![t = Li + L2
cruce V + v
1 2
Reemplazando: t = 30 m +25 m
cruce 15 mIs + 5 mIs
55m
tcruce = 20 mIs = 2,75 S
o Un auto debe hacer cierto recorrido en 4 h. Una
hora después de iniciado el recorrido aumentó su
rapidez en 16 krn/h, lo que le permite llegar 1 h
antes. ¿Cuál fue la distancia recorrida?
Resolución:
4h
1---- - - - X-------1
Del gráfico:
I di = V 1x = di + d2 = 3v + 32 (1)
d2
=2(v + 16) J oo.
x =4v oo. (11)
Reemplazamos (11) en (1):
4v = 3v + 32
v = 32 km/h
:. x = 4(32) = 128 km
• Una lancha navega en un río a favor de la corriente
de modo que avanza a razón de 48 km/h y cuando
va en sentido contrario lo hace a 20 km/h. ¿A qué
velocidad navegará en una laguna?
Resolución:
-------
De los datos:
A favor de la corriente => V = vb + vr
En contra de la corriente => V = vb - vr
Reemplazamos:
48 =vb + v, I
20=vb- vr (+)
68 = 2vb
=> vb = 34 km/h
e Dos ciclistas separados por una distancia de 120 km
deben partir a un mismo tiempo. Si avanzan en un
mismo sentido, se encuentran al cabo de 8 h; si lo
hacen en sentido contrario, uno alcanza al otro al
cabo de 5 h. Lavelocidad, en km/h del más veloz es:
Resolución:
Si avanzan en un mismo sentido, podemos I
aplicar tiempo de alcance:
[ t A = Vi ~v2
]
Reemplazamos: 8 h = 120 km
vi + v2
Vi - v2 = 15 km/h oo. (1)
Si avanzan en sentido contrario, podemos apli-
car tiempo de encuentro:
[
tE= _ .::::..
d-
vi + v2
Reemplazamos: 5 h = 120 km
vi + v2
Vi + v2 = 24 km/h oo . (11)
De (1) Y(11): vi = 19,5 km/h
l
v2 = 4,5 km/h
: . La velocidad d_el m~s_v~~=-e~19,5 km/h.
o En una carrera, un ciclista conduce a 20 mIs y llegó
a la meta 4 s antes que otro. Si los tiempos emplea-
dos por ambos suman 28 s, ¿cuál fue la velocidad
de este último?
Resolución:
I Según los datos:
Vi = 20 mIs v2= v
ti = X - 4 t 2= X
'--,---J '-v-'
Suman 28 s
x - 4 + x=28
2x = 32
x= 16 s
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 31](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-31-320.jpg)
![,,'~
~.! :-~
!: ':,~ ~
ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ
Horario
4 min o 24°
3mino18°
1,5 min o 9°
Analicemos el recorrido del horario y el minutero:
Recorrido
del minutero
Recorrido
del horario
...
Cada vez que el minutero
avanza una cantidad en mi-
nutos, entonces el horario
avanza en minutos la docea-
va parte o también la mitad
de dicha cantidad, pero en
grados.
Ejemplo:
Minutero
48 min
36 min
18 min
60 min
30 min
24 min
12 min
mmin
5 min o 30°
2,5 min 015°
2 min o 12°
1 min o 6°
(m/12)min o (rn/Z)"
Ejemplo:
Halla el ángulo formado por las manecillas del reloj cuando son las 5:40.
Para esta clase de
problemas se recomienda
analizar a partir de la hora
exacta a la hora indicada.
Cuando el horario marca las
12 h se toma H = O.
Ejemplo:
¿Qué ángulo forman las
agujas del reloj a las 12:24?
M =24 ; H =O
e= 1; (M) - 30(H)
e= 1; (24) - 30(0)
e= 132°
Hora
exacta
1:00
3:00
5:00
Ejemplo:
Hora
indicada
1:28
3:17
5:23
20° + e= 90°
~e = 70°
• a=(~0)0~a=20°
• a + e= 30°+ 30° + 30°
Resolución:
Gráficamente:
Engeneral:
Sea la hora H: M
e:el ángulo que forman las manecillas del reloj
• Cuando el horario adelanta al minutero:
[e= 30H -lf-M l
• Cuando el minutero adelanta al horario:
[e= lf-M - 30H ]
En el ejemplo anterior usando la segunda relación (ya que el minutero adelanta al
horario), se tiene:
e= 11M - 30H
2
e= 1
21
(40) - 30(5)
e= 220 -150
~e = 70°
• Cuando las manecillas del
reloj se oponen, el ángulo
que forman es 180°.
• Cuando las manecillas del
reloj se superponen, el
ángulo que forman es O°.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 41](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-41-320.jpg)
![3.er
Paso: los números fuera del cuadrado ingresarán en forma simétrica en el lado
opuesto.
Ejemplo:
Distribuir los números dell al 9 en un cuadrado mágico.
Distribuye los números del 1
al 25.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
7
-
- ~'W
4
3 9 15
12 8 14 201
111 7 13 19 1251
16 12 18 241
11 17 23
16 22
- f - f-
~
Método de las x (cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4)
Ejemplo:
Distribuye los números dell al16 en un cuadrado mágico:
L." Paso: ubique los números desde la casilla superior izquierda y en orden ascendente.
2: Paso: divide en sub cuadrados 4 x 4 y traza una equis (Xl en cada sub cuadrado.
3.er
Paso: los números tocados por las equis se intercambian en forma simétrica con
respecto al centro del cuadrado.
3 16 9 22 15
20 8 21 14 2
7 25 13 1 19
24 12 5 18 6
11 4 17 10 23
Distribuye los números del 1
al 64.
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 15 1
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS
De orden 3
• En un cuadrado mágico de orden 3 la suma mágica o constante mágica es tres
veces el término central.
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 1920 21 2223 24
25 2627 28 29 3031 32
3334 3536 3738 39 40
41 42 43 44 45 4647 48
49 5051 5253 54 55 56
57 58 5960 61 62 6364
5= 3e
• El número ubicado en cada vértice de un cuadrado mágico de orden 3 es la
semisuma de los dos números que están en contacto con su vértice opuesto.
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 1351 50 16
1747 46 20 21 43 42 24
40 26 2737 3630 31 33
3234 3529 2838 3925
41 23 2244 45 19 18 48
49 15 14 5253 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
a b e
d e f
g h i
[ a = h ; f]
[ c = d ; h]
[ g = b ; f]
[ i = b;d ]
Sabemos que:
S = Sumatotal
3
También:
Luego:
e = Sumatotal
9
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 61](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-61-320.jpg)
![Recuerda
[ S=x+y+z+w ]
... 5
... 5
... 5
... 5
x y
z w
~
b
2a
a+b -+ Aquí no ~e ubica el
mayor ni el menor.
De orden 4
• En un cuadrado mágico de orden 4, los números ubicados en los vértices es igual a
la suma mágica.
• Entodo cuadrado mágico de orden 3, el menor y el mayor de los números se
encuentran en los lados laterales no esquineros del cuadrado.
-+ 5
-+ 5
-+ 5
a b e
d e f
9 h i
En todo cuadrado rnaqico
de orden 3 el número que se
ubica en la casilla central es
la semisuma de los números
ubicados en dos casillas
simétricas respecto a dicha
casilla central.
Veamos algunos ejemplos:
1. En el siguiente cuadrado mágico,
distribuye los números del 1 al 9.
Halla el valor de (a + b).
Resolución:
2. Con los 16 primeros números
impa res se forma un cuadrado
mágico. Determina la suma de
los números ubicados en la casilla
sombreada.
-+ 5
En todo cuadrado rnaqrco
de orden 4 la suma de los
números que se ubican en
las casillas centrales es igual
a la constante mágica.
a b
e d
-+ 5
-+ 5
-+ 5
Laconstante mágica es "S":
35 = 1 + 2 + 3 + ... + 9
35 =45
5=15
Entonces, el término central es:
e =~=J2=5
3 3
Luego: 7 + 5 + b = 15
12 + b = 15
b=3
Resolución:
La suma de los números ubicados
en la casilla sombreada es igual a la
constante mágica.
Los números a distribuir son:
1; 3; 5; 7; ...; 31
8 =a +b +c +d
También : 9 + 5 + a = 15
14 + a = 15
a=l
a+b=3+1=4
Luego: 45 = 1 + 3 + 5 + ... + 31
45= 162
45 = 256
.'. S =64
62 Intelectum Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-62-320.jpg)
![@ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado
mágico. Halla el valor de x + y + z.
@ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al
distribuir los 9 primeros múltiplos de 3, excepto O,
calcula m + n.
A) 16 B) 15
3 z
17 x Y
7 5 15
C)21 D) 12 E) 18
A) 24 B)27 C) 30 D)25 E) 22
@ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado
mágico. Halla el valor de a + b + c.
@ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al
distribuir los números pares del 6 al 22, calcula
a + b.
~
DiO A) 28 B) 30
4 14 12
e b 2
a 16
C)32 D)38 E)36
A) 36 B)40 C) 32 D)30 E)38
@ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado
mágico. Halla el valor de x + y + z.
@ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al
distribuir los números impares del 11 al 27, calcula
m - n.
~
[H]
A) 48 B) 52
13 23 21
27 x Y
17 z
C) 55 D)40 E)50
A)8 B)4 C)5 D)6 E) 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 69](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-69-320.jpg)
![Problemas
O Si:
m án =m2
- mn
a.b =ab - b
2
Calcula: (4L12).{lL1 - 2)
Resolución:
• (4L12) = 42- 4 .2
=16-8
= 8
Reemplazamos:
(4L12).{lL1 - 2)
8.3
8 .3 - 32
24 - 9
15
• (l L1 -2)=12
-1{-2)
=1+2
=3
Resolución:
Resolviendo cada paréntesis tenemos:
Primer paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : =1
Segundo paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : = 1
Tercer paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : = 1
Observamos que el resultado de cada
I paréntesis es el mismo.
Luego: {... ({{1 * 5)* 5) * 5) ... * 5) =1
({[{3* 5)* 6]* 6} ...)* 6
e Halla: E= ( r.=-) ( )
2L1 -15 + 6L10
Si: a * b = b 1 x L1 y = 2x + l
Resolución:
• Si: (: : )= ad - bc. Calcula: (1~!24 ~~;)
Resolución:
Primero desarrollamos el numerador:
(3 * 5) =5
[5 * 6] =6
{6 * 6} = 6
6 *6 =6
Luego: (...{[{3 * 5) * 6] ...} * 6 = 6
Desarrollamos el denominador:
2L115= 2(2) + 152
= 4 + 5 =9
6L10 = 2(6) + 0
2
= 12
Entonces : (2L1f5) + (6L10) = 9 + 12 = 21
Reemplazamos: E= 2
6
1 = ;
3~;) = 1024 . 2- 7
_ 343 . r 2
2 =2 10 . r7 _ 73 . r 2
=2
3
-7
= 8 -7
=1
(
1024
r 2
Calcula: 0 -@
Resolución:
Primero calculamos: 0 y 0
m = 7 (impar) => 0' = 7 + 5 = 11. = 6
!...J 2 2
m = 6 (par) => f6 = 6 + 4 =.1Q. = 5
V 2 2
Entonces: 0 - @ = 0 - 0
Ahora calculamos: 0 y 0
m = 6 (par) => 0 = 6 + 4 = 10 = 5
2 2
m = 5 (impar) => f5 = 5 + 5 =.1Q. = 5
'-::V 2 2
.'· 0 - @ = 0 - 0 = 5 - 5 = 0
O Si:
{
m + 5 . si m es impar
@)= 2 '
m + 4 . si m es par
2 '
Calcula:
(...{{{1 * 5) * 5) * 5) ... * 5)
,
,
10 operadores
O Si: 0 =2x+3
101 =4x - 3
Calcula : 0
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 75](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-75-320.jpg)
![Resolución :
20 + 3 =4x - 3
20=4x-6
0 = 2X- 3
Luego: (j) = 2(7}- 3 = 14 - 3 = 11
=) 0 = 1 = 2(11} - 3 = 22 - 3 = 19
~ - ----- -----
Reemplazamos: M = A -36
~
M = 1
- 3 + 9 - 21 - 36 M = 42 - 36
M = m-36 M = 16 - 36
M =-20
o Se define los operadores ~ y V de la siguiente
manera: a ~ b = ¡(a + b)2; a :::: b 1 a V b = 3
fab
ab ; a < b
Entonces el valor de (2 ~ 3)'1(5 ~ I), es:
Resolución :
o Si: @ + 8 = 20 - 8 ,halla el valor de :
E= CD+ 0+ 0+ ... + @>+ ~
Resoluc ión:
Sabemos que: 8 + @ + 8 = 20;
entonces:
E = CD + 0+ G?+,®+ ®+ ~+"'+,@+ ~+ ~ I
, 20 io 20 I
Como hay 54 = 18 grupos de 3 operaciones,
3
con números consecutivos y cada uno suma 20
=) E= 18 X 20 = 360.
e Dados :
A = Ip + m + n 1 1 m-k
2
=o
~
Halla el valor de:
(2 ~ 3) = 2(3}= 6
(5 ~ 1) =(5 + 1}2
= 6
2
= 36
@!) Si:
8 =
4
X
-2
Halla: 0
Resolución:
Reemplazamos:
(2 ~ 3) V (5 ~ 1)
6 '1 62
3J6 x 62
= 6
& . = 12X+ 2
Resolución :
íkJ -_ k2
Se observa que: ~
Calculamos:
A = 11 +1 +1 1= w
~
Luego: W=3
2
=9
A = IS+4-3 1=[]]
~
Luego: W= 62
= 36
76 Inte/ecturn Evolución 4. o
Hacemos un cambio de variable:
x +4=a =) x=a-4
A = A =4(a -4} -2
~ ~
6 = 4a - 18
Luego: & . = 12x + 2
40 - 18 = 12x + 2
40 = 12x + 20 =) 0 = 3x + 5
Finalmente:
0 = 3(4) + 5 = 17](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-76-320.jpg)
![9. Si: 1
3x + 11= 6x - 1
Halla: m
10. Se define la operación:
a 7 b = ab + b - a
Según esto, halla x en: 5 7x = (7 74)7 10
A)2 B)-l C)10 D)3 E) O A)50 B)20 C)40 D) 10 E)30
2
11. Si: m * n = .!!L + 3
2
Calcula: B = 4 *(5 *(6 * ...))
I
,
2013 operadores
12. Si a # b = Ja
2
-1 ; si a ~ b
1
b
2
- a ; si a < b
Calcula: E=5#J4#ID
A) 11 B) 14 C) 16 D)12 E)13 A) 18 B) 16 C) 24 D)20 E) 14
13. Se define el operador:
~ =(a _1)2
Hallaxen: A =64
14. Sise sabe que: 0 = 2x + 1
Además: IX+ 21= 3 8
Calcula: [[] + [2]
A)4 B)6 C)7 D)3 E)5 A) 68 B) 72 C) 75 D)70 E) 55
el ca
...; ..t Se define:
... ...
m = 0,125
ca u « u
CD ~
ai o -e- N
... ... ... "3 = 2,7
UJ u UJ ca
(i) = 6
12
65
.n cQ ....: cO
Calcula:
UJ el ca u E= @)+ Rpta.: 59
..: N ...; ..t
78 Inte/ectum Evolución 4 .o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-78-320.jpg)
![® Si:@] =a
2
+ 1 1 x * y =2x + y - 3
Calcula: [L!3J
(j) Si: a * b =2a + b.
Calcula: m =(3 * 2) * (4 * 5)
NNEL ,
CD Si:0= 6P~lS
Calcula: <g>
A) 16 B)14 C)lS
o Se define: m # n = 3m ~ 8n
Calcula: 10 # 4
D) 12 E) 13
A) 26
A) 25
B)SO
B) 19
C) 37
C) 29
D)82
D)31
E) 65
E) 17
A) 1 B)2 C) -2 D)-l E) 3
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 79](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-79-320.jpg)
![NNEL2
@ Si:@]=a+2 y &.= 0+3
Calcula: & + [Z]
A) 15 B) 16 C) 10
@ Si:
D)9 E) 13
@ Si: p(~)
A) 1
~ Píx) - P(y); calcula, :¡:l
B)-l C)2 D)-2 E) 1.-
2
32 * 28 = 16
43 * 12 = 15
32 * 21 = 9
Halla: (32 * 25) * 12
A) 6 B) 12 C)8 D) 11 E) 14
@ Si: F(x) = 2x - 1; reduce: F(x + 2) + F(-l)
A) 2x - 3 B) 1 - 2x C) O D) 2x E) 1
@ Halla: a + b
15 * * 16 = 60
12 * * 12 =36
20 * * 12 = 60
14 * * 20 =ab
@ si: ffi-3=P(P-1)
Halla: ,& + ,&
A) 36 B) 15 C) 23 D)38 E) 46
A) 10 B) 9 C)8 D)6 E)7
@ Si: $ a =31a - 1 1+ 8
lliJ =5b - 4
Calcula x en: 0 = $ 5
@ Si: x ~ y = (x + y)(i - xy + /)
Calcula: (2 ~ 1)~ (1 ~ 2)
A) 1008 B)1458
D)1718 E) 1415
C) 1615
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
@ Si:a*b=3(a+b)+1 y c ó d e c>- ~
Calcula: (8 * 2) ~ 30
@ Si:W=3x+6; y
lá l = 3X- 6
Calcula: A
A) 12 B) 28 C) 31 D)67 E) 101
A) 16 B)31 C) 32 D)18 E) 15
80 Int:elect:um Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-80-320.jpg)
![@) Si: [i±J] =x
2
+ 3x + 2
Halla x en : [ill] = 42
A)2 B) 1 C) O 0)3 E) 4
@ Se define:
o = 2x + 1; [02] = 3n
Calcula:
~
NIVEL 3
@ Si: 0 =x
2
- 1 Y =x(x + 2)
Calcula: (A + (2)(
A) 64 B) 49 C) 81 O) 36 E) 25
A) ro
O) fff
B) .fIT
E).ff2
@ Si: ~
a~ =2a; para a impar y
~a~ =a; para a par.
Calcula:
/
/
~ 9+&-M -&
@ Si: @= (x -6r 1
( )
@
Calcula: A= "'((
(
cff1®
f r
A) 01 B) 1
O) 3 E) 12501
C) 25
A)24 B) 16 C) 36 0)26 E) 18
@ Si: a # b = ( a
2b:
a
3sb ) b- a :f: O
Calcula: 5 # [5 # {S# (5 # (oo.)))]
A) 3 B) 2 C) 1 O) -1 E) -2
@ Se define enIN: @ = n - 9
Halla:
120 operadores O
@ Se define: w=
a
2
- 1 ; a > O
Además:Iffil=
a(a + 2).
Calcula: & +&-[l]
A)16 B)6 C)36 0)9 E) 81
A) 200
0)236
B)246
E) 248
C) 240
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 81](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-81-320.jpg)
![@ Si la operación !J. se define:
m fj. n = (m + n) Jm!J. n
@ Si: m @ n = 3m - 20, calcula:
A = 1
2
@ {2
2
@ {3
2
@ (4
2
@ ... (... )))))
, /
v
502
paréntesis
Calcula:
M= {-1!J.2)~
100 operadores
® Se define: [KIil = ~_1...
y x
Calcula el valor de E.
E={..{{(I20031
1
1)'20<l21
2f"o
1l31('20031
A)O
A)-20
D)99
B) 1 C)2
B) -17
E) 2500
D)3 E) 56
C) -15
A)O
D) 2003
2003
B) 1
E) -1
C) 2003
® Si: a * b = ~a + b)(a + .b) ...(a + b~
(a s b) veces
Calcula: E= [(a + b)*{a + b)]
@ Se define:
8 {2X- 1
x - 3 = 2x - 2
2x + 1
Halla:
; x :::;-l
-1 < x:::; 1
; 1 < x
A){a+b)a +b
C) (a + b)2(a + b)
E) (a + b)4(a + b)
B) 4{a + b)(a + b)2
D) (4{a + b)2)(a+ b)
A) 2 B)O C)1 D)-l E) 3
Si: w=x
2+2x
@ Calcula el valor de:
2003 circunferencias
~ = 35
A) 5
D) 52003
B) 15
E) 5555
C) 10
fr~ '
< 'C; /~ • •
u~ ... j u ~ ,Jt.-, • l ' .
NIVEL1 9. D 17. D 25. B
1.C NIVEl2 18. B 26. B
2. D 10. B 19. A 27. B
3.C 11. A 20. A 28. B
4. B 12. E NIVEl3 29. B
5. D 13. E 21. A 30. B
6.C 14. C 22. D 31. A
7. C 15. C 23. A 32. B
8.A 16. D 24. B 33. D
82 Int:e/ect:um Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-82-320.jpg)
![·...
Segmentos
Ángulos
Triángulos
n." de figuras _ n(n + 1)
geométricas - --
2-
Número de triángulos
Número de triángulos = n (n + 1)
2
Número de cuadriláteros
Cuadriláteros ~---l
Hexágonos
Octágonos
¿Cuántos cuadrados hay en
la figura?
1 2 3 ... m
2
3
n
Número de cuadriláteros = n (n + 1)
2
Número de cuadriláteros = m (m + 1) X n(n + 1)
2 2
Número de cuadrados
n." de o =
6(6 + 1)(2 (6) + 1) _ 91
6 -
1 2 3 oo. n
2
3
n
1 2 3 ... m
2
3
n
Número de cuadrados = n (n + 1) (2n + 1)
6
[ Número de cuadrados =m . n + (m - l)(n - 1) +...]
Número de cubos
n
' 6/ / /
/ 5/ / / / /
/ 4 / /
/ 3. / /
2 / /
1 2 3 4 5 6
2
3
4
5
6
Número de cubos =[n(n2
+ 1) r
84 Inte/ecturn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-84-320.jpg)
![• • "t:.~ ,"-;"~:~;
o _ ~~t""'" ' ¿~y~,"" ~ ~_
9. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura
después de trazar todas las diagonales?
10. Halla el número total de triángulos en la figura:
A) 30 B)28 C) 37 0)35 E) 32 A) 15 B)18 C) 10 0)20 E) 13
11. De la siguiente figura si:
C =n." de cubos
T =n." de paralelepípedos
Halla T - C.
/V
/ V
/
/ V
V
/
12. ¿Cuántos paralelepípedos hay?
./'./'
./'
...;/v"""'"
.......V .........
V
.......V .........
VV
.......
A) 200 B)180 C) 170 0)195 E)216 A) 450 B)400 C)500 0)550 E) 600
13. ¿Cuántos sectores circulares hay en la siguiente
figura?
14. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura?
1 2 3
8
9
oo=l'-------Joo 10
A)22 B) 18 C)28 0)20 E) 21 A)54 B)43 C)44 0)55 E)45
« u
..; .¡
...... ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura?
el « a:l UJ
oi o ..... N
..........
UJ ce o u
or= N M ..¡.
n n- 1
2
W:::::=--
__--I 1
¡r-R
-p
-ta
-.:
-(-
n-
+-
2)-
2
(n
--
-l)"']
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 89
-----~---~------------------------ --- - --](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-89-320.jpg)
![NIVEL'
CD ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en total
en el siguiente gráfico?
A)8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
® Calcula la cantidad de triángulos que hay en la
siguiente figura:
A) 13
B) 12
C)11
D)15
E) 14
® ¿Cuántos paralelogramos hay en la figura?
A)50
B)60
C)45
D)30
E)20
c
I
1
1
E
B D
L 1
A F
A) 6
B)7
C)13
D)9
E) 16
o Calcula la cantidad de cuadriláteros convexos en
el gráfico.
(]) ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
B
o ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en el
siguiente gráfico?
A) 9
B)7
C) 10
D) 12
E) 14
A' --'--- --'-- ---'>,C
A)7
B) 8
C)9
D)10
E) 11
A)25
B)28
C) 29
D)32
E) 20
8) Calcula el total de cuadriláteros en la figura.
A)32
B)28
C) 31
D)24
E)30
® ¿Cuántos triángulos hay, en total, en la siguiente
figura?
~---,.---,..
90 Int:e/ect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-90-320.jpg)
![1 1
i~~ x 140% = 210%
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
Ejemplos:
1. ¿A qué descuento único equivalen 3 descuentos sucesivos del 20%, 30% Y50%?
Resolución:
-20% -30% -50%
1 1 1
1
80
00
x :000 x 50% = 28%
Descuento único: 100% - 28% = 72%
2. ¿A qué aumento único equivale 3 aumentos sucesivos del 20%, 25% Y40%
Resolución:
+20% +25% +40%
1
120
- - x
100
Aumento único : 210% - 100% = 110%
VARIACiÓN PORCENTUAL
Ejemplo :
Si el radio de un círculo aumenta en 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área?
Resolución:
Denotamos con (+) cuando
nos referimos a aumentos
y con (-) cuando nos referi-
mos a descuentos .
Ejemplo:
+ 25%
4Aumento
- 30%
4Disminución
...
En este ejemplo se observa
que las constantes como 11
se pueden dejar de colocar
en el cálculo del área inicial
y final, y el resultado de
la variación porcentual es
el mismo. Es decir que
la variación del área solo
depende de ~.
Inicio Final
A inicio = n(100%)2 A final = n(200%)2
=n . 100% = n . 400%
~
El área aumenta en 300%
APLlCACION ES COMERCIALES
Un comerciante compra un electrodoméstico en 5/.500 (precio de costo: Pcl y decide
ofrecerlo a sus clientes en 5/. 600 (precio fijado: PF). Pero lo vende en 5/.580 (precio de
venta: Pv), es decir hace una rebaja de (5/.600 - 5/.580 = 5/.20) Yobtiene una ganancia
de 5/.80
Precio fijado: 5/.600
Precio de costo Ganancia Rebaja
5/.500 5/.80 5/.20
, , ,
Precio de venta : 5/.580
• El precio fijado es llamado
también precio de lista o
precio de venta al público.
El tanto por ciento de la
ganancia se toma con
respecto a precio de cos-
to, así también el tanto
por ciento del descuento
se toma con respecto al
precio fijado.
5e observa que:
También:
[ pv = Pc + G]
[ Pv =PF - Rl
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 105](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-105-320.jpg)
![NNEL'
o Un pintor emplea 16 horas para pintar una
habitación. ¿Cuánto tiempo emplearán 4 pintores?
A) 9 horas
D) 10 horas
B) 6 horas
E) 4 horas
C) 8 horas
Calcula "x", si la magnitud A es directamente
proporcional con B
2
.
~
~
(3) Si10 obreros realizan una obra en 25 días, ¿cuántos
días emplean 5 obreros en las mismas condiciones
de trabajo para hacer la misma obra?
A)4
D)2
B) 6
E) 8
C) 10
G) Si 80 kg de azúcar cuestan 5/. 240, ¿cuánto cuestan
60 kg de azúcar de esa misma calidad?
(j) Calcula "x", si la magnitud A es inversamente
proporcional a .fB.
[ilili]
~
A) 7 días
D) 8 días
A) 5/.180
D) 5/.120
r
B) 5 días
E) 10 días
B)5/.200
E) 5/.250
C) 9 días
C) 5/.240
A)8
D)10
B)15
E) 12
C) 18
® Si A es DP a 3.fB, calcula "x".
~
~
G) Seis trabajadores han votado un desmonte en 15
horas. Cinco trabajadores, de igual rendimiento
que los anteriores, ¿en qué tiempo hubieran
hecho el mismo trabajo?
A)7
D)9
B)8
E) 12
C) 10
A) 13 horas
D) 17 horas
B) 16 horas
E) 18 horas
C) 20 horas
® Trabajando 9 horas, en un día un joven ha hecho
15 bancos. Al día siguiente se propone hacer 20
bancos, ¿cuántas horas debe trabajar?
® Si A
2
es DP a B, calcula "x".
~
~
A) 17 horas
D) 20 horas
B) 18 horas
E) 16 horas
C) 12 horas
A) 18
D)21
B) 22
E) 27
C) 20
120 Int:e/ect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-120-320.jpg)
![r!!J Orden de información
DEFINICiÓN
·. -
En una primera lectura del
problema, se reconocen los
sujetos y las características
que le corresponden , de esta
manera se puede elaborar el
cuadro de doble entrada.
Esnecesarioleervaríasveces
el enunciado para ir sacando
conclusiones que permitan
llenar el cuadro de doble en-
trada.
No olvidar, si se coloca [2],
el resto de la fila o columna
es 0 .
x
x
X
X
Este capítulo trata sobre aquellos tipos de problemas que engloban una serie de datos
aparentemente desordenados, pero que guardan entre sí un sentido lógico.
Estos pueden ser:
Ordenamiento por cuadros de doble entrada
Un cuadro de doble entrada sirve para organizar información que permita decidir la
característica propia que tiene cada sujeto de un grupo.
Ejemplo :
4 amigas se reúnen para celebrar el cumpleaños de una de ellas. Sus nombres son:
Andrea, Diana, Nadia y Vanessa. Sus ocupaciones son: chef, diseñadora, modelo y
estilista. No necesariamente en ese orden .
• La más joven es chef.
• Nadia es soltera y es menor que la modelo.
• Ladiseñadora es casada.
• Diana es la mayor de todas .
• Andrea juega tenis con la chef todos los jueves a las 7 p.m.
• Nadia y la más joven son primas.
• Vanessa no es estilista.
• Diana y la diseñadora han viajado juntas a Colombia en cierta oportunidad.
Indica la ocupación de cada una.
Resolución:
• Nadia es soltera y es menor que la modelo.
La diseñadora es casada.
Conclusión: Nadia no es diseñadora ni modelo.
Chef Diseñadora Modelo Estilista
Andrea
Diana
Nadia
X X
I
Vanessa
• La más joven es chef.
Diana es la mayor de todas.
Conclusión : Diana no es chef.
Chef Diseñadora Modelo Estilista
Andrea
Diana X
Nadia X X
Vanessa
124 Int:e/ect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-124-320.jpg)
![• Andrea juega tenis con la chef todos los jueves .
Conclusión: Andrea no es chef.
Chef Diseñadora Modelo Estilista
Andrea X
Diana X
Nadia X X
Vanessa
• Nadia y la más joven son primas.
La más joven es chef.
Conclusión : Nadia no es chef.
Chef Diseñadora Modelo Estilista
Andrea X
Diana X
Nadia X X X
Vanessa ./ X X X
• Diana y la diseñadora han viajado juntas a Colombia en una oportunidad.
Conclusión : Diana no es diseñadora.
Chef Diseñadora Modelo Estilista
Andrea X ./ X X
Diana X X ./ X
Nadia X X X ./
Vanessa ./ X X X
Finalmente:
• Andrea - diseñadora
• Diana - modelo
• Nadia - estilista
• Vanessa - chef
Ordenamiento circular
Seaplica para distribuir a personas alrededor de una mesa.
Ejemplos:
1. Seisamigos salen a comery se sientan en una mesa circular con 6 asientos distribuidos
simétricamente. Se sabe que :
• Andrés se sienta junto y a la derecha de Beatriz y frente a Cirilo.
• Beatriz no se sienta junto a Dimas.
• Cirilo no se sienta junto a Edwin .
• Flavia solo comió una ensalada mixta.
Indica quién se sentó junto y a la derecha de Cirilo .
No olvidar si en una fila o
columna queda un cuadro
blanco y el resto es 0 .
entonces, el cuadro debe ser
[2].
x
X
X
../
x
x
d: derecha
i: izquierda
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 125](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-125-320.jpg)
![• De iv) la que juega ajedrez ve comedias,
entonces los que no juegan ajedrez (Anastasia
y Juana) no verán comedias.
Completamos el cuadro:
Juego Mascota Programa
N ' O
.2 Vl ro ]
Vl
"'6 e ro
e ro e
s .g e s ro 'O Q) u
c. :9 Q)
-o E 'E o ro o ro E E
.¡¡;
Q) ro Q)
'O ::>
o e c.. c.. ...J (!J ::>
<? o · O O Z O u ~
~
U O
O
Charo X X ./ X X X
Lourdes ./ X X X X X ./ X X
Anastasia X X ./ X X X
Juana X X X X
Juego Mascota Programa
N ' O
.2 Vl ro ]
Vl
"'6 e ro
Q)
ro e
s e e s ro 'O Q) u
-o 'E c. 'ü Q)
E o ro ~ o ro :g E E '¡¡;
Q) ro o e e, e, ...J (!J ::> ::>
<? O O O Z o u ~
~
U O
O
Charo X X X ./ X ./ X X X
Lourdes ./ X X X X X X ./ X X
Anastasia X X ./ X X ./ X X X X ./ X
Juana X ./ X X X X X X ./
(2) (2) ii
(2) iv
(2) (2) vi
(2) (2) viii
• De (vi) la que tiene al perro ve documentales
(Anastasia),
Completamos el cuadro:
(2) (2) ii
(2) @
(2) (2) vi
(2) (2) viii
®
o
®
a)Juana juega damas.
b)Charo tiene de mascota a un gato ,
• De (ii) la que juega monopolio (Charo) tiene
como mascota al gato.
• Completamos el cuadro:
• María está sentada a la derecha de Paula y
frente a Nadia. Existen 2 posibilidades:
Juego Mascota Programa
N ' O
,2 Vl ro ]
Q)
Vl
e "'6 e ro 'O e ro
-O
ro c. s e s 'ü Q) u
E 'E Q)
E
.¡¡;
o ro ~ o ro
s E
Q) ro o e e, ...J (!J ::> ::>
<? O o c.. O u ~
O
~
Z U O
O
Charo X X X ./ X X x lG() ./ X X X
Lourdes ./ X X X ./ X X X X ./ X X
Anastasia X X ./ X X ./ X X X X ./ X
Juana X ./ X X X X ./ X X X X ./
o 6 amigas se sientan alrededor de una mesa circular,
María, que está sentada a la derecha de Paula, se
encuentra frente a Nadia; Paula está frente a la que
está junto y a la derecha de Sofía, que está frente a
Rosa. ¿Quién está junto y a la derecha de Cinthia?
Resolución:
(2)viii
ii
(2) iv
(2) vi
(2)
(2)
(2)
(2)
• De (viii), la que juega damas ve musicales,
entonces los que no juegan damas (Anastasia
y Lourdes) no ven musicales.
Completamos el cuadro:
Juego Mascota Programa
N ' O
.2 Vl ro ]
Vl
"'6 e ro
~ ro e
s e e s ro 'O Q) u
C. 'ü Q)
-o E 'E o ro ~ o ro ~ E E '¡¡;
Q) ro o e c.. o, ...J (!J O ::> ::>
<? O O o Z O u ~
~
U O
O
Charo X X X ./ ./ X X X
Lourdes ./ X X X X X ./ X X
Anastasia X X ./ X X X ./ X
Juana X ./ X X X X X ./
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 129](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-129-320.jpg)
![Ejemplo:
Halla el término enésimo en: 40; 10; ~; ~; ...
Resolución:
10 5 5
2 8
<:.> <:> <:>
xl. xl. xl.
4 4 4
40
.. -
Toda sucesión alfabética no
tiene fin, pues si llega a la
Z, continúa A, después B,
luego C, es decir, se repite el
alfabeto, asi:
X; Y; Z; A; B; C...
1
t 1 = 40 1 q =-
4
(l)n
-l
:. t n =40 "4
SUCESIONES ALFABÉTICAS
Son sucesiones cuyos términos son letras que guardan una determinada ley de formación.
Ejemplos:
1. ¿Qué letra continúa en la sucesión B; L; E; O; H; S; K;...?
MNÑ PQR TUV
~~~
B;L ;E;O;H;S ;K; @
~~~
CD FG IJ
2. Determina el término que continúa, en: B; Y; F;T; J; O; ...
• •
Sentido convencional de
giro:
CDE GHI KLM
~~~
B ; Y ; F ; T ; J ; O ;@
~~
UVWX PQRS
Sentido )
antihorario SUCESIONES GRÁFICAS
Sentido
horario ) Son aquellas que están conformadas por figuras ordenadas de acuerdo a ciertos
criterios que determinan cada figura de la sucesión.
Ejemplos:
1. ¿Qué figura sigue en la sucesión?
2. ¿Qué figura continúa en la sucesión?
[2SJ
0 D ~
+o ~
- + ~D
_
- • D . ° . + •
J , J I · "
[2SJ
+ D
Respuesta: -
C] el[~l [2]...
Respuesta: 121
144 Int:e/ect:um Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-144-320.jpg)
![NIVEL'
CD ¿Qué número sigue en la sucesión?
13; 20; 28; 37; 47; ...
o ¿Qué número sigue en la sucesión?
60; 12; 3; 1; ...
A) 56
A) 1
B)60 C) 59
C).1
3
0)58 E) 63
J
.s:>
(j) Halla el término que continúa :
1. i. 3. 2'
2' '2' r ...
A) ~ B).L
2 2
E) .L
4
® ¿Qué número continúa?
1; 11; 21; 7; 17; 27; 13; 23; ...
C).i
3
® ¿Qué letra continúa en la sucesión?
K; M; Ñ; P; R; T; ...
A)39
0)33
B)49
E) 29
C) 59
G) Halla la suma de los dos términos que continúan :
-3; O; O; 2; 3; 4; 6; 6; ...
A)V
A) 16
B)W
B) 17
C)Q
C) 18
0)0
O) 19
E)O
E) 11
® Indica la figura que sigue:
El~;~;~;...
JO B)g q§
O) ~ E) [Q]
® ¿Qué número sigue en la sucesión?
1; 9; 12; 11; 7; ...
A)15 B) 12 C)1 O) 11 E)8
@ Halla el término enésimo de la siguiente sucesión:
x; 4; 11; 18; Y
® ¿Qué número sigue en la sucesión?
1; 2; 3; 5; 11; ...
A) 37-10
O) 7n - 10
B) 5n + 7
E) 7n - 4
C) 4n + 5
A)25
0)30
B)35
E) 20
C) 15
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 149](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-149-320.jpg)
![Atención
Ejemplo:
Halla el valor de S:
8=8 +2 +.1+.1
2 8
'--" '--" <:»
1 1 1
"4 "4"4
8 = 1~.1
4
. 8 =E.
.. 3
s= t1 + t2 + t3+oo.
-:» '-..Jf
Xq Xq
Luego: [ S ~ ---.!L
. 1-q
Entonces la serie es:
Series notables
1. Suma de los "n" primeros números naturales consecutivos.
_ n(n + 1)
S=1+2+3+4+ oo.+n 2
"n" términos
Serie geométrica decreciente infinita
Dada una sucesión decreciente infinita (la razón "q" / 0< [q] < 1)
t1; t2; t3; .oo
2. Suma de los "n" primeros números pares consecutivos.
• •
S = 2 + 4 + 6 + 8 + oo. + 2n = n(n + 1)
"n" términos
Para fines prácticos, el
último término se iguala a
2n, y despejando se obtiene
el valor de "n".
3. Suma de los "n" primeros números impares consecutivos.
S = 1 + 3 + 5 + 7 + oo. + (2n - 1) = n
2
"n" términos
Para fines prácticos. el
último término se iguala a
2n - 1 Yse despeja "n".
4. Suma de los cuadrados de los "n" primeros números naturales.
S = 12 + 22 + 32 + 42 + oo. + n2 = n (n + 1)(2n + 1)
6
"n" términos
Para fines prácticos, el
último término se iguala a n2
y se despeja "n".
5. Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales.
S =,13 + 2
3
+ 33,+ 43 + oo. + n,3 = rn (n2+1) r
"n" términos
Para fines prácticos, el
último término se iguala a n3
y se despeja "n".
6. Suma de los "n" primeros productos de dos números consecutivos.
S = 1 X 2 + 2 X3 + 3 X 4 + oo. + n(n + 1) = n (n + 1) (n + 2)
3
7. Suma de potencias.
[
S =1+ a+ a' + a3
+ a' + ...+ a" =a0+
1
_ 1
. a-1
8. Suma de los términos de una serie geométrica decreciente ilimitada.
S = t1 + t2 + t3 + t4 +oo.
<:« <:« <:«
Xq Xq Xq
[ S - '1 1
1-q
También:
8 = a + a2
+ a3
+ ... + an
a'' "1 _ a
8 = - - -
a -1
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 153](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-153-320.jpg)
![· , ,
~ ~ ~, "
".J¡~{;;" ~ ',," f
9. Halla "S" :
6 10 14 18
S =3"+9+2"7+81+'"
10. Halla el valor de M, en:
M =2 + 11 + 33 + 74 + 140 + oo.
20 sumandos
A) 13/3 B) 4 C)5 D) 12/5 E) 3
A) 33 200
D)38 500
B) 51200
E)45 640
C)44100
11. Determina la suma de las áreas de los infinitos
cuadradosformados como muestra la figura (el lado del
cuadrado es la mitad del lado del cuadrado anterior).
@
>--- 4a -----l
12. Halla el valor de S, si:
S =1 X 2 + 2 X S + 3 X 10 + 4 X 17 + ' oo + 10 X 101
A) 3500
D)4100
B)2800
E)3100
C)3080
13. Calcula:
20 12
¿ ¿8
k=lk =l
14. Calcula:
5-_1 2 3 4_ 30
- 2 x3 + 3 x 5 + 5 X 8 + 8 X 12 +... + 437 X 467
A)1920
D)3430
B) 1450
E) 2150
C) 2180
A) 911
412
D) .!
9
Calcula el valor de x; si:
B) 465
934
E) 121
331
C) 311
1217
n n
¿ (2k - 1)(2k + 1)] + n =x ¿k
2
k=l k =l
Rpta.: 4
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 159](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-159-320.jpg)
![Problemas
. . Halla »: en:
7 9 6
~ 6b
4 9 7 8 12 x
Resolución:
e Halla »: en:
12 8
B
5 1
Resolución:
.'. El número que falta es 136.
1.a
figura:
2.
a
figura:
3.
a
figura:
4 X 9 -7 = 29
7 X 8 - 9 = 47
12. x - 6 = 66
~ 12x =72 ~ x =6
1.a
figura: 9 X9-3 X3=72
2.a
figura: 8 X 7 - 2 X 4 = 48
3.a
figura: 12 X8-5 X1=2x+7
96 - 5 =2x + 7
84 = 2x ~ x = 42
. . Halla "x", en:
'c~:],
4 3
Resolución:
• Halla "x", en:
13 8
D
4 1
1.a
figura: (1 + 2 + 3 + 4) X 4 = 40
z.' figura: (2 + 3 + 5 + 7 + 4) X 5 = 105
3.a
figura: (3 + 5 + 7 + 9 + 2 + 1) X 6 =162
:. x = 162
. . Calcula "x" e "y", en:
Resolución:
1.a
figura:
2.
a
figura:
3.
a
figura:
.'. x=63
(8 + 4) X (9 - 6) =36
(9 + 2) X (8 - 7) =11
(13 + 8) X (4 - 1) =63
Resolución:
Los números que se ubican en la parte inferior
son primos.
Luego:
1.a
figura : 2
3
- 2 =6
2.a
figura : 33 - 2 = 25
3.a
figura : 53- 2 = 123
4.a
figura: 73 - 2 = 341
.'. x = 7 e y = 341
o ¿Qué número falta?
3 (13) 2
7 (11) 1
8 () 3
Resolución:
1.a
fila: 32+4=13
z.' fila: 7
1
+ 4 =11
3.
a
fila : 8
3
+ 4 =516
.'. El número que falta es 516.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 165](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-165-320.jpg)
![o ¿Qué número falta?
93 (64) 35
17 (47) 86
46 () 97
Resolución:
@!) ¿Qué número falta?
~ ~ ~
lA' 4
A' S
A'
2 5 50 1 3 4
La fila: 9; 3 =6
2.afila:
1;7 =4
3.a
fila: 4; 6 = 5
3+5 = 4
2
8+6 = 7
2
9+7 = 8
2
Resolución:
La figura:
z.'figura:
3.a
figura:
72-25=17
43
- 501
= 14
53 - 34
=44
:. El número que falta es 58.
o Halla "x"/ en:
:. El número que falta es 44.
o El número que falta es:
!
3
8 4
12
Resolución:
!
4 6
7 5
28
o ¿Qué número falta?
349 (37) 628
242 (12) 951
456 () 127
La figura:
z.'figura:
3.a
figura:
9 X 4 - 8 X 3 =12
14 X 5 - 7 X 6 =28
15 X 12 - 13x = 37
180 - 13x = 37
143 = 13x =:> X = 11
Resolución:
11 16 23 34 47 64 83 x
~~~~~~~
5 7 11 13 17 19 23
~~~~~~
2 4 2 4 2 4
x= 83 + 23 = 106
4D Encuentra el término que falta, en:
:. El número que falta es 24.
Resolución:
La fila: 3+9 =3
4
2.a fila: 2+2 =1
4
3.a
fila: 4~6 =2
6+8 = 7
2
9 + 1 = 2
5
1+7 = 4
2
~~~
8
@ (]) 0
10 15 24
Resolución:
Fig fi. 12 + 10 =.ll. = 11
..V. 12 - 10 2
Fig.0 : 20 + 15 =.TI.. = 7
.::.J 20 - 15 5
Fig.0 :28 + 24 = g = 13 =:> 7 = 13
28 - 24 4 .
166 Intelecturn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-166-320.jpg)
![~!J Desigualdades e inecuaciones
DESIGUALDAD
Es una relación de orden que se establece entre dos números reales utilizando los
siguientes símbolos:
> "mayor que"
< "menor que"
} Estrictos
Ley de tricotomía
Dados dos números reales a y b, se cumplirá una y tan solo una de las siguientes
relaciones:
[ a > b v a = b v a < b 1
{S; 7}E IR
5 >7 V5=7 V5 <7
F F V
Si x E (2; 5) entonces diremos
que 2 < x < 5, lo que quiere
decir que x puede tomar cual-
quier valor real entre 2 y 5,
pero no tomará los extremos.
} No estrictos
7> 3 ; 4 < 9; -3 < 2
::::: "mayor o igual que"
.s:: "menor o igual que"
Ejemplo:
Ejemplos:
Intervalo
Es un conjunto de infinitos elementos que representa a todos los números reales com-
prendidos entre dos extremos.
A) Intervalo acotado
Si los extremos son números reales finitos:
Intervalo abierto
Es un intervalo en el cual no se consideran sus extremos.
..
-00 a
x
~
+00
[ xE (a; b) <=> a < x < b ]
Intervalo cerrado
Es un intervalo en el cual se considera los extremos.
..
- 00 a
x
~
+00
[ x E la; b] <=> a .s:: x .s:: b ]
Si x E [2; 5], entonces
diremos que 2 ~ x ~ 5,
quiere decir que x tomará
cualquier valor entre 2 y 5,
inclusive los extremos 2 y 5.
Intervalo semiabierto o semicerrado
Uno de los extremos es abierto y el otro cerrado.
1. Intervalo semiabierto por la izquierda
..
-00 a
x
~
+00
[ x E (a; b] <=> a < x .s:: b ]
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 173](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-173-320.jpg)
![2. Intervalo semiabierto por la derecha
l(
-00 a
x
)
+00
[ x E [a; b) <==> a ::::: x < b 1
B) Intervalos no acotados
Se llama así cuando por lo menos uno de los extremos es el + 00 o - oo.
l(
-00
x
)
+00
l(
-00
x
)
+00
Si:
x E (2; 5] = 2 < x:5 5
x E (3; 8] = 3 < x :5 8
[ x> a <==> XE (a; + oo) ]
x
X::::: a <==> x E [a; + 00) ]
x
l(
-00
)
+00
l(
-00
)
+00
Si:
xE (-1; 3) = - 1:5 x< 3
x E[-5;2) =-5:5 x< 2
X<b<==>X E (-oo,b) l
Ejemplos:
1. Si: 2X~ 1 E [1; 8]
Determina el menor valor de x:
Planteando la inecuación:
.1 < _1_ < -ª- =} .1> 2x + 1 > .1
1 - 2x + 1 - 1 1 - 1 - 8
=} 1 > 2x + 1 < .1 =} 8 > 16x + 8 > 1
- - 8 - -
=} o>x >_l
- - 16
El menor valor de x es ~~ .
[ x ::::: b <==> x E ( -00, b] ]
2. Halla los valo res de a de tal man era que la inecuación:
x
2
- ax + 4 > O, se verifica para todo valor real de x.
Vemos que el coeficiente principal es 1 > O y para que el trinomio sea siempre
positivo se debe cumplir:
f... =a2
- 4(4) < O
De donde: a
2
- 16 < O
(a + 4)(a - 4) < O
l(~.
-00 -4 4 +00
:. x E (- 4; 4)
174 Int:elect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-174-320.jpg)
![Problemas
. . Resuelve:
(x + 5)(x + 3) 2: (x + 2)(x + 1) + 3
Resolución:
(x + 5)(x + 3) 2: (x + 2)(x + 1) + 3
i + 8x + 15 2: i + 3x + 2 + 3
5x 2: - 10
x2: - 2
.'. es=[-2; +00)
... Resuelve:
i -10x + 16 > O
Resolución:
x2
- 10x + 16 > O
xX -8
x -2
Resolución:
13 - 6x > O
x-2
6x -13 < O
x-2
.=~
-00 2 13/6 +00
.'. es=(2; 13/6)
• Halla la suma de soluciones enteras de la inecuación:
3i :s x + 2
Resolución:
3x2
- X - 2 :S O
3X X+2
x -1
(3x + 2)(x - 1) :s O
.'. Suma de soluciones enteras = O+ 1 = 1
(x - 8)(x - 2) > O
.=~
-00 2 8 +00
-00
+
+ 00
.'. es=(- 00; 2) u(8; +00)
________--.-J
. . Resuelve:
i - 3x < 4
Resolución:
x2
- 3x - 4 < O
x
X-4
x + 1
(x - 4)(x + 1) < O
.=~
- 00 -1 4 +00
.'. eS= (-1;4)
e Resuelve:
1 + 15 - 7x > O
x-2
o Si x E [2; 4] indica el mayor valor que toma la frac-
ción x + 3 .
x+2
Resolución:
2 :Sx :S4
4 :Sx+2 :S6
.1 < _1_ < .1
6 -x+2 -4
.1+ 1 ::;_1_+1 ::;.1+1
6 x+ 2 4
2 < x+3 < 2-
6 -x+2 -4
.. El mayor valor será 5/4.
• Resuelve:
2x - 1 + 3x - 2 > 2x + 1 + 1-
5 6 2 3
e indica el mayor de valor entero negativo.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 175](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-175-320.jpg)
![Resolución:
2x - 1 3x - 2 > 2x + 1 + 1.
5 + 6 2 3
12x - 6 + 15x - 10 > 6x + 3 + 4
30 5 $
27x - 16 > 6x + 7
5
27x - 16 > 30x + 35
-51 > 3x
- 17> x
x E (- 00; - 17)
.'. El mayor valor entero negativo que puede
tomar x es : - 18
o Resuelve:
7x - 2 5x + 6 < 9x + 34
-2- < 3 5
2 7
Luego: a = - 5; b = "3
. a+b + l = -1. +1. +l =2
15 5 3 15
4I!) Resuelve :
(x -3)(4 -x»-x
Se obtiene: es= (a; b). Halla a + b.
Resolución:
(x - 3)(4 -x» - x
4x - i - 12 + 3x > - x
8x - x2
- 12> O
O> x2
- 8x + 12
xX -6
x -2
~ O> (x - 6)(x - 2)
Resolución:
(~.
- 00 2 6 + 00
Luego: a = 2; b = 6
.. a+b =8
o Resuelve el sistema siguiente:
x - 4 > x + 5 ... (a)
3 2
-36 < x
1
7x - 2 5x + 6 1 5x + 6 < 9x + 34
-2- < 3 3 5
21x - 6 < 10x + 12 1 25x + 30 < 27x + 102
11x < 18 1 - 72 < 2x
18
x<U
(
. 18)
.'. x E -36,u x -3 < 3 -x
5 - 4
... (P)
o Al resolver:
Resolución:
15x2
- 29x - 14 < O
1
se obtiene: es= (a; b). Halla: a + b + 15
Resolución:
15x2
- 29x - 14 < O
5X X+2
3x -7
(5x + 2)(3x - 7) < O
( ~.
-00 - 2/ 5 7/3 + 00
1. 2x - 8 ~ 3x + 15
x :S - 23
~ xE (-00; - 23]
11. 4x - 12 :S 15 - 5x
9x :S 27
x :S3
~ xE (-00; 3]
Luego la solución del sistema será :
(-00; -23] n (-00; 3]
.'.es=(- 00; -23]
176 Int:e/ect:um Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-176-320.jpg)
![Ae tlVI d el d e s
1. Resuelve:
x
2
+ 2x - 8 < O
2. Resuelve:
x2
- x - 6 > O
A) [-4; 2]
C)(-00; -4] U [2; +00)
E) (-00; -4) U (2; +00)
B)(- 4; 2)
D) (-4; 2]
A) (- 2; 3)
C) (-00; -2) U (3; +00)
E)(-00; -2] U (3; +(0)
B) [-2; 3)
D) (-2; 3]
3. Resuelve:
3x + 4 ~ 2x + 10 < 5x + 8
4. Resuelve:
4x+5+fX<5
A) [2/3; 6)
D) IR
B) (2/ 3; 6)
E) (2/ 3; 6]
C)0 A) [O; 4)
D)(-00;4)
B) (0;4)
E) (-00; 4]
C) (O; 4]
5. Resuelve:
15 2: x(x + 2)
6. Indica la suma de las soluciones enteras de:
2
; <x+ 6
A) [O; 2]
D) [-5; 3]
B)(O; 2)
E) (-5; 3)
C) (- 3; 5)
A) 10 B) 8 C) 12 D)9 E)7
7. Resuelve:
2x-8+ _6_ ~ 7-x+ _6_
x-3 x-3
8. Indica el número de valores enteros en:
2x - 5 -1 ~ O
x+1
A) (-00; 5] - {3} B) (-00; 5]
D) (-00; 3] E) (-00; +3 )
C) (-00;5)
A) 5 B)7 C)6 D)4 E)8
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 177](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-177-320.jpg)
![9. Resuelve:
25..+25..+25..+25.. > x-17
2 3 4 5
10. Indica el menor valor entero de:
~ - x < 3(x - 91)
11
A) (-00; +(0)
D) (-60; +(0)
8) (-00; -60)
E) [-60; +(0)
C) (-00; -60)
A) 80 8)81 C) 76 D) 77 E)78
11. Halla la suma de todos los valores enteros que
satisfacen el sistema:
1.< x-l <1.
3 x+ 3 9
12. Indica el mayor valor entero que verifica la
inecuación:
25..+25..+25.. < 25..+ 5
2 3 4 6
A) 60 8)70 C)80 D)50 E)70 A)5 8)4 C)3 D)2 E) 1
13. Si x E [2; 5]; indica el menor valor que toma la
expresión: x + 2
x-l
14. Si x E [5; 8], indica el mayor valor que toma la
expresión : x - 3
x+l
A)7/4 8)4/7 C) 7/2 D) 2/7 E) 1/4 A) 1/9 8) 2/9 C) 9/5 D) 1/3 E) 5/9
« UJ
l"i ..;
........
Cl UJ « «
cñ ci ~ N
............
ca u w «
,....; N M ~
Si ladesigualdad a
2
+ a + 1 < l. secumple V aE IR+
a2 + 1 - 2' ,
entonces el mínimo valor que puede admitir k es:
Rpta.: 3
178 Int:e/ect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-178-320.jpg)
![® Resuelve: -1 < 4 ~ 5x ~ 7
Ydetermina el mayor valor entero que lo verifica.
NNEL ,
CD Sean los intervalos:
M = [-6; 13); N = (-8; 5], halla M - N, e indica la
cantidad de números enteros que la verifica.
A)-3 B)-2 C)3 D)2 E) 1
A) 9 B)10 C)7 D)12 E) 13
o SiA= (-10; 5];B=[-3;6).Determina:AnBn (AUB) .
A) [-3; 5] B) [-1; 2] C) [2; 5]
D) [-2; 2] E) [-1; 1]
(j) Si: a < b, resuelve:
ax + b + b < bx + a + a
2 2
A) ( -00; 3) B) ( 3; +00) C) [3; +00)
D) (-00;-3) E) ( - 3; 3)
o Resuelve e indica el menor valor entero que puede
tomar x.
A) 1
2x - 1 + x - 3 > 4
3 2
B)2 C)3 D)4 E) 6
® Resuelve:
A) ( -00; 7)
D) (- 2; 7)
3x - 1 _ x + 1 < 1 _ ~
5 2 7
B) ( -00; O] C) (- 1; 1)
E) (-00; 8]
o Si M es el conjunto solución de:
2x _2- > x , 10
3 3
Determina el número de valores enteros y positivos
del complemento de M, menores que 19.
A) 6 B)7 C)8 D)9 E) 5
® La suma de los enteros que verifican
simultáneamente las inecuaciones:
4x - 5 < x + 3 . 3x + 8 > 2x - 5
7 ' 4
A) -21 B) - 36 C) -18 D) 18 E) 25
® Si a E ( 1; +00); resuelve en x: ax + 3 < 3a + x
A) ( 1; +00) B) ( 3; +00) C) [1; +00)
D)[3;+00) E) ( -00; 3)
NIVEL 2
@ A un estudiante le dieron a vender una cierta
cantidad de pollitos, de los que vendió 35 y le
quedaron más de la mitad. Luego le devuelven 3,
y vende después 18, con lo que le restan menos de
22 pollitos. ¿Cuántos pollitos le dieron?
A) 69 B)70 C)71 D) 72 E)73
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 179](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-179-320.jpg)
![@ Halla el menor de los números M que cumplen la
siguiente condición: V x E ffi.: 4x - x
2
- 12 ::::; M
A)O B)-2 q -8 D)l E) 4
@ Un carpintero hizo un cierto número de mesas.
Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad.
Luego hace 9 mesas y vende 20, quedándole
menos de 41 mesas por vender. ¿Cuántas mesas
ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un
número par de mesas?
A) 107 B) 102 q 100 D) 109 E) 103
@ Siendo : a
2
. b3
. c
5
negativo, halla el producto que
siempre será negativo.
A)a2b
B) b
2.
a qb.c
D) b3
• i E) a2
• b
2
@ Resuelve el siguiente sistema :
3x - 4 ::::; 5x + 2 ::::; - x + 8
@ Resuelve: x
2
- llx + 28 > O
A) (-00; 4) U ( 7; +(0) B) (-00; 3)
q (2; +(0) D) (7; (0)
E) (-00; 4)
A) 1 ::::; x::::; 3
D) x::::; - 3
B) -3 ::::; x::::;- 1
E) x::::; 1
q - 3 ::::; x::::; 1
@ Resuelve: ; (x + 4)(3x - 1) ::::; O
@ Si: -x+3E[-6;5) 1 2x+5 E (a+1;b+13]
Calcula: a
20
+ b
2
A) [-4; ;] B) (4; ~] q (-l;l)
A)O B) 1 q 10 D) 100 E) 125
D)[-4; ~] E)[-4;~)
NIVEL 3
@ Resuelve:
5x - 2 _ 4 < O
@ Resuelve: x
2
+ x + 1 > O
x
A) ( - 1; 1) B) ( - 3; O) q ffi.
A) (0;4) B) ( O; 3) q (-l;l)
D) (0; 3) E) ( - 3; 1) D) ( - 2; 3) E) ( O; 2)
180 Inte/ecturn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-180-320.jpg)
![@ Resuelve:
A) [1; +(0)
D) [4; +(0)
@ Resuelve:
4J2x - 8 > - 5
B) [O; +(0)
E) [3; +(0)
q [2; +(0)
@ Si: a, b, CE 'll, c < O1 a < b, entonces se cumple:
A) -ª- < .Q.. B) -ª- > .Q.. q ca < cb
c c c c
D) a + b + c < O E) c + a > c + b
@ Sabiendo que: x E (1; 2), reduce:
A = 4x
2
- 4x + 4 + 4x2
- 2x + 1
A) [-1; 1)
D) (-l;l)
B) (-00; -1] q [1/2; +(0)
E) (-00; -1) U [1/2; +(0)
A) 2x - 3
D) -2x + 3
B) 1
E) -2x
q -1
@ Resuelve:
425 - x2
< 4
A) [-5; -3) B) (3; 5]
D) [-5; -3) U (3; 5]
q (- 1; 1)
E) (-00; 3]
@ De todos los triángulos, cuyos dos de sus lados
miden 2 cm y 4 cm, halla los que tienen la
propiedad de que su tercer lado tiene por longitud
un número entero y señala a qué es igual la suma
de los perím etros de los triángulos hallados.
@ Resuelve: .f4X=1" < 2
x
A) 28 cm
D) 26 cm
B) 30 cm
E) 25 cm
q 24 cm
A) [1/4; +(0) - {1/2}
q (- 1; 1)
E) [1/2; +(0)
B) [1/4; +(0)
D) ( 1/ 4; +(0) - {1/2}
ft~'
É
•
L; V
,
@ Resuelve: 12x -11 ::::: ~
A) G; 5] B) (~;2] q ( 1; 4]
NIVEll 8.A 15. e 22. o
L e 9. A 16.e 23. A
D) ( - 1; 3] E) [;; ~]
2. A NIVEl2 17. B 24. E
3. E 10. E 18. o 25. B
4. B 11. e NIVEl3 26. B
S. E 12. o 19. E 27. B
6. E 13. o 20. o
7. B 14. e 21. E
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 181
- - - - - -](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-181-320.jpg)
![~!J Logaritmos
DEFINICIÓN
El logaritmo de un número real y positivo N, en la base b (b > Oy b i= 1), es el exponente
x al cual hay que elevar la base, para obtener el número N.
• •
10gb1 = O
logbb = 1
En general:
Si A1, A2. A3. ... .An son
números reales posit ivos y
b > O, b '¡' 1, se cumple:
lo9b(A1 . A2 . A3 ... an)
=lo9bA1+ IOgbA2+ ... +logbAn
Donde:
N: número real y positivo
b: base del logaritmo
x: logaritmo de N en base b
Ejemplos:
log28 =3 = 2
3
=8
log381 =4 = 3
4
=81
log21024 = 10 = 2
10
= 1024
Identidad fundamental
blogbN =N ]; donde N > O; b > O y b i= 1
Ejemplos:
i Og
7
5
=5
111og1
13 = 3
filogf[8 = 8
PROPIEDADES SOBRE LOGARITMOS
Sean A, B Y enúmeros positivos y b > O, b i= 1.
Si b, N E m+y b.¡. 1; entonces:
I09b(-k)= 10gb1 - lo9bN
I09b(-k)=- logbN
1.
Ejemplos:
• log218 =log29 + log22
• log36 + log33 + log32 =log336
Ejemplos:
• log327 = log333 = 31og33 = 3
11
• log22048 = log22 = 111og22 = 11
Ejemplos:
• log3( ~ ) =log38 - log35
• log27 =log221-log23
4. ,--- ~
Ejemplos:
I 9 9 1 9
• og282 = - og2 2 = -
8 8
I
7 7 7
• log4128 = og222 = -log22 = -
2 2
182 Inte/ectum Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-182-320.jpg)
![5. Cambio de base
Ejemplos:
I
IOg37
og 7---
5 - log35
IOg2 8
log38 =-1--3
og2
6. Regla de la cadena
[ logAB . Iogse . logcD. logDE =logAE ]
Ejemplos:
• log38. logg5 . logs81 = log381 = 4
• logs3. logg5 . log69 . log276
= log273 = 1-
3
..
FUNCIONES DERIVADAS DEL LOGARITMO
Cologaritmo (colog)
Se define como el opuesto aditivo del logaritmo, se cumple:
[ cologbN =-logbN l
Ejemplo:
cologs(125) = -logs125 = -3
... ~
logbA =logbnAn
= logn/bn./A
Resolución :
Setiene el conjunto universo: (O; +00)
Entonces :
Jlogx ~ logIX <=
logx ~ O¡ logIX ~ O¡ logx ~ (loglX)2
Setiene: x ~ 1
También:
410gx ~ (logx)2
O~ logx(logx - 4)
Se cumple:
O::s logx ::s 4
~ 1 ::s x ::s 10
4
Luego:
es =(O; +00) n [1; +00) n [1; 10
4]
: . es =[1; 10
4
]
2. Halla las raíces de la siguiente
inecuación:
Jlog x ~ log IX
Luego:
es =[5
Iog7;
+00)
Veamos algunas aplicaciones:
1. Halla el conjunto solución de la
siguiente inecuación:
f5
1
og7
+.f7
logs
<
2 _IX
Resolución:
Del enunciado:
f5
1
og7
+ .f7
logs
<
2 - IX ...(1)
Setiene:
.f7logS= 7t1
ogs = 7'0g.f5 = f51
og7
Reemplazando en (1):
f5
1
og7
+ f5
1
og7
2 ::s IX; x ~ O
2(f5
log7)
2 ::s IX
f5log 7 ::s IX
Ejemplo:
antilog2(log28) = 21og2g = 8
Antilogaritmo (antilog)
Se define como la función que transforma el logaritmo en una potencia, se cumple:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 183](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-183-320.jpg)
![ProbLemas
o Calcula:
Resolución:
1 2
"3 logs5 + "310g44
= 2 3
SlOg2 2 +Slag33
l.'.M =1
• Halla:
N =lag82 + lag2s5 - lag6432
Resolución:
1 1 5
N ="3lag22 + Tlags5 - "6lag22
N=1.+1.+2
326
.'. N =O
lag 1/3 =x . .l .lagx
x
lag 1/3 =lag x
. x- 1
.. -"3
'------
_ Halla:
Resolución:
I 2 I 1/3
E = ag126 + ag1264
E=lag1236 + lag124
E=lag12144
.'. E=2
• Resuelve:
21agx =lag(2x - 3) + lag3
Resolución:
lagx
2
=lag(6x - 9)
x
2
=6x - 9
i-6x+9 =0
(X-3)2 =0
.'. x= 3
• Resuelve:
lag(lagx Vi)
colog (antilag x)
Resolución:
(
lag 1/3 =_ lag X¡X
colog lO X
lag 1/3 =_lag X¡X
-lag lO X
lag 1/3 =_ lag x
IX
-x
lag 1/3 =x lag x
IX
=colagX¡x o Resuelve:
lag[lag(logx)] =O
Resolución:
- - - - - - -
[lag(logx)] =100
[log(logx)] =1
logx =10
1
logx =10
x =10
10
184 Int:e/eet:urn Evolución 4. o
-- -~~](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-184-320.jpg)
![1. Halla:
log7343 + IOgl/66
E=---'-----'---
logg64 + logl/S 625
2. Resuelve:
log, + 1(5x+ 19) =2
A) -l B) 2 C)4 D)l E)8
A) 2 B)6 C)-3 D) 19 E)5
3. Calcula:
E=-Colog4{Antilog2[log216]}
4. Calcula:
S =3
'¡'c-o:-I
o-g-sO=-,-=O~4-+-a-n--:-t:;-ilo-g-s-=-2
A)l B)4 C)8 D) 10 E)2 A) 2 B) 5 C)8 D)3 E) 1
5. Halla x:
loga64 . logxa =log.,c . logxb . logcx6
6. Halla x:
log4x9x. logSx4x . log35x =log2x8x3
A)l B) 2 C)4 D)8 E) 16 A) 3 B)9 C) 1/3 D)6 E) /3
7. Halla n si:
IOg3n2 + cologjn =3
8. Halla x en:
210gx =log192 + logO,75
A) 3 B) 1 C)9 D)6 E) 27 A)8 B) 12 C) 16 D)20 E)18
186 Inte/ecturn Evolución 4.o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-186-320.jpg)
![o ¿Cuántos palitos se deben retirar, como mínimo,
para obtener una figura formada por 5 cuadrados
iguales? (Sin dejar cabos sueltos).
==-
- -
Resolución:
Los palitos a retirar son los que se encuentran
con líneas punteadas.
==- r-_
-_
-_
- ==-
Luego quedará de la siguiente manera :
] ~
] •
:. Se deben retirar 4 palitos.
o ¿Cuántos palitos hay que mover, como rrurnrno,
para obtener una figura formada por 6 cuadrados?
(Sin dejar cabos sueltos) .
rn
rn
Resolución:
En ningún momento nos dicen que los cuadra-
dos deben ser iguales, entonces realizamos los
siguientes movimientos:
Luego,la figura quedará de la siguiente manera.
r~
ffiJ
: . Se deben mover 2 palitos.
@!) ¿Cuántos palitos debemos retirar como mínimo
para dejar 6 en la figura?
ODIO
DOlO
Resolución:
Retiramos los palitos siguientes:
retirar9 m
retirar
D
==-~ C==-~ 1D==-~
I , ,
,1 11 , l ,
" ,1 .,.retlrar
" 1I 1
1
o
,
, U:'I~D
[" iJ
' [k
'
,1 l' l'
retirar retirar retirar
Finalmente se obtiene:
cele
~L I=:J
:. Se deben retirar 6 palitos.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 195](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-195-320.jpg)
![Triángulos notables
De 30· y 60·
2a
3D·
,~'J2
Ua
Sa
4a
37"
De los triángulos rectángulos
que se han presentado, solo
el de 30° y 60°, el de 45° y
45° Y el de 15° y 75° tienen
medidas angulares exactas.
En el resto de triángulos,
sus medidas angulares son
cantidades aproximadas.
De 37"/2
53°/2
2a
CUADRILÁTEROS
Propiedades básicas
a av'IO
37"/2
3a
Clasificación
Trapezoide Trapecio
x + y + z + w =360·
Paralelogramo
Trapezoide bisósceles
B
.....- --;:r;yC
,, ,
,<
' ,"
' ~
(X..- - - --r
'D
L.----- - - -' D
D
c
A
En el trapecio se cumple:
[MN =~]
[PQ=-Y-]
B
~-__-C
,L..J...- - - - - - ---'--'D
Isósceles
L...L...--- - - - - ---" D
Rectángulo
' - - - -- - - -->D
Tipos de trapecio
Escaleno
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 205](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-205-320.jpg)
![9. En el gráfico mostrado, calcula BO.
J""D
L6
B e
10. Calcula mLABC, si mLBCA =50°.
A)9
D)15
B) 10
E)24
C) 12 A) 100°
D) 110°
B) 120°
E) 105°
C) 115°
X - - - j
11. Calcula AB si RS = 8 Y AO = 3. 12. Calcula x.
A)3
D)8
B) 10
E)5
C)11 A)4
D)16
B)8
E)20
C) 12
13. Sea /10/1 el centro de la circunferencia, halla x.
A
14. En la figura, AO = BC+ CO; AB = 28, calcula: R + r
A
A) 30°
D)53°
B) 60°
E) 45°
C)8° A) 14
D)12
B) 8
E) 10
C)6
u «
..; ..t
........
el el aJ el
en o .... N
............
w w U U
~ N coi ..;
En el rectángulo ABCO, calcula AB.
B~C
A D
[RPta.:AB = r1 + r2 + r3 ]
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Un;dad 4 :::J~_
_](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-211-320.jpg)
![A' -- .L.L- -y'
Se muestra el rombo ABCD, calcula p.
B C A} 20'
B} 40'
C} 50'
D) 30'
E} 60'
NNEL3
@
A} 60'
B} 30'
C} 50'
D} 20'
E} 45'
@ De la figura, calcula x.
B....-- - - - - -".,
lzt
A D
@ Según el gráfico mostrado, calcula la medida del
ángulo CBO, si "O" es centro de la circunferencia.
UNMSM 1998
E9
B
p A A} 60'
B} 45'
C} 53'
D} 75'
E} 40'
_--
@ En la figura, ABCD es un rectángulo, calcula x.
A} lO'
B} 50'
C} 25'
D} 20'
E} 30'
A}5m
B}8m
C}7m
D} 6m
E)4 m
@ Según la figura mostrada, calcula "x + y + z";
si AB = 18 cm, BC = 19 cm, AC = 17 cm.
B A} 27 cm
ti
B}28cm
j X
'" 'y~ C} 29 cm
1 , D} 31 cm
E} 30 cm
A I--Z----1C
@ En la figura ABCD es un paralelogramo.
Calcula BC si BE =8 m.
Br-r- ~c
@ Según la figura que se presenta, calcula a y 8, si:
,-.... ,-....
mAB =lOO'; mCD =40'
@ En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula 8, si M
y N son puntos medios.
E
A} 50'; 60'
B} 20'; 60·
C} 40'; 70'
D} 30'; 70'
E} 30'; 80' :
[]:
A} 37"
B) 30'
C} 60'
D} 53'
E} 45'
214 Inte/ectum Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-214-320.jpg)
![p = a+ ~ + e ~ (A =P . r)
Propiedades de las medianas de un triángulo
A= a.b.c
4R
• •
G: baricentro
B
Si BM es mediana
B B
e e
Si AN, BM YCPson med ianas: Si M; NYPson puntos medios:
[ Al =A2 =A3 =A4 =As =A6 ] Al =A2 =A3 =A4 ]
Propiedad
Áreas de regiones cuadrangulares
Cuadrilátero
e
AL--------~D
Cuadrado Rectángulo
i-J L
L
[ }
h r
L b
A = L
2
] G = b X h
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 217](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-217-320.jpg)
![e Calcula el área de la región sombreada.
Resolución:
Del gráfico:
Asombreada = A<)OBD + A~OAB - Ah:lAOC
n(4.f2t.45° 4.4 n.42
= 3600 +2 --4-
= 4n + 8 - 4n
= 8cm
2
B L/2 F L/2 e
A D
o ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 cm. Si los
vértices C y B se han tomado como centros de cir-
...--.. ...--..
cunferencias para el trazado de AC y BD. Además
-------
ADes diámetro de una semicircunferencia. Calcula
el área de la región sombreada.
B e
Resolución:
D
A
Del gráfico:
2 2
A sombreada = n . 2 = 4n cm
Del gráfico:
Por Pitágoras: 62+ (6 + r)2 =(12 - r)2
36 + 36 + 12r + r
2
=144 - 24r + r
2
36 r =72
r =2
Para hallar el área sombreada solo bastará cal-
cular el radio "r" de la circunferencia.
B H 6
El área sombreada será igual a la diferencia
entre el área del ~EFG menos el área del ~EIG,
pero multiplicado por 2.
Luego:
A sombread a = 2[A¿EFG - A¿E1Gl
2[; .; -;.~]
= 2[~ - ~]
L
2
.' . A sombreada =""4
o SiABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, halla
el área de la región sombreada, si O es centro del
arco BD.
• Si: AM BQ =12 m
2
; AC =4AQ; BC =6RC; BQ =3BP
.
Halla el área de la región sombreada.
B
Resolución:
A,M"::
::---- - - T7k
A
R
e
220 Inte/ectum Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-220-320.jpg)
![o En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcula el área
de la región sombreada.
Finalmente:
Asombreada = (4Q./2)2
= (4(3)./2)2
= 288 cm
2
Resolución:
AC =
,4AQ ~ AQ =a 1 QC =3a
2
AM BQ=12 ~ At'.BQC =3(12) =36 m
BC =6RC ~ RC=b; BR =5b
1
Al1QR
C= 6" Al1BQC
1 2
Al1QR
C= 6" (36) =6 m
2
~ Al1B
QR=5(6) =30 m
BQ =3BP ~ BP =C1 PQ =2c
1
Al1BPR="3Al1BQR
= .1(30) =10 m
2
3
~ Al1P
R
Q=2(10) =20 m
2
Finalmente:
Asombreada = Al1PQR+ Al1QR
C
= 20 + 6 = 26 m
2
Del gráfico: 7Q =21
Q= 3 cm
o Calcula el área de la región sombreada sabiendo
que se trata de un cuadrado, y el triángulo ABC es
isósceles, donde AB = BC = 35 cm .
B
Trazamos BD, entonces BD =6./2 m.
D
6m
A
Resolución:
e
A
Resolución:
AL..-- - - - - '-"D
AMBPN: 8° + m LMBP + 8° =90°
~ m LMBP =74°
LlABC: BQ es bisectriz, altura y mediana
~ mLABQ =37" Y mLMAQ =53°
B
e
Según el gráfico:
Asombreada = AOABCD - (ALlADC+ AOMBN)
= 6
2_(n;2
+~[6(./2-1)r)
= 36 - (9n + ~ [36(2-2./2+1)])
= 36 - (9n + 9n (3 - 2./2))
= 36 - (9n + 27n - 18n./2)
= 36 - 36n + 18n./2
= 18 (2 - 2n + n./2) m
2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 221](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-221-320.jpg)
![9. Siel área del cuadrado ABCDes igual a 20 cm
2
, halla
el área de la región sombreada.
10. Calcula: ~ en la figura mostrada.
A)l
O)2/3
B)2
E) 1/3
C) 1/2
11. Si ABCD es un paralelogramo, calcula X.
A
!§:l'
12. Del gráfico mostrado, QA = 2(AR); BR = 2(PB),
calcula el área de la región sombreada si el área de
la región triangular PQR es 210 m
2
.
~
P B R
A) 4 + 3B
D) 4A - B
B)A- B
E) A/B
C)A+B A) 105 m2
D) 70 m2
B) 90 m2
E) 100 m2
B)(~ )a2
E)(1~)a2
14. Calcula la suma de las áreas de los semicírculos
sombreados si BC =a.
13. Calcula el área de la región sombreada, si AR =RQ,
BP = PR, PQ =QC y el área de la región triangular
ABC es 28 m
2
.
A~'
[RPta.: 2(2n - 1) m
2
]
r
D
El área del triángulo AP1B es de 1 m
2
. Si AD se sub-
divide en n segmentos cuyas longitudes están en
progresión geométrica de razón 2, halla el área del
rectángulo ABCD.
K
"
P1 P2 P 3" ""
----------_.__ ._.. .._-_
._-
u « u u
ai g :: ~
UJ ce co u
Il'i lO ,...: 00
« el
M ..t
......
al « u «
..-: N M ~
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 223](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-223-320.jpg)
![NNEL ,
o El área de la región cuadrada ABCD es 480 m
2
.
Calcula el área de la región sombreada.
:eJ: o Calcula el área de la región sombreada, sabiendo
que el lado del cuadrado ABCD es a metros.
o Se tiene el triángulo ABC, recto en B, si AB =21 m y
AC =35 m, calcula el área de la región sombreada.
A) 22a
2
m2
57
D) 22a
2
m2
61
B) 23a
2
m2
62
E) 25a
2
m2
57
~
A e
A) 36(6 - n) m2
C) 42(6 - n) m2
E) 36(8 - n) m2
B) 39(8 - n) m2
D)49(6 - n) m2
® En la figura AB, AP, PB son diámetros, AB =d. P YQ
dividen a AB en partes iguales. Halla el área de la
parte sombreada.
UNMSM 2004-11
® Calcula el área de la región cuadrada ABCD,
sabiendo que el área de la región sombreada es
30 m
2
.
:
6]:
A) 2
14
nd
2
D) ~ nd
2
B) lnd2
12
E) 11
8
nd
2
224 lnreleuztxur: Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-224-320.jpg)
![9. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderolas
diferentes, si en cada señal deben haber 2
banderolas?
10. Una melodía musical debe estar formada por 5
notas diferentes. ¿Cuántas melodías se pueden
componer?
A)30 B)20 C) 15 D)60 E)25 A) 48 B)120 C)72 D)36 E) 130
11. Con las cifras 1; 4; 6 Y7, ¿cuántos números de 1; 2 Y
3 cifras diferentes puedo formar en total?
12. En un campeonato de fútbol participan 16 equipos.
¿De cuántas maneras ocuparán los 5 primeros
puestos, sabiendo que Ciencia no saldrá siempre
campeón?
A) 14 B) 16 C)40 D)15 E) 17
A) 32 760
D)97 500
B) 12400
E) 10840
C) 10015
13. Halla el total de combinaciones que se pueden
hacer con 5 letras tomadas en primer lugar de 2 en
2, luego de 3 en 3 y después de 4 en 4.
14. Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5 mujeres.
¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar,
si cada comité debe estar integrado por 3 mujeres?
A) 25 B)84 C) 70 D)36 E)120 A) 3423 B) 5150 C) 2520 D)8155 E) 1680
« u
M ..¡
......
~--- ---_._-----_._--
Rpta.: 7
noa!(a + 1) =[(b!)!]120
Halla a + b, si:
al al U «
oi e .- N
.........
UJ o w U
~ N M ...¡.
~36J tmietectism Evo/ucléJn 4.'](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-236-320.jpg)
![@ ¿De cuántas maneras diferentes se pueden
repartir cuatro premios distintos a t res personas,
si cada uno debe recibir por lo menos un premio?
@ Se tienen 12 puntos coplanares, no situados tres
de ellos en línea recta. ¿De cuántas maneras
pueden formarse triángulos teniendo a un punto
determinado como vértice?
A) 36 B) 35 C) 60 D)12 E)43
A)55 B)45 C) 110 D)220 E)80
@ ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales con
5 banderas de colores diferentes?
A) 120 B)240 C) 300 D)325 E) 360
@ ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obte-
nerse con las letras de la palabra BLANQUIAZUL?
A)~ B)~ C)~ D) 10! E)12!
2 12 8 5 5 @ Una persona dispone de ocho fichas , cada una
de ellas con un número del 1 al 8. ¿De cuántas
maneras diferentes se podrá tomar cuatro de ellas
y lograr que la suma de ellas sea un número par?
A un trabajo se presentan cinco ingenieros y cuatro
arquitectos. ¿De cuántas maneras se podrá hacer
la elección de dos ingenieros y dos arquitectos?
A) 90 B) 60 C) 30 D) 120 E) 45
@ Alrededor de una mesa circular de
siete asientos se ubican 2 chicas
y 4 chicos, ¿de cuántas maneras
podrán hacerlo, si el asiento vacío
debe quedar entre las dos chicas?
A) 16 B) 48 C) 60 D) 96 E) 144
]
A) 36 B)28 C) 38 D)37 E) 18
@ ¿De cuántas maneras diferentes puede ser
contestado un formulario de 10 preguntas, si cada
una se contesta con un sí o un no?
@ Un equipo de vóley se sienta a dialogar en una
mesa circular. ¿De cuántas formas se pueden
sentar sus integrantes, si tres de ellos siempre
deben estar juntos?
C) 1024 D) 720
frv ~ -- ~
•
~
..... ......
NIVEL 1 9. B 17. B 25. D
Le 10. D 18. e 26. e
2. D 19. E 27. A
NIVEL2
3. e 20. D 28. D
11. D
29. e
4. B 12. E NIVEL3 30. B
5. e 13. e 21. D
6.A 14. D 22. A
7. B 15. E 23. e
8. E 16.e 24. B
E) 6
E) 256
D)36
C) 12
B)24
B)680
A) 22
A) 512
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 239](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-239-320.jpg)
![- - - - - - _ /
Como A Y B son sucesos independientes:
I :. P(An B} = P(A} . P(B} = ~ . ~ = 3~
o ¿Cuál esla probabilidad de que se obtenga el número
3 y el4 en dos lanzamientos sucesivos de un dado?
Resolución:
• La probabilidad de que mañana llueva es 0,11;
la probabilidad de que truene es 0,05 y la
probabilidad de que llueva y truene es 0,04. ¿Cuál
es la probabilidad de que llueva o truene mañana?
Resolución:
El espacio muestral sería:
0= {1; 2; 3; ... ; 30}
• A: salga par
A = {2; 4; 6; ...; 30} => n(A) = 15
P(A} =J2
30
• B: salga multiplo de 5
B ={s; 10; 15; 20; 25; 30} => n(B} = 6
P(B} = 360
• A n B: salga par y múltiplo de 5.
A n B = {10; 20; 30} => n(A n B} = 3
P(A n B} = 330
P(A U B) = P(A) + P(B} - P(A n B}
15 6 3 3
l~ = 3~_~ 30 ,=] 0 = 5
Resolución:
,--- - -
I E( lanzar una moneda 4 veces
01 = {cccc; cccs; ccsc; ccss; cscc; cssc; cscs;
cssss; ssss; sssc; scsc; sscc; sccc; sccs;
scsc; scss}=> n(O l} = 16
A: obtener exactamente 3 caras
A = {cccs; ccsc; cscc; sccc} => n(A) = 4
P(A) = 1~
E2: tirar 2 dados
0 2= {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6),
(2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; S), (2; 6),
(3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; S), (3; 6),
(4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; S), (4; 6),
(5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; S), (5; 6),
(6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; S), (6; 6)}
=> n(02} = 36
B: obtener una suma igual a 11
B = {(S; 6), (6; S)} => n(B} = 2
P(B) = 3
26
Luego' piden : ...i.. x ...L= l
, 16 36 72
@!) ¿Cuáles la probabilidad de obtener exactamente 3
caras en 4 tiros de una moneda y una suma igual a
11 en un tiro de dos dados?
o Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30.
¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola
resulte par o múltiplo de S?
Resolución:
II
IA: que llueva => P(A) = 0,11
B: que truene => P(B} = 0,05
Además: P(A n B} = 0,04
Luego:
P(AU B} = P(A} + P(B} - P(A n B}
P(AU B) = 0,11 + 0,05 - 0,04
:. P(AU B} =0,12
~ - -
A: obtener 3 => A = {3} Á n(A} = 1
B: obtener 4 => B = {4} Á n(B} = 1
Luego:
P(A) = n(A) =1. Á P(B}= n(B) =1.
n(O) 6 n(O) 6
o La probabilidad de que Paolo ingrese a la UNAC es
0,3 y de que ingrese a la UNFV es 0,7. Si la pro-
babilidad de que ingrese al menos a una de estas
universidades es 0,8; halla la probabilidad de que
ingrese a las dos universidades mencionadas.
Resolución:
~an los eventos:
A: ingresa a la UNAC; B: ingresa a la UNFV
P(A) = 0,3; P(B} = 0,7; P(A U B} = 0,8
Piden: P(A n B}
Luego: P(AU B) = P(A} + P(B} - P(A n B}
0,8 = 0,3 + 0,7 - P(A n B)
:. P(A n B} =0,2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 243](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-243-320.jpg)
![9. En una carrera automovilística participan 3
peruanos, 3 bolivianos y 5 colombianos. Si todos
tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la
probabilidad de que llegue primero un colombiano
y segundo un peruano?
10. Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de
obtener 10 puntos?
A) 2.
11
D)~
11
B)2-
22
E) -ª-
21
C)2-
11
B) ...L
12
E) 1.
6
C)1.
3
11. Una familia tiene 7 hijos, de ellos 3 son mujeres.
Para la cena se llamó a todos por igual. ¿Cuál es la
probabilidad de que los 3 primeros que lleguen sean
hombres? (Todos gozande las mismas condiciones).
12. Sobre el piso un niño ha dibujado un círculo, luego
duplica el largo de la cuerda usada y usando el
mismo centro dibuja otro círculo, después arroja
una canica sobre los círculos dibujados. Calcula la
probabilidad de que dicha canica caiga dentro del
círculo mayor, pero no dentro del círculo pequeño.
B) -.L
24
E)~
35
C)2-
24
A) 0,75
O) 0,5
B) 0,25
E)0,125
C) 0,4
13. Delos siguientes dígitos: 1; 2; 3; 4; ...; 9. Sitomo 2 de
estos, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia
positiva entre ellos sea 3?
14. Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si
escogemos dos piezas al azar, halla la probabil idad
de sacar un tornillo y una tuerca .
C)1.
9
B) 1.
8
E)~
15
C)-ª-
7
ce ce w «
oi e:i ..... Ñ
...........
Si la probabilidad de ganar una partida de ajedrez es
P
, ¿cuál será la probabilidad de ganar al menos una
part ida en 3 partidas de ajedrez?
[ Rpta.: (1- p)3 ]
.J--------_~ _
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 245](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-245-320.jpg)
![Problemas
. . SiPesverdadero (V), q esfalso (F)y r verdadero (V),
determina el valor de verdad de: (p 1 q) <==> (q ~ r)
Resolución:
Reemplazando los valores de verdad en:
(p 1 q) <==> (q ~ r)
V IF F ~V
F <==> V
F
.. El valor de verdad es F.
o Determina la tabla de verdad de la siguiente propo-
sición: [(p V q) ~ ~q ] ~ p
Resolución:
I Elaborando la tabla de verdad :
p q [(p V q) ~ ~ q ] ~ p
V V V F F V V
V F V V V V V
F V V F F V F
F F F .X... V ...F F
-
~ ~ <:>
8 Evalúa la proposición y establece si se trata de una
tautología, contradicción o contingencia.
[~(~p 1 q) 1 q] ~ q
Resolución:
Elaborando la tabla de verdad:
p q l- (~p 1 q) 1 q] ~ q
V V V F F V V V V V
V F V F F F F F V F
F V F V V V F V V V
F F V V F F F F V F
.'. Setrata de una tautología.
e Si la proposición: (p 1 ~q ) ~ (r ~ s) es falsa, halla
el valor de verdad de p; q; r y s.
Resolución:
(p 1 ~ q ) ~ (r ~ s) ::::::: F
La condicional es falsa solo cuando el antece-
dente es verdadero y el consecuente falso.
254 Intelecturn Evolución 4. o
Luego:
(r ~ s}::::::: F
V F
.'. p::::::: V; q ::::::: F; r::::::: V y s ::::::: F
o Sabiendo que : p ~ (q ~ r) ::::::: F
Determina el valor de verdad de: [~p V q] 1 ~ r
Resolución:
(
p ~ (q ~ r} ::::::: F
V F
V F
Luego: p ::::::: V; q ::::::: V y r ::::::: F
Reemplazando :
[~p V q] 1 ~ r
[~V V V] 1 ~ F
[F V V]1 V
V 1 V
V
.'. La proposición es V.
o Determina si la proposición :
[p 1 {p ~ {q 1 (q ~ r)]}] I~q es una tautología;
contradicción o contingencia.
Resolución:
Elaborando la tabla de verdad:
p q r [p 1 {p ~ [q 1 (q ~ r)])] 1 - q
V V V V V V V V V V F F
V V F V F V F V F F F F
V F V V F V F F F V F V
V F F V F V F F F V F V
F V V F F F V V V V F F
F V F F F F V V F F F F
F F V F F F V F F V F V
F F F F ~, F V F F V F V
1-
~
'--./ ~
. /
I
.'. Setrata de 'una contradicción.](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-254-320.jpg)
![== (~p V q) ~ p
== ~( ~p Vq) Vp
==( ~~p l ~q) Vp
== (p 1 ~q) V P == P == V
p: Juan está enfermo.
q: Juan estudia el sábado en la noche.
~ "Si no p o q entonces p"
'-,----'
, ~ p
(~p 'v q)
8 Simplifica la proposición:
(p ~ <-q) V [ ~ ( p 1 q) 1 r]
Resolución:
(p ~ ~q ) V [~(p 1 q) 1 r]
(~p V ~ q ) V [~(p 1 q) 1 r]
== ~ ( p 1 q) V [~(p 1 q) 1 r]
== ~(p 1 q)
o Simplifica:
(q ~ ~ p ) 1 (p 1 q)
Resolución:
(q ~ <-p) 1 (p 1 q)
( ~q V ~ p ) 1 (p 1 q)
== ~ ( ql p )l ( pl q )
== ~ (p 1 q) 1 (p 1 q)
F
o Simboliza:
"Canto o juego. No canto. Por tanto juego".
Resolución:
p: canto .
q: juego.
"Canto o juego o no canto. Por tanto juego".
[(p V q) ~ ~ p] ~ q
@!) Simboliza:
"Si hablo, me escuchas. No me escuchas. Entonces
no hablo".
Resolución:
p: hablo
q. me escuchas
"Si hablo, me escuchas. No me escuchas.
Entonces no hablo".
[(p ~ q) 1 ~q ] ~ ~ p
€O Se define el operador lógico . , según la siguiente
tabla de verdad:
p q p • q
V V F
V F V
F V F
F F F
Entonces al simplificar la siguiente fórmula lógica:
(P. q) • [(~q V p) • (p ~ q)], se obtiene:
Resolución:
De la tabla de verdad se observa:
(q . p) == (p ~ q) ==~(~p V q)
== p V ~q == ~q 1 P
Luego:
(P. q) . [( ~q V p) . (p ~ q)]
== (~p 1 q) . [(~q V p) . ( ~p V q)]
== (~p 1 q) . [~(~q V p) 1 ( ~p V q)]
== ~( ~p 1 q) 1 [(q 1 <-p) 1 (~p V q)]
(p V ~q) 1 [q 1 {~ P 1 (-: p V q)}]
~p
(p V ~q ) 1 [q 1 ~ p]
(p V <-q) 1 ~ ( p V ~q ) == m 1 -vm == F
4D La siguiente expresión no es falsa.
Si Juan no está enfermo o estudia el sábado en la
noche, entonces está enfermo.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
1. Juan estudia el sábado en la mañana.
11. Juan está enfermo.
111. Juan no estudia el sábado.
IV. Juan va al médico.
Resolución:
----
(
I
~ Juan está enfermo.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 255](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-255-320.jpg)
![1. Determina la matriz principal de la siguiente
proposición: [(p V q) =} q] ~ q
2. Del resultado de la tabla de verdad del siguiente
esquema molecular: (p fj, t) =} (q =} t) se tiene
que la diferencia entre la cantidad de verdades y
falsedades es:
A) VVVV B) VVFV C) VVFF D) VVVF E) FVVV A)4 B)8 C)6 D)3 E) 2
3. Sean las proposiciones p; q; r; s y t donde:
p ~ q es falsa
q V r es verdadera
r 1 s es falsa
s=} t es falsa
Determina los valores de verdad de dichas proposi-
ciones.
4. Sabiendo que p == V Yla proposición:
[(r V ~q) 1 (p V s)] =} (~r V q) es falsa.
Halla los valores de q y r respectivamente.
A) FVFVV B) FVFVF C) FVVFV D) FVFFV E) FVVVF A)VF B)FV C) FF D)VV E) N. A.
s. Si la proposición: [(~p V q) V -rl es falsa.
Halla el valor de verdad de:
1. (p 1 r) =} (p V q)
11. (~p V ~q) ~ (p 1 q)
111. (~p V~r) =} (p 1 ~r)
6. De los siguientes esquemas moleculares, ¿cuáles
son tautologicos?
1. ~(p V q) V ~q
11. [(q V <-r) 1 q] ~ q
111. ~[~q 1 (p V q)] =} (~p V r)
A)VFF B) VVV C) FVV D)VFV E) FFF A) Solo I B) Solo 11 C) Solo 111 D) 11 Y 111 E)Todas
7. El valor de verdad de las proposiciones p; q y r son
respectivamente: V; F Y F. Indica el valor de verdad
de las proposiciones:
1. (p V q) 1 ~r
11. [(p V q) 1 (q V r)] V r
111. [(p 1 r) V~q]1 ~p
8. De latabla de verdad de: [(p =}q) 1 (~q V r)] =} (~p V r)
Indica cuántas V y cuántas F hay.
A) VFV B) VVV C) VFF D) FVV E)FFV A)7;1 B) 1; 7 C) O; 8 D)8;0 E)4;4
256 Inte/ectum Evolución 4.o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-256-320.jpg)
![9. Simplifica la siguiente proposición:
~ [ (~ p V ~q ) ~ ~q l V q
10. Simplifica:
[(~p 1 q) ~ ~(r 1 ~r)ll <-q
A) P B)q C) - p D) -q E)p 1 q A)-q B)q C)p D) -p E) P v q
11. Simplifica :
~ {( p 1 q) V [p 1 (~p V q)J)
12. Simboliza:
Si Ana trabaja o viaja, no trabaja. En consecuencia
viaja.
A)- (p v q)
O)P V q
B)- (p 1 q)
E) - p 1 q
C)p lq
A) [(p v q) ~ - q) ~ p
C) [(p v q) ~ - p) ~ q
E) N. A.
B) [(p v q) ~ <-p] ~ p
O) [(p V q) ~ - q) ~ q
13. Simboliza:
Luisva al cine sí tiene dinero.
No tiene dinero. Por lo tanto no va al cine
14. Simboliza:
Giuliana es bonita pero no es feliz.
Es joven o es feliz. Entonces Giuliana es bonita.
A) [(q ~ p) 1 -q) ~ - q
C) [(q ~ p) 1 - p) ~ -q
E) N. A.
B) [(q ~ p) 1 - q) ~ - p
O) [(q ~ p) 1 - p) ~ -p
A) [(p 1 - q) 1 (q V r)) ~ p
B) [(p 1 -q) 1 (q 1 r)) ~ p
C) [(p 1 -q) V (q 1 r)) ~ p
O) [(p 1 -q) V (q V r)) ~ p
E) N. A.
Dado el siguiente circuito:
~-----
_ .. - -
Rpta.: p 1 q
- p -
q
-f:l
Su equivalente es:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 257](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-257-320.jpg)
![B) Contingencia
D) Conjunción
NIVEL ,
Evalúa las siguientes fórmulas lógicas e índica el tipo de
esquema molecular.
CD (p V q) ~ (~p ~ q)
A) Tautología
C) Contradicción
E) Condicional
® ~q ~ [{p ~ q)l~p]
A) Tautología
C) Contingencia
E) Condicional
I
l~__~_
B) Contradicción
D) Conjunción
o [(p 1 q) V q] 1~q
A) Contingencia
C) Contradicción
E) Condicional
B) Tautología
D) Conjunción
(2) [(p ~ q) 1 <-q] ~ <-p
A) Conjunción
C) Contradicción
E) Condicional
/ - - -
B) Contingencia
D) Tautología
® (p ~ q) V (p ~ q)
A) Conjunción
C) Tautología
E) N. A.
B) Contradicción
D)Contingencia
® (p 1 q) 1 (p ~ ~q)
A) Tautología
C) Conjunción
E) Contradicción
B) Contingencia
D) Condicional
o (~p Vq) ~ (~q ~ ~ p)
A) Conjunción
C) Contradicción
E)Tautología
B)Contingencia
D) Condicional
® ~( p ~ q) ~ ~ (~q V p)
A) Contradicción
C)Tautología
E) Conjunción
B)Contingencia
D) Condicional
NIVEL 2
---- - -- - ~~--~~-
j
C) Falta s
1-
I
De la falsedad de: (p ~ <-q) V (~r ~ <-s}: halla el valor
de verdad de:
@ ~(~q V ~s) ~ ~ p
A) Falso B) Falta p
D) Verdadero E) Falta r
B) Tautología
D) Conjunción
® (p l ~q) ~ ~(~pV q)
A) Contingencia
C) Contradicción
E) Condicional
258 Inte/ecturn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-258-320.jpg)
![@ ~(~r 1 s) ~ (~p ~ q)
A) Falta s B) Falta p
D) Falta r E) Verdadero
@ p ~ ~ [q ~ ~(s ~ r))
A) Falta s B) Falso
D) Falta r E) Falta p
C) Falso
C)Verdadero
@ Simplifica la siguiente proposición:
~ [~ ( p 1 ~q ) ~ p] V q
A) P ~ q B) P 1 q C) P V q
D) ~ p 1 q E) P ~ q
@ Simplifica lasiguiente proposición:(p v q} » (~p lq)
A) P V q B) <-p C) P 1 q
D) ~ p 1 q E) <-q
Halla el valor de verdad en las siguientes proposiciones
lógicas:
@ (p ~ q) ~ r; r= V
A) Verdadero B) Falso C) Falta q
D) Falta r E) Falta p
NIVEL 3
@ Cuando losgallos no cantan, no llueve o no hacesol.
A)p~q B) ~ r V ~q
C) ~ r ~ (~p V ~ q ) D) r ~ ~q
E) P~ r
@ (p Vq) ~ (~p l ~q);q =V
A) Falta r B) Falta q
D) Falta p E) Verdadero
@ (p 1 q) ~ (p 1 r); p = V Y r = F
A) Falso B) Verdadero
D) Falta q E) Falta p
@ P 1 (q ~ r) ; r =V
A) Falta p B) Falta q
D) Falso E) Verdadero
C) Falso
C) Falta r
C) Falta r
@ Llueve y los gallos no cantan o bien hace sol y los
gallos no cantan.
A) (p V ~ r) 1 q B) (p 1 ~ r) V q
C) p ~ q D) (p 1 ~r) V (q 1 ~ r)
E) (p V q) ~ r
@ Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y,
por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas.
A) ~r 1 q B) (p ~ q) V r C) p ~ r
D) r V q E){p V q) 1 r
@ Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la
reflejan y giran alrededor de ellas.
A) p ~ r B) (p V r) ~ q C)~ p 1 q
D) P ~ (q 1 r) E) p ~ q
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 259](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-259-320.jpg)
![@ Si x = 1 e y = 2, entonces z = 3, si y = 2, Z = 3,
entonces w =O; x =1. Por consiguiente, w =o.
,,
¿
)
@ Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa,
fracasará en los exámenes y no será aplaudido.
@ Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia
en casa, entonces fracasará en los exámenes o no
será aplaudido.
A) (p V q) => - s
C) (r V s) => q
E) (-p V- q) => (r A- s)
A) (p Aq) => -s
C) - (p A q) => (r V - s)
E) - (p V q) <=) s
B)p=>(-r Vs)
D)(-p A q) V r
B) (p Vq) => r V-s
O) (p V q) => - s V r
A) (p V q) <=) (-r A s)
B) (p A q) => (r V <-s)
C) (p A q) => (r V s)
O) {[(p V q) => r] A [(q => r) => s]}
E) {[(p A q) => r] A [(q => r) => s] A p} => S
@ Si <1> es un operador lógico definido mediante la
siguiente tabla de verdad.
p q p<l>q
V V F
V F F
F V F
F F V
@ Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra
parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido.
Entonces al simplificar la proposición:
(p <1> q) <1> (q <1> p), se obtiene:
A) p <=) q B) P V q
D) -p Aq E)p =>q
C) P A q
A) (p A q) V (r A - s)
C)p=>r Vs
E) (p V q) => r V - s
B) (p A q) => r V s
O) (p A q) A (r V -s)
@ Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en
casa, no se dará que fracase en los exámenes y no
sea aplaudido.
A) (p A q) => r A s
C) - (p V q) => - r
E) (p A q) <=) - (r A -s)
B) (p V q) => - r A s
O) (p V q) <=) s
NIVEL 1
LA
2. e
3. D
4. E
5. B
6. e
7. D
8. E 15. D 22. D
9. B 16.A 23. E
NIVEL2 17. E 24. e
10. A 18. B 25. A
11. E NIVEL3 26. E
12. B 19. e 27. E
13. A 20. D 28. B
14. e 21. E
260 Inte/ectum Evolución 4.o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-260-320.jpg)
![~!J Psicotécnico
DEFINICiÓN
Los test psicotécnicos son pruebas que permiten apreciar aptitudes o capacidades,
tales como: inteligencia general, memoria, percepción o atención.
Ejemplo 1:
¿Qué figura continúa?
Resolución:
El número 1 gira en sentido horario, mientras que el 2 y 3 giran en sentido antihorario.
La alternativa correcta es la A.
A) [TI]
[ili]
BI ffij Cl rn
rn
Dl tBj
Ejemplo 2:
¿Cuántos números 5 hay en la siguiente sopa de números?
1 3 5 7 8 6 1 2
5 O 2 3 5 O 1 9
7 5 8 1 6 3 9 9
O 7 3 5 O 5 3 9
2 2 4 5 1 3 2 1
3 9 2 3 4 9 5 O
A) 6 B) 7 Cl 8 D) 5 E) 9
Resolución:
Ocho veces se repite el número 5 en la sopa de números. Alternativa C.
TIPOS DE TEST
Desarrollaremos solo algunos de los tantos tipos de test psicotécnicos.
Test de aptitud verbal
Se miden por medio de ejercicios de sinónimos, antónimos, analogías, etc.
Ejemplo:
Señala la palabra que no corresponde al grupo:
En las sucesiones
compuestas por las letras
del alfabeto no se toman
en cuenta las letras eh y L1,
a no ser que se indique lo
contrario.
A) Talón
D) Brazo
B)Codo
E) Rodilla
C] Hombro
Resolución:
Son articulaciones que unen partes de nuestro cuerpo a excepción del brazo.
Alternativa D.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 261](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-261-320.jpg)
![Test de aptitudes numéricas
Setrata de operaciones elementales y problemas sencillos de razonamiento numérico.
Ejemplo:
En el siguiente cuadro, haciendo una operación, dos de los números de cada fila dan
como resultado un tercero. ¿Qué números faltan en el cuadro?
Laoperación es una resta. Los números que faltan son el4 y 2. Alternativa B.
Para resolver una serie en
un examen psicotécnico, de-
bes ver cómo se relacionan
las figuras o números que
conforman dicha serie y así
encontrarás el siguiente ele-
mento.
A) 3 Y 1 B) 4 Y2
6 2 4
2 ? O
? O 4
C) 2 YO O) 4y 3 E) 5 Y3
Test de aptitudes de razonamiento abstracto
Se trata de secuencias de números, secuencias de figuras, test de dominó, monedas,
etc .
Ejemplo:
¿Qué figura continúa?
B
o: Bo
o: B:: ?
• • 1 , ,
•• •• •
B
o
o
o o
A) o o B
o o
o o
B) o a
oo
o o
C) B
o
o
o o
O) ooo B
o
o o
E) ooo
La fila superior aumenta de 1 en 1, mientras que la inferior disminuye de 2 en 2.
Alternativa C.
Test de aptitudes de razonamiento espacial
Se trata de secuencias con figuras espaciales y su desarrollo en el plano.
Ejemplo:
¿Qué figura es el desarrollo del siguiente solido?
A) ~B)+
• • • •
•
C
+ }
. D
q ] = o }
• • • •
•
Resolución:
Al desarrollar el solido, vemos que la alternativa correcta es la D.
262 Inte/ecturn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-262-320.jpg)
![Problemas
. . ¿Qué letra continua en la sucesión?
A; D; G; J; ...
A)M
D)P
Resolución:
B)N
E) O
ClL
Resolución:
A; D; G; J; ...~.
<:»<:»<:»<:»
BC EF HI KL
2 2 2 2
Clave A
r~-------- - - - - -
En cada fila yen cada columna hay un cuadra-
do, un triángulo y un círculo, entonces en la
posición que falta debe ir un cuadrado.
Clave D
o Halla la figura que continúa:
Q ,[d,[l],[J
A)1 B) Cl ,
D)< E} ~
Resolución:
La manecilla inferior permanece estática,
mientras que la otra avanza en sentido anti-
horario.
Clave B
• Halla la figura que no corresponde:
AI~ BI~ C)~
D)~ E)~
Resolución:
El punto se ubica siempre a la derecha de la
parte sombreada, a excepción de la opción A.
Clave A
e Halla la figura que falta:
- - - - - - - - - - - - - - - - -
• Halla la figura que continúa.
~@~6U
~ ,w,w,w, ···
@ ~ @
A} W B} ~ Cl W
D} {jj"j E} ~
W W
Resolución:
/
Podemos distinguir dos sucesiones. La prime-
ra está compuesta por los cuatro primeros nú-
meros primos.
2; 3; 5; 7; x =} x=11
I La segunda sucesión es:
18; 11; 6; 3; Y =} Y=2
------....... ------....... ------....... ------.......
7 5 3 1
----------------
2 2 2
Por lo tanto, la figura que continúa es:
8 z=l1 X2
~ z=22
La respuesta es la alternativa D.
o ¿Cuál de lasfiguras no guarda relación con lasdemás?
• .
cr» S 2
1 2 3
S ~ S·
• •
4 5 6
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 263](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-263-320.jpg)
![Figura patrón Reflejo
• •
S2
Podemos darnos cuenta de que todas las figu-
ras son congruentes, a excepción de la figura
3, la cual no proviene de un giro de la figura
patrón, sino proviene de un reflejo tal como
podemos ver a continuación :
Resolución:
~ ,~ ,[}J..
A)~ BI ~ C) I'=::~
DI[§] E)~
o ¿Qué figura completa la siguiente secuencia?
C)4
B) 3
E) 6
Resolución:
A)2
D)5
Por lo tanto, la respuesta es la alternativa B. Ambas flechas giran en sentido antihorario un
ángulo de 45° por cuadro, por lo tanto la alter-
nativa correcta será la B.
• ¿Qué figura continúa?
Resolución:
o ¿Qué sólido proviene de la siguiente figura?
C)OO
00,00,00,00,·
·
·
B)OO
E)OO
AlOO
D)OO
- -----
El triángulo sombreado gira en sentido horario.
De la primera a la segunda figura avanzó una
posición; de la segunda a la tercera avanzó dos
posiciones; de la tercera a la cuarta avanzó
tres posiciones.
Por lo tanto, de la cuarta a la quinta figura
avanzará cuatro posiciones, resultando la si-
guiente figura:
Entonces: alternativa A.
A)@j B)~ C)~
DI~ E)~
Resolución:
,
Cuando armamos el sólido vemos que las
caras que contienen los cuadrados verdes no
pueden ser contiguas, además no existen dos
caras que contengan triángulos; por lo tanto la
alternativa correcta será la C.
264 Int:elect:urn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-264-320.jpg)
![1. Completa la siguiente serie:
1; N; 3; Q; 9; T; 27; ... ; oo.
2. Si el ayer de anteayer del día anterior de pasado
mañana es el ayer del martes. ¿Qué día esel mañana
del pasado mañana del día posterior del anteayer?
A)X;243
D)X;81
B) v. 54
E) W; 243
Cl W; 81 A) Lunes
D) Viernes
B)Sábado
E)Jueves
C) Martes
3. Una de las figuras no guarda relación con las demás:
B) ~
4. ¿Cuál de las alternativas corresponde al desarrollo
del siguiente sólido?
o:: C>
Al ~
Dl<1]
-n
El1I)
s. Indica la figura que se observa al colocar un reloj
delante de un espejo.
ffi
A)l) ffi
Cl zl/
6. De las cinco figuras que se presentan a continuación,
dos son congruentes. Indica cuáles son:
Jz[~:tri>-4
(1) (2) (3) (4) (5)
ffi
D)W E)ffi
W A) 1 Y3
D) 2 Y5
B) 2 y4
E) 2 Y3
Cl 1 Y5
8. ¿Qué figura continúa?
7. Para que la suma de los puntos de la parte superior
sea igual a la suma de los puntos de la parte inferior,
¿qué ficha debe invertirse?
a BIB 8
A) :.: Cl :.:
• •
DIB • •
E) • •
•
•
• • •
A)~
D)Cf!D
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 265](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-265-320.jpg)
![9. Halla la figura que continúa: 10. Halla la figura que continúa.
11. ¿Qué figura continúa? 12. ¿Qué figura continúa?
A) 5[j B) 5TIJj C)~
D) 5I[j E)~
A) I 1*101 1 B) I 101*1 I C) I 101*1
D) 1 101 1*1 E)I 1 1*101
13. El gráfico que sigue es:
• •
D+,D~B ,G , ...
14. Halla las figuras que continúan en los recuadros
vacíos.
•
B)G· C) D +
•
E).G] A) XXX
D)OXX
B)OXO
E)XOO
C) XXO
o w
..; ..¡
..........
¿Qué figura es el desarrollo del siguiente sólido?
U a:l U u
7 l
.n cD ...: r:O
u o o o Rpta.: e
.,.; N ..; ..¡
w ce CD u
ai c:i .,... Ñ
...............
266 Inte/ectum Evolución 4.o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-266-320.jpg)
![o ¿Cuál es la figura que no guarda relación con las
demás?
NIVEL ,
CD Halla la figura que continúa.
~'~'~'~" "
A)~ B) ~ C) ~
D)~ E)~
A)4
1
B) 1
2 3
C)2
4
D)3
5
E) 5
o ¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión?
@'@'@'@'@'OO'
B)@ C)@
E)@
® ¿Qué figura continúa?
G) ¿Qué figura continúa?
& ,~ ,(J), .oo
B)W C)8
E)e
8 08 8 B B
o 8 esa 8 0 8,como B es a:
A) ~
D)~
B)i]
E)~
[[]
A) -rr
m
BB
D) o
B
B
B) o
BB
B
E) o
BB
B
C) o
BB
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 267](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-267-320.jpg)
![~
b. E@ ~
c
@ 8 esa {~}~ como & esa:
o o o d e
Al~
Dl~
NNEL3
B)~
E)~
@ Halla la figura que completa la siguiente sucesión.
0 ,5J ,[2j ,...
Al[] Bl[g C)~
D)Cfj E)~
B) c9
@ Halla la figura que sigue.
EE ,B
C) D
, ffi ,...
D) 8
@ ¿Qué figura no tiene relación con las demás?
@ ¿Qué figura no guarda relación con las demás?
Z L:J r0J () c:J7
A) 1
D)2
1 2 3
B) 3
E) 4
4 S
C)5
1 2
A) 1 B) 2
3
C)3
4 S
D)4 E)5
@ Halla la figura que sigue.
@ ¿Qué figura no guarda relación con las demás?
©~~&O
A)4
1
B)3
2 3
C)2
4
D) 1
S
E) 5
~'~'~'~''''
A)~ B)~ C)~
D)~ E)~
270 tnxetectiurn Evolución 4. o](https://image.slidesharecdn.com/intelectumcuarto-220703234750-81422db7/85/INTELECTUM-CUARTO-pdf-270-320.jpg)
INTELECTUM CUARTO.pdf
- 1. ... . . I t.el .,.. .,;'" ... e . p r ...: :rn,,· EVOLUCiÓN Editorial ~~ a Z D nafTIlenlc ~ MalefTI áll
- 2. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CUARTO GRADO DE SECUNDARIA COLECCiÓN INTELECTUM EVOLUCiÓN © Ediciones Lexicom S. A. C. - Editor RUC 20545774519 Jr. Dávalos Lissón 135, Cercado de Lima Teléfonos: 331-1535/331-0968/332-3664 Fax: 330 - 2405 E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com www.editorialsanmarcos.com Responsable de edición : Yisela Rojas Tacuri Equipo de redacción y corrección: Eder Gamarra Tiburcio / Jhonatan Peceros Tinco Josué Dueñas Leyva / Saby Camacho Martinez Óscar Díaz Huamán Diseño de portada: Miguel Mendoza Cruzado / Cristian Cabezudo Vicente Retoque fotográfico: Luis Armestar Miranda Composición de interiores : Miguel Lancho / Carol Clapés Hurtado / Melissa Chau / Cristian Cabezudo / Vilma Jacquelin Añazco / Lourdes Zambrano Ibarra Gráficos e Ilustraciones: Juan Manuel Oblitas / Ivan Mendoza Cruzado Primera edición: 2013 Tiraje: 9000 Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú N.O2013-18811 ISBN: 978-612-313-116-6 Registro de Proyecto Editorial N." 31501001300694 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del editor. Impreso en Perú / Printed in Peru Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 978 - Lima. Teléfonos 331-1535 / 331-0968 / 332-3664 E-mail: ventas_escolar@edicioneslexicom.com Impresión: En los talleres de la Industria Gráfica Cimagraf S.A.C. Psje. Santa Rosa 220 - 226 N.o220, Santa Angélica, Lima - ATE RUC 20136492277 La COLECCiÓN INTELECTUM EVOLU CiÓN para Secundaria ha sido concebida a partir de los lineamientos pedagógicos establecidos en el Diseño Curricular Nacional de la Educación Básica Regular, además se alinea a los patrones y estándares de calidad aprobados en la Resolución Ministerial N.o0304-2012-ED . La divulgación de la COLECCiÓN INTELECTUM EVOLUCiÓN se adecúa a lo dispuesto en la Ley 29694, modificada por la Ley N.o29839, norma que protege a los usuarios de prácticas illcitas en la adquisición de material escolar. El docente y el padre de familia orientarán al estudiante en el debido uso de la obra.
- 3. NTELECTUN Razonamiento matemático 11I::= :'- Presentación El vocablo razonamiento proviene del verbo razonar que significa 'inferir, conjeturar ordenando ideas en la mente para llegar a una conclusión' . De esta manera podemos afirmar que el razonamiento matemático esaquella disciplina académica que basada en los conocimientos de la matemática busca desarrollar las aptitudes y las habilidades lógicas de los estudiantes para deducir una solución a un problema, para sacar una consecuencia de algo por indicios y conducir a un resultado. Teniendoen consideración cuán importante espotenciar lashabilidades, hemoselaborado el libro de Razonamiento matemático como un instrumento pedagógico que conllevará a esta meta. Laestructura de cada libro está diseñada de acuerdo a losnuevoslineamientos de la educación cuyo objetivo es que todos desarrollen la capacidad de pensar, creativa y críticamentey procesen de manera exitosa los conocimientos. Nuestra propuesta pedagógica se inicia con páginas binarias conformadas por una lectura de contexto matemático que motivará al estudiante a conectarse con este conocimiento al corroborar que le servirá y le será imprescindible en su vida actual y futura. Complementan las binarias la sección Matemática recreativa, que propone un problema cuyas pautas para solucionarlo se darán a través de un diálogo entre los personajes de la colección (mediadores cognitivos). Continúa el Marco teórico desarrollado de manera clara y precisa en cuatro unidades, que tienen como soporte los problemas resueltos, donde desarrollamos diversas estrategias que entrenarán las capacidades específicas del estudiante. Todo este marco teórico es aplicado a la práctica a través de dos secciones: Actividades de razonamiento, para que el estudiante inicie la aplicación del conocimiento procesado. Al final de cada actividad hay un reto. Y la sección Refuerza practicando, que afianzará aún más la práctica con problemas propuestos por niveles, para que el avance sea de modo progresivo y se pueda ser capaz de afrontar nuevos y grandes retos. Todo lo propuesto en la colección contiene situaciones de aprendizaje variadas que permitirán obtener resultados cualitativos y cuantitativos en el proceso cognoscitivo de los estudiantes. Nuestro firme propósito es formar jóvenes capacitados, preparados, competitivos, eficientes y eficaces. ¡A esforzarse y a triunfar!
- 4. Página que Inicia la unidad Conformada por una lectura matemática de contexto cotidiano que conducirá al estudiante a una motivación concreta al comprobar que la matemática está asociada a su entorno real. MalefT1~llca r-e cr-e atrva -- ~ . , _ _.._ . ... __-_.. _ .._---"" _ ....~.----.- - _ . _ _ .. ~& ..... .... 0>0 _ _ " _ ... --_.._....~ ..............,..~., .......-.........-.... .__.. ..- .. .. _---- --_.- _ _ " _ _ OOOOO'OS> ... <I<' ------ ..........-.._--..... _ .._..--.._..- ,...._-.,....,,"'~ .""""'''''''_....-.. lD',"'_iIoqó~ .....<6.... ..-'_......~ Malerrlállca recreallva Sección que inicia de manera entretenida y divertida los conocimientos con un problema matemático que a través de un diálogo entre los personajes de la colección (mediadores cognitivos) se proporcionarán las pautas para solucionarlo. Conlenldo leórlco ._ . ...__1_._..._1_.-1...._ _ _ _..ae_ _...... __. _•• __.. _ .~ .. - -v-> ..·v- 00" ... "1> ,, : ::~7,:.~:,~.: -:.:.~; ..- ..._ -_..._ ...- .,-.._._.- .- ~- ip ._ - _.._-......_..._--,....... _. '- _ _ ... _ .. _ ...... _ .. _ _ 1 __ __-.----_..._.,- _-- · '-_.:. _"•. _,0:>•• (· _ 10 .. • _ ... ....' 1 _.. 1 ....... _ .. .... _ ....._'1._ -""""" ,............ · e:-.. . _...._ ... _ ... _I...... __......._w_ ·_1oo ·'oU_I.ü _ . w,..- •.1Q'¡""" '1IIl _.._-_. .-"..--.""". - - - b_e.'-' . e-........_ . _ _.. _._ _ ...... _ _ _ ' _ " __ V _ _ ... _.J _ _ _ _....._ ...... _ •• _ u_ N!:lt -- - - . ::"-=::- .'::'1 . '- J~~ii .~:~.:,,:.;~~~:~~._..""- :.._~~ .J Compuesto por una variedad de conoci- mientos enfocados en el razonamiento aritmético, razonamiento algebraico y ra- zonamiento geométrico los que a su vez ponen en práctica el razonamiento lógico abstracto, el razonamiento operativo y el razonamiento organizativo. El desarrollo de cada tema se ha hecho con criterio pedagógico teniendo en cuenta el grado académico.
- 5. tntete c t u ttt- EVOLUCtON Raz O n",,"en ' D < MatefTIáll Gran cantidad de problemas desarrollados por tema donde aplicamos diversas estrategias que entrenarán lascapacidades del estudiante. ProblefTlas resuellos : 1 ~t ¡~I'I ~I '" . =,~ ..:::.._...._._- . N ........_·..__~._ ......,""'" ':.'¡, f, ' ..._ .....~ . _ ...._, '~ ~ . ~ ._..._ ......- "'- -- '""- ----- '...__._.. --,......_- 0 •• *_ _.1 .. -_.._-_ ..- . _ ~ - ~ - ,_ ..--_.. .......,.-""._._ . ".. t :::' ......-.. _____._10_ _ ...... _ _ U' •• • • _ 0 _ _ .. _ . _ _ _ ......__..__ "... ... -.le.__._. -, resueltos 1-- '. " .,.... . .-_ ........-_._ _" ... ... l . ......._----- ...._ ....._-.'"'.,'- -....-__.....- .""_-...._ ....._ _..- -..,,_ ,-.. .._ ...- ...._ .... Problemas 0 .. _ ......... _.., .. _ .., .. -_.._ - ..........."'-, --"l·" :"1.""- .!!El,vl d ad e 5; IlJIlIlm:tllIlmlllllllllE~__':'=--=-=•••••_ ----- ~ ..._ _ '"' 0-'__ "._"_" __ _ ...... ,••__ _.- ...........o.t_-...._ , ..""', " .. ............ --" ...._-_._-- _ . _.... _ _1 "..... _.. . ._. .. --. __..- n ._._ ".__.o<Moo .... _ ..._' -'oi> to. ... <1' t-. ."' "-"'''- ,_..-. _., ..""_ _' ,- -." __,_"".,., .. __ _ _. _ .... _ 11 _ _ .. 't._ _ .. U _ u_.. _ _.. _ -_...,._._...,........ .. .. -.1 ...._ .. ,--._ ............. lI'..... _ _." .. _ ...... . "".. _,,__ dM_ .. • ._ --_._-_. -iQ,--_......... .. """_.....-.-.__..._'" ..........._--_.. ---- --_.... ..,.~-_.- - AcllvldCldes de rClzonalTlIenlo Actividades propuestas para que el estudiante empiece su entrenamieto del conocimiento procesado; son actividades elaboradas también por tema. Al final de cada actividad hay un reto que el alumno debe intentar resolver. ~ - Refu e r za . . prachcan d'Ol :- 11 E 'i' ::=:':~=::"~"';-""'''' """') 1Il +'''- l; " ~e:::..:.:::.. ...........__...- ......_.._._,_.-..- ...._ ..._ .........."..~.. Refuerza pracllcClndo .11_ .... _ _. .. .... . _ _ _.f_~_'_" - ...-_ . , ...---_..,...,,_..-- _ _ . t _ ...-......,,_..,,- ..-_.......,-- ......_-- ~ ..._ ..-. .- ........_ , ....._.._.__....- __.__ ~ ._ ll . "_ .. ..__."''''1'.... - ~., :=.":::'14':..":""'-...........• A "'" ."tI· ...,v li ,, __ .. _ .. _ I'_' _..-,_.._--,... ~ .......,.._._-- .......- ..__...,,_ . ....._.._._.-__.. _ .._----,..- --_...... -.- ... "~ " _" __'_""_"'_ ......- ..""'''''...._- .... .-J_..__.....- . ..,~...... "'....... 'Y'OII... IlIU& '1lQ!t.", Problemas clasificados en niveles con la finalidad de que el alumno refuerce en forma progresiva y llegue preparado para enfrentarse a grandes y nuevos retos.
- 6. Planteo de ecuaciones 10 Definición y Resolución de problemas. Actividades de razonamiento. 13 Refuerza practicando. 15 Edades 19 Casos cuando interviene la edad de una Actividades de razonamiento. 22 (¡ persona y cuando intervienen las edades de Refuerza practicando. 24 dos o más personas. Móviles 28 Tiempo de encuentro. Tiempo de alcance. Actividades de razonamiento. 33 Casos particulares. Refuerza practicando. 35 , Cronometría 39 Campanadas. Tiempo transcurrido y tiempo que Actividades de razonamiento. 44 falta transcurrir: Adelantos y atrasos. Angulo Refuerza practicando. 46 formado por las manecillas del reloj. Induccíón- Deducción 50 Razonamiento inductivo. Razonamiento Actividades de razonamiento. 53 deductivo. Refuerza practicando. 55 Cuadrados mágicos 60 Definición. Construcción de cuadrados mágicos . Actividades de razonamiento. 65 Propiedades de los cuadrados mágicos(de Refuerza practicando. 67 ~ orden 3 y de oreden 4). Operadores matemáticos 74 Operación matemática. Operador matemáticos. Actividades de razonamiento. 77 Refuerza practicando. 79 Conteo de figuras 83 Método de parte. Método por fórmula . Actividades de razonamiento. 88 Refuerza practicando. 90 Fracciones 94 Definición . Clasificación de fracciones. Actividades de razonamiento. 99 Fracciones equivalentes. Relación parte-todo. Refuerza practicando. 101 Fracción geometrica. Tanto por ciento 104 Definición. Tanto por ciento de una cantidad. Actividades de razonamiento. 108 Relación pate-todo. Descuentos y aumentos Refuerza practicando. 110 sucesivos. Variación porcentual. Aplicaciones comerciales. Magnitudes proporcionales 114 Magnitudes directamente proporcionales (DP). Actividades de razonamiento. 118 Magnitudes inversamente proporcionales (IP). Refuerza practicando. 120 Comparación simple . Comparación compuesta. Orden de información 124 Definición . Ordenamiento por cuadros de doble Actividades de razonamiento. 131 entrada. Ordenamiento circular. Refuerza practicando. 134
- 7. Sucesiones 142 Actividades de razonamiento. 147 Definición. Sucesiones numéricas. Sucesiones alfabéticas. Sucesiones gráficas. Refuerza practicando. 149 Series y sumatorias Actividades de razonamiento. 158 Series (serie aritmética, serie geométrica, series notables). Sumatorias (propiedades) Refuerza practicando. 160 Analogías y distribuciones numéricas Actividades de razonamiento. 167 Aplicaciones. Refuerza practicando. 169 Desigualdades e inecuaciones. 173 Actividades de razonamiento. 177 Ley de tricotomia. Intervalo (intervalo acotado e intervalo no acotado). Refuerza practicando. 179 Logaritmos 182 Definición . Propiedades sobre logaritmos. Actividades de razonamiento. 186 Funciones derivadas de logaritmo (cologaritmo Refuerza practicando. 188 yantilogaritmo). Cerillos Actividades de razonamiento. 196 Fósforos que se trasladan o desplazan. fósforos que se quitan o agregan. Refuerza practicando. 198 Razonamiento geométrico Triángulos (propiedades básicas y Actividades de razonamiento. 210 congruencia). Cuadrilateros (propiedades básicas , clasificación). Circunferencia (angulos Refuerza practicando. 212 en la circunferencia). Perímetros y áreas 216 Actividades de razonamiento. 222 Perimetros. Áreas de regiones triangulares, Refuerza practicando. 224 cuadrangulares y circulares. Análisis combinatorio 230 Factorial de un número. Principios fundamentales Actividades de razonam iento. 235 de conteo. Permutaciones (permutación lineal y Refuerza practicando. 237 circular, permutación con elementos repetidos. Combinaciones (propiedades). Probabilidades 240 Experimento aleatorio. Espacio muestral. Even- Actividades de razonamiento. 244 to o suceso . Sucesos mutuamente excluyentes. Refuerza practicando. 246 Sucesos independientes. Definición de probabi- lidad P obabilidad condicional. Lógica proposicional 250 Definición. Proposición (clases de Actividades de razonamiento. 256 proposiciones). Tablas de verdad . Operaciones lógicas (conjuncion, disyucción, condicional, Refuerza practicando. 258 bicondicional y negación). Evaluación de formulas lógicas . Leyes del algebra proposional. Psicotécnico Definición. Tipos de test (test de aptitud verbal , Actividades de razonamiento. 265 test de aptitudes numéricas, test de aptitudes Refuerza practicando. 267 de razonam iento abstracto, test de aptitudes de razonamiento eSp'acial).
- 8. El basilisco tiene el apodo de Lagartija de Jesucristo o Lagartija Jesús porque al huir de un depredador, toma suficiente impulso (velocidad de impulso aproximadamente 1,5 mis) como para correr sobre el agua por una distancia breve, alcanzando las más jóvenes, velocidades de hasta 3 mis. Esto lo logran debido a que tienen dedos largos con membranas de piel que les permite tener una mayor área de contacto con el agua. Al correr rápidamente, azotan sus pies contra el agua creando pequeñas burbujas de aire que les ayudan a mantenerse a flote. Esta lagartija vive en los bosques tropicales de Centro América, desde México hasta Panamá. Generalmente viven en los árboles, cerca de cuerpos de agua.
- 9. Ma I:.~ m á 1:.1 e a Investigación criminal El Sr. Fernández se dio cuenta al llegar a su oficina. que había dejado. entre las páginas del libro que estaba leyendo, un billete de 50 euros. Preocupado. de que no fuese a extraviarse, llamó a su casa y le dijo a la empleada que le diese el libro que contenía el billete, a su chofer, que iría a recogerlo. Cuando el chofer se lo trajo, el billete había desaparecido. Al tomar declaración al chofer y a la empleada, esta última dijo que comprobó personalmente que el billete estaba dentro del libro cuando se lo dio al chofer, precisamente entre las páginas 99 y 100.A su vez el chofer declaró que al darle el libro la empleada, él miró el reloj y vio que eran las 9:30 a. m.. dirigiéndose a la oficina del Sr. Fernández, situada a 500 m, adonde llegó a las 9:45 a. m.. ¿Quién miente de los dos? r~ e r~ a I:.lva
- 10. l!I!J Planteo de ecuaciones DEFINICIÓN Plantear una ecuación es tra- ducir un enunciado a un len- guaje matemático (ecuación). El arte de plantear ecuaciones es una habilidad sumamente importante para la resolu- ción de problemas, para ello tenemos que traducir un problema dado en un lenguaje convencional, al lenguaje matemático con ayuda de símbolos, variables o incógnitas. Ejemplo: "Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas que le dejó su marido. Si nacía una niña, la madre de acuerdo con las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si nacía un niño, la madre recibía la mitad de la parte del hijo. Pero nacie ron mellizos: un niño y una niña". ¿Cómo hay que dividir la herencia para cumplir con las condiciones impuestas por dicha ley? Resolución: Veamos el siguiente esquema: Niña o Madre 00 Niño 0000 A continuación veamos la traducción de ciertos enunciados dados en forma verbal a su forma simbólica. Para solucionar el problema, luego de interpretar adecuadamente el texto hemos ido transformando las condiciones en una igualdad para generar una ecuación. Forma verbal Forma simbólica 1 La suma de tres números consecutivos es 3000. x + x + 1 + x + 2 = 3000 2 La edad de Ana es dos veces la edad de Betsy. Ana = 2x; Betsy = x 3 La edad de Ana es dos veces más que la edad de Betsy. Ana = 3x; Betsy = x 4 El quíntuple de un numero, aumentado en 30. 5x + 30 5 El quíntuple de un número aumentado en 30. 5(x+ 30) 6 El exceso de "A" sobre "B" es 50. A - B = 50 7 Yo tengo la mitad de lo que tú tienes y él el triple de yo = x, tú = 2x; él = 6x lo que tú tienes. 8 En una reunión hay tantos hombres como el triple del H = 3x número de mujeres. M=x 9 He comprado tantas camisas como soles cuesta cada Compro = x camisas una. Costo = 51. x 10 Gasté los 5/3 de lo que no gasté. No gasté= x; gasté= ~ x Recibe el doble de la madre 500 monedas 1000 monedas 2000 monedas Niña : Mamá : Niño: El reparto debe efectuarse de la siguiente manera : Recibe el dobl e de la niña niña + mamá + niño = 3500 x + 2x + 4x = 3500 7x = 3500 x = 500 . .. Los 2/3 de un número disminuido en 7. l.(N - 7) 3 Para el planteo de una ecuación es importante tener en cuenta "La coma". Ejemplo: • Los 2/3 de un número, disminuido en 7. l.N -7 3 .. El exceso de un número respecto a otro, es la diferencia de dicho número respecto al otro. Ejemplo: El exceso de "A" respecto a "B" es 5, entonces: A-B=5 10 Inte/ectum Evolución 4. o
- 11. ProbLemas . . 3 cestos contienen 375 manzanas, el primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el primer cesto? Resolución: Según los datos: l. er cesto: x + 15 2: cesto: x + 5 s." cesto: x Por condición del problema: x + 15 + x + 5 + x = 575 3x + 20 = 575 3x = 555 ~ x = 185 Finalmente: l. er cesto = x + 15 = 185 + 15 = 200 e Reparte 850 entre M, N YP de modo que la parte de P sea 1/4 de M y la parte de M sea 1/3 de N. Indica lo que recibe M. Resolución: Del enunciado se tiene: p=M 4 M =.!! ~ N = 3M 3 Por dato: M + N + P = 850 M + 3M + ~ = 850 17M = 850 4 M =200 . . Lo que recibe M es 200. • Las entradas a un espectáculo cuestan 5/.20 galería y 5/.50 platea. Determina la diferencia entre los asistentes a galería y platea, si en total concurrie- ron 200 personas y se recaudó 5/.8200. Resolución: I 200 I I I Galería Platea x 200 - x - - - - ~- ~~ ~ - - ~ - - - - Por condición del problema : 20x + 50(200 - x) = 8200 lOx + 10000 - 50x = 8200 1800 = 30x ~ x = 60 Luego : 200 - x = 200 - 60 = 140 Piden: 140 - 60 = 80 e En un corral entre patos, gallinas y conejos se contaron 58 cabezasy 148 patas. ¿Cuántos conejos hay? Resolución: Sean: n." de patos: a n.? de gallinas: b n." de conejos : e Hay 58 cabezas, entonces: a + b + c =58 a + b =58 - c Hay 148 patas, entonces: 2a + 2b + 4c = 148 2(a + b) + 4c = 148 116 + 2c = 148 2c= 32 ~ c = 16 . . Hay 16 conejos. • Si tuviera el doble de lo que no he perdido me compraría lo que cuesta el triple de lo que tengo, menos 5/.300. ¿Cuánto tenía si perdí 5/.200? Resolución: Del enunciado: I Tenía: x Perdí: 5/.200 Queda: x - 200 Por dato del problema: 2(x - 200) = 3(x - 200) - 300 300 = x - 200 x = 500 .'. Tenía 5/.500. o Lo que gasta y ahorra diariamente una persona están en la relación de 6 a 7. Si diariamente gana 5/.260, ¿en cuánto tiene que disminuir su gasto diario para que la relación sea de 2 a 3? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 11
- 12. Resolución : Resolución : Sea "x" lo que debe disminuir. Sean: Gasta: a Ahorra: b Sueldo: 5/.260 Dato: a 6k = b 7k I Por condición del problema: a + b =260 6k + 7k =260 13k =260 ~ k =20 Luego: a - x 2 = b + x 3 120 - x 2 = 140 + x 3 360 - 3x =280 + 2x 80 = 5x ~ x = 16 Hacemos un esquema: Gasto Número Gasto por total de personas persona Ana 760 x 760/x Beatriz 760 x + 150 760/(x + 150) Por condición del problema: 760 760 =15 x x + 150 760x + 760 . 150 - 760x =15x(x + 150) 760 . 10 =x(x + 150) 40 . 190 =x(x + 150) x =40 : . n." de pobres socorridos por Beatriz es 190 . .. Debe disminuir 5/.16. o Juan le dice a Pedro: "préstame 5/.30 para tener la misma cantidad de dinero". Pedro le responde: "Mejor págame los 5/.10 que me debes y así ten- dré el triple de lo que te queda". ¿Cuánto dinero tienen entre los dos? Resolución : Hacemos un esquema: Presta 5/.30 Paga 5/.10 Juan x x + 30 x-lO Pedro x + 60 x + 30 x+ 70 o Se tienen 3 montones de clavos donde las cantidades son proporcionales a 6; 7 Y 11. Si del montón que tiene más clavos se sacan 12 para redistribuir entre los demás, al final se tendrían los tres montones con igual número de clavos. ¿Cuántos clavos hay en total? Resolución : Según los datos: i." montón 2.° montón 3. er montón Al inicio 6k 7k llk Se retiran 12 12 del 3: Queda 6k + x 7k + 12 - x llk - 12 11 Por condición del problema: Luego: x + 70 =3(x - 10) x + 70 =3x - 30 100 =2x ~ x =50 x + 60 =50 + 60 =110 : . Entre los dos tienen 5/.160. (1) =(11): (1)=(111) : 6k + x =7k + 12 - x 2x =k + 12 6k+ x =11k - 12 x =5k -12 111 ... (1) ... (2) o Ana y Beatriz dedican 760 dólares cada una para socorrer a cierto número de pobres, Beatriz so- corre a 150 pobres más que Ana, pero esta da a cada pobre 15 dólares más que Beatriz. ¿Cuántos pobres son socorridos por Beatriz? 12 tnxetecxum Evolución 4. o De (1) Y (2): k =4 . . n." total de clavos es: 6k + 7k + 11k =24k =24(4) =96
- 13. R1: tlVI d el d e s 1. El cociente de dos números es 7 y su residuo es 8. Determina la diferencia de dichos números si suman 136. 2. Lourdes compró una muñeca, un vestido y un par de zapatos por 400 soles. Los zapatos costaron 30 soles más que el vestido y la muñeca 20 menos que el vestido. Calcula el precio del vestido. A) 115 D) 104 B) 120 E) 100 C) 90 A) 100 soles D) 150 soles B) 110 soles E) 120 soles C) 130 soles 3. Elnumerador de unafracción excedeal denominador en 1 y si al denominador se le agrega 10 unidades, el valor de la fracción sería 1/2. Encuentra dicha fracción. 4. En un salón de 164 alumnos se observa que la séptima parte de las mujeres son 14 y la onceava parte de los hombres no son responsables. ¿Cuántos hombres son responsables? A) 9/8 D)7/5 B) 5/3 E) 1/4 C) 3/2 A)98 D)66 B)60 E) 100 C)40 5. La edad de Ramona es el doble de la de Juana, y hace 15 años, la edad de Ramona era el triple de la edad de Juana. ¿Cuáles la edad actual de Ramona? 6. El papá de Juan acude al hipódromo con 5/.4300 y cuando ya ha perdido 5/.700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿Ganó o perdió? ¿Cuánto? A) 25 años D)30 años B) 15 años E)60 años C)45 años A)5/.1100 D) 5/.1800 B) 5/.1200 E)5/.1000 C)5/.4000 7. ¿En cuánto aumenta un número de 2 cifras al invertir sus cifras, si la diferencia entre dichas cifras es S? 8. En una reunión el número de hombres es al de las mujeres como 4 es a 5. 5i se retiran 8 parejas de esposos la nueva relación es de 2 a 3. ¿Cuántos invitados asistieron? A)15 D)20 B)30 E)40 C)45 A)30 D)36 B)20 E) 25 C) 10 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 13
- 14. 9. Al cine asistieron 399 personas entre hombres, mujeres y niños. Si el número de hombres es el quíntuple que el de mujeres y el número de mujeres es el triple que el de niños. ¿Cuántos hombres hay? 10. Daniel tiene 5 veces más que José. Si Daniel pierde 5/.50 y José gana 5/.30/ entonces José tendría 3 veces más de lo que queda a Daniel. ¿Cuánto tiene José? A) 315 B)220 C) 135 0)399 E)200 A)5/.15 O) 5/.30 B) 5/.60 E) 5/.40 C)5/.10 11. De los 5/.80 que tenía, si no hubiera comprado un chocolate que me costó 5/.10/ tan solo hubiera gastado los 3/5 de lo que no hubiera gastado. ¿Cuánto gasté? 12. El número de patos excede en 8 al número de gallinas. Siseagregan 17 patos y seretiran 7 gallinas, entonces la relación de gallinas a patos es de 1 a 5. ¿Cuántos patos había al inicio? A)5/.25 O)5/.10 B)5/.20 E) 5/.40 C)5/.30 A) 20 0)15 B)23 E) 13 C) 18 13. Una suma de 5/.120 se reparte en partes iguales entre cierto número de personas. Si el número de persona hubiera sido 1/5 más de las que había; cada persona hubiera recibido 5/.2 menos. ¿Entre cuántas personas se repartió el dinero? 14. Varios gorriones se posan en unos postres. Si sobre cada poste hay un solo gorrión, quedan 3 gorriones volando; y si sobre cada poste hay 3 gorriones quedan 3 postes libres. ¿Cuántos postes hay? A)5/.30 O)5/.40 B)5/.15 E)5/.20 C)5/.10 A)6 0)9 B}7 E) 10 C)8 Rpta.: 13 m e 3y En la figura, el área del cuadrado EHGI es 49 cm2 y del hexágono HGIFCD es 576 cm2 . Halla el valor de "x". T ~ A B x ..L Eh-"";"'--:;--r1F 1 u « M ..t ...... 14 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 15. NNEL' CD Al preguntar un padre a su hijo cuánto gastó de los 5/.350 que le dio, este le contesta: "Las tres cuartas partes de lo que no gasté", ¿Cuánto le queda? A) 5/.250 D) 5/.200 B) 5/.300 E) 5/.150 C) 5/.400 @ Con 12 monedas en total, unas de 50 céntimos y otras de 20 céntimos, se quiere pagar una deuda de 5/.3,60. ¿Cuántas monedas de cada clase se utilizarán? A) 3 y9 D) 10 Y 2 B) 4 Y8 E) 1 Y 11 C) 5 Y 7 o La diferencia de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 424. Halla el mayor de ellos. ® El producto de dos números enteros positivos consecutivos se resta la suma de los mismos y se obtiene 71. El número mayor es: E)40 D)50 C) 65 B)70 A) 60 La edad de un padre sobrepasa en 5 años a la suma de las edades de sus 3 hijos. Dentro de 10 años, él tendrá el doble de la edad de su hijo mayor; dentro de 20 años, tendrá el doble de la edad del segundo, y dentro de 30 años, tendrá el doble de la edad del tercero. Calcula la edad del padre. UNMSM-200S I D) 104 E) 107 C) 110 B)106 A) 105 A) 11 B)10 C) 12 D)8 E) 9 ® Un alumno nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a + b) años . ¿En qué año cumplió (2a + b) años? o En una granja se cuentan 92 patas y 31 cabezas. 5i solo hay patos y conejos, ¿cuál es la diferencia entre el número de estos animales? A) 1986 D)1990 B)1988 E) 1982 C)1980 A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 Sobre un estante se pueden colocar 24 libros de RM y 20 libros de RV o 36 libros de RM y 15 libros de RV. ¿Cuántos libros únicamente de RM entrarían en el estante? ® Un lapicero cuesta 8 soles y un lápiz 5 soles . 5e quiere gastar exactamente 96 soles, de manera de que se puede adquirir la mayor cantidad posible de lapiceros y lápices. ¿Cuál es este número máximo? A) 65 B)70 C) 78 D) 72 E)76 A) 11 B) 13 C) 15 D)18 E) 17 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 15
- 16. @ En un examen, un alumno gana dos puntos por cada respuesta correcta, pero pierde un punto por cada incorrecta, después de haber contestado 40 preguntas obtiene 56 puntos. ¿Cuántas preguntas correctas contestó? A)32 B)28 C) 36 D)24 E)38 @ Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro 2p cuando cada uno de sus lados aumenta en x. NNEL2 B) x2 - px C) (x + p)2 E)i - 2px + p2 @ Si a la clase de física asisten "z" alumnos, y se sabe que hay 20 mujeres más que varones, ¿cuántos varones hay en el aula? UNI-20071 A) z-5 3 D)1.--10 2 B) 2z - 3 2 E) ~ + 6 C) ~ + 5 @ Unapersona tiene unatina cuya capacidad es490 litros. Para que la tina esté llena, cuando la persona esté dentro, es preciso echar 24 baldes con agua. Si la persona tuviese el doble de volumen, se echaría 4 baldes menos . ¿Cuáles el volumen de la persona y cuál es el volumen del balde en litros? A) 70; 18 D)72; 18 B) 74; 18,5 E)70; 16 C) 70; 17,5 El perímetro de un rectángulo mide 44 m. Si la base de este rectángulo tuviese 3 m más y su altura 4 m menos, el área del nuevo rectángulo tendría 30 m 2 menos que el del primero. Halla la base. @ A) 12 m D) 13 m B) 14 m E) 16 m C) 18 m @ A un comerciante por cada 7 cuadernos que compra le regalan 3 y cuando los pone a la venta , por cada 2 docenas que vende, regala 1. ¿Cuántos cuadernos deberá comprar para que pueda vender 960? A) 600 B)640 C) 650 D)660 E) 700 La suma de las dos cifras que componen un número es igual a 11. Si se invierte el orden de las cifras de dicho número y se le suma 103, entonces se obtiene el triple del número original. Halla el número original aumentado en 11. @ ¿Cuáles la diferencia entre el área de un cuadrado y un rectángulo de igual perímetro, si en el rectángulo la base es el doble de la altura? UNM5M-2004 11 A) 5/3 del área del cuadrado. B) 5/9 del área del cuadrado. C) 13/9 del área del cuadrado. D) 1/9 del área del cuadrado. E) 1/3 del área del cuadrado. 16 Inte/ectum Evolución 4. o @ A) 121 B)78 C) 69 D)64 E) 67
- 17. Un comerciante compra cuadernos a 3 por 10 soles y los vende a 5 por 20 soles. 1. Para ganar 100 soles, ¿cuántos cuadernos debe vender? 11. Si aún le quedan por vender 30 cuadernos que representan su ganancia, ¿cuántos cuadernos compró? Siete runos deben pagar equitativamente una deuda de 68 soles, pero algunos no tienen dinero y los otros pagan 17 soles cada uno, cancelando así la deuda. ¿Cuántos son los niños que no pagan? UNI-2DD411 @ A) 150-100 D) 130-180 B) 180-150 E) 200-130 C) 150-180 @ A) S- N 2 D) S- N A)3 B)4 B) S+ N 2 E) 2(S - N) C)5 D)2 C)S+N E) 1 Un comerciante compró 40 jarrones a 7 dólares cada uno, después de haber vendido 12 con una ganancia de 2 dólares por jarrón, se le rompieron . ¿A qué precio vendió cada uno de los jarrones que le quedaron, sabiendo que la ganancia total fue de 81 dólares? @ Si escribo a la derecha de un número las cifras x; y; este número aumenta en a unidades. ¿Cuál es ese número? A) $11 B)$12 C)$13 D)$10 E)$14 A) a -10x - y a -10x - y C) 11 E) a + lOx - y B) a + 10x + y 99 a -10x - y D) 99 @ A un taetro asistieron 425 personas ~[II"'-: entre hombres (adultos), mujeres (adultas) y niños. Si el número de hombres (adultos) es el triple del número de mujeres (adultas) y el de mujeres (adultas) es el cuádruple del número de niños, ¿cuántos hombres hay en el teatro? A una fiesta asisten 200 personas, la mitad hombres y la mitad mujeres; cincuenta hombres son mayores de edad, hay tantas personas mayores de edad como mujeres menores de edad . ¿Cuántas mujeres son menores de edad y cuántas mayores de edad? A) 380 B)325 C) 300 D)315 E) 350 A) 35 Y 65 D) 90 y 10 B) 40 Y 60 E) 25 Y 75 C) 20 Y 80 NNEL3 La suma de dos números es S, si se añade N al menor y se le quita N al mayor, su relación geométrica se invierte. Halla el menor. @ A ambas orillas de un río crecen dos palmeras, una frente a la otra. La altura de una es de 30 m, y de la otra 20 m. La distancia entre sus troncos, 50 m. En la copa de cada palmera hay un pájaro. De súbito RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 17
- 18. los dos pájaros descubren un pez que aparece en la superficie del agua, entre las dos palmeras. Los pájaros se lanzaron y alcanzaron al pez al mismo tiempo. ¿A qué distancia del tronco de la palmera mayor apareció el pez? sumaron los resultados obtenidos en cada caso y el resultado final fue un número en el cual, las 2 últimas cifras son significativas y forman un cuadrado perfecto. ¿Cuántos alumnos ya habían cumplido años hasta ese momento? A) 25 m B) 20 m C) 15 m D) 24 m E) 18 m A)4 B) 16 C) 14 D)26 E) 10 En una familia la suma de las edades de los padres es 3 veces la suma de las edades de sus hijos . Hace 3 años la suma de las edades de los padres era 9 veces la de sus hijos y dentro de 17 años la suma de las edades de los padres y la suma de las edades de los hijos serán iguales. ¿Cuántos hijos tiene la familia? @ Una chica va todos los días al trabajo en bicicleta por un camino 1:~il;5 paralelo a la vía del tren. Lleva i: una velocidad de 6 km/h y todos los días coincide en un cruce con un tren que lleva su mismo sentido. Cierto día se durmió y se retrasó 50 minutos con lo que el tren la alcanzó a 6 km del citado cruce. Calcula el tiempo que tarda el tren en llegar a ese cruce después de sobrepasar a la ciclista. A) 3 B) 4 C)5 D)6 E)7 A) 10 min D) 30 min B) 15 min E) 50 min C) 22 min @ María, cada día gasta la mitad de lo que tiene más 5/. 2. Si después de 3 días le quedan 5/. 30, ¿cuánto tenía al inicio? @ En el mes de marzo del año 2008, en un aula de 30 alumnos se sumó las edades de todos y luego se sumó los años de nacimiento de todos, se C) 5/.270 17. E 25. B 18. C 26. A 19.A 27. C 20.C 28. D NIVEl3 29. B 21. A 30. B 22. A 23. D 24. E B) 5/.268 E) 5/.278 9. D 10. A NIVEL2 11. D 12. A 13. D 14. A 15. C 16. E A) 5/.260 D) 5/.275 NIVEL1 1.D 2. E 3. B 4.A 5. D 6. B 7. D 8. A C) 60 soles B) 40 soles E) 75 soles A) 50 soles D) 55 soles @ Tres personas A, B Y C están jugando a las cartas con la siguiente condición: la que pierda en primer lugar duplicará el dinero de las otras, la que pierda en segundo lugar duplicará el dinero de las otras y además les dará 10 soles, y la que pierda en tercer lugar duplicará el dinero de las otras, pero les quitará 20 soles. Si cada una ha perdido una partida en el orden indicado por sus nombres y se ha quedado cada una con 60 soles. Calcula lo que tenía B inicialmente. 18 Inte/ectum Evolución 4. o
- 19. En los problemas sobre edades se presentan 2 casos: .... Hace "n" Dentro de años "m" años ~ Pasado Presente Futuro Sea "x" mi edad actual, entonces dentro de "m" años tendré "x + m" años, y hace "n" años tenia "x - n" años. Presente ~!J Edades x-S Pasado Resolución : Sea "x" la edad actual. Cuando interviene la edad de una persona Ejemplo: Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años, menos 3 veces la edad que tenía hace 5 años, resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años me faltan para cumplir 60 años? CASOS Por condición del problema: 4(x + 10) - 3(x - 5) =2x 4x + 40 - 3x + 15 =2x x =55 (Edad actual) Para cumplir 60 años me faltan : 60 - 55 =5 años Cuando intervienen las edades de dos o más personas Ejemplo: Yotengo el doble de tu edad. Si mi edad dentro de 5 años es el triple de la edad que tú tenías hace 7 años. ¿Qué edad tengo? Resolución : En el gráfico sea "x" la edad que tú tienes. Para toda persona, se cumple que la relación de su edad actual, su año de nacimiento y el año actual es la siguiente: 1. Cuando una persona ya cumplió años: AÑO EDAD AÑO NAC+ ACTUAL =ACTUAL 2. Cuando una persona aun no cumple años: AÑO EDAD AÑO NAC+ ACTUAL =ACTUAL - 1 Yotengo: 2(26) =52 años Hace 7 años Edad actual Dentro de 5 años Yo 2x 2x + 5 Tú x-7 x Según el enunciado: 2x + 5 =3(x - 7) 2x + 5 =3x - 21 x=26 Observación Asumiendo que las edades de 3 personas en el pasado, presente y futuro sean: Pasado Presente Futuro Yo 10 18 30 Tú 14 22 34 Él 20 28 40 La diferencia de edades de dos personas permanece constante en el tiempo. Existen problemas donde no se menciona cuántos años antes o cuántos años después va a ocurrir una determinada condición, solo se limita a decir que ocurrirá en el pasado o en el futuro. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 19
- 20. ProbLemas . . ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 3 años más la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 6 años suman 9 años? Resolución: Según los datos: Hace 3 -Edad Dentro años actual de 6 años IPersona x-3 x x+6 Según el enunciado: h-3 +h+6 =9 h+6 =9-h-3 (h + 6)2 =(9 - h - 3? x+ 6 =81-18h - 3 + x - 3 18h-3 =72 h-3 =4 x - 3 =16 x =19 Resolución: Según los datos: Hace 13 Edad Dentro de años actual 20 años Evelyn 4k - 33 4k - 20 4k Irma 3k - 33 3k - 20 3k Por dato del problema: 4k - 33 = 5(3k - 33) 4k - 33 = 15k - 5 . 33 4·33 = 11k k =12 :. Laedad de Evelyn es: 4(12) - 20 = 28 años o Lucía le dice a Jesús: "Yo tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, nuestras edades sumarán 35 años". ¿Qué edad tiene Jesús? Resolución: Según los datos: Según los datos: Aplicando suma en aspa: 2y = 4x y= 2x También: 6x = y + 35 - 3x 6x = 2x + 35 - 3x 7x = 35 ~ x = 5 A Y= 10 :. Jesústiene 10 años. o Cuando yo tenía un año menos de la edad que tie- nes, tú tenías 5 años menos de la edad que yo tengo, pero cuando tengas la edad que yo tengo, nuestras edades sumarán 110 años. ¿Qué edad tengo? Resolución: :. La persona tiene 19 años. -- -- - _ . / • Cuando transcurran (m + n) años a partir de hoy, tendré el doble de la edad que tenía hace (m - n) años. ¿Cuántos años tendré dentro de "n" años? Resolución: Según los datos: Hace Edad Dentro de Dentro de (m- n) años actual "n" años (m + n) años x - (m - n) x x+n x + (m + n) Según el enunciado: x + (m + n) =2(x - (m - n)) x + m + n = 2x - 2m + 2n x =3m - n Tenías Tengo Tengas Tienes Lucía y ~ ~ 3x ~ l.f 35 - 3x Jesús x i?"" y/'f" 3x Suman 35 ¡Suman 110 :. Dentro de "n" años tendré "3m" años. • Dentro de 20 años, la edad de Evelyn será a la edad de Irma como 4 es a 3. ¿Cuál es la edad de Evelyn si hace 13 años su edad era el quíntuple de la edad de Irma? 20 Int:elect:urn Evolución 4. o Tenía Tengo Tengas Tenías Tienes Yo x-1 y 110-y Tú y-5 x y I Aplicando suma en aspa: 2x - 1 = 2y - 5 2x + 4 = 2y x+2=y
- 21. Resolución: - - - - -----------~. .'. Yotengo 54 años. Según los datos: ab: edad del abuelo ba: edad del hijo Hace Edades "x" años actuales Padre A-x A Madre B-x B Hijo 20 - x 20 Luego, hace "x" años las edades de los 3 su- maban 70 años. =} x=10 80 - 3x =50 30 =3x Según los datos: .'. El hijo tenía 10 años. Según la condición del problema : (A - x) + (B - x) + (20 - x) =70 A+ B- 3x =50 Según el enunciado: (A - 20) + (B - 20) = A + B 2 2A + 2B - 80 =A + B A + B =80 Hace Edades 20 años actuales Padre A- 20 A Madre B - 20 B Hijo O 20 Entonces: a =5 Y b =2 Luego, la edad de la esposa del hijo es: Edad del abuelo = ~ = g = 26 2 2 2 .'. Suma de cifras: 2 + 6 =8 @!) La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo era la mitad de la suma de sus edades actuales . Si ahora el hijo tiene 20 años, ¿qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? Resolución: 2y =x + 110 - Y 2y =Y- 2 + 110 - Y 2y = 108 => y = 54 a: edad del nieto mayor b: edad del nieto menor ba 5 Según el enunciado: a = 1 10b + a =5a 10b =4a a 5 = b 2 También: Sabemos que: Edad =Año actual - Año de nacimiento En el problema : 5a + 3b =19ba - 19ab 5a + 3b = 1900 + 10b + a - (1900 + lOa + b) 5a + 3b =9b - 9a 14a =6b a 3 = b 7 Luego: a =3 Y b =7 Entonces Alejandro nació en 19ab =1937. Además: a + 2b + 1 = 3 + 2(7) + 1 = 18 años I :. Cumplió 18 años en: 1937 + 18 =1955 ~ - - --- --_.-. --- ---- - --- - -- - -- .... _-_. / O La edad de un abuelo es un número de 2 cifras, la edad de su hijo es un número que tiene los mismos dígitos pero en orden invertido, y las edades de sus nietos coinciden con cada una de las cifras de su edad. Si se sabe además, que la edad del hijo es a la edad del nieto mayor como 5 es a 1, halla la suma de las cifras de la edad de la esposa del hijo, sabiendo que dicha edad es la mitad de la edad del abuelo . Resolución: o Alejandro nació en 19ab y en 19ba cumplió "Sa + 3b" años. ¿En qué año cumplió "a + 2b + 1" años? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 21
- 22. Ae t IVI d el d E! S l"iiiiiijii¡¡ijiiiiiiiiiiiiiiiiii~~::-----~ 1. Norma le dice a Marisol: "Tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes, y cuando tengas la edad que tengo yo, tendré el doble de la edad que tú tenías hace 12 años". ¿Cuánto suman sus edades actuales? 2. Cuando yo tenía lo que te falta actualmente para tener el doble de mi edad, tú ten ías la mitad de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que me falta actualmente para tener 70 años. Si la suma de nuestras edades actuales es 50 años, calcula la diferencia de nuestras edades dentro de 40 años. A) 65 años D) 50 años B) 55 años E) 60 años C) 68 años A) 10 años O) 8 años B) 20 años E) 12 años C) 16 años 3. Preguntando a una persona por su edad, esta responde: "Si al doble de mi edad le quitan 17 años, se obtendrá su complemento aritmético". Calcula la edad de la persona. 4. La edad que ten ía hace n años es a lo que tendré dentro de n años como 2 es a 9. ¿Qué edad tendré dentro de 3 7n años? A) 9 años O) 9 o 39 años B) 39 años E) 27 años C)18 años A) ~ años O) ~ años B)2n años E) 3n años C) n años 5. Dentro de 8 años la suma de nuestras edades será 46 años, pero hace n años la diferencia de nuestras edades era 4 años. ¿Hace cuántos años la edad de uno era el triple de la edad del otro? 6. A le dice a B: "Cuando yo tenía tú edad, C tenía 10 años"; B contesta: "Cuando yo tenga tu edad, C tendrá 26 años"; Cinterviene diciendo: "Sisumamos los años que ustedes me llevan de ventaja resultaría el doble de mi edad". ¿Cuál es la edad del menor? A) 11 años O) 15 años B) 12 años E) 14 años C)13 años A) 20 años O) 16 años B) 12 años E) 18 años C)15 años 7. En 1990, la edad de Paola era 4 veces la edad de Vicky y en 1998 la edad de Paola fue el doble de la edad de Vicky. Halla la edad actual de Vicky si ya cumplió años (año actual : 2004). 8. Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que Juan tiene ahora. Dentro de 15 años Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro, cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? A) 20 años O) 15 años B) 22 años E) 13 años C) 18 años A) 24 años O) 16 años B) 20 años E) 19 años C) 17 años 22 Inte/ectum Evolución 4 .o - - - - - - - - - - - - - -- - -- -- - - - - - - - - - - -- - - -
- 23. 9. En 1920 la edad de Elena era cuatro veces la edad de Mónica; en 1928 la edad de Elena fue el doble de la edad de Mónica. ¿Cuál fue la edad de Elena en 1930? 10. Hace 2 años la edad de Renato era (a + b - c) años y dentro de 5 años tendrá (2b - 2c + a) años. Halla el valor (en años) de: 3b - 3c A) 18 años D) 14 años B) 26 años E) 20 años C) 15 años A) 18 años D) 21 años B) 13 años E) 15 años C) 19 años 11. Las edades de Elena y Carla suman 55 años. Si cuando Carla nació Elena tenía la sexta parte de la edad que tiene ahora, ¿cuántos años tiene Carla? 12. Katy tuvo su primer hijo a los 25 años, su segundo hijo a los 30 años y 3 años después a su tercer hijo. Si actualmente (2013) la suma de todas las edades es 92. ¿En qué año nació Katy? A) 13 años D) 17 años B) 18 años E) 25 años C)20 años A) 1965 D)1968 B)1975 E) 1978 C) 1970 13. Karol tuvo mellizos a los "b" años. Si hoy las 3 edades suman "a" años. ¿Cuántos años tiene cada mellizo? 14. Hace "m - a" años la edad de "A" era "m" veces la edad de "B". Dentro de "m + a" años la edad de A será "a" veces la edad de "B", en consecuencia, la edad que tenía "B" hace "m - a" años era igual a: A) (a - b) 2 D) (a + b) 3 B) (a - b) 3 E) (a + b) 2 C)a-b A) 2m(a - 1) (m-a) D) (ma + 1) (m-a) B) m(a -1) (m -a) E) 2ma (m-a) C) ma (m - a) Rpta.: -ª- 7 Hace "n" años la relación de las edades de dos per- sonas era de 6 a 5. Si la diferencia de los cuadrados de sus edades es 111. ¿Cuál será la relación de sus edades dentro de "2n" años? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 23
- 24. NIVEL' o Situviera 15 años más, entonces lo que me faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tuve hace 7 años. ¿Qué edad tendré dentro de 5 años? A) 43 años D) 31 años B) 29 años E) 44 años C) 30 años A) 38 años D) 32 años B) 34 años E) 33 años C) 35 años ® Si al triple de la edad que tendré dentro de 4 años le sumo el cuádruple de la edad que tenía hace 9 años, resultará el séxtuple de mi edad actual. é.Oué edad tengo? o Sial año en que cumplí los 18 años le suman el año en que cumplí los 24 y le restan el año en que nací y el año actual, se obtiene 12. ¿Cuáles mi edad? A) 20 años D) 15 años B) 17 años E) 27 años C) 24 años A) 33 años D) 27 años B) 25 años E) 40 años C) 30 años (j) Hoy nació mi hijo y mi edad es el triple de la que tuve en un determinado pasado. Cuando mi hijo cumpla 18 años, yo tendré 48 años. ¿Cuántos años tuve en el pasado mencionado? G) Dentro de 10 años tendré el doble de la edad que tuve. Si tendría lo que tuve, tengo y tendré, mi edad sería el triple de la edad que tengo. ¿Qué edad tuve hace 5 años? A)30 B)29 C) 18 D)10 E) 25 A) 30 años D) 25 años B) 40 años E) 28 años C) 32 años ® Si 3 veces la edad de mi hija equivale a 2 veces la edad de mi hijo; y hace 3 años, 3 veces la edad de mi hija era equivalente a la edad de mi hijo en ese entonces. ¿Cuántos años tiene mi hijo? G) En la actualidad tengo 18 años, ¿hace cuántos años tuve la mitad de la edad que tendré dentro de 12 años? A) 10 B) 8 C)4 D)6 E) 5 ® Dentro de 14 años, Lucy tendrá el doble de la edad que tenía hace 8 años. Halla la edad que tenía Lucy el año pasado. Mariana le dice a Carlos: "Mi edad es 4 años menos de la edad que tenías cuando yo tenía 8 años menos de la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que tengo, nuestras edades sumarán 82 años". ¿Qué edad tiene Mariana? A) 2 B) 3 C)4 D)5 E) 6 A) 20 años D) 16 años B) 13 años E) 18 años C) 22 años 24 Inte/ectum Evolución 4. o
- 25. Cuando yo tenía 1 año menos de la edad que tú tienes, tú tenías 5 años menos de la edad que yo tengo; pero cuando tengas mi edad, nuestras edades sumarán 52 años. ¿Qué edad tiene mi esposa, si nació 5 años antes que yo? Hace 10 años la edad de un padre era el doble de la edad de su hijo, pero dentro de 20 años la relación de sus edades será de 4 a 3. Halla la edad actual del hijo. NNEL2 La suma de las edades de dos hermanos es 30 años. Si dentro de 10 años la edad de uno será el doble de la edad que tuvo el otro hace 10 años, ¿cuál es la edad de cada hermano? (Da como respuesta el producto de dichas edades). @ Jorge le dice a Luis: "La suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací". Entonces Luis tiene: La suma de las edades de Vanessa y Rony es 52 años. Al acercarse Fiorella, Vanessa le comenta : "Cuando tú naciste, yo tenía 8 años; pero cuando Rony nació, tenías 4 años". ¿Cuál es la edad de Fiorella? Los años que tendrás dentro de 12 años son a los que ahora tengo como 7 es a 5. Si actualmente mi edad excede a tu edad en 4 años, ¿cuál es la diferencia entre el doble de tu edad con mi edad? @ @ @ A) 24 años O) 20 años A) 180 A) 21 años O) 20 años B)250 B) 30 años E) 16 años C) 200 B) 23 años E) 32 años C) 32 años O) 360 E) 144 C) 24 años @ A) 22 años O) 26 años A) 25 años O) 18 años A) 12 años O) 24 años A) 12 años O) 17 años B) 24 años E) 28 años B) 40 años E) 34 años B) 34 años E) 16 años B) 9 años E) 20 años C) 25 años C) 30 años C) 48 años C) 13 años @ Hace 5 años nuestras edades estaban en la relación de 5 a 3, y dentro de 25 años, tu edad será a la mía como 5 es a 7. ¿Cuántos años tengo? @ En 1990, la edad de Milagros era 4 veces la edad de Vilma y en 1998 la edad de Milagros fue el doble de la edad de Vilma. Halla la edad actual de Vilma si ya cumplió años. (Año actual : 2014) A) 40 B)60 C) 70 0)80 E) 90 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 25
- 26. de su fundación . ¿Cuántos años se celebraron en aquella fecha? A) 9 años D) 10 años B) 45 años E) 50 años C) 35 años La edad que tú tienes es la edad que yo tenía cuando él tenía la octava parte de lo que tendré cuando tú tengas lo que yo tengo y él tenga 6 años más de lo que yo tuve que es 6 años más de lo que él tiene y 12 años más de lo que tuviste en ese entonces. ¿Qué edad tengo? A) 36 años D) 37 años B) 38 años E) 42 años C)40 años @ A la edad de mi sobrino (a años) la multiplico por 2, a dicha cantidad le sumo 5; al resultado lo multiplico por 50 y luego le quito 365. A esa cantidad le agrego tanto como el resultado obtenido; para finalmente sumarle a todo 115 y obtener ab5. ¿Qué edad tiene mi sobrino? @ En 1990, la edad de Alex era cuatro veces la edad de Beto y en 1998 la edad de Alex fue el doble de la edad de Beto. Halla la edad que Beto tendrá en el 2005 . A) 2 años D) 7 años B) 5 años E) 4 años C) 8 años A) 16 años D) 19 años B) 17 años E) 20 años C) 18 años @ Dentro de 8 años la edad de Romel será la que Luis tiene. Si dentro de 15 años Romel tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Luis, ¿cuál era la suma de las edades de Luis y Romel, cuando Luis tenía el doble de la edad de Romel? @ Un padre tiene x años y su hijo y años. ¿Dentro de cuántos años tendrá el padre el cuádruple de la edad de su hijo? A) 26 años D) 30 años B) 24 años E) 18 años C) 28 años @ Una ciudad fue fundada en el siglo XX. En el mismo año que se escribe con las mismas cifras del año de su fundación, pero con las 2 últimas cifras invertidas, se celebraron tantos años como cinco veces la suma de las 2 últimas cifras del año @ ¿Cuántos años tiene una persona sabiendo que la raíz cuadrada de la edad que tenía hace 4 años sumada con la raíz cuadrada de la edad que tendrá dentro de 8 años resulta 6? A) 4y - x 3 D) x- 3y 2 NNEL3 B) 4x - y 3 E) 3y - x 2 C) x- 4y 3 A) 8 B)7 C)5 D) 10 E) 11 26 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 27. Las edades de un padre y su hijo son las mismas, pero con los dígitos al revés. Si hace un año la edad del padre era el doble de la edad de su hijo, la diferencia de las edades es: @ A) 45 años D) 63 años B) 72 años E) 36 años C) 27 años Karla nació en noviembre y ellO de diciembre del mismo año tiene una edad igual al número de días transcurridos del primero de noviembre al día de su nacimiento. ¿Qué fecha será cuando a partir de la fecha de su nacimiento transcurran tantos días como la mitad de los días que faltan para culminar el mes de su nacimiento? @ Eva nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a + b) años. Halla su edad en el 2005. A) 26 de noviembre B) 24 de noviembre C) 25 de noviembre D) 27 de noviembre E) 28 de noviembre A) 38 años D) 40 años B) 32 años E) 39 años C) 28 años @ Sebastián suma 1 año, más 2 años, más 3 años y así sucesivamente hasta su edad actual obteniendo como resultado un número de 3 cifras iguales. ¿Qué edad tiene Sebastián? @ Si en junio del 2004 se suman los años de nacimiento de 5 personas que conforman una familia y luego a este resultado se le suma las edades de cada uno se obtiene 10 018 . ¿Cuántas personas aún no cumplen años? A) 26 años D) 16 años B) 12 años E) 36 años C) 44 años A) 1 B) 2 C)3 D)O E) 4 @ Halla la edad de cierta persona, sabiendo que la • suma de los años que tiene más su edad en meses tt~ · . • es igual a 470. ........... ......, .. # UNMSM·201111 A) 38 años y 9 meses. NIVEL 1 9. e 17. D 25. E B) 34 años y 8 meses. LE 10. B 18.A 26. A C) 36 años y 2 meses. 2. e NIVEL2 19. D 27. E D) 37 años y 4 meses. 3. D 11. e 20. e 28. e 4. B 12. e NIVEL3 29. e E) 35 años y 5 meses. 5. B 13. E 21. B 30. B 6. e 14. A 22. A 7. D 15. D 23. B 8. D 16. A 24. A RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 27
- 28. ~!J Móviles Donde: Eneste capítulo estudiaremos diversos problemas de móviles relacionados con el MRU. A1-1- - - - - - d ---------1IB d: distancia v: velocidad t: tiempo .. . Veamos una aplicación: La velocidad de un móvil es de 72 km/h. ¿Cuál será su velocidad en mis? Transformamos las unidades: 72 km x _ 1_ h_x 1000m h 3600s 1km 72 x ;8~ = 20 mis TIEMPO DE ENCUENTRO (tE> Donde: tE: tiempo de encuentro d: distancia de separación VA; va: velocidades de los móviles Ejemplo : Dos móviles se encuentran juntos en un mismo punto, de pronto parten los dos en forma simultánea en sentidos opuestos con velocidades de 50 km/h y 80 km/h respec- tivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo se encontrarán separados 520 km? Resolución: El tiempo empleado en este caso sería el mismo que si los dos móviles partieran de los puntos extremos , yendo al encuentro , con las demás condiciones iguales; denominándose tiempo de encuentro (tE)' Reemplazamos: ",50 km/h 80 km/h~ ~(AXB)~ I 520 km - - - ------1 520 520 tE = 50 + 80 = 130 =4 h VA =50 km/h va =80 km/h d =520 km 28 tnxetecxurn Evolución 4. o
- 29. TIEMPO DE ALCANCE (tA> 1 - 1 - - - - d -------1 Donde : tA: tiempo de alcance d: distancia de separación vA; vB: velocidades de los móviles Ejemplo: Estando juntos en un mismo punto, dos móviles parten en forma simultánea en la misma dirección y sentido con velocidades de 90 km/h y 60 km/h respectivamente. ¿Dentro de cuánto tiempo uno de ellos estará 300 km delante de otro? El tiempo empleado en este caso es el mismo que si los móviles partieran en sentidos iguales (contrarios a los del gráfico) estan- do separados inicialmente 300 km yendo uno al alcance del otro. Resolución: Reemplazamos: 1-- 300 km ---1 t A = 300 = 300 = 10 h 90 - 60 30 VA = 90 km/h vB = 60 km/h d =300 km , . . . Casos particulares: • Cuando un tren pasa delante de un observador. t .~. Y. t=:~ j~ª-ooo~~CJOClClggOI~ [ L=v xt Donde : L: longitud del tren v: velocidad del tren t : tiempo que tarda el tren en pasar totalmente delante del observador • Cuando un tren pasa por un túnel. ~~ • -'+- GJ- --J. ~ [ ..... __ ~-- ---- j 17 J----L x_ L+x=v xt Donde : L: longitud del tren v: velocidad del tren t : tiempo que tarda el tren en pasar totalmente por el túnel Respecto al observador, este puede ser un poste, una antena, una personas , etc. No necesariamente es un túnel, también puede ser un puente, un canal, una via, etc. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 29
- 30. ProbLemas Para el observador: LT = v(20) ... (1) Parael túnel: 1200 + LT = v(70) ... (11) I Reemplazamos (1) en (11): 1200 + 20v = 70v 1200 = 50v v = 24 mis Luego: LT = 24(20) = 480 m o t 4 mis m l 0 m/s O t . . Dos móviles parten simultáneamente del mismo punto y en la misma dirección con velocidades de 10 mis y 4 mis, respectivamente. ¿Después de cuánto tiempo estarán separados 720 m? Resolución: De los datos y del gráfico: 4t + 720 m = lOt 720 m = 6t :. t = 120 s • Un hombre debe realizar un viaje de 820 km en 7 h. Si realiza parte del viaje en un avión a 200 km/h y el resto en auto a 55 km/h. Halla la distancia recorrida en avión. t =7h v = 200 km/h ~---=---=-..:.. I~ Resolución: o Un tren cuya longitud es 120 m, se demora 60 s en cruzar un túnel. Halla la longitud del túnel, si la rapidez del tren es 36 km/h. Resolución: f-120 m I LT ----j Datos: LT = 120 m km 5 m vtren =36h" x18 =10 s t =60 s Del gráfico: Del gráfico: 200x + 55(7 - x) = 820 200x + 385 - 55x = 820 145x = 435 x=3h davión =v x t = 200 km/h x 3 h = 600 km e Dos camiones de 30 m y 25 m, cada uno, van con velocidades de 54 km/h y 18 km/h, respectivamen- te. Sabiendo que se encuentran en sentidos opues- tos, calcula el tiempo que tardarán en cruzarse to- talmente. Resolución: d =v Xt 120 m + LT= 10 mis X 60 s 120 + LT = 600 : . LT = 480 m • Un tren, para atravesar un túnel de 1200 m de lon- gitud tarda 70 s y en pasar delante de un observa- dor tarda 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren? Resolución: V1 = 54 km/h = 15 mis V2 = 18 km/h =5 mis 1--- 30 m--+-- 25 m---l 30 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 31. t = Li + L2 cruce V + v 1 2 Reemplazando: t = 30 m +25 m cruce 15 mIs + 5 mIs 55m tcruce = 20 mIs = 2,75 S o Un auto debe hacer cierto recorrido en 4 h. Una hora después de iniciado el recorrido aumentó su rapidez en 16 krn/h, lo que le permite llegar 1 h antes. ¿Cuál fue la distancia recorrida? Resolución: 4h 1---- - - - X-------1 Del gráfico: I di = V 1x = di + d2 = 3v + 32 (1) d2 =2(v + 16) J oo. x =4v oo. (11) Reemplazamos (11) en (1): 4v = 3v + 32 v = 32 km/h :. x = 4(32) = 128 km • Una lancha navega en un río a favor de la corriente de modo que avanza a razón de 48 km/h y cuando va en sentido contrario lo hace a 20 km/h. ¿A qué velocidad navegará en una laguna? Resolución: ------- De los datos: A favor de la corriente => V = vb + vr En contra de la corriente => V = vb - vr Reemplazamos: 48 =vb + v, I 20=vb- vr (+) 68 = 2vb => vb = 34 km/h e Dos ciclistas separados por una distancia de 120 km deben partir a un mismo tiempo. Si avanzan en un mismo sentido, se encuentran al cabo de 8 h; si lo hacen en sentido contrario, uno alcanza al otro al cabo de 5 h. Lavelocidad, en km/h del más veloz es: Resolución: Si avanzan en un mismo sentido, podemos I aplicar tiempo de alcance: [ t A = Vi ~v2 ] Reemplazamos: 8 h = 120 km vi + v2 Vi - v2 = 15 km/h oo. (1) Si avanzan en sentido contrario, podemos apli- car tiempo de encuentro: [ tE= _ .::::.. d- vi + v2 Reemplazamos: 5 h = 120 km vi + v2 Vi + v2 = 24 km/h oo . (11) De (1) Y(11): vi = 19,5 km/h l v2 = 4,5 km/h : . La velocidad d_el m~s_v~~=-e~19,5 km/h. o En una carrera, un ciclista conduce a 20 mIs y llegó a la meta 4 s antes que otro. Si los tiempos emplea- dos por ambos suman 28 s, ¿cuál fue la velocidad de este último? Resolución: I Según los datos: Vi = 20 mIs v2= v ti = X - 4 t 2= X '--,---J '-v-' Suman 28 s x - 4 + x=28 2x = 32 x= 16 s RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 31
- 32. Reemplazamos: d1 = v1 X t1 = 20 X 12 = 240 m d2 = v2 X t2 = V X 16 = 16v Como: d1 = d2 =} 16v = 240 L v=15m/s 4I!) Un hombre dispara su rifle sobre un blanco. Dos segundos después de disparar oye el sonido de la bala al dar en el blanco. Si la velocidad del sonido es 340 mIs y la velocidad de la bala es 510 mIs, ¿a qué distancia está el blanco? Resolución: t----- - d - - - - --1 Del gráfico: tbala+ tsonido = 2 d d 510 + 340 = 2 1~0 G+ ~) = 2 _d_ x~ - 2 170 6 .. d = 408 m • Juan toma todos los días un microbús para ir a su colegio a las 7:00 a.m.; pero hoy perdió el micro- bús, y este pasó 10 minutos después del primero y arribó en el doble del tiempo normal, llegando a las 7:24 a.m. ¿Cuál fue la hora de su partida? Resolución : Para el primer microbús: Sea: y = hora de partida x = tiempo normal empleado por el microbús 32 Inte/ecturn Evtüuciár¡ 4.o Entonces, Juan aborda el microbús a las: y = (7:00 - x) a.m. ... (1) Parael segundo bus: Tiempo transcurrido desde la partida: 2x + 10 min Luego: y = 7:24 a. m. - (2x + 10 min) ... (11) Igualamos (1) y (11): 7:00 - x = 7: 24 - (2x + 10 min) =} x = 14 min Reemplazamos en (1): y = 7 h - 14 min . . y = 6:46 a.m. 4D Dos móviles se encuentran separadas 320 km, uno de ellos tiene una velocidad de 100 km/h. Si parten simultáneamente uno al encuentro del otro a las 9:00 a.rn., encontrándose al cabo de 2 horas. ¿A qué hora estarán separados 50 km, por segunda vez? Resolución: ~ t---50 km---i 1--- - - -320 km--- - --i Empleamos fórmula del tiempo de encuentro: tE = 320 = 2 =} 2 = 320 v1 + v2 100 + v2 =} v2 = 60 km/h Calculamos el tiempo de alejamiento: 50 50 t alejamiento = V + v 160 1 2 t alejamiento = 18 min 45 s Estarán separados por segunda vez a las: 11:00 a.m. + 18 min 45 s = 11 h 18 min 45 s
- 33. 1. Un corredor que parte de A da una ventaja de 300 m a otro que parte de B. Siel primero recorre 3 metros por segundo más que el otro. ¿A qué distancia de B lo alcanzará? (vB =45 krn/h) 2. Un tren cruza un poste en 8 s y un túnel de 400 m lo cruza en 10 s. ¿Cuáles la longitud del tren? A) 1320 m D) 1250 m B) 1800 m E) 1350 m C) 1150 m A) 1900 m D) 1500 m B) 1600 m E)1800 m C) 1700 m 3. Si un bote cruza el largo de un lago a 18 krn/h, demoraría 15 minutos menos que si lo hubiera cruzado a 12 km/h. ¿Cuál es la longitud del lago en kilómetros? 4. Un auto recorre 400 km a una velocidad constante. Si aumentara su velocidad en 20 krn/h, el viaje duraría una hora menos, ¿cuál es su velocidad? A)9km D) 7 km B) 8 km E)6 km C)4 km A) 90 km/h D) 70 km/h B) 60 km/h E) 100 km/h C)80 km/h 5. Dosmóviles parten de un mismo punto y se mueven en el mismo sentido con velocidades de 37 mIs y 63 mIs. Delante de ellos a 500 m hay un poste, ¿después de qué tiempo los móviles equidistan del poste? 6. En una pista circular de 3000 m, dos atletas parten simultáneamente, pero en sentidos opuestos, cruzándose al cabo de 20 minutos, y luego, 5 minutos más tarde, el más rápido llegó al punto de partida. Halla la rapidez del otro atleta. A) 15 s B) 12 s C) 20 s D) 8 s E) 10 s A) 10 m/min D) 80 m/min B) 30 m/min E) 50 m/min C)40 m/min 7. Un carmen se mueve con rapidez constante de 20 mIs acercándose perpendicularmente a una gran pared. En el instante t =O el chofer emite una señal sonora y cuando ha avanzado 8 m, recibe el eco. Entonces la distancia que se encuentra la pared desde la posición que emitió el sonido es: (vsonido =340 rn/s) 8. El alta voz situado entre dos edificios emite un sonido hacia la derecha. El eco de dicho sonido llega al edificio de la izquierda en 1,5 s luego de ser emitido. Si el parlante se encuentra a 30 m del edificio de la izquierda, ¿cuál es la distancia entre los edificios? (vsonido =340 m/s) A)72m D) 36m B) 18 m E) 25 m C)40 m A) 200 m D) 270 m B)220 m E) 300 m C) 180 m RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 33 ---------~------------------- -- --
- 34. 9. Un ciclista cuya rapidez es 24 mIs se encuentra a 8 m de la parte trasera de un tráiler cuya longitud es 22 m y rapidez 18 mIs. Si ambos se encuentran en una carretera, viajando en un mismo sentido. Halla al tiempo para que el ciclista adelante al tráiler por 60 m. 10. El tiempo que demoran en encontrarse dos autos que viajan en sentidos contrarios y separados inicialmente por 80 m es 20 s, y si viajasen en el mismo sentido, el de mayor rapidez alcanza al otro en 40 s. Determina la rapidez de cada auto. A) 30 s D) 35 s B)15 s E) 20 s C) 25 s A) 4 mis y 2 mis C)3 mis y 1 mis E) 3 mis y 2 mis B) 2 mis y 1 mis D) 3 mis y 4 mis 11. Dos trenes de igual longitud se desplazan en sentidos contrarios, uno a una velocidad de 72 km/h y el otro a 36 km/h. ¿Cuántos segundos tardarán en cruzase, si cada tren tiene una longitud de 120 m? 12. La rapidez de un bote de ida es 20 km/h; cuando va de regreso (contra la corriente), logra una rapidez de 15 km/h. Halla el espacio recorrido de regreso si va de Iquitos a Nauta, sabiendo que de ida demora 5 horas menos que de regreso. A) 12 s B) 8 s C) 18 s D) 32 s E) 16 s A) 300 km D) 200 km B) 250 km E)150 km C)400 km 13. Unbote navegapor un río, aguasarriba, describiendo una velocidad de 30 km/h yaguas abajo (a favor del río) a 50 km/h. Determina la velocidad del río en km/h. 14. Un hombre lleva a un amigo a su casa con una velocidad de x km/h y retorna con una velocidad de y km/h. Si emplea z horas, ¿cuál es la distancia que hay hasta la casa del amigo? A) 30 km/h D) 25 km/h B) 20 km/h E) 10 km/h C)40 km/h A)~ (x + z) D) 2':!!:...- (x + y) B)x + y + Z E) (x+y) (x+ z) C)xy z UJ el ro; .¡ ........ Un roedor se encuentra a 20 m debajo de un halcón y al observarlo huye rectilínea mente hacia un aguje- ro, que se encuentra a 15 m delante de él, con una rapidez constante de 3 mIs. Determina la rapidez del halcón si este caza al roe- dor justo cuando ingresaba al agujero. Rpta.: 5 mIs 34 Int:elect:um Evolución 4.o
- 35. C) 6 krn/h B) 4 km/h E) 9 km/h A) 5 km/h D) 8 km/h ® Luis y Alberto parten de una ciudad a otra, situada a 24 km de la primera; Luis lo hace con una rapidez de 2 km por hora menos que Alberto, llegando a su destino con una hora de retraso. ¿Cuál es la rapidez de Luis? C) 30 km/h B) 20 km/h E) 50 km/h A) 10 km/h D) 40 km/h NNEL , o Un hombre rema 60 km río abajo empleando el mismo tiempo que emplea en remar 20 km río arriba. ~9It~ Halla la velocidad del bote en 11 aguastranquilas, si la velocidad de tit.¡¡~i1!) la corriente es 5 km/h. Un auto se dirige de una ciudad A a otra B que distan d metros, con una rapidez v; de B regresa con v/2 y finalmente de A emplea v/4 para volver a la ciudad B. Halla el tiempo total de viaje. Dos trenes parten al encuentro desde poblaciones separadas a 870 km, al mismo tiempo. Eltren de pa- sajerosviaja a 80 km/h y el tren de carga a 65 km/h . ¿Cuántas horas necesitan para encontrarse? A) 7 d/v D) 21 vId B) 8 vId E) 15 d/v C) 14 d/v A) 5 h B) 6 h C) 7 h D) 8 h E) 9 h ® Un ciclista se dirige de una ciudad A a otra B dividiendo su recorrido en tres partes iguales. El primer tramo lo recorre a una rapidez de 60 km/h. el segundo tramo a 30 km/h y el último a 20 km/h. Halla la rapidez media del ciclista. Dos móviles están separados por una distancia de 2300 metros. Si se desplazan al encuentro con rapideces de 60 mIs y 40 mIs, respectivamente, ¿al cabo de cuánto tiempo estarán separados 1300 m por primera vez? A) 20 km/h D) 60 km/h B) 55 km/h E) 40 km/h C) 30 km/h A) 12 s B) 8 s C) 10 s D) 15 s E) 13 s ® Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un semáforo y el triple de tiempo en cruzar un puente de 400 m de largo. ¿Cuál es su longitud? (3) Una persona sale todos los días de su casa a la misma hora y llega a su trabajo a las 10:00 h; un día se traslada al triple de la velocidad original y llega a su trabajo a las 8:00 h. ¿A qué hora sale siempre de su casa? A) 200 m D) 280 m B) 180 m E) 400 m C) 160 m A) 7:00 h D) 4:00 h B) 6:00 h E) 9:00 h C) 5:00 h RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 35
- 36. C) 250 krn/h B) 150 krn/h E) 300 krn/h A) 100 krn/h D) 200 krn/h @ Un móvil tiene una velocidad que es el doble de otro; y una ventaja sobre él de 50 km. Al cabo de "x" horas la ventaja se ha duplicado y al cabo de (x + 1) h se ha hecho todavía el doble de lo que era una hora antes. Halla, en krn/h , la velocidad del móvil más lento. B) 18 mis y 14 mis D) 18 mis y 12 mis A) 15 mis y 18 mis C) 15 mis y 12 mis E) 15 mis y 14 mis ® Dos ciclistas corren sobre una pista circular de 360 metros de longitud. Si van en el mismo sentido, el primero pasa al segundo en todos los minutos; cuando ellos marchan en sentido contrario ellos se cruzan a intervalos regulares de 12 segundos.¿Cuáles son las velocidades de los ciclistas en metros por segundo, respectivamente? @ Todos los días sale del Cusca hacia Arequipa un ómnibus a 40 km/h. Este se cruza siempre a las 11 h, con un ómnibus que va de Arequipa hacia Cusca con una velocidad de 35 km/h. Cierto día el ómnibus que sale del Cusco encuentra malogrado al otro a las 12:45 h. ¿Aqué hora se malogró ese ómnibus? NIVEL 2 @ Juan es un "caminante" que debe recorrer 2000 m en media hora.Siparte del camino lo hacecorriendo a razón de 6 mis y el resto caminando a 1 mis. Indica con una (V) si es verdadera o una (F) si es falsa, las proposiciones. 1. ( ) Juan corre durante 40 segundos. 11. ( ) Caminando recorre 1760 m. 111. ( ) Camina durante 1760 segundos. A) 12:45 h D) 10:00 h B) 11:00 h E) 9:00 h C) 10:45 h A) FFV B)VFV C)VVV D) VVF E) FFF @ Un hombre conduce su coche hacia una ciudad a 60 krn/h y llega una hora más temprano que si hubiera manejado a 50 km/h. Determina la distancia recorrida. @ Un microbús debía cubrir cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era novato, recorrió todo el trayecto con liS menos de la velocidad normal y llegó con un retraso de 4 horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente? A) 200 km D) 400 km B) 500 km E) 300 km C) 600 km A) 12 horas D) 19 horas B) 18 horas E) 16 horas C) 15 horas @ Una madre y su hija trabajan juntas en la misma oficina. Para ir de su casa a la oficina, la hija emplea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En cuánto tiempo alcanzará la hija a su madre, si esta sale 8 minutos antes? A) 28 min D) 18 min B) 24 min E) 22 min C) 20 min @ La velocidad de A es 10 krn/h mayor que la de B. Si A en 16 horas recorre lo mismo que B en 20 horas, ¿en cuánto tiempo se encontrarían, si salieran en sentidos contrarios desde 2 ciudades distantes 450 km? 36 tntietectiurn Evolución 4. o
- 37. A) 3 h B)4 h C) 7 h D) 9 h E) 5 h caminando. Calcula la distancia entre la casa y la chacra. A) 5450 m D) 4250 m B) 5250 m E) 600 m C) 4500 m Dos motociclistas, Mariano y José disputan una carrera, cuyo recorrido es 30 km. Si Mariano le da a José 6 km de ventaja, llegan al mismo tiempo a la meta; en cambio si le da 3 km de ventaja solamente, le gana por 10 minutos. ¿Cuánto más rápido es Mariano que José? @ A) 3,5 km/h D) 4,5 km/h B) 22,S km/h E) 14,5 km/h C) 18 km/h La rapidez de un bote de ida es 20 km/h; cuando va de regreso (contra la corriente), logra una rapidez de 15 km/h. Halla la distancia total recorrida si va de Iquitos a Nauta y viceversa, sabiendo además que de ida demora 5 horas menos que de regreso. @ Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta tienda. Observa que caminando a razón de 6 mis tarda 4 segundos más que caminando a 8 mis. ¿Cuál es la distancia mencionada? A) 500 km D) 600 km B) 150 km E) 180 km C) 225 km A)92 m B) 89 m C) 98 m D) 96 m E)69 m @ Para ir de la ciudad A a la ciudad B, Luisa camina a razón de 70 km/h y para regresar de la ciudad B a la ciudad A utiliza una velocidad de 30 km/h. Halla la distancia AB recorrida por Luisa, sabiendo que en total su viaje le ha tomado 20 horas. @ Un tren demora 13 minutos en pasar por delante de Pamela y 25 minutos en cruzar un puente de 600 metros. Calcula la longitud del tren. A) 420 km D)405 km B) 400 km E) 450 km C)410 km A) 480 m D) 1300 m í I NIVEL 3 B)680 m E) 650 m C) 560 m @ Un automóvil hace el recorrido de x hacia y en 2 h 40 m, al regresar de y hacia x aumenta la velocidad en 20 km/h y tarda 2 horas . ¿Cuál es la distancia entre x e y? UNM5M-2004 11 @ Un campesino va caminando de su casa hacia su chacra. Parte a medianoche y recorre 70 m cada minuto. En cierto trecho del camino sube a la moto de un amigo que había partido del mismo lugar a las O horas 20 minutos con una rapidez de 150 m/min. El campesino llega a su destino 20 minutos antes que si hubiese continuado A) 100 km D) 120 km B) 180 km E) 160 km C) 150 km RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 37
- 38. @ Dos trenes cuyas longitudes son 147 m y 103 m, marchan sobre vías paralelas en el mismo sentido. Si la velocidad del primero es 48 mIs y el segundo demoró 50 segundos en pasarlo, calcula la velocidad del último tren. A) 25 mIs D) 35 mIs B) 15 mIs E) 53 mIs C) 12 mIs @ ¿Cuántas horas emplea un tren que viaja a una velocidad promedio de 40 km/h entre 2 ciudades, para recorrer a kilómetros, si hace n paradas de m minutos cada una? Un avión provisto de un radio de 60 km de alcance, parte del Callao al encuentro de un barco cuya velocidad es la quinta parte de la suya (avión) . Cuando sus mensajes alcanzan al barco, este responde que llegará al Callao dentro de 15 horas. El avión regresa inmediatamente y puede anunciar la noticia al Callao por medio de su radio cinco horas después de su partida del Callao. Determina la velocidad del barco. Un barco A está a 40 millas al oeste de otro B. El barco A se está moviendo hacia el este a 40 millas por hora y el barco B hacia el norte a 20 millas por hora. ¿Cuál es la distancia entre los 2 barcos después de 3 horas? A) 72 km/h D) 60 km/h B) 30 km/h E) 48 km/h C) 36 km/h A) a + 2mn 60 D) 3a + 2mn 120 A) 80 millas D) 110 millas B) 3a - 2m 60 E) 3a + 5mn 60 B) 90 millas E) 120 millas C) 2a - 3m 60 C) 100 millas @ Un ciclista va por una carretera, con velocidad constante y observa que el poste kilométrico indica ab km. Luego de una hora de recorrido observa ba km y una hora después se encuentra en el kilómetro aOb. ¿Cuál es la velocidad del ciclista? Dato: O=cero A) 32 km/h D) 45 km/h B) 30 km/h E) 50 km/h C) 40 km/h @ Juan salió de su hacienda a una velocidad constante rumbo a Cajamarca. Al cabo de 4 horas había recorrido los 3/5 de su camino, pero le faltaba recorrer 76 km. ¿A qué velocidad viajaba Juan? UNMSM-200S I A) A menos de 27 km/h B) A más de 28 km/h C) A más de 30 km/h D) A menos de 19 km/h E) A más de 29 km/h 38 Inte/ecturn Evolución 4. o NIVEL 1 LA 2. A 3. e 4.A 5. e 6. B 7. e 8.A 9. D NIVEL2 10. e 11. E 12. B 13. A 14. E 15. E 16. E 17. D 18. D 19. E NIVEL3 20. B 21. D 22. A 23. E 24. E 25. e 26. D 27. B 28. D 29. e
- 39. [!t~ Cronometría CAMPANADAS Ejemplo: Un reloj da 4 campanadas en 15 s. ¿En cuánto tiempo dará 7 campanadas? Respecto a este tema, existen diversos problemas, entonces, para un mejor entendi- miento los clasificaremos de la siguiente manera: Problemas sobre campanadas . Problemas sobre tiempo transcurrido y tiempo que falta transcurrir. Problemas sobre adelantos y atrasos. Problemas sobre ángulos formados por las manecillas de un reloj. Resolución: ~ ep~p ~ep ~p I 3 intervalos I t <P~P~P~T~q;J-~Sf~ep I 6 intervalos I 1=1.i=5 3 t = 5 .6 = 30 s Otra forma de resolución para el ejemplo de campa- nadas: 4 campanadas - 15 s 7 campanadas - x Luego: 4 campanadas <> 3 intervalos 7 campanadas <> 6 intervalos 15 s - 3 intervalos x - 6 intervalos 3x = 15 . 6 x =30 s .. . Para expresar el número de intervalos, al número de campanadas le restamos una unidad. Ejemplo: 7 campanadas <> 6 intervalos 5 campanadas <> 4 intervalos 3 campanadas <> 2 intervalos .'. Eltiempo es 30 s. Conclusiones: Tiempo _ (Número de) X ( Tiempo de ) total Intervalos cada Intervalo Número de campanadas Número de + 1 Intervalos TIEMPO TRANSCURRIDO VTIEMPO QUE FALTA TRANSCURRIR Ejemplo: ¿Qué hora es?, si dentro de 40 minutos faltarán para las 17:00 h, 10 minutos más que los minutos transcurridos desde las 14 h. Resolución: • Del enunciado del problema planteamos: J Hora exacta ... 40 min 14:00 ~ 17:00 ~ x min ~ ~ (x + lO);"in ~ Para el desarrollo de este tipo de problemas nos ayudaremos de un gráfico representado por una recta, tomando como base un día que tiene 24 horas y de acuerdo a los datos dividiremos la recta en partes. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 39
- 40. Si el reloj está atrasado, entonces la hora que marca será la hora real menos el atraso, esto es: ..- • Desde las 14:00 h hasta las 17:00 h son 3 h <> 180 min • Del gráfico: x + 40 + (x + 10) =180 2x + 50 =180 2x = 130 =} x = 65 min • Luego: 14:00 + 65 min = 15:05 h :. La hora es 15:05. HM = HR - atraso Donde: HM: hora marcada HR: hora real ADELANTOS YATRASOS Ejemplo 1: Un reloj tiene 2 minutos de atraso y se atrasa 2 minutos cada 3 horas transcurridas. Sabiendo que son las 12:00 del mediodía de un miércoles, ¿cuándo y a qué hora el reloj tendrá un atraso de 1 hora? Resolución: • Como el reloj presenta 2 minutos de atraso y se quiere que complete 1 hora de atraso, entonces falta atrasarse 58 minutos. • Luego: si se atrasa 2 minutos en 3 horas, entonces para que se atrase 58 minutos, debe transcurrir 87 horas, es decir: Si el reloj está adelantado , entonces la hora que marca será la hora real más el adelanto, esto es: X29( 2 min 58min ____ : 3 h ) X29 1-87 h-: HM =HR + adelanto Donde: HM: hora marcada HR: hora real • Eltiempo que debe transcurrir es 87 h que equivale a 3 días y 15 horas. • Luego: miércoles 12:00 m + 3 días 15 h =} domingo 3:00 a.m. : . El reloj tendrá un atraso de 1 hora el día domingo a las 3:00 a.m. Ejemplo 2: Se sabe que un reloj se adelanta 30 s cada minuto. Si empieza retrasado 5 min, res- pecto de la hora normal. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá un adelanto de 7 minutos respecto de la hora normal? Resolución: • Como el reloj está retrasado 5 minutos, entonces para que marque la hora correcta debe adelantarse 5 minutos y a partir de ahí tenga un adelanto de 7 minutos entonces debe adelantarse en total: 5 minutos + 7 minutos =12 minutos. • Se puede ver que se adelanta 1 min cada 2 min que transcurre, entonces para que tenga un adelanto de 12 min debe transcurrir 24 mino :. Dentro de 24 mino • 1 min ) X2 ----... X2( 30 s 60 s 1-1 min -i • Luego: La circunferencia del reloj está dividida en 12 partes. Cada parte tiene una me- dida de 30°. Cada parte tiene 5 divi- siones. • Cada división tiene una medida de 6°. 1 hora equivale a 60 mi- nutos y cada minuto a 60 segundos. La circunferencia repre- senta 360°. 40 Inte/ectum Evolución 4. o
- 41. ,,'~ ~.! :-~ !: ':,~ ~ ÁNGULO FORMADO POR LAS MANECILLAS DE UN RELOJ Horario 4 min o 24° 3mino18° 1,5 min o 9° Analicemos el recorrido del horario y el minutero: Recorrido del minutero Recorrido del horario ... Cada vez que el minutero avanza una cantidad en mi- nutos, entonces el horario avanza en minutos la docea- va parte o también la mitad de dicha cantidad, pero en grados. Ejemplo: Minutero 48 min 36 min 18 min 60 min 30 min 24 min 12 min mmin 5 min o 30° 2,5 min 015° 2 min o 12° 1 min o 6° (m/12)min o (rn/Z)" Ejemplo: Halla el ángulo formado por las manecillas del reloj cuando son las 5:40. Para esta clase de problemas se recomienda analizar a partir de la hora exacta a la hora indicada. Cuando el horario marca las 12 h se toma H = O. Ejemplo: ¿Qué ángulo forman las agujas del reloj a las 12:24? M =24 ; H =O e= 1; (M) - 30(H) e= 1; (24) - 30(0) e= 132° Hora exacta 1:00 3:00 5:00 Ejemplo: Hora indicada 1:28 3:17 5:23 20° + e= 90° ~e = 70° • a=(~0)0~a=20° • a + e= 30°+ 30° + 30° Resolución: Gráficamente: Engeneral: Sea la hora H: M e:el ángulo que forman las manecillas del reloj • Cuando el horario adelanta al minutero: [e= 30H -lf-M l • Cuando el minutero adelanta al horario: [e= lf-M - 30H ] En el ejemplo anterior usando la segunda relación (ya que el minutero adelanta al horario), se tiene: e= 11M - 30H 2 e= 1 21 (40) - 30(5) e= 220 -150 ~e = 70° • Cuando las manecillas del reloj se oponen, el ángulo que forman es 180°. • Cuando las manecillas del reloj se superponen, el ángulo que forman es O°. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 41
- 42. ProbLemas Resolución: 1------24h Del gráfico: a+b I T' I lempo que falta transcurrirl Tiempo transcurrido 1- Luego: 3 campanadas <> 2 intervalos 9 campanadas <> 8 intervalos 3 camp 1 s 9 camp - x o Un reloj indica la hora con igual número de campa- nadas. Si para dar las 3 horas se demora un segun- do, ¿cuánto tardará en dar las 9 horas? Resolución: Entonces: 2 int - 1 s 8 int - x 2x =8 :. x =4 s ab + a + b =24 lOa + b + a + b =24 11a + 2b =24 ¡ ¡ 2 1 • Un reloj da (m + 3) campanadas en (m - 3) segun- dos. ¿En cuántos segundos dará (m 2 - 3) campana- das? Resolución: • Son más de las 2 p.m., pero aún no son las 3 p.m. Si los minutos transcurridos desde las 2 p.m. es el tri- ple de los minutos que faltan transcurrir para que sea las 3 p.m. ¿Qué hora es? Resolución: Campanadas Intervalo I (m + 3) (m + 2) (m2 - 3) (m2 - 4) ~m~ + 2)x =(m 2 - .4)(m - 3) :. x =(m - 2)(m - 3) s -- ~,-- Tiempo (m-3) x Horas transcurridas: ab =21 h :. Son las 21 h o 9:00 p.m. • Un reloj se empieza a atrasar 5 min por cada hora que pasa. ¿Cuánto tiempo debe pasar para que este reloj vuelva a marcar la misma hora que el re- loj normal? Resolución: Para que un reloj vuelva a marcar la hora exacta, se debe retrasar 12 h =720 min o 5 min 1 h 720 min - x 5x =720 x =144 h 3n + n =60 4n =60 n =15 ~ 3n =45 . . Hora exacta: 2:45 p.m. :. Tiene que pasar 144 h o 6 días. o Cierto reloj se adelanta 4 min cada 5 h. ¿Qué hora será en realidad cuando el reloj marque las 11:00 h, si hace 20 h que empezó a adelantarse? Resolución: 2 p.m. . I I Del gráfico: 3 p.rn. . 4 min x 5h 20 h e Siquedan del día, en horas, la suma de las dos cifras que forman el número de las horas transcurridas, ¿qué hora es actualmente? 5x =20 . 4 ~ x =16 min Luego: HR=11:00 - 16 min :. HR=10:44 h 42 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 43. • Isabel al ver la hora confunde el minutero por el horario y viceversa ; y dice : "son las 7 h 48 min". ¿Qué hora es realmente? Resolución: La posición de las agujas es la siguiente: Elminutero marca: ( 2~ )min =2. 7 62 =24 min :. Será a las 2 h 24 min o o ¿Qué hora marca el reloj mostrado en la figura? Resolución: Hora que observó Isabel: I 7 h 48 min (hora incorrecta) Para saber la hora correcta recordar: Horario Minutero ( 2 X )0 x min 18° .. Son las 9 h 36 min o 36 min -< 30° - a .1- Aplicando: h o ¿A qué hora inmediatamente después de las 2 el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a la marca de las 12? Resolución: íPor condición d~roble::las agujas del ~elo~1 están en la posición mostrada. 2a o < > (2 6a) , Sabemos que: h 1 m 2 h: recorrido del horario (en grados) m: recorrido del minutero (en minutos) En el problema: a-60° 1 -=:.:--,,:=:-:::---- = (2a)/6 2 12a - 720° =2a lOa =720° => a =72° 1 = m 2 -,--,-=3'70_ ° _-..=a,,:--:-_ = 1 (180° - 2a)/6 2 360° - 12a =180° - 2a 180° =lOa => a =18° El minutero marca : ( 180 ~ 2a ) I = ( 180 -62 . 18 )' = 24' : . La hora que marca es 2 h 24 mino @!) ¿Qué ángulo forman entre sí las agujas de un reloj a las 12:12 horas? Resolución: Cuando un reloj marca 12 h, se toma H = O, además M =12. Como el minutero adelanta al horario: Aplicamos: e=11M - 30 H 2 e= 1 21 (12) - 30(0) :.e=66° RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 43
- 44. 1. En cierto momento del día, las horas transcurridas son los 3/5 de lo que falta por transcurrir. ¿Qué hora es? 2. Faltan para las 9 horas la mitad de minutos que pasaron desde las7 horas. ¿Qué hora marca el reloj? A) 10:00 p.m. D) 6:00 a.m. B) 9:00 a.m. E) 9:00 p.m. C)7:00 p.m. A) 8 h 20 min D) 7 h 30 min B) 7 h 40 min E) 8 h 40 min C) 6 h 50 min 3. Son más de las 6:00 a.m., pero todavía no son las 10:00 a.rn., si los minutos que transcurrieron es a los minutos que faltan por transcurrir como 3 es a 5. ¿Qué hora será dentro de 4 horas? 4. Andrea pregunta: ¿Qué hora es? y, Manuel le responde: "Ya pasaron las 11 y falta poco para las 12. Además dentro de 13 minutos faltará para las 13 horas la misma cantidad de minutos que habían pasado desde las 11 hace 7 minutos". ¿Qué hora es? A) 11 h 20' D)11 h 30' B) 7 h 30' E) 6 h 30' C)8 h 30' A) 11 h 40' D) 11 h 45' B) 11 h 38' E) 11 h 57' C) 11 h 50' s. Sifuera 3 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día 5/7 de lo que faltaría, si es que fuera 3 horas más temprano. ¿Qué hora es? 6. Un campanario tarda 3 segundos en tocar 3 campa- nadas. ¿En 9 segundos cuántas campanadas tocará? A) 7:00 a.m. D) 11:00 a.m. B) 8:00 a.m. E) 4:00 a.m. C)6:00 a.m. A) 5 B) 8 C) 10 D)7 E) 9 7. Un campanario tarda 4 segundos en tocar 5 campanadas. ¿Cuánto tiempo demora en tocar 10 campanadas? 8. Un reloj de alarma da 73 "beep" en 15 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 19 "beep"? A) 9 s B) 10 s C)8 s D)7 s E)6 s A) 2,5 s D) 3,76 s B) 3,75 s E) 3,5 s C)3,78 s 44 Inte/ectum Evolución 4 .o
- 45. ,~M '" ··~;;'1'~ ~ 9. Un reloj demora (x2 - 1) segundos en tocar x2 cam- panadas . ¿Cuántas campanadas tocará en (x - 1) segundos? 10. Siendo las 2 p.m. un reloj empieza a adelantarse a razón de 2 minutos por cada hora. ¿Qué hora marcará este reloj cuando sean las 2 a.m. del día siguiente? A) x-l D)x B)i E) x +1 C)1 A) 2:24 a.m. D) 2:18 a.m. B) 2:22 a.m. E) 2:17 a.m. C) 3:20 a.m. 11. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 8 minutos. Si ahora marca 4 h 10' Y hace 3 horas que se atrasa, entonces la hora correcta es: 12. Un reloj se adelanta 2 minutos por hora. ¿Cuántos días como mínimo deberán transcurrir para que vuelva a marcar la hora correcta? A) 4 h 30' D) 4 h 50' B)4h55' E) 4 h 35' C) 4 h 40' A) 20 días D) 30 días B) 10 días E) 25 días C) 15 días 13. Faltan 5 min para las 12. ¿Qué ángulo estarán for- mando las agujas del reloj? 14. ¿Qué hora indica el reloj mostrado en la figura? A) 24,4· D) 27,2· B)25,S· E) 27,S· C) 20· A) 2 h 25 min D)2 h 23 min B) 2 h 28 min E) 2 h 22 min C) 2 h 27 min UJ u M ~ ...... é Oué hora es según el gráfico? Rpta.: 4 h 4-k min ce u el <t <Ji o ow- N ......... .1--- - _ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 45
- 46. NNEL' o Una campana toca 3 campanadas en 7 segundos. ¿Cuántos segundos tardará en tocar 7 campanadas? ® Faltan para las 9 h la mitad de minutos que pasaron desde las 6 h. ¿Qué hora marca el reloj? A)20 0)19 B) 21 E) 18 C) 27 A) 8 h 30' O) 6 h 30' B)7 h 30' E)7 h C) 8 h ® ¿Qué hora es, si son los 5/7 del tiempo del día que falta por transcurrir? o El reloj de la catedral indica la hora con igual número de campanadas. Si tarda 6 segundos en dar las 4 h, ¿cuánto tardará en dar las 20 h? A)7 h O) 9 h B) 8 h E) 10 h C) 6 h A) 12 s O) 14 s B) 13 s E) 15 s C) 16 s -.- '1 o ¿A qué hora entre las 10 y las 11 está el minutero exactamente a 6 minutos del horario? ® Un reloj da 12 campanadas en 12 segundos. ¿Cuánto demora en dar 34 campanadas? A) 10 h 47 min C) 10 h 53 min E) 10 h 48 min B) 10 h 52 min O) 10 h 46 min A) 36 s O) 35 s B) 32 s E) 34 s C) 33 s ® ¿Qué ángulo forman entre sí las agujas del horario y minutero a las 9 h 10 min? o Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 h. ¿A qué hora empezó a adelantarse, si a las 11 h 15 min de la noche marca las 11 h 27 min? A) 215 0 O) 143 0 B) 13r E) 146 0 C) 135 0 A) 5:18 a.m. O)5:21 a.m . B) 5:17 a.m. E) 5:15 a.m . C) 5:22 a.m . ® ¿Qué ángulo forman las manecillas del horario y minutero a las 12 h 36 min? 46 Int:e/ect:urn Evolución 4. o A) 196 0 O) 19r B) 195 0 E) 198 0 C) 193 0
- 47. @ ¿Cuálesel menor ángulo que forman las manecillas del horario y minutero a las 10 h 28'? @ Un reloj se adelanta 4 min cada 3 horas . ¿A qué hora empezó a adelantarse si a las 11:10 p.m . señala 11:22 p.m.? @ El reloj de la catedral en anunciar 5 h tarda 6 segundos. ¿Cuánto tardará en anunciar las 23 h? @ Un reloj se atrasa 3 minutos cada 20 minutos. Si luego de 9 horas está marcando las 7:43 cuando en realidad son las a:bc. Halla: a + b + c A) 120 0 O) 1340 NNEL2 A) 16 O) 14 B) 135 0 E) 147" B) 17 E) 15 C) 146 0 C)13 A) 2:20 p.m. O) 2:16 p.m. A) 17 O) 13 B) 2:10 p.m. E) 2:17 p.m. B)14 E) 15 C) 2:18 p.m . C) 16 @ Un reloj de alarma da 145 "beep" en 20 s. ¿Cuánto se demorará para dar 37 "beep"? @ Un reloj se atrasa cada 15 minutos, 2 minutos. ¿Qué hora marcará dicho reloj cuando sean las 3:15 h, si hace 5 horas empezó a atrasarse? A) 5 s 0)7 s B) 6 s E) 4 s C) 8 s A) 2:50 O) 2:45 B) 2:55 E) 2:40 C) 2:35 @ En un reloj, ¿cuántas posiciones distintas hay en donde coinciden las manecillas del minutero y el horario? @ Si fuera 2 horas más tarde de lo que es, faltaría para acabar el día 5/7 de lo que faltaría, si es que fuera 2 horas más temprano. ¿Qué hora es? A) 9 O) 10 B) 13 E) 11 C) 12 A) 5:30 p.m. O) 12 m. B) 6:00 p.m. E) 5:00 a.m. C) 7:00 a.m. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 47
- 48. NNEL3 @ Siendo las 5 p.m. un reloj empezó a adelantarse a razón de 8 minutos por hora. ¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora correcta? @ ¿A qué hora de la mañana el tiempo que marca un reloj es igual a 5/4 de lo que falta para las doce del mediodía? A) 88 h D) 80 h B) 90 h E) 180 h C) 85 h A) 10:20 D) 9:00 B) 6:40 E) 11:45 C) 8:15 @ ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las agujas de un reloj forman un ángulo cuya medida es 60° por primera vez? @ ¿A qué hora, entre las 7 y las 8 de la noche, las agujas de un reloj forman un ángulo de 1000 por segunda vez? A) 4 h 10 min C)4 h 13 min E) 4 h 12 ';1 min B) 4 h 5 min D) 4 h 10 i~ min A) 7 h 56 1 21 min C) 7 h 57 1 3 3 min E) 7 h 56 1 51 min B) 7 h 58 1 31 min D) 7 h 56 ¡i min @ ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el ángulo interior será 1/5 del ángulo exterior, que forman tanto el horario como el minutero? @ ¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 5:10 a.m.? B) 85 0 E) 94,5° A) 4:02 min C)4:11; min E) 4:10 min B) 4·101Q. min . 11 D) 4:01 min @ ¿Aqué hora después de las 4, el minutero adelanta al horario tanto como el horario adelanta a las 12? 48 tntietectism Evolución 4. o A) 4:32 D) 4:48 B) 4:34 E) 4:37 C) 4:35
- 49. @ Indica cuántos minutos después de la 1 p.m. forman un ángulo recto las manecillas de un reloj . @ ¿Qué hora es?, si hace "a" horas el tiempo transcurrido era la mitad de lo que faltaba para acabar el día y dentro de "a" horas pasará lo contrario. A) 260/11 O) 300/11 B) 250/11 E) 240/11 C) 270/11 A) 8:00 O) 10:00 B) 12:00 E) 15:00 C) 20:00 @ Cuando son exactamente las 6:00 a.m., un reloj marca 5:40 a.m.; se sabe que el reloj siempre se retrasa 4 minutos cada 2 horas. ¿Aqué hora marcó correctamente la hora por última vez? @ Sonmásde las6 sin ser las8 de esta mañana; y hace 10 minutos los minutos que habían transcurrido desde las 6 era igual a 1/9 del tiempo que faltaría transcurrir hasta las 8 dentro de 10 minutos. ¿Qué hora es? A) 4:00 p.m. O) 8:00 p.m. B) 4:00 a.m. E) 6:30 p.m. UNI-20021 C) 8:00 a.m. A) 6:20 p.m. O) 7:20 a.m. B) 6:45 a.m. E) 6:20 a.m. C) 6:45 p.m. @ El horario de un reloj mide 8,4 cm. ¿Cuál es la distancia recorrida por la punta de esta aguja en 1 hora? (n =22/7) A) 8 cm B) 8/2 cm C) 8,4 cm O)4,4 cm E) 9 cm @ ¿Qué hora marca el reloj de la figura? A) 6 h 54 i~ min C) 6 h 54 1 61 min E) 6 h 56 li min B) 6 h 54 1 21 min O) 6h 52 1 31 min NIVEL1 LB 2. D 3. A 4. E 5. e 6. E 7. E 8.A 9. E 10. e NIVEl2 11. E 12.A 13. e 14. B 15. D 16. e 17. D 18. B 19. D 20. e NIVEl 3 21. B 22. D 23. B 24. D 25. B 26. E 27. e 28. E 29. D 30. D RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 49
- 50. Caso general 3 = 2 2 - 1 I 8 =3 2 - 1 I m .." . : 0,, 0, • 1Il···--.ITl nTl... nTl 1 2 3 4 oo . 29 30 n 1 G2 L.- ----' f?l 1 2 cv '- --' t!~ Inducción - Deducción Casos particulares RAZONAMIENTO DEDUCTIVO Caso2: m Caso3: 1 2 3 ~ 15 =f -1 El número total de palitos será: 30 2 - 1 =899 Caso 1: Resolución: RAZONAMIENTO INDUCTIVO Ejemplo : Calcula el número total de palitos en la figura: Consiste en analizar casos particulares, es decir, realizar experiencias sencillas, pero con las mismas características del problema original para conseguir resultados que al ser relacionados nos permitan llegar a una conclusión con amplia probabilidad de cer- teza que lo llamaremos caso general. ----------------------------iD . .. Nos damos cuenta que la distribución de palitos en la torre obedece a una cierta formación, entonces aplica- mos inducción, analizando los tres casos más simples que se pueden dar. Generalmente es necesario y suficiente analizar tres ca- sos particulares y sencillos, manteniendo la forma ori- ginal en que se presenta el ejercicio. Ejemplo: Caso s particulares Pedro es bombero y es valiente. Marcos es bombero y es valiente. Simón es bombero y es valiente. Conclusión general Todos los bomberos son va- lientes. Es aquel tipo de razonamiento que va de lo general a lo particular. Se parte de una afirmación general (que ya ha sido demostrada), la cual se aplica a casos particulares. ..., Caso general Deducción Casos particulares En este tipo de problemas se debe tener en cuenta las prin- cipales propiedades básicas de la adición, sustracción, multiplicación, división, etc. Las cuales ayudarán a verifi- car los casos particulares. Ejemplo : • Se sabe que todos los alumnos de la UNMSM son inteligentes. • Se sabe también que Eder es alumno de la UNMSM . Luego, se deduce que Eder es inteligente. 50 tnxeiectisrn Evolución 4. o
- 51. Problemas - - - ---- Resolución: 66 cifras . . Identifica la suma de cifras del resultado, al efec- tuar la expresión siguiente: (666...66)2 -, oo. (IV) r-: - - - - - I De los millares: I + T =9 S + 1 = 10 => S = 9 I En (1): E = 1 => I = 1 L n ~ T=8 => R=8 :. SEIS =9119 - - - - - - - ----- e Según el esquema, ¿de cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra "Esperanza"? 9 = 9(1) 18 =9(2) 27 =9(3) Suma de cifras 62 = 36 662 = 4356 666 2 = 443 556 - 2: caso: 3. er caso: i." caso: :. Lasumadecifrasdel resultado es: 9(66)=594 S E S P P P • Efectúa: naox 201 X 202 X 203 + 1 - 40 194 E E E E Sea "ES" la palabra a leer (2 letras): E 2 =21=22- 1 R R R R R A A A A A A N N N N N N N Z Z Z Z Z Z Z Z A A A A A A A A A Resolución: Se observa que en el radical aparece el pro- ducto de 4 números consecutivos. Analizamos los casos más simples. Caso 1: JCDx 2 x 3 x @ + 1 = 5 => 1 X 4 + 1 Caso 2: JQ)x 3 x 4 x@ + 1 = 11 => 2 X 5 + 1 Caso 3: J@ x 4 x 5 x@ + 1 = 19 => 3 X 6 + 1 Luego, solo basta con multiplicar el mayor y menor de los números y sumarle 1: Resolución: S S maneras Sea " ESP" la palabra a leer (3 letras): E 4 = 22 = 23 - 1 Sea "ESPE" la palabra a leer (4 letras): E S S 8 = 23 =24 - 1 P P P maneras E E E E En el problema: 200 X 203 + 1 - 40 194 40 601 - 40 194 = 407 8 Si: SIETE + TRES = 100000 Halla: SEIS, además I = E Y T = R. Resolución: 1 Del dato: S I ET E + TRES 100000 S S P P P maneras De las unidades: E+ S =10 .oo (1) De las decenas: T + E =9 oo. (11) De las centenas: E + R =9 oo . (111) En el problema: Esperanza tiene 9 letras, entonces: I 29 - 1 28 Tata maneras = = = 256 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 51
- 52. e Si: (a + b + c)2 = a25 calcula: M = ab3 + c2b + 4ac + bca Resolución: Observación: todo número que termina en 5 al elevarlo al cuadrado, su resultado termina en 25. Ejemplo : 35 2 = 1225 45 2 = 2025 65 2 = 4225 En el problema: (a + b + C)2= a25 (a + b + c) = 25 V (a + b + c) = 15 • Si a + b + e = 25 => (a + b + C)2= 625 => a = 6 Y b + c = 19 (no puede ser) • Si a + b + c = 15 => (a + b + C)2= 225 => a=2 y b +c =13 Luego: M = ab3 + c2b + 4ac + bca : . M = 2088 o Calcula la suma de cifras del resultado de: P = 99 X 888 ... 88 Resolución: ~ 7 =6 + 1 1 r2l L =-J2 x 3 + 1 x 2 '1::." I -2- ~ 15~12+3 1 2 CV'- = -.Jf X 4 + 2 ~ 3 I : . El número total de triángulos será: 20 X 21 + 19 x 20 = 610 2 o Calcula la suma de cifras del resultado de: E= [(a +3)(a +3)...(a+3) ,- (a- 3)(a - 3)o • • (a - 3)(a - 5)f 100 cifras E= (666 ... 6668)2 Aplicando inducción: 100 cifras 100 cifras Resolución: ,..------------- I (a +3) -(a -5) =8 I (a + 3) - (a - 3) =6 Luego: Aplicando inducción: ~'I Suma de cifras Caso 1: 99 X 88 = 8712 => 18 = 9(2) Caso 2: 99 X 888 = 87 912 => 27 = 9(3) Caso3: 99 X 8888 = 879 912 => 36 = 9(4) En el problema: P = 99 X 888 ... 88 --- - - - - - - - - - - - - - - 102 cifras Resolución: (6668)2= 44 462 224 => 28 = 6(4) + 4 r= .. : . Suma de cifras = 6(100) + 4 = 604 102 cifras . . La suma de cifras será: 9(102) = 918 I "'-_ _ __ _ _ ~, ~ ~ J • ¿Cuántos triángulos se pueden contar en la si- guiente figura? ~ ." o" 0, , ", ~ ~ 1 2 3 18 19 20 (68)2 = 4624 T (668)2 = 446224 t= Suma de cifras => 16 = 6(2) + 4 .. => 22 =6(3) + 4 .. 52 Inte/ectum Evolución 4. o
- 53. 1. ¿Cuántos cuadrados simples hay en la figura n." 18? [TI Fig n.ol ffi Fig n." 3 dEJ Fig n.O2 Fig n." 4 2. ¿Cuántos puntos de intersección se pueden contar en la figura n." 20? -$ $ Fig n." 1 Fig n.o2 • 11 Fig n.o 3 Fig n." 4 A) 128 B) 512 C)412 D) 256 E) 328 5. Halla el número total de puntos de contacto, en: 3. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra INDUCCiÓN? A) 460 B)420 C) 480 D)470 E) 450 4. Si: S = . 1 »:" S = • 2 ............../ • ...,.......-.-. S = . 3 .............._ . .............. -: /.--: . ~ S = . ~ _.-: 4 .............._.:::::::= .............. _: <; ¿Cuántas bolitas habrá en Su? A) 4095 B)2048 C)4000 D) 1024 E) 3125 6. Calcula L, si: L= 2+4+6+8+ ... +4444 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 4443 E) 380 D)342 C) 330 B) 315 A) 283 N N D D D U U U U e e e e e e e e e e e o o o o o o o o N N N N N N N N N ~ ... @@® A) 520 B)670 C)570 D)810 E) 940 A) 4444 B) 2223 C).l 4443 2222 2 D) 2222 2221 E) 1 .. 8. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la figU;¡:da? 5 11 17 19 9 7. Calcula la suma de términos de la fila 23(F23): F1 - 1 F2 - 3 F3 - 7 F4 - :3 15 . .. . A) 13 243 D) 15342 B) 16343 E) 2654 C) 12 167 A) 9270 D)6255 B)3640 E) 5260 C)5625 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 53
- 54. 9. Calcula la suma de todos los términos del siguiente 10. En el siguiente arreglo, calcula FlOO: arreglo: F1: 3 2 4 6 8 20 F2: 3 + 5 F3: 3 + 5 + 7 4 6 8 10 22 F4 : 3 + 5 + 7 + 9 6 8 10 12 24 20 22 24 26 38 A) 1000 6)5000 C)500 D)2000 E) 200 A) 3900 6) 7890 C) 10200 D) 7900 E) 9800 11. Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente expresión: S =(111...11 + 222 ...22 + 333 ...33)2 12. Halla la última cifra del resultado de: M =196532 + 196928 + 196730 100 cifras 100 cifras 100 cifras A) 100 6)870 C) 900 D)810 E) 800 A)l 6) 2 C)3 D)4 E)5 5 3 4 10 2 1 3 6 6 10 1 3 14. En el siguiente triángulo numérico, calcula la suma de los elementos de la fila número 20(F20): F1 ---+ 1 F2 ---+ 1 F3 ---+ 2 F4 ---+ 3 F5 ---+ 4 6 F6 ---+ 5 10 10 13. Halla la suma de cifras del siguiente producto: (1015 _ 1)2(1015 + 1)2 A) 270 6)260 C) 261 D)265 E) 320 A) 3000 6)3136 C)4650 D)3116 E) 5000 « el M .¡. ........ Halla el número total de triángulos, en: o u u w cñ o ..... N ............ el U el « or= N M .,¡ Rpta.: 1331 1 54 Inte/ectum Evolución 4.o
- 55. NNELI o ¿Cuántos palitos se emplearon en total para formar la siguiente figura? 1/1/1/1 17181920 A) 320 1/1/1/1 1 234 B)225 C) 310 0)750 E) 250 o Un vendedor ofrece sus productos a precios establecidos por kilogramo con un extraño criterio, así por ejemplo: Ají -> 5/ .6 Papa -> 5/ .10 Arroz -> 5/.15 Camote -> 5/ .21 ¿Cuál es el precio del kilogramo de pescado en dicha tienda? A) 5/.28 B) 5/.30 C) 5/.25 O) 5/ .18 E)5/.24 o Halla el número total de palitos empleados en la siguiente figura: / /V /VI <XXXX) ® 5i: 4 x N = 244 7 X N = 927 halla las tres últimas cifras de operar 10 X N. /V /VV 1/1 1 2 3 /V /VV 11/ 484950 A) 610 B)320 C) 410 0)330 E) 230 A) 2650 B) 3180 C) 300 O) 2450 E)2520 ® 5i la secuencia continúa, halla el número de rombos existentes en la figura 50: Calcula la suma de cifras del resultado de A, si: A =(999...9995)2 '-----.r----' 101 cifras o M , .A 'V V '· · · ® A) 900 B)925 C) 625 0)905 E)907 A) 190 Figura 1 B) 180 Figura 2 C) 197 Figura 3 O) 205 E) 213 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 55 - - - - - - - - --- -
- 56. (j) Calcula la suma de cifras del resultado de: E=(999...992) X (999...998) ~~ 41 cifras 41 cifras A) 324 B)256 C) 412 D)366 E)367 NNEL2 @ Halla la suma de cifras del resultado de sumar todos los términos del siguiente arreglo: F1 ~ 5 F2 ~ 5 5 F3 ~ 555 F4 ~5555 F19 ~ 5 5 5 5 F20 ~ 5 5 5 55 ® Calcula la suma de cifras del resultado de: E=(3guatda.com/cmx.p333...33)2 ~ 33 cifras A) 12 B) 6 C) 14 D)17 E) 8 ® Calcula el número de triángulos en F40: @ Calcula: S = 4';<=8=76-=-5=5=-=5:-:6=7=8---=7=5=3--'-1-=-01""'-3"""'5==-7 434343 - 23 232 A) 286 A) 420 D) 1020 A) 1 D) 4111 B)292 C) 295 B)800 E) 960 B) 11 E)-I~l1"""'l""""l""""l D)297 E)316 C) 820 C)O @ Halla la suma de todos los números que componen la siguiente matriz: 1 2 3 4 10 2 3 4 5 11 3 4 5 6 12 4 5 6 7 13 10 11 12 13 19 A) 788 B)900 C) 1000 D)2000 E) 2300 @ Calcula la suma de los coeficientes del desarrollo de (a + b)20. A) 2 18 B) 2 30 C) 224 D) 220 E) 214 56 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 57. @ Calcula la suma de cifras del resultado de la siguiente operación: 9guatda.com/cmx.p999...97 X 999...993 ~~ 101 cifras 101 cifras A) 900 B)90S C) 921 D)907 E) 903 @ Resuelve: A) 1 D) 1ff111/4 hl1110 888 889 +.1 444444 4 B)2 C)4 E) 3 ® En el siguiente arreglo, calcula Fso: Fl ~ 3 F2 ~ 3 + S F3 ~ 3 + S + 7 F4 ~ 3+S+7+9 @ Halla el resultado final de la expresión M, si: 136 cifras ,-----A----, M =11+ 1313 + 131313 + ... + 131313 1313 34 3434 343434 34343y4 343,4 136 cifras A)2S00 D)2400 B)2600 E) 3000 C) 2700 A) 26 B) 32 C) 28 D)30 E) 24 @ Calcula la suma de cifras del producto P, si: P =2guatda.com/cmx.p222...22 X 9guatda.com/cmx.p999...998 @ La siguiente expresión: ~ ~ 103 cifras 104 cifras E=111...11 - 222...22 A) 760 B)730 '-v------' '-.r-----' C) 720 D)740 E)800 2a cifras a cifras equivale a: A) (333...33)2 B) (333...33)2 '-v----' '-v----' (a + 1) cifras 2a cifras C) (333...33)2 D) (333...33)2 '-v----' '-y---J a cifras 3a cifras @ Calcula el valor de: E) (333...33)2 '-y---J E =8h + 2047 (211 + 1)(222+ 1) (a + 2) cifras A) 1 B) ./2 C) ./211 D)./222 E) 8./2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 57
- 58. @ ¿Cuántos palitos se han utilizado para la construcción del siguiente castillo? NIVEL 3 @ En la siguiente secuencia, halla f(12): f(l) =1 + 1 -;- 1 f(2) =4 - 3 X 4 f(3) =10 + 6 -;- 9 f(4) =20 - 10 X 16 A) 42 714 B) 43 472 C) 41 784 O) 41184 E) -10 868 A) 3625 0)3765 77 1 2 3 B)3675 E) 3756 77 48 49 50 C)4290 @ Con 3003 alumnos se desea hacer una formación triangular de manera que la primera fila tenga un alumno, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. Entonces la suma de los dígitos del número de filas que se formarían es: UNM5M-2004 11 @ ¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente figura? A)4 0)9 B) 8 E)7 C) 14 ¡S I? I·.. ¡? IS I? I 1 2 48 49 50 A) 3775 0)2500 B) 2105 E) 1275 C) 5050 @ Halla la última cifra de p/ si: P =(3 2004 + 2)(3 2003 + 2)(3 2002 + 2)(32001 + 2) (3 2000 + 2) ... (3 100 + 2) A) 5 O) 1 B)7 E) 3 C)9 @ ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra ESFUÉRZATE en el arreglo mostrado? E S S F F F U U U U E E E E E R R R R R R Z Z Z Z Z Z Z AAAAAAAA T T T T T T T T T E E E E E E E E E E 58 Inte/ectum Evolución 4. o A)512 B) 1024 C) 256 O) 1020 E) 511
- 59. @ Calcula la suma de cifras del resultado final de: 8 + 98 + 998 + 9998 + ... , , v 45 sumandos @ En el arreglo mostrado, ¿de cuántas formas diferentes se puede leer la palabra ANUAL CIENCIAS? A) 44 D)47 B)45 E) 48 C) 46 A N N U U U A A A A L L L L L e e e e e e I I I I I I I E E E E E E N N N N N e e e e I I I A A S @ ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra EXPLOTACIÓN usando letras contiguas? A) 462 B)252 C) 924 N D) 210 E) 1024 - - - o N o N e o N A e o N T A e o N o T A e o N L o T A e o N P L o T A e o N X P L o T A e o N E X P L o T A e o N A) 1024 B)2048 C) 1023 D)2047 E) 512 fi8 @ ¿Cuántas bolitas habrá en la figura 20 (F20)? NIVEl1 9. e 17.A 25. A Le 10. A 18. A 26.A + 2. A NIVEl2 19. B 27. B ~ 3. e 11. B 20. e 28. A O 29. o 4.A 12. e NIVEl3 30. e s. A 13. o 21. E Figura 1 Figura 2 Figura 3 6. E 14. E 22. e 7. E 15. B 23.A A) 1200 B)960 C) 800 8. o 16. e 24. B D) 1160 E)820 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 59
- 60. r!!) Cuadrados mágicos DEFINICiÓN Es una distribución cuadrada de números en la que la suma de los números en cada fila, columna o diagonal es la misma. ~ 45 ... 45 14 19 12 13 15 17 18 11 16 Orden:número de casillas por lado .... 45: constante mágica o suma mágica ... Se denomina orden al número de casillas por lado. Por ejemplo: el cuadrado mágico que se muestra es de orden 3 x 3 o simplemente de orden 3. De igual manera si se quiere hallar el valor de la constante mágica en un cuadrado mágico de orden 4, que se completa con los números enteros del 1 al 16. Ejemplo: Si el siguiente cuadrado mágico se completa con los números del1 al 9, ¿cuál es el valor de la suma mágica? m -+ s -+ s -+ s -+ s 4S =1 + 2 + 3 + ... + 16 4S = 16 x 17 S = 34 2 Resolución: Todos los números suman 3So 3S =1 + 2 + 3 + 0 00 + 9 3S = 9 x 10 = 45 2 ~ S =15 En general: sea un cuadrado de orden n que se completa con los números: 1; 2; 3; o o .; n2 n casillas por lado ,- ..... '" '0' f-- .. o f-- 0.0 '----- : ooo ~ Todos los números suman nSo nS =1 + 2 + 3 + 000 + n2 n 2(n2 + 1) nS =--'--2-----'- n (n 2 + 1) ~ S =-..:----,-~ 2 .. Para reconocer el valor de la constante mágica que se ha completado con los n2 primeros números enteros positivos, se puede utilizar la siguiente expresión: n(n2 +1) 2 donde "n" representa el orden del cuadrado mágico. CONSTRUCCiÓN DE CUADRADOS MÁGICOS Método de Bachet (cuadrados mágicos de orden impar) L." Paso: construye casillas en forma de torre sobre los lados del cuadrado mágico, 20o Paso: escribe el 1 en la casilla lateral izquierda y completa los números en forma diagonal hacia arriba. 60 Intelectum Evolución 4. o
- 61. 3.er Paso: los números fuera del cuadrado ingresarán en forma simétrica en el lado opuesto. Ejemplo: Distribuir los números dell al 9 en un cuadrado mágico. Distribuye los números del 1 al 25. 2 7 6 9 5 1 4 3 8 7 - - ~'W 4 3 9 15 12 8 14 201 111 7 13 19 1251 16 12 18 241 11 17 23 16 22 - f - f- ~ Método de las x (cuadrados mágicos de orden múltiplo de 4) Ejemplo: Distribuye los números dell al16 en un cuadrado mágico: L." Paso: ubique los números desde la casilla superior izquierda y en orden ascendente. 2: Paso: divide en sub cuadrados 4 x 4 y traza una equis (Xl en cada sub cuadrado. 3.er Paso: los números tocados por las equis se intercambian en forma simétrica con respecto al centro del cuadrado. 3 16 9 22 15 20 8 21 14 2 7 25 13 1 19 24 12 5 18 6 11 4 17 10 23 Distribuye los números del 1 al 64. 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 PROPIEDADES DE LOS CUADRADOS MÁGICOS De orden 3 • En un cuadrado mágico de orden 3 la suma mágica o constante mágica es tres veces el término central. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 2223 24 25 2627 28 29 3031 32 3334 3536 3738 39 40 41 42 43 44 45 4647 48 49 5051 5253 54 55 56 57 58 5960 61 62 6364 5= 3e • El número ubicado en cada vértice de un cuadrado mágico de orden 3 es la semisuma de los dos números que están en contacto con su vértice opuesto. 64 2 3 61 60 6 7 57 9 55 54 12 1351 50 16 1747 46 20 21 43 42 24 40 26 2737 3630 31 33 3234 3529 2838 3925 41 23 2244 45 19 18 48 49 15 14 5253 11 10 56 8 58 59 5 4 62 63 1 a b e d e f g h i [ a = h ; f] [ c = d ; h] [ g = b ; f] [ i = b;d ] Sabemos que: S = Sumatotal 3 También: Luego: e = Sumatotal 9 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 61
- 62. Recuerda [ S=x+y+z+w ] ... 5 ... 5 ... 5 ... 5 x y z w ~ b 2a a+b -+ Aquí no ~e ubica el mayor ni el menor. De orden 4 • En un cuadrado mágico de orden 4, los números ubicados en los vértices es igual a la suma mágica. • Entodo cuadrado mágico de orden 3, el menor y el mayor de los números se encuentran en los lados laterales no esquineros del cuadrado. -+ 5 -+ 5 -+ 5 a b e d e f 9 h i En todo cuadrado rnaqico de orden 3 el número que se ubica en la casilla central es la semisuma de los números ubicados en dos casillas simétricas respecto a dicha casilla central. Veamos algunos ejemplos: 1. En el siguiente cuadrado mágico, distribuye los números del 1 al 9. Halla el valor de (a + b). Resolución: 2. Con los 16 primeros números impa res se forma un cuadrado mágico. Determina la suma de los números ubicados en la casilla sombreada. -+ 5 En todo cuadrado rnaqrco de orden 4 la suma de los números que se ubican en las casillas centrales es igual a la constante mágica. a b e d -+ 5 -+ 5 -+ 5 Laconstante mágica es "S": 35 = 1 + 2 + 3 + ... + 9 35 =45 5=15 Entonces, el término central es: e =~=J2=5 3 3 Luego: 7 + 5 + b = 15 12 + b = 15 b=3 Resolución: La suma de los números ubicados en la casilla sombreada es igual a la constante mágica. Los números a distribuir son: 1; 3; 5; 7; ...; 31 8 =a +b +c +d También : 9 + 5 + a = 15 14 + a = 15 a=l a+b=3+1=4 Luego: 45 = 1 + 3 + 5 + ... + 31 45= 162 45 = 256 .'. S =64 62 Intelectum Evolución 4. o
- 63. ProbLemas Resolución: ( I Por propiedad: A + C = 1 => A + C= 2 2 . . En el siguiente cuadrado mágico, halla el valor de a + b + c. 1 8 6 x b o a e 9 Resolución: También: Luego: 8+D =1- => 8+D =1- 2 4 2 A+8+C+D= ~ Luego: b = ~ = 1i => b = 5 rLaconstante mágica es: S = 1 + 8 + 6 5=15 También: 5=a+c+9 15 = a + c + 9 => a + c = 6 e En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los 9 primeros números impares, calcula el valor de c, si a + b = 14. : . a+b+c =6+5=11 ---- - ------- ---- o Halla el valor de A + 8 + C, en el siguiente cuadra- do mágico cuyos números componentes son los 9 primeros números impares. Resolución: Los números son: 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17 Lo que nos piden: A + 8 + C es igual a la cons- tante mágica "S". Luego: 35 = 1 + 3 + 5 + ... + 17 35 =92 35 =81 => S =27 :. A +8 +C =27 • Determina el valor de: A + 8 + C+ D, si el siguiente gráfico es un cuadrado mágico de orden 3. 3/4 B 1 e D 1/4 A 1/2 Resolución: r~;~~m~os s~~-;~~ 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17 35 =1+3+5+ ... + 17 35 =81 => S =27 Luego, el término central es: e = ~ = 9 3 a 9 e Del gráfico: a +b=9+c 14 =9 + c c =5 :. c =5 • Distribuye los 9 primeros números naturales en el triángulo mostrado, de tal modo que la suma de cada lado sea la misma . Da como respuesta la ma- yor suma. Resolución: Los números a distribuir son: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 1 7;8;9 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 63
- 64. Como nos piden la mayor suma en los vértices se debe ubicar los números mayores, es decir, 7; 8 Y 9. Luego la distribución es la siguiente: :. La suma máxima es 23. o Halla el valor de x + y + z + w + u, si se deben ubi- car los números del 1 al 10 en el siguiente gráfico, de tal manera que la suma de los números ubica- dos en cada lado sea 16. Resolución: Nos piden calcular la suma de los números que se ubican en los vértices: (a + b + c) 13 - e ; 1 / (~) 11,0 '--:' 0 13 !J' .' . I I I ~0/6t5'· ll -a '-,' '------,.........12-b 1----12------i Del gráfico: (11- a)+ (12 - b) + (13 -c) = 1+2+3 +4+5+6 36 - (a + b + c) =21 :. (a + b + c) =15 e Halla el valor de x + y en el siguiente cuadrado má- gico, cuyos componentes son los 9 primeros núme- ros pares. ~ ~ Resolución : y+a+x+b+z+c+w+d+u+e Resolución: y + a + x =16 j x + b + z =16 z + c+w = 16 w + d + u =16 u + e + y =16 (+) Los números a distribuir son: 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 Y18. Aplicando el método de Bachet: 4 14 12 18 10 2 8 6 16 1 + 2 + 3 + oo ' + 10 + x + y + Z+ w + u = 80 + x+y+z+w+u=80 55 + (x + y + z + w + u) = 80 :. x+y+z+w+u=25 • Distribuye los números 1; 2; 3; 4; 5; 6 en los círcu- los mostrados, de tal manera que la suma de los números en los lados del triángulo sean 11; 12 Y 13. Da como respuesta la suma de los números que se ubican en los vértices del triángulo. 64 Inte/ectum Evolución 4. o Giramos el cuadrado mágico 90° en sentido antihorario y luego compararnos con el gráfico original: 3y 12 2 16 x 14 10 ,6 Y 3x I 4 18 8 I I Finalmente: x = 6 e y = 4 :. x+y=lO
- 65. 1. Enel siguiente cuadrado mágico, sedistribuyen los 9 primeros números pares. Calculael valor de x + y + z. 2. Halla el valor de x + y + z + w, si el siguiente gráfico es un cuadrado mágico. 17 z 71 y w 47 x 101 A)27 8) 30 C) 33 0)36 E)42 A) 234 8)235 C)236 0)237 E) 240 3. Distribuye los números del S al 10 en los círculos, de tal modo que la suma de los números en los lados del triángulo sean: 20; 21 y 22. Da como respuesta la suma de los números que se ubican en los vértices del triángulo. A 4. En el gráfico, distribuye los números del S al 13, de tal manera que la suma de cada lado del triángulo sea la misma. Da como respuesta la mayor suma. A) 18 8)20 C) 15 0)23 E) 17 A) 35 8)37 C)38 0)36 E)39 s. Enel cuadrado mágico que se muestra sedistribuyen los 16 primeros números pares. Determina la suma de los números ubicados en las casillas sombreadas. 6. En el gráfico se muestra un cuadrado mágico de orden 3. Halla el valor de x. nilll x e a 7 17 A) 65 8) 69 C)66 0)68 E)70 A) 15 8) 18 e) 13 0)23 E) 21 7. El siguiente cuadrado mágico está compuesto por los 9 primeros múltiplos de 3, excepto O. Calcula z, si x + y =42. 8. Ubica en los puntos los números consecutivos del 1 al 20 de manera que cada cuatro círculos lineales sumen S. Halla S. A)21 8)24 C) 18 0)12 E)27 A) 42 8)44 C)40 0)36 E) 30 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 65
- 66. 9. En el siguiente cuadrado magreo, distribuye los números impares dell al 17. Calcula el valor de: m x n 10. En el cuadrado mágico que se muestra en la figura, halla el valor de: p + q + r 36 P 42 q r 12 54 24 A)85 B}75 C) 105 D)65 E)55 A) 108 B) 112 C)96 D) 116 E) 106 11. En el siguiente cuadrado mágico se deben distribuir los números impares dell al 31. Da como respuesta el valor de: M + N + P+ Q 12. El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla el valor de x + y + z. 25 P 21 13 27 5 M 11 29 Q N 2x+ L x z+1 z-2 x+2 Sx- E y-l 2z+ x-l A) 25 B)60 C) 26 D)28 E)45 A)8 B) 10 C) 12 D) 13 E)15 13. En el gráfico, distribuye los números del 2 al 13, de modo que la suma de los números que se ubican en cada lado sea 26. Da como respuesta la suma de los números que no se ubican en los vértices. 14. Elgráfico que semuestra corresponde a un cuadrado mágico de orden 4, en el cual se distribuyen los números pares del 2 al 32. Halla el valor de A x B. 26 B 20 12 30 4 A 14 28 A}74 B)84 C)76 D)96 E) 108 A)523 B)532 C) 518 D)528 E) 508 Rpta.: 36 ~ ~ [ En el siguiente esquema coloca los números: 2; 4; 6; ...; 16, de tal forma que no haya dos núme- ros pares consecutivos en casilleros contiguos. Da como respuesta el valor de: a + b + e + d .1------ - - --- - --- -- ------ - ----- « u ce o ai o ... N ......... u o ..; ~ ...... 66 Inte/ectum Evolución 4.o
- 67. NIVEL' o En el siguiente cuadrado mágico, halla el valor de a+b +c. 6 x a 8 b e 1 10 4 A) 10 B) 9 ~ X 3 z y 2 w 4 C)8 O) 12 E) 13 A)15 B) 16 C) 14 0)12 E) 18 o Determina el valor de: x + y - w - Z 2 12 10 x y O z a 14 o Halla el valor de x+ y + Z, en el siguiente cuadrado mágico : A)4 B) 8 7 Y 12 x w 3 z 8 C)2 0)5 E) 6 A) 27 B)40 C) 38 0)30 E) 32 o Determina el valor de: A+ B+ C+ O, si el siguiente gráfico es un cuadrado mágico de orden 3. ® En el siguiente cuadrado mágico, halla el valor de a +b+c. 3 13 11 17 a b 7 Y e A)7 B)4 7/4 B 3/2 A C 1/2 o 1/4 C)6 O) 10 E) 8 A)25 B)18 C) 15 O) 22 E) 20 (j) En el siguiente cuadrado mágico, se distribuyen los 9 primeros números naturales. Calcula el valor de a + b + c. o Determina el valor de: x + y + w + Z, si el siguiente gráfico es un cuadrado mágico de orden 3: A) 18 B)20 C)22 O) 15 E) 19 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 67
- 68. E) 3 0)5 C)4 B) 6 A)7 @ El siguiente cuadrado mágico está compuesto por los 9 primeros números naturales. Calcula el valor de x,si y + Z =8. NIVEL 2 E) 29 0)25 C) 31 B)27 A) 23 ® En el siguiente cuadrado mágico, se distribuyen los 9 primeros números impares. Calcula el valor de x+ y + z. ® En el siguiente cuadrado mágico, se distribuyen los 9 primeros números múltiplos de 3, sin contar el O. Calcula a + b + c. §±§ @ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los 9 primeros números pares, excepto el O, calcula el valor de c, si a + b =12. A)43 B)40 C) 42 0)38 E)45 A) 10 B) 2 C)6 0)8 E)4 @ En el siguiente cuadrado mágico, se distribuyen los números naturales del 6 al 14. Calcula el valor de x + y + z. @ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los 9 primeros múltiplos de 4, excepto O, calcula el valor de x, si y + z=48. A)35 B)32 C) 30 0)33 E) 25 A) 23 B)25 C) 30 0)32 E) 28 68 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 69. @ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado mágico. Halla el valor de x + y + z. @ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los 9 primeros múltiplos de 3, excepto O, calcula m + n. A) 16 B) 15 3 z 17 x Y 7 5 15 C)21 D) 12 E) 18 A) 24 B)27 C) 30 D)25 E) 22 @ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado mágico. Halla el valor de a + b + c. @ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los números pares del 6 al 22, calcula a + b. ~ DiO A) 28 B) 30 4 14 12 e b 2 a 16 C)32 D)38 E)36 A) 36 B)40 C) 32 D)30 E)38 @ El gráfico que se muestra, representa un cuadrado mágico. Halla el valor de x + y + z. @ En el siguiente cuadrado mágico que se forma al distribuir los números impares del 11 al 27, calcula m - n. ~ [H] A) 48 B) 52 13 23 21 27 x Y 17 z C) 55 D)40 E)50 A)8 B)4 C)5 D)6 E) 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 69
- 70. @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla el valor de a + b + c. a 16 b e 6 12 10 20 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla x + y. A)42 B)30 C) 38 D)46 E) 44 A) 26 B)30 C) 32 D)28 E) 34 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla el valor de x. NNEL3 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla x. x-2y x-y 5 A) 8 B) 5 ~ ~ C)2 D)6 E)7 A)7 B) 6 C)9 D)5 E) 8 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla x + y + z. x+1 3x z+3 z+6 2x+1 x y+5 z 4x-2 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla "a". A) 10 B)9 C)8 D)6 E)7 3a-6 a-b a+b A) 3 B)6 C)4 D)7 E) 5 @ El gráfico que se muestra representa un cuadrado mágico. Halla x + y + z. x +3 2x+3 4z 5z 2x+1 x+2 5y Z2 3x-1 70 Inte/ectum Evolución 4. o A) 8 B) 6 C) 12 D) 10 E)4
- 71. .. @ En el siguiente cuadrado mágico se deben distribuir los números pares del 2 al 32. Da como respuesta el valor de A + B+C + D. A) 10 B) 9 C) 12 0)6 E) 8 A 4 B 26 D 20 14 12 e 28 30 @ En el gráfico, distribuye los números del 1 al 9, de tal manera que la suma de cada lado del triángulo sea la misma. Da como respuesta la mayor suma. A) 72 B)68 C)70 0)64 E)60 @ Completa las casillas en blanco con números de un dígito de manera que al sumar los valores de cada fila o columna, resulte 34. Luego, responde: ¿cuántas veces aparece el dígito 9 en ambas diagonales? A)30 B)20 C) 28 0)25 E) 23 @ Distribuye los números pares del 1 al 13 en los círculos, de tal modo que la suma de los números en los lados del triángulo sean: 15; 16 y 17. Da como respuesta la suma de los números que se ubican en los vértices del triángulo. 8 9 8 8 8 9 A)7 B) 8 C)4 0)6 E) 10 f} • « , I • v J .. NIVEL 1 9. E 17. e 25. B LB 10. e 18. E 26. D 2. D NIVEL2 19. e 27. B 3. A 11. E 20. E 28. D 4.A 12. B NIVEL 3 29. D 5. e 13. E 21. D 30. E 6. B 14. A 22. A 7. D 15. e 23. B 8. B 16. B 24. e RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 1 71
- 72. En los últimos tiempos muchos han sido los terremotos que han sacudido de forma más o menos violenta ciertas zonas de nuestro planeta. Los medios de comunicación se han encargado de darnos información sobre estos sucesos, pero prácticamente todos ellos han cometido el mismo error, al utilizar la palabra "grados" al explicar la escala de Richter. Comencemos por el principio: cuando hablamos de la magnitud de un terremoto es incorrecto hablar de "grados". Es decir, no es correcto decir "un terremoto de magnitud 5,2 grados en la escala de Richter", lo correcto sería "un terremoto de magnitud 5,2 en la escala de Richter". Larazón es muy sencilla: la escala de Richter no esuna escala graduada, por lo que esincorrecto asignarle la palabra "grados" a sus valores. Una escala graduada es una escala en la que se toman dos valores, elegidos de manera arbitraria, y se divide en una cierta cantidad de partes la distancia entre ellos, tomando cada una de esas partes como "un grado". Ese es el caso, por ejemplo, de los grados Celsius. Bien, ¿y por qué la de Richter no es una escala graduada? Pues porque mide la magnitud de la energía liberada en un terremoto, por lo que sus valores no están asociados a dos puntos elegidos arbitrariamente, sino que son, por decirlo de alguna manera, absolutos. Por todo ello es erróneo incluir la palabra "grados" junto a la magnitud de un terremoto en la escala de Richter.
- 73. I .. '. , { M a tE! (TI á ti e a ¿Quién dice la verdad? En el aula de 4.°de Secundaria, el primer día de clases dos her- manos gemelos, cuyos nom- bres son Pepo y Pipo, se pre- sentan ante sus compañeros. Uno de ellos dice: "Yo soy Pepo". El otro comenta: "Si lo que él dice es cierto, yo soy Pepo". Si se sabe que uno de ellos siempre miente y el otro nunca lo hace. ¿Podrías decir quién de losdos dice la verdad? rE! e rE! a tlva
- 74. ~!l Operadores matemáticos Las operaciones matemáti- cas que se muestran en el cuadro son universalmen- te conocidas, es decir, que cualquier matemático del mundo sabe que: .. . , .- OPERACiÓN MATEMÁTICA Es un proceso que consiste en la transformación de una o más cantidades en una cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas o condiciones en las que se define la operación. Toda operación matemática presenta una regla de definición y un símbolo que la identifica llamado operador matemático. OPERADOR MATEMÁTICO Es aquel símbolo que representa a una operación matemática. Nos permite reconocer la operación matemática a emplear con su respectiva regla de definición. Ejemplo : Se define: p D q =2p3 + 3q2 Calcula: 2 D 1 Veamos: Los operadores matemáticos arbitrarios reciben el nombre según la figura o simbolo que representan: Ejemplo: . : operador corazón +:operador trébol @: operador arroba Operación matemática Operador matemático Adición + Sustracción - Multiplicación X División Radicación .¡ Logaritmación lag Sumatoria ¿ Productoria I1 Valor absoluto I I Máximo entero [ TI Las operaciones matemáticas mencionadas en el cuadro de arriba son universalmente conocidas, lo que haremos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas): *, 1'1, O , D, ® , etc. 1 ~ Operador matemático p D q =, 2p3:t39 2 ~ 2 D 1 =2(2)3+ 3(1)2 =19 1 ! Regla de definición 2.o elemento i ." elemento 74 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 75. Problemas O Si: m án =m2 - mn a.b =ab - b 2 Calcula: (4L12).{lL1 - 2) Resolución: • (4L12) = 42- 4 .2 =16-8 = 8 Reemplazamos: (4L12).{lL1 - 2) 8.3 8 .3 - 32 24 - 9 15 • (l L1 -2)=12 -1{-2) =1+2 =3 Resolución: Resolviendo cada paréntesis tenemos: Primer paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : =1 Segundo paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : = 1 Tercer paréntesis: 1 * 5 = 5 ~ 1 = : = 1 Observamos que el resultado de cada I paréntesis es el mismo. Luego: {... ({{1 * 5)* 5) * 5) ... * 5) =1 ({[{3* 5)* 6]* 6} ...)* 6 e Halla: E= ( r.=-) ( ) 2L1 -15 + 6L10 Si: a * b = b 1 x L1 y = 2x + l Resolución: • Si: (: : )= ad - bc. Calcula: (1~!24 ~~;) Resolución: Primero desarrollamos el numerador: (3 * 5) =5 [5 * 6] =6 {6 * 6} = 6 6 *6 =6 Luego: (...{[{3 * 5) * 6] ...} * 6 = 6 Desarrollamos el denominador: 2L115= 2(2) + 152 = 4 + 5 =9 6L10 = 2(6) + 0 2 = 12 Entonces : (2L1f5) + (6L10) = 9 + 12 = 21 Reemplazamos: E= 2 6 1 = ; 3~;) = 1024 . 2- 7 _ 343 . r 2 2 =2 10 . r7 _ 73 . r 2 =2 3 -7 = 8 -7 =1 ( 1024 r 2 Calcula: 0 -@ Resolución: Primero calculamos: 0 y 0 m = 7 (impar) => 0' = 7 + 5 = 11. = 6 !...J 2 2 m = 6 (par) => f6 = 6 + 4 =.1Q. = 5 V 2 2 Entonces: 0 - @ = 0 - 0 Ahora calculamos: 0 y 0 m = 6 (par) => 0 = 6 + 4 = 10 = 5 2 2 m = 5 (impar) => f5 = 5 + 5 =.1Q. = 5 '-::V 2 2 .'· 0 - @ = 0 - 0 = 5 - 5 = 0 O Si: { m + 5 . si m es impar @)= 2 ' m + 4 . si m es par 2 ' Calcula: (...{{{1 * 5) * 5) * 5) ... * 5) , , 10 operadores O Si: 0 =2x+3 101 =4x - 3 Calcula : 0 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 75
- 76. Resolución : 20 + 3 =4x - 3 20=4x-6 0 = 2X- 3 Luego: (j) = 2(7}- 3 = 14 - 3 = 11 =) 0 = 1 = 2(11} - 3 = 22 - 3 = 19 ~ - ----- ----- Reemplazamos: M = A -36 ~ M = 1 - 3 + 9 - 21 - 36 M = 42 - 36 M = m-36 M = 16 - 36 M =-20 o Se define los operadores ~ y V de la siguiente manera: a ~ b = ¡(a + b)2; a :::: b 1 a V b = 3 fab ab ; a < b Entonces el valor de (2 ~ 3)'1(5 ~ I), es: Resolución : o Si: @ + 8 = 20 - 8 ,halla el valor de : E= CD+ 0+ 0+ ... + @>+ ~ Resoluc ión: Sabemos que: 8 + @ + 8 = 20; entonces: E = CD + 0+ G?+,®+ ®+ ~+"'+,@+ ~+ ~ I , 20 io 20 I Como hay 54 = 18 grupos de 3 operaciones, 3 con números consecutivos y cada uno suma 20 =) E= 18 X 20 = 360. e Dados : A = Ip + m + n 1 1 m-k 2 =o ~ Halla el valor de: (2 ~ 3) = 2(3}= 6 (5 ~ 1) =(5 + 1}2 = 6 2 = 36 @!) Si: 8 = 4 X -2 Halla: 0 Resolución: Reemplazamos: (2 ~ 3) V (5 ~ 1) 6 '1 62 3J6 x 62 = 6 & . = 12X+ 2 Resolución : íkJ -_ k2 Se observa que: ~ Calculamos: A = 11 +1 +1 1= w ~ Luego: W=3 2 =9 A = IS+4-3 1=[]] ~ Luego: W= 62 = 36 76 Inte/ecturn Evolución 4. o Hacemos un cambio de variable: x +4=a =) x=a-4 A = A =4(a -4} -2 ~ ~ 6 = 4a - 18 Luego: & . = 12x + 2 40 - 18 = 12x + 2 40 = 12x + 20 =) 0 = 3x + 5 Finalmente: 0 = 3(4) + 5 = 17
- 77. Re tivid CI d e s riiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii~~~------' 1. Se define: 0 =3x + 6 Además: 8 =3x - 1 Calcula: ~ 2. Se define: a lb= a+b_b+c /C( a-b b-c Halla: ~ A) 110 B) 90 C) 80 D) 120 E) 104 A)4 B) 8 C) 10 D) -3 E)5 3. Siendo: ®= n 2 + 4 1 ~ = 2n - 1 calcula: @- 4. Si: a.b = a2 - ab Halla x en: (x + 2).(x - 1) = 4x A) 17 B) 16 C) 15 D)19 E) 22 A) 10 B)8 C)6 D)9 E)7 S. Si: a+b =(a+ b)2- (a - b)2 Calcula: N = 111 +52 37+13 6. Si: 2a # 3b =a3 + b2 Calcula: M = 4 # 9 A) 24 B)18 C) 15 D) 16 E)12 A) 30 B) 18 C) 17 D)25 E) 21 7. Si:(~)~(~)=a+ab+b Calcula: (2~3) + 4 8. Si: ~ =x(x-2) Halla: ~ A) 100 B)70 C) 60 D)80 E)94 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 77
- 78. 9. Si: 1 3x + 11= 6x - 1 Halla: m 10. Se define la operación: a 7 b = ab + b - a Según esto, halla x en: 5 7x = (7 74)7 10 A)2 B)-l C)10 D)3 E) O A)50 B)20 C)40 D) 10 E)30 2 11. Si: m * n = .!!L + 3 2 Calcula: B = 4 *(5 *(6 * ...)) I , 2013 operadores 12. Si a # b = Ja 2 -1 ; si a ~ b 1 b 2 - a ; si a < b Calcula: E=5#J4#ID A) 11 B) 14 C) 16 D)12 E)13 A) 18 B) 16 C) 24 D)20 E) 14 13. Se define el operador: ~ =(a _1)2 Hallaxen: A =64 14. Sise sabe que: 0 = 2x + 1 Además: IX+ 21= 3 8 Calcula: [[] + [2] A)4 B)6 C)7 D)3 E)5 A) 68 B) 72 C) 75 D)70 E) 55 el ca ...; ..t Se define: ... ... m = 0,125 ca u « u CD ~ ai o -e- N ... ... ... "3 = 2,7 UJ u UJ ca (i) = 6 12 65 .n cQ ....: cO Calcula: UJ el ca u E= @)+ Rpta.: 59 ..: N ...; ..t 78 Inte/ectum Evolución 4 .o
- 79. ® Si:@] =a 2 + 1 1 x * y =2x + y - 3 Calcula: [L!3J (j) Si: a * b =2a + b. Calcula: m =(3 * 2) * (4 * 5) NNEL , CD Si:0= 6P~lS Calcula: <g> A) 16 B)14 C)lS o Se define: m # n = 3m ~ 8n Calcula: 10 # 4 D) 12 E) 13 A) 26 A) 25 B)SO B) 19 C) 37 C) 29 D)82 D)31 E) 65 E) 17 A) 1 B)2 C) -2 D)-l E) 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 79
- 80. NNEL2 @ Si:@]=a+2 y &.= 0+3 Calcula: & + [Z] A) 15 B) 16 C) 10 @ Si: D)9 E) 13 @ Si: p(~) A) 1 ~ Píx) - P(y); calcula, :¡:l B)-l C)2 D)-2 E) 1.- 2 32 * 28 = 16 43 * 12 = 15 32 * 21 = 9 Halla: (32 * 25) * 12 A) 6 B) 12 C)8 D) 11 E) 14 @ Si: F(x) = 2x - 1; reduce: F(x + 2) + F(-l) A) 2x - 3 B) 1 - 2x C) O D) 2x E) 1 @ Halla: a + b 15 * * 16 = 60 12 * * 12 =36 20 * * 12 = 60 14 * * 20 =ab @ si: ffi-3=P(P-1) Halla: ,& + ,& A) 36 B) 15 C) 23 D)38 E) 46 A) 10 B) 9 C)8 D)6 E)7 @ Si: $ a =31a - 1 1+ 8 lliJ =5b - 4 Calcula x en: 0 = $ 5 @ Si: x ~ y = (x + y)(i - xy + /) Calcula: (2 ~ 1)~ (1 ~ 2) A) 1008 B)1458 D)1718 E) 1415 C) 1615 A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 @ Si:a*b=3(a+b)+1 y c ó d e c>- ~ Calcula: (8 * 2) ~ 30 @ Si:W=3x+6; y lá l = 3X- 6 Calcula: A A) 12 B) 28 C) 31 D)67 E) 101 A) 16 B)31 C) 32 D)18 E) 15 80 Int:elect:um Evolución 4. o
- 81. @) Si: [i±J] =x 2 + 3x + 2 Halla x en : [ill] = 42 A)2 B) 1 C) O 0)3 E) 4 @ Se define: o = 2x + 1; [02] = 3n Calcula: ~ NIVEL 3 @ Si: 0 =x 2 - 1 Y =x(x + 2) Calcula: (A + (2)( A) 64 B) 49 C) 81 O) 36 E) 25 A) ro O) fff B) .fIT E).ff2 @ Si: ~ a~ =2a; para a impar y ~a~ =a; para a par. Calcula: / / ~ 9+&-M -& @ Si: @= (x -6r 1 ( ) @ Calcula: A= "'(( ( cff1® f r A) 01 B) 1 O) 3 E) 12501 C) 25 A)24 B) 16 C) 36 0)26 E) 18 @ Si: a # b = ( a 2b: a 3sb ) b- a :f: O Calcula: 5 # [5 # {S# (5 # (oo.)))] A) 3 B) 2 C) 1 O) -1 E) -2 @ Se define enIN: @ = n - 9 Halla: 120 operadores O @ Se define: w= a 2 - 1 ; a > O Además:Iffil= a(a + 2). Calcula: & +&-[l] A)16 B)6 C)36 0)9 E) 81 A) 200 0)236 B)246 E) 248 C) 240 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 81
- 82. @ Si la operación !J. se define: m fj. n = (m + n) Jm!J. n @ Si: m @ n = 3m - 20, calcula: A = 1 2 @ {2 2 @ {3 2 @ (4 2 @ ... (... ))))) , / v 502 paréntesis Calcula: M= {-1!J.2)~ 100 operadores ® Se define: [KIil = ~_1... y x Calcula el valor de E. E={..{{(I20031 1 1)'20<l21 2f"o 1l31('20031 A)O A)-20 D)99 B) 1 C)2 B) -17 E) 2500 D)3 E) 56 C) -15 A)O D) 2003 2003 B) 1 E) -1 C) 2003 ® Si: a * b = ~a + b)(a + .b) ...(a + b~ (a s b) veces Calcula: E= [(a + b)*{a + b)] @ Se define: 8 {2X- 1 x - 3 = 2x - 2 2x + 1 Halla: ; x :::;-l -1 < x:::; 1 ; 1 < x A){a+b)a +b C) (a + b)2(a + b) E) (a + b)4(a + b) B) 4{a + b)(a + b)2 D) (4{a + b)2)(a+ b) A) 2 B)O C)1 D)-l E) 3 Si: w=x 2+2x @ Calcula el valor de: 2003 circunferencias ~ = 35 A) 5 D) 52003 B) 15 E) 5555 C) 10 fr~ ' < 'C; /~ • • u~ ... j u ~ ,Jt.-, • l ' . NIVEL1 9. D 17. D 25. B 1.C NIVEl2 18. B 26. B 2. D 10. B 19. A 27. B 3.C 11. A 20. A 28. B 4. B 12. E NIVEl3 29. B 5. D 13. E 21. A 30. B 6.C 14. C 22. D 31. A 7. C 15. C 23. A 32. B 8.A 16. D 24. B 33. D 82 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 83. t!!J Conteo de figuras El conteo de figuras puede realizarse mediante dos formas: MÉTODO DE PARTES Consiste en contar de una manera ordenada lasfiguras que existen, con el siguiente orden : • Figura de una parte, es decir, aquellas que se ven a simple vista. • Figurasde dos partes, esdecir, aquellas que seforman al unir dos partes consecutivas. • Figurasdetres partes, esdecir, aquellas que seforman al unirtres partes consecutivas. y así sucesivamente, hasta contar el todo o figuras más grandes. Ejemplos: 1. Halla el total de triángulos. Resolución: Con 1 número: 2; 3; 4 Con 2 números: 12; 13; 24; 34 Con 4 números: 1234 3 4 1 8 El contar figuras resulta ser un procedimiento sencillo, en la medida que este conteo se realice en forma ordenada, y para ello debemos indicar las figuras que se desean contar con números y/o letras. 2. Halla el número total de cuadriláteros. Resolución: Este método es el adecua- do para figuras irregulares o figuras asimétricas, es decir, que no guardan cierta regula- ridad en sus partes. 4 Con 1 número: 1; 3; 4; 6 Con 2 números: 12; 23; 45; 56 4 Con 3 números: 123; 456; 124; 145; 236; 356 6 Con 6 números: 123456 1 15 MÉTODO POR FÓRMULA Seaplica principalmente a figuras simétricas o figuras regulares, que tienen un aspecto típico al cual se le puede aplicar alguna de lasfórmulas que se indican. Número de segmentos Número de segmentos = n (n + 1) 2 n 3 2 1 Número de ángulos Número de ángulos = n (n + 1) 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 83
- 84. ·... Segmentos Ángulos Triángulos n." de figuras _ n(n + 1) geométricas - -- 2- Número de triángulos Número de triángulos = n (n + 1) 2 Número de cuadriláteros Cuadriláteros ~---l Hexágonos Octágonos ¿Cuántos cuadrados hay en la figura? 1 2 3 ... m 2 3 n Número de cuadriláteros = n (n + 1) 2 Número de cuadriláteros = m (m + 1) X n(n + 1) 2 2 Número de cuadrados n." de o = 6(6 + 1)(2 (6) + 1) _ 91 6 - 1 2 3 oo. n 2 3 n 1 2 3 ... m 2 3 n Número de cuadrados = n (n + 1) (2n + 1) 6 [ Número de cuadrados =m . n + (m - l)(n - 1) +...] Número de cubos n ' 6/ / / / 5/ / / / / / 4 / / / 3. / / 2 / / 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 Número de cubos =[n(n2 + 1) r 84 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 85. Problemas . . Halla el número total de segmentos en la figura. Resolución: Resolución: Asignamos números en forma horizontal y vertical para aplicar la fórmula. 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 A~--------=---==- C Contamos los ángulos que hay en cada vértice: B n." cuadriláteros = n." cuadrados +n." cuadriláteros que no son O n." cuadriláteros =n." cuadriláteros - n." cuadrados que no son O Luego: n." cuadriláteros = 7 ~ 8 X 4 ~ 5 = 280 n." cuadrados = 7 X 4 + 6 X 3 + 5 X 2 + 4 X l = 28 + 18 + 10 + 4 =60 n." cuadriláteros que no son cuadrados: 280 - 60 =220 Resolución: ,~---------------- - - - • ¿Cuántos ángulos agudos hay en la figura adjunta? '---''f-- -,-,+- - - :><=- M N R T - 4(5) Número de segmentos en DH = - 2- = 10 - 4(5) Número de segmentosen 1M = - 2- = 10 - 4(5) Número de segmentosen AC =- 2- = 10 - 3(4) Número de segmentos en AB = -2- =6 - 3(4) Número de segmentos en BO =- 2- =6 - 3(4) Número de segmentosen BC = -2- =6 - 2(3) Número de segmentosen QR = -2- =3 - 2(3) Número de segmentosen S'I = - 2- =3 .'. Número total de segmentos: 3(10) + 3(6) + 2(3) = 54 Asignamos letras a cada punto y números a cada segmento simple. B o Determina el número total de cuadriláteros que no son cuadrados. Número de ángulos en A = 12 ~ 13 = 78 Número de ángulos en B = 11 ~ 12 =66 Número de ángulos en C = 13 ~ 14 =91 .'. Número total de ángulos=78 +66 +91 =235. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 85
- 86. e ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura adjunta? Resolución: Resolución: ~s~namos núme-rosa cada ragión para aplicar '1 I 7órmula. Contamos por partes. : . Número total de triángulos: 1 + 6 + 15 + 28 =50 Número de cuadriláteros: 2( 4~5))+2( 5~6)) =50 Ahora vamos a contar los cuadriláteros com- puestos. 1 1 5 5 o Calcula el número total de sectores circulares en la figura : Resolución: A é - - - - - - - B Calculamos por partes: e o Contamos el número de cuadriláteros con 2 o más letras (los cuadriláteros con 1 letra ya se contaron). :. Número total de sectores circulares: 21 + 15 + 6 =42 3 2 Con 2 letras : AB; BC; CD Con 3 letras: ABC; BCD Con 4 letras : ABCD 1 6 :. Número total de cuadriláteros =50 + 6 =56. o ¿Cuál es el total de triángulos que se muestra a continuación? e Determina el número total de triángulos. 1-+++----->..,4 1-+-J.------ 3 1---'--------- 2 '------------> 1 86 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 87. Resolución: Contamos por partes: ~f-++------4 3X4 ~--'-- --'l. 3; ~ 2X3 L.- ----' 1~ 1 2 n.o total de triángulos: = 1 + 2 X 3 + 3 X 4 + + n (n + 1) 2 2 ... 2 = 1 + ~ (2 X 3 + 3 X 4 + ... + n{n + 1)) = 1 + ~ (1 X 2 + 2 X 3 + oo. + n{n + 1~ - 1 X 2) S = 1 + ~ (S- 1 X 2) = 1 + ~ - 1 = ~ Recuerda: S = 1 X 2 + 2 X 3 + 3 X 4 +... + n{n + 1) S= n (n + l){n + 2) 3 .'. n." total de triángulos = ~ _ n(n + l){n + 2) 6 --------- o ¿Cuántoscubitos faltan como mínimo para comple- tar un cubo sólido compacto en la figura? Resolución: Del gráfico se observa que: Cantidad de cubitos que se tienen es: 2+2+2+1=7 Como se debe tener un cubo compacto: Cantidad de cubitos que se deben tener es: 3 X 3 X 3 =27 Luego: n.o cubitos que faltan = 27 - 7 = 20. fl!) Se tiene una pirámide escalonada. Si se quiere construir una similar de 8 cubitos de altura. ¿Cuán- tos cubitos más se necesitarán? Resolución: Del gráfico se observa que: Fila 1: 1 cubito = 12 I Fila 2: 4 cubitos =22 Fila 3: 9 cubitos =3 2 Luego: Cantidad de cubitos que se tiene: 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 Ahora vamos a formar una pirámide de 8 filas. Fila 1: 1 cubito = 12 Fila 2: 4 cubitos =22 Fila 3: 9 cubitos =3 2 Fila 8: 64 cubitos =82 Luego: Cantidad de cubitos que se debe tener: 12 + 22 + 32 + ... + 82 = 8 X 9 6 X 17 = 204 .'. Cantidad de cubitos que faltan: 204 -14 = 190 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 87
- 88. Ae tlVI d el d e s 1. El número de triángulos en la figura es: 2. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A) 40 B) 42 C)36 D)32 E)44 A)45 B)35 C)40 D)42 E) 37 3. ¿Cuántos triángulos tienen por los menos un asterisco? 4. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? A) 20 B)24 C)26 D)22 E)18 A) 195 B) 178 C)198 D)d168 E) 190 s. ¿Cuántos cuadriláteros en total se observa en la figura? 6. Determina el número total de triángulos. A) 20 B) 22 C) 18 D)19 E)17 A)41 B)47 C)49 D)44 E)45 7. Calcula el número total de triángulos en: 8. ¿Cuántos segmentos hay en la figura? A) 10 B) 12 C) 14 D)8 E)6 A)38 B)36 C)34 D)40 E) 32 88 Inte/ecturn Evolución 4. o - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 89. • • "t:.~ ,"-;"~:~; o _ ~~t""'" ' ¿~y~,"" ~ ~_ 9. ¿Cuántos segmentos hay en la siguiente figura después de trazar todas las diagonales? 10. Halla el número total de triángulos en la figura: A) 30 B)28 C) 37 0)35 E) 32 A) 15 B)18 C) 10 0)20 E) 13 11. De la siguiente figura si: C =n." de cubos T =n." de paralelepípedos Halla T - C. /V / V / / V V / 12. ¿Cuántos paralelepípedos hay? ./'./' ./' ...;/v"""'" .......V ......... V .......V ......... VV ....... A) 200 B)180 C) 170 0)195 E)216 A) 450 B)400 C)500 0)550 E) 600 13. ¿Cuántos sectores circulares hay en la siguiente figura? 14. ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura? 1 2 3 8 9 oo=l'-------Joo 10 A)22 B) 18 C)28 0)20 E) 21 A)54 B)43 C)44 0)55 E)45 « u ..; .¡ ...... ¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura? el « a:l UJ oi o ..... N .......... UJ ce o u or= N M ..¡. n n- 1 2 W:::::=-- __--I 1 ¡r-R -p -ta -.: -(- n- +- 2)- 2 (n -- -l)"'] RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 89 -----~---~------------------------ --- - --
- 90. NIVEL' CD ¿Cuántos cuadriláteros se pueden contar en total en el siguiente gráfico? A)8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 ® Calcula la cantidad de triángulos que hay en la siguiente figura: A) 13 B) 12 C)11 D)15 E) 14 ® ¿Cuántos paralelogramos hay en la figura? A)50 B)60 C)45 D)30 E)20 c I 1 1 E B D L 1 A F A) 6 B)7 C)13 D)9 E) 16 o Calcula la cantidad de cuadriláteros convexos en el gráfico. (]) ¿Cuántos triángulos hay en la figura? B o ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en el siguiente gráfico? A) 9 B)7 C) 10 D) 12 E) 14 A' --'--- --'-- ---'>,C A)7 B) 8 C)9 D)10 E) 11 A)25 B)28 C) 29 D)32 E) 20 8) Calcula el total de cuadriláteros en la figura. A)32 B)28 C) 31 D)24 E)30 ® ¿Cuántos triángulos hay, en total, en la siguiente figura? ~---,.---,.. 90 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 91. ® ¿Cuántos triángulos tienen por lo menos un asterisco? A)7 B) 9 C)4 D)6 E) 5 @ Calcula el número de paralelepípedos en la figura. _ :~~~~~ C) 6300 D)3350 E) 3354 @ Calcula el número total de cubos que se pueden contar en el siguiente gráfico. / / / / / / / / / / / / / / / / / / <l> / / // // / A) 42 B)50 C) 36 D)64 E) 68 @ Calcula el número total de cubos en la figura. A) 460 B)450 C) 464 D) 472 E) 448 NIVEL 2 @ Calcula el total de cuadriláteros en la figura . A) 504 B)536 C) 307 D)400 E)552 @ Calcula la cantidad de ángulos agudos que se cuentan en el gráfico. A) 200 B)250 C) 300 D)360 E) 400 @ ¿Cuántos triángulos hay en la figura? (f:f:f) oo .(f:f:f) 1 2 3 4 70 71 72 73 @ ¿Cuántos sectores circulares se cuentan en total en la siguiente figura? A) 216 B)168 C) 186 D)280 E) 218 A) 290 B)292 C) 304 D)294 E) 300 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 91
- 92. @ La mitad del número de segmentos de recta que se representan en la figura es: A) 6 B)5 C)8 D)7 E) 4 NIVEL 3 @ ¿Cuántos triángulos se pueden contar, en total, en la siguiente figura? A)45 B)48 C) 51 D)42 E)40 @ Determina la cantidad total de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura: @ ¿Cuántos cuadriláteros y cuántos triángulos hay en la siguiente figura? A) 10-6 B) 12-12 C) 6-12 D) 10-10 E) 12-6 1 A) 304 2 B)308 3 4 C) 306 31 32 D)302 E) 300 @ ¿Cuántos triángulos hay? A) 22 B)23 C) 24 D)26 E) 25 @ Halla el número de triángulos en: A) 17 B)15 C) 18 D)16 E) 14 92 Inte/ectum Evolución 4. o @ ¿Cuántos pentágonos se podrán contar como máximo en la siguiente figura? A)24 B)18 C) 16 D)22 E) 20 @ ¿Cuántos triángulos se cuentan en total en la siguiente figura? A) 45 B)29 C) 40 D)50 E) 30
- 93. @ Calcula el número total de triángulos en la figura. A) 163 B)164 C) 165 D) 170 E) 175 @ ¿Cuántos asteriscos pertenecen a una y solo una figura? A)7 B)10 C)8 D)6 E) 5 A) 228 B)239 C) 420 D)210 E) 230 @ Calcula la cantidad de ángulos agudos que tiene el gráfico: 1 2 3 @ ¿Cuántos triángulos como máximo existen en la siguiente figura? A) 20 B) 15 C) 30 D)10 E) 25 @ ¿Cuántos cuadriláteros tienen por lo menos un asterisco en el gráfico? * * * * A) 65 B)70 C)72 D)74 E)76 fl~,'" • ". " É l 8) @ Calcula el número total de diagonales que .. u ...J ;J ... ."- se pueden trazar en los cuadriláteros mostrados. A) 118 NIVEL 1 9. B 17. D 25. e B) 119 LE 10. D 18. B 26. ( C) 120 2. E NIVEL 2 19. E 27. B D) 124 3.( 11. A 20. D 28. E E) 122 4.A 12. D NIVEL3 29. A 5. B 13. e 21. A 30. e 6. D 14. A 22. B 7.A 15. e 23. e 8. ( 16. A 24. D RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 93
- 94. ~!J Fracciones DEFINICiÓN ... También se puede representar gráficamente fracciones donde el numerador es mayor que el denom inador. Una fracción es la división indicada de dos números enteros positivos de la forma ~ , con la condición de que "a" debe ser diferente de todo múltiplo de "b". Es decir: Donde: 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7 7 7 7 7 5 7 t 7 partes iguales <> 1. =1 7 Eltodo <> 5 partes 111 11 11 11 11 5 5 555 '--.---' Tomamos 1 parte . - - - - - 5 partes iguales f =-ª- numerador b denominador ayb E71+ o a #b Representación gráfica de una fracción Ejemplos: GJ1l ~ 5 2" GJ1l rrJ GJ1l ~ ¿Cuántas fracciones impropias existen cuyo numerador sea 31? Sea' f = 1.1 . D Como es impropia : t1 >1 => D < 31 Luego : DE {2; 3; 4; ...; 3D} .'. Existen 29 fracciones. CLASIFICACiÓN DE LAS FRACCIONES Fracciones propias Cuando la fracción f = ~ es menor que la unidad. f es propia = f < 1 (a < b) Ejemplos: 3 . 2 . 15 5 '3'91 Fracciones impropias Cuando la fracción f = ~ es mayor que la unidad. f es impropia = f > 1 (a > b) Ejemplos: 5 .7 .38 2'4'9 Fracción común u ordinaria 3 .11 . 13 . 25 8'7'9 '17 Cuando el denominador no es una potencia de 10. Ejemplos: 94 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 95. Fracción decimal Cuando el denominador es una potencia de 10. Ejemplos: 13 . 7 . 21 . 49 100 ' 10 ' 1000' 10000 Fracciones homogéneas Es un grupo de fracciones que tienen el mismo denominador. Ejemplos: 5 .9.13.8 7'7'7'7 Fracciones heterogéneas Es un grupo de fracciones donde no todos poseen el mismo denominador. Ejemplos: 7 . 3 . 3 . 9 S'4'S'll Fracción reductible Cuando los términos de una fracción (numerador y denominador) tienen factores en común . Ejemplos: 9 . 8 . 5 . 12 27'6' 10'15 Fracción irreductible Cuando los términos de una fracción (numerador y denominador) tienen como único factor común a la unidad. Ejemplos: 3 . 7 . 9 . 401 2'S'4'11 FRACCIONES EQUIVALENTES Dos fracciones son equivalentes cuando con términos distintos expresan la misma porción de la unidad. hnportante Halla la fracción propia e irreductible cuya suma de términos sea 14, si el doble del numerador es mayor que el denominador. Sea f = a/b con a < b = a + b = 14 Y 2a > b I I 1 13 2(1»13 x 3 11 2(3) > 11 x 5 9 2(5» 10-/ Luego: a = 5 Y b = 9 .'. f = ~ r1llTlT1l ~ 1 1 1 (3 (3 (3 1 1 1 (3 (3 (3 =~ <>-ª' <> ..:!. 4 6 2 Por lo tanto las fracciones % y i son equivalentes . -ª- < > .f.. b d Si: e =ak } k E u: d =bk Viene a ser la comparación geométrica de una cantidad asumida como parte, respecto a otra cantidad asumida como un todo. c ak ~-=- d bk RELACiÓN PARTE TODO siendo ~ irreduct ible. Luego: r Lo que hace de parte - es, son, representa . f =-ª- b ~ Lo que hace de todo - de, del, respecto . Ejemplo: ¿Qué parte de 20 es 57 5 1 - - 20 4 ¿Qué fracción representa la parte no sombreada? 3S 3S 3S S IS IS RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 95
- 96. ¿Qué parte de 80 es 30? 30 3 - - 80 8 Atención Siendo f = ~ una fracción irreductible, genera un número decimal inexacto periódico puro, si b no tiene como divisores a 2 ni a 5. ¿Qué parte de 60 es 90? 90 3 - - 60 2 ¿Qué parte representa m de n? m n FRACCiÓN GENERATRIZ ~ exacto Fracción: ~ = número decimal periódico puro periódico mixto • • Siendo f = ~ una fracción irreductible, genera un número decimal exacto, si b tiene como únicos divisores a 2 y/o 5. Casos: 1. Decimal exacto: 8 0,8 = 10 021 =.1.L , 100 765 0,765 = 1000 271 = 271 , 100 11. Decimal periódico puro: _ 3 0,3 - 9 ----- 76 0,76 = 99 ---.. 854 0,854 = 999 2,7160 = 2 + 0,7160 = 2 + 7160 9999 111. Decimal periódico mixto: O 24 = 24 - 2 r 90 O 3542 = 3542 - 35 , 9900 O 105 = 105 -1 , 990 7,381 = 7 + 0,381 = 7 + 381- 3 990 Se extraen 3 L de la mezcla de los cuales 5/2 L son de vino 1/2 L de gaseosa, luego se reemplaza por vino . Piden: Veamos algunas aplicaciones: 1. Se ha mezclado 10 L de vino con 2 L de gaseosa. Si se consumen 3 litros de la mezcla y se completa con vino, ¿cuál es la fracción de gaseosa en la nueva mezcla? Resolución : m 111 9 X m = ( n ; 1 )(n + 1)n 2. Si: -..!!!..- = O n +1 )(n +l)n . halla m X n 111 I 2 r • Resolución : Del dato: .m, = O0'}1 )( n ~ )n 111 ' 2 (~)(n + 1)n 999 n debe ser impar, entonces: n = 1; 3; 5; 7 Si:n = 1 ~ 9m = 121 (No existe valor para m) Si: n = 3 ~ 9m = 243 m=27../ Si:n = 5 ~ 9m = 365 (No existe valor para m) Si:n = 7 ~ 9m = 487 (No existe valor para m) Luego: m = 27 Yn = 3 : . m Xn=27 X3=81 3 -.L 3 1 12 24 8 Cantidad de gaseosa Total de la mezcla • • Siendo f = ~ una fracción irreductible genera un número decimal periódico mixto, si tiene como divisores a 2 y/o 5 y necesariamente a otro u otros diferentes de los anteriores. 96 Intelecturn Evolución 4. o
- 97. Problemas o Simplifica: P=l- 1 + 1 l+_ x_ 1 __ 1_ 1-x 1-.1 x e ¿Cuántas fracciones irreductibles propias, cuyo denominador sea 45, existen que sean mayores que 1/3? Resolución: Resolución: - - - - - - - - - P=l- 00 _ 1 .... + 1 (i + ~ 1 - ,. 0 - 11"" """. 1 - ~) :.1 _ _ ': ·"',....X.'" P =1- / / i "'+ 1 i 1 : /' 1"'" - -/ 1-:,-- .1 - X· : X - 1 : "-- •• 0,0 , ••• ~• • • / P = 1 - (1 - x) + ..-- 1 __', (~.=--~.;..~) P=1-1+x+- 1- -1 x-1 P = x - (x - 1) = x - x + 1 Seaf = :5 la fracción propia e irreductible. Según el enunciado: .1<li..<1 3 45 Entonces: ~ < :5 ~ 15 < N ... (1) Además: :5 < 1 ~ N < 45 oo ' (11) De (1) y (11): 15 < N < 45 I Como la fracción :5 debe ser irreductible N y 45 deben ser primos entre sí. Como 45 = 3 2 X S, Nno debe tener factor 3 ni 5. Luego: N = 16; 17; 19; 22; 23; 26, 28; 29; 31; 32;34;37,38;41;43;44 .'. Existen 16 fracciones. .'. Existen 10 fracciones. Homogenizando denominadores: 3 . 19 < -.lL < 11 . 7 ~..xL < -.lL <..lL 7 . 19 133 19 ' 7 133 133 133 Entonces : 57 < N < 77 Luego, piden N par : N = 58; 60; 62; 64; 66; 68; 70; 72; 74; 76 Sea f = 1~3 la fracción, Según enunciado: 1.< -.lL < 1.1 7 133 19 Según el enunciado: ab = ...illL ba 119 Entonces : ~~ = j -=.10=-:a=-+.:.-::::...b = 4 10b + a 7 70a + 7b = 40b + 4a 66a = 33b 2a = b & -ª- =.1k b 2 k Si: a =1 ~ b =2 a=2 ~ b=4 a=3 ~ b=6 a=4 ~ b=8 Luego, las fracciones equivalentes serán: 12 24 36 48 n' 42' 63 y 84 .. Existen 4 fracciones equivalentes a: 68 119 --_._---- e Halla el número de fracciones equivalentes a ...illL -- 119 de la forma ~~ . Resolución: - - - - - - - - - - - L '· P = l . . Calcula cuántas fracciones existen con numerador par, que están comprendidas entre 3/7 y 11/19, si se sabe que tienen denominador 133. Resolución: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 97
- 98. • Si: 7 genera una fracción decimal periódico puro ab y si 7 = O.pqr: calcula el mayor valor de: ab a+b+p+q+r Resolución: 2x + 2n = 3m 2x =3m - 2n x = 3m - 2n 2 ab X pqr = 7 X 999 o En una fiesta de promoción hay m jovencitas más que muchachos, y cuando llegan n parejas a la fiesta, resulta que el número de los muchachos constituye los 3/8 del total de asistentes, ¿cuántos muchachos había inicialmente? Resolución: ab X pqr = 7 X 27 X 37 Si ab = 27 ~ pqr = 7 X 37 = 259 a = 2; b = 7; P = 2; q = 5; r = 9 Entonces: a + b + p + q + r = 25 Si ab = 37 ~ pqr = 7 x 27 = 189 a = 3; b = 7; P = 1; q = 8; r = 9 Entonces: a + b + p + q + r = 28 Como piden el mayor valor de a + b + p + q + r. : . (a+b+p+q+r)máx.=28 Del dato: 7 .....--.- ==O,pqr ab 7 pqr = ab 999 • De un recipiente, donde hay 12 L de vino y 18 L de agua, se retiran 10 L de la mezcla y luego se reemplaza por agua. Seguidamente se retiran 15 L de la nueva mezcla y se reemplaza por agua, ¿Qué parte es el vino respecto a la cantidad de agua en la mezcla resultante? Resolución: i.' operación: 10 8~8 Vino 12l -2 x2 8l Agua 18 l - 3 x2 22 l Se extraen 10 L de la mezcla de los cuales 4 L son de vino y 6 Lson agua, luego se reemplaza por agua. 2.a operación: 15 8~8 Vino 8 l -4 x1 4 l Agua 22l -11 x 1 11l De los datos: Sean: x : cantidad de muchachos x + m: cantidad de jovencitas Luego, llegan n parejas. Según el enunciado: ( Número de) _ .l ( Total de ) muchachos - 8 asistentes x + n = ~ (2x + 2n + m) 8x + 8n = 6x + 6n + 3m 98 Intelecturn Evolución 4.o Se extraen 15 L de la mezcla de los cuales 4 L son de vino y 11 Lson agua, luego se reemplaza por agua. Piden' Cantidad de vino = 4 = 2 . Cantidad de agua 26 13
- 99. ( 4 1. Si: 2. Al sumar las 11 fracciones impropias y homogéneas: R= 1Q. + l!. +11. +...+ 20 al a2 a3 al1 Se obtiene como resultado un máximo número entero. Halla ag. Halla fR. A) 20/7 B)15/7 C)10/3 D) 4/3 E)5/3 A)25 B)32 C) 55 D)33 E)28 3. Se hace caer una bola de billar sobre una mesa desde cierta altura. Calcula esta altura, sabiendo que en el tercer rebote alcanza una altura de 54 cm y que cada rebote equivale a 3/4 de la altura de la caída anterior. 4. De un depósito que contiene aceite se sacan las 2/3 partes de su contenido menos 40 litros, en una segunda operación se sacan los 2/5 del resto y por último se sacan los 84 litros restantes. Determ ina la capacidad del depósito. A)96 cm D) 108 cm B) 116 cm E) 128 cm C) 120 cm A) 300 L D) 320 L B) 290 L E) 250 L C) 230 L 5. Una persona leyó un libro de la siguiente manera: el primer día leyó 1/5 y 20 hojas más, el segundo día leyó los 2/3 del resto menos 20 hojas. Siaún quedan por leer 80 hojas, ¿cuántas hojas tiene el libro? 6. En una conferencia de 1010 personas, entre arequipeños y cajamarquinos, se observó de los cajamarquinos lo siguiente: 2/7 eran economistas, 3/13 eran ingenieros y 5/11 médicos. Halla la cantidad de arequipeños. A) 360 B)400 C) 250 D)280 E)320 A)9 B)10 C)11 D)15 E)8 7. Un comerciante vende sus artículos de la siguiente manera: 1/3 del total que tenía más 4 a 5/.50 cada uno; luego vende los 3/5 de los que le quedaban a 5/.40 cada uno; y finalmente vende la mitad de los que le quedaban más 4 a 5/.30 cada uno, con lo cual se acabaron sus artículos. ¿Cuánto recaudó en total? 8. A YBjuntos hacen una obra en 6 horas. A trabajando solo lo hace en 10 horas. ¿En cuántas horas lo hará B si trabaja solo? A) 2100 B) 400 C) 1800 D) 1520 E) 1450 A) 8 h B) 9 h C) 12 h D)13h E)15h RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 99
- 100. 9. Kike es el triple de rápido que Daniel. Si juntos pueden hacer cierto trabajo en 90 días, ¿cuánto tiempo le tomará a Daniel hacerlo solo? 10. Para una función de cine se venden 2/3 de los asientos de mezzanine y 4/5 de los asientos de platea. Si hay tantos asientos de mezzanine como de platea, ¿qué fracción del total de asientos del cine no se vendieron en esa función? A) 340 días D) 400 días B) 360 días E) 420 días C) 380 días A)-.i- 15 7 C)i5 E)~ 30 11. Álvaro puede hacer un trabajo en 12 días y Beatriz hace el mismo trabajo en 60 días. Después de trabajar juntos durante 2 días, se retira Álvaro. ¿En qué tiempo terminará Beatriz la parte que falta? 12. Sedistribuyen 300 litros de leche en tres depósitos en partes iguales. El primero se llena hasta sus 3/5 y el segundo hasta los 3/4. ¿Qué fracción del tercer depósito se llenará si su capacidad es la suma de las capacidades de las dos primeras? A) 25 días D) 48 días B) 36 días E) 50 días C) 14 días C)l. 3 D) .1 3 E) 1. 4 13. Elcafé pierde 1/5 de su peso al tostarlo. Comprando café verde a 12 soles cada kilogramo, ¿a cómo deberá venderse el kilogramo de café tostado para ganar 1/10 del precio de compra? 14. Jackyfue de compras llevando S/.360. Compró una blusa en Miraflorina, pagando 3/8 de su dinero, luego en D'Fashion compró un par de sandalias pagando 3/5 del resto. Finalmente, gastó el resto en Mediterráneo Chicken de San Isidro, comiéndose unas ricas costillas a la barbacoa. ¿Cuánto gastó en este último lugar? A)5/.17,5 D)5/.16,5 B) 5/.14 E) 5/.18 C) 5/.15,5 A) 5/.90 D)5/.81 B) 5/.45 E) 5/.72 C) 5/.135 <l: w <l: u en g :: ~ w u <l: u ..; N M ..; Tres tuberías A; B Y C funcionando juntas pueden llenar la cuarta parte de un tanque en 2 horas; pero A y B pueden llenar la quinta parte en 2 horas y B Y C pueden llenar todo en 15 horas. Halla qué tiempo empleará B en llenar la tercera parte del tanque si trabajó solo. [ Rpta.: 8 horas l 100 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 101. ® Jorge gasta 1/3 del dinero que tiene y gana 1/3 de lo que le queda. Si su dinero ha disminuido en 12 dólares, ¿cuánto tenía al principio? NNEL , CD 1/5 de A es los 3/10 de B. ¿Qué parte de B es A? A) 1/2 B) 3/10 C) 3/5 D) 3/2 E) 6/5 A) $108 D)$144 B) $120 E) $54 C)$132 o Suma a 1/5 los 7/6 de 3/4. Si a este resultado se le multiplica por los 5/3 de 4/5 de 10, obtendremos: A)14~ B)13~ C)14~ D)13 E)15 (j) En una reunión los 2/3 son mujeres y 3/5 de los varones son casados, mientras que los otros 6 son solteros. ¿Cuántas personas • .,."~,J;;: hay en la reunión? ® Un alumno resuelve los 3/5 de lo que no resuelve. ¿Qué parte del examen ha resuelto? A)45 B)36 C) 30 D)25 E) 15 o Una persona toma 16 metros de una varilla. Luego toma los 2/3 del resto y observa que ambas partes tienen la misma longitud. Halla la longitud total de la varilla. ® Se vendió 1/5 de las entradas para una función de cine. El día de la función se vendió 1/3 de las que quedaban, quedando por vender 48 entradas. ¿Cuál es la capacidad del cine? A) 4/7 B) 5/8 C)4/9 D) 3/8 E) 3/7 A)72 B)84 C)90 D) 108 E) 112 A) 40 m B)42 m C) 44 m D) 46 m E) 48 m G) Los 4/5 de las aves de una granja son palomas; los 5/6 del resto son pavos y los 8 restantes son patos. ¿Cuántas aves hay en la granja? A) 320 B) 560 ® Una piscina está llena hasta sus 5/6 partes . Si se r---- extraen 20000 litros, quedaría llena hasta sus 2/3 partes. ¿Cuántos litros faltan para llenarla? C) 420 D)240 E) 244 A) 20000 D) 36000 B) 30000 E) 120000 C) 40 000 NNEL2 @ Si 1/5 de x es igual a los 2/5 de y, ¿qué parte de (2x + y) es (x -y)? A) 1/5 B) 1/10 C)7/10 D)2/5 E) 3/10 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 101
- 102. Un fardo de tela está dividido en tres partes iguales; si los 4/7 de un extremo y los 2/5 del otro extremo son de color negro y el resto blanco, halla cuánto mide la parte de color negro, si la parte blanca mide 710 m. @ Sevende 1/3 de un lote de vasos. Sise quiebran 30 y quedan todavía 5/8 del lote, ¿de cuántos vasos constaba el lote? A) 310 m D) 350 m B) 330 m E) 360 m C)340 m A) 620 B)650 C) 670 D) 720 E) 750 @ De un total de 40 personas, se sabe que 12 son varones y el resto mujeres. De las mujeres la cuarta parte son niñas Determina qué parte de las mujeres son adultas. @ El sueldo de un profesor se incrementa en 1/5 y luego disminuye en 1/5 de su nuevo valor. ¿Qué sucedió con el sueldo de dicho profesor? A) 21/28 D) 22/27 B) 16/25 E) 23/28 C) 16/23 A) No varía. C)Aumenta en 4/5. E) Aumenta 1/10. B) Disminuye 1/5. D) Disminuye en 1/25. @ Un envasecontiene 48 litros de agua.Siseretira 3/8 del contenido, luego los 2/3 del resto y por último los 3/5 del nuevo resto, ¿cuántos litros quedan? @ De un tonel de 1400 L de vino se extrae 1/4 de lo que no se extrae, luego 1/4 de lo que ya se había extraído. ¿Cuánto se extrajo en total? A) 200 L B) 250 L C) 280 L D) 350 L E) 430L A)4 B) 6 C)8 D)10 E) 12 D p NIVEL 3 @ ¿Qué parte del área total, representa el área de la región sombreada? (BP =PR) B e @ En la mitad del terreno de una hacienda se siembra pasto, en la tercera parte de lo que queda se siembra café y en las tres quintas partes del resto se siembra maíz. ¿Qué parte de la hacienda no sembrada con maíz, queda sin sembrar? A) 1/5 B) 2/5 C) 4/5 D) 1/6 E) 2/15 A) 1/3 B) 1/5 C) 2/9 D) 1/8 E) 1/7 102 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 103. @ ¿Cuántas fracciones propias existen de términos impares consecutivos que sean menores que O,83? A) 9 B)7 C)5 D)4 E) 6 @ Se tiene un recipiente de 8 litros, con 5 litros de alcohol y el resto con agua. Se utiliza una cuarta parte de la mezcla y se reemplaza con agua, luego se utiliza la tercera parte y se reemplaza con agua. ¿Cuántos litros de alcohol quedan? A) 1,5 L D) 3,5 L C) 2,5 L ® Disminuyendo una misma cantidad a los dos términos de la fracción x/y, se obtiene la fracción original invertida, ¿cuál es aquella cantidad? A) x- Y B) x + y C) x -:- y D) x . Y E) Y- x @ Reduce: E=li+ 1616 + 161616 + + 1616 16 25 2525 252525 ... 2525 25 '-v------" 50 cifras @ Una pelota pierde las dos quintas partes de su altura en cada rebote que da, si se le deja caer desde un metro de altura. ¿Qué altura alcanzará después del tercer rebote? A) 1 D)31 B)16 E) 50 C) 25 A) 21,60 cm D) 32,80 cm B) 12,60 cm E) 26,10 cm C) 21 cm @ Dada la siguiente fracción propia 2 x + 1 ; halla la x-1 suma de valores de x que cumplen dicha condición, sabiendo que es un número entero menor que 7. @ La mitad de lo que me queda de agua en la botella es igual a la tercera parte de lo que ya tomé. Si tomo la cuarta parte de lo que me queda, ¿qué fracción de toda el agua me habré tomado? A)17 D)16 B) 12 E) 18 C) 14 Sabiendo que perdí 2/3 de lo que no perdí, luego recupero 1/3 de lo que no recupero y tengo entonces 42 soles. ¿Cuánto me quedaría luego de perder 1/6 de lo que no logré recuperar? A) 3/10 B) 3/7 A) 5/. 36 D) 5/. 48 C) 2/3 B) 5/. 39 E) S/' 60 D)7/10 E) 1/3 C) 5/. 42 NIVEL 1 1.0 2. A 3. O 4. A 5. e 6.A 7. A 8. e 9. O NIVEL2 10. A 11. O 12. A 13. A 14. O 15. e 16. O 17. O NIVEL3 18. O 19. e 20. B 21. A 22. O 23. B 24. e 25. B 26. E RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 103
- 104. ~!J Tanto por ciento DEFINICiÓN Atención Un tanto por ciento tiene su equivalente con un número racional positivo y viceversa . Ejemplo: 300% = ~gg =3 Esto significa que el 300% de una cantidad es equiva- lente al triple de la cantidad, es decir: 300%C =3C Si dividimos una cantidad en 100 partes iguales y tomamos cierto número m de esas partes, nos estamos refiriendo entonces al tanto por ciento; luego: +------ Total =100 partes iguales - - - - -.. 1 1 1 1 1 1 100 100 100 ... 100 ... 100 100 m partes [ m% = ~l TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD Ejemplos: El 20o/c =.1º-- o 100 EI32o/c = R o 100 El 300% = igg El 500% = igg El m% de N = 1~0 xN Toda cantidad representa el 100% de sí misma, es decir: C = 100%C Ejemplos: El 28% de 150 = 1~80 x 150 =42 El 118% de 300 = i~~ x 300 = 354 RELACiÓN PARTE - TODO El 25%del 30%de 120 = 12~0 x 1 3000 x 120=9 El(a + b)% de (a - b) =a + b (a _ b) =a 2 - b 2 100 100 Es la comparación de una cantidad (a la cual le llamamos parte) respecto a otra cantidad (a la cual le llamamos todo). Lo que hace de parte x 100% Lo que hace de todo Sea "N" el número 63%N + 31%N =94%N 28%N + 47%N = 75% 68%N - 35%N = 33%N 85%N - 19%N = 66%N N + 95%N = 195%N N - 11%N =89%N Ejemplos: ¿Qué tanto por ciento de 300 es 30? 33 00 0 x 100% =10% ¿Qué tanto por ciento es 50 de 40? ~g x 100% =125% ¿Qué tanto por ciento es 96 de 80? ~~ x 100% =120% ¿Qué tanto por ciento es a - b respecto de i-b2 ? a - b 1000/ _ a - b 1000 / 2 2 x / 0 - ( b) ( b) x / 0 a -b a+ a - =( 100 )% a +b 104 Intelecturn Evolución 4. o
- 105. 1 1 i~~ x 140% = 210% DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS Ejemplos: 1. ¿A qué descuento único equivalen 3 descuentos sucesivos del 20%, 30% Y50%? Resolución: -20% -30% -50% 1 1 1 1 80 00 x :000 x 50% = 28% Descuento único: 100% - 28% = 72% 2. ¿A qué aumento único equivale 3 aumentos sucesivos del 20%, 25% Y40% Resolución: +20% +25% +40% 1 120 - - x 100 Aumento único : 210% - 100% = 110% VARIACiÓN PORCENTUAL Ejemplo : Si el radio de un círculo aumenta en 100%, ¿en qué porcentaje aumenta su área? Resolución: Denotamos con (+) cuando nos referimos a aumentos y con (-) cuando nos referi- mos a descuentos . Ejemplo: + 25% 4Aumento - 30% 4Disminución ... En este ejemplo se observa que las constantes como 11 se pueden dejar de colocar en el cálculo del área inicial y final, y el resultado de la variación porcentual es el mismo. Es decir que la variación del área solo depende de ~. Inicio Final A inicio = n(100%)2 A final = n(200%)2 =n . 100% = n . 400% ~ El área aumenta en 300% APLlCACION ES COMERCIALES Un comerciante compra un electrodoméstico en 5/.500 (precio de costo: Pcl y decide ofrecerlo a sus clientes en 5/. 600 (precio fijado: PF). Pero lo vende en 5/.580 (precio de venta: Pv), es decir hace una rebaja de (5/.600 - 5/.580 = 5/.20) Yobtiene una ganancia de 5/.80 Precio fijado: 5/.600 Precio de costo Ganancia Rebaja 5/.500 5/.80 5/.20 , , , Precio de venta : 5/.580 • El precio fijado es llamado también precio de lista o precio de venta al público. El tanto por ciento de la ganancia se toma con respecto a precio de cos- to, así también el tanto por ciento del descuento se toma con respecto al precio fijado. 5e observa que: También: [ pv = Pc + G] [ Pv =PF - Rl RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 105
- 106. Problemas Sea x el número de peleas a realizar. Total de peleas: 100 + x Victorias: 85 + x Derrotas: 15 Luego: victorias =90% (total) 85 + x = ;000 (100 + x) 850 + lOx =900 + 9x x =50 .. Debe realizar 50 peleas. Resolución: N =4000 Sea N la cantidad. I Del enunciado se tiene: ~ x.12..-x.l x N =~ l10000 100 S 10 o ¿Qué porcentaje de (a 2 - ab + b 2 ) es (a 3 + b 3)? Resolución: . . El0,10% del 25% de los 3/5 de una cantidad es 0,6. Halla dicha cantidad. Resolución: ( Aplicando la relación parte-todo. Lo que hace de parte x100% Lo que hace de todo • La base de un triángulo disminuye en 20%, ¿en qué tanto por ciento debe aumentar su altura para que su área no varíe? Resolución: Reemplazando: 3 b3 a + x 100% (a2 _ ab + b2 ) L (a + b) (a 2 - ab + b 2 ) x 100% =100(a + b)% (a2 _ ab + b2 ) - - - - Inicio Final Lh ~ 100% 80% ~ • Al aumentar el precio de entrada en el estadio en un 20%, la asistencia bajo en un 10%, ¿qué pasó con la recaudación? Resolución: El precio de entrada aumentó en 20%, ahora será (100 + 20)% =120% La asistencia disminuyó en 10%, ahora será: (100 - 10)% =90% Luego: recaudación =precio x asistencia Reemplazando: Recaudación =120% x 90% =108% I Finalmente, la recaudación aumentó en: (108 - 100)% =8% e Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 90% de triunfos. Si hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 85 victorias. ¿Cuántas peleas como mínimo debe realizar para poder retirarse? Ainicio =100% . 100% Afinal =80% . x =100% Por dato: 100% =80%x x =2. ~ x =125% 4 Laaltura debe aumentar en: 125% - 100% =25% ~-+--------- - - - - - - - o Si x aumenta en 44%. ¿Qué ocurre con IX? Resolución: Si x aumenta en 44% ahora será: (100 + 44)% =144% Luego: IX =h44% = J144 = 12 x 10 100 10 x 10 = i~~ = 120% IX aumenta en: (120 - 100)% =20% 106 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 107. • Se vende un objeto en 5/.1040 ganando el 50% del 80% del 10% del costo. ¿A cuánto debería haberse vendido para ganar el 20%del 25%del 60%del costo? Resolución: o El precio de lista de un artículo es el doble del precio de costo. Halla el precio de venta del artículo si se vendió haciéndole una rebaja del 10% y obteniendo una ganancia de 5/.400. Resolución Nos piden: Pc Datos: Pv = 5/ .1040 G = 50% x 80% x 10%Pc Aplicamos: Pv = Pc + G Nos piden: Pv Datos: PL = 2Pc D = 10%PL G = S/' 400 PL =Pv + D PL = Pc + G + 10%PL 90% PL = Pc + 400 '---.;=-' 90% 2Pc = Pc + 400 180% Pc = Pc + 400 80% Pc = 400 Pc = 5/.500 Luego: Pv=Pc+G Pv = 500 + 400 Pv = 900 Aplicamos: Entonces: Ahora el nuevo Pv será: Pv = Pc + 20% 25% 60% Pc Pv=Pc+3%Pc Pv = 103%Pc 103 Pv = 100 x 1000 Pv = 1030 Reemplazamos: Pv = Pc + 50% x 80% x 10%Pc 1040 = Pc + 4%Pc 1040 = 104%Pc Pc = 1000 e ¿Qué precio de lista debe fijar un comerciante para un artículo, si al rebajar el 20% obtiene una utilidad del 30% de su costo, el cual fue de 5/.5000? Resolución: @!) Si gasto el 30% del dinero que tengo y ganara el 28% de lo que me quedaría, perdería 5/.312, ¿cuánto tengo? Resolución: Sea 5/.100k lo que tengo. Si gastara = 5/.30k Me quedaría Si ganara Perdería 70k 19,6k 10,4k } -.11L(70k) 100 Según el enunciado perdería 5/.312. Entonces: 10,4k = 312 ~ k = 30 :. Tengo: 100(30) = 3000 Nos piden: PF Datos: D = 20% PF G=30%Pc Aplicamos: PF= Pv + D Entonces: PF=Pc+G+D PF= Pc + 30%Pc + 20%PF 80%PF= 130%Pc P = 130 X 5000 F 80 PF= 8125 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 107
- 108. Ae tlVI d el d e s 1. ¿A cómo debo vender lo que me costó 5/.270 para ganar el 10% del precio de venta, más el 40% del costo? 2. Dos blusas son vendidas en 5/.60 cada una. En una se gana el 20% y en otra se pierde 20%. ¿Cuánto se ganó o se perdió en el negocio? A)5/.400 D) 5/.350 8) 5/.300 E) 5/.420 C)5/.200 A)5/.10 D) 5/.20 8) sts E)5/.7 C)5/.8 3. En una granja, el 40% son gallinas. Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué tanto por ciento ha disminuido el número de aves? 2 b2 4. Hallael(a-b)%deI20%de( ~b)de (~b~ b) de 6000. a a a + A}7% 8)6% C) 10% D)8% E)9% A) 12 8) 16 C) 18 D)24 E)14 5. En una fábrica el precio de un artículo es de 5/.15 . Un comerciante adquiere 5 de tales artículos por los que le hacen el 20% de descuento y luego los vende obteniendo por ellos 5/.80. ¿Qué tanto por ciento del precio de venta de cada artículo está ganando? 6. En una fiesta hay 16 personas, de las cuales el 25% son mujeres. Luego llegan más mujeres a la fiesta, de tal manera que los hombres son ahora el 60%. ¿Cuántasmujeres llegaron a la fiesta? A) 50% D) 25% 8)40% E) 30% C) 10% A) 2 8)5 C)3 D)l E)4 7. La base de un triángulo aumenta en 20% y la altura disminuye en 10%. ¿En qué tanto por ciento varía el área? 8. ¿A cuánto equivale el 30% menos, del 20% más, de la veinteava parte de 2000? A) 8% 8}7% C)6% D) 12% E)4% A) 29 8)48 C) 45 D)84 E)62 108 Int:e/ect:um Evolución 4. o - - - - - - - - -
- 109. 9. A un concierto asistieron 7500 personas. Si el 87% de las mujeres y el 12% de los hombres se retiran, el 12% de los que quedan serían mujeres. ¿Cuántos varones se han retirado? 10. ¿En qué porcentaje se debe incrementar al precio de un producto, para seguir ganando lo mismo, pero efectuando un descuento del 20%? A)468 D)520 B)430 E) 258 C) 247 A) 30% D) 20% B)25% E) 15% C)17% 11. Si el perímetro de un cuadrado aumenta en 20%, ¿en qué porcentaje aumenta el área de la circunferencia inscrita? 12. Si la base de un triángulo disminuye en un 20% y el área no varía. ¿En qué tanto por ciento varía su altura? A) 12% D) 20% B) 59% E)44% C)30% A) Disminuye10% C)Aumenta 15% E) Aumenta 40% B) Aumento 30% D)Aumenta 25% 13. En el ciclo semestral, el 40% postulan a la UNI y de estos el 60% son mujeres. De los que no postulan a la UNI, el 90% son varones. ¿Qué tanto por ciento del total son mujeres? 14. Tres aumentos sucesivos del 5%; 18% Y 26% equivalen a un único aumento de z%. Tres descuentos sucesivos del 4%; 15% Y20% equivalen a un único descuento del w%. Calcula: Sz + 2w A) 30% D)35% B) 20% E) 40% C) 25% A) 380 D) 350,01 B) 275,3 E) 325 C) 350 <! a ..; ~ ........ <! ca UJ a .,; c:i .... N ............ En la siguiente expresión: E = (7tH) y2ti 7t3 p Si Z disminuye en 19%, Y aumenta en 40%, y P disminuye en 30%. ¿En qué porcentaje varía E? [ Rpta.: aumenta en 152% I RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 109
- 110. NNEL' Enlaventa de un bien, losinsumas y lamano de obra representan el 70% del precio de venta; la mano de obra es el 40% de los insumas. ¿Qué porcentaje del precio de venta representan los insumas? o Enuna reunión había 25 parejas bailando, además 30 hombres y 20 mujeres sentados. Indica verdadero (V) o falso (F): El 45% de los asistentes son mujeres. ( ) El50% de los que no bailan son los hombres () que bailan. Losque bailan son el 100% de los que no bailan. ( ) A) VFV B) VVF C)VVV D) FVF E) FFF A)50% B)40% C)20% D) 30% E) 60% (j) Dos artículos se vendieron al mismo precio. En el primero se ganó el 20% del costo y en el segundo el 10% del precio de venta. Si uno de estos artícu- los costó 5/.60 más que el otro, é.a qué precio se vendió cada artículo? o Un boxeador decide retirarse cuando tenga un 80% de triunfos. 5i hasta el momento ha peleado 100 veces y ha obtenido 75 victorias, ¿cuántas peleas como mínimo debe realizar para poder retirarse? A)5 B) 10 C)20 D)25 E)30 A) 5/.300 D) 5/.900 B) 5/.1200 E) 5/ .500 C)5/.600 o Un ómnibus tiene 70 pasajeros, de los cuales el 70% están sentados, de las mujeres el 80% y únicamente 10% de los hombres. ¿Cuántos hombres viajan en el ómnibus? A) 10 B) 15 C) 12 D) 22 E) 26 ® Un estudiante pregunta en una 1Ei:!Sj:;I:i? :':! librería qué descuento le pueden hacer sobre el precio de un libro, y le responden que 10%;va a otra librería y el precio del libro es el mismo, pero lo compra con un descuento del 15%, ahorrándose así5/.15. ¿Cuántocostaba el libro? 8) Ayer tuve 5/.69 y gasté el 38% de lo que no gasté. ¿Cuánto no gasté? A) 5/.50 B) 5/.70 C) 5/.80 D) 5/.90 E) 5/.60 A) 5/.225 D) 5/ .270 B) 5/.235 E) 5/.300 C)5/.240 ® Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% seguidos por un incremento de 50%, ¿a qué único aumento o descuento equivale? ® Un vendedor hace un descuento de 10% a una mercadería, sobre el precio de venta al público, a un cliente; este se acerca al gerente y consigue un descuento del 10% sobre lo facturado por el vendedor. 5i se dirige a la caja y paga 5/.1620, ¿cuál es el precio de venta al público? A) - 16% D) +16% B)+2% E) -8% C) -12% A) 5/.2025 D) 5/.20 250 B) 5/.2000 E) 5/.20 000 C)5/.2500 110 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 111. 1 @ Un contratista recarga el precio de una casa en el 25% de su valor. Si al venderla descuenta el 12% a un comprador, ¿cuál es el porcentaje de utilidad? @ De una reunión se retiraron 30 hombres y 36 mujeres. El 12% de los hombres que quedaron, equivale al 38% del número de mujeres que quedaron. ¿Qué porcentaje son hombres? A) 12% D) 8,5% B) 10% E) 8% C) 13% A) 48% B)76% C)54% D) 36% E) 82% NIVEL 2 @ 5e compra dos artefactos de igual precio . Al venderlos, en uno se gana el 15% y en el otro se pierde el 5%.5i en total seganó 5/. 580, determina el precio de compra de cada artefacto. @ Dos corbatas se venden a 5/. 182 cada una. En la primera corbata se percibe una ganancia del 30% yen la segunda una pérdida del 30%. El resultado de la transacción comercial fue : A) Ganancia de 5/.60. B)Pérdida de 5/ .60. C)Ganancia de 5/ .36. D) Pérdida de 5/.36. E) Ni se gana ni se pierde. A) 5/.8000 D) 5/.10 000 B) 5/.8500 E) 5/.4250 C)5/ .5800 @ Un cajón contiene 4% de huevos rotos del total. 5i el 5% de la diferencia entre este total y los rotos es 36, en el cajón hay: @ José después de haber perdido 5/.200 le queda el 80% del dinero que tenía. ¿Qué cantidad debe recibir José para tener 5/.1200? A) 750 huevos C) 400 huevos E) 720 huevos B) 960 huevos D) 360 huevos A) 5/.200 D) 5/.500 B) 5/.250 E) 5/.400 C)5/.300 Dos piezas de tela se vendieron cada una en 240 soles. En una se ganó el 20% y en la otra se perdió el 20%. Entoda la transacción se ganó o perdió. ¿Cuánto? @ 5i: A es el 21 por mil de 800. B es el 7 por 6 de 132. Ces el 5/7% de 3500. Luego, indica verdadero (V) o falso (F): ( ) A < B ( ) 2A + 5C > B () A +C<B () B>A>C A) FFFF B) VFVF C) VFFF D)VVVF E)VVVV @ A) Ganó 5/.20 C)Ganó 5/ .10 E) Perdió 5/.15 B) Perdió 5/.20 D) Perdió 5/.10 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 111
- 112. NNEL3 @ Jaimito compró 20 artículos de tipo A, y los vendió ganando el 10%, con el importe de esta venta compró 60 artículos de tipo B y los vendió ganando el 15%, con el importe de esta última venta compró 828 artículos del tipo C, al precio de 99 soles la docena. ¿Cuánto le costaron los 20 artículos de tipo A? @ Indica verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: Dosdescuentos sucesivos del 20%y 30% equivalen a un descuento único del 50%. ( ) Dos aumentos sucesivos del 20% y 30% equivalen a un aumento único del 56%. ( ) En un juego de cartas, una persona pierde en la primera partida el 50% de lo que tenía. En una segunda partida, vuelve a perder el 20% de lo que le quedaba y en una tercera partida, gana el 80% de lo que tenía al comenzar dicha partida. Entonces se retira perdiendo el 28% de lo que tenía en un inicio. ( ) A) 5/.480 D) 5/.4500 B) 5/.450 E) 5/.5400 C) 5/.540 A) FVV D)VVV B)VFV E) VVF C) FVF @ Un objeto tenía un precio de 5/ .800 y lo he adquirido ahorrando la suma de 5/.296 después de que me hicieron 2 descuentos sucesivos, uno de ellos del 30% y el otro no lo recuerdo. ¿Cuál fue este segundo descuento sucesivo? C) 30% B) 10% E) 75% A) 20% D)40% @ Si el radio de un cono se incrementa en 10%, ¿en qué porcentaje varía su volumen? C) 738 B)912 E) 673 A) 300 D)684 Un granjero de pollos tiene 1000 huevos. El 4% de estos se rom- I pen y se encuentra que el 5% de los restantes están defectuosos. ¿Cuántos huevos pueden vender- se en el mercado? A) 11% B) 15% C) 17% D) 21% E) 23% ~--- @ Inicialmente en una fiesta el 75% eran hombres y el resto mujeres, en el transcurso de la fiesta llegaron 60 hombres y 140 mujeres, siendo entonces el número de hombres 65% de los asistentes. ¿Cuántas personas habían inicialmente en la fiesta? José compró un televisor, el cual decide venderlo recargándole el precio de costo en 30%.Al momento de venderlo a su amigo Jorge, le hizo una rebaja del 25% pensando que con esta rebaja iba a vender al precio que había comprado, sin embargo quedó perjudicado en 5/.32,5. ¿A qué precio lo vendió? A) 400 D)800 B)600 E) 900 C) 700 A) 5/.1350,5 D) 5/.1250,5 B) 5/ .1300 E) 5/.1267,5 C) 5/.1150 112 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 113. @ Un comerciante redujo en un 20% el precio de venta de cada uno de sus artículos. ¿En qué porcentaje aumentaron sus ventas si se sabe que sus ingresos aumentaron en 20%? A) 20% D) 50% B) 30% E) 55% C) 40% @ 5i R aumenta 20% y M disminuye 75%, ¿en qué porcentaje varía B? 3M1'iR2 B =..::..:..:-'-----'-'-- 4 A) Disminuye 28%. B) Disminuye 72%. C)Aumenta 5%. D) Aumenta 28%. E) Aumenta 72%. B) Aumenta 0,1% D) Disminuye en 0,01% A) Aumenta 1% C) Aumenta 0,5% E) Disminuye 0,1% @ Labase de un triángulo disminuye en 1%y la altura aumenta en 1%, entonces el área del triángulo: C) 5/.25 B) 5/.22 E) 5/.30 A) 5/.20 D) 5/.29 A Brenda al comprar una blusa deberían haberle hecho un descuento del 20%, mientras que a Carmen al comprar un pantalón deberían haberle hecho un descuento del 10%. El vendedor se equivoca y hace el descuento al revés, por lo que Brenda paga 5/.2 más y Carmen 5/.5 menos. ¿Cuál es la diferencia entre lo que pagó Carmen y lo que pagó Brenda? @ 5i 20 litros de agua contienen 15% de sal, ¿cuántos litros de agua se deben evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? A) 3 D)6 B)4 C)5 E) 2 ,,- .*",." .... u ..... .J "J .. / @ 5i la base de un triángulo aumenta en 20% y su altura disminuye 20%. ¿Cómo varía su área? A) Aumenta 5%. C) Aumenta 2%. E) Disminuye 4%. B) Disminuye 7%. D) Aumenta 4%. NIVEL1 Le 2. D 3. A 4. A 5.A 6.A 7. D 8. E 9. B 10. B NIVEl2 11. e 12. E 13. D 14. B 15. D 16.A 17. B 18.e 19. B 20. e NIVEl3 21. E 22. B 23. D 24. E 25. D 26. B 27. e 28. E 29. A 30. D RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 113
- 114. ~!J Magnitudes proporcionaLes Gráficamente: n.? de mesas MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES 36 ----- -- -- --- Ejemplo: En una carpintería 6 obreros pueden fabricar 12 mesas, comparemos las magnitudes. n.O?e obreros = ~ = R = li = l = cte . n. de mesas 12 24 36 6 El cociente de cada par de valores correspondientes es el mismo, es decir el cociente es constante. Por lo tanto, el número de obreros es directamente proporcional al número de mesas. Conclusión: Sidos magnitudes son directamente proporcionales entonces el cociente de susvalores correspondientes es constante. 24 ------- I I I 12 --- I I I 6 - 1 I I I I 3 6 12 18 n.? de obreros • La gráfica de dos magnitudes DP es una recta (o parte de ella), que pasa por el origen de coordenadas. En cualquier punto de la gráfica excepto en el origen de coordenadas, el cociente de cada par de valores resulta una constante . n." de obreros 6 ¡(:i12 ~18 .~ 2 3 n." de mesas 12 24~ x 36 x 3 6 +2 MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES Ejemplo: Un automóvil viaja a 20 km/h y demora 24 min en llegar a su destino. Comparemos las magnitudes. Velocidad x Tiempo = 20 x 24 = 40 x 12 = 80 x 8 = 10 x 48 = cte. El producto de cada par de valores correspondientes es el mismo, es decir el producto es constante. Por lo tanto, la velocidad es inversamente proporcional al tiempo. Cuando en el problema intervienen solo dos magnitudes. Ejemplo: Cierto número de ovejas son alimentadas con 30 kg de pasto. Pero si disminuimos en 5 el número de ovejas, entonces se necesitan solamente 20 kg de pasto. Halla el número de ovejas. entonces el producto de sus Tiempo (min) 24 ~2~ 48 X2 Velocidad (km/h) 20 ;040 ~60 +2 10 Conclusión: Si dos magnitudes son inversamente proporcionales valores correspondientes es constante. COMPARACiÓN SIMPLE 1020 40 60 V(km /h) La gráfica de dos magnitudes IP es una rama (o parte de ella) de una hipérbola equilátera . En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores resulta una constante . Gráficamente : t(min ) 48 -- I I I 24 -T- I I I I I I 12 -+-+-- - I I I 8 -+-+ ---+--- I I I 114 Inte/ectulT1 Evolución 4. o
- 115. .'. El número de ovejas es 15. (n." de ovejas) OP (kg de pasto) => _n_ - 30 n-S - 20 2n =3n -15 n =15 Sea "x" el número de ovejas n." de ovejas n n -S kg de pasto 30 20 También cuando las mag nitudes son IP Ejemplo: Un grupo de obreros demora 15 días en hacer una obra . Pero si el número de obreros aumentase en 10. se emplearían 5 días. El número de obreros es: COMPARACiÓN COMPUESTA Cuando en el problema intervienen 3 o más magnitudes. Ejemplo : 5 obreros construyen 12 muros en 30 días. ¿Cuántos obreros doblemente eficientes se necesitarán para construir 60 muros en 25 días? Resolución: IP I IP 1 I OP l t n.o de obreros Muros Días Eficiencia 5 12 30 1 x 60 25 2 Resolución: n." de obreros días n 15 n + 10 5 n.° de obre ros IP días => 15n=5(n +10) 3n = n + 10 n =5 :. El número de obreros es 5. • Si hay más obre ros se demorarán menos días . => n." de obreros IP Días • Si hay más muros se necesitar án más obreros. => n." de obreros OP Muros x.25.2 60 5.30.1 --- 12 • Si hay más eficiencia se emplearán menos obreros. => n." de obreros IP Eficiencia n =15 A continuación veamos algunos ejemplos de magnitudes directa e inversamente proporcionales. Magnitud VS Magnitud n." de obreros OP obra n." de obreros IP tiempo n." de obreros OP dificultad n.o de obreros IP eficiencia obra OP tiempo obra IP dificultad obra OP eficiencia En general : Sean las magnitudes A; B; Cy O. De las cuales elegimos la magnitud A como referencia y las relacionamos con las otras . • Si: · Si: ·Si: A OP S => S OPA A IP S => S IP A A OP S => An OP s n A IP S => An IP Sn 1 AOP S => A IP B 1 AIP S => A OP B A es OP a B (Cy O constantes) A es IP a C (B y O constantes) A es IP a O (B YC constantes) ~ ( A X ~ X O =constante J RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 115
- 116. Problemas . . Se sabe que A3 es DP alB e IP a C2 , cuando A =4, B= 64 YC = 12. ¿Cuánto valdrá B, cuando A = 2 Y C =6? Resolución: 3 2 Según los datos: AJi =cte. 120.25 + 110(11 + x) =120 . 36 12 . 25 + 11(11 + x) =12 . 36 11 (11 + x) =12 . 11 11 + x=12 x =1 día de retraso 64 X 144 =-,,-8..:...,: X=-3~6 8 lB 3 2 En el problema: 4 X 12 !64 • Una obra puede realizarse en 30 días, empleando 15 obreros trabajando 8 h/d. Después de 3 días de trabajo se acordó terminar 12 días antes. ¿Cuántos obreros más debieron emplearse, teniendo en cuenta que se aumentó en una hora el trabajo diario? Resolución: ,~------- ." h ' dl Una ora mas por la. 30 días 8 h/d (15 + x) obreros 15 días ( 9 h/d que se 15 obreros 3 días 8 h/d Sabemos que: n." obreros IP n." días 1 n." obreros IP h/d n." obreros x n." días x h/d =cte. Sea "x" el número de obreros emplearon. 15 obreros Según el enunciado: Ar; =cte. B I Entonces: 150 x ff6 = A x f49 102 142 150 x 4 = 7A ='> A = 14 x 12 100 196 A =168 • A es DP a B2 e IP a re, cuando A = 150, B = 10 Y C = 16. Halla A cuando B= 14 YC = 49. Resolución: . . Una cuadrilla de 120 trabajadores pueden culminar un puente en 36 días. Al cabo del vigesimoquinto día la doceava parte de la cuadrilla se retira. ¿Con cuántos días de retraso concluirán la obra? , 15.3.8 + (15 + x) . 15.9 =15 . 30 . 8 8 + 3(15 + x} =80 3(15 + x} =72 15 + x=24 x =9 obreros más Resolución: Sabemos que: n." trabajadores IP n." días Luego: n." trabajadores x n." días =cte. 1 Sea "x" el número de días de retraso, luego la suma de las partes de la obra es igual al total de la obra. • Una rueda "A" de 80 dientes engrana con otra rueda "B" de 50 dientes. Fijo al eje B hay otra rueda "C" de 15 dientes que engrana con una rueda "D" de 40 dientes. Si "A" da 120 vueltas por minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D? Resolución: -, Ladoceava parte (10), se retira. 120 trabaiadores 120 trabajadores 25 días ( 36 días 110 trabajadores 11 + x días 116 Int::elect::urn Evolución 4. o
- 117. Sabemosque: n." dientes x n." vueltas = cte. En el problema: 30 x VA _ 45 x Va _ 60 x Vc 180 - 180 - 180 VA = Va = Vc = k 6 4 3 Tiempo P 4 Velocidad , , 90 - - - -.¡- I I I I I I I m -----L- r - - - - - - - I I I I , I , , , 120 , , - - - - - - - - - - - - - - - Resolución: ; Como Velocidad IPTiempo l Entonces: velocidad x tiempo = constante 120 x p = 90 x 4 1 10 m = 90 x 4 P = 3 1 m = 36 :. m + p = 39 --- - ---- o Si la siguiente gráfica muestra dos magnitudes inversamente proporcionales, halla : "m + p". e ¿Cuál es el peso de un diamante que vale 5/.55 000, si uno de 6 quilates cuesta 5/.19 800 Y el precio es proporcional al cuadrado de su peso? (1 quilate = 0,25 g). Resolución: trf ea "x" g el peso del diamante. 6 quilates = 6(0,25g) = 1,5g Precio = K x2= 550 X 2,25 I Peso 2 198 I 55000 = 19800 i = 6,25 : x2 1,52 x=2,5 I ~ --------- ------- Sabemos que n." dientes x n." vueltas = cte. dAxVA=da xVa 80 . 120 = 50 . Va Va=192 => Vc=192 dcVc=dD,VD 15 x192=40 xVD VD=72 l o Se tiene una rueda "A" de 30 dientes que engrana con otra "B" de 45 dientes, y esta a su vez engrana con otra "C" de 60 dientes. Si en un determinado tiempo la diferencia del número de vueltas que dan las ruedas "A" y "(" es 180. ¿Cuántas vueltas ha dado la rueda "B"? Resolución: Resolución: b = 2 a = 33 :. a x b = 66 Sabemos que lasmagnitudes son directamente proporcionales, entonces su cociente es constante. 6 48 a 48 b = 16 1 11 = 16 1 -ª-=3 11 .§.. =3 b 4J!) En la gráfica se muestran dos magnitudes directamente proporcionales, halla : a x b Resolución: Por dato: VA - Vc = 180 6k - 3k = 180 3k = 180 => k = 60 .'. Va = 4(60) = 240 vueltas Precio = k ' ~=~=~= k Peso2 ' 52 22 32 25000 = P 1 = P2 => k = 1000 25 4 9 Luego: P1 + P2= (4 + 9)1000 = 5/.13 000 :. Pérdida = 5/.25 000 - 5/.13 000 = 5/.12 000 • El precio de un diamante es proporcional al cua- drado de su peso. Si un diamante que se compró en 5/.25 000 se rompe en dos pedazos cuyos pesos están en la razón de 2 a 3. ¿Cuál es la pérdida que se sufre? RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 117 - - - - - - - -
- 118. 1. 28 obreros pueden realizar una obra en 18 días, si al cabo del octavo día se incorporaron "a" obreros terminando así 3 días antes de lo establecido, calcula "a". 2. 6 obreros pueden terminar un trabajo en 24 días. Después de 8 días de trabajo se le juntan 2 obreros más. ¿En cuánto tiempo terminarán lo que falta de la obra? A)8 B)12 C) 10 D)18 E) 15 A) 15 B) 18 C) 20 D)12 E) 16 3. 18 obreros se comprometen a realizar una obra en 20 días trabajando 8 h/d, al cabo del quinto día se les pidió que entreguen la obra 3 días antes de lo pactado, razón por la cual se decide trabajar 9 h/d Ycontratar más obreros. ¿Cuántos obreros se contrataron? 4. 10 obreros pueden realizar una obra en 24 días a razón de 8 h/d. Al cabo de 10 días de iniciado el trabajo se contratan x obreros para acabar la obra 7 días antes de lo planificado. Calcula x si estos últimos días los obreros trabajaron a razón de 10 h/d. A) 2 B) 5 C)3 D)l E)6 A)8 B) 9 C)6 D)7 E) 10 s. Si A es DP a B 2 e IP a lE, cuando A = 81; B = 8 Y C=256, halla "A" cuando B =4 Y C=9. 6. Si A3 es DP a lB e IP a C2 cuando A = 2, B = 4 Y C=12. ¿Cuánto vale B, cuando A =4 Y C=6? A) 27 B)54 C) 81 D)96 E) 108 A) 16 B)4 C) 64 D)8 E)2 7. Marcelo es un taxista que acostumbra a cobrar en forma proporcional al número de pasajeros que transporta ya la distancia recorrida . Sia 2 pasajeros les cobró 5/.30 por recorrer 60 km, ¿cuánto les cobrará a 5 pasajeros por recorrer 12 km? 8. El pago de un albañil es proporcional a la raíz cuadrada del número de losetas colocadas, si el primer día coloca 36 losetas y el segundo día coloca 64 losetas y por los dos días le pagaron 5/.420. Calcula el pago de cada día. A)5/.12 B)5/.20 C) 5/.15 D) 5/.16 E) 5/.25 118 Int:e/ect:urn Evolución 4.o A)5/.120 Y5/.300 C) 5/.140 Y5/.280 E) 5/.100 Y5/.320 B)5/.180 Y5/.240 D) 5/.160 Y5/.260 - - - - - - - - - - - - - - - - -
- 119. 9. A Y B son dos magnitudes donde se muestra sus valores correspondientes. A 30 12 m a B n 15 10 1 calcula (m +n + a), si se sabe que A es IP a B 10. ealcula a + b si se cumple que: A 2 DP B. A a 8 16 12 B 150 24 96 b A) 204 8)214 C) 194 D)208 E)216 A)96 8)72 C) 108 D)74 E)98 11. En la figura adjunta, OP representa una relación directa y la curva PQ una relación inversa. Halla "x+ a". A p 12. De acuerdo al gráfico A es DP a B. Halla el valor de x+ 2y. A 27 - - - - - - - - - y 6 - x 10 18 B A) 15 8) 25 C) 20 D) 18 E) 30 A) 24 8)32 C) 34 D)36 E)28 13. Setiene A; B; e y D donde A y Btienen un eje común. B y e engranan, e y D tienen un eje común. Si la rueda A da 150 vueltas por minuto y se observa que la rueda D gira 50 vueltas por minuto, determina el número de dientes del engranaje e, si este tiene 20 dientes más que el engranaje B. 14. A Y B son dos magnitudes, tales que : A es DP a B; si B s 8 A es IP a B; si B ~ 8 Si A es 2 cuando Bes 1. Halla A cuando B es 32. A) 10 8)20 C) 50 D)30 E) 40 A) 5 8)7 C)8 D)6 E)4 o UJ coi ..¡ .... .... <! o ce u ai Ó 't"'" N .... .... .... ce o <! u ...: N M ~ Si: "A" es DP a "B"; " B" es IP a e 2 , "e" es DP a D3 , entonces "A" es IP a: Rpta .: D 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 119
- 120. NNEL' o Un pintor emplea 16 horas para pintar una habitación. ¿Cuánto tiempo emplearán 4 pintores? A) 9 horas D) 10 horas B) 6 horas E) 4 horas C) 8 horas Calcula "x", si la magnitud A es directamente proporcional con B 2 . ~ ~ (3) Si10 obreros realizan una obra en 25 días, ¿cuántos días emplean 5 obreros en las mismas condiciones de trabajo para hacer la misma obra? A)4 D)2 B) 6 E) 8 C) 10 G) Si 80 kg de azúcar cuestan 5/. 240, ¿cuánto cuestan 60 kg de azúcar de esa misma calidad? (j) Calcula "x", si la magnitud A es inversamente proporcional a .fB. [ilili] ~ A) 7 días D) 8 días A) 5/.180 D) 5/.120 r B) 5 días E) 10 días B)5/.200 E) 5/.250 C) 9 días C) 5/.240 A)8 D)10 B)15 E) 12 C) 18 ® Si A es DP a 3.fB, calcula "x". ~ ~ G) Seis trabajadores han votado un desmonte en 15 horas. Cinco trabajadores, de igual rendimiento que los anteriores, ¿en qué tiempo hubieran hecho el mismo trabajo? A)7 D)9 B)8 E) 12 C) 10 A) 13 horas D) 17 horas B) 16 horas E) 18 horas C) 20 horas ® Trabajando 9 horas, en un día un joven ha hecho 15 bancos. Al día siguiente se propone hacer 20 bancos, ¿cuántas horas debe trabajar? ® Si A 2 es DP a B, calcula "x". ~ ~ A) 17 horas D) 20 horas B) 18 horas E) 16 horas C) 12 horas A) 18 D)21 B) 22 E) 27 C) 20 120 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 121. @ Si A es IP a lB, calcula: x + y A 12 x 16 B 16 4 Y @ El número a es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número b. Si a =5/7 cuando b =49, ¿cuál es el valor de b, si a =1/4? A) 28 D)40 B)33 E) 25 C) 30 A) 350 B)400 C) 250 D)200 E) 300 @ Una rueda "A" de 100 dientes engrana con otra rueda "B" de 60 dientes. Si la rueda "A" tiene una velocidad de 30 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda "B" en 15 minutos? NNEL2 @ A es directamente proporcional a la raíz cuadrada de B e inversamente proporcional al cuadrado de C, cuando A es 8, B es 16 y C es 6. Calcula el valor de B cuando A sea 9 y Csea 4. A) 550 B)800 C) 700 D)650 E) 750 A) 3 D)5 B)6 E) 4 C)8 SiA varía proporcionalmente con (B 2 + 4) y B varía proporcionalmente con fE - 5; además cuando A = 16; B = 2; C = 81. Calcula A cuando C= 49. A)8 B) 12 C)9 D) 10 E) 15 @ Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que A es DP a B; A es IP a C; A es IP a D. Cuando A = 5; B = 2C y D = 2. Halla el valor de A cuando B = 48; C =2 Y D =3. A) 40 B) 45 C) 50 D)25 E)30 @ El gasto de una persona es DP a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo sueldo es 5/.900 ahorra 5/.90. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto sea 5/.1260? A) 5/.1200 D) 5/.1600 B) 5/.1500 E)5/.1000 C) 5/.1400 Se sabe que una magnitud "A" es inversamente proporcional a "B". Halla el valor de "A" sabiendo que si disminuye en 36 unidades, el valor de "B" varía en un cuarto. A) 100 D) 150 B)200 E) 170 C) 180 @ Se sabe que A es DP a B2 (cuando C es constante) y C es IP a 1/fA (cuando B es constante); cuando A = 36; B= 2 YC= 3. HallaA cuando B= 1/3 YC= 1/2. A) 1/20 B) 1/25 C) 1/40 D) 1/36 E) 1/32 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 121
- 122. @ "R" varía directamente con "5" e inversamente con ''1''; cuando R= 4/3, T = 9/14 Y 5= 3/7. Halla "5" cuando R= !48 y T = m. A)30 r- I B)35 C)40 D)37 E)32 -'--~~- -------- -" Dos bombas trabajando 5 horas diarias durante 4 días, logran bajar el nivel del agua en 65 cm. ¿En cuántos días, 3 bombas similares, bajarán el nivel en 78 cm funcionando 8 horas diarias? UNM5M-2004 11 A) 2 B) 4 C)9 D)7 E) 6 @ Si la magnitud A es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de B, ¿qué variación experimenta cuando el valor de B disminuye en un 75%? A)50% B)80% C)20% D) 60% E)100% @ De acuerdo al gráfico, "A" es directamente proporcional a " B", Halla el valor de: "x + 2y". A 27 - - - - - - - --- y 6 NNEL3 @ Se tienen tres magnitudes: A; B Y C. Si A es directamente proporcional al cuadrado de B e inversamente proporcional al cubo de C, completa el siguiente cuadro y da como respuesta: " m . p". A)42 B)30 x 10 18 B C) 28 D) 38 E)34 A 160 135 P B 4 2 10 C 3 m 6 A) 230 B)200 C) 270 D)260 E) 250 @ De acuerdo al gráfico, "M" es inversamente proporcional a 11 N". Halla el valor de "a + 5b". M 60 - G De acuerdo al gráfico, "A" es directamente proporcional a "B". Halla el valor de: "x + y". A 50 - - - - - - - - - - , , , , 45 -; - -- , , , , a -'---T---- , , , , , , (b - 1) b (b + 2) 36 y 12 x 25 B A) 80 B)50 C)70 D) 40 E) 60 A)48 B)42 C) 38 D)45 E) 30 122 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 123. @ En un sistema de engranajes de 20 y 80 dientes, los puntos A y B coinciden en cierta vuelta. ¿Cuántas vueltas deberá girar el engranaje menor para que coincida nuevamente? @ El precio de un tubo de fierro varía proporcionalmente al cuadrado de su longitud. Las longitudes de 2 tubos están en la relación de 4 a 9. ¿En qué relación están sus precios? A) 8/27 D) 8/81 B) 4/3 E) 16/81 C) 7/15 A)4 D)2 B)6 E) 8 C)1O @ La gráfica muestra los valores que toman dos magnitudes A y B. Calcula (a + b). A ---~ @ Una rueda "A" de 80 dientes engrana con otra rueda "B" de 60 dientes; fija al eje de "B" hay otra rueda "C" de 20 dientes que engrana con una rueda "D" de 40 dientes. Si "A" da 120 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda "D"? 8 b - 12 18 36 A) 80 D)70 B)60 E) 100 C) 50 A) 26 D)24 B)20 E) 16 C) 18 fr" ' - e ., ......... .. ~ .J NIVEL 1 9. E 17. e 25. B LE 10. B 18. D 26.A 2. B NIVEL2 19. A 27. A 3. A 11. E 20. E 28. B 4. E 12. A NIVEl3 29. E 5. e 13. e 21. E 30. e 6. D 14. B 22. B 7. E 15. E 23.A 8. B 16. D 24. E C) 10 B)20 E)30 A) 15 D)40 @ En la figura, el engranaje central (15 dientes) realiza 240 vueltas. ¿Cuál es el exceso de vueltas que realiza el engranaje de la izquierda (45 dientes) sobre el de la derecha (60 dientes)? // RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 123
- 124. r!!J Orden de información DEFINICiÓN ·. - En una primera lectura del problema, se reconocen los sujetos y las características que le corresponden , de esta manera se puede elaborar el cuadro de doble entrada. Esnecesarioleervaríasveces el enunciado para ir sacando conclusiones que permitan llenar el cuadro de doble en- trada. No olvidar, si se coloca [2], el resto de la fila o columna es 0 . x x X X Este capítulo trata sobre aquellos tipos de problemas que engloban una serie de datos aparentemente desordenados, pero que guardan entre sí un sentido lógico. Estos pueden ser: Ordenamiento por cuadros de doble entrada Un cuadro de doble entrada sirve para organizar información que permita decidir la característica propia que tiene cada sujeto de un grupo. Ejemplo : 4 amigas se reúnen para celebrar el cumpleaños de una de ellas. Sus nombres son: Andrea, Diana, Nadia y Vanessa. Sus ocupaciones son: chef, diseñadora, modelo y estilista. No necesariamente en ese orden . • La más joven es chef. • Nadia es soltera y es menor que la modelo. • Ladiseñadora es casada. • Diana es la mayor de todas . • Andrea juega tenis con la chef todos los jueves a las 7 p.m. • Nadia y la más joven son primas. • Vanessa no es estilista. • Diana y la diseñadora han viajado juntas a Colombia en cierta oportunidad. Indica la ocupación de cada una. Resolución: • Nadia es soltera y es menor que la modelo. La diseñadora es casada. Conclusión: Nadia no es diseñadora ni modelo. Chef Diseñadora Modelo Estilista Andrea Diana Nadia X X I Vanessa • La más joven es chef. Diana es la mayor de todas. Conclusión : Diana no es chef. Chef Diseñadora Modelo Estilista Andrea Diana X Nadia X X Vanessa 124 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 125. • Andrea juega tenis con la chef todos los jueves . Conclusión: Andrea no es chef. Chef Diseñadora Modelo Estilista Andrea X Diana X Nadia X X Vanessa • Nadia y la más joven son primas. La más joven es chef. Conclusión : Nadia no es chef. Chef Diseñadora Modelo Estilista Andrea X Diana X Nadia X X X Vanessa ./ X X X • Diana y la diseñadora han viajado juntas a Colombia en una oportunidad. Conclusión : Diana no es diseñadora. Chef Diseñadora Modelo Estilista Andrea X ./ X X Diana X X ./ X Nadia X X X ./ Vanessa ./ X X X Finalmente: • Andrea - diseñadora • Diana - modelo • Nadia - estilista • Vanessa - chef Ordenamiento circular Seaplica para distribuir a personas alrededor de una mesa. Ejemplos: 1. Seisamigos salen a comery se sientan en una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente. Se sabe que : • Andrés se sienta junto y a la derecha de Beatriz y frente a Cirilo. • Beatriz no se sienta junto a Dimas. • Cirilo no se sienta junto a Edwin . • Flavia solo comió una ensalada mixta. Indica quién se sentó junto y a la derecha de Cirilo . No olvidar si en una fila o columna queda un cuadro blanco y el resto es 0 . entonces, el cuadro debe ser [2]. x X X ../ x x d: derecha i: izquierda RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 125
- 126. @ ® @ ® • Beatriz no se sienta junto a Dimas. • Flavia solo comió una ensalada mixta. Conclusión: Flavia es la s.' amiga. ® o ® o • Cirilo no se sienta junto a Edwin. 2. Luz, Elza, Dante, julio, Ana y Sandro se sientan alrededor de una mesa circular distribuidos de manera simétrica. Se sabe que son 3 parejas y que cada esposo se sienta al lado de su esposa. :. Junto y a la derecha de Cirilo se ubica Flavia. Resolución : • Andrés se sienta junto y a la derecha de Beatriz y frente a Cirilo. D e ., A la derecha de "A" están "E"y"D". A la izquierda de "A" están "B"y"C", Nadie está frente a "A", B Además: • ti> ~ • ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? L O Z Dante Julio Ana Eisa Sandro Empezamos por el dato 1: Analizando las afirmaciones, son verdaderas A y C. Sabiendo que las parejas se sientan juntas, y con la información de los datos 1I y 111: • A) Julio y Eisa se sientan juntos. B) Luz no se sienta frente a Sandro. C) Dante está entre Luz y Ana. 1. Sandro se sienta junto y a la derecha de Eisa. 11. Julio se sienta frente a Ana. 111. Dante está junto y a la izquierda de Luz. Resolución : • En total son 6 personas, las cuales representamos con 6 puntos: e F A partir de "A" y en sentido horario están : B-C-D -E -F • A partir de "A" y en sentido antihorario están : F-E -D -C -B 126 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 127. Problemas . . 5 alumnos de un colegio público estudian en diferen- tes secciones de quinto de secundaria. Sesabe que: • Anicama, Borges y el que estudia en 4:0 hacen juntos la tarea . • Ourand, Esquivel y el que estudia en 4:A viajan juntos. • Cuevay los que estudian en 4.°B Y4."Cestudiaron juntos el año pasado. • Los que estudian en 4.oB y en 4.oE son hinchas del mismo equipo que Anicama y Borges. • Cueva y Esquivelllegaron tarde un díacon el de 4. OD. • Elque estudia en 4. oCy Borges son los encargados del periódico mural de 4.° de secundaria. ¿Cómo se llama el que estudia en 4.oE? Resolución: • Anicama, Borges y el que estudia en 4.°0 hacen juntos la tarea, entonces, ni Anicama, ni Borges estudian en 4.°0. • Ourand, Esquivel y el que estudia en 4. oA viajan juntos, entonces, ni Ourand, ni Esquivel estudian en 4.°A. • Cueva y los que estudian en 4. OB y 4. OC estudiaron juntos el año pasado. Entonces, Cueva no estudia en 4. oB, ni en 4.°C. • Losque estudian en 4. oB y en 4. oE son hinchas del mismo equipo que Anicama y Borges. Entonces, ni Anicama, ni Borges estudian en 4. oB o 4.°C. • Cuevay Esquivelllegaron tarde con el de 4.°0. • Borges y el que estudia en 4."C son los encargados del periódico mural. Entonces Borges no estudia en 4.oc. Ordenando estos datos en una tabla : 4." de secundaria A B e D E Anicama X X ./ x X Borges ./ x x x X Cueva X X X X 0 Durand X X X ./ X Esquivel X ./ X X X .'. El que estudia en 4. oE es Cueva. 8 Un grupo de 6 amigos forman un equipo de fulbito. Sesabe que: • Aldo, Jonathan y Lalo son vecinos del defensa izquierdo. • Al arquero, al mediocampista ya José, les gusta el ceviche . • Marco no es delantero ni defensa . • Cristhian no juega de defensa . • Jonathan es arquero o mediocampista. • El mediocampista y Cristhian estudian conJonathan. • Lalo es el delantero derecho. ¿Quién es el defensa derecho? Resolución: • Aldo, Jonathan y Lalo son vecinos del defensa izquierdo, entonces ninguno de los 3 es defensa izquierdo. • Al arquero, al mediocampista y José les gusta el ceviche. Entonces,José no esarquero ni mediocampista. • El mediocampista y Cristhian estudian con Jonathan. Entonces, ni Cristhian, ni Jonathan son mediocampistas. • Jonathan es arquero o mediocampista. Entonces Jonathan es arquero. • Marco no es delantero ni defensa. Entonces Marco esarquero o mediocampista, pero Jonathan es arquero, luego Marco es mediocampista. • Lalo es delantero derecho. • Cristhian no juega de defensa y tampoco I puede ser arquero ni mediocampista, entonces es delantero izquierdo. Ordenando los datos en una tabla: Posiciones o rtl o rtl o e o e ~ Vl .L: Vl "'E .2 2:! .L: <lJ o e u e <lJ "O U ... "'E ::J J!! ~ J!! e ~ e O" 'S <lJ rtl rtl .~ ~ <lJ <lJ <lJ O" ~ W <lJ ::J O "O O .~ O "O <lJ O" O . ~ Aldo X 0 X X X X Cristh ian X X X X X ../ Jonat han ../ X X X X X José X X ../ X X X Lalo X X X X ../ X Marco X X X ../ X X .'. Aldo es el defensa derecho. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 127
- 128. a) Esteban tiene 45 años. b)Simón es el director. • El más joven no es conserje. Entonces solo puede ser subdirector. Finalmente se tiene: ii o iv o vi oviii o o o Ordenamos los datos en una tabla. Cargos Edades o o o <lJ tí .¡: ' ¡:O tí ro ~ ~ e 2S 29 45 65 ~ 'O e i5 u O '" <lJ U Vl Vl Esteban .)C .)C ./ .)C .)C .)C 0 .)C Ricardo .)C .)C .)C ./ .)C ./ .)C .)C Simón 0 .)C .)C .)C .)C .)C .)C ./ Nicolás .)C ./ .)C .)C ./ .)C .)C .)C Juego Mascota Programa N -o .9 VI ro ~ VI "O ro 'O e ~ ~ ro e Q. El e e El 'ü <lJ u "O E 'E Q¡ <lJ E .¡;; o ro o ro .¡:; E '" <lJ ro o e o- o- ...J .9 O '" ~ el el O Z O u ~ ~ U O el Charo X ../ X X X Lourdes X X X Anastasia X X ../ X X Juana X X X ({: ({: • Un grupo de amigas gusta cada una de un juego: ajedrez, damas, dominó y monopolio; cada una tie- ne una mascota: pato, perro, loro, gato, cada una ve un programa diferente: noticias, comedia, docu- mento, musical. Si se sabe que: i)Charo ve noticias. iill.a quejuegamonopolio tiene como mascota algato. iii)lourdes no tiene al loro. iv)A la que le gusta las comedias juega ajedrez. v)Anastasia juega dominó. villa que tiene al perro ve documentales. vii)Juana no juega ajedrez. viii)la que juega damas, ve musicales. a)¿Quién juega damas? b)¿Qué mascota tiene Charo? Resolución: Cargos Edades o o o <lJ tí .¡: '¡:o tí ~ ~ <lJ 2S 29 45 65 e ~ VI 'O e i5 u O '" <lJ U Vl Vl Esteban .)C .)C ./ .)C .)C .)C ./ .)C Ricardo .)C .)C .)C ./ .)C .)C Simón ./ .)C .)C .)C .)C .)C .)C ./ Nicoiás .)C ./ .)C .)C .)C .)C luego: • Como el secretario solo es menor que el director, entonces el secretario tiene 45 años y es Esteban. I • Esteban y el subdirector no son amigos. Entonces, Esteban no es subdirector. • El director y el conserje son muy amigos de Nicolás. Entonces, Nicolás no es director ni conserje. • Ricardo es sobrino del secretario. Entonces, Ricardo no es secretario. I • Simón y el conserje viven cerca al más joven. Entonces, Simónno esconserje,ni el másjoven. • Eldirector es el mayor de todos. • Elsecretario solo es menor que el director. • El secretario se llama Esteban y es mayor que el menor. Ordenando los datos en un cuadro: • Ricardo es sobrino del secretario. • El director es el mayor de todos. • Esteban y el subdirector no son amigos. • El director y el conserje son muy amigos de Nicolás. • El secretario solo es menor que el director. • El secretario se llama Esteban y es mayor que el menor. • Simón y el conserje viven cerca al más joven. a) ¿Quién tiene 45 años? b)¿Qué cargo ocupa Simón? Resolución: • En un colegio están reunidos: Esteban,Ricardo,Simón y Nicolás, cuyos cargos son: director, subdirector, secretario y conserje no necesariamente en ese orden . Además sus edades son: 25; 29; 45 Y 65 no necesariamente en ese orden . Sesabe que: 128 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 129. • De iv) la que juega ajedrez ve comedias, entonces los que no juegan ajedrez (Anastasia y Juana) no verán comedias. Completamos el cuadro: Juego Mascota Programa N ' O .2 Vl ro ] Vl "'6 e ro e ro e s .g e s ro 'O Q) u c. :9 Q) -o E 'E o ro o ro E E .¡¡; Q) ro Q) 'O ::> o e c.. c.. ...J (!J ::> <? o · O O Z O u ~ ~ U O O Charo X X ./ X X X Lourdes ./ X X X X X ./ X X Anastasia X X ./ X X X Juana X X X X Juego Mascota Programa N ' O .2 Vl ro ] Vl "'6 e ro Q) ro e s e e s ro 'O Q) u -o 'E c. 'ü Q) E o ro ~ o ro :g E E '¡¡; Q) ro o e e, e, ...J (!J ::> ::> <? O O O Z o u ~ ~ U O O Charo X X X ./ X ./ X X X Lourdes ./ X X X X X X ./ X X Anastasia X X ./ X X ./ X X X X ./ X Juana X ./ X X X X X X ./ (2) (2) ii (2) iv (2) (2) vi (2) (2) viii • De (vi) la que tiene al perro ve documentales (Anastasia), Completamos el cuadro: (2) (2) ii (2) @ (2) (2) vi (2) (2) viii ® o ® a)Juana juega damas. b)Charo tiene de mascota a un gato , • De (ii) la que juega monopolio (Charo) tiene como mascota al gato. • Completamos el cuadro: • María está sentada a la derecha de Paula y frente a Nadia. Existen 2 posibilidades: Juego Mascota Programa N ' O ,2 Vl ro ] Q) Vl e "'6 e ro 'O e ro -O ro c. s e s 'ü Q) u E 'E Q) E .¡¡; o ro ~ o ro s E Q) ro o e e, ...J (!J ::> ::> <? O o c.. O u ~ O ~ Z U O O Charo X X X ./ X X x lG() ./ X X X Lourdes ./ X X X ./ X X X X ./ X X Anastasia X X ./ X X ./ X X X X ./ X Juana X ./ X X X X ./ X X X X ./ o 6 amigas se sientan alrededor de una mesa circular, María, que está sentada a la derecha de Paula, se encuentra frente a Nadia; Paula está frente a la que está junto y a la derecha de Sofía, que está frente a Rosa. ¿Quién está junto y a la derecha de Cinthia? Resolución: (2)viii ii (2) iv (2) vi (2) (2) (2) (2) • De (viii), la que juega damas ve musicales, entonces los que no juegan damas (Anastasia y Lourdes) no ven musicales. Completamos el cuadro: Juego Mascota Programa N ' O .2 Vl ro ] Vl "'6 e ro ~ ro e s e e s ro 'O Q) u C. 'ü Q) -o E 'E o ro ~ o ro ~ E E '¡¡; Q) ro o e c.. o, ...J (!J O ::> ::> <? O O o Z O u ~ ~ U O O Charo X X X ./ ./ X X X Lourdes ./ X X X X X ./ X X Anastasia X X ./ X X X ./ X Juana X ./ X X X X X ./ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 129
- 130. • Paula está frente a la que está junto y a la derecha de Sofía que está frente a Rosa. ® • Luzmila no está sentada aliado de Judith. • Miriam no está sentada aliado de Judith . Entonces Celia está aliado de Judith. ® o No cumple ® o Luego: ® ® o :. A la derecha de Cinthia está Nadia. • Miriam no está sentada aliado de Celia Entonces Luzmila está aliado de Celia. o En una mesa circular hay 6 asientos simétricamente colocados ante la cual se sientan 6 amigas a jugar ludo. Si Luzmila no está sentada al lado de Estela ni de Judith, Miriam no está al lado de Celia ni de Judith, Estela ni está al lado de Celia ni de Miriam, Irma está junto y a la derecha de Estela.¿Quién está sentada junto y a la izquierda de Miriam? Resolución: ® :. A la izquierda de Miriam se ubica Irma. • Irma está junto y a la derecha de Estela. c'~a ~ ® CD o o • Luzmila no está sentada aliado de Estela. Estela no está aliado de Celia ni de Miriam. Entonces Judith está aliado de Estela. 130 tnretecrurn Evolución 4. o
- 131. 1. Se tiene un edificio de seis pisos en el cual viven seis personas A, B, C, D, E Y F, cada uno en un piso diferente. Si se sabe que: • "E" vive adyacente a "C" y "B". • Para ir de la casa de "E" a la de "F" hay que bajar tres pisos. • "A" vive en el segundo piso. ¿Quién vive en el último piso? 2. En una reunión, cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa redonda con 4 sillas distribuidas simétricamente. Si sabemos que. • Juan se sienta junto y la derecha de Luis. • Pedro no se sienta junto a Luis. • José les comentó lo entretenida que está la reu- nión . Podemos afirmar que: A}D B}A e}B D} E E}e A} José y Juan se sientan juntos. B} Luis y José no se sientan juntos. e} No es cierto que José y Juan no se sientan juntos. D} Pedro se sienta junto y a la derecha de José. E} Juan se sienta junto y a la izquierda de Pedro. 3. Patricia es más alta que Rosa, pero más baja que Roxana; Elena es más baja que Patricia y más alta que Juana; Milagros es más alta que Patricia. Sepuede afirmar que: 4. En una reuruon los profesores M; N; P; Q y R se sientan alrededor de una mesa circular, y se observa que: 1. Entre Ry P no se sienta nadie. 11. M se sienta la costado de N y frente a P. III.P es mayor que N y Q. IV.EI mayor se sienta al costado derecho de M. ¿Cuál es la ubicación de "Q"? A} Elena es más baja que Rosa. B} Esfalso que Rosa sea más baja que Milagros. e} Milagros es más alta que Roxana. D} Juana es más baja que Roxana. E} Es mentira que Milagros sea más alta que Juana . A} A la derecha de R. e} A la izquierda de P. E} Entre M y N. B} A la izquierda de R. D} Entre N y P . 5. Juana, Rosa y Ana enseñan Matemáticas, Física y Química en los siguientes colegios: La Salle, San Agustín, Guadalupe. Si se sabe que: Juana enseña en San Agustín y ahí no se enseña Fí- sica, Rosa no enseñó nunca en La Salle, Ana no en- señó Física ni Matemáticas ¿Quién enseña Química y dónde trabaja Rosa? 6. Tres amigas: Mara, Luisa e Irma cumplen años los días 7; 9 y 30 durante los meses de enero, septiembre y diciembre, aunque no necesariamente en ese orden. Si: • El9 de septiembre ninguna de ellas cumple años. • Luisa celebra su cumpleaños el 8 de diciembre, con un día de diferencia de la fecha real. • El 30 de enero ninguna de ellas cumple años. • Irma no nació en septiembre. ¿Cuándo es el cumpleaños de Mara? A} Juan - San Agustín e} Ana - La Salle E} Ana - Guadalupe B} Rosa - La Salle D} Rosa - San Agustín A} 30 de septiembre e} 9 de enero E} 9 de diciembre B} 30 de diciembre D} 7 de enero RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 131
- 132. 7. Tres hermanos estudian en cada una de las siguientes universidades: San Marcos, Villarreal y UNI, carreras diferentes: Ingeniería Textil, Ingeniería Civil, Biología. Julio no estudia en San Marcos, Daniel no está en la Villarreal, el que está en San Marcos no estudia Ingeniería Textil, el que está en la Villarreal estudia Ingeniería Civil. Daniel no estudia Biología, se quiere saber qué estudia Ricardo y dónde. 8. Se sabe que las profesiones de Ana, Claudia, Karina y Sara son arqueóloga, abogada, odontóloga y profesora, no necesariamente en este orden. ¿Quién es la abogada y quién es la profesora?, si: • Ana está casada con el hermano de la abogada. • Claudia y la profesora van a trabajar en la movili- dad de la abogada. • Las solteras Karina y la arqueóloga son hijas únicas. • Claudia y Sara son amigas de la odontóloga, la cual está de novia. A) Biología - Villarreal C) Ing.Civil- San Marcos E) Ing.Textil- San Marcos B)Biología - San Marcos O) Ing. Civil- Villarreal A) Ana - Sara B)Claudia - Karina O)Sara - Claudia E) Sara - Karina C) Ana - Claudia 9. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa circular con 4 sillas distribuidas simétricamente. Si se sabe que: • Gerson se sienta junto y a la derecha de Manolo. • Gerardo les comentó lo entretenida que está la reunión. • Abelardo no se sienta junto a Manolo. 10. Cuatro hermanos: Leo, Iván, Cynthia y Gellmy se sientan alrededor de una mesa circular, alrededor de la cual se distribuyen simétricamente seis sillas; se sabe que entre dos personas de un mismo sexo hay un asiento adyacen.!,.e sin ocupar y que Gellmy está junto a Leo. Podemos afirmar que son verdaderas: 1. Cynthia se sienta frente a Leo. 11. Iván se sienta frente a Gellmy. IIl.lván se sienta junto a Cynthia. A) Gerardoy Gerson sesientanjuntos. B) Manolo y Gerardono sesientanjuntos C) Noescierto queGerardo y Gerson no sesientan juntos. O)Abelardo sesientajunto y a la derechade Gerardo E) Gerson sesientajunto y a la izquierda de Abelardo. A) I O) I Y 111 B) 11 E) Todas C) IY11 11. Por el aniversario de Lima, 6 presidentes se encuentran en el palacio de gobierno, sentados en una mesa redonda para hablar sobre un proyecto multinacional y se ubican así: el presidente del Perú no está sentado al lado del presidente ecuatoriano ni de EE.UU. El presidente de Colombia no está sentado al lado del presidente peruano; el presidente de Ecuador no está al lado del presidente de Brasil ni de Colombia. El presidente de Chile está a la izquierda del presidente ecuatoriano. ¿Quién está junto y a la izquierda del presidente peruano? A) El presidente ecuatoriano. O) Elpresidente colombiano. B) El presidente brasileño. E) El presidente de EE.UU. C) El presidente chileno. 132 Inte/ectum Evolución 4. o
- 133. 12. Son cuatro personas: Moisés, Henry, Toña y Pilar; sus profesiones son: ingeniero, médico, abogado y profesor. Residen en Lima, Huancayo, lea y Chimbote. • Toña no vive en Huancayo ni en lea. • Pilar no reside en Lima. • Moisés vive en Chimbote. • El médico reside en Lima. • Pilar es ingeniero. • El abogado vive en Huancayo. ¿Qué profesional vive en Chimbote? Al El médico . Bl El abogado. C) El ingeniero. DI El profesor. El Faltan datos. 13. Tres estudiantes de Historia, Economía e Ingeniería viven en Chiclayo, Lima y Arequipa (no en ese orden necesariamente). • El primero no vive en Lima, ni estudia Ingeniería. • El segundo no vive en Chiclayo y estudia Economía. • El historiador vive en Arequipa ¿Qué estudia el tercero y dónde vive? Al Ingeniería, Lima Bl Historia, Arequipa C) Historia, Lima DI Ingeniería, Chiclayo El Faltan datos 14. A una reunión fueron invitados tres parejas de esposos y de ellos se tiene la siguiente información. • Hay dos colombianos, dos bolivianos y dos panameños. • No hay dos hombres de la misma nacionalidad. • No hay una pareja de esposos de la misma nacionalidad. • Alberto es colombiano y la esposa de Miguel es panameña. • El tercer varón es Julio. ¿Qué nacionalidad tiene Miguel y la esposa de Julio, respectivamente? Al Panameño y colombiana DI Panameño y boliviana Bl Boliviano y colombiana El Boliviano y panameña C) Colombiano y boliviana o co ..; ..; ...... w w ce o ai ~ :: ~ Tres parejas de esposos están sentadas en una mesa redonda y ningún hombre está sentado junto a otro, pero sí a su pareja. Si además: • Ana no está sentada junto a Pedro, ni Alberto junto a Rosa. • María está sentada junto y a la derecha de Pedro. ¿Quiénes están sentados al costado de Carlos? [ Rpta.: Ana y Rosa 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 133 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --
- 134. NIVEL' CD Cuatro compañeros: Alejandro, Benancio, Carlos y Daniel, viven en un mismo edificio en diferentes pisos. Si se sabe que: • Benancio vive en el primer piso. • Carlos vive adyacente a Daniel y Benancio. • Alejandro vive más arriba que Daniel. Escierto que: A) Carlos vive en el3. er piso. B) Daniel vive en el 2: piso. e) Alejandro vive en el 3.er piso. D) Benancio vive en el 2: piso. E) Daniel vive en el s." piso. o Si: 1. El naranjo no es más alto que el manzano. 11. El ciruelo no es más bajo que el naranjo. 111. El palto no es más alto que el naranjo. ¿Qué afirmación es cierta? A) El palto es el más alto. B) El manzano es el más alto. e) El palto no es más alto que el ciruelo. D) El ciruelo es el más bajo. E) El ciruelo es más alto que el manzano. En una examen: • Andrés obtuvo menos puntaje que Beatriz. • Daniel menos puntos que Ariel. • Camila más puntos que Eduardo. • Eduardo más puntos que Beatriz. • Ariel menos puntos que Andrés. ¿Quiénes obtuvieron el puntaje menor y mayor, respectivamente? Manuel es mayor que Pedro y Carlos es menor que áscar; pero este y Manuel tienen la misma edad . Además Carlos es menor que Pedro. De las siguientes, son correctas: 1. Manuel es menor que Carlos. 11. Manuel es mayor que Carlos. 111. Pedro es menor que áscar. IV. Pedro es mayor que áscar. o A) Andrés y Eduardo. e) Camila y Beatriz. E) Beatriz y Camila. B) Daniel y Camila. D) Camila y Eduardo. ® A) Solo 1 D) Solo IV ( ..~--~- I B) Solo 111 E) 11 Y111 e) Solo 11 o Sabemos que Karla es mayor que Gloria, Rosa es menor que Alicia; Gloria es mayor que Paola y que Alicia; Elvises mayor que Gloria y Rosa no es la menor Escribe verdadero o falso, segun corresponde. 1. Paola es mayor que Rosa. 11. Elvis es mayor que Rosa. 111. No es cierto que Paola sea menor que Elvis. o Hernán es el niño más alto de su clase. En esa misma clase Miguel es más alto que Rubén y más bajo que Peter, luego: 1. Miguel, Rubén y Peter son más bajos que Hernán. 11. Hernán es más alto que Peter y más bajo que Rubén . 111. Peter es más bajo que todos. Son verdaderos: A)FVV B)FVF e) VFF D) FVV E) FFF -- -- -, I I A) Iyll D) 1y 111 B) Solo I E)Todas e) 11 Y111 1 134 tntietecrurn Evolución 4.o
- 135. (j) Tres amigos : Jorge, Pedro y Raúl se encuentran y comentan sobre los colores de sus carros. Solo hay 3 colores: azul, rojo y verde y no hay dos carros con el mismo color. Jorge dice: "Mi carro no es rojo ni azul". Raúl dice : "Me hubiera gustado sea rojo". ¿De qué color es el carro de Pedro? Alberto, Bruno y César son hermanos y tienen cada uno diferente profesión: ingeniero, médico y abogado; Alberto es el mayor de todos y no es médico, a Bruno nunca le gustó la matemática, el menor de todos esel ingeniero. ¿Cuál es la profesión de Bruno? A} Azul D} Faltan datos B} Verde E} Blanco C} Rojo @ A} Abogado D} Doctor B} Ingeniero E} Faltan datos C} Médico Tres amigos: Fernando, Julio y Luis tienen cada uno un animal diferente. Se sabe que: • Fernando le dice al dueño del gato que el otro amigo tiene un canario. • Julio le dice al dueño del gato que su mascota y el perro pelean siempre. • ¿Qué animal tiene Julio y quién es el dueño del perro? ® A} Perro - Julio C} Canario - Luis E} Canario - Fernando B} Perro - Fernando D} Gato - Luis NNEL2 @ Cuatro niñas están jugando con sus juguetes preferidos alrededor de una mesa cuadrada. Si Diana tiene la muñeca; Carlaestá ala derecha de la que tiene la pelota; Luisa está frente a María; el rompecabezas _ ..... '" está a la derecha del peluche; María no tiene la pelota. Se puede afirmar que : A} Luisa tiene el rompecabezas. B} Diana tiene el peluche. C} Luisa tiene la pelota. D}Carla tiene la muñeca. E} Diana está a la derecha de Luisa. Sedesea que las personas A; B; CYD correspondan a los nombres de Víctor, José, Manuel y David (sin ser en ese orden). 1. Víctor, Cy D fueron al teatro el domingo pasado. 11. José, A y B trabajan en la misma fábrica. 111. A, Cy Manuel concurren a los juegos mecánicos con regularidad. IV. C es de condición humilde, en cambio José es adinerado. ¿Quién es de condición humilde y quién es A? Cuatro amigos: Peter; Douglas; Carla y Amara, se sientan alrededor de una mesa circular con seis asientos distribuidos simét ricamente. Sisesabe que: • Solo entre dos personas del mismo sexo hay un asiento vacío. • Amara se sienta junto a Peter. Podemos afirmar: 1. Carla se sienta junto a Douglas. 11. Peter se sienta frente a Carla. 111. Amara se sienta frente a Douglas. A} David - Vícto r C} Víctor - José E}José - Manuel B} Víctor - David D} Manuel - José @ A} Solo I D} 11 Y 111 B} Solo 11 C} I Y I1I E}Todas son verdaderas RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 135
- 136. ¿Cuál es el apellido y la ocupación de Samuel? @ Cuatro hermanos: Anaís; Ximena; André y Mirtha, para hacer sus tareas se sientan alrededor de una mesa circular con cuatro sillas igualmente separadas entre sí. Sabemos que : • Ximena se sienta a la derecha de André. • Los hermanos cuyos nombres tienen la misma cantidad de letras no se sientan juntos. ¿Quién está sentado frente a Mirtha? A) Quispe - contador C) Condori - actor E)Quispe - actor B) Mamani - profesor D) Condori - contador Se sabe que las profesiones de Julia, Elena, Ruth y Peta son: profesora, nutricionista, abogada y odontóloga. ¿Quién es la abogada y quién es la odontóloga? Si: • Julia está casada con el hermano de la nutricionista. • Elena y la odontóloga van a trabajar en la movilidad de la nutricionista. • Las solteras Ruth y la profesora, son hijas únicas. • Elena y Peta son amigas de la abogada, la cual está de novia. Tres amigas: Sandra, Blanca y Vanessa, escogieron un distrito diferente para vivir y se movilizan usando un medio de transporte distinto; los distritos son: Lima, Jesús María, Rímac; y los medios de transporte son: bicicleta, moto y microbús. 1. Cuando Blanca tenga dinero se comprará una moto y se mudará al Rímac. 11. Desde que Vanessa vive en Jesús María ya no tiene bicicleta. 111. La que vive en el Rímac toma dos micros . ¿En qué distrito vive Sandra yen qué se moviliza? A) Lima - moto B) Jesús María - moto C) Lima - bicicleta D) Rímac - microbús E) Rímac - moto @ Cinco amigos: Ana, Cecilia, José, Jorge y Luisviven en un edificio de 7 pisos; cada uno en piso distinto. Ana vive en el piso más bajo y Ir..--- Cecilia en el inmediato superior L:..,;";;.L,,.-_ al de Ana. Luis vive en el 7.° piso y Jorge entre los pisos de Joséy Luis.Sien el primer piso hay tiendas y no vive nadie, y el 4.° piso está deshabitado, determine las afirmaciones verdaderas: UNI201211 @ ) B) Elena - Peta D) Ruth - Elena B) André D) Ximena A) Ruth - Julia C) Ruth - Peta E) Elena - Julia A) Anaís o André C) Faltan datos E)Anaís 1. Ana vive en el 2.° piso. 11. José vive en el 5.° piso. 111. Cecilia vive en el 3. er piso. @ Tres amigos de nombres, apellidos y ocupaciones diferentes, se reúnen en la casa de uno de ellos. De ellos tenemos, la siguiente información: 1. Samuel no es Mamani. 11. Quispe trabaja de contador. 111. El actor se llama Hugo. IV. El profesor no es Condori. V. Uno de los amigos es Carlos. A) 1; II Y 111 D) Solo I B) I Y 11 E)Solo 11 C) 11 Y111 136 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 137. En una reunión se encuentran cuatro amigos, Miguel, Carlos, Jorge y Richard, que a su vez son: basquetbolista, futbolista, obrero e ingeniero, aunque no necesariamente en ese orden. El basquetbolista que es primo de Miguel es el más joven de todos y siempre va al cine con Carlos. Jorge es el mayor de todos y es vecino del futbolista, quien a su vez es millonario. Miguel que es pobre es cinco años menor que el ingeniero. ¿Cuál de las afirmaciones es correcta? Mario, Luis e Iván viven en 3 ciudades diferentes Lima, Cusca y Tacna, estudiando una carrera distinta: Educación, Derecho y Arquitectura. Si se sabe que: • Mario no vive en Cusca. • Luis no vive en Tacna. • El que vive en Cusca no estudia Derecho . • Quien vive en Tacna estudia Arquitectura. • Luis no estudia Educación. ¿Donde vive Iván y qué estudia? @ A) Jorge - futbolista C) Jorge - basquetbolista E) Miguel - obrero A) Lima - Arquitectura C) Lima - Derecho E) Tacna - Derecho B) Richard - obrero D) Carlos - ingeniero B) Lima - Educación D) Cusca - Educación NNEL3 @ Cinco amigas: Ana, Bertha, Carmela, Diana y Eisa se van de campamento. Por la noche, se sientan alrededor de una fogata formando un círculo, separadas a igual distancia una de la otra. Sabiendo que: • Ana se sienta alIado de Bertha y Carmela. • Diana no se sienta alIado de Carmela. ¿Quién se sienta aliado de Eisa y Bertha? A) Ana y Diana B) Ana C) Diana D) Faltan datos E) Carmela @ En una mesa redonda se ubican 8 amigos : Aída, Liz, Sarn, Leo, Tea, Mía, Luz y Pía. Se sabe que Aída está al frente de Liz; Luz está a la derecha de Pía; Sam se ubica entre Lizy Pía; Leo está a la izquierda de Liz; Tea entre Aída y Mía; Leo entre Mía y Liz. Determina las proposiciones verdaderas: UNI 2012 11 1. Aída está a la izquierda de Tea. 11. Aída está a la derecha de Luz. 111. Sam está alIado de Mía. @ Seisamigos están sentados alrededor de una mesa redonda. Se sabe que: • Ana está sentada frente a Clara. • Bertha está sentada a la izquierda de Doris. • Elena está sentada a la izquierda de Frida. • Frida está frente a Doris. • Clara está junto a Frida y Bertha . ¿Quién está sentada junto a Ana y Bertha? A) Solo I D) I Y 11 B) Solo 11 E) 11 Y111 C) Solo 111 A) Clara D) Frida B) Doris C) Elena E) Falta información RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 137
- 138. • El mediocampista y Beta estudian inglés con César. • Elmer es el delantero derecho ¿Quién es el defensa derecho? @ Seis amigas se sientan alrededor de una mesa circular con asientos distribuidos simétricamente. Sesabe que: • Doris no está sentada frente a Carlota ni a Estela. • Carlota está sentada junto y a la derecha de Ángela. • Ángela está sentada frente a Blanca. • Doris está aliado de Estela. ¿Quién está frente a Frida? A) Fredy D) Antonio B) César E) Elmer C) Beta Cuatro amigas tienen diferentes mascotas y diversas ocupaciones. Sesabe que: • Ana no es bailarina y no le gustan los gatos. • Bety, Carla y la cantante estudiaron primaria con Doris. • Bety no es pintora y no le gustan las tortugas. • La dueña del gato y Carla no son actrices. • La dueña del loro y Ana no son pintoras. • Doris le ha preguntado a la actriz, si su perro está vacunado. ¿Quién es la actriz y quién tiene aliara? B) Carla - Bety D) Ana - Bety C) Dora B) Emma E) Beatriz A) Ada D) Claudia @ Cinco compañeras desean com- prarse un electrodoméstico dife- rente cada uno. Sabiendo que: • Ada, Beatriz y la que compró la cocina viven en el mismo distrito. • La que compró el televisor, la que compró el refrigerador y Dora, pagaron al contado. • Claudia no sabe si comprar la cocina o el horno a microondas. • Emma tiene dinero solo para comprar el televisor a color o la cocina. • Dora no quiere la lavadora ni la cocina. • Beatriz no quiere el televisor a color ni la lavadora. • Ada no quiere el televisor a color. ¿Quién compró el refrigerador? C) Estela B) Ángela E) Doris A) Bety - Carla C) Doris - Carla E) Bety - Ana A) Carlota D) Blanca @ Un grupo de 6 amigos conforman un equipo de fui bita. Sesabe que: • Antonio, Césary Elmer son vecinos del defensa izquierdo. • Elarquero, el mediocampista y David, tienen la misma edad. • Beta no juega de defensa. • Fredy no es delantero ni defensa. • César es arquero o mediocampista @ Los obreros Alberto, Bernando, Camilo, Daría y Elmo trabajan en una fábrica desempeñando diversas actividades, tales como chofer, almacenero, portero, despachador y maquinista; además: • Alberto puede desempeñarse como almacenero, portero o despachador. • Bernardo puede desempeñarse como almacenero, portero o maquinista. • Camilo puede desempeñarse como chofer o almacenero. 138 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 139. • Darío puede desempeñarse como despachador. • Elmo puede desempeñarse como almacenero o despachador. ¿Quién es el que se desempeña como maquinista? @ Tres turistas: Mónica, Paola y Rita, nacidas en Colombia, Ecuador y Chile seencuentran paseando por la plaza de armas de Lima y están hospedadas en Miraflores, Lince y Surco. Además : • Mónica no nació en Ecuador y se hospeda en Lince. • Rita es chilena y no se hospeda en Surco. Entonces: A) Mónica es ecuatoriana. B) La que nació en Ecuador se hospeda en Lince. e) Rita se hospeda en Surco. D) La que nació en Chile se hospeda en Surco. E) Paola es ecuatoriana. e) Darío B) Elías E) Ántero A) Federico D) Bias @ Seis jugadores de fútbol: Ántero, Bias, Claudio, Darío, Elías y Federico juegan para un equipo de fulbito. Sabiendo que: • Ántero, Biasy el arquero tienen la misma edad. • Claudio es el defensa derecho. • Ántero, Darío, Federico y el defensa izquierdo gustan del rock. • Bias, el delantero derecho y el defensa izquierdo son hinchas del Boca Junior. • Darío, el delantero derecho y el arquero usan el mismo tipo de zapatillas. • El mediocampista está enamorado de la hermana de Bias. ¿Quién es el delantero izquierdo? e) Bernardo B) Camilo E) Darío A)Elmo D)Alberto @ Marisol, Rosario y Patricia nacieron en mayo, agosto y noviembre de los años 1998, 1999 Y2000, fiu~ no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: • Las tres nacieron en meses y años diferentes. ..J • Marisol es la menor. • La mayor nació en noviembre. NIVEL 1 9.A 17. A 25. D • El cumpleaños de Rosario coincide con el Día LE 10. e 18. E 26. E de la Madre del presente año. 2. B NIVEL2 19. D 27. e ¿En qué mes y año nació Patricia? 3. B 11. e 20. B 28. E 4. e 12. E NIVEL 3 29. e UNMSM 2010-11 5. E 13.D 21. e 30. D A) Mayo de 1999. B) Mayo de 1998. 6. B 14. A 22. D e) Noviembre de 1998. D) Agosto de 2000. 7. e 15.A 23. E E) Noviembre de 1999. 8. E 16. D 24. A RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 2 139
- 140. El matemático demuestra. Pero hay distintos caminos para llegar a la demostración, algunos son más cortos, otros más largos, algunos son ingeniosos, otros monótonos y repetitivos, algunos son de los que te hacen pensar y dar un buen rodeo hasta llegar a la prueba y otros, bueno, en otros puedes coger el atajo del profesor. Sin embargo, son más gratificantes los que haces sin ayuda, además, no siempre vas a tener a alguien que tenga la llave de la demostración. o • • • • • , o o o • • • • - . I '.~ o o ........ , , , ". wv , , • , o
- 141. -. M a tE! m ~ ti e a rE! e rE! a tlva 200 ¡ i i i i i i i I 110 100 - - - - - - - - - d --------~ Ii i ii ¡ i i i i Ii I i i i o Paradoja de Aquiles y la tortuga Aquiles y una tortuga juegan una carrera. La distancia a recorrer es de 200 metros. Como la velocidad de Aquiles es 10veces la velocidad de la taruga, arreglan que le daró 100 metros de ventaja. Los dos se ponen en posición, y empieza la carrera. Aquiles empieza a correr, y avanza los 100 metros que le dio de ventaja a la tortuga. Pero en ese tiempo, la tortuga ya avanzó 10metros, de modo que todavía lo aventaja . Cuando Aquiles recorre esos 10 metros, la tortuga ya avanzó 1 metro mós. Aquiles sigue corriendo y avanza ese metro, pero la tortuga en el mismo tiempo ya ha avanzado 10 centímetros. Así siguen corriendo, sin que Aquiles pueda alcanzar nunca a la tortuga.
- 142. ~~ Sucesiones DEFINICIÓN Número de términos (n): n =tn-t1 + 1 r Ejemplo: Halla el número de términos en: 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 ; ...; 62 <:» <::» <:» '-/ 4 4 4 4 r = 4; t1 = 6; tn = 62 Es un conjunto de números o letras cuyos elementos están ordenados de acuerdo a cierta relación llamada "ley de formación o de recurrencia". Los elementos de este conjunto se llaman términos de la sucesión. Las sucesiones pueden ser: 1. Sucesiones numéricas 2. Sucesiones alfabéticas 3. Sucesiones gráficas n = 62 4 - 6 + 1 => n = 15 SUCESIONES NUMÉRICAS Es una sucesión formada exclusivamente por números cuyos elementos guardan entre sí una determinada relación . Sucesión de primer orden También se le conoce como sucesión lineal o progresión aritmética (PA). Ejemplo: l 32 <c:> +5 r =5 5.0 2.0 3.0 4.0 l 17 22 27 <c:> <c::> +5 +5 l 12 <c:> +5 1.0 ... Término central (te) t - t1 + tn e - 2 Ejemplo: Halla el término central en: 13 ; 16 ; 19 ; ... ; 163 3 3 r =3; t1 =13; tn = 163 t - 13 + 163 => t - 88 "'- 2 e - Luego: tl = 12 t2 = 17 ~ t2 = 12 + 5(1) t3 = 22 ~ t3 = 12 + 5(2) t4 = 27 ~ t4 =12 + 5(3) ts = 32 ~ ts = 12 + 5(4) t n = ? ~ t n = 12 + 5(n - 1) l l t l r Por lo tanto, el término enésimo se calcula así: [ t n =t l + (n - l)r l Donde: tl: primer término t.,; término enésimo n : número de términos r : razón 142 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 143. Ejemplo: Halla el término enésimo en: 86; 83; 80; 77; ... Resolución: 86 ; 83 ; 80 ; 77 "--.../ "--.../ "--.../ - 3 - 3 - 3 r =- 3; tI =86 t n =86 + (n - 1)(-3) t., =86 - 3n + 3 t n =89 - 3n Sucesión de segundo orden También se le conoce como sucesión cuadrática. Su término enésimo es de la forma : [ tn =an 2 + bn + c 1 Donde a, b y e son valores constantes, los cuales podemos determinar mediante la siguiente regla: to ... tI ; t 2 ; t3 ; t4 ; ts ...; t, <::« <::> <:> <:> <:> Po . PI P2 P3 P4 ~ <:> <:> <::> r .. r r Ejemplo : Halla el término enésimo en: 4; 10; 20; 34; 52; ... Resolución: 2 '. 4 ; 10 ; 20 ; 34 ; 52 <::« <:> <::> <:> <::> 2 ... 6 10 14 18 ~ <::> <:> <::> 4 '. 4 4 4 a =.i =2' b =2 - 2 =O' e =2 2 ' , t, =2n 2 + On + 2 .. tn =2n 2 + 2 Sucesión geométrica También se le conoce como prog resión geométrica. Sutérmino enésimo es de la forma : tn =tIqn - I:=J Donde : t 1: primer término t.,: término enésimo q: razón de la PG Halla tn Y el vigésimo término, en: 2',; 7 ; 16 ; 29 ; 46 ; ... V <:» '-../ <:» 5'., 9 13 17 a = .i =2' b =5 - 2 =3 2 ' c=2 Luego : tn =2n2 + 3n + 2 t20=2(20)2+ 3(20) + 2 .'. t20 = 862 .. . En una PG se cumple que el producto de términos equidistantes tiene un re- sultado constante. • Si la PG tiene un número impar de términos; enton- ces el término central es igual a la raíz cuadrada del producto de los extre- mos. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 143
- 144. Ejemplo: Halla el término enésimo en: 40; 10; ~; ~; ... Resolución: 10 5 5 2 8 <:.> <:> <:> xl. xl. xl. 4 4 4 40 .. - Toda sucesión alfabética no tiene fin, pues si llega a la Z, continúa A, después B, luego C, es decir, se repite el alfabeto, asi: X; Y; Z; A; B; C... 1 t 1 = 40 1 q =- 4 (l)n -l :. t n =40 "4 SUCESIONES ALFABÉTICAS Son sucesiones cuyos términos son letras que guardan una determinada ley de formación. Ejemplos: 1. ¿Qué letra continúa en la sucesión B; L; E; O; H; S; K;...? MNÑ PQR TUV ~~~ B;L ;E;O;H;S ;K; @ ~~~ CD FG IJ 2. Determina el término que continúa, en: B; Y; F;T; J; O; ... • • Sentido convencional de giro: CDE GHI KLM ~~~ B ; Y ; F ; T ; J ; O ;@ ~~ UVWX PQRS Sentido ) antihorario SUCESIONES GRÁFICAS Sentido horario ) Son aquellas que están conformadas por figuras ordenadas de acuerdo a ciertos criterios que determinan cada figura de la sucesión. Ejemplos: 1. ¿Qué figura sigue en la sucesión? 2. ¿Qué figura continúa en la sucesión? [2SJ 0 D ~ +o ~ - + ~D _ - • D . ° . + • J , J I · " [2SJ + D Respuesta: - C] el[~l [2]... Respuesta: 121 144 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 145. Problemas . . ¿Qué número sigue en la sucesión 1; 2; 6; 15; 33; 66; ...? Resolución: • En una progresión aritmética de razón 2/5, el déci- mosexto término es 40. Halla el primer término. Resolución: 1 ; 2 ; 6 ; 15 ; 33 ; 66 O <:> '-../ <:> <:> '-../ <:> +1 +4 +9 +18 +33 56 <:> <:> <:> <:> <:> +3 +5 +9 +15 +23 <:> <:> <::> <::> +2 +4 +6 +8 '-../ <:> <:> +2 +2 +2 .'. El número que sigue es: 66 + 56 = 122 Sea la sucesión t1; t2; t3; .. . ; t1S ; 40 I cuya razón es 2/5. I Sabemos que: tn = t1+ (n - l)r Reemplazando : ~= t1+ (16 - 1) ~ 2 40 =t 1 + 15 X 5 40 =t 1 + 6 .'. t1=34 o ¿Qué letra sigue en la sucesión A; C; G; M; ...? Resolución: • El 6: término de una PG es 48 y el 12: término es 3072. Halla la razón. Resolución: (11) + (1): A ;C;G;M; O '-....--/ '-....--/ <::> '-....--/ B D H N E I Ñ F J O K P L Q R S . . La letra que sigue es ''1''. Sea : t1;t2; ...; ts; 48; t7; ...; t l1; 3072 la progresión geométrica cuya razón es "q", Sabemos que: t n = t1q'' - 1 n = 6 => t6= t1qS (1) n = 12 => t12= t1ql1 (11) 11 t12 t1q ~ = t1qS 3072 = q6 => 64 = q6 .'. q = 2 48 1 + 9a = 1 + 33a 1 + a 1 + 9a la progresión aritmética de razón "a". Según enunciado: t2; tlO y t34 forman una progresión geométrica. o Halla la razón de una progresión aritmética cuyo primer término sea la unidad, tal que los térmi- nos de lugares 2; 10 Y 34 formen una progresión geométrica. Resolución: ; t lO ; ... ; t 34 ! 1 + 33a 1 + 9a 1 l+a Sea: t1; t2 ; ! ! En toda progresión geométrica el cociente de dos términos consecutivos es constante: k - 3 2k + 9 = 3k + 1 k - 3 k 2 - 6k + 9 = 6k 2 + 29k + 9 5k 2 + 35k = O 5k(k + 7) = O 5k = O V k + 7 = O Resolución: . . En la siguiente progresión geométrica, halla el valor de k: (3k + 1); (k - 3); (2k + 9); ... :10 .'. k =-7 Operamos y resulta : a = ~ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 145
- 146. o En una PG creciente de tres términos, se multiplica el primer término por 4, el segundo por 7 y el tercero por 6, obteniéndose una PA. Halla la razón de la PG. Resolución: Sea: t1;t1q; t1q21a PG creciente. Semultiplica al primer, segundo y tercer término por 4; 7 Y 6, respectivamente. 4t 1; 7t1q; 6t1q2 forman una PA, entonces la diferencia de dos términos consecutivos es constante: 2 7t1q - 4t 1= 6t1q - 7t1q 2 14t1q = 6t1q + 4t1 7q = 3q2 + 2 3q2 - 7q + 2 = O sc ; t/ - 1 q A -2 :. q=2 o Enuna progresión geométrica de 4 términos positi- vos, el producto del primer término y tercer térmi- no es 196. Si el producto del segundo término con el cuarto término es 144, halla el cuarto término. Resolución: o Si: 2x + 2x+ 3; 112 están en PA, calcula el tercer término de la siguiente PG : x2 . 3m - 12' m2 , r Resolución: La diferencia de dos términos consecutivos de una PA es constante: 2x+ 3 _ 2x+ 1= 112 _ 2x+ 3 2 . 2x+ 3 _ 2x+ 1= 112 2x+ 1(2 . 22- 1) = 112 2x+ 1. 7 = 112 2x + 1 =16 2x + 1 =24 ~ X =3 Luego, la PG será: 9; 3m - 12; m 2 El cociente de dos términos consecutivos de , una PG es constante: 3m -12 m2 ..::..:...:-,--::--==- =--::--..:...:..:.--,-- 9 3m-12 9m 2 - 12m + 144 = 9m2 72m = 144 ~ m = 2 : . t3=m 2=22=4 2 3 Sea: t1;t1q;t1q ;t1q la PG cuya razón es "q". Finalmente, la sucesión es: t1 ; t1q ; t1q2 ; t1q3 t . 14 . 12 . t q3 l ' r ' 1 <c:> <c:> <c:> Datos: 2 t1 X t1q = 196 ti q2 = 196 t 1q =14 3 t1q X t1q = 144 ti q4= 144 2 t 1q =12 @!) En la siguiente PA: 3; ...; 23; o •• ; 75, el número de términos que existe entre 3 y 23 es la tercera parte del número de términos que existe entre 23 y 75. Calcula la diferencia entre la razón y el número de términos de la PA. Resolución: Según enunciado: ( n.ode términos) = 1.(n. o de términos) entre 3 y 23 3 entre 23 y 75 23 - 3 + 1- 2 = 1.( 75 - 23 + 1- 2) r 3 r q q q ~ q=.§.. 7 n." de términos 75 - 3 Luego: de la PA = -4-+ 1 = 19 1 Piden: n." términos - razón 19 - 4 = 15 146 Inte/ectum Evolución 4. o
- 147. 1. Halla x, en: -1; 1;4;9; 17;x 2. Halla x, en: 2;4;7;8; 12; 12;x A) 29 B)20 Cl 27 0)25 E)24 A) 16 B)20 Cl 17 0)18 E)13 3. Halla la letra que continúa, en: A; O; G; J; M; ... 4. Halla el término que sigue en la sucesión: 2; 5; 11; 23; 47; 95; ... A)O B)R ClC O)J E)P A) 210 B) 188 Cl 191 0)120 E) 204 s. Indica el número que continúa, en: 2; 7; 22; 67; ... 6. ¿Qué número sigue en la sucesión 3; 7; 15; 31; ...? A) 207 B)202 Cl 201 0)205 E) 200 A)36 B)93 Cl 63 0)55 E) 129 7. ¿Qué número sigue en: 15; 19; 28; 44; ...? 8. Calcula x + y, en: 1;5;4; 1Ü;7; 17; 1Ü;26;x;y A)45 B)80 Cl 69 0)52 E)70 A) 48 B)54 Cl 50 0)52 E) 46 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 147 - - - - - -
- 148. 9. Halla x, en: 2; 10; 13; 12; 8; x 10. Halla x, en: 6; 14; 14; 14;32; 96;x A) S B) 14 C)7 0)2 E)3 A) 204 B)244 C) 184 0)196 E)214 11. Halla la figura que sigue en la sucesión: ~~~~ • • . . .. . J I I / ••• 12. Calcula el número de términos de la sucesión: 2; 5; 8; 11; ...; 95 A) ~ O)~ B) ~ E) ~ A) 90 8)64 C) 32 0)30 E)20 13. Halla el término enésimo de: 4; 13; 28; 49; ... 14. Halla el valor de x en lasiguiente sucesión aritmética: 5; (20 - 2a); ...; (2a + 40); 11x B) 2n + 3 E)n 2 + 3 C) 2n + 2 A) S B) 6 C)7 0)8 E)9 el '" « u en c::i ... N ......... '" u u u &ti <ti ,...: 00 En un laboratorio, se estudian dos tipos de bacterias por separado. Las del tipo A, el L'" día son 3; el 2: día aumentan a 6, el 3. er día son 11; el 4: día son 18 y así sucesivamente. Las del tipo B, el mismo l.er día son 10; el 2: día son 11; el 3.er día son 13; el 4: día son 16 y así sucesivamente. Halla el día en que las bacterias del tipo A son el doble de las del tipo B. Rpta.: 18 148 Intelectum Evolución 4.o
- 149. NIVEL' CD ¿Qué número sigue en la sucesión? 13; 20; 28; 37; 47; ... o ¿Qué número sigue en la sucesión? 60; 12; 3; 1; ... A) 56 A) 1 B)60 C) 59 C).1 3 0)58 E) 63 J .s:> (j) Halla el término que continúa : 1. i. 3. 2' 2' '2' r ... A) ~ B).L 2 2 E) .L 4 ® ¿Qué número continúa? 1; 11; 21; 7; 17; 27; 13; 23; ... C).i 3 ® ¿Qué letra continúa en la sucesión? K; M; Ñ; P; R; T; ... A)39 0)33 B)49 E) 29 C) 59 G) Halla la suma de los dos términos que continúan : -3; O; O; 2; 3; 4; 6; 6; ... A)V A) 16 B)W B) 17 C)Q C) 18 0)0 O) 19 E)O E) 11 ® Indica la figura que sigue: El~;~;~;... JO B)g q§ O) ~ E) [Q] ® ¿Qué número sigue en la sucesión? 1; 9; 12; 11; 7; ... A)15 B) 12 C)1 O) 11 E)8 @ Halla el término enésimo de la siguiente sucesión: x; 4; 11; 18; Y ® ¿Qué número sigue en la sucesión? 1; 2; 3; 5; 11; ... A) 37-10 O) 7n - 10 B) 5n + 7 E) 7n - 4 C) 4n + 5 A)25 0)30 B)35 E) 20 C) 15 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 149
- 150. @ Halla; x - V, de: 2; 1; -1; -2; -4; 4; -7; -8; -x; V NNEL2 @ De la siguiente sucesión; halla la suma de cifras del número que sigue: 13; 16; 21; 29; 41; ... A) 10 B) -6 C) -4 D)4 E) 6 A)12 B)15 C)13 D)18 E) 10 @ ¿Qué letra sigue en la sucesión? B; E; H; K; ... @ Halla el número que continúa: 2. I: 2. 5 . , '3'W"" A) ~ B) .L C) l D) .l: E) 8 15 20 17 30 A)L B) M C)N D)J E)O @ Halla el término que continúa: 1; 3; 4; 7; 11; 18; ... @ Dada la sucesión : 2; 5; a; 11; 14; b; ... Halla el valor de: b - 2a A) 35 B)29 C) 38 D)40 E)22 A) 1 B) 2 C)3 D)5 E) O @ ¿Qué número continúa? 2; 3; 1; 4; O; ... @ Halla x, en: l. l . 5' 13' 30' X 4' 2" r r A) 65 B)78 C) 67 D)81 UNI200S I E) 55 A) 1 B)5 C) 12 D)-l E) 3 @ Halla x + V, de sucesión: 5' 64 . 1210 . 1522 . 6046 . XV " J , , @ ¿Cuáles el producto de los dos términos siguientes en la sucesión mostrada? 4; 11; 8; 7; 12; 3; 16; -1; ... A) 157 B) 158 C) 159 D)160 E) 161 A) - 100 B)20 C) -8 D) 12 E) -20 NNEL3 @ ¿Cuál es el término que sigue en la sucesión? NA; JC; FF; ... 150 Inte/ectum Evolución 4. o A) AJ B)AK C) BK D) BJ E) Al
- 151. . - -_._-_._--_.') I @ Indica la letra que corresponde a la primera posición en la sucesión : oo.; M;5;V; U @ Halla x + y, de la sucesión : x; 1; 19;4S; 7S; 107; Y A) 130 B) 133 C) 136 D) 139 E) 141 @ En la siguiente sucesión geométrica: 1. x: y' 1 . 2' r '8' ... calculael término que ocupa el lugar decimonoveno. 1 1 1 1 1 A) 15 B)12 C)13 D)14 E) 11 2 2 2 2 2 ~---- I " @ ¿Cuántos términos de la sucesión tienen raíz cuadrada exacta? 13; 16; 19; ...; 613 A)7 B) 2 C)6 D)10 E) 14 A) B B)C C)F D)G E)J @ En la sucesión aritmética; ¿cuántos términos son cubos perfectos? 7; 14; 21; ...; 343000 @ ¿Qué letra sigue? T; M; I;G; ... A)7 B)18 C)2 D) 10 E) 9 A) B B)C C)D D)E E) F @ Enla siguiente sucesión; calcula el décimo término. 2; 10; 30; 62; 106; ... @ ¿Qué letra continúa? X; O; 1; D; ... @ Halla M + N + P, en la sucesión : -M; 2; 8; 12; 19; NP; 30; 32; 41 A) B A) S B)C B) 6 C)Q C)7 D)A D)8 E) S E) 9 A) 604 NIVEL 1 1.D 2. B 3. A 4. B 5. e 6. B 7. A 8. D B)606 9. E 10. D NIVEL 2 11. e 12. e 13. A 14. A 15.A 16. B C) S04 17. A 18. B 19. B 20. e NIVEL 3 21. D 22. D 23.A 24. D D)706 E)S06 • 25. D 26. e 27. e 28. E 29. D 30. E RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 151
- 152. Veamos una aplicación : Halla el valor de 8: 8 = 3 + 6 + 9 + 12 + ...+ 207 '-'" <:» '-'" 3 3 3 n = 207- 3 + 1 =69 3 r!!J Series y sumatorias SERIES Es la suma indicada de los términos de una sucesión, cuando tenga sentido la suma. Sea la sucesión numérica: t1; t2; t3; t4; ... ; tn Donde tn es el término enésimo de la misma. Ejemplos: 1. S=1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ~ serie finita 2. M =2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... ~ serie infinita Luego: 8= (3+}07)x 69 .'. 8 =7245 Entonces, la serie es: Serie aritmética Dada una sucesión aritmética: Entonces la serie aritmética es: Sn =t1 + t2 + t3 + ...+ tn <:« <:« +r +r Veamos un ejemplo: Halla el valor de 8: 8 =2 +4 +8 +16 + ... Sesabe que: Despejando "n": Luego: Donde: Sn : valor de la serie n : número de términos t1 : primer término t - t n= _n __ l +1 r -(~) Sn - 2 n t.,; último término r : razón aritmética 12 términos 8 =2 +4 +8+16 +... '-'" '-'" '-'" x2 x2 x2 8 = ( 2 12 -1 ) x 2 2-1 .'. 8 = 8190 Serie geométrica Serie geométrica finita Dada una sucesión geométrica finita: t1; t2; t3; ... ; tn Entonces la serie geométrica es: Sn =t1 + t2 + t3 + ... + tn ~~ Xq Xq Donde: Sn: valor de la serie n : número de términos Se sabe que: Luego: tn: último término q : razón geométrica 152 Inte/ectum Evolución 4. o
- 153. Atención Ejemplo: Halla el valor de S: 8=8 +2 +.1+.1 2 8 '--" '--" <:» 1 1 1 "4 "4"4 8 = 1~.1 4 . 8 =E. .. 3 s= t1 + t2 + t3+oo. -:» '-..Jf Xq Xq Luego: [ S ~ ---.!L . 1-q Entonces la serie es: Series notables 1. Suma de los "n" primeros números naturales consecutivos. _ n(n + 1) S=1+2+3+4+ oo.+n 2 "n" términos Serie geométrica decreciente infinita Dada una sucesión decreciente infinita (la razón "q" / 0< [q] < 1) t1; t2; t3; .oo 2. Suma de los "n" primeros números pares consecutivos. • • S = 2 + 4 + 6 + 8 + oo. + 2n = n(n + 1) "n" términos Para fines prácticos, el último término se iguala a 2n, y despejando se obtiene el valor de "n". 3. Suma de los "n" primeros números impares consecutivos. S = 1 + 3 + 5 + 7 + oo. + (2n - 1) = n 2 "n" términos Para fines prácticos. el último término se iguala a 2n - 1 Yse despeja "n". 4. Suma de los cuadrados de los "n" primeros números naturales. S = 12 + 22 + 32 + 42 + oo. + n2 = n (n + 1)(2n + 1) 6 "n" términos Para fines prácticos, el último término se iguala a n2 y se despeja "n". 5. Suma de los cubos de los "n" primeros números naturales. S =,13 + 2 3 + 33,+ 43 + oo. + n,3 = rn (n2+1) r "n" términos Para fines prácticos, el último término se iguala a n3 y se despeja "n". 6. Suma de los "n" primeros productos de dos números consecutivos. S = 1 X 2 + 2 X3 + 3 X 4 + oo. + n(n + 1) = n (n + 1) (n + 2) 3 7. Suma de potencias. [ S =1+ a+ a' + a3 + a' + ...+ a" =a0+ 1 _ 1 . a-1 8. Suma de los términos de una serie geométrica decreciente ilimitada. S = t1 + t2 + t3 + t4 +oo. <:« <:« <:« Xq Xq Xq [ S - '1 1 1-q También: 8 = a + a2 + a3 + ... + an a'' "1 _ a 8 = - - - a -1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 153
- 154. SUMATORIAS La suma de los términos será: m tn + tn+ 1 + tn+ 2 + tn+3 + ... + tm = ¿ t¡ i= n ,Recuerda La expresión en el lado de- recho de la igualdad se de- nomina "sumatoria" y consti- tuye una forma abreviada de escribir la serie. • • Donde: L:notación sigma. Nos representa la suma de los términos de la forma ti de dicha sucesión. ti : nos representa uno de los términos de la sucesión, dependiendo del valo r de i. i = n ~ ti = tn i = n + 1 ~ t¡= tn+ 1 i = n + 2 ~ ti = tn+ 2 i = m ~ ti = t m i toma valores desde n hasta m. i = n ~ límite inferior de la sumatoria i = m ~ límite superior de la sumatoria Propiedades 1. Número de términos de la sumatoria. it ti ~ [ n.o términos = m -n + 1 2. Si k es un valor constante. m m ¿kt¡ = k¿t¡ ¡=n i =n ai; b,son términos que dependen de la variable i. Veamos algunos ejemplos: 80 ~) => N : términos ; =23 =80 - 23 + 1 =58 3. i=n ¡=n i=n 4 • ~)3i + i2) i =1 4 4 =¿3i + ¿i2 i ::;1 i ::;1 4. Sumatoria de una constante (k = cte.) m ¿k = k (n." términos) = k(m - n + 1) ¡= n 8 ¿10 =10(8- 4 + 1)= 50 i = 4 5. Desdoblando la sumatoria. m n -rp m ¿ti = ¿t¡+ ¿ ti i =n i= n ¡=n+ p+l 154 Int:e/ectum Evolución 4.o
- 155. 1 - .. Problemas . . Si: Si = 1 + 5 + 9 + ... + a 20 términos S2 = 3 + 7 + 11 + ... + b Igualamos n 2 + 8 y 177 para calcular el núme- ro de términos. n 2+8=177 n 2 = 169 ~ n = 13 15 términos Halla: Si - S2 Resolución: Hallemos el vigésimo término de Si a = 1 + {20 - 1)4 a = 1 + 19 X 4 a =77 Luego: Si = ( 1 +2 77 ) X 20 Si = 780 Hallamos el décimoquinto término de S2: b = 3 + {15 - 1)4 b = 3 + 14 X 4 b =59 Luego: S2 = ( 3 +2 59 ) X 15 S2 = 465 Piden: Si - S2 = 780 - 465 = 315 o Calcula el valor de "S": S = 9 + 12 + 17 + 24 + ... + 177 _ n (n + 1){2n + 1) + 8n 6 7 9 =13 x .14x l1 +8 X13 )3' 2 = 13 X 63 + 104 .' . S = 923 • Halla el valor de S: S = 7 + 77 + 777 + ... + 777 ... 77 20 cifras Resolución: Multiplicamos por ~ : 9 7S = 9 + 99 + 999 + ... + 999 ... 99 ~ S = (lO - 1) + (10 2 - 1) + (10 3 - 1) + ... + (102o - 1) Resolución: ® 9 12 17 24 '-.....->: "--.-/ "--.-/ "--.-/ CD ,3 5 7 <i:» "--.-/ "--.-/ 0 , 2 2 r = 2; Po = 1; to= 8 a=.f-=l·b=l-l=O· c=8 2 I I Luego: tn = n 2 + 8 177 2.s = 10 + 10 2 + 103 + ... + 1020 - 20 7 21 2.s = 10 - 10 - 20 7 10-1 21 2.s = 10 -10 _ 20 7 9 2.s = 10 21 - 10 - 180 7 9 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 155
- 156. • Halla el valor de "S", si: 1 1 1 1 S = 9+2'7+81+ 243 + OO. Resolución: . t Aplicando: SL = -1 1 -q 1 S=_9_ 1 1-- 3 . S - 1 .. -"6 Reemplazamos: k = 19 P = 19 (19 + 1)(2.19 + 1) + 19(19 + 1) + 19 6 :. P = 2869 • La suma de todos los números naturales desde "n" hasta "Sn" es 1230. Calculael valor de "n" y da como respuesta la suma de sus cifras. Resolución: Sea la serie : n + ... + sn • Determina el valor de "a", si: 9 ¿)k - a) =18 k =1 Resolución: Aplicando propiedades de sumatorias: 9 9 ¿)- ¿) =18 k =1 k=1 k(k +1) -ak=18 2 9(10) _ 9a = 18 2 45 - 9a =18 27=9a:. a=3 o Calcula el valor de P, si: 19 19 19 P = ¿)2k2+ 6) - ¿)k2- 4) + ¿)2k - 9) k =1 k =1 k =1 Resolución: Expresando en un solo índice: 19 P = ¿ (2k2+ 6 - (k2- 4) + 2k - 9) k =1 19 P = ¿ (2k2+ 6 - k2+ 4 + 2k - 9) k =1 19 19 19 19 P = ¿(k 2+2k+1)= ¿k2+2¿k+ ¿1 k =1 k=1 k =1 k =1 P _ k(k + 1)(2k + 1) 2k(k + 1) k - 6 + 2 + 156 Intelect:um Evolución 4.o [Sn - n + 1) términos Por dato: suma = 1230 (n ;sn )(sn - n + 1) = 1230 3n(4n + 1) = 1230 n(4n + 1) = 410 n(4n + 1) = 10 X 41 ~ n =10 : . Suma de cifras = 1 + O= 1 21 e Si: ¿(n3 - n) = cabar n=2 halla: a + c + a + b + a + r Resolución: Aplicando propiedades de sumatorias: 21 21 ¿n3 - ¿n = cabar n=2 n=2 rn(n2+ 1)r-1 - { n(n2+ 1) - 1} = cabar rn(nt1)r-1- n(n2+ 1) + 1 = cabar Reemplazando: n = 21 (21 (~) )2 21(~) _ - b- - - ca ar ;¿ Z 53361 - 231 = cabar 53 130 = cabar
- 157. ( I e = 5 ; a = 3; b = 1; r = O Piden: a + c+ a + b+ a + r= 3+ 5+ 3+ 1+ 3+ O= 15 o Calcula el valor de S, si: 58 ¿(2k + 1) k= 1 5= 36 30 ¿(5k - 3) - ¿(5k + 27) k= l k= l Resolución: Calculamos cada sumatoria 58 58 58 ¿(2k+ 1) = 2 ¿k+ ¿1 k= l k= l k=l =1 k(k + 1) + k 1 = 58(59) + 58 =3480 36 36 36 ¿(5k-3) = 5 ¿k-3 ¿1 k=l k=l k= l = 5k(k + 1) _ 3k 2 18 = 5 .J{5(37) _ 3(36) 2 = 3330 -108 = 3222 30 30 30 ¿(5k+27) = 5 ¿k+27 ¿1 k=l k=l k=l = 5k(k + 1) + 27k 2 = 5 .3{l(31) +27(30) Z = 2325 + 810 = 3135 Reemplazando: S 3480 3222 - 3135 .'. 5=40 @!) Calcula "A + B", si: j !In" té ~m inos 111 + 113 + 115 + oo . + A = 11 f+3+5 +7 + ... + B , "n'' términos Resolución: Calculamos los valores de Ay B: A = 111 + (n - 1) X 2 A = 111 + 2n - 2 A = 2n + 109 B =1 + (n - 1) X 2 B= 1 + 2n - 2 B= 2n-1 Reemplazando: ( 111 + 2n + 109)n 2 =11 (1+ 22n- 1)n 2n + 220 = 11 2n 2n + 220 = 22n 220 = 20n ~ n = 11 Luego. A = 2(11) + 109 ~ A = 131 B= 2(11) - 1 ~ B= 21 .'. A + B= 152 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 157
- 158. 1. Calcula: 20 2)2 k =8 2. Calcula: 22 ¿(3a-1) a =8 A) 2620 D)2760 B)2370 E) 2730 C) 2340 A) 680 B)690 C)610 D)660 E) 670 3. Calcula: S =1 + 3 + 5 + ... + 99 4. Calcula el valor m en la siguiente igualdad: 2 + 4 + 6 + 8 + ... + m =600 A) 1350 D)3600 B)2500 E) 1200 C)4326 A)48 B)35 C)42 D)54 E) 62 5. Halla el valor de "M": M =2 3 + 4 3 + 6 3 + 8 3 + ...+ 40 3 6. Calcula la suma de los 25 primeros términos de la serie: S=1 - 4 + 9 - 16 + 25 - ... A) 352 800 D) 358 200 B) 345 600' E) 34 528 C) 350400 A) 325 D)175 B) -325 E) -175 C) 625 7. Calcula el valor de "S": S =1 2 - 3 2 + 52 - 7 2 + ...(20 términos) 8. Halla el valor de "M": A) 700 D)600 B) -420 E) -800 C)- 440 A)2 2 3 B) -- 5 C)-ª- 3 D)~ 3 2 E) - - 3 158 Inte/ect:um Evolución 4.o
- 159. · , , ~ ~ ~, " ".J¡~{;;" ~ ',," f 9. Halla "S" : 6 10 14 18 S =3"+9+2"7+81+'" 10. Halla el valor de M, en: M =2 + 11 + 33 + 74 + 140 + oo. 20 sumandos A) 13/3 B) 4 C)5 D) 12/5 E) 3 A) 33 200 D)38 500 B) 51200 E)45 640 C)44100 11. Determina la suma de las áreas de los infinitos cuadradosformados como muestra la figura (el lado del cuadrado es la mitad del lado del cuadrado anterior). @ >--- 4a -----l 12. Halla el valor de S, si: S =1 X 2 + 2 X S + 3 X 10 + 4 X 17 + ' oo + 10 X 101 A) 3500 D)4100 B)2800 E)3100 C)3080 13. Calcula: 20 12 ¿ ¿8 k=lk =l 14. Calcula: 5-_1 2 3 4_ 30 - 2 x3 + 3 x 5 + 5 X 8 + 8 X 12 +... + 437 X 467 A)1920 D)3430 B) 1450 E) 2150 C) 2180 A) 911 412 D) .! 9 Calcula el valor de x; si: B) 465 934 E) 121 331 C) 311 1217 n n ¿ (2k - 1)(2k + 1)] + n =x ¿k 2 k=l k =l Rpta.: 4 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 159
- 160. NIVEL , o Halla el valor de x en: 4+7+1O+ ... + x = 175 9 o Calcula: ¿(12 - k) k= 4 A) 39 B)28 C) 35 D)24 E) 31 A)55 D)33 B)48 E)42 C) 36 11 o Calcula: ¿ 2k k =5 A) 66 B) 118 C) 56 D)224 E) 112 o ¿Cuántas campanadas da un reloj en un día si señala cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada? o Halla la suma de todos los números pares positivos menores que 100. A) 156 D)200 B) 180 E) 144 C) 190 ® Calcula el valor de: so 40 ¿(k)+ ¿(p) k=l p=l A) 2550 D)5100 o Calcula: 10 ¿(2k + 1) k = 1 B)2450 E)5250 C) 4900 A) 1275 D)2095 B)3042 E) 48 762 C) 62053 o ¿Cuál es la suma de todos los números impares positivos de dos cifras? ® Determina el valor de S en: S = 2 + 5 + 10 + 17 + ... + 2501 A) 120 A) 5100 D)2525 B) 130 C) 140 B)2750 E) 2550 D)150 E) 160 C) 2475 A) 42 000 D) 42 950 B) 42 900 E) 42 975 C) 42 500 160 Int:elect:um Evolución 4. o
- 161. @ Halla el valor de la siguiente suma: S =2 + 6 + 12 + 20 + oo. + 600 A) 2200 D)4200 B)6200 E) 5200 C) 3200 @ Halla el valor de k en: 1 + 3 + 5 + 7 + oo. + k =9801 NIVEL 2 @ Efectúa: S =1 . 2 + 2 . 3 + 3 .4+ ... + 20 . 21 A) 199 D)99 B) 197 E) 180 C) 179 A) 3080 D)2608 B)3806 E) 2800 C) 3100 @ Halla el valor de: 35 20 ¿8+ ¿(5n-4) k =15 n =1 @ Halla la suma total de: E=0,01 + 0,02 + 0,03 + ... + 4 A) 1122 D)1218 B)1050 E) 1238 C)1138 A) 423 B) 802 C)852 D)755 E) 905 @ Halla n; en: (1 + 2 + 3 + .,. + n){2 + 4 + 6 + oo. + 2n) =6050 @ Sabiendo que: A =1 + 2 + 3 + 4 + oo, + 50 B=1 + 3 + 5 + 7 + oo. + 69 Halla: A - B A) 13 B) 12 C)1O D) 15 E) 11 A)20 D)42 B) 22 E) 50 C)32 @ Calcula: 4 + 16 + 36 + 64 + oo. + 2304 @ Calcula: 4 S = ¿(2k-5)2 k=1 A) 16900 D) 56 700 B) 19600 E) 17942 C) 57 600 A) 25 D)18 B)24 E)20 C) 29 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 161
- 162. @ En una sucesión lineal la suma de todos los términos en función del número de términos es: 2 S=l!:!..- + 13n 2 2 Halla el término 400. @ Calcula el valor de A, siendo: 8 A= ¿)k-5)2 k =3 A) 2410 O) 1205 B)2360 E) 1405 C) 2253 A) 19 B)18 C) 20 0)21 E) 42 @ Calcula el valor de S: S=1 + (1 + 4) + (1 + 4 + 7) + (1 + 4 + 7 + 10) + ... 19 paréntesis @ Dos hermanas, Juana y María, iniciaron ante la proximidad del verano un régimen de dieta . Juana la lleva a cabo comiendo 13 duraznos cada día, mientras que María la lleva a cabo comiendo 1 durazno el primer día, 2 en el segundo, 3 en el tercero, y así sucesivamente, la dieta terminó cuando ambas habían comido la misma cantidad de duraznos. Sila dieta seinició el15 de noviembre, ¿qué día terminó? @ La suma de todos los números de la forma (3k + 2), para k =1; 2; 3; ...; n, es: @ Determina el valor de n, si: 3n ~) = 1640 k = n 10 ® Calcula: ¿)3k 2 + 2k - 5) k= l A) 1045 B)1135 0)1200 E) 1215 NIVEL 3 A) 7 de diciembre C) 9 de diciembre E) 10 de diciembre C) 1120 B) 8 de diciembre O) 11 de diciembre A) 1535 0)2400 A) n(3n + 7) 2 O) 3n - 2 2 B)3400 E) 8600 B) n(3n - 7) 2 E) n(3n + 5) 2 C) 4200 C) 3n + 2 2 162 Inte/ectum Evolución 4. o A) 18 B)20 C) 24 0)25 E) 26
- 163. @ Calcula la suma de cifras de M: 100 M = ¿(101- k)k k=l @ Calcula S,considerando los 100 primeros términos de la serie: S=1+3+2+2+6+4+3+9+6 ... A) 21 D)16 B)20 E)24 C) 23 A) 2800 D)3400 B)2900 E) 3500 C) 3290 k n @ Si s,= ¿i, entonces el valor de ¿Sk es: i=l k=l A) ~ n(n + l)(n + 2) C) n (n + 3) 4 E) n(n + l)(n + 2) UNM5M-200S 11 B) ~ n(n + 2) D) l(n + 1)2 4 @ Se tienen 120 canicas para formar un triángulo mediante filas, de modo que la primera fila tenga una, la segunda dos, la tercera tres y así sucesivamente. ¿Cuántas filas tendrá dicho triángulo? ._1 • • _ 2 • • • _ 3 • • • • _ 4 • • • ... • • • _ n A) 11 D)14 B) 12 E) 15 C)13 @ Dos tortugas participan en una carrera. La primera recorre todos los días 4 metros y la segunda recorre el primer día 1 metro, y cada día que sigue recorre un metro más que el día anterior. Si ambas tortugas parten el mismo día y llegan simultáneamente, ¿cuántos días duró la carrera? 9. E 17. E 25. B 10. E 18. E 26. D NIVEl2 19. A 27. A 11. A 20. E 28. D 12. B 29. D NIVEl3 13. e 30. E 21. E 14. B 22. D 15. B 23. e 16. e 24. A NIVEl1 LE 2. E 3. B 4.A 5. e 6. D 7. B 8. D C)8 B) 4 E) 6 A) 10 D)7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 163
- 164. El procedimiento más simple es aquel que tiene menos operaciones respecto a otro. . .- Existen algunos casos ambi- guos donde se pueden hallar dos relaciones diferentes con diferente respuesta. En este caso se elige como res- puesta al resultado del pro- cedimiento más simple. Halla "x" en: 3 (5)2 5 (9) 4 7 ( ) 4 A)10 8)11 C)25 D)3 3 E)40 3 + 2 = 5 Ó 32 - 22 = 5 5 + 4 = 9 Ó 52 - 42 = 9 7 + 4 = 11 Ó 72 - 42 = 33 t!~ Rnalogías y distribuciones • • numerlcas La analogía matemática es una presentación rectangular de números dispuestos en filas y columnas. Encada fila se opera con los términos extremos para conseguir el término medio y esto se indica colocando el término medio entre paréntesis; estas mismas operaciones se deben realizar en la fila que contiene a la incógnita para hallar el valor de ella. Cuando la incógnita no es un término medio ya no se le escribe entre paréntesis y se trata de una distribución numérica que se trabaja de manera similar a una analogía, incluyendo a las distribuciones gráficas donde los números son partes de las figuras. Ejemplos: 1. ¿Qué número falta en los paréntesis? 64 (15) 7 1 (30) 29 196 () 3 Resolución: Buscando una relación en cada fila : La fila : 164+7 =15 2. a fila: ff + 29 =30 3.a fila : ./196 + 3 =17 .. El número que falta es 17. 2. Halla el número que falta, en: 3 4 81 5 3 125 2 9 En este caso la respuesta con el procedimiento más simple es: 7 + 4 = 11 3. Resolución: La relación en las filas es: 1. a fila: 3 4 =81 z.' fila: 53 =125 3. a fila: 2 9 =512 Calcula "x", en: El número que falta es 512. ...' La figura es algo accesorio del problema, que sirve para la ubicación de los números. Esto se cumple siempre y cuando las 3 figuras sean iguales. Resolución: Operando con los números que se ubican en los círculos de la base se tiene: La figura: 52 + 32 =34 2. afigura: 1 2+72 =50 3. a figura: 8 2 + 9 2 = 145 .'. x = 145 164 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 165. Problemas . . Halla »: en: 7 9 6 ~ 6b 4 9 7 8 12 x Resolución: e Halla »: en: 12 8 B 5 1 Resolución: .'. El número que falta es 136. 1.a figura: 2. a figura: 3. a figura: 4 X 9 -7 = 29 7 X 8 - 9 = 47 12. x - 6 = 66 ~ 12x =72 ~ x =6 1.a figura: 9 X9-3 X3=72 2.a figura: 8 X 7 - 2 X 4 = 48 3.a figura: 12 X8-5 X1=2x+7 96 - 5 =2x + 7 84 = 2x ~ x = 42 . . Halla "x", en: 'c~:], 4 3 Resolución: • Halla "x", en: 13 8 D 4 1 1.a figura: (1 + 2 + 3 + 4) X 4 = 40 z.' figura: (2 + 3 + 5 + 7 + 4) X 5 = 105 3.a figura: (3 + 5 + 7 + 9 + 2 + 1) X 6 =162 :. x = 162 . . Calcula "x" e "y", en: Resolución: 1.a figura: 2. a figura: 3. a figura: .'. x=63 (8 + 4) X (9 - 6) =36 (9 + 2) X (8 - 7) =11 (13 + 8) X (4 - 1) =63 Resolución: Los números que se ubican en la parte inferior son primos. Luego: 1.a figura : 2 3 - 2 =6 2.a figura : 33 - 2 = 25 3.a figura : 53- 2 = 123 4.a figura: 73 - 2 = 341 .'. x = 7 e y = 341 o ¿Qué número falta? 3 (13) 2 7 (11) 1 8 () 3 Resolución: 1.a fila: 32+4=13 z.' fila: 7 1 + 4 =11 3. a fila : 8 3 + 4 =516 .'. El número que falta es 516. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 165
- 166. o ¿Qué número falta? 93 (64) 35 17 (47) 86 46 () 97 Resolución: @!) ¿Qué número falta? ~ ~ ~ lA' 4 A' S A' 2 5 50 1 3 4 La fila: 9; 3 =6 2.afila: 1;7 =4 3.a fila: 4; 6 = 5 3+5 = 4 2 8+6 = 7 2 9+7 = 8 2 Resolución: La figura: z.'figura: 3.a figura: 72-25=17 43 - 501 = 14 53 - 34 =44 :. El número que falta es 58. o Halla "x"/ en: :. El número que falta es 44. o El número que falta es: ! 3 8 4 12 Resolución: ! 4 6 7 5 28 o ¿Qué número falta? 349 (37) 628 242 (12) 951 456 () 127 La figura: z.'figura: 3.a figura: 9 X 4 - 8 X 3 =12 14 X 5 - 7 X 6 =28 15 X 12 - 13x = 37 180 - 13x = 37 143 = 13x =:> X = 11 Resolución: 11 16 23 34 47 64 83 x ~~~~~~~ 5 7 11 13 17 19 23 ~~~~~~ 2 4 2 4 2 4 x= 83 + 23 = 106 4D Encuentra el término que falta, en: :. El número que falta es 24. Resolución: La fila: 3+9 =3 4 2.a fila: 2+2 =1 4 3.a fila: 4~6 =2 6+8 = 7 2 9 + 1 = 2 5 1+7 = 4 2 ~~~ 8 @ (]) 0 10 15 24 Resolución: Fig fi. 12 + 10 =.ll. = 11 ..V. 12 - 10 2 Fig.0 : 20 + 15 =.TI.. = 7 .::.J 20 - 15 5 Fig.0 :28 + 24 = g = 13 =:> 7 = 13 28 - 24 4 . 166 Intelecturn Evolución 4. o
- 167. Ae tivid el d e s iiiiiiiiiiiiiiiiiiijiiiijiiiiiii¡¡¡¡¡¡¡¡¡~~·- 1. Halla a, en: 2. Halla el valor de X, en: 6 4 24 8 5 40 4 3 12 3 8 a 5 9 45 6 2 X A) 24 B)26 C) 36 D)40 E) 48 A) 11 B) 12 C)13 D) 14 E) 15 3. Halla n, en: 4. ¿Qué número falta? 8 20 2 5 19 3 5 (6) 7 1 n 8 9 (6) 3 8 (?) 6 A) 18 B)20 C)8 D)9 E) 12 A)6 B) 5 C)3 D)7 E) 4 5. Halla x, en: 6. Halla a, en: 10 17 9 12 5 2 6 12 6 60 10 40 20 4 X 70 a 30 A)9 B) 12 C) 15 D)6 E) 8 A) 20 B)25 C) 10 D)30 E)32 7. Halla x, en: 8. Halla V, en: @ 0 8 ~ @ [TI & ~ § GJ 8 .c»:»; A)l B) 2 C)7 D)8 E)4 A) 13 B)17 C) 21 D)12 E)22 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 167
- 168. 9. Halla z, en: 10. Halla x, en: 8 2 4 24 28 5 50 10 4 5 30 12 6 18 20 18 7 Z 48 2 24 17 6 x A) 12 B) 16 C) 14 D)20 E)24 A) 40 B)36 C)48 D)52 E)60 11. Halla el valor de m 2 , en: 12. ¿Cuál es el número que falta? ~ &1 &1 ~ ~ ~ 56 7 25 5 12 9 8 16 13 14 A)4 B) 81 C) 16 D)36 E)25 A) 12 B) 18 C) 24 D) 10 E) 16 13. Halla x, en: 14. Halla x, en: ~ 2 ~ 3 ~ 4 11 - 32 X 4 3 3 A) -69 B) 48 C)55 D)35 E) - 40 A) 1,7 B)1,2 C) 1,4 D) 1,5 E) 1,9 Rpta.: 0,78 ¿Cuál es el valor de m? w 4: o al &ti cD ,...: có u u al U cñ o ... N ......... 168 Intelecturn Evolución 4. o
- 169. NIVEL , G) Halla x, en: AA M A ~ ~ LTh CD Halla el valor de x + v. en : A)7 B) 6 C) 16 O) 10 E) 8 A) 34 B) 11 C)44 0)45 E)54 @ Halla x, en: ~ ~ ~ G) Halla x, en: 7 13 10 18 30 2 6 5 A) 10 B)20 C) 26 0)30 E) 22 5 3 x A) 3 B) 8 C)6 0)9 E) 13 (j) Halla el valor de x, en: 37 ~ 7 ~ 12 73 ~ 1 0~ 27 16 ~ x ~ 9 G) Halla x, en: 20 2 15 5 40 8 10 3 x A) 1 B)5 C)8 0)7 E) 12 A)4 B) 3 C)2 0)10 E) 5 o Halla x, en: G) Halla x, en: 16 8 2 3 8 7 21 3 7 3 2 2 x 5 2 27 64 x A) 9 B)10 C)8 0)14 E) 15 A) 64 B)36 C) 25 0)16 E) 49 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 169
- 170. ® ¿Qué número falta? @ Halla A, en: 8 1 ? 3 2 6 1 2 32 8 8 4 2 16 4 2 1 5 4 2 A A}7 B) 6 C)8 D)10 E) 12 A)8 B) 9 C)11 D)10 E) 14 @ Determina el valor de "x" en el cuadro: I 3 I 4 12 84 ! 6 7 6 78 8 4 3 x I UNI-200S 11 @ Halla a, en: 5 4 3 27 6 1 2 14 9 4 3 a A) 36 B)42 C) 14 D)39 E) 26 A)33 B)36 C) 38 D)42 E)64 NNEL2 @ Halla a, en: 8 2 4 14 @ Halla a, en: 1 3 7 11 10 17 40 14 2 3 a 6 3 10 A) 18 B) 19 C) 20 D)26 E) 27 8 10 a A)20 B)18 C) 30 D)24 E) 25 @ Halla m, en: @ Halla x, en: 2 3 4 9 2 3 21 8 O 1 6 4 2 26 7 X O 7 1 8 m A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 8 A) 15 B) 16 C) 18 D)24 E)30 170 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 171. @ Halla el valor de a, en: ~ ®--------zlli-- ~ A) 17 D)25 B) 16 E)38 C) 101 NNEL3 @ Halla x, en: 8 S x ,6 4 366 ,6, A)4 B) 10 C)11 D)12 E) O @ Halla el término faltante, en: ~ w--&---w A}7 B) 5 C)3 D)4 E) 10 @ ¿Qué número falta? 8 7 ? 2 3 8 60 40 36 A}7 B)6 C)8 D)10 E) 12 @ Determina el valor de x+ y. ~[2IUITI:U ITEJ ~ ITITI G:IiJ GIill UNI-200SI A)12 B)14 C) 16 D)18 E)20 @ Calcula el valor de x, en: E) 9 D)8 C)5 B)10 A) 12 21 x 24 22 Y Z 11 2 17 15 6 13 @ Los números consignados en los tres cuadros cumplen una misma relación. Determina el valor de: x + y + z. UNI-2003 I ~ CII2ITI A)20 B)25 C) 28 D)22 E) 18 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 171
- 172. @ Halla x, en: ~ ~ ~ A) 10 D)30 B) 20 E) 36 C) 26 @ Determina el valo r de z en la tabla mostrada: (UNI-200611) 4 9 20 8 5 14 10 3 z @ Dete rm ina el valor de w. ~~~ bf±Ej trt=bj ~ UNI-20061 @ Halla x, en: & [IJ & fE lliGi~lj ~QY~V & fE ~0[IJ @ Halla a, en: A) 16 D) 14 A) 6 D)2 B)15 E) 17 B) 9 E) 4 C) 12 C)3 A) 15 D)8 A) 16 D)42 NIVEL 1 1.0 2. e 3. E 4. B 5. E 6. E 7. B 8. E B) 13 E) 9 B)36 E)25 9. e 10. B NIVEL2 11. E 12. A 13. O 14. O 15. B 16. B 17. o 18. e 19. o 20. B NIVEL3 21. e 22. O 23. B 24. O C)11 C) 49 25. e 26. E 27. e 28. A 172 tnretectiurn Evolución 4. o
- 173. ~!J Desigualdades e inecuaciones DESIGUALDAD Es una relación de orden que se establece entre dos números reales utilizando los siguientes símbolos: > "mayor que" < "menor que" } Estrictos Ley de tricotomía Dados dos números reales a y b, se cumplirá una y tan solo una de las siguientes relaciones: [ a > b v a = b v a < b 1 {S; 7}E IR 5 >7 V5=7 V5 <7 F F V Si x E (2; 5) entonces diremos que 2 < x < 5, lo que quiere decir que x puede tomar cual- quier valor real entre 2 y 5, pero no tomará los extremos. } No estrictos 7> 3 ; 4 < 9; -3 < 2 ::::: "mayor o igual que" .s:: "menor o igual que" Ejemplo: Ejemplos: Intervalo Es un conjunto de infinitos elementos que representa a todos los números reales com- prendidos entre dos extremos. A) Intervalo acotado Si los extremos son números reales finitos: Intervalo abierto Es un intervalo en el cual no se consideran sus extremos. .. -00 a x ~ +00 [ xE (a; b) <=> a < x < b ] Intervalo cerrado Es un intervalo en el cual se considera los extremos. .. - 00 a x ~ +00 [ x E la; b] <=> a .s:: x .s:: b ] Si x E [2; 5], entonces diremos que 2 ~ x ~ 5, quiere decir que x tomará cualquier valor entre 2 y 5, inclusive los extremos 2 y 5. Intervalo semiabierto o semicerrado Uno de los extremos es abierto y el otro cerrado. 1. Intervalo semiabierto por la izquierda .. -00 a x ~ +00 [ x E (a; b] <=> a < x .s:: b ] RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 173
- 174. 2. Intervalo semiabierto por la derecha l( -00 a x ) +00 [ x E [a; b) <==> a ::::: x < b 1 B) Intervalos no acotados Se llama así cuando por lo menos uno de los extremos es el + 00 o - oo. l( -00 x ) +00 l( -00 x ) +00 Si: x E (2; 5] = 2 < x:5 5 x E (3; 8] = 3 < x :5 8 [ x> a <==> XE (a; + oo) ] x X::::: a <==> x E [a; + 00) ] x l( -00 ) +00 l( -00 ) +00 Si: xE (-1; 3) = - 1:5 x< 3 x E[-5;2) =-5:5 x< 2 X<b<==>X E (-oo,b) l Ejemplos: 1. Si: 2X~ 1 E [1; 8] Determina el menor valor de x: Planteando la inecuación: .1 < _1_ < -ª- =} .1> 2x + 1 > .1 1 - 2x + 1 - 1 1 - 1 - 8 =} 1 > 2x + 1 < .1 =} 8 > 16x + 8 > 1 - - 8 - - =} o>x >_l - - 16 El menor valor de x es ~~ . [ x ::::: b <==> x E ( -00, b] ] 2. Halla los valo res de a de tal man era que la inecuación: x 2 - ax + 4 > O, se verifica para todo valor real de x. Vemos que el coeficiente principal es 1 > O y para que el trinomio sea siempre positivo se debe cumplir: f... =a2 - 4(4) < O De donde: a 2 - 16 < O (a + 4)(a - 4) < O l(~. -00 -4 4 +00 :. x E (- 4; 4) 174 Int:elect:urn Evolución 4. o
- 175. Problemas . . Resuelve: (x + 5)(x + 3) 2: (x + 2)(x + 1) + 3 Resolución: (x + 5)(x + 3) 2: (x + 2)(x + 1) + 3 i + 8x + 15 2: i + 3x + 2 + 3 5x 2: - 10 x2: - 2 .'. es=[-2; +00) ... Resuelve: i -10x + 16 > O Resolución: x2 - 10x + 16 > O xX -8 x -2 Resolución: 13 - 6x > O x-2 6x -13 < O x-2 .=~ -00 2 13/6 +00 .'. es=(2; 13/6) • Halla la suma de soluciones enteras de la inecuación: 3i :s x + 2 Resolución: 3x2 - X - 2 :S O 3X X+2 x -1 (3x + 2)(x - 1) :s O .'. Suma de soluciones enteras = O+ 1 = 1 (x - 8)(x - 2) > O .=~ -00 2 8 +00 -00 + + 00 .'. es=(- 00; 2) u(8; +00) ________--.-J . . Resuelve: i - 3x < 4 Resolución: x2 - 3x - 4 < O x X-4 x + 1 (x - 4)(x + 1) < O .=~ - 00 -1 4 +00 .'. eS= (-1;4) e Resuelve: 1 + 15 - 7x > O x-2 o Si x E [2; 4] indica el mayor valor que toma la frac- ción x + 3 . x+2 Resolución: 2 :Sx :S4 4 :Sx+2 :S6 .1 < _1_ < .1 6 -x+2 -4 .1+ 1 ::;_1_+1 ::;.1+1 6 x+ 2 4 2 < x+3 < 2- 6 -x+2 -4 .. El mayor valor será 5/4. • Resuelve: 2x - 1 + 3x - 2 > 2x + 1 + 1- 5 6 2 3 e indica el mayor de valor entero negativo. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 175
- 176. Resolución: 2x - 1 3x - 2 > 2x + 1 + 1. 5 + 6 2 3 12x - 6 + 15x - 10 > 6x + 3 + 4 30 5 $ 27x - 16 > 6x + 7 5 27x - 16 > 30x + 35 -51 > 3x - 17> x x E (- 00; - 17) .'. El mayor valor entero negativo que puede tomar x es : - 18 o Resuelve: 7x - 2 5x + 6 < 9x + 34 -2- < 3 5 2 7 Luego: a = - 5; b = "3 . a+b + l = -1. +1. +l =2 15 5 3 15 4I!) Resuelve : (x -3)(4 -x»-x Se obtiene: es= (a; b). Halla a + b. Resolución: (x - 3)(4 -x» - x 4x - i - 12 + 3x > - x 8x - x2 - 12> O O> x2 - 8x + 12 xX -6 x -2 ~ O> (x - 6)(x - 2) Resolución: (~. - 00 2 6 + 00 Luego: a = 2; b = 6 .. a+b =8 o Resuelve el sistema siguiente: x - 4 > x + 5 ... (a) 3 2 -36 < x 1 7x - 2 5x + 6 1 5x + 6 < 9x + 34 -2- < 3 3 5 21x - 6 < 10x + 12 1 25x + 30 < 27x + 102 11x < 18 1 - 72 < 2x 18 x<U ( . 18) .'. x E -36,u x -3 < 3 -x 5 - 4 ... (P) o Al resolver: Resolución: 15x2 - 29x - 14 < O 1 se obtiene: es= (a; b). Halla: a + b + 15 Resolución: 15x2 - 29x - 14 < O 5X X+2 3x -7 (5x + 2)(3x - 7) < O ( ~. -00 - 2/ 5 7/3 + 00 1. 2x - 8 ~ 3x + 15 x :S - 23 ~ xE (-00; - 23] 11. 4x - 12 :S 15 - 5x 9x :S 27 x :S3 ~ xE (-00; 3] Luego la solución del sistema será : (-00; -23] n (-00; 3] .'.es=(- 00; -23] 176 Int:e/ect:um Evolución 4. o
- 177. Ae tlVI d el d e s 1. Resuelve: x 2 + 2x - 8 < O 2. Resuelve: x2 - x - 6 > O A) [-4; 2] C)(-00; -4] U [2; +00) E) (-00; -4) U (2; +00) B)(- 4; 2) D) (-4; 2] A) (- 2; 3) C) (-00; -2) U (3; +00) E)(-00; -2] U (3; +(0) B) [-2; 3) D) (-2; 3] 3. Resuelve: 3x + 4 ~ 2x + 10 < 5x + 8 4. Resuelve: 4x+5+fX<5 A) [2/3; 6) D) IR B) (2/ 3; 6) E) (2/ 3; 6] C)0 A) [O; 4) D)(-00;4) B) (0;4) E) (-00; 4] C) (O; 4] 5. Resuelve: 15 2: x(x + 2) 6. Indica la suma de las soluciones enteras de: 2 ; <x+ 6 A) [O; 2] D) [-5; 3] B)(O; 2) E) (-5; 3) C) (- 3; 5) A) 10 B) 8 C) 12 D)9 E)7 7. Resuelve: 2x-8+ _6_ ~ 7-x+ _6_ x-3 x-3 8. Indica el número de valores enteros en: 2x - 5 -1 ~ O x+1 A) (-00; 5] - {3} B) (-00; 5] D) (-00; 3] E) (-00; +3 ) C) (-00;5) A) 5 B)7 C)6 D)4 E)8 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 177
- 178. 9. Resuelve: 25..+25..+25..+25.. > x-17 2 3 4 5 10. Indica el menor valor entero de: ~ - x < 3(x - 91) 11 A) (-00; +(0) D) (-60; +(0) 8) (-00; -60) E) [-60; +(0) C) (-00; -60) A) 80 8)81 C) 76 D) 77 E)78 11. Halla la suma de todos los valores enteros que satisfacen el sistema: 1.< x-l <1. 3 x+ 3 9 12. Indica el mayor valor entero que verifica la inecuación: 25..+25..+25.. < 25..+ 5 2 3 4 6 A) 60 8)70 C)80 D)50 E)70 A)5 8)4 C)3 D)2 E) 1 13. Si x E [2; 5]; indica el menor valor que toma la expresión: x + 2 x-l 14. Si x E [5; 8], indica el mayor valor que toma la expresión : x - 3 x+l A)7/4 8)4/7 C) 7/2 D) 2/7 E) 1/4 A) 1/9 8) 2/9 C) 9/5 D) 1/3 E) 5/9 « UJ l"i ..; ........ Cl UJ « « cñ ci ~ N ............ ca u w « ,....; N M ~ Si ladesigualdad a 2 + a + 1 < l. secumple V aE IR+ a2 + 1 - 2' , entonces el mínimo valor que puede admitir k es: Rpta.: 3 178 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 179. ® Resuelve: -1 < 4 ~ 5x ~ 7 Ydetermina el mayor valor entero que lo verifica. NNEL , CD Sean los intervalos: M = [-6; 13); N = (-8; 5], halla M - N, e indica la cantidad de números enteros que la verifica. A)-3 B)-2 C)3 D)2 E) 1 A) 9 B)10 C)7 D)12 E) 13 o SiA= (-10; 5];B=[-3;6).Determina:AnBn (AUB) . A) [-3; 5] B) [-1; 2] C) [2; 5] D) [-2; 2] E) [-1; 1] (j) Si: a < b, resuelve: ax + b + b < bx + a + a 2 2 A) ( -00; 3) B) ( 3; +00) C) [3; +00) D) (-00;-3) E) ( - 3; 3) o Resuelve e indica el menor valor entero que puede tomar x. A) 1 2x - 1 + x - 3 > 4 3 2 B)2 C)3 D)4 E) 6 ® Resuelve: A) ( -00; 7) D) (- 2; 7) 3x - 1 _ x + 1 < 1 _ ~ 5 2 7 B) ( -00; O] C) (- 1; 1) E) (-00; 8] o Si M es el conjunto solución de: 2x _2- > x , 10 3 3 Determina el número de valores enteros y positivos del complemento de M, menores que 19. A) 6 B)7 C)8 D)9 E) 5 ® La suma de los enteros que verifican simultáneamente las inecuaciones: 4x - 5 < x + 3 . 3x + 8 > 2x - 5 7 ' 4 A) -21 B) - 36 C) -18 D) 18 E) 25 ® Si a E ( 1; +00); resuelve en x: ax + 3 < 3a + x A) ( 1; +00) B) ( 3; +00) C) [1; +00) D)[3;+00) E) ( -00; 3) NIVEL 2 @ A un estudiante le dieron a vender una cierta cantidad de pollitos, de los que vendió 35 y le quedaron más de la mitad. Luego le devuelven 3, y vende después 18, con lo que le restan menos de 22 pollitos. ¿Cuántos pollitos le dieron? A) 69 B)70 C)71 D) 72 E)73 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 179
- 180. @ Halla el menor de los números M que cumplen la siguiente condición: V x E ffi.: 4x - x 2 - 12 ::::; M A)O B)-2 q -8 D)l E) 4 @ Un carpintero hizo un cierto número de mesas. Vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Luego hace 9 mesas y vende 20, quedándole menos de 41 mesas por vender. ¿Cuántas mesas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de mesas? A) 107 B) 102 q 100 D) 109 E) 103 @ Siendo : a 2 . b3 . c 5 negativo, halla el producto que siempre será negativo. A)a2b B) b 2. a qb.c D) b3 • i E) a2 • b 2 @ Resuelve el siguiente sistema : 3x - 4 ::::; 5x + 2 ::::; - x + 8 @ Resuelve: x 2 - llx + 28 > O A) (-00; 4) U ( 7; +(0) B) (-00; 3) q (2; +(0) D) (7; (0) E) (-00; 4) A) 1 ::::; x::::; 3 D) x::::; - 3 B) -3 ::::; x::::;- 1 E) x::::; 1 q - 3 ::::; x::::; 1 @ Resuelve: ; (x + 4)(3x - 1) ::::; O @ Si: -x+3E[-6;5) 1 2x+5 E (a+1;b+13] Calcula: a 20 + b 2 A) [-4; ;] B) (4; ~] q (-l;l) A)O B) 1 q 10 D) 100 E) 125 D)[-4; ~] E)[-4;~) NIVEL 3 @ Resuelve: 5x - 2 _ 4 < O @ Resuelve: x 2 + x + 1 > O x A) ( - 1; 1) B) ( - 3; O) q ffi. A) (0;4) B) ( O; 3) q (-l;l) D) (0; 3) E) ( - 3; 1) D) ( - 2; 3) E) ( O; 2) 180 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 181. @ Resuelve: A) [1; +(0) D) [4; +(0) @ Resuelve: 4J2x - 8 > - 5 B) [O; +(0) E) [3; +(0) q [2; +(0) @ Si: a, b, CE 'll, c < O1 a < b, entonces se cumple: A) -ª- < .Q.. B) -ª- > .Q.. q ca < cb c c c c D) a + b + c < O E) c + a > c + b @ Sabiendo que: x E (1; 2), reduce: A = 4x 2 - 4x + 4 + 4x2 - 2x + 1 A) [-1; 1) D) (-l;l) B) (-00; -1] q [1/2; +(0) E) (-00; -1) U [1/2; +(0) A) 2x - 3 D) -2x + 3 B) 1 E) -2x q -1 @ Resuelve: 425 - x2 < 4 A) [-5; -3) B) (3; 5] D) [-5; -3) U (3; 5] q (- 1; 1) E) (-00; 3] @ De todos los triángulos, cuyos dos de sus lados miden 2 cm y 4 cm, halla los que tienen la propiedad de que su tercer lado tiene por longitud un número entero y señala a qué es igual la suma de los perím etros de los triángulos hallados. @ Resuelve: .f4X=1" < 2 x A) 28 cm D) 26 cm B) 30 cm E) 25 cm q 24 cm A) [1/4; +(0) - {1/2} q (- 1; 1) E) [1/2; +(0) B) [1/4; +(0) D) ( 1/ 4; +(0) - {1/2} ft~' É • L; V , @ Resuelve: 12x -11 ::::: ~ A) G; 5] B) (~;2] q ( 1; 4] NIVEll 8.A 15. e 22. o L e 9. A 16.e 23. A D) ( - 1; 3] E) [;; ~] 2. A NIVEl2 17. B 24. E 3. E 10. E 18. o 25. B 4. B 11. e NIVEl3 26. B S. E 12. o 19. E 27. B 6. E 13. o 20. o 7. B 14. e 21. E RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 181 - - - - - -
- 182. ~!J Logaritmos DEFINICIÓN El logaritmo de un número real y positivo N, en la base b (b > Oy b i= 1), es el exponente x al cual hay que elevar la base, para obtener el número N. • • 10gb1 = O logbb = 1 En general: Si A1, A2. A3. ... .An son números reales posit ivos y b > O, b '¡' 1, se cumple: lo9b(A1 . A2 . A3 ... an) =lo9bA1+ IOgbA2+ ... +logbAn Donde: N: número real y positivo b: base del logaritmo x: logaritmo de N en base b Ejemplos: log28 =3 = 2 3 =8 log381 =4 = 3 4 =81 log21024 = 10 = 2 10 = 1024 Identidad fundamental blogbN =N ]; donde N > O; b > O y b i= 1 Ejemplos: i Og 7 5 =5 111og1 13 = 3 filogf[8 = 8 PROPIEDADES SOBRE LOGARITMOS Sean A, B Y enúmeros positivos y b > O, b i= 1. Si b, N E m+y b.¡. 1; entonces: I09b(-k)= 10gb1 - lo9bN I09b(-k)=- logbN 1. Ejemplos: • log218 =log29 + log22 • log36 + log33 + log32 =log336 Ejemplos: • log327 = log333 = 31og33 = 3 11 • log22048 = log22 = 111og22 = 11 Ejemplos: • log3( ~ ) =log38 - log35 • log27 =log221-log23 4. ,--- ~ Ejemplos: I 9 9 1 9 • og282 = - og2 2 = - 8 8 I 7 7 7 • log4128 = og222 = -log22 = - 2 2 182 Inte/ectum Evolución 4. o
- 183. 5. Cambio de base Ejemplos: I IOg37 og 7--- 5 - log35 IOg2 8 log38 =-1--3 og2 6. Regla de la cadena [ logAB . Iogse . logcD. logDE =logAE ] Ejemplos: • log38. logg5 . logs81 = log381 = 4 • logs3. logg5 . log69 . log276 = log273 = 1- 3 .. FUNCIONES DERIVADAS DEL LOGARITMO Cologaritmo (colog) Se define como el opuesto aditivo del logaritmo, se cumple: [ cologbN =-logbN l Ejemplo: cologs(125) = -logs125 = -3 ... ~ logbA =logbnAn = logn/bn./A Resolución : Setiene el conjunto universo: (O; +00) Entonces : Jlogx ~ logIX <= logx ~ O¡ logIX ~ O¡ logx ~ (loglX)2 Setiene: x ~ 1 También: 410gx ~ (logx)2 O~ logx(logx - 4) Se cumple: O::s logx ::s 4 ~ 1 ::s x ::s 10 4 Luego: es =(O; +00) n [1; +00) n [1; 10 4] : . es =[1; 10 4 ] 2. Halla las raíces de la siguiente inecuación: Jlog x ~ log IX Luego: es =[5 Iog7; +00) Veamos algunas aplicaciones: 1. Halla el conjunto solución de la siguiente inecuación: f5 1 og7 +.f7 logs < 2 _IX Resolución: Del enunciado: f5 1 og7 + .f7 logs < 2 - IX ...(1) Setiene: .f7logS= 7t1 ogs = 7'0g.f5 = f51 og7 Reemplazando en (1): f5 1 og7 + f5 1 og7 2 ::s IX; x ~ O 2(f5 log7) 2 ::s IX f5log 7 ::s IX Ejemplo: antilog2(log28) = 21og2g = 8 Antilogaritmo (antilog) Se define como la función que transforma el logaritmo en una potencia, se cumple: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 183
- 184. ProbLemas o Calcula: Resolución: 1 2 "3 logs5 + "310g44 = 2 3 SlOg2 2 +Slag33 l.'.M =1 • Halla: N =lag82 + lag2s5 - lag6432 Resolución: 1 1 5 N ="3lag22 + Tlags5 - "6lag22 N=1.+1.+2 326 .'. N =O lag 1/3 =x . .l .lagx x lag 1/3 =lag x . x- 1 .. -"3 '------ _ Halla: Resolución: I 2 I 1/3 E = ag126 + ag1264 E=lag1236 + lag124 E=lag12144 .'. E=2 • Resuelve: 21agx =lag(2x - 3) + lag3 Resolución: lagx 2 =lag(6x - 9) x 2 =6x - 9 i-6x+9 =0 (X-3)2 =0 .'. x= 3 • Resuelve: lag(lagx Vi) colog (antilag x) Resolución: ( lag 1/3 =_ lag X¡X colog lO X lag 1/3 =_lag X¡X -lag lO X lag 1/3 =_ lag x IX -x lag 1/3 =x lag x IX =colagX¡x o Resuelve: lag[lag(logx)] =O Resolución: - - - - - - - [lag(logx)] =100 [log(logx)] =1 logx =10 1 logx =10 x =10 10 184 Int:e/eet:urn Evolución 4. o -- -~~
- 185. _ Halla n, si: log3(5n - 1) + colog3(3n - 5) =2 Resolución: log ( 5n - 1 ) =2 3 3n - 5 5n - 1 =32 3n - 5 5n - 1 =9 3n - 5 5n - 1 =27n - 45 44 =22n n=2 o Resuelve : 2log(2x + 2) - 2 =IOg( 1 + 1 22 5X ) Resolución: log(2x + 2)2 - log100 =log ( 25 ;5 12X ) IOg( 4x 2 + 8x + 4 ) =log ( 25 + 12x ) 100 25 4'(x 2 + 2x + 1) _ 25 + 12x 10025 - .25 x 2 + 2x + 1 =25 + 12x x 2 - 10x - 24 =O x <, ~/ -12 x ~ +2 :. CS ={-2; 12} o Resuelve : 100ol0g3 =3X 2_SX+9 e indica el producto de soluciones. Resolución : log3 . log1000 =(i - 5x + 9)log3 log3 . 3 =(x 2 - 5x + 9)log3 (x 2 - 5x + 9 - 3)log3 =O x 2 - 5x + 6 =O x .... 1/ - 3 x /<-... -2 (x - 3)(x - 2) =O : . Producto de soluciones = 3 X 2 = 6 €E) Si se cumple que: IOg( p2; q2 )=logp + logq Calcula logqP + logpq + 20. Resolución : IOg( p2; q2 ) =logpq p2 + q2 =pq 2 p2 + q2 =2pq p2 _ 2pq + q2 = O (p _ q)2 =O ~ P =q Luego: logqP + logpq + 20 =1 + 1 + 20 =22 o Halla las raíces de la siguiente ecuación : Jlog x = log IX Resolución: (JlogX)2 =(log lX)2 logx =( ~ log xt logx = ~ log2x 410gx =log2x logx(logx - 4) =O ~ logx =O V logx - 4 =O x =100 V logx =4 x = 1 V x = 10 4 :. x E {1; 10 4 } RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 185
- 186. 1. Halla: log7343 + IOgl/66 E=---'-----'--- logg64 + logl/S 625 2. Resuelve: log, + 1(5x+ 19) =2 A) -l B) 2 C)4 D)l E)8 A) 2 B)6 C)-3 D) 19 E)5 3. Calcula: E=-Colog4{Antilog2[log216]} 4. Calcula: S =3 '¡'c-o:-I o-g-sO=-,-=O~4-+-a-n--:-t:;-ilo-g-s-=-2 A)l B)4 C)8 D) 10 E)2 A) 2 B) 5 C)8 D)3 E) 1 5. Halla x: loga64 . logxa =log.,c . logxb . logcx6 6. Halla x: log4x9x. logSx4x . log35x =log2x8x3 A)l B) 2 C)4 D)8 E) 16 A) 3 B)9 C) 1/3 D)6 E) /3 7. Halla n si: IOg3n2 + cologjn =3 8. Halla x en: 210gx =log192 + logO,75 A) 3 B) 1 C)9 D)6 E) 27 A)8 B) 12 C) 16 D)20 E)18 186 Inte/ecturn Evolución 4.o
- 187. '} >. ~,,"", '" .~,,¡ i" • _ ..~<"~ " ~ ~.::l<'... 9. Calcula x: logx =m - logn 10. Si: logs2 =a 1 logs3 =b. Halla : logs -1300 A) a - b/2 + 1 D) a + b/2 + 1 B)a - b/2 -1 E)a + b/2 -1 C)1 11. Halla la suma de las raíces de: log4(2i + 15x + 26) =3 12. Dada la ecuación: 1 + 210gx=log(x + 2) Halla la suma de soluciones. A) 15/2 B)7/2 C)-15/2 D)9/2 E) 13/2 A) 1 D) 1/100 B) 1/10 E)100 C) 10 13. Calcula x en: antilogx(antilog4/2(antilog23)) =625 14. Reduce: COIOg4(log2(log~ (antilog4(log1,41,96)))) A)25 D)f5 B) 4125 E)5 C) ./125 A)l B)4 C)2 D)-l E) 1/2 [ Rpta.: a - ~- 1 log(6!) =a log(4!) =b Calcula log3100 en función de a y b. Si: « el u '" .,; o N .... .... UJ el ..; ..: ........ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 187
- 188. o Halla el valor de A si: A =log220 - log25 + log28 NIVEL , o Halla el valor de x: A)3 B) 6 C)8 0)4 E) 5 A)l B) 4 C)6 0)7 E) 3 I ~------~--- o Halla el valor de x: (j) Resuelve x en: log42 + log4(3x + 2) =3 A)4 B) 5 I - 2 oggX -"3 C) 2 O) 1 E) 3 A) 6 B) 8 C)1O 0)12 E)7 ® Resuelve x en : ® Halla el valor de x: ----~--- A) 45 log7(8x + 7) =3 B)38 C)36 0)42 E)40 A) 1/2 B) 2/3 C)3 0)3/2 E)2 l ------~-- (3) Halla el valor de x: logx.f2 = ~ A)3 B)4 C)l 0)2 E) 5 ® Hallaxen: A) 3 IOg(2X + 3)81 =2 B) 5 C) 6 0)7 E) 2 ® Halla x en: logx =log32 - log16 + 21og2 NIVEL 2 @ Halla x en: log(3x - 5) + log6 =log8x A) 6 B)7 C)2 0)5 E) 8 A) 5 B) 2 C)6 0)8 E) 3 188 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 189. @ Resuelve: log(x + 3) - log(x - 6) =1 A)6 B)7 C)9 0)5 E) 8 @ Halla xen: A) {3; 2} 0)3 log(35 - x 3) =3 log(5 - x) B) 6 E) -1 C) {-1; 6} A) 5 O){-1; 1} @ Resuelve: A){-4; 4} O) {-4; O; 4} ® Resuelve: A) 1 0)-3 310gx - log32 =log(x/2) B) -4 C) {-2; 2} E) 4 logs3 =logs(x 2 + 2x) B) 3 C) 2 E) {1; -3} @ Resuelve: log2(5x - 2) + colog2(3x - 5) =1 A) 10 B)8 C)7 0)5 @ Halla x en: log2(x + 1) + log2(x - 2) =2 B) 3 C)-2 E) {-2; 3} E) 6 @ Halla el valor de E si: E =22+log23 + 32+log34 @ Determina el valor de E si: E= (rs)210gsX A) x B) 3 C) 2 O) x/2 E) 4 A)48 NIVEL 3 B)40 C) 35 0)42 E) 38 @ Determina el valor de Esi: E=antilog2(log2rs6) A)81 B)25 C)64 O) 125 E)32 @ Calcula el valor de A: 1 + log23 1 + log32 A = + ----"-- l-log23 l-log32 A) 1 B) 2 C)4 0)0 E) 3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 189
- 190. @ Calcula el valor de E: E=IOg3 /3 (/313) - 31 og • 2 A) 2 D)O Ei) 3 E) 1 C)4 @ Calcula: A)-l E=colog6antilog8(log23 + 1) B) - 3 C) 3 D) 2 E) -2 @ Halla el valor de n. log24 + IOg242+ ... + log24n =log246 @ Si: m; n E m +1 logm.nm =3, calcula el valor de E: E=log ~ m.n Vrñ7 A) 3 D)2 @ Resuelve: A) 6 D)7 B)6 E) 5 log4[log3(log2x)) =O B) 9 E) 8 C)7 C) 10 A) 2 D)3 A) -l D)O B)1 E) 4 B)-10 E) 2 C) {-2; 3} C)4 @ Si: log x1 0gx + logx - 6 =O Halla el producto de las dos soluciones: A)O B)0,1 C) 100 D) l E) 10 fr~ ~ ..... • @ Resuelve: lOx+ lO- x =3 lO x_ lO- x NIVELl 8. D 15. D 22. A 1. E 9.A 16.A 23. E A) 2 B) log2 C) log4 2. A NIVEL2 17. B 24. B D) ~ log2 E) 1 3. B 10. E 18. B 25. D 4. D 11. B 19. A 26. B 5. E 12. E 27. D NIVEL3 6. E 13. E 28. B 20. D 7. e 14. A 21. D 190 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 191. ~~ Cerillos Losjuegos con cerillos constituyen un conjunto de actividades que desarrollan la ima- ginación espacial además de desarrollar la atención y la concentración. Los cerillos se convierten en un medio para entretenernos usando nuestra imaginación. Las actividades desarrolladas y propuestas consisten en solucionar problemas a tra- vés de desplazar o quitar fósforos para obtener o desarmar figuras que conllevan a la construcción de conceptos geométricos, así como también para resolver operaciones aritméticas. Veamos la siguiente aplicación: Transforma el siguiente triángulo en otros tres unidos entre sí utilizando para ello el mismo número de cerillos. Resolución: Loscerillos rojos son los que vamos a mover y son cuatro, entonces queda la siguiente figura : .... . . Los problemas de cerillos son juegos de tipo perceptivo espacial y en su realización se desarrollan procesos de análisis y de síntesis. Veamos las siguientes aplicaciones: 1. Quita tres palitos de modo que queden 3 cuadrados iguales. FÓSFOROS UITAN O AGREGAN AA • • Ten en cuenta que no deben quedar cerillos sueltos. Resolución: A los cerillos también se les llaman palitos de fósforo. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 191
- 192. Cuando te dicen que una fi- gura se encuentra formada por cuadrados, y no especi- fican que son iguales, no te olvides de contar también los cuadrados formados por otros cuadrados más peque- ños. Ejemplo: La figura está formada por 5 cuadrados: 4 pequeños y 1 que contiene a los otros 4. Los palitos de fósforo rojo son los que vamos a mover, para que queden tres cuadrados iguales. 2. Agrega tres palitos para hacer correcta la suma. Resolución: Los palitos con rojo son los que vamos a agregar para que la igualdad sea correcta. ¿Cuántos cerillos se deben mover como mínimo para que la igualdad mostrada sea correcta? 192 Inte/ectum Evolución 4. o
- 193. Problemas Resolución: Como piden el mínimo se tiene: Resolución: - --,------ - - - r Con la cantidad de cerillos que se muestra vemos que va a ser imposible formar un cua- drado, entonces pensamos como cuadrado I aquel número que tiene raíz cuadrada exacta: 4 =2 2 ; 9 =3 2 ; 16 =4 2 ; .•. o U :. Se debe retirar 1 palito. e ¿Cuántos palitos, como mínimo debemos cambiar de posición para generar una verdadera igualdad? • ¿Cuántos cerillos como mínimo, se deben mover en el gráfico para obtener un cuadrado? 8 n 2 10 V==II+VII' 'v==¡¡+vn~ x==n+vn~ :. Se debe mover 1 palito. Según el gráfico se tiene: 5 =2 + 8, lo cual es incorrecto. Sedebe mover un palito de la siguiente manera: o ¿Cuál es el menor número de palitos que se debe cambiar de lugar para que se cumpla la igualdad? . . ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para que la igualdad sea correcta? Resolución: Observamosque: 1- 3 =2, lo cual esincorrecto . Se debe cambiar un palito de la siguiente ma- nera: XHI ==V~ Resolución: ~ ==- ~~~ ==- n r'"_-_-_-_-e t t 1==- III ==- II ==- 3 2 : . Se debe cambiar de lugar 1 palito. Delgráfico setiene: 13 =6, lo cual es incorrecto. Loscambios son de la siguiente manera : X"' ==71 I t xn==xn : . Se deben cambiar de lugar 2 palitos. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 193
- 194. • ¿Cuántos palitos se deben mover como rmrurno para que la figura triangular ( /::;. ) cambie de posl- cióna( 7)? Resolución: o ¿Cuántos palitos, como mínimo, se deben mover para que la operación sea correcta? : . Se deben mover como mínimo 3 palitos. j55 88 Delgráfico setiene: 35 ~ lo cual esincorrecto. 8 5 Los movimientos son los siguientes: Resoluc ión: Los palitossedeben mover de lasiguientemanera: , " .' " o ¿Cuántos palitos como mínimo se deben cambiar de posición para que la operación sea correcta? Resolución : Luego quedará de la siguiente manera : Del gráfico se tiene: 6 - 5 = 8, lo cual es incorrecto. Se hace el siguiente cambio: 5 5 5 5=0 : . Se debe cambiar de posición 1 palito. : . Se deben mover 2 palitos. 194 Intelecturn Evolución 4. o
- 195. o ¿Cuántos palitos se deben retirar, como mínimo, para obtener una figura formada por 5 cuadrados iguales? (Sin dejar cabos sueltos). ==- - - Resolución: Los palitos a retirar son los que se encuentran con líneas punteadas. ==- r-_ -_ -_ - ==- Luego quedará de la siguiente manera : ] ~ ] • :. Se deben retirar 4 palitos. o ¿Cuántos palitos hay que mover, como rrurnrno, para obtener una figura formada por 6 cuadrados? (Sin dejar cabos sueltos) . rn rn Resolución: En ningún momento nos dicen que los cuadra- dos deben ser iguales, entonces realizamos los siguientes movimientos: Luego,la figura quedará de la siguiente manera. r~ ffiJ : . Se deben mover 2 palitos. @!) ¿Cuántos palitos debemos retirar como mínimo para dejar 6 en la figura? ODIO DOlO Resolución: Retiramos los palitos siguientes: retirar9 m retirar D ==-~ C==-~ 1D==-~ I , , ,1 11 , l , " ,1 .,.retlrar " 1I 1 1 o , , U:'I~D [" iJ ' [k ' ,1 l' l' retirar retirar retirar Finalmente se obtiene: cele ~L I=:J :. Se deben retirar 6 palitos. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 195
- 196. 1. ¿Cuál es la menor cantidad de palitos que se deben mover para obtener una verdadera igualdad? ni = VI + 11 2. ¿Cuántos palitos, como rmrurno, se tienen que mover para lagar una verdadera igualdad? VIX=IIII A) 1 B) 2 C)3 0)4 E)5 A)5 B) 4 C)3 0)2 E) 1 3. ¿Cuántos palitos se deben retirar como rrunrmo para que queden cuatro cuadrados iguales? 4. ¿Cuántos palitos se deben mover como mínimo para obtener 3 cuadrados iguales? D ~I UJ A)l B) 2 C)3 0)4 E)5 A)l B)2 C)3 0)4 E)5 5. ¿Cuántos palitos hay que retirar como mínimo para obtener 3 cuadrados iguales? 6. ¿Cuantos palitos hay que retirar como mínimo para que no quede ningún triángulo? A)3 B) 4 C)5 0)2 E) 1 A)5 B) 1 C)2 0)3 E)4 7. ¿Cuántos palitos se deben retirar como mínimo de la figura para que queden exactamente 4 cuadrados del mismo tamaño? 8. ¿Cuántos palitos hay que mover como mínimo para tener una verdadera igualdad aproximada? (no está permitido romper o doblar palitos). A)4 B) 5 C)6 0)7 E)8 A)3 B) 1 C)2 0)4 E)5 196 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 197. ,.' "~. ~ , , ,f,~ ~~"~~ • 9. ¿Cuántos palitos se deben retirar como mínimo para dejar solo uno? 10. ¿Cuántos palitos se deben cambiar de lugar como mínimo para obtener una verdadera igualdad? I I A)2 B) 3 C)4 D)5 E)6 A) 5 B)4 C)3 D)2 E) 1 11. La figura que se muestra ha sido construida con palitos de fósforo. ¿Cuál es la mínima cantidad de palitos que se deben cambiar de lugar para obtener 5 cuadrados iguales? ~1 F==-a-=~ 12. ¿Cuántos palitos, como mínimo, se deben cambiar de lugar para hacer que el pececito que se muestra nade hacia la izquierda? A)5 B)4 C)3 D)2 E) 1 A)1 B) 2 C)3 D)4 E)5 13. La operación que se muestra es obviamente falsa como se puede observar. ¿Cuántos palitos como mínimo se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta? 1 1 1 2+~=S 14. ¿Cuántos cerillos se deben, cambiar de lugar, como mínimo, para obtener 3 cuadrados de distintos tamaños? A)5 B) 4 C)3 D)1 E)2 A)7 B)6 C)5 D)4 E)3 Rpta.: 1 ¿Cuántos cerillos como mínimo se deben cambiar de lugar para obtener una verdadera igualdad? o o a:l U en g :: ~ o o M ..; ...... RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 197
- 198. NIVEL , CD ¿Cuántos cerillos se debe mover, como mínimo, para que la igualdad que se muestra en el gráfico sea correcta? A) 1 B) 2 C) 3 O) 4 E) 5 --~-~----~-- --__-__c ® ¿Cuántos cerillos como mínimo debes mover para formar un cuadrado? + -~- --~-~--~~~-_/ A)4 B) 3 C)2 0)5 E) 1 ~---- ® ¿Cuántos palitos como mínimo debes mover para formar 5 cuadrados del mismo tamaño? I~ I~ o ¿Cuántos cerillos se deben retirar, como mínimo, en el siguiente gráfico para que la igualdad se verifique? 5 A) 5 B) 4 C)2 0)1 E) 3 L==e"= o ¿Cuántos cerillos se deben mover como mínimo para obtener una igualdad correcta? r I~n =:J+O~U ~----- ~-- - - - ~ (i) ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la igualdad sea correcta? E) 4 0)5 C)3 B) 1 A) 2 E) 4 O) 1 C)5 B) 3 A) 2 o ¿Cuántos palitos hay que mover, como mínimo, para formar una expresión matemática correcta? A)3 B) 4 C)5 0)2 E) 1 VI + ,,== I A) 1 B) 2 C)3 0)4 E) 5 198 tnxetectiurn Evolución 4. o
- 199. ® En la igualdad mostrada, ¿cuántos cerillos se moverán, como mínimo, para que se verifique? @ ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la igualdad sea correcta? IVC==C+V A) 2 B)4 C)5 D) 1 E) 3 A) 3 B) 4 C)5 D)7 E) 6 ® ¿Cuántos cerillos, como mínimo, se tienen que mover para que se obtenga una igualdad? X=-H=V~ @ ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la igualdad mostrada sea correcta? v A) 5 B) 1 C)3 D)4 E) 2 A) 5 B)3 C)1 D)4 E) 2 @ Moviendo la menor cantidad de palitos debemos formar una igualdad correcta . ¿Cuál esesacantidad? IH=VI+II @ Enla igualdad mostrada, ¿cuántos cerillos se deben retirar, como mínimo, para que sea correcta? A)2 B) 4 C) 5 D)l E) 3 A) 5 B)4 C)2 D) 1 E) 3 @ ¿Cuál es el menor número de cerillos que se deben cambiar de lugar para obtener una igualdad correcta? NIVEL 2 @ ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que se verifique la siguiente igualdad? X+H~=V~+H A) 5 B) 2 C)3 D)4 E) 1 A)4 B) 2 C)3 D)5 E) 1 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 199
- 200. @ En la igualdad que se muestra, para que se verifique se tienen que mover x cerillos como mínimo. Halla el valor de x: E) 2 D)4 C)3 B) 1 A) 5 i ! ._-~"--- ® ¿Cuántos cerillos se deben mover como mínimo para que la igualdad sea correcta? E) 5 D) 1 C)2 B) 3 A)4 NIVEL 3 @ ¿Cuántos palitos debes agregar a la siguiente figura para obtener cien? Hn @ ¿Cuántos cerillos se debe mover, como mínimo, para que se verifique la siguiente igualdad? A) 2 B)4 C)1 D)5 E) 3 A) 1 B)4 C)2 D)5 E) 3 @ ¿Cuántos palitos se deben quitar como mínimo, para que solo haya 3 cuadrados? @ En el siguiente gráfico, ¿cuántos cerillos se tienen que mover como mínimo, para obtener una corbata michi? A)4 B) 6 C)1 D)3 E) 5 * @ ¿Cuántos cerillos se deben mover, como mínimo, para que la operación sea correcta? A) 3 B) 5 C)1 D)2 E) 4 V+ XH =VI A) 5 B)6 C)7 D)4 E) 2 200 tntsnecxurn Evolución 4. o
- 201. @ ¿Cuántos cerillos hay que mover como mínimo para obtener una verdadera igualdad? XH=V ¿Cuál es la mínima cantidad de cerillos que necesitas para construir cuatro triángulos equiláteros iguales? A) 1 B) 4 C)2 D) 5 E) 3 I ______~ ~__J @ A)7 B) 5 C)3 D)4 E) 6 '#' r @ ¿Cuántos palitos como mínimo debemos cambiar de posición para que la casa se vea de costado? / .') W @ ¿Cuál es el máximo número de cuadrados que se pueden formar con 12 cerillos iguales, si la longitud del lado de los cuadrados debe ser la de un cerillo? A) 5 B) 2 C)3 D)4 E) 1 A) 5 B) 8 C) 12 D)6 E) 10 .. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 3 201
- 202. ¿Quién no se ha preguntado alguna vez por qué las antenas parabólicas tienen exactamente esa forma y no otra? ¿Será por razones estéticas, o tal vez habrá alguna razón científica para ello? Pues, la razón es científica, matemática concretamente. Una parábola es una curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto, denominado foco, y de una recta concreta, llamada directriz. Estacurva posee una interesante propiedad, por la cual los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola son reflejados por la misma hacia su foco, es decir, que si yo envío un rayo hacia la parábola que sea paralelo a su eje, entonces esta lo refleja hacia su foco. ¿y para qué puede servir esto? Pues muy sencillo. Si nosotros construimos una antena parabólica (paraboloide) y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, de cualquier lugar del mundo podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor. O podemos orientar un paraboloide con un receptor en su foco hacia el sol para acumular así energía solar, que a pequeña escala puede aplicarse a la cocina y a gran escala en centrales de captación de energía solar.
- 203. Ma te (TI á ti e a re e re a tlva Explosión combinatoria La expresión explosión com- binatoria describe el efecto de funciones que crecen muy rápidamente como re- sultado de consideraciones combinatorias. Desarrollaremos un ejemplo muy descriptivo de este concepto. La cuestión es sencilla: trata simplemente de contar los caminos mediante los que podemos llegar desde el vértice superior izquierdo (S) hasta el vértice inferior dere- cho (G) en una cuadrícula dependiendo de la comple- jidad de dicha cuadrícula.
- 204. r!~ Razonamiento geométrico Teorema de la bisectriz .. . .- TRIÁNGULOS Propiedades básicas OP: bisectriz Si: a > b > c ~ a> ~> 8 Si: a > b > e ¡b - c < a < b + c ~ a-c<b <a +c a-b <c <a +b e x=~ +8 y= a +0 z= a +~ x+ y + z=360· [ a + ~ + 8 =180· 1 . .- .. o~ B [ PA= PB 1 [OA = OB 1 Teorema de la mediatriz p T: mediatriz de AB Congruencia Caso LAl (lado - Ángulo - lado) A 6c [PA = PB 1 [ ~ABC ~DEF 1 Caso ALA (Ángulo - lado - Ángulo) A~C . .. ~ABC ~ ~DEF 1 Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa Caso III (Lado - lado - lado) BM: mediana AC => BM = 2 ~ABC ~ ~DEF 204 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 205. Triángulos notables De 30· y 60· 2a 3D· ,~'J2 Ua Sa 4a 37" De los triángulos rectángulos que se han presentado, solo el de 30° y 60°, el de 45° y 45° Y el de 15° y 75° tienen medidas angulares exactas. En el resto de triángulos, sus medidas angulares son cantidades aproximadas. De 37"/2 53°/2 2a CUADRILÁTEROS Propiedades básicas a av'IO 37"/2 3a Clasificación Trapezoide Trapecio x + y + z + w =360· Paralelogramo Trapezoide bisósceles B .....- --;:r;yC ,, , ,< ' ," ' ~ (X..- - - --r 'D L.----- - - -' D D c A En el trapecio se cumple: [MN =~] [PQ=-Y-] B ~-__-C ,L..J...- - - - - - ---'--'D Isósceles L...L...--- - - - - ---" D Rectángulo ' - - - -- - - -->D Tipos de trapecio Escaleno RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 205
- 206. Tipos de paralelogramo Romboide Rectángulo Ángulos en la circunferencia Ángulo semi-inscrito Cuadrado Ángulo inscrito Ángulo central a Rombo CIRCUNFERENCIA ¿Q A T D ABCO: cuadrilátero M; N; L; T: puntos medios => MNLT: paralelogramo • • Teorema de Poncelet ~ b a + c =b + 2r Ángulo ex-inscrito Ángulo interior x = u+8 2 x = u+8 2 Teorema de Pitot Ángulo exterior d a +c =b +d u-p x= - - 2 u -p x=-- 2 206 Int:e/ect:um Evolución 4 .o
- 207. ProbLemas . . Si a - p=34°, calcula x. B o Resolución: ------- - - - - - - , - - - - En el triángulo AQB se cumple: a + 8 =90° ...(1) Por suma de ángulos internos: x + a + p+ 28 =180° ...(11) Multiplicando por 2 a (1) se tiene: 2a + 28 =180° ...(111) Igualamos (11) y (111): x + a + p+ 28 =2a + 28 x= a-p '---v--' .'. x =34° O Calcula x. Resolución: Por ángulo exterior: 4b =4a + 36° I 4b - 4a =36° b - a =9° Aplicando propiedad en la figura sombreada: x + a =b + 36° x =36° +'º----:=.3 x =36° + 9° .'. x =45° . . Si a + b =30, halla c. 1 Resolución: A E a D 3b/4 B t;::,.ABD notable (3r y 53°) AB =b => BD =3b/4 t;::,.AEB notable (45°) AB =BE b = a + 3b -º- = a =>4b =4a 4 Dato: a + b =30 '-->-' a + 4a =30 5a =30 a =6 => b =24 t;::,.ABC notable (3r y 53°) b =24 =3(8) => C =5(8) .'. c = 40 e Halla a . Resolución: AB =BC => ABCD es un cuadrado PQRS: rectángulo QD = DR => mLRQD = mLDRQ = e t;::,.QDR: por ángulo exterior 28 =45° => 8 =22,5° t;::,.DRT: por ángulo exterior a =90° + e a =90° + 22,5° .'. a =112,5° RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 207
- 208. e Si BC// AD, calcula MN. B 8 e M' A F E D I 20 I • Calcula x. P Resolución: x = mAB => mAB = 2x 2 Por ángulo inscrito: rPor ángulo inscrito: ------------- Resolución: 2x = mCD => mCD = 4x 2 A Del gráfico: I Finalmente: 11 F E 11 D AD = AF + FE + ED 20 =7 + FE + 11 => FE =2 MN = BC+ FE = 8 + 2 2 2 . . MN=5 P e Calcula x, si: AB = BC A Por ángulo interior: 60. = 2x + 4x 2 120· =6x : . x=20· , . . I I , I o SiABCD es un paralelogramo, CD= 14; PC = 5. Halla - - la distancia entre los puntos medios de AC y PD. P C 40· C''---- -'-''--;;-'''''--- - --.:=.J....".B Resolución: Resolución: - - - - - - - - - - - -- - ABCDes un paralelogramo: CD = AB = 14 BC // AD mLDAP = mLBPA = a ~ABP: isósceles AB = BP= 14 AB= BC mLCAB = mLBCA = 70· Por ángulo inscrito: mPQ x=-2- => mPQ =2x A Piden x= AD - PC 2 x= 19 - 5 2 :. x =7 Cu:....:"--~~--::!""-L..:>.B Por propiedad: 208 Inte/ectum Evolución 4. o
- 209. o Calcula x. o En una semicircunferencia de centro A y diámetro PO se construye el cuadrado ABCD. Halla AM; don- - - de: {M} = AB n PO, si O es el centro del cuadrado y PA = AD = 8. Resolución: Resolución: e e El lado del cuadrado = 8 AH = HD =4 Como "O" es centro => OH = 4 Luego: mLOPH = 37" => PA = 3x 2 C-y--J 8 =3x Sea AQ = a => BT= 2a y BC = 4a Luego el ~ABC es notable de 37" y 53°. => mLBAQ = 127° mQP = 53° :. 8 = 53° 2 'x=-ª- .. 3 Resolución: 4D En la figura, calcula 8; si T, Q Y P son puntos de tangencia y CB = 2(BT) = 4(AQ). mPQ .......... x = - - => mPQ = 2x 2 Por propiedad: mLPTQ = 180° - 2x Por propiedad: a + ~ = 8 + 180° - 2x a + ~ - 8 = 180° - 2x 80° = 180° - 2x 2x = 100° : . x = 50° 1000 • Por ángulo exterior: 100° - 80° x=.=.::...c'------"--"_ 2 :. x = 10° Por ángulo inscrito: Por ángulo semi-inscrito: 50° = mAB => mAS = 100° 2 .......... ------ AB = AQ => mAB = mAQ mAB + mBP + mPQ + mAQ = 360° 100° + a + a + 100° = 360° 2a = 160° => a = 80° Resolución: @!) Si:a + ~ - 8 = 80°, calcula x. e A P RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 209
- 210. 1. En el gráfico ABCD es un paralelogramo, calcula x. 2. En la figura observada, calcula DB,si AB =BC=10 cm. A e Al8cm Dl6cm Bl 10 cm El 7 cm C) 5 cm Al4cm Dl 10 cm Bl8cm El 5 cm C) 7 cm 3. En el gráfico, se tiene el triángulo ABC, si AC =8 u/ calcula Be. B ~ A e 4. Halla el valor de x. ABCD es un cuadrado, CDE y AFD son triángulos equiláteros. B e E Al 2 u Dl 3 u Bl5 u El 6 u C) 45u Al 60° Dl20° Bl70° El 45° C) 30° 5. Halla el valor de x. ABCD es un cuadrado. B~lJ A D 6. En la figura, BC= AD = 2 m, calcula x. B ~ A D e Al 32/5° Dl 20° Bl zz.s- El 30° C) 45° Al 53° Dl75° Bl3r El 15° C)30° 7. En la figura, mBE = 80°; AB = Be. Halla el valor de x. B ....--.- ,..-... ....--.- 8. En la figura : mAB = mBC = mCD/ calcula x. D ~E A Al 20° Dl30° Bl60° El 40° C)80° Al 40° Dl80° Bl60° El 50° C) 70° 210 Inte/ectum Evolución 4. o
- 211. 9. En el gráfico mostrado, calcula BO. J""D L6 B e 10. Calcula mLABC, si mLBCA =50°. A)9 D)15 B) 10 E)24 C) 12 A) 100° D) 110° B) 120° E) 105° C) 115° X - - - j 11. Calcula AB si RS = 8 Y AO = 3. 12. Calcula x. A)3 D)8 B) 10 E)5 C)11 A)4 D)16 B)8 E)20 C) 12 13. Sea /10/1 el centro de la circunferencia, halla x. A 14. En la figura, AO = BC+ CO; AB = 28, calcula: R + r A A) 30° D)53° B) 60° E) 45° C)8° A) 14 D)12 B) 8 E) 10 C)6 u « ..; ..t ........ el el aJ el en o .... N ............ w w U U ~ N coi ..; En el rectángulo ABCO, calcula AB. B~C A D [RPta.:AB = r1 + r2 + r3 ] RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Un;dad 4 :::J~_ _
- 212. NNEL , CD Calcula x,según la figura : A) 8 u B) 6 u C) 7 u D) 5 u E) 4 u A) 50° B) 45 ° C) 55° D) 35° E) 60° í (2) Del gráfico, calcula x. A)40 ° B) 50° C) 65° D) 75° E) 60° -- .---~--- I ® De la figura, calcula x. ® De la figu ra most rada , calcula a, si AD =2(DC). B A) 40° ~ B)60° C) 45° D) 30° A~C E) 50° o Según la figura calcula x. A) 40° B) 70° C) 50° D) 60° E) 80° G) En el esquema, el triángulo ABC es equilátero, calcula x. A) 560° B) 70° C) 40° D) 80° E) 50° A) 120° B) 110° C) 100° D) 132° E) 128° ® Indica V (verdadero) o F (falso) en las sigu ientes proposiciones: 1. Los ángulos opuestos de todo paralelogramo tienen la misma medida. ( ) 11. Las diagonales de un rombo tienen la misma longitud. ( ) 111. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. ( ) IV. Las diagonales de un cuadrado tienen la misma longitud. ( ) A) VFVV B) VVFF C) FVVV D) VFFV E) FFVV G) En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH y la bisectriz AE las cuales se cortan en P , si BP =8 u, calcula BE. 212 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 213. ® Si ABCD es un romboide, calcula x, si PD =2BP. A) 53° B)45° C) 30° D)37" E) 60° @ Si ABCD es un paral elog ramo, calcula x, si AB =8 cm, AD =12 cm . A) 8cm B) 12 cm C) 6 cm D) 5 cm E) 16 cm @ En la figura AB = 18 cm y BC = 24 cm. Calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABe. UNMSM 2006-11 A A) 12 cm B) 6cm C)8 cm D)4cm ,L..J.....:'"'---""--- - - - .""c E) 10 cm @ En la figura mostrada, calcula x, si mLA = 60°; m LC =40 O (P; T; Q; R puntos de tangencia). B A) 50° B) 40° C) 80° D) 60° A C E) 70° s NNEL2 @ En la figura mostrada, calcula AB, si A y B son pu ntos de tangencia. A) 5 u B) rs« C) ti u D) 1 u E) 4 u @ En un triángulo ABC, se traza la mediana BM . Las circunferencias insc ritas en el triángulo ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre BM. Calcula PQ, si: BC - AB =12 u UN12008-11 A) 9 u B) 12 u C) 4 u D) 8 u E) 6 u @ Según la figura mostrada, ABCD es un romboide. Calcula: HD A) 6m B) 12 m C) 16 m D) 8m E) 10 m A .L------~ll En la figura BC / / AD, AB =8 m y BC=4 m Calcula : AD Bl~_~1 20 @ A) 3 u B)7 u C) 4 u D) 6 u E) 5 u B 12 u C /E7 A H D RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 213
- 214. A' -- .L.L- -y' Se muestra el rombo ABCD, calcula p. B C A} 20' B} 40' C} 50' D) 30' E} 60' NNEL3 @ A} 60' B} 30' C} 50' D} 20' E} 45' @ De la figura, calcula x. B....-- - - - - -"., lzt A D @ Según el gráfico mostrado, calcula la medida del ángulo CBO, si "O" es centro de la circunferencia. UNMSM 1998 E9 B p A A} 60' B} 45' C} 53' D} 75' E} 40' _-- @ En la figura, ABCD es un rectángulo, calcula x. A} lO' B} 50' C} 25' D} 20' E} 30' A}5m B}8m C}7m D} 6m E)4 m @ Según la figura mostrada, calcula "x + y + z"; si AB = 18 cm, BC = 19 cm, AC = 17 cm. B A} 27 cm ti B}28cm j X '" 'y~ C} 29 cm 1 , D} 31 cm E} 30 cm A I--Z----1C @ En la figura ABCD es un paralelogramo. Calcula BC si BE =8 m. Br-r- ~c @ Según la figura que se presenta, calcula a y 8, si: ,-.... ,-.... mAB =lOO'; mCD =40' @ En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula 8, si M y N son puntos medios. E A} 50'; 60' B} 20'; 60· C} 40'; 70' D} 30'; 70' E} 30'; 80' : []: A} 37" B) 30' C} 60' D} 53' E} 45' 214 Inte/ectum Evolución 4. o
- 215. A) 45° B) 53° 2 C) 37" 2 D) 45° 2 E) 30° B ~c A Q @ Halla 8 si: BP = QC 2 o' o En la figura : P; Q y T son puntos de tangencia, a y b son los radios de las semicircunferencias. Determina la distancia del punto T a la recta PQ. UNMSM 2001 A)2fiib B) 4a2 + b2 C)fiib D)---ª!L a+b E) 2a . b a+b A) 10n cm 7 B) 12n cm 7 C) 8m cm 13 D) 5n cm 7 E) 11n cm 7 p.------..lD í 1 fl" . • ...... NIVEll 9. e 17. E 25. E Le 10. B 18. D 26. e 2. D NIVEL 2 19. A 27. e 3. B 11. E 20. D 28. E 4. E 12. e NIVEl3 29. D 5. A 13. A 21. E 30. e 6. D 14. A 22. A 7. D 15. E 23. B 8.A 16. B 24. A @ En la figura halla Aa. (M punto medio de CDl, BO =2 cm; OM =5 cm . x @ Calcula x si O es centro de la circunferencia. A) 15° B) 12° C) 20° D) 18° E) 10° I I @ Si T es punto de tangencia, calcula x. ~ A) 45° x B) 55° ~ C)65° D) 70° E) 80° @ La circunferencia de centros C1 y C2 t ienen el mismo radio que es igual a C1 C2. Calcula la suma de los ángulos agudos que fo rman las rectas ta ngentes L1 y L2. UNMSM 2004 A) 80° B) 60° C) 120° D)70° E) 30° RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 215
- 216. t!!J Perímetros y áreas PERÍMETROS M O 2p = 7 + 8 + 9 = 24 cm L 8cm h í 8cm 2p = 8(4) = 32 cm L ..., r 14 cm 2p = 2(14 + 8) = 44 cm 8cm ÁREAS L=Zrt. r =2n . 9 =18n cm Áreas de regiones triangulares Teorema de Poncelel B A A b C a + e =b + 2r b a A= a.b 2 A= b.h 2 A= b.h 2 [ A= Q 2 f3 p= a+b+c 4 2 [ A= [ A= J p(p - a)(p - b)(P- C) 1 h2 f3 A= a.b sena 3 2 Teorema de Buriel AMBC =m .n 216 Int:e/ect:urn Evolución 4. o
- 217. p = a+ ~ + e ~ (A =P . r) Propiedades de las medianas de un triángulo A= a.b.c 4R • • G: baricentro B Si BM es mediana B B e e Si AN, BM YCPson med ianas: Si M; NYPson puntos medios: [ Al =A2 =A3 =A4 =As =A6 ] Al =A2 =A3 =A4 ] Propiedad Áreas de regiones cuadrangulares Cuadrilátero e AL--------~D Cuadrado Rectángulo i-J L L [ } h r L b A = L 2 ] G = b X h RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 217
- 218. Trapecio Romboide Rombo b I , o , o , o o , , o D :h , , :h 1 , , , , ASCO : trapezoide a b f---- d - j e [ B [ A ~Did 1 A= (a; b) .h A o ( S = ~AoABCD ) Propiedades en el paralelogramo • • También: A=B=C=D Áreas de regiones circulares [ A=B +C Corona circular Sector circular Segmento circular A 2 A = 1t.r .a 3600 A = 1t.r 2. a _ r 2 sena 3600 2 218 Inte/ectum Evolución 4. o
- 219. ProbLemas =2n.4 + 2n.4 + 4( 2n.4 ) + 12 + 8 + 12 + 8 2 2 12 = 4n + 4n + -ª-n + 40 3 =(32 ~ + 40) cm 2p = LMffi + Liill + 4L MP + AB + BC+ CD+ AD Del gráfico: E B Resolución: o Halla el perímetro de la región sombreada, si se sabe que el perímetro del hexágono regular es 24 cm. e D Como el perímetro del hexágono regular es 24 cm, entonces el lado mide 4 cm y la medida de cada ángulo interior es 120°. • En la figura mostrada ABCD es un cuadrado de área 16 m 2 . Calcula el perímetro de la región sombreada (P: punto de tangencia). B e A '--------ID Resolución: Luego: 2p =2(4) + 4(1) + 4(13)+2(213) = 8+4+413 +413 =(12 + 813) cm o Halla el perímetro de la región sombreada si AB =12 cm (Ol y 02 son centros). A B Como el área del cuadrado es 16 m 2 , entonces el lado del cuadrado es 4 m. Del gráfico: 2p =LMfiN + LíP[)+ AB + BM + ND Resolución: 2p =2n( 2 .f5 - 2) + 2n.2 +4+6-215+6-215 4 2 2p =n{15 - 1) + 2n + 16 - 415 2p ={15 + l)n + 16 - 415 m RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 219
- 220. e Calcula el área de la región sombreada. Resolución: Del gráfico: Asombreada = A<)OBD + A~OAB - Ah:lAOC n(4.f2t.45° 4.4 n.42 = 3600 +2 --4- = 4n + 8 - 4n = 8cm 2 B L/2 F L/2 e A D o ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 cm. Si los vértices C y B se han tomado como centros de cir- ...--.. ...--.. cunferencias para el trazado de AC y BD. Además ------- ADes diámetro de una semicircunferencia. Calcula el área de la región sombreada. B e Resolución: D A Del gráfico: 2 2 A sombreada = n . 2 = 4n cm Del gráfico: Por Pitágoras: 62+ (6 + r)2 =(12 - r)2 36 + 36 + 12r + r 2 =144 - 24r + r 2 36 r =72 r =2 Para hallar el área sombreada solo bastará cal- cular el radio "r" de la circunferencia. B H 6 El área sombreada será igual a la diferencia entre el área del ~EFG menos el área del ~EIG, pero multiplicado por 2. Luego: A sombread a = 2[A¿EFG - A¿E1Gl 2[; .; -;.~] = 2[~ - ~] L 2 .' . A sombreada =""4 o SiABCD es un cuadrado cuyo lado mide 4 cm, halla el área de la región sombreada, si O es centro del arco BD. • Si: AM BQ =12 m 2 ; AC =4AQ; BC =6RC; BQ =3BP . Halla el área de la región sombreada. B Resolución: A,M":: ::---- - - T7k A R e 220 Inte/ectum Evolución 4. o
- 221. o En el gráfico, ABCD es un cuadrado. Calcula el área de la región sombreada. Finalmente: Asombreada = (4Q./2)2 = (4(3)./2)2 = 288 cm 2 Resolución: AC = ,4AQ ~ AQ =a 1 QC =3a 2 AM BQ=12 ~ At'.BQC =3(12) =36 m BC =6RC ~ RC=b; BR =5b 1 Al1QR C= 6" Al1BQC 1 2 Al1QR C= 6" (36) =6 m 2 ~ Al1B QR=5(6) =30 m BQ =3BP ~ BP =C1 PQ =2c 1 Al1BPR="3Al1BQR = .1(30) =10 m 2 3 ~ Al1P R Q=2(10) =20 m 2 Finalmente: Asombreada = Al1PQR+ Al1QR C = 20 + 6 = 26 m 2 Del gráfico: 7Q =21 Q= 3 cm o Calcula el área de la región sombreada sabiendo que se trata de un cuadrado, y el triángulo ABC es isósceles, donde AB = BC = 35 cm . B Trazamos BD, entonces BD =6./2 m. D 6m A Resolución: e A Resolución: AL..-- - - - - '-"D AMBPN: 8° + m LMBP + 8° =90° ~ m LMBP =74° LlABC: BQ es bisectriz, altura y mediana ~ mLABQ =37" Y mLMAQ =53° B e Según el gráfico: Asombreada = AOABCD - (ALlADC+ AOMBN) = 6 2_(n;2 +~[6(./2-1)r) = 36 - (9n + ~ [36(2-2./2+1)]) = 36 - (9n + 9n (3 - 2./2)) = 36 - (9n + 27n - 18n./2) = 36 - 36n + 18n./2 = 18 (2 - 2n + n./2) m 2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 221
- 222. Ae tlVI d el d e s • 1. Calcula el área de la región sombreada, si el área de la región triangular ABC es 66 m 2 ; AM y BD son medianas. B A=-- - ¿-- - --""'( 2. Halla el área de la región sombreada, sabiendo que el área del trapezoide ABCD es 64 m 2 . B 3. Calcula el área de la región sombreada si Al es 4 m 2 . ~a ~ 1-- - - a-[3--------l 4. Halla el área de la región sombreada sabiendo que el área del paralelogramo MNOP es 72 . N o A) 4,5 D)8 B)4 E) 3 C) 4,6 5. Del gráfico, BM =MN, CN =2(AN) ¿qué parte del área de la región triángular ABC es el área de la región sombreada? A~C N 6. Calcula la razón entre el área de la región sombreada y el área del círculo (el flABC es equilátero). B) .1 3 C).1 4 C).1 4 7. Halla el área de la región sombreada. 8. Del grafico, calcula A + B. 2 A)-ª- 9 2 B) -ª---- 24 2 D)-ª- 5 2 E) -ª---- 35 222 Int:e/ect:um Evolución 4 .o
- 223. 9. Siel área del cuadrado ABCDes igual a 20 cm 2 , halla el área de la región sombreada. 10. Calcula: ~ en la figura mostrada. A)l O)2/3 B)2 E) 1/3 C) 1/2 11. Si ABCD es un paralelogramo, calcula X. A !§:l' 12. Del gráfico mostrado, QA = 2(AR); BR = 2(PB), calcula el área de la región sombreada si el área de la región triangular PQR es 210 m 2 . ~ P B R A) 4 + 3B D) 4A - B B)A- B E) A/B C)A+B A) 105 m2 D) 70 m2 B) 90 m2 E) 100 m2 B)(~ )a2 E)(1~)a2 14. Calcula la suma de las áreas de los semicírculos sombreados si BC =a. 13. Calcula el área de la región sombreada, si AR =RQ, BP = PR, PQ =QC y el área de la región triangular ABC es 28 m 2 . A~' [RPta.: 2(2n - 1) m 2 ] r D El área del triángulo AP1B es de 1 m 2 . Si AD se sub- divide en n segmentos cuyas longitudes están en progresión geométrica de razón 2, halla el área del rectángulo ABCD. K " P1 P2 P 3" "" ----------_.__ ._.. .._-_ ._- u « u u ai g :: ~ UJ ce co u Il'i lO ,...: 00 « el M ..t ...... al « u « ..-: N M ~ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 223
- 224. NNEL , o El área de la región cuadrada ABCD es 480 m 2 . Calcula el área de la región sombreada. :eJ: o Calcula el área de la región sombreada, sabiendo que el lado del cuadrado ABCD es a metros. o Se tiene el triángulo ABC, recto en B, si AB =21 m y AC =35 m, calcula el área de la región sombreada. A) 22a 2 m2 57 D) 22a 2 m2 61 B) 23a 2 m2 62 E) 25a 2 m2 57 ~ A e A) 36(6 - n) m2 C) 42(6 - n) m2 E) 36(8 - n) m2 B) 39(8 - n) m2 D)49(6 - n) m2 ® En la figura AB, AP, PB son diámetros, AB =d. P YQ dividen a AB en partes iguales. Halla el área de la parte sombreada. UNMSM 2004-11 ® Calcula el área de la región cuadrada ABCD, sabiendo que el área de la región sombreada es 30 m 2 . : 6]: A) 2 14 nd 2 D) ~ nd 2 B) lnd2 12 E) 11 8 nd 2 224 lnreleuztxur: Evolución 4. o
- 225. ® Calcula el área de la región sombreada en el cuadrado ABCD. Todos son semicírculos. ® El perímetro de un triángulo rectángulo es "P" y uno de sus ángulos es 60°. Elvalor de la hipotenusa es: 2 A)~ 3 D) 2a 2 5 2 C)~ 5 A} (.f3-1)P C) 13 P 2 (3- 13) E} 3 P B} (2+ .f3)p (3+13) D) 2 P (j) Calcula el área de la región siguiente cuadrado ABCD. A B i~ D e 2 A) ~ (4 + n) 2 D}~(6-n} a2 B) -(4-n) 8 2 E)~ (4+n) sombreada en el a2 C) -(S-n) 4 @ En la figura, AaB y caD son sectores circulares. Si el área del sector circular caD es 9 cm 2 y la longitud del arco AB es 10 cm, halla el área de la región sombreada. UNMSM 2008-11 A ® Un segmento de recta cuya longitud es Qse divide en dos partes. Sobre estas se construyen dos triángulos equiláteros. Si el área de uno de uno de ellos es la cuarta parte del área del otro, halla la longitud del lado del triángulo de menor área. UNMSM 2009-11 A) 16 cm2 D) 24 cm 2 B) 20 cm 2 E) 12 cm 2 A} Q/4 D) Q .f3/2 B)Q/3 E) Q.f2/4 C) 2Q/3 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 225
- 226. NNEL2 @ El área de la región cuadrada ABCD es 4 cm2 , calcula el área de la región sombreada. A) (13 + 1) cm 2 C) (12 + 1) cm 2 E) (16 -1) cm2 A~B D e B) (13 -1) cm 2 D) (13 + 2) cm 2 A)l 15 D)~ 20 7 B) -- lO 5 E) 21 @ Calcula el área de la región rectángular ABCD, sabiendo que M y N son puntos medios de los lados del triángulo AOD. A @ Calcula el área de la región sombreada, si el área del paralelogramo ABCD es 240 m 2 . A L D e A) 400 m 2 D) 680 m2 e f--- 20m----l B) 560 m2 E) 720 m2 @ ~ la figura, M y N son puntos medios de BC y DC, respectivamente. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD es el área de la región sombreada? UNMSM 2008-11 226 Inte/ectum Evolución 4. o @ El lado del cuadrado ABCD es 2a metros. Calcula el área de la región sombreada. A) a 2(2 + 2n - nf2) m 2 B) 2a2(2 - 2n + nf2) m2 C) 3a 2(1 + n + nf2) m2 D) 2a2(1- 2n + nf2) m2 E) 2a2(2 + n - nf2) m2
- 227. A) ~ ill m D) ~.fIO m B) ~ ill m E) ~.fIO m C) :illm El área de un triángulo rectángulo ABe, recto en B, es 32 u 2 . Exteriormente se dibujan los triángulos equiláteros AEB y BFC. Si el área de la región triangular EBF es k veces el área de la región triangular ABe, calcula el valor de k. @ A) 5/6 D) 2/3 B) 4/5 E) 1/2 UN12008-11 C) 3/4 @ En el hexágono regular, calcula el área de la región no sombreada, sabiendo que O es centro y el lado del hexágono es 4 cm. ,------.- @ Halla el área de la región sombreada. A) 10/3 cm 2 C) 14/3 cm 2 E) 10 /3 cm 2 B) 12/3 cm 2 D) 15/3 cm 2 2 A)-ª- 3 2 D)-ª- 2 2 B) -ª- 4 2 E) -ª- 8 2 C)-ª- 5 @ En la figura, PQRS es un cuadrado y QT = 6 cm. Halla el área del triángulo sombreado. UNMSM 2008-11 P Q ¡...::::.-------f...l.----(~ T S L..- ---->' @ Se forma un cuadrado con todos los cuadrad itos iguales que se presentan en la figura mostrada. Determina el lado del cuadrado formado. 1--- a m-----l A) 24 cm 2 D) 18 cm 2 e) 15 cm2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 227
- 228. NNEL3 @ La figura ABCD es un rectángulo donde 51 = 12 m 2 , 52=21 m 2 ; luego, se pide calcula 53. A B ® En el siguiente paralelogramo, calcula el área de la región sombreada. D""----- - - - - "'""C @ Calcula el área de la región sombreada, sabiendo que los lados del hexágono regu lar son diámetros. f- 2 m-J A) (213 + 71:) m 2 C) (513 -71:) m2 E) (613 - 271:) m 2 B) (313 - 271:) m 2 D) (613 -71:) m 2 ® Calcula el área de la región sombreada, sabiendo que OP mide 4 m y las figuras son semicírculos. _-- o @ En la figura , AM = MN = NC y ~~ = ~ . Si el área de la región sombreada es 8 cm 2 , calcu la el área de la región triangular ABe. o B) (71: + 13) m 2 D) 71: m2 A) (71: + 2) m 2 C) (271: - 13) m 2 E) 71:/ 2 m 2 @ Sabiendo que AO =D B =213 m, y que 2a =60°. Calcula el área de la región sombreada. A B) 120 cm 2 E) 64 cm 2 B A) 104 cm 2 D) 96 cm 2 228 Inte/ectum Evolución 4. o
- 229. @ Halla el área de la región sombreada. D A) ~ (n + 2) m 2 C) ~ (n + 2) m 2 3 ) 2 E) -(n-2 m 2 B) 2.(n - 2) m2 4 D) 2.(n - 2) m2 2 3u 26 u 16° @ Sea ABCD un cuadrado y AEF un triángulo equilátero inscrito en ABCD. Halla el área del cuadrado ABCD, sabiendo que el área del triángulo AEF es /3. B A) 2 D) 3 + /3 B) 2 + /3 E) 4 C)3 @ Halla el área de la región sombreada. A) n(R 2 - r 2 ) C) n(R2 - 2r 2 ) E) n(R2 - 4r2 ) B) n(2R2 - r 2 ) D) n(R 2 - 3r 2 ) @ Calcula el área de la región sombreada, sabiendo que AB es diámetro y es igual a 6 m. NIVEl 1 Le 2. D 3. E 4. e 5. E 6. B 7. B 8. B 9. E 10. A NIVEl 2 11. B 12. e 13. e 14. D 15. B 16. E 17. B 18. A 19. B 20. D NIVEl3 21. e 22. D 23.A 24. e 25. e 26. D 27. E 28. B 29. D 30 . B RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 229
- 230. t!!J Rnálisis combinatorio FACTORIAL DE UN NÚMERO PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO Resolución: Para elegir un sándwich tiene 3 opciones. Para elegir una bebida tiene 4 opciones. Entonces, por el principio de multiplicación. n." de maneras = 3 x 4 = 12 Ejemplo: Paolín va a una juguería para desayunar, como siempre un sándwich y una bebida. Los sándwich son de pollo, huevo y palta. Las bebidas que hay son: café, té; anís y manzanilla. ¿Cuántas opciones tiene Paolín para elegir su desayuno? Ejemplo : Un estudiante desea comprar su libro INTELECTUM, el cual se vende solo en 3 distritos: en Breña en S librerías, en cercado en 7 librerías y en Lince en 9 librerías. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho libro? Resolución: Por el principio de adición: n." de maneras = S + 7 + 9 = 21 Principio de adición Si un primer evento puede realizarse de m formas mientras que un segundo evento puede realizarse de n formas y no es posible realizar ambos eventos de manera simul- tánea, entonces para llevar a cabo cualquiera de ellos pueden utilizarse cualquiera de las (m + n) formas. Principio de multiplicación Si un evento se puede descomponer en 2 eventos sucesivos y si existen m formas posi- bles de realizar el primer evento y si para cada una de estas existen n formas posibles para el segundo evento, entonces el procedimiento total se puede realizar (en el orden dado) de m x n formas. Se lee: factorial de non factorial n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n - 2) X (n - 1) X n; v n E 'll+ Ejemplo : • S!=l x2 x3 x4 xS=120 • 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x S x 6 x 7 = S040 • 8!=l x2x3 x4 xS x6 x7 x8=40320 ------------------------c .. El estudio del análisis combinatoriotiene sus inicios en los periodos remotos de diversas culturas. Tal es el caso del famoso libro chino I-Ching ("Libro de las transformaciones ") el cual nos proporciona, con sus combinacaones de trigamas místicos, uno de los ejemplos más antiguos. Según algunos historiadores, ell-Ching pudo haberse inspirado en un libro sobre variaciones, que en la actualidad se encuentra perdido, escrito en Japón, en el siglo XII de nuestra era. Los factoriales solo están definidos para cantidades enteras y positivas. Ejemplos: (-3)! no existe 15! no existe O,2! no existe *! no existe 230 Inte/ectum Evolución 4. o
- 231. PERMUTACIONES Son los diferentes ordenamientos que se obtienen con n elementos tomados de k en k. Tenemos 3 tipos de permutaciones. Permutación lineal • Si de n elementos se ordenan k elementos: pn _ n! k - (n - k) ! ,O <k <n Permutación de n elementos tomados de k en k. • Si de n elementos se ordenan n elementos: J Permutación de n elementos. 3 Permutación circular Se llama permutación circular cuando los elementos se ordenan formando una línea cerrada o cuando se ordenan alrededor de un objeto. Ejemplos: 1. ¿De cuántas maneras se pueden exhi- bir 7 juguetes diferentes, si el estante solo tiene 3 lugares disponibles? Resolución: Se trata de una permutación de 7 elementos tomados de 3 en 3. p7 = 7! =l.L = 7 x6 x5 X4! =210 3 (7 - 3) ! 4! 4! 2. ¿De cuántas maneras es posible ubicar a 8 estudiantes en una carpeta de 8 asientos? Resolución: Se trata de una permutación de 8 elementos. P8=8!=40320 ...- . En toda permutación, la característica principal es el orden de sus elementos. 2 1 n [P cn = (n - 1)IJ Ejemplos: ¿De cuántas maneras se pueden ubicar los 10 socios de un club deportivo alrededor de una mesa circular? Resolución: Setrata de una permutación circular de 10 elementos: PClO = (10 - 1)! = 9! = 362 880 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 231
- 232. Permutación con elementos repetidos Se van a ordenar n elementos, de los cuales algunos se repiten. n elementos 00...066 ... 6 I II I 00 ... 0 I I nk Las permutaciones y combi- naciones, además de estar conceptualmente vincula- das, estas se relacionan me- diante la fórmula: P~ = eR xPk Donde: n : n." total de elementos nI; n2; n3; ... r nk: n." de elementos repetidos nI + n2 + n3 + ... + nk:S n Ejemplo: ¿De cuántas formas se pueden ordenar los siguientes ramos de flores de diversos colores para su exhibición: 2 ramos de violetas, 3 ramos de gladio!os y 2 ramos de claveles? Resolución: Setrata de una permutación con elementos repetidos, donde: n = 7; nI = 2; n2 = 3 Y n3 = 2 Reemplazando: p7 = 7! = 7 X6 X5 X4 X3! =210 2;3;2 2! X3! X2! 2 X1 X3! X2 X1 ... .. ~ . . COMBINACIONES Son los diferentes agrupamientos que se obtienen con n elementos tomados de k en k. En una combinación no importa el orden como se tomen los elementos. De n elementos se agrupan k de ellos: en - n! k-k!(n-k)! O<k <n Combinación de n elementos tomados de k en k C7 - 7! _ 7! = 7 x6 x5 X4! =35 3- 3!(7-3)! - 3! x4! 3 x2 X1 X4! Ejemplo: Marco se encuentra con Gina 3 veces a la semana. ¿De cuántas maneras podrá escoger los días para verla? Resolución: Como la semana tiene 7 días, de los cuales tiene que escoger 3 de ellos, se trata de una combinación de 7 elementos tomados de 3 en 3. • C~ =1 • C~ = n Propiedades e" n-k +1e" • k= - k - k - 1 • e~ +e~ + e~+ ...+ e~= 2" • Cn = 1 n • C n I =n n- 232 Inte/ecturn Evolución 4 .o
- 233. Problemas o Si en una reunión se observaron 45 apretones de mano, ¿cuántas personas habían en dicha reunión? Resolución: • ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con todas las letras de la palabra TERCERO? Resolución: Sea n el numero de personas. Como el apretón de manos o intercambio de I saludos se da sin importar el orden y además entre 2 personas, entonces se trata de una combinación. (--~- -~_._- I I -------~ --- ------ --- - - ~ - - - - - - - I Importa el orden. 1 letra T 2 letras E 2 letras R 7 letras 1 letra C 1 letra O C~ =45 n(n -1) =45 2! n(n - 1) =90 n(n - 1) = 9 X 10 ==} n =10 Por lo tanto, a la reunión asistieron 10 personas. • ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en el campeonato descentralizado de fútbol en una rueda, en la que participan 16 equipos? Resolución: ==}p7 _ 7! 1;2;2;1;1 - 1! . 2! . 2! . 1! . 1! P 7 _ 7.6.5.4. 3.2! 1;2;2;1;1 - 21.2! 7 PI' 2' 2'1'1 = 1260 , , , , • Se quiere sentar cinco hombres y cuatro mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los sitios pares. ¿De cuántas formas pueden sentarse? Resolución: 1 3 5 7 9 DDDDD 5 x 4 X 3 X 2 X 1 = 120 4 asientos pares: 4 6 8 DDD Se trata de una combinación ya que el orden no interesa. Cada partido se juega de 2 en 2, luego el número de combinaciones será: I 2 ID 4 x 3 x 2 x 1 =24 Luego: 120 X 24 = 2880 Se pueden sentar de 2880 maneras. l X4 X4 X4=64 • ¿Cuántos números mayores de 5000 se podrán formar con las cifras 2; 5; 1 Y4? Resolución: a 5 b 2 5 1 4 c 2 5 1 4 d 2 5 1 4 CE» Una clase consta de 9 niños y 3 niñas. ¿De cuántas manerasel profesor formará un comité de 4 alumnos? Resolución: ( - - ~ - - - - - - - _ .._.- . -- - - - - I Como no se toma en cuenta el orden, se trata i de una combinación. , C12 _ 12 X 11 X 10 X 9 4 - 4! C~2= 495 Podrá formar el comité de 495 maneras distintas. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 233
- 234. Se trata de una permutación con repetición de ' 12 elementos con 6; 4 Y2 elementos repetidos: P12 _ -.!lL _ 12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6! 6;4;2- 6!4!2! - 6! X4 X3 X2 X1 X2 X1 o Halla el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de la palabra IMPROPIO. Resolución: r Como hay letras que se repiten, se trata de una permutación con repetición. Total de letras: 8 Total de letras P: 2 Total de letras O: 2 Total de letras 1: 2 Total de letras M : 1 Total de letras R: 1 8 8! P2; 2; 2; 1; 1 = 2!2!2!1!1! =..=;8...:.... X.:....;7:....,:X,-,--,,-6...:.... X.:....:5:....:X....:......:..4..:.... X.:....:3:....:X....:....=..2 8 8 P2; 2; 2; 1; 1 =5040 :. El número de permutaciones es 5040. --- -- ------- - -------------------- -------- -~-----------"---.-_._---_/ e Con 7 varones y 5 mujeres se van a formar comi- tés mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras se pueden formar, si en cada comité hay 2 mujeres? Resolución: Sin contar a las dos mujeres se formarán grupos de 4 personas con los hombres, y se formarán grupos de 2 mujeres, entonces: C7 X Cs = 7 x 6 x 5 x 4! x 5 x 4 x 3! 4 2 4! x3! 2! x3! C~ X C~ = 35 x 10 =350 l~ Se pueden formar 350~~~ilesmiX:~ o ¿Cuántos comités de 4 personas se pueden formar con un grupo de 12 personas, de tal manera que la comisión tenga un presidente, un secretario, un tesorero y un vocal? 234 Inte/ectum Evolución 4.o Resolución: G e trata de una perm~tación de 12 elementos I tomados de 4 en 4. I p12_ 12! _12! _12 x11 X10 x9 x8! I 4 - (12 - 4!) - 8! - 8! I p¡2 = 11880 l :.Se pueden formar 11880 comites. @) Si sobre una mesa se encuentran 12 bolas, de las cuales 6 son blancas, 4 son negras y las restantes de color rojo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar dichas bolas en fila? Resolución: ( ¡ I i =13 860 l .Se pueden.colocarde 13 860 manerasdiferentes. j o La línea punteada indica el camino a seguir, para llegar a Bdesde A,a través de las veredas. ¿Cuántos caminos diferentes, pero de igual longitud podemos recorrer para desplazarnos entre los puntos mencionados? c=J¡c=J c=J c=J -----------. c=J c=Jic=J c=J "-- ------ -. c=J c=J c=Jj~ Resolución: --------------.- ---- Se observa que a partir de A hasta B hay que recorrer 7 cuadras: 4 horizontales (H) y 3 verticales (V), las posibilidades serán: {HVHVHVH, HHHHVVV, VHVHVHH, ...} Luego el problema consistiría en permutar 4H y 3V, lo cual es una permutación con repetición . Número de .p7 = 7! 35 l_ caminos diferentes 4;3 4! X 3! =
- 235. R1: tlvld el d ~ s 1. Halla x,en: (x + 4)(x + 3)(x + 2)! =5040 2. Reduce: R = 1359 + l..?m& + ~ 1358 12009 ~ A)l 6)4 C)2 D)5 E)3 A) 359 6) 2010 C) 240 D) 2372 E) 120 3. Suma: L LI -~ ~-12 12-~ ~-11 = 12 + ~ + ~ + ... + lJL 4. Si: 120. (120)24! = (5!)(4!)! . (5 + x)! Calcula: (x + 2)! A) 64 6)49 C)7 D)81 E) 91 A)O 6) 1 C)2 D)3 E)4 S. Con cuatro personas, ¿cuántos grupos de 3 personas se pueden formar? 6. María tiene 4 blusas y 6 faldas, todas de diferentes colores. ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la blusa roja siempre la usa con una falda morada y viceversa? A)4 6)6 C)8 D)5 E)7 A) 16 6)24 C) 18 D) 17 E) 19 7. ¿Cuántas ensaladas, con 4 frutas, podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? 8. Álvaro tiene 8 billetes de valores diferentes. ¿Cuántas sumas de dinero distintas se pueden formar tomando los billetes de 3 en 3? A)210 6)40 C) 180 D)150 E) 145 A)32 6)56 C)72 D)42 E) 24 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 235
- 236. 9. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 5 banderolas diferentes, si en cada señal deben haber 2 banderolas? 10. Una melodía musical debe estar formada por 5 notas diferentes. ¿Cuántas melodías se pueden componer? A)30 B)20 C) 15 D)60 E)25 A) 48 B)120 C)72 D)36 E) 130 11. Con las cifras 1; 4; 6 Y7, ¿cuántos números de 1; 2 Y 3 cifras diferentes puedo formar en total? 12. En un campeonato de fútbol participan 16 equipos. ¿De cuántas maneras ocuparán los 5 primeros puestos, sabiendo que Ciencia no saldrá siempre campeón? A) 14 B) 16 C)40 D)15 E) 17 A) 32 760 D)97 500 B) 12400 E) 10840 C) 10015 13. Halla el total de combinaciones que se pueden hacer con 5 letras tomadas en primer lugar de 2 en 2, luego de 3 en 3 y después de 4 en 4. 14. Un club tiene 15 miembros, 10 hombres y 5 mujeres. ¿Cuántos comités de 8 miembros se pueden formar, si cada comité debe estar integrado por 3 mujeres? A) 25 B)84 C) 70 D)36 E)120 A) 3423 B) 5150 C) 2520 D)8155 E) 1680 « u M ..¡ ...... ~--- ---_._-----_._-- Rpta.: 7 noa!(a + 1) =[(b!)!]120 Halla a + b, si: al al U « oi e .- N ......... UJ o w U ~ N M ...¡. ~36J tmietectism Evo/ucléJn 4.'
- 237. NNEL' o Una persona desea viajar de Lima a Piura; para ello dispone de ocho líneas aéreas, seis líneas terrestres y cuatro rutas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje, si puede utilizar solo una de las rutas? @ En un concurso de belleza hay 10 hermosas participantes, ¿de cuántas maneras diferentes se puede elegir a los cuatro primeros lugares? A) 16 B) 17 C) 18 D)32 E) 192 A) 5040 B) 210 C) 620 D) 720 E) 1080 o Un alumno tiene seis pantalones, cuatro camisas y tres pares de zapatos, todos ellos de distinto color. ¿De cuántas maneras diferentes se podría vestir usando estas prendas? (j) ¿Cuántas palabras diferentes sin importar su sentido, se pueden formar intercambiando de lugar las letras de la palabra PROBLEMA? A) 13 B)60 C) 82 D) 72 E)54 A) 720 B) 8! C) 7! D) 4! . S! E) 360 ® Con siete banderas de diferentes colores, ¿cuántas señales distintas de tres banderas se pueden hacer? ® ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B? A) 120 B) 170 C) 196 D)200 E) 210 A)12 B)14 C) 16 D)20 E)24 ® ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obtenerse con las letras de la palabra CREMA? (!) ¿Cuántos números enteros y diferentes mayores que 10 y menores que 100, se pueden formar con las ocho primeras cifras (1; 2; ...; 8), siendo el número, de cifras diferentes? A)70 B)120 C) 24 D)48 E) 240 A)34 B)56 C) 48 D)64 E)32 @ ¿Cuántos sonidos diferentes pueden producirse con seis teclas de un piano, si se tocan tres de ellas simultáneamente? ® En una evaluación debo contestar seis de ocho preguntas planteadas. ¿De cuántas maneras diferentes podré elegir las seis preguntas? A) 10 B)20 C) 30 D)120 E) 60 A) 24 B)56 C) 28 D) 20 160 E) 1200 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 237
- 238. @ Se deben seleccionar dos personas para ocupar los cargos de director y subdirector de un grupo de cinco personas igualmente capacitadas. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar dichos cargos? @ Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay seis asientos. Si solo dos saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? NNEL2 @ ¿De cuántas maneras pueden ubicarse cinco personas en una fila de cinco asientos? A) 5 B) 20 C) 30 O) 120 E) 720 ® Diez invitados se han dividido en dos grupos de cinco para ocupar dos mesas.¿Decuántas maneras puede repartirse a los invitados en dichos grupos? A) 80 B) 120 C) 156 O) 190 E) 252 @ ¿Cuántas ensaladas que contienen exactamente tres frutas podemos preparar si disponemos de 6 frutas? A)20 A) 28 A)24 B)60 B) 20 B)60 C) 120 C) 26 C) 120 0)80 O) 30 0)240 E) 240 E) 60 E) 360 A) 10 B) 15 C)20 0)24 E)48 Con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5 Y 7; ¿cuántos números de cuatro cifras diferentes se podrán formar? A) 15 B) 90 C) 180 O) 360 E) 240 ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato que se juega a dos ruedas? Suponer que participan 12 equipos. A) 124 B) 160 C) 144 O) 120 E) 132 @ ¿De cuántas formas se podrán ubicar 5 personas en una fila de siete asientos, dejando los dos asientos libres, siempre juntos? NNEL3 @ En el campeonato de fútbol inglés participan 18 equipos. ¿Cuántos partidos se jugarán en un torneo? Los partidos son de ida y vuelta. @ Cuatro personas entran en un vagón de ferrocarril en el que hay siete asientos. ¿De cuántas maneras diferentes pueden ubicarse? A) 540 B) 680 C) 760 O) 570 E) 840 @ Se tienen 6 candidatos para ocupar los cargos de presidente, secretario y tesorero. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá realizar la selección? 238 Inte/ecturn Evolución 4. o A) 120 A) 153 B)240 B)264 C) 600 C) 324 O) 720 0)306 E) 840 E) 284
- 239. @ ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir cuatro premios distintos a t res personas, si cada uno debe recibir por lo menos un premio? @ Se tienen 12 puntos coplanares, no situados tres de ellos en línea recta. ¿De cuántas maneras pueden formarse triángulos teniendo a un punto determinado como vértice? A) 36 B) 35 C) 60 D)12 E)43 A)55 B)45 C) 110 D)220 E)80 @ ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales con 5 banderas de colores diferentes? A) 120 B)240 C) 300 D)325 E) 360 @ ¿Cuántos ordenamientos diferentes pueden obte- nerse con las letras de la palabra BLANQUIAZUL? A)~ B)~ C)~ D) 10! E)12! 2 12 8 5 5 @ Una persona dispone de ocho fichas , cada una de ellas con un número del 1 al 8. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá tomar cuatro de ellas y lograr que la suma de ellas sea un número par? A un trabajo se presentan cinco ingenieros y cuatro arquitectos. ¿De cuántas maneras se podrá hacer la elección de dos ingenieros y dos arquitectos? A) 90 B) 60 C) 30 D) 120 E) 45 @ Alrededor de una mesa circular de siete asientos se ubican 2 chicas y 4 chicos, ¿de cuántas maneras podrán hacerlo, si el asiento vacío debe quedar entre las dos chicas? A) 16 B) 48 C) 60 D) 96 E) 144 ] A) 36 B)28 C) 38 D)37 E) 18 @ ¿De cuántas maneras diferentes puede ser contestado un formulario de 10 preguntas, si cada una se contesta con un sí o un no? @ Un equipo de vóley se sienta a dialogar en una mesa circular. ¿De cuántas formas se pueden sentar sus integrantes, si tres de ellos siempre deben estar juntos? C) 1024 D) 720 frv ~ -- ~ • ~ ..... ...... NIVEL 1 9. B 17. B 25. D Le 10. D 18. e 26. e 2. D 19. E 27. A NIVEL2 3. e 20. D 28. D 11. D 29. e 4. B 12. E NIVEL3 30. B 5. e 13. e 21. D 6.A 14. D 22. A 7. B 15. E 23. e 8. E 16.e 24. B E) 6 E) 256 D)36 C) 12 B)24 B)680 A) 22 A) 512 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 239
- 240. ~~ Probabilidades EXPERIMENTO ALEATORIO (E) ·, - Todo subconjunto del espacio muestral que presenta un solo elemento se denomina evento o suceso elemental. ., Dado un suceso A. se llama suceso contrario de A. al complemento del suceso respecto al espacio muestral y se denota: A' oAc Es aquel fenómeno que bajo las mismas condiciones experimentales se presenta en más de una manera. ESPACIO MUESTRAL (.o) Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. EVENTO O SUCESO Un evento o suceso es cualquier subconjunto de un espacio rnuestral . Se denotan con las letras mayúsculas del alfabeto. • Suceso imposible: si el suceso A resulta ser un conjunto vacío (A =0 ), entonces es un suceso imposible. • Suceso seguro: si el suceso A es igual al espacio muestrtal (A =n), entonces es un suceso seguro. Ejemplo: Al lanzar un dado se observan los siguientes sucesos: • A: obtener un número par. A ={2; 4; 6} • B: obtener un número impar. B ={1; 3; 5} • C: obtener un número mayor que 6. C ={7; 8; 9; ...} ~ Ces un suceso imposible • D: obtener un número mayor que O. D ={1; 2; 3; 4; 5; 6} ~ D es un suceso seguro. SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Dados los sucesos A y B,se dice que son mutuamente excluyentes si y solo si A n B=0 . Ejemplo : De los pacientes atendidos en una clínica, se tienen los siguientes sucesos: • A: se han atendido a menos de 16 personas. A ={1; 2; 3; ...; 15} • B: se han atendido exactamente 18 personas B ={18} • C: se han atendido a más de 12 personas. C ={13; 14; 15; oo.} Entonces: A y B son sucesos mutuamente excluyentes: A n B =0 By Cson sucesos no excluyentes: B n C ={18} A YC son sucesos no excluyentes: A n C = {13; 14; 15} 240 Inte/ectum Evolución 4. o
- 241. . . SUCESOS INDEPENDIENTES Dados dos sucesos A y B, se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de A no afecta el hecho de que ocurra simultáneamente o sucesivamente B. Observación Dos eventos o sucesos A y B son independientes si: P(A n B) = P(A) . P(B) DEFINICiÓN DE PROBABILIDAD SiA es un suceso de un espacio muestral n, entonces la probabilidad de ocurrencia de A se denota por P(A) y está dada por: P(A) = n.o de casos favorables del suceso A n.ototal de casos en n Ejemplo: Una caja contiene 11 lapiceros azules, 7 lapiceros rojos y 5 lapiceros negros; si se extrae al azar uno de ellos, determina la probabilidad de que el lapicero extraído no sea de color azul. Resolución : A: el lapicero extraído no sea azul P(A) = n.O de lapiceros que no son azules n." total de lapiceros 7 + 5 12 = = 11 + 7 + 5 23 Recuerda Lanzar una moneda dos veces es equivalente a lanzar dos monedas una sola vez. En general , si una moneda se lanza n veces , entonces el espacio muestral tendrá 2" sucesos elementales. PROBABILIDAD CONDICIONAL Propiedades • O:::; P(A) :::; 1 • P(AC ) =1- P(A) • Para dos sucesos cualesquiera A y B se tiene que : P(AU B) =P(A) + P(B) - P(A n B) • Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes se tiene que : P(A U B) = P(A) + P(B) ------------------------c Es la probabilidad de ocurrencia de B, dado que ya ocurrió A y se denota por P(B/A) y se calcula así: P[B/Al = p(An B) ; P(A) > O P(A) Ejemplo: Enuna caja se tienen bolas numeradas dell al 9; si se extrae una bola al azar, determina la probabilidad de que la bola extraída sea mayor que 6 dado que fue impar. Resolución: • • Para un suceso seguro la probab ilidad será 1: p(n ) = 1 n = {l' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9} ~ n(n) = 9 , I , I , , , I B: sea mayor que 6 ~ B ={7; 8; 9} A: sea impar ~ A = {l; 3; 5; 7; 9} ~ n(A) = 5 A n B: sea impar y mayor que 6 ~ A n B ={7; 9} ~ n(A n B) =2 P[B/Al = P(A n B) = 2/9 =1- P(A) 5/9 5 Para un suceso imposible la probabilidad será o: P(<I» =O RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 241
- 242. Problemas . . En una caja hay 24 fichas numeradas del 1 al 24, todas del mismo tamaño y forma. Si se extrae una ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea múltiplo de 6 Ó 7? Resolución: n = {1; 2; 3; 4; oo.; 24} =} n(n) = 24 A: la ficha tiene un múltiplo de 6 Ó 7. A = {6; 7; 12; 14; 18; 21; 24} =} n(A) = 7 n( A) 7 : . P(A)= n(n ) =24 • Se escribe al azar un número de dos cifras, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número escrito sea múltiplo de S? Resolución: E: escribir un número de dos cifras. A: el número es múltiplo de 5. A ={10; 15; 20; 25;30; 35;40;45; 50; 55; 60; 65;70; 75;80; 85; 90; 95} =} n(A) = 18 / n(n) = 99 - 10 + 1 = 90 . P(A) = n(A) = ~ = .l n(n ) 90 5 • Se extrae una carta de una baraja normal. Calcula la probabilidad de obtener un 2 o un 5. Resolución: E: se extrae una carta. A: obtener un 2 =} n(A) = 4 B: obtener un 5 =} n(B) = 4 Sabemos: n(n) = 52 ComoAYBsonsucesos mutuamente excluyentes: P(A U B) ~ P(A)+ P(B) ~:~j + :~j . 4 4 8 2 . . P(A U B) = '52 + '52 = '52 = 13 242 Int:e/ect:urn Evolución 4. o • Seextrae un bolo de un total de 12 (los bolos están numerados del 1 al 12). ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 4, si se sabe que fue par? Resolución : - - - - - - A: el bolo tiene un múltiplo de 4. B: el bolo es par. o = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} =}n(n ) =12 A n B = {4; 8; 12} =} n(A n B) = 3 =} p(An B)= n(A nB) = -ª- =.l n(n ) 12 4 B = {2; 4; 6; 8; 10; 12} =} P(B)= n( B) = ~= .l n(n) 12 2 1 :. P(A/ B) = p( An B) = 4 = 1 P(B) .l 2 2 • Tres cazadores disparan contra una liebre. Las pro- babilidades de que peguen en el blanco son res- pectivamente ~; 1 3 0 Y 1 6'¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tres cazadores dé en el blanco? Resolución : Sean los cazadores A, B YC y las probabilida- I des de que acierte cada uno: P(A)=.l. P(B)= -ª- YP(C) = l 5' 10 10 Sea el suceso: M: que al menos uno de los cazadores acierte . =} M': que ninguno acierte. P(M') = P(A') . P(B') . P(C') = 1. .L. JL = --ª- 5 . 10 . 10 250 =} P(M) = 1 - P(M') = 1 _ --ª- = 250 - 63 250 250 : . P(M) = 187 250
- 243. - - - - - - _ / Como A Y B son sucesos independientes: I :. P(An B} = P(A} . P(B} = ~ . ~ = 3~ o ¿Cuál esla probabilidad de que se obtenga el número 3 y el4 en dos lanzamientos sucesivos de un dado? Resolución: • La probabilidad de que mañana llueva es 0,11; la probabilidad de que truene es 0,05 y la probabilidad de que llueva y truene es 0,04. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva o truene mañana? Resolución: El espacio muestral sería: 0= {1; 2; 3; ... ; 30} • A: salga par A = {2; 4; 6; ...; 30} => n(A) = 15 P(A} =J2 30 • B: salga multiplo de 5 B ={s; 10; 15; 20; 25; 30} => n(B} = 6 P(B} = 360 • A n B: salga par y múltiplo de 5. A n B = {10; 20; 30} => n(A n B} = 3 P(A n B} = 330 P(A U B) = P(A) + P(B} - P(A n B} 15 6 3 3 l~ = 3~_~ 30 ,=] 0 = 5 Resolución: ,--- - - I E( lanzar una moneda 4 veces 01 = {cccc; cccs; ccsc; ccss; cscc; cssc; cscs; cssss; ssss; sssc; scsc; sscc; sccc; sccs; scsc; scss}=> n(O l} = 16 A: obtener exactamente 3 caras A = {cccs; ccsc; cscc; sccc} => n(A) = 4 P(A) = 1~ E2: tirar 2 dados 0 2= {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (2; 4), (2; S), (2; 6), (3; 1), (3; 2), (3; 3), (3; 4), (3; S), (3; 6), (4; 1), (4; 2), (4; 3), (4; 4), (4; S), (4; 6), (5; 1), (5; 2), (5; 3), (5; 4), (5; S), (5; 6), (6; 1), (6; 2), (6; 3), (6; 4), (6; S), (6; 6)} => n(02} = 36 B: obtener una suma igual a 11 B = {(S; 6), (6; S)} => n(B} = 2 P(B) = 3 26 Luego' piden : ...i.. x ...L= l , 16 36 72 @!) ¿Cuáles la probabilidad de obtener exactamente 3 caras en 4 tiros de una moneda y una suma igual a 11 en un tiro de dos dados? o Una caja contiene 30 bolas numeradas del 1 al 30. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar una bola resulte par o múltiplo de S? Resolución: II IA: que llueva => P(A) = 0,11 B: que truene => P(B} = 0,05 Además: P(A n B} = 0,04 Luego: P(AU B} = P(A} + P(B} - P(A n B} P(AU B) = 0,11 + 0,05 - 0,04 :. P(AU B} =0,12 ~ - - A: obtener 3 => A = {3} Á n(A} = 1 B: obtener 4 => B = {4} Á n(B} = 1 Luego: P(A) = n(A) =1. Á P(B}= n(B) =1. n(O) 6 n(O) 6 o La probabilidad de que Paolo ingrese a la UNAC es 0,3 y de que ingrese a la UNFV es 0,7. Si la pro- babilidad de que ingrese al menos a una de estas universidades es 0,8; halla la probabilidad de que ingrese a las dos universidades mencionadas. Resolución: ~an los eventos: A: ingresa a la UNAC; B: ingresa a la UNFV P(A) = 0,3; P(B} = 0,7; P(A U B} = 0,8 Piden: P(A n B} Luego: P(AU B) = P(A} + P(B} - P(A n B} 0,8 = 0,3 + 0,7 - P(A n B) :. P(A n B} =0,2 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 243
- 244. Al:: tlVI d el d e s 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 Ó 4 al lanzar un dado? 2. Se lanza un dado y una moneda simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número primo y un sello? A) 1/2 D) 1/3 B) l/S E) 2/3 C) 3/5 A) l/S D) 1/2 B) 2/5 E)1/4 Cl 1/3 3. 3 caballos A, B Y C intervienen en una carrera, A tiene doble posibilidad de ganar que B y B el doble de ganar que C. ¿Cuál es la probabilidad de que gane C? 4. Se lanzan 2 dados simultáneamente. Calcula cuán- tos elementos tiene el espacio muestra!. A) 1/3 D) 2/5 B) 2/3 E) 1/4 Cl 3/4 A) 64 D)16 B)32 E)40 Cl 36 5. Calculala probabilidad de que al arrojar una moneda dos veces, aparezca aunque sea una vez sello. 6. En una caja se tienen 7 lapiceros rojos, 8 azules y 6 blancos. Si se extrae uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea rojo? A) 1- 4 D)l Cll. 4 A) 1- 3 D) 1.- 3 B) -ª- 21 E) ...L 21 Cll.- 7 7. Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si escogemos dos piezas al azar, halla la probabilidad de sacar un tornillo y una tuerca. 8. Al lanzar tres monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de obtener 2 caras y 1 sello? A)..L 17 D)-ª- 17 B) 1- 8 E) .2.- 15 Cll. 7 Cl~ 8 244 Intelecturn Evolución 4. o
- 245. 9. En una carrera automovilística participan 3 peruanos, 3 bolivianos y 5 colombianos. Si todos tienen igual posibilidad de ganar, ¿cuál es la probabilidad de que llegue primero un colombiano y segundo un peruano? 10. Si se lanzan 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener 10 puntos? A) 2. 11 D)~ 11 B)2- 22 E) -ª- 21 C)2- 11 B) ...L 12 E) 1. 6 C)1. 3 11. Una familia tiene 7 hijos, de ellos 3 son mujeres. Para la cena se llamó a todos por igual. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 primeros que lleguen sean hombres? (Todos gozande las mismas condiciones). 12. Sobre el piso un niño ha dibujado un círculo, luego duplica el largo de la cuerda usada y usando el mismo centro dibuja otro círculo, después arroja una canica sobre los círculos dibujados. Calcula la probabilidad de que dicha canica caiga dentro del círculo mayor, pero no dentro del círculo pequeño. B) -.L 24 E)~ 35 C)2- 24 A) 0,75 O) 0,5 B) 0,25 E)0,125 C) 0,4 13. Delos siguientes dígitos: 1; 2; 3; 4; ...; 9. Sitomo 2 de estos, ¿cuál es la probabilidad de que la diferencia positiva entre ellos sea 3? 14. Tres tornillos y tres tuercas están en una caja. Si escogemos dos piezas al azar, halla la probabil idad de sacar un tornillo y una tuerca . C)1. 9 B) 1. 8 E)~ 15 C)-ª- 7 ce ce w « oi e:i ..... Ñ ........... Si la probabilidad de ganar una partida de ajedrez es P , ¿cuál será la probabilidad de ganar al menos una part ida en 3 partidas de ajedrez? [ Rpta.: (1- p)3 ] .J--------_~ _ RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 245
- 246. NNEL' CD Se lanzan dos dados al aire y se observan los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de la suma de puntos sea igual a 7. A) 4/5 B) 1/2 C) 1/6 D) 1/3 E) 1/5 o Del problema 1, halla la probabilidad de que la suma de puntos sea un número par. A) 1/3 B) 1/4 C)3/5 D)1/2 E) 2/3 Del problema 1, halla la probabilidad de que la suma de puntos sea múltiplo de tres. A) 3/4 B) 1/2 C) 1/5 D) 1/6 E) 1/3 G) Del problema 4, halla la probabilidad de que salgan dos sellos. A) 2/3 B) 1/5 C) 1/2 D) 2/5 E) 1/3 o Del problema 4, halla la probabilidad de que salga una cara y un sello. A) 3/4 B) 1/5 C) 1/2 D) 1/6 E) 1/3 Enun sobre hay 20 papeletas, ocho llevan dibujado un coche y las restantes son blancas. Halla la probabilidad de extraer una papeleta con el dibujo de un coche, si se saca una papeleta al azar. A) 1/2 B) 4/5 C) 2/5 D)2/3 E) 4/2 Halla la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan dos caras. A) 1/4 B) 2/3 C) 1/6 D) 1/3 E) 1/5 246 Inte/ectum Evolución 4. o ® Del problema 7, halla la probabilidad de extraer al menos una papeleta con el dibujo de un coche, si se extraen dos papeletas al azar una tras otra. A) 62/95 B)63/90 C)61/95 D) 60/93 E) 69/95
- 247. G) Juan rinde su práctica calificada y la calificación es de Oa 20. ¿Cuáles la probabilidad de que obtenga una nota impar menor que 14? @ Al lanzar 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado del primer dado sea mayor que el resultado del segundo? A) 2/3 D) 1/21 B) 1/3 E) 3/7 C) 4/21 A) 5/12 D) 19/36 B) 18/24 E) 7/9 C) 17/36 @ Si se escoge un número de la sucesión: 1; 2; 3; 4; ...; 280. ¿Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de 4; 5 Y6? @ En una caja hay una tarjeta roja, una verde y una negra. Sin mirar se saca una tarjeta y se devuelve a la caja, luego se saca otra tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de que en la primera y la segunda vez se saque una tarjeta verde? A)}/20 D) 11/200 B) 9/20 E) 29/50 C)1/70 A) 1/9 D) 1/12 B) 1/3 E) 1/8 C) 1/6 @ Seescribe al azar un número de dos cifras, ¿cuál es la probabilidad de que dicho número escrito sea múltiplo de 12? NNEL2 @ De una caja que contiene 4 esferas rojas, 3 azules y 2 verdes, se extrae al azar una de ellas. Halla la probabilidad de que la esfera extraída no sea azul. A) 4/45 D) 7/9 B) 1/90 E) 2/3 C) 7/90 A) 2/5 D) 2/3 B)3/4 E) 1/5 C) 1/6 @ Si se lanza 5 monedas, ¿cuál es la probabilidad de que salga un sello? @ En una urna hay 7 esferas rojas, 3 negras y 4 azules. Si se extraen dos esferas una por una, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea azul? (Experimento sin reposición). A) 1/8 D) 5/32 B) 1/64 E) 1/16 C) 1/32 A) 1/3 D) 1/18 B) 2/13 E) 3/17 C) 1/7 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 247
- 248. @ Sise lanza 5 veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de que en los 5 lanzamientos se obtengan números diferentes? A) 5/54 D) 4/11 B) 3/59 E) 3/41 C) 3/11 NIVEL 3 @ Se lanzan simultáneamente una moneda y un dado. Calcula la probabilidad de obtener una cara y un número par. C) 1/5 B) 1/3 E) 1 @ Un disco, que está dividido en sectores iguales de blancos y rojos alternadamente, comienza a girar con rapidez constante y se le arroja un dardo. Calcula la probabilidad de que el dardo caiga en un sector rojo (suponer que la probabilidad de que un dardo caiga sobre una superficie es proporcional al área de esta). A) 1/4 D) 1/2 C) 1/6 B) 1/4 E) 3/4 A) 1/3 D) 2/3 @ Tres hermanas van al cine con tres amigos. Sitodos se sientan en una fila de 6 asientos, ¿cuál es la probabilidad de que las hermanas estén siempre juntas? @ Entre un ciento de fotos se encuentra una foto especial. Si se toma 10 de ellas al azar, calcula la probabilidad de encontrar entre ellas lafoto buscada. A) 1/36 D) 1/44 B) 1/5 E) 1/30 C) 1/24 A) 0,2 D)0,05 B)0,15 E) 0,01 C) 0,1 @ Sobre una mesa hay 15 monedas con 7 caras y 8 sellos a la vista. Si se separan 8 monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad que resulten 4 caras y 4 sellos? @ María ha calculado que la probabilidad de que Juan la visite es ~ , de que Pedro la visite es ; y de que Alberto la visite es ~ . ¿Cuál es la probabilidad de que ese día se encuentren los 4 amigos? ¿Cuál es la probabilidad de que alguien la visite? A) 245 1887 D) 490 1287 B) 490 1887 E) 215 1647 C) 373 1584 A) 8 . 4 35 ' 105 D) 3 . 12 35 ' 105 B) JL . 101 35 ' 105 E) -ª--.R 35 ' 35 C) JL.12 35 ' 35 248 lrtzetectiun» Evolución 4. o
- 249. @ De una baraja de naipes (52 cartas) se extraen 2 cartas al azar,¿cuál es la probabilidad de que sean una reina y un rey? A) 2/13 D) 3/13 B) 3/26 E) 1/12 C) 8/663 @ Selanza un dado. Siel número es impar, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo? A) 1 B) 1/2 C) 1/3 D) 2/3 E) 3/5 Si se desea escoger entre 4 matemáticos y 5 químicos para formar un comité académico de 3 miembros, halla la probabilidad de seleccionar exactamente 2 químicos en tal comité. Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes, halla la probabilidad de que su suma sea impar. @ ¿Cuálesla probabilidad de que al lanzar 9 monedas se obtenga al menos 3 caras? @ Se lanza 4 veces una moneda y una vez 2 dados, ¿cuál es la probabilidad de obtener exactamente 3 caras y una suma igual a 11? A) 15/93 D) 4/7 A) 32/255 D) 23/256 B) 10/21 E) 3/31 B) 25/256 E) 45/256 C) 5/14 C) 233/256 A)3/10 D) 2/15 r"--- A) 1/4 D) 1/72 B) 3/5 E) 1/10 B) 1/18 E) 5/36 C) 2/5 C) 11/36 ..J fl-<r ... , ,.¡ @ .¡ .,V"-J ....: En una bolsa se tiene 5 caramelos de fresa, 4 de limón y 2 de naranja . Si extraemos 3 caramelos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que entre los 3 que se han sacado exista uno de cada tipo? NIVEll 9. B 17.A 25. B Le 10. e 18. B 26. e A) 4/11 B) 4/33 C) 2/11 2. D 19. B 27. E D) 8/11 E) 8/33 NIVEL2 3. E 11. D 20. B 28. D 4. A 12. D 29. B NIVEl3 5. B 13. A 30. D 21. D 6. e 14. A 22. e 7. e 15. A 23. D 8.A 16. B 24. e RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 249
- 250. ~!J Lógica proposicional DEFINICIÓN Las exclamaciones y las pre- guntas no pueden evaluarse como verdaderas o falsas, luego no son consideradas proposiciones. Cuando una proposrcron simple o compuesta está re- ferida solo a proposiciones matemáticas, entonces es- tas proposiciones se deno- minan proposiciones mate- máticas. Es una parte de la lógica que tiene como objeto de estudio a las proposiciones y la rela- ción existente entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos. PROPOSICIÓN Es una expresión afirmativa, la cual puede ser verdadera (V) o falsa (F). Ejemplos: • El hexágono es una figura de 6 lados. (V) • El mes de enero tiene 30 días. (F) • 784 es un cuadrado perfecto. (V) Clases de proposiciones a) Proposición simple o atómica Es aquella proposición que no presenta relación alguna con otra . Ejemplos: • Montevideo es la capital de Uruguay. (V) • 125 es un cuadrado perfecto. (F) • 111 es un número compuesto. (V) Variable proposicional Son todas aquellas letras minúsculas p; q; r; s; t;... que se usan en la representación simbólica de una proposición simple. Ejemplos: p: 41 es un número primo. q: 28 es múltiplo de 4. r: Buenos Aires es una ciudad de Europa. b) Proposición compuesta o molecular Se denomina así al conjunto de dos o más proposiciones simples, las cuales se relacio- nan mediante los conectivos lógicos. Conectivos lógicos Son aquellas expresiones que se emplean para relacionar dos o más proposiciones. Conectivo lógico Símbolo no es cierto que - y 1 o V si... entonces => ... si y solo si... = 250 Inte/ectum Evolución 4. o
- 251. Ejemplos : • Carlos es ingeniero y Luis es abogado. • Jaime ganó el partido o está enfermo. • SiJuan trabaja entonces no ve televisión. • Si hay tres proposiciones se obtiene 8 valores. TABLAS DE VERDAD .... . El número de combinaciones de los valores de verdad (V, F) de las variables proposicionales está dado por 2" donde n es el número de variables diferentes que contiene el esquema molecular. p q V V V F F V F F • Si hay dos proposiciones se obtiene 4 valores de verdad. p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F • Si hay una proposición se obtiene 2 valores de verdad . Al calificar como verdadero (V) o falso (F) a una proposición, establecemos su valor de verdad, dichos valores se disponen en una tabla. La conjunción es aquella operación que será verdade- ra solo si sus proposiciones componentes son verdade- ras, en cualquier otro caso será falsa. OPERACIONES LÓGICAS Son operaciones que utilizan proposicrones para transformarlas en otras, usando elementos determinados como conectivos lógicos (C.L.). Se tienen las siguientes operaciones lógicas. Conjunción Es aquella operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo lógico "y", o alguna expresión equivalente. Ejemplo : 8 es un número par y 13 es un número primo. p q p Aq V V V V F F F V F F F F , . . . RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 251
- 252. Ejemplo : Si Ana estudió, entonces dará un buen examen. '-' '-------v------ e L. e L. Condicional Es aquella operación que toma dos proposiciones, llamando a la primera antecedente y a la segunda consecuente, uniéndolas a través del conectivo: "Si... entonces..." o expresiones equivalentes. p q p~q V V F V F V F V V F F F b) Disyunción fuerte o exclusiva Ejemplo: O Carlos está en Lima o está en lea. '-' v eL. eL. p q pVq V V V V F V F V V F F F Disyunción Es aquella operación que vincula dos proposiciones mediante el conectivo "o". Esta operación puede ser: a) Disyunción débil o inclusiva Ejemplo : Juan es deportista o estudia inglés. v eL. La disyunción débil es falsa solo si sus proposiciones componentes son falsas, en otro caso será verdadera . Mientras que la disyunción fuerte es falsa solo si sus componentes tienen igual valor veritativo, en caso contrario es verdadera. ... p q p=>q V V V V F F F V V F F V p q p=q V V V V F F F V F F F V Negación Es una operación que afecta a una proposición cambiándole su valor de verdad . Utiliza el adverbio "no". Bicondicional Es aquella que vincula dos proposiciones mediante el conectivo "...si y solo si..." o expresiones equivalentes. Ejemplo : Carlos estudia inglés si y solo si viaja al extranjero. '--v---' eL. ~ ~p V F F V Ejemplo: Proposición : Ana viaja a Tarma. • Negación: Ana no viaja a Tarma. '-.-' eL. La condicional es falsa solo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, en los demás casos es verdadera. Mientras la bicondicional es verdadera solo si sus componentes tienen igual valor veritativo, en caso contrario será falsa. 252 Inte/ectum Evolución 4. o
- 253. EVALUACIÓN DE FÓRMULAS LÓGICAS Evaluar una fórm ula lógica po r medio de la tabla de verdad, es obtener los valores del conectivo lógico principal a pa rtir de los valores de verdad de cada una de las variables proposicionales. Ejemplo: Halla la tabla de verdad de : ~ ( p 1 q) = (p V q) Resolución: Si una proposición es verda- dera su negación es falsa y si una proposición es falsa su negación será verdadera . p q ~ (p 1 q) = (p V q) V V F V F V V F V F V V F V V F V V F F V F F F ¡ Conectivo principal LEVES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Son las diferentes equivalencias que se emplean para simplificar o reducir una fórmula lógica. Según los valores de verdad de la matriz principal tene- mos 3 tipos de esquema : Tautológico: cuando los va- lores resultan ser todos ver- daderos . Contradictorio: cuando los valores resultan ser todos falsos. Contingente : cuando en la matriz se encuentran valores verdaderos y falsos. ...- ~ Para verificar estas leyes solo debemos emplear las tablas de verdad. Ejemplo: p => q == - q => - p p q p ~ q - q ~ - p v v V F V F V F F V F F F V V F V V F V V V V v De la tabla de verdad se observa que los valores de verdad de la matriz principal son los mismos. .'. p => q == - q => - p 11. De la identidad a) p 1 V == P b) p 1 F== F c) P V V == V d) p V F== P 9. Leyes bicondicionales a) p =q == (p~q) 1 (q ~ p) b)p=q==(p lq) V(~p l ~q) 10. Leyes del complemento a) p V <-p == V b) p 1 <-p == F ...Ley distributiva ...Ley del complemento ... Ley de la Identidad 7. Ley de absorción a) p 1 (p V q) == P b) p V (p 1 q) == P c) P 1 (~p V q) == P 1 q d) p V (~p 1 q) == P V q 6. Ley de involución a) ~ (~ p ) == p 8. Leyes condicionales a) p ~ q == ~ p V q b) p ~ q == ~q ~ ~ p 5. Leyes de Morgan a) ~ ( p 1 q) == ~ p V ~ q b) ~ ( p V q) == ~ p 1 ~q 4. Ley distributiva a) p 1(q V r) == (p 1q) V (p 1r) b) p V (q 1r) == (p V q) 1(p V r) 2. Ley conmutativa a) p 1 q == q 1 P b) p V q == q V p c)p =q ==q=p 3. Ley asociativa a) p 1 (q 1 r) == (p 1 q) 1 r b) p V (q V r) == (p V q) V r Resolución : Ejemplo: Simplifica la proposición: ~ p V (p 1 ~q ) 1. Ley de idempotencia a) p 1 P == P b).: V p == p ~ p V (p 1 ~q ) == (~p V p) 1 (~p V ~ q ) V 1 ( ~p V~ q ) <-p V ~ q :. ~ p V (p 1 <-q) == <-p V ~ q RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 253 - - - - - - - - - - - - -
- 254. Problemas . . SiPesverdadero (V), q esfalso (F)y r verdadero (V), determina el valor de verdad de: (p 1 q) <==> (q ~ r) Resolución: Reemplazando los valores de verdad en: (p 1 q) <==> (q ~ r) V IF F ~V F <==> V F .. El valor de verdad es F. o Determina la tabla de verdad de la siguiente propo- sición: [(p V q) ~ ~q ] ~ p Resolución: I Elaborando la tabla de verdad : p q [(p V q) ~ ~ q ] ~ p V V V F F V V V F V V V V V F V V F F V F F F F .X... V ...F F - ~ ~ <:> 8 Evalúa la proposición y establece si se trata de una tautología, contradicción o contingencia. [~(~p 1 q) 1 q] ~ q Resolución: Elaborando la tabla de verdad: p q l- (~p 1 q) 1 q] ~ q V V V F F V V V V V V F V F F F F F V F F V F V V V F V V V F F V V F F F F V F .'. Setrata de una tautología. e Si la proposición: (p 1 ~q ) ~ (r ~ s) es falsa, halla el valor de verdad de p; q; r y s. Resolución: (p 1 ~ q ) ~ (r ~ s) ::::::: F La condicional es falsa solo cuando el antece- dente es verdadero y el consecuente falso. 254 Intelecturn Evolución 4. o Luego: (r ~ s}::::::: F V F .'. p::::::: V; q ::::::: F; r::::::: V y s ::::::: F o Sabiendo que : p ~ (q ~ r) ::::::: F Determina el valor de verdad de: [~p V q] 1 ~ r Resolución: ( p ~ (q ~ r} ::::::: F V F V F Luego: p ::::::: V; q ::::::: V y r ::::::: F Reemplazando : [~p V q] 1 ~ r [~V V V] 1 ~ F [F V V]1 V V 1 V V .'. La proposición es V. o Determina si la proposición : [p 1 {p ~ {q 1 (q ~ r)]}] I~q es una tautología; contradicción o contingencia. Resolución: Elaborando la tabla de verdad: p q r [p 1 {p ~ [q 1 (q ~ r)])] 1 - q V V V V V V V V V V F F V V F V F V F V F F F F V F V V F V F F F V F V V F F V F V F F F V F V F V V F F F V V V V F F F V F F F F V V F F F F F F V F F F V F F V F V F F F F ~, F V F F V F V 1- ~ '--./ ~ . / I .'. Setrata de 'una contradicción.
- 255. == (~p V q) ~ p == ~( ~p Vq) Vp ==( ~~p l ~q) Vp == (p 1 ~q) V P == P == V p: Juan está enfermo. q: Juan estudia el sábado en la noche. ~ "Si no p o q entonces p" '-,----' , ~ p (~p 'v q) 8 Simplifica la proposición: (p ~ <-q) V [ ~ ( p 1 q) 1 r] Resolución: (p ~ ~q ) V [~(p 1 q) 1 r] (~p V ~ q ) V [~(p 1 q) 1 r] == ~ ( p 1 q) V [~(p 1 q) 1 r] == ~(p 1 q) o Simplifica: (q ~ ~ p ) 1 (p 1 q) Resolución: (q ~ <-p) 1 (p 1 q) ( ~q V ~ p ) 1 (p 1 q) == ~ ( ql p )l ( pl q ) == ~ (p 1 q) 1 (p 1 q) F o Simboliza: "Canto o juego. No canto. Por tanto juego". Resolución: p: canto . q: juego. "Canto o juego o no canto. Por tanto juego". [(p V q) ~ ~ p] ~ q @!) Simboliza: "Si hablo, me escuchas. No me escuchas. Entonces no hablo". Resolución: p: hablo q. me escuchas "Si hablo, me escuchas. No me escuchas. Entonces no hablo". [(p ~ q) 1 ~q ] ~ ~ p €O Se define el operador lógico . , según la siguiente tabla de verdad: p q p • q V V F V F V F V F F F F Entonces al simplificar la siguiente fórmula lógica: (P. q) • [(~q V p) • (p ~ q)], se obtiene: Resolución: De la tabla de verdad se observa: (q . p) == (p ~ q) ==~(~p V q) == p V ~q == ~q 1 P Luego: (P. q) . [( ~q V p) . (p ~ q)] == (~p 1 q) . [(~q V p) . ( ~p V q)] == (~p 1 q) . [~(~q V p) 1 ( ~p V q)] == ~( ~p 1 q) 1 [(q 1 <-p) 1 (~p V q)] (p V ~q) 1 [q 1 {~ P 1 (-: p V q)}] ~p (p V ~q ) 1 [q 1 ~ p] (p V <-q) 1 ~ ( p V ~q ) == m 1 -vm == F 4D La siguiente expresión no es falsa. Si Juan no está enfermo o estudia el sábado en la noche, entonces está enfermo. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? 1. Juan estudia el sábado en la mañana. 11. Juan está enfermo. 111. Juan no estudia el sábado. IV. Juan va al médico. Resolución: ---- ( I ~ Juan está enfermo. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 255
- 256. 1. Determina la matriz principal de la siguiente proposición: [(p V q) =} q] ~ q 2. Del resultado de la tabla de verdad del siguiente esquema molecular: (p fj, t) =} (q =} t) se tiene que la diferencia entre la cantidad de verdades y falsedades es: A) VVVV B) VVFV C) VVFF D) VVVF E) FVVV A)4 B)8 C)6 D)3 E) 2 3. Sean las proposiciones p; q; r; s y t donde: p ~ q es falsa q V r es verdadera r 1 s es falsa s=} t es falsa Determina los valores de verdad de dichas proposi- ciones. 4. Sabiendo que p == V Yla proposición: [(r V ~q) 1 (p V s)] =} (~r V q) es falsa. Halla los valores de q y r respectivamente. A) FVFVV B) FVFVF C) FVVFV D) FVFFV E) FVVVF A)VF B)FV C) FF D)VV E) N. A. s. Si la proposición: [(~p V q) V -rl es falsa. Halla el valor de verdad de: 1. (p 1 r) =} (p V q) 11. (~p V ~q) ~ (p 1 q) 111. (~p V~r) =} (p 1 ~r) 6. De los siguientes esquemas moleculares, ¿cuáles son tautologicos? 1. ~(p V q) V ~q 11. [(q V <-r) 1 q] ~ q 111. ~[~q 1 (p V q)] =} (~p V r) A)VFF B) VVV C) FVV D)VFV E) FFF A) Solo I B) Solo 11 C) Solo 111 D) 11 Y 111 E)Todas 7. El valor de verdad de las proposiciones p; q y r son respectivamente: V; F Y F. Indica el valor de verdad de las proposiciones: 1. (p V q) 1 ~r 11. [(p V q) 1 (q V r)] V r 111. [(p 1 r) V~q]1 ~p 8. De latabla de verdad de: [(p =}q) 1 (~q V r)] =} (~p V r) Indica cuántas V y cuántas F hay. A) VFV B) VVV C) VFF D) FVV E)FFV A)7;1 B) 1; 7 C) O; 8 D)8;0 E)4;4 256 Inte/ectum Evolución 4.o
- 257. 9. Simplifica la siguiente proposición: ~ [ (~ p V ~q ) ~ ~q l V q 10. Simplifica: [(~p 1 q) ~ ~(r 1 ~r)ll <-q A) P B)q C) - p D) -q E)p 1 q A)-q B)q C)p D) -p E) P v q 11. Simplifica : ~ {( p 1 q) V [p 1 (~p V q)J) 12. Simboliza: Si Ana trabaja o viaja, no trabaja. En consecuencia viaja. A)- (p v q) O)P V q B)- (p 1 q) E) - p 1 q C)p lq A) [(p v q) ~ - q) ~ p C) [(p v q) ~ - p) ~ q E) N. A. B) [(p v q) ~ <-p] ~ p O) [(p V q) ~ - q) ~ q 13. Simboliza: Luisva al cine sí tiene dinero. No tiene dinero. Por lo tanto no va al cine 14. Simboliza: Giuliana es bonita pero no es feliz. Es joven o es feliz. Entonces Giuliana es bonita. A) [(q ~ p) 1 -q) ~ - q C) [(q ~ p) 1 - p) ~ -q E) N. A. B) [(q ~ p) 1 - q) ~ - p O) [(q ~ p) 1 - p) ~ -p A) [(p 1 - q) 1 (q V r)) ~ p B) [(p 1 -q) 1 (q 1 r)) ~ p C) [(p 1 -q) V (q 1 r)) ~ p O) [(p 1 -q) V (q V r)) ~ p E) N. A. Dado el siguiente circuito: ~----- _ .. - - Rpta.: p 1 q - p - q -f:l Su equivalente es: RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 257
- 258. B) Contingencia D) Conjunción NIVEL , Evalúa las siguientes fórmulas lógicas e índica el tipo de esquema molecular. CD (p V q) ~ (~p ~ q) A) Tautología C) Contradicción E) Condicional ® ~q ~ [{p ~ q)l~p] A) Tautología C) Contingencia E) Condicional I l~__~_ B) Contradicción D) Conjunción o [(p 1 q) V q] 1~q A) Contingencia C) Contradicción E) Condicional B) Tautología D) Conjunción (2) [(p ~ q) 1 <-q] ~ <-p A) Conjunción C) Contradicción E) Condicional / - - - B) Contingencia D) Tautología ® (p ~ q) V (p ~ q) A) Conjunción C) Tautología E) N. A. B) Contradicción D)Contingencia ® (p 1 q) 1 (p ~ ~q) A) Tautología C) Conjunción E) Contradicción B) Contingencia D) Condicional o (~p Vq) ~ (~q ~ ~ p) A) Conjunción C) Contradicción E)Tautología B)Contingencia D) Condicional ® ~( p ~ q) ~ ~ (~q V p) A) Contradicción C)Tautología E) Conjunción B)Contingencia D) Condicional NIVEL 2 ---- - -- - ~~--~~- j C) Falta s 1- I De la falsedad de: (p ~ <-q) V (~r ~ <-s}: halla el valor de verdad de: @ ~(~q V ~s) ~ ~ p A) Falso B) Falta p D) Verdadero E) Falta r B) Tautología D) Conjunción ® (p l ~q) ~ ~(~pV q) A) Contingencia C) Contradicción E) Condicional 258 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 259. @ ~(~r 1 s) ~ (~p ~ q) A) Falta s B) Falta p D) Falta r E) Verdadero @ p ~ ~ [q ~ ~(s ~ r)) A) Falta s B) Falso D) Falta r E) Falta p C) Falso C)Verdadero @ Simplifica la siguiente proposición: ~ [~ ( p 1 ~q ) ~ p] V q A) P ~ q B) P 1 q C) P V q D) ~ p 1 q E) P ~ q @ Simplifica lasiguiente proposición:(p v q} » (~p lq) A) P V q B) <-p C) P 1 q D) ~ p 1 q E) <-q Halla el valor de verdad en las siguientes proposiciones lógicas: @ (p ~ q) ~ r; r= V A) Verdadero B) Falso C) Falta q D) Falta r E) Falta p NIVEL 3 @ Cuando losgallos no cantan, no llueve o no hacesol. A)p~q B) ~ r V ~q C) ~ r ~ (~p V ~ q ) D) r ~ ~q E) P~ r @ (p Vq) ~ (~p l ~q);q =V A) Falta r B) Falta q D) Falta p E) Verdadero @ (p 1 q) ~ (p 1 r); p = V Y r = F A) Falso B) Verdadero D) Falta q E) Falta p @ P 1 (q ~ r) ; r =V A) Falta p B) Falta q D) Falso E) Verdadero C) Falso C) Falta r C) Falta r @ Llueve y los gallos no cantan o bien hace sol y los gallos no cantan. A) (p V ~ r) 1 q B) (p 1 ~ r) V q C) p ~ q D) (p 1 ~r) V (q 1 ~ r) E) (p V q) ~ r @ Las estrellas emiten luz o los planetas la reflejan y, por otra parte, los planetas giran alrededor de ellas. A) ~r 1 q B) (p ~ q) V r C) p ~ r D) r V q E){p V q) 1 r @ Si las estrellas emiten luz, entonces los planetas la reflejan y giran alrededor de ellas. A) p ~ r B) (p V r) ~ q C)~ p 1 q D) P ~ (q 1 r) E) p ~ q RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 259
- 260. @ Si x = 1 e y = 2, entonces z = 3, si y = 2, Z = 3, entonces w =O; x =1. Por consiguiente, w =o. ,, ¿ ) @ Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y no será aplaudido. @ Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará en los exámenes o no será aplaudido. A) (p V q) => - s C) (r V s) => q E) (-p V- q) => (r A- s) A) (p Aq) => -s C) - (p A q) => (r V - s) E) - (p V q) <=) s B)p=>(-r Vs) D)(-p A q) V r B) (p Vq) => r V-s O) (p V q) => - s V r A) (p V q) <=) (-r A s) B) (p A q) => (r V <-s) C) (p A q) => (r V s) O) {[(p V q) => r] A [(q => r) => s]} E) {[(p A q) => r] A [(q => r) => s] A p} => S @ Si <1> es un operador lógico definido mediante la siguiente tabla de verdad. p q p<l>q V V F V F F F V F F F V @ Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido. Entonces al simplificar la proposición: (p <1> q) <1> (q <1> p), se obtiene: A) p <=) q B) P V q D) -p Aq E)p =>q C) P A q A) (p A q) V (r A - s) C)p=>r Vs E) (p V q) => r V - s B) (p A q) => r V s O) (p A q) A (r V -s) @ Únicamente si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase en los exámenes y no sea aplaudido. A) (p A q) => r A s C) - (p V q) => - r E) (p A q) <=) - (r A -s) B) (p V q) => - r A s O) (p V q) <=) s NIVEL 1 LA 2. e 3. D 4. E 5. B 6. e 7. D 8. E 15. D 22. D 9. B 16.A 23. E NIVEL2 17. E 24. e 10. A 18. B 25. A 11. E NIVEL3 26. E 12. B 19. e 27. E 13. A 20. D 28. B 14. e 21. E 260 Inte/ectum Evolución 4.o
- 261. ~!J Psicotécnico DEFINICiÓN Los test psicotécnicos son pruebas que permiten apreciar aptitudes o capacidades, tales como: inteligencia general, memoria, percepción o atención. Ejemplo 1: ¿Qué figura continúa? Resolución: El número 1 gira en sentido horario, mientras que el 2 y 3 giran en sentido antihorario. La alternativa correcta es la A. A) [TI] [ili] BI ffij Cl rn rn Dl tBj Ejemplo 2: ¿Cuántos números 5 hay en la siguiente sopa de números? 1 3 5 7 8 6 1 2 5 O 2 3 5 O 1 9 7 5 8 1 6 3 9 9 O 7 3 5 O 5 3 9 2 2 4 5 1 3 2 1 3 9 2 3 4 9 5 O A) 6 B) 7 Cl 8 D) 5 E) 9 Resolución: Ocho veces se repite el número 5 en la sopa de números. Alternativa C. TIPOS DE TEST Desarrollaremos solo algunos de los tantos tipos de test psicotécnicos. Test de aptitud verbal Se miden por medio de ejercicios de sinónimos, antónimos, analogías, etc. Ejemplo: Señala la palabra que no corresponde al grupo: En las sucesiones compuestas por las letras del alfabeto no se toman en cuenta las letras eh y L1, a no ser que se indique lo contrario. A) Talón D) Brazo B)Codo E) Rodilla C] Hombro Resolución: Son articulaciones que unen partes de nuestro cuerpo a excepción del brazo. Alternativa D. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 261
- 262. Test de aptitudes numéricas Setrata de operaciones elementales y problemas sencillos de razonamiento numérico. Ejemplo: En el siguiente cuadro, haciendo una operación, dos de los números de cada fila dan como resultado un tercero. ¿Qué números faltan en el cuadro? Laoperación es una resta. Los números que faltan son el4 y 2. Alternativa B. Para resolver una serie en un examen psicotécnico, de- bes ver cómo se relacionan las figuras o números que conforman dicha serie y así encontrarás el siguiente ele- mento. A) 3 Y 1 B) 4 Y2 6 2 4 2 ? O ? O 4 C) 2 YO O) 4y 3 E) 5 Y3 Test de aptitudes de razonamiento abstracto Se trata de secuencias de números, secuencias de figuras, test de dominó, monedas, etc . Ejemplo: ¿Qué figura continúa? B o: Bo o: B:: ? • • 1 , , •• •• • B o o o o A) o o B o o o o B) o a oo o o C) B o o o o O) ooo B o o o E) ooo La fila superior aumenta de 1 en 1, mientras que la inferior disminuye de 2 en 2. Alternativa C. Test de aptitudes de razonamiento espacial Se trata de secuencias con figuras espaciales y su desarrollo en el plano. Ejemplo: ¿Qué figura es el desarrollo del siguiente solido? A) ~B)+ • • • • • C + } . D q ] = o } • • • • • Resolución: Al desarrollar el solido, vemos que la alternativa correcta es la D. 262 Inte/ecturn Evolución 4. o
- 263. Problemas . . ¿Qué letra continua en la sucesión? A; D; G; J; ... A)M D)P Resolución: B)N E) O ClL Resolución: A; D; G; J; ...~. <:»<:»<:»<:» BC EF HI KL 2 2 2 2 Clave A r~-------- - - - - - En cada fila yen cada columna hay un cuadra- do, un triángulo y un círculo, entonces en la posición que falta debe ir un cuadrado. Clave D o Halla la figura que continúa: Q ,[d,[l],[J A)1 B) Cl , D)< E} ~ Resolución: La manecilla inferior permanece estática, mientras que la otra avanza en sentido anti- horario. Clave B • Halla la figura que no corresponde: AI~ BI~ C)~ D)~ E)~ Resolución: El punto se ubica siempre a la derecha de la parte sombreada, a excepción de la opción A. Clave A e Halla la figura que falta: - - - - - - - - - - - - - - - - - • Halla la figura que continúa. ~@~6U ~ ,w,w,w, ··· @ ~ @ A} W B} ~ Cl W D} {jj"j E} ~ W W Resolución: / Podemos distinguir dos sucesiones. La prime- ra está compuesta por los cuatro primeros nú- meros primos. 2; 3; 5; 7; x =} x=11 I La segunda sucesión es: 18; 11; 6; 3; Y =} Y=2 ------....... ------....... ------....... ------....... 7 5 3 1 ---------------- 2 2 2 Por lo tanto, la figura que continúa es: 8 z=l1 X2 ~ z=22 La respuesta es la alternativa D. o ¿Cuál de lasfiguras no guarda relación con lasdemás? • . cr» S 2 1 2 3 S ~ S· • • 4 5 6 RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 263
- 264. Figura patrón Reflejo • • S2 Podemos darnos cuenta de que todas las figu- ras son congruentes, a excepción de la figura 3, la cual no proviene de un giro de la figura patrón, sino proviene de un reflejo tal como podemos ver a continuación : Resolución: ~ ,~ ,[}J.. A)~ BI ~ C) I'=::~ DI[§] E)~ o ¿Qué figura completa la siguiente secuencia? C)4 B) 3 E) 6 Resolución: A)2 D)5 Por lo tanto, la respuesta es la alternativa B. Ambas flechas giran en sentido antihorario un ángulo de 45° por cuadro, por lo tanto la alter- nativa correcta será la B. • ¿Qué figura continúa? Resolución: o ¿Qué sólido proviene de la siguiente figura? C)OO 00,00,00,00,· · · B)OO E)OO AlOO D)OO - ----- El triángulo sombreado gira en sentido horario. De la primera a la segunda figura avanzó una posición; de la segunda a la tercera avanzó dos posiciones; de la tercera a la cuarta avanzó tres posiciones. Por lo tanto, de la cuarta a la quinta figura avanzará cuatro posiciones, resultando la si- guiente figura: Entonces: alternativa A. A)@j B)~ C)~ DI~ E)~ Resolución: , Cuando armamos el sólido vemos que las caras que contienen los cuadrados verdes no pueden ser contiguas, además no existen dos caras que contengan triángulos; por lo tanto la alternativa correcta será la C. 264 Int:elect:urn Evolución 4. o
- 265. 1. Completa la siguiente serie: 1; N; 3; Q; 9; T; 27; ... ; oo. 2. Si el ayer de anteayer del día anterior de pasado mañana es el ayer del martes. ¿Qué día esel mañana del pasado mañana del día posterior del anteayer? A)X;243 D)X;81 B) v. 54 E) W; 243 Cl W; 81 A) Lunes D) Viernes B)Sábado E)Jueves C) Martes 3. Una de las figuras no guarda relación con las demás: B) ~ 4. ¿Cuál de las alternativas corresponde al desarrollo del siguiente sólido? o:: C> Al ~ Dl<1] -n El1I) s. Indica la figura que se observa al colocar un reloj delante de un espejo. ffi A)l) ffi Cl zl/ 6. De las cinco figuras que se presentan a continuación, dos son congruentes. Indica cuáles son: Jz[~:tri>-4 (1) (2) (3) (4) (5) ffi D)W E)ffi W A) 1 Y3 D) 2 Y5 B) 2 y4 E) 2 Y3 Cl 1 Y5 8. ¿Qué figura continúa? 7. Para que la suma de los puntos de la parte superior sea igual a la suma de los puntos de la parte inferior, ¿qué ficha debe invertirse? a BIB 8 A) :.: Cl :.: • • DIB • • E) • • • • • • • A)~ D)Cf!D RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 265
- 266. 9. Halla la figura que continúa: 10. Halla la figura que continúa. 11. ¿Qué figura continúa? 12. ¿Qué figura continúa? A) 5[j B) 5TIJj C)~ D) 5I[j E)~ A) I 1*101 1 B) I 101*1 I C) I 101*1 D) 1 101 1*1 E)I 1 1*101 13. El gráfico que sigue es: • • D+,D~B ,G , ... 14. Halla las figuras que continúan en los recuadros vacíos. • B)G· C) D + • E).G] A) XXX D)OXX B)OXO E)XOO C) XXO o w ..; ..¡ .......... ¿Qué figura es el desarrollo del siguiente sólido? U a:l U u 7 l .n cD ...: r:O u o o o Rpta.: e .,.; N ..; ..¡ w ce CD u ai c:i .,... Ñ ............... 266 Inte/ectum Evolución 4.o
- 267. o ¿Cuál es la figura que no guarda relación con las demás? NIVEL , CD Halla la figura que continúa. ~'~'~'~" " A)~ B) ~ C) ~ D)~ E)~ A)4 1 B) 1 2 3 C)2 4 D)3 5 E) 5 o ¿Qué figura sigue en la siguiente sucesión? @'@'@'@'@'OO' B)@ C)@ E)@ ® ¿Qué figura continúa? G) ¿Qué figura continúa? & ,~ ,(J), .oo B)W C)8 E)e 8 08 8 B B o 8 esa 8 0 8,como B es a: A) ~ D)~ B)i] E)~ [[] A) -rr m BB D) o B B B) o BB B E) o BB B C) o BB RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 267
- 268. (2) ¿Qué figura continúa? @ Halla la figura que sigue. Al S2 Dl 8J) V ,Iv O,DJUJu" " NIVEL 2 @ Halla la figura que continúa. qlO + DI ° O Bl l+0°1 O O El lO°DI + ° AlFOl ~ Dl l+0°1 ° o Bl 1 - 1 -----l-O Dl Ot---~ C) I O ® ¿Qué figura sigue? ® ¿Qué figura sigue? Al td Dl~ @ Halla la figura que continúa. A'~J~JA·.. A l& BlA & qLI!:L DI&fu E)~ 268 Inte/ectum Evolución 4 . o
- 269. " -;> @ ¿Qué figura continúa en la siguiente sucesrorn R~rovl ~ '~ '~ ' ''' @ D11es a l!Q,como ~es a: A)~ Bl~ C)~ D) ~ EIW l:) 0 A) o <l ~ o D) o 6. R B) ~ fODl E) ~ R Cl ~ @ Halla la figura que sigue. - , ==, D , A) IID I B) _ Cl D ID r » -» D) llo l E) D @ Halla la figura que sigue. ~~~~, ... ~ ,'&7' '<T9, '<T9 @ Halla la figura que sigue . ~ '~ '~ ' ''' A) ~ B) ~ Cl ~ D) ~ E) ~ B)M E)M @ Halla la figura que falta. M,M,t1,M,... @ Halla la figura que sigue . ~,& ,~,& 'oo. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 269
- 270. ~ b. E@ ~ c @ 8 esa {~}~ como & esa: o o o d e Al~ Dl~ NNEL3 B)~ E)~ @ Halla la figura que completa la siguiente sucesión. 0 ,5J ,[2j ,... Al[] Bl[g C)~ D)Cfj E)~ B) c9 @ Halla la figura que sigue. EE ,B C) D , ffi ,... D) 8 @ ¿Qué figura no tiene relación con las demás? @ ¿Qué figura no guarda relación con las demás? Z L:J r0J () c:J7 A) 1 D)2 1 2 3 B) 3 E) 4 4 S C)5 1 2 A) 1 B) 2 3 C)3 4 S D)4 E)5 @ Halla la figura que sigue. @ ¿Qué figura no guarda relación con las demás? ©~~&O A)4 1 B)3 2 3 C)2 4 D) 1 S E) 5 ~'~'~'~'''' A)~ B)~ C)~ D)~ E)~ 270 tnxetectiurn Evolución 4. o
- 271. E) ~ ~ @ Halla la figura que falta. rool~fODl~ ~ '~ '~'~" " ~ rool fOOl A) ~ B) ~ C) ~ rool D) ~ @ ¿Qué figura no guarda relación con las demás? @ Halla la figura que sigue. ~ ,~ ,~ ,... A)~ B)~ C)~ D)~ E)~ A) 2 1 B) 3 2 3 C)5 4 D)l 5 E) 4 @ Indica la figura que no corresponde con las demás. 1 2 3 A)5 B)4 C)l 4 5 D) 2 E) 3 NIVEL 1 LA 2. ( 3. E 4. E 5. ( 6. ( 7. E 8. B 9. B 10. e NIVEL2 11. e 12. A 13. B 14. A 15. B 16. e 17. E 18. E 19. B 20. A NIVEL3 21. D 22. E 23. E 24.( 25. D 26. E 27. B 28. B 29. D 30. ( RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - Unidad 4 271