Integral definida 01_2014

El proceso de
integración
LA INTEGRAL DEFINIDA
 Area bajo la curva
Discusión #3 Jonathan L.

AREA BAJO LA CURVA DE
UNA FUNCIÓN
 Considérese una función f(x) finita,
continua y positiva en todo punto de
algún intervalo [a,b].
 Sea R la región limitada por la curva
de f(x), el eje x y las rectas x=a y x=b.
¿Cuál es el valor del área de la
Región R [área bajo la curva de la
función f(x)]?

AREA BAJO LA CURVA
 Restringiendo a f(x) como una función
creciente:

AREA BAJO LA CURVA...
 Es posible aproximar el valor del área de la
región R mediante el valor del área del
rectángulo de altura f(a) y base dada por
(b-a). (Rectángulo INSCRITO en la región
R).
 También es posible aproximar el valor del
área de la región R mediante el área del
rectángulo de altura f(b) y base dada por
(b-a). (Rectángulo CIRCUNSCRITO en la
región R).

][*)]([
1
abaf
AAR


][*)]([
1
abbf
AAR


][*)]([
1
abaf
AAR


][*)]([
1
abbf
AAR


A1
A1

 Podemos mejorar la aproximación
dada en el proceso anterior,
considerando en lugar de uno, ahora
DOS rectángulos de igual base
inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:








2
1
21
*))1((
]
2
[*)]
2
([]
2
[*)]([
i
ii
R
xxiaf
abab
af
ab
af
AAA
A1 A2

 Podemos mejorar aún más la
aproximación dada en el proceso
anterior, considerando en lugar de
dos, ahora TRES rectángulos de igual
base inscritos en la región R, esto nos
conduce ahora a lo siguiente:

A1 A2 A3








 






3
1
321
*))1((
]
3
[*)]
3
2([]
3
[*)]
3
([]
3
[*)]([
i
ii
R
xxiaf
abab
af
abab
af
ab
af
AAAA

 Considerando un gran número (n) de
rectángulos inscritos en la región R es
posible mejorar aún más la
aproximación del área de la región R
y esto nos conduce a lo siguiente:

][*)])1(([
*))1((
][*)]2([][*)]([][*)]([
1
321
n
ab
n
ab
naf
xxiaf
n
ab
n
ab
af
n
ab
n
ab
af
n
ab
af
AAAAA
n
i
ii
nR






 








 









A1 . . . An

 Es claro que esta aproximación puede
ser cada vez mejor entre mayor sea el
número de rectángulos considerados
pero será igual sólo considerando el
valor límite cuando el número de
rectángulos sea infinito. Así:




n
i
iiR xf
n
Lim
A
1
)(

 ¿De qué manera cambia lo descrito
hasta ahora si en lugar de considerar
rectángulos INSCRITOS a la región
consideramos rectángulos
CIRCUNSCRITOS?
 ¿De qué manera cambia lo descrito
hasta ahora si en lugar de considerar
una función CRECIENTE
consideramos una función
DECRECIENTE?

Aplicaciones de la
integral definida
AREA ENTRE CURVAS
Discusión #3 Jonathan L.

INTEGRAL DEFINIDA
 Sea f una función definida en un
intervalo cerrado [a,b]. Entonces la
integral definida de f desde un valor a
hasta un valor b, denotada por
se define como:
dxxf
b
a
 )(
k
n
k
k
b
a
xxf
P
Lim
dxxf 

  
)(
0
)(
1
*

TEOREMA FUNDAMENTAL
DEL CÁLCULO
 Sea f continua en [a,b] y F cualquier
función para la cual F´(x)=f(x).
Entonces:
)()()( aFbFdxxf
b
a


AREA BAJO LA CURVA Y
AREA ENTRE CURVAS
 Si f es una función
continua no
negativa en [a,b],
entonces, como ya
se ha visto, el área
bajo la gráfica de f
en el intervalo es:
dxxfA
b
a
R
 )(

AREA ENTRE CURVAS…
 Supóngase ahora que f(x)<0 para toda x en
[a,b], como se muestra en la figura.

 Como –f(x)>0, se
define que el área
limitada por la
gráfica de y=f(x) y
el eje x, desde x=a
hasta x=b es igual
al área limitada por
la gráfica de y=-f(x),
el eje x desde x=a
hasta x=b.
 
b
a
b
a
dxxfdxxfA )()(

 Lo anterior nos conduce a lo siguiente:
Si y = f(x) es continua en [a,b], entonces el
área limitada por su gráfica en el intervalo y
el eje x está dado por:

b
a
dxxfA )(

 Lo expuesto anteriormente es un caso
particular del problema más general
de determinar en área de la región
comprendida entre dos gráficas.
 El área bajo la gráfica de una función
no negativa continua y=f(x) en [a,b],
es el área de la región comprendida
entre su propia gráfica y la de la
función y=0 (eje x) de x=a a x=b.

 Supóngase que y=f(x) y y=g(x) son
continuas en [a,b] y que f(x)>g(x) para
toda x en el intervalo

 En general se tiene la siguiente
definición:
Sean f(x) y g(x) dos funciones
continuas en un intervalo [a,b].
Entonces, el área de la región
comprendida entre sus gráficas en el
intervalo está dada por:
 
b
a
dxxgxfA )]()([

PROBLEMAS
 Obtener el valor del área limitada por las
gráficas de:
1. 4.
2. 5.
3. 6.
2
xyyxy 





4
5
,
4
)cos()(

en
xyyxseny
2212
 xyyxy
]3,0[
)3)(2)(1(  xxxy
63 2
 xyyx
)1()1(4 22
xyyxy 

PROBLEMAS
 Determinar el valor del área limitada
por la gráfica de la función, el eje x y
las rectas indicadas usando para ello la
suma de las áreas de los rectángulos
indicados:
1)(.1 2
 xxf x=2, x=3, Rectángulos inscritos
3
10)(.2 xxf  x=1, x=2, Rectángulos circunscritos
 2
2)(.3 xxf  x=3, x=6, Rectángulos circunscritos

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