Rel1 04-05
- 1. Dpto. de Ciencias de la Computacin e Inteligencia Arti¯cial Universidad de Sevilla L¶ogica Inform¶atica. Grupo 3. Curso 2004/05. Ejercicios de L¶ogica Proposicional. Temas 1, 2 y 3 Ejercicio 1.{ Expresar mediante f¶ormulas proposicionales las siguientes a¯maciones. En cada caso ind¶³quese el signi¯cado que se asigna a las variables proposicionales (p, q, etc.) utilizadas. 1. Si el sol brilla hoy, entonces no brillar¶a ma~nana. 2. O Roberto tiene celos de Chari o no est¶a de buen humor hoy. 3. Cuando la presi¶on atmosf¶erica baja, entonces llueve o nieva. 4. Si has le¶³do los apuntes y has hecho los ejercicios, est¶as preparado para el examen. En caso contrario, tienes un problema. 5. No habr¶a cura para el c¶ancer salvo que se determine su causa y se encuentre un nuevo medicamento. 6. Si Pablo se encontr¶o con Chari ayer, entonces tomaron caf¶e juntos o pasearon por el parque. 7. Juan duerme muchas horas y muy profundamente. 8. Mi hermana tiene un gato blanco y negro. Ejercicio 2.{ >Cu¶al de las siguientes f¶ormulas representa la proposici¶on Llegar¶a en el tren de las 8:15 o en el de las 9:15, si llega en el primero, entonces tendr¶a tiempo para visitarnos"?. Donde p expresa Llegar¶a en el tren de las 8:15" q expresa Llegar¶a en el tren de las 9:15" r expresa Tendr¶a tiempo para visitarnos" 1. :p ! q _ r 2. p _ q ! r 3. (p ! q) ^ (p ^ r) 4. p _ :q ! r 5. (p _ q) ^ (p ! r) Ejercicio 3.{ >Cu¶ales de las siguientes proposiciones tienen la forma (p ^ q) ! r? 1. Si no vas a la ¯esta, entonces Chari, que ya est¶a preparada, se enfadar¶a contigo. 2. Haendel es un gran compositor y Vivaldi tambi¶en. 3. Si la in°aci¶on sube y hay elecciones cerca, entonces las pensiones suben. 4. Llegar¶a en el tren de las 8:15 o en el de las 9:15, si llega en el primero, entonces tendr¶a tiempo para visitarnos. Ejercicio 4.{ >Cu¶ales de las siguientes proposiciones pueden escribirse como p _ (q ^ r), para p, q y r adecuados? 1. Si la in°aci¶on sube y hay elecciones cerca, entonces las pensiones suben.
- 2. 2. Puedes nadar, o usar la sauna y la ducha. 3. Tienes que comprar pan, queso y vino. 4. Las plantas necesitan agua y alimento, pero no que les hablen. Ejercicio 5.{ Determinar todas las subf¶ormulas de: (a) ((:p _ q) _ (q _ r)) (b) (:(:(:p _ p) _ p) _ q) Ejercicio 6.{ Eliminar todos los par¶entesis posibles de las siguientes f¶ormulas: (((p ! q) _ r) ! (p ^ :p)) (:(p ^ q) ! (q ^ r)) ((p ! (q ^ r)) ! (::p ^ q)) :((p ^ p) ^ (p ^ p)) (((p _ q) _ (r _ s)) ! :p) (p ! ((q $ s) ! p)) Ejercicio 7.{ Escribir con par¶entesis las siguientes f¶ormulas: p ! q $ r _ s q ! :p _ r _ s p _ q $ :r _ s q ^ :q _ p ! r Ejercicio 8.{ Dada una f¶ormula proposicional A, sean s(A) el n¶umero de estancias de variables proposi- cionales en A y b(A) el n¶umero de estancias de la conectiva _ en A. Prueba que para toda f¶ormula A se veri¯ca que s(A) = b(A) + 1. Ejercicio 9.{ Prueba que existe una ¶unica funci¶on L que a cada f¶ormula proposicional, A, le asocia un n¶umero natural, L(A), como sigue: L(p) = 1 si p 2 V P. L(:A) = L(A) + 1. L((A _ B)) = L(A) + L(B) + 3. >Qu¶e informaci¶on nos proporciona L(A) sobre la f¶ormula A? Ejercicio 10.{ Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a tres puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitaci¶on correspondiente. Se informa al prisionero que en dos de las habitaciones hay sendos tigres, y en la otra una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero: ² puerta 1: en esta habitaci¶on hay un tigre ² puerta 2: en esta habitaci¶on est¶a la dama ² puerta 3: en esta habitaci¶on est¶a la dama El prisionero se da cuenta inmediatamente de que los tres letreros no pueden ser verdaderos, y el rey le informa que al menos uno es falso. tras pensar unos minutos, el prisionero dice que, con todo, es imposible deducir l¶ogicamente el resultado, pues la dama podr¶³a estar en cualquier habitaci¶on. tras comprobar el rey que esto es cierto, le informa que al menos dos letreros son falsos. el prisionero pudo as¶³ deducir la puerta correcta. Se pide: Establecer una tabla para los valores de verdad de los tres letreros; en base a ella, justi¯car la historieta anterior, e indicar razonadamente la puerta que eligi¶o el prisionero. Ejercicio 11.{ En una isla habitan dos tribus de nativos A y B. Todos los miembros de la tribu A siempre dicen la verdad, mientras que todos los que pertenecen a la tribu B siempre mienten. Llegamos a la citada isla y le preguntamos a un nativo si all¶³ hay oro, a lo que nos responde: Hay oro en la isla si y s¶olo si yo siempre digo la verdad". >Hay oro en la isla? >Podemos determinar a qu¶e tribu pertenece el nativo que nos respondi¶o?
- 3. Ejercicio 12.{ Sea ± una nueva conectiva de aridad 3, cuya funci¶on de verdad viene dada por: p q r ±(p; q; r) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1. Expresa la nueva conectiva en funci¶on de _ y :. 2. >Es posible expresar las conectivas _, ^, ! y : a partir de la nueva conectiva ±? 3. Prop¶on una expresi¶on del lenguaje natural que describa el signi¯cado de la conectiva ±. Ejercicio 13.{ En cada uno de los siguientes casos, determinar todas las valoraciones que validan la f¶ormula correspondiente: p ! (p ^ r) p ! (p ^ :p) ! r p ! (q ! r ^ q) (p ^ q) _ (:p ^ q) ! :q Ejercicio 14.{ Para cada uno de los siguientes pares de f¶ormulas, decidir si son equivalentes: 1. A ! B ! C y A ^ B ! C 2. A ! (B ^ :C) y A ! B ! C 3. :(A $ B) y A $ :B Ejercicio 15.{ Probar las siguientes equivalencias: 1. A ! B ´ :B ! :A 2. A ! B ´ :(A ^ :B) 3. A ^ B ´ :(A ! :B) 4. A ^ (B ! A) ´ A Ejercicio 16.{ Determina si los siguientes argumentos son l¶ogicamente correctos: 1. Si Juan es comunista, entonces Juan es ateo. Juan es ateo. Por tanto, Juan es comunista. 2. Cuando tanto la temperatura como la presi¶on atmosf¶erica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presi¶on atmosf¶erica no permanece constante. 3. Siempre que un n¶umero x es divisible por 10, acaba en 0. El n¶umero x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 10. 4. Para que un n¶umero x sea divisible por 5, es necesario que el n¶umero acabe en 0. El n¶umero x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 5. 5. El n¶umero y es negativo si x es positivo. Cuando z es negativo, y tambi¶en lo es. Por tanto, y es negativo siempre que o bien x sea positivo o bien z sea negativo. 6. En cierto experimento, cuando hemos empleado un f¶armaco A, el paciente ha mejorado consider- ablemente en el caso, y s¶olo en el caso, en que no se haya empleado tambi¶en un f¶armaco B. Adem¶as, o se ha empleado el f¶armaco A o se ha empleado el f¶armaco B. En consecuencia, podemos a¯rmar que si no hemos empleado el f¶armaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.
- 4. Ejercicio 17.{ Determinar cu¶ales de las siguientes f¶ormulas son consecuencia l¶ogica de la f¶ormula A^B y cu¶ales de A _ :B: A; :B ! A; :A _ B; B ! :A Ejercicio 18.{ Decidir cu¶ales de las siguientes a¯rmaciones son verdaderas: fp _ qg j= p ! r fp ! q; q ! p ^ rg j= p ! (p ! q) ! r fp ^ :pg j= r ! r _ q fp ^ q ^ rg j= r ! :p Ejercicio 19.{ Sea A una tautolog¶³a. Determinar T(fAg). Ejercicio 20.{ Determinar, usando formas normales conjuntivas y formas normales disyuntivas, cu¶ales de las siguientes f¶ormulas son taulog¶³as y cu¶ales satisfactibles: p ! (p _ p); (p $ q) _ p; p ! p ! q ! p; p ! r _ q ! r ! r Ejercicio 21.{ Usar el m¶etodo de los tableros sem¶anticos para decidir si las siguientes f¶ormulas son tautolog¶³as o no: (p ! q) $ (p $ p ^ q) (p ! q) $ (q $ (q _ q)) p $ p _ p (p ^ q) $ ((p $ q) $ (p _ q)) (p ^ q) $ p p ! (p ! :p) Ejercicio 22.{ >Es cierto, en general, que si una f¶ormula A admite un tablero completo con todas las hojas abiertas, entonces A es una tautolog¶³a? Ejercicio 23.{ Utilizar el m¶etodo de los tableros sem¶anticos para decidir la validez de las a¯rmaciones del ejercicio 18. Ejercicio 24.{ Demostrar que la construcci¶on del tablero modi¯cada con el criterio de cerrar los nodos que contengan un par complementario de f¶ormulas (no necesariamente literales) tambi¶en proporciona un m¶etodo de decisi¶on adecuado y completo para decidir la satisfactibilidad. Ejercicio 25.{ Para cada una de las siguientes f¶ormulas proposicionales, obtener una f¶ormula equivalente en forma normal disyuntiva y determinar todas las valoraciones que validan la f¶ormula: (p $ q) ^ r; ((p ^ q) _ r) ^ (:((p _ r) ^ (q _ r))); :(p ^ q ^ r) _ ((p ^ q) _ r) >Cu¶ales de las f¶ormulas anteriores son satisfactibles? >Y cu¶ales son tautolog¶³as? Ejercicio 26.{ Sea U = fp ! (q $ r); rg. Decide, mediante tableros sem¶anticos, si: 1. U j= r ! (p ^ q). 2. U j= (r ^ p) ! q. 3. U j= (s _ p) ^ (s ! q) ! q. Ejercicio 27.{ Decide razonadamente si las siguientes a¯rmaciones son verdaderas o falsas: 1. Si existe un tablero completo cerrado con ra¶³z la f¶ormula proposicional A, entonces todo tablero completo para A es cerrado. 2. Si existe un tablero completo abierto con ra¶³z la f¶ormula proposicional A, entonces todo tablero completo para A es abierto. 3. Si A es una tautolog¶³a, entonces cualquier hoja de un tablero completo para la f¶ormula A es abierta. 4. Si existe un tablero completo para A tal que todas sus hojas son abiertas, entonces la f¶ormula A es una tautolog¶³a. 5. Dos tableros completos para una misma f¶ormula proposicional A siempre poseen el mismo n¶umero de ramas. Ejercicio 28.{ Sean A, B, C y D f¶ormulas proposicionales. Usando los teoremas de adecuaci¶on y completitud para tableros sem¶anticos, demuestra que: 1. Si cada uno de los siguientes conjuntos de f¶ormulas U1 = fA; :Bg y U2 = fB; :Cg admite un tablero completo cerrado, entonces la f¶ormula :(A ! C) admite un tablero completo cerrado. 2. Si cada uno de los conjuntos U1 = fA; :B; :Cg, U2 = fB;:Dg y U3 = fC; :Dg admite un tablero completo cerrado, entonces la f¶ormula :(A ! D) admite un tablero completo cerrado.