Integracion aproximada

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL GENERAL PACHECO

INTEGRACIÓN APROXIMADA
Ing. Jorge J. L. Ferrante

@

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
UNIDAD DOCENTE BÁSICA MATEMÁTICA
CÁTEDRA CÁLCULO NUMÉRICO

2007

2

ADVERTENCIA

Esta obra es propiedad de su autor, quien
perseguirá judicial y criminalmente a los que
se la reimpriman; pues cuando el autor se
ocupa incesantemente en proporcionar
aquellas obras que son más útiles para
promover la pública y particular prosperidad
es uno de los más enormes atentados el que los
especuladores con el sudor y el trabajo ageno le
usurpen su propiedad y le priven del fruto de
sus fatigas, desvelos y penalidades.(!)

(1) Tomado de un texto escrito de orden de SM el Rey para uso de los Caballeros Seminaristas del Seminario
de Nobles de Madrid y demás casas de educación del Reino. Principios del siglo XIX

3

PROEMIO

Las siguientes páginas contienen métodos numéricos
comunes para el cálculo aproximado de integrales
definidas.
Se ha tratado de aplicar en cada uno de ellos la
misma metodología para generalizar y unificar
conceptualmente el discurso. Para ello los desarrollos en
serie de Taylor han sido utilizados sistemáticamente.
El error en cada uno de ellos ha sido tomado como el
infinitésimo de menor orden del correspondiente
desarrollo en serie, en reemplazo a consideraciones de
tipo geométrico posibles.
Los cálculos si bien son conceptualmente sencillos,
son operativamente engorrosos. Una especial mención
cabe hacer a los alumnos de 2º 1ª Eléctrica de Cálculo
Numérico, año 2007, quienes junto al autor pudieron
corregir algo que, por supuesto sabido, no era tratado
con la profundidad necesaria.
El trabajo es meramente una introducción al tema
en una escuela de ingeniería, tratado con el rigor
estimado adecuado para un curso de insuficientes dos
horas semanales.
Su mayor originalidad puede llegar a ser su facilidad
de comprensión y asimilación. En ello se centró el
esfuerzo al escribirlo.
General Pacheco, 6 de Junio de 2007

Ing. Jorge J. L. Ferrante
Profesor Titular Ordinario
Cálculo Numérico

4
INTEGRACIÓN APROXIMADA

I INTRODUCCIÓN

1 Se presentan en este trabajo métodos comunes de integración
aproximada.

2 Para cada uno de ellos se efectúa el correspondiente estudio del
error en un paso y en el intervalo de integración.

3 El trabajo no pretende ser exhaustivo. Quedan para el lector el
estudio de otros métodos desarrollados para casos especiales, como por
ejemplo aquellos orientados a la integración de funciones fuertemente
oscilantes o a la estimación de integrales impropias.

4 Los métodos de integración aproximada son necesarios porque:

• No existe primitiva F(x) de la función f(x)

• Existe primitiva F(x) de f(x) pero su obtención es
extremadamente laboriosa o exige artificios demasiado
sofisticados.

• La primitiva F(x) de f(x) es de muy laboriosa evaluación.

• La función f(x) está dada por una tabla de valores.

• La función f(x) está dada por un gráfico en el cual se pueden
medir ordenadas.

• La función f(x) es un tren de señales detectadas
electrónicamente a espacios de tiempo constantes.

5 En general los métodos que se presentan a continuación se basan en
la aproximación de la función a integrar mediante funciones de
aproximación cuya integración sea posible fácilmente.

6 Naturalmente la aproximación trae aparejado un error cuya
estimación es indispensable.

5

7 Este error es específico para cada uno de los métodos que se
presentan. A los mismos deben sumarse los problemas que implica la
utilización de una aritmética de t dígitos al efectuar los cálculos.

8 Se debe ser muy prudente en este aspecto puesto que una
supuesta mejora en la aproximación de la integral buscada por
refinamiento del paso de cálculo, además de multiplicar por varios
ordenes de magnitud el trabajo, puede fracasar estrepitosamente por
problemas numéricos, como se verá más adelante.

9 A continuación se presentan métodos para evaluar en forma
aproximada
b
I = ∫ a
f ( x ) dx

II METODOS ELEMENTALES O(h)

10 Estos son, tal vez, los métodos más rudimentarios para estimar el
valor de I dado que la función a integrar se aproxima mediante una
función "escalera" inscripta o circunscripta.

y

8

6

4

2

0.5 1 1.5 2 2.5 3 x

11 En el gráfico anterior se presenta en línea llena la "escalera"
inscripta y en línea de trazos la circunscripta.

6
12 Se considera ahora la aproximación de la función dada mediante
una función escalera, de paso h constante, inscripta.

13 Aislando un elemento resultante de la división en escalones,
resulta:
B

f(x)

f(xi + h)
A
C
f(xi)

xi xi + h

14 Se aproxima la integral de la siguiente forma:
xi + h
∫ xi
f (ζ )d ζ ≈ f ( x i ) h

15 El error de la aproximación, supuesto función de la separación
entre ordenadas h y considerando a F(x) como la primitiva de f(x) será

xi + h
ei ( h ) = ∫
xi
f (ζ ) d ζ − f ( xi ) h = F ( x i + h ) − F ( xi ) − f ( xi ) h

16 Desarrollando en serie de Taylor el primer término del último
miembro queda

f ' ( xi ) 2 f ' ' ( xi ) 3
F ( xi + h) = F ( xi ) + f ( xi )h + h + h + ...
2 6

17 Reemplazando resulta

7

f ' (xi ) 2 f ' ' (xi ) 3 f ' ' ' (xi ) 4
ei (h) = F(xi +h) − F(xi ) − f (xi )h = h + h+ h +...
2 6 24

18 Considerando solamente el primer término del último miembro por
ser el infinitésimo de menor orden de todos los que figuran en la
expresión resultante, se observa que el mismo corresponde al área del
triángulo ABC de la figura de análisis puesto que la derivada evaluada en
el punto xi por el incremento de la variable independiente h da la medida
del cateto BC o altura del triángulo, AC es la base h del mismo y, en
consecuencia el término puede leerse como base por altura sobre dos,
área del triángulo.

19 El signo es positivo, lo que indica que el cálculo, en el caso
analizado, es por defecto.

20 Para estimar el error e en el intervalo [a,b] se hace

h2 h3 h4
e = ∑ ei (h ) = ∑ f ' ( xi ) + 6 ∑ f ' ' ( xi ) + 24 ∑ f ' ' ' ( xi ) + ...
i 2 i i

21 Tomando en cuenta solamente el término en h2 y siendo

b − a
h =
n

con n número de divisiones del intervalo [a,b] queda
(b − a )2 (b − a )
e =
2n2
∑ i
f '( xi ) =
2
f ' (θ ) h

donde f'(θ) es un valor promedio de la derivada primera en el intervalo
[a,b].
Si | f'(x)| < M en el intervalo, una cota del error será

1 1
e ≤ Mh 2 n = M ( b − a ) h
2 2

8

22 En conclusión este método tiene una cota de error total del mismo
orden que h dado que puede ponerse e = k h.

23 Algo similar ocurre aproximando la función a integrar por la
"escalera" externa

y f(x)

f(xi+h)

f(xi)

x
xi xi+h

24 En este caso la aproximación está dada por

xi + h
∫ xi
f (ζ ) d ζ ≈ f ( x i + h ) h

y el error en el paso es

xi + h
ei ( h ) = ∫ xi
f (ζ ) d ζ − f ( x i + h ) h

de donde, suponiendo a F(x) primitiva de f(x) resulta.

ei ( h ) = F ( x i + h ) − F ( x i ) − f ( x i + h ) h

25 Efectuando desarrollos en serie de Taylor
f ' ( xi ) 2 f ' ' ( xi ) 3
F ( xi + h ) = F ( xi ) + f ( xi ) h + h + h + ...
2 6

9

f ' ' ( xi ) 2 f ' ' ' ( xi ) 3
f ( xi + h ) = f ( xi ) + f ' ( xi ) h + h + h + ...
2 6

de donde

f ' ( xi ) 2  f ' ' ( xi ) 2 
ei (h) = F( xi ) + f ( xi )h + h + ... − F( xi ) −  f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + ...h
2  2 
1
ei ( h ) ≈ − f ' ( xi )h 2
2

y, extendiendo este error a todo el intervalo [a,b] resulta

1 2 (b − a )
e=− h ∑ f ' ( xi ) = − f ' (θ )h
2 2

como estimación del error, donde, como en el caso anterior, f'(θ) es un
valor promedio de la derivada primera. Una cota del error también es

1
e ≤ M (b − a )h
2

26 Se debe observar el signo de esta última expresión. Ello es debido
a que para el análisis se ha tomado una función creciente, con derivada
primera positiva. El cálculo aproximado de la integral definida resulta en
este caso un valor por exceso. Obsérvese también que, en el caso de
haberse tomado como función de análisis una función decreciente, con
derivada primera de signo negativo, el error resultante tendría signo
positivo y la integral se aproximaría por defecto.

27 Lo mismo ocurre para el caso considerado en los párrafos 13 y
siguientes, pero con aproximaciones por defecto y exceso
respectivamente.

10
III METODO DEL PUNTO MEDIO O(h2)

28 Se analiza a continuación la aproximación resultante al considerar
como puntos de evaluación de la función f(x), los puntos medios de cada
uno de los subintervalos en que queda dividido el intervalo [a,b] para la
aplicación del procedimiento de cálculo.

f(x)

f(xi+h)
f(xi+h/2)
f(xi)

xi xi +h/2 xi + h

29 En este caso, la aproximación es la siguiente:

xi + h h
∫ xi
f (ζ ) d ζ ≈ f ( x i +
2
)h

y el error en un paso
xi + h h
ei (h ) = ∫ xi
f (ζ ) d ζ − f ( x i +
2
)h

Mediante los desarrollos de Taylor correspondientes se llega a

1 3 1 4 1 5 iv
ei ( h ) = h f ′′( x i ) + h f ′′′( x i ) − h f ( x i ) + ...
24 48 384

y, tomando solamente el primer término se obtiene para todo el intervalo:

1 1
e = ∑
i
ei (h ) =
24
h 3
∑
i
f ''( xi ) =
24
( b − a ) f ' ' (θ ) h 2

11
30 En los casos vistos en el punto II la cota del error puede
expresarse en términos de h, amplitud de cada uno de los subintervalos
en que se divide el intervalo de integración [a,b] . Por ese motivo se los
denomina "Métodos de Primer Orden" por ser infinitésimo de primer
orden el término error más significativo en cada uno de ellos.

31 El método del punto medio es de segundo orden por serlo el
infinitésimo utilizado como estimación del error. Además este método si
bien es más preciso que los anteriores, exige la evaluación de la función
en los puntos intermedios de cada subintervalo, cosa no siempre posible.
Este es el caso si se dispone de una tabla de valores con paso h, a menos
que se tome 2h como paso y f(x+h) como punto intermedio, perdiendo
precisión.

IV METODO DE LOS TRAPECIOS O(h2)

32 En este método la función a integrar se aproxima mediante una
poligonal inscripta de n lados. Naturalmente a mayor número de lados,
mejor será la aproximación entre la función dada y la poligonal inscripta.
El paso constante h en que se divide el intervalo [a,b] depende de n dado
que, como hasta ahora
( b − a )
h =
n

33 El siguiente gráfico ilustra lo dicho

1.75

1.5
1.25
1
0.75

0.5
0.25

0.5 1 1.5 2 2.5 3

En el mismo se observa con claridad que en el subintervalo [0,1] la
aproximación es grosera, mientras que en los restantes la misma aparenta
ser buena o aún muy buena. Definitivamente la curvatura de la función
tiene mucho que ver con el grado de aproximación logrado para un dado n.

12
34 Se debe ser extremadamente cuidadoso al efectuar la
aproximación mediante poligonales puesto que, una mala elección del paso
h (o de n) puede dar lugar a "aproximaciones" como la siguiente:

1

0.5

1 2 3 4 5 6

-0.5

-1

Una mejor elección de h permite la siguiente aproximación

1

0.5

1 2 3 4 5 6

-0.5

-1

que se presenta como una verdadera aproximación, aunque pueden
apreciarse errores importantes.

35 Aislando una banda de ancho h puede efectuarse la siguiente
aproximación,
y f(x)

ei(h) C
B
f(xi+h)
f(xi)

A D
x

13

h
[ f ( xi ) + f ( xi + h )]
xi + h
∫xi
f (ζ ) d ζ ≈
2

por ser el segundo término el área del trapecio ABCD, área que según la
interpretación geométrica de la integral definida, aproxima a la integral
que figura en el primer miembro de la expresión anterior.

36 El error en el paso es

h
[ f ( xi ) + f ( xi + h )]
xi + h
e i (h ) = ∫ xi
f (ζ ) d ζ −
2

Procediendo como en los casos anteriores mediante desarrollos en serie
de Taylor resulta

f ' ( xi ) 2 f ' ' ( xi ) 3
ei ( h ) = F ( x i ) + f ( x i ) h + h + h + ...
2 6
h h  f ' ' ( xi ) 2 
− F ( xi ) − f ( xi ) −  f ( xi ) + f ' ( xi )h + h + ... 
2 2  2 

Luego de simplificar queda finalmente, despreciando infinitésimos de
orden superior en h

f ''( xi ) 3
ei (h ) = − h
12

37 El error en el intervalo [a,b] es, aproximadamente

1 (b − a ) 3 1
e= ∑ ei ( h ) = −
i 12 n3
∑ f ( x ) = − 12 ( b − a ) f ' ' (θ ) h
i
i
2
= Kh 2

donde el signo se correlaciona con la concavidad de la curva considerada y
f''(θ) es un valor promedio de las derivadas segundas en el intervalo [a,b]

14
38 Se observa que el método de los trapecios es un método de
segundo orden por serlo el infinitésimo de menor orden tomado como
error del método.

39 Debe observarse también que, salvo las ordenadas inicial y final,
f(x0) y f(xn) todas las demás ordenadas se consideran dos veces en el
cálculo. Ello es así porque la ordenada derecha de cualquier subintervalo
(salvo el último) se toma después como ordenada izquierda del
subintervalo siguiente. La ordenada f(x0) se toma como ordenada
izquierda una sola vez, la primera.

40 Por ese motivo es usual escribir, como fórmula de cálculo cuando se
utiliza el método de los trapecios, la siguiente expresión.

h
(E )
b
I = ∫ a
f (ζ ) d ζ ≈
2
+ 2 P + 2 I

donde E representa la sumatoria de las ordenadas extremas, P la
sumatoria de las ordenadas de índice par e I la sumatoria de las
ordenadas de índice impar.

41 A continuación se desarrolla un ejemplo, integrando numéricamente
una función cuya primitiva es conocida a efectos de evaluar la
aproximación alcanzada con los métodos hasta ahora expuestos. La
función es y = f(x) = x2 en el [0,1]

i xi yi = f(xi)
0 0.00 0.0000
1 0.05 0.0025
2 0.10 0.0100
3 0.15 0.0225
4 0.20 0.0400
5 0.25 0.0625
6 0.30 0.0900
7 0.35 0.1225
8 0.40 0.1600
9 0.45 0.2025
10 0.50 0.2500
11 0.55 0.3025
12 0.60 0.3600
13 0.65 0.4225

15
14 0.70 0.4900
15 0.75 0.5625
16 0.80 0.6400
17 0.85 0.7225
18 0.90 0.8100
19 0.95 0.9025
20 1.00 1.0000

b− a 1 . 00 − 0 . 00
h = = = 0 . 05
n 20

Método de los rectángulos, primer caso
i = 19
I ≈ h ∑ f ( x i ) = 0 . 05 * 6 . 175 = 0 . 30875
i=0

Método de los rectángulos, segundo caso

i = 20
I ≈ h ∑i=1
f ( x i + h ) = 0 . 05 * 7 . 175 = 0 . 35175

Método de los rectángulos, tercer caso (punto medio)

i=9
h
I ≈ h ∑ f ( xi + ) = 0 . 1 * 3 . 3250 = 0 . 3325
i=0 2

Método de los trapecios.

E = y0 + y20 = 0.0000 + 1.0000 = 1.0000

P = y2 + y4 + ... + y18 = 2.8500

I = y1 + y3 + ... + y19 = 3.3250

I = 0.05/2 ( 1.0000 + 2*2.8500 * 2*3.3250) = 0.025*13.3500= 0.33375

42 Para una mejor apreciación de la aproximación alcanzada con cada
uno de los métodos hasta ahora expuestos se presenta la siguiente tabla
resumen

16

VALOR ORDEN
METODO OBTENIDO ERROR ERROR

RECTÁNGULOS f(xi) 0.30875 O(h) 0.02458

RECTÁNGULOS f(xi+h) 0.35175 O(h) -0.01842

RECTÁNGULOS f(xi+h/2) 0.33250 O(h2) 0.OOO83

TRAPECIOS 0.33375 O(h2) -0.00042

V MEJORA DE LA APROXIMACIÓN

43 Una mejora en el valor aproximado de la integral puede lograrse a
costa de un nuevo cálculo de la aproximación.

44 Para ello, teniendo en cuenta que en los métodos del punto medio y
de los trapecios el error es de la forma e = K h2 se calcula una primera
aproximación de la integral con un paso h1 o, lo que es lo mismo con un
número de divisiones n1 y luego se vuelve a calcular una segunda
aproximación con paso h2 o número de divisiones n2

45 Resulta así

(b − a )2
I = I n1 + K 2
n1
(b − a )2
I = I n2 + K 2
n2

donde I es el valor exacto de la integral, In1 e In2 son los valores
aproximados de la misma calculados con pasos h1 y h2 respectivamente y
la derivada segunda involucrada se supone suficientemente constante en
el intervalo considerado y despreciables los términos de la serie de
Taylor que permiten aproximar el error por Kh2.

17
46 En esas condiciones puede despejarse la constante K(b-a)2

1 1  2  n2 − n1 
2 2
In2 − In1 = K(b − a)  2 − 2  = K(b − a)  2 2 
n n 
2
 n n2 
 1 2   1 

de donde
I n 2 − I n1 2 2
K (b − a ) 2 = 2 2
n1 n 2
n 2 − n1

reemplazando queda

I n 2 − I n1 2
I = I n1 + 2 2
n2
n2 − n1

y finalmente

2 2
n n
I = 2
2
2
I n − 2
1
2
I n
n 2 − n 1
2
n 2 − n 1
1

= a 1 I n 1
+ a 2 I n 2

47 Los valores a1 y a2 se encuentran tabulados en función de la
relación n2/n1. La siguiente tabla consigna alguno de ellos

n2 / n1 a1 a2

2/1 -0.333333 1.333333
3/2 -0.800000 1.800000
4/3 -1.285714 2.285714
5/4 -1.777777 2.777777
6/5 -2.272727 3.272727
3/1 -0.125000 1.125000
5/3 -0.562500 1.562500

18
VI PROBLEMAS NUMERICOS

48 Se considera a continuación la relación existente entre el error del
método (de los trapecios) y la aritmética de t dígitos utilizada. Para ello
se construye como base de análisis el gráfico de proceso
correspondiente.

y0

yn +

y1 + + + * + *

y2 y3 yn-1 2
h/2

49 El error relativo resultante será la suma de los errores relativos
de los términos involucrados multiplicados por sus respectivos pesos, los
que han sido tratados en la publicación "Aritmética de t dígitos".
Despreciando la contribución al error de todos los factores que se
encuentran fuera del rectángulo es decir, considerando solamente la
contribución al error de la sumatoria de las ordenadas y, más aun,

h
e ≤ [(n − 2) y1 + (n − 2) y2 + (n − 3) y3 + (n − 4) y4 + ... + yn−1 ] ε +
2
considerando nulos los errores relativos de estas últimas, queda

donde ξ+ es el error relativo introducido por la "máquina de sumar"

50 Dando un paso más en la simplificación, se supone que
yk = y + δ k

19

 1 (b − a )2 (b − a )  h
e < y  n ( n − 1 )  ξ + = y  (n 2 − n ) ξ + = y  (
 1  h  1  h
 2 2
− ) ξ+
 2
 2  2  2  2  h h 

donde y raya es un valor promedio en el intervalo considerado y δk es un
valor pequeño en términos relativos. Por ese motivo los productos δkξ+
también se desprecian, con lo que resulta una expresión donde el término
dominante es de la forma

k = n −1
1 
y ∑k
k =1
= y  n ( n − 1) 
2 

y en esta última el término perjudicial es

1 (b − a )2
y ξ +
4 h

que tiende a infinito cuando h tiende a cero. Es decir que el error en el
computo del valor aproximado de la integral definida crece más allá de
todo límite con tal de tomar h suficientemente pequeño.

51 Esto explica el hecho aparentemente desconcertante que al
disminuir h (o incrementar n) el valor aproximado de la integral mejora
hasta que llegado un determinado momento comienza a empeorar. Una vez
presente el fenómeno, el agravamiento es progresivo.

e

n

20
VII METODOS BASADOS EN PARÁBOLAS DE APROXIMACIÓN
O METODOS DE NEWTON - COTES

52 El método de los trapecios al aproximar la función a integrar
mediante una poligonal cuyos lados están determinados por dos puntos
consecutivos tomados sobre la curva representativa de la función dada,
es un método en el que se reemplaza un arco de curva en el intervalo
[xi,xi+1] por un segmento de recta entre los puntos (xi, yi) y (xi+1,yi+1).

53 Si en lugar de aproximar la función dada por una poligonal se la
aproxima mediante arcos de parábola es de esperar que la aproximación
mejore y que, en consecuencia, la aproximación a la integral definida de la
función dada sea más precisa.

54 Naturalmente, si la aproximación debe hacerse con una parábola de
segundo grado serán necesarios tres puntos consecutivos de la función
para determinar los parámetros correspondientes; si se lo hace con una
parábola de tercer grado serán necesarios cuatro puntos y así
sucesivamente.

55 Para evitar resolver en cada uno de los casos el correspondiente
sistema de ecuaciones lineales que permite hallar los mencionados
parametros, y luego efectuar la integración aproximada, se utilizará la
formula de interpolación ascendente de Gregory - Newton analizada en el
capítulo sobre diferencias finitas e interpolación.

56 Esta es, simbolicamente

 t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 4 
f ( x0 + th) = ϕ (t ) = 1 + t∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ... y0
 2 6 24 

entonces la aproximación es
xi + k k k t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 t (t − 1)(t − 2)(t − 3) 4
∫
xi
f ( x )dx ≈ ∫ ϕ (t )dt = h ∫ (1 + t∆ +
0 0 2
∆ +
6
∆ +
24
∆ + ...)dt

por ser x = x0 + th

57 Según la cantidad de términos que se consideren en el polinomio de
aproximación resultarán distintos procedimientos de aproximación de la
integral. Especial atención se debe prestar al hecho que el número de
franjas consecutivas a tomar en cuenta en cada caso dependen del grado
del polinomio o parábola de aproximación que se utilice.

21

58 Un polinomio o parábola de segundo grado requiere dos franjas
consecutivas para disponer de los tres puntos necesarios para el cálculo
de las diferencias directas necesarias; una parabola de tercer grado
requiere tres franjas consecutivas para dicho cálculo; etc., etc.

VIII PARABOLA DE SEGUNDO GRADO.
METODO DE SIMPSON O(h4)

59 Tomando una aproximación de segundo grado será

x2 2 t ( t − 1) 2
∫ x0
f ( x ) dx ≈ h ∫ (1 + t∆ +
0 2
∆ ) dt

desarrollando queda
x2 2  1 
∫ x0
f ( x ) dx ≈ h ∫  y 0 + t ( y 1 − y 0 ) +
0
 2
t ( t − 1 )( y 2 − 2 y 1 + y 0 )  dt =

 t2
2
1  t3 t2
2

h 2 y 0 + ( y1 − y 0 ) + ( y 2 − 2 y1 + y 0 ) −  =
 2 2  3 2 
 0  0 
 1 2 1  h
h  2 y 0 + 2 y1 − 2 y 0 + y2 − y1 + y0  = (y 0 + 4 y1 + y 2 )
 3 3 3  3

0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
y0
0.04 y1
y2
0.02
h
2 4 6 8
x0 x1 x2

En el gráfico anterior se pueden apreciar la función cuya integral
aproximada se calcula, la parábola de segundo grado que la aproxima en el
intervalo [x0 ,x2] y las ordenadas que aparecen en la fórmula de cálculo. El
error que se comete en el paso es proporcional al area entre ambas
curvas.

22

60 Ese error, desde el punto de vista analítico es

h
[ f ( x1 + 2h ) + 4 f ( xi + h ) + f ( xi )] =
xi + 2
ei ( h ) =
xi∫ f (ζ ) dζ −
3
h
F ( x i + 2 h ) − F ( xi ) − [ f ( x1 + 2 h ) + 4 f ( xi + h ) + f ( xi )]
3

efectuando los desarrollos en serie de Taylor resulta:

4h 2 8h 3 16 h 4 32 h 5 iv
F ( x i + 2 h ) = F ( x i ) + 2 hf ( x i ) + f ′( x i ) + f ′′( x i ) + f ′′′( x i ) + f ( x i ) + ...
2! 3! 4! 5!
4h 2 8h 3 16 h 4 iv
f ( x i + 2 h ) = f ( x i ) + 2 h f ′( x i ) + f ′′( x i ) + f ′′′( x i ) + f ( x i ) + ...
2! 3! 4!
h2 h3 h 4 iv
f ( x i + h ) = f ( x i ) + h f ′( x i ) + f ′′( x i ) + f ′′′( x i ) + f ( x i ) + ...
2! 3! 4!

agrupando queda

 32 h 5 h  16 h 4 4 h 4   iv
ei ( h ) =  −  4! + 4!   f ( x i ) + [... ] f ( x i ) + ...
v

 5! 3 

Tomando en cuenta solamente el primer término de la expresión anterior
queda

1 5 iv
ei (h ) = − h f ( xi )
90

61 Si es necesario calcular una integral en un intervalo [a,b] se debe
adoptar un n par a fin que cada dos franjas consecutivas pueda aplicarse
la metodologia expuesta

23
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02

2 4 6 8

62 En el ejemplo gráfico anterior deberá ser

h
( y0 + 4y1 + y2 ) + h ( y2 + 4y3 + y4 ) + h ( y4 + 4y5 + y6 ) + h ( y6 + 4y7 + y8 ) =
8
∫
0
f (x)dx ≈
3 3 3 3
h
[( y0 + y8 ) + 4( y1 + y3 +5 +y7 ) + 2( y2 + y4 + y6 )] = h (E + 4I + 2P)
3 3

donde E, P e I tienen el significado anterior.

63 El error será, aproximadamente
1 1
e( h ) = ∑ e ( h ) = − 90 h ∑ f
i
5 iv
( xi ) = − (b − a ) f iv (θ ) h 4 ≈ Kh 4
i i 90

donde yiv(θ) es un valor promedio de la derivada cuarta de la función en el
intervalo considerado, supuesta yiv suficientemente suave en [a,b]

Si se considera que | yiv(x) | < M en [a,b] y que el error calculado se
acumula en n/2 casos, resulta como cota del error en el método de
Simpson:

1 5 n 1 5 (b − a) 1
e≤ hM = hM = M (b − a)h 4 = kh4
90 2 180 h 180

64 Se debe prestar especial atención a dos cuestiones importantes
que hacen muy utilizado a este método.

24

• La derivada que figura en la expresión del error es una derivada
de cuarto orden, lo que significa que el método es exacto para
funciones de tercer grado o inferior.

• Es un método de cuarto orden lo que significa una muy buena
aproximación para un h suficientemente pequeño.

65 Tomando los valores ya calculados en el ejemplo anterior se tiene:

E = 1.00000 P = 2.85000 I = 3.32500

I = 0.05/3 ( 1.00000 + 4 3.32500 + 2 2.85000 ) = 0.333333333...

Este valor es el que corresponda al verdadero valor de la integral
(1/3) como debe ser ya que se trata de una función de segundo grado con
integral exacta mediante el método de Simpson.

IX REGLA DE LOS 3/8 O(h4)

66 Si la aproximación a la función f(x) se hace mediante una parábola
de tercer grado se obtiene la denominada "Regla de los 3/8". En este
caso, como ha sido dicho, son necesarios cuatro puntos consecutivos de la
curva para encontrar el polinomio aproximante de tercer grado. Estos
puntos son (xi, f(xi)); (xi+h,f(xi+h)); (xi+2h,f(xi+2h)) y (xi+3h,f(xi+3h))

0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02

2 4 6 8

67 La aproximación a la integral será

25

xi + 3h 3 3 t (t − 1) 2 t (t − 1)( t − 2) 3
∫
xi
f (ζ )dζ = ∫ ϕ (t )dt = h ∫ (1 + t∆ +
0 0 2
∆ +
6
∆ )dt

Calculando cada una de las integrales y agrupando resulta:

3
f (ζ )dζ ≈ h[ f ( xi ) + 3 f ( xi +1 ) + 3 f ( xi +2 ) + f ( xi +3 )]
xi +3h
∫ xi 8

de donde se toma el factor 3/8 para identificar al método.

68 El error en este caso es

3
h [ f ( x i ) + 3 f ( x i + h ) + 3 f ( x i + 2 h ) + f ( x i + 3h ) ]
xi + 3 h
ei ( h ) = ∫
xi
f (ζ ) d ζ −
8

Efectuando con el soporte lógico MATHEMATICA los desarrollos de
Taylor correspondientes, agrupando y cancelando resulta:

3 iv 9 53
ei ( h ) = − f ( xi )h 5 − f v ( xi )h 6 − f vi ( x i ) h 7 + ...
80 160 1120

Tomando como en todos los casos anteriores el primer término del
desarrollo del error, aproximadamente puede ponerse

3
ei ( h ) ≈ − f iv
( xi )h 5
80

con lo cual

3 5 3
e ≈ ∑ei (h) = − h ∑ f iv ( xi ) = − (b − a) f iv (θ )h4
i 80 i 80

o, si se considera una cota M de la derivada cuarta

1
e < M (b − a )h 4
80

dado que al error en un paso hay que multiplicarlo por los n/3 pasos del
método. El número de pasos debe ser múltiplo de tres.

26

X OTROS METODOS

69 Considerando polinomios de aproximación de mayor grado se
obtienen expresiones similares a las encontradas para las aproximaciones
mediante parábolas de segundo y tercer grado. En cada caso el trabajo
material de obtención de los coeficientes de las ordenadas intervinientes
y de la serie error es cada vez mayor. Por ello simplemente se presenta a
continuación una tabla donde figuran dichos coeficientes y el primer
término de las series error

[X0,XK] H f(x0) f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(x6) ERROR
(en un paso)

h/2 -h3/12 f''
[X0,X1] 1 1

h/3 -h5/90 f(4)
[X0,X2] 1 4 1

[X0,X3] 3h/8 1 3 3 1 -3h5/80 f(4)

[X0,X 4] 2h/45 7 32 12 32 7 -9h9/1400 f(8)

-2368h11/467775
[X0,X6] h/140 41 216 27 272 27 216 41 f(10)

70 No es conveniente aproximar por polinomios de mayor grado por la
alta oscilación que pueden llegar a presentar, lo que definitivamente los
transforma en una mala aproximación a la función o a los datos a integrar.

XI MEJORA DE LA APROXIMACIÓN. O(hn+2)

71 En todos los métodos vistos hasta ahora, el término de error
indicado como O(hn) puede ser expresado como Khn suponiendo
constantes los factores que intervienen en el cálculo de K en el intervalo
[a,b]. Una mejora en la estimación de la integral puede lograrse

27
calculando una nueva aproximación con un paso de integración doble y
calculando luego

I = I h + Kh n
I = I 2h + K (2h ) n

despejando Khn, reemplazando en la primera y operando se obtiene

2n I h − I 2h
I≈
2n − 1

como mejor aproximación al verdadero valor de la integral, con una
demostrable aproximación de orden hn+2

XII EJEMPLO

72 Dada la siguiente tabla de valores correspondientes a la función
f(x) = 1/x, calcular ln 2

i xi yi = 1/xi

0 1.00000 1.000000
1 1.05000 0.952380
2 1.10000 0.909090
3 1.15000 0.869565
4 1.20000 0.833333
5 1.25000 0.800000
6 1.30000 0.769230
7 1.35000 0.740740
8 1.40000 0.714285
9 1.45000 0.689655
10 1.50000 0.666666
11 1.55000 0.645161
12 1.60000 0.625000
13 1.65000 0.606060
14 1.70000 0.588235
15 1.75000 0.571428
16 1.80000 0.555555

28
17 1.85000 0.540540
18 1.90000 0.526315
19 1.95000 0.512820
20 2.00000 0.500000

Se toma en primer lugar h= 0.1 y se calcula
1 h
(E + 2 P + 2 I ) = 0.1 (1.500000 + 2 * 6.187714 ) = 0.6937714
2
∫ 1 ζ
dζ ≈
2 2

luego se toma h=0.05 y se calcula nuevamente

1 h
(E + 2 P + 2 I ) = 0.05 (1.50000 + 2 * 13.116067) = 0.6933033
2
∫1 ζ
dζ ≈
2 2

Comparando ambos resultados con ln2 = 0.69314718 se observa una buena
aproximación que a continuación será mejorada mediante la expresión
obrante en párrafo 70

2 n I h − I 2h
I ≈
2n − 1

Como se ha utilizado el método de los trapecios es n=2 y resulta así

22 * 0.693303 − 0.693771 2.079441
I= = = 0.693147
22 − 1 3

con todas sus cifras coincidentes con las de ln 2.

XIII METODO DE ROMBERG

72 En base a la mejora de la aproximación del valor de la integral
efectuada en el párrafo 70, Romberg ha demostrado la convergencia al
verdadero valor de la misma del siguiente esquema de cálculo.
Para ello se requiere calcular la aproximación mediante, por
ejemplo, el método de los trapecios para valores de h; h/2; h/4; ... y
confeccionar la siguiente tabla.

29

PUNTOS h=(b-a)/4 h=(b-a)/8 h=(b-a/)16 h=(b-a)/32 h=(b-a)/64

CÁLCULO
DIRECTO I0,4 I0,8 I0,16 I0,32 I0,64

n=2 I1,8 I1,16 I1,32 I1,64

n=4 I2,16 I2,32 I2,64

n=6
I3,32 I3,64

n=8
I4,64

donde de la segunda fila en adelante el cálculo se efectúa mediante la
fórmula mencionada, tomando como datos los dos valores aproximados de
la fila anterior.
El valor que se obtiene en el ángulo inferior derecho corresponde al
valor de la integral buscada.

73 Se calcula ahora nuevamente ln2 mediante integración aplicando el
método de los trapecios y luego el esquema de Romberg. Los cáculos se
encuentran resumidos en la siguiente tabla.

PUNTOS h= 0.5 h= 0.25 h= 0.125

Trapecios 0.708333 0.697023 0.694121
n=2 0.693253 0.693153
n=4 0.693146

74 El lector interesado en este tipo de mejoras en la aproximación de
las integrales puede consultar en la bibliografía de la materia los temas
"Extrapolación al límite de Richardson" y "Metodo de Romberg". También
puede consultar sobre los métodos desarrollados para evitar el pesado
recálculo de funciones en puntos intermedios y nuevas sumatorias. Todos
estos métodos exceden los límites del presente.

30
XIV FORMULA DE EULER MAC LAURIN

75 Suponiendo como hasta ahora que F(x) es una primitiva de f(x)
deberá ser

xn
∫x0
f (ζ )dζ = F ( xn ) − F ( x0 )

76 Para calcular esa diferencia puede procederse de la siguiente
forma:

x1 1 2 1
∫x0
f (ζ )dζ = F ( x1 ) − F ( x0 ) = F ( x0 + h) − F ( x0 ) = hf ( x0 ) +
2!
h f ' ( x0 ) + h 3 f ' ' ( x0 ) + ...
3!
x2 1 2 1 3
∫x1 f (ζ )dζ = F ( x2 ) − F ( x1 ) = F ( x1 + h) − F ( x1 ) = hf ( x1 ) + 2! h f ' ( x1 ) + 3! h f ' ' ( x1 ) + ...
x3 1 2 1 3
∫x2 f (ζ )dζ = F ( x3 ) − F ( x2 ) = F ( x2 + h) − F ( x2 ) = hf ( x2 ) + 2! h f ' ( x2 ) + 3! h f ' ' ( x2 ) + ...
x4 1 2 1 3
∫x31 f (ζ )dζ = F ( x4 ) − F ( x3 ) = F ( x3 + h) − F ( x3 ) = hf ( x3 ) + 2! h f ' ( x3 ) + 3! h f ' ' ( x3 )
..........................................................................................................................................
xn 1 2 1
∫xn −1
f (ζ )dζ = F ( x n ) − F ( x n −1 ) = F ( x n −1 + h) − F ( x n −1 ) = hf ( x n −1 ) +
2!
h f ' ( x n −1 ) + h 3 f ' ' ( x n −1
3!

77 Sumando miembro a miembro esas igualdades se obtiene

i = n −1
xn 1 2 i = n −1 1 i = n −1
∫ f (ζ )dζ = F ( x n ) − F ( x0 ) = h ∑ f ( xi ) + h ∑ f ' ( xi ) + h 3 ∑ f ' ' ( xi ) + ...
x0
i =0 2! i =0 3! i =0

78 Procediendo de la misma forma se obtienen para las integrales de
las derivadas sucesivas de f(x) las siguientes expresiones:

i = n −1
1 2 i = n −1 1 i = n −1
f ' (ζ )dζ = f ( x n ) − f ( x0 ) = h ∑ f ' ( xi ) + h ∑ f ' ' ( xi ) + h 3 ∑ f ' ' ' ( xi ) + ...
xn
∫x0
i =0 2! i =0 3! i =0
i = n −1
1 2 i = n −1 1 i = n −1
f ' ' (ζ )dζ = f ' ( x n ) − f ' ( x0 ) = h ∑ f ' ' ( xi ) + h ∑ f ' ' ' ( xi ) + h 3 ∑ f iv ( xi ) + ...
xn
∫x0
i =0 2! i =0 3! i =0
i = n −1
xn 1 2 i = n −1 iv 1 i = n −1
∫ f ' ' ' (ζ )dζ = f ' ' ( x n ) − f ' ' ( x0 ) = h ∑ f ' ' ' ( xi ) + h ∑ f ( xi ) + h 3 ∑ f v ( xi ) + ...
x0
i =0 2! i =0 3! i =0
i = n −1
xn 1 2 i = n −1 v 1 i = n −1
∫x0 f iv (ζ )dζ = f ' ' ' ( x n ) − f ' ' ' ( x0 ) = h ∑ f iv ( xi ) + h ∑ f ( xi ) + h 3 ∑ f vi ( xi ) + ...
i =0 2! i =0 3! i =0
...........................................................................................................................................

79 Se construye a continuación la siguiente expresión

31
f (ζ )dζ + C1 h[ f ( x n ) − f ( x0 )] + C 2 h 2 [ f ' ( x n ) − f ' ( x0 )] + C 3 h 3 [ f ' ' ( x n ) − f ' ' ( x0 )] + ...
xn
∫x0

80 Reemplazando cada uno de los términos por sus iguales y agrupando
queda igual a

i = n −1
1 i = n −1 1 C i = n −1
h ∑ f ( xi ) + h 2  + C1  ∑ f ' ( xi ) + h 3  + 1 + C 2  ∑ f ' ' ( xi ) +
i =0  2!  i =0  3! 2!  i =0
i = n −1
1 C C  1 C C C i = n −1
h 4  + 1 + 2 + C 3  ∑ f ' ' ' ( xi ) + h 5  + 1 + 2 + 3 + C 4  ∑ f iv ( xi ) + ...
 4! 3! 2!  i =0  5! 4! 3! 2!  i =0

81 Calculando los Ci de forma tal que se anulen los paréntesis se
obtiene

1
C1 = −
2
1
C2 =
12
C3 = 0
1
C4 = −
720
1
C5 =
30240

82 Con lo cual la expresión del párrafo 79, pasando términos resulta
ser

i = n −1
1 h2
h[ f ( x n ) − f ( x0 )] − [ f ' ( x n ) − f ' ( x0 )] +
xn
∫ f (ζ )dζ = h ∑ f ( xi ) +
x0
i =0 2 12

[ ]
3 5
h
+ [ f ' ' ' ( xn ) − f ' ' ' ( x0 )] − h f v ( xn ) − f v ( x0 ) + ...
720 30240

donde los dos primeros términos son claramente la aproximación de la
integral definida por el método de los trapecios y los restantes términos
pueden ser tomados como sucesivos términos de corrección.

83 Naturalmente la aplicación de esta fòrmula correctiva requiere el
cálculo de derivadas sucesivas de la función a integrar, lo que puede ser
un trabajo analítico laborioso u obligar a utilizar aproximaciones por
diferencias finitas en avance o en retroceso según se estén evaluando en

32
el punto inicial o en el punto final de una función definida por tabla de
valores.

84 Como ejemplo se toma el valor

2 dζ
∫
1 ζ
= 0.6937714

calculado en párrafo 72, página 27. En este caso es

1
f ( x) =
x
1
f ' ( x) = −
x2
2
f ' ' ( x) = 3
x
6
f ' ' ' ( x) = − 4
x

con lo cual

2 dζ  1  1  (0.1) 3
(0.1) 2  6  1 
∫1 ζ = 0.6937714 −  − 2 2 −  − 12  + 720
 12  
 − 2 4 −  − 14  =
  
0.6937714 − 0.000625 + 0.000007 = 0.693154

que aproxima mejor que el valor original (0.6937714) al valor de
ln2=0.69314718.

XV METODOS GAUSSIANOS

85 Todos los métodos vistos hasta ahora se basan en una división
uniforme del intervalo [a,b] con un paso o incremento constante h.
Los métodos gassianos, en cambio son de la forma

b
∫ f (ζ )dζ = ∑ Ai f ( xi )
a
i

donde se buscan los puntos xi que minimicen el error. Los factores Ai son
constantes.

33
86 Como resulta imposible sistematizar una fórmula del tipo enunciado
para cualesquier intervalo, estos se normalizan al intervalo [-1,1]
mediante el cambio de variable

( b − a )t + ( a + b)
x=
2

con lo cual

b (b − a ) 1  ( b − a )t + ( a + b )  (b − a ) 1
∫ a
f ( x )dx =
2 ∫−1
f
 2  dt = 2 ∫−1 ϕ (t )dt


87 Se trata ahora de calcular, por ejemplo

1
∫ −1
ϕ ( t ) dt = A 1ϕ ( t 1 ) + A 2 ϕ ( t 2 )

expresión donde figuran cuatro incognitas. Para calcularlas se plantean
cuatro ecuaciones estableciendo que el método sea exacto para las
funciones ϕ(t)=1; ϕ(t)= t; ϕ(t)= t2 y ϕ(t)= t3.

88 Resulta así el siguiente sistema

1
∫ 1dt = t
1
−1
= 2 = A1 + A2
−1

1
1 1 2
∫ tdt =
−1 2
t
−1
= 0 = A1t1 + A2 t 2

1
1 1 4
∫
3 3
t 3 dt = t = 0 = A1t1 + A2 t 2
−1 4 −1

1
1 1 3 2
∫−1t dt = 3 t −1 = 3 = A1t1 + A2t2
2 2 2

dividiendo entre si la segunda y la cuarta se tiene, como resultado útil,
que t2 = - t1. Reemplazando en la tercera y teniendo en cuenta la primera
resulta

34

3 3
t1 = , t2 = −
3 3

y de la primera y la tercera queda que A1 = 1 y A2 =1 con lo cual

1  3  3
∫−1
ϕ (t )dt = ϕ 

 + ϕ−

 3 

 3 
 

89 Se calcula a continuación con este método

2 2
 3   3 
2  + 3 − + 3
( 2 − 1) 1  t + 3  1 3 1 3 1 56
∫1 x dx = 2 ∫−1  2  dt = 2  2  + 2  2  = 2 12 = 2.3333...
2
2

  
   
   

que corresponde al valor exacto 7/3 obtenido por cálculo directo.

90 Los valores A y t se encuentran tabulados para distintas
cantidades de puntos en el intervalo [-1,1].

NUMERO DE
PUNTOS Xi Ai

±0.57735027 1.00000000
2(*)

± 0.86113631 0.34785485
4 ±0.33998104 0.65214515

35

NUMERO DE
PUNTOS Xi Ai

±0.93246951 0.17132449
6 ±0.66120939 0.36076157
±0.23861919 0.46791393

±0.96028986 0.10122854
8 ±0.79666648 0.22381034
±0.52553241 0.31370665
±0.18343464 0.36268378

±0.97390653 0.06667134
±0.86506337 0.14945135
10 ±0.67940957 0.21908636
±0.43339539 0.26926672
±0.14887434 0.29552422

(*) Valores calculados en párrafo Nº 87

36
XVI INTEGRALES MULTIPLES

91 En diversos problemas de ingeniería resulta necesario evaluar
integrales de la forma

b d d b
∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dx ∫
R
a c
f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c a

o de la forma

d φ2 ( y ) b ϕ2 ( x )
∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫
R
c
dy ∫
φ1 ( y )
f ( x, y )dx = ∫ dx ∫
a ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy

con los mismos o peores problemas para realizar la evaluación que aquellos
que se presentan en las integrales simples.

92 Por ese motivo también se han desarrollado o adaptado métodos de
integración numérica a este tipo de integrales. Naturalmente las
respectivas fórmulas resultan más amplias y los cálculos
correspondientes al error mucho más engorrosos. Los conceptos de
aproximación no varían. Solamente corresponde pensar en tres
dimensiones en lugar de hacerlo en dos, como en la totalidad de los
métodos vistos.

XVII METODO DE LOS PRISMAS

93 Se supone una función de dos variables independientes z= f(x,y)
definida en el rectángulo [a,b], [c,d]. Se adoptan m y n y se calculan

b−a
h=
m
d −c
k=
n

quedando entonces el rectángulo dividido en m.n subrectángulos

37

94 Aislando un subrectángulo genérico cualquiera

i+1,j+1

i,j+1

i,j i+1,j

La función z = f(x,y) toma en esos puntos los valores f(xi, yj); f(xi+1,yj);
f(xi,yj+1) y f(xi+1,yj+1)

95 Cualquiera de esos valores puede ser utilizado para formar las
siguientes aproximaciones

xi +1 y j +1 y j +1 xi +1
∫xi
dx ∫
yj
f ( x, y )dy = ∫
yj
dy ∫
xi
f ( x, y )dx ≈ hkf ( x i , y j )
xi +1 y j +1 y j +1 xi +1
∫xi
dx ∫
yj
f ( x, y )dy = ∫
yj
dy ∫
xi
f ( x, y )dx ≈ hkf ( x i +1 , y j )
xi +1 y j +1 y j +1 xi +1
∫xi
dx ∫
yj
f ( x, y )dy = ∫
yj
dy ∫
xi
f ( x, y )dx ≈ hkf ( x i , y j +1 )
xi +1 y j +1 y j +1 xi +1
∫xi
dx ∫
yj
f ( x, y )dy = ∫
yj
dy ∫
xi
f ( x, y )dx ≈ hkf ( x i +1 , y j +1 )

que corresponden a aproximaciones calculadas con los valores de la
función f(x,y) en cada uno de los vértices del subrectángulo considerado.

96 El valor aproximado de la integral será entonces

38
m −1 n −1

∫∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( xi , y j )
R i = 0 j =0
m −1 n −1

∫ ∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( x
R i = 0 j =0
i +1 , yj)

m −1 n −1

∫∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( xi , y j +1 )
R i = 0 j =0
m −1 n −1

∫ ∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( x
R i = 0 j =0
i +1 , y j +1 )

97 Como ejemplo se calcula a continuación la siguiente integral doble

2 2
∫∫
0 0
( x 2 + y 2 )dxdy

8
6 2
4
2 1.5
0
0 1
0.5
1 0.5
1.5
20

se adopta m=n=5 con lo cual h=0.4 y k=0.4. En los nodos de la malla
resultante la función a integrar toma los valores

0,00 0,16 0,64 1,44 2,56 4,00
0,16 0,32 0,80 1,60 2,72 4,16
0,64 0,80 1,28 2,08 3,20 4,64
1,44 1,60 2,08 2,88 4,00 5,44
2,56 2,72 3,20 4,00 5,12 6,56
4,00 4,16 4,64 5,44 6,56 8,00

39
donde el origen de coordenadas se encuentra en correspondencia con el
elemento a11 de la matriz anterior, las filas se orientan según el eje "x" y
las columnas según el eje "y".
Aplicando la primer fórmula establecida en párrafo 96

m −1 n −1

∫∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( xi , y j )
R i =0 j =0

resulta un valor de 7.68 con un error por defecto del 27%, aplicando la
formula

m −1 n −1

∫∫ f ( x, y )dxdy ≈ hk ∑∑ f ( xi +1 , y j +1 )
R i = 0 j =0

se obtiene como valor aproximado 15.36 con un error por exceso del 44%
Utilizando cualquiera (observar la simetría de valores de la
función) de las otras dos fórmulas se obtiene el valor 11.64 con un error
por exceso del 9%
Esto puede ser debido a que en la primera expresión se evalúa la
función en sus respectivos mínimos, la segunda hace lo propio en sus
respectivos máximos mientras que las restantes lo hacen en valores
intermedios que, en principio, justificacrían la mejor aproximación que se
obtiene.
De cualquier forma, este método no es aconsejable, salvo que se
esté dispuesto a utilizar h y k pequeños o muy pequeños con un gran
trabajo de cálculo y la posibilidad que errores numéricos se potencien, no
justificando entonces el esfuerzo.

XVIII METODO DE LOS TRAPECIOS

98 A continuación se presenta la fórmula de los trapecios para el
cálculo de integrales dobles. Para ello se hace

∫xi
xi +1
dx ∫
yj
y j +1
f ( x, y )dy =
h xi + 1
2 ∫xi
[ f ( x, y j +1) ) + f ( x, y j )]dx =
h  xi +1
∫xi f ( x, y j +1 )dx + ∫xi f ( x, y j )dx  =
xi + 1
=
2  

=
hk
22
[ f ( x i +1 , y j +1 ) + f ( x i , y j +1 )] + h k [ f ( xi +1 , y j ) + f ( x i , y j )] =
22
=
hk
4
[ f ( xi +1 , y j +1 ) + f ( xi , y j +1 ) + f ( x i +1 , y j ) + f ( xi , y j )]

40
que resulta de aplicar la fórmula de los trapecios en la variable y y luego
en la variable x.

99 Notese que la expresión final resultante puede ser interpretada
como el promedio de los cuatro valores de la función en cada de los
vértices del subrectángulo considerado.

100 Para extender el procedimiento a un recinto rectangular R cualquiera,
luego de elegir h y k (o m y n) debe aplicarse la expresión anterior en
cada uno de los m.n subrectángulos en que queda dividido R por la
partición elegida.

1 1
1

1 1
1

1 1
1

Las pequeñas circunferencias indican puntos en los que debe ser evaluada
la función, pero es imprescindible efectuar la siguiente consideración: la
función se evalúa en cada uno de esos puntos pero una vez para cada
uno de los subrectangulos adyacentes, de tal forma que, para
subrectángulos contiguos la evaluación corresponde sea contada tantas
veces como vértices confluyan en el punto de evaluación.

101 Resulta así el siguiente operador para ser aplicado sobre la malla
que cubre R, indicando los valores del mismo los factores por los que debe
ser multiplicado el valor de la función en esos puntos. La suma de dichos
valores multiplicada por h y k divido 4 da el valor aproximado de la
integral doble.

41
1 2 2 2 1

2 4 4 4 2

2 4 4 4 2

2 4 4 4 2

1 2 2 2 1

102 Aplicando ese operador al cuadro de valores que figura en el párrafo
97 resulta, por ser h=k=0.4

0 + 4 + 4 + 8 + 2 * (0.16 + 0.64 + 1.44 + 2.56) * 2 + 2 * ( 4.16 + 4.64 + 5.44 + 6.56) * 2 +
+ 4 * (0.32 + 0.8 + 1.6 + 2.72 + 0.8 + 1.28 + 2.08 + 3.2 + 1.6 + 2.08 + 2.88 + 4 + 2.72 +
+ 3.2 + 4 + 5.12) = 272

0.4 * 0.4
V = 272 * = 10.88
4
con un error del 2% en exceso

XIX METODO DE SIMPSON

103 Considerando ahora cuatro subrectángulos adyacentes, se podrán
afectuar aproximaciones de segundo grado con cada terna de valore de la
función z = f(x,y).

f(xi, yj+2) f(xi+1, yj+2) f(xi+2, yj+2)

f(xi, yj+1) f(xi+1, yj+1) f(xi+2, yj+1)

f(xi, yj) f(xi+1, yj) f(xi+2, yj)

xi +1 y j +1 k xi +1
dx[ f ( x, y j ) + 4 f ( x, y j+1 ) + f ( x, y j+2 )] =
42
∫ ∫ f ( x, y)dxdy = ∫
Ri , j
xi
dx∫
yj
f ( x, y)dy ≈
3 ∫xi
k  xi+1
f ( x, y j )dx + 4∫ f ( x, y j+1 )dx +∫ f ( x, y j+2 )dx =
xi +1 xi +1

3 ∫xi
 xi xi 

k h  f ( xi , y j ) + 4 f ( xi+1 , y j ) + f ( xi+2 , y j ) + 4( f ( xi , y j+1 ) + 4 f ( xi+1 , y j+1 ) + f ( xi+2 , y j+1 )) +
 
3 3 + f ( xi , y j+2 ) + 4 f ( xi+1 , y j+2 ) + f ( xi+2 , y j+2 ) 

104 Se deduce la siguiente aproximación:

 f ( xi , y j ) + f ( xi + 2 , y j ) + f ( x i , y j + 2 ) + f ( xi + 2 , y j + 2 ) 
hk  
(
∫ R∫ f ( x, y )dxdy ≈ 9 + 4 f ( xii +1 , y j ) + f ( xi , y j +1 ) + f ( xi+2 , y j +1 ) + f ( xi +1 , y j +2 )  )
i, j  + 16 f ( x , y ) 
 i +1 j +1 

105 Este resultado se puede representar en el siguiente esquema

1 4 1

4 16 4

1 4 1

donde los números corresponden a los factores por los que hay que
multiplicar a los valores de la función del párrafo 103. La suma de todos
ellos multiplicada por hk y dividida por 9 da una aproximación de la
integral doble por la regla de Simpson sobre los cuatro subrectángulos
considerados. Nótese que el valor de la suma puede ser tomado como un
promedio ponderado de los nueve valores de la función en los vértices de
los cuatro subrectángulos.

43

106 Cuando sea necesario extender este operador de cuatro
subrectángulos a un recinto rectangular R, se deben adosar en forma
contigua hasta cubrir la totalidad de R. Naturalmente m y n deben ser
pares.

1 4 11 4 11 4 1

4 16 44 16 44 16 4

1 4 11 4 11 4 1
1 4 11 4 11 4 1

4 16 4 4 16 44 16 4

1 4 11 4 11 4 1

Los números destacados en la figura indican la cantidad de veces que
debe ser considerada la función en el operador o molécula final
resultante.

1 4 2 4 2 4 1

4 16 8 16 8 16 4

2 8 4 8 4 8 2

4 16 8 16 8 16 4

1 4 2 4 2 4 1

107 Aplicando esta molécula al ejemplo tratado en el párrafo 97,
tomando ahora h=k=0.5 resulta el cuadro de valores:

44
0,00 0,25 1,00 2,25 8,00
0,25 0,50 1,25 2,50 4,25
1,00 1,25 2,00 3,25 5,00
2,25 2,50 3,25 4,50 6,25
4,00 4,25 5,00 6,25 8,00

y se calcula

1 * 0 + 4 * 0.25 + 2 * 1 + 4 * 2.25 + 1 * 4 + 4 * 0.25 + 16 * 0.5 + 8 * 1.25 + 16 * 2.5 + 4 * 4.25 +
+ 2 * 1 + 8 * 1.25 + 4 * 2 + 8 * 3.25 + 2 * 5 + 4 * 2.25 + 16 * 2.5 + 8 * 3.25 + 16 * 4.5 + 4 * 6.25 +
+ 1 * 4 + 4 * 4.25 + 2 * 5 + 4 * 6.25 + 1 * 8 = 384

con lo que resulta

2 2 384hk 384 * 0.5 * 0.5
∫∫
0 0
( x 2 + y 2 )dxdy ≈
9
=
9
= 10.66666.....

que coincide con el valor exacto de la integral doble.

108 No se ha encontrado ni se ha podido demostrar en unos pocos
intentos, que el método de Simpson para integrales dobles sea exacto
para funciones de segundo grado. Sin embargo existe la fuerte sospecha
que así es.

45

BIBLIOGRAFIA

Para escribir estas páginas fueron consultados los siguientes
textos:

• CALCULO NUMERICO Y GRAFICO Sadosky, Ed. Lib. del Colegio

• NUMERICAL ANALYSIS Scheid Francis, Ed. Schaum.

• ARITMETICA DE t-DÍGITOS Ferrante, Jorge J L, Cátedra

• METODOS NUMERICOS Y PROGRAMACION FORTRAN
McCracken -Dorn, Ed. Limusa Wiley.

• ANALISIS NUMERICO. Salvadori - Baron, Ed. CECSA

• METODOS NUMERICOS CON MATLAB. Mathews - Fink. Ed.
Prentice Hall.

• ANALISIS NUMERICO. Burden – Faires. Ed. Grupo Ed.
Iberoamérica

• NUMERICAL METHODS THAT WORK. Acton Ed. Harper
International

y las siguientes páginas WEB

• http://luda.uam.mx/curso2/cp2indic.html
• http://www.efunda.com/math/num_integration/num_int_gauss.cf
m#Gauss-Legendre
• http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/BooleRuleMod.html
• http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/approx.1/index.htm
• crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbtalks/dhb-integrals.pdf

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