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- 1. RESISTENCIA DE MATERIALES - UNIDAD 1 MMIM Humberto O. García Cedillo
- 2. INTRODUCCIÓN • Estudia la relación entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerzas internas que actúan dentro de él; así se estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos sometidos a varios tipos de carga, considerando sus deformaciones. • La resistencia de materiales es entonces una materia que trata del comportamiento de los cuerpos sólidos.
- 3. INTRODUCCIÓN DISEÑO DE ESTRUCTURAS DEFLEXIONES ESTABILIDAD DIMENSIONES ESTÁTICA FUERZAS ¿CÓMO?
- 4. INTRODUCCIÓN TEORÍA DE RESISTENCIA DE MATERIALES • Establecer los criterios que permitan determinar El material más conveniente. La forma y las dimensiones más adecuadas Para cumplir adecuadamente con la función para la que fue diseñada.
- 5. INTRODUCCIÓN Magnitude s Físicas Sistema Internacional Sistema Inglés Unidad Símbolo También se utiliza: Unidad Símbolo Tambien se utiliza: Longitud Metro m Centímetro (cm) Pie ft Pulgada (in) Área Metro cuadrado m2 Pie2 ft2 Pulgada (in2) Masa Kilogramo Kg Libra lb Slug Fuerza Newton N Kilogramo fuerza (Kgf) Libra fuerza lb-f Poundal Esfuerzo Pascal Pa (N/m2) Kg/cm2 Libras sobre pie cuadrado lb/ft2 lb/in2 Momento Newton- metro N-m Kg-m Libra pie lb-ft lb-in
- 7. ESFUERZO SIMPLE • El esfuerzo es un concepto básico para designar la intensidad de una fuerza interna producida por cargas externas. • Se puede definir como la relación que existe entre la fuerza aplicada sobre un elemento y el área por considerar del mismo Fuerza Área Esfuerzo Normal o axial Fuerza Área Esfuerzo Cortante
- 8. ESFUERZO SIMPLE Esfuerzo normal se desfigna con la letra Sigma (𝜎) Esfuerzo cortante se designa con la letra Tau (𝜏) 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 = 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 Á𝑟𝑒𝑎 𝜎 ó 𝜏 = 𝐹 𝐴
- 9. ESFUERZO SIMPLE • Se conoce la carga máxima que puede resistir cada barra y su radio, de la barra 1 su radio es de 0.55 cm y la barra 2 su área es de 2.5 cm ¿Cuál es la barra más resistente? 100 kg 1000 kg Barra 1 Barra 2
- 10. ESFUERZO SIMPLE Á𝑟𝑒𝑎 1 = 𝜋 ∗ 𝑟! = 𝜋 ∗ 0.55! = 0.95 𝑐𝑚! Á𝑟𝑒𝑎 2 = 𝜋 ∗ 𝑟! = 𝜋 ∗ 2.5! = 19.6 𝑐𝑚! 𝜎" = 𝐹 𝐴 = 100 𝑘𝑔 0.95 𝑐𝑚! = 105.26 𝑘𝑔/𝑐𝑚! 𝜎! = 𝐹 𝐴 = 1000 𝑘𝑔 19.6 𝑐𝑚! = 51 𝑘𝑔/𝑐𝑚! El más resistente es la barra 1
- 11. ESFUERZO SIMPLE • Si se considera al esfuerzo como lo que resisten las fibras internas de los materiales a diferentes cargas externas, y que en este caso las cargas externas son máximas, se puede establecer que las fibras internas del material de la barra 1 resisten el doble que de la barra 2; por lo tanto, es mucho más resistente el material del que est. fabricada la barra 1.
- 12. ESFUERZO SIMPLE El esfuerzo es inversamente proporcional al área • Ósea que entre más área menos esfuerzo ¿Y si sabemos el esfuerzo de un material? • Y menor área más esfuerzo Podremos determinar la resistencia del material en cada área • Entonces, si variamos su área
- 13. TAREA 1 Tenemos dos objetos que queremos cargar con dos barras, la barra uno debe cargar una caja de 450 kg y la barra dos de 2500 kg, la barra uno y la barra dos son de materiales diferentes y por tanto de esfuerzos diferentes, que son los siguientes 𝜎" = 105.26 #$ %&! y 𝜎! = 51 #$ %&!, respectivamente, ¿Cuál es el área que debe tener dichas barras para soportar dichas cargas? Barra 1 Barra 2 𝜎" = 105.26 𝑘𝑔 𝑐𝑚! 𝜎! = 51 𝑘𝑔 𝑐𝑚!
- 14. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) Fuerza Área Esfuerzo Normal o axial Se debe tomar en cuenta también el sentido de la fuerza aplicada P ¿Vectores? P P A P P A Esfuerzo de tensión Esfuerzo de compresión
- 15. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) • Cuando se requiere una convención de signos para los esfuerzos normales, es común tomar los esfuerzos de tensión como positivos y los de compresión negativos; P P A Esfuerzo de tensión (+) P P A Esfuerzo de compresión (-)
- 16. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) • Es conveniente mencionar que la ecuación de esfuerzo normal se presenta en una forma tan simple, al tomar en cuenta diversas suposiciones que se cumplen respecto al material y la forma de aplicar la fuerza, pues el análisis exigirá que el cuerpo experimente una deformación y estado de esfuerzos uniforme.
- 17. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) Las suposiciones que se deben tomar en cuenta son: 1. La carga P debe ser aplicada a lo largo del eje centroidal de la sección transversal. 2. El material debe ser homogéneo, es decir, que debe tener las mismas propiedades tanto físicas como mecánicas en todo su volumen. 3. El material debe ser isótropo, es decir, que debe tener las mismas propiedades en todas las direcciones.
- 18. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN)
- 19. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) Restricciones de la fórmula Para poder utilizar la fórmula de esfuerzo (σ = F/A), la cual representa un esfuerzo promedio en el elemento donde se aplica la carga, se deben considerar ciertas limitaciones que condicionan su uso, las cuales son:
- 20. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) 1. Cuando existe un cambio brusco de la sección trasversal en un elemento, en donde la diferencia de las áreas y de las cargas sobre dichas áreas hacen que la fórmula no sea válida.
- 21. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) 2. Cuando la carga no es axial, es decir, que no pasa por el eje geométrico del elemento.
- 22. ESFUERZO NORMAL (TENSIÓN Y COMPRESIÓN) 3. Cuando existe inestabilidad elástica, en donde juega es importante la relación de las dimensiones trasversales de un elemento, pues dicha relación debe tener un limite, si no se produce pandeo en la estructura y la fórmula de esfuerzo ya no es válida para esta condición. 𝐿 𝐷 ≤ 10, 𝜎 = 𝐹 𝐴 𝐿 𝐷 > 10, 𝜎 ≠ 𝐹 𝐴 𝐷 = 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙
- 23. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO • Este tipo de esfuerzo ocurre cuando un cuerpo es soportado por otro, y es el esfuerzo de compresión desarrollado entre dos cuerpos en su superficie de contacto, que es característico en esta variante de esfuerzo normal.
- 24. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO • Los esfuerzos de aplastamiento también ocurren sobre superficies curvas, como entre el perno y la placa mostrados:
- 25. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO Si se considera un tornillo, el cual tiene como diametro de ¼” y las placas son de ½” de espesor, estas están siendo estiradas con una fuerza de 30 lb f, ¿Cuál es el esfuerzo que debe tener el tornillo para soportar dicho aplastamiento en kg/cm2?
- 26. ESFUERZO DE APLASTAMIENTO Á𝑟𝑒𝑎 = 0.64𝑐𝑚 · 1.27 𝑐𝑚 Á𝑟𝑒𝑎 = 0.81 𝑐𝑚! 𝜎 = 𝐹/𝐴= 13.62 𝑘𝑔 0.81 𝑐𝑚! = 16.8 𝑘𝑔/𝑐𝑚! = 0.64 𝑐𝑚 𝑡 = 0.5 𝑖𝑛 · 2.54 𝑐𝑚/𝑖𝑛 𝐷 = 0.25 𝑖𝑛 · 2.54 𝑐𝑚/𝑖𝑛 = 1.27 𝑐𝑚 𝑃 = 30𝑙𝑏 · 0.454 𝑘𝑔/𝑙𝑏 = 13.62 𝑘𝑔
- 27. ESFUERZO CORTANTE • Este esfuerzo considera un área paralela o tangencial a la dirección de la fuerza aplicada, y aparece siempre que las fuerzas aplicadas obliguen a una sección del material que va a desplazarse o deslizarse sobre la sección adyacente. Fuerza Área Esfuerzo Cortante
- 28. ESFUERZO CORTANTE Se puede ilustrar el esfuerzo cortante simple, que tiene sólo un área por considerar, la cual representa dos placas unidas con pegamento.
- 29. ESFUERZO CORTANTE Al visualizar la falla del elemento, es evidente que el área de falla es paralela a la fuerza aplicada, por lo que es un esfuerzo cortante. A este tipo de esfuerzo cortante se le llama cortante doble. 𝜎 = 𝐹/𝐴 𝜏 = 𝐹/2𝐴
- 30. ESTADO DE ESFUERZOS Ya sabemos que σ = F/A. Sin embargo, esta definición es algo ambigua. Para realizar el análisis del estado de esfuerzos, que es la combinación de esfuerzos en un punto cualquiera, se debe considerar primero que los esfuerzos pueden ser: • Esfuerzos uniaxiales • Esfuerzos biaxiales • Esfuerzos triaxiales
- 31. ESTADO DE ESFUERZOS 𝜎' = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 “𝑥” 𝜏'( = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 “𝑥” 𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 “𝑦” Los esfuerzos vistos son únicamente los esfuerzos positivos, ya que en las caras ocultas del cubo están los esfuerzos de corte “primos”, como por ejemplo, el esfuerzo de corte ubicado en la cara “y” negativa, con dirección “x” negativa es τ’yx
- 32. CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS Para ilustrar las concentraciones de esfuerzo, se utiliza el enunciado conocido como principio de Saint-Venant.
- 33. CONCENTRACIÓN DE ESFUERZOS El inciso (b), en donde se presenta una concentración de esfuerzos en el punto de aplicación de la carga, cabe destacar que dicha concentración obedece a una disipación del esfuerzo a lo largo de la barra, es decir, que éste va disminuyendo en su magnitud, hasta llegar a ser constante a una distancia igual al ancho b del elemento
- 34. ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES • El diseño de dichas estructuras es lograr encontrar las características y dimensiones óptimas que satisfagan dos criterios fundamentales: seguridad y economía. • Se debe tener muy claro que, aunque comúnmente se piense que son sinónimos, el término falla y fractura son distintos.
- 35. ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES • Falla es cuando el elemento ya no puede realizar satisfactoriamente la función para la que fue diseñado
- 36. Unidades: kg/cm2 Esfuerzo permisible Esfuerzo total 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 Acero Madera Esfuerzos del Acero y de la Madera
- 37. ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES Esto se hace con el objetivo de dejar previsto cierto margen de error, por la incertidumbre, como podría ser un exceso de carga, como una mala fabricación del elemento, vibraciones o cargas externas accidentales. Esfuerzo Permisible y Esfuerzo Total
- 38. ESFUERZOS Y CARGAS PERMISIBLES Esfuerzo Permisible y Esfuerzo Total σ permisible = Carga permisible / Área por lo que despeja: Área = Carga permisible / σ permisible
- 39. EJERCICIO: • Un tubo de acero se encuentra rígidamente sujeto por un perno de aluminio y otro de bronce. Las cargas axiales se aplican en los puntos indicados en la figura. Calcule el máximo valor de P que no exceda un esfuerzo de 80 MPa en el aluminio, 150 Mpa en el acero, o de 100 Mpa en el bronce.
- 40. EJERCICIO: • Conversión de unidades: Á𝑟𝑒𝑎 1 = 200𝑚𝑚! (1𝑐𝑚)! (10𝑚𝑚)! (1𝑚)! Á𝑟𝑒𝑎 2 = 400𝑚𝑚! 0.0004𝑚! Á𝑟𝑒𝑎 3 = 500𝑚𝑚! 0.0005𝑚! (100𝑐𝑚)! 0.0002𝑚!
- 41. EJERCICIO: • Conversión de unidades: 𝜎" = 80 𝑀𝑃𝑎 • Pa = N/m2 • 1Pa = 1N/m2 • 1MPa = 1’000,000 N/m2 𝜎" = 80) 000,000 𝑃𝑎 𝜎! = 150 𝑀𝑃𝑎 𝜎! = 150) 000,000 𝑃𝑎 𝜎* = 100 𝑀𝑃𝑎 𝜎! = 100) 000,000 𝑃𝑎
- 42. EJERCICIO:
- 43. EJERCICIO: 𝑃 = 𝜎 · 𝐴 𝑃 = 80) 000,000 𝑃𝑎 · 0.0002 𝑚! = 16,000 𝑁 2𝑃 = 150) 000,000 𝑃𝑎 · 0.0004 𝑚! = 60,000 𝑁 4𝑃 = 100) 000,000 𝑃𝑎 · 0.0005 𝑚! = 50,000 𝑁
- 44. EJERCICIO: • Un bloque de madera se ensaya a cortante directo usando el marco de carga y la probeta de prueba, que se muestran en la figura. Si la carga aplicada es P = 1700 lb y la probeta tiene las dimensiones mostradas, ¿cuál es el esfuerzo cortante en la madera?
- 45. EJERCICIO: 𝐴 = 3 𝑖𝑛 · 2𝑖𝑛 = 6 𝑖𝑛! 𝐹 = 1,700 𝑙𝑏 = 283.3 𝑝𝑠𝑖 𝜏 = 𝐹 𝐴 𝜏 = 𝐹 2𝐴 = 1700 𝑙𝑏 6𝑖𝑛!
- 46. EJERCICIO: El tubo de acero cuadrado soporta una fuerza de compresión axial de 30 000 lb. Calcule el esfuerzo de compresión en el tubo y el esfuerzo de apoyo entre cada superficie en contacto. Considere que la pila de concreto pesa 338 lb.
- 47. EJERCICIO 𝐴 = 4 𝑖𝑛 · 4𝑖𝑛 = 16 𝑖𝑛! −(3.75 𝑖𝑛 · 3.75 𝑖𝑛) = 30,000 𝑙𝑏 1.9 𝑖𝑛! 𝐴 = 16 𝑖𝑛! − 14.1 𝑖𝑛! 𝜎+,-. = 𝐹 𝐴 = 1.9 𝑖𝑛! = 15,789.5 𝑝𝑠𝑖 𝜎/01%1 = 15,789.5 𝑝𝑠𝑖
- 48. EJERCICIO 𝐴/01%1 = 6 𝑖𝑛 · 6𝑖𝑛 = 36 𝑖𝑛! 𝜎%.2% = 𝐹 𝐴 = 576 𝑖𝑛! = 30,000 𝑙𝑏 36𝑖𝑛! 𝐴%.2% = 24 𝑖𝑛 · 24𝑖𝑛 = 833.3 𝑝𝑠𝑖 𝜎$3141 = 𝐹 𝐴 = 30,338 𝑙𝑏 576 𝑖𝑛! = 52.7 𝑝𝑠𝑖
- 49. Tipos de Materiales de Construcción Metálicos Acero, hierros, aluminios Se emplean en estructuras, electricidad, instalaciones etc. Cerámicos y Vidrios Azulejos Suelos, recubrimientos Vidrios Ventanas, puertas, decoración. Tejas Tejados Pétreos Roca Concreto o muros Áridos Arenas y gravas Mármol Suelos, recubrimientos.
- 50. TIPOS DE MATERIALES • Materiales metálicos: se obtienen a partir de minerales del metal. Hay dos tipos, los ferrosos que contienen hierro y los materiales no ferrosos, que lógicamente no tienen ningún porcentaje de hierro en su composición. Los ferroso más usado son el acero y la fundición y los no ferrosos el cobre y el aluminio.
- 51. TIPOS DE MATERIALES • Cerámicos y vidrios: Proceden de materias primas arcillosas que se someten a un proceso de cocción en un horno a altas temperaturas. Los más usados en construcción son las baldosas y azulejos, ladrillos refractarios, loza sanitaria, vidrio, ladrillos, bovedillas, tejas.
- 52. TIPOS DE MATERIALES • Materiales pétreos: son las piedras y rocas naturales y sus derivados. Los más usados en la construcción son la roca caliza, el mármol, el granito, la pizarra y los áridos (piedras de diferentes tamaños).
- 53. Tipos de Materiales de Construcción Aglutinantes Cemento Morteros, concreto, recubrimientos Yeso Recubrimiento y molduras Compuestos Mezcla asfáltica Carreteras, recubrimiento en patios y tejados Concreto Vigas, Columnas, Concreto armado, Cimientos Mortero Aglutinante
- 54. TIPOS DE MATERIALES • Materiales aglutinantes: al mezclarse con agua sufren transformaciones químicas. Se utilizan para unir otros materiales. El yeso y el cemento son los más utilizados.
- 55. TIPOS DE MATERIALES • Materiales compuestos: formados por la mezcla de diferentes materiales con diferentes propiedades. Los más usados son el mortero, el hormigón, el hormigón impreso y las mezclas asfálticas. El mortero es una mezcla de arena, cemento y agua. El hormigón es una mezcla de cemento, piedras de diferentes tamaños (áridos) y agua.
- 56. PROPIEDADES FÍSICAS • Son aquellas caracteristicas o facultades que posee una materia prima o con mas frecuencia un producto manufacturado. • Se clasifican en propiedades físicas extensivas y propiedades físicas intensivas.
- 57. PROPIEDADES FÍSICAS •Las primeras dependen de la cantidad de materia, por ejemplo: la masa, el volumen y la longitud.
- 58. PROPIEDADES FÍSICAS • Las segundas son aquellas que no dependen de la cantidad de materia, por ejemplo: el color, el sabor, la maleabilidad, la conductividad, la dureza, los puntos de ebullición, fusión y la densidad.
- 59. PROPIEDADES FÍSICAS FORMA: Dentro de esta propiedad se puede considerar, aspectos rectos curvos, o aspectos irregulares
- 60. PROPIEDADES FÍSICAS DIMENSIONES: Con esta propiedad nos referimos al largo. Ancho, espesor entre otros. Del material de construccion.
- 61. PROPIEDADES FÍSICAS • DENSIDAD Y/O PESO ESPECIFICO Densidad es el cociente entre la masa y el volumen de cuerpo esta propiedad esta expresada en: kg/m3,tn/m3,entre otros 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 = 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛
- 63. • POROSIDAD: La porosidad es la propiedad que tienen los cuerpos de dejarse atravesar por aire, agua, calor, etcetera. La Porosidad se Expresa generalmente en forma porcentual. 𝑃𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 % = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 PROPIEDADES FÍSICAS
- 64. PROPIEDADES FÍSICAS • CONTENIDO DE HUMEDAD: Es la cantidad de agua contenida en un cuerpo se expresa generalmente en forma porcentual con respecto a su peso seco.
- 65. PROPIEDADES FÍSICAS • CONTENIDO DE HUMEDAD: El contenido de humedad influye considerablemente sobre las restantes propiedades del material (por ejemplo: en las maderas la resistencia mecánica disminuye a medida que aumenta el contenido de humedad).
- 66. PROPIEDADES FÍSICAS • PERMEABILIDAD: La permeabilidad indica la facilidad con que un material puede ser atravesado por los fluidos (líquidos y gases); siendo usual considerar, en el caso de materiales de construcción, la permeabilidad al agua y al vapor de agua.
- 67. PROPIEDADES FÍSICAS • PROPIEDADES TERMICAS: La temperatura es un factor externo de enorme importancia, ya que afecta prácticamente a todas las características de los materiales.
- 68. PROPIEDADES FÍSICAS 1. Transmisión del calor 2. Aislante del calor 3. Dilatación
- 69. PROPIEDADES FÍSICAS • PROPIEDADES ELECTRICAS : Capacidad de los materiales de permitir el paso de la energía eléctrica a través de su masa, con lo cual se define a un determinado material como conductor o no de la energía eléctrica.
- 70. PROPIEDADES QUÍMICAS • Se manifiestan cuando los materiales sufren una transformación debida a su interacción con otras sustancias.
- 71. PROPIEDADES QUÍMICAS RESISTENCIA A LA CORROSION Y A LA OXIDACION: CORROSION: Es un fenómeno causado cuando el metal entra en acción con el agua, generalmente proveniente de la humedad ambiente.
- 72. PROPIEDADES QUÍMICAS RESISTENCIA A LA CORROSION Y A LA OXIDACION: OXIDACION:es producida por la acción del oxígeno sobre los metales, fenómeno que se intensifica con la temperatura.
- 73. PROPIEDADES MECÁNICAS • Describen la forma en que un material soporta fuerzas aplicadas, incluyendo fuerzas de tensión, compresión, impacto, cíclicas o de fatiga, o fuerzas a altas temperaturas.
- 74. PROPIEDADES MECÁNICAS RESISTENCIA A LOS ESFUERZOS : Se denomina resistencia mecánica de un material al mayor o menor grado de oposición que presenta a las fuerzas que tratan de deformarlo.
- 75. PROPIEDADES MECÁNICAS • TENACIDAD: Es la cantidad de energía requerida para hacer fallar un material. Difiere de la resistencia, que es la medida del esfuerzo requerido para alcanzar la rotura
- 76. PROPIEDADES MECÁNICAS FRAGILIDAD: Es la propiedad de los materiales de romperse con una pequeña deformación (cuando se requiere una menor cantidad de energía para alcanzar la rotura).
- 77. PROPIEDADES MECÁNICAS • ELASTICIDAD: Es la capacidad de un material de recuperar su forma inicial luego de sufrir una deformación.
- 78. PROPIEDADES MECÁNICAS PLASTICIDAD: Es el concepto contrario al de elasticidad: un material es plástico cuando mantiene la deformación después de haber eliminado el esfuerzo que la produjo.
- 79. PROPIEDADES MECÁNICAS RIGIDEZ: La rigidez es la resistencia que opone un cuerpo a deformarse cuando es sometido a un esfuerzo de flexión o torsión. La rigidez es importante en el material.
- 80. PROPIEDADES MECÁNICAS • ISÓTROPO: Esta propiedad, indica que el material posee las mismas propiedades cualquiera sea la dirección en que se las considere, con lo cual se lo denomina isótropo.
- 81. PROPIEDADES MECÁNICAS • ANISÓTRPPO: Por el contrario un material es anisótropo cuando sus propiedades varían conforme sea la dirección considerada, un ejemplo típico de material anisótropo lo constituye la madera.
- 82. La barra que se muestra en la figura tiene un ancho constante de 35mm y un espesor de 10 mm. Determine el esfuerzo nomral promedio máximo en la barra cuando está sometida a las cargas mostradas.
- 83. Cargas internas: Por inspección las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD son todas constantes aunque con magnitudes diferentes. Estas cargas se determinan usando el método de las secciones y el diagrama de fuerza normal que representa esots resultadosde manera gráfica. La mayor carga se encuentra en la región BC, donde 𝑃!" = 30 𝑘𝑁. Como el área de la sección transversal de la barra es constante, el mayor esfuerzo normal promedio también ocurre dentro de esta región de la barra.
- 84. Esfuerzo normal promedio 𝜎56 = 𝑃56 𝐴 = 30 10* 𝑁 0.035 𝑚 · 0.010𝑚 = 85.7𝑀𝑃𝑎 Aquí se puede mostrar como la distribución de esfuerzo que actúa en la región BC. De manera gráfica el volumen, representado por esta distribución es equivalente a la carga de 30kN
- 85. La lámpara de 80kg está sometida por dos barras AB y BC como sse muestra en la figura tiene un diámetro de 10mm y BC un diámetro de 8mm, determine el esfuerzo normal promedioen cada barra.
- 86. Carga interna: Primero se debe determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura anterior se muestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se obtiene: 8 𝐹# = 0; 𝐹!" 4 5 − 𝐹!$ · cos 60° = 0 8 𝐹% = 0; 𝐹!" 3 5 + 𝐹!$ · sen 60° − 784.8𝑁 = 0 𝐹!" = 395.2𝑁, 𝐹!$ = 632.4𝑁
- 87. Por la tercera ley de Newton, de la acción igual pero con reacción opuesta, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda su longitud. Esfuerzo normal promedio: 𝜎!" = 𝐹!" 𝐴!" = 395.2 𝑁 𝜋 · 0.004𝑚 & = 7.86 𝑀𝑃𝑎 𝜎!$ = 𝐹!$ 𝐴!$ = 632.4 𝑁 𝜋 · 0.005𝑚 & = 8.05 𝑀𝑃𝑎
- 88. La pieza fundida que se muestra en la figura está hecha de acro con un peso específico de 𝛾'( = 490𝑙𝑏/𝑝𝑖𝑒) . Determine el esfuerzo de compresión promedio que esta actúa en los puntos Ay B.
- 89. Carga interna. En la figura anterior se meustra un diagrama de cuerpo libre del segmento superior de la pieza, donde la sección pasa por los puntos A y B. El peso de este segmento se determina a partir de 𝑊 '( = 𝛾'( · 𝑉 '( . Así, la fuerza axial interna P en la sección es: 8 𝐹* = 0 ; 𝑃 − 𝑊 '( = 0 𝑃 − 490 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒) 2.75 𝑝𝑖𝑒𝑠 𝜋 0.75 𝑝𝑖𝑒 & = 0 𝑃 = 2381 𝑙𝑏
- 90. Esfuerzo de compresión promedio. El área de la sección transversal en la sección es 𝐴 = 𝜋(0.75 𝑝𝑖𝑒)& , por lo que el esfuerzo de compresión promedio resulta: 𝜎 = 𝑃 𝐴 = 2381 𝑙𝑏 𝜋(0.75 𝑝𝑖𝑒)&𝐴 = 1347.5 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒& 𝜎 = 1347.5 𝑙𝑏 𝑝𝑖𝑒& 1 𝑝𝑖𝑒& 144 𝑝𝑖𝑒𝑠& = 9.36 𝑝𝑠𝑖
- 91. El elemento AC que se muestra la figura es sometido a una fuerza vertical de 3 kN. Determine la posición x de esta fuerza de manera que el esfuerzo de tensión promedio en el soporte liso C sea igual al esfuerzo de tensión promedio en el tirante AB. Este tirante tiene un área en su sección transversal de 400 mm2 y el área de contacto en C es de 650mm2.
- 92. Carga interna: Las fuerzas en A y C peuden relacionarse al considerar el diagrama de cuerpo libre del elemento AC. Existen tres incógnitas, éstas son: 𝐹$!, 𝐹" 𝑦 𝑥. En la solución de este problema se usarán unidades de newtons y milímetros. 8 𝐹% = 0 ; 𝐹$! + 𝐹" − 3000𝑁 = 0 8 𝑀$ = 0 ; −3000𝑁 𝑥 + 𝐹"(200𝑚𝑚) = 0
- 93. Esfuerzo normal promedio. Se puede escribir una tercera ecuación necesaria, la cual requiere de tensión en la barra AB y el esfuerzo de compresión en C sean equivalentes, es decir: 𝜎 = 𝐹$! 400 𝑚𝑚& = 𝐹" 650 𝑚𝑚& 𝐹" = 1.625 · 𝐹$!
- 94. Al sustituir esto en la ecuación 1, despejar 𝐹$! y después despejar 𝐹", se obtiene: 𝐹$! = 1143 𝑁 𝐹" = 1857 𝑁 La posición de la carga aplicada se determina a partir de la ecuación 2: 𝑥 = 124 𝑚𝑚
- 95. Determine el esfuerzo cortante promedio en el pasador de 20 mm de diámetro ubicado en A y en el pasador de 30 mm de diámetro que ésta en B, los cuales soportan la viga de la figura.
- 96. Cargas internas. Las fuerzas sobre los pasadores pueden obtenerse al considerar el equilibrio de la viga. 8 𝑀$ = 0; 𝐹! 4 5 6𝑚 − 30𝑘𝑁 2𝑚 = 0, 𝐹! = 12.5 𝑘𝑁 8 𝐹% = 0; 𝐴% + 12.5 𝑘𝑁 4 5 − 30𝑘𝑁 = 0, 𝐴% = 20 𝑘𝑁
- 97. Así la fuerza resultante que actúa sobre el pasador A es: 𝐹$ = 𝐴# & + 𝐴% & = (0.75𝑘𝑁)&+(20𝑘𝑁)&= 21.36𝑘𝑁 El pasador en A se sostiene mediante dos hojas fijas, por consiguiente el diagrama de cuerpo libre del segmento centroal del perno, se muestra a continuación:
- 98. Tiene dos superficies cortantes entra la viga y cada hoja. Así, la fuerza de la viga (21.36kN) que actúa sobre el pasador esta soportada por fuerzas constantes en cada una de las superficiesmencionadas. Este caso se llama cortante doble, por lo tanto: 𝑉$ = 𝐹$ 2 = 21.36 𝑘𝑁 2 = 10.68 𝑘𝑁
- 99. En la siguiente figura se muestra que el pasador B está sometido a cortante simple lo cual ocurre en la sección comprendida entre el cable y la viga. Para este pasador entonces: 𝑉! = 𝐹! = 12.5 𝑘𝑁
- 100. Esfuerzo cortante promedio: 𝜏$ +,-. = 𝑉$ 𝐴$ = 10.68 · 10) 𝑁 𝜋 4 · 0.02 𝑚 & = 34.0 𝑀𝑃𝑎 𝜏$ +,-. = 𝑉! 𝐴! = 12.5 · 10) 𝑁 𝜋 4 · 0.03 𝑚 & = 17.7 𝑀𝑃𝑎