Int dobl-reg-gen
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Este documento trata sobre integrales dobles y sus aplicaciones. Explica qué es una integral doble, cómo se puede expresar como suma de Riemann y cómo representa el volumen bajo una superficie. También cubre cómo calcular integrales dobles iteradas, ya sea en orden dydx o dxdy, dependiendo de los límites de la región de integración. Por último, presenta ejemplos numéricos de cómo calcular integrales dobles sobre regiones de tipo I y II.
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- 1. Cálculo Vectorial 15.3 Integrales dobles sobre regiones más generales URL Departamento de Matem´ ticas a Universidad de los Andes, Bogot´ a Integrales Dobles– p. 1/
- 2. Integral doble • Integral doble: f (x, y)dA R Integrales Dobles– p. 2/
- 3. Integral doble • Integral doble: f (x, y)dA R • El diferencial de área: dA ≈ ∆Ak = ∆xk ∆yk El punto (xk , yk ) es cualquiera en el rectángulo k -ésimo. Integrales Dobles– p. 2/
- 4. Integral doble como sumas de Riemann • Integral doble: f (x, y)dA R Integrales Dobles– p. 3/
- 5. Integral doble como sumas de Riemann • Integral doble: f (x, y)dA R • Si f (x, y) es positiva en la región de integración R, la integral doble representa el volumen acotado por arriba por la superficie y por debajo por R. Geométricamente es sumar volúmenes de prismas para obtener el volumen deseado. Integrales Dobles– p. 3/
- 6. Integral iterada en orden dydx • f (x, y)dydx R a≤x≤b R= g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) Integrales Dobles– p. 4/
- 7. Integral iterada en orden dydx • f (x, y)dydx R a≤x≤b R= g1 (x) ≤ y ≤ g2 (x) • Integral interna: g2 (x) f (x, y)dy g1 (x) Para a ≤ x ≤ b encontramos el área A(x), y variando x “barremos” todo el volumen. Integrales Dobles– p. 4/
- 8. Integral iterada en orden dxdy • f (x, y)dxdy R c≤y≤d R= h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y) Integrales Dobles– p. 5/
- 9. Integral iterada en orden dxdy • f (x, y)dxdy R c≤y≤d R= h1 (y) ≤ x ≤ h2 (y) • Integral interna: h2 (y) f (x, y)dx h1 (y) Para c ≤ y ≤ d encontramos el área A(y), y variando y “barremos” todo el volumen. Integrales Dobles– p. 5/
- 10. Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx) • Tipo I 0≤x≤1 R= √ 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 ) Integrales Dobles– p. 6/
- 11. Ejemplo: Regiones de tipo I (orden dydx) • Tipo I 0≤x≤1 R= √ 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 ) • Integral iterada: √ 1 1−x2 f (x, y)dydx 0 1−x Integrales Dobles– p. 6/
- 12. Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy ) • Tipo II 0≤y≤1 R= 1−y ≤x≤ 1 − y2 ) Integrales Dobles– p. 7/
- 13. Ejemplo: Regiones de tipo II (orden dxdy ) • Tipo II 0≤y≤1 R= 1−y ≤x≤ 1 − y2 ) • Integral iterada: √ 1 1−y 2 f (x, y)dxdy 0 1−y Integrales Dobles– p. 7/