Enciso01
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Este documento describe tres métodos para calcular el área de deformación de un vehículo usando integrales dobles. El primer método asume una deformación constante a lo ancho del vehículo. El segundo método modela la deformación como una función lineal del ancho. El tercer método modela la deformación como una función cuadrática del ancho. Estos métodos permiten calcular la energía absorbida durante la deformación, lo que es útil para estimar la velocidad de impacto.
![DIVERSAS APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES EN EL CALCULO DEL AREA DE DEFORMACION DE
UN VEHÍCULO
Autor: Gustavo Enciso1 encisog@terra.es
1- Licenciado en Cs. Criminalísticas Accidentólogo - Instituto de Cs Criminalísticas y Criminología –
Instituto de Cs. Criminalísticas y Criminología
http://www.unne.edu.ar/institutos/criminalisticas/
Universidad Nacional del Nordeste
INTRODUCCION:
En toda investigación de siniestros viales, uno de los tópicos principales de los estudios realizados,
generalmente ordenados por los magistrados, es la verificación de la velocidad de el o los rodados intervinientes,
momentos antes de la colisión.
Las metodologías empleadas se centran principalmente en los indicios que se puedan recolectar del lugar
del siniestro. En este sentido cabe señalar que las posibilidades de verificación de este interrogante se ven reducidos
en aquellos casos en donde no se han verificados huellas de frenadas o bien los rodados no cuentan con dispositivos
de registros, tales como tacómetros, Crash Retrieval System (cajas negras), etc. En tales casos, un único indicio
queda a estudiar para establecer los parámetros dentro de los cuales pudo registrarse la velocidad de impacto del
rodado. Este se centra en el estudio de la energía absorbida en el trabajo de deformación de la estructura del rodado,
energía esta que depende, no solo de la “dureza de rodado”, zona de impacto, si no que además esta en función
directa del área del “daño” o deformación del rodado; para aquellos modelos que consideran la altura del daño
uniforme en todo el daño.-
Surge necesariamente una gran importancia de poder establecer metodologías de cómputos precisas que
permitan estimar el área dañada en la estructura del rodado colisionado.-
El presente trabajo constituye el desarrollo de la aplicación de integrales dobles como instrumento en el
cómputo del área de deformación, dato indispensable para la precisión del cálculo siguiendo uno de los modelos
desarrollos (modelo lineal) e indicadas en la bibliografía de referencia.-
Si bien existe otros modelos para el estudio [1], la diferencia entre ellos radica fundamentalmente en la
interpretación de la forma en que se contempla la variación de la fuerza deformadora o fuerza de flexión para un
diferencial del ancho del frente de la zona dañada, resultando en todos los casos de vital importancia el cómputo del
área del daño y en algunos otros modelos el cálculo del volumen de la estructura dañada del vehículo.-
METODOLOGÍA:
Los estudios referentes al análisis de la deformación de la estructura de un rodado protagonista de un
accidentes de transito, datan de mediados de la década del 70 del siglo pasado [2], encontrándose entre sus
iniciadores el Dr. Campbell, quien estableció empíricamente la relación proporcional entre velocidad de impacto y
profundidad de la deformación, quedando además verificadas dos fenómenos claramente diferenciados: una
deformación elástica y una deformación plástica que precede al anterior (cuantitativamente mucho mayor a la
primera) y que, empíricamente se demuestra que las cargas de tensión son proporcionales a la deformación
registrada en ambos fenómenos.-
Las ecuaciones Cambelianas establecidas en pruebas de colisión de rodados contra una barrera rígida son
[2]:
v ( x) b + b ⋅ x Ec1
0 1
F
( x) A + B⋅ x Ec2
w
donde
v(x): es la velocidad de impacto del rodado en función a la profundidad (x) de la deformación.-
b0: es la velocidad de impacto sin deformación permanente.-
b1: el valor de la pendiente de la función empírica.-
F/w: es la fuerza de carga por unidad de ancho de deformación.-
A: es la máxima fuerza de carga por unida de ancho de deformación que el vehículo puede recibir sin
deformación permanente.-
B: es una constante de dureza del rodado, que depende de cada vehículo y de la zona de impacto sobre la
estructura del vehículo.-](https://image.slidesharecdn.com/enciso01-121215084907-phpapp01/85/Enciso01-1-320.jpg)
![Note que el último término sumando (1/2.M.b 02), representa la energía disipada en la deformación elástica
del vehículo, es decir la comprensión sin daño permanente.-
En aquellos casos donde la profundidad de la deformación no es constante respecto al ancho del mismo, el
primero puede variar de diversas formas con relación al ancho. En tales casos es necesario estimar estadísticamente
por el método de los mínimos cuadrados (regresión lineal) una función x = f(w).-
2) Analicemos el computo de la energía absorbida en la deformación (plástica) si x = f(w) responde a una
función lineal (Figura 2):
O X
W o
a
X
S
W 1
b
W Figura 2
x( w) a +
b−a
w − w ⋅ w Ec4
1 0
El termino “a” debe tener unidades de longitud [metros] y como “w” y “b” también tiene unidades de longitud,
la pendiente de la función es adimensional.-
A la pendiente de la ecuación 4 la designamos con la letra “m”, tendremos que la energía total absorbida en
la superficie “s” será:
w ( a+ m⋅ w)
⌠ 1 ⌠ F
Ed ( x) d x d w Ec5
w
⌡w ⌡
0 0
Reemplazando en la ecuación 5 la ecuación 2, y resolviendo tendremos:
w ( a+ m⋅ w )
⌠ 1 ⌠
Ed ( A + B⋅ x) d x d w
⌡w ⌡
0 0
w1
⌠ ( a+ m⋅ w )
A ⋅ x + 1 ⋅ B⋅ x2
Ed dw
⌡
2
w0
w
⌠ 1
Ed A ⋅ ( a + m⋅ w) +
1 ⋅ B⋅ ( a + m⋅ w) 2 d w
2
⌡w
0
w1
⌠
Ed A ⋅ a + A ⋅ m⋅ w + B ⋅ a2 + B⋅ a⋅ m⋅ w + B ⋅ m2⋅ w2 d w
2 2
⌡w
0
Si w0 = 0 y “M” es la masa del vehículo en [kgr] junto con sus ocupantes, tendremos:
1 2 1 2 1 2 1 2 3
Ed A ⋅ a⋅ w + ⋅ A ⋅ m⋅ w + ⋅ B⋅ a ⋅ w + ⋅ B⋅ a⋅ m⋅ w + ⋅ B⋅ m ⋅ w
2 2 2 6
A ⋅ a⋅ w + 1 ⋅ A ⋅ m⋅ w2 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w + 1 ⋅ B⋅ a⋅ m⋅ w2 + 1 ⋅ B⋅ m2⋅ w3 + 1 ⋅ M⋅ b 2
Et 2 ( 0) Ec. 6
2 2 2 6
El computo de la ecuación 6 nos permitirá estimar el valor de la energía absorbida en la deformación, para
el caso de la gráfica planteada (Figura 2).-
3) Consideremos ahora una deformación según indica la próxima Figura 3, para lo cual la función x=f(w)
responde a la forma de una parábola:](https://image.slidesharecdn.com/enciso01-121215084907-phpapp01/85/Enciso01-3-320.jpg)
![w o
X
S a
o
w 1
W Figura 3
2
x( w) −b ⋅ w + a
Los parámetros b (con unidades de [metros-3]) y a (con unidades de [metros]) son estimados
estadísticamente.-
La energía absorbida en la deformación plástica en la superficie “s” será:
2
w ⌠ − b⋅ w + a
⌠ 1 F
Ed ( x) d x d w
w
⌡w ⌡
0 0
Resolviendo:
2
w
⌠ 1 ⌠ − b⋅ w + a
Ed ( A + B⋅ x) d x d w
⌡w ⌡
0 0
w
⌠ 1
2
− b⋅ w + a ( )
A ⋅ x + B ⋅ x2
Ed dw
2
⌡w
0
w1
⌠
( ) ( )
2
Ed
A ⋅ −b ⋅ w2 + a + B −b ⋅ w2 + a d w
2
⌡w
0
w
⌠ 1
Ed A ⋅ a − A ⋅ b ⋅ w2 + B ⋅ a2 − B⋅ a⋅ b ⋅ w2 + B ⋅ b 2⋅ w4 d w
2 2
⌡w
0
A ⋅ a⋅ w − 1 ⋅ A ⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w − 1 ⋅ B⋅ a⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ b 2⋅ w 5 − A ⋅ a⋅ w − 1 ⋅ A ⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w − 1 ⋅ B⋅ a⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ b 2⋅ w 5
Ed
1 3 ( 1) 2 1 3 ( 1) 10 ( 1) 0 3 ( 0) 2
0 3 ( 0) 10 ( 0)
Ec.7
La energía total considerando la masa total del vehículo será:
( 0) 2
1
Et Ed + ⋅ M⋅ b
2
Una vez computada la energía absorbida en la deformación, inmediatamente se estima la velocidad de
impacto, en el caso de considerar una colisión donde esta involucrado un único rodado que impacta contra un sólido
muy rígido, despreciándose el movimiento pos impacto del rodado (si el caso lo permite). En tal caso tendremos que:
2⋅ Et
v velocidad de impacto
M
en [m/sec].-
CONCLUSIONES:
La aplicación de las integrales dobles para el computo del área dañada o deformada de un vehículo que ha
colisionado con su estructura, es totalmente viable para los modelos empíricos que han sido desarrollado hasta la](https://image.slidesharecdn.com/enciso01-121215084907-phpapp01/85/Enciso01-4-320.jpg)
![actualidad. Sin embargo esta metodología requiere de la definición de la función que define como la profundidad del
daño va variando con el ancho del a deformación. Esto implica recurrir a técnicas estadísticas que permitan estimar
dicha función (regresión lineal o no lineal por el método de los mínimos cuadrados).
BILIOGRAFIA
1]-Alba J.J., Pulla A., Viñao J.- “Accidentes de Trafico: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DEFORMACIONES”.-
Grupo de Seguridad Vial y Accidentes de transito de la Universidad de Zaragoza.-
2]-Cooper Gary.- “Work, Energy, and Speed From damage in Traffic Accidentes”,. Topic 870 of The Traffic Accidente
Investigation Manual.- Intitute of Traffic, University of Norhtwestern (1984).-
3]-Irureta Victor.- “Accidentología Vial y Pericia”.- La Roca .-
4]-Mahave Antonio.- “Análisis Matemático II – Calculo integral”.- Universidad Nacional del Nordeste – Facultad de
Ingeniería (1997).-
5]-Navin F., Macnabb M.- “Crash III and Canadian Test Data”.- SAE 870499 (1987).-
6]- Ronald L. Woolley, P.E., Ph.D..-“ Non-Linear Damage Analysis in Accident Reconstruction”.- SAE 2001-01-0504-
(2001).-](https://image.slidesharecdn.com/enciso01-121215084907-phpapp01/85/Enciso01-5-320.jpg)
Enciso01
- 1. DIVERSAS APLICACIONES DE INTEGRALES DOBLES EN EL CALCULO DEL AREA DE DEFORMACION DE UN VEHÍCULO Autor: Gustavo Enciso1 encisog@terra.es 1- Licenciado en Cs. Criminalísticas Accidentólogo - Instituto de Cs Criminalísticas y Criminología – Instituto de Cs. Criminalísticas y Criminología http://www.unne.edu.ar/institutos/criminalisticas/ Universidad Nacional del Nordeste INTRODUCCION: En toda investigación de siniestros viales, uno de los tópicos principales de los estudios realizados, generalmente ordenados por los magistrados, es la verificación de la velocidad de el o los rodados intervinientes, momentos antes de la colisión. Las metodologías empleadas se centran principalmente en los indicios que se puedan recolectar del lugar del siniestro. En este sentido cabe señalar que las posibilidades de verificación de este interrogante se ven reducidos en aquellos casos en donde no se han verificados huellas de frenadas o bien los rodados no cuentan con dispositivos de registros, tales como tacómetros, Crash Retrieval System (cajas negras), etc. En tales casos, un único indicio queda a estudiar para establecer los parámetros dentro de los cuales pudo registrarse la velocidad de impacto del rodado. Este se centra en el estudio de la energía absorbida en el trabajo de deformación de la estructura del rodado, energía esta que depende, no solo de la “dureza de rodado”, zona de impacto, si no que además esta en función directa del área del “daño” o deformación del rodado; para aquellos modelos que consideran la altura del daño uniforme en todo el daño.- Surge necesariamente una gran importancia de poder establecer metodologías de cómputos precisas que permitan estimar el área dañada en la estructura del rodado colisionado.- El presente trabajo constituye el desarrollo de la aplicación de integrales dobles como instrumento en el cómputo del área de deformación, dato indispensable para la precisión del cálculo siguiendo uno de los modelos desarrollos (modelo lineal) e indicadas en la bibliografía de referencia.- Si bien existe otros modelos para el estudio [1], la diferencia entre ellos radica fundamentalmente en la interpretación de la forma en que se contempla la variación de la fuerza deformadora o fuerza de flexión para un diferencial del ancho del frente de la zona dañada, resultando en todos los casos de vital importancia el cómputo del área del daño y en algunos otros modelos el cálculo del volumen de la estructura dañada del vehículo.- METODOLOGÍA: Los estudios referentes al análisis de la deformación de la estructura de un rodado protagonista de un accidentes de transito, datan de mediados de la década del 70 del siglo pasado [2], encontrándose entre sus iniciadores el Dr. Campbell, quien estableció empíricamente la relación proporcional entre velocidad de impacto y profundidad de la deformación, quedando además verificadas dos fenómenos claramente diferenciados: una deformación elástica y una deformación plástica que precede al anterior (cuantitativamente mucho mayor a la primera) y que, empíricamente se demuestra que las cargas de tensión son proporcionales a la deformación registrada en ambos fenómenos.- Las ecuaciones Cambelianas establecidas en pruebas de colisión de rodados contra una barrera rígida son [2]: v ( x) b + b ⋅ x Ec1 0 1 F ( x) A + B⋅ x Ec2 w donde v(x): es la velocidad de impacto del rodado en función a la profundidad (x) de la deformación.- b0: es la velocidad de impacto sin deformación permanente.- b1: el valor de la pendiente de la función empírica.- F/w: es la fuerza de carga por unidad de ancho de deformación.- A: es la máxima fuerza de carga por unida de ancho de deformación que el vehículo puede recibir sin deformación permanente.- B: es una constante de dureza del rodado, que depende de cada vehículo y de la zona de impacto sobre la estructura del vehículo.-
- 2. De los distintos ensayos de colisión contra barrera rígida, realizados sobre cada rodado, se estiman estadísticamente los valores de b0, b1, A, B y G, éste último término hace referencia al valor de la energía disipada por unidad de ancho, sin deformación permanente.- 1)- Consideremos inicialmente donde la deformación de la estructura del rodado es constante para todo el ancho de la deformación (Figura 1).- O X W o X S W 1 W Figura 1 Situemos nuestro sistema de referencia en el extremo delantero derecho del vehículo. La superficie “s” representa el área deformada del rodado y la diferencia w 1-w0, resulta el ancho de la deformación. Las unidades de la ecuaciones 1 y 2 respectivamente son: longitud longitud 1 V= b0 = b1 = = tiempo -1 x = longitud tiempo tiempo tiempo masa.longitud F= w = longitud tiempo 2 masa.longitud F tiempo 2 masa.longitud masa = = = w longitud longitud.tiempo 2 tiempo 2 masa.longitud longitud 1 masa.longitud 2 4 tiempo 2 tiempo tiempo tiempo masa.longitud 2 .tiempo 2 masa A= = = = longitud longitud 2 4 tiempo .longitud 2 tiempo 2 longitud tiempo 2 tiempo 2 2 masa.longitud 1 masa.longitud 2 tiempo tiempo tiempo 4 masa.longitud.tiempo 2 masa B= = = = longitud longitud 2 4 tiempo .longitud 2 tiempo 2 .longitud longitud tiempo 2 tiempo 2 Nos interesa conocer la energía disipada sobre toda el área de deformación. En principio si consideramos una carga puntual sobre el ancho de la deformación, el valor de la energía dependería del trabajo realizado para la deformación, y este, de la forma en que la fuerza varía en relación de la profundidad del daño o del desplazamiento. Como la ecuación 2 esta demostrada empíricamente, podemos considerar una carga puntal donde el valor de la energía (deformación plástica) es función solo de “x”: x ⌠ F Ed ( x) d x Ec3 w ⌡ 0 x ⌠ ( ) 1 2 Ed ( A + B⋅ x) d x + ⋅ M ⋅ b ⌡ 2 0 0 Por otra parte al considerar todo el ancho de la deformación, podríamos simplemente, si la profundidad de la deformación (plástica) es constante (Figura 1), multiplicar el valor de la ecuación 3 por el ancho del daño.- A ⋅ x + B ⋅ x2 ⋅ w + 1 ⋅ M⋅ b 2 Ed 2 2 ( 0)
- 3. Note que el último término sumando (1/2.M.b 02), representa la energía disipada en la deformación elástica del vehículo, es decir la comprensión sin daño permanente.- En aquellos casos donde la profundidad de la deformación no es constante respecto al ancho del mismo, el primero puede variar de diversas formas con relación al ancho. En tales casos es necesario estimar estadísticamente por el método de los mínimos cuadrados (regresión lineal) una función x = f(w).- 2) Analicemos el computo de la energía absorbida en la deformación (plástica) si x = f(w) responde a una función lineal (Figura 2): O X W o a X S W 1 b W Figura 2 x( w) a + b−a w − w ⋅ w Ec4 1 0 El termino “a” debe tener unidades de longitud [metros] y como “w” y “b” también tiene unidades de longitud, la pendiente de la función es adimensional.- A la pendiente de la ecuación 4 la designamos con la letra “m”, tendremos que la energía total absorbida en la superficie “s” será: w ( a+ m⋅ w) ⌠ 1 ⌠ F Ed ( x) d x d w Ec5 w ⌡w ⌡ 0 0 Reemplazando en la ecuación 5 la ecuación 2, y resolviendo tendremos: w ( a+ m⋅ w ) ⌠ 1 ⌠ Ed ( A + B⋅ x) d x d w ⌡w ⌡ 0 0 w1 ⌠ ( a+ m⋅ w ) A ⋅ x + 1 ⋅ B⋅ x2 Ed dw ⌡ 2 w0 w ⌠ 1 Ed A ⋅ ( a + m⋅ w) + 1 ⋅ B⋅ ( a + m⋅ w) 2 d w 2 ⌡w 0 w1 ⌠ Ed A ⋅ a + A ⋅ m⋅ w + B ⋅ a2 + B⋅ a⋅ m⋅ w + B ⋅ m2⋅ w2 d w 2 2 ⌡w 0 Si w0 = 0 y “M” es la masa del vehículo en [kgr] junto con sus ocupantes, tendremos: 1 2 1 2 1 2 1 2 3 Ed A ⋅ a⋅ w + ⋅ A ⋅ m⋅ w + ⋅ B⋅ a ⋅ w + ⋅ B⋅ a⋅ m⋅ w + ⋅ B⋅ m ⋅ w 2 2 2 6 A ⋅ a⋅ w + 1 ⋅ A ⋅ m⋅ w2 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w + 1 ⋅ B⋅ a⋅ m⋅ w2 + 1 ⋅ B⋅ m2⋅ w3 + 1 ⋅ M⋅ b 2 Et 2 ( 0) Ec. 6 2 2 2 6 El computo de la ecuación 6 nos permitirá estimar el valor de la energía absorbida en la deformación, para el caso de la gráfica planteada (Figura 2).- 3) Consideremos ahora una deformación según indica la próxima Figura 3, para lo cual la función x=f(w) responde a la forma de una parábola:
- 4. w o X S a o w 1 W Figura 3 2 x( w) −b ⋅ w + a Los parámetros b (con unidades de [metros-3]) y a (con unidades de [metros]) son estimados estadísticamente.- La energía absorbida en la deformación plástica en la superficie “s” será: 2 w ⌠ − b⋅ w + a ⌠ 1 F Ed ( x) d x d w w ⌡w ⌡ 0 0 Resolviendo: 2 w ⌠ 1 ⌠ − b⋅ w + a Ed ( A + B⋅ x) d x d w ⌡w ⌡ 0 0 w ⌠ 1 2 − b⋅ w + a ( ) A ⋅ x + B ⋅ x2 Ed dw 2 ⌡w 0 w1 ⌠ ( ) ( ) 2 Ed A ⋅ −b ⋅ w2 + a + B −b ⋅ w2 + a d w 2 ⌡w 0 w ⌠ 1 Ed A ⋅ a − A ⋅ b ⋅ w2 + B ⋅ a2 − B⋅ a⋅ b ⋅ w2 + B ⋅ b 2⋅ w4 d w 2 2 ⌡w 0 A ⋅ a⋅ w − 1 ⋅ A ⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w − 1 ⋅ B⋅ a⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ b 2⋅ w 5 − A ⋅ a⋅ w − 1 ⋅ A ⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ a2⋅ w − 1 ⋅ B⋅ a⋅ b ⋅ w 3 + 1 ⋅ B⋅ b 2⋅ w 5 Ed 1 3 ( 1) 2 1 3 ( 1) 10 ( 1) 0 3 ( 0) 2 0 3 ( 0) 10 ( 0) Ec.7 La energía total considerando la masa total del vehículo será: ( 0) 2 1 Et Ed + ⋅ M⋅ b 2 Una vez computada la energía absorbida en la deformación, inmediatamente se estima la velocidad de impacto, en el caso de considerar una colisión donde esta involucrado un único rodado que impacta contra un sólido muy rígido, despreciándose el movimiento pos impacto del rodado (si el caso lo permite). En tal caso tendremos que: 2⋅ Et v velocidad de impacto M en [m/sec].- CONCLUSIONES: La aplicación de las integrales dobles para el computo del área dañada o deformada de un vehículo que ha colisionado con su estructura, es totalmente viable para los modelos empíricos que han sido desarrollado hasta la
- 5. actualidad. Sin embargo esta metodología requiere de la definición de la función que define como la profundidad del daño va variando con el ancho del a deformación. Esto implica recurrir a técnicas estadísticas que permitan estimar dicha función (regresión lineal o no lineal por el método de los mínimos cuadrados). BILIOGRAFIA 1]-Alba J.J., Pulla A., Viñao J.- “Accidentes de Trafico: INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE DEFORMACIONES”.- Grupo de Seguridad Vial y Accidentes de transito de la Universidad de Zaragoza.- 2]-Cooper Gary.- “Work, Energy, and Speed From damage in Traffic Accidentes”,. Topic 870 of The Traffic Accidente Investigation Manual.- Intitute of Traffic, University of Norhtwestern (1984).- 3]-Irureta Victor.- “Accidentología Vial y Pericia”.- La Roca .- 4]-Mahave Antonio.- “Análisis Matemático II – Calculo integral”.- Universidad Nacional del Nordeste – Facultad de Ingeniería (1997).- 5]-Navin F., Macnabb M.- “Crash III and Canadian Test Data”.- SAE 870499 (1987).- 6]- Ronald L. Woolley, P.E., Ph.D..-“ Non-Linear Damage Analysis in Accident Reconstruction”.- SAE 2001-01-0504- (2001).-