S/.300 Luego: PV1 + PV2 = S/.480 PC1 + PC2 = S/.500 ` En toda la transacción se perdió S/.20. 4 En una empresa trabajan 420 personas, donde el 80% son varones, ¿cuántas deben contratarse para que el 30% del personal sea femenino? Resolución: Total = 420 Varones = 80%(420) = 336 Mujeres = 420 - 336 = 84 Sea “x” el número de mujeres que se deben contratar. Según el enunciado: 30%(420 + x) = 84 + x & 100 30 (420 + x) = 84 + x 1260 + 3x = 840 + 10x & 420 = 7x & x = 60 Luego, se deben contratar 60 mujeres. 5 El señor A tiene una casa que vale S/.9000. Si la vende al señor B con una pérdida del 10%, luego el señor B la vende al señor A con una ganancia del 10%. ¿Quién gana o pierde y cuánto?
- 103. 103 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 Resolución: En la 1.ra venta aplicamos: PV = Pc - P PV = Pc - 10% Pc PV = 90%Pc PV = 100 90 (9000) & PV = 8100 En la 2.da venta aplicamos: PV = PC + G PV = PC + 10%PC PV = 110%PC PV = 100 110 (8100) & PV = 8910 Luego: A pierde 8910 - 8100 = S/.810 6 Se vende un televisor por S/.6000 ganando el 20% del precio de venta más el 20% del precio de costo. Halla el precio de costo del televisor. Resolución: Aplicando: PV = PC + G PV = S/.6000 PC = ? G = 20%PV + 20%PC Reemplazando: PV = PC + 20%PV + 20%PC 80%PV = 120%PC 100 80 # 6000 = 100 120 # PC & PC = S/.4000 7 El 40% del 50% de x es el 30% de “y”. ¿Qué porcen- taje de (2x + 7y) es (x + y)? Resolución: . . x 100 40 100 50 100 30 = & 2x = 3y & y x k k 2 3 = x+y=3k+2k=5k &2x+7y=2(3k)+7(2k)=20k ¿Qué porcentaje de (2x + 7y) es (x + y)? Todo Parte # 100% Reemplazando: x y x y 2 7 + + # 100% & k k 20 5 # 100% = 25% 8 La base de un rectángulo disminuye en 10% y la altu- ra aumenta en 20%. ¿Qué porcentaje varía el área? Resolución: Inicialmente se tiene: 100% 100% A = b # h A = 100% # 100% A = 100% Si la base disminuye 10% entonces ahora mide: (100 - 10)% = 90%; si la altura aumenta 20% entonces ahora mide: (100 + 20)% = 120% Luego de la variación: 120% 90% A = 90% # 120% A = 108% El área aumenta en: (108 - 100)% = 8% 9 La base de un triángulo aumenta en 10% y la altura disminuye en 20%. ¿En qué porcentaje varía el área? Resolución: Inicialmente 10 10 A = b h 2 # A = 2 10 10 # A = 50 Silabaseaumentaen10%entoncesahoramide: (100 +10)% = 110%; si la altura disminuye 20% entonces ahora mide: (100 - 20)% = 80% Luego de la variación: 11 8 A = 2 8 11 # A = 44 El área disminuye en: (50 - 44) = 6 Luego: 50 100% 6 x x = 12% ` El área disminuye en 12%.
- 104. Actividades de razonamiento 104 Intelectum Evolución 3.° 1. A cómo debo vender lo que me costó S/.64 para ganar el 20% del precio de venta, más el 10% de costo? A) S/.55 B) S/.77 C) S/.88 D) S/.44 E) S/.66 2. ¿De qué número es 60 el 20% del 25% de los 2/3? A) 1500 B) 1700 C) 2000 D) 1800 E) 1600 3. Sea x% es igual a los 4/3 de los 3/4 de los 4/5 de 25/10 de 20%, entonces halla el x% de 45. A) 24 B) 20 C) 22 D) 26 E) 18 4. Halla el (a - b)% del 20 a b 1 + b l del ( ) ( ) a b a b 2 2 2 - - % de 6000. A) 12 B) 16 C) 20 D) 14 E) 18 5. Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%. ¿En qué porcentaje aumenta su área? A) 22% B) 44% C) 50% D) 40% E) 48% 6. Un futbolista dispara 17 penales acertando todos ellos, ¿cuántos debe tirar luego, fallando, pero tener un porcentaje de acierto del 85%? A) 4 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6 7. Quiero comprar un CD de música y me falta el 40% de su precio. Si me hacen un descuento de 20%, aún me faltan S/.5, ¿cuánto cuesta el CD? A) S/.30 B) S/.40 C) S/.35 D) S/.25 E) S/.55 8. En un centro de trabajo hay 800 empleados entre varones y mujeres. El 40% son varones. ¿Cuántas mujeres habrá que contratar para que en total representen el 80% de los empleados? A) 300 B) 6700 C) 800 D) 400 E) 500
- 105. Claves Reto 105 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 9. En un corral hay 63 animales entre patos y cerdos. Si en total contamos 196 patas. ¿Qué porcentaje representa el número de patos respecto del número de cerdos? A) 80% B) 70% C) 75% D) 60% E) 50% 10. Si el 40%A = 60%B. ¿Qué porcentaje de (4A - B) es (2A + B)? A) 80% B) 50% C) 60% D) 70% E) 40% 11. En una tienda me ofrecen un reproductor MP3, dándome a escoger entre un descuento sucesivo de 5%; 5% y 10% u otro descuento sucesivo de 10% y 10%. ¿Si escojo el más conveniente, que porcentaje ahorro? A) 15% B) 17% C) 20% D) 19% E) 18% 12. En una reunión, el 30% del número de hombres es igual al 80% del número de mujeres. ¿Qué tanto por ciento es el número de mujeres respecto al 60% del número de hombres? A) 62,5% B) 50% C) 72% D) 60% E) 70% 13. El mn% del nm% del 64% de 62 500 es 4032. Si m > n, calcula m - n. A) 4 B) 2 C) 1 D) 6 E) 8 14. Si a un círculo le disminuyen 36% de su área. ¿En qué porcentaje habrá disminuido su radio? A) 40% B) 80% C) 20% D) 30% E) 10% 1. C 2. D 3. E 4. A 5. B 6. C 7. D 8. C 9. A 10. A 11. D 12. A 13. B 14. C ¿En qué tanto por ciento aumenta la región som- breada, si R aumenta en 20%? 1 1 1 1 R Rpta.: 44%
- 106. Refuerza practicando 106 Intelectum Evolución 3.° NIVEL 1 1 Dos descuentos sucesivos del 20% y 40%, ¿a qué único descuento equivalen? A) 48% B) 52% C) 44% D) 58% E) 54% 2 Tres descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50% equivalen a un único descuento de: A) 31,5% B) 52% C) 68,5% D) 47,5% E) 56% 3 Dos incrementos sucesivos del 20%, 30%, ¿a qué aumento equivalen? A) 44% B) 50% C) 60% D) 55% E) 56% 4 Tres aumentos sucesivos del 10%, 60% y 80% equivalen a un único incremento de: A) 200% B) 116% C) 216,8% D) 126,8% E) 178,2% 5 El 40% de los 3/4 del 6% de 48 es 0,012 de los 2/3 de una cantidad, halla el 25% de esa cantidad. A) 9 B) 27 C) 36 D) 108 E) 144 6 El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01% de 1000, halla dicho número. A) 700 B) 0,2 C) 1 D) 120 E) 10 7 ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% de 0,2% de 1000? A) 20% B) 30% C) 2% D) 3% E) 6% 8 En un pedido de 10 000 soles, un comerciante puede escoger entre tres descuentos sucesivos del 20%, 20% y 10% o tres descuentos sucesivos de 40%, 5% y 5%, escogiendo el mejor. ¿Cuánto se puede ahorrar? A) S/.350 B) S/.340 C) S/.335 D) S/.360 E) S/.345 9 El 40% del 50% de x es el 30% de y. ¿Qué porcentaje de (2x + 7y) es (x + y)? A) 25% B) 12,5% C) 20% D) 10% E) 22,5%
- 107. 107 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 10 En una reunión se sabe que el 30% del número de hombres es igual al 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje del total son hombres? A) 62% B) 53,5% C) 57,1% D) 82,5% E) 42% NIVEL 2 11 El precio de un artículo se rebaja en 20%, para volverlo al precio original el nuevo precio se debe aumentar en: A) 25% B) 20% C) 24% D) 30% E) 50% 12 Si pierdo el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría perdería 156 soles. ¿Cuánto tengo? A) S/.1450 B) S/.1400 C) S/.1750 D) S/.1500 E) S/.1550 13 Si Jorge tuviera el 25% más de la edad que tiene tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años? A) 56 años B) 48 años C) 46 años D) 42 años E) 52 años 14 Si el lado de un triángulo equilátero aumenta 30%, ¿cuál es la variación del área? A) +3% B) +40% C) +53% D) +69% E) +44% 15 Si x aumenta en 44%, ¿qué ocurre con x1/2 ? A) Aumenta en 20% B) Aumenta en 120% C) Aumenta en 44% D) Aumenta en 144% E) Aumenta en 12% 16 Elradiodeuncírculoseduplica.¿Enquéporcentaje aumenta el área? A) 200% B) 400% C) 300% D) 240% E) 320% 17 Si el lado de un cuadrado se triplica, ¿en qué porcentaje aumenta el área? A) 800% B) 900% C) 300% D) 500% E) 600%
- 108. 108 Intelectum Evolución 3.° 18 Si la longitud de una circunferencia aumenta 40%, ¿qué ocurre con el área del círculo? A) Aumenta 96% B) Aumenta 120% C) Aumenta 12% D) Aumenta 144% E) Aumenta 30% 19 Si a un círculo le disminuyen 36% de su área, ¿en qué porcentaje habrá disminuido su radio? A) 60% B) 10% C) 20% D) 80% E) 30% 20 Cuando el lado de un cuadrado se incrementa en 30%, resulta que el área aumenta en 621 m2 . Calcular el lado inicial del cuadrado. A) 10 m B) 12 m C) 25 m D) 30 m E) 20 m NIVEL 3 21 En una tienda se hace al cliente dos descuentos sucesivos del 10% y el 20% y aun gana el 40% del costo. Si el departamento de compras de dicha tienda compra un artículo en S/.360, ¿qué precio fijará para su venta? A) S/.700 B) S/.600 C) S/.500 D) S/.400 E) S/.320 22 Se rebaja el precio de un artículo en 10% y 20% sucesivamente. ¿En qué tanto por ciento debe incrementarse el precio rebajado para que el nuevo precio sea 8% más que el precio original? A) 84% B) 50% C) 63% D) 59% E) 75% 23 Un tenista debe retirarse cuando tengaun90%detriunfos.Sihasta el momento ha participado 100 veces y ha obtenido 85 victorias, ¿cuántas participaciones como mínimo debe realizar para poder retirarse? A) 50 B) 35 C) 48 D) 52 E) 30 24 Si el 80% del 50% de M es el 30% de N, ¿qué porcentaje de (2M + 7N) es (M + N)? A) 14,5% B) 20,5% C) 19,5% D) 20% E) 18% 25 Indica V o F: ( ) Siempre el 20% más el 30% es el 50%. ( ) El 20% del 80% de un número es equivalente al 16% del número. ( ) La sexta parte del cuádruple de un número más el 20% de dicho número es equivalente al 70% de dicho número. A) FFF B) VFV C) FVV D) FVF E) VVV
- 109. 109 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 26 Si la base de un triángulo se incrementa en 30% y la altura disminuye en un 20%, ¿cómo varía el área? A) -10% B) +4% C) -4% D) -2% E) +2% 27 En un triángulo la base se reduce en 10% mientras que la altura se aumenta en 10%, entonces el área: A) Se reduce en 2% B) No varía C) Aumenta 10% D) Se reduce en 1% E) Depende de las medidas 28 Si el área de un círculo aumentó en 300%, ¿por cuánto se multiplicó su radio? A) 3 B) 2 C) 4 D) 2 E) 3 29 En la siguiente expresión: . . . E w p x y z 2 = , si z disminuye en 19%, y aumenta en 40% y p disminuye en 30%, ¿en qué porcentaje varía E? A) Aumentó en 190% B) Disminuyó en 190% C) Aumentó en 152% D) Aumentó en 135% E) Disminuyó en 98% 30 Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de losetas circulares para una cierta pared. Si todas las losetas son iguales, ¿cuál es el mínimo porcentaje de área de la pared que puede ser cubierto con dichas losetas? A) 78,5% B) 91% C) 75% D) 50% E) 60% NIVEL 1 1. B 2. C 3. E 4. C 5. B 6. C 7. C 8. E 9. A 10. C NIVEL 2 11. A 12. D 13. B 14. D 15. A 16. C 17. A 18. A 19. C 20. D NIVEL 3 21. A 22. B 23. A 24. B 25. D 26. B 27. D 28. B 29. C 30. A Claves
- 110. 110 Intelectum Evolución 3.° MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP) Dos magnitudes son DP si al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, el valor de la otra magnitud también aumenta o disminuye en la misma proporción. El cociente de sus valores correspondientes permanece constante. (Valor de A) DP (Valor de B) & B A = constante Ejemplo: Beatriz realiza las compras en el mercado, en el cual adquirió 6 kg de arroz por un costo de S/. 15, comparando las magnitudes peso y costo tendremos: Peso (kg) 2 6 12 Costo (S/.) 5 15 30 ÷ 3 # 2 ÷ 3 # 2 Peso (kg) 12 5 15 30 6 2 Costo (S/.) Conclusión: • Si el peso adquirido se duplica (6 # 2 = 12) el costo también se duplica (15 # 2 = 30). • Si el peso adquirido se reduce a la tercera parte (6 ÷ 3 = 2) el costo también se redu- ce a la tercera parte (15 ÷ 3 = 5). ( ) ( ) . Valores Costo Valores Peso cte 5 2 15 6 30 12 = = = = MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP) Dos magnitudes son IP si cuando el valor de una de las magnitudes aumenta o disminuye, el valor de la otra magnitud disminuye o aumenta, respectivamente en la misma proporción. El producto de sus valores correspondientes permanece constante. (Valor de A) IP (Valor de B) & A # B = constante Ejemplo: 12 obreros pueden realizar un trabajo en 6 días, comparando las magnitudes número de obreros y número de días, tendremos: n.° de obreros 4 12 24 n.° de días 18 6 3 ÷ 3 # 2 # 3 ÷ 2 n° de obreros n° de días 3 6 18 12 24 4 Conclusión: • Si el número de obreros se duplica (12 # 2 = 24) el número de días se reduce a la mitad (6 ÷ 2 = 3). • Si el número de obreros se reduce a la tercera parte (12 ÷ 3 = 4) el número de días se triplica (6 # 3 = 18). [Valor (n.° de obreros)][Valor (n.° de días)] = 4 # 18 = 12 # 6 = 24 # 3 = cte. Magnitudes proporcionales Atención La gráfica de dos magnitudes DP resultan ser puntos sobre la recta. (A) DP (B) & Valor de B Valor de A = constante Atención La gráfica de dos magnitudes IP resultan puntos sobre una hipérbola equilátera. (A) IP (B) & (Valor de A)(Valor de B) = constante
- 111. 111 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 COMPARACIÓN SIMPLE Se da cuando solo se comparan dos magnitudes. Estas dos magnitudes pueden variar en forma directa o inversa. Ejemplo: Si ocho kilogramos de pescado cuesta S/.80, ¿cuántos kilogramos de pescado compraré con S/.60? Resolución: DP Peso Costo 8 kg S/. 80 x S/. 60 (Peso) DP (Costo) & Costo Peso _ _ i i = constante x 80 8 60 = x = 6 kg ` Compraré 6 kg de pescado. COMPARACIÓN MÚLTIPLE Se da cuando se comparan más de dos magnitudes directas y/o inversas en un mismo problema. Ejemplo: 12 obreros pueden construir una casa en 40 días. ¿Cuántos obreros se requieren para construir 4 casas en 20 días? Resolución: DP IP n.° de obreros n.° de casas Días 12 1 40 x 4 20 ° ° í n de casas n de obreros d as # = constante & . . x 4 20 1 12 40 = x = 24 . 4 x = 96 ` Se requieren 96 obreros. APLICACIONES DE MAGNITUDES Compara las siguientes magnitudes: (n.° de días) IP (n.° de obreros) (n.° de días) DP (Obra) (n.° de días) IP (n.° de horas diarias) (n.° de días) IP (Eficiencia) (n.° de días) DP (Dificultad) Atención Las magnitudes que se com- paran también pueden ser IP. Ejemplo: Un grupo de obreros demora 6 días en hacer una obra. ¿Cuánto demora otro grupo cuya eficiencia es el doble del anterior? Resolución: Días Eficiencia 6 1 x 2 (Días) IP (Eficiencia) & 6 . 1 = 2x x = 3 ` Demora 3 días. Recuerda • Si hay más obreros se demorarán menos días & (n.° de obreros) IP (días) • Si hay más casas se necesitarán más obreros & .º .º n de obreros DP n de casas f f p p Comparemos las siguientes magnitudes: (Ganancia) DP (Capital) (Ganancia) DP (Tiempo) Respecto a sus valores: ( )( ) ( ) Capital tiempo Ganancia = cte.
- 112. 112 Intelectum Evolución 3.° Respecto a sus valores: ( )( ) ( .° í )( .° )( )( .° í ) Obra Dificultad n de d as n de obreros Eficiencia n de horas d arias = constante ENGRANAJES 1.er caso: cuando están en contacto (engranan). B A dA # VA = dB # VB dA: número de dientes de A VA: número de vueltas de A dB: número de dientes de B VB: número de vueltas de B 2.° caso: cuando están unidos por un eje. D C VC = VD VC: número de vueltas de C VD: numero de vueltas de D Ejemplo: La figura muestra un sistema de engranajes. Calcula el número de vueltas que girará la rueda D cuando A gire 30 vueltas. D B A 6 dientes 4 dientes 9 dientes 5 dientes C Resolución: Sabemos que: n.° de dientes # n.° de vueltas = constante dA # VA = dB # VB V 6 30 9 B # # = VB = 2 # 10 VB = 20 & VC = 20 dC # VC = dD # VD 4 # 20 = 5 # VD VD = 4 # 4 VD = 16 ` La rueda D gira 16 vueltas. Recuerda Cuando dos ruedas están engranadas. A mayor número de dientes, menor número de vueltas. A menor número de dientes, mayor número de vueltas. Atención • Las ruedas A y B engra- nan entonces aplicamos el 1.er caso. Donde: VB = 20 • Las ruedas B y C tienen el mismo eje, por lo tanto: VB = VC & VC = 20 • Las ruedas C y D engra- nan 1.er , entonces aplica- mos el 1.er caso. Donde: VD = 16
- 113. Problemas resueltos 113 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1 Se sabe que A2 es IP a B y DP a C 3 , calcula el valor de B cuando A = 12 y C = 8. Además se sabe que cuando A = 9 y C = 27 el valor de B es 8. Resolución: Según el enunciado: . C A B 3 2 = constante Reemplazando: . . B 8 12 27 9 8 3 2 3 2 = . B 2 144 3 81 8 = . B 72 27 8 = ` B = 3 2 La diferencia de A y B es DP a C2 e IP a D. Cuando A es el triple de B, y C vale 2, entonces D es igual a 8. ¿A cuánto será igual D cuando A sea el doble de B y C tome el valor de 3? Resolución: Según los datos: ( ). C A B D 2 - = constante En el problema: ( ) ( ). B B B B D 2 3 8 3 2 2 2 - = - . . B B D 4 2 8 9 = ` D = 36 3 Una rueda “A” de 20 dientes, engrana con otra rue- da B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 35 dientes que engrana con otra rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D? Resolución: dA # VA = dB # VB 26 # 60 = 75 # VB VB = 16 & Vc = 16 D B C A dC # VC = dC . VD 35 # 16 = 20 . VD VD = 28 Sabemos que: n.° vueltas # n.° de dientes = constante 4 Una rueda “A” de 100 dientes engrana con otra rueda “B” de 60 dientes. Si la rueda “A” tiene una velocidad de 30 vueltas por minuto, ¿cuántas vuel- tas dará la rueda “B” en 15 minutos? Resolución: B A Sabemos que: (n.° dientes)(n.° de vueltas) = constante DA # VA = dB # VB 100 # 30 = 60 # VB VB = 50 ` En 15 minutos la rueda B dará: 50 # 15 = 750 vueltas. 5 El precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 20 g cuesta S/.400, ¿cuánto costará otro diamante que pesa 25 g? Resolución: Según el enunciado: ecio Pr Peso2 = constante x 20 400 25 2 2 = x 400 400 625 = ` x = S/. 625 6 El sueldo de un empleado es DP a su edad y a la raíz cuadrada de los años de servicio en la empresa. Si Miguel tiene 30 años y 4 años trabajando en la empresa, ganando S/.1200, ¿cuál será el sueldo de Jaime que tiene 32 años y 9 años de trabajo?
- 114. 114 Intelectum Evolución 3.° Resolución: Según el problema: Edad Tiempo Sueldo # = constante x 30 4 1200 32 9 # = x 30 2 1200 32 3 # # = x = 40 # 16 # 3 x = S/.1920 7 El gasto de una persona es DP a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es S/.900 ahorra S/.90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea S/.1260? Resolución: Sueldo Gasto = constante; Sueldo = S/.900 Ahorra = S/.90 & Gasta = S/.810 Luego: x 900 810 1260 = & x = 140 # 10 ` x = S/.1400 8 El sueldo de un empleado es DP a la raíz cuadrada del tiempo de servicio en meses. Si Cristina tiene 9 meses en cierto trabajo y gana S/.1050; mientras que Marco tiene 25 meses en el mismo trabajo. ¿Cuánto gana Marco? Resolución: Tiempo Sueldo = constante & x 9 1050 25 = x 3 1050 5 = ` x = S/. 1750 9 El sueldo de un empleado es directamente propor- cional a su rendimiento e inversamente proporcio- nal al número de días que ha faltado. Si José tiene un sueldo mensual de S/.600 y su rendimiento es como 5 y faltó 4 días, entonces, ¿cuál es el sueldo de Miguel, si su rendimiento es como 8 y faltó 3 días? Resolución: Sueldo Faltas Rendimiento # = constante & . . S 5 600 4 8 3 = S = 40 . 4 . 8 ` S = S/. 1280 10 El precio de una casa es directamente proporcio- nal al área e inversamente proporcional a la dis- tancia de Lima. Si una casa ubicada a 75 km cuesta S/. 45 000, ¿cuánto costará una casa del mismo material, si su área es el triple de la anterior y se encuentra a 150 km de distancia? Resolución: Área Precio.Distancia = constante . . A A x 45000 75 3 150 = & x = 22 . 500 . 3 x = S/.67 500 11 Si A es IP a B2 y DP a C, calcula a + b. A 45 a 9 B 2 3 b C 30 15 24 Resolución: C A B2 # = constante . . a 30 45 4 15 9 = & a= 5.2 & a= 10 . .b 30 45 4 24 9 2 = & b2 = 4.4 & b = 4 ` a + b = 14 12 Si A es DP a B e IP a C, calcula m + n. A 15 14 m B 36 n 25 C 8 10 4 Resolución: B A C # = constante n 6 15 8 14 10 # # = & 7 n = & n = 49 . . m 6 15 8 5 4 = & m = 5 . 5 & m = 25 ` m + n = 74
- 115. Actividades de razonamiento 115 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1. Sean las magnitudes A y B donde A DP B2 , cuando A = 100; B = 5. Calcula B, cuando A = 9. A) 3/2 B) 5/2 C) 2/3 D) 2/5 E) 1 2. Sean las magnitudes A y B donde A IP B; cuando A = 256, B = 27. Calcula A cuando B = 48. A) 9 B) 81 C) 3 D) 27 E) 36 3. 15 hombres pueden cultivar un campo en 8 días, calcula, ¿cuántos hombres se necesitarán para cultivar el mismo campo en 5 días? A) 12 B) 36 C) 28 D) 30 E) 24 4. Si 40 obreros hacen una obra en 21 días, ¿cuántos días menos se hubieran demorado si trabajan 2 obreros más? A) 3 días menos B) 2 días menos C) 4 días menos D) 1 día menos E) 5 días menos 5. 30 obreros pueden hacer 100 carpetas en 32 días. ¿Cuántos días demorarán 40 obreros en hacer 150 carpetas? A) 54 B) 48 C) 36 D) 27 E) 30 6. Un grupo de peones emplean 16 días para sembrar 42 m2 . ¿Cuántos días más emplearían en sembrar 735 m2 los mismos peones? A) 280 días más B) 264 días más C) 250 días más D) 296 días más E) 270 días más 7. Un albañil tenía pensado hacer un muro en 15 días, pero tardó 3 días más por trabajar 3 horas menos cada día. ¿Cuántas horas trabajó diariamente? A) 20 B) 15 C) 18 D) 12 E) 25 8. Si 12 máquinas pueden producir 35 mil lapiceros en 21 horas. ¿Cuántos lapiceros podrán producir 24 máquinas en 18 horas? A) 50 000 B) 20 000 C) 45 000 D) 30 000 E) 60 000
- 116. Claves Reto 116 Intelectum Evolución 3.° 9. Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 horas diarias de trabajo en sembrar 50 m2 de terreno, ¿cuántos días de 8 horas diarias de trabajo se demorarán en sembrar 80 m2 , 15 peones? A) 28 B) 35 C) 30 D) 40 E) 42 11. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. Con 10 obreros 4 veces más rápidos que los anteriores, ¿en cuántos días se hará una obra 9 veces más difícil que la anterior? A) 30 B) 31 C) 32 D) 34 E) 35 13. Dos ruedas de 45 y 54 dientes engranan y están girando. Si la primera rueda da 300 RPM, ¿cuántas vueltas dará la segunda rueda en 5 minutos? A) 1150 B) 1050 C) 1250 D) 1500 E) 1300 10. Si 30 obreros trabajando 10 horas diarias durante 16 días pueden asfaltar una carretera de 6000 m de largo. ¿Cuántos hombres serán necesarios para asfaltar una carretera de 9000 m de largo, trabajando 8 horas diarias durante 18 días? A) 60 B) 30 C) 25 D) 10 E) 50 12. 20 obreros han hecho 3 1 de un trabajo en 12 días. En ese momento abandonan el trabajo 8 obreros. ¿Cuántos días se empleó en hacer toda la obra? A) 28 B) 52 C) 40 D) 64 E) 30 14. Dos engranajes de 63 y 35 dientes están en contacto. Cuando funcionan 3 minutos, uno ha dado 24 vueltas más que el otro. ¿Cuántas vueltas da el engranaje pequeño en 1 minuto? A) 10 B) 18 C) 15 D) 12 E) 20 1. A 2. B 3. E 4. D 5. C 6. B 7. B 8. E 9. A 10. E 11. C 12. B 13. C 14. B Si “A” es DP a B2 y “A” es IP a “C”, entonces “B” es DP a: Rpta.: C
- 117. Refuerza practicando 117 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 NIVEL 1 1 Sean las magnitudes A y B donde A IP B2 , cuando A = 20; B = 16. Calcula B, cuando A = 5. A) 30 B) 35 C) 34 D) 32 E) 28 2 Sean las magnitudes A y B donde A DP B3 , cuando A = 125; B = 15. Calcula B, cuando A = 8. A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) 6 3 Sean las magnitudes A y B donde A DP B1/2 , cuando A = 16; B = 16. Calcula B-1 , cuando A = 2. A) 10 B) 8 C) 4 D) 6 E) 2 4 Sean las magnitudes A y B donde A2 DP B3 , cuando A = 12, B = 2. Calcula B, cuando A = 3 2 . A) 8 B) 7 C) 2 D) 3 E) 1 5 20 hombres pueden construir una casa en 7 días, ¿cuántos hombres más se necesitarán para construir la misma casa en 4 días? A) 6 B) 8 C) 10 D) 15 E) 12 6 Un grupo de obreros emplean 8 días para construir un muro de 40 m2 , ¿cuántos días más emplearan para construir 320 m2 los mismos obreros? A) 53 B) 48 C) 56 D) 55 E) 50 7 Un grupo de peones emplean 10 días para sembrar un campo de 30 m2 , ¿en cuántos días la misma cantidad de peonesdoblementeeficientes se necesitarán para sembrar 90 m2 de campo? A) 15 B) 20 C) 22 D) 18 E) 19 8 Una guarnición de 1600 hombres tienen víveres para 10 días a razón de 3 raciones diarias cada hombre. ¿Cuántos días durarán los víveres si cada hombre toma 2 raciones diarias? A) 20 B) 12 C) 10 D) 15 E) 18 9 Si 16 obreros con una eficiencia como 4 hacen una obra en 18 días, ¿en cuántos días 12 obreros con una eficiencia como 3 harán la misma obra? A) 33 B) 28 C) 32 D) 35 E) 30
- 118. 118 Intelectum Evolución 3.° 10 Si 10 obreros pueden hacer una obra en doce días, ¿cuántos obreros podrán hacer el triple de la obra en 10 días? A) 32 B) 36 C) 40 D) 38 E) 30 NIVEL 2 11 Calcula “x”, si la magnitud A es inversamente proporcional con B2 . A 3 x B 4 2 A) 14 B) 8 C) 10 D) 6 E) 12 12 Calcula “x”, si la magnitud A es inversamente proporcional a B . A 6 21 B 49 x A) 8 B) 2 C) 6 D) 10 E) 4 13 Si A es DP a B 3 , calcula “x”. A 20 x B 64 125 A) 16 B) 30 C) 25 D) 24 E) 20 14 Si A es IP a B , calcula x + y. A 12 x 16 B 16 4 y A) 33 B) 35 C) 28 D) 31 E) 30 15 El área de un círculo es DP al cuadrado de su radio. ¿En cuánto variará el área de un círculo si el radio se duplica? A) Se duplica B) Se cuadriplica C) Se reduce a la mitad D) Se triplica E) Faltan datos 16 El gasto de una persona es DP a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo mensual es de S/.1200 ahorra S/.200. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea de S/.3000? A) S/.2000 B) S/.2500 C) S/.3200 D) S/.3600 E) S/.3000 17 El precio de un diamante es DP al cuadrado de su peso. Si un diamante que pesa 60 g cuesta S/.240. ¿Cuánto costará otro diamante que pesa 90 g? A) S/.540 B) S/.400 C) S/.450 D) S/.500 E) S/.380
- 119. 119 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 18 Karla es una taxista que acostumbra cobrar de forma directamente proporcional al número de pasajeros que transporta y a la distancia recorrida.Sia2pasajeroslescobróS/.30porrecorrer 60 km, ¿cuánto les cobrará a 4 pasajeros por recorrer 15 km? A) S/.28 B) S/.30 C) S/.20 D) S/.25 E) S/.15 19 Los rendimientos de cuatro operarios son DP a los primeros impares positivos. Si se desea repartir una bonificación de S/.640, ¿cuánto le corresponde al más eficiente? A) S/.150 B) S/.280 C) S/.250 D) S/.100 E) S/.300 20 Reparte 1180 en tres partes inversamente proporcionales a los números 5; 7 y 2. Da como respuesta la parte que no es mayor ni menor. A) S/.280 B) S/.300 C) S/.250 D) S/.310 E) S/.120 NIVEL 3 21 Una rueda de 120 dientes engrana con otra de “y” dientes, la primera da 210 vueltas/minuto, y la segunda 350 vueltas/minuto. El valor de “y” es: A) 80 B) 90 C) 82 D) 72 E) 60 22 Una rueda “A” de 40 dientes, engrana con otra rueda B de 80 dientes. Fija al eje B, hay otra rueda C de 64 dientes que engrana con otra rueda D de 28 dientes. Si “A” da 70 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? A) 50 B) 90 C) 80 D) 70 E) 60 23 En el siguiente sistema de ruedas engranadas: D B C A las ruedas A; B; C y D tienen 50; 30; 20 y 60 dientes respectivamente. Si la rueda “A” da 90 vueltas en 1 minuto, ¿cuántas vueltas dará “D” en 2 minutos? A) 100 B) 90 C) 120 D) 110 E) 80 24 Dos bombas trabajando 5 horas diarias durante 4 días, logran bajar el nivel del agua en 65 cm. ¿En cuántos días, 3 bombas similares, bajarán el nivel en 78 cm funcionando 8 horas diarias? UNMSM 2004-II A) 10 B) 6 C) 4 D) 8 E) 2
- 120. 120 Intelectum Evolución 3.° 25 Si A es IP a B , calcula “x + y”. A 12 x 16 B 16 4 y A) 40 B) 38 C) 30 D) 33 E) 36 26 Si A es IP a B y DP a C, calcula “x + y”. A 8 x 24 B 6 15 y C 4 5 6 A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E)7 27 Si A es IP a B2 y DP a C, calcula “x + y”. A 45 x 9 B 2 3 y C 30 15 24 A) 12 B) 18 C) 14 D) 10 E) 16 28 Si A es DP a B e IP a C, calcula “x + y”. A 15 14 y B 36 x 25 C 8 10 4 A) 72 B) 74 C) 70 D) 68 E) 65 29 El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Se sabe que un diamante cuesta 1000 dólares, ¿cuánto costará si se parte en 2 pedazos que son proporcionales a 2 y 3? A) 600 dólares B) 650 dólares C) 840 dólares D) 520 dólares E) 700 dólares 30 El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su volumen. Se tiene un diamante de S/.36 000 y se le divide en tres partes iguales. ¿Cuánto se pierde debido al fraccionamiento? A) S/.24 000 B) S/.12 000 C) S/.15 000 D) S/.20 000 E) S/.18 000 NIVEL 1 1. D 2. E 3. C 4. E 5. B 6. C 7. A 8. D 9. C 10. B NIVEL 2 11. E 12. E 13. C 14. A 15. B 16. D 17. A 18. E 19. B 20. A NIVEL 3 21. D 22. C 23. A 24. E 25. D 26. E 27. C 28. B 29. D 30. A Claves
- 121. 121 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 DEFINICIÓN Esta serie de problemas consiste en ordenar una cantidad de datos (información respec- to a una situación) y sobre la base de estos datos deducir una respuesta al problema. Este ordenamiento puede ser: Ordenamiento circular Se aplica para el ordenamiento de personas alrededor de una mesa circular. Ejemplo: 5 amigos se sientan alrededor de una mesa circular. Se sabe que: • Axel se sienta junto a Lucas y Danilo. • Junto a Danilo se sienta Benito. ¿Entre quiénes se sienta Edison? Resolución: • Axel se sienta junto a Lucas y Danilo, entonces existen 2 posibles ordenamientos. D A L L A D • Junto a Danilo se sienta Benito. D B A L B L A D • Edison es el quinto amigo. E D B A L E B L A D ` En cualquiera de los casos Edison se sienta entre Lucas y Benito. Ordenamiento por cuadros de doble entrada Se aplica para el ordenamiento de personas, que están relacionadas con alguna carac- terística. Ejemplo: 5 amigas cuyos nombres son: Margarita, Azucena, Rosa, Violeta y Jazmín, reciben de sus amigos un ramo de flores cada una, que de casualidad concuerdan con sus nom- bres, aunque ninguna recibe de acuerdo al suyo, se sabe que: Orden de información Atención El primer sujeto a ubicar en una distribución circular puede ocupar cualquiera de los lugares. • En un ordenamiento lineal: B A “A” está a la derecha de “B” • En un ordenamiento circular: B A “A” está a la izquierda de “B” Importante B C A “A” está frente a “B” “C” está a la derecha de “A” “C” está a la izquierda de “B”
- 122. 122 Intelectum Evolución 3.° • El ramo de rosas lo recibió Violeta. • A Margarita le hubiera gustado recibir azucenas. • Ni Margarita ni Azucena recibieron los jazmines. Indica el ramo de flores que recibió cada una. Resolución: Ninguna recibe el ramo de flores de acuerdo a su nombre. Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín El ramo de rosas lo recibió Violeta. Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín Margarita Azucena Rosa Violeta ü Jazmín A Margarita le hubiera gustado recibir azucenas, entonces Margarita no recibe azuce- nas. Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín Margarita Azucena Rosa Violeta ü Jazmín Ni Margarita ni Azucena recibieron los jazmines. Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín Margarita Azucena Rosa Violeta ü Jazmín Completando el cuadro: Margarita Azucena Rosa Violeta Jazmín Margarita ü Azucena ü Rosa ü Violeta ü Jazmín ü Finalmente: Margarita recibe violetas. Azucena recibe margaritas. Rosa recibe jazmines. Violeta recibe rosas. Jazmín recibe azucenas. Atención Es necesario leer varias veces el enunciado para ir sacándo conclusiones que permitan llenar el cuadro de doble entrada. Recuerda Si se coloca þ (SÍ), el resto de espacios en una fila y co- lumna son ý (NO). û û û ü û û û û û En el ejemplo, esto lo aplica- mos con Violeta, quien por dato recibe el ramo de rosas. Recuerda Si en una fila o columna queda un cuadro en blanco y el resto es ý, entonces, el cuadro en blanco debe ser þ. û û û û ü û û û ü û û En el ejemplo, esta aplica- ción la observamos en la co- lumna con Rosa, quien por descarte de datos recibe el ramo de jazmines.
- 123. Problemas resueltos 123 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 1 Ángel,Beto,CésaryDaríoson4amigosquepractican un deporte cada uno: fútbol, vóley, básquet y tenis, no necesariamente en ese orden. Se sabe que: • Ángel y el voleibolista son vecinos. • Beto y el basquetbolista se conocen desde pe- queños. • César es primo del tenista. • Darío no es tenista ni futbolista. • Beto se ha comprado un par de chimpunes. ¿Qué deporte practica César? Resolución: • Ángel y el voleibolista son vecinos. Entonces, Ángel no practica vóley. • Beto y el basquetbolista se conocen. Entonces, Beto no es basquetbolista. • César es primo del tenista. Entonces, César no es tenista. • Darío no es tenista ni futbolista. • Beto practica vóley. Ordenamos los datos en una tabla: Fútbol Vóley Básquet Tenis Ángel ü Beto ü César ü Darío ü ` César practica fútbol. 2 4 amigos: Axel, Brian, Charles y Federico viven en 4 distritos. Se sabe que: • Brian no vive en Puente Piedra. • Federico vive en La Molina. • Axel va a Puente Piedra a visitar a Charles. • A Brian le gustaría vivir en Surquillo. • El que vive en Comas es ingeniero. ¿Quién es ingeniero? Resolución: • Axel va a Puente Piedra a visitar a Charles. • Entonces, Axel no vive en Puente Piedra. • A Brian le gustaría vivir en Surquillo. • Entonces, Brian no vive en Surquillo. Ordenamos los datos en una tabla: Puente Piedra La Molina Surquillo Comas Axel ü Brian ü Charles ü Federico ü ` El ingeniero es Brian. 3 Manuel, Nadia, Celso y Dinora son 4 estudiantes universitarios que estudian una carrera cada uno. Se sabe que: • Manuel quiere cambiarse de la facultad de eco- nomía a ciencias políticas. • Dinora es amiga del estudiante de biología. • Celso no estudia computación. • Dinora es prima del estudiante de ciencias polí- ticas. ¿Quién estudia computación? Resolución: • Manuel quiere cambiarse de la facultad de economía a ciencias políticas. Entonces, Manuel estudia economía. • Dinora es amiga del estudiante de biología. Entonces, Dinora no estudia biología. • Dinora es prima del estudiante de ciencias políticas. Entonces, Dinora no estudia ciencias polí- ticas. Ordenamos los datos en un cuadro: Economía Ciencias Políticas Biología Computación Manuel ü Nadia Celso Dinora ü ` Dinora estudia computación. Observación: Nohasidonecesariollenartodoelcuadro,yaque solo nos pedían quién estudia computación.
- 124. 124 Intelectum Evolución 3.° 4 Michael, George, Waldir, Celia y Cristina, son acto- res en una película de acción. Los papeles a reali- zar son: policía, víctima, asaltante, juez y chofer. Se sabe que: • El papel de juez lo hace un hombre. • Una mujer hace de víctima. • El papel de juez lo hace una persona mayor. • Celia y Michael son los más jóvenes. • Waldir está uniformado durante toda la película. • Cristina hace de conductora de taxi. ¿Qué papel hizo Michael en la película? Resolución: • Cristina hace de conductora de taxi. Entonces, Cristina hace el papel de chofer. • Waldir está uniformado durante toda la pe- lícula. Entonces, Waldir hace el papel de policía. • Una mujer hace de víctima. Entonces, como Cristina hace el papel de chofer, Celia hace el papel de víctima. Luego: Policía Víctima Asaltante Juez Chofer Michael George Waldir ü Celia ü Cristina ü Sabemos que: • Celia y Michael son los más jóvenes. • El papel de juez lo hace una persona mayor. • El papel de juez lo hace un hombre. Ordenando los datos en una tabla: Policía Víctima Asaltante Juez Chofer Michael ü George ü Waldir ü Celia ü Cristina ü ` Michael hace el papel de asaltante. Entonces el papel de Juez lo hace George 5 Enrique, Fernando, Gabriel, Humberto, Ismael y Judas, se fueron de viaje a un país diferente cada uno. Los países que visitaron fueron: Nueva Zelan- da, Argentina, EE UU, Noruega, Nigeria y Alemania, pero no necesariamente en ese orden. Se sabe que: • Fernando y Humberto hicieron escala en Ar- gentina, para llegar a su destino final. • Los únicos que fueron a Europa (Noruega o Ale- mania) fueron Gabriel y Humberto. • Ismael, Enrique y el que viajó a Nueva Zelanda, viajaron por la misma línea aérea. • Ismael, Gabriel y Enrique también hicieron es- cala en Argentina para llegar a su destino final. • El que viajó a Nigeria pidió dinero prestado a Ismael y Fernando. • Gabriel prestó dinero al que viajó a Alemania. ¿Quién viajó a EE UU? Resolución: • Fernando y Humberto hicieron escala en Argentina. Entonces, ni Fernando, ni Humberto viaja- ron a Argentina. • Ismael, Gabriel y Enrique también hicieron escala en Argentina. Entonces, ninguno de los 3 viajó a Argentina Luego Judas viajó a Argentina. • El que viajó a Nigeria pidió dinero prestado a Ismael y Fernando. Entonces, ni Ismael, ni Fernando viajaron a Nigeria. • Ismael, Enrique y el que viajó a Nueva Ze- landa fueron juntos. Entonces, ni Ismael, ni Enrique viajaron a Nueva Zelanda. • Gabriel prestó dinero al que viajó a Alemania Entonces, Gabriel no viajó a Alemania. • Gabriel y Humberto viajaron a Noruega o Alemania. Entonces, Gabriel viajó a Noruega y Hum- berto a Alemania.
- 125. 125 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 Ordenamos estos datos: Nueva Zelanda Argen- tina EE UU Norue- ga Nige- ria Alema- nia Enrique ü Fernando ü Gabriel ü Humberto ü Ismael ü Judas ü ` Ismael viajó a EE UU. 6 En una mesa circular se han sentado, simétrica- mente 6 futbolistas. Si Albarracín no está sentado al lado de Beltrán ni de Cubas, Durand no está al lado de Ibáñez ni de Cubas, Vidales está junto y a la derecha de Beltrán, Ibáñez está sentado frente a Vidales. ¿Quién está sentado junto y a la izquierda de Durand? Resolución: • Vidales está junto y a la derecha de Beltrán. B V • Ibáñez está sentado frente a Vidales. B V I • Durand no está al lado de Ibáñez ni de Cubas. D B V I • Albarracín no está sentado al lado de Bel- trán D B C A V I ` Vidales está sentado junto y a la izquierda de Durand. 7 En una mesa se han sentado simétricamente dis- tribuidos 6 matemáticos: Einstein no está sentado junto a Newton ni Gauss, Descartes no está sentado junto a Newton, ni junto a Fibonacci, Villarreal está sentado junto y a la derecha de Descartes, Einstein está sentado a la derecha de Villarreal. ¿Quién está sentado junto y a la derecha de Fibonacci? Resolución: • Villarreal está sentado junto y a la derecha de Descartes. D V • Einstein está sentado a la derecha de Villa- rreal, entonces existen 2 posibilidades. E D V E D V • Descartes no está sentado junto a Newton ni junto a Fibonacci. G E D V G E D V
- 126. 126 Intelectum Evolución 3.° • Einstein no está sentado junto a Newton ni Gauss, entonces el segundo caso no cumple. G F E D N V ` Newton está sentado junto y a la derecha de Fibonacci. 8 6 amigos: Miguel, Nicolás, Cecilia, Dayana, Elisa y Fernando se sientan alrededor de una mesa circu- lar con 6 asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que: • Nicolás y Elisa no se sientan juntos. • Miguel y Elisa se sientan juntos. • Fernando se sienta frente a Miguel. • Cecilia se sienta junto y a la derecha de Miguel. • Cecilia está frente a Dayana. ¿Quiénes se sientan a la derecha de Dayana? Resolución: • CeciliasesientajuntoyaladerechadeMiguel. M C • Cecilia está frente a Dayana. M C D • Fernando se sienta frente a Miguel. M F C D • Miguel y Elisa se sientan juntos. N M E F C D ` A la derecha de Dayana se sientan Elisa y Miguel. 9 En una mesa circular hay 6 asientos simétricamen- te colocados. Se ubican 6 amigos para hablar de deportes. Se sabe que: • Chicho y Pipo no se sientan junto a Toto. • Lucho se sienta junto y a la derecha de Toto. • Quique no se sienta junto a Toto ni a Dino. • Pipo y Dino no se sientan junto a Chicho. ¿Quiénes se sientan a la izquierda de Toto? Resolución: • Lucho se sienta junto y a la derecha de Toto. T L • Chicho y Pipo no se sientan junto a Toto, además Quique tampoco se sienta junto a Toto, entonces quien se sienta junto a Toto es Dino.
- 127. 127 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 T D L • Quique no se sienta junto a Dino, además Chicho tampoco se sienta junto a Dino, en- tonces Pipo se sienta junto a Dino. T D L P • Pipo no se sienta junto a Chicho. Entonces, Quique se sienta junto a Pipo. CH T D Q L P ` A la izquierda de Toto se sientan Dino y Pipo. 10 3 peruanos: Félix, Jesús y Gonzalo se reúnen con 3 chilenos: Ramiro, Armando y Lucas; se ordenan alrededor de una mesa circular con 6 asientos dis- tribuidos simétricamente. Se sabe que: • Los que tienen la misma nacionalidad, no se sientan juntos. • Armando está entre Gonzalo y Jesús. • Ramiro está a la derecha de Gonzalo. ¿Quién está frente a Lucas? Resolución: • Armando está entre Gonzalo y Jesús. Exis- ten 2 casos: I. II. A J G A G J • Ramiro está a la derecha de Gonzalo. Entonces se descarta el segundo caso. Ch Ch Ch P P P A J R G • Completando se tiene: Ch Ch Ch P P P A J F R G L P: peruano Ch: chileno ` Gonzalo está frente a Lucas.
- 128. Actividades de razonamiento 128 Intelectum Evolución 3.° 1. Cinco amigos están sentados uno al lado del otro, en una fila. Se sabe que: – Vilma se sienta a la izquierda de José. – Eder está a la derecha de Dante. – Adrián está junto y a la derecha de José y, ade- más, está junto a Dante. ¿Quién está en el extremo derecho? A) Vilma B) José C) Dante D) Eder E) Adrián 2. Se tiene un edificio de 4 pisos y en cada piso vive una familia. La familia Peña vive un piso más arriba que la familia Iturriaga, la familia Elguera habita más arriba que los Solari, y los Peña viven más abajo que los Solari. ¿En qué piso viven los Peña y los Solari respectivamente? A) 1 y 3 B) 2 y 3 C) 3 y 4 D) 2 y 4 E) 1 y 4 3. Entre los socios de una empresa; “A” tiene menos capital que “B”; “B” tiene más capital que “C”, pero menos que D”. ¿Cuál de las afirmaciones es cierta? A) A tiene menos capital que C. B) A tiene más capital que D. C) A tiene más capital que C. D) A tiene menos capital que D. E) A tiene igual capital que C. 4. Sabiendo que: – Sara es más alta que Raquel. – Rosa es más baja que Raquel y que Maritza. – Luisa es más alta que las demás, excepto que Ma- ritza. Podemos afirmar: I. Sara es más alta que Rosa. II. Luisa es más alta que Sara. III. Rosa es más baja que Raquel. A) I y III B) Solo I C) Todas D) Solo II E) I y II 5. Cuatro amigos se reunen y se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Sabemos que: – Juan se sienta junto y a la derecha de Luis. – Pedro no se sienta junto a Luis. – José les comentó lo entretenido que está la reunión. ¿Quién está sentado frente a Pedro? A) Juan B) Faltan datos C) Marco D) José E) Luis 6. Si sabemos que: – Jorge es 3 cm más alto que Manuel. – Nataly es 2 cm más baja que Manuel. – Raúl es 5 cm más bajo que Jorge. – Vanessa es 3 cm más baja que Manuel. Podemos afirmar que: I. Raúl y Nataly son de la misma talla. II. Vanessa es la más baja. III. Manuel es el más alto. A) Todas B) I y II C) I D) II y III E) I y III 7. Seis amigas se sientan distribuidas simétricamente alrededor de una mesa circular, tal que: María no está al lado de Carmen ni de Juana. Teresa está a la derecha de Rosa. Inés no está al lado de Rosa ni de Juana. Rosa no está al lado de Carmen ni de María. ¿Quién está sentada junto y a la izquierda de Rosa? A) Teresa B) Juana C) Carmen D) María E) Inés
- 129. 129 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 8. Se encuentran 4 amigos profesionales: Germán, Marcos, Enrique y Alberto, que son: profesor, ingeniero, abogado y médico, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: I. Germán está casado con la hermana del ingeniero. II. Marcos y el médico van a trabajar con el ingeniero. III. Los solteros son Enrique y el profesor; además, ellos son hijos únicos. IV. Marcos y Alberto son amigos del abogado, quien está comprometido. ¿Quiénes son el abogado y el médico respectivamente? A) Germán-Marcos B) Alberto-Enrique C) Germán-Enrique D) Marcos-Alberto E) Alberto-Germán 9. Mario, Luis e Iván viven en 3 ciudades diferentes: Lima, Cuzco y Tacna, estudiantes una carrera distinta: Educación, Derecho y Arquitectura. Si se sabe que: – Mario no vive en Cuzco – Luis no viven Tacna – El que vive en Cuzco no estudia Derecho – Quién vive en Tacna estudia Arquitectura – Luis no estudia Educación ¿Dónde vive Iván y qué estudia? A) Lima - Arquitectura B) Lima - Educación C) Lima - Derecho D) Cuzco - Educación E) Tacna - Derecho 10. Tres hermanos estudian en cada una de las siguientes universidades: San Marcos, Villarreal y UNI, carreras diferentes: ingeniería industrial, ingeniería mecánica y economía. Julio no estudia en San Marcos y Daniel no está en la Villarreal, el que está en San Marcos no estudia Ing. Industrial, el que está en Villarreal estudia Ingeniería Mecánica. Daniel no estudia Economía, se quiere saber qué estudia Ricardo y dónde estudia. A) Economía - San Marcos B) Economía - Villarreal C) Ing. mecánica - UNI D) Economía - UNI E) Ing. mecánica - San Marcos 11. En una mesa circular con seis asientos simétricamente colocados, se sientan seis amigos para almorzar. Si Luis no está sentado el lado de César ni de Raúl; Pancho no está al lado de César ni de Mario, Antonio está junto y a la derecha de Pancho. Además, al frente de Antonio no se sienta Mario. ¿Quién está junto y a la derecha de Mario? A) Pancho B) Raúl C) César D) Mario E) Antonio
- 130. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 130 12. Cuatro amigos: Nora, Martha, Irene y Leticia se sientan alrededor de una mesa circular que tiene 5 sillas. Si sabemos que: – Junto a Martha e Irene hay un asiento vacío. – Leticia no se sienta junto a Irene. Son verdaderas: I. Martha se sienta junto a Nora. II. Leticia se sienta junto a Nora. III. Nora se sienta junto a Irene. A) Todas B) I y III C) II y III D) Solo II E) Solo I 13. Tres amigas: Lucía, Chela y Victoria cumplen años los días 9; 12 y 16 durante los meses de abril, octubre y diciembre, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que: I. El 12 de octubre ninguna de ellas cumple años. II. Chela celebra su cumpleaños el 15 de diciembre, con un día de anticipación de la fecha real. III. El 16 de abril ninguna cumple años. IV. Victoria no nació en octubre. ¿Cuándo es el cumpleaños de Lucía? A) 9 de octubre B) 12 de diciembre C) 16 de octubre D) 9 de abril E) 16 de diciembre 14. Tres amigas: Karin, Giovanna y Milagros, viven en 3 distritos diferentes: Miraflores, Breña y Surco, aunque no necesariamente en ese orden. Ellas se movilizan usando un medio de transporte distinto: auto petrolero, camioneta y auto gasolinero. Se sabe que: I. Cuando Giovanna se compre una camioneta visitará Surco. II. Desde que Milagros vive en Breña vendió su auto gasolinero. III. La que vive en Miraflores tiene 2 autos petroleros. ¿En qué distrito vive Karin y qué transporte usa? A) Miraflores-auto gasolinero B) Surco-auto gasolinero C) Breña-camioneta D) Breña-auto petrolero E) Surco-camioneta 1. D 2. B 3. D 4. C 5. E 6. B 7. B 8. C 9. D 10. A 11. C 12. C 13. A 14. B En un examen, “A” tiene menos nota que “B”; “B” tiene más nota que “C”, pero menos que “D”. ¿Cuál de las conclusiones es correcta? A) A tiene menos nota que C. B) A tiene más nota que D. C) A tiene más nota que C. D) A tiene menos nota que D. E) A tiene igual nota que C. Rpta.: “A” tiene menos nota que “D”.
- 131. Refuerza practicando 131 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 NIVEL 1 Las alumnas Kelly, Carol y Susan gustan de los cursos de Aritmética, Historia y Razonamiento matemático, aunque no necesariamente en ese orden. Kelly salió desaprobada en Aritmética y a Susan no le gustan los números. 1 ¿A quién le agrada el curso de Razonamiento ma- temático? A) A Kelly B) A Susan C) A Carol D) A todas E) A ninguna 2 ¿Qué curso le agrada a Carol? A) Historia B) Geografía C) Álgebra D) Aritmética E) Raz. matemático En un colegio hay tres profesores: Ángel, Bernardo y César que enseñan los cursos de Geografía, Historia y Lenguaje, aunque no necesariamente en ese orden. Se sabe que Ángel es amigo del profesor de Historia y César no enseña Geografía ni Historia. 3 ¿Quién enseña Historia? A) Bernardo B) Ángel C) César D) Carlos E) Beto 4 ¿Qué curso enseña Ángel? A) Geografía B) Literatura C) Historia D) Matemática E) Lenguaje Tres hermanos cuyos nombres son Jorge, Pepe y Jaime cumplen años los meses de febrero, marzo y septiembre, los días 26; 16 y 21 (no necesariamente en ese orden). Se sabe que: – El cumpleaños de Jaime es en el primer semestre del año. – En su cumpleaños, Jorge hizo una fiesta de carnavales. – Ninguno cumple años el 16 de febrero. – El día 21, Jaime cumple años. 5 ¿Qué día es el cumpleaños de Jorge? A) 9 B) 16 C) 26 D) 15 E) 21 6 ¿Quién cumple años el 16 de septiembre? A) Jorge B) Jaime C) Pepe D) Julio E) Raúl 7 ¿Qué día y mes es el cumpleaños de Jorge? A) 26 de febrero B) 21 de marzo C) 21 de febrero D) 16 de marzo E) 26 de septiembre 8 ¿Quién cumple años el segundo bimestre del año? A) Jorge B) Jaime C) Juan D) Pepe E) Raúl
- 132. 132 Intelectum Evolución 3.° 9 A todos los integrantes de la delegación perua- na de atletismo les es- tán haciendo unos che- queos respectivos. Se sabe que: I. Raúl es 6 cm más alto que Benito. II. Julissa es 6 cm más baja que Benito. III. Pacho es 8 cm más bajo que Raúl. IV. Alejandra es 5 cm más baja que Pacho. Indica cuál es la alternativa verdadera. A) Raúl es el más alto. B) Benito es 2 cm más alto que Pacho. C) Alejandra es la más baja de todas. D) Pancho es más alto que Julissa. E) Todas las anteriores son verdaderas. NIVEL 2 Seis amigos están jugando monopolio en una mesa circular con 8 asientos distribuidos simétricamente. Además se sabe: – Sontresparejasytodasellassesientanjuntas,excepto Ana María que está junto a su hermano Carlos. – La esposa de Carlos es Beatriz. – Los asientos vacíos no deben estar juntos. – Raúl está situado junto y a la derecha de Jorge. – Al costado izquierdo de Teresa hay un asiento vacío. 10 ¿A la derecha de quién está el otro asiento vacío? A) Ana María B) Carlos C) Raúl D) Beatriz E) Ninguno 11 ¿Con quién tendrá que intercambiar asiento Ana para sentarse al lado de su esposo? A) Teresa B) Carlos C) Jorge D) Beatriz E) Raúl 12 Si se desea que Raúl se siente junto a Beatriz, ¿con quién debe intercambiar asiento? A) Ana María B) Teresa C) Jorge D) Carlos E) Con nadie 13 Si Beatriz se retira, ¿qué sucede? A) Carlos se sienta junto a los lugares vacíos. B) Dos asientos vacíos estarían juntos. C) Teresa estaría junto a Ana María. D) Ana María está junto a los lugares vacíos. E) Teresa está junto a Raúl y Carlos. 14 Si Ana María está a la izquierda de Carlos, entonces se cumple que: A) Teresa está frente a Carlos. B) Raúl está frente a Ana María. C) Beatriz está junto a un lugar vacío. D) Jorge está frente a Raúl. E) Todas las parejas se sientan juntas. 15 Un edificio tiene 6 pisos, y seis compañías A, B, C, D, E y F ocupan los seis pisos, una compañía en cada piso. Se sabe que: – C está a tantos pisos de B como B está de A. – B y E no están en pisos adyacentes. – F está más arriba que D. – A está en el quinto piso. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verda- deras?
- 133. 133 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 I. B debe estar en el tercer o cuarto piso. II. D debe estar en el primer o segundo piso. III. F debe estar en el cuarto o quinto piso. A) I y II B) II y III C) I y III D) Solo I E) Solo II 16 Alex invita a cenar a sus amigos: Heber, Luis, Janet, Yisela y Jimmy; este último por razones de fuerza mayor no pudo asistir. Se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente. Alex se sienta junto a Heber y Luis. Frente a Heber se sienta Janet. Junto a un hombre no se encuentra el asiento vacío. ¿Entre quiénes se sienta Heber? A) Alex y Yisela B) Luis y el asiento vacío C) Yisela y Luis D) Yisela y Janet E) Luis y Janet 17 Melyviveenunedificiodedospisos,cuyosinquilinos tienen una característica muy especial: los que viven en el 1.er piso siempre dicen la verdad y los que viven en el 2.° piso siempre mienten. Mely se encontró en una oportunidad con un vecino y al llegar a su casa le dijo a su padre: “El vecino me ha dicho que vive en el 2.° piso”. ¿En qué piso vive Mely? A) Primero B) Segundo C) Sótano D) No se sabe E) Azotea 18 Cinco automóviles P, Q, R, S y T son comparados de acuerdo a su costo y a su tiempo de fabricación. Si: – PesmenoscaroqueRymenosmodernoqueQ. – Q es más caro que P y más moderno que S. – R es más caro que T y más moderno que S. – S es menos caro que P y más moderno que T. – T es más caro que Q y más moderno que P. ¿Cuál de los autos es más caro que P y más moderno que T? A) Solo Q B) Solo R C) Solo S D) Q y R E) R y S NIVEL 3 19 Ana, Ben, Cam y Don llevan polos con una letra y un número en su espalda. Los números son 2; 4; 6 y 8, y las letras A; B; C y D. Además, se sabe que: – El número que va con la letra C es el doble del número de Cam. – La letra de Cam aparece en su nombre. – La dirección de Don es el número de Don menos el número de Ben. – El número de Ana es la dirección de Don. – La posición de la letra de Ben en el alfabeto (por ejemplo C es 3) es mayor que el número de Ben. ¿Cuál es el número y la letra de Ana? A) 8; A B) 2; B C) 6; B D) 6; A E) 4; B 20 Se sabe que: – Juan es menor que Jorge. – JesúsesmayorqueJavier,peromenorqueJaime. – Jacinto es menor que Julio. – Jesús no es menor que Jacinto. – Jesús no es mayor que Jorge. Por lo tanto, podemos afirmar que: A) Juan es mayor que Jacinto. B) Jorge es mayor que Julio. C) Javier no es mayor que Julio. D) Julio es menor que Jaime. E) Javier es menor que Jorge.
- 134. 134 Intelectum Evolución 3.° 21 Seis amigos Carmen, Rosa, Vanesa, Luis, Renzo y Pablo, van al teatro y ocupan una fila de siete asientos. La ubicación de los amigos en la fila cumple las siguientes condiciones: – Las personas del mismo sexo no se sientan juntas. – Carmen está sentada en el extremo derecho de la fila. – Pablo está sentado entre Luis y Rosa, y a la derecha de Vanesa. – Renzo está sentado a la izquierda de Luis, y este último junto a Carmen. ¿Cuál(es)de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Vanesa está sentada en el extremo izquierdo. II. Rosa está sentada entre Renzo y Pablo. III. Pablo está sentado junto al sitio vacío. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III 22 Ocho personas se en- cuentran haciendo cola en un cine. Todas están mirando hacia la ven- tanilla, una detrás de la otra. Cada persona usa un sombrero de un color y puede ver el color de los sombreros que usan las personas que están delante, pero no de las que están detrás, ni el suyo; lógicamente la primera persona no puede ver nin- gún sombrero. Cada una en la cola sabe que en el grupo hay 5 sombreros azules, 2 rojos y 1 verde, que la sexta persona en la cola usa un sombrero rojo y que no es posible que 2 personas consecu- tivas usen sombreros rojos. Si la octava persona en la cola usa sombrero verde, ¿cuál(es) de las si- guientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. La séptima persona usa un sombrero azul. II. La cuarta persona puede ver un sombrero azul. III. La sexta persona puede ver un sombrero rojo. A) I y II B) II y III C) I y III D) Solo I E) Todas 23 Ocho amigos: Anaís, Blanca, Diana, Helga, Carlos, Ever, Franco y Guido se sientan alrededor de una mesa circular cuyos ocho asientos se encuentran distribuidos simétricamente, y se sabe que: – Anaís se sienta adyacente a Franco y Ever. – Diana no se sienta junto a Blanca. – Carlos se sienta al frente de Franco. – Helga se sienta al frente de Blanca. – Guido no se sienta junto a Carlos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I. Al menos un hombre se sienta frente a una mujer. II. Al menos dos mujeres se sientan juntas. III. No hay dos mujeres que se sientan juntas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) I y III 24 Tras las elecciones municipales para designar al coordinador del Vaso de Leche, varios represen- tantes de AB, CD, EF y GH se reunieron en una cena de fraternidad política. El número de los comensa- les no era muy afortunado: 13 en total. Además, se daban las siguientes circunstancias: 1. LoscomensalesdeABmáslosdeCDsumaban5. 2. LoscomensalesdeABmáslosdeEFsumaban6. 3. Los comensales del partido ganador en las elecciones eran 2. 4. Los comensales de AB más los de GH sumaban 10. ¿Qué partido ganó dichas elecciones? A) AB B) CD C) EF D) GH E) Faltan datos
- 135. 135 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 25 Al comienzo de un campeonato de desafíos de aje- drez, seis competidores: F, G, H, I, J y K, son ubi- cados por sorteo en uno de los seis puestos, sien- do el primer puesto el mejor ubicado y el sexto puesto el peor ubicado. Los resultados del sorteo cumplen las siguientes condiciones: – F está mejor ubicado que G. – J está mejor ubicado que H y que I. – K está dos puestos arriba de H. – F está ubicado en el tercer o cuarto puesto. – Cada competidor debe ocupar un puesto diferente. Durante el torneo, un jugador puede desafiar solamente al jugador ubicado inmediatamente arriba suyo o al jugador ubicado dos lugares arriba suyo. Si F empezó el torneo en tercer lugar, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) J empezó el torneo en primer lugar. B) K empezó el torneo en segundo lugar. C) G empezó el torneo en quinto lugar. D) I empezó el torneo en segundo lugar. E) I empezó el torneo en sexto lugar. 26 Cuatro hermanos: Juan, Alicia, Martha y Julio jueganalascartasenunamesaredonda.Aliciaestá a la derecha de Julio; Martha no está junto a Alicia. Indica el valor de verdad de las proposiciones: I. Juan está a la derecha de Alicia. II. Martha a la izquierda de Juan. III. Julio está frente a Juan. IV. Alicia está frente a Martha. UNI 2012-II A) VVV B) VFVV C) VFFV D) VFFF E) FFFF 27 De tres amigas se tiene la siguiente información: – Belinda no se apellida Garcés. – La señorita Torres es psicóloga. – Katty es contadora. – La dentista no se apellida Méndez. – Atenas es bien coqueta. El nombre y apellido correcto es: A) Belinda Torres B) Atenas Méndez C) Katty Torres D) Belinda Méndez E) Katty Garcés 28 Jaime, Carlos, Alberto y Juan nacieron en años distintos: 1982; 1983; 1985 y 1987, no necesariamente en ese orden. Si se sabe que el menor no es ni Jaime ni Juan, y que Jaime es tres años menor que Alberto, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A) Carlos nació en 1982. B) Jaime nació en 1983. C) Carlos nació en 1987. D) Juan nació en 1985. E) Alberto nació en 1985. NIVEL 1 1. A 2. D 3. A 4. A 5. C 6. C 7. A 8. B 9. E NIVEL 2 10. C 11. C 12. D 13. B 14. C 15. A 16. A 17. B 18. D NIVEL 3 19. C 20. E 21. C 22. E 23. C 24. C 25. A 26. B 27. A 28. C Claves
- 136. Perú en la Olimpiada Internacional de Matemática La Olimpiada Internacional de Matemática (IMO por sus siglas en inglés) reúne anualmente a los mejores matemáticos del mundo menores de 20 años y que no hayan terminado aún la educación secundaria. Las reglas indican que cada país participará con un grupo de 6 estudiantes los cuales resolverán un total de 6 problemas en 2 días en un lapso de 4 horas y media por día, cada pregunta tendrá un puntaje máximo de 7 puntos. Perú participará por primera vez el año 1987, logrando hasta la fecha 3 medallas de oro, 20 medallas de plata, 32 de bronce y 29 menciones honoríficas. Cabe indicar que el segundo participante más joven de la historia en obtener una medalla es para el peruano Raúl Chávez Sarmiento (el más pequeño en la foto) quien obtuvo una medalla de bronce con tan solo 11 años de edad en la IMO del 2009 realizada en Alemania. UNIDAD 3 TABLA DEL IMO - SUDAMÉRICA AÑO 2010 2011 2012 2013 1.er lugar Perú (18.°) Brasil (20.°) Perú(16.°) Perú (26.°) 2.° lugar Brasil (35.°) Perú (31.°) Brasil (19.°) Brasil (28.°) 3.er lugar Argentina (39.°) Argentina (49.°) Colombia (46.°) Colombia (48.°)
- 137. Matemática recreativa ¿Paradoja matemática o simplemente aritmética? Tres amigos van al restaurante y con- sumen entre los tres por un monto de S/.25,00. Al terminar, cada uno quiere pagar la cuenta, por lo que el mesero toma la iniciativa y acepta de cada uno un billete de S/.10,00. Lleva los S/.30,00 al cajero quien le de- vuelve cinco monedas de S/.1,00. Cuando regresa a la mesa entrega una mo- neda de S/.1,00 a cada amigo y coloca las dos restantes sobre la mesa. Los tres amigos están de acuerdo en darle al mesero esos dos soles de propina y así lo hacen. De regreso al coche uno de los amigos exclama: –¡Hey!, un momento, ¿cuánto gastamos en el restaurante? Sencillo, –exclamó otro– si cada uno de nosotros dio S/.10,00 y nos devolvieron S/.1,00, pagamos (10 - 1) . 3 = 27, más S/.2,00 de la propina hacen S/.29,00. –¿Por qué falta un sol?– Preguntó el terce- ro –¡regresemos! No hay engaño en la formulación, pero aparentemente según lo mires puede faltar un sol. Diálogo
- 138. Intelectum Evolución 3.° 138 Sucesiones CONCEPTO Diremos sucesión, a todo conjunto ordenado de elementos (números, letras o gráfi- cos), tal que cada uno ocupa un lugar establecido. CLASES DE SUCESIONES Sucesiones gráficas Ejemplos: 1. Determina la figura que sigue en: ; ; ; ; ... Respuesta: 2. ¿Qué figura continúa en la sucesión? ; ; ; ; ... Respuesta: 3. ¿Qué figura continúa en la siguiente sucesión? ; ; ; ; ... Respuesta: Sucesiones literales Ejemplos: 1. ¿Qué letra continúa? D; H; L; O; S E I M P F J N Q G K Ñ R 2. ¿Qué letra sigue en la sucesión? V; S; P; N; K T Q Ñ L U R O M Recuerda Sentido convencional de giro: Sentido horario Sentido antihorario Atención El alfabeto también se puede ordenar en sentido opuesto, así: Z; Y; X; W; V; U; T; S; R; Q; P; O; Ñ; N; M; L; K; J; I; H; G; F; E; D; C; B; A.
- 139. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 139 3. ¿Qué letra sigue en la sucesión? W; T; P; N; J U Q Ñ K V R O L S M Sucesiones numéricas Sucesión polinomial de primer orden o sucesión lineal También conocida como progresión aritmética (PA). Se caracteriza por tener razón constante (r) y se calcula como la diferencia de dos términos consecutivos. Ejemplo: 1.° 2.° 3.° 4.° 5.° 6 10 14 18 22 +4 +4 +4 +4 & Razón (r) = 4 Luego: t1 = 6 & t1 = 6 + 4(0) t2 = 10 & t2 = 6 + 4(1) t3 = 14 & t3 = 6 + 4(2) t4 = 18 & t4 = 6 + 4(3) t5 = 22 & t5 = 6 + 4(4) h h tn = ? & tn = 6 + 4(n - 1) En general: El término enésimo (tn) de una progresión aritmética se calcula así: tn = t1 + (n - 1)r Donde: r: razón n: número de términos t1: primer término tn: término enésimo Sucesión polinomial de segundo orden o sucesión cuadrática Son aquellas sucesiones en las cuales la razón constante aparece en segunda instancia o segundo orden y su término enésimo tiene la forma de un polinomio de segundo grado, así: tn = an2 + bn + c Hallando a; b y c. Sea la sucesión de 2.° orden: t1; t2; t3; t4; ... Calculando t0 y sus razones: t0 ; t1; t2, t3; t4 1.er orden $ P0 P1 P2 P3 2.° orden $ r r r & a = r 2 ; b = P0 - a; c = t0 Observación Observación Ejemplo: Calcula el término enésimo en: 7; 11; 15; 19; 23; ... +4 +4 +4 +4 r = 4; t1 =7 tn = 7 + 4(n - 1) tn = 7 + 4n - 4 ` tn = 4n + 3 Ejemplo: Calcula el término enésimo de: 1 3; 7; 13; 21; 31; ... +2 +4 +6 +8 +10 +2 +2 +2 +2 a = 2 2 = 1 b = 2 - 1 = 1 c = 1 ` tn = n2 + n + 1
- 140. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 140 1 Halla el número que sigue: 3; -9; 36; -180; 1080; ... Resolución: 3; -9; 36; -180; 1080; #(-3) #(-4) #(-5) #(-6) #(-7) -1 -1 -1 -1 ` El número que sigue es: 1080 # (-7) = -7560 2 ¿Qué número sigue en la sucesión? -3; 3; 7; 7; 1; ... Resolución: -3; 3; 7; 7; 1; +6 +4 +0 -6 -14 -2 -4 -6 -8 -2 -2 -2 ` El número que sigue es: 1 - 14 = -13 3 ¿Qué letra sigue en la sucesión? H; K; Ñ; Q; U; ... Resolución: En este tipo de problemas se debe observar la cantidad de letras que existen entre 2 letras consecutivas: H; K; Ñ; Q; U; I L O R V J M P S W N T } } } } } 2 3 2 3 2 ` La letra que sigue es X. 4 ¿Qué letra sigue en la sucesión: F; E; C; B; Z; ... Resolución: Veamos la cantidad de letras que hay entre dos letras consecutivas. F; E; C; B; Z; D A } } } } } 0 1 0 1 0 ` La letra que sigue es Y. 5 Halla la letra y número que sigue en la sucesión: L; 8; O; 13; R; 20; T; 29 Resolución: Como se observan números y letras debemos encontrar una relación para los números y otra para las letras. +5 +7 +9 +11 L; 8; O; 13; R; 20; T; 29; ..... ; ..... M P S N Q Ñ } } } } 3 2 1 0 ` La letra que sigue es “U”. El número que sigue es: 29 + 11 = 40 6 En la sucesión: -4; 2; 8, 14; 20; ... ¿Qué lugar ocupa el número 590? Resolución: -4; 2; 8; 14; 20; ... +6 +6 +6 +6 Sea el k-ésimo término que ocupa el número 590. ak = a1 + (k - 1)r 590 = -4 + (k - 1)6 594 = (k - 1)6 99 = k - 1 & k = 100 ` Ocupa el lugar 100.
- 141. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 141 7 Halla la ley de formación de la siguiente sucesión y luego calula: t50 + t60 8; 20; 36; 56; ... Resolución: Se trata de una sucesión cuadrática: tn = an2 + bn + c t0 $ 0 8; 20; 36; 56; ... P0 $ +8 +12 +16 +20 r $ +4 +4 +4 Hallamos a; b y c: a = r 2 2 4 = & a = 2 b = P0 - a = 8 - 2 & b = 6 c = t0 & c = 0 Luego: tn = 2n2 + 6n Hallamos t50: t50 = 2(50)2 + 6(50) t50 = 5000 + 300 t50 = 5300 Hallamos t60: t60 = 2(60)2 + 6(60) t60 = 7200 + 360 t60 = 7560 Piden: t50 + t60 = 5300 + 7560 = 12 860 8 Halla el valor de “x” en la siguiente sucesión arit- mética: 5; (20 - 2a); ...; (2a + 40); 11x Resolución: En toda sucesión aritmética la diferencia de dos términos consecutivos es constante. Luego: (20 - 2a) - 5 = 11x - (2a + 40) 15 - 2a = 11x - 2a - 40 55 = 11x ` x = 5 9 Halla el cuadragésimo término de la siguiente su- cesión: 1; 5; 11; 19; ... Resolución: Se trata de una sucesión cuadrática: tn = an2 + bn + c t0 $ -1 1; 5; 11; 19; ... P0 $ +2 +4 +6 +8 R $ +2 +2 +2 Hallamos a; b y c: a = r 2 2 2 = & a = 1 b = P0 - a = 2 - 1 & b = 1 c = t0 & c = - 1 Luego: tn = n2 + n - 1 Piden: t40 = 402 + 40 - 1 = 1600 + 40 - 1 ` t40 = 1639 10 En la siguiente sucesión geométrica: m; (m + 14); 9m; ... Calcula la suma de cifras del 3.er término. Resolución: En toda sucesión geométrica el cociente de dos términos consecutivos es constante m m m m 14 14 9 + = + Luego: m2 + 28m + 196 = 9m2 8m2 - 28m - 196 = 0 2m2 - 7m - 49 = 0 2m +7 & m = 7 m -7 Luego: t3 = 9(7) = 63 Piden la suma de cifras: 6 + 3 = 9
- 142. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 142 1. Calcula n. 2; 3; 6; 11; 18; n A) 25 B) 23 C) 24 D) 27 E) 22 2. Determina la figura que continúa: ? A) B) C) D) E) 3. Determina la figura que continúa: A) B) C) D) E) 4. Halla el término enésimo de: x; 7, 11; 15; ... A) 4n - 2 B) 4n + 1 C) 4n - 1 D) 4n + 3 E) 4n + 7 5. Halla el t10 en: -1; 3; 7; 11; 15; ... A) 33 B) 30 C) 2 D) 37 E) 35 6. ¿Qué letra continúa? B; D; G; K; O; A) S B) Q G) P D) U E) T 7. Halla x - y. 8; 11; 18; 21; 28; y; x A) 10 B) 6 C) 9 D) 8 E) 7 8. ¿Qué letra continúa en la sucesión? B; D; H; N, U; ... A) T B) S C) R D) E E) Q
- 143. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 143 9. Determina la letra que continúa en la sucesión: O; M; K; H; F; ... A) C B) B C) D D) G E) A 10. Halla x, en: 4; 6; 10; 18; 32; x A) 48 B) 50 C) 54 D) 42 E) 52 11. Calcula el número que continúa en la siguiente sucesión: ; 8 1 2 1 ; 2; 8; ... A) 64 B) 32 C) 24 D) 12 E) 16 12. Calcula el número que continúa en la siguiente sucesión: 131; 121; 109; 95; 79; ... A) 69 B) 71 C) 65 D) 61 E) 68 13. Determina el número que continúa en la sucesión: 4; 28; 34; 36; 37; ... A) 29 B) 25 C) 32 D) 36 E) 38 14. Determina el número que continúa en la siguiente sucesión: -3; 0; 0; 0; 5; 22; ... A) 60 B) 56 C) 48 D) 58 E) 42 La suma de los términos de una PG decre- ciente de infinitos términos es “m” veces la suma de sus “n” primeros términos. Ha- lla la razón de la PG. 1. D 2. B 3. A 4. C 5. E 6. D 7. E 8. D 9. A 10. C 11. B 12. D 13. E 14. A Rpta.: m m 1 2 1 - b l
- 144. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 144 Nivel 1 1 Halla x, en: 5; 15; 45; 135; x A) 425 B) 375 C) 395 D) 415 E) 405 2 Halla x, en : 7; 7; 14; 42; x A) 128 B) 158 C) 168 D) 148 E) 138 3 Halla x, en: 10; 11; 13; 16; 20; x A) 30 B) 25 C) 27 D) 29 E) 26 4 Halla x, en: 21; 28; 37; 48; 61; x A) 66 B) 72 C) 68 D) 76 E) 74 5 ¿Qué letra continúa en la siguiente sucesión? K; N; P; S; V; ... A) Z B) Y C) W D) A E) X 6 ¿Qué letra continúa en la sucesión? E; I; M; P; T; ... A) Z B) S C) V D) X E) W 7 ¿Qué letra continúa en la sucesión? F; K; N; R; U; ... A) W B) T C) Z D) X E) Y 8 Halla x, en: 14; 17; 16; 19; 18; 21; x A) 24 B) 22 C) 20 D) 23 E) 17 9 Halla x; en: 15; 13; 18; 16; 21; 19; x A) 25 B) 23 C) 22 D) 18 E) 24 10 Halla x, en: 1; 1; 3; 15; x A) 100 B) 105 C) 60 D) 95 E) 80 NIVEL 2 11 Halla x, en : 20; 24; 25; 28; 30; 32; 35; 36; x A) 35 B) 40 C) 41 D) 34 E) 39 12 Halla x, en: 8; 27; 64; 125; x A) 250 B) 312 C) 625 D) 216 E) 256
- 145. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 145 13 Halla x, en: 40; 43; 49; 58; x A) 65 B) 68 C) 66 D) 70 E) 75 14 Halla x, en: 4; 4; 6; 18; 22; 110; 116 A) 812 B) 820 C) 905 D) 870 E) 825 15 Halla x, en: 28; 21; 63; 56; 168; x A) 158 B) 161 C) 182 D) 147 E) 175 16 ¿Qué letra continúa en la sucesión? A; D; G; J; ... A) P B) N C) M D) S E) W 17 Halla x, en: 2; 16; 128; x A) 1024 B) 128 C) 512 D) 168 E) 256 18 Halla x, en: 16; 20; 24; 36; 96; x A) 382 B) 516 C) 125 D) 253 E) 195 19 Halla x, en: 2; 10; 30; 74; 166; x A) 155 B) 184 C) 210 D) 354 E) 192 20 Halla x, en: 3; 5; 8; 13; 21; x A) 30 B) 32 C) 36 D) 33 E) 28 NIVEL 3 21 Halla x, en: 13; 16; 21; 29; 41; x A) 58 B) 46 C) 53 D) 45 E) 49 22 Halla a + b, en: 0; 2; 3; 4; 6; 6; a; b A) 12 B) 14 C) 17 D) 13 E) 16 23 ¿Qué número sigue? 1; 2; 5; 26; ... A) 132 B) 677 C) 358 D) 52 E) 260
- 146. Intelectum Evolución 3.° 146 24 ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 2; 10; 13; 12; 8; ... A) 6 B) 14 C) 4 D) 2 E) 10 25 ¿Qué número sigue en la siguiente sucesión? 7; 13; 37; 145; ... UNI 2003-II A) 613 B) 752 C) 721 D) 527 E) 682 26 ¿Qué número sigue en la sucesión? 5; 6; 7; 9; 15; ... A) 22 B) 36 C) 39 D) 25 E) 28 27 ¿Qué número sigue en la sucesión? 4; 8; 11; 44; 49; ... A) 76 B) 68 C) 55 D) 100 E) 294 28 Determina el número que completa la serie: 4; 9; 26; 106; 528; 3171; ... UNI 2004-I A) 22 194 B) 23 200 C) 21 330 D) 18 640 E) 20 420 29 Indica la figura que sigue: A) B) C) D) E) 30 Halla x, en: -4; 0; 0; 0; 6; 26; x A) 35 B) 30 C) 65 D) 60 E) 70 NIVEL 1 1. E 2. C 3. B 4. D 5. B 6. D 7. C 8. C 9. E 10. B NIVEL 2 11. B 12. D 13. D 14. A 15. B 16. C 17. A 18. B 19. D 20. D NIVEL 3 21. A 22. C 23. B 24. D 25. C 26. C 27. E 28. A 29. B 30. E Claves
- 147. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 147 Numeración DEFINICIÓN Es la parte de la aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los números. NÚMERO Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, dicho ente nos da la idea de cantidad. NUMERAL Es la representación simbólica o figurativa de un número. Ejemplo: III; /; tres; 3; kimsa. CIFRA Son los símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales y estos son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Del orden Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden; el cual se indica de derecha a izquierda, y un lugar el cual se cuenta de izquierda a derecha. Ejemplo: 5 4 3 2 1 0 9 7 0 4 3 8 1 2 3 4 5 6 Lugar Orden De la base La base es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades necesarias y suficientes para formar una unidad de orden inmediato superior. Ejemplo: Corrige los siguientes numerales: a) 5583 Debemos agrupar las cifras de 3 en 3 de acuerdo a la base. 2 5583 = 5523 = 5723 2 = 5123 = 7123 ` 5583 = 21123 b) 62795 Debemos agrupar las cifras de 5 en 5 de acuerdo a la base. 1 62795 = 62745 = 62845 1 = 62345 = 63345 ` 62795 = 113345 NUMERAL CAPICÚA Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes son iguales. Ejemplos: 3223; 4548; 667; abak Toda cifra que forma parte de un numeral es un nú- mero entero menor que la base. Así en el sistema de base “n” se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las cuales son: Máxima 0; 1; 2; 3; ... ; (n - 1) Cifras significativas A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa. Si:143n = 53k Como: 143 > 53 & n < k Atención Para hallar el número de ci- fras de un numeral se debe sumar el orden y lugar de una cifra cualquiera de di- cho numeral. En el ejemplo adjunto: 2 + 4 = 6 . . . Orden Lugar n.° de cifras
- 148. Intelectum Evolución 3.° 148 DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA Es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral. Ejemplos: • 7238 = 7 # 82 + 2 # 8 + 5 • 51427 = 5 # 73 + 1 # 72 + 4 # 7 + 2 En general: abcden = an4 + bn3 + cn2 + dn + e También se puede descomponer por bloques: • 4545456 = 456 # 64 + 456 # 62 + 456 • ababn = abn # n2 + abn Ejemplo: Calcula a + b + n si: ababn = 407 Resolución: abn # n2 + abn = 407 abn(n2 + 1) = 11 # 37 n2 + 1 = 37 & n = 6 ab6 = 11 ab6 = 156 & a = 1; b = 5 ` a + b + n = 12 CAMBIOS DE BASE Primer caso: de base “m” a base 10 Procedimiento: descomposición polinómica. Ejemplo: Representa 31425 en base 10. 31425 = 3 # 53 + 1 # 52 + 4 # 5 + 2 = 422 Segundo caso: de base 10 a base “n” Procedimiento: divisiones sucesivas. Ejemplo: Representa 741 en el sistema heptanario. 741 7 735 105 7 6 105 15 7 0 14 2 1 & 741 = 21067 Del valor de las cifras Toda cifra que forma parte de un numeral posee dos valores. Valor absoluto (VA): por la cantidad de unidades simples que representa. Valor relativo (VR): por el orden que ocupa en el numeral. Ejemplo: VA(8) = 8 VA(7) = 7 VA(5) = 5 VA(3) = 3 VA(4) = 4 8 7 5 3 49 VR(4) = 4 # 90 VR(3) = 3 # 91 VR(5) = 5 # 92 VR(7) = 7 # 93 VR(8) = 8 # 94 Recuerda De manera práctica, se multiplica la cifra por la base elevada al orden de dicha cifra. Atención En el 1.er caso también se puede utilizar el método de Ruffini. 3 1 4 2 5 . 15 80 420 3 16 84 422 ` 31425 = 422 • Solo para la última cifra coincide su valor relativo con su valor absoluto. • Se puede observar que: 875349 = 8 # 94 + 7 # 93 + 5 # 92 + 3 # 9 + 4 Es decir: 875349 = VR(8) + VR(7) + VR(5) + VR(3) + VR(4)
- 149. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 149 REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral, estas se representan mediante letras minúsculas, teniendo en cuenta que: a) Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. Ejemplos: (a - 3)(a + 2)(2a - 1)9 (n - 1)(n - 1)(n - 1)(n - 1)n Numeral de 3 cifras en base 9 Numeral de 4 cifras máximas en base n b) La cifra de mayor orden debe ser diferente de cero. Ejemplo: Numeral de dos cifras en base 3. ab3 ! {103; 113; 123; 203; 213; 223} & a solo puede tomar 1 ó 2. c) Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo indiquen. Ejemplo: Numeral de dos cifras en base 10: ab ! {10; 11; 12; ...; 99} Ejemplo: Si los siguientes numerales están bien escritos. 110a; aa1b; c25; 21bc Calcula: a # b # c Resolución: Toda cifra que forma parte de un nu- meral es menor que la base. 1 < a; a < b; c < 5; b < c Ordenando: 1 < a < b < c < 5 . . . 2 3 4 ` a # b # c = 24 NUMERAL DE CIFRAS MÁXIMAS • 9 = 10 - 1 99 = 102 - 1 999 = 103 - 1 h 99 ... 9 = 10k - 1 k cifras • 78 = 8 - 1 778 = 82 - 1 7778 = 83 - 1 h 77 ... 78 = 8k - 1 k cifras En general: n ( )( )...( ) 1 n n n n 1 1 1 k - - - = - k cifras 1 2 3 44444 44444 BASES SUCESIVAS • 13n = n + 3 • 1513n = n + 3 + 5 • 121513n = n + 3 + 5 + 2 En general: = n + a + b + c + ... + x 1a 1b 1c 1xn j También: k veces a1 a1 a1 a1 a1 n j = ak . n+ak-1 +...+ a2 + a + 1 Atención ¿Cuántos numerales de 3 cifras todas impares existen en base 5? Veamos 1115; 1135; 1315 1335; 3115; 3135 3315; 3335 ` Existen 8 numerales. Importante Expresa el numeral: N = 222 ... 223 50 cifras en base 9. Veamos: N = 350 - 1 = (32 )25 - 1 = 925 - 1 = 888 ... 889 25 cifras
- 150. Intelectum Evolución 3.° 150 CANTIDAD DE NUMERALES CON CIERTO NÚMERO DE CIFRAS ¿Cuántos números de tres cifras existen en el sistema de base 10 y base 7? • Base 10: sea el numeral abc abc ! {100; 101; 102; ...; 999} Cantidad de numerales: 999 - 99 = 900 Luego: 102 # abc < 103 • Base 7: sea el numeral xyz xyz ! {1007; 1017; 1027; ...; 6667} Cantidad de numerales: 6667 - (1007 - 1) = 295 Luego: 72 # xyz < 73 En general: si Nb tiene k cifras, se limita del siguiente modo: bk - 1 # Nb < bk CASOS ESPECIALES DE CAMBIOS DE BASE 1.er caso: de base “n” a base “nk ” Procedimiento: • El numeral se descompone en bloques de k cifras a partir del orden cero. • Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es la cifra en la nueva base. Ejemplo: Expresa 111011101112 en el sistema octanario. Resolución Como 8 = 23 cada bloque debe tener tres cifras. 8 2 11 101 110 111 1 # 2 + 1 3 1 # 22 + 0 # 2 + 1 5 1 # 22 + 1 # 2 + 0 6 1 # 22 + 1 # 2 + 1 7 ` 111011101112 = 35678 2.° caso: de base “nk ” a base “n” Procedimiento: • Cada cifra del numeral genera un bloque de k cifras. • Las cifras de cada bloque se obtienen mediante las divisiones sucesivas. Ejemplo: Expresa 63578 en el sistema binario. Resolución: Como 8 = 23 el bloque debe tener tres cifras. 2 8 6 3 5 7 6 2 0 3 2 1 1 3 2 1 1 2 1 0 5 2 1 2 2 0 1 7 2 1 3 2 1 1 110 011 101 111 ` 63578 = 1100111011112 Observación Si se tiene: N = abc8 = mnpq5 Entonces: 82 # N < 83 / 53 # N < 54 Luego: 53 # N < 83 ` 125 # N < 512 Atención Si todos los bloques no tienen k cifras; se les completa con ceros a la izquierda, hasta tener k cifras, esto en el caso del primer grupo de la izquierda.
- 151. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 151 1 Si: a89m = 81mn = 6mp12; calcula; a + m + n + p Resolución: Sabemos que toda cifra de un numeral es me- nor que su base. 9 < m; m < n También a mayor numeral aparente le corres- ponde menor base y viceversa. + - 81mn = 6mp12 - + n < 12 Ordenamos: 9 < m < n < 12 . . 10 11 Reemplazamos a8910 = 81(10)11 a89 = 8 . 112 + 1 . 11 + 10 a89 = 989 & a = 9 También: 989 = 6(10)p12 989 = 6 # 122 + 10 # 12 + p 989 = 984 + p & p = 5 ` a + m + n + p = 35 2 Se tiene: a a a 15 1 16 2 15 8 - - b b b l l l = mnpqa Halla: m # n # q - a + p Resolución: a y (a - 2) deben ser divisores de 15, y el único valor que cumple es: a = 5 Luego: 3458 = mnpq5 Convirtiendo 3458 a base 5: • Primero 3458 a base 10: 3458 = 3 # 82 + 4 # 8 + 5 = 192 + 32 + 5 = 229 • Ahora 229 a base 5: 229 5 225 45 5 4 45 9 5 0 5 1 4 & 229 = 14045 Entonces: 14045 = mnpq5 m = 1; n = 4; p = 0; q = 4 Finalmente: m # n # q - a + p . . . . . 1 # 4 # 4 - 5 + 0 ` m # n # q - a + p = 11 3 Si: (n - 1)(n3 )(n + 3) = aba7 = mppq5 Calcula: n + a + b + m + p + q Resolución: Sabemos que toda cifra de un numeral es me- nor que su base. 1 < n3 < 10 & n = 2 Reemplazamos: También: 185 = mppq5 185 5 185 37 5 0 35 7 5 2 5 1 2 12205 = mppq5 m = 1; p = 2; q = 0 185 = aba7 185 7 182 26 7 3 21 3 5 & 3537 = aba7 a = 3; b = 5 ` n + a + b + m + p + q = 13 4 Si: aaa ... a2 = 1xyz k cifras Calcula: a + x + y + z + k Resolución: Es claro que a = 1. Reemplazamos: 111 ... 12 = 1xyz k cifras 2k - 1 = 1xyz Si k = 9: 29 - 1 = 1xyz 511 = 1xyz (No cumple) Si k = 10: 210 - 1 = 1xyz 1023 = 1xyz (Sí cumple) Si k = 11: 211 - 1 = 1xyz 2047 = 1xyz (No cumple) Luego: k = 10; x = 0 ; y = 2; z = 3 ` a + x + y + z + k = 16
- 152. Intelectum Evolución 3.° 152 5 Si: a2an = a004 Halla: E = an an an an an 30 veces + an an an an an 20 veces Resolución: A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa. a2an = a004 2 < n < 4 & n = 3 Reemplazando: a2a3 = a004 a # 32 + 2 # 3 + a = a # 42 9a + 6 + a = 16a & a = 1 Luego: E = 13 13 13 13 13 30 veces + 13 13 13 13 13 20 veces E = 10 + 30(3) + 10 + 20(3) ` E = 170 6 Si: a0(a - 1)a4 = bc0a + b y eeed = dea Halla: E = a + b + c + d + e Resolución: Toda cifra de un numeral es menor que su respectiva base. a < 4 ; e < d; d < a Ordenamos: 0 < e < d < a < 4 . . . 1 2 3 Reemplazamos: 1112 = 2c3 1 . 22 + 1 . 2 + 1 = 2 # 3 + c 7 = 6 + c & c = 1 También: 30234 = b103 + b 3 . 43 + 2 . 4 + 3 = b(3 + b)2 + 1(3 + b) 203 = b(b2 + 6b + 9) + b + 3 203 = b3 + 6b2 + 9b + b + 3 200 = b3 + 6b2 + 10b & b = 4 ` E = a + b + c + d + e = 11 7 ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1312 se escribe con 4 cifras? Resolución: Según enunciado: 1312 = abcdn Como: 1000n # abcdn < 10000n n3 # 1312 < n4 n ! {7; 8; 9; 10} 4 valores ` Se escribe con 4 cifras en 4 sistemas. 8 Si se cumple 9abk = 213312n, además n = k ; cal- cula: a + b + n + k Resolución: Por dato: n = k & n2 = k Reemplazando: 9abn2 = 213312n Utilizando el caso especial de cambio de base (De base “n” a base “nk ”) k = 2 • 21n = 9 2n +1 = 9 n = 4 & k = 16 • 33n = a 334 = a a = 15 • 12n = b 124 = b b = 6 ` a + b + n + k = 41 9 Se expresa el menor numeral del sistema octonario cuya suma de cifras es 420 en el sistema cuaternario. Da como respuesta la suma de cifras en este último sistema. Resolución: Para expresar el menor numeral del sistema octonario estas cifras deben ser máximas. 777 ... 778 60 cifras Suma de cifras = 7(60) = 420 Luego: 777 ... 778 = 860 - 1 = (23 )60 - 1 60 cifras = (22 )90 - 1 = 490 - 1 777 ... 778 = 4 ... 333 33 cifras 90 1 2 3 4 4 4 4 ` Suma de cifras = 3(90) = 270
- 153. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 153 1. Halla el máximo valor de a + n, si: a0an = (2a)(a)2n A) 11 B) 9 C) 7 D) 10 E) 8 2. En qué sistema se realizó la operación: 42 . 32 = 2004 A) 9 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6 3. Si: 2 2 abab b a b a 3 = b b l l Halla el máximo valor de “a”. A) 6 B) 4 C) 7 D) 8 E) 2 4. Si: abcabcn = 420, halla a + b + c + n. A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 8 5. Si un número de cierta base se convierte a las 2 ba- ses siguientes, se escriben como 1134 y 541 respec- tivamente. ¿Cómo se escribe en la base anterior? A) 201045 B) 101024 C) 102013 D) 305016 E) 103045 6. El mayor número de 3 cifras en base “n” es llevado a la base “n - 1”, ¿halla la suma de cifras en esta nueva base? A) 2n + 3 B)7 C) 6 D) 3n - 1 E) 5 7. Si un número se escribe en base 10 como xxx y en base 6 como aba, entonces, a + b + x es igual a: A) 4 B) 6 C) 7 D) 3 E) 5 8. Se convierte 100111n a la base n2 y se obtiene un numeral cuya suma de sus cifras más su base da 26. Halla “n”. A) 7 B) 3 C) 4 D) 6 E) 2
- 154. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 154 9. ¿Cómo se escribe en la base nk , (k ! Z+ ) el cuadrado del mayor número de k cifras de la base n? A) ( ) n 1 2 k nk - B) ( ) n 2 2 k nk - C) ( ) n 2 0 k nk - D) ( ) n 1 1 k nk - E) ( ) n 2 1 k nk - 10. Calcula el número de términos de la siguiente pro- gresión aritmética: 23n; 30n; 34n; ...; 445n A) 52 B) 54 C) 56 D) 57 E) 51 11. ¿En cuántos sistemas de numeración 3344 se denota con tres cifras? A) 47 B) 40 C) 43 D) 39 E) 42 12. Sabiendo que: abm = 14(m + 3) Halla: a + b + m A) 6 B) 5 C) 9 D) 7 E) 8 ab ab ab3 “m” veces 13. Si: N = 14 # 13 5 + 21 # 13 4 + 27 # 13 2 + 5 # 13 + 17; ¿cuál será la suma de cifras del numeral N al expresarlo en base 13? A) 25 B) 22 C) 20 D) 21 E) 24 14. ¿En qué sistema de numeración existen 1482 números de la forma: a(a + 2)(b - 2)b? A) 40 B) 38 C) 43 D) 41 E) 42 1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 6. B 7. A 8. C 9. E 10. B 11. C 12. D 13. E 14. D ¿En cuántos sistemas de numeración, el número 218 - 1 se puede represen- tar como el máximo numeral posible? Rpta.: 6
- 155. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 155 NIVEL 1 1 ¿En qué sistema de numeración el número 141 se escribe 261? A) 11 B) 9 C) 7 D) 12 E) 8 2 ¿En qué sistema se realizó la operación: 50 - 22 = 27? A) 11 B) 10 C)7 D) 8 E) 9 3 ¿En qué sistema se realizó la operación: 8 . 8 = 71? A) 12 B) 9 C) 8 D) 6 E) 11 4 Si: 1010101x = 1010; halla: x A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 3 5 ¿Cuántos valores de “a” satisfacen: a(2a)a = 11 . aa? A) 5 B) 8 C) 4 D) 2 E) 3 6 Halla a + b + n, si: 10n36 = abb4n A) 8 B) 10 C) 6 D) 12 E) 12 7 Halla: a + b + n, si se cumple la siguiente igualdad: n259 = 1ab7n A) 9 B) 10 C) 14 D) 13 E) 12 8 Si: aaa9 = 1a0a6 Halla el valor de a2 . A) 16 B) 25 C) 1 D) 9 E) 4 9 Indica la base del sistema de numeración en el cual la suma del mayor número de 3 cifras y el menor número de 3 cifras es igual a 1451. A) 8 B) 11 C) 12 D) 13 E) 9 10 Si: xxy = 1183n Halla: x + y A) 11 B)8 C) 13 D) 9 E) 10 NIVEL 2 11 Si: aab5 = bbb4 Halla: a + b A) 9 B) 5 C) 7 D) 4 E) 6 12 Se cumple que: 16n9 = ab7n Halla: a + b + n A) 10 B) 13 C) 9 D) 11 E) 14
- 156. Intelectum Evolución 3.° 156 13 Halla “b” si se cumple la siguiente igualdad: 12131415b = 229 A) 6 B) 8 C)9 D) 10 E) 7 14 Si se cumple la siguiente igualdad: 10a37 = abb9 Halla: b - a A) 2 B) 4 C) 5 D) 3 E) 1 15 ¿Cuántos números existen en el sistema decimal que tienen la siguiente forma: (a - 2)b(8 - a)? A) 70 B) 99 C) 90 D) 50 E) 180 16 Calcula el valor de “a” si se cumple que: aaa5 = (a - 1)aa6 A) 2 B) 5 C) 3 D) 4 E) 6 17 Halla “b - a”, si: aa0 + bb0 = aa00 A) 5 B) 8 C) 7 D) 4 E) 6 18 Si: abc9 = cba7 = xyz10 Halla: x + y + z A) 14 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 19 ¿En cuántas bases se puede representar al número 2856 con 3 cifras? A) 40 B) 38 C) 37 D) 41 E) 39 20 Si: 121n = 6ab y a < 5; halla: a + b + n A) 31 B) 29 C) 27 D) 32 E) 28 NIVEL 3 21 Calcula: x . y Si: 16 16 16 16xy xy veces = 105 A) 8 B) 12 C) 3 D)6 E) 15 22 ¿En qué sistema de numeración los números 123; 140 y 156 forman ellos una progresión aritmética? A) 6 B) 8 C) 7 D) 5 E) 9 23 Calcula n: 18 18 18 18n 24n veces = 559 A) 23 B) 39 C) 31 D) 27 E) 28
- 157. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 157 NIVEL 1 1. C 2. E 3. B 4. E 5. C 6. B 7. D 8. A 9. B 10. C NIVEL 2 11. B 12. D 13. A 14. E 15. D 16. C 17. B 18. A 19. E 20. A NIVEL 3 21. E 22. E 23. C 24. D 25. C 26. C 27. B 28. A 29. B 30. D Claves 24 ¿Cómo se representa 234x en base (x - 1)? A) 269(x - 1) B) 369(x - 1) C) 299(x - 1) D) 279(x - 1) E) 379(x - 1) 25 Si: N = 16 # 13 5 + 20 # 13 4 + 31 # 13 2 + 6 # 13 + 39 ¿cuál será la suma de las cifras del numeral N al expresarlo en base 13? A) 30 B) 32 C) 28 D) 34 E) 26 26 ¿Cuántos “unos” tiene N en el sistema binario? N = 676767 ... 6768 83 cifras A) 206 B) 209 C) 207 D) 210 E) 208 27 Si el numeral 910 - 1 se escribe como: aa ... aa9, “n” cifras halla la suma de cifras de: a + n A) 9 B) 18 C) 11 D) 10 E) 12 28 Halla: a + b + n, si: 21abn = 117n2 A) 8 B)7 C) 6 D) 9 E) 10 29 ¿Cuántas cifras tiene 128200 al ser expresado en base 8? A) 400 B) 467 C) 320 D) 600 E) 120 30 ¿Cuántos números de 5 cifras en el sistema heptal, tienen como producto de sus cifras, el valor de 30? A) 60 B) 40 C) 50 D) 80 E) 70
- 158. Intelectum Evolución 3.° 158 ANALOGÍA NUMÉRICA Es un conjunto de 3 filas de 3 números cada una, donde el número central está entre paréntesis y resulta de operar los números de los extremos. Ejemplo: halla el número que falta en la siguiente analogía numérica. 5 (19) 6 7 (36) 13 9 ( ) 37 Resolución: Se tantea con los valores extremos hasta encontrar el número central. 1.a fila: 52 - 6 = 19 2.a fila: 72 - 13 = 36 3.a fila: 92 - 37 = 44 ` El número que falta es 44. DISTRIBUCIÓN NUMÉRICA Es un arreglo de números que están dispuestos en filas y columnas. Para determinar el número que falta se debe establecer una relación que puede ser horizontal o vertical. Ejemplo: encuentra el número que falta en la siguiente distribución numérica. 7 2 5 19 8 3 6 30 9 5 4 ... Resolución: Buscamos una relación en las filas. 1.a fila: 7 # 2 + 5 = 19 2.a fila: 8 # 3 + 6 = 30 3.a fila: 9 # 5 + 4 = 49 ` El número que falta es 49. ANALOGÍA GRÁFICA Es un conjunto de 3 figuras iguales, que tienen dispuestos números de la misma ma- nera en cada figura. Ejemplo: halla el número que falta en la siguiente analogía gráfica. 8 65 7 6 81 3 9 6 Resolución: El número que se ubica en la parte superior resulta de multiplicar los números de la base e invertir las cifras. 1.a figura: 8 # 7 = 56 & 65 2.a figura: 6 # 3 = 18 & 81 3.a figura: 9 # 6 = 54 & 45 ` El número que falta es 45. Analogías y distribuciones numéricas Recuerda En una analogía gráfica, la figura es algo accesorio que por lo general no interviene en la solución. Importante Para resolver los problemas de analogías numéricas hay que tantear con los números de los extremos, efectuando las diferentes operaciones hasta encontrar el número del centro. Existen casos donde al re- solver una analogía numéri- ca se encuentran 2 respues- tas.. Halla “x” en: 2 (16) 4 3 (27) 3 2 ( x ) 5 A) 15 B) 18 C) 25 D) 20 E) 27 Veamos: En la 1.a fila: 24 = 16 En la 2.a fila: 33 = 27 En la 3.a fila: 25 = 32 x = 32 En la 1.a fila: 42 = 16 En la 2.a fila: 33 = 27 En la 3.a fila: 52 = 25 x = 25 En estos casos se toma como correcto aquel resulta- do que se encuentra en las alternativas. & x = 25 Clave C
- 159. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 159 1 ¿Qué número falta? 4 ( 80 ) 5 6 (108) 3 7 ( ) 4 Resolución: 1.a fila: 42 # 5 = 80 2.a fila: 62 # 3 = 108 3.a fila: 72 # 4 = 196 ` El número que falta es 196. 2 ¿Qué número falta? 13 ( 5 ) 4 15 ( 6 ) 7 22 ( ) 9 Resolución: 1.a fila: ( ) 13 3 4 + = 5 2.a fila: ( ) 15 3 7 + = 6 3.a fila: ( ) 22 3 9 + = 7 ` El número que falta es 7. 3 Halla el número que falta. 17 ( 12 ) 5 25 ( 18 ) 8 34 ( ) 12 Resolución: 1.a fila: 1 # 7 + 5 = 12 2.a fila: 2 # 5 + 8 = 18 3.a fila: 3 # 4 + 12 = 24 ` El número que falta es 24. 4 Halla el número que falta. 48 ( 5 ) 25 59 ( 7 ) 34 87 ( ) 51 Resolución: 1.a fila: (4 + 8) - (2 + 5) = 5 2.a fila: (5 + 9) - (3 + 4) = 7 3.a fila: (8 + 7) - (5 + 1) = 9 ` El número que falta es 9. 5 ¿Qué número falta? 23 (35) 34 35 (88) 47 58 ( ) 69 Resolución: 1.a fila: (2 + 3) # (3 + 4) = 35 2.a fila: (3 + 5) # (4 + 7) = 88 3.a fila: (5 + 8) # (6 + 9) = 195 ` El número que falta es 195. 6 Encuentra el número que falta. 5 (100) 5 4 ( 48 ) 4 6 ( x ) 6 Resolución: 1.a fila: 5 # 5(5 - 1) = 100 2.a fila: 4 # 4(4 - 1) = 48 3.a fila: 6 # 6 (6 - 1) = 180 ` El número que falta es 180.
- 160. Intelectum Evolución 3.° 160 7 ¿Cuánto vale “x”? 20 9 3 8 x 13 17 10 5 7 8 5 Resolución: 1.a figura: 4 8 7 5 + + = 5 2.a figura: 4 3 9 20 + + = 8 3.a figura: X 4 17 13 + + = 10 30 + x = 40 ` x = 10 8 Calcula “x + y” en: 14 7 2 3 3 1 x 9 2 10 y 2 Resolución: 1.a figura: 7 . 2 = 14 2.a figura: 3 . 1 = 3 3.a figura: 9 . 2 = x & x = 18 4.a figura: y . 2 = 10 & y = 5 ` x + y = 23 9 Halla el número que falta. 23 7 9 2 39 8 7 4 62 9 ? 6 Resolución: 1.a figura: 7 # 2 + 9 = 23 2.a figura: 8 # 4 + 7 = 39 3.a figura: 9 # 6 + ? = 62 ? = 8 ` El número que falta es 8. 10 Halla el valor de “x + y”. 10 3 7 5 9 8 4 2 8 5 11 6 12 13 4 9 5 8 x 9 12 y 13 15 Resolución: Veamos qué relación existe entre los números que se oponen. 1.a figura: 10 + 2 = 12 3 + 9 = 12 7 + 5 = 12 8 + 4 = 12 La suma siempre es 12. 2.a figura: 8 + 9 = 17 5 + 12 = 17 11 + 6 = 17 13 + 4 = 17 La suma siempre es 17. 3.a figura: 5 + 15 = 20 8 + 12 = 20 x + 9 = 20 & x = 11 y + 13 = 20 & y = 7 ` x + y = 18
- 161. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 161 1. Halla el número que falta. 24 (20) 4 33 (15) 18 12 ( ) 4 A) 5 B) 8 C) 12 D) 6 E) 3 2. Halla el número que falta. 14 10 4 20 5 15 12 2 x A) 10 B) 12 C) 8 D) 9 E) 7 3. Halla el número que falta. 2 4 8 3 9 27 ? 5 60 A) 12 B) 10 C) 8 D) 9 E) 15 4. Halla el número que falta en: 16 (18) 20 40 (45) 50 36 ( ) 48 A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44 5. Halla x. 5 8 2 9 6 12 x 11 7 A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 8 6. Halla “x”. 2 (16) 4 3 (27) 3 6 ( x ) 2 A) 38 B) 40 C) 36 D) 30 E) 32 7. Halla x. 56 (16) 41 92 (24) 67 86 ( x ) 39 A) 48 B) 52 C) 44 D) 35 E) 37 8. Halla x en la siguiente distribución: 5 8 2 1 3 5 4 9 11 5 4 6 7 x 8 A) 12 B) 18 C) 20 D) 15 E) 10
- 162. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 162 9. Calcula el valor de x en: 4 ( 7 ) 25 64 (14) 36 49 ( x ) 81 A) 25 B) 21 C) 28 D) 16 E) 17 10. Calcula el valor de x en: 144 (36) 27 25 ( 5 ) 1 25 ( x ) 8 A) 80 B) 6 C) 10 D) 40 E) 7 11. Halla el número que falta. 5 17 3 2 4 7 1 3 2 ? 2 6 A) 9 B) 11 C) 10 D) 12 E) 13 12. Halla el número que falta. 3 4 20 8 2 10 30 10 ? 6 32 8 A) 1 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4 13. Halla el número que falta. 9 3 6 9 20 6 5 10 8 10 ? 22 A) 1 B) 2 C) 4 D) 3 E) 6 En el siguiente gráfico, halla el valor de “x”. 2 -3 x -13 7 Rpta.: 27 1. B 2. A 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. E 9. D 10. C 11. C 12. E 13. D 14. E 14. Halla el número que falta. 8 3 7 2 3 4 1 16 5 4 7 4 ? 3 5 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1
- 163. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 163 NIVEL 1 1 Halla el valor que falta. 20 9 11 10 7 3 ? 8 14 A) 14 B) 15 C) 22 D) 20 E) 23 2 Halla el valor que falta. 20 5 4 8 1 8 x 2 3 A) 5 B) 9 C) 6 D) 8 E) 10 3 Halla el valor que falta. 3 5 16 8 3 25 6 7 ? A) 40 B) 46 C) 47 D) 43 E) 39 4 Halla el valor que falta. 32 2 5 343 7 3 ? 1 9 A) 10 B) 8 C) 9 D) 2 E) 1 5 Halla el valor que falta. 12 10 8 10 9 8 4 x 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) 8 6 Halla el valor que falta. 14 ( 5 ) 2 20 ( 8 ) 2 16 ( ) 4 A) 4 B) 0 C) 3 D) 5 E) 6 7 Halla el valor que falta. 2 ( 9 ) 3 4 (17) 2 5 ( ) 2 A) 25 B) 26 C) 30 D) 37 E) 40 8 Halla el valor que falta. 12 (16) 3 15 ( 9 ) 5 28 ( ) 4 A) 7 B) 36 C) 50 D) 49 E) 23 9 Halla el valor que falta. 16 ( 9 ) 20 17 (12) 31 23 ( ) 5 A) 5 B) 7 C) 6 D) 11 E) 10
- 164. Intelectum Evolución 3.° 164 NIVEL 2 10 Halla el valor que falta. 2 17 4 3 28 3 2 ? 8 A) 66 B) 67 C) 46 D) 48 E) 65 11 Halla el valor que falta. 3 13 4 8 41 5 3 ? 3 A) 11 B) 12 C) 9 D) 10 E) 8 12 Halla el valor que falta. 60 5 8 4 80 4 10 10 50 ? 6 4 A) 4 B) 3 C) 6 D) 5 E) 8 13 Halla el valor que falta. 4 9 1 8 20 4 ? 60 10 A) 10 B) 15 C) 30 D) 35 E) 25 14 Halla el valor que falta. 15 2 4 34 3 8 1 25 4 4 7 ? A) 25 B) 20 C) 24 D) 23 E) 27 15 Halla el valor que falta. 2 36 5 1 2 49 4 3 3 64 x 3 A) 1 B) 2 C) 3 D) 7 E) 8 16 Halla el valor que falta. 27 50 2 4 2 3 10 17 ? 8 3 10 A) 7 B) 8 C) 9 D) 6 E) 10 17 Halla el valor que falta: 8 2 3 16 25 5 2 50 x 7 2 98 A) 72 B) 70 C) 36 D) 49 E) 55 18 Señala la alternativa que contiene el valor de “x”, teniendo en cuenta el siguiente arreglo. 3 6 9 15 210 225 11 x 121 UNI 2000-II A) 119 B) 117 C) 115 D) 110 E) 111
- 165. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 165 NIVEL 3 19 Halla el valor que falta. 2 61 4 5 52 2 3 18 4 3 x 3 A) 63 B) 36 C) 72 D) 27 E) 80 20 Halla el valor que falta. 4 3 2 26 5 7 3 1 59 8 3 2 x 24 4 A) 1 B) 6 C) 5 D) 7 E) 8 21 Halla el valor que falta. 21 2 10 3 1 16 9 8 7 7 ? 4 10 8 9 A) 24 B) 26 C) 28 D) 32 E) 36 22 Halla el valor que falta. 18 4 2 1 2 24 2 8 0 1 ? 5 2 2 2 A) 28 B) 26 C) 30 D) 32 E) 36 23 Halla el valor que falta. 24 3 18 15 9 54 30 5 ? A) 16 B) 18 C) 36 D) 46 E) 15 24 Halla el valor que falta. 12 32 12 54 17 140 32 15 x A) 63 B) 30 C) 31 D) 70 E) 72 25 Halla el valor que falta. 20 35 16 304 46 70 81 11 ? A) 27 B) 25 C) 20 D) 18 E) 16 NIVEL 1 1. C 2. C 3. D 4. E 5. C 6. A 7. B 8. D 9. B NIVEL 2 10. E 11. D 12. D 13. E 14. D 15. A 16. D 17. D 18. D NIVEL 3 19. C 20. B 21. B 22. A 23. E 24. B 25. D Claves
- 166. Intelectum Evolución 3.° 166 Leyes de exponentes DEFINICIÓN Es un conjunto de reglas que relaciona a los exponentes mediante las operaciones de potenciación y radicación. POTENCIACIÓN an = p Exponente Base Potencia Definiciones Exponente natural . . . . a a a a a " " n n veces g = 1 2 3 4 4 4 4 ; n ! N Exponente cero b0 = 1 ; b ! 0 Exponente negativo x-n = x 1 n ; x ! 0 Teoremas 1. Producto de bases iguales am . an = am + n Ejemplo: • 43 . 45 = 43 + 5 = 48 2. Cociente de bases iguales a a n m = am - n ; a ! 0 Ejemplo: • 7 7 4 9 = 79 - 4 = 75 3. Potencia de un producto (a . b)n = an bn Ejemplo: • (4 . 6)3 = 43 . 63 4. Potencia de un cociente b a b a n n n = b l ; b ! 0 Ejemplo: • 7 5 7 5 2 2 2 = b l 5. Potencia de potencia (am )n = am . n Ejemplo: • (43 )2 = 43 . 2 = 46 Recuerda an = P b: base, b ! R n: exponente, n ! N p: potencia, p ! R Si: x, y ! R - {0} y n ! Z, entonces: y x x y n n = - d b n l
- 167. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 167 RADICACIÓN Indice Radicando Raíz a b n = , a = bn ; n ! N; n $ 2 Definición Exponente fraccionario x x / m n m n = Teoremas 1. Raíz de un producto . a b a b n n n = - 2. Raíz de un cociente b a b a n n n = ; b ! 0 3. Raíz de una raíz a a n m mn = Raíz de raíz con variables entre radicales x x x x( ) a b c p n m an b p c mnp = + + Formas indeterminadas 1. ... A A A 3 + + + 2. ... B B B 3 - - - 3. ... x x x n n n 3 m m m 4. 3 x x n m n m h 5. xxx...∞ 6. n n n n n n ECUACIONES EXPONENCIALES • A bases iguales los exponentes deben ser iguales. Si: ax = ay & x = y • La estructura matemática en ambos miembros debe ser la misma. Si: xxx+xx = aaa+aa & x = a Ejemplos: 16 4 = 2, ya que 16 = 24 8 3 - = -2, pues -8 = (-2)3 9 - = no existe en R = x; si n es impar |x|; si n es par xn n Importante El tipo de problemas de formas indeterminadas se caracteriza por presentar el símbolo infinito (∞) y su cri- terio de solución consiste en aumentar un elemento co- mún más en el ejercicio dado con la finalidad de eliminar la indeterminación. Recuerda Las ecuaciones exponencia- les se caracterizan porque la incógnita se encuentra en el exponente.
- 168. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 168 1 Reduce: E = 16-4-2-1 + 273-50 + (0,125)-9-0,5 Resolución: Aplicamos la definición de exponente fraccio- nario: E = 16-4-1/2 + 27-3-1 + 8 1 b l -9-1/2 E = 16-1/2 + 27-1/3 + 8 1 b l -1/3 E 4 1 3 1 2 12 3 4 24 = + + = + + ` E = 12 31 2 Simplifica: . ( ) ( ) P 5 4 25 225 x x x x 2 5 3 2 4 2 3 = + + + + + Resolución: Expresando la base como potencia de 5: . ( ) ( . ) P 5 4 5 3 5 x x x x 2 5 2 3 2 2 2 4 2 3 = + + + + + . . P 5 4 5 3 5 x x x x x 2 5 2 6 4 8 4 8 2 3 = + + + + + + . . . P 4 5 5 5 3 5 x x x x x 2 5 2 5 4 8 4 8 2 3 = + + + + + + 9 . . P 5 3 5 x x x x 2 5 4 8 4 8 2 3 = + + + + . . P 3 5 3 5 x x x x 2 2 5 4 8 4 8 2 3 = + + + + . P 3 5 x x x 4 6 2 3 2 3 = + + + P = 32 . 5 ` P = 45 3 Simplifica la expresión siguiente: . C 3 1 3 1 3 1 3 1 23 18 = - 3 3 b l Resolución: Aplicamos la propiedad de radicales: C 3 1 3 1 3 1 3 1 ( . ) . . 23 18 1 3 1 3 1 2 3 3 23 18 13 18 = = - + + - b b b b l l l l & C 3 1 3 1 3 1 3 1 9 1 / / 23 18 13 18 18 13 18 23 2 = = = = - - - b b b b b l l l l l 4 Halla el valor de: . . . Q 64 64 64 16 16 16 3 6 6 3 = Resolución: Expresamos la base como potencia de 2: . Q 2 2 2 2 2 2 6 6 6 3 6 4 4 4 6 3 = Q 2 2 2 2 ( . ) . . ( . ) . . 6 3 6 2 6 6 3 2 4 6 4 2 4 3 6 2 54 36 60 36 = = + + + + & Q 2 2 2 2 / / / / / 54 36 60 36 60 36 54 36 1 6 = = = - ` Q = 2 6 5 Si: a a a m 2 3 = Halla el equivalente de: . a a a 4 4 Resolución: Aplicamos la propiedad de radicales: a m ( . ) . . 2 2 3 2 1 2 2 2 = + + a15 8 = m & a15/8 = m Elevando a la 8/15: (a15/8 ) 8/15 = m8/15 a = m8/15
- 169. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 169 Ahora piden: a . a a 4 4 Aplicamos la propiedad de radicales: . . . a a a a a a a . / / 1 4 1 16 5 16 5 16 21 16 = = = + Reemplazando: a = m8/15 & a21/16 = (m8/15 ) 21/16 = m10 7 = m7 10 6 Simplifica: 3 . ... M x x x x 4 4 3 3 12 3 12 3 3 = h J L K K K K K b N P O O O O O l Resolución: Sea ( ... ) A x x 4 4 3 3 = Elevamos al cubo: ... A x x A 3 4 4 3 = S A2 = x4 & A = x2 Luego: 3 x x 12 3 12 3 B = h R T S S S S S V X W W W W W Elevando al cubo: 3 B x x 3 12 3 12 = h B B4 = x12 & B = x3 Finalmente: M = A . B = x2 . x3 = x5 ` M = x5 7 Halla el valor reducido de la expresión: . . ... Q x x x x 2 2 3 3 3 = Resolución: Elevamos al cubo: ... Q x x x x 3 2 2 3 3 = Elevamos al cuadrado: (Q3 ) 2 = x4 . ( ... ) x x x x Q 2 3 3 1 2 3 444 444 Q6 = x5 . Q & Q5 = x5 ` Q = x 8 Resuelve: 64 32 x x 3 2 = - - Resolución: Expresando las bases como potencia de 2: 2 2 ( ) x x 6 3 2 5 = - - 2 2 ( ) x x 2 6 3 5 = - - Como las bases son iguales, podemos igualar exponentes: ( ) x x 2 6 3 5 - - = 6(x - 3) = 5(x - 2) & 6x - 18 = 5x - 10 ` x = 8 9 Resuelve: xxx = 27(27)8 Resolución: Expresamos la base como una potencia de 3. xxx = 33 (33 )8 = 33 (324 ) = 327 & xxx = 333 Por analogía: x = 3 10 Calcula: x - y Si: 2x - 3y = 16 ...(I) 3 81 3 x y = - ... (II) Resolución: 2x - 3y = 16 & 2x - 3y = 24 & x - 3y = 4 ... (a) También: x y 3 x y 3 4 - - 3 3 4 & = = x - y = 12 ... (b) Luego: (b) - (a) = (x - y) - (x - 3y) = 12 - 4 2y = 8 & y = 4 Reemplazando en (b): x - 4 = 12 x = 16 ` x - y = 16 - 4 = 12
- 170. Actividades de razonamiento Intelectum Evolución 3.° 170 1. Efectúa: E = 64 8 27 , 9 4 0 5 - - - - - A) 1/3 B) 1/8 C) 1/2 D) 1/5 E) 1/4 2. Reduce: xx x x x 1 1 - - _ i : D A) x B) x2 C) x-1 D) x-2 E) x3 3. Efectúa: . R 4 2 2 2 2 1 = - _ i 7 A A) 0 B) 2 C) 3 D) 1 E) 4 4. Simplifica: 5 5 5 5 5 n n n n n 2 3 1 1 2 2 2 2 2 - - + + + + - M = > H A) 35 8 B) 35 1 C) 8 35 D) 43 8 E) 35 2 5. Simplifica: E 1 2 1 2 n n n = + + - A) 2,5 B) 0 C) 1 D) 4 E) 2 6. Efectúa: . ... . ... E a a a a a a a a 3 3 3 1 4 ' = - 20 factores 45 veces A) a B) 3 C) 2 D) 1 E) a 7. Simplifica y da el exponente de x. E = x x x x 2 3 18 4 3 A) 4 B) 2 C) 1 D) 5 E) 3 8. Luego de simplificar la siguiente expresión, halla la suma de los exponentes de la variable. E = . a b b c c d 2 4 3 2 3 6 5 4 3 A) 25 44 B) 35 66 C) 17 39 D) 30 77 E) 17 70
- 171. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 171 1. B 2. A 3. E 4. D 5. E 6. D 7. C 8. D 9. D 10. D 11. B 12. B 13. E 14. D Calcula “x”, si: 3 i x - 9 x 9 x - - 9 x = x x x 1 1 1 g3 9. Si: aa = 3 Calcula: M a 1 a a a a 1 = - + A) 3 B) 3 C) 2 3 D) 3 3 E) 9 10. Si: 2 aaa = Halla el valor de C en: C = + a a 3 a a a A) 32 B) 8 C) 4 D) 64 E) 16 11. Resuelve: 327x 2 - = + 279x 1 A) 5 B) 9 C) 6 D) 4 E) 7 12. Halla x en: 5 5 5 5 5 x x 2 16 7 + + = A) 5 B) 9 C) 8 D) 6 E) 7 13. Calcula el valor de E en: E = . . ... 81 81 81 2 2 2 3 3 3 h 3 3 A) 5 3 B) 2 1 C) 4 3 D) 2 5 E) 3 2 14. Halla el valor de E en: ... E 6 6 6 6 3 = + + + + A) 2 B) 0 C) 4 D) 3 E) 1 Rpta.: 1/10
- 172. Refuerza practicando Intelectum Evolución 3.° 172 NIVEL 1 1 Halla el valor de A si: A = 2 1 2 1 1 2 3 3 - b b l l < F A) 6 B) 4 C) 3 D) 8 E) 2 2 Halla el valor de E si: E = 2 1 3 1 4 1 7 1 2 2 2 1 2 1 + + + - - - - b b b b l l l l < F A) 4 B) 6 C) 1 D) 2 E) 5 3 Halla el valor de C si: C = 2 3 1 2 27 3 / 2 1 1 3 1 + + - - b b l l < F A) 1 B) 3 C) 6 D) 9 E) 81 4 Efectúa: B = . . . . 3 28 54 2 36 42 3 2 2 3 A) 5 B) 2 C) 1 D) 4 E) 3 5 Simplifica: 5 5 5 5 x x x x 2 1 2 3 + + + + + + A) 21/5 B) 1/5 C) 13/5 D) 31/5 E) 5 6 Simplifica: 2 2 2 2 2 n n n n n 2 3 2 1 + + - + + + + A) 1 B) 8 C) 4 D) 16 E) 2 7 Simplifica: . . . 3 3 2 2 3 3 2 n n n n 1 1 1 + + + + + A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 4 8 Efectúa: 818-9-2-1 A) 24 B) 3 C) 9 D) 6 E) 18 9 Simplifica: . . x x 8 32 3 3 5 5 + A) 4x B) x C) x2 D) x - 1 E) 2x NIVEL 2 10 Reduce: . 6 2 3 2 10 2 5 2 a a a a 1 1 1 + - + - - _ _ _ _ i i i i > H A) 3 B) 5 C)6 D) 2 E) 4
- 173. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 173 11 Reduce: . a b a b n n n n 8 6 15 8 2 1 4 3 2 5 - + - + _ _ i i A) ab B) (b/a)2 C) (1/ab)2 D) 1 E) (ab)2 12 Reduce: 5 5 a a a a a 2 2 4 3 2 + + A) 1 B) 5 C) 5 D) 25 E) 5 3 13 Reduce: . 3 9 2 90 a a a a 2 2 1 1 1 + + + + + A) 2 B) 10 C) 6 D) 9 E) 3 14 Reduce: A = 168-27-9-4-2-1 A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 5 15 . . . . . 84 63 48 72 21 28 81 4 2 2 3 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 16 Simplifica y da el exponente de x: x x x x 5 2 3 3 A) 5 B) 1/2 C) 3/2 D) 3 E) 2 17 Sabiendo que: 5x = 2, calcula: 125x + 1 A) 325 B) 125 C) 25 D) 625 E) 1000 18 Si: 3a = 81, halla el valor de: E = . 27 9 27 a a 2 + A) 3 B) 9 C) 27 D) 81 E) 1 NIVEL 3 19 Simplifica: E = . . . . 5 3 2 3 3 2 3 4 3 a a a a a 1 4 3 1 b b b b b - - + + + + + A) 3 B) 6 C) 9 D) 18 E) 12 20 Halla el valor de: H = 5 7 5 7 a b a b - + sabiendo que: 5a+1 = 7b A) 3/2 B) 5/2 C) -2/3 D) -3/2 E) -1
- 174. Intelectum Evolución 3.° 174 21 Halla el valor de “x” en la siguiente ecuación: 3 9 3 9 243 x x = A) 5 B) 7 C) 3 D) 6 E) 4 22 Reduce: E = . n n n n n n n n n 2 3 A) n B) nn c) n2 D) n3 E) 1 23 Calcula el valor de: (a + b) Si: ab = ba = aa - b A) 6 B) 5 C) 2 D) 7 E) 8 24 Si: 2 bbb = Calcula: P = + + bb b b b bb bb + A) 4 B) 64 C) 32 D) 2 E) 16 25 Halla “a”, si: 27 3 1 9 1 a 2 2 = - - - - b l A) 9 B) 32 C) 64 D) 3 E) 16 26 Halla el valor de “T”, si: T = x x x 16 3 16 3 16 3 h 3 A) x4 B) 1 C) x2 D) x3 E) x 27 Calcula “R”, si: R = ... 24 24 24 3 3 3 + + + A) 2 B) 8 C) 10 D) 3 E) 6 28 Si: A = xxx i ; B = yyyy i ; A = BB 1 - Halla el valor de: xy A) A + B B) AB C) 0 D) AB E) A NIVEL 1 1. E 2. B 3. A 4. C 5. D 6. E 7. A 8. C 9. A NIVEL 2 10. D 11. E 12. B 13. B 14. A 15. A 16. C 17. E 18. C NIVEL 3 19. A 20. D 21. B 22. D 23. A 24. C 25. E 26. A 27. D 28. E Claves
- 175. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 175 Productos notables DEFINICIÓN Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, considerando implícita la propiedad distributiva de la multiplicación, por la forma que presentan. PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES Desarrollo de un binomio al cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Corolario: “Identidad de Legendre” (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2 ) (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab Diferencia de cuadrados a2 - b2 = (a + b)(a - b) Desarrollo de un trinomio al cuadrado (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) Desarrollo de un binomio al cubo (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) Suma y diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 ) Atención Ejemplos de binomio al cuadrado. • (2x2 +3x3 )2 =(2x2 )2 +2(2x2 )(3x3 )+(3x3 )2 = 4x4 + 12x5 + 9x6 • (5x4 - y6 )2 = (5x4 )2 - 2(5x4 )(y6 ) + (y6 )2 = 25x8 - 10x4 y6 + y12 Ejemplos de identidad de Legendre. • (2x + 3y)2 + (2x - 3y)2 = 2((2x)2 + (3y)2 ) = 2(4x2 + 9y2 ) • (3x2 y + xy2 )2 - (3x2 y - xy2 )2 = 4 . 3x2 y . xy2 = 12x3 y3 Ejemplo de diferencia de cuadrados. (4x3 + 3z4 )(4x3 - 3z4 ) = (4x3 )2 - (3z4 )2 = 16x6 - 9z8 Atención Ejemplo de binomio al cubo. Si: x + y = 3 / xy = 4, halla x3 + y3 Veamos: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) 33 = x3 + y3 + 3(4)(3) 27 = x3 + y3 + 36 ` x3 + y3 = -9
- 176. Intelectum Evolución 3.° 176 Desarrollo de un trinomio al cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) - 3abc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2 (b + c) + 3b2 (a + c) + 3c2 (a + b) + 6abc Producto de multiplicar binomios con un término común (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc (x - a)(x - b)(x - c) = x3 - (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x - abc Identidad trinómica de Argan’d (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1 (x2 + xy + y2 )(x2 - xy + y2 ) = x4 + x2 y2 + y4 Identidad de Gauss a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac) (a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca) Igualdades condicionales I. Si: a + b + c = 0 Entonces: a3 + b3 + c3 = 3abc II. Si: a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Entonces: a = b = c Atención Ejemplo de trinomio al cubo. Si: (x + y)(x + z)(x + z) = 210 x3 + y3 + z3 = 99 Calcula: x + y + z Resolución: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(x + z) (x + y + z)3 = 99 + 3(210) (x + y + z)3 = 99 + 630 (x + y + z)3 = 729 ` x + y + z = 9 Atención Ejemplo de identidad de Gauss. Si: a + b + c = 0 Calcula: J = ( )( )( ) a b a c b c a b c 3 3 3 + + + + + Resolución: a + b + c = 0 & a3 + b3 + c3 = 3abc Además: a + b = -c b + c = - a a + c = - b Luego: J = ( )( )( ) c a b abc 3 - - - J abc abc = - ` J = - 3
- 177. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 177 1 Simplifica: P = a b a b a b a b a b a b 2 2 2 2 - + + + - + - d d n n Resolución: P = ( )( ) ( ) ( ) a b a b a b a b a b a b 2 2 2 2 2 2 + - + + - + - d n Aplicamos Legendre: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2 ) P = ( ) a b a b 2 2 2 2 2 + + ` P = 2 2 Dado: b a a b 2 2 2 + = , calcula a8 b-8 . Resolución: ab a b 2 4 2 2 + = 2 a2 + 4b2 = 4ab a2 - 4ab + 4b2 = 0 (a - 2b)2 = 0 a = 2b & b a = 2 Piden: a8 b-8 = b a b a 8 8 8 = b l = 28 = 256 3 Simplifica: L = ( )( )( )( ) x x x x 1 2 3 4 1 + + + + + Resolución: L = ( )( )( )( ) x x x x 1 4 2 3 1 + + + + + L = x x x x 5 4 5 6 1 2 2 + + + + + _ _ i i L = x x x x 5 10 5 24 1 2 2 2 + + + + + _ _ i i L = x x x x 5 10 5 25 2 2 2 + + + + _ _ i i L = . x x x x 5 2 5 5 5 2 2 2 2 + + + + _ _ i i L = x x 5 5 2 2 + + _ i L = x2 + 5x + 5 4 Si: ab - 1 = 100 10 3 3 - a + b - 1 = 10 3 Halla: 3ab(a + b) Resolución: ab = 1 100 10 3 3 - + ab = . 10 10 1 2 3 3 - + 12 Además: a + b = 10 3 + 1 Piden: 3ab(a + b) = . 3 10 10 1 1 10 1 2 3 3 3 - + + _ _ i i = 3 10 1 3 3 3 + _ i = 3(10 + 1) = 33 5 Efectúa: (a + b + c)(a - b + c) + (b - a + c)(a + b - c) Resolución: ((a + c) + b)((a + c) - b) + (b - (a - c))(b + (a - c)) Aplicando diferencia de cuadrados: (a + c)2 - b2 + b2 - (a - c)2 Aplicando Legendre: (a + b )2 - (a - b)2 = 4ab & (a + c)2 - (a - c)2 = 4ac 6 Si: a + b + c = 0, calcula: E = ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) a b b c c a a b b c c a 3 3 3 + + + + + + + + Resolución: Por propiedad: Si: a + b + c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc Del dato: a + b + c = 0 & a + b = - c b + c = - a c + a = - b Reemplazando en E: E = ( )( ) c a b c a b 3 3 3 - - - - - - E = ( ) abc a b c 3 3 3 - - + + E abc abc 3 = - - ` E = 3
- 178. Intelectum Evolución 3.° 178 7 Si: a + b + c = 0; abc = 5 Halla el valor de: L = ab(a + b)4 + bc(b + c)4 + ac(a + c)4 Resolución: Por propiedad: Si: a + b + c = 0 & a3 + b3 + c3 = 3abc Dato: a + b + c = 0 & a + b = -c b + c = -a a + c = -b Reemplazando en L: L = ab(-c)4 + bc(-a)4 + ac(-b)4 L = abc4 + bca4 + acb4 L = abc (c3 + a3 + b3 ) L = 5 # 3abc L = 5 # 3 # 5 ` L = 75 8 Dada la expresión: (a + 2b)2 + (a - 2b)2 = 8ab, halla el valor de: M = a ab b 2 2 2 + Resolución: Aplicamos Legendre: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2 ) En el problema: (a + 2b)2 + (a - 2b)2 = 8ab 2(a2 + (2b)2 ) = 8ab 2a2 + 8b2 = 8ab a2 + 4b2 = 4ab a2 - 4ab + 4b2 = 0 (a - 2b)2 = 0 & a = 2b Luego: M = ( ) (2 ) 2 b b b b b b b 2 4 2 2 2 2 2 2 2 + = + ` M = 1 9 F = (p + q)(p2 - pq + q2 ) - (p - 2q)(p2 - 2pq + 4q2 ) da como respuesta F . Resolución: Aplicando suma y diferencia de cubos: F = (p + q)(p2 - pq + q2 ) - (p - 2q)(p2 - 2pq + (2q)2 ) F = (p3 + q3 ) - (p3 - (2q)3 ) F = p3 + q3 - p3 + 8q3 Luego: F = 9q3 Piden: . F q q q 9 9 3 2 = = ` F q q 3 = 10 En la figura: B E C S b a 65 El área sombreada es igual a 14 u2 y la suma de los catetos del ESC es 11 u. Calcula: a3 + b3 Resolución: Datos: área sombreada = 14 u2 a b 2 # = 14 u2 ab = 28 Suma de catetos = 11 u a + b = 11 Luego, por Pitágoras: a2 + b2 = 652 & a2 + b2 = 65 Piden: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 ) = (a + b)(a2 + b2 - ab) = 11(65 - 28) = 11 # 37 ` a3 + b3 = 407
- 179. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 179 1. Si: (x + y)2 = 4xy, calcula: C = x y x y 4 8 7 + + A) 7 B) 3 C) 5 D) 6 E) 4 2. Si: a + b = 5 y a - b = 1, halla el valor de: ab A) 5 B) 8 C) 6 D) 10 E) 7 3. Si: x2 + y2 = 9 y xy = 8; 6x; y ! R+ , halla el valor de: x + y A) 9 B) 8 C)7 D) 6 E) 5 4. Efectúa: L = (x + y)(x - y)(x2 + y2 )(x4 + y4 ) + y8 A) x4 B) y8 C) xy D) x8 E) y4 5. Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda: I. a3 + b3 + c3 = 3abc + a - b + c = 0 II. (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) III. 2 2 3 8 3 5 + - = _ _ i i A) FVV B) VVV C) FVV D) FFF E) FVF 6. Efectúa: R = ( ) 8 2 15 8 2 15 + - _ i A) 1 B) 4 C) 5 D) 2 E) 3 7. Si: x + x 1 = 5, halla: x2 + x 1 2 A) 20 B) 25 C) 15 D) 23 E) 22 8. Sabiendo que: x + x-1 = 4, calcula: x3 + x-3 A) 58 B) 52 C) 60 D) 48 E) 55
- 180. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 180 1. B 2. C 3. E 4. D 5. C 6. D 7. D 8. B 9. A 10. D 11. C 12. D 13. A 14. E Se sabe que: • a + b + c = 7 • a2 + b2 + c2 = 20 Calcula el valor de: P = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 9. Si: x y x y 2 2 2 2 + + - = y2 , halla: E = x y x y 2 2 2 2 + - - A) 2 B) x2 C) y2 D) 1 E) x + y 10. Por cuánto debe multiplicarse 1 x x 2 2 - d n para obtener: x x 1 4 4 - d n A) x2 - x-2 B) 1 + x2 C) 1 + x-2 D) x2 + x-2 E) x2 - 1 11. Sabiendo que: x y x y 1 1 4 + = + , calcula: S = xy x y x x y 2 3 2 2 + + + A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5 12. Si: x2 - 3x + 1 = 0, calcula: J = x2 + x 1 2 – 2 A) 3 B) 4 C) 1 D) 5 E) 2 13. Si: a + b + c = 0, calcula: J = ( )( )( ) a b a c b c a b c 3 3 3 + + + + + A) -3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 3 14. Si: a3 + b3 + c3 = 2(a + b)(b + c)(a + c); a + b + c = 1, calcula: M = ab ac bc abc 1 5 + + + A) 4 B) 1 C) 2 D) 3 E) 5 Rpta.: 69
- 181. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 181 NIVEL 1 1 Reduce: F = (x + 5)2 + (x + 3)2 - 2(x + 4)2 + 1 A) 2 B) 5 C) 4 D) 6 E) 3 2 Reduce: M = x x 5 3 2 2 3 2 2 + - + _ _ i i A) 2x B) x - 1 C) x2 - 1 D) x2 + 1 E) x + 1 3 Simplifica: H = xy x y x y 12 5 3 5 3 2 2 + - - _ _ i i A) 5 B) 2 C) 6 D) 4 E) 3 4 Simplifica: E = x xy x y 1 1 2 2 2 - + - + _ _ i i A) 1 + x B) 1 + x2 C) x2 D) 1 - y E) 1 - y2 5 Efectúa: E = x x 1 2 1 2 4 2 + - d n A) 2 1 (x2 + x-2 ) B) x-2 C) x2 D) x4 - 1 E) 2 1 x2 6 Efectúa: L = 3 1 9 3 1 3 3 3 + - + _ _ i i A) 3 B) 2 C) 1 D) 4 E) 9 7 Efectúa: N = x y x y x y 3 2 2 3 3 + + + - _ _ _ i i i A) 2 B) xy C) 2x D) y E) x 8 Efectúa: R = m n m n 2 2 + - - _ _ i i ; 6m; n ! R+ A) 4m B) 2m + 2n C) 0 D) 4 mn E) m + n 9 Evalúa la expresión: (x - 3y)2 - 4y(2y - x) + 8; si: x - y = 8 A) 78 B) 70 C) 68 D) 74 E) 72 10 Si: a2 + b2 = 24 ab = 8, calcula: (a + b)2 A) 28 B) 20 C) 40 D) 25 E) 30
- 182. Intelectum Evolución 3.° 182 NIVEL 2 11 Sabiendo que: a + b = 5 ab = 2 Calcula: a b a b 10 3 3 2 2 + + + A) 0,2 B) 2 C) 0,5 D) 4 E) 1 12 Si: a(a2 + 3b2 ) = b(b2 + 3a2 ) + 8, ¿qué valor tiene a - b? A) 4 B) 2 C) 6 D) 3 E) 5 13 A qué es igual: E = x y xy 4 2 + - _ i ; x > y > 0 A) 2y B) 2x C) xy D) x - y E) x + y 14 Si: a + b = 4; ab = 2; halla: a2 + b2 A) 12 B) 14 C) 16 D) 8 E) 10 15 Simplifica: E = 2y2 + 2xy + x y xy 2 2 2 2 2 + - _ _ i i y calcula: E A) x - y B) 2x C) x + y D) (x + y)2 E) 2y 16 Si: (a + a 1 )2 = 3; calcula: a3 + a 1 3 A) 4 B) 2 C) 3 D) 1 E) 0 17 Si: x + y = 12 / xy = 4, calcula: (x - y)2 A) 140 B) 132 C) 136 D) 128 E) 150 18 Efectúa: E = 10 2 100 20 4 3 3 3 3 3 - - + _ _ i i A) 8 B) 6 C) 4 D) 10 E) 7 19 Calcula m, si: (x + 3)2 = x2 + mx + 9 A) 2 B) 4 C) 3 D) 6 E) 5 20 Si: a + b = -4 / ab = -3, calcula: a b 6 2 2 + - A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8 NIVEL 3 21 En el siguiente triángulo: a + b = 25, calcula: a - b b a 5 A) 5 B) 10 C) 2 D) 1 E) 25
- 183. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 183 22 Si: a = 5 – 2 3 + 1; b = 2 3 – 4; c = 3 – 5 Calcula: E = .abc a b c 12 3 3 3 + + A) 0,5 B) 0,2 C) 0,4 D) 0,3 E) 0,25 23 Si: x + x 1 = -2, calcula: x2 + x 1 2 + x3 + x 1 3 A) 4 B) 1 C) 0 D) 3 E) 2 24 Sea: b2 + 1 = 6b, calcula: b b 1 2 4 + A) 37 B) 34 C) 36 D) 33 E) 35 25 La diferencia de dos números es 3 3 y su producto, 9 3 . Calcula la diferencia de sus cubos. A) 9 B) 6 C) 8 D) 12 E) 10 26 Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcula: x x y x z + + _ _ i i A) 5 B) 3 C) 1 D) 4 E) 2 27 Efectúa: R = 3 2 5 2 6 5 - + - _ i A) 2 3 B) 3 C) 5 D) 2 6 E) 2 28 Efectúa: (m5 + 5)(25 + m10 - 5m5 ) - 125 A) m B) m3 C) m15 D) m2 E) m5 29 Si: x2 + 1 = 4x, calcula: x3 + x-3 A) 63 B) 49 C) 48 D) 45 E) 52 30 Si: 0 x y z 3 3 3 + + = , calcula “n”: x y z x y z 27 n n 3 4 2 + + = + < F A) 2 B) 4 C) 6 D) 5 E) 3 NIVEL 1 1. E 2. C 3. A 4. E 5. A 6. D 7. C 8. D 9. E 10. C NIVEL 2 11. A 12. B 13. D 14. A 15. C 16. E 17. D 18. A 19. D 20. C NIVEL 3 21. D 22. E 23. C 24. B 25. D 26. C 27. D 28. C 29. E 30. C Claves
- 184. Intelectum Evolución 3.° 184 Relaciones de tiempo y parentesco RELACIÓN DE TIEMPO Ejemplo: Hoy es lunes, ¿qué día de la semana será el ayer del pasado mañana del mañana del ayer de hoy? Lunes Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Mañana Pasado mañana Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Ayer Martes Ayer ` El día pedido es martes. Una manera práctica de resolver el problema es dando valores al tiempo en referencia respecto de hoy. Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana -2 Hace dos días -1 Hace un día 0 +1 Dentro de un día +2 Dentro de dos días RELACIÓN DE PARENTESCO Ejemplo: El nieto de mi tía es mi único sobrino. Indica qué parentesco tiene conmigo el tío de mi primo, si se sabe que es el tío abuelo de mi sobrino, además mi tía tiene un solo hermano. Resolución: De acuerdo al enunciado, graficamos: Tía Padre Hijo 1 Yo Hijo 2 Abuela- nieto Primos Hermanos Tío-sobrino Tío-sobrino Tío abuelo Parentesco: mi padre Importante Para encontrar el día pedi- do empezamos a ubicar los tiempos de atrás hacia ade- lante. 1.° hoy 2.° ayer 3.° mañana 4.° pasado mañana 5.° ayer Recuerda Equivalencias: El subsiguiente <> + 2 El día que precede <> - 1 El inmediato anterior <> - 1 El inmediato posterior <> + 1 En el ejemplo: ¿Qué día será el ayer del -1 pasado mañana del mañana +2 +1 del ayer de hoy? -1 Sumamos y se obtiene: -1 + 2 + 1 - 1 = +1 Luego nos preguntan, ¿qué día es +1 ? mañana ` Si hoy es lunes mañana será martes.
- 185. Problemas resueltos RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 185 1 Si hoy es miércoles. ¿Qué día será el ayer del pasado mañana de hace 3 días? Resolución: Gráficamente: Miércoles Ante- ayer Ayer Hoy Ayer Lunes Miércoles Ante- ayer Ayer Hoy Hace 3 días Pasado mañana ` Será lunes. 2 Si el anteayer de mañana es viernes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? Resolución: Gráficamente: Viernes Anteayer Ayer Hoy Mañana Anteayer Jueves Viernes Sábado Domingo Anteayer Ayer Hoy Mañana Mañana Pasado mañana ` Será domingo. 3 ¿Qué representa para Manuel el único nieto del abuelo del padre de Manuel? Resolución: Haciendo un esquema: Bisabuelo Abuelo Nieto Padre Manuel ` Su padre. 4 Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue ayer? Resolución: Gráficamente: Martes Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Mañana Anteayer Domingo Lunes Martes Miércoles Jueves Ayer Hoy Mañana Pasado mañana ` Ayer fue domingo. 5 Si el ayer del anteayer de mañana es sábado, ¿qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer? Resolución: Gráficamente: Sábado Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Ayer Anteayer Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles Anteayer Ayer Hoy Mañana Mañana Pasado mañana ` Será martes.
- 186. Intelectum Evolución 3.° 186 6 Si el ayer del pasado mañana de anteayer es Do- mingo. ¿Qué día será el mañana del pasado maña- na de ayer? Resolución: Gráficamente: Domingo Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Pasado mañana Ayer Sábado Domingo Lunes Martes Miércoles Anteayer Ayer Hoy Mañana Pasado mañana Pasado mañana Mañana ` Será miércoles. 7 ¿Qué relación de parentesco tengo con la madre del nieto de mi padre, si soy hijo único? Resolución: Realizando un esquema: Padre Esposos Yo Madre Nieto Hijo ` Soy su esposo. 8 ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo una mujer que es la hija de la esposa del único vástago de mi padre? Resolución: Haciendo un diagrama: Padre Vástago Esposa Hija Hija ` Es mi hija. 9 En una reunión hay 3 padres y 3 hijos, ¿cuál es el mínimo número de personas que hay? Resolución: Haciendo un esquema: Bisabuelo (Bisabuelo y padre) Abuelo (Abuelo, padre e hijo) Padre (Padre, hijo y nieto) Hijo (Hijo, nieto y bisnieto) ` El mínimo número de personas es 4. 10 En una fiesta hay 2 padres, 3 hijos, 1 nieto, 1 sobrino y 2 hermanos. ¿Cuántas personas hay? Resolución: Abuelo Padre Hermanos Tío Hijo Sobrino
- 187. Actividades de razonamiento RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 187 1. ¿Qué relación de parentesco tengo con el hijo del hijo de la tía de mi padre? A) Mi hermano B) Mi primo C) Mi tío D) Mi sobrino D) N. A. 2. ¿Quién es ese hombre que es el padre de la hija de la esposa del único vástago de mi madre? A) Mi padre B) Mi hijo C) Mi tío D) Yo mismo E) Mi primo 3. El mañana de traspasado mañana es lunes. ¿Qué día fue ayer? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes 4. Si el pasado mañana de ayer es viernes. ¿Qué día fue el trasanteayer de mañana? A) Viernes B) Jueves C) Miércoles D) Martes E) Lunes 5. Si el anteayer de ayer fue miércoles. ¿Qué día será el mañana de mañana? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes 6. Si el pasado mañana de ayer es martes. ¿Qué día será el pasado mañana de mañana? A) Lunes B) Domingo C) Sábado D) Viernes E) Jueves 7. A un evento deportivo fueron invitados: 2 padres, 2 hermanos, 2 hijos, 2 tíos y 2 sobrinos, ¿cuántas personas como mínimo asistieron a dicho evento? A) 4 B) 3 C) 5 D)6 E) 8 8. A una fiesta asistieron: 1 padre, 1 madre, 1 tía, 1 tío, 1 hermano, 1 hermana, 1 sobrina, 1 sobrino y 2 primos. ¿Cuántas personas como mínimo asistieron a dicha fiesta? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
- 188. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 188 9. En una reunión se encuentran: 1 abuelo, 1 abuela, 2 esposos, 2 esposas, 2 padres, 2 madres, 1 nuera, 4 hijos y 3 nietos. ¿Cuántas personas como mínimo hay en dicha reunión? A) 6 B) 8 C)7 D) 9 E) 10 10. En una fiesta se encuentran: 1 abuelo, 1 abuela, 2 padres, 2 madres, 2 nietas, 1 nieto, 1 hermano, 2 hermanas, 2 hijas, 2 hijos, 2 esposos, 2 esposas, 1 nuera, 1 suegro y 1 suegra, ¿cuántas personas hay en la fiesta? A) 5 B) 6 C) 8 D) 7 E) 9 11. Si el mañana de anteayer fue domingo. ¿Qué día será pasado mañana? A) Lunes B) Viernes C) Martes D) Jueves E) Miércoles 12. El pasado mañana del pasado mañana es miércoles. ¿Qué día fue el anteayer de mañana? A) Viernes B) Sábado C) Domingo D) Lunes E) Martes 13. En una cena se reúnen: 2 padres, 3 hijos, 3 tíos, 3 sobrinos, 3 primos. ¿Cuál es el mínimo número de personas en dicha cena? A) 7 B) 5 C) 9 D) 8 E) 6 14. En una cena familiar hay: 1 abuelo, 3 padres, 4 hijos, 1 hija, 2 primos, 1 prima, 4 hermanos, 2 nietos, 1 nieto. ¿Cuántas personas como mínimo hay? A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 9 1. B 2. D 3. C 4. D 5. A 6. E 7. A 8. B 9. C 10. D 11. E 12. A 13. E 14. B ¿Qué viene a ser, de mí, el hijo del único sobrino del papá del padre de mi hijo? Rpta.: Mi hijo
- 189. Refuerza practicando RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 189 NIVEL 1 1 El hijo de la hermana de mi padre es mi: A) Sobrino B) Tío C) Primo D) Padrastro E) Nieto 2 ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposa del único vástago de mi madre? A) Hermana B) Prima C) Sobrina D) Hija E) Nieta 3 ¿Qué parentesco tiene usted con la suegra de la mujer de su hermano? A) Abuela B) Hermana C) Sobrina D) Madre E) Cuñada 4 ¿Qué parentesco tengo con el único hermano de la hija del padre de mi padre? A) Soy yo B) Mi padre C) Mi hijo D) Mi tío E) Mi abuelo 5 ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo el tío del hijo del único hermano de mi padre? A) Mi primo B) Mi tío C) Mi hermano D) Mi abuelo E) Mi padre 6 ¿Qué relación de parentesco tiene conmigo el hijo del abuelo del hijo del único hermano de mi tía? A) Hermano B) Mi primo C) Mi tío D) Soy yo E) Mi padre 7 Si el anteayer del ayer de pasado mañana es lunes, ¿qué día será mañana? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes 8 Si el pasado mañana de mañana es domingo, ¿qué día será el ayer del anteayer de mañana? A) Domingo B) Martes C) Lunes D) Sábado E) Miércoles 9 Si el pasado mañana de ayer es viernes. ¿Qué día fue ayer? A) Lunes B) Sábado C) Domingo D) Miércoles E) Jueves NIVEL 2 10 Si el mañana del anteayer de mañana fue martes, ¿qué día será pasado mañana? A) Jueves B) Lunes C) Viernes D) Martes E) Miércoles
- 190. Intelectum Evolución 3.° 190 11 Sabiendo que el antes de ayer de mañana es miércoles, ¿qué día será el pasado mañana del ayer de pasado mañana? A) Jueves B) Sábado C) Lunes D) Martes E) Domingo 12 Si hoy fuese mañana, pasado mañana sería jueves, ¿qué día es hoy? A) Viernes B) Martes C) Lunes D) Sábado E) Jueves 13 El mañana del traspasado mañana es sábado, ¿qué día fue ayer? A) Domingo B) Lunes C) Martes D) Jueves E) Miércoles 14 Si hoy fuera pasado mañana, mañana sería sába- do. ¿Qué día fue ayer? A) Domingo B) Jueves C) Sábado D) Martes E) Viernes 15 Construyendo un árbol genealógico, ¿cuántos bisabuelos tuvieron tus bisabuelos? A) 40 B) 64 C) 32 D) 128 E) 16 16 La familia Trujillo consta de padre, madre y 8 hijas, además se sabe que cada hija tiene un solo hermano. ¿Cuántas personas hay en dicha familia? A) 15 B) 13 C) 11 D) 18 E) 12 17 En un almuerzo familiar están presentes tres padres, tres hijos y dos nietos. ¿Cuántas personas como mínimo están compartiendo el almuerzo? A) 4 B) 8 C) 7 D) 10 E) 6 18 Una familia está integrada por: un abuelo, dos papás, dos ma- más, una abuela, un hermano, dos hermanas, dos hijos varones, tres hijas, un suegro, una suegra, una nuera y un yerno. ¿Cuál es el menor número de personas que integran dicha familia? A) 12 B) 8 C) 10 D) 13 E) 7 NIVEL 3 19 ¿A qué día equivale el mañana del ayer del pasado ma- ñana del mañana del anteayer del mañana del hoy? A) Mañana B) Hoy C) Ayer D) Anteayer E) Pasado mañana 20 El ayer del anteayer de mañana fue jueves. ¿Qué día será el mañana del mañana de pasado mañana? A) Domingo B) Viernes C) Miércoles D) Sábado E) Jueves
- 191. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 191 21 El día que está 3 días después del mañana del anteayer de mañana será domingo. ¿Qué día fue el ayer del pasado mañana de hace 4 días? A) Domingo B) Martes C) Miércoles D) Sábado E) Lunes 22 Si hoy es el mañana del subsiguiente día del ante- ayer del lunes, ¿qué día será el día que antecede al posterior día del pasado mañana del anteayer del día que precede al siguiente día de hoy? A) Lunes B) Martes C) Miércoles D) Jueves E) Viernes 23 El tío del hijo del padre de Germán es mi primo hermano.SiGermáneshijoúnico,¿quéparentesco tengo con el padre del tío de Germán? A) Sobrino-tío B) Primo C) Hermano D) Cuñado E) Sobrino 24 Julio es sobrino de Aurora. Si Aurora no tiene hermana y su único hermano ha desposado a Elena, ¿cuál es el parentesco entre Julio y Elena? A) Primos B) Es tía política C) Hermanos D) Esposos E) Cuñados 25 SilamamádeEditheslahermana de la hermana de mi hermano gemelo, ¿qué es respecto a mí el abuelo de la hermana de Edith? A) Mi padre B) Mi abuelo C) Mi primo D) Mi hermano E) Mi tío 26 Si Juan es hijo único de Pedro, ¿qué parentesco tiene Juan con el esposo de la madre del bisnieto de Pedro? A) Suegro-yerno B) Padre-hijo C) Tío-abuelo D) A o B E) Primos NIVEL 1 1. C 2. D 3. D 4. B 5. E 6. E 7. C 8. B 9. D NIVEL 2 10. A 11. E 12. C 13. B 14. D 15. B 16. C 17. A 18. E NIVEL 3 19. E 20. C 21. E 22. B 23. A 24. B 25. A 26. D Claves
- 192. ¿Saben matemáticas las abejas? Pappus de Alejandría dijo: “Las abejas…, en virtud de una cierta intuición geométrica…, saben que el hexágono es más grande que el cuadrado y el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material.” Este hecho ya fue constatado por Pappus de Alejandría, matemático griego que vivió del año 290 al 350. Su afirmación se basaba en la forma hexagonal que imprimen a sus celdillas las abejas para guardar la miel. Las abejas, cuando guardan la miel, tienen que resolver varios problemas. Necesitan guardar la miel en celdillas individuales, de tal manera que formen un mosaico sin huecos ni salientes entre las celdillas, ya que hay que aprovechar el espacio al máximo. Solo podrían hacerlo con triángulos, cuadrados y hexágonos. ¿Por qué eligieron entonces los hexágonos, si son más difíciles de construir?. La respuesta es un problema isoperimétrico (del griego “igual perímetro”). Pappus había demostrado que, entre todos los polígonos regulares con el mismo perímetro, encierran más área aquellos que tengan mayor número de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas de forma hexagonal, ya que, gastando la misma cantidad de cera en las celdillas, consiguen mayor superficie para guardar su miel. La pregunta es: ¿y quién le enseñó esto a las abejas? UNIDAD 4
- 193. Matemática recreativa Diálogo ¿Dónde está el cuadrado? Por todos es sabido que las Matemáticas y la Geometría son ciencias exactas, aunque en ciertas ocasiones nos encontramos con si- tuaciones que ponen en tela de juicio dicha afirmación. Solo hay que observar los gráficos para constatar que algo no es correcto, no está bien: se trata de una paradoja geométri- ca. Observamos 2 triángulos con la misma base y altura, conformados por las mismas piezas, pero a uno le falta un cuadrado. ¿Por qué? En realidad estamos viendo la llamada “Para- doja de Curry” de la que existen muchas va- riantes con formas y figuras diferentes, y que tiene una explicación matemática aunque es- cape a nuestra visión corriente. La solución viene dada por los cálculos de las áreas de las figuras que componen el triángulo y por la trigonometría que las justifica, ya que hace que con el cambio de lugar varíen án- gulos, hipotenusas y tangentes. Pero cómo es bastante complicado para quienes no somos matemáticos. ¿De dónde sale el agujero?
- 194. Intelectum Evolución 3.° 194 Razonamiento geométrico TRIÁNGULOS Propiedades básicas Suma de angulos internos β θ α a + b + q = 180° Suma de angulos externos z x y x + y + z = 360° x θ α x = a + q Propiedad de correspondencia a b c β θ α Si: a > b > c Entonces: a > b > q Propiedad de existencia a b c β θ α Si: a > b > c b - c < a < b + c a - c < b < a + c a - b < c < a + b Propiedades adicionales x β θ α x = a + b + q ω β θ α a + b = q + w a b β α a + b = a + b Clasificación según sus ángulos Acutángulo β θ α a < 90°; b < 90°; q < 90° Rectángulo β b = 90° Obtusángulo β 90° < b < 180° Immportante En todo triángulo a lados iguales se oponen angulos iguales y viceversa Si: AB = BC B C a a A α α & m+BAC = m+BCA Atención β θ α a + b = q + 180°
- 195. 195 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 Clasificación según sus lados Escaleno Isósceles Equilátero β θ α α α 60° 60° 60° Líneas notables Mediana Altura Mediatriz b b m m Bisectriz interior Bisectriz exterior α α θ θ Ángulos formados por bisectrices Dos bisectrices interiores Dos bisectrices exteriores Una interior y otra exterior β β θ x α α x = 90° + 2 θ β β θ x α α x = 90° - 2 θ β β θ x α α x = 2 θ CUADRILÁTEROS Propiedad básica β θ ω α a + b + q + w = 360° Recuerda B C A H α α θ θ iABC: isósceles BH: altura AB = BC & BH: mediana bisectriz mediatriz Importante b x a β β αα x = a b 2 +
- 196. Intelectum Evolución 3.° 196 Clasificación A) trapezoide D B C A Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos AB no es // a CD BC no es // a AD & < ABCD: trapezoide B) Trapecio D B C A Es aquel cuadrilátero que tiene dos lados opuestos paralelos a los cuales se les denomina bases. BC // AD & ABCD: trapecio Tipos de trapecio Escaleno Rectángulo Isósceles D B C A D B C A θ θ D B C A C) Paralelogramo D B C A β α β α Es aquel cuadrilátero en el cual sus dos pares de lados opuestos son paralelos. AB // CD y BC // AD & ABCD; paralelogramo Tipos de paralelogramo Rectángulo Rombo Cuadrado n n n n β β β β α α α α m m 45° 45° 45° 45° 45° 45° 45° 45° m m x a b x a b 2 = + x a b x a b 2 = - Atención En todo cuadrilátero los pun- tos medios de sus lados son los vértices de un paralelo- gramo. B M N P Q C D A
- 197. Problemas resueltos 197 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 1 Halla x. θ A x α 2α 2θ Resolución: Por suma de ángulos interiores: 3a + 3q + A = 180° 3a + 3q = 180° - A a + q = 60° - A 3 ... (I) Por propiedad: 2a + 2q + A = x ... (II) Reemplazando (I) en (II): 2(a + q) + A = x 2(60° - A 3 ) + A = x & 120° - A 3 2 + A = x ` x = 120° + A 3 2 Si a + 2q = 150°, halla “x”. θ 2x B C A P x α 2α 2θ Resolución: TAPC: por suma de ángulos internos x + 2a + q = 180° ... (I) TABC: por propiedad 3a + 3q = 180° + 2x ... (II) (II) - (I): a + 2q - x = 2x a + 2q = 3x & 150 = 3x ` x = 50° 3 Halla “x”. B 48° 62° C A Q P x θ θ αα Resolución: ABCP: q + a + 48 = 62° q + a = 14° APCQ: x = q + a + 62° x = 14° + 62° ` x = 76° 4 BD es bisectriz, halla “x”. D B C A P x ω ω θ α 2α 2θ Resolución: BD es bisectriz & w = 45° TABD: por ángulo exterior 3q + w = 3a 3q + 45 = 3a a - q = 15° TAPD: por ángulo exterior 2q + x = 2a x = 2(a - q) ` x = 30° 5 Halla x. β β φ B 70° C A M N x γ γ α α Q φ Resolución: Prolongamos MA y NC y se intersecan en P: P β β β β φ B 70° C A M N x γ γ α α α α Q φ
- 198. Intelectum Evolución 3.° 198 iABC: +APC ángulo formado por dos bisectri- ces exteriores. & m+APC = 90° - ° 2 70 m+APC = 55° iMNP: x ángulo formado por dos bisectrices interiores. & x = 90° + m APC 2 + x = 90° + 55° 2 ` x = 117,5° 6 ABCD es un cuadrado y AQD es un triángulo equilá- tero. Halla “x”. D B C A Q M x Resolución: ABCD cuadrado & AB = BC = CD = AD TAQD: equilátero m+QAD = m+AQD = m+ADQ = 60° & m+BAQ = 30° TBAQ: isósceles & m+ABQ = m+AQB = 75° D B 60° 60° 30° 75° 75° 60° C A Q M x Del gráfico: x + 75° + 60° = 180° & x = 45° 7 ABCD es un paralelogramo, halla: a + b + q D B θ + 40° α + β 2α - β θ + β C A Resolución: m+BAD + m+ADC = 180° a + b + 2a - b = 180° 3a = 180° & a = 60° m+ADC + m+BCD = 180° 2a - b + q + b = 180° 120° + q = 180° & q = 60° m+ABC + m+BCD = 180° q + 40° + q + b = 180° 160° + b = 180° & b = 20° Finalmente: a + b + q = 60° + 20° + 60° = 140° 8 En el paralelogramo MNLA, ME es la bisectriz de +NMA. Calcula la longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales del trapecio MELA. A M N 7 α α E L Resolución: m+EMA = m+NEM = a TMNE: isósceles MN = NE = 7 Sea EL = a & MA = 7 + a x A M 7 + a E a L Piden: x = a a 2 7 + - x = 3,5
- 199. Actividades de razonamiento 199 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 1. Calcula el valor de x. B C A x θ 2θ 3θ A) 115° B) 110° C) 120° D) 125° E) 130° 2. De la figura x es igual a: B 100° 110° x C A A) 120° B) 100° C) 80° D) 150° E) 70° 3. En la figura, calcula el valor de x. θ θ D x B C A 60° 20° A) 140° B) 110° C) 100° D) 90° E) 120° 4. Calcula x en la figura: x 30° 20° 40° 70° A) 110° B) 80° C) 100° D) 150° E) 120° 5. En la figura ABCD es un cuadrado y BCE es un triángulo equilátero, calcula x. C A B D E x A) 100° B) 80° C) 60° D) 90° E) 75° 6. En un paralelogramo ABCD, m+A = 3a + 20° y m+B = 2a + 30°. Calcula m+C. A) 75° B) 60° C) 70° D) 98° E) 80° 7. Si ABCD es un trapecio isósceles y CDE es un triángulo isósceles. Calcula x. D B C A E 105° 30° x A) 45° B) 30° C) 60° D) 70° E) 50° 8. Halla el valor de x. ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero: D B C A E F x A) 80° B) 120° C) 105° D) 95° E) 100°
- 200. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 200 9. Según la figura, calcula: x + y β β φ φ θ θ D B C A x y α α A) 150° B) 180° C) 160° D) 200° E) 170° 10. En la figura halla AD. Si BC = 4 u y DC = 5 u. D B C A 70° 40° A) 8 u B) 11 u C) 12 u D) 9 u E) 10 u 11. ABCD: paralelogramo, PH = 6 cm Calcula RS. θ θ D B C A S P H α α R A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 9 cm E) 13 cm 12. En la figura ABCD es un romboide, calcula x. D B x C 70° A A) 90° B) 30° C) 80° D) 40° E) 70° 13. Del gráfico, calcula x. x x 2x 2x 3x A) 50° B) 20° C) 60° D) 10° E) 40° 14. De la figura, calcula x. β β D B C E x x 2x A α α A) 60° B) 50° C) 37° D) 36° E) 40° ABCD es un romboide, calcula AM, si CD = 10 cm. θ 2θ D M B C A 1. C 2. A 3. B 4. E 5. E 6. D 7. A 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B 13. B 14. D Rpta.: 10 cm
- 201. Refuerza practicando 201 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 NIVEL 1 1 De la figura, el valor de x es: A) 155° B) 120° C) 162° D) 170° E) 135° 2 Halla x. A) 100° B) 160° C) 140° D) 120° E) 150° 3 Calcula la medida del ángulo ADB UNMSM 2006-I A) 50° B) 90° C) 80° D) 30° E) 70° 4 En el gráfico, ABCD es un romboide, calcula x. A) 20° B) 13° C) 18° D) 22,5° E) 15° θ 4θ B A x x 100° 140° D B 40° C A α α E D B C A x 4x 5 ABCD es un rectángulo, si AB = 6 cm, calcula BC. A) 10 cm B) 12 cm C) 15 cm D) 8 cm E) 14 cm 6 Según el gráfico, calcula x. A) 25° B) 30° C) 50° D) 20° E) 40° 7 Calcula x, si BC // AD. A) 4 cm B) 7 cm C) 6 cm D) 3 cm E) 5 cm 8 Calcula x, si BC // AD y AB = CD. A) 18° B) 15° C) 30° D) 25° E) 20° β β θ θ D B C A E D B C A 80° 2x - 10° 50° E D B C 4 cm 2x + 1 10 cm A M N D B C 8x 2x A
- 202. 202 Intelectum Evolución 3.° 9 Calcula x, si ABCD es un paralelogramo. A) 170° B) 120° C) 130° D) 100° E) 140° 10 Si L1 es mediatriz de AO, calcula x. A) 53° B) 40° C) 60° D) 37° E) 50° NIVEL 2 11 Del gráfico calcula x, si L1 es mediatriz de BC y BH es altura. A) 140° B) 150° C) 120° D) 170° E) 130° 12 Del gráfico calcula x, si se sabe que AM es mediana y PM = MC. A) 40° B) 50° C) 70° D) 30° E) 80° D B C 50° A x O A 50° 100° L1 x B C 40° A H x L1 B C 40° A M P x 13 Calcula x, si: a + b + c + d = 300° a b 3x 2x d c A) 24° B) 48° C) 16° D) 12° E) 36° 14 De la figura, calcula el valor de x. A) 18° B) 20° C) 15° D) 12° E) 9° 15 Calcula el valor de q. UNMSM 2004-I A) 45° B) 70° C) 55° D) 35° E) 60° D B C 36° A x θ D C A E
- 203. 203 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 16 ¿De qué tipo es el triángulo ABC? A) Acutángulo B) Rectángulo C) Isósceles D) Equilátero E) Obtusángulo 17 Calcula x. A) 4 2 u B) 5 2 u C) 6 2 u D) 3 2 u E) 7 u 18 En la figura, los triángulos ABC y DEF son equiláte- ros, calcula el valor de x. UNMSM 2002 A) 20° B) 60° C) 50° D) 30° E) 40° 19 Si ABCD es un cuadrado, calcula x. A) 60° B) 45° C) 53° D) 30° E) 37° D B 40° 40° 20° 15° C A E D B C 4u 3u A x D B C A F x E 20° 7u x 1u 20 Halla la distancia entrelos centros deloscuadrados ABCD y DEFG. A) 8 2 m B) 4 2 m C) 5 2 m D) 6 2 m E) 3 2 m NIVEL 3 21 Si el ángulo agudo de un trapecio, isósceles mide 30°, su base menor mide 4 cm y el lado no paralelo mide 2 3 cm. La medida de la diagonal es: UNMSM 2004-I A) 6 13 cm B) 13 cm C) 2 13 cm D) 10 13 cm E) 59 cm 22 En un triángulo ABC, se sabe que el ángulo externo de A es el triple del ángulo interno C; la mediatriz del lado AC corta al lado BC en P. Calcula BP, si AB = 9 y BC = 13. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 23 En un triángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH y luego la bisectriz BQ del ángulo HBC. Si AB = 8 y QC = 5, halla AC. A) 10 B) 13 C) 16 D) 12 E) 15 D B C A F 6 m 8 m G E
- 204. 204 Intelectum Evolución 3.° 24 En un triángulo ABC (recto en B), se traza la altura BH. Halla la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos BAC y HBC. A) 70° B) 80° C) 60° D) 90° E) 100° 25 En la figura, m+AOB = 120°, OX es bisectriz del +AOB y OY es bisectriz del +BOC. Halla la m+XOY. A) 60° B) 90° C) 100° D) 120° E) 80° 26 Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC, se trazaODbisectrizdel+AOByOE bisectrizdel+BOC. Halla m+DOE; si: m+AOE + m+DOC = 120° A) 40° B) 30° C) 60° D) 50° E) 10° 27 Calcula x, si α + q = 280°. A) 20° B) 30° C) 35° D) 25° E) 15° A X B Y C O x θ α n n m m 28 En la figura AB//CD. Calcula x si: a + q = 100°. A) 80° B) 90° C) 100° D) 110° E) 120° 29 Dado un trapecio rectángulo ABCD, se tiene que (m+ABC = m+BAD = 90°), en CD se ubica el punto medio N, tal que m+ADC = 2m+CBN, BC = 5 cm y AD = 11 cm. Halla la altura de dicho trapecio. A) 7 cm B) 8 cm C) 9 cm D) 10 cm E) 6 cm 30 Calcula la longitud de la altura de un trapecio isóscelessilasumadelaslongitudesdelasbaseses m;ademáslasdiagonalesformanunángulode120°. A) m 3 B) m 4 3 C) m 6 3 D) m 3 3 E) m 2 3 C E A α θ B x 40° 20° D NIVEL 1 1. C 2. D 3. B 4. C 5. B 6. A 7. D 8. A 9. E 10. C NIVEL 2 11. A 12. B 13. D 14. E 15. A 16. E 17. B 18. A 19. C 20. C NIVEL 3 21. C 22. C 23. B 24. D 25. B 26. A 27. A 28. C 29. B 30. C Claves
- 205. 205 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 Perímetros y áreas PERÍMETROS Es el contorno o frontera de una figura. Perímetro de un polígono a b d c e g f h 2p = a + b + c + d + e + f + g + h Longitud de una circunferencia r O LC = 2pr ÁREAS Áreas de regiones triangulares Triángulo acutángulo h b A = . b h 2 Triángulo obtusángulo h b A = . b h 2 Triángulo rectángulo b a A = . a b 2 Triángulo equilátero Conociendo dos lados y el ángulo comprendido ´ ´ 60° 60° 60° ´ A = 4 3 2 , b θ a A = . a b sen 2 θ 2p: perímetro p: semiperímetro Atención r θ r O A B . . L r 360 2 AB π θ = c ! Importante Conociendo la altura de un triángulo equilátero, pode- mos hallar su área, veamos: ´ h ´ 60° 60° ´ A h 3 3 2 =
- 206. Intelectum Evolución 3.° 206 Áreas de regiones cuadrangulares Fórmula general A<ABCD = d d 2 1 2 # senq A D d1 d2 C B θ Cuadrado Rectángulo Rombo ´ ´ A = ,2 a b A = ab D d A = Dd 2 Trapecio Romboide a b h A = a b h 2 + b l b h A = b h Áreas de regiones circulares Círculo r A = pr2 Corona circular Sector circular r R A = p(R2 - r2 ) r θ r A = 360° . . r2 π θ Observación r r θ A . . r r sen 360 2 2 2 π θ θ = - Importante S S O N M A D C B A <ABCD : trapecio Se cumple: ATAOB = ATCOD Además: S2 = M . N A d1 d2 D C B A <ABCD = . d d 2 1 2
- 207. Problemas resueltos 207 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 1 Calcula el perímetro de la siguiente figura som- breada. A H E D G I J K L F B a C b c c c c Resolución: Del gráfico: 2p=AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+AH+IJ+JK+KL+IL 2p=AB+CD+BC+AH+FG+DE+GH+EF+JI+JK+KL+IL a + a b b + c + c + c + c + c + c 2p = 2a + 2b + 6c ` 2p = 2(a + b + 3c) 2 Halla el perímetro de la figura sombreada (B y C son centros de las circunferencias). B C D 16 8 8 8 8 8 8 A M P N Resolución: Según el gráfico: 2p = MA + AD + ND + LMP ! + LPN ! = 8 + 16 + 8 + 4 2 8 4 2 8 π π + = 32 + 8p ` 2p = 8(p + 4) 3 Halla la longitud de la cadena que sirve para atar las 4 ruedas de la figura (r = 100 cm). Resolución: H A B G 60° 60° 60° 60° 60° 60° 60°60° 120° 120° C D E F Del gráfico: Lcadena =LAB !+L CD !+LEF ! +LHG !+BC+DE+GF+AH = . . . . 3 2 100 6 2 100 3 2 100 6 2 100 π π π π + + + + 200 + 200 + 200 + 200 = 800 3 200 3 100 3 200 3 100 π π π π + + + + = 200p + 800 ` Lcadena = 200(p + 4) cm 4 Silostriángulosdelafigurasonequiláteros,hallaM: M = P P P P P P 2 2 2 2 2 2 Z A B C D E + + + + A C Z B E D F Resolución: Sean: a; b; m; n; r y s los lados de los triángulos A; B; C; D; E y F Luego el lado del triángulo Z será: a + b = m + n = r + s Ahora: 2PA = 3a; 2PB = 3b; 2PC = 3m 2PD = 3n; 2PE = 3r, 2PF = 3s 2PZ = 3(a + b) Reemplazando en M: M = a b a b m n r s 3 3 3 3 3 3 3 + + + + + + _ i M = 3 3 3 a b a b m n r s 3 + + + + + + _ _ _ _ i i i i Pero m + n = r + s = a + b M = a b a b a b a b 3 3 3 3 + + + + + + _ _ _ _ i i i i ` M = 3
- 208. Intelectum Evolución 3.° 208 5 Halla el área de la región sombreada. (ABCD es un cuadrado, y B y D son centros deAC ! ) B C A 12 cm 12 cm D Resolución: Trazamos la diagonal AC para hallar el área por diferencias: B C A 12 cm 12 cm D Luego: Asombreada = 2[A ADC - A ADC] = 2 . . 4 12 2 12 12 2 π - < F = 2(36p - 72) = 72p - 144 = 72(p - 2) cm2 6 Halla el área de la región sombreada (ABCD es un cuadrado y “O” centro del cuadrado). B C A 8 cm 8 cm O D Resolución: Trazamos la diagonal OD y procedemos de manera análoga al problema anterior para hallar el área: B C A M 4 cm 4 cm O D Luego: Asombreada = 8[A OMD - A OMD] = 8 . . 4 4 2 4 4 2 π - < F = 8(4p - 8) = 32p - 64 = 32(p - 2) cm2 7 Halla el área de la región sombreada (ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero). B C A 12 cm 12 cm D E Resolución: Trazamos la altura EH (H ! BC); la cual será igual a la diferencia entre el lado del cuadrado y la altura del triángulo equilátero. B H C A 6 cm 6 cm 12 cm 60° 30° D 6 3 12 - 6 3 Luego: Asombreada = 2 12 12 6 3 - _ i = 6 12 6 3 - _ i = 72 - 36 3 = 36 2 3 - _ i cm2
- 209. 209 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 8 Halla el área de la región sombreada. 1 cm 1 cm O A B r Resolución: Q O A B r P r 1 - r En el OQP, por Pitágoras: r2 + r2 = (1 - r)2 2r2 = 1 - 2r + r2 r2 + 2r = 1 r2 + 2r + 1 = 2 (r + 1)2 = 2 & r = 2 -1 Finalmente: Asombreada = 2 1 2 π - _ i = 2 2 2 1 π - + _ i = 3 2 2 π - _ i cm2 9 Calcula el área de la región sombreada. O 3 B A C M 60° Resolución: Trazamos MO, entonces se forma un triángulo equilátero y un sector circular cuyo ángulo es 120°. O B A C M 60° 60° 120° Del gráfico: Asombreada = A CAB - (ATAMO + A MOB) = . . . . 360 6 60 4 3 3 360 3 120 2 2 2 π π - + d n = 6p - 4 9 3 - 3p = 3 4 9 3 π - b l = 3( ) 4 3 3 π - cm2 10 Halla el área de la región sombreada. A N M B a cm a a cm a cm Resolución: Del gráfico: Asombreada = A AB - [2 MN + 2 ANM] = . . a a a 2 2 3 2 2 2 2 4 2 2 2 π π π - + b b l l < F = . a a a 2 4 9 4 4 2 2 2 2 π π π - + < F = a a 8 9 4 3 2 2 π π - = a 8 3 2 π cm2
- 210. Actividades de razonamiento 210 Intelectum Evolución 3.° 1. Halla el área de la región sombreada. a/2 a/2 A) a 6 2 B) a 3 2 C) a 5 2 D) a 2 2 E) a 4 2 2. Halla el área de la región sombreada. 12 m 6 m A) 9 m2 B) 18 m2 C) 27 m2 D) 36 m2 E) 45 m2 3. Halla el área de la región sombreada. r = 6 30° A) 6 3 π + B) 6 9 3 π + C) 9 6 3 π + D) 8π E) 6 3 4. Halla el área de la región sombreada. 2 2 2 2 2 2 A) 3 3 B) 4 2 3 π + C) 4 3 D) 4 2 3 π - E) 6 5. Halla el área de la región no sombreada. 2 2 A) 2(p - 1) B) 2(p - 2) C) 2(p + 1) D) 3(p - 1) E) (p - 2) 6. Halla el área de la región sombreada. 8 6 A) 4(6 - p) B) 4(p - 2) C) 6(p - 1) D) 4(8 - p) E) 4(5 - p) 7. Calcula el área de la región sombreada. 4 m 2 m A) 2 m 3 2 B) 4 m2 C) 6 m 2 2 D) 4 m 3 2 E) 6 m2 8. Calcula el área de la región sombreada. 20 θ θ 15 A) 92 B) 100 C) 80 D) 90 E) 93
- 211. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 211 9. Calcula la razón entre el área del círculo y el área de la región triangular UNI. I U N A) 2 B) p C) 3 D) p/2 E) 2p 10. Halla el área de la región sombreada. 8 θ 1 2θ 8 A) 14 B) 13 C) 12 D) 10 E) 8 11. Calcula el área de la región sombreada si mCM = 90°. Además, C, M y P son puntos de tangencia. 6 C M A) 23,5p B) 22p C) 23p D) 20p E) 24p 12. En un triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es 77 y la hipotenusa mide 55. Calcula el área de la región de dicho triángulo. A) 725 B) 726 C) 720 D) 728 E) 730 13. Halla el perímetro de la región sombreada, si son semicircunferencias las que cruzan los lados. 8 37° A) 7π B) 8π C) 8π + 1 D) 8(π + 1) E) 8(π + 8) Los lados de un triángulo rectángulo son nú- meros enteros que se encuentran en progre- sión aritmética. Calcula su área si es numéri- camente igual a su semiperímetro. 14. Si ABC es un triángulo de 96 cm2 de área, además 3(BD) = DC y EC = 2(AE), calcula el área de la región sombreada. A E D B C A) 16 cm2 B) 12 cm2 C) 24 cm2 D) 32 cm2 E) 20 cm2 1. E 2. C 3. B 4. D 5. E 6. A 7. A 8. D 9. B 10. C 11. C 12. B 13. D 14. A Rpta.: 6 u2
- 212. Refuerza practicando 212 Intelectum Evolución 3.° NIVEL I 1 Halla el área de la región sombreada. A) (p + 4) u2 B) 2 u 2 3 2 π - _ i C) 3 π - _ i u2 D) u 3 3 2 π + _ i E) u 3 4 4 3 3 2 π - _ i 2 En la figura, la relación entre el área de la región sombreada y el área de la región no sombreada es: UNMSM 1999 A) 5/8 B) 7/8 C) 5/7 D) 1/2 E) 5/12 3 Halla el área de la región sombreada. A) 18 u2 B) 10 u2 C) 12 u2 D) 20 u2 E) 15 u2 4 Halla, el área de la región sombreada. A) 30 u2 B) 50 u2 C) 40 u2 D) 45 u2 E) 25 u2 4 u 4 u 4 u 4 u 2 u 5 u 12 u 12 u 12 u 10 u 10 u 5 En la figura, halla el área de la región sombreada: UNMSM 2004-II A) 135 m2 B) 118 m2 C) 120 m2 D) 162 m2 E) 145 m2 6 Halla el área de la región sombreada. A) 3 2 a2 u2 B) a 2 2 u2 C) 2 3 a2 u2 D) 4 3 a2 u2 E) a 4 2 u2 7 Halla el perímetro de la región sombreada si ABCD es un cuadrado y el área de la región trapecial ABCD es 54 u2 . A) 20 u B) 12 u C) 24 u D) 16 u E) 18 u 18 m 18 m 12 m a A B C D E
- 213. 213 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 8 Si: PQ = 9 m, y la diferencia de las alturas h1 - h2 = 7 m, el área de la región sombreada, en la figura es: UNMSM 1997 A) 25 m2 B) 30 m2 C) 20 m2 D) 26,5 m2 E) 31,5 m2 NIVEL 2 9 Calcula el área de la región sombreada. A) a 12 12 2 3 3 2 π - - _ i u2 B) a 6 6 3 2 π - - _ i u2 C) a 12 612 2 3 2 π - - _ i u2 D) a 4 8 2 3 2 π - - _ i u2 E) a 12 2 u2 10 Halla el área de la región sombreada. A) a 4 2 u2 B) 2a2 u2 a C) 3a2 u2 D) a 5 4 2 u2 E) a 5 2 2 u2 P R Q h1 h2 a 11 Un rombo de lado 8 cm es tal que uno de sus ángulos internos mide 45°. Halla el área del rombo. UNMSM 2005-I A) 10 2 cm2 B) 25 2 cm2 C) 20 2 cm2 D) 32 2 cm2 E) 16 2 cm2 12 Halla el área de la región sombreada. A) 6 m2 B) 9 m2 C) 12 m2 D) 15 m2 E) 18 m2 13 En la figura: FM FP 6 1 = , CG // QF, G es el punto me- dio de MQ y el área de la región PQM es 100 m2 . Calcula el área de la región sombreada (en m2 ). UNI 2001-I A) (300/7) m2 B) (115/7) m2 C) 35 m2 D) (150/7) m2 E) (118/7) m2 14 Halla el área de la región sombreada. A) a 4 3 2 π - _ i B) a 2 2 2 π - _ i C) a 3 3 2 π - _ i D) a 4 2 2 π - _ i E) a 4 3 2 π - _ i 6 m 6 m P F C M G Q a
- 214. 214 Intelectum Evolución 3.° 15 Halla el área de la región sombreada. A) a 7 3 2 B) a 8 3 2 C) a 3 2 D) a 5 2 2 E) a 5 3 2 16 Calcula el área de la región sombreada. A) 3R2 B) 2R2 C) 4R2 D) 6R2 E) R2 17 Calcula el área de la región sombreada de la figura, donde AB = 1 cm. UNMSM 2005-II A) cm 2 2 3 2 π - _ i B) cm 2 4 3 2 π - _ i C) cm 2 3 2 π - _ i D) cm 2 2 3 2 π + _ i E) cm 2 3 2 π + _ i a R R 30° O A B C NIVEL 3 18 Halla el área de la zona sombreada en el cuadrado ABCD, donde M y N son puntos medios de los lados, y MN = 1,5 m UNMSM 2005-I A) 2,56 m2 B) 2,16 m2 C) 2,65 m2 D) 2,50 m2 E) 2,25 m2 19 Halla el área de la región sombreada. A) a 10 2 B) a 20 2 a C) a 30 2 D) a 15 2 E) a 12 2 20 Halla el área de la región sombreada. A) a 8 2 B) a 10 2 C) a 12 2 D) a 15 2 E) a 15 2 21 Sea ABCD un cuadrado de lado L, sobre los lados AB y AD se construyen triángulos equiláteros, TAEB y TAFD respectivamente. Calcula el área de la región triangular EAF. UNI 2001-II A) L2 /2 B) L2 /3 C) 2L2 /3 D) 3L2 /4 E) L2 /4 A B C D N M a
- 215. 215 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 22 Halla el área de la región sombreada. A) a 2 2 B) a 5 2 2 C) a 5 3 2 D) a 10 7 2 E) a 7 4 2 23 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un trapecio. A) 12 u2 B) 20 u2 C) 5 u2 D) 10 u2 E) 15 u2 24 Halla el área de la región sombreada, si ABCD es un trapecio además; a . b = h1 . h2 = 12 u2 . A) 12 u2 B) 10 u2 C) 6 u2 D) 15 u2 E) 8 u2 a A B C D E 10 u 4 u 6 u h1 b a A B C D E h2 25 Halla el área de la región cuadrangular ABCD, si AC = 10 u; BD = 12 u. A) 40 u2 B) 36 u2 37° A B C D C) 24 u2 D) 18 u2 E) 20 u2 26 En la figura adjunta, A y B son cuadrados y C es rectángulo. Las áreas de A y C son 196 m2 y 48 m2 respectivamente (SE > ET). El área de QRST es: UNMSM 2004-II A) 325 m2 B) 255 m2 A B E T S Q R C C) 280 m2 D) 308 m2 E) 300 m2 NIVEL 1 1. E 2. C 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. E NIVEL 2 9. A 10. A 11. D 12. A 13. D 14. D 15. B 16. E 17. A NIVEL 3 18. E 19. B 20. C 21. E 22. C 23. D 24. C 25. B 26. D Claves
- 216. Intelectum Evolución 3.° 216 Análisis combinatorio FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Si n es un número natural, el factorial de n denotado por n! o n , se define como 1 (si n ! {0; 1}) o como el producto de todos los números enteros consecutivos desde 1 hasta n (si n > 1). 1; si n ! {0; 1} 1 # 2 # 3 # ... # n; si n ! Z+ / n > 1 n! = Ejemplos: • 1! = 1 • 2! = 1 # 2 = 2 • 3! = 1 # 2 # 3 = 6 • 4! = 1 # 2 # 3 # 4 = 24 • 5! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 = 120 • 6! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 = 720 • 7! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 = 5040 • 8! = 1 # 2 # 3 # 4 # 5 # 6 # 7 # 8 = 40 320 Propiedad n! = n(n - 1)! Ejemplos: 2. Efectúa: 10! 13 ! ! ! B 11 12 13 2 # = + + Resolución: ! ! ! ! ! !( ) ( ) ( ) B B B B B 10 13 13 11 10 12 11 10 13 12 11 10 10 13 13 10 11 12 11 13 12 11 13 13 11 1 12 13 12 13 13 11 13 13 11 # # # # # # # # # # # # # # # # # = + + = + + = + + = = 1. Calcula: ! ! ! ! A 19 20 21 22 = + + Resolución: ! ! ! ! !( ) !( ) ( ) A A A 19 20 19 21 20 19 22 21 20 19 19 1 20 19 21 20 22 21 20 21 21 20 22 20 # # # # # # # # # # = + + = + + = + A = 20(1 + 22) A = 20 # 23 A = 460 Por convención: 0! = 1 Atención Los factoriales solo están definidos para cantidades enteras y positivas. Observación Si: x! = a! & x = a Ejemplo: (2n + 3)! = 120 (2n + 3)! = 5! 2n + 3 = 5 2n = 2 n = 1
- 217. 217 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 3. Simplifica: ( !) ( !) ( !) P 100 100 101 100 2 2 2 = - Resolución: ! ! ( !) ( !) ( !) ( !) ! ! !( ) !( ) P P P P 100 100 100 101 100 101 100 100 100 100 100 101 1 100 101 1 100 102 100 102 # # # # # = + - = + - = = 6 6 6 6 @ @ @ @ 4. Halla “n”, en: ( )! ( )! ( )! ( )! 29 n n n n n 6 8 5 7 + + - + + = + Resolución: ( )! ( )( )( )! ( )! ( )( )( )! 29 n n n n n n n n n 6 8 7 6 5 7 6 5 + + + + - + + + + = + (n + 7)[(n + 8) - (n + 6)] = n + 29 (n + 7)2 = n + 29 2n + 14 = n + 29 n = 15 PRINCIPIO DE ADICIÓN Si el suceso “A” puede realizarse de “m” maneras y el suceso “B” de “n” maneras, entonces el suceso “A” o el suceso “B” se pueden realizar de “m + n” maneras. Ejemplo: Un producto se vende en 3 mercados, en el primero se tiene disponible en 6 tiendas, en el segundo en 5 tiendas y en el tercero en 7 tiendas. ¿De cuántas maneras una persona puede adquirir un artículo de dicho producto? Resolución: Como son 3 mercados y tenemos que decidir a cual vamos a ir, entonces: n.° de maneras = 6 + 5 + 7 = 18 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si un evento “A” se puede efectuar de “m” maneras y para cada una de estas, otro evento “B” se puede efectuar de “n” maneras, entonces los eventos “A” y “B” se pueden efectuar simultáneamente (o uno seguido del otro), de “m # n” maneras. Ejemplo: ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente? Resolución: - Al lanzar una moneda puede salir cara o sello, luego hay 2 posibilidades. - Al lanzar un dado puede salir: 1; 2; 3; 4; 5 ó 6, hay 6 posibilidades. - Por lo tanto: n.° de resultados diferentes = 2 # 6 = 12 Recuerda m2 - n2 = (m + n)(m - n) Atención (n + m)! ! n! + m! (n # m)! ! n! # m! ! m n a k ! ! ! m n
- 218. Intelectum Evolución 3.° 218 VARIACIONES Es cada una de las ordenaciones que pueden formarse con varios elementos, tomados de uno en uno, de dos en dos, de tres en tres, etc., de modo que dos ordenaciones cualesquiera del mismo número de elementos se diferencien por lo menos, en un elemento o por el orden en que estén colocados. Sea M = {a; b; c} 3 elementos 6 V 3 = 2 6 V 3 = 3 • Si tomamos de 2 en 2 se tiene: {ab; bc; ca; ac; cb; ba} • Si tomamos de 3 en 3 se tiene: {abc; bca; cab; bac; acb; cba} Luego: ( )! ! V m n m m = - n ; 0 < n < m Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los nueve dígitos 1; 2; 3; ...; 9? Resolución: Aplicando: ( )! ! V m n m m = - n Donde: m = 9; n = 4 Luego: ( )! ! ! ! ! 9 ! 3024 V 9 4 9 5 9 5 8 7 6 5 9 # # # # = - = = = 4 ` Se pueden formar 3024 números. COMBINACIONES Se llama combinación a las variaciones que pueden formarse con varios elementos, de modo que dos de ellos difieran por lo menos en un elemento. Sea: N = {a; b; c; d} 6 C2 4 = 4 C3 4 = • Si tomamos de 2 en 2 se tiene: {ab; bc; cd; da; ac; bd} • Si tomamos de 3 en 3 se tiene: {abc; bcd; cda; dab} Luego: ( )! ! ! C m n n m n m = - ; 0 < n < m Ejemplo: El Club Deportivo Municipal cuenta con 12 dirigentes y se desea formar una comisión compuesta por 5 miembros. ¿De cuántas maneras distintas se puede formar dicha comisión? Resolución: Como de los 12 dirigentes hay que escoger 5 de ellos, no interesa el orden, es decir se trata de una combinación de 12 elementos en grupos de 5. Luego: ( )! ! ! ! ! ! 7! 12 7! 792 C 12 5 5 12 7 5 12 5 4 3 2 1 11 10 9 8 5 12 # # # # # # # # # # = - = = = ` La comisión se puede formar de 792 maneras. Ten en cuenta Para las variaciones sí interesa el orden de sus elementos, ya que no es lo mismo decir 45 que 54, como se nota estos dos números están compuestos por las mismas cifras, pero en su valor son diferentes. Observación • C n n 1 = • 1 Cn n = • 1 Cn 0 = • C n n n 1 = -
- 219. 219 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 PERMUTACIONES Se llama permutación a las variaciones en las que entran todos los elementos en sus diferentes ordenaciones, de manera que dos grupos cualesquiera, contienen los mismos elementos y solo difieren en el orden en que están colocados. Sea: P = {a; b; c} Si tomamos todos los elementos {abc; bca; cab; acb; bac; cba} 6 P3 = Luego: ! P n n = Ejemplo: En el cine 6 amigos se ubican en una fila de butacas. ¿De cuántas formas diferentes se podrán sentar? Resolución: • Ya que se van a ubicar en una fila y solo varía en el orden en que se ubiquen se trata de una permutación. • Calculamos la permutación de los 6 elementos: P6 = 6! = 720 PERMUTACIÓN CIRCULAR Se llama permutación circular cuando se disponen n elementos alrededor de un círculo, el número de elementos es (n - 1)! si se cuenta siempre en el mismo sentido a partir de un mismo elemento. ( 1)! PC n n = - Ejemplo: En una charla técnica se ubican alrededor de una mesa circular el entrenador y 7 jugadores. ¿De cuántas formas se podrán ubicar alrededor de la mesa? Resolución: • Como se van a ubicar alrededor de una mesa circular estamos ante una permutación circular. • Calculamos la permutación circular de 8 elementos: PC8 = (8 - 1)! = 7! = 5040 PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS Se llama permutación con elementos repetidos cuando de los n elementos que se disponen algunos se repiten. Donde: n : n.° total de elementos n1: n.° de elementos repetidos de la 1.a clase n2: n.° de elementos repetidos de la 2.a clase Además: n1 + n2 + n3 + ... + nk # n ! !... ! ! P n n n n ; ;...; n n n n k 1 2 # # = k 1 2 n3: n.° de elementos repetidos de la 3.a clase . . . . . . nk: n.° de elementos repetidos de la k-ésima clase. Ejemplo: Un estudiante desea mostrar 6 de sus libros en su biblioteca. Los libros tienen diferentes colores, de manera que 3 son azules, 2 son verdes y 1 es blanco. ¿De cuántas maneras puede exhibir los 6 libros? Resolución: Se trata de una permutación de 6 elementos con 3; 2 y 1 elemento repetido. 3! ! ! ! ! 6 ! 60 P 2 1 6 3 2 1 1 5 4 3 ; ; 3 2 1 6 # # # # # # # # = = = Para las combinaciones no interesa el orden. Por ejemplo: si disponemos de 6 frutas y se debe preparar un jugo de 3 frutas, no importa el orden en el cual se coloquen las frutas al momento de preparar. Observación Se toma como base un elemento y a partir de él se realiza la permutación.
- 220. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 220 1 Determina el valor de n si: ( 4)! ( 3)! ( 5)!( 3)! 25! n n n n + + + + + = Resolución: ! ! ! ! 25! n n n n n 4 3 3 5 3 + + + + + + = ^ ^ ^ ^ ^ h h h h h ! 25! n n 4 1 5 + + + = ^ ^ h h ! 25! ! 25! n n n n n 5 5 5 5 4 & + + = + + + = ^ ^ ^ ^ h h h h (n + 4)! = 25! & n = 21 2 Si C C n n 12 8 = , halla . Cn 17 Resolución: !. ! ! !. ! ! n n n n 12 12 8 8 - = - ^ ^ h h (n - 8)! . 8! = (n - 12)! . 12! (n - 8)(n - 9)(n - 10)(n - 11)(n - 12)! 8! = (n - 12)! 12 . 11 . 10 . 9 . 8! (n - 8)(n - 9)(n - 10)(n - 11) = 12 . 11 . 10 . 9 n - 8 = 12 & n = 20 !. ! ! . . . ! . . . ! 1140 C 3 17 20 1 2 3 17 20 19 18 17 17 20 ` = = = 3 Se debe elegir un presidente y un secretario de un grupo de 5 personas. ¿De cuántas maneras puede hacerse esta elección? Resolución: Este caso se trata de una variación, ya que importa el orden. ! ! V 5 2 5 2 5 = - ^ h ! ! V 3 5 2 5 = ! 5 4 3! V 3 2 5 # # = = 20 maneras. 4 En una reunión se observó 36 apretones de mano. ¿Cuántas personas hay en dicha reunión? Resolución: Aplicaremos la definición de una combinación. Sea n el número de personas que se saludan de 2 en 2, luego: C 36 n 2 = ! ! ! n n 2 2 # - ^ h = 36 ! ! n n n n 2 2 1 2 # - - - ^ ^ ^ h h h = 36 n(n - 1) = 72 n = 9 Entonces, en la reunión hay 9 personas. 5 ¿Cuántas banderas de 3 colores distintos se pue- den hacer usando los colores del arcoíris? Resolución: Elarcoíristiene7coloresyalhacerlasbanderas el orden de los colores será fundamental, por lo tanto, se trata de una variación de 7 elementos tomados de 3 en 3. ( )! ! ! ! ! !. . . 210 V 7 3 7 4 7 4 4 5 6 7 3 7 = - = = = 6 ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 niños en una fila, si Juan debe estar siempre en el centro? Resolución: Si Juan debe permanecer en el medio solo moveremos a 4 niños. Tomando en cuenta que un niño solo puede estar en un lugar a la vez, tenemos: Juan 4 # 3 2 # 1 niños niños niños niño Entonces: 4 # 3 # 2 # 1 = 24 Los niños se pueden sentar de 24 maneras diferentes con Juan sentado al medio de la fila.
- 221. 221 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 7 Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se pueden confeccionar, dado que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la si- guiente forma? Resolución: Color 1 Color 2 Posibilidades 5 4 Luego, por el principio de la multiplicación tenemos: 5 # 4 = 20 Entonces,sepuedenconfeccionar20banderas bicolor. 8 Una señora tiene 11 amigas de confianza. ¿De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellas para ce- nar? Resolución: Como no importa el orden se trata de una combinación. ! ! ! C 11 5 5 11 5 11 = - _ i 6! 2 3 4 5 ! C 11 10 9 8 7 6 5 11 # # # # # # # # # = 2 3 4 5 11 10 9 8 7 462 C5 11 # # # # # # # = = Puede invitarlas de 462 maneras diferentes. 9 A la copa confederaciones clasificaron 8 equipos. Si ahora juegan todos contra todos, ¿cuántos partidos se llevan a cabo? Resolución: Como juegan todos contra todos, el orden no importa para la formación de los partidos, además, en un partido solo participan 2 equi- pos, luego, estamos ante una combinación. Calculando el número de combinaciones de 8 elementos tomados de 2 en 2: !( )! ! ! ! ! 2 6! 8 ! 28 C 2 8 2 8 2 6 8 7 6 2 8 # # # = - = = = 10 ¿De cuántas maneras se podrán dibujar en una pi- zarra, uno a continuación del otro, 8 cuadrados y 5 triángulos? Resolución: Se trata de una permutación con elementos repetidos. Calculamos el número permutaciones de 13 elementos con 8 y 5 elementos repetidos: ! ! ! ! ! 1287 V 8 5 13 8 5 4 3 2 1 13 12 11 10 9 8 ; 8 5 13 # # # # # # # # # # = = = 11 En una urna hay 7 fichas con nombres de mujeres y 5 fichas con nombres de varones. Si sacamos 4 nombres, uno a uno, y en cada extracción volve- mos a hacer participar al nombre extraído, ¿de cuántas maneras podemos obtener 3 nombres de mujeres de los 4 extraídos? Resolución: Consideremos el caso en que la primera ficha contiene el nombre de un varón: . . . . 1 5 2 7 3 7 4 7 ó ó ó ó a extracci n varones a extracci n mujeres a extracci n mujeres a extracci n mujeres # # # . . . . Se observa que en la 2.a , 3.a y 4.a extracción participan el mismo número de mujeres. Considerando el orden en que las fichas son extraídas se tienen los siguientes casos: VMMM; MVMM; MMVM; MMMV Permutaciones con repetición Luego; el número de maneras en que se pue- de obtener 3 nombres de mujeres en 4 fichas extraídas es: 4 5 7 ! ! ! 5 7 20 7 V 1 3 4 ; 1 3 3 3 3 # # # # # # = =
- 222. Actividades de razonamiento 222 Intelectum Evolución 3.° 1. Reduce: . ! ! . ! F 19 25 26 27 25 = + A) 37 B) 24 C) 19 D) 25 E) 6! 2. Resuelve: (x2 - 2x)! = 6 Halla el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 3. Halla x, en: ! ! ! ! 24 x x x x 1 2 1 3 + + + + + = ^ ^ ^ ^ h h h h A) 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 5 4. Halla x, en: ! . ! ! C x 20 15 5 15 35 = + ^ h A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40 5. Laura tiene nueve amigas en la academia y quiere invitarlas a su casa para escuchar música, pero su mamá le ha dicho que solo invite a cinco de ellas. ¿De cuántas maneras podrá invitar a las cinco amigas, si de todas maneras debe invitar a Rita que es su mejor amiga? A) 70 B) 35 C) 140 D) 135 E) 170 6. ¿De cuántas maneras se pueden disponer seis jugadores de futbol en una cancha, si uno de ellos siempre juega de arquero? A) 120 B) 72 C) 720 D) 30 E) 180 7. Una pista atlética tiene 5 carriles y tres atletas desean colocarse en la pista. ¿De cuántas maneras lo pueden hacer, de modo que cada atleta ocupe un carril? A) 20 B) 30 C) 10 D) 50 E) 60 8. En un concurso de periódico mural, organizado por una institución, hay 5 finalistas. ¿De cuántas maneras diferentes pueden obtener los premios estos 5 finalistas, si hay premios para los 5 puestos? A) 24 B) 60 C) 72 D) 120 E) 240
- 223. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 223 Calcula el valor de E: ... E C C C C n n n n n 0 2 1 2 2 2 2 2 = + + + + - - - - - 9. Un grupo de 5 amigos se irá de paseo, el auto que van a utilizar tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuántas maneras se podrán sentar correctamente para iniciar dicho paseo, si solo 2 de ellos saben manejar? A) 24 B) 36 C) 48 D) 120 E) 60 10. ¿De cuántas formas pueden ordenarse 5 personas en una fila si una de ellas debe estar siempre en uno de los extremos? A) 24 B) 48 C) 72 D) 36 E) 120 11. ¿Cuál es el mayor número de banderas diferentes que se pueden confeccionar disponiendo de tres colores y con un máximo de 2 costuras verticales? A) 16 B) 18 C) 12 D) 9 E) 15 12. En un colegio hay 3 cargos disponibles: director, coordinador y supervisor. Después de estudiar las solicitudes de los postulantes se selecciona a 10 candidatos cuya experiencia profesional los acredita para cualquiera de los cargos. ¿De cuántas maneras se puede realizar la elección si ninguno puede ocupar más de un cargo? A) 720 B) 810 C) 1000 D) 600 E) 120 13. De un grupo de cinco físicos, siete químicos y seis matemáticos se quiere formar una comisión de tres físicos, cuatro químicos y tres matemáticos. ¿De cuántas maneras o formas diferentes se puede hacer dicha selección? A) 600 B) 648 C) 700 D) 6048 E) 7000 14. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los restantes recibe 2? A) 7560 B) 7850 C) 7989 D) 6687 E) 8437 Rpta.: 2n-2 1. A 2. B 3. A 4. D 5. A 6. A 7. E 8. D 9. C 10. B 11. E 12. A 13. E 14. A
- 224. Refuerza practicando 224 Intelectum Evolución 3.° NIVEL 1 1 Simplifica: ! ! ! ! ( !)! A 15 16 15 16 17 6 3 = + + + + A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21 2 Calcula: 399 400 99 100 3 4 + + A) 400 B) 100 C) 45 D) 504 E) 506 3 Reduce: . . C C C C C 8 21 7 20 6 19 5 18 12 18 12 19 8 20 5 18 + + + A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4 Resuelve: (x2 + x)! = 720 Halla el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 5 Si deseas viajar a Chile y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? A) 11 B) 60 C) 12 D) 42 E) 51 6 De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes y de Ica a Tacna 5 caminos también diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna pasando siempre por ica? A) 9 B) 20 C) 12 D) 40 E) 625 7 De Lima a Ica existen 4 caminos diferentes y de Ica a Tacna 5 caminos también diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? A) 400 B) 380 C) 240 D) 399 E) 401 Enunciado para los problemas 8; 9 y 10 Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí. 8 ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? A) 15 B) 240 C) 60 D) 120 E) 72 9 ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? A) 120 B) 60 C) 80 D) 12 E) 720
- 225. 225 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 10 ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul? A) 95 B) 80 C) 120 D) 61 E) 91 11 ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 cami- sas (3 iguales)? A) 420 B) 168 C) 288 D) 840 E) 2880 12 Si Juan tiene 4 camisas, 5 pantalones y 3 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras se podría vestir combinando sus prendas? • Si la camisa azul la debe emplear con el panta- lón negro. • Si el pantalón azul lo debe emplear con la cami- sa blanca. • Si la camisa verde no la emplea ni con el panta- lón blanco ni con el celeste. • Si el pantalón crema no lo emplea ni con la ca- misa blanca ni con la camisa verde. Da como respuesta la suma de los resultados. A) 264 B) 246 C) 156 D) 462 E) 207 NIVEL 2 13 Halla x, en: (x + 5)! = 720 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 1 14 Calcula x, en: 3 5 C C x x 4 5 1 = - A) 10 B) 1 C) 9 D) 8 E) 16 15 Calcula m, en: ( )! ( )! ( )!( )! 120 m m m m 3 4 3 5 + + + + + = A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 12 16 Calcula un valor de n + p, en: C C p n p n 2 2 10 2 = - - A) 4 B) 6 C) 10 D) 14 E) 15 17 Un juego consiste en un tablero cuadriculado de 4 # 4. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila? A) 64 B) 56 C) 132 D) 144 E) 256 18 Para ir de A hacia B existen 6 caminos y para ir de B a C existen 5 caminos. De cuántas maneras se puede: • Ir de A hacia C pasando por B. • Ir de A hacia C pasando por B y regresar. • Ir de A hacia C pasando por B y regresar en un camino diferente. Da como respuesta la suma de los 3 resultados. A) 1500 B) 1530 C) 1350 D) 1800 E) 1580
- 226. 226 Intelectum Evolución 3.° 19 ¿De cuántas maneras se pueden escoger en el tablero de 6 # 6 una casilla blanca y una negra que no estén en una misma línea horizontal y vertical? A) 701 B) 720 C) 216 D) 920 E) 120 20 Si Julia tiene para vestirse 5 pantalones, 3 faldas, 6 blusas, 2 polos y 8 pares de zapatos, ¿de cuántas maneras podría vestirse, si todas las prendas son de colores diferentes? A) 512 B) 510 C) 720 D) 729 E) 448 21 6 personas deben levantar un cilindro circular recto llenodeagua,abiertoenlapartesuperior.¿Decuántas maneras se pueden colocar alrededor del cilindro? A) 60 B) 24 C) 120 D) 720 E) 840 22 Una familia con 3 hijos salen al campo. Una vez que llegaron al campo prenden una fogata. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar los miembros de esta familia alrededor de la fogata, de modo que los padres siempre estén juntos? A) 12 B) 24 C) 48 D) 96 E) 60 23 ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal de las letras de la palabra PROBLEMA? A) 4 B) 7 C) 12 D) 15 E) 20 24 ¿De cuántas maneras diferen- tessepuedenubicar8personas en un automóvil con capacidad para 5, sabiendo que Eulogio siempre es el conductor? A) 35 B) 210 C) 21 D) 120 E) 840 NIVEL 3 25 Suma: ... K 9 11 10 8 10 9 7 9 8 0 2 1 = - + - + - + + - A) 55 B) 77 C) 285 D) 85 E) 385 26 Halla x, en: ! . ! ( )! C x 30 20 5 30 50 = + A) 40 B) 30 C) 35 D) 50 E) 45 27 Si: x; y ! Z+ resuelve la ecuación: 1! + 2! + 3! + ... + x! = y2 Indica el número de soluciones que existen. A) Ninguna B) 1 C) 2 D) 3 E) Infinitos valores 28 Calcula x + y, si: x(y!)! . (x - 1)!(y!)! = 120720 A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
- 227. 227 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 29 De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas: • En una fila de 5 asientos. • En una fila de 5 asientos con Juan en el centro. • En una fila de 5 asientos con Raúl en un extremo. • En una fila de 5 asientos con Luis y María siempre juntos. Da como respuesta la suma de los resultados. A) 180 B) 240 C) 160 D) 200 E) 120 30 Un barco lleva 8 banderas para hacer señales: • ¿Cuántas señales se podrían enviar empleando solo 3 de ellas? • ¿Cuántas señales se podrían enviar con 4 de ellas empezando con la roja y terminando con la azul? • ¿Cuántas señales se podrían enviar con 5 de ellas si la blanca y la azul deben estar en los extremos? Da como respuesta la suma de los resultados. A) 1000 B) 1760 C) 670 D) 591 E) 606 31 ¿De cuántas maneras diferentes 2 peruanos, 4 argentinos y 3 colombianos pueden sentarse en fila, de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos? A) 864 B) 1700 C) 892 D) 688 E)1728 32 Dos varones y tres chicas van al cine y encuentran 5 asientos juntos, en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las tres chicas no quieren estar una al costado de la otra? A) 10 B) 16 C) 18 D) 15 E) 12 33 De un grupo de 15 personas que estudian solo 2 idiomas cada una, se sabe que 4 de ellas estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y las otras solo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntas la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir? A) 28 B) 74 C) 92 D) 48 E) 120 34 Con seis pesas de a; b; c; d; e y f kg, ¿cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomadas aquellas de tres en tres? A) 15 B) 20 C) 120 D) 60 E) 30 NIVEL 1 1. B 2. D 3. A 4. B 5. C 6. B 7. C 8. D 9. C 10. B 11. B 12. E NIVEL 2 13. E 14. A 15. A 16. C 17. D 18. B 19. C 20. A 21. C 22. A 23. D 24. E NIVEL 3 25. E 26. E 27. B 28. C 29. B 30. E 31. E 32. E 33. B 34. B Claves
- 228. Intelectum Evolución 3.° 228 Probabilidades CONCEPTOS PREVIOS Experimento aleatorio (e) Es toda prueba o conjunto de pruebas, cuyo resultado no puede determinarse antes de realizar la prueba. Solo se conocen todos los resultados posibles. Ejemplos: e1: lanzar un dado. e2: sacar un naipe de una baraja. Espacio muestral (W) Es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. Ejemplos: • Del experimento aleatorio de lanzar un dado, su espacio muestral será: W1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Del experimento aleatorio de sacar un naipe de una baraja, su espacio muestral será: W2 = {A; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K} Evento Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Ejemplos: • En el experimento aleatorio de lanzar un dado. Evento A: obtener un número par. A = {2; 4; 6} • En el experimento aleatorio de sacar un naipe. Evento B: obtener puntaje mayor que 10. B = {J; Q; K} Operaciones con eventos Como los eventos son conjuntos, entonces se pueden establecer las operaciones: unión, intersección y complemento. SiAyBsondoseventosdeunespaciomuestralW,sedefinenlassiguientesoperaciones: • A , B: ocurre A, ocurre B o ambos • A + B: ocurre A y ocurre B • A - B: ocurre A pero no B • A': no ocurre A Definición clásica de probabilidad Si A es un evento de un espacio muestral W, entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dada por: P(A) = Número de resultados favorables Número de resultados posibles Atención Los subconjuntos del espa- cio muestral constituidos por un solo elemento se llaman “eventos elementales”. Observación • Al evento que coincide con el espacio muestral se le llama evento seguro. • Al evento que no posee elementos se le llama evento imposible. En muchos casos no es ne- cesario determinar los ele- mentos del espacio mues- tral, solo interesa saber cuántos elementos existen, para lo cual usaremos con- ceptos del análisis combina- torio.
- 229. 229 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 Ejemplo: Si se extrae una carta de un juego completo de naipes, ¿cuál es la probabilidad de que sea de trébol? Resolución: • Un juego de naipes tiene 4 palos (trébol, corazones, espadas y diamantes). • Cada una consta de 13 naipes. • Entonces, el número de casos favorables es 13 y el número de casos posibles es 52. • Utilizando la definición: P = 52 13 4 1 = Propiedades a) Si A es un evento definido en cierto espacio muestral W, se cumple que: 0 # P(A) # 1 b) Si A y B son eventos no excluyentes (A + B ! Q), entonces se cumple que: P(A , B) = P(A) + P(B) - P(A + B) c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes (A + B = Q), entonces se cumple que: P(A , B) = P(A) + P(B) d) Si A es un evento definido en cierto espacio muestral W, la probabilidad de que no ocurra A se denota por P(A') y se cumple: P(A') = 1 - P(A) Probabilidad condicional Es la probabilidad de ocurrencia de un suceso B dado que ha ocurrido el suceso A, denotado por P(B/A) y es por definición: P(B/A) = P(A + B) P(A) ; P(A) > 0 Indepedencia de sucesos Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro. Ejemplo: En el experimento de lanzar dos dados, el suceso de que uno de ellos salga un número par y el suceso de que el otro salga impar, son independientes, puesto que la ocurrencia de uno no influye en la ocurrencia del otro. Propiedades: Si dos sucesos A y B son independientes, se cumple: P(A + B) = P(A) . P(B) P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) Observación • Si A es un evento impo- sible: & P(A) = 0 • Si A es un evento seguro: & P(A) = 1 Observación Decimos que dos sucesos son mutuamente excluyen- tes si al ocurrir uno es impo- sible que ocurra el otro. Ejemplo: Al tirar una moneda, si sale cara es obvio que no salió sello. A = Sale cara B = Sale sello A + B = Q P (A , B) = P(A) + P(B)
- 230. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 230 1 Al lanzar dos dados sobre una mesa. ¿Cuál es la pro- babilidad de no obtener un puntaje mayor que 9? Resolución: Los casos de obtener un puntaje mayor que 9 son: A = {(4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 4), (6; 5), (6; 6)} n(A) = 6 ' P A n n A P A P A 36 6 6 1 1 1 6 1 6 5 & & Ω = = = = - = - = _ _ _ _ _ i i i i i ` La probabilidad de no obtener un puntaje mayor que 9 es 6 5 . 2 Se lanza un par de dados. Si los números que resul- tan son diferentes, halla la probabilidad de que su suma sea par. Resolución: A: obtener un par de números diferentes. Analizamos su complemento: A' = {(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6)} n(A') = 6 & n(A) = 36 - n(A') = 36 - 6 = 30 En este caso el espacio muestral es A, debido a que los números que resultan son siempre diferentes. B: obtener dos números diferentes cuya suma sea par. B = {(1; 3), (1; 5), (2; 4), (2; 6), (3; 1), (3; 5), (4; 2), (4; 6), (5; 1), (5; 3), (6; 2), (6; 4)} n(B) = 12 P B n A n B 30 12 & = = _ _ _ i i i P B 5 2 ` = _ i 3 En una bolsa hay 6 bolas rojas y 8 bolas negras. Si se extraen 2 bolas, una a continuación de la otra, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos bolas negras? Resolución: A: se obtuvo una bola negra en la 1.a extracción. n(A) = 8, n(Ω) = 6 + 8 = 14 P A 14 8 7 4 = = _ i B: se obtuvo una bola negra en la 2.a extracción. Entonces: P(B/A) = 6 7 7 + P(B/A) = 13 7 ` La probabilidad de obtener dos bolas negras es: P(A + B) = P(A)P(B/A) = 13 4 4 En una urna, se tienen 3 fichas negras, 5 blancas y 3 amarillas. Si se extrae al azar una de las fichas, halla la probabilidad de que la bola extraída no sea negra. Resolución: n(Ω) = 3 + 5 + 3 = 11 A: sea una bola de color negro & n(A) = 3 ( ) ( ) ( ) P A n n A 11 3 Ω = = ` P(A') = 1 - P(A) = 1 - 11 3 11 8 = 5 Al lanzar tres monedas al aire, ¿cuál es la probabili- dad de obtener 2 caras y 1 sello? Resolución: Ω = {CCC; CCS; CSS; CSC; SCC; SSC; SCS; SSS} n(Ω) = 8 A: obtener 2 caras y 1 sello A = {CCS; CSC; SCC} & n(A) = 3 ( ) ( ) ( ) P A n n A 8 3 ` Ω = =
- 231. 231 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 6 Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que seis? Resolución: Sean: ε: lanzar dos dados A: suma menor que 6. A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (4; 1)} & n(A) = 10 n(Ω) = 6 # 6 = 36 Luego: ( ) ( ) ( ) P A n n A 36 10 18 5 & Ω = = = 7 Pedro rinde una práctica calificada y la calificación es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que obten- ga una nota par mayor que 12? Resolución: Ω = {0; 1; 2; 3; 4; 5; …; 20} & n(Ω) = 21 A: nota par mayor que 12. & A = {14; 16; 18; 20} & n(A) = 4 ( ) ( ) ( ) P A n n A 21 4 & Ω = = 8 Al lanzar dos dados A y B, determina la probabilidad de que la suma de ambos dados no sea mayor que 7. Resolución: Sean: e: lanzar dos dados. A: suma no sea mayor que 7. A = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; 5), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (5; 1), (5; 2), (6; 1)} & n(A) = 21, n(W) = 6 # 6 = 36 Nos piden: P(A) = n n A 36 21 12 7 Ω = = _ _ i i 9 Una urna contiene 2 bolas blancas, 8 negras y 6 ro- jas, si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la proba- bilidad de obtener una bola blanca o negra? Resolución: Sean: A: obtener bola blanca & n(A) = 2 B: obtener bola negra & n(B) = 8 C: obtener bola roja & n(C) = 6 n(Ω) = n(A) + n(B) + n(C) = 16 Luego: Ω P A n n A 16 2 8 1 = = = _ _ _ i i i P(B) = Ω n n B 16 8 2 1 = = _ _ i i Como los eventos son excluyentes, entonces: P(A , B) = P(A) + P(B) P(A , B) 8 1 2 1 8 5 = = + 10 La probabilidad que mañana llueva es 0,11; la pro- babilidad que truene es 0,05 y la probabilidad que llueva y truene es 0,04. ¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene mañana? Resolución: Sean: A: que llueva & P(A) = 0,11 B que truene & P(B) = 0,05 Además: P(A + B) = 0,04 Nos piden la probabilidad de que llueva o truene mañana: P(A , B) Sabemos: P(A , B) = P(A) + P(B) – P(A + B) P(A , B) = 0,11 + 0,05 – 0,04 ` P(A , B) = 0,12
- 232. Actividades de razonamiento 232 Intelectum Evolución 3.° 1. Si se lanza un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 2? A) 3 1 B) 3 2 C) 2 1 D) 6 1 E) 5 2 2. En una urna hay 8 fichas negras y 5 fichas blancas. Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad que sea de color negro? A) 15 7 B) 17 3 C) 13 8 D) 13 9 E) 31 5 3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello en el lanzamiento de 3 monedas? A) 4 3 B) 9 2 C) 4 1 D) 8 1 E) 8 7 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 o 4 al lanzar un dado? A) 3 1 B) 5 2 C) 4 3 D) 5 1 E) 3 2 5. Se escribe al azar un número de 2 cifras, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número escrito sea múltiplo de 5? A) 5 1 B) 13 1 C) 15 2 D) 17 1 E) 17 3 6. Al lanzar dos dados A y B, determina la probabilidad de que la suma de ambos dados no supere a 7. A) 12 7 B) 13 12 C) 9 4 D) 36 7 E) 3 1 7. Se lanza simultáneamente una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener una cara y un número impar. A) 3 1 B) 5 1 C) 4 1 D) 3 2 E) 6 1 8. Se lanza un dado dos veces en forma sucesiva. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos resultados sean de puntaje 3? A) 2 1 B) 6 1 C) 9 1 D) 36 1 E) 4 1
- 233. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 233 9. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el segundo? A) 18 1 B) 12 5 C) 18 7 D) 6 1 E) 4 1 10. La probabilidad que mañana llueva es 0,10; la probabilidad que truene es 0,05 y la probabilidad que llueva y truene es 0,03. ¿Cuál es la probabilidad que llueva o truene ese día? A) 0,12 B) 0,06 C) 0,18 D) 0,36 E) 0,05 11. De una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que, al extraer una carta al azar, esta sea 8 o de figura de color negro? A) 13 4 B) 13 7 C) 52 1 D) 13 1 E) 13 2 12. Se extrae un bolo de un total de 10 (los bolos están enumerados del 1 al 10). ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par? A) 3 1 B) 5 1 C) 4 1 D) 3 2 E) 5 2 13. En una urna donde hay 7 bolas blancas, 5 bolas rojas y 3 bolas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer 2 bolas, estas sean de color rojo? A) 17 16 B) 20 3 C) 21 2 D) 21 19 E) 9 5 ¿Cuál es la probabilidad que una persona que avanza de A a C no pase por B? A B C 1. B 2. C 3. E 4. A 5. A 6. A 7. C 8. D 9. B 10. A 11. B 12. B 13. C 14. D 14. En una competencia atlética de 100 m intervienen los atlétas A, B, C, D y E ¿Cuál es la probabilidad de que al finalizar “B” llegue luego de “A“? A) 2/3 B) 3/5 C) 1/3 D) 1/5 E) 4/5 Rpta.: 2/17
- 234. Refuerza practicando 234 Intelectum Evolución 3.° NIVEL 1 1 Se extrae al azar una carta de una baraja normal. Calcula la probabilidad de obtener un 4 o un 6. A) 13 1 B) 13 2 C) 9 2 D) 9 1 E) 26 15 2 Si la probabilidad de que usted se retire temprano a su casa el día de hoy es 0,163, ¿cuál es la probabilidad de que no lo haga? A) 0,037 B) 0,137 C) 0,738 D) 0,837 E) 0,177 3 En una urna se tienen 4 bolas de color rojo; 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una bola, sea de color verde o azul? A) 9 2 B) 9 7 C) 7 3 D) 7 4 E) 8 3 4 Se lanza un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 4? A) 3 1 B) 3 2 C) 4 1 D) 5 2 E) 5 3 5 Al lanzar dos dados, determina la probabilidad de que la suma de ambos dados no supere a diez. A) 15 11 B) 17 11 C) 12 11 D) 17 9 E) 15 7 6 Se lanza simultáneamente una mo- neda y un dado. Calcula la probabi- lidad de obtener una cara y un nú- mero par. A) 3 1 B) 4 1 C) 6 1 D 3 2 E) 4 3 7 La probabilidad de que un comerciante venda 2 autos o más hoy es 0,38. ¿Cuál es la probabilidad de que venda 1 o ninguno? A) 0,71 B) 0,78 C) 0,62 D) 0,48 E) 0,96 8 Para dos eventos A y B mutuamente excluyentes es verdad: I. P(A , B) = P(A) + P(B) II. P(A + B) = P(A) . P(B) III. P(A) + P(B) = 1 A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) II y III E) I; II y III NIVEL 2 9 Se extrae al azar una carta de una baraja normal. Calcula la probabilidad de que represente su valor con una letra. A) 13 1 B) 13 3 C) 13 2 D) 26 5 E) 9 1 10 3 deportistas (A; B y C) compiten en una maratón de los Andes. ¿Cuál es la probabilidad de que A llegue antes que B? A) 3 1 B) 2 1 C) 4 1 D) 3 2 E) 4 3
- 235. 235 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 11 Enunacajahay18tarjetasblancas,8negras,6azules, 9 verdes y 3 amarillas. Sin mirar se saca una tarjeta, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca o negra? A) 22 13 B) 11 6 C) 44 27 D) 22 11 E) 11 3 12 En una urna se encuentran 50 fichas marcadas del 1 al 50. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una ficha, esta sea múltiplo de 5 u 8? A) 25 8 B) 10 1 C) 5 2 D) 10 3 E) 25 6 13 Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3 respectivamente es lanzada 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 12? A) 16 25 B) 16 5 C) 4 5 D) 25 6 E) 6 5 14 Un artillero dispara a un blanco. Se sabe que en un disparo la probabilidad de acertar es 0,01. Se efectúa dos disparos, ¿cuál será la probabilidad de no acertar? A) 0,9999 B) 0,9081 C) 0,9801 D) 0,9802 E) 0,0001 15 Una urna contiene 5 bolas blancas y 3 negras; otra contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Si se extrae al azar una bola de cada urna, calcula la probabilidad de que ambas sean de color blanco. A) 8 1 B) 4 1 C) 8 3 D) 3 2 E) 6 1 16 Acerca del futuro nacimiento de tres hijos (trillizos) de la señora Rosa, se puede afirmar: I. El número de elementos que tiene el espacio muestral respecto al sexo de ellos es 8. II. La probabilidad de que nazca un varón es 1/3. III. La probabilidad de que nazca un varón y dos mujeres es 3/8. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) II y III NIVEL 3 17 En una bolsa hay 12 esferitas, de las cuales 4 son negras, 5 son rojas y el resto de otros colores. ¿Qué afirmaciones son ciertas? I. Al sacar una esferita al azar, la probabilidad que sea roja es 5/12. II. Al sacar 3 esferitas al azar, la probabilidad que sean negras es 1/55. III. Al sacar 7 esferitas al azar, el número de elementos que tiene el espacio muestral es 792. A) Solo I B) Solo III C) I y II D) II y III E) I; II y III 18 En un jardín de infantes hay 12 niños y 4 niñas, se escogen tres estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sean todas niñas? A) 65 2 B) 35 2 C) 70 1 D) 70 2 E) 140 1
- 236. 236 Intelectum Evolución 3.° 19 De una baraja de 52 cartas se sacan tres naipes. Determina la probabilidad de que todos sean ases. A) 1/5530 B) 1/5525 C) 1/1520 D) 1/1260 E) 1/3725 20 Un saco contiene 3 bolas rojas, 4 blancas y 5 azules, todas del mismo tamaño y forma. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y las siguientes azules o blancas al seleccionarse 3 bolas sin reposición? A) 0,2727 B) 0,004545 C) 0,1636 D) 0,2083 E) 0,07272 21 En una ciudad el 40% de la población canta; el 35% baila y el 70% de los que cantan bailan, calcula la probabilidad de que al extraer una persona al azar esta no cante ni baile. A) 47% B) 53% C) 51% D) 49% E) 42% 22 La probabilidad de que Erica ingrese a la UNI es 0,7; que ingrese a la Católica es 0,4. Si la probabilidad de que no ingrese a ninguna es 0,12, halla la probabilidad de que ingrese a ambas a la vez A) 0,42 B) 0,22 C) 0,24 D) 0,48 E) 0,58 23 Si la probabilidad de ganar una partida de ajedrez es p, ¿cuál será la probabilidad de ganar al menos una partida en 3 partidas de ajedrez? A) 1 - p B) (1 - p)3 C) (1 - p)2 D) 1 - (1 - p)3 E) (10 - p)2 24 Si tenemos 12 libros en un estante, ¿cuál es la probabilidad de que siempre se incluya un libro determinado en una colección de 5 libros? A) 0,2325 B) 0,543 C) 0,4672 D) 0,4166 E) 0,4327 25 Se escogen al azar 4 sillas entre 10, de las cuales 6 son defectuosas. Halla la probabilidad de que 2 exactamente sean defectuosas. A) 5 2 B) 5 3 C) 7 5 D) 11 6 E) 7 3 NIVEL 1 1. B 2. D 3. B 4. A 5. C 6. B 7. C 8. A NIVEL 2 9. B 10. B 11. A 12. D 13. B 14. C 15. C 16. D NIVEL 3 17. E 18. E 19. B 20. C 21. B 22. B 23. D 24. D 25. E Claves
- 237. 237 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 Teoría de conjuntos Noción de conjunto Es una colección o agrupación de objetos abstractos o concretos denominados elementos. Ejemplos: • Los países de Europa. • Los números pares menores que 100. Relación de pertenencia Es una relación exclusiva de elemento a conjunto. Ejemplo: D = {3; 6; 7; 9} • 6 ! D, se lee: 6 pertenece a D. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO Por extensión Cuando se indica a todos y cada uno de sus elementos. Ejemplo: • F = {3; 6; 9; 12; 15} Por comprensión Cuando se indica una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto. Ejemplo: • J = {n2 - 1 / n es entero y 1 < n < 5} RELACIONES ENTRE CONJUNTOS Inclusión (1) Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A está contenido en B, (A es subconjunto de B) si todo elemento de A es también elemento de B. A 1 B + (6x ! A & x ! B) Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {3; 5; 7; 9; 10} B = {3; 5; 10} y C = {5; 9; 12} B 1 A; se lee: B está contenido en A C j A; se lee: C no está contenido en A Igualdad Dos conjuntos A y B son iguales si poseen los mismos elementos. A = B + A 1 B / B 1 A Ejemplo: A = {3n + 2 / n ! Z / 1 < n < 6} B = {8; 11; 14; 17} Se observa que A 1 B / B 1 A, luego: A = B Conjuntos comparables Dos conjuntos A y B son comparables cuando uno de ellos está contenido en el otro. Ejemplo: M = {4; 6} N = {1; 3; 5; 8} P = {2; 4; 6; 9} Q = {3; 8} M 1 P, entonces M y P son comparables. Q 1 N, entonces Q y N son comparables. Conjuntos disjuntos Dos conjuntos A y B son disjuntos cuando no tienen ningún elemento en común. Ejemplo: R = {x / x es par} y S = {x / x es impar} Es claro que R y S son disjuntos. • Todo conjunto está inclui- do en sí mismo o es equi- valente, es decir: 6A, se cumple: A 1 A • Por convención, se asu- me que el conjunto vacío ({ }, Q) es subconjunto de cualquier conjunto, es decir: 6 A & Q 1 A Recuerda A y B son iguales si tienen los mismos elementos. A 1 B (A está incluido en B) y B 1 A (B está incluido en A) Importante Tal que C = {............/......................} Forma Característica general o propiedad del común elemento
- 238. Intelectum Evolución 3.° 238 1. Unión (,) A , B = {x / x ! A 0 x ! B} A B U A , B = B , A 2. Intersección (+) A + B = {x / x ! A / x ! B} A B U A + B = B + A 3. Diferencia (-) A - B = { x / x ! A / x " B} A B U A - B 4. Diferencia simétrica (i) A T B = { x / x ! (A , B) / x " (A + B)} A B U A T B = B T A 5. Complemento A' = AC = A = {x ! U / x " A} A U A' NÚMERO DE SUBCONJUNTOS Sea el conjunto A, el número de subconjuntos está dado por: Número de subconjuntos de A = 2n(A) Ejemplo: B = {3; 5; 8}; n(B) = 3 Subconjuntos de B: {3}; {5}; {8}; {3; 5}; {5; 8}; {3; 8}; {3; 5; 8}; b ` Número de subconjuntos de B = 23 = 8 CONJUNTO POTENCIA Es aquel conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. El número de elementos del conjunto potencia está dado por: n[P(A)] = 2n(A) Ejemplo: A = {2; 4; 6} P(A) = {b; {2}; {4}; {6}; {2; 4}; {4; 6}; {2; 6} {2; 4; 6}} n[P(A)] = 23 = 8 CONJUNTO UNITARIO También llamado singletón o singular, es aquel conjunto que posee un solo elemento. Ejemplo: A = {x / x > 0 / x2 = 16} Se observa que hay un solo número que cumple con la condición, y ese es x = 4, por lo tanto el conjunto A es unitario: A = {4} OPERACIONES CON CONJUNTOS • A , B = B , A 1 B • n(A , B) = n(A) + n(B) , A y B son disjuntos • A + B = Q , A y B son disjuntos • A + B = A , A 1 B Atención • A - B = A , A y B son disjuntos • A - B = Q , A 1 B • A T B = A , B , A + B = Q • A T B = B - A , A 1 B Recuerda B 1 A' , A y B son disjuntos B'1 A' , A 1 B
- 239. Problemas resueltos 239 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 1 DeterminalasumadeloselementosdelconjuntoB. B = / N x x x x 5 25 5 10 2 / 1 1 ! - - ( 2 Resolución: Del enunciado: x x x x x x 5 25 5 5 5 5 2 - - = - + - = + _ _ _ i i i Como: 5 < x < 10 x ! {6; 7; 8; 9} Se tiene que: B = {11; 12; 13; 14} ` La suma de elementos es: 11 + 12 + 13 + 14 = 50 2 Dados los conjuntos: A = {a2 + 5; b + 3} B = {-11; 14} Si A = B, calcula el valor de a + b; si: a; b ! Z- Resolución: Como: A = B a2 + 5 = 14 / b + 3 = -11 a2 = 9 b = -14 a = ! 3 a = 3 0 a = -3 pero a ! Z- Entonces: a = -3 ` a + b = -3 -14 = -17 3 El conjunto potencia de A tiene 512 elementos más que el conjunto potencia de B. Además n(A) - n(B) = 1. Halla: n(A) + n(B) Resolución: Del dato: n(A) - n(B) = 1 & n(A) = n(B) + 1 También: P(A) - P(B) = 512 2n(B) + 1 - 2n(B) = 29 2n(B) = 29 & n(B) = 9 & n(A) = 10 ` n(A) + n(B) = 10 + 9 = 19 7 De un grupo de 600 alumnos se sabe que 250 pos- tulan a San Marcos, 220 postulan a la UNI; y 100 postulan a San Marcos y la UNI. ¿Cuántos no pos- tulan a San Marcos ni a la UNI? Resolución: Graficando según el enunciado: a 100 SM(250) UNI(220) 600 b x Del gráfico: a + 100 = 250 & a = 150 b + 100 = 220 & b = 120 Luego: a + 100 + b + x = 600 150 + 100 + 120 x = 600 370 + x = 600 x = 230 5 En un colegio hay 58 profesores, de los cuales 38 enseñan Matemática, 15 Historia y 20 Lenguaje, si hay 3 profesores que enseñan los 3 cursos. ¿Cuán- tos de ellos enseñan solo 2 de estos cursos? Resolución: Gráficamente se tiene: M(38) H(15) L(20) x y z b c 3 a 58 Del gráfico: x + a + b + 3 = 38 y + a + c + 3 = 15 z + b + c + 3 = 20 x + y + z + 2(a + b + c) + 9 = 73 ... (I) También: x + y + z + a + b + c + 3 = 58 ... (II) Luego: (I) - (II) a + b + c + 6 = 15 a + b + c = 9 ` 9 profesores enseñan solo dos cursos.
- 240. Intelectum Evolución 3.° 240 6 En ciertas olimpiadas participan 1000 deportistas en 3 deportes: fútbol, vóley y tenis; 400 participan en fútbol; 390 en vóley y 480 en tenis. 50 solo en fútbol y vóley, 80 solo en vóley y tenis, y 50 solo en fútbol y tenis. ¿Cuántos participan en un solo deporte? Resolución: Graficando según el enunciado: F(400) V(390) T(480) a b c 50 80 x 50 1000 Del gráfico: a + 100 + x = 400 b + 130 + x = 390 (+) c + 130 + x = 480 a + b + c + 360 + 3x = 1270 ... (I) También: a + b + c + 180 + x = 1000 ... (II) Restamos: (I) - (II): 180 + 2x = 270 & x = 45 Reemplazando en (II): a + b + c + 225 = 1000 & a + b + c = 775 ` 775 personas participan en un solo deporte. 7 En un aula de 35 alumnos, 7 hombres aprobaron Aritmética y 6 hombres aprobaron Comunicación. 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ningún curso, hay 16 hombres en total. 5 alumnos aprobaron los 2 cursos y 11 aprobaron solo Aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solo Comunicación? Resolución: Gráficamente: A( ) C( ) 8 H = 16 M = 19 c a b p m n 5 De los datos y del gráfico: a + b = 7 b + c = 6 a + b + c + 5 = 16 a + b + c = 11 7 c = 4; b = 2; a = 5 También: b + n = 5 n = 3 a + m = 11 m = 6 Además: 8 + m + n + p = 19 9 p = 2 ` Solo 2 mujeres aprobaron Comunicación. 8 En una población, 50% toman leche, el 40% comen carne; además solo los que comen carne o solo los que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el porcentaje de los que no toman leche ni comen carne? Resolución: Supongamos que en total hay 100 personas. P L C x 50 - n 40 - n n De acuerdo al dato del problema: (50 - n) + (40 - n) = 54 90 - 2n = 54 2n = 36 n = 18 En total: (50 - n) + n + (40 - n) + x = 100 90 - n + x = 100 (90 - 18) + x = 100 72 + x = 100 x = 28 ` El 28% de la población no toman leche ni comen carne.
- 241. Actividades de razonamiento 241 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 1. Si los siguientes conjuntos: A = {27; 62x - y } / B = {3x + y ; 216} son iguales, halla el valor de 2x + 3y. A) 5 B) 8 C) 7 D) 10 E) 6 2. Halla 3x2 + 2y; sabiendo que: C = {2x + y; 2y - x; x + 8} es un conjunto unitario. A) 36 B) 18 C) 20 D) 24 E) 28 3. Dados los conjuntos: P = {x2 + 1 / x ! N / 1 < x < 5} Q = { x 2 1 - / x ! N / x es impar menor que 13} Halla: P + Q A) {5} B) {3; 5} C) {5; 8} D) {3; 8} E) {3; 5; 8} 4. Dados los conjuntos: A = {x ! N / x = ° 3 / 2 < x < 19} B = {x ! N / x = ° 5 / 3 < x < 28} C = {x ! N / x es divisor de 21} ¿Cuántos elementos tiene A , B , C? A) 10 B) 11 C) 15 D) 18 E) 13 5. Si: n(A , B) = 30; n(A - B) = 12 y n(B - A) = 8, halla: 5[n(A)] - 4[n(B)] A) 42 B) 38 C) 48 D) 60 E) 56 6. Para 2 conjuntos A y B se cumple: n(A) + n(B) = 16 n[P(A)] = 64 n[P(A , B)] = 4096 Calcula: n(B - A) A) 8 B) 6 C) 9 D) 5 E) 10 7. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 francés, 33 portugués y 5 los tres idiomas. Calcula el número de personas que hablan solo 2 de estos idiomas. A) 35 B) 30 C) 40 D) 25 E) 50 8. De 32 personas se sabe que 13 ven televisión, 15 escuchan radio y 26 leen periódico. También se sabe que 9 personas solo realizan una de las 3 actividades, mientras que hay 12 que realizan exactamente 2 actividades. ¿Cuántas personas no realizan ninguna de las 3 actividades? A) 5 B) 3 C) 6 D) 8 E) 4
- 242. Claves Reto Intelectum Evolución 3.° 242 9. A un grupo de personas se les preguntó sobre el jugo de su preferencia entre jugo de papaya, jugo de fresa y jugo de naranja. 2 respondieron que toman los tres tipos de jugo. 12 prefieren jugo de papaya, 11 jugo de naranja y 19 jugo de fresa. Además 8 toman solo dos de los tres tipos de jugo. Calcula el número total de personas. A) 30 B) 36 C) 32 D) 40 E) 28 10. De 65 personas que leen por lo menos 2 de 3 periódicos, se observa que: 27 personas leen “El Comercio” y “La República”; 35 personas leen “El Expreso” y “La República” y 33 personas leen “El Comercio” y “El Expreso”. ¿Cuántas personas leen los 3 periódicos? A) 15 B) 20 C) 10 D) 25 E) 12 11. En un colegio se organizan competencias en los deportes de atletismo, gimnasia y natación. De los cuales 200 participan en atletismo, 180 en gimnasia, 240 en natación, 300 en atletismo o gimnasia, 40 en atletismo y gimnasia pero no en natación y 80 solo en natación. ¿Cuántos participan en los 3 deportes? A) 30 B) 50 C) 60 D) 20 E) 40 12. En un aula de 50 alumnos, aprueban Matemática 30 de ellos, Física también 30, Química 35, Matemática y Física 18, Física y Química 19, Matemática y Química 20, y 10 los 3 cursos. ¿Cuántos no aprueban ningún curso? A) 2 B) 5 C) 3 D) 1 E) 4 13. De 200 turistas se sabe: • 64 son norteamericanos. • 86 son europeos. • 90 son sudamericanos. De estos últimos, 30 tenían también nacionalidad norteamericana y 10 nacionalidad europea. ¿Cuán- tos de los que no son europeos tampoco son nor- teamericanos ni sudamericanos? A) 30 B) 26 C) 28 D) 36 E) 40 Sean los conjuntos: A = {x + 1 / x ! N; x < 30} B = {x es par / x ! A} C = {x = k2 / x ! B / k ! Z} Calcula la cantidad de subconjuntos binarios de C. 14. De un grupo de personas que venden camisas, polos, pantalones y chompas se sabe que: • Ningún vendedor de camisas, vende pantalones. • 6 solo venden chompas. • 15 solo venden camisas. • 23 venden chompas o pantalones pero no polos. • Ninguno de los que venden polos venden camisas. • 8 venden solo pantalones. • 49 no venden chompas. ¿Cuántos vendedores habían en total si 2 vendían cami- sas y chompas? A) 58 B) 64 C) 60 D) 54 E) 70 1. C 2. D 3. A 4. E 5. B 6. B 7. D 8. E 9. A 10. C 11. E 12. A 13. B 14. B Rpta.: 1
- 243. Refuerza practicando 243 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 NIVEL 1 Expresa por extensión los siguientes conjuntos: 1 A = {2x + 1 / x ! N / 1 # x < 3} A) {1; 2; 3} B) {5} C) {3} D) {3; 5; 7} E) {3; 5} 2 B = {x2 - 1 / x ! N / -1 # x < 2} A) {-1; 0; 1; 2} B) {-1; 1} C) {-1; 0} D) {-1} E) {-1; 0; 1} 3 C = {2x - 1 / x ! N / x # 9 / x = ° 3} A) {-1; 5; 11} B) {5; 11; 17} C) {-1; 5} D) {-1; 5; 11; 17} E) {0; 3; 6, 9} ¿A qué operación de conjuntos corresponde los siguientes gráficos? 4 A C B A) (B + C) - A B) (A + B) - C C) (A + C) - B D) (A T B) - C E) (A , B) - C 5 A C B A) (A , C) - B B) (A T B) - C C) (B T C) - A D) (A , B) - C E) (A + B) - C 6 A C B A) (B + C) + AC B) (A + C) + CC C) (A T B)C + C D) (A + B) + CC E) CC , (A , B) 7 A C B A) (B , C)C - A B) (A + B) - B C) (A T B) - C D) (A , B)C + C E) (A , B) - (A - C)
- 244. 244 Intelectum Evolución 3.° 8 A C B A) (A + B) - (B , C) B) (A + B)C - B C) (A T B)C - C D) (A , B) - C E) (A + B)C + (C , A) 9 Dado el conjunto: A = {x2 + 1 / x ! Z; -3 # x < 3} Calcula la suma de sus elementos. A) 18 B) 10 C) 12 D) 15 E) 16 10 Dado: A = {2; 2; 3; 2; 3} ¿Cuántos subconjuntos posee? A) 8 B) 4 C) 6 D) 7 E) 5 NIVEL 2 11 Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 5; 7} B = {2; 3; 4; 7; 9} Calcula: n(A T B) A) 3 B) 6 C) 4 D) 7 E) 5 El siguiente diagrama de Venn representa a los alumnos matriculados en una academia deportiva. De acuerdo a esta información responda las preguntas. Fútbol Natación 35 18 12 24 12 ¿Cuántos alumnos están inscritos en fútbol? A) 53 B) 55 C) 54 D) 35 E) 49 13 ¿Cuántos alumnos están inscritos en natación? A) 40 B) 45 C) 41 D) 42 E) 24 14 ¿Cuántos alumnos están inscritos en fútbol o natación? A) 80 B) 75 C) 70 D) 79 E) 77 15 ¿Cuántos alumnos están inscritos en fútbol y natación? A) 25 B) 18 C) 20 D) 22 E) 17 16 ¿Cuántos alumnos tiene la academia? A) 89 B) 85 C) 91 D) 84 E) 87
- 245. 245 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 17 ¿Cuántos alumnos están inscritos solo en natación? A) 18 B) 23 C) 19 D) 24 E) 20 18 ¿Cuántos no están inscritos en fútbol ni en natación? A) 13 B) 17 C) 15 D) 21 E) 12 19 Se han reunido 60 personas entre ingenieros y médicos. Concurrieron 42 ingenieros y 38 médicos. Es evidente que hay personas con las dos profesiones. ¿Cuántas son de estas? A) 20 B) 19 C) 22 D) 16 E) 23 20 En mi salón hay 48 estudiantes. De ellos 31 practican fulbito, 22 practican básquetbol y a 10 no les gusta los deportes con pelotas. ¿Cuántos practican solo uno de los deportes mencionados? A) 27 B) 23 C) 22 D) 26 E) 25 NIVEL 3 21 El 22% de una población tiene sus hijos en colegios particulares y el 60%, en colegios estatales. Hay padres que tienen parte de sus hijos en uno y otro tipo de colegio. Si el 30% de la población no tiene hijos o sus hijos no están en edad escolar. ¿Qué porcentaje de la población tiene sus hijos en ambos tipos de colegio? A) 12% B) 13% C) 10% D) 13% E) 11% 22 En una encuesta realizada en la ciudad, se sabe que al 76% de la población le gusta el pescado y al 83% el chancho. Si al 8% no le agrada ninguno de estos productos, ¿qué porcentaje de la población gusta solo de chancho? A) 18% B) 16% C) 15% D) 13% E) 20% 23 Si los conjuntos: A = {3x - 1; 8} B = {x2 + 1; 5y} son unitarios Calcula: x + y A) 1 B) 3 C) 4 D) 2 E) 5
- 246. 246 Intelectum Evolución 3.° 24 Si el conjunto A es unitario. A = {2a - 3; 4b - 5; a + b + 6} Calcula: a + b A) 32 B) 28 C) 29 D) 25 E) 20 25 ¿Quéregióndeldiagramacorrespondealresultado de la operación: (AC + B) - (B + C)? U A B C 4 5 1 2 3 A) 2 B) 5 C) 2 y 3 D) 3; 4 y 5 E) 1 y 6 26 El conjunto A tiene 15 subconjuntos propios. Calcula el cardinal de A. A) 5 B) 8 C) 2 D) 4 E) 1 y 6 27 Si A y B son dos conjuntos incluidos en U, tales que: n(A) = 15; n(B) = 17 y n(A + B) = 7. Halla n(A T B). A) 15 B) 10 C) 17 D) 16 E) 18 NIVEL 1 1. E 2. C 3. D 4. C 5. B 6. D 7. E 8. E 9. A 10. B NIVEL 2 11. C 12. A 13. D 14. E 15. B 16. A 17. D 18. E 19. A 20. B NIVEL 3 21. A 22. B 23. E 24. C 25. B 26. D 27. E 28. B 29. E 30. E Claves 28 n[P(A - B)] = 8 n[P(B - A)] = 16 n[P(A , B)] = 512 Halla: n[P(A + B)] A) 1 B) 4 C) 18 D) 5 E) 2 29 Si: A es un conjunto definido por: A = {b; 3; 7; 8; {8}; {5; 7}; {1; 3; 8}}, indica qué alternativa es incorrecta. A) b ! A B) {b} 1 A C) {5; 7} ! A D) {7; 8} 1 A E) {{5; 7}; {8}} ! A 30 Dado el conjunto: A = {a; b; {a; b}; {f}; c}, indica qué alternativa es incorrecta. A) {c} 1 A B) {f} ! A C) {a; b} ! A D) {a; b; c} 1 A E) {a; b} j A
- 247. 247 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 Psicotécnico DEFINICIÓN Los test psicotécnicos son un instrumento para explorar y clasificar el nivel de desarrollo de las capacidades y aptitudes. Entre las aptitudes a desarrollar tenemos: • Aptitud numérica. • Memoria • Análisis • Razonamiento, entre otros. Veamos a continuación las siguientes aplicaciones para poner en práctica algunas de ellas. SECUENCIAS GRÁFICAS Están formadas por figuras ordenadas de acuerdo a criterios lógicos. ROTACIÓN DE FIGURAS Consiste en fijar un punto cualquiera en el plano y tomar otro punto en la figura, haciéndolo rotar a este, un ángulo determinado. Ejemplo: Si la figura 1 se rota 90° sobre su centro en sentido horario y luego se traslada sobre la figura 2, ¿qué figura resulta de esta unión? Fig. 1 Fig. 2 Resolución: Rotaremos la figura 1, 90° en sentido horario, luego la trasladamos sobre la figura 2. 90° & Respuesta + = Ejemplo: ¿Qué figura sigue? Resolución: Analizando las figuras, se nota que rotan 90° en sentido antihorario, la bolita interior cambia de lugar entre los dos triángulos pequeños y la sombra rota en sentido horario. ` La figura que sigue es: Veamos una aplicación: ¿Qué ficha continúa? Resolución: + 2 + 2 2 4 5 4 6 6 0 1 3 1 + 2 + 2 ` La ficha que continúa es: DOMINÓ Para ejercicios de razona- miento se asocia las fichas de dominó de tal forma que se represente sucesiones, analogías, etc. Observación Para los problemas que in- volucra dominó se trabaja en base 7. Atención Traslación es el movimiento de una figura de un lugar a otro.
- 248. Problemas resueltos Intelectum Evolución 3.° 248 1 ¿Qué figura continúa? ; ; ; ... Resolución: Nos damos cuenta que el número de lados de cada figura va aumentando de uno en uno, y dentro de ellas hay una circunferencia que va alternando su sombreado. Por lo tanto, la figura que continúa es: 2 ¿Qué figura no guarda relación con las demás? A) B) C) D) Resolución: Nos damos cuenta de que 4 figuras tienen to- das sus flechas en un mismo sentido, menos la tercera. La figura que no guarda relación es: 3 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... Resolución: Las figuras van girando en sentido horario; por lo tanto, la figura que sigue es: 4 ¿Qué figura no corresponde con las demás? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Resolución: Podemos observar de que todas las figuras son las mismas, solamente han girado, a excepción de la figura número 3, la cual ha dado un giro en el espacio. 5 ¿Qué figura no guarda relación con las demás? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Resolución: Todas las figuras tienen cuatro regiones a ex- cepción de la figura 3, la cual tiene siete re- giones. 6 ¿Qué figura continúa? ; ; ; ; ... Resolución: De una figura a otra el número de triángulos disminuye de 1 en 1. Entonces, la figura que sigue es:
- 249. 249 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 7 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... Resolución: Nos podemos dar cuenta que de una figura a otra las áreas sombreadas giran en sentido an- tihorario una posición. Por lo tanto, la figura que continúa es: 8 De las siguientes figuras, ¿cuál no tiene relación con las demás? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 Resolución: De las cinco figuras podemos observar que los puntos unidos por cada línea son vértices o puntos medios de los lados. La figura 4 tiene dos líneas que no unen pun- tos medios ni vértices, siendo esta la que no guarda relación con las demás. 9 ¿Qué fígura es la que continúa? ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) Resolución: El triángulo sombreado gira en sentido horario. De la primera a la segunda figura avanzó 1 posición; de la segunda a la tercera avanzó 2 posiciones; de la tercera a la cuarta avanzó 3 posiciones. Por lo tanto, de la cuarta a la quinta figura avanzará 4 posiciones, resultando la siguiente figura. Alternativa A. 10 Halla la figura que sigue en: ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) Resolución: Se observa que el recuadro sombreado de cada una de las primeras columnas de los elementos de la sucesión se desplaza hacia abajo de la siguiente manera: + 1 + 2 + 3 Analicemos ahora el desplazamiento del recuadro sombreado en las segundas columnas: + 3 + 4 + 2 Por lo tanto, la figura que continúa es: Alternativa A.
- 250. Actividades de razonamiento 250 Intelectum Evolución 3.° 1. ¿Qué figura continúa? ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 2. Delassiguientesfichas,¿cuálesdebenserinvertidas para que la suma de los puntos de la parte superior sea el triple de la suma de los puntos de la parte inferior? 1 2 3 4 5 A) 2 y 4 B) 1 y 5 C) 2 y 3 D) 3 y 4 E) 1 y 2 3. ¿Por lo menos cuántos de los círculos numerados deben ser cambiados de posición para que el resultado sea 60? {[( 12 - 3 ) + 8 ] ' 2 } Ç 5 A) 5 B) 2 C) 1 D) 3 E) 4 4. ¿Por lo menos cuántos recuadros numerados deben ser cambiados de posición para que el resultado sea el mayor entero posible? {[( 4 + 1 ) - 2 ] Ç 5 } ' 3 A) 4 B) 0 C) 2 D) 3 E) 1 5. Completa la sucesión. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 6. Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 7. ¿Qué figura no corresponde con las demás? Fig. 1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4 Fig. 5 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 8. ¿Qué figura no corresponde al grupo? Fig. 1 Fig.2 Fig.3 Fig. 4 Fig. 5 A) 5 B) 2 C) 3 D) 4 E) 1
- 251. Claves Reto RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 251 9. De las siguientes figuras, ¿cuál no tiene relación con las demás? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 A) 1 B) 3 C) 2 D) 4 E) 5 10. ¿Qué figura no guarda relación con las demás? Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5 A) 1 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3 11. Halla la figura que continúa. ; ; ; ... A) B) C) D) E) 12. Halla la suma de los números que van en el último dominó. A) 6 B) 7 C) 5 D) 4 E) 8 13. ¿Qué figura continúa en la sucesión? ; ; ; ... A) B) C) D) E) ¿Qué figura sigue? ; ; ; ... A) B) C) D) E) 14. ¿Qué figura continúa? A) B) C) D) E) 1. D 2. E 3. B 4. C 5. C 6. A 7. C 8. B 9. E 10. D 11. B 12. B 13. C 14. C Rpta.: E
- 252. Refuerza practicando 252 Intelectum Evolución 3.° NIVEL 1 1 ¿Qué figura no guarda relación con las demás? A) B) C) D) E) 2 Indica la figura que continúa. A) B) C) D) E) 3 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 4 ¿Cuál es la figura que continúa? ; ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 5 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 6 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 7 Completa la sucesión de figuras. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E)
- 253. 253 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 NIVEL 2 8 Halla el siguiente elemento de la sucesión: O3D, P5E, R7G,... A) S9H B) 79K C) T11IL D) U9J E) U9K 9 ¿Qué figura no guarda relación con las demás? A) B) C) D) E) 10 Halla la figura que falta. ? A) B) C) D) E) 11 Halla la figura que no guarda relación con las demás. A) B) C) D) E) 12 Señala la alternativa que continúa en la siguiente sucesión gráfica. ; ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 13 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 14 Halla el término que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E)
- 254. 254 Intelectum Evolución 3.° 15 Indica la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) NIVEL 3 16 Halla la figura que continúa. ; ; ; ; ... A) B) C) D) E) 17 Si se cumple: = Calcula: A) B) C) D) E) 18 es a es a: entonces A) B) C) D) E) 19 es a es a: como A) B) C) D) E) 20 Señala la alternativa que continúa en la siguiente serie gráfica. A) B) C) D) E)
- 255. 255 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 21 En la siguiente pregunta, completa la sucesión de figuras. A) B) C) D) E) 22 ¿Cuál es la figura que no tiene relación con las demás? (1) (2) (3) (4) (5) (6) A) 2 B) 6 C) 3 D) 4 E) 1 23 Señala la figura que continúa. A) B) C) D) E) 24 Indica la alternativa que contiene una figura que no es coherente con las demás. A) * B) * C) * D) * E) * 25 En la siguiente pregunta, completa la sucesión de figuras. A) B) C) D) E) NIVEL 1 1. E 2. A 3. E 4. A 5. A 6. D 7. C NIVEL 2 8. D 9. B 10. C 11. D 12. D 13. A 14. D 15. A NIVEL 3 16. C 17. D 18. A 19. E 20. E 21. B 22. B 23. D 24. E 25. C Claves
- 256. Este libro se terminó de imprimir en los talleres gráficos de Aníbal Paredes Editor S.A.C. Calle San Carlos, mz. B lote 5, urb. Santa Marta, Lima, ATE RUC 20538732941