Capitulo 7.5 integracion mult

1. Integrales MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Sea f(x)≥0 una función continua definida en [a, b], 1.a. Exprese el área bajo la curva como una integral El área A de la región S que está bajo el grafico de una función las áreas de rectángulos aproximados Para calcular el área entonces usamos la suma de todos esos rectángulos con la siguiente notación

2. Si el limite existe, decimos que f es integrable en [a, b] f entre a y b, está dada por 1.b. Defina integral definida. Si f es una función continua definida por de igual amplitud

3. . Teniendo CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO ≥definida. continua f, es el límite de la suma de

5. denominada integral definida de

6. !, dividiendo el intervalo [a, b] en n sub

7. # # #$%#

8. ! como puntos extremos de estos Page 1 sub-intervalos

9. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss sub-intervalos y seleccionamos puntos de estudio está en el i-ésimo sub-intervalo 1.c. ¿Quién introdujo el símbolo # en estos sub-intervalos, por lo que El símbolo fue introducido por Leibniz, del latín integral, es una S alargada que fue elegida porque la integral es una suma de límites. En la notación

10. , f(x) es el integrando, y tanto a como b son llamados limites de integración, donde a es el límite inferior y b el límite superior. El símbolo dx no tiene ningún significado oficial por si mismo por lo que

11. es un solo numero, el proceso de calcular una integral 2. El problema del volumen bajo una superficie: 2.a. Defina mismo, Sea f una función de dos variables, definida en un rectángulo R, si existe el limite siguiente %' ' ( # )* + * decimos que f es integrable en R. Además, integral doble de f en R, esta dado por: ,

12. - 2.b. ¿Cómo interpreta ∫∫ R f (x, y)dA Cuando

13. # ) . / entonces f es una función positiva, el volumen V del sólido que esta encima del rectángulo R y por debajo de la superficie 0

14. 1 ,

15. # ) - Dado que ) entonces ,

16. # ) - ,

17. - 2.c. Enuncie la condición necesaria y # )* Si f esta acotada en el rectángulo R y si es continua en ese entorno, excepto en un numero finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R. En particular, si f es continua en todo R, entonces es integrable allí. 3. Integrales Iteradas: 3.a. Dada una función f(x, y) continua en un rectángulo R: 3.a.i. Indique el significado de La integral iterada es una forma de expresar una integral doble, de tal forma que se pueda resolver como dos integrales simples. CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO #$%# # . Entonces la integral definida de f entre a y b es

18. ∫ ?. ¿Cuál es su significado?. 233 que significa suma y es ahora llamado se llama integración. integral doble sobre un rectángulo . 4

20. # ) % ( + * para f (x, y) ≥ 0?

21. # ) es

22. # ) ) suficiente de integrabilidad integral iterada. Page 2 %

23. # ) , llamada

24. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 3.a.ii. Enuncie el Teorema de Fubini para funciones continuas. En general el orden de integración de dos integrales iteradas no importa, por lo que el siguiente teorema nos permite calcular una integral doble al expresarla como una integral iterada Si f es una función continua en el rectángulo Entonces ontinua ,

25. # ) - 9

26. # ): !%%%)%%%; ) 7

27. # ) 8 )

28. # ) 3.b. El cálculo de volúmenes mediante la expresión: v = Cavalieri, siendo A(x) el área de la sección transversal del sólido, en un plano que se encuentra a una distancia x de un planos que se encuentran a una distancia referencia. 3.b.i. Aplicar el principio de Cavalieri para justificar el teorema de Fubini, suponiendo Principio de Cavalieri: Supongamos por el momento que doble como el volumen V del solido bajo la superficie fórmula: 1 , - Si rebanamos el sólido por medio de planos paralelos al plano XZ en laminas delgadas, el área de la cara de esta lamina depende de la distancia al plano XZ, es decir que depende de Y. Por tanto denotamos esta área por A(y) y el volumen 1 de una rebanada de sección transversal A(y) y ancho ) esta dado aproximadamente por El volumen V del solido debe estar dado de manera aproximada por la suma de Riemann 1 5 ' volumen del sólido como la integral definida entre c y d, y Por otro lado, para un Y fijo, podemos calcular A(y) por medio de la integral simple ordinaria, de hecho en la ecuación anterior: 7 1 6 8 Que se llama integral ITERADA. Igualando ambas expresiones tenemos que: ,

29. # ) - 4. Integrales dobles sobre regiones más generales Sea D una región acotada en el plano y sobre D. 4.a. Complete las siguientes definiciones: 4.a.i. Se dice que una región plana funciones continuas de X CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO 7 8 ) ∫b a A(x)dx se conoce como Principio de plano de referencia. El sólido está comprendido entre dos x = a y x = b, respectivamente del plano de f(x, y)≥0.

30. # ) . / en R de modo que podemos interpretar la integral 0

31. # ) el mismo esta dado por la siguiente ,

32. # ) 1 5

33. ) ).

34. )) cuando = obtenemos el 1

35. )) ijo,

37. # ) , al reemplazar 6

38. # ) ? ) 6

39. # ) ? 7 8 ) generales: f(x, y) una función continua en D, defina integral doble de f D es de tipo I si…se encuentra entre las graficas de dos Page 3 e

40. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss @ 9

41. # ): !#%%%A

42. ) A

44. # ) B 4.a.ii. Se dice que una región plana de dos funciones continuas de Y @ 4.b. De ejemplos de regiones tipo I y tipo II

45. # ) 4.c. De ejemplos de regiones que sean tanto CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO CD

46. E CF

47. E ) D es de tipo II si… se encuentra entre las graficas 9

48. # ):; ) #%%%G

49. ) G

50. ) ,

51. # ) B GH

52. ) GI

53. ) 7

54. # ) 8 ) tipo I como tipo II Page 4 e

55. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 4.d. Deduzca una fórmula que permita evaluar como una integral iterada iterada. ) cuando @ es una Con el objeto de evaluar 4

56. # ) B región de tipo I, escogemos un rectángulo que contenga @, por el teorema de Fubini: ,

57. # ) B ,J

58. # ) - 7 J

59. # ) 8

60. %%O%%) P A

61. puesto Observe que J

62. # ) / si ) K A que

63. # ) esta fuera de @. En consecuen 7 consecuencia J

64. # ) 8 CD

65. E CF

66. E ) J

67. # ) Porque J

68. # )

69. # ) cuando A # ! N ;# Si f es continua sobre una región D tipo I, tal que @ L

70. , B ) 4.e. Deduzca una fórmula que permita evaluar como una integral iterada la integral doble sobre una región tipo I, )

71. # ) CD

72. E CF

73. E Si el conjunto @ es una región de tipo II los métodos son análogos @ 9

74. # ):; ) # GI Donde G

75. )%%)%%G

76. ) son continuos, entonces ,

77. # ) B MD

78. MF

79. E 7 8

80. E 4.f. Un tetraedro está acotado por los planos = 0, y y –x + z =1, calcule el volumen del mismo usando una integral doble sobre una región apropiada D, definiendo D como: 4.f.i. una región tipo I. CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO CD

81. E CF

82. E )

83. ) A

84. , quedando la formula de la siguiente forma L

85. # ): !# AI

86. ) AH

88. # )

89. # ) ) la integral doble sobre una región tipo iterada. I

90. ) GH

92. # )

93. E ) y = 0, z = 0, x , II, Page 5

95. # ) 0 ,

96. # ) B CD

97. E CF

99. # ) I S ) SI / / ) I YE Z[[[[[[[[[[] ) )

100. I S ) ) R

101. I S

102. I R H T 4.f.ii. una región tipo II.

103. # ) 0 I S ) ) S ,

104. # ) B MD

105. U MF

106. U 7 MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss

107. # ) 8 R

108. I S ) R

109. I S ) S V H WX (I S

110. I V Z[[U[[[[[[[[] (I S

111. /+_ 4.g. Usando integrales dobles calcule el área de 4.g.i. una región elemental tipo I. , B 4.g.ii. una región elemental tipo II. , B CD

112. E CF

113. E MD

114. U MF

115. U 7 4.h. ¿Cuándo puede aplicar la técnica denominada qué consiste?. CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO ^ R) S ) H

116. I H

117. I T R

118. I S

119. I H R

120. I _ HV T (I

121. /+_ WX ` a S X (I

122. SI ` I / / ) I ) )

123. I S ) ^ ) R S ) H T U ) R

124. I S )

125. I S )

126. I S ) H T )

127. I S ) H T ) b V H

128. I S )c ) S V H R

129. I S ) V

130. I+_ a S X V ad S V H Re / V f S g

131. I_ V hT I ` D, si D es:

132. # )

133. # ) )

134. # )

135. # ) 8 ) YE cambio en el orden de integración Page 6 ) )T T I+_ ad I ` H T U ) )_ T ? ¿ En

136. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Supongamos que D es una región tipo III, así al ser de tipo I y II simultáneamente, puede expresarse como el conjunto de puntos (x, y) tales que conjuntos de puntos (x, y) tales que ; ,

137. # ) B ) # GI

138. ) GH

139. ) por lo tanto tenemos las formulas

140. # ) !# AI

141. ) AH

142. y también como el CD

143. E CF

144. E )

145. # ) Si se nos pide calcular una de las integrales iteradas Esta técnica se llama “cambio del orden de integración”, pues quizás una de las integrales iteradas sea más difícil de calcular que la otra. 4.i. Si una lámina ocupa una región plana fórmulas en términos de integrales 4.i.i. la masa, 4.i.ii. los momentos alrededor de los ejes, iE , - 4.i.iii. el centro de masa, 4.i.iv. los momentos de jE ,

146. ) - 5. Integrales Dobles en Coordenadas Polares: 5.a. Escriba las ecuaciones que relacionan las coordenadas rectangulares de un punto coordenadas polares (r, θ). ) k k lmn 5.b. ¿Qué significado tiene la expresión “rectángulo polar”? Un área puede dividirse en varias sub diferente longitud que centradas en un punto denominado polo rotar un determinado ángulo o adicional a un ángulo p CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO GH

147. ) GI

148. ) 7 8 ) anteriores, lo podemos hacer evaluando la otra. (x, y) , escriba las R y tiene una función densidadδ dobles de: 3 ,q

149. # ) - mentos ,) q

150. # ) %%%%)%%%%iU , q

151. # ) - l

152. r# )s e iE 3 # iU 3 f inercia alrededor de los ejes y el origen. q

153. # ) %%%%%%%%)%%%%%%%%%jU ,

154. q

155. # ) - (x, y), con sus correspondientes t ) k nuv t polar”?. sub-regiones R delimitados por un lado con dos líneas generan un área cuasi cuasi-rectangular al w respecto al eje polar coordenado 9

156. k# t: k !# w t o rectas de Page 7

157. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 5.c. Sea f(x,y) una función continua definida en el rectángulo polar R, calcule ∫∫ R ,

158. # ) ,

159. k lmn t # k - - f (x, y)dA . k nuv t% k k t 5.d. Sugerencia, siga el siguiente procedimiento con ayuda de 5.d.ii. Calcule las coordenadas), p* L kx 5.d.iii. Evalúe f en cada “centro” de Sabiendo que el área de un sector circular con radio r y ángulo central w, es k w El área de cada sector podemos calcular restando las áreas de estos dos sectores circulares cada uno con ángulo central t tI S ty 5.d.iv. Calcule la superficie del sub I H t S k I H t k S k 5.d.v. Exprese la doble suma de Riemann en las variables Las coordenadas rectangulares del centro de Riemann queda como sigue: CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO algún texto: 5.d.i. Divida el intervalo [a, b] en m sub-y intervalos de igual ancho ?r y el intervalo sub-intervalos de igual ancho Bθ , quedando definidos sub-rectángulos polares Rij. k# k k ! S 3 zt*# t*{ t o S = ( ) ij ij x , y del “centro” de cada sub-rectángulo L

160. k# t:k k k# t* t tQ k| x k k H t} x t* t H Rij. ySI sub-rectángulo polar Rij. I H (k +t I H

161. k S k

162. k S kt kx r, θ p* son:%k| x lmn t} x k| x [α, β] en n nuv t} x de modo que la suma de Page 8 w polar Rij. kx~ k t

163. (k| x lmn t} x # k| x MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss x t} x+ ~ (k| x nuv * 5.d.vi. Pase al límite para m y n tendiendo a infinito. Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, o m,n tienden a infinito, este límite es una integral doble ,

164. k lmn t # k nuv t% - = 5.d.vii. Obtenga la fórmula de cambio a coordenadas polares para integrales Del punto anterior se desprende: ,

165. # ) - Que al aplicar el teorema de Fubini nos iterada. 5.e. Evalúe la integral. ∫∫ + R (3x región del semiplano superior limitado por los círculos 1 x2 + y 2 = y 4 x2 + y 2 = p 9

166. # ):) . /# I k lmn t ) k nuv t I nuv t I H

167. I S ,

168. # ) ,

169. k lmn t # k - - €

170. Vk lmn t R Vk_ lmn t V € €

172. H_ lmn t € lmn t I‚ b nv t I‚ H CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA t € b nv

173. „ INTEGRALS – BY GERARDO lmn t} x # k| x nuv t} x+ * k| x % k k t # (kx~ lmn ty x # kx~ nuv ty x + yI 3 ~I ) ,

174. k lmn t # k nuv t% - k k t permite escribir la integral doble polar como una integral 4y )dA 2 donde R es la ) ƒ k H / t „ lmn Ht k nuv t% k k t

175. V ƒ)k k € t ƒk nuv tk k t

176. Vk lmn t ƒk_ nuv € ƒk… nuv t ƒ T

177. H… nuv t S

179. I_ lmn t

180. I… nuv t t I‚ nuv t t b lmn t I‚ H

181. I S lmn Htc € t t S I‚ ƒ nuv Htc I‚ H

182. „ S I‚ ƒ nuv H

183. Page 9 + x k t dobles. nuv tk t c

184. „c I‚ H

185. „

186. 5.f. Halle el volumen del sólido paraboloide 2 2 z = 1− x − y 0 I S S ) MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss limitado por el plano z=0 y el I S k k I / t H„ k lmn t ) k nuv t / 1 ,

187. I S S ) B €

188. I S kkkt H„ R k H S k… ƒ € kkt t T

189. k S k_k „ H 5.g. Exprese la formula de cambio a coordenadas polares para integrales dobles en una más general Se utilizara un proceso similar al usado cuando se extiende una integral doble sobre un rectángulo común a la integral sobre un conjunto general S. En ese caso simplemente se encierra S en un rectángulo y damos a la función por integrar, el valor cero fuer S. Se puede hacer lo mismo para integrales polares, excepto que usamos rectángulos polares. Los conjuntos de particular interés son los r-simples y los t-simples 1- Decimos que un conjunto S es r † 9

190. k# t:A

191. t k 2- Un conjunto S es t-simple si tiene la forma † 9

192. k# t:G

193. k t 5.h. Encuentre el área encerrada por la k lmn t ) k nuv t / , - ‡ƒ lmn Ht „ƒ k k ‡ƒ lmn Ht k T k H „ƒ t R „ƒ H lmn Ht t CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA (‡ƒ lmn Ht+ „ƒ INTEGRALS – BY GERARDO fuera de r-simple si tiene la forma A

194. t# w t o G

195. k# t ! lemniscata 4cos2θ r 2 = k ‡ƒ lmn Ht / t %% „ ƒ %%% R t 6 H ? „ƒ t H nv Ht/ H nv „ ƒ HI H región Page 10

196. 6. Integrales Triples: MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 6.a. Defina integral triple de una función f, sobre una caja rectangular . significado. Consideremos una función f de tres variables, continua en una región solida acotada B. Primero veamos el caso más sencillo, donde B es una caja rectangular (paralelepípedo rectangular) ˆ 9

197. # ) El primer paso es dividir B en sub-dividimos los tres lados en n partes iguales. El intervalo [a, b] queda sub-dividido en n sub intervalos # con un ancho igual a El intervalo [c, d] z)*# )*{ ) El intervalo [p, q] 0‰# 0‰ ) Cada caja tiene un volumen igual a Donde el punto muestra ( r*‰# )s*‰# la partición (a lo largo de la diagonal más larga entre las de las n cajas de la partición), llegamos a la siguiente definición Sea f una función continua acotada de tres variables, definida en una región solida acotada B. La integral triple de f sobre B se define como Š

198. # )# 0 ‹ Si este límite existe, si el limite existe se dice que f es integrable sobre B. La notación de la integral triple es Š ‹ 1 Š CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO B. Explique su )# 0: !Œ ; ) Œ 0 Ž ˆ # ! N ;# N # Ž -cajas. Para esto dividimos sub-con { ) ) 1 )0 Así que al formar la suma triple de Riemann ( r*‰# )s*‰# 0r*‰+ ‰ * 1 s # 0r*‰+ esta en *‰. Tomando el límite para cuando la norma de 1 :: ( r*‰# )s*‰# 0r*‰+ ‰ * 1 Š

199. # )# 0 ‹ 1 Š

200. # )# 0 ‹ )0 Page 11

201. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 6.b. Sea f(x, y, z) una función continua definida en un caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], calcule ∫∫∫ B f (x, y, z)dV . Si f es una función continua en una caja rectangular B = [a, b] x [c, d] x [r, s], entonces Š

202. # )# 0 ‹ 1 Š

203. # )# 0 ‹ 7 )0

204. # )# 0 8 ‘ )0 Š

205. # )# 0 ‹ 1 Š

206. # )# 0 ‹ 7 )0

207. # )# 0 8 ‘ ) 0 Š

208. # )# 0 ‹ 1 Š

209. # )# 0 ‹ 7 )0

210. # )# 0 8 ‘ )0 Š

211. # )# 0 ‹ 1 Š

212. # )# 0 ‹ 7 )0

213. # )# 0 ‘ 8 0) Š

214. # )# 0 ‹ 1 Š

215. # )# 0 ‹ 7 )0

216. # )# 0 ‘ 8 0 ) Š

217. # )# 0 ‹ 1 Š

218. # )# 0 ‹ 7 )0

219. # )# 0 ‘ 8 0) 6.c. Evalúe la ∫∫∫ B xyz dV 2 donde B es la caja rectangular dada por : B = {(x, y, x)/ 0 ≤ x ≤ 1,−1 ≤ y ≤ 2,0 ≤ z ≤ 3} ¿De cuántas formas diferentes puede realizar el cálculo? Š

220. # )# 0 ‹ 1 Š

221. # )# 0 ‹ 7 )0

222. # )# 0 8 ‘ _ )0 )0 )0 H _ R )0T _ )0 I H )0 )0 I H _ ) H R 0T 0 I H _ Rg

223. H H 0h S g

224. SI H 0hT 0 I H V H _ be 0fc 0 V ƒ 0_ V R _ T V ƒ

225. V_ V R T H ƒ En total hay seis formas de hacerlo, contando con esta hay cinco formas más de resolverlo. 6.d. Defina integral triple de una función f, sobre región general acotada E. Integral triple sobre una región elemental o general acotada S en el espacio tridimensional Se utiliza el mismo procedimiento utilizado para integrales dobles, considere un conjunto cerrado y acotado S en el espacio tridimensional y enciérrelo en cualquier caja B. Definimos entonces una CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO Page 12

226. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss función F que concuerde o sea igual a una función f(x, y, z) en S y que tome el valor de cero fuera de S. Entonces definimos: ’

227. # )# 0 “ 1 ’ J

228. # )# 0 ‹ 1 Esta integral existe si f es continua y la frontera de S es “razonablemente suave” 6.e. Clasificamos las regiones sólidas E en el espacio en tres tipos: TIPO 1 La tapa y el fondo de la región E Son superficies definidas por : ( , ) y ( , ) 1 2 z =φ x y z =φ x y Con (x,y) є D ( , ) ( , ) 1 2 φ x y ≤ z ≤φ x y Si D es de tipo I a ≤ x ≤ b y g (x) g (x) 1 2 ≤ y ≤ Si D es de tipo II c ≤ y ≤ d y h (y) h (y) 1 2 ≤ x ≤ Aclaración: se usan los números arábigos los números romanos I y II para indicar regiones “D 6.f. Teniendo en cuenta la clasificación dada, calcular la integral siguientes casos: 6.f.i. E tipo 1 y D tipo I Š

229. # )# 0 ‹ 1 CD

230. E CF

231. E CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA ”D

232. E#U INTEGRALS – BY GERARDO ral TIPO 2 TIPO 3 El frente y la parte posterior de E Son superficies definidas por : ( , ) y ( , ) 1 2 z =φ y z z =φ y z Con (y,z) є D Los laterales izq. y derecho de E Son superficies definidas por : ( , ) y 1 z =φ x z ( , ) 2 z =φ x z Con (x,z) є D 1 φ (y, z) φ ≤ x ≤φ (y, z) (x, z) ≤ y 1 2 Si D es de tipo I c ≤ y ≤ d y g (y) g (y) 1 2 ≤ z ≤ Si D es de tipo I a ≤ x ≤ b y g1 Si D es de tipo II r ≤ z ≤ s y h (z) h (z) 1 2 ≤ y ≤ Si D es de tipo II r ≤ z ≤ s y h ( 1 1, 2, 3 para indicar regiones acotadas “E” D” en el plano. ∫∫∫ E f

233. # )# 0 ”F

234. E#U

235. 0) Page 13 (x, z) 2 φ ≤ (x) g (x) 2 ≤ z ≤ z ) h (z) 2 ≤ x ≤ en el espacio y (x, y, z)dV en los

236. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 6.f.ii. E tipo 1 y D tipo II Š

237. # )# 0 ‹ 7 1 MD

238. U M F

239. U MF 8 6.f.iii. E tipo 2 y D tipo I Š

240. # )# 0 ‹ 6.f.iv. E tipo 2 y D tipo II Š

241. # )# 0 ‹ 6.f.v. E tipo 3 y D tipo I Š

242. # )# 0 ‹ 6.f.vi. E tipo 3 y D tipo II Š

243. # )# 0 ‹ 6.g. Evalúe la ∫∫∫ E ”D

244. E#U

245. # )# 0 ”F

246. E#U ”D

247. —#U ”D

248. —#U ”D

249. —#E ”D

250. —#E zdV donde E es el tetraedro sólido limitado por los cuatro planos x=0, y= gráfico cuidadosamente. • 9

251. # )# 0:/ I#/ ) Š0 – EU E 1 0 0%) I H RS

252. I S S V CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA 0 H EU E INTEGRALS – BY GERARDO 0 ) 1

253. # )# 0 ”F

254. —#U CD

255. U CF

256. U 7 8 0) 1

257. # )# 0 ”F

258. —#U MD

259. — MF

260. — ˜ ™ )0 1

261. # )# 0 ”F

262. —#E CD

263. E CF

264. E )0 1

265. # )# 0 ”F

266. —#E MD

267. — MF

268. — ˜ ™ ) 0 0, z=0 y x+y+z=1 Analice el I S # / 0 I S S ) )% R T %)% E I H E

269. S S )%)%

270. I )_ T I `

271. I S _ I `

272. I S … R ƒ T Page 14 I Hƒ

273. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 6.h. Plantee los límites de integración para la integral limitada por el paraboloide cálculo para este ejemplo y resuelva el caso • š

274. # )# 0: S H Š› 0 – Š› 0 – 1 ,R B Š› 0 – 1 ,

275. ƒ S S 0› B ƒk_ V H„ R S kœ ‚ T … IH ›UED . posibilidades de 7. Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 7.a. Sea P un punto de coordenadas rectangulares CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO ∫∫∫ + E x z dV 2 2 donde onde E es la región 2 2 y = x + z y el plano y=4. Analice todas las que considere más sencillo. H# ) ƒ#S›) S 0 ›) S ž 0 1 › 0 ›UED 0%)% … ED R › 0 EDY—D )T ,

276. ƒ S S 0› B k lmn t 0 k nuv t › 0

277. ƒ S k k k k t € € t IH„ I‚ (x, y, z) escriba sus coordenadas Ÿ

278. # )# 0 Ÿ

279. k# t# 0 Page 15 ž 0 t

280. ƒk S k… k cilíndricas.

281. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 7.b. Grafique “un elemento volumétrico” en coordenadas cilíndricas y calcule su En una región delimitada en S donde f es una función continua la que llamaremos elemento volumétrico al cual queremos evaluar su volumen por medio de integrales de la forma ’

282. # )# 01 “ , para ello dividimos en sub solido al cual llamaremos “cuña cilíndrica” Esta cuña tiene un volumen 1‰ que aproxima la integral tiene la forma J

283. kr‰ # tr‰ # 0r‰ ‰ kr‰ sub-partes un cuerpo volumen. Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, obtenemos integral triple en coordenadas cilíndricas. 7.c. Suponga que E es una región tipo 1, cuya proyección coordenadas polares y f(x, y, z) E. Sea E una región solida z-simple cuya proyección describirse en coordenadas polares, esto es: • 9

284. # )# 0:

285. # ) @¡¢Œ ”

286. Y @ 9

287. # )# 0:

288. # ) @¡¢Œ ”

289. Si f es continua en E, entonces ”D

290. E Š

291. # )# 01 ,6 – B£¤ ”F

292. E#U la formula de la Donde la integral doble se calcula en polares, es decir Si @¡¢ es r-simple, la forma iterada de la integral triple en coordenadas cilíndricas es Š

293. # )# 0 ‹ 1 ¥ 2 4 − x 2 2 7.d. Calcule (x x x y ∫ ∫ ∫ − 2 2 2 − − + 2 4 coordenadas cilíndricas • 9

294. k# t# 0:/ t H„# / k CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA ”D

295. ™#§ INTEGRALS – BY GERARDO emos kr‰ k‰ t‰ 0‰ y la suma k‰ t‰ 0‰ D en el plano xy está descrita es una función continua. Calcule la integral triple de ¦¡¢ puede

296. # ) 0 ”

297. # )

298. # ) 0 ”

299. # )

300. # )# 0 E#U U 0? @¡¢es una región plana r-simple o θ

301. k lmn t # k nuv t # 0 ”F

302. ™#§ MD

303. § MF

304. § k% ¨ 0%k x2 + y2 )dzdydx en H# k 0 H en f sobre θ-simple. Page 16 k%t

305. ‡…ED MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss ›EDYUD › ‡…ED Š

306. ) – € 1 k ™

307. ) 0%)% Š

308. ) € 7.e. Sea P un punto de coordenadas rectangulares (x, y, z) escriba sus coordenadas esféricas.

309. # )# 0 Ÿ

311. # )# 0 – 1 donde E es una región solida (un trozo esférico) determinado por • 9

312. ©# t# ª:w t o# © © Donde © / w S o H„ / ª Al dividir E en pequeñas cuñas esféricas una cuadricula esféricas tomando esferas planos t t* y los semi-conos ª ª La cuña esférica tendrá dimensiones un círculo con radio © y un ángulo ángulo t). De modo que el volumen de H nv ª« ©ªt 7.g. Obtenga la fórmula de la integral triple en coordenadas esféricas. De lo anterior nos queda que la suma que aproxima la integral será (©~ nuv ª« ‰ * CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO – 1 k%0%k%t t k_ ™

313. H S k%k H„ b I H k… S ) en coordenadas ©# ª ª ª ª ª H„ ¬*‰ mediante © © , los semi- ª‰ ©, ©ª (el arco de ª) y © nvª‰ t (el arco de un círculo con radio . ¬*‰ sera: 1

314. ©(©~ª+(©~ nuv ª« t+ 1 ©~ H nv ª« © lmn t~ # ©~ nv ª« nuv ty # ©~ lmn ª«+ ©~ Page 17 I ‚ kœc I`„ ‚ esféricas. © nv ª‰ y ªt

315. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss Al considerar el limite cuando la norma de la partición tiende a cero, se llega a la ecuación de la integral triple en coordenadas esféricas para una función definida en la región solida E. Š

316. # )# 0 – ªH ªI ¨ ©H ©I 1 ¥ 7.h. Calcule la ∫∫∫ ( + + ) B 2 3 2 2 2 x y z e dV {( , , )/ 1 B = x y x x2 + y 2 + z 2 ≤ • 9

318. H„ continua f

319. © nuv ª lmn t # © nv ªnuv t # © lmn ª € T 7.i. ¿En qué situaciones cambiaría a coordenadas cilíndricas o esféricas? € ª ©ªt t% ©®²¯ Es una herramienta para facilitar los cálculos de integrales, especialmente cuando los integración son curvas circulares o superficies esféricas. 7.j. Sea E un sólido en el espacio, del tipo 1, calcule su volumen. Exprese el volumen sólido tipo 2 o tipo 3 7.k. Calcule el volumen del tetraedro limitado por los planos CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRA INTEGRALS – BY GERARDO % ©H nv donde B es la esfera unitaria dada por 1} ) 0 ©

321. „±I V ®²¯c ƒ„ V

323. MMMMAAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss ³

324. # ):%/ I%# ¦ ³ 1´ Š1 ´ E° E° H) S ) beH µI S

325. S H H E° E° % f S eH µ _ V 7.l. Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen del sólido 2 2 z = x + y y debajo de la esfera ®¶®k ;O=O © lmn ª • 9

327. H S S H) E° )% S )E° e H ¸ S µI S H ¸ S µI S H ¸ H ¸ S µ H ¸ S I R S T I V H que está arriba del cono x2 + y 2 + z 2 = z © © lmn ª © lmn ª ›© nuv ª lmn t © nuv ª nuv t © nuv :/ t H„# / ª „°ƒ#/ © lmnª Page 19 µ ¸ fc % ª

328. MAMMMAAATTTThhhheeeemmmmaaaattttiiiiccccssss 1

329. ¬ Š1 – ¹º»¼ €°… € © nvª € ©%ª%t t €°… nvª ©_ V R ¹º»¼ T ª H„ V €°… nvª lmn_ ª %ª H„ V RS lmn… ª ƒ €°… T „ Cual es la interpretación geométrica de 4

330. # ) - si

331. # ) . /? Qué pasa si f toma valores positivos y negativos? Como determina el área superficial de una superficie f(x,y) Como determinaría el volumen del solido comprendido entre dos esferas de radio r y R respectivamente, donde se verifica que rR? Enuncie el teorema de Fubini para integrales triples, donde E es una región solida tipo 2 Que implica que una función sea integrable? Enuncie el teorema de Fubini e ilustre un ejemplo como se puede calcular el volumen de un solido por medio de integración triple Como se evalúan las integrales dobles? Como se determinan los limites de integración? En que casos es conveniente efectuar inversiones en el orden de integración? Como se define el dV en coordenadas esféricas y cilíndricas? Usar integrales dobles para calcular el área de un circulo de radio a Describa el sólido cuyo volumen E esta dado por la integral _ €°½ € ©¶®=ª %©ªt CHAPTER 7.5 MULTIPLE INTEGRALS – BY GERARDO Page 20

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