![Elaboramos luego la tabla de distribución de frecuencias.
Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖
[189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818
[220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239
[251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5
[282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595
[313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5
[344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719
Total 390.5 N=40 1 10164
Para calcular la media aritmética utilizamos la siguiente formula:
𝒙̅ =
∑ 𝒙𝒊 𝒇𝒊
𝑵
𝑥̅ =
10164
40
𝑥̅ = 254.1
Para calcular la mediana utilizamos la siguiente formula:
𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 +
(
𝑵
𝟐
− 𝑭𝒊−𝟏)𝑨
𝒇𝒊
Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖
[189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818
[220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239
[251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5
[282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595
[313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5
[344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719
Total 390.5 N=40 1 10164
Donde
𝑁
2
=
40
2
= 20, 𝐹𝑖−1 = 4, 𝐴 = 31 𝑓𝑖 = 18, 𝑙𝑖 = 220; luego
𝑀𝑒 = 220 +
(20 − 4)31
18
𝑀𝑒 = 220 +
(16)31
18
𝑀𝑒 = 247, 56
Para calcular la moda utilizamos la siguiente formula:
Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖
[189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818
[220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239
[251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5
[282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595
[313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5
[344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719
Total 390.5 N=40 1 10164](https://image.slidesharecdn.com/resolucinpracticaestadsticaprobabilidad-161017232627/85/Resolucion-practica-estadistica_probabilidad-2-320.jpg)
Resolución practica estadística_probabilidad.
- 1. EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD 1. LOS SIGUIENTES VALORES SON MEDICIONES DEL PESO (EN MILES DE TONELADAS) DE GRANDES TANQUES DE PETRÓLEO. PARA DATOS AGRUPADOS. 229 232 239 232 259 361 220 260 231 229 249 254 257 214 237 253 274 230 223 253 195 269 231 268 189 290 218 313 220 270 277 375 222 290 231 258 227 269 220 224 Se pide calcular: a. Intervalo de clase b. El rango c. Amplitud de clase d. Tabla de distribución de frecuencias e. La media aritmética f. La mediana g. La moda Resolución En primer lugar tenemos que ordenar los datos de menor a mayor. 189 195 214 218 220 220 220 222 223 224 227 229 229 230 231 231 231 232 232 237 239 249 253 253 254 257 258 259 260 268 269 269 270 274 277 290 290 313 361 375 Hallamos el límite superior 𝑙 𝑠𝑢𝑝 = 375 Hallando el límite inferior 𝑙𝑖𝑛𝑓 = 189 El rango está dado por 𝑙 𝑠𝑢𝑝 − 𝑙𝑖𝑛𝑓, esto es, 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 375 − 189 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 186 La amplitud del intervalo está dado por: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠(𝐾) , donde “k” se calcula mediante la fórmula de Sturges, entonces, 𝑘 = 1 + 3.3𝑙𝑜𝑔𝑁 Donde N es el tamaño de la población (N=40 para el presente problema), luego, 𝑘 = 1 + 3.3log(40) 𝑘 = 6,287 (Aproximando) 𝑘 = 6 Por lo tanto, 𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 (𝐴) = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠(𝐾) 𝐴 = 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝐾) 𝐴 = 186 6 𝐴 = 186 6 𝐴 = 31
- 2. Elaboramos luego la tabla de distribución de frecuencias. Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 [189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818 [220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239 [251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5 [282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595 [313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5 [344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719 Total 390.5 N=40 1 10164 Para calcular la media aritmética utilizamos la siguiente formula: 𝒙̅ = ∑ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑵 𝑥̅ = 10164 40 𝑥̅ = 254.1 Para calcular la mediana utilizamos la siguiente formula: 𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 + ( 𝑵 𝟐 − 𝑭𝒊−𝟏)𝑨 𝒇𝒊 Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 [189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818 [220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239 [251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5 [282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595 [313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5 [344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719 Total 390.5 N=40 1 10164 Donde 𝑁 2 = 40 2 = 20, 𝐹𝑖−1 = 4, 𝐴 = 31 𝑓𝑖 = 18, 𝑙𝑖 = 220; luego 𝑀𝑒 = 220 + (20 − 4)31 18 𝑀𝑒 = 220 + (16)31 18 𝑀𝑒 = 247, 56 Para calcular la moda utilizamos la siguiente formula: Intervalos 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 [189-220> 204.5 4 4 0.1 0.1 818 [220-251> 235.5 18 22 0.45 0.55 4239 [251-282> 266.5 13 35 0.325 0.875 3464.5 [282-313> 297.5 2 37 0.05 0.925 595 [313-344> 328.5 1 38 0.025 0.95 328.5 [344-375] 359.5 2 40 0.05 1 719 Total 390.5 N=40 1 10164
- 3. De acuerdo con la tabla de frecuencias se tiene: La frecuencia modal 18, 𝐿 𝑀𝑜 = 220, ( 𝑓𝑖 = 18, 𝑓𝑖−1 = 4 y 𝑓𝑖+1 = 13) 𝑑1 = 18 − 4 = 14, 𝑑2 = 18 − 13 = 5, ℎ = 31, 𝑀 𝑂 = 220 + ( 14 14 + 5 )31 𝑀 𝑂 = 242.842 2. Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla: DATOS 𝑓𝑖 [50-60> 8 [60-70> 10 [70-80> 16 [80-90> 14 [90-100> 10 [100-110> 5 [110-120> 2 - Construir la tabla de distribución de frecuencias - Representar el histograma y polígono de frecuencias Resolución A partir de los datos consignados en la tabla, elaboramos la tabla de distribución de frecuencias. DATOS 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 [50-60> 55 8 8 0.123 0.123 440 [60-70> 65 10 18 0.154 0.277 650 [70-80> 55 16 34 0.246 0.523 880 [80-90> 66 14 48 0.215 0.738 924 [90-100> 55 10 58 0.153 0.891 550 [100-110> 67 5 63 0.077 0.968 335 [110-120> 55 2 65 0.031 0.999=1 110 Total 65 1 3889
- 4. A continuación presentamos el histograma de frecuencias relativas correspondientes a la tabla anterior. Además presentamos el polígono de frecuencias. 3. Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla: DATOS 𝑓𝑖 [10-15> 3 [15-20> 5 [20-25> 7 [25-30> 4 [30-35> 2 Hallar moda, mediana y media. El rango, la desviación media y varianza. Los cuartiles uno 1 y 3. Los deciles 3 y 6. Los percentiles 30 y 70. Resolución. A partir de la tabla de datos podemos construir la tabla de distribución de frecuencias. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 55 65 55 66 55 67 55 Frecuenciarelativa Marca de clase Histograma de frecuencias relativas 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 45 55 65 55 66 55 67 55 65 Frecuenciassimples Marcas de clase Polígono de Frecuencias simples
- 5. DATOS 𝑥𝑖 𝑓𝑖 𝐹𝑖 ℎ𝑖 𝐻𝑖 𝑥𝑖 𝑓𝑖 |𝑥𝑖 − 𝑥̅| 𝑓𝑖 ∗ |𝑥𝑖 − 𝑥̅| (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑓𝑖 ∗ (𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 [10-15> 12.5 3 3 0.143 0.143 37.5 9.286 27.858 86.230 258.69 [15-20> 17.5 5 8 0.238 0.381 87.5 4.286 21.43 18.370 91.85 [20-25> 22.5 7 15 0.333 0.714 157.5 0.714 4.998 0.510 3.57 [25-30> 27.5 4 19 0.190 0.904 110 5.714 22.856 32.650 130.6 [30-35> 32.5 2 21 0.095 0.999=1 65 10.714 21.428 114.790 229.58 Total 21 0.999 = 1 457.5 98.57 714.29 Para hallar la moda, se usa: De acuerdo con la tabla de frecuencias se tiene: La frecuencia modal7, 𝐿 𝑀𝑜 = 20, ( 𝑓𝑖 = 7, 𝑓𝑖−1 = 5 y 𝑓𝑖+1 = 4) 𝑑1 = 7 − 5 = 2, 𝑑2 = 7 − 4 = 3, ℎ = 5, 𝑀 𝑂 = 20 + ( 2 2 + 3 )5 𝑀 𝑂 = 22 El cálculo de la mediana se realiza mediante: 𝑴𝒆 = 𝒍𝒊 + ( 𝑵 𝟐 − 𝑭𝒊−𝟏)𝑨 𝒇𝒊 Donde 𝑁 2 = 21 2 = 10.5 𝐹𝑖−1 = 8, 𝐴 = 5 𝑓𝑖 = 7, 𝑙𝑖 = 20; Luego: 𝑀𝑒 = 20 + (10.5 − 8)5 7
- 6. 𝑀𝑒 = 20 + (2.5)5 7 𝑀𝑒 = 21, 786 El cálculo de la media se realiza mediante: 𝒙̅ = ∑ 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑵 𝑥̅ = 457.5 21 𝑥̅ = 21.786 El rango viene a ser: 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 𝑙í𝑚. 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑢𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 − 𝑙í𝑚. 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝑅𝑎𝑛𝑔 = 35 − 10 𝑹𝒂𝒏𝒈 = 𝟐𝟓 La desviación media se calcula mediante: 𝐷 𝑥̅ = ∑ 𝑓𝑖| 𝑥𝑖 − 𝑥̅| 𝑁 𝐷 𝑥̅ = 98.57 21 𝐷 𝑥̅ = 4.7 La varianza se calcula con: 𝑆2 = ∑ 𝑓𝑖 ( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑁 𝑆2 = 714.29 21 𝑆2 = 34.014 El cálculo de los cuartiles, deciles y percentiles se realiza mediante la siguiente formula: 𝑪𝒌 = 𝒍𝒊 + ( 𝑲𝑵 𝒎 − 𝑭𝒊−𝟏)𝑨 𝒇𝒊 Donde: K: es el número de cuartil, decil o percentil pedido. N: es el número de datos M: es 4, 10 o 100, según sea el caso (cuartil, decil o percentil) Para el cuartil 1, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟏∗𝟐𝟏 𝟒 = 𝟓. 𝟐𝟓 𝑸𝟏 = 𝟏𝟓 + (𝟓. 𝟐𝟓 − 𝟑)𝟓 𝟓 𝑸𝟏 = 𝟏𝟕. 𝟐𝟓 Para el cuartil 3, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟑∗𝟐𝟏 𝟒 = 𝟏𝟓. 𝟕𝟓
- 7. 𝑸𝟑 = 𝟐𝟓 + (𝟏𝟓. 𝟕𝟓 − 𝟏𝟓)𝟓 𝟒 𝑸𝟏 = 𝟐𝟓. 𝟗𝟑𝟖 Para el decil 3, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟑∗𝟐𝟏 𝟏𝟎 = 𝟔, 𝟑 𝑫𝟑 = 𝟏𝟓 + (𝟔, 𝟑 − 𝟑)𝟓 𝟓 𝑫𝟑 = 𝟏𝟖. 𝟑 Para el decil 6, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟔∗𝟐𝟏 𝟏𝟎 = 𝟏𝟐. 𝟔 𝑫𝟔 = 𝟐𝟎 + (𝟏𝟐. 𝟔 − 𝟖)𝟓 𝟕 𝑫𝟔 = 𝟐𝟑. 𝟐𝟖𝟔 Para el percentil 30, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟑𝟎∗𝟐𝟏 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔. 𝟑 𝑷𝟑𝟎 = 𝟏𝟓 + (𝟔. 𝟑 − 𝟑)𝟓 𝟓 𝑫𝟔 = 𝟏𝟖. 𝟑 Para el percentil 70, 𝑲𝑵 𝒎 = 𝟕𝟎∗𝟐𝟏 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟒. 𝟕 𝑷𝟕𝟎 = 𝟐𝟎 + (𝟏𝟒. 𝟕 − 𝟖)𝟓 𝟕 𝑫𝟔 = 𝟐𝟒. 𝟕𝟖𝟔