Aplicacion de la integrla
- 1. 1<br />Hallar el área limitada por la recta x + y = 10, el eje OX y las ordenadas de x = 2 y x = 8.<br />2<br />Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.<br />En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.<br />Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.<br />3<br />Calcular el área del triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).<br />Ecuación de la recta que pasa por AB:<br />Ecuación de la recta que pasa por BC:<br />4<br />Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones y2 = 4x e y = x2.<br />5<br />Calcular el área limitada por la curva xy = 36, el eje OX y las rectas: x = 6, x = 12.<br />·<br />6<br />Calcular el área limitada por la curva y = 2(1 − x2) y la recta y = −1.<br />7<br />Calcular el área del recinto limitado por la parábola y = x2 + 2 y la recta que pasa por los puntos (−1, 0) y (1, 4).<br />8<br />Hallar el área limitada por la recta , el eje de abscisas y las ordenadas correspondientes a x = 0 y x = 4.<br />9<br />Calcular el área limitada por la curva y = 6x2 − 3x3 y el eje de abscisas.<br />10<br />Hallar el área de la región del plano limitada por las curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coordenados.<br />Calculamos el punto de corte de la curva y la recta y = 2.<br />El área es igual al área del rectángulo OABC menos el área bajo la curva y = ln x.<br />El área de rectángulo es base por altura.<br />El área bajo la curva y = ln x es:<br />11<br />·Calcular el área de la región del plano limitada por el círculo x2 + y2 = 9.<br />El área del círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.<br />Hallamos los nuevos límites de integración.<br />12<br />Hallar el área de una elipse de semiejes a y b.<br />Por ser la elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes de coordenadas.<br />Hallamos los nuevos límites de integración.<br />13<br />Calcular el área de la región del plano limitada por la curva: f(x) = |x2 − 4x + 3| y el eje OX.<br />14<br />Hallar el área de la figura limitada por: y = x2, y = x, x = 0, x = 2<br />Puntos de corte de la parábola y la recta y = x.<br />De x = 0 a x = 1, la recta queda por encima de la parábola.<br />De x = 1 a x = 2, la recta queda por debajo de la parábola.<br />15<br />Hallar el área del recinto plano y limitado por la parábola y = 4x − x2 y las tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje OX.<br />Puntos de intersección:<br />Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (0, 0):<br />Ecuación de la tangente a la parábola en el punto (4, 0):<br />VOLUMENES<br />1<br />Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por la rotación alrededor OX del área limitada por y = 6 − x, y = 0, x = 0, x = 4.<br />2<br />Calcular el volumen que engendra un triángulo de vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0) al girar 360° alrededor del eje OX.<br />Ecuación de la recta que pasa por AB:<br />Ecuación de la recta que pasa por BC:<br />3<br />Hallar el volumen del tronco de cono engendrado por el trapecio que limita el eje de abscisas, la recta y = x + 2 y las coordenadas correspondientes a x = 4 y x = 10, al girar alrededor de OX.<br />4<br />Calcular el volumen engendrado por una semionda de la sinusoide y = sen x, al girar alrededor del eje OX.<br />5<br />Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 2x −x2, y = −x + 2.<br />Puntos de intersección entre la parábola y la recta:<br />La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.<br />6<br />Hallar el volumen del cuerpo revolución engendrado al girar alrededor del eje OX, la región determinada por la función f(x) = 1/2 + cos x, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = π.<br />7<br />Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las gráficas de y = 6x − x2, i = x.<br />Puntos de intersección:<br />La parábola queda por encima de la recta en el intervalo de integración.<br />8<br />Hallar el volumen engendrado por el círculo x2 + y2 − 4x = −3 al girar alrededor del eje OX.<br />El centro de la circunferencia es C(0, 1) y el radio r = 1.<br />Puntos de corte con el eje OX:<br />9<br />Hallar el volumen de la figura engendrada al girar la elipse alrededor del eje OX.<br />Por ser la elipse una curva simétrica, el volumen pedido es 2 en veces el volumen engendrado por el arco entre x = 0 y x = a.<br />