áReas con integrales
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El documento explica cómo calcular el área entre dos funciones o entre una función y un eje. Indica que el área es igual a la integral de la función situada por encima menos la función situada por debajo. Proporciona ejemplos de cómo calcular estas áreas y encontrar los límites de integración analizando los puntos de corte de las funciones.
![.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de
abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de
corte.
Ejemplos
1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites
de integración.
En segundo lugar se calcula la integral:
2. Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y
el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.](https://image.slidesharecdn.com/reasconintegrales-180118112308/85/aReas-con-integrales-3-320.jpg)
![2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de
abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
Ejemplos
1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
2. Halla el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre 2
π
y
3
2
π .
3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la
función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Calcula el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.](https://image.slidesharecdn.com/reasconintegrales-180118112308/85/aReas-con-integrales-4-320.jpg)
áReas con integrales
- 1. El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima menos el área de la función que está situada por debajo. Ejemplos 1. Calcular el área limitada por la curva 2 y x 5x 6= − + y la recta y = 2x. En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de integración. De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola. 2.Calcular el área limitada por la parábola 2 y 4x= y la recta y = x. De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta. 3.Calcula el área limitada por las gráficas de las funciones 2 3y x= e 2 y x 4x= − + . En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
- 2. Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración. 4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas 2 y x 2x= − , 2 y x 4x= − + . Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
- 3. .Hallar el área de de la región limitada por las funciones: y = sen x, y = cos x, x = 0. En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones: La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración. 1. La función es positiva Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por: Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los puntos de corte. Ejemplos 1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x2 y el eje OX. En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración. En segundo lugar se calcula la integral: 2. Halla el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con el eje OX y el punto de abscisa x = e. En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
- 4. 2. La función es negativa Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por: Ejemplos 1. Calcula el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX. 2. Halla el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre 2 π y 3 2 π . 3. La función toma valores positivos y negativos En ese caso el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el área de la función seguiremos los siguientes pasos: 1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación. 2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración. 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo. Ejemplos 1. Calcula el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
- 5. El área, por razones de simetría, se puede escribir: 2. Calcula el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante. Calculamos la integral indefinida por cambio de variable. Hallamos los nuevos límites de integración.
- 6. El área, por razones de simetría, se puede escribir: 2. Calcula el área del círculo de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante. Calculamos la integral indefinida por cambio de variable. Hallamos los nuevos límites de integración.