resumen variogramas.pdf
- 2. Sobre el Profesor #CapacítateOnline Roberto Díaz Molina Ingeniero Civil de Minas e Ingeniero Civil Industrial con 29 años de experiencia de minería tanto en Chile como en Sudáfrica, desarrollando por 14 años cargos de gerente en varias áreas de la minería. Amplia experiencia en modelamiento y estimación de reservas, gestión y planificación minera y de negocios, preparación y evaluación de proyectos de capital y exploración Brownfield.
- 3. Contenidos del Curso #CapacítateOnline Modelamiento y Análisis de Data Análisis Variográfico Modelos de Simulación Modelos de estimación de leyes • Modelo'Geológico • Modelo'de'Bloques • Compositación'de' sondajes • Análisis' exploratorio' de'la'Data • Variografía' experimental'(varios' modelos) • Variografía' estructural • Variografía'de' Indicadores • Análisis'de' Anisotropías • Cambio'de'Soporte • Kriging (Ordinario,' Simple'y'de' Indicadores) • Kriging puntual'y'de' bloques • Validación'del' modelo'de'leyes • Bases'de'la' Simulación' Condicional • Simulación' Gaussiana • Simulación'de' Indicadores • Uso'de'las' simulaciones'en' minería.
- 4. Agenda de Hoy #CapacítateOnline • Variografía Experimental (varios modelos) • Variografía Estructural • Variografía de Indicadores • Análisis de Anisotropías
- 5. Objetivos #CapacítateOnline Entregar los conocimientos básicos para analizar la correlación espacial de variables mediante la variografía experimental y variografía estructural.
- 7. #CapacítateOnline Una variable medida en el espacio de forma que presente una estructura de correlación, se dice que es una variable regionalizada. De manera más formal se puede definir como un proceso estocástico con dominio contenido en un espacio euclidiano “D” dimensional que puede asociarse a una variable medida en un punto x del plano. En términos prácticos Z(x) puede verse como una medición de una variable aleatoria. En el caso de que las mediciones sean hechas en una superficie, entonces Z(x) puede interpretarse como la variable aleatoria asociada a ese punto del plano (x,y) representa las coordenadas, planas o geográficas, y Z la variable en cada una de ellas. Variable Regionalizada
- 8. #CapacítateOnline Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural. Por ejemplo: • La ley de un mineral, la potencia de una veta, la acumulación, la densidad de la roca o la recuperación metalúrgica, describen un fenómeno de mineralización; • La porosidad y la permeabilidad de la roca en un reservorio de petróleo o en un acuífero; • La concentración de un elemento contaminante en la atmósfera o en el suelo. • La conductividad eléctrica, el pH y la concentración en nutrientes medidas sobre una muestra de suelo; • El número de árboles y su diámetro promedio en áreas de observación de un bosque. Variable Regionalizada
- 9. #CapacítateOnline Se nombra como variable regionalizada Z(x) a la variable distribuida en el espacio de manera tal que presenta una estructura espacial de correlación. Una definición más matemática equivalente consistiría en decir que una variable regionalizada es una variable aleatoria z definida en un punto del espacio x. Donde en el caso más general x es un punto en el espacio tridimensional, es decir x = ( x1 , x2 , x3 ) Momentos de una Variable Regionalizada
- 10. #CapacítateOnline El Variograma se define como la media aritmética de todos los cuadrados de las diferencias entre pares de valores experimentados separados una distancia (h) o lo que es lo mismo la varianza de los incrementos de la variable regionalizada en las localizaciones separadas una distancia de (h). El cálculo del variograma experimental es la herramienta Geoestadística más importante en la determinación de las características de variables y correlación espacial del fenómeno estudiado. Variograma y Semivariograma
- 11. #CapacítateOnline El semivariograma, conocido también como variograma, es la herramienta central de la Geoestadística. Dada una variable regionalizada Z (x) que cumpla la Hipótesis. El semivariograma es una función que relaciona la semivarianza con el vector h conocido como "lag", el cual denota la separación en distancia y dirección de cualquier par de valores Z(x) y Z(x+h). Donde N(h) es el número de pares Z(xi) y Z(xi+h) son valores separados a una distancia (h). Variograma y Semivariograma
- 12. #CapacítateOnline Ejemplo de Variograma en una dimensión. Variograma y Semivariograma 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 0 200 400 600 800 1000 1200 γ(h) Lag (h)
- 13. #CapacítateOnline En la siguiente figura se puede observar un muestreo en una malla irregular y la pregunta es ¿Cómo se calcula el variograma en este caso?. En este caso, se propone la siguiente metodología de búsqueda de muestras a considerar: Variograma de Malla Irregular
- 14. #CapacítateOnline Pasos para la selección de muestras: • Se define el azimut del vector de búsqueda. • Definición de tolerancia angular ΔΘ (Angulo que considera incluir datos válidos para el cálculo). • Selección de la distancia del Lag o Paso. • Definición de tolerancia en el Lag(h) o Paso (Δh o Δp). Esta se utiliza para incluir muestras que se encuentran a distancias mayores/menores, con respecto al Lag definido. • Ancho de banda horizontal: banda dentro la cual se consideran válidos los datos para el cálculo del variograma; se mide en forma perpendicular al azimut definido Variograma de Malla Irregular
- 15. #CapacítateOnline ¿Qué hacer cuando la data se encuentra distribuida en tres dimensiones X, Y, Z? En este caso, la búsqueda de datos se hace mediante una especie de cono o con el método datos se hace mediante una especie de cono o con el mes método del lápiz (similar a lo explicado anteriormente, pero en 3D). Variograma de Malla Irregular
- 16. #CapacítateOnline Para el cómputo del semivariograma es necesario tener en cuenta algunas reglas prácticas que permiten elevar la eficiencia y la calidad de la estimación, independientemente del tipo de estimador que se utilice. Estas reglas son las siguientes: • En la estimación del semivariograma los pares de las observaciones se agrupan según la distancia dentro de un intervalo h = h con una tolerancia ± ∆h 2 y dentro de una dirección θ con una tolerancia ±∆θ /2. El semivariograma así estimado es considerado suavizado o regularizado. • El semivariograma muestral debe ser considerado solamente para pequeñas distancias por lo que generalmente, se estima para valores de h menores que la mitad de la distancia máxima ( h < dmax 2 ). • La elección del número de intervalos es arbitraria. No obstante se considera que un número máximo de 25 intervalos es suficiente para cualquier propósito, y un mínimo de 10 debe ser usado para determinar con precisión el rango y la meseta del semivariograma. • El largo de los intervalos debe ser elegido de forma tal que el número de pares en cada intervalo sea lo suficientemente grande para que el estimado del semivariograma sea relativamente estable. Se considera que entre 30 y 50 pares satisfacen este requerimiento. Reglas Prácticas
- 17. #CapacítateOnline Debido a que las distribuciones de las leyes de mineral no siguen una distribución normal; sino que presentan sesgos y presencia de Outliers como en las siguientes figuras: Otras formas de calcular la variabilidad espacial Easting Northing 17500 17000 16500 16000 15500 15000 109000 108500 108000 107500 107000 106500 > œ œ œ œ œ < 0.2 0.2 0.4 0.4 0.6 0.6 0.8 0.8 1.0 1.0 1.2 1.2 C4 Contour Plot of CuT 1st Quartile 0.03000 Median 0.08000 3rd Quartile 0.43000 Maximum 2.95000 0.28144 0.33860 0.07000 0.09000 0.43219 0.47266 A-Squared 106.57 P-Value <0.005 Mean 0.31002 StDev 0.45151 Variance 0.20386 Skewness 2.17026 Kurtosis 5.09761 N 961 Minimum 0.01000 Anderson-Darling Normality Test 95% Confidence Interval for Mean 95% Confidence Interval for Median 95% Confidence Interval for StDev 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 Median Mean 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 95% Confidence Intervals Summary Report for CuT
- 18. #CapacítateOnline En estos casos, cuando se calcula el variograma experimental, en los pares seleccionados se encuentran bajas leyes y altas leyes, cuya diferencia elevada al cuadrado, genera un diferencial muy grande y posteriormente generan “ruido” cuando se analiza la variabilidad espacial de las muestras. Otras formas de calcular la variabilidad espacial
- 19. #CapacítateOnline Lo primero que se debe hacer es investigar la posibilidad de separar en diferentes dominios o regiones, y de esa forma lograr separar muestras de diferentes poblaciones regionales. Una vez que se ha hecho esto, se debe proceder a realizar un análisis exploratorio de la data de las regiones. Sin embargo, la probabilidad de que siga existiendo la presencia de sesgos en la distribución y la presencia de Outliers, es que se estudiaron otras formas de cálculo de la variabilidad espacial de las leyes con nuevos modelos matemáticos; entre ellos tenemos: El primero es el correlograma ρ, covarianza C; siendo m+(h) las leyes de las “colas” del vector utilizado y m-(h), las leyes de la cabeza del par que se utiliza para realizar el cálculo del semivariograma. Otras formas de calcular la variabilidad espacial
- 20. #CapacítateOnline Otras formas de calcular la variabilidad espacial Variograma Correlograma Covarianza Pairwise Relative
- 21. ¡NOS VAMOS AL BREAK! Volvemos en 20 minutos Mientras tanto puedes revisar nuestros cursos en mine-class.com/cursos
- 23. #CapacítateOnline Efecto Pepita: Se denota por C(0) y representa una discontinuidad puntual del semivariograma en el origen. Puede ser debido a errores de medición en la variable o a la escala de la misma. En algunas ocasiones puede ser indicativo de que parte de la estructura espacial se concentra a distancias inferiores a las observadas. En caso de sondajes, es muy común calcular el Efecto Pepita con el variograma en la dirección a lo largo del sondaje. Variografía Estructural
- 24. #CapacítateOnline Meseta o Sill (S): Es la cota superior del semivariograma. También puede definirse como el limite del semivariograma cuando la distancia h tiende a infinito. La meseta puede ser o no finita. La meseta se denota por C1 o por (C0 + C1) cuando el Efecto Pepita es diferente de cero. Si se interpreta el Efecto Pepita como un error en las mediciones, esto explica porque se sugiere que en un modelo que explique bien la realidad, el Efecto Pepita no debe representar mas del 50% de la meseta. Si el ruido espacial en las mediciones explica en mayor proporción la variabilidad que la correlación del fenómeno, las predicciones que se obtengan pueden ser muy imprecisas. Variografía Estructural
- 25. #CapacítateOnline Rango o alcance (a): En términos prácticos corresponde a la distancia a partir de la cual dos observaciones son independientes. El rango se interpreta como la zona de influencia. Existen algunos modelos de semivariograma en los que no existe una distancia finita para la cual dos observaciones sean independientes; por ello se llama rango efectivo a la distancia para la cual el semivariograma alcanza el 95% de la meseta. Variografía Estructural
- 26. #CapacítateOnline Modelos Estructurales Efecto Pepita Puro: Este modelo considera ausencia total de correlación espacial.
- 27. #CapacítateOnline Modelos Estructurales Esférico: Forma de variograma comúnmente encontrada. El alcance corresponde al parámetro a, la meseta al parámetro C.
- 31. #CapacítateOnline Modelos Estructurales Seno Cardinal: Alcance práctico = 20.4 a, semi-período = 4.5 a, meseta = C
- 32. #CapacítateOnline Modelos Estructurales Modelos Anidados: Para obtener modelos más complejos, se puede sumar varios variogramas elementales. En este caso, se habla de “Variogramas Anidados”. Permite modelar cambios de pendiente en el variograma
- 34. #CapacítateOnline Variografía de Indicadores El variograma de indicadores es muy simple y sirve para incluir información adicional “soft” de la región; por ejemplo, se puede utilizar para determinar la “probabilidad” de ocurrencia de un tipo de roca, la probabilidad de limites de mineralización, puede servir para calcular los ponderadores cuando las poblaciones no pueden separarse en forma física, etc. En el caso de leyes de mineral, se puede definir una ley de corte; por ejemplo, si se han tomado muestras y se desea estimar la probabilidad de que en los lugares que no se tomó muestra, exista la posibilidad de obtener leyes sobre la ley de corte definida. Para ello se debe definir una nueva variable “I” que dependerá de la ley de corte. I = 0, si la muestra tiene un valor bajo la ley de corte I = 1, si la muestra tiene un valor sobre la ley de corte
- 35. #CapacítateOnline Variografía de Indicadores Ejemplo, si se desea saber cual es la probabilidad de encontrar valor sobre una ley de corte de 0.6 % CuT, entonces: I = 0, si la muestra tiene un valor de CuT menor a 0.6% I = 1, si la muestra tiene un valor de CuT sobre 0.6%.
- 37. #CapacítateOnline Anisotropía Un variograma γ(h) es isotrópico si es idéntico en todas las direcciones del espacio, es decir, si no depende de la orientación del vector h, sino sólo de su módulo (h). En caso contrario, hay anisotropía; tal propiedad caracteriza un fenómeno que se extiende de preferencia en ciertas direcciones.
- 38. #CapacítateOnline Anisotropía Anisotropía Geométrica: Se produce cuando los diversos variogramas pueden reducirse a un variograma isotrópico mediante una transformación lineal de las coordenadas. El caso más común en la práctica es cuando los variogramas presentan un mismo valor de meseta pero diferentes alcances:
- 39. #CapacítateOnline Anisotropía Anisotropía Geométrica: Es aquella en la que el variograma en distintas direcciones presenta el mismo rango pero diferente sill (Meseta).
- 40. #CapacítateOnline Anisotropía Mapa de Variograma: Los valores del variograma experimental en función de la separación (distancia y orientación). Permite visualizar las tendencias de las direcciones principales de mayor y menor continuidad de ésta.
- 42. Síguenos en nuestras redes sociales ¡NOS VEMOS LA PRÓXIMA SEMANA!