Numero Pi
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El documento describe los diferentes métodos utilizados a lo largo de la historia para calcular el número pi (π). Comienza con referencias antiguas como la Biblia y los egipcios, pero fue Arquímedes quien desarrolló el primer método científico utilizando polígonos inscritos y circunscritos. Más tarde, Newton aplicó el cálculo integral para obtener aproximaciones de π. Finalmente, la llegada de las computadoras revolucionó el cálculo de π, permitiendo obtener millones de cifras decimales.
![EL NÚMERO [PI] 1
EL NÚMERO [PI]
1. INTRODUCCIÓN
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la
circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la
misma. A ese número, que muchos siglos más ta rde se demostró era irracional, le llamaron
pi (p).
Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de
metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco
codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23).
C 30
Traducido al lenguaje algebraico π == = 3 En el papiro de Rhind, los egipcios dieron
D 10
3
4 256
como valor del número π = = = 3,1604938
3 81
Fue Arquímedes el primero que científicame nte calculó el número π por aproximaciones s u-
cesivas utilizando un método geométrico, dando como valor:
223 220
<π< es decir 3,140845 < π < 3,142857
71 70
Este método arquimediano fue utilizado con variantes durante muchos siglos mejorando s u-
cesivamente las cifras de p, hasta llegar a François Viète (1540-1603) que llegó a darlo con
35 decimales.
Tuvo que llegar Newton, creador del Análisis junto con Leibniz, para obtener p de una mane-
ra diferente. A partir de ese momento es el Análisis la herramienta para el cálculo de p.
William Shanks en 1873 da p con 707 cifras y su compatriota D. F. Ferguson tiene la moral
de comprobar que está equivocado a partir de la cifra 527, y da el resultado correcto con
710 cifras.
En 1947 J. W. Wrench obtiene 808, y nuevamente Shanks encu entra un error en la cifra 723
y da las 808 correctas.
Si Arquímedes pasa del método del cuento de la vieja al científico y Newton da un cambio
cualitativo utilizando el Análisis, es la aparición de las computadoras lo que revoluciona el
cálculo de p.
En 1949 el ENIAC, ordenador que haría sonreir a los niños de nuestros días, da p con 2037
cifras. Sucesivamente se obtienen 16000 en 1959, un cuarto de millón en 1966, 500 millo-
nes más o menos en 1980.
Y la historia continúa...
2. MÉTODO DE ARQUÍMEDES
Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la
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![EL NÚMERO [PI] 2
Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de p, tanto por exceso como por
defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos in scritos y circunscritos
a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas de p n =
Pn / D
Utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy pare-
cido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del
cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos.
Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha
facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y d ar una aproximación mejor
Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad.
Observa en la figura, que hemos llamado a 1 al lado del cuadrado inscrito y a 2 al del octógono
regular
a) ¿Cuanto vale a? Utiliza la trigonometría y completa la tabla:
a1 = p1 = 4 a 1 = 22 a 1
a2 = p2 =
a3 = p3 =
.... ...
an = pn =
b) Obtén los resultados de un gran número de términos usando tu calculado-
ra o el ordenador. ¿Cómo obtener aproximaciones de p? ¿Qué precisión o b-
tienes de p? Compara con el valor que da tu calculadora
3. MÉTODO DE RECURRENCIA
Otra manera de obtener la sucesión de lados es mediante una ley de recurrencia. Para e llo te
vamos a plantear previamente varias cuestiones, que si estás muy puesto en semejanza te
serán muy fáciles de contestar.
a) ¿Como son los lados y los ángulos de dos triángulos semejantes?
b) Indica razonadamente la semejanza de los triángulos ACD y ADB con el
ABC, siendo el ángulo A=90º.
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c) Justifica el 1 er teorema de Euclides: Un cateto de un triángulo re ctángulo
es media proporcional entre la h ipotenusa y la proyección de este cateto s o-
bre la hipotenusa (teorema del cateto).
d) ¿Cómo son los triángulos ACD y ADB? ¿Por qué?
e) Justifica el 2º teorema de Euclides: La altura relativa a la hipotenusa de
un triángulo rectángulo es media proporcional entre las proyecciones de los
catetos sobre la hipotenusa (teorema de la altura).
f) Si observas en la figura el triángulo ABC y aplicas los teoremas a nteriores,
podrás obtener una doble expresión de a 2 en función de a 1. ¿Son las dos v á-
lidas? ¿Por qué?
g) ¿Cuál será entonces la ley de recurrencia? ¿Cuál será el perímetro? ¿Qué
valores obtienes de p? Utiliza tu calculadora o el ordenador para obtener m u-
chos más términos.
h) ¿Tienes problemas? ¿Sabes a qué se deben?
i) Racionaliza la expresión de la ley de recurrencia del lado del polígono e i n-
tenta hallar el término general de p n+1 en el que aparezca en función de p n y
de a n. Calcula ahora muchos términos. ¿Tienes problemas? ¿Qué ocurre en la
fórmula se a n=0?
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α 1 − cos α
j) Recuerda las fórmulas trigonométricas: sin = y
2 2
sin 2 α + cos 2 α = 1¿Sabrías pasar de la fórmula del término general de la
sucesión a la ley de recurrencia
4. MÉTODO DE NEWTON
n n n n
Recuerda el binomio de Newton: (a + b )n = a n + a n −1 b + a n −2 b 2 + b n , siendo
0 1 2 n
n n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
=
k los números combinatorios válidos para números raciona-
n!
les.
a) Desarrolla (1+x)4 y comprueba que los coeficientes son los que obtendrías
con el triángulo de Pascal.
b) Desarrolla (1+x)-3 hasta el 5º término aplicando el binomio de Newton.
c) Desarrolla (1-x)1/2 hasta el 6º término aplicando el binomio de Newton.
7 2
d) Teniendo en cuenta 7= 9 = 3 1− , ¿podrías utilizar el desarrollo
9 9
anterior para obtener una apro ximación del número irracional considerado?.
e) Utiliza el mismo método para aproximar 3 y compara con lo que dice
tu calculadora.
f) Justifica que la ecuación de la semicircunferencia de la figura se puede e x-
presar como y = x1/2(1-x)1/2.
g) Obtén la expresión polinómica de dicha función hasta el orden seis.
h) El área de la región ABD se puede obtener aplicando la regla de Barro w a
la función anterior. ¿Qué valor aproximado obtienes?.
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i) Demuestra mediante razonamientos geométricos que el área del triángulo
3 π
DBC vale y que el área del sector ACD es .
32 24
j) Si comparas el área ABD obtenida geométricamente (utilizando el valor de
3 obtenido antes) con el valor aproximado obtenido con la regla de Ba-
rrow, obtendrás una buena aproximación de π.
Este método laborioso que has empleado fue el que utilizó Newton cuando el cálculo integral
estaba en sus inicios y por supuesto no había calculadoras.
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Numero Pi
- 1. EL NÚMERO [PI] 1 EL NÚMERO [PI] 1. INTRODUCCIÓN Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro se mantenía constante, independientemente del tamaño de la misma. A ese número, que muchos siglos más ta rde se demostró era irracional, le llamaron pi (p). Una primera referencia de su valor viene dada por la siguiente cita bíblica: "Hizo el Mar de metal fundido que tenía diez codos de borde a borde; era enteramente redondo y de cinco codos de altura; y ceñido todo alrededor de un cordón de treinta codos" (I Reyes 7,23). C 30 Traducido al lenguaje algebraico π == = 3 En el papiro de Rhind, los egipcios dieron D 10 3 4 256 como valor del número π = = = 3,1604938 3 81 Fue Arquímedes el primero que científicame nte calculó el número π por aproximaciones s u- cesivas utilizando un método geométrico, dando como valor: 223 220 <π< es decir 3,140845 < π < 3,142857 71 70 Este método arquimediano fue utilizado con variantes durante muchos siglos mejorando s u- cesivamente las cifras de p, hasta llegar a François Viète (1540-1603) que llegó a darlo con 35 decimales. Tuvo que llegar Newton, creador del Análisis junto con Leibniz, para obtener p de una mane- ra diferente. A partir de ese momento es el Análisis la herramienta para el cálculo de p. William Shanks en 1873 da p con 707 cifras y su compatriota D. F. Ferguson tiene la moral de comprobar que está equivocado a partir de la cifra 527, y da el resultado correcto con 710 cifras. En 1947 J. W. Wrench obtiene 808, y nuevamente Shanks encu entra un error en la cifra 723 y da las 808 correctas. Si Arquímedes pasa del método del cuento de la vieja al científico y Newton da un cambio cualitativo utilizando el Análisis, es la aparición de las computadoras lo que revoluciona el cálculo de p. En 1949 el ENIAC, ordenador que haría sonreir a los niños de nuestros días, da p con 2037 cifras. Sucesivamente se obtienen 16000 en 1959, un cuarto de millón en 1966, 500 millo- nes más o menos en 1980. Y la historia continúa... 2. MÉTODO DE ARQUÍMEDES Los geómetras habían constatado, desde muy antiguo, que la relación entre la longitud de la Matemáticas educativas http://www.edumat.net
- 2. EL NÚMERO [PI] 2 Como hemos visto Arquímedes dio unas aproximaciones de p, tanto por exceso como por defecto. Para ello uso un método de calcular perímetros de polígonos in scritos y circunscritos a una circunferencia, y al dividirlos por el diámetro obtenía aproximaciones sucesivas de p n = Pn / D Utilizó polígonos de 6, 12, 24, 48 y 96 lados. Nosotros vamos a seguir un método muy pare- cido utilizando sólo los polígonos inscritos (aproximaciones por defecto), pero partiendo del cuadrado y duplicando también los lados de los polígonos inscritos. Arquímedes no tenía ordenador como nosotros, que nos permite hacer cálculos con mucha facilidad pudiendo llegar a polígonos de muchos más lados y d ar una aproximación mejor Para facilitar los cálculos vamos a tomar una circunferencia de radio unidad. Observa en la figura, que hemos llamado a 1 al lado del cuadrado inscrito y a 2 al del octógono regular a) ¿Cuanto vale a? Utiliza la trigonometría y completa la tabla: a1 = p1 = 4 a 1 = 22 a 1 a2 = p2 = a3 = p3 = .... ... an = pn = b) Obtén los resultados de un gran número de términos usando tu calculado- ra o el ordenador. ¿Cómo obtener aproximaciones de p? ¿Qué precisión o b- tienes de p? Compara con el valor que da tu calculadora 3. MÉTODO DE RECURRENCIA Otra manera de obtener la sucesión de lados es mediante una ley de recurrencia. Para e llo te vamos a plantear previamente varias cuestiones, que si estás muy puesto en semejanza te serán muy fáciles de contestar. a) ¿Como son los lados y los ángulos de dos triángulos semejantes? b) Indica razonadamente la semejanza de los triángulos ACD y ADB con el ABC, siendo el ángulo A=90º. Matemáticas educativas http://www.edumat.net
- 3. EL NÚMERO [PI] 3 c) Justifica el 1 er teorema de Euclides: Un cateto de un triángulo re ctángulo es media proporcional entre la h ipotenusa y la proyección de este cateto s o- bre la hipotenusa (teorema del cateto). d) ¿Cómo son los triángulos ACD y ADB? ¿Por qué? e) Justifica el 2º teorema de Euclides: La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa (teorema de la altura). f) Si observas en la figura el triángulo ABC y aplicas los teoremas a nteriores, podrás obtener una doble expresión de a 2 en función de a 1. ¿Son las dos v á- lidas? ¿Por qué? g) ¿Cuál será entonces la ley de recurrencia? ¿Cuál será el perímetro? ¿Qué valores obtienes de p? Utiliza tu calculadora o el ordenador para obtener m u- chos más términos. h) ¿Tienes problemas? ¿Sabes a qué se deben? i) Racionaliza la expresión de la ley de recurrencia del lado del polígono e i n- tenta hallar el término general de p n+1 en el que aparezca en función de p n y de a n. Calcula ahora muchos términos. ¿Tienes problemas? ¿Qué ocurre en la fórmula se a n=0? Matemáticas educativas http://www.edumat.net
- 4. EL NÚMERO [PI] 4 α 1 − cos α j) Recuerda las fórmulas trigonométricas: sin = y 2 2 sin 2 α + cos 2 α = 1¿Sabrías pasar de la fórmula del término general de la sucesión a la ley de recurrencia 4. MÉTODO DE NEWTON n n n n Recuerda el binomio de Newton: (a + b )n = a n + a n −1 b + a n −2 b 2 + b n , siendo 0 1 2 n n n (n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) = k los números combinatorios válidos para números raciona- n! les. a) Desarrolla (1+x)4 y comprueba que los coeficientes son los que obtendrías con el triángulo de Pascal. b) Desarrolla (1+x)-3 hasta el 5º término aplicando el binomio de Newton. c) Desarrolla (1-x)1/2 hasta el 6º término aplicando el binomio de Newton. 7 2 d) Teniendo en cuenta 7= 9 = 3 1− , ¿podrías utilizar el desarrollo 9 9 anterior para obtener una apro ximación del número irracional considerado?. e) Utiliza el mismo método para aproximar 3 y compara con lo que dice tu calculadora. f) Justifica que la ecuación de la semicircunferencia de la figura se puede e x- presar como y = x1/2(1-x)1/2. g) Obtén la expresión polinómica de dicha función hasta el orden seis. h) El área de la región ABD se puede obtener aplicando la regla de Barro w a la función anterior. ¿Qué valor aproximado obtienes?. Matemáticas educativas http://www.edumat.net
- 5. EL NÚMERO [PI] 5 i) Demuestra mediante razonamientos geométricos que el área del triángulo 3 π DBC vale y que el área del sector ACD es . 32 24 j) Si comparas el área ABD obtenida geométricamente (utilizando el valor de 3 obtenido antes) con el valor aproximado obtenido con la regla de Ba- rrow, obtendrás una buena aproximación de π. Este método laborioso que has empleado fue el que utilizó Newton cuando el cálculo integral estaba en sus inicios y por supuesto no había calculadoras. Matemáticas educativas http://www.edumat.net