Alfaro cours 2006

Estimación de Recursos Mineros
por
Marco Antonio Alfaro Sironvalle
Doctor en Geoestadística, Escuela de Minas de París
Profesor de Evaluación de Recursos Mineros, USACH
Profesor de Probabilidades y Procesos Estocásticos, U. de Chile
Profesor de Estadística Aplicada y Teoría de Probabilidades, U. de Los Andes
Profesor de Evaluación de Recursos Mineros, U. de Concepción.
Profesor Recursos Mineros, U. Católica de Valparaíso
Julio, 2007

1
Algunas citas:
Se sabe que bajo la influencia de masas en la superficie de la tierra, de los que no se está todavía bien
informado, el polo de la tierra sufre pequeñas variaciones. Ocupémonos, por ejemplo de la coordenada
x, su variación en el curso del tiempo está representada, para las últimas decenas de años por la curva
de la figura:
Que tiene irregularidades suficientes para pensar en un fenómeno de fluctuaciones. Sin embargo, a
primera vista, toda cuestión de probabilidad está excluída de este problema pues x(t) es conocida a
medida que las observaciones se verifican en el curso del tiempo; y, naturalmente, no conocemos el
futuro de x(t), pero esta función es única, puesto que no hay más que una Tierra en el universo. No
obstante, nada nos impide imaginar una infinidad de sistemas macroscópicamente idénticos a la Tierra y
que no difieren unos de otros más que por las modificaciones de masas superficiales, las cuales
supondremos están sometidas a ciertos mecanismos aleatorios. Esto nos lleva a considerar que la
función observada x(t) no es más que una realización posible de una función aleatoria X(t) definida con
base en una categoría de experimentos que no tienen otra existencia que la que podríamos llamar
intelectual. Esta manera de operar no es lícita más que en el caso de que tengamos razones para
pensar que, partiendo de las propiedades estadísticas de la función aleatoria X(t), definida en base de la
clase de experimentos que hemos imaginado, podemos deducir resultados válidos para la evolución de
una determinación particular de X(t), y especialmente para x(t). Podremos ver entonces que si nuestras
hipótesis conducen a resultados comprobados por la experiencia y, en los casos favorables, podremos
prever, dentro de ciertos límites, el valor futuro de x(t). Fundándose en consideraciones análogas a las
que acabamos de estudiar, podrá decirse que la velocidad del viento o la temperatura en un punto del
Globo son funciones aleatorias del tiempo.
A. Blanc-Lapierre, 1940
“Cum deus calculat fit mundus”
Según dios calcula se va creando el mundo
G. Leibnitz, 1700
“Entre dos modelos geoestadísticos, elegir el más simple”
G. Matheron, 1975

2
Prefacio
Estimado lector: Este texto contiene mi experiencia como profesor de evaluación de
recursos mineros, desde 1972 a la fecha, realizado con didáctica y con dialéctica,
entendiendo por didáctica el arte de enseñar y por dialéctica el arte de razonar
correctamente.
Quedaré muy agradecido si me hace llegar sus consultas o sugerencias a
marco.alfaro@vtr.net , de manera de mejorar futuras ediciones.
Todo lo malo que encuentre en este texto se debe a mi persona y todo lo bueno se
debe a mis dos maestros, profesores de la Escuela Nacional Superior de Minas de
París: Georges Matheron, creador de la geoestadística, quién me enseñó esta
apasionante disciplina y Phillipe Formery quien me inculcó el “gusto” por las
probabilidades.
Georges Matheron 1930-2000 Phillipe Formery 1928-2005

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Tabla de Materias
Prefacio 2
Tabla de materias 3
Capítulo I: Los métodos tradicionales de estimación de recursos 4
La media aritmética 5
Los polígonos 7
El método del inverso de la distancia 8
Crítica general de los métodos tradicionales de estimación de leyes 11
Capítulo II: Geoestadística y Teoría de las Variables Regionalizadas 17
Notación condensada 17
Ejemplos de variables regionalizadas 18
Campo y soporte 24
Variables aditivas 28
Objetivos de la teoría 30
El modelo matemático de la geoestadística: Las funciones aleatorias 32
Capítulo III. El variograma 35
Cálculo del variograma para una línea muestreada regularmente 36
Comportamiento del variograma para distancias pequeñas 38
Comportamiento del variograma para grandes distancias 45
Cálculo del variograma para una malla regular bidimensional 52
Cálculo del variograma para mallas irregulares 68
Ajuste de un variograma a un modelo teórico 73
Los modelos de variograma 77
Ajuste en el espacio de dos o tres dimensiones 85
Caso isótropo 85
Caso anisótropo 86
Anisotropía geométrica 87
Anisotropía zonal 89
Capítulo IV. El error de estimación 91
Cálculo de σ2
E 96
Significado de los términos de la expresión de σ2
E 98
Capítulo V. El krigeado 105
Interés del krigeado 105
Las ecuaciones del krigeado 109
Varianza del error 112
Krigeado puntual 114
Propiedades del krigeado 116
Vecindad de estimación 118
Estrategia de búsqueda 120
VI. Bibliografía 124

4
Capítulo I
Los Métodos Tradicionales de Estimación de Recursos Mineros
La estimación de recursos mineros se puede dividir en dos partes:
a) Estimación global: interesa estimar la ley media y el tonelaje de todo el
yacimiento (o de una zona grande S dentro del depósito o yacimiento)
Figura I.1: Zona 3D a estimar e información disponible. ¿Cuál es la ley media y el tonelaje de S?
Se tiene un conjunto de leyes z1, z2, . . . , zN de mineral localizadas en los puntos x1,
x2, . . . , xN
b) Estimación local: Interesa estimar la ley media de unidades o bloques dentro de
S, con el fin de localizar las zonas ricas y pobres dentro de esta zona S.

5
Figura I.2: Estimación local con bloque unitario o unidad básica de cálculo. Modelo de bloques
de15mx15mx15m.
La estimación global y local están relacionadas porque se pueden obtener valores
globales al componer los valores locales de los bloques vi.
A continuación estudiaremos los métodos tradicionales más importantes, desde un
punto de vista crítico.
I.1 La media aritmética
El método de la media aritmética se basa en lo siguiente: Para estimar la ley media de
un conjunto S se promedian las leyes de los datos que están dentro de S.
Ejemplo: Consideremos el caso de un cuadrado con 7 muestras interiores:
Figura I.3: Ejemplo bidimensional. Existe una grupación de datos.

6
1 1 1 3 2 2 1 11
ˆ 1.57
7 7
Sz
+ + + + + +
= = =
La fórmula general es:
1
1
ˆ
N
S i
i
z z
N =
= ∑
Comentarios acerca del método:
• Todos los datos tienen el mismo peso 1/N
• Muy simple. Fácil de calcular
• Produce malos resultados cuando hay agrupaciones de datos. En el ejemplo de
la figura anterior existe una agrupación de datos en la zona de alta ley: El valor
1.57 aparece como demasiado alto.
• No funciona bien en estimaciones locales porque quedan bloques sin
información, tal como muestra la figura I.4:
Figura I.4: Un banco en el depósito de MMH. Bloques de 10mx10mx10m. En gris, zona mineralizada, en
rojo la intersección de los sondajes con el banco.

7
I.2 Los polígonos.
El método de los polígonos se basa en lo siguiente: Asignar a cada punto del espacio
la ley del dato más próximo. Para estimar una zona S se ponderan las leyes de los
datos por el área (o volumen) de influencia Si.
Figura I.5: Método de los polígonos. Hay que calcular el área de 7 polígonos.
Ejemplo: En el mismo caso anterior se tiene:
ˆ 1.36Sz =
1 2
1
1
ˆ ( ... )
N
S i i N
i
z S z S S S S
S =
= = + + +∑
Comentarios:
• Complicado, requiere compás, regla, planímetro.
• El peso del dato Zi es Si / S.
• Funciona mejor con agrupaciones de datos que la media aritmética.
• Difícil de implementar en tres dimensiones.

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• En general no es adecuado en estimaciones locales porque asigna la misma ley
a todos los bloques que están dentro de un mismo polígono. Produce problemas
con datos anómalos.
La figura 1.6 muestra la dificultad de aplicar el método de los polígonos. En el espacio
de 3 dimensiones el método (poliedros) es aún más complicado:
Figura I.6: Salar de Atacama (se trata de salmueras con contenidos de litio, boro, potasio, sulfatos).
Puntos de muestreo y de bombeo. Observar la agrupación (cluster) de los puntos en la zona central.
I.3 El método del inverso de la distancia
El método del inverso de la distancia se basa en lo siguiente: Asignar mayor peso a las
muestras cercanas y menor peso a las muestras alejadas a S. Esto se consigue al

9
ponderar las leyes por 1/ idα
, (α = 1, 2, . . . ; di = distancia entre la muestra i y el
centro de gravedad de S).
Si α = 1 se tiene el inverso de la distancia (ID).
Si α = 2 se tiene el inverso del cuadrado de la distancia (ID2).
Ejemplo: En el caso anterior se obtienen las estimaciones siguientes:
Figura I.7: Método del inverso de la distancia a la potencia alfa. Hay que calcular las distancias entre los
datos y el centro del bloque
z1 = 1.78 (inverso de la distancia)
z2 = 2.06 (inverso del cuadrado de la distancia)
1
1
ˆ ( 0)
1
N
i
i i
S N
i i
z
d
z
d
α
α
α=
=
= >
∑
∑

10
Comentarios:
• Simple, fácil de calcular.
• Se adapta mejor en estimaciones locales que globales.
• No funciona bien con agrupaciones de datos.
• Atribuye demasiado peso a las muestras cercanas al centro de gravedad. En
particular no está definido si di = 0 (muestra en el centroide de S)
• No toma en cuenta la forma ni el tamaño de S (en el ejemplo S' tiene la misma
ley que S porque su centroide coincide con el de S).
A veces, para evitar el problema de las agrupaciones de datos, se utiliza una búsqueda
octogonal: Dentro de cada octante (a veces cuadrante) sólo se considera la muestra
más cercana al centroide, tal como muestra la figura siguiente:
Figura I.8: Búsqueda octogonal. Se podrían utilizar las k (¿cómo definir k?) muestras más cercanas al
centro del bloque, dentro de cada octante.

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En este ejemplo solo las muestras 1, 2, 3 intervienen en la estimación del bloque S.
I.4 Crítica general de los métodos tradicionales de estimación de leyes
De la presentación anterior podemos hacer los comentarios siguientes sobre los
métodos estudiados:
• Son empíricos...
• Demasiado geométricos.
• No consideran la estructura del fenómeno mineralizado.
Por estructura entenderemos lo siguiente:
i) La continuidad de las leyes: Existen casos desfavorables en los cuales las
leyes son erráticas y otros más favorables en los cuales las leyes son
regulares.
Figura I.9: Leyes de Fe. Arriba, sondaje vertical en mina de hierro La Japonesa. Abajo, sondaje vertical
en mina de hierro Boquerón Chañar. Ambos tienen la misma ley media, 32% Fe. ¿Cuál es más
continuo?

12
ii) la posible presencia de anisotropías, es decir direcciones en las cuales la
variación de leyes es privilegiada (ver la figura I.10).
Figura I.10: Anisotropías de las leyes de cobre en una planta del depósito RT. dimensiones en metros.
Valores interpolados.
Ejemplo: En el caso de la figura I.11, las leyes z1 = 1.25 y z2 = 1.75 son simétricas con
respecto al bloque (se observan cuatro isoleyes):
Figura I.11: Bloque a estimar e isoleyes anisotrópicas en una planta. En la mina Chuquicamata la
situación es similar, las leyes decrecen sistemáticamente de oeste a este, ver figura I.12.

13
Figura I.12: Proyección horizontal de todos los sondajes de la mina Chuquicamata. Se observa la
degradación de leyes en la zona central, de oeste a este.
Los polígonos y el inverso de la distancia asignan la misma ley al bloque S:
1 2 1.25 1.75
ˆ 1.5
2 2
S
z z
z
+ +
= = =
¡Sin embargo, la ley media de S es inferior a 1.5%!
• Los métodos tradicionales de estimación no proporcionan el error asociado a la
estimación; entregan un único valor, por ejemplo ˆ 1.22%Sz Cu= .

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Sea zs la ley verdadera desconocida de S. Sería interesante poder escribir una
ecuación del tipo:
ˆS Sz z error= ±
La magnitud del error nos cuantificaría la calidad de la estimación y nos indicaría
la necesidad eventual de hacer más sondajes.
• En general estos métodos presentan un fenómeno conocido como sesgo
condicional, el cual se traduce en la práctica por una sobre-estimación de las
leyes altas y una sub-estimación de las leyes bajas.
Describiremos este fenómeno con un ejemplo extremo tomado de un caso real:
Un yacimiento todo o nada: O bien hay mineral con ley 1.0 o bien hay estéril con
ley 0.0. El mineral se representa de color gris en la figura siguiente (el valor
numérico corresponde a la proporción de mineral dentro de cada bloque; existen
sondajes positivos en rojo, con ley 1.0 y negativos en blanco, con ley 0.0):
Figura I.13: Oficina Ossa. Depósito de nitratos-yodo. Malla inicial de reconocimiento de 400mx400m.
Debido a que los sondajes caen en el centro del bloque, no se puede aplicar inverso de
la distancia. El método de los polígonos se puede aplicar y estima la ley de un bloque

15
por la ley del sondaje central. En este caso se puede calcular el porcentaje
mineralizado real del bloque, obtenido a partir de una malla de 25mx25m
(correspondiente al valor superior en cada bloque) que se realizó posteriormente.
Observamos que el promedio de las leyes verdaderas es 0.55 y que el promedio de las
leyes estimadas es 24 / 42 = 0.57. Se dice que no hay sesgo global.
Sin embargo, existe el sesgo condicional: Para leyes altas ocurre que siempre la ley
estimada es superior a la ley real, y para leyes bajas, la ley estimada es siempre infe-
rior a la ley real.
Al aplicar una ley de corte sobre las estimaciones, ocurre entonces que la ley mina es
siempre superior a la ley de la planta.
El sesgo condicional se puede comprobar en una mina a cielo abierto, al comparar las
leyes estimadas de los bloques (modelo de largo plazo) con el promedio de los pozos
de tronadura de los bloques (información de corto plazo). En algunas minas este
proceso de comparación se llama reconciliación de leyes.
Figura I.14: Pozos de tronadura en mina Lomas Bayas. Leyes de cobre. Dimensiones en metros. Se
observa un bloque de 25mx25mx15m. A la derecha, el diagrama de dispersión. Si se aplica una ley de
corte w, es decir se decide abandonar los bloques cuya ley es menor que w, entonces existen bloques
de mineral que van a botadero y bloques de estéril que van a planta.

16
La figura I.15 muestra la información de largo plazo y de corto plazo en la mina Los
Bronces. Se observa la presencia de datos agrupados en las zonas de alta ley.
Figura I.15: Información de largo plazo (sondajes, en negro) y de corto plazo (pozos de tronadura, en
colores). Los sondajes están agrupados en las zonas de alta ley.

17
Capítulo II
Geoestadística y Teoría de las Variables Regionalizadas
En términos mineros se define la geoestadística como la aplicación de la teoría de las
variables regionalizadas a la estimación de los recursos mineros.
Una variable regionalizada es una función que representa la variación en el espacio de
una cierta magnitud asociada a un fenómeno natural.
Sea x un punto del espacio. Se designa la variable regionalizada por la notación z(x).
II.1 Notación condensada
Antes de estudiar ejemplos de variables regionalizadas, mencionemos que en
geoestadística se utiliza la notación condensada: Un punto del espacio se representa
por la letra x. Por ejemplo la ley en el punto x se representa por z(x). Por consiguiente,
z(x) puede significar:
• z(x) si el problema es unidimensional (1-D)
• z(x1, x2) si el problema es bidimensional (2-D)
• z(x1, x2, x3) si el problema es tridimensional (3-D)
Se observa que existen problemas de notación: Se acostumbra a designar una variable
regionalizada con la letra z, lo cual coincide con la notación utilizada para la cota o
elevación.

18
II.2 Ejemplos de variables regionalizadas
Ejemplo 1: En el espacio de una dimensión, sea z(x) = Ley de Cu a lo largo de una
galería:
Figura II.1: Canaletas en una galería.
Figura II.2: Galería reconocida entre los puntos A y A’
Las leyes de las canaletas se pueden graficar:

19
Figura II.3: Leyes de canaletas entre A y A’. Mina Carola.
Ejemplo 2: En la dimensión tiempo (una dimensión t), el precio de un metal p(t).
Fig. II.4: Precio del cobre (promedio mensual 1987-2005) en centavos de dólar / libra.
Ejemplo 3: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = potencia
mineralizada en un yacimiento de nitratos:

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Figura II.5 (a): Depósito de nitratos-yodo: La zona mineralizada, de color rojo en la figura, se llama
caliche.
Figura II.5 (b): Isópacas en Oficina Sur Lagunas (depósito de yodo). Las potencias están en metros. Los
límites corresponden a propiedad minera. Valores interpolados.

21
Ejemplo 4: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = Ley de Cu en
el punto x dentro de un depósito masivo:
Figura II.6: Caso típico de depósito de óxidos-sulfuros. La capa superior corresponde a grava o coluvio.
Figura II.7. Planta en mina RT. Leyes de bloques de 25mx25mx15m. Zona de óxidos.

22
En un depósito de este tipo se puede comprobar que la ley de cobre se comporta de
manera diferente en la zona de óxidos y en la zona de sulfuros. Esto nos conduce a
considerar para la ley de cobre, dos variables regionalizadas diferentes.
Ejemplo 5: En el espacio de dos dimensiones, sea z(x1, x2) = z(x) = número de
árboles por hectárea en la parcela localizada en el punto x.
Figura II.8: Reconocimiento forestal. La muestre corresponde a una parcela.
Se trata, en este caso, de una variable regionalizada no minera.
Ejemplo 6: En el espacio de tres dimensiones, sea z(x1, x2, x3) = z(x) = densidad de
la roca en un punto x dentro de un depósito minero:

23
Figura II.9: Densidades superficiales en ton/m3
en la mina Chuquicamata. La falla (llamada falla oeste) la
cual delimita mineral de estéril queda representada por el cambio de densidades. Valores interpolados.
La densidad in situ, medida en toneladas / m3
es una variable importante para cubicar
los recursos de un depósito minero.
Ejemplo 7: En el espacio de tres dimensiones sea z(x1, x2, x3) = z(x) = ley de
arsénico en un depósito de cobre. Esta variable regionalizada corresponde a una
impureza (figura II.10)

24
Figura II.10: Leyes de arsénico en un banco de mina Los Pelambres. Los datos corresponden a pozos
de tronadura en bancos de 15 metros. Se trata de una variable muy irregular, concentrada en vetas.
Observación:
Los ejemplos anteriores nos muestran que una variable regionalizada es simplemente
una función z(x) del punto x. Sin embargo, esta función no se comporta como las
funciones que se estudian en Matemáticas: En general z(x) es muy desordenada en su
variación espacial y no se podrá expresar, en particular, z(x) como un polinomio (ver
figuras II.3, II.4, II.5, II.7, II.9 y II.10).
II.3 Campo y soporte
Se llama campo a la zona en la cual se estudia la variable regionalizada. Para definir
bien el campo (por ejemplo los límites) es necesario utilizar un modelo geológico
adecuado, por ejemplo, en la figura II.6 se podrían distinguir dos campos disjuntos, los
cuales se pueden tratar de manera independiente y corresponden a unidades
geológicas: Unidad óxidos y unidad sulfuros.

25
Entonces en un mismo depósito minero D pueden haber varios campos o unidades D1,
D2, ..., Dk, en general disjuntos, cuya reunión es el conjunto D.
Figura II.11: Unidades D1, D2, D3, D4 en una sección del depósito de cobre porfídico de Inca de Oro. Las
unidades corresponden a una interpretación geológica a partir de los sondajes.
En algunas situaciones, cada campo debería tener un tratamiento geoestadístico
diferente: Para estimar una zona V contenida en una cierta unidad, sólo se utilizan
datos de la misma unidad: Se dice que se tienen fronteras duras.
Las fronteras duras entre las unidades Dr y Ds se justifican cuando existe
independencia entre las leyes de Dr y Ds (es decir existe una discontinuidad
geológica). La independencia debe ser comprobada mediante un análisis de las leyes
en las fronteras de las unidades Dr y Ds.
El soporte es el volumen de la muestra que define la variable regionalizada. A menudo
el soporte es un cilindro (figura II.12) llamado testigo:

26
Figura II.12: Un testigo. Tiene un cierto largo l y un cierto diámetro d.
z(x) será entonces la ley del volumen de muestra localizado en el punto x. En el
ejemplo 5 (forestal), el soporte de la variable regionalizada es un cuadrado de lado 100
metros, en el ejemplo 6, el soporte es una colpa (un bolón) de 5 kilos tomada en la
superficie del pit, en el ejemplo 7 el soporte es un cilindro vertical de 15 metros de
largo.
En general, en el estudio de una variable regionalizada no es conveniente mezclar
soportes de tamaños diferentes.
En el caso en que los testigos que constituyen el sondaje son de tamaño irregular, es
necesario hacer una operación la cual consiste en regularizar o compositar el sondaje,
es decir disponer de datos (compósitos) de longitud constante (figura II.13).
Figura II.13: Regularización de un sondaje a un largo constante b. Esta operación produce errores.

27
La figura II.14 muestra una sección transversal en un depósito de óxidos de cobre. Las
líneas representan los sondajes de exploración. El punto rojo se denomina collar del
sondaje. El collar está caracterizado por las coordenadas x0, y0, z0 y por dos ángulos:
(θ, φ) Azimuth e inclinación.
Figura II.14: Sección en el depósito de cobre de RT. Se observan las unidades grava ( estéril), lixiviado,
óxidos y sulfuros. Un compósito está caracterizado por sus coordenadas x, y, z, las leyes de cobre total,
de cobre soluble, un código que indica la unidad, además del nombre del sondaje que contiene al
compósito.
Cada compósito está caracterizado por sus coordenadas x, y, z, sus leyes, un código
que indica el dominio o unidad geológica y la identificación del sondaje, eventualmente
otra información. Se tiene así la base de datos de sondajes del depósito, la cual, en
formato de texto, puede ser incorporada en cualquier paquete computacional.
Para tratar las desviaciones de los sondajes, se divide el sondaje en tramos rectilíneos
L1, L2, …, Lr.

28
Figura II.15: Azimuth θ (se mide en grados desde el norte) e inclinación φ (se mide en grados desde la
horizontal) de un sondaje.
II.4. Variables aditivas.
En general, en la estimación de recursos mineros conviene utilizar variables aditivas.
Una variable regionalizada es aditiva cuando se cumple la condición siguiente: Se
conoce la variable z en dos soportes V1 y V2, con valores medios respectivos z1 y z2,
entonces el valor medio de la variable z en el soporte homogeneizado V1 U V2 es igual
al promedio ponderado de z1 y z2, en particular si V1 = V2, entonces el valor medio de la
variable es (z1 + z2) / 2.
Por ejemplo, la variable índice de trabajo WI(x) (parámetro de conminución que
expresa la resistencia de la roca a ser molida, en Kwh/ton) no es aditivo. Sin embargo
es muy importante disponer de un modelo del WI en una mina.

29
Figura II.16: Modelo del WI en una sección de la Mina Carmen de Andacollo. Este modelo constituye una
parte del llamado “modelo geometalúrgico”.
Otros casos de variables no aditivas son, la recuperación metalúrgica, y, en una mina
de óxidos de cobre, la razón (llamada solubilidad) (ley de CuS) / (ley de CuT).
En el caso de una veta (figura II.17) el sondaje S determina una potencia aparente p (y
una potencia real p0) y una ley z. La ley z no es aditiva. En este caso hay que estudiar
dos variables aditivas: La potencia p0 y la acumulación en un punto x, definida como el
producto de la ley por la potencia.
Figura II.17: Veta y variables aditivas.

30
II.5 Objetivos de la teoría.
La teoría de las variables regionalizadas se propone dos objetivos principales:
• Expresar las características estructurales de una variable regionalizada mediante
una forma matemática adecuada.
• Resolver, de manera satisfactoria, el problema de la estimación de una variable
regionalizada a partir de un conjunto de muestras, asignando errores a las
estimaciones.
Estos dos objetivos están relacionados: El error de estimación depende de las
características estructurales (continuidad, anisotropías) y se tendrá un error mayor si la
variable regionalizada es más irregular y discontinua en su variación espacial.
Ejemplo: La figura II.18 siguiente representa el caso de una variable regionalizada z(x)
= ley de cobre definida en un soporte cuadrado de lado axa:
La ley de corte es w = 0.5.
Se definen otros soportes (tamaño del bloque): (a)x(2a), (2a)x(a), (2a)x(2a), (3a)x(3a) y
(6a)x(6a).
T es el tonelaje sobre la ley de corte medido en número de bloques de tamaño axa.
m es la ley media de los bloques cuya ley es superior a la ley de corte.
B es el beneficio convencional, definido por:
B = T ( m – c )

31
La importancia económica de la anisotropía y del soporte es evidente.
Figura II.18: Importancia económica del soporte y la anisotropía. A medida que aumenta el soporte, se
diluyen las leyes. Observar que la ley de corte es mayor que la ley media. Repetir los cálculos para una
ley de corte de 0.40

32
II.5 El modelo matemático de la geoestadística: Las funciones aleatorias.
Para alcanzar los objetivos propuestos es necesario disponer de un modelo
matemático. La geoestadística utiliza una cierta interpretación probabilística de la
variable regionalizada, mediante el modelo de las funciones aleatorias.
Una función aleatoria es una función Z(x) que asigna a cada punto x del espacio un
valor que depende del azar (es decir un valor aleatorio).
Al hacer un experimento sobre la función aleatoria se obtiene una función ordinaria (no
aleatoria) z(x) llamada realización de la función aleatoria Z(x).
La hipótesis constitutiva de la geoestadística consiste en afirmar que la variable
regionalizada en estudio es la realización de una cierta función aleatoria. Lo anterior
equivale a decir que las leyes de nuestro yacimiento se generaron a partir de un
proceso o experimento muy complejo.
Figura II.19: Función aleatoria y variable regionalizada. Los colores indican rangos de la variable.

33
Un ejemplo de función aleatoria es la siguiente:
Z(x) = Z(x,y) = ley de litio en el Salar de Atacama.
Figura II.20: Leyes de litio en el Salar de Atacama para dos campañas de reconocimiento en el tiempo.
Se observan los puntos de bombeo y el decrecimiento de las leyes en el tiempo. No se indican las
escalas de las leyes.
Como se trata de salmueras las cuales están en movimiento debido a corrientes
subterráneas y a la explotación, el valor de Z(x) en un punto x es aleatorio y es variable
en el tiempo. Una realización de esta función aleatoria corresponde a la variable
regionalizada z(x) = ley de Li en un mes dado.
Observaciones:
a) No se puede afirmar que una variable regionalizada es una función aleatoria.
Esto tendría el mismo sentido que decir “el número 6 es una variable aleatoria”.

34
El enunciado correcto de la hipótesis probabilística de la geoestadística es: “z(x)
es la realización de una función aleatoria Z(x)”.
b) Para que esta hipótesis probabilística tenga un sentido real, es necesario poder
reconstituir, al menos en parte, la ley de probabilidad de la función aleatoria, lo
cual supone que la inferencia estadística (es decir el cálculo de parámetros que
caracterizan la función aleatoria) es posible. Es necesario introducir una
hipótesis suplementaria a la función aleatoria Z(x). Esta hipótesis es conocida
como hipótesis de estacionaridad y expresa que la variación espacial de las
realizaciones de Z(x) deben ser homogéneas. Esta hipótesis se puede debilitar
al suponer que las diferencias Z(x) – Z(y) son estacionarias localmente (lo cual
se conoce como hipótesis intrínseca).
La estacionaridad es una propiedad del modelo (función aleatoria) y quedará
más clara cuando se estudie el cálculo de variogramas.
c) Para entender mejor estos conceptos, es recomendable, ver M. Alfaro,
“Introducción a la Teoría de las Funciones Aleatorias”, USACH, 2005.

35
Capítulo III
El variograma
El variograma es una función que constituye la herramienta fundamental de la
geoestadística.
Sean x y x + h dos puntos en el espacio:
Figura III.1: Dos puntos a la distancia vectorial h.
La definición teórica de la función variograma ( )hγ es la esperanza matemática
siguiente:
( )
21
( ) ( ) ( )
2
h E Z x h Z xγ ⎡ ⎤= + −
⎢ ⎥⎣ ⎦
Sin embargo, en la práctica siempre se utiliza el algoritmo siguiente:
2
( )1
( )
2
diferencias de leyes en puntos
h Promedio
que están a la distancia h
γ
⎧ ⎫⎪ ⎪
= ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭

36
Esta ecuación es la que hay que adaptar en cada situación práctica (mallas regulares e
irregulares en el espacio de n dimensiones, n = 1, 2, 3).
Las propiedades de γ(h), que se deducen fácilmente de la definición son:
(0) 0
( ) 0
( ) ( )
h
h h
γ
γ
γ γ
=
≥
− =
La última relación proviene del hecho que si dos leyes z1 y z2 están a la distancia h,
entonces (z1 - z2)2 = (z2 - z1)2
Figura III.2: La función gama de h es par.
a) Cálculo del variograma para una línea muestreada regularmente
Sean N datos z1, z2, . . . , zN y sea b la equidistancia entre ellos:

37
Figura III.3: Línea recta con muestras regulares.
i) Sea h = b: Según el algoritmo de cálculo se tiene:
2 2 2
2 1 3 2 1( ) ( ) ... ( )
( )
2( 1)
N Nz z z z z z
b
N
γ −− + − + + −
=
−
ii) Sea h = 2b:
2 2 2
3 1 4 2 2( ) ( ) ... ( )
(2 )
2( 2)
N Nz z z z z z
b
N
γ −− + − + + −
=
−
iii) Sea h = 3b:
2 2 2
4 1 5 2 3( ) ( ) ... ( )
(3 )
2( 3)
N Nz z z z z z
b
N
γ −− + − + + −
=
−
iv) Sea en general h = kb (k = 0, 1, 2, . . . , N-1):

38
2
1
1
( ) ( )
2( )
N k
i k i
i
kb z z
N k
γ
−
+
=
= −
−
∑
Posteriormente los valores (0), ( ), (2 ), (3 ), ...b b bγ γ γ γ se llevan a un gráfico:
Figura III.4: Un variograma experimental.
La distancia b se llama paso del variograma.
Para interpretar el gráfico del variograma distinguiremos el comportamiento para las
distancias ⏐h⏐ pequeñas y las distancias ⏐h⏐ grandes.
III.1 Comportamiento del variograma para distancias pequeñas
Estudiaremos el comportamiento de la función ( )hγ para | |h pequeño, para lo cual
analizaremos cuatro casos hipotéticos.

39
Caso 1: Leyes muy regulares y continuas.
Figura III.5: Leyes muy regulares (la variable es derivable).
Para una distancia b pequeña, las dos leyes de la figura son casi iguales, lo que implica
que para ⏐h⏐ pequeño, γ(h) es próximo a cero; luego el gráfico de γ(h) en una
vecindad del origen será como en la figura:
Figura III.6: Variograma parabólico en el origen.
Se dice que γ(h) tiene un comportamiento parabólico en el origen.

40
Caso 2: Continuidad y regularidad promedio
Figura III.7: Leyes con continuidad promedio. La variable es continua pero no es derivable.
En este caso, para una distancia pequeña, la diferencia de leyes es significativa; luego
el gráfico de γ(h) en una vecindad del origen será:
Figura III.8: Variograma lineal en el origen.
Se dice que γ(h) tiene un comportamiento lineal en el origen.

41
Caso 3: Existencia de micro variaciones:
Figura III.9: Presencia de una estructura a menor escala. La variable es más discontinua.
Si la equidistancia entre datos b es menor que la escala de variación d de las micro-
estructuras, el variograma en una vecindad del origen será:
Figura III.10: Efecto de pepita en el origen.
Existe un crecimiento rápido hasta ⏐h⏐ = d (debido a la micro regionalización) y luego
un crecimiento más moderado (debido a la variación a gran escala): se dice que existe
efecto de pepita. Co se llama constante de pepita.

42
En la práctica la equidistancia o paso b es mayor que d y se tendrá un gráfico del tipo:
Figura III.11: Extrapolación al origen del variograma experimental.
Es decir existe una discontinuidad aparente en el origen.
El nombre efecto de pepita proviene del estudio de los depósitos de oro. Consideremos
por ejemplo un testigo en un depósito de oro:

43
Figura III.12: Efecto de pepita en un testigo de una mina de oro.
En general, el efecto de pepita se produce debido a microvariaciones y/o a errores en
el muestreo, la manipulación, preparación o análisis químico.
Caso 4: Caso límite en el cual la irregularidad de las leyes es total:
Figura III.13. Irregularidad máxima. La variable es caótica.

44
Por muy pequeña que sea la distancia b, las leyes de dos puntos a esta distancia son
prácticamente independientes. El gráfico de γ(h) será:
Figura III.14. Efecto de pepita puro: El variograma no depende de la distancia h.
Se dice que γ(h) presenta un efecto de pepita puro:
γ(0) = 0, γ(h) = C si h ≠ 0.
Este caso se presenta si en un campo S, se ponen pepitas al azar, como en la figura
III.15:
Figura III.15: Pepitas al azar.

45
III.2 Comportamiento del variograma para grandes distancias.
Estudiaremos ahora el comportamiento de la función γ(h) para |h| grande, para lo cual
analizaremos tres casos hipotéticos:
Caso 1: Leyes con crecimiento (decrecimiento) progresivo:
Figura III.16: Leyes con tendencia o deriva.
Se dice que existe una deriva o tendencia. Al hacer el cálculo se observará que γ(h)
siempre crece:
Figura III.17: Variograma con crecimiento sistemático.

46
Caso 2: Leyes con pseudo-periodicidades:
El fenómeno tiende a repetirse de manera estacionaria (es decir, varía de manera
homogénea y sin deriva):
Figura III.18: Fenómeno estacionario con periodicidades.
Si se calcula la función γ(h) se observará la presencia de máximos y mínimos:
Figura III.19: Variograma con efecto de hoyo.

47
Se dice que el variograma presenta efecto de hoyo o de agujero. En la figura, d = 9
unidades proporciona una medida del pseudo-período ; ∆ es una medida de la
intensidad del efecto (si el fenómeno es perfectamente periódico, entonces ∆ = 0).
Caso 3: Fenómeno estacionario sin pseudo-periodicidades (o fenómeno de transición):
El fenómeno es homogéneo en su variación espacial, con cambios bruscos.
Figura III.20: Fenómeno estacionario sin periodicidades.
Este caso debería corresponder al anterior, en el cual la magnitud ∆ crece. Si se
calcula la función γ(h), se tiene:
Figura III.21: Variograma de un fenómeno estacionario sin periodicidades, con alcance y meseta.

48
Se observa que a partir de una cierta distancia, del orden a = 6 unidades, la función
γ(h) permanece aproximadamente constante:
γ(6) = γ(7) = γ(8) = . . . = constante = C
Esto quiere decir que da lo mismo que la distancia que separa los puntos sea 6, 7, 8 o
más unidades; en otras palabras, dos puntos cuya distancia sea superior a a = 6
unidades son prácticamente independientes en ley.
La magnitud a se llama alcance y la constante C se llama meseta.
Figura III.22: Variograma con alcance a y meseta C.
El alcance proporciona una medida de la zona de influencia de una muestra porque dos
muestras cuya distancia es mayor que el alcance son prácticamente independientes:

49
Figura III.23: Zona de influencia de una muestra localizada en el punto x0.
Dos muestras cuya distancia sea inferior al alcance a están correlacionadas entre sí.
En el caso de un fenómeno de transición, la meseta C tiene una significación
estadística si consideramos el resultado siguiente, el cual se puede demostrar
utilizando el modelo matemático de las funciones aleatorias:
2
C σ=
en que σ2 es la varianza estadística de los datos utilizados en el cálculo de γ(h). En la
práctica, esta relación teórica es sólo aproximada.
Ejemplo: La figura III.24 muestra un sondaje en el depósito de carbón de Puentes de
García Rodríguez (España). Se trata de un sondaje vertical con N = 80 muestras. La
equidistancia entre las muestras es b = 5 metros. El carbón se representa en rojo y el
estéril (la tosca) se representa en amarillo:

50
Figura III.24: Sondaje vertical en una mina de carbón. Los números superiores representan la potencia
real de los mantos.
Se define la variable regionalizada siguiente (llamada indicador):
1
( )
0
si x carbón
z x
si x carbón
∈⎧
= ⎨
∉⎩
i) Cálculo de la media:
1
1 40
0.5
80
N
i
i
m z
N =
= = =∑
Este resultado nos indica que la mitad del sondaje es carbón y la otra mitad estéril.
ii) Cálculo de la varianza:
2 2
2 2
1
1 40(1 0.5) 40(0 0.5)
( ) 0.25
80
N
i
i
z m
N
σ
=
− + −
= − = =∑

51
iii) Cálculo de γ(h):
Se obtiene fácilmente:
γ(5) = 0.12
γ(10) = 0.20
γ(15) = 0.24
γ(20) = 0.25
γ(25) = 0.25
iv) Gráfico de γ(h):
Figura III.25: Variograma sondaje de carbón.
Se observa un alcance a del orden de 20 m. y una meseta C = 0.25, la cual coincide
con la varianza estadística de las muestras.

52
El alcance tiene una significación geológica en este caso: corresponde al espesor
promedio de los mantos de carbón (ver figura III.24):
p = (31.6 + 24.8 + . . . + 10.2) / 10 = 19.8 m.
b) Cálculo del variograma para una malla regular bidimensional
Supongamos la situación de la figura III.26 (correspondiente a leyes de cobre):
Figura III.26: Leyes de cobre en un banco de una mina a cielo abierto.
En este caso h es un vector (con coordenadas cartesianas o polares):

53
Figura III.27: componentes del vector h. En este dibujo θ no es el azimuth sino el ángulo de coordenadas
polares
h = (hx, hy) ←⎯⎯ coord. cartesianas
h = (⏐h⏐, θ) ←⎯⎯ coord. polares
i) Fijemos la dirección θ del vector h; que sea por ejemplo θ = 90º, es decir, la
dirección NS. El vector h sólo puede ser:
Figura III.28: Vectores orientados según dirección NS

54
Calculemos γ(h1) = γNS(10). Al aplicar el algoritmo hay que considerar las
(diferencias)2 posibles: (zi - zj)2 cuando ambos datos zi y zj están definidos. La figura
muestra las diferencias que hay que calcular:
Figura III.29: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la dirección NS (hay 36 vectores).
Luego:
γ(h1) = [ (1.6 – 1.4)2 + (1.4 - 0.9)2 + (0.9 - 0.7)2 + (0.7 - 0.8)2
+ (0.8 – 1.0)2 + (0.9 - 1.0)2 - (1.0 - 0.7)2 + (0.7 - 0.9)2
+ (1.2 – 1.5)2 + (1.5 - 0.9)2 + (0.8 - 0.7)2 + (1.4 - 1.4)2
+ (1.4 – 0.7)2 + (0.7 - 0.7)2 + (0.7 - 0.7)2 + (1.2 - 1.1)2
+ (1.1 – 1.0)2 + (1.0 - 0.9)2 + (0.9 - 0.6)2 + (0.6 - 0.2)2
+ (1.1 – 1.1)2 + (1.1 - 0.9)2 + (0.9 - 0.8)2 + (0.8 - 0.5)2
+ (0.9 – 1.3)2 + (1.3 - 0.9)2 + (0.9 - 0.8)2 + (0.8 - 0.4)2
+ (0.4 – 0.1)2 + (0.8 - 1.2)2 + (1.2 - 0.5)2 + (0.5 - 0.7)2
+ (0.7 – 0.1)2 + (0.1 - 0.2)2 + (1.0 - 0.6)2
+ (0.0 – 0.4)2 ] / (2 * 36) = 0.0535 (36 parejas)
De manera análoga se obtiene:
γ(h2) = 0.0987 (27 parejas)
γ(h3) = 0.1888 (21 parejas)

55
ii) Sea ahora la dirección θ = 0º, es decir la dirección EW. El vector h sólo puede
ser:
Figura III.30: Vectores orientados según dirección EW.
Las diferencias que hay que calcular son:
Figura III.31: Parejas posibles para calcular gama de 10 metros en la dirección EW (hay 36 vectores).
Se obtiene entonces:

56
γ(h1) = 0.0146 (36 parejas)
γ(h2) = 0.0330 (33 parejas)
γ(h3) = 0.0431 (27 parejas)
iii) La práctica demuestra que, para estudiar las estructuras basta con calcular γ(h)
en dos direcciones adicionales: θ = 45º y θ = 135º
Figura III.32: Cálculo de gama de h en la dirección de 45°. La distancia entre parejas es ahora 14.41
metros.
Figura III.33: Cálculo de gama de h en la dirección de 135°. La distancia entre parejas contiguas (el
paso) es 14.41 metros.
En estas direcciones hay que tener presente que el módulo de h es un múltiplo de
10√2.

57
Gráfico de γ(h):
Figura III.34: Variograma anisótropo. La variación de las leyes es más regular en la dirección EW que en
la NS.
Se observa una clara anisotropía que nos indica que el fenómeno es más regular en la
dirección EW que en la NS. (Esto se puede comprobar al mirar como varían las leyes
en esas direcciones: ver la figura III.26)
Ejemplo: Los datos que se proporcionan a continuación provienen de un banco en una
mina de fierro:

58
Figura III. 35: Datos de leyes de fierro.
Al aplicar el algoritmo general se obtienen los gráficos siguientes:
Figura III.36: Variograma NS

59
Figura III.37: Variograma EW
Figura III.38: Variograma dirección 45° (paso = 14.41 metros)
Figura III.39: Variograma dirección 135° (paso = 14.41 metros)

60
Observamos que γ(h) es casi el mismo según las direcciones: podemos concluir que el
fenómeno es isótropo.
En este caso se justifica calcular el variograma promedio, llamado variograma
omnidireccional, el cual se puede obtener, en este caso, mediante un promedio
ponderado de los valores del variograma (ponderación por el número de parejas N'):
⏐h⏐ γ(h)
10.00 4.17
14.41 5.73
20.00 8.31
28.28 11.60
30.00 11.94
Gráfico del variograma:
Figura III.40: Variograma omnidireccional. Su cálculo se justifica en el caso isótropo.

61
Ejemplo: La figura III.41 muestra la fotografía aérea de un bosque de coníferas. La
variable regionalizada es z(x) = número de árboles / hectárea. La malla de
reconocimiento es de 300 x 100 m2
:
Figura III.41: Malla de reconocimiento forestal (300m x 100m)
Figura III.42: Foto aérea de un bosque. Cada punto representa un árbol.
El variograma correspondiente es:

62
Figura III.43: Variogramas bosque de coníferas.
Se puede observar la presencia de anisotropías y efecto de hoyo (debido a
periodicidades).
Ejemplo: Variogramas en cortes pulidos de minerales. La variable regionalizada z(x)
(indicador) se define como:
1
( )
0
si x granos (negro)
z x
si x granos (blanco)
∈⎧
= ⎨
∉⎩
En los gráficos, el variograma EW es de color rojo y el NS de color azul. ¡Interpretar los
variogramas!
En este caso de dos estados (negro y blanco), si se considera que z(x) es la realización
de una función aleatoria Z(x), entonces se dice que Z(x) es un conjunto aleatorio.

63
Figura III.44: Aproximadamente isótropo. En el variograma, la distancia está en pixeles.
Figura III.45: Aproximadamente isótropo, con fronteras difusas. Presencia de efecto de pepita
Figura III.46: Anisótropo con periodicidades.

64
Figura III.47: Presencia de dos estructuras, a pequeña escala y a gran escala.
Figura III.48: Fallas. La figura se obtuvo dibujando rectas al azar, se obtienen así polígonos. Cada
polígono se pinta de negro si al tirar una moneda sale cara, en caso contrario se deja igual..
En vez de utilizar una variable regionalizada con valores 0 o 1 (realización de un
conjunto aleatorio), se puede tomar una imagen y asignar a cada pixel el código
computacional de su color (normalizado). La figura III.49 ilustra esta situación:

65
Figura III.49: Variograma de una imagen (agua). Observar que la variable regionalizada es estacionaria
en la dirección este-oeste, mientras que en la norte-sur tiene una deriva, la cual se manifiesta solo para
grandes distancias: Se dice que la realización es “localmente estacionaria” en la dirección NS.
Observación importante acerca del cálculo de variogramas: El variograma γ(h) es un
promedio; este promedio es bueno cuando el número N' de parejas es grande. Sin
embargo, a medida que ⏐h⏐ crece, N' decrece; la práctica justifica entonces la regla
siguiente:
"Un variograma γ(h) es significativo hasta una distancia dM igual a la mitad de la
dimensión del campo en la dirección de h".
Ejemplo: En el caso de la figura, el variograma en la dirección EW debe calcularse en
esta dirección hasta una distancia máxima del orden de 200 metros:

66
Figura III.50: Compósitos proyectados en una planta de la Extensión Norte de Mina Sur. El ancho del
cuerpo es del orden de 400 metros en la dirección EW.
Ejercicio:
Los datos de la figura corresponden a una zona dentro del yacimiento de nitratos-yodo
de Lagunas. Encontrar la función γ(h) hasta ⏐h⏐ = 250 m. según las direcciones: θ
= 0º, 45º, 90, 135º.

67
Figura III.51: Leyes de NaNO3 Oficina Lagunas. Profundidad del sondaje = 2 metros.
En el caso de existir un alcance, determinar su orden de magnitud.
Si la regionalización es isótropa, encontrar el variograma omnidireccional, es decir el
variograma promedio para cada dirección.

68
c) Cálculo del variograma para mallas irregulares.
En el caso bidimensional, la situación es la siguiente:
Figura III.52: Leyes de alcalinos en un banco de la mina de hierro de Marquesado (España).
En la figura III.52 se observa la localización de pozos de tiro en un banco de la mina de
hierro de Marquesado, España. Supongamos que queremos calcular γ(h1) utilizando
el algoritmo general, siendo h1 el vector siguiente:
Figura III.53: Vector para cálculo del variograma.

69
Lo más probable es que no encontremos ningún o muy pocos pares de datos que estén
exactamente a la distancia h1. Es necesario entonces introducir aproximaciones para
el cálculo de γ(h).
Aproximación : Método de los sectores. Se basa en la aproximación siguiente:
“Dos puntos están aproximadamente a la distancia h si una vez fijado el primero, el
segundo cae en la zona de la figura”:
Figura III.54: Método de los sectores.
Si el punto P2 cae en la zona amarilla, entonces se dice que P1 y P2 están
aproximadamente a la distancia h.
θ se llama tolerancia angular, ε se llama tolerancia en distancia.
La elección de θ y ε depende de la distribución espacial de los datos y de la práctica.
En algunos casos la práctica recomienda utilizar θ = 22.5º y ε = 0.5b, en que b es la
distancia mínima, llamada paso, para el cálculo de γ(h).

70
El paso en una dirección dada se puede determinar como la distancia entre datos
aproximadamente contiguos en esa dirección.
El método de aproximación presenta problemas:
• Puede caer más de un punto en la zona. En este caso se consideran las
diferencias en el cálculo.
• si ⏐h⏐ es grande, como el ángulo se abre, la aproximación tiende a ser grosera:
Figura III.55: La aproximación no es buena para h grande.
Algunos paquetes computacionales definen otro tipo de zona para evitar este problema
(método del lápiz):
Figura III.56: Aproximación para h grande.

71
En este caso hay que definir tres parámetros: θ, ε y d (d se llama a veces ancho de
banda).
Hay que tener presente que es necesario conocer bien el variograma en una vecindad
de h=0 (los puntos más cercanos al origen), luego, en algunas situaciones no se
justifica este método del lápiz.
El método de los sectores se puede generalizar al espacio de tres dimensiones:
Figura III.57: Compósitos en el espacio de tres dimensiones, con leyes de cobre en mina Chuquicamata.
Comparar con la figuras I.11 y II.9.
Figura III.58a: Aproximación en el espacio de 3 dimensiones: Una especie de cono.

72
Figura III.58b: Aproximación en el espacio de 3 dimensiones: Método del lápiz.
La nube variográfica.
Dada una cierta dirección, la nube variográfica consiste en graficar, para una dirección
dada, el valor de todas las diferencias
21
( ) ( )
2
i jz x z x⎡ ⎤−⎣ ⎦ en función de la distancia entre
los puntos xi y xj .
En la figura III.59 se ha representado la nube variográfica correspondiente a leyes de
alcalinos en una mina de hierro, en la dirección de azimuth 45°, con tolerancia angular
de 22.5°. Se ha representado también el variograma experimental para un paso de 10
metros, con una tolerancia en distancia de ±10 metros.
Esta herramienta permite detectar la influencia de algunos datos anómalos en el
cálculo del variograma. Estos datos podrían ser filtrados en la variografía.

73
Figura III.59: Nube variográfica. El dato anómalo 1.51 es el responsable de las diferencias que están en
la elipse de la derecha.
III.1 Ajuste de un variograma a un modelo teórico
El objetivo de ajustar un modelo teórico es disponer de una ecuación, la cual se
utilizará en los cálculos posteriores. En general, los paquetes computacionales
trabajan exclusivamente con el modelo teórico.
Distinguiremos dos variogramas.
i) El variograma experimental, calculado a partir de los datos.
ii) el variograma teórico, que corresponde a una ecuación que se ajusta al
variograma experimental:

74
Figura III.60: Variograma experimental y variograma teórico.
Es evidente que el variograma teórico debe respetar al variograma experimental, sobre
todo en los primeros puntos, que son más confiables.
El ajuste de variogramas constituye un punto crucial en un estudio geoestadístico
porque todos los cálculos posteriores se harán utilizando exclusivamente el modelo
teórico.
Para tener un buen ajuste, hay que considerar que uno de los objetivos finales es la
estimación de leyes de bloques (modelo de bloques), dentro de una cierta vecindad
restringida de manera de no considerar demasiadas muestras para estimar la ley de
cada bloque:
Figura II.61a: El modelo de bloques es fundamental para la planificación minera.

75
Figura III.61b: Modelo tridimensional de bloques. Existen tres unidades geológicas (a bloque completo)
Figura III.62: Vecindad de estimación. Para estimar el bloque de la figura solo se utilizan los compósitos
que están dentro del círculo de radio R.
Si la vecindad de búsqueda es circular o esférica, sólo se utilizará la función γ(h) hasta
una distancia máxima de ⏐h⏐ = 2R; luego conviene ajustar γ(h) hasta ⏐h⏐ = 2R.
En el caso de la figura siguiente, si se usa una vecindad restringida, ambos modelos
darán los mismos resultados; pero el modelo 2 es más simple y más fácil de ajustar:

76
Figura III.63: Modelos de variograma.
La utilización de modelos es común en otras áreas; por ejemplo en Estadística se
ajusta un modelo a un histograma de datos (existen tests de “bondad del ajuste” que
son chi-cuadrado, Kolmogorov-Smirnov). La figura III.64 muestra un ejemplo de un
histograma de leyes de cobre en la mina Chuquicamata, junto al modelo lognormal
ajustado.
Figura III.64: Histograma experimental y modelo lognormal ajustado.

77
III.1.1 Los modelos de variograma
Así como en estadística existen modelos (ley de Gauss, Lognormal, ...) en
Geoestadística también existen modelos de variograma.
El modelo debe cumplir con las propiedades siguientes:
(0) 0
( ) 0
( ) ( )
h
h h
γ
γ
γ γ
=
≥
− =
Sin embargo, la teoría demuestra que estas condiciones no son suficientes: En efecto,
se puede probar que γ(h) pertenece a una familia Ω de funciones (llamadas funciones
de tipo negativo condicional) y la elección del modelo debe quedar restringida a esta
familia Ω. Elegir un modelo en la familia garantiza la coherencia de los cálculos (no se
obtienen, por ejemplo, varianzas negativas).
Por consiguiente, sólo hay que utilizar los modelos que describiremos a continuación (o
bien combinaciones de ellos, las cuales consisten en sumar dos o más modelos). No
es conveniente crear nuevos modelos, salvo el caso en que se demuestre
matemáticamente que el modelo pertenece a Ω. La condición para que una función
g(h) pertenezca a la familia Ω requiere conceptos avanzados de Matemáticas y queda
fuera del alcance de este curso.
a) El modelo potencia
La ecuación de γ(h) es:

78
γ(h) = ω⏐h⏐α
en que ω > 0, 0 < α < 2. Un gráfico sería:
Figura III.65: Modelo potencia.
Esta familia de variogramas no presenta meseta. Un caso particular importante es
cuando α = 1: γ(h) es una recta, se llama variograma lineal.
b) El modelo esférico: Es uno de los modelos más importantes. A menudo, el
variograma de las leyes de cobre en un depósito de cobre porfídico corresponde a este
modelo. Su ecuación es:
C(1.5 h/a - 0.5 (h/a)3) si h ≤ a
γ(h) =
C si h > a

79
(h = ⏐h⏐)
El alcance es a y la meseta es C.
Figura III.66: Modelo esférico o modelo de Matheron.
La figura III.67 muestra el variograma en la dirección NS calculado con pozos de
tronadura en la mina Lomas Bayas (cobre porfídico):

80
Figura III.67: A la izquierda la base de datos en una planta (75000 pozos de tronadura), a la derecha el
variograma esférico (en azul) y el experimental (puntos rojos). El alcance es del orden de 100 metros.
c) El modelo cuadrático: Similar al esférico pero más simple:
C(2(h/a) - (h/a)2) si h ≤ a
γ(h) =
C si h > a
Figura III.68: Modelo cuadrático.

81
d) El modelo exponencial: Crece más lentamente que el esférico o cuadrático y
tiene por ecuación:
γ(h) = C (1 - exp(- h / ω) )
La meseta es C; el alcance en teoría es infinito pero en la práctica: si h>3ω, entonces
γ(h) ≅ C: el alcance práctico es 3ω.
Figura III.69: Modelo exponencial o modelo de Formery. Este modelo se presenta a veces en leyes que
están asociadas a fallas (ver la figura III.48, ver también la figura III.25). El alcance práctico es
aproximadamente iguala 3ω.
La figura III.70 muestra el variograma en la dirección NS calculado con sondajes
realizados en material quebrado en la mina Salvador (cobre porfídico):

82
Figura III.70: Variograma vertical para el cobre, material quebrado remanente de la explotación por
block-caving en mina Salvador. En azul el modelo exponencial, en rojo, los puntos experimentales.
e) El modelo sinusoidal: Sirve para representar el efecto de hoyo; su ecuación es:
γ(h) = C(1 - sen(β h) / (β h) )
Figura III.71: Modelo sinusoidal (ver figura III.46).

83
f) El modelo gaussiano: Tiene un comportamiento parabólico en el origen; su
ecuación es:
γ(h) = C(1 - exp(- (h / ω)2) )
Figura III.72: Modelo gaussiano. Es derivable en el origen.
g) El modelo cúbico: Tiene un comportamiento parabólico en el origen pero su
alcance es finito e igual a a; su ecuación es:
C(7(h / a)2 - 8.75(h / a)3 + 3.5 (h / a)5 - 0.75(h / a)7) si h≤a
γ(h) =
C si h>a

84
Figura III.73: Modelo cúbico. Es derivable en el origen.
En algunas ocasiones se puede ajustar un modelo correspondiente a la suma de dos (o
más) modelos, llamados modelos anidados. La suma de dos modelos de variograma
constituye un modelo autorizado. En la figura III.74 se ha representado el modelo:
1 2( ) ( ) ( )h h hγ γ γ= +
En que γ1 y γ2 son modelos esféricos, de alcances respectivos de 10m y de 40m y de
mesetas respectivas de 0.5 y 0.5. Se dice que se tienen dos estructuras:
Figura III.74: Variogramas anidados.

85
III.2 Ajuste en el espacio de dos o tres dimensiones
Acabamos de estudiar el ajuste de variogramas en el espacio de una dimensión. Sin
embargo, en la práctica se dispone de un conjunto de variogramas γ1(h), γ2(h), . . . ,
γk(h) correspondientes a las direcciones α1, α2, . . . , αk.
Figura III.75: Direcciones en las cuales se ha calculado el variograma.
a) Caso isótropo:
Es el caso más simple. Se cumple que:
γ1(h) ≅ γ2(h) ≅ . . . ≅ γk(h)
Se utiliza entonces como modelo general el variograma ajustado al variograma
omnidireccional:

86
γ(h) = γomni(⏐h⏐)
En esta notación:
2 2 2 2 2
( , ) ( , , )
| |
x y x y z
x y x y z
h h h h h h h
h h h h h h h
= =
= + = + +
Ejemplo: En el caso estudiado en las figura III.34, el modelo isótropo ajustado es:
( ) 0.417 | |h hγ =
o bien, con otra notación:
2 2
( , ) 0.417x y x yh h h hγ = +
b) Caso anisótropo:
En este caso los variogramas direccionales son en general diferentes:
1 2( ) ( ) ... ( )kh h hγ γ γ≠ ≠ ≠
En la práctica se distinguen dos tipos de comportamiento anisótropos del variograma:

87
Anisotropía geométrica:
Se produce cuando los diversos variogramas pueden reducirse a un variograma
isótropo mediante una transformación lineal de las coordenadas. El caso más común
en la práctica es cuando los variogramas presentan un mismo valor de meseta pero
diferentes alcances:
Figura III.76: Elipse de anisotropía geométrica (rosa de alcances)
En la figura se ha representado una anisotropía geométrica (en el caso isótropo lo
anterior sería un círculo).
Sea k = a1/a2 > 1 la razón entre el alcance mayor y menor. Las fórmulas de
transformación de coordenadas nos muestran que:
1( ) (| '|)h hγ γ=
en que
2 2 2
| '| ( cos ) ( cos )x y y xh h h sen k h h senϕ ϕ ϕ ϕ= + + −

88
ϕ es el ángulo formado entre el eje x y el eje x' de la elipse. γ1 es el variograma de la
dirección 1. k = a1/a2.
En el caso de un variograma lineal con diferentes pendientes:
( ) ( ) | |h hγ ω θ=
se procede de manera análoga, utilizando la elipse de pendientes o de inversos de
pendientes.
Ejemplo: En el caso de la figura III.26, se puede suponer, en primera aproximación,
que el eje de la elipse coincide con los ejes de coordenadas:
EW: γ1(h) = 0.0015|h| = ⏐h⏐ / 666.67
NS: γ2(h) = 0.0054|h| = ⏐h⏐ / 185.19
Aplicando la fórmula anterior, con ϕ = 0,
2 2 2
1 1
2 2
( ) ( ') ( )
( ) 0.0015 12.96
x y
x y
h h h k h
h h h
γ γ γ
γ
= = +
= +

89
Anisotropía zonal
En este caso la anisotropía no puede ser reducida por una transformación lineal simple
de las coordenadas.
Figura III.77: Anisotropía zonal.
Se define entonces el modelo de anisotropía zonal como un modelo anidado (o
imbricado), es decir:
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ...h h hγ γ γ= + +
En que cada constituyente puede representar su propia anisotropía.
Por ejemplo, en un yacimiento sedimentario el variograma vertical puede ser muy
diferente al variograma horizontal:

90
Figura III.78: Un ejemplo de anisotropía zonal.
Se puede utilizar en este caso un modelo del tipo:
1 2( , , ) (| |) (| |)x y z zh h h h hγ γ γ= +
En que:
2 2 2
| | x y zh h h h= + +
y hz corresponde a la dirección vertical.

91
Capítulo IV
El error de estimación
Enunciado del problema:
Sea un bloque o zona V y un conjunto de datos z(x1), z(x2), . . . , z(xN), en que:
xi = coordenada del dato z(xi)
z(xi) = ley en el punto xi
Figura IV.1: Volumen a estimar. Localización de las muestras.
N = Nº de datos
No se conoce la ley media de V: zV
En la práctica, se estima la ley media desconocida por una fórmula lineal del tipo:

92
1 1 2 2
ˆ ( ) ( ) ... ( )V N Nz z x z x z xα α α= + + +
En que los αi verifican la condición de insesgado:
1 2 ... 1Nα α α+ + + =
Los pesos αi dependen del método de estimación utilizado:
1
i
N
α = ← media aritmética
i
i
S
S
α = ← polígonos
1
1
1
k
i
i N
k
i i
d
d
α
=
=
∑
← inverso distancia
Se supone, entonces, que los αi son conocidos.
El error de estimación es:
ˆV Vz zε = −
en que ˆVz es la ley estimada (conocida) y zv es la ley real (desconocida).
Mencionemos que es equivalente definir el error como:

93
ˆV Vz zε = −
Debido a que zv es desconocido, entonces ε es desconocido. Renunciamos entonces
a conocer el error en signo y magnitud. Sin embargo, se puede caracterizar
probabilísticamente el error ε, al utilizar el modelo matemático.
Asumimos entonces que ε es una magnitud aleatoria; es decir, una variable aleatoria.
Esta magnitud aleatoria tiene una cierta ley de probabilidad caracterizada por una
esperanza matemática mE y una varianza σE
2. Respecto de la ley de probabilidad del
error, asumimos que:
La ley de probabilidad del error es la ley normal o de Gauss . En Geoestadística esta
aproximación es razonable, pero se pueden utilizar otras aproximaciones tales como la
desigualdad de Chebichev.
Figura IV.2: Densidad de probabilidad de la ley normal o de Gauss.
Conviene recordar las siguientes áreas de la ley de Gauss:

94
Figura IV.3: Ley normal. σ es la desviación estándar.
Figura IV.4: Ley normal, regla de los dos sigma. Es el caso más utilizado en la práctica.
Figura IV.5: Ley normal, regla de los tres sigma.

95
En otras palabras, utilizando probabilidades:
P(m - σ ≤ ε ≤ m + σ) = 0.68
P(m - 2σ ≤ ε ≤ m + 2σ) = 0.95
P(m - 3σ ≤ ε ≤ m + σ) = 0.997
Estudio de mE:
En términos teóricos:
mE = E(ε)
Este valor es nulo porque los errores se compensan (siempre que el método de
estimación verifique la condición de insesgado Σα = 1).
Luego:
0Em =
Estudio de σE
2
En términos teóricos:
2 2 2
2 2
( )E E
E
E m E
E
σ ε ε
σ ε
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎣ ⎦
La Geoestadística demuestra que se puede calcular numéricamente el valor de
2
Eσ .
Luego, el problema está resuelto. Según las propiedades de la Ley de Gauss,
podemos afirmar que:
P[ - σE ≤ ε ≤ σE ] = 0.68 (i)

96
P[ - 2σE ≤ ε ≤ 2σE ] = 0.95 (ii)
P[ - 3σE ≤ ε ≤ 3σE ] = 0.997 (iii)
En la práctica se utiliza frecuentemente la ecuación (ii); es decir, se admite un riesgo de
equivocación del 5%. En otras palabras:
- 2σE ≤ ε ≤ 2σE con 95% de confianza
o bien, se puede afirmar, con 95% de confianza que la ley verdadera es igual a la ley
estimada ± dos sigma (regla de las dos sigmas):
ˆ 2V V Ez z σ= ± (con 95% de confianza)
Si usted no cree en esta aproximación gaussiana utilice la desigualdad de Chebychev,
la cual establece que, cualquiera que sea la variable aleatoria ε:
[ ] [ ]2
1
1 2 2 0.75P k k P
k
σ ε σ σ ε σ− ≤ ≤ ≥ − ⇒ − ≤ ≤ ≥
Existe una desigualdad aún mejor, llamada desigualdad de Gauss, la cual establece, en
nuestras condiciones que (ver Cramer, 1955):
[ ] [ ]2
4
1 2 2 0.89
9
P k k P
k
σ ε σ σ ε σ− ≤ ≤ ≥ − ⇒ − ≤ ≤ ≥
En resumen el problema radica en el cálculo numérico de
2
Eσ o de la desviación
estándar
2
E Eσ σ= .

97
Cálculo de σE
2 :
Sabemos que:
2 2 2
ˆ( ) ( )E V VE E z zσ ε ⎡ ⎤= = −⎣ ⎦
Por otra parte:
1
ˆ ( )
1
( )
N
V i i
i
V
V
z z x
z z x dx
V
α
=
=
=
∑
∫
(La ley real desconocida se calcula, en el caso de ser posible, por el promedio de las
leyes de todos los puntos x dentro de V). La integral anterior puede ser simple, doble o
triple. Luego el error es la diferencia entre una sumatoria y una integral:
1
1
( ) ( )
N
i i
i V
z x z x dx
V
ε α
=
= −∑ ∫
Al desarrollar ε2 y tomar luego la esperanza matemática, se demuestra la fórmula
siguiente:
2
2
1 1 1
1 1
2 ( , ) ( , ) ( , )
N N N
E i i i j i j
i i iV V V
x x dx x y dxdy x x
V V
σ α γ γ α α γ
= = =
= − −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫

98
Que constituye la fórmula fundamental para el cálculo de σE
2.
Por ejemplo, si se calculan con esta formula las varianzas del error para los tres casos
de la figura IV.6, se tendrán las desigualdades:
Figura IV.6. Varianza del error en tres casos.
En la expresión de σE
2 (en notación condensada) γ(p, q) significa el valor numérico de
γ(h) (modelo o ecuación), siendo h el vector que une los puntos p y q:
Figura IV.7: Vector que une los puntos p y q.
Antes de explicar cómo se calculan los términos en forma numérica, observamos que
σE
2 depende de:

99
• N es decir, el número de datos
• xi es decir, las coordenadas de los datos
• V es decir, la geometría y el tamaño del bloque o zona V
• γ(h) es decir, de la regularidad o irregularidad de las leyes
• αi es decir, del método de estimación
Significado de los términos en la expresión de σE
2:
En la expresión anterior xi representa las coordenadas de los datos; x (ó y) representa
un punto variable dentro del bloque (o zona) V. En el cálculo de la fórmula fundamental
se supone que se conoce el modelo de variograma.
i) Término γ(xi, xj): Representa el valor de γ(h) siendo h el vector que une los
puntos xi y xj:
Figura IV.8: Vector que une el dato en xi con el dato en xj.

100
i) Término
1
( , )i
V
x x dx
V
γ∫ : Representa el valor medio de la función γ(h) (h es el
vector que une xi con x), siendo x un punto variable dentro de V:
Figura IV.9: El punto xi es fijo, el otro punto es variable dentro de V.
En la práctica la integral anterior se calcula por discretización de V en k puntos.
Entonces, la aproximación es:
1
1 1
( , ) ( )
k
i j
jV
x x dx h
V k
γ γ
=
≈ ∑∫
Esta aproximación es mejor cuando el número k de puntos dentro de V es más grande.
La práctica recomienda un número mínimo de puntos dentro de V de manera de
obtener una precisión aceptable:

101
i) Si V es bidimensional: k ≥ 36 ptos.
ii) Si V es tridimensional: k ≥ 64 ptos.
Se puede tomar un valor de k superior a los recomendados, pero los procesos
computacionales serán más lentos.
iii) Término 2
1
( , )
V V
x y dxdy
V
γ∫∫ : Representa el valor medio de la función γ(h)
(h es el vector que une x con y) siendo x e y dos puntos variables dentro de V:
Figura IV.10: El punto x y el punto y describen independientemente l conjunto V.
Esta integral también se calcula por discretización de V en k puntos.
Entonces, la aproximación es:
2 2
1 1
1 1
( , ) ( )
k k
ij
i jV V
x y dxdy h
V k
γ γ
= =
≈ ∑∑∫∫

102
El cálculo numérico de σE
2 es entonces posible. Se puede utilizar un programa
computacional para calcular σE
2 o bien 2σE.
Ejemplo: En el yacimiento isótropo de la figura III.35 , se tiene que:
2 2
( , ) 0.417x y x yh h h hγ = +
Individualizamos el bloque siguiente:
Figura IV.11: Bloque con N=2 muestras.
a) Si se estima zV por zV = 0.5 Z(x1) + 0.5 Z(x2) = 38, un calculo computacional
proporciona: 2 σE = 3.02
Luego:
zV = 38 ± 3.02
(con 95% de confianza)

103
b) Si se estima zV por zV = 1 ⋅ z(x1) = 35, se obtiene: 2 σE = 2.84
Luego:
zV = 35 ± 2.84
En este caso se utilizó un solo dato (contra 2 del caso anterior) y sin embargo se
obtuvo un error menor. La razón de esta aparente paradoja es que en el caso a) se
utilizó mal la información de los sondajes, atribuyéndoles a ambos el mismo peso 0.5.
Es evidente que el dato z(x1) debe tener mayor peso que el dato z(x2).
c) Si se estima zV por zV = 0.75 z(x1) + 0.25z(x2) = 36.5, se obtiene 2σE = 2.38.
Luego:
zV = 36.5 ± 2.38
Como este error (con confianza del 95%) es menor que los dos anteriores, se elimina la
paradoja. Este ejemplo nos lleva a la conclusión que no basta con tener datos sino que
hay que utilizarlos bien (es decir, ponderarlos en forma adecuada). Sin embargo, nos
queda una inquietud (que responderemos en el capítulo siguiente): ¿Existe otra
ponderación de los datos que nos proporcione un error menor?....

104
Observaciones:
1. La fórmula para el cálculo de la varianza de estimación o varianza del error
2
Eσ :
2
2
1 1 1
1 1
2 ( , ) ( , ) ( , )
N N N
E i i i j i j
i i iV V V
x x dx x y dxdy x x
V V
σ α γ γ α α γ
= = =
= − −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫
No depende de las leyes z(x1), z(x2), . . . , z(xN) utilizadas en el estimador
ZV = Σαiz(xi) (en estricto rigor sí depende porque estas leyes se utilizaron en el
cálculo de γ(h) ). Por consiguiente, se puede calcular la varianza del error en el
caso de agregar uno o más sondajes adicionales. Se puede entonces cuantificar
la ganancia de precisión que aportaría un reconocimiento suplementario.
2. Nos podríamos plantear el problema inverso: Suponer que en el estimador ZV =
Σαiz(xi) los pesos αi son desconocidos y definir un criterio para calcularlos.
Intuitivamente vemos que el criterio debería ser: "encontrar los pesos αi de
manera de minimizar σE
2". Esta es la idea del método del krigeado.

105
Capítulo V
El Krigeado
V.1. Introducción
En términos mineros, el krigeado consiste en encontrar la mejor estimación lineal
insesgada de un bloque o zona V considerando la información disponible; es decir, las
muestras interiores y exteriores a V.
Figura V.1: Volumen a estimar.
El krigeado atribuye un peso λi a la muestra z(xi). Estos pesos λi se calculan de
manera de minimizar la varianza del error cometido.
Interés del Krigeado
El interés del krigeado proviene de su misma definición: al minimizar σE
2 estamos
seguros de obtener la estimación más precisa posible de V o equivalentemente, de
sacar el mejor provecho posible de la información disponible.

106
El nombre krigeado proviene de los trabajos de Daniel Krige en las minas de oro
sudafricanas de Rand, en los años 50. La teoría fue formalizada una década más tarde
por el geomatemático francés Georges Matheron.
Figura V.2: Dos bloques contiguos en la oficina Ossa (ver figura I.13). El color amarillo representa
mineral (con ley 1) y el blanco estéril (con ley 0). Los círculos representan los datos. Se observa que, en
general, es necesario utilizar datos externos al bloque.
El interés práctico más importante del krigeado, proviene, no del hecho que asegura la
mejor precisión posible, sino más bien porque permite evitar un error sistemático. En la
mayoría de los depósitos mineros, se deben seleccionar, para la explotación, un cierto
número de bloques, considerados como rentables y se deben abandonar otros bloques
considerados no-explotables. Daniel Krige demostró que, si esta selección se realizara
considerando exclusivamente las muestras interiores a cada bloque, resultaría
necesariamente (en promedio) una sobre-estimación de los bloques seleccionados. La
razón de este problema es que el histograma de las leyes reales de los bloques tiene
menos leyes extremas, ricas o pobres, luego tiene más leyes intermedias que el
histograma calculado con las muestras interiores, y, si se calcula el efecto de una
selección sobre este último histograma, los paneles eliminados serán en realidad
menos pobres que lo que se había previsto, y los paneles conservados menos ricos
(figura V.2).

107
Figura V.3: Histograma de bloques y de muestras.
De acuerdo a lo expresado anteriormente, el krigeado define el estimador lineal:
1 1 2 2
ˆ ( ) ( ) ... ( )K N Nz z x z x z xλ λ λ= + + +
con la condición de insesgado (llamada también condición de universalidad):
1 2 ... 1Nλ λ λ+ + + =
Los pesos λi se calculan de manera de minimizar la varianza σE
2 del error
ε = ZK - ZV, en que ZV es la ley media desconocida de V.
Como es natural, el krigeado atribuye pesos altos a las muestras cercanas a V y pesos
débiles a las alejadas. Sin embargo, esta regla intuitiva puede fallar en ciertas

108
situaciones en las cuales se habla de efecto de pantalla o de transferencia de
influencia.
Estudiaremos estos conceptos con un ejemplo: La figura siguiente muestra un bloque
que debe ser estimado a partir de 8 muestras S1, S2, . . . , S8.
Figura V.4: Transferencia de influencia y efecto de pantalla.
El krigeado encontrará en este caso, suponiendo isotropía espacial:
i) λ1 ≥ λi (i = 2, 3, . . . , 8)
La muestra S1 es la de mayor peso.
ii) λ2, λ3 ≥ λi (i = 4, 5, . . . , 8)
Las muestras S2 y S3 tienen mayor peso que las muestras S4, S5 , . . . , S8
iii) λ6 ≅ 0
Se dice que la muestra S5 hace pantalla a la muestra S6.
iv) λ4 ≅ λ5 + λ6 + λ7 + λ8

109
Se dice que hay una transferencia de influencia; es decir, la influencia de la
muestra S4 se reparte entre las muestras S5, S6, S7 y S8. Se puede afirmar que
el krigeado “desagrupa” la información.
La menor o mayor intensidad de los efectos anteriores depende, evidentemente,
del variograma (efecto de pepita, meseta, alcance).
Por ejemplo, si se tiene un variograma lineal isótropo, γ(h)=ω|h| , se tienen los
pesos siguientes para estimar el bloque B:
Figura V.5: Variograma lineal y pesos del krigeado. Se tienen 3 muestras. Se produce un
“desagrupamiento”
V.2. Las ecuaciones del krigeado
Para obtener las ecuaciones de krigeado hay que minimizar la expresión de σE
2
2
2
1 1 1
1 1
2 ( , ) ( , ) ( , )
N N N
E i i i j i j
i i iV V V
x x dx x y dxdy x x
V V
σ λ γ γ λ λ γ
= = =
= − −∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫
pero los λi deben verificar la condición:

110
1
1
N
i
i
λ
=
=∑
El método clásico para minimizar la expresión de σE
2 (igualar a cero las derivadas
parciales de σE
2 respecto de λ1, λ2, ..., λN) no asegura que la suma de los λi sea 1.
En este caso hay que utilizar el método de Lagrange, el cual explicaremos con un
ejemplo matemático:
Ejemplo:
Minimizar la función A = x2 + y2 si x + y = 1. El método de Lagrange define la función
A' siguiente:
A' = x2 + y2 - 2µ(x + y - 1)
µ es una incógnita auxiliar llamada parámetro de Lagrange. Observamos que A' es
una función de tres variables: x, y, µ. Por otra parte, si se verifica la condición x + y =
1, entonces A' = A.
El método de Lagrange consiste en igualar a cero las derivadas parciales de A':
∂A' / ∂x = 2x - 2µ = 0
∂A' / ∂y = 2y - 2µ = 0
∂A' / ∂µ = -2(x + y - 1) = 0
Es fácil de ver que la solución de este sistema es:
x = 0.5

111
y = 0.5
µ = 0.5
Luego el mínimo de A' ó de A es:
Ao = (0.5)2 + (0.5)2 = 0.5
Por lo general el parámetro µ carece de significación física.
En el caso del krigeado hay que considerar la expresión:
A' = σE2 + 2µ(λ1 + λ2 + . . . + λN - 1)
Se demuestra que al realizar N + 1 derivaciones se obtiene el sistema de ecuaciones
siguiente:
λ1γ(x1, x1) + λ2γ(x1, x2) + ... + λNγ(x1, xN) + µ = (1/V)∫vγ(x1, x)dx
λ1γ(x2, x1) + λ2γ(x2, x2) + ... + λNγ(x2, xN) + µ = (1/V)∫vγ(x2, x)dx
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
λ1γ(xN, x1) + λ2γ(xN,x2) + ... + λNγ(xN, xN) + µ = (1/V)∫vγ(xN, x)dx
λ1 + λ2 + ... + λN = 1
que es un sistema lineal de N+1 ecuaciones con N+1 incógnitas (λ1, λ2, . . . , λN, µ)
Se demuestra que el sistema siempre tiene solución (se supone que el modelo de γ(h)
es autorizado), salvo el caso en el cual existen dos (o más) muestras diferentes con las

112
mismas coordenadas: Este caso no debería presentarse en la práctica pero a veces
ocurre, lo cual hace necesario una revisión previa de la base de datos.
El método que hemos presentado se conoce como krigeado ordinario y se puede
aplicar siempre que la variable regionalizada no presente una deriva en la vecindad de
estimación.
Varianza del error.
Se demuestra que la expresión de σE
2 se simplifica, obteniéndose:
2
2
1
1 1
( , ) ( , )
N
E i i
i V V V
x x dx x y dxdy
V V
σ λ γ γ µ
=
= − +∑ ∫ ∫ ∫
Ejemplo 1:
En el caso del yacimiento isótropo de la figura IV.10, estudiado anteriormente:
Figura: V.6: Bloque a krigear, en negro la ley de la muestra, en azul el número de la muestra.

113
1 1 2 2ˆ ( ) ( )Vz z x z xλ λ= +
se obtiene, con la ayuda de un programa computacional:
λ1 = 0.77
λ2 = 0.23
⇒ ZV = 0.77 x 35 + 0.23 x 41 = 36.38
2 σE = 2.37
⇒ ZV = 36.38 ± 2.37 (con 95% de confianza)
Ejemplo 2:
En el caso del yacimiento anisótropo estudiado anteriormente en la figura III.26, se
tiene el bloque siguiente :
Figura V.7: En negro leyes de cobre, en rojo número de la muestra.

114
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Vz z x z x z x z x z xλ λ λ λ λ= + + + +
Al usar un programa computacional, se obtienen los ponderadores siguientes:
λ1 = 0.47
λ2 = 0.20
λ3 = 0.20
λ5 = 0.08
λ4 = 0.08
2σE = 0.12
ˆ 0.61 0.61 0.12V Vz z⇒ = ⇒ = ±
Vemos que el krigeado ha considerado la anisotropía, asignando mayor peso a los
datos 2 y 3 que a 4 y 5.
Krigeado Puntual
En algunas ocasiones, en vez de estimar la ley media de un bloque V, interesa estimar
la ley en un punto x0 (problema de interpolación).
Corresponde al caso particular en que el volumen V tiende a cero. Se obtiene el
sistema siguiente:

115
λ1γ(x1, x1) + λ2γ(x1, x2) + . . . + λNγ(x1, xN) + µ = γ(x1, x0)
λ1γ(x2, x1) + λ2γ(x2, x2) + . . . + λNγ(x2, xN) + µ = γ(x2, x0)
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
λ1γ(xN, x1) + λ2γ(xN,x2) + . . . + λNγ(xN, xN) + µ = γ(xN, x0)
λ1 + λ2 + + λN = 1
con la varianza:
2
0
1
( , )
N
E i i
i
x xσ λ γ µ
=
= +∑
Figura V.8: Krigeado del punto x0. Se puede generar una grilla de valores interpolados al hacer variar x0.
Esta técnica tiene aplicación en la cartografía automática y en la simulación de leyes.

116
El krigeado puntual tiene la propiedad de ser un interpolador exacto en el sentido de
que si se desea estimar la ley en un punto conocido (por ejemplo el punto A de la figura
V.7), el krigeado proporciona la ley del dato con una varianza σE
2 = 0. Se dice que el
krigeado puntual "pasa por los puntos":
Figura V.9: Krigeado puntual en una dimensión versus interpolador de mínimos cuadrados.
Esta propiedad no la tienen otros interpoladores tales como los mínimos cuadrados.
V.3. Propiedades del Krigeado
Las propiedades más importantes del método de krigeado son:
a. Propiedad de simetría
Si γ(h) es isótropo, entonces datos que son simétricos respecto de V y con respecto a
los otros datos tienen pesos iguales.

117
Figura V.10: Propiedad de simetría del krigeado.
En el ejemplo de la figura V.10:
λ1 = λ1
λ2 = λ4 = λ6 = λ8
λ3 = λ5 = λ7 = λ9
Esta propiedad era útil cuando se resolvían los sistemas de krigeado “a mano”
b. Composición de krigeados
Sean dos volúmenes disjuntos V1 y V2; sean z1 y z2 los estimadores de krigeado
respectivos:
Figura V.11. Composición de krigeados.

118
Entonces el krigeado z de V1 ∪ V2 es:
1 1 2 2
1 2
ˆ
V z V z
z
V V
+
=
+
Es decir una ponderación por volúmenes o por tonelajes.
Esta relación no es válida para las varianzas: si se desea conocer la varianza es
necesario krigear el bloque V1 ∪ V2 o bien utilizar una aproximación.
V.4. Vecindad de Estimación.
Figura V.12: Vecindad de estimación. Para el krigeado no importa la agrupación de datos al lado
izquierdo del bloque (el krigeado desagrupa la información). ¿Cuál radio tomar?

119
En estricto rigor, el krigeado de un bloque V debería realizarse considerando todos los
datos disponibles (krigeado completo). Sin embargo, esta situación implica cálculos
muy largos; por otra parte, las muestras alejadas tendrían un peso casi nulo. Por esta
razón la práctica recomienda restringirse a una vecindad de estimación que puede ser
una esfera o círculo, o bien un elipsoide o elipse (3D y 2D). Como recomendación
práctica, el radio de búsqueda en una cierta dirección no debe ser inferior al alcance en
esa dirección.
La práctica ha demostrado que, en el espacio de dos dimensiones, con una vecindad
que contenga un promedio del orden de 8 muestras, los resultados son buenos. En el
espacio de tres dimensiones la situación es más compleja y debe ser analizada en
cada caso particular.
Figura V.13: En el espacio 3D hay que elegir los parámetros de búsqueda de manera de que se
produzca “interpolación” entre los sondajes. En esta mina se observa que quedarán bloques mejor
estimados que otros y habrá que categorizarlos en medidos, indicados e inferidos.

120
V.5. Estrategia de búsqueda.
Esta estrategia establece los parámetros que hay que utilizar para la búsqueda de
compósitos a utilizar en la estimación del bloque. Dependiendo del software utilizado,
estos parámetros son:
• Radios de búsqueda (Rx, Ry, Rz). En primera aproximación se pueden utilizar los
alcances del variograma en las direcciones (x, y, z), en una vecindad con forma
de elipsoide.
Figura V.14: Elipsoide de búsqueda. En algunas situaciones este elipsoide puede estar inclinado.
El centroide es el centro de gravedad del bloque.
• Mínimo k de muestras para krigear. Sirve para controlar el caso en que solo una
muestra cae en la vecindad. Si, por ejemplo, se pone k = 2, solo se krigearán los
bloques que tengan dos o más datos en la vecindad.
• Máximo r de muestras para krigear. Si se pone, por ejemplo r = 32, entonces
cuando en la vecindad de un cierto bloques existan más de 32 compósitos, solo
se utilizarán en la estimación los 32 compósitos más cercanos al centro del
bloque. Este parámetro se usa para mayor velocidad de los cálculos.
• Máximo l de muestras por octante. Si se pone, por ejemplo l = 2, en cada
octante se utilizarán las 2 muestras más cercanas al centro del bloque:

121
Figura V.15: Octantes. ¿Qué pasa si existen sondajes aproximadamente horizontales en el caso
de la izquierda?. Algunos paquetes computacionales utilizan el hemisferio superior e inferior
caso de la derecha.
El objetivo de este parámetro es “desagrupar” (pero, dadas las propiedades del
krigeado ¿se justifica su uso?)
• Máximo s de compósitos por sondaje. Si se pone, por ejemplo s = 2, en cada
sondaje se utilizará un máximo de 2 compósitos, los más cercanos al centro del
bloque. El objetivo de este parámetro es forzar la interpolación entre sondajes.
Los parámetros l y s deben ser utilizados con precaución. Para no introducir artefactos,
es recomendable que estos valores sean altos, lo que hace que su uso no sea
interesante (ver figuras V.16, V.17 y V.18).

122
Figura V.16: Existencia de sondaje inclinado: Al usar octantes con l = 1, se utilizan exclusivamente los
compósitos 1 y 5. Luego, hay que usar un l mayor.
Figura V.17: Al usar un máximo s = 1 de compósitos por sondaje, sólo se usan los compósitos 8 y 3
(casi a la misma cota que el bloque), sin tomar en cuenta la variación en la vertical. Luego, hay que usar
un s mayor.
La figura V.18 ilustra un perfil de una mina estimado con octantes (máximo 2
compósitos) y con máximo de compósitos por sondaje (máximo 2 compósitos) y el
mismo perfil estimado con un máximo de 32 compósitos en la vecindad (sin octantes y
sin máximo de compósitos por sondaje)

123
Figura V.18: A la izquierda estimación con octantes y máximo por sondaje (se produce el efecto
“panqueque”). A la derecha, sin restricciones. Todos los sondajes (no dibujados) son verticales. Los
compósitos tienen un largo igual a la altura del banco.

124
VI. Bibliografía.
M. Alfaro Introducción a la Teoría de las Funciones Aleatorias. Depto. De
Ingeniería en Minas, USACH, 2005.
M. Alfaro Curso de Probabilidades. Departamento de Ingeniería Matemática, U. de
Chile, 2007.
M. Alfaro Estadística. Departamento de Ingeniería Matemática, U. de Chile, 1996.
M. Alfaro Introducción al Muestreo Minero. Instituto de Ingenieros de Minas de
Chile, 2003.
H. Cramer Métodos Matemáticos de Estadística. Aguilar, Madrid, 1955.
G. Matheron Curso de Geoestadística. Ecole Nationale Supérieure des Mines de París.
Traducción al español por Marco Alfaro, 2005.
G. Matheron La Teoría de las Variables Regionalizadas y sus Aplicaciones. ENS. de
Minas de París. Traducción al español por Marco Alfaro, 2005.
A. Journel y Mining Geostatistics. Academic Press, 1978.
Ch. Huijbregts
J. P Chilés y Geostatistics, Modeling Spatial Uncertainty. Wiley, 2000.
P. Delfiner
Biblioteca en línea del Centro de Geoestadística de la Escuela de Minas de París:
www.cg.ensmp.fr/bibliotheque

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