Resolución de problemas

Tomado de “La enseñanza de la matemática
Metodología y didáctica: algunas propuestas de intervención educativa
Parte II
José Antonio Fernández Bravo

A estas edades se entiende por resolución de problemas los desafíos operativos que se presentan al niño
para que elabore estrategias válidas para la intelectualización de las relaciones matemáticas.
Puig y Cerdán (1988) afirman que: “La resolución de problemas tiene que ver con la producción de
conocimientos significativos para el que aprende. El conocimiento que se valora por su significación no es
el conocimiento transmitido, sino el conocimiento producido por el que está en situación de aprender. Así,
si la resolución de problemas ha de ser el lugar de la producción del conocimiento, la tarea de resolver
problemas es una tarea privilegiada para el aprendizaje”
APV – ASESORÍA PEDAGÓGICA VIRTUAL

Kilpatrik (1985) resume el uso de la resolución de problemas en tres direcciones:
 Los problemas se analizan como un vehículo para lograr algunas metas curriculares.
 La resolución de problemas se considera como una de tantas habilidades que se debe enseñar.
 La resolución de problemas se ve como un arte en el sentido de simular la actividad matemática
dentro del aula. Schoenfeld subraya el sentido del aprendizaje de la matemática en la necesidad de
que los estudiantes interactúen e interanalicen los principios en un salón de clases que presente un
microcosmos de la cultura matemática, esto es, clases donde los valores de las matemáticas como una
disciplina con sentido sean reflejados en la práctica cotidiana. Entre los principios importantes que
Schoenfeld (1985) menciona, se destacan:
 Encontrar la solución de un problema no es el final de la empresa matemática, sino el punto
inicial para encontrar otras soluciones, extensiones y generalizaciones del problema.
 Aprender matemáticas es un proceso activo que requiere de discusiones sobre conjeturas y
pruebas.
 Actuar como moderador mientras los estudiantes discuten problemas.
 Discutir con los estudiantes problemas que involucren el uso de varios métodos de solución o que
incluyan varias soluciones.
 Es importante que los estudiantes participen en el proceso de formular o rediseñar problemas.
Esto se identifica como un componente esencial en el que hacer matemático.

Estrategias heurísticas
Se denominan heurísticas las estrategias que permiten al niño llegar al conocimiento matemático mediante
sus propios medios y recursos. Para ello el educador debe respetar al menos tres fases importantes:
La fase de la búsqueda En ella no se impone restricción alguna al pensamiento: todos los medios son
buenos con tal que nos acerquen al objetivo. Esta es la fase del pensamiento matemático espontáneo,
original, verdaderamente inventivo e incluso creador.
La fase del arreglo, que tiende a presentar la solución, una vez que se la haya encontrado, bajo la forma
de un razonamiento correcto. Esta fase puede también exigir cierta invención, pero no una verdadera
creación.
La fase de la búsqueda En ella no se impone restricción alguna al pensamiento: todos los medios son
buenos con tal que nos acerquen al objetivo. Esta es la fase del pensamiento matemático espontáneo,
original, verdaderamente inventivo e incluso creador.
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Técnicas más utilizadas para la resolución de problemas
El principio del “Desvío”. Se refiere al desplazamiento del problema o
desafío original a otro dominio conveniente en el cual sea más fácil de
resolver.
Organización. Realizar gráficos, figuras o esquemas con sus propios cuerpos.
El sujeto trata de esquematizar las relaciones entre los datos de formas
convencionales, para encontrar así las relaciones necesarias.
Analogía. El sujeto resuelve un problema análogo pero más sencillo. Para
ello se busca en el archivo de su experiencia con problemas, situaciones
parecidas y relaciones similares.
Ensayo y error. Se elige un resultado, operación o relación posible. Se lleva a
cabo esa elección cumpliendo las condiciones que indica el problema. Se
comprueba si se ha logrado el objetivo; de no ser así, se verifica el error y se
vuelve a ensayar con otro resultado, operación o relación.

LA INVENCIÓN: un soporte para educar la resolución de problemas
Una variabilidad en el dinamismo de la invención de problemas se encontró en Kerchesteiner. No
obstante, eran tipos de ejercicios orientados a la consecución de determinados objetivos sin
cohesión como método formativo, desde una adaptación que distinguiese: que una cosa es enseñar -
y que el niño aprenda- y que otra, muy distinta, es permitir que el alumno construya su propio
pensamiento. Aun así, señalaron en la invención un soporte base de construcción del conocimiento
del problema matemático, y un asentamiento de valores humanos en relación con los demás y con
uno mismo, "Cuando un niño inventa permite precisar objetos del pensamiento que ya en forma
vaga estaban presentes en su mente"
Nuestra definición de "problema" estuvo cuestionándose durante largo tiempo. Un problema
matemático sobre las cuatro operaciones básicas tenía que ir más allá de algo que se hacía con
"sumas" o "restas" o "sumas y restas" o... Tendría que definirse con una clara intervención del
pensamiento del sujeto. Eso sí, expresado mediante "sumas" o "restas" o... Los trabajos en el aula
nos ayudaron a entender “problema” como una cuestión cuyas estrategias de resolución obtienen un
resultado que añade algo a lo que ya se sabe. Una cuestión a la que podríamos llamar "Desafío"; un
apuro preciso que obligase a crear diferentes recursos de continuidad, garantizando el significado y
la funcionalidad de la enseñanza.

Un trabajo de invención–reconstrucción de situaciones problemáticas como método se puede ver en
Fernández Bravo (2010). El contenido del problema debe partir de la realidad que circunda al niño y su
realización debe estar apoyada en objetivos de definida firmeza. En ocasiones, estos objetivos no son
otros que los de seguir dando continuidad a una "forma de actuar", que comienza con la
automatización del algoritmo y culmina con una colección de "problemas" en los que aplicar dicho
cálculo. El alumno no puede suponer que lo que hace en la escuela es funcional y significativo; debe
sentir su significado y funcionalidad.
Un rasgo importante en la resolución de problemas es que no pueden ser resueltos a partir de la
aplicación mecánica o memorística, sino que el sujeto está obligado a pensar, a partir de determinadas
necesidades y motivos que surgen para encontrar los conocimientos necesarios. Un problema es todo
aquello que pone en marcha una actividad mental dirigida enteramente a hacer desaparecer lo que ha
provocado dicha actividad; no es una regla práctica donde el factor tiempo sea un parámetro para su
resolución y, la obtención del paradigma, un éxito. "En la actualidad, por lo que a la Aritmética se
refiere, se les da a los niños y a las niñas una serie de reglas, que no se les presentan ni como
verdaderas ni como falsas, sino meramente como la voluntad del profesor, la manera en que, por
alguna insondable razón, el profesor prefiere jugar su juego." (Russell, 1984 : 952)

De riqueza didáctica es distinguir los instrumentos matemáticos utilizados en la resolución de un
problema, de la resolución en sí. Lo que resuelve el problema no es el instrumento sino su elección,
como actividad mental que forma parte de una inteligencia creadora.
Podemos decir que un problema se considera como tal para un sujeto cualquiera, cuando este sujeto
es consciente de lo que hay que hacer, sin saber, en principio, cómo hacerlo (Sánchez Huete y
Fernández Bravo, 2003). En este sentido, el sujeto reconoce un desafío novedoso al que hay que dar
respuesta. La posibilidad o imposibilidad de solución y su expresión, tanto cualitativa como
cuantitativa, se buscará con la elaboración razonada de estrategias personales apoyadas en:
métodos, técnicas y modelos, convencionales, o no, que respalden la precisión del vocabulario, la
exactitud de los resultados y la contrastación de la respuesta obtenida.
Descubrir, por ejemplo, una pregunta que se corresponda con una solución dada, a partir de una
información, se puede considerar problema; existe un desafío y una intencionalidad consciente en la
búsqueda de algo que, a priori, no se conoce:
"Se tienen tres cestas. En la primera cesta hay tres manzanas, en la segunda
cinco y en la tercera siete." ¿...?
Solución: Cuatro manzanas.

Muchos alumnos inventan el mismo tipo de problemas, imitando acciones asociadas a
una determinada identificación. El conocimiento y dominio, por parte del profesor, del
conjunto de modelos de situaciones problemáticas, despertará la creatividad de los
escolares para disminuir la incidencia en la vaga imitación: Por un lado, con la creación
de desafíos precisos, en relación con la edad, el problema escuchado,... Por otro, con la
extensión -sencillez-fecundidad- del problema inventado por los niños.
Cuando el alumno inventa está creando. El instrumento operativo no es la finalidad sino el medio
matemático elegido mediante el razonamiento. Inventar es seleccionar. Se trata, entonces, de
descubrir, de destapar lo encubierto.
La técnica de invención-reconstrucción de situaciones problemáticas actúa con la razón de que la
matemática, antes que ser disciplina de cálculo tiene que ser oficio de comprensión: Antes de
exigir la respuesta con exactitud y precisión en el menor tiempo posible, hay que permitir el
razonamiento en el tiempo que marque la capacidad del alumno.

Creación de desafíos
Supongamos que existe una exagerada reiteración en la formulación de situaciones, al ser inventadas,
respecto a:
La acción "dar"
La utilización de dos datos en el enunciado, y sólo dos.
La expresión de la pregunta: ¿Cuántos.....tengo?
La asociación lingüística "tengo" -de la pregunta- con la operación suma.
Al escuchar los problemas que ellos mismos han inventado nos vamos dando cuenta que sucede lo que
hemos expresado anteriormente y, que todos los problemas son similares a, por ejemplo: "Tengo... Me
dan... ¿Cuántas/os... tengo?" Un posible conjunto de desafíos con los que poder trabajar, puede ser el
siguiente:

Escribe el enunciado que se corresponda con esta pregunta, y resuelve el problema:
"¿Cuántas flores hay en los tres jardines?"
Escribe un enunciado, en el que aparezcan al menos tres datos numéricos, que se
corresponda con la siguiente pregunta, y resuelve el problema: "¿Cuál es el total de cromos que
han comprado: Julio y su hermana?"
Escribe un enunciado que se corresponda con la siguiente pregunta, de tal forma que se
resuelva mediante una suma, y sólo eso: "¿Cuántos euros me quedan?"
Inventa un problema cuya solución sea: 15 años. Los datos numéricos del enunciado deben
ser números mayores que 900.

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