Áreas y Volúmene
- 1. Áreas y Volúmenes República Bolivariana De Venezuela Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Extensión Mérida Alumna: Fiorella Marina Simoniello Guevara C.I. V-28309886 Arquitectura-41
- 2. Introducción Es importante conocer el área y el volumen de diferentes figuras geométricas en las que hoy en día se ven representadas distintas edificaciones, objetos del hogar , entre otros , los cuales no pudiesen ser construidos sin la debida información de la figura que provienen . El área de una figura geométrica por su parte hace referencia al tamaño de la superficie. La cantidad de espacio dentro de los limites del objeto plano (bi-dimensional). El volumen es una magnitud escalar definida como la extensión en tres dimensiones de una región del espacio o de la misma forma es una magnitud derivada de la longitud , ya periódica .
- 3. Áreas de una Figura Geométrica Es el espacio que queda encerrado entre los límites de esa figura. Para calcular el área de algunas de las figuras geométricas utilizamos una serie de fórmulas. Ejemplo Área de un triángulo = b x h / 2 Área del cuadrado= l 2 Área de un rectángulo= b x h
- 4. Cómo Calcular el Área de las Figuras Geométricas El área puede ser definida como la medida de la superficie, y se descubre partir de multiplicar la base por la altura. Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la superficie por ejemplo, de un campo de fútbol u otro deporte.
- 5. Volúmenes de una Figura Geométrica El volumen es una medida que calcula el espacio que ocupa un cuerpo geométrico (de tres dimensiones). También se puede entender como el espacio comprendido dentro del área de un cuerpo geométrico. La capacidad es un concepto equivalente al volumen, pero se refiere al volumen que puede contener un recipiente o cuerpo vacío. Se trata de una magnitud que está derivada de la longitud, ya que se halla realizando la multiplicación de la longitud, el ancho y la altura.
- 6. Cómo Calcular el Volumen de las Figuras Geométricas El volumen corresponde al espacio que la forma ocupa, por lo tanto, es la multiplicación de la altura por el ancho y por el largo. El volumen sirve, por ejemplo, cuando queremos calcular la cantidad de agua en una piscina.
- 7. Volumen de un Cilindro Es considerado como una forma geométrica simple, su cálculo es muy fácil de hacer. La fórmula que hay que utilizar es V = hπr2, lo que quiere decir que el volumen lo hallaremos al tener la altura (h) y el radio (r). Lo primero que hay que hacer es saber la medida del radio. Si se tiene el diámetro del círculo hay que dividirlo por dos y se obtendrá el radio. También puede conseguirse dividiendo la circunferencia entre 2 π. Para poder calcular la base del área circular, se debe usar la misma fórmula con la que saber el área de un círculo(A = πr2).
- 8. Volumen de una Esfera Para poder calcular el volumen de una esfera hay que conocer la medida del radio, que es el segmento que une la esfera con cualquier punto de superficie. Una vez se sepa cuál es el radio, se debe aplicar la fórmula V = ⁴⁄₃πr³ lo que permitirá poder calcular el volumen de una esfera. En este caso, V es el volumen y r es el radio.
- 9. Volumen de un Cono La fórmula para calcular el volumen de un cono es v = hπr2/3. Si se tienen los datos como el radio y la altura, saber el volumen es muy fácil. Hay que buscar el diámetro del cono y lo dividiremos por dos, con lo que conseguiremos el radio. Si se tiene la circunferencia hay que dividirla entre 2 π para conseguir el diámetro y después entre 2 para saber la misma medida del radio. Si no se cuenta con la altura del cono, puede conseguirse al medirlo con una regla. La altura debe estar representada siguiendo el mismo sistema de medida que el radio. Ahora se debe multiplicar el área de la base por la altura del cono y dividir el resultado por 3. El volumen se expresa en unidades cúbicas, por lo que hay que dividir entre 3 como último paso.
- 10. Volumen de un Cubo Lo primero que hay que hacer es medir la longitud de uno de los lados. No importa cuál se mide dado que todos son iguales dado que es un poliedro regular. La fórmula para calcular el volumen de un cubo es igual a la longitud de su arista elevada al cubo, con fórmula V = a³. Si la arista del cubo del que queremos calcular su volumen tiene 6 centímetros, hay que sustituir este valor en la fórmula que hemos visto, quedando así: V = 6³ = 6x6x6 = 216cm³, con lo que ya tendremos el volumen del cubo.
- 11. Volumen de un Prisma El volumen de un prisma rectangular, donde sus medidas son de 4 y 3 centímetros para el área de la base y 5 centímetros para la altura. Conociendo estos datos es muy fácil saber cuál es su volumen. Ahora podemos hacer el cálculo del área de la base x la altura que sería (4 x 3cm) x 5, que resultaría en 60 centímetros. Este sería el volumen del prisma rectangular.
- 12. Áreas de Figuras Planas Es una medida de extensión de una superficie. En las áreas de superficie planas o polígonos que son superficies planas de lados rectos; estas pueden triangularse para obtener sus áreas. Entre los polígonos tenemos: el triángulo, rectángulo, rombo, cuadrado, romboide, trapecio.
- 13. Características de las Figuras Planas Comprende la superficie o extensión dentro de una figura Se expresa en unidades de medida que denominamos superficiales El área es un concepto métrico que requiere que el espacio donde se define o especifique una medida Representa la medida de la medida en que la figura ocupa en el espacio El Área de las Figuras Planas Los triángulos ABC y BCD serán iguales. Por tanto, la superficie del paralelogramo ABCD será el doble del área del triángulo ABC. Fórmula: Área del paralelogramo ABCD = 2 · área del triángulo ABC O bien Área del triángulo ABC = área del paralelogramo : 2 Como la base y la altura del paralelogramo son la base y la altura del triángulo obtendremos: Fórmula: Área del triángulo = base por altura dividido por 2 / A = b · h : 2
- 14. Área del triangulo El área de un triángulo es igual a base por altura partido por 2. La altura es la recta perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto (o su prolongación). b = base del triángulo h = altura del triángulo
- 15. Áreas de un cuadriláteros Para calcular el área de distintas figuras geométricas, como los cuadriláteros, se usan procedimientos más sencillos que contar uno por uno los cuadritos, ésta forma depende de la figura de que se trate. A continuación, veremos cómo sacarla.
- 16. Área de un Cuadrado Se calcula a partir de uno de sus lados (l). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, y al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.
- 17. Área de un Rectángulo El área del rectángulo es el producto de la base por altura.
- 18. Área de un Rombo Existen varias fórmulas para calcular el área de un rombo. La más común es mediante las dos diagonales del rombo (las diagonales de un rombo son perpendiculares). El área es la mitad del producto de las diagonales (D y d).
- 19. Área de un Romboide El área de un romboide es el resultado de multiplicar la base por la altura (h). Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo.
- 20. Área de un Trapecio El área del trapecio se calcula a partir de su altura y las dos bases. Es el resultado de la suma de las bases por la altura, y dividido entre dos.
- 21. Área de un Pentágono El área de un pentágono es el resultado de multiplicar el perímetro (p) por apotema (a)y dividir entre dos. Área = p x a 2
- 22. Área de un Paralelogramo Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados. Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura.
- 23. Área del Trapecio El área del trapecio es igual a la suma de las bases por la altura, y dividido por dos.
- 24. Área de Polígonos Regulares Él área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema P = Perímetro del polígono a = apotema del polígono
- 25. Área del Hexágono Regular El área del hexágono regular es igual al perímetro por la apotema partido por dos.
- 26. Área del Hexágono Regular Cuando se Conoce el Lado L Fíjate en las diagonales que pasan por el centro del hexágono. Estas diagonales descomponen al hexágono en 6 triángulos equiláteros. Entonces, si calculamos el área de uno de esos triángulos y luego lo multiplicamos por 6, obtendremos el área del hexágono regular
- 27. Área de las Figuras Circulares Un circulo es el lugar geométrico de los puntos de plano cuya distancia a otro punto fijo,llamado centro es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia
- 28. Área del Círculo El área del círculo es igual al producto de π por el radio (r) al cuadrado. También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), ya que éste es el doble del radio. Como un círculo es un polígono regular de infinitos lados, podemos aplicar la fórmula general del área del polígono regular:
- 29. Área de la Corona Circular El área de la corona circular es igual al área del círculo mayor menos el área del círculo menor. π = 3,1416 R = radio del círculo mayor r = radio del círculo menor
- 30. Área del Sector Circular El área del sector circular es igual al área del círculo multiplicada por el número de grados y dividida por 360. π = 3,1416 r = radio del círculo n = amplitud en grados del sector circular Todos los círculos tienen una amplitud de 360º. Por lo tanto el área que corresponde a un grado será el área total del círculo entre 360º. Si esto lo multiplicamos por el número de grados del sector circular (n), obtendremos el área del sector circular.
- 31. Área del Segmento Circular El área del segmento circular es el área del sector circular menos el área del triángulo que se forman en el sector circular. Si al área del sector circular OAB le restamos el área del triángulo OAB, tenemos el área del segmento circular.
- 32. Área de la Lúnula Su cuadratura de la lúnula es un caso especial de lúnula, formada por dos círculos, el diámetro de uno de los cuales es uno de los lados del cuadrado inscrito en el primero de ellos. Tal y como demostró, el área de la lúnula es la cuarta parte del cuadrado inscrito, que corresponde a un triángulo. La cuadratura del triángulo ya era conocida, con lo que cuadrar la lúnula (es decir, mediante regla y compás) era posible
- 33. Los Cuerpos Geométricos Un solido o cuerpo geométrico es una figura de tres dimensiones ( largo, ancho y alto ) , que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen Clasificación Los cuerpos geométricos pueden ser: Poliedros Cuerpos redondos
- 34. Poliedros La palabra poliedros proviene del griego y significa muchas caras. Los poliedros son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos ( figura geométricas planas) . Por lo tanto todas tienen sus caras planas. Los elementos en un poliedro son caras , aristas y vértices . Caras : son las superficies planas que forman al poliedro , las cuales se interceptan entre si Arista : La línea que une dos caras se denominan aristas . Por ejemplo: en un cubo hay 12 aristas
- 35. Vértices : son los puntos donde se interceptan 3 o mas aristas Clases de Poliedros Se distinguen dos clases de poliedros : Los poliedros regulares : son aquellos cuyas caras son todas polígonos regulares iguales y coincide el mismo numero de ellas en cada vértice
- 36. Tetraedro Un tetraedro regular es un poliedro cuya superficie está formada por cuatro triángulos equiláteros iguales. Es uno de los cinco sólidos platónicos. Según el Teorema de Euler para poliedros, el tetraedro tiene cuatro caras, seis aristas y cuatro vértices. En cada uno de sus vértices concurren tres caras. Un tetraedro no tiene diagonales.
- 37. Cubo (Hexaedro Regular) El cubo (o hexaedro regular) es un poliedro regular compuesto por seis cuadrados iguales. Es uno de los cinco sólidos platónicos. Según el Teorema de Euler para poliedros, el hexaedro regular tiene seis caras, doce aristas y ocho vértices. A cada vértice del cubo concurren tres caras .Un cubo tiene cuatro diagonales.
- 38. Octaedro El octaedro (u octoedro) es un poliedro formado por ocho caras. Si éstas son triángulos equiláteros iguales, se trata de un octaedro regular, uno de los cinco sólidos perfectos (o sólidos platónicos). Según el Teorema de Euler para poliedros, el octaedro tiene ocho caras, doce aristas y seis vértices. A cada vértice de tetraedro concurren cuatro caras. Un octaedro tiene tres diagonales iguales.
- 39. Dodecaedro El dodecaedro es un poliedro regular formado por doce pentágonos regulares iguales. Es uno de los cinco sólidos platónicos. Según el Teorema de Euler para poliedros, el dodecaedro regular tiene doce caras, treinta aristas y veinte vértices. A cada vértice del dodecaedro concurren tres caras. Un dodecaedro tiene 100 diagonales
- 40. Icosaedro El icosaedro es un poliedro formado por veinte caras. Si éstas son triángulos equiláteros iguales, se trata de un icosaedro regular, uno de los cinco sólidos perfectos (o sólidos platónicos). Según el Teorema de Euler para poliedros, el icosaedro tiene veinte caras, treinta aristas y doce vértices. A cada vértice de icosaedro concurren cinco caras. Un icosaedro tiene 36 diagonales.
- 41. Los poliedros irregulares : Los poliedros son irregulares cuando los polígonos (figuras geométricas planas) que lo forman, no son todos iguales ( por ejemplo: una piedra preciosa tallada o los caireles de una lámpara). La representación grafica de los cuerpos geométricos en general, presenta la dificultad de que teniendo tres dimensiones , solamente puede representarse en el plano dos dimensiones; por lo cual se recurre a una técnica de dibujo, la perspectiva , que permite dar la sensación tridimensional
- 42. Tetraedro Tiene cuatro caras. Puede encontrarse la subcategoría de trirrectángulo que tiene tres caras que son triángulos rectángulos. Estos son aquellos que poseen un ángulo recto (que mide 90º). Así, todos estos triángulos se unen en un solo vértice. De otro lado, tenemos el tetraedro isofacial cuya base es un triángulo rectángulo y, a su vez, las tres caras son triángulos isósceles (con dos de sus tres lados de igual longitud) que son idénticos entre sí. Pentaedro: Poliedro cinco caras. Hexaedro: Tiene seis caras. Heptaedro: Figura de siete caras. Octaedro: Posee ocho caras. Eneaedro: Su número de caras es nueve
- 43. Prismas Tienen dos caras idénticas y paralelas (no se cruzan ni al ser extendidas), llamadas bases y son dos polígonos cualesquiera. Asimismo, las caras laterales son paralelogramos (cuadrados o rectángulos, rombos o romboides). Su número de caras es igual al número de lados que tienen las caras paralelas más dos. Es decir, si las bases son pentágonos, el número total de caras será siete.
- 44. Pirámides Están constituidas por una base que es un polígono cualquiera y otras caras (laterales) son triángulos que se unen en un punto en común (vértice). Pueden existir pirámides con muchas caras o lados.
- 45. Convexo Si al unir cualquier par de puntos del poliedro es posible hacerlo dibujando una línea recta que no pase por fuera de la figura. Cóncavo Si se puede hallar al menos dos puntos del poliedro que pueden ser unidos solo por una línea recta que no se mantenga siempre dentro de la figura.
- 46. Clasificación de los Poliedros Irregulares Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en : Prisma – pirámide : los prismas y pirámides son cuerpos geométricos cuyas caras son todas polígonos . Los primas tienen dos caras paralelas e iguales, llamadas base , el resto de sus caras son paralelogramos . Las pirámides tienen una base y el resto de las caras son un triangulo Cuerpos Redondos Son cuerpos geométricos compuesto total o parcialmente por figuras geométricas curvas; como por ejemplo el cilindro , la esfera o el cono .
- 47. El Cono El cono es un cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. El cono tiene una base circular y una superficie curva. Esfera La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
- 48. El Cilindro Un cilindro es una superficie cilíndrica que se forma cuando una recta, denominada generatriz, gira alrededor de otra recta paralela, denominada eje. También lo podemos definir como el cuerpo que se genera cuando un rectángulo gira alrededor de un de sus lados. El cilindro tiene dos bases circulares y una superficie curva.
- 49. Esfera La esfera es el sólido generado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro.
- 50. Conclusión El área y volumen de las figuras geométricas tienen una inmensa cantidad de aplicaciones en múltiples campos, como la ingeniería mecánica, para poder hacer objetos resistentes; en la arquitectura para saber el espacio que debe ocupar una determinada construcción. O en la industria de procesos.
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