Resolución de circuitos de segundo orden
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Este documento describe los pasos para resolver circuitos de segundo orden. Explica que las ecuaciones diferenciales de estos circuitos tienen dos formas generales, dependiendo de si hay o no fuente de excitación. Luego detalla los métodos para obtener las raíces de la ecuación característica y determinar si el circuito está críticamente amortiguado, sobre amortiguado o sub amortiguado. Finalmente, indica cómo hallar las soluciones particulares usando condiciones iniciales en cada caso.
![Por Peter Wolfgang Espinel
e) Luego de ya haber obtenido la ecuación diferencial y las raíces a través de la resolvente vamos a la solución
particular de este tipo de ecuaciones:
(6)
f) Sustituyendo, factorizando y simplificando y en (6) tendremos tres tipos de respuestas distintas
y son raíces reales
e iguales de orden 2
Entonces
= 1
[ ]
Críticamente Amortiguada
y son raíces reales
y diferentes
Entonces
> 1
* ( √ ) ( √ )
+
Sobre Amortiguada
y son raíces
complejadas y
conjugadas
Entonces
Si < 1
* ( √ ) ( √ ) +
Sub Amortiguada
g) Luego de montar la ecuación crítica, sobre o sub amortiguada, debemos hallar los valores de A y B, para
ello, se imponen las condiciones iniciales dadas sobre la esa misma ecuación ( ):
- Al hacer eso, generalmente, se obtiene en principio una incógnita (por ejemplo A).
- Para hallar (ahora B) se juegan con las condiciones iniciales dadas, obteniendo la , buscando
igualdades, etc… varía en cada problema. Ver ejemplos resueltos.
h) Finalmente, una vez halladas todas las incógnitas, se monta nuevamente la ecuación diferencial según
corresponda (críticamente, sobre o sub amortiguada)](https://image.slidesharecdn.com/resolucindecircuitosdesegundoorden-140412232358-phpapp01/85/Resolucion-de-circuitos-de-segundo-orden-2-320.jpg)
Resolución de circuitos de segundo orden
- 1. Por Peter Wolfgang Espinel Resolución de Circuitos de Segundo Orden (RLC) (una vez obtenida la ecuación diferencial) PRIMERA PARTE a) Para resolver un circuito de segundo orden se puede llegar a cualquiera de las dos ecuaciones siguientes: (1) (cuando no hay fuentes de excitación (2) cuando hay fuentes de excitación donde X(t) puede ser o o o , es decir, se pueden tener cuatro ecuaciones diferenciales diferentes, pero dependerá del tipo de circuito que estemos resolviendo y las incógnitas que nos manden a hallar. * Puede ser que f(t)* sea igual a cero (0), pareciéndose a la ecuación (1) pero como hay fuente de excitación existirá una función forzante Xf(t) y por lo tanto una solución diferente, hay que estar pendiente con esto. . Se explicará mejor en la segunda parte: b) Que para los casos de circuitos RLC también tienen esta forma: (3) donde es la constante de amortiguamiento y la frecuencia natural. c) Para resolver este tipo de ecuación diferencial tenemos que: (4) o (5) d) Que al resolver a través del método de la resolvente las ecuaciones (4) o (5) da dos soluciones y quedando: √ √
- 2. Por Peter Wolfgang Espinel e) Luego de ya haber obtenido la ecuación diferencial y las raíces a través de la resolvente vamos a la solución particular de este tipo de ecuaciones: (6) f) Sustituyendo, factorizando y simplificando y en (6) tendremos tres tipos de respuestas distintas y son raíces reales e iguales de orden 2 Entonces = 1 [ ] Críticamente Amortiguada y son raíces reales y diferentes Entonces > 1 * ( √ ) ( √ ) + Sobre Amortiguada y son raíces complejadas y conjugadas Entonces Si < 1 * ( √ ) ( √ ) + Sub Amortiguada g) Luego de montar la ecuación crítica, sobre o sub amortiguada, debemos hallar los valores de A y B, para ello, se imponen las condiciones iniciales dadas sobre la esa misma ecuación ( ): - Al hacer eso, generalmente, se obtiene en principio una incógnita (por ejemplo A). - Para hallar (ahora B) se juegan con las condiciones iniciales dadas, obteniendo la , buscando igualdades, etc… varía en cada problema. Ver ejemplos resueltos. h) Finalmente, una vez halladas todas las incógnitas, se monta nuevamente la ecuación diferencial según corresponda (críticamente, sobre o sub amortiguada)
- 3. Por Peter Wolfgang Espinel SEGUNDA PARTE a) Retomando lo expuesto al inicio de esta guía, podemos llegar también a una ecuación diferencial de la forma: (2) cuando hay fuentes de excitación * Puede ser que f(t) sea igual a cero (0), pareciéndose a la ecuación (1) pero como hay fuente de excitación existirá una función forzante Xf(t) y por lo tanto una solución diferente. b) Tal como en Circuitos de Primer orden, existirá una respuesta del tipo: = + (7) b.1) Donde para (7) la Respuesta Natural es = , es decir crítica, sobre o sub amortiguada según las y obtenidas. Se monta esta ecuación siguiendo los pasos desde (a) hasta (f) de la Primera Parte. b.2) Y la Respuesta Forzada para (7) es que varía en función de la f(t) obtenida en la ecuación diferencial. Se usa la misma tabla que aparece en la guía de Circuitos de Primer Orden pero para hallar los valores de las letras A, B, C… que de esta parte puedan surgir se procede de la siguiente forma: - Se halla - Se halla Se sustituye en: (2) Ecuación diferencial hallada Quedando: (8) b.3) Se hayan las incógnitas (A, B, C….) en (8). c) Tenemos entonces = + , con las incógnitas A y B (que vienen ahora de la Respuesta Natural) y que se hayan imponiendo las condiciones iniciales. - Al hacer eso, generalmente, se obtiene en principio una incógnita (por ejemplo A). - Para hallar (ahora B) se juegan con las condiciones iniciales dadas, obteniendo la , buscando igualdades, etc… varía en cada problema. Ver ejemplos resueltos. d) Finalmente, una vez halladas todas las incógnitas, se monta nuevamente la ecuación diferencial según corresponda (críticamente, sobre o sub amortiguada)
- 4. Por Peter Wolfgang Espinel Notas: Para hallar R De (4) y (5) tenemos que: √ Si = 1 Críticamente Amortiguada √ Si > 1 Sobre Amortiguada √ Si < 1 Sub Amortiguada