Sol integrales

Integrales
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C. 1
1.- Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) 
 
2
x
t
x
F(x) e (sent cos t)dt b)  
3
x
0
G(x) senx cos tdt .
2. a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
 

 
1 3
221 2
dx dx
x 3 x
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y el
área encerrada entre la función 
 2
x
f(x)
4 x
y el eje de abscisas (OX) en
el intervalo [-2,2].
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas:
 
 
1 22 3
1 1
y , y
x 1 x x
:
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
4.- Calcular
   
    
   
1 1 1
, y
2 2 2
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias
 
  
  p 31 1 0
senx senx cos x 1
a) dx con p > 0 b) dx c) dx
x x 1 x x
6.- Dada la función   2
f(x) 2x 1 x se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
 
 
 
 
2
a) r 3sen 2
b) r 2sen 3

Integrales
Unidad Docente de Matemáticas de la E.T.S.I.T.G.C.2
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
 

 
x(t) 3 2 cos t
y(t) 2 5sent
9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
es:
 
  
 
x
y c cosh
c
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x =  y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:





cos(t)[2 cos(2t)]
x(t) =
4
sen(t)[2 cos(2t)]
y(t) =
4
13.- Dada la hipérbola  2 2
x y 1. Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la
hipérbola respecto del eje X siendo    x 1, 2 .
x
c
O

Integrales
14.- Para un arco de cicloide
 

 
x(t) a(t sent)
y(t) a(1 cos t)
. Se pide:
a) El área encerrada por la curva y el eje de abscisas.
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje
X alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π2
,1) y cuya pendiente, en
cada punto (x,y), tal que x>0, es
cos x
x
.
17.- Hallar el valor de  que cumpla que 
2
0
f(x) dx =2, siendo
f(x)=
 

 
3 si 0 x 1
5 si 1 x 2
¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que
f(c)=? ¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado anterior.

Integrales
19.- Dada la función f(x) =
 
 
3 2
3 2
x 3x 2
x x 2
, cuya gráfica es la de la figura, se
pide:
a) Calcular el área encerrada por f(x), x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0].
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,)?
20.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las
integrales siguientes:
a)

 30
1
dx
x x
, b)
 
1
0
1
dx
1 x x
.
21.- Para la función

 
  
 
32
x
f(x) 1
5
, determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje
de abscisas alrededor de dicho eje.
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
23.- a) Hallar el área limitada por la curva 

2
2
2
x
y
1 x
y sus asíntotas.
b) Hallar el volumen generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre
0 y 1/2.

Integrales
24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada
de lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la
superficie de hierba que puede comer la vaca.
25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo
que el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m2
, hallar el
precio de dicho material para a=0,15m.
26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera
b) Cilindro recto de radio R y altura H
c) Cono recto de radio R y altura H
d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H
27.- a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región
limitada por las funciones
  

 
2
y x 2
y x 4
alrededor del eje de abscisas.
b) Sean


 
r 2
r 8sen(2 )
las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas
planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)

Integrales
29.- Hallar:
a) Longitud total de la curva, dada en coordenadas polares,
 
  
 
3
r sen
3
.
b) Área de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor del eje de
abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas:
 


t
t
x(t) e cos t
y(t) e sen t
para
 
   
t 0,
2
.
c) Área limitada por la elipse  
22
2 2
yx
1
a b
.
30.- Calcular  


111
22
0
1 x x dx
31.- a) La base de un sólido es la región comprendida entre las parábolas
x = y2
, x = 3-2y2
. Hallar el volumen del sólido sabiendo que las secciones
perpendiculares al eje son triángulos equiláteros.
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva r = 2
sen (3)
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral


1
dx
x(1 x)0
32.- Dada la curva plana y2
=(2-x)3
/x (cisoide), se pide:
a) Longitud del arco de curva para  x 1,2
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su asíntota al
girar alrededor del eje de abscisas.
d) Área de la superficie de revolución para  x 1,2 .
33.-a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en torno al eje
y, la gráfica de la función y =  2
9 x en 0  x  2.
b) Hallar la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones paramétricas



2
x(t) ln t
y(t) t
en el intervalo 1  t  2
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral

3
20
1
dx
x 2x
.

Integrales
34.- Hallar el perímetro de la curva
 


3
3
x a cos t
y a sen t
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva



2x 2x
e e
y
4
y la
recta y=1.
b) Hallar la longitud de las siguientes curvas:

  
 
 
  
x 2sent sen(2t)
y 2 cos t cos(2t)
espiral
car
r = e para
d ideio
0
36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los valores de p
 
b
pa
dx
x a
y calcularla cuando sea convergente.
37.- a) Hallar la longitud del arco de curva dada en polares r=4+2sec(α) en el
intervalo [2/3, 4/3].
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
y2
=2(x+1/2); y2
=4(x+1); y2
=6(3/2-x); y2
=4(1-x).
38.- a) Estudiar si la integral



 2
0
cos
d
1 sen
es impropia y, en su caso, decir
de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la definición.
b) Hallar el área generada en la rotación de la mitad superior de la cardioide
  r a(1 cos ) , a R , alrededor de su eje polar.

Integrales
39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por las
coordenadas:
    
      
   
3 3
x a cos t , y a sen t
2 2
Se pide:
a) Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y t = 1.
b) Área de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita por el
móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al girar alrededor
del eje OX.
c) Volumen del sólido obtenido en el apartado anterior.
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cosθ.
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
42.- Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia
x2
+(y-4)2
=1 al girar alrededor del eje OX.
43.- La curva r=a sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular el volumen
obtenido.
44.- Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones paramétricas:
 


2
3
x cos t
y sen t
45.-Calcular la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes r = aθ con
a>0.
46.- Dada la curva r = 3cos(3)
a) Estudiar el dominio de r.
b) Hallar el área limitada por los tres lazos de la curva del enunciado.
47.- a) Hallar la longitud del arco de la curva:
x = cos t + t sen t
y = sen t – t cost
desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, ).
b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.

Integrales
c) Hallar el área encerrada entre la función

cos x
1 senx
y el eje x entre 0 y .
48.- Dada la curva r2
= 4 cos(2). Calcular:
a) Dominio de r
b) El área limitada por la curva dada (Explicar los límites de integración)
49.- Se consideran las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares son
r   y r 2( 1)   . Calcular:
a) El área encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de intersección: el
origen de coordenadas y el punto de intersección en el segundo cuadrante
b) Perimetro del recinto anterior
50.-Hallar la longitud del arco de la curva r = 1 + cos (cardioide) que está
situado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes apartados:
a) Dibujar la gráfica de la curva dada y sobre la gráfica resaltar la longitud L
del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante.
b) Indicar y explicar los límites de integración.
c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud de una curva en forma
polar.
d) Solución del problema.
51.- Sea la función f(x) = senx – xcosx. Calcular aproximadamente el valor de:
a) El área encerrada por f(x) y las rectas x = -, x =  y el eje OX.
b) La longitud del arco de curva de la función y = f(x) entre los puntos (-, -) y
(, ).
c) La superficie de revolución generada por el arco de curva anterior al girar
52.- Hallar el área encerrada entre las funciones 
2
1
f(x)
x 1
y  3
1
g(x)
x
para x 3
53.- Para la función 
2
1
f(x)
x 1
se pide: a) Representar la función

Integrales
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por f(x) y el eje de
abscisas alrededor de dicho eje.
54.- Para la curva dada en forma paramétrica
 

  
  
 
x(t) ln t
1 1
y(t) t
2 t
se pide, para el
intervalo 1 ≤ t ≤ 10:
a) Representar la gráfica
b) Longitud del arco
c) Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas
d) Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida entre la curva
e) Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área comprendida entre
la curva y el eje de abscisas
55.- Hallar la superficie de revolución generado por la lemniscata de ecuación
(t)
y(t) 4sen(t)co
x(
s(
t) 4 c
t)
os  

 
al girar alrededor del eje de abscisas.
56.- Dada la función  p
1
f(x)
x
siendo p un número real tal que p > 1 se pide
a. Calcular paso a paso la integral

a
f(x)dx siendo a>1 un número real
b. Indicar de qué tipo de integral impropia se trata.
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2 sen(2α);
r2(α)=1, se pide:
a. Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1≥0 ; r2≥0)
b. Estudiar las simetrías de r1 y r2
c. Obtener las intersecciones de r1 y r2
d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e. Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
1
f(x)
x
siendo p un número real tal que p<1 se pide
a. Calcular paso a paso la integral 
a
0
f(x)dx siendo a>1 un número real.

Integrales
59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2 cos(2α);
r2(α)=1, se pide:
a. Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1>0; r2>0)
b. Estudiar las simetrías de r1 y r2
c. Obtener las intersecciones de r1 y r2
d. Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e. Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
 

  
  
 
x(t) ln t
1 1
y(t) t
2 t
se pide, para el
intervalo 0 ≤ x ≤ 1:
a) Longitud de la curva en el intervalo x [0,1] el eje de abscisas.
b) Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho intervalo.
61.- Dada la función f(x)=x2
obtener los siguientes volúmenes de revolución
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
62.- Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
4
2
x 6
si 6 x 6
x 6
f(x)
3
en otro caso
x x 20

   
 

  
b) Encerrada por la curva r( ) a sen(2 ) con a 0   
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX, el lazo de la curva
9 y2
= x (3 - x)2
63.- Calcular:
a) La longitud del arco de la parábola y = x2
– 2x + 5 comprendido entre los
puntos (1, 4) y
3 17
,
2 4
 
 
 
.
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en
coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva 2
r cos  .

Integrales
64.- Dada la función f(x) = 3 2
1
x x 2 
, cuya gráfica es la de la figura, se pide:
65.- Calcular
2
-x
-
e dx

 .
66.- Considerando la circunferencia de radio R en coordenadas polares, hallar:
a) El área del círculo.
b) La longitud de la circunferencia.
c) El volumen de la esfera.
d) La superficie de la esfera.
67.- La tasa de variación en la población de conejos es 2
dP 100 25t
dt t 8t 16,1


 
(t
tiempo en años) Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
b) Si la población inicial de conejos es de 50 unidades, hallar el número
máximo de conejos.
c) ¿Se extinguirán los conejos?
68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces 2
1
y'
1 x


b) Calcular la derivada de la siguiente función:
3
2x
t
ln x
F(x) e dt 
c) Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y =
x2
el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
d) Calcular
1 1
,
2 2
 
  
 
a) Calcular el área encerrada por f(x),
x = -2 y el eje Y.
b) Calcular el área encerrada por f(x),
y el eje X en [2,).
c) Estudiar la convergencia de
2
1
f(x) dx .
d) Estudiar la convergencia de
0
f(x) dx

 .

Integrales
69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces
2
1
y'
x 1


3
2
x
e
ln t
F(x) dt
t
 
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de
f(x) tgx en el intervalo 0,
2
 
  
.
d) Calcular (4)
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln  2
x x 1 
3
x
x
sent
F(x) dt
t
 
c) La curva y2
= e-2x
gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del
cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas
(OX) cuando x>0.
d) Calcular
7
2
 
  
 
, sabiendo que
1
2
 
   
 
71.- a) Demostrar la siguiente relación:  2 2
ch x sh x ch 2x 
3
2
x
x
sent
F(x) dt
t
 
c) La integral
2
20
x
dx
4 x
 , ¿es impropia? Calcularla.
d) Calcular (4,5)
72.-Dada la función
2
x
f(x) e
 . Se pide:
a) Calcular el área encerrada por la función f(x) y su asíntota.
b) Calcular el volumen generado por la función f(x) al girar alrededor de su
asíntota.
c) Hallar la longitud de la función f(x) en el intervalo [0,1].
d) La función f(x) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie
obtenida en el intervalo [-1,1].
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide
2 2
2 2
1 t t(1 t )
,
1 t 1 t
  
   
b) Calcular el volumen de un lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t 1 t(1 t )
,
1 t 1 t
  
   
al girar
alrededor del eje de simetría.

Integrales
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t(1 t ) 1 t
,
1 t 1 t
  
   
d) Calcular la superficie generada por el lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t(1 t ) t 1
,
1 t 1 t
  
   
74.- a) Hallar el área de un lazo de la curva r(α) = 2sen(2α).
b) La curva r(α) = 2sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular e1 volumen
obtenido.
c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r(α) = sen(2α).
d) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie
engendrada.
75.- Dada la curva en coordenadas polares r = eα
, con α < 0, se pide:
a) El área de la región entre la curva y el eje OX.
b) La longitud de la curva.
76. Hallar el área limitada por las regiones: x2
+y2
2x; x2
+y2
4x; yx; y0
77.- a) Sea
cos x si x - ,0
2
f(x)
4 sen x si x 0,
2
  
    
 
       
1a ) Hallar I = 2
2
f(x) dx


 .
2a ) Hallar el valor de k tal que I = .k
3a ) ¿Existe algún punto c del intervalo ,
2 2
  
  
tal que f(c) = k?
4a ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
b) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1
(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva 2
r cos
4
 
   
 
.
78.- a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la
circunferencia de ecuación (x-2)2
+ (y-4)2
= 1 cuando gira alrededor del eje OX.
b) Dada la curva (en coordenadas polares): r sen cos    calcular su longitud.

Integrales
79.- Dada la curva
   
 
x t cos 2t
t
y t tg
2
 

  
  
 
.
a) Calcular el área encerrada por la curva y el eje OY en el segundo
cuadrante (x < 0, y > 0).
b) El área del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el
volumen de revolución obtenido.
80.- Área interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en
coordenadas polares: r= 2
sen  y r =
1
2
(circunferencia de centro en el polo y
radio
1
2
).
81.- La elipse de ecuación 1
49
22

yx
gira alrededor del eje de abscisas.
Calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
a) F(x)=
3
x
2
5
ln (t ) dt ; b) G(x) =  
4
x
5x
ln x t dt ; c) H(x) =
tg x
2
sen t dt .
d) I(x)=
tgx
sen x
sen x cos t dt ; e) J(x)=
ln x
3
tg t dt ; f) K(x)= 2
x
x
tg x sen t dt ;
g) L(x)=
3
x
1
cos t dt ; h) M(x)=
3
2
x
x
cos x sen t dt ; i) N(x)= 2
x
x
tg x sen t dt
83.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva en polares
 r 7 cos 6   y la circunferencia de centro el origen y radio 6.
84.- Calcular la longitud de la curva 2
9y x(3 x) 
85.- Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación alrededor del eje
de abscisas del arco de la curva y = lnx comprendido entre 0 y 1. Indica, en su

Integrales
caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
86.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la rotación
alrededor del eje de abscisas de la elipse cuyas ecuaciones paramétricas son:
x 2 cos t
y 3sent
 


.
87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
arco de la curva y =sen2
x comprendido entre x = 0 y x =.
88.- Calcular la longitud de la curva y x(1 x)  . Indica, en su caso, si la
integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o
divergente.
89.- Hallar la superficie del sólido generado por la astroide de ecuación
3
3
x cos t
y sen t
 


al girar alrededor del eje OY.
de abscisas del arco de la curva y = xe-x
para x ≥ 0. Indica, en su caso, si la
divergente.
91.- Calcular el área comprendida entre las curvas en polares:
a) r 1 cos   y r cos  .
b) r 1 cos   y r cos   .

Integrales
de abscisas de la curva 4
1
y
x 1


. Indica, en su caso, si la integral que has
utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
93.- Las curvas, en polares,  r sen 2  y  r cos 2  , se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral r  
(coordenadas polares).
95.- Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva 2
3
3 x
y
x


alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado
es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
96.- Calcular la superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
eje de abscisas del bucle derecho de la curva
 
x cos t
y sen 3t
 


97.-
a) Hallar el área limitada por las regiones
2 2
x y 2x  ;
2 2
x y 4x  ; y x ; y 0 .
b) Hallar el área limitada por las curvas
x 1 cos t
y sent
  

 
;
x 2 2 cos t
y 2sent
  

 
;
x t
y t
 

 
;
x t
y 0
 

 
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2 cos  ; r 4 cos  ; 1tg  ;sen  0
98.- Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
entre y=x2
e y=2x alrededor del eje X.

Integrales
99.-Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de
ecuación (x-2)2
+ (y-4)2
100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide r=1-cosα.
b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cosα
101.- Obtener el área de la superficie generada por la curva  r 2 cos 2  al
girar alrededor del eje polar.
102.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva 2 2 4
y x x  alrededor del
eje de abscisas.
103.- Estudiar si el área de la región comprendida entre la curva de ecuaciones
2
2 (t)
y(t) 2cos (
x(t
t)
) t g  

 
y su asíntota es finita o no.
104.- Hallar la longitud de la elipse de ecuación
5
r
3 2 cos

 
.
105.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
 2
2 x 3 x
y
1 x



(Trisectriz
de MacLaurin) alrededor del eje de abscisas.
106.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros:
x2
+ y2
= r2
; y2
+ z2
= r2
107.- Dada la curva en coordenadas polares r =
 
 
 3
sen , se pide:
a) Período de la curva
b) Dominio de r ()
c) Longitud de la curva (para valores de  dentro del dominio de la función).

Integrales
108.- Hallar el área encerrada entre la curva
 


2
x cos t
y tg t
y su asíntota.
109.- Hallar la superficie de revolución engendrada al rotar la curva
  2 2
3y x ( x) alrededor del eje de abscisas.
 
 
 3
cos , se pide:
c) Longitud de la curva (para valores de  dentro del dominio de la función).



 
2
1
x
tg t
y sen t
y su asíntota.
  2 2 4
1x (y ) y alrededor del eje de ordenadas.
 
 
 2
tg , se pide:
c) Área encerrada por la curva y el eje OY (para valores de  dentro del
dominio de la función).
114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva
 


2
x cos t
y tg t
y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
115.- Hallar la longitud de la curva    
2
2 4
1y x x .

Integrales
116- Determinar la curva que pasa por el punto (e, 2) y cuya pendiente en cada
punto (x,y), tal que x > 0, es ln x .
a) F(x) =
ln x
3
cos t dt .
b) G(x) =
ln x
cos x
cos x sen t dt .
118.- Calcular:
a) La longitud de la curva en polares 2
r 5 cos(2 ) 
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva anterior.
c) El área interior común a la curva anterior y a 2
r 5 sen(2 )  .
f(x) 2x 1 x , calcular el volumen engendrado al girar la
curva alrededor del eje de ordenadas.
120.- Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a
la curva en polares r 2 cos(3 )   e interior a r 2 cos(3 )   .

Integrales
EJERCICIOS PROPUESTOS
P1.- Calcular, si son convergentes, las integrales:
a) 2 5 2x
0
x e dx


 b) p 1 ax
0
x e dx

 
 con a>0.
P2.- Calcular
1
0
lnx
dx
x
 .
P3.- Hallar p y q para que 2 2 5 3
0
sen t cos t dt

 =(p,q) y calcular 2 5 3
0
sen t cos t dt

 .
P4.- Lo mismo para 2 4 6
0
sen t cos t dt

 .
P5.- Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
a) 2
0
tgxdx

 b)
1
dx
x 1


 c)
4
0
dx
4 x
 d) x x1
dx
e 2

 e)
2 cosx
dx
x




P6.- Hallar el área común al círculo ρ1 = 3cosα y a la cardioide ρ2 = 1+ cosα.
P7.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros x2
+ y2
= r2
; y2
+ z2
= r2
P8.- La curva y2
= 2xe-2x
gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado
por la superficie engendrada.

Integrales
a) 
 
2
x
t
x
F(x) e (sent cos t)dt b)  
3
x
0
G(x) senx cos tdt .
Solución:
a)
Sea
x
a
G(x) f (t)dt G '(x) f (x)  
Consideramos la función continua en R: f(t)=e-t
(sent+cost) y g(x)=x2
una función derivable.
Entonces:
2 2 2
x a x x x
t t t t t
x x a a a
F(x) e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt e (sent cos t)dt    
              
g(x) x
a a
f (t)dt f (t)dt G(g(x)) G(x)    
Derivando:
2
F'(x) G '(g(x))g'(x) G '(x) f (g(x))g'(x) f (x) f(x )2x f (x)      
 
2
-x 2 2 -x
=e sen(x )+cos(x ) 2x-e (senx+cosx)
 
2
-x 2 2 -x
F'(x)=2xe sen(x )+cos(x ) -e (senx+cosx)
b)
Sea
x
a
F(x) f (t)dt F'(x) f (x)  
Consideramos la función continua en R: f(t)=cost y g(x)=x3
una función derivable. Entonces:
3 3
x x g(x)
0 0 0
G(x) senx cos tdt senx cos tdt senx f (t)dt senx.F(g(x))     
Derivando el producto
G'(x) (senx)'G(x) senx.G'(g(x)).g'(x) cos x.G(x) senx.f(g(x)).g'(x)    
3
x
3 2 3 2 3
0
cos x costdt senx cos(x ) 3x cos x (sen(x ) sen0) 3x senx cos(x )    
3 2 3
G '(x) cos x sen(x ) 3x senx cos(x ) 

Integrales
2.- a) Estudiar la convergencia y, cuando sea posible, calcular las siguientes
integrales:
 

 
1 3
221 2
dx dx
x 3 x
b) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral y
el área encerrada entre la función 
 2
x
f(x)
4 x
y el eje de abscisas (OX) en
el intervalo [-2,2].
Solución:
a) La función dada, f(x)=1/x2
es discontinua x=0∈[-1,1] por lo que la integral que se desea calcular
es una integral impropia de segunda especie.
1
1
21 2 1 2
2
1
1 0 1 0 1
2 2 2 2 21 1 0 1 00 0 0 0
1
dx dx dx dx dx 1 1
lím lím lím lím
x xx x x x x


      

   
              
    


   

1 20 0
1 2
1 1
lím 1 lím 1
 
   
          
     
La integral pedida es DIVERGENTE
La función f(x)=1/(3-x)2
no está acotada en x=3∈[2,3], se trata de otra integral impropia de
segunda especie.
     
3
3 3
2 22 20 0 0
2
dx dx 1 1
=lím =lím lím 1
3 x3 x 3 x


  
   
      
     
 


   
es DIVERGENTE
b)
11 2
2 0 2 0 2
2 2 2 2 22 2 0 2 00 0
xdx xdx xdx xdx xdx
I lím lím
4 x 4 x 4 x 4 x 4 x

    
     
    
    

 
2
1 21
0 2
2 2
0 02 0
lím 4 x lím 4 x 2 2

  
            
   

 
0 u. CONVERGENTE
2 2
2 22 0
x xdx
área dx 2 2 2
4 x 4 x
    
 
  4 u2
CONVERGENTE

Integrales
3.- Hallar el área de la región contenida entre las curvas
 
 
1 22 3
1 1
y , y
x 1 x x
:
a) En el intervalo [2,3]
b) Para x 3
Solución:
a)
3 2
3 3
2 3 2 22 2
1 1 x - x + x + 1 1 3
A dx dx ln
x 1 x x x·(x + 1)·(x - 1) 2 4
   
        
    
 
2
ln
3
 
 
 
u2
b)
3 2 3 2
k
2 3 2 2 2 23 2 2k
k
2 2k k
3
1 1 x - x + x + 1 x - x + x + 1
A dx dx lím dx
x 1 x x x·(x + 1)·(x - 1) x·(x + 1)·(x - 1)
1 x 1 x 1 k 1 k
lím ln ln lím ln ln
2 x 1 2 k 1x 1 k 1
 

 
 
     
  
       
         
        
  
1 2 3
ln ln
2 4 10
  
    
   
1 3
0 0 ln ln
2 10
  
      
   
3
ln
5
 
 
 
u2

Integrales
4.- Calcular
   
    
   
1 1 1
, y
2 2 2
Solución:
Sabemos que: 2p 1 2q 12
0
(p,q) 2 sen x cos xdx

 
   , luego 2
0
1 1
( , ) 2 dx 2
2 2 2


     , además
(p) (q)
(p,q)
(p q)
 
 
 
y resulta
2
11 1 ( )( ) ( )
1 1 22 2( , )
1 12 2 (1)( )
2 2
 
   
      
 
1
( )
2
  

Integrales
5.- Analizar el carácter de las siguientes integrales impropias:
 
  
  p 31 1 0
senx senx cos x 1
a) dx con p > 0 b) dx c) dx
x x 1 x x
Solución:
p1
senx
a) dx con p > 0
x


k
p p1 1k
senx senx
dx lím dx
x x


  y como p p p
senx senx 1
x x x
  resulta
k
k
p p p 11 1k k p 1
1
senx 1 1 1 1
dx lím dx lím
1 p p 1x x x

  
 
     
  convergente, por tanto la integral original
es CONVERGENTE si p>1.
¿Qué ocurre cuando 0<p<1?
En este caso, procedemos a resolver la integral por partes:
p 1
p
1
u du px dx
x
dv senxdx v cos x
 
   

    
k
k k
p p p p 1 p 11 1 1 1k k k
1
senx senx cos x pcos x cosx
dx lím dx lím lím dx cos1 p dx
x x x x x
 
   
 
       
    pero si
0 p 1 1 p 1 2      y procediendo como antes: p 1 p 1 p 1
cos x cos x 1
x x x  
  resulta
k
k
p 1 p 1 p1 1k k p 0
1
csx 1 1 1 1
dx lím dx lím
p px x x

   
 
    
  convergente y también la integral original es
CONVERGENTE si 0 p 1  .
31
senx cos x
b) dx
x


Por comparación: 3 3 3
senx cos x senx cos 1
x x x
  resulta
k
k
3 3 21 1k k
1
senx cos x 1 1 1 1
dx lím dx lím
2 2x x x

 
 
     
  CONVERGENTE.
 0
1
c) dx
1 x x


 Integral impropia de tercera especie (intervalo no acotado de función no
acotada en x=0.
     
1
1 2
0 0 1
1 1 1
dx= dx+ dx=I I
1 x x 1 x x 1 x x
 

  
  

Integrales
Estudiemos cada integral por separado:
   
1 1
1
0 0
1 1
I = dx=lím dx
1 x x 1 x x
 
 
pero si 0<x<1 entonces  
 
1 1
1 x x x
1 x x x
   

y sabemos que
1
p0
dx 1
si p<1
1 px

 , en particular
1 1
1/ 20 0
dx dx
xx
  es CONVERGENTE.
   
K
2
1 1K
1 1
I = dx= lím dx
1 x x 1 x x


 
 
 
 
3/ 2
3/ 2
1 1
1 x x x
x1 x x
   

y sabemos que p1
dx 1
si p>1
1 px


 , en particular
p 3/ 21 1
dx dx
x x
 
  es CONVERGENTE.
Por tanto I=I1+I2 es CONVERGENTE.

Integrales
f(x) 2x 1 x se pide:
a) Área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) Volumen engendrado al girar la curva alrededor del eje de abscisas
Solución:
a)
 
1
1 1 3/22 2
0 0
0
2
A 2 f (x)dx 2 2x 1 x dx 2 1 x
3
 
        
 
4
3
u2
o bien,
#1: 2·AREA(x, 0, 1, y, 0, f(x))
b)    
13 5
1 12 2 2
0 0
0
x x
V 2 f (x) dx 2 4x 1 x dx 8
3 5
 
      
 
   
16
15
 u3
o bien,
#2: 2·VOLUME_OF_REVOLUTION(f(x), x, 0, 1)

Integrales
7.- Hallar la longitud de las siguientes curvas, dadas en coordenadas polares.
 
 
 
 
2
a) r 3sen 2
b) r 2sen 3
Solución:
a)
#1: r=√(3·SIN(2·α))
#2: SOLVE(0 = √(3·SIN(2·α)), α, Real)
π π
#3: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = 0
2 2
⎛ π ⎞
#4: 2·POLAR_ARC_LENGTH ⎜√(3·SIN(2·α)), α, 0, ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
π/2
⌠ 1
#5: 2·√3· ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(SIN(2·α))
0
#6: 9.081122899
o bien,
#7: r(α) ≔ √(3·SIN(2·α))
π/2
⌠ 2 2
#8: 2 ·⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
0
π/2
⌠ 1
#9: 2·√3·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(SIN(2·α))
0
#10: 9.081122899

Integrales
b)
Para calcular el área podemos usar dos
procedimientos:
Como los pétalos comienzan y acaban en el origen,
resolvemos r = 0 y nos quedamos con las
soluciones entre 0 y π/2.
2sen(3α)=0; α = 0, π/3.
La longitud del primer pétalo viene dada por
L1=POLAR_ARC_LENGTH(2sen(3α),α,0,π/3)=
4.454964406 u.
Luego la longitud de la curva completa es
L=3L1=13.36489321 u. O bien mediante la
fórmula:    
/ 3 2 2
0
3 r( ) r '( ) d

    .

Integrales
8.- Calcular el área encerrada dentro de la curva
 

 
x(t) 3 2 cos t
y(t) 2 5sent
Solución:
Usamos la fórmula para el cálculo del área de una curva cerrada dada por unas ecuaciones
paramétricas:
    
2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 cos2t
y(t)x '(t) dt 2 5sent 2sent dt 4sent 10sen t dt 4sent 10 dt
2
     
        
 
   
2
0
5
4cos t 5t sen(2t) 4 10 4
2

 
         
10 u2

Integrales
9. Dos alumnos de la Escuela sostienen una cinta por sus extremos, a la misma
altura. La cinta describe una curva que se denomina catenaria, y cuya ecuación
es:
x
y c cosh
c
 
  
 
Calcular la longitud de la cinta hasta un cierto valor de la abscisa x.
Solución:
x 1 x x
f (x) c cosh f '(x) c senh senh
c c c c
   
  
2x x
2
0 0
x
L 1 f x dx 1 senh dx (*
c
      
 
  )
como
2
x x
1 senh cosh
c c
   
    
   
2 xx x
00 0
x x x x
(*) cosh dx cosh dx csenh csenh csenh0
c c c c
  
         
 
x
csenh
c
u
x
c
O

Integrales
10.- Un depósito esférico de 50 m de radio está al 21,6 % de su capacidad
¿Cuál es la profundidad del agua?
Solución:
Consideramos una circunferencia de centro O(0,0) y
de radio r=50 y despejamos x en función de y:
2 2 2 2
x y 50 x 2500 y     y como el volumen
de una esfera de radio r=50 es
3 34 4 500000
V r 50
3 3 3
      resulta el volumen
del agua: agua
500000
V 0,216 36000
3
    .
Planteamos el volumen ocupado por el agua como
una integral:
 
2h h
2 2
agua
50 50
V x dy 2500 y dy
 
      
h3
h
2
50
50
y
(2500 y )dy 2500y
3

 
       
 

3
3h 250000
2500h 36000 h 7500h 142000 0
3 3
 
          
 
cuya ecuación tiene como raíz
entera a h=-20 quedando   2
h 20
h 20 h 20h 7100 0
h 10 60 2
 
     
 
cuya única solo factible
es h=-20 m que da lugar a una profundidad de -20-(-50)=30 m

Integrales
11.- Hallar el volumen del sólido cuya base es la región limitada por el eje x y el
arco de curva y=senx entre x = 0 y x =  y cuyas secciones planas
perpendiculares al eje x son cuadrados con base en la región.
Solución:
La sección plana es un cuadrado de lado senx, por tanto A(x)=sen2
x. El volumen por secciones
viene dado por la integral
 2 2
0 0 0
V A(x)dx sen xdx 1 cos x dx
  
       0
1 cos2x
1 dx
2
  
   
 
 0
1 cos2x
dx
2
  
 
 

 0
0
1 1 sen2x
1 cos2x dx x
2 2 2

  
      
 2

u3

Integrales
12.- Calcular la longitud y el área encerrada por la curva:





cos(t)[2 cos(2t)]
x(t) =
4
sen(t)[2 cos(2t)]
y(t) =
4
Solución:
Longitud:
COS(t)·(2 - COS(2·t))
#1: x(t) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
SIN(t)·(2 + COS(2·t))
#2: y(t) ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4
#3: [x(t), y(t)]
#4: PARA_ARC_LENGTH([x(t), y(t)], t, 0, 2·π) = 3, o bien,
1
0
t
2 2
t
L x ' (t) y' (t)dt 
2·π
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = 3 u
0
Área:
   
1
0
t
t
A y t x t dt 
0
#6: 2·∫ y(t)·x'(t) dt =
3
32

u2
π

Integrales
13.- Dada la hipérbola  2 2
x y 1. Hallar:
a) El área encerrada por la hipérbola y la recta que pasa por su foco de abscisa
positiva.
b) El área encerrada por la hipérbola y su asíntota siendo x 1.
c) La superficie de revolución del casquete hiperbólico formado al girar la hipérbola
respecto del eje X siendo    x 1, 2 .
Solución:
a) Sabiendo que el foco de abscisa positiva es  2,0 , y por simetría será el doble de la integral entre
el vértice y el foco:
2 2
2
1 1
A 2 f (x)dx 2 x 1dx =      2
2-Ln 1+ 2 u
b) Considerando la asíntota y=x:
   2
1 1
A x f (x) dx x x 1 dx =
 
      
c)
 
2
2 2 22 2 2
L 21 1 1
x
S 2 f (x) 1 f '(x) dx 2 x 1 1 dx 2 2x 1dx
x 1
          
  
=  
  2
2Ln 6 3 2 2 2
6 1 u
2
   
  

Integrales
14.- Para un arco de cicloide
 

 
x(t) a(t sent)
y(t) a(1 cos t)
. Se pide:
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OX.
d) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva
y el eje X alrededor del eje OY.
e) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar un arco de la cicloide
respecto del eje X.
Solución:
Un arco va de t=0 a t=2п:
x(t) a(t sent) x'(t) a(1 cost)
y(t) a(1 cost) y'(t) a sent
    
 
  
a)
1
0
t 2
t 0
A y(t)x'(t)dt y(t)x'(t)dt (*)

   
2
0
(*) a(1 cost)a(1 cost)dt

   
2
2 2
0
a (1 cost) dt

 
2
2 2
0
a (1 2cost cos t)dt

   (**)
Calculando las tres integrales por separado.
 
2 2
00
dt t 2
 
  
 
2 2
00
cos tdt sent 0
 
 
 2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 cos2t 1
cos tdt dt dt cos2tdt
2 2
   
      
2
0
1 sen2t
t
2 2

 
    
sustituyendo en la igualdad  2
(**) a 2 0      2 2
3a u
b)        
1
0
t 22 2 2 2
t 0
L y'(t) x'(t) dt y'(t) x'(t) dt (*)

     
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0
(*) a sen t a (1 cost) dt a sen t a 2a cost a cos tdt
 
        
2 2 2
0 0 0
t
a 2 2cos tdt a 2 1 cos tdt 2a 2 sen dt
2
    
      
 
  
2
2
0
0
t t
2a sen dt 4a cos
2 2

     
       
    
 8a u
c)
1
0
t 2
2 2
t 0
V y (t)x'(t)dt y (t)x'(t)dt

     
2
2 2
0
a (1 cost) a(1 cost)dt

   
2
3 3
0
a (1 cos t) dt

   
2
3 2 3
0
a (1 3cos t 3cos t cos t)dt

     
 2 2 2 2
3 2 3
0 0 0 0
a dt 3 cos tdt 3 cos tdt cos tdt (**
   
         )
Calculando las cuatro integrales por separado.
 
2 2
00
dt t 2
 
  
t=2п
t=0 t=2п

Integrales
 
2 2
00
cos tdt sent 0
 
 
 2 2 2 2
2
0 0 0 0
1 cos2t 1
2 2
   
      
2
0
1 sen2t
t
2 2

 
    
 
2 2 2
3 2 2
0 0 0
cos tdt cos t cos tdt cos t 1 sen t dt
  
     
23
2 2
2
0 0
0
sen t
cos tdt cos tsen tdt 0
3

   
    
 
 
sustituyendo en la igualdad  3
(**) a 2 0 3 0        3 2 3
5a u
d) Para el volumen alrededor del eje OY debemos plantear dos integrales, teniendo en cuenta que el
volumen de la región en rojo se resta:
1
0
t 0
2 2 2 2
t 2 0 2
V x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt x (t)y'(t)dt (*)
 
 
           
0
2 2
2
(*) a (t sent) asentdt

   
2
3 2 3
0
a (1 3cos t 3cos t cos t)dt

    
0
3 3 2 2
2
a (sen t 2tsen t t sent)dt

    
3 3 3
6a u
e)
       
1
0
t 22 2 2 2
t 0
L 2 y(t) y'(t) x'(t) dt 2 y(t) y'(t) x '(t) dt (*)

       
2 2
2 2 2 2 2
0 0
(*) 2 a(1 cost) a sen t a (1 cost) dt 2 a (1 cost) 2(1 cost)dt
 
          
2 2
2 2 2 2
0 0
t t t t
8 a sen sen dt 8 a 1 cos sen dt
2 2 2 2
          
             
        
 
2 2
2 2
0 0
t t t
8 a sen dt cos sen dt
2 2 2
        
          
       
 
2 2
2 3
0 0
t 2 t
8 a 2cos cos
2 3 2
 
       
                   
= 2 264
a u
3


Integrales
15.- Para la cardioide de ecuación r =1 + cosα. Se pide:
b) La longitud.
c) El volumen engendrado por la rotación del área encerrada por la curva y el eje X
alrededor del eje OX.
d) La superficie de revolución del cuerpo formado al girar la curva respecto del eje
X.
Solución:
a)  
2
1
2 22 2 2
0 0 0
1 1 1
A r d r d 2 r d 1 cos d
2 2 2
   

             
2
0
(1 2cost cos t)dt

   (**)
Calculando las tres integrales por separado:
 00
dt t
 
  
 00
costdt sent 0
 
 
 2
0 0 0 0
1 cos2t 1
2 2
   
       0
1 sen2t
t
2 2

 
    2

sustituyendo en la igualdad (**)
2

    23
u
2

b)
 
2 22
0
L r r' d

       
2 2
0
2 1 cos sen d

      
0 0 0 0
2 2 2cos d 2 2 1 cos d 2 2 2 cos d 4 cos d
2 2
   
    
               
   
    0
4 2sen
2

   
   
  
= 8 u
c)
 
2
1
33
0
2 2
V r sen d 1 cos sen d
3 3
 

             2 3
0
2
1 3cos 3cos cos sen d
3

          
 2 3
0 0 0 0
2
sen d 3 cos sen d 3 cos sen d cos sen d (**)
3
   
                   
Calculando las cuatro integrales por separado.
 00
sen d cos 2
 
     
2
0
0
1
cos sen d cos 0
2

  
       
 

2 3
0
0
1 2
cos sen d cos
3 3

  
       
 

3 4
0
0
1
cos sen d cos 0
4

  
       
 


Integrales
sustituyendo en la igualdad
2 2
(**) 2 0 3 0
3 3
 
      
 
38
u
3

d)  
22
0
S 2 rsen r r' d

            
2 2
0
2 1 cos sen 1 cos sen d

           
       
0 0
2 1 cos sen 2 2cos d 2 2 1 cos sen 1 cos d
 
                 
     2
0 0
4 1 cos sen cos d 4 2cos sen cos d
2 2 2
 
       
               
     
 
 3 3 4
0 0 0
8 cos sen d 8 cos 2cos sen d 16 cos sen d
2 2 2 2 2 2
  
                
                     
           
  
4 5
0 0
2
16 cos sen d 16 cos
2 2 5 2

         
            
      

232
u
5


Integrales
16.- Determinar la curva que pasa por el punto (4π2
,1) y cuya pendiente, en cada
punto (x,y), tal que x>0, es
cos x
x
.
Solución:
cos x
f '(x)
x

 cos x
f (x) dx C 2sen x C
x
   
y como  2 2
f (4 ) 2sen 4 C 1 C 1      
resulta  f (x) 2sen x 1 

Integrales
17.- Hallar el valor de  que cumpla que 
2
0
f(x) dx =2, siendo
f(x)=
 

 
3 si 0 x 1
5 si 1 x 2
¿Existe algún punto c del intervalo [0,2] tal que f(c)=?
¿Contradice esto el teorema del valor medio integral?
Solución:
2 1 2
0 0 1
f (x) dx 3dx 5 dx 3 5 (2 0)           = 4 .
No existe ningún c[0,2] en que f(c) = 4. Esto no contradice el teorema del valor
medio puesto que este teorema se refiere a funciones continuas y f(x) no lo es en el intervalo
[0,2].

Integrales
18.- Dadas las funciones f(x)=sen(2x) y g(x)= tgx, se pide:
a) Hallar los puntos de intersección de dichas funciones entre -/2 y /2.
b) Hallar el área de la región limitada por dichas funciones entre los puntos de
corte hallados en el apartado anterior.
Solución:
a)
sen(2x)=2senxcosx
tgx=senx/cosx
entonces: 2senxcosx=senx/cosx resulta cos2
x=1/2
4
xy
4
x


b)
A = 4 4 4
0 0
4
f (x) g(x)dx 2 f (x) g(x)dx 2 sen(2x) tan(x)dx
  


       
=
4
4
0
0
senx cos(2x)
2 sen(2x) dx 2 Ln cos x
cos x 2


 
      
 (1 - Ln2) u2

Integrales
19.- Dada la función f(x) =
 
 
3 2
3 2
x 3x 2
x x 2
b) Calcular el área encerrada por f(x) y el eje X en el intervalo [-1,0].
c) ¿Cómo podrías calcular el área encerrada por f(x) y la recta y =1 en [2,)?
Solución:
a) A=
3 2
0
3 22
x 3x 2
dx
x x 2
 
 
22Ln(12)
u
5

b)
3 2
0
3 21
x 3x 2
A dx
x x 2
 
 
 
22Ln(2)
1 u
5 5
 
  
 
c) Se trata de una integral impropia
3 2
3 22
x 3x 2
1 dx
x x 2
   
  
  
 

Integrales
20.- Analizar, aplicando algún criterio de convergencia el carácter de las integrales
siguientes:
a)

 30
1
dx
x x
, b)
 
1
0
1
dx
1 x x
.
Solución:
a) Observemos que 30
1
dx
x x

 =
1
30
1
dx
x x + 31
1
dx
x x


Designaremos I1=
1
30
1
dx
x x e I2 = 31
1
dx
x x

 .
I1 es una integral impropia de segunda especie pues la función 3
1
x x
se hace infinita en x = 0 y el
intervalo de integración (0,1] es finito. Se verifica que:
Luego
1
30
1
dx
x x tiene el mismo carácter que
1
0
1
dx
x que es divergente.
Luego podemos afirmar que 30
1
dx
x x

 es divergente, sea cual sea el carácter de I2.
Aunque no se necesita vamos a probar que I2 es convergente:
I2 es una integral impropia de primera especie pues la función 3
1
x x
es continua en [1,) que es un
intervalo de longitud infinita y tiende a 0 cuando x .
Se verifica que:
 3 3
1,x x x x      3
1
x x
<  3
1
x 1,
x
    31
1
dx
x x

 < 31
1
dx
x

 ,
luego 31
1
dx
x x

 es convergente porque 31
1
dx
x

 es convergente.
b)
 
1
0
1
dx
1 x x . Observemos que:
   1 x 0,1x x x    
 
1 1
1 x x x


< x (0,1],
luego
 
1
0
1
1
dx
x x es convergente porque
1
0
1
dx
x es convergente.

Integrales
21.- Para la función

 
  
 
32
x
f(x) 1
5
, determinar:
a) El área encerrada por la función y el eje de abscisas.
b) El volumen generado al girar el recinto limitado por la curva y = f(x) y el eje de
abscisas alrededor de dicho eje.
Solución:
a)
32
x
A f (x)dx 1 dx =
5

 
 
 
   
 
 
23 5
u
8

b)  
232
2 x
V f (x) dx 1 dx =
5

 
 
  
         
 
2 363 5
u
256


Integrales
22.- Calcular la longitud de una elipse de semiejes 3 y 4.
Solución:
La ecuación de una elipse de semiejes 3 y 4 es:
2 2
2x y 3
1 y 16 x
16 9 4
    
La longitud del arco de curva correspondiente al primer cuadrante será:
 
2
4 4 42
20 0 02
3 1 7 9
L 1 y' dx 1 dx dx 5,5254
4 6 x 1616 x
 
        
 
  
La longitud total de la elipse es: 4L=22,1017

Integrales
23.- a) Hallar el área limitada por la curva 

2
2
2
x
y
1 x
y sus asíntotas.
b) Hallar el volumen generado por la curva cuando gira alrededor del eje x, entre 0
y 1/2.
Solución:
a)
 
11 1 1/22
20 0 0
x
A 4 ydx 4 dx 4 1 x
1 x
      
  
  4 u2
b)
1/22
1/ 2 1/ 2
2
20 0
0
x 1 x 1
V y dx dx Ln x
1 x 2 x 1
  
           
   
1
Ln3 1
2
  u3

Integrales
24.- Una vaca está atada a uno de los vértices de un prado de forma cuadrada de
lado 10 m. Sabiendo que la longitud de la cuerda es 12 m, calcular la superficie de
hierba que puede comer la vaca.
Solución:
El punto de intersección del cuadrado de lado 10 con la circunferencia de radio 12 es
2 2
a 12 10 44 2 11   
Por tanto, la superficie buscada será el área del rectángulo de lados 10 y 2 11 más la integral
10
2 2
2 11
11
I 12 x dx 36 288arctg
11
 
       
 
 28.75861727.
Resultando final S 10 2 11 28.75861727    2
95,09111307 m

Integrales
25.- Un faro tiene forma de espejo parabólico como el de la figura. Sabiendo que
el material reflectante del faro tiene un precio de 10 euros/m2
, hallar el precio de
dicho material para a=0,15m.
Solución:
Hemos de calcular la superficie lateral del espejo obtenido al girar la parábola alrededor del eje OX
entre 0 y a:
   
a a a2 2
0 0 0
a 8
S 2 y 1 y' dx 2 4ax 1 dx 4 a a xdx a 2 2 1
x 3
             
Si a=0,15 el coste será  28
0,15 2 2 1 10 3,4465 euros
3
  

Integrales
26.- Calcular la superficie y el volumen encerrado por las siguientes figuras
geométricas:
a) Esfera
b) Cilindro recto de radio R y altura H
c) Cono recto de radio R y altura H
d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H
Solución:
La esfera se obtiene al girar el circulo x2+y2=r2 alrededor del eje
OX. Con los limites de integración entre –r y r.
 
 
2
22 2
2 22 2
2 2
2
2 2 2 2
x x
y r x y' y'
r xr x
x r
1 y' 1
r x r x

      

   
 
    
b 2
r r2 2 2
2 2r r
a
r
S 2 f x 1 f x dx 2 r x dx 2 r dx
r x 
        
  
2 2
4 r u 
   
rb 32r
2 2 2 2
r
a r
x
V (f x ) dx r x dx r x
3

 
         
 
 
3 34
r u
3

d) Tronco de cono recto de radios R1 y R2 y altura H: la recta generatriz es: 2 1
1
R R
y x R
H

  .
    
2b
H2
2 1 2 1
10
a
R R R R
S 2 f x 1 f x dx 2 x R 1 dx
H H
              
   
 
R1
H
R2
-r r

Integrales
   
2 2 H2 2 2
H2 1 2 12 1 2 1
1 10
0
H R R H R RR R R R x
2 x R dx 2 R x
H H H H 2
       
         
   

 
22 2
2 1 2 1
1
H R R R R H
2 R H
H H 2
   
    
 
   
22 2
1 2 2 1R R H R R u    (1)
 
2 2b
H H
2 22 1 2 1 2 1
1 1 10 0
a
R R R R R R
V (f x ) dx x R dx x 2 xR R dx
H H H
      
                  
  
H2 23 2 3 2
2 22 1 2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
0
R R R R R R R Rx x H H
2 R R x 2 R R H
H 3 H 2 H 3 H 2
         
             
         
=
   
2 2
2 1 2 1 1 1
1
H R R R R R R
3
 
        
2 2 3
1 1 2 2
H
R R R R u
3

    (2)
c) Cilindro recto de radio R y de altura H.
Al ser R1=R2=R resulta:
(1) 2
S 2 RHu  y (2) 2 3
V R Hu 
d) Cono recto de radio R y de altura H.
Al ser R1=0; R2=R resulta:
(1) 2 2 2
S R R H u   y (2) 2 31
V R Hu
3
 
H
R
H
R

Integrales
27.- a) Calcular el volumen del sólido de revolución engendrado al girar la región
limitada por las funciones
  

 
2
y x 2
y x 4
b) Sean


 
r 2
r 8sen(2 )
las ecuaciones en coordenadas polares de dos curvas
planas. Calcular el área común a ambas en el primer cuadrante
Solución:
a)
⎡ 2 ⎤
#1: SOLVE(⎣y = x + 4, y = x + 2⎦, [x, y])
#2: [x = -1 ∧ y = 3, x = 2 ∧ y = 6]
El volumen pedido es igual al obtenido por la rotación de la recta
menos el obtenido por la rotación de la parabola entre x=-1 x=2
#3: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 4, x, -1, 2)= 63·π
2 153·π
#4: VOLUME_OF_REVOLUTION(x + 2, x, -1, 2)= ⎯⎯⎯⎯⎯
5
Respuesta:
153·π 162·π
#5: 63·π - ⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯
5 5
#6: SOLVE(2 = √(8·SIN(2·α)), α, Real)
7·π 5·π π
#7: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯
12 12 12
En el primer cuadrante tenemos los rayos ©=¹/12 y ©=5¹/12
b) El área común se obtiene como suma de
tres superficies:

Integrales
Ár Área de la superficie limitada por
r r=‹(8sen(2©)) y los rayos ©=0 y ©=¹
1
⎛ π ⎞
POLAR_AREA⎜r, 0, √(8·SIN(2·α)),α, 0, ⎯⎯⎟
⎝ 12 ⎠
= 2 - √3
Área de la superficie limitada
por r=2 y los rayos ©=¹/12 y
©=5¹/12
⎛ π 5·π ⎞
POLAR_AREA⎜r, 0, 2, α, ⎯⎯, ⎯⎯⎯⎟=
⎝ 12 12 ⎠
2·π
=⎯⎯⎯
3
Área de la superficie limitada por
r=‹(8sen(2©)) y los rayos ©=5¹/12 y
©=¹/2
⎛ 5·π π ⎞
POLAR_AREA⎜r,0,√(8·SIN(2·α)),α, ⎯⎯⎯,⎯⎟
⎝ 12 2 ⎠
= 2 - √3
Respuesta: la suma de las tres superficies es:
2·π
#11: 2 - √3 + ⎯⎯⎯ + 2 - √3
3
2·π
#12: ⎯⎯⎯ - 2·√3 + 4
3

Integrales
28.- Hallar el área común a los círculos r=2 cos(a), r=1, r=2 sen(a)
Solución:
#1: r = 2·COS(a)
#2: r = 2·SIN(a)
#3: r = 1
#4: SOLVE([r = 2·SIN(a), r = 1], [a, r])
⎡ π 5·π 7·π ⎤
#5: ⎢a = ⎯ ∧ r = 1, a = ⎯⎯⎯ ∧ r = 1, a = - ⎯⎯⎯ ∧ r = 1⎥
⎣ 6 6 6 ⎦
#6: SOLVE([r = 2·COS(a), r = 1], [a, r])
⎡ π π 5·π ⎤
#7: ⎢a = ⎯ ∧ r = 1, a = - ⎯ ∧ r = 1, a = ⎯⎯⎯ ∧ r = 1⎥
⎣ 3 3 3 ⎦
π/6
1 ⌠ 2
#8: ⎯·⌡ (2·SIN(a)) da
2 0
2·π - 3·√3
#9: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
π/3
1 ⌠ 2
#10: ⎯·⌡ 1 da
2 π/6
π
#11: ⎯⎯
12
π/2
1 ⌠ 2
#12: ⎯·⌡ (2·COS(a)) da
2 π/3
2·π - 3·√3
#13: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12

Integrales
π/6 π/3 π/2
1 ⌠ 2 1 ⌠ 2 1 ⌠ 2
#14: ⎯·⌡ (2·SIN(a)) da + ⎯·⌡ 1 da + ⎯·⌡ (2·COS(a))
da
2 0 2 π/6 2 π/3
5·π - 6·√3
#15: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
12
O bien, mediante sus ecuaciones cartesianas:
2 2
#16: x + y = 1
2 2
#17: (x - 1) + y = 1
2 2
#18: x + (y - 1) = 1
⎡ 2 2 2 2 ⎤
#19: SOLVE(⎣x + y = 1, (x - 1) + y = 1⎦, [x, y])
⎡ 1 √3 1 √3 ⎤
#20: ⎢x = ⎯ ∧ y = ⎯⎯, x = ⎯ ∧ y = - ⎯⎯⎥
⎣ 2 2 2 2 ⎦
⎡ 2 2 2 2 ⎤
#21: SOLVE(⎣x + y = 1, x + (y - 1) = 1⎦, [x, y])
⎡ √3 1 √3 1 ⎤
#22: ⎢x = ⎯⎯ ∧ y = ⎯, x = - ⎯⎯ ∧ y = ⎯⎥
⎣ 2 2 2 2 ⎦
2 2
#23: SOLVE((x - 1) + y = 1, y, Real)
#24: y = - √(x·(2 - x)) ∨ y = √(x·(2 - x))
2 2
#25: SOLVE(x + y = 1, y, Real)
2 2
#26: y = - √(1 - x ) ∨ y = √(1 - x )
2 2
#27: SOLVE(x + (y - 1) = 1, y, Real)
2 2
#28: y = 1 - √(1 - x ) ∨ y = √(1 - x ) + 1
0.5
#29: ∫ √(x·(2 - x)) dx
0
√3/2
⌠ 2
#30: ⌡ √(1 - x ) dx
0.5
√3/2
⌠ 2
#31: ⌡ (√(1 - x ) + 1) dx
0
√3/2 √3/2
0.5 ⌠ 2 ⌠ 2
#32: ∫ √(x·(2 - x)) dx + ⌡ √(1 - x ) dx - ⌡ (1 - √(1 - x
)) dx
0 0.5 0
5·π √3
#33: ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
12 2

Integrales
29.- Hallar:
a) Longitud total de la curva, dada en coordenadas polares,
 
  
 
3
r sen
3
.
b) Área de la superficie de revolución obtenida al girar, alrededor
del eje de abscisas, la curva de ecuaciones paramétricas:
 


t
t
x(t) e cos t
y(t) e sen t
para
 
   
t 0,
2
.
c) Área limitada por la elipse  
22
2 2
yx
1
a b
.
Solución:
a)
⎛ ⎛ t ⎞3 3·π ⎞ 3·π
#1: 2·POLAR_ARC_LENGTH⎜SIN⎜⎯⎟ , t, 0, ⎯⎯⎯⎟ = ⎯⎯⎯
⎝ ⎝ 3 ⎠ 2 ⎠ 2
b)
t
#2: x(t) ≔ e ·COS(t)
t
#3: y(t) ≔ e ·SIN(t)
π/2 π
⌠ 2 2 4·√2·π·e 2·√2·π
#4: 2·π·⌡ y(t)·√(x'(t) + y'(t) ) dt )= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 5 5
c)
a
⌠ 2 2 ⎮ b ⎮
#5: 2·⎮ √(a - x )·⎮⎯⎮ dx = π·a·⎮b⎮
⌡ ⎮ a ⎮
-a

Integrales
30.- Calcular  


111
22
0
1 x x dx
Solución:
1
p 1 q 1
0
(p,q) x (1 x) dx 
   es la función de Euler y en nuestro caso p-1=1/2 y q-1=-1/2
luego p=3/2 y q=1/2.
Por tanto la integral pedida vale  
111
22
0
3 1
1 x x dx ,
2 2
  
   
 

Como
(p) (q)
(p,q)
(p q)
 
 
 
resulta
 
3 1 1 1 1 1
3 1 2 2 2 2 2 2,
3 12 2 2 1!
2 2
       
            
              
     
 
1
2


Integrales
31.- a) La base de un sólido es la región comprendida entre las
parábolas x = y2
, x = 3-2y2
. Hallar el volumen del sólido sabiendo que
las secciones perpendiculares al eje X son triángulos equiláteros.
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la
curva r = 2 sen (3)
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral


1
dx
x(1 x)0
Solución:
a)
Resolviendo el sistema obtenemos los puntos de intersección
2
2
x y
x 1
x 3 y
 
 
  
El área del triángulo equilátero de lado 2y es: 1/2√3y2y=√3y2
b 1 3 1 3
2 2
1 2
a 0 1 0 1
3 x
V A(x)dx 3y dx 3y dx 3xdx 3 dx
2

         
=
3 3
2
u3
b) Hallar la longitud del primer lazo (en el primer cuadrante) de la curva:
#1: r = 2·SIN(3·α)
Dibujamos la curva:
2y

Integrales
#2: 0 = 2·SIN(3·α)
#3: SOLVE(0 = 2·SIN(3·α), α, Real)
π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
3 3
d
#5: ⎯⎯ (2·SIN(3·α))
dα
#6: 6·COS(3·α)
2 2
#7: √((2·SIN(3·α)) + (6·COS(3·α)) )
π/3
⌠ 2 2
#8: ⌡ √((2·SIN(3·α)) + (6·COS(3·α)) ) dα
0
π/3
⌠ 2
#9: 2·⌡ √(8·COS(3·α) + 1) dα
0
Aproximadamente 4.454964406
c) Analizar, sin calcular, la convergencia de la integral:
∞
⌠ 1
#22: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x)
0
integral impropia de 3ª especie, se descompone en suma de dos integrales
1 ∞
⌠ 1 ⌠ 1
#23: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x) ⌡ √x·(1 + x)
0 1
analizando cada una por separado
1 1
⌠ 1 ⌠ 1
#24: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ ⎮ ⎯⎯ dx
⌡ √x·(1 + x) ⌡ √x
0 0

Integrales
1
⌠ 1
#25: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ 2
⌡ √x·(1 + x)
0
convergente
∞ ∞
⌠ 1 ⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ ⎮ ⎯⎯⎯⎯ dx
#26: ⌡ √x·(1 + x) ⎮ 3/2
1 ⌡ x
1
∞
⌠ 1
#27: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx ≤ 2
⌡ √x·(1 + x)
1
convergente
Por tanto, la integral pedida es convergente

Integrales
32.- Dada la curva plana y2
=(2-x)3
/x (cisoide), se pide:
a) Longitud del arco de curva para  x 1,2
b) Área de la región comprendida entre la cisoide y su asíntota.
c) Volumen que engendra la región comprendida entre la cisoide y su
asíntota al girar alrededor del eje de abscisas.
d) Área de la superficie de revolución obtenida al girar la curva
alrededor del eje de abscisas para  x 1,2 .
Solución:
a) Longitud = L y dx
a
b
  1 2
'
2
⌠ ⎛ 3·x + 2 ⎞
⎮ √⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx= -2√3LN(7√15 - 12√5 - 16√3+28) + 4√5 – 8 u
#1: ⎮ ⎜ 3 ⎟
⌡ ⎝ x ⎠
1
b) Área =
 
3
2
0
2
2

  
b
a
x
A f(x) dx dx
x
= 3·π u2
c) Volumen = V f x dx
a
b
  2
( )
 
3
2
0
2 
 
x
dx
x
= ∞
d) Área de la superficie =     
2
2 1
b
a
f x f x dx 
2
⌠ ⎛ 3 ⎞
⎮ ⎜ (2 - x) ⎟ ⎛ 3·x + 2 ⎞
#8: ⎮ 2·π·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dx
⎮ ⎝ x ⎠ ⎜ 3 ⎟
⌡ ⎝ x ⎠
1
⎛ √15 ⎞
32·√3·π·ATAN⎜⎯⎯⎯⎟
#9: ⎝ 5 ⎠
6·√5·π - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯u2
3

Integrales
33.-a) Hallar el área de la porción de esfera generada al girar, en
torno al eje y, la gráfica de la función y =  2
9 x en 0  x  2.
b) Hallar la longitud de arco de la curva dada por las ecuaciones
paramétricas



2
x(t) ln t
y(t) t
en el intervalo 1  t 2
c) Estudiar, sin calcular, la convergencia de la integral

3
20
1
dx
x 2x
.
Solución:
a)
2
#1: AREAY_OF_REVOLUTION(√(9 - x ), x, 0, 2) = π·(18 - 6·√5)
o bien, despejando x en la función, puesto que se gira alrededor del
eje Y
2
#2: SOLVE(y = √(9 - x ), x, Real)
2 2
#3: x = - √(9 - y ∨ x = √(9 - y )
Área de la superficie =  
2
2 1 
d
c
x x' dy
d 2
#4: ⎯⎯ √(9 - y )
dy
y
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#5: 2
√(9 - y )
3
⌠ 2 ⎛ ⎛ y ⎞2⎞
⎮ 2·π·√(9 - y ) ·√⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dy = π·(18 - 6·√5)
#6: ⎮ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝ ⎝ √(9 - y ) ⎠ ⎠
√5

Integrales
b)
⎡ 2⎤
#1: ⎣LN(t), t ⎦
d ⎡ 2⎤
#2: ⎯⎯ ⎣LN(t), t ⎦
dt
⎡ 1 ⎤
#3: ⎢⎯, 2·t⎥
⎣ t ⎦
2
⌠ ⎛⎛ 1 ⎞2 2⎞
#4: ⎮ √⎜⎜⎯⎟ + (2·t) ⎟ dt
⌡ ⎝⎝ t ⎠ ⎠
1
⎛ √65 5·√13 √5 1 ⎞
LN⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯⎟
#5: ⎝ 16 16 16 16 ⎠ √65 √5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
2 2 2
#6: valor aproximado 3.091362424
O bien, con la función:
#7: ⎡ 2⎤
PARA_ARC_LENGTH(⎣LN(t), t ⎦, t, 1, 2) =
⎛ √65 5·√13 √5 1 ⎞
LN⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯ - ⎯⎯⎟
⎝ 16 16 16 16 ⎠ √65 √5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯ - ⎯⎯
2 2 2

Integrales
c)
3
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#1: ⎮ 2
⌡ x - 2·x
0
#2: ?
Descomposición en fracciones simples:
1 1
#3: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯
2·(x - 2) 2·x
La integral
2
⌠ 1
#4: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·(x - 2)
0
es impropia de segunda especie y por ser de la forma
 
b
pa
1
dx
x b
 con
p 1 es divergente.
2
⌠ 1
#5: ⎮ ⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·x
0
es impropia de segunda especie y por ser de la forma
 
b
pa
1
dx
x a
 con
p 1 es divergente.
Análogamente,
3
⌠ ⎛ 1 1 ⎞
#6: ⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎟ dx = ∞
⌡ ⎝ 2·(x - 2) 2·x ⎠
2
La integral propuesta es divergente

Integrales
34.- Hallar el perímetro de la curva
 


3
3
x a cos t
y a sen t
Solución:
Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el eje de abscisas y al eje
de ordenadas, luego nos limitaremos a calcular la longitud de una rama.
Los puntos (a,0) y (0,a) se obtienen para t=0 y t=π/2 respectivamente
1
0
t
2 2 2 22
t 0
L x ' (t) y' (t)dt 4 x ' (t) y' (t)dt (*)

     
Calculamos las derivadas y sumamos sus cuadrados:
2
2
x '(t) 3a cos t sent
y'(t) 3a sen t cos t
  


2 2 4 2
2 2 4 2
x ' (t) 9a cos t sen t
y' (t) 9a sen t cos t
 


2 2 2 4 2 2 4 2
2 2 2 2 2 2 2
1
2
x ' (t) y' (t) 9a cos t sen t 9a sen t cos t
9a cos t sen t(cos t sen t) 9a cos t sen t
   
  
Sustituyendo en (*)
2 2
2 2 22 2
0 0
0
sen t
(*) 4 9a cos t sen tdt 12a cos t sent dt 12a =
2

 

   

  6a u
Con DERIVE:
3
#1: x(t) ≔ a·COS(t)
3
#2: y(t) ≔ a·SIN(t)
π/2
⌠ 2 2
#3: 4·⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = 6·⎮a⎮
0
‐ a
‐ a
a
a

Integrales
35.- a) Hallar el perímetro del recinto limitado por la curva



2x 2x
e e
y
4
y la recta y=1
b) Hallar la longitud de las siguientes curvas:

  
 
 
  
x 2sent sen(2t)
y 2 cos t cos(2t)
espiral
car
r = e para
d ideio
0
Solución:
a)
2·x - 2·x
e e
#1: y = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 4
2·x - 2·x
e e
#2: 1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 4
⎛ 2·x - 2·x ⎞
⎜ e e ⎟
#3: SOLVE⎜1 = ⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, Real⎟
⎝ 4 4 ⎠
LN(2 - √3) LN(√3 + 2)
#4: x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
⎛ 2·x - 2·x ⎞
d ⎜ e e ⎟
#5: ⎯⎯ ⎜⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
dx ⎝ 4 4 ⎠

Integrales
2·x - 2·x
e e
#6: ⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
⎛ ⎛ 2·x - 2·x ⎞2⎞
⎜ ⎜ e e ⎟ ⎟
#7: √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
LN(√3 + 2)/2
⌠ ⎛ ⎛ 2·x - 2·x ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ e e ⎟ ⎟
#8: ⎮ √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx = √3
⌡ ⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
LN(2 - √3)/2
Y el segmento LN(√3 + 2) - LN(2 - √3)
LN(√3 + 2) - LN(2 - √3) + √3
o bien
LN(√3 + 2)/2
#9:∫ √1 dx + √3 = √3 - LN(2 - √3)+ LN(√3 + 2)/2
LN(2 - √3)/2
Aproximadamente, 3.049008704
b)
#1: x(t) ≔ 2·SIN(t) - SIN(2·t)
#2: y(t) ≔ 2·COS(t) - COS(2·t)
#3: [x(t), y(t)]
2 2
#4: √(x'(t) + y'(t) )
2·π
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt
0
#6: 16
c)
α
#1: r(α) ≔ e
0
⌠ 2 2
#2: ⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
-∞
#3: √2

Integrales
36.- Estudiar la naturaleza de la siguiente integral en función de los
valores de p
 
b
pa
dx
x a
y calcularla cuando sea convergente.
Solución:
 
b
pa
dx
x a
 discontinuidad en x=a (integral impropia de 2ª especie)
   
b b
p pa a0
dx dx
lim
x a x a

 
 
si p=1
   
   
b b b
aa a0 0 0
dx dx
lim lim Ln(x a) lim Ln b a Ln
x a x a   
        
  
DIVERGENTE
si p≠ 1
   
b1 p 1 p 1 p
b b
p pa a0 0 0
a
dx dx (x a) (b a)
I lim lim lim (*)
1 p 1 p 1 px a x a
  
  

     
              
 
Si p 1 1 p 0 I     
1 p
(b a)
1 p



CONVERGENTE
Si
1 p
(b a)
p 1 1 p 0 I
1 p


         

DIVERGENTE

Integrales
37.- a) Hallar la longitud del arco de curva dada en polares
r=4+2sec(α) en el intervalo [2/3, 4/3].
b) Hallar el área marcada en la figura que encierran las parábolas:
y2
=2(x+1/2); y2
=4(x+1); y2
=6(3/2-x); y2
=4(1-x).
Solución:
a)Longitud del arco de la curva:
#1: r(α) ≔ 4 + 2·SEC(α)
para © variando en [2¹/3,4¹/3].
⎛ 2·π 4·π ⎞
#2: POLAR_ARC_LENGTH⎜4 + 2·SEC(α), α, ⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ 3 3 ⎠
4·π/3
⌠ 4 3
⎮ √(4·COS(α) + 4·COS(α) + 1)
#3: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⎮ 2
⌡ COS(α)
2·π/3
#4: 5.812830804
ó bien:
4·π/3
⌠ 2 2
#5: ⌡ √(r(α) + r'(α) ) dα
2·π/3
4·π/3
⌠ 4 3
⎮ √(4·COS(α) + 4·COS(α) + 1)
#6: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⎮ 2
⌡ COS(α)
2·π/3
#7: 5.812830804

Integrales
b) Área encerrada por las parábolas:
2 ⎛ 1 ⎞
#10: y = 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
2
#11: y = 4·(x + 1)
2 ⎛ 3 ⎞
#12: y = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠
2
#13: y = 4·(1 - x)
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞
#14: 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎞
#15: SOLVE⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟, x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#16: x = 1
⎛ 1 ⎞
#17: 2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 4·(1 - x)
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 1 ⎞ ⎞
#18: SOLVE⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟ = 4·(1 - x), x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
1
#19: x = ⎯⎯⎯
2
⎛ 3 ⎞
#20: 4·(x + 1) = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ 3 ⎞ ⎞
#21: SOLVE⎜4·(x + 1) = 6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟, x⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
1
#22: x = ⎯⎯⎯
2
#23: 4·(x + 1) = 4·(1 - x)
#24: SOLVE(4·(x + 1) = 4·(1 - x), x)
#25: x = 0
2 ⎛ 1 ⎞
#26: y = 2·⎜1 + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
#27: SOLVE⎜y = 2·⎜1 + ⎯⎯⎯⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#28: y = - √3 ∨ y = √3
2 ⎛ 1 1 ⎞
#29: y = 2·⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 2 ⎠
⎛ 2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎞
#30: SOLVE⎜y = 2·⎜⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 2 ⎠ ⎠
#31: y = - √2 ∨ y = √2
2 ⎛ 1 ⎞
#32: y = 4·⎜⎯⎯⎯ + 1⎟
⎝ 2 ⎠

Integrales
⎛ 2 ⎛ 1 ⎞ ⎞
#33: SOLVE⎜y = 4·⎜⎯⎯⎯ + 1⎟, y⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#34: y = - √6 ∨ y = √6
2
#35: y = 4·(1 - 0)
2
#36: SOLVE(y = 4·(1 - 0), y)
#37: y = -2 ∨ y = 2
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1
#38: ⎜0 < x < ⎯⎯⎯ ∧ √(4·(1 - x)) < y < √(4·(x + 1))⎟ ∨ ⎜⎯⎯⎯ < x < 1 ∧
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞⎞
√⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟ < y < √⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠⎠
El área pedida es dos veces el área rayada.
#39: √(4·(x + 1)) - √(4·(1 - x))
1/2
#40: ∫ (√(4·(x + 1)) - √(4·(1 - x))) dx
0
√2 8
#41: ⎯⎯⎯⎯ + √6 - ⎯⎯⎯
3 3
⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞
#42: √⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟ - √⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠
1
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ 3 ⎞⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞⎞
#43: ⎮ ⎜√⎜6·⎜⎯⎯⎯ - x⎟⎟ - √⎜2·⎜x + ⎯⎯⎯⎟⎟⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ⎝ 2 ⎠⎠⎠
1/2
2·√2 4·√3 2·√6
#44: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3 3
⎛⎛ √2 8 ⎞ ⎛ 2·√2 4·√3 2·√6 ⎞⎞
#45: 2·⎜⎜⎯⎯⎯⎯ + √6 - ⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎟
⎝⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 3 3 3 ⎠⎠
10·√6 8·√3 16
#46: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 2·√2 - ⎯⎯⎯⎯
3 3 3
#47: 1.041257447

Integrales
38.- a) Estudiar si la integral



 
2
0
cos
d
1 sen
es impropia y, en su
caso, decir de qué tipo es. A continuación, calcularla aplicando la
definición.
b) Hallar el área generada en la rotación de la mitad superior de la
cardioide   r a(1 cos ) , a R , alrededor de su eje polar.
Solución:
⎛ π COS(α) ⎞
#1: IF⎜0 < α < ⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 √(1 - SIN(α)) ⎠
COS(α)
#2: lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
α→π/2 √(1 - SIN(α))
#3: ± √2
a) No es una integral impropia, pues la función es continua en
(0,π/2)
π/2
⌠ COS(α)
#4: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(1 - SIN(α))
0
#5: 2
b)
         
1
0
2 2
S 2 f sen f f d


        
#6: r = a·(1 - COS(θ))
d
#7: ⎯⎯ (a·(1 - COS(θ)))
dθ
#8: a·SIN(θ)
2 2
#9: 2·π·a·(1 - COS(θ))·SIN(θ)·√((a·(1 - COS(θ))) + (a·SIN(θ)) )
2
32·π·a ·SIGN(a)
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
5
32πa2/5 u2

Integrales
39.- En cada instante t, la posición de un móvil viene determinada por
las coordenadas:
    
      
   
3 3
x a cos t , y a sen t
2 2
Se pide:
a) Longitud del camino recorrido por el móvil entre los instantes t = 0 y
t = 1.
b) Área de la superficie obtenida por la revolución de la curva descrita
por el móvil desde el inicio (t = 0) hasta volver a la posición inicial, al
girar alrededor del eje OX.
c) Volumen del sólido obtenido en el apartado anterior.
Solución:
⎛ t·π ⎞3
#1: x(t) ≔ a·COS⎜⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ t·π ⎞3
#2: y(t) ≔ a·SIN⎜⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 ⎠
a)
1
0
t
2 2
t
L x ' (t) y' (t)dt 
1
⌠ 2 2 3·⎮a⎮
#3: ⌡ √(x'(t) + y'(t) ) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯
0 2
b)        
1
0
t
2 2
L
t
S 2 y t x t y t dt   
1 2
⌠ 2 2 12·π·a ·SIGN(a)
#4: 2·2·π·⌡ y(t)·√(x'(t) + y'(t) ) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 5
c)
1
0
t
2
t
V y (t)x '(t)dt 
1 3
⌠ 2 32·π·a
#5: 2·π·⌡ y(t) ·x'(t) dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
0 105

Integrales
40.- Calcular el área delimitada por la curva r=cosθ
Solución:
Calculamos el área del semicírculo y multiplicamos por 2:
2
1
2 22
0
1 1
S r d 2 r d
2 2



     
22
0
cos d

  
 / 2 / 2 / 2
0 0 0
1 cos2 1
d d cos2 d
2 2
   
        
/ 2
0
1 sen2
2 2

 
    
2
u
4


0 
2

 

Integrales
41.- Calcular el volumen del elipsoide.
Solución:
Ecuación de la elipse:
2 2 2
2 2 2
x y z
1
a b c
  
 
b
a
V A x dx 
El área de la sección A(x) es el área de la elipse, cuyos semiejes dependen del punto de
intersección x
Al cortar con el plano perpendicular al eje OX,
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
y z x y z
1 1
b c a x x
b 1 c 1
a a
     
   
    
   
Semiejes:
2
2
x
b 1
a
 
 
 
y
2
2
x
c 1
a
 
 
 
2 2 2
2 2 2
x x x
A(x) b 1 c 1 bc 1
a a a
     
           
     
Por consiguiente, teniendo en cuenta los limites sobre el eje X:
 
a
a a 2 3
2 2
a a a
x x
V A x dx bc 1 dx bc x
a 3a  
    
           
    
 
34
abc u
3

X
Y
Z
a
b
c

Integrales
42.- Hallar el volumen engendrado por la rotación de la circunferencia
x2
+(y-4)2
=1 al girar alrededor del eje OX.
Solución:
Al girar un círculo alrededor de un eje que está en el mismo plano que el círculo pero
que no corta a éste se obtiene un toro:
Debemos considerar el volumen del cuerpo obtenido al girar la semicircunferencia
superior menos el correspondiente a la semicircunferencia inferior, ya que la generatriz
es una curva cerrada.
2
y 4 1 x  
2
y 4 1 x  
 
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx      
2 21
2 2
1
4 1 x 4 1 x dx

 
        
 

2 3
8 u

Integrales
43.- La curva r=a sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular el
volumen obtenido.
Solución:
El volumen es generado por dos pétalos y por simetría el doble del obtenido con un solo pétalo.
 
2
1
33 32 2
0 0
2 2 2
V r sen d 2 r sen d 2 asen2 sen d
3 3 3
 


               
   
3 33 32 2
0 0
4 4
a sen2 sen d a 2sen cos sen d
3 3
 
            
3 4 32
0
32
a sen cos d (*)
3

    
La función beta de Euler permite resolver esta integral.
3 3 3
3
(3/ 2)1 (1)
32 1 16 (5/ 2) (2) 16 2(*) a (5/ 2,2) a a
5 7 73 2 3 3
2
2 2 2
 
 
       
   
     
   
3 3
3 3
(3/ 2)1 (1) (3/ 2)1 (1)
16 162 2a a
7 5 5 7 5 3 33 3
2 2 2 2 2 2 2
   
    
   
    
   
3 364
a u
105


Integrales
44.- Hallar la longitud total de la curva dada por las ecuaciones
paramétricas:
 


2
3
x cos t
y sen t
Solución:
t=0
t=п/2
Obtenemos la gráfica y observamos que es simétrica respecto el eje de abscisas, luego
nos limitaremos a calcular la longitud de una rama.
1
0
t
2 2 2 22
t 0
L x ' (t) y' (t)dt 2 x ' (t) y' (t)dt (*)

     
Calculamos las derivadas:
2
x '(t) 2cos t sent
y'(t) 3sen t cos t
 


2 2 2
2 4 2
x ' (t) 4cos t sen t
y' (t) 9sen t cos t
 


2 2 22
0
(*) 2 cos tsen t(4 9sen t)dt

  
26 13 16
u
27 27


Integrales
45.-Calcular la longitud del primer paso de la espiral de Arquímedes
r = aθ con a>0.
Solución:
Tenemos que: r=aθ, luego r’=a, por tanto,
2
1
2 2
L r r ' d


  
2 2
2 2 2 2
0 0
a a d a 1 d (*)
 
         
Con el cambio: sht d chtdt t argsh       
argsh(2 ) arg sh(2 ) argsh(2 ) argsh(2 )
2 2 2
0 0 0 0
1 ch2t
(*) a sh t 1 chtdt a ch t chtdt a ch tdt a tdt
2
    
          
arg sh(2 ) 2
2
0
0
a 2sht cht a
t argsh 1
2 2 2
 
              
 
2
2 2
0
a
Ln 1 1
2

          
    2 2a
Ln 2 4 1 2 4 1
2
         
  

Integrales
46.- Dada la curva r = 3cos(3)
a) Estudiar el dominio de r.
b) Hallar el área limitada por los tres lazos de la curva del
enunciado.
Solución:
a) Para pertenecer al dominio de r son todos los nº Reales menos aquellos que
hagan a r menor que cero, infinito o no sea un nº real.
Resolvemos la ecuación trigonométrica:
#1: r(α) ≔ 3·COS(3·α)
#2: 3·COS(3·α) = 0
#3: SOLVE(3·COS(3·α) = 0, α, Real)
π π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = ⎯
6 6 2
Dibujo de un lazo (-π/6≤ α ≤π/6):
a) Dominio de r:
cos(3α)≥0, luego, 3α variando en:
⎡ π ⎤ ⎡ 3·π 5·π ⎤ ⎡ 7·π 9·π ⎤ ⎡ 11·π ⎤
#5: ⎢0, ⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯⎯, 6·π⎥
⎣ 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 2 ⎦ ⎣ 2 ⎦
Es decir, α variando en:
⎡ π ⎤ ⎡ π 5·π ⎤ ⎡ 7·π 3·π ⎤ ⎡ 11·π ⎤
#6: ⎢0, ⎯⎥ ∪ ⎢⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎥ ∪ ⎢⎯⎯⎯⎯, 2·π⎥
⎣ 6 ⎦ ⎣ 2 6 ⎦ ⎣ 6 2 ⎦ ⎣ 6 ⎦
que es el dominio de r(α).

Integrales
b) Área encerrada por la curva:
Es 6 veces el área encerrada por medio lazo (ó tres veces el área
encerrada por un lazo)
⎛ π/6 ⎞
⎜ 1 ⌠ 2 ⎟
#7: 6·⎜⎯·⌡ (3·COS(3·α)) dα⎟
⎝ 2 0 ⎠
9·π
#8: ⎯⎯⎯ u2
4
Si  = 0  r = 3
Si  = π/6  r = 0

Integrales
47.- a) Hallar la longitud del arco de la curva:
x = cos t + t sen t
y = sen t – t cost
desde el punto (1, 0) hasta el punto (-1, ).
b) Realizar una gráfica aproximada de la longitud que se pide.

cos x
1 senx
y el eje x
entre 0 y .
Solución:
a) Se calcula t para el primer punto (1, 0) para ello se realiza el sistema de ecuaciones:
1 = cos t + t sen t
0 = sen t – t cost
Elevamos al cuadrado las ecuaciones y sumamos las dos ecuaciones.
#1: (1 = COS(t) + t·SIN(t))
2 2 2
#2: 1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t)
2
#3: (0 = SIN(t) - t·COS(t))
2 2 2
#4: 0 = t ·COS(t) - 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t)
2 2 2 2
2
#5: (1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t) ) + (0 = t ·COS(t)
2
- 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t) )
2
#6: 1 = t + 1
2
#7: SOLVE(1 = t + 1, t)
#8: t = 0
Se calcula t para el segundo punto (-1, π)
-1 = cos t + t sen t
π = sen t – t cost
Elevamos al cuadrado las ecuaciones y sumamos las dos ecuaciones.
Sustituimos x por -1 e y por π:
2
#9: (-1 = COS(t) + t·SIN(t))
2 2 2
#10: 1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t)
2
#11: (π = SIN(t) - t·COS(t))
2 2 2 2
#12: π = t ·COS(t) - 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t)
2 2 2 2 2
2
#13: (1 = COS(t) + 2·t·SIN(t)·COS(t) + t ·SIN(t) ) + (π = t
·COS(t)
2
- 2·t·SIN(t)·COS(t) + SIN(t) )
2 2
#14: π + 1 = t + 1

Integrales
2 2
#15: SOLVE(π + 1 = t + 1, t)
#16: t = -π ∨ t = π
Representación gráfica de la curva desde t=0 a t = π
#17: [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
Cálculo de la longitud de la curva desde t=0 a t=π
d
#19: ⎯⎯ [COS(t) + t·SIN(t), SIN(t) - t·COS(t)]
dt
#20: [t·COS(t), t·SIN(t)]
2 2
#21: √((t·COS(t)) + (t·SIN(t)) )
π
⌠ 2 2
#22: ⌡ √((t·COS(t)) + (t·SIN(t)) ) dt
0
#23:
2
2

u
b) Representación gráfica de la curva desde t=0 a t = π
cos
1
x
senx
y el eje x entre 0 y 
COS(x)
#25: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
Representación gráfica:
⎛ COS(x) ⎞
#26: IF⎜0 < x < π, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ √(1 - SIN(x)) ⎠

Integrales
#27: √(1 - SIN(x))
#28: SOLVE(√(1 - SIN(x)), x)
5·π 3·π π
#29: x = ⎯⎯⎯ ∨ x = - ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯
2 2 2
Luego el denominador se hace cero en π/2
COS(x)
#30: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
π/2
⌠ COS(x)
#31: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ √(1 - SIN(x))
0
#32: 2
COS(x)
#33: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(1 - SIN(x))
⎮ COS(x) ⎮
#34: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ √(1 - SIN(x)) ⎮
π
⌠ ⎮ COS(x) ⎮
#35: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx
⌡ ⎮ √(1 - SIN(x)) ⎮
π/2
#36: 2
Área total: 2 + 2 = 4 u2

Integrales
48.- Dada la curva r2
= 4 cos(2). Calcular:
a) Dominio de r
b) El área limitada por la curva dada (Explicar los límites de
integración)
Solución:
1. Dominio
Resolvemos la inecuación 4cos(2) ≥ 0
cos(2) = 0  2 = arc cos0  2 = /2 +  k   = /4 + /2 k
Son positivos en 













2,
4
7
4
5
,
4
3
4
,0
a) Dominio de r = 













2,
4
7
4
5
,
4
3
4
,0
Cálculo del área:
1ª forma. Integrando cada parte del Dominio:
π/4
⌠ 1
#1: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
0
225·π/180
⌠ 1
#2: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 2
⌡ 2
135·π/180
2·π
⌠ 1
#3: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
315·π/180
b) Área = 4
2ª Forma El área pedida consta de 4 partes iguales, es decir
π/4
⌠ 1
#4: ⎮ ⎯·(4·COS(2·α)) dα = 1
⌡ 2
0
Área total = 4*1 = 4 u2

Integrales
49.- Se consideran las curvas cuyas ecuaciones en coordenadas polares
son r   y r 2( 1)   . Calcular:
a) El área encerrada entre ambas curvas entre sus puntos de
intersección: el origen de coordenadas y el punto de intersección en el
segundo cuadrante
b) Perimetro del recinto anterior
Solución
Denominemos a las curvas
Dominio de r1: α > 0
Dominio de r2: (α-1) > 0  α > 1
La intersección de ambas curvas se obtiene haciendo r1 = r2 de donde se obtiene el
ángulo α = 2 y
La representación gráfica de ambas curvas es la siguiente:
Para calcular el área encerrada entre la primera curva y el origen polar, entre los valores
de α=0 y α = 2: A1 =
2
2 2
2 2
10 0
0
1 1 1 1
r d d 1
2 2 2 2
 
 
 
        
 
El área encerrada entre la segunda curva y el origen polar entre esos mismos valores
angulares: A2 =
2 2 22 2
21 00 0
1 1 1 1
r d 2( 1)d
2 2 2 2
 
 
            
El área encerrada entre ambas será, por tanto, A = A1-A2 =
1
2
u2
b) El perímetro viene dado por
2
1
2 2
L r r ' d


  
En nuestro caso el perímetro será la suma de las longitudes de las dos curvas que
encierran el área y se calculan
2
1
2
2 2
1 1 1 0
1
L r r ' d d
4


      
  ≈ 2.583 u
2
1
2
2 2
2 2 2
0
1
L r r ' d 1 d
4( 1)


       
   ≈ 1.293 u
(Esta integral no puede calcularse, pero si se puede obtener un valor aproximado, por
ejemplo, con Derive). Así que el perímetro vale P = L1 + L2 ≈ 3.877 u

Integrales
50.-Hallar la longitud del arco de la curva r = 1 + cosθ (cardioide) que
está situado en el primer cuadrante, respondiendo a los siguientes
apartados:
a) Dibujar la gráfica de la curva dada y sobre la gráfica resaltar la
longitud L del arco de la curva que está situado en el primer cuadrante.
c) Escribir la fórmula teórica para calcular la longitud de una curva en
forma polar.
d) Solución del problema.
Solución:
a) Dibujar la gráfica de la curva resaltando la longitud pedida
Primer cuadrante: si  = 0º  r = 1 + cos 0º = 1 + 1 = 2
si  = 90º  r = 1 + cos 90º = 1 + 0 = 2
Para calcular la longitud del arco de la curva r = 1 + cos  situado en el primer
cuadrante, el ángulo  va desde 0º a 90º.
c) Fórmula teórica: 


drrL  
1
0
22
'
d) Resolviendo con Derive:
π/2
⌠ ⎛ 2 ⎛d ⎞2⎞
#1: ⎮ √⎜(1 + COS(θ)) + ⎜⎯⎯ (1 + COS(θ))⎟ ⎟ dθ
⌡ ⎝ ⎝dθ ⎠ ⎠
0
#2: 2·√2 u

Integrales
51.- Sea la función f(x) = senx – xcosx. Calcular aproximadamente el
valor de:
a) El área encerrada por f(x) y las rectas x = -, x =  y el eje OX.
b) La longitud del arco de curva de la función y = f(x) entre los puntos
(-, -) y (, ).
c) La superficie de revolución generada por el arco de curva anterior al
girar alrededor del eje de abscisas.
Solución:
#1: SIN(x) - x·COS(x)
#2: (-π < x < 0 ∧ 0 > y > SIN(x) - x·COS(x)) ∨ (0 < x < π ∧ 0 < y <
SIN(x) - x·COS(x))
a)  
b
a
A f x dx 
π
#3: 2·∫ (SIN(x) - x·COS(x)) dx = 8 u2
0
b)  
b 2
a
L 1 f '(x) dx 
#4: f’(x) = x·SIN(x)
2
#5: √(1 + (x·SIN(x)) )
π
⌠ 2 2
#6: 2·⌡ √(x ·SIN(x) + 1) dx
0
#7: 9.396791035 u
c)     
b
2
L
a
S 2 f x 1 f x dx  
π
⌠ 2
#8: 2·⌡ 2·π·(SIN(x) - x·COS(x))·√(1 + (x·SIN(x)) ) dx
0
#9: 82.20904341 u2

Integrales
52.- Hallar el área encerrada entre las funciones 
2
1
f(x)
x 1
y
 3
1
g(x)
x
para x 3
Solución:
El área encerrada viene dada por
3 3
( ) ( ) ( ( ) ( ))A f x g x dx f x g x dx
 
    
Se trata, por tanto de una integral impropia.
Puesto que se comprueba que la inecuación
2 3
1 1
( ) ( )
1
f x g x
x x
  

es cierta para 3x  es decir,
Resolviendo
 2 3 2 3 23 3
3
1 1 1 1 1 1
lim lim 0 (3)
1 1 2 2 18
b
b
b b
A dx dx arctg x arctg
x x x x x

 
       
                         
 
2
0.266 (u )

Integrales
53.- Para la función 
2
1
f(x)
x 1
se pide:
a) Representar la función
b) Calcular el área encerrada entre la función y el eje de abscisas
c) Calcular el volumen generado al girar el recinto limitado por f(x) y el
eje de abscisas alrededor de dicho eje.
Solución:
a) Se realiza un representación gráfica aproximada con Derive
Datos analíticos:
1. Dominio de f(x) = 
2. La función es simétrica respecto del eje OY pues f(-x)=f(x)
3. Corte con los ejes coordenados. No corta porque la función siempre es
positiva
4. Asíntotas:
a. Verticales no hay puesto que Dom(f)= 
b. Horizontales
i. 2
1
lim 0
1x x


asíntota horizontal eje OX
ii. 2
1
lim 0
1x x


asíntota horizontal eje OX
Con lo cual ya se tienen todos los datos necesarios para plantear la integral. Se trata
de una integral impropia pues el intervalo de integración es [ , ] 
b) El área viene dada por (por ser una función simétrica respecto del eje OY)
 20 0
1
2 ( ) 2
1
A dA f x dx dx
x
  

  
   se trata de una integral inmediata
 0
2lim 2 lim ( ) 0 2
2
b
b b
A arctgx arctg b arctg

 
     
 
2
(u )
c) La expresión general del volumen generado por una función cuando gira alrededor
del eje de abscisas es:
El volumen del elemento diferencial (cilindro recto de radio f(x) y altura dx) viene dado
por la expresión dV = f 2
(x) dx

Integrales
Por tanto, el volumen de revolución buscado viene dado por la expresión (aplicando la
propiedad de simetría de la función)
 
2
b
220 0
0
1 arctg(x) 22 2 2 lim 2 0 (0 0)
2 2( 1) 21 b
x
V dV dx
xx

  
 

  
     
                    
   
 
=  
2
3
2
u

X
Y
dx
y=f(x)

Integrales
 

  
  
 
x(t) ln t
1 1
y(t) t
2 t
se
pide, para el intervalo 1 ≤ t ≤ 10:
a) Representar la gráfica
b) Longitud del arco
c) Superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas
d) Volumen de revolución engendrado al girar el área comprendida
entre la curva
e) Superficie engendrada al girar alrededor del eje OX el área
comprendida entre la curva y el eje de abscisas
Solución:
a) Se representa la curva
Campo de variación de t, cualquier valor de t del intervalo dado
No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0
Puntos críticos
2
2
1
'( )
1 1
'( )
2
x t
t
t
y t
t



     
  
 2
2
1
'( ) 0 en el intervalo dado
1 1
'( ) 0 1
2
x t
t
t
y t t
t

 

       
  
ambas derivadas existen en el
intervalo de estudio
Punto crítico t=1
 (1) 1 0
(1) 1
x ln
y
  


punto de tangencia horizontal
En el intervalo dado, la curva tiene una única rama que va de  0,1P a
101
ln10,
20
Q
 
 
 
2
2 2
1 1
2'( ) 1
'( )
1'( ) 2
t
ty t t
f x
x t t
t
 
 
    que es positiva en todo el intervalo y por tanto, la
función es creciente.
 
2
2 2
''( ) '( ) ''( ) '( ) 1
''( )
2'( )
y t x t x t y t t
f x
tx t
 
  que es positiva en todo el intervalo, por lo tanto,
la función es cóncava.
Dibujo de la gráfica de la función en el intervalo dado:

Integrales
b) La longitud del arco de curva viene dado por la expresión
   
2 2
'( ) '( )dl x t y t dt  
22 2 4 2 2
2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 2
t t t t
dl dt dt dt
t t t t
     
        
Por tanto,
1
0
2
2
1
2
t
t
t
L dt
t

 
Como
2
2
1 2
2 2
t t
dt C
t t

  
La longitud buscada es
10
1
2 99
2 20
t
L
t
 
     
4,95 (u)
c) La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas viene dada por
1
0
t 10
t 1
A y(t)x '(t)dt y(t)x '(t)dt   
1 1 1
2
dA t dt
t t
 
  
 
1 1 1 1
2 2 2
t
t dt C
t t t
 
    
 
 ….. obsérvese que es la misma integral anterior
10
10
1
1
1 1 1 1
2 2 2
t
A t dt
t t t
   
         
 
10
2
1
2 99
4,95 (u )
2 20
t
A
t
 
     
d) El volumen de revolución viene dado por
 
2
'( ) '( )dV y t x t dt 
 
22
3
1
4
t
dV dt
t



Como
 
22 4
3 2
1 ln 1
4 2 8
t t t
dt C
t t
 
  
   
 

 
2 102 4
10
3 21
1
1 ln 1 ln10 9999
4 2 8 2 800
t t t
V dt
t t
  
    
          

3
42,88 (u )
e) La superficie lateral de revolución viene dada por
   
2 2
2 ( ) 2 ( ) '( ) '( )dS y t dl y t x t y t dt   
 
222
2 3
11 1 1
2 ( ) 2
2 2 2
tt
dS y t dl t dt dt
t t t
  
 
    
 
Como
 
22 4
3 2
1 1
ln
2 4
t t
dt t C
t t
 
  
 
2 102 4
10
3 21
1
1 1 9999
ln ln10
2 4 400
t t
S dt t
t t
  
    
       
  

2
85,77 (u )

Integrales
55.- Hallar la superficie de revolución generado por la lemniscata de
ecuación
(t)
y(t) 4sen(t)co
x(
s(
t) 4 c
t)
os  

 
Solución
Hallamos los valores de t para los que y=0
2
0 y(t) 4sen(t)cos(t) t 0



    



x 0
y 02
t
x 4
0
y 0
 
 
 
 
   
Luego (0, π/2) son los puntos de intersección del primer lazo con OX
Para obtener la superficie, tenemos:        
1
0
t
2 2
L
t
S 2 y t x t y t dt   
d ⎡ 2 ⎤
⎯⎯ [4·COS(t), 4·SIN(t)·COS(t)] = ⎣ - 4·SIN(t), 8·COS(t) - 4⎦
dt
2 2 2 4 2
√((- 4·SIN(t)) + (8·COS(t) - 4) ) = 4·√(4·COS(t) - 5·COS(t) + 2
π/2
⌠ 2 2 2
2·⌡ 2·π·4·SIN(t)·COS(t)·√((- 4·SIN(t)) + (8·COS(t) - 4) ) dt =
0
89.29614921 u2

Integrales
1
f(x)
x
siendo p un número real tal que p > 1
se pide
a. Calcular paso a paso la integral

a
f(x)dx siendo a>1 un número real
Solución:
a.
1 1 1 1
( ) lim ( ) lim lim 0
1 1 1 1
dp p p p
d
a ad d d
a
x d a a
f x dx f x dx
p p p p
   

  
   
               
 
1
1
p
a
p


b. Se trata de una integral impropia de primera especie

Integrales
57.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2
sen(2α); r2(α)=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1≥0 ; r2≥0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2.
c) Obtener las intersecciones de r1 y r2.
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas.
e) Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2.
Solución:
a.
1
2 [0, ]
( ) 0 (2 ) 0
2 [2 ,3 ]
r sen
 
  
  

     

3
0, ,
2 2
 

   
      
2 ( ) 0r      0,2
b.
1 1
1 1
1 1
r ( ) 2sen( 2 ) r ( ) no hay simetría respecto del eje x
r ( ) 2sen(2( )) r ( ) no hay simetría respecto del eje y
r ( ) 2sen(2( )) r ( ) SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN
      
         
        
)(2 r es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
c.
Las intersecciones (del primer cuadrante) se obtienen de resolver la ecuación
2
1 6
2 (2 ) 1 2
52
2
6 6
sen arcsen


 
 
 
   
      
      
12
5
12






Como ambas funciones son simétricas respecto del origen, las otras dos intersecciones
vendrán dadas por:













12
5
12
Obviamente, en los cuatro puntos, r=1

Integrales
Dado que ambas curvas son simétricas respecto del origen de coordenadas, el área total
se puede calcular como el doble de la encerrada en el primer cuadrante. Por tanto






  





drdrdrAAAAT )(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
22 2
12
5
2
1
12
5
12
2
2
12
0
2
1131
3 3
2 3
6 4 3 6 4 3
T TA A
   
          2
1.228( )u

Integrales
1
f(x)
x
siendo p un número real tal que p<1 se
pide:
a. Calcular paso a paso la integral 
a
0
f(x)dx siendo a>1 un número real.
Solución:
a.
1 1 1 1
0 0 0 0
( ) lim ( ) lim lim 0
1 1 1 1
ap p p p
a a
dd d d
d
x a d a
f x dx f x dx
p p p p
   
  
   
               
 
1
1
p
a
p


b. Distinguiremos dos casos:
Si p 0 es una integral definida
Si 0 p 1  se trata de una integral impropia de segunda especie

Integrales
59.- Dadas las siguientes curvas por sus ecuaciones polares: r1(α) = 2
cos(2α); r2(α)=1, se pide:
a) Calcular el dominio de las funciones r1 y r2 (r1>0 ; r2>0)
b) Estudiar las simetrías de r1 y r2
c) Obtener las intersecciones de r1 y r2
d) Hacer un gráfico esquemático de ambas curvas
e) Calcular el valor del área encerrada entre r1 y r2
Solución:
a.
1
2 0, 0,
2 4
3 5 3 5
( ) 0 cos(2 ) 0 2 , ,
2 2 4 4
7 7
2 ,4 ,2
2 4
r
 
 
 
     
 
    
    
         
    
              
    
         
3 5 7
0, , ,2
4 4 4 4
   
 
     
            
2 ( ) 0r      0,2
b.
1 1
1 1
1 1
r ( ) 2cos( 2 ) r ( ) SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE X
r ( ) 2cos(2( )) r ( ) SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE Y
r ( ) 2cos(2( )) r ( ) Es simétrica respecto del origen
     
        
        
)(2 r es una circunferencia por lo que presenta todas las simetrías
c.
Las intersecciones se obtienen de resolver la ecuación
63
2
2
1
arccos21)2cos(2 1



 






Como ambas funciones son simétricas respecto del los ejes X e Y, se pueden obtener
sólo las intersecciones del primer cuadrante y luego calcular el resto por la simetría
Por la simetría respecto del eje x
6
11
6
24

 
Por la simetría respecto del eje Y
6
5
312

  y
6
7
13

 
Obviamente, para todos los puntos, r=1

Integrales
Como ambas curvas son simétricas simultáneamente respecto de los eje X e Y para
calcular el área total encerrada se puede calcular el área encerrada en el primer
cuadrante y multiplicarla por 4.












  2
3
1
62
1
4)(
2
1
)(
2
1
44 4
6
2
1
6
0
2
214321





drdrAAAAAAT
)(228.1
2
3
3
2 2
uAT  

Integrales
 

  
  
 
x(t) ln t
1 1
y(t) t
2 t
se
pide, para el intervalo 0 ≤ x ≤ 1:
a) Longitud de la curva en el intervalo x [0,1] del eje de abscisas.
b) Área encerrada entre la curva y el eje de abscisas en dicho
intervalo.
Solución:
a) Se representa la curva
Hay que ver a qué valores de t corresponde el intervalo dado
sobre el eje OX.
Despejando x
et  por lo que el intervalo será
],1[],[ 10
eteet 
Campo de variación de t, cualquier valor de t del
intervalo dado
No tiene sentido estudiar las simetrías pues en el intervalo dado, t es siempre t>0
Puntos críticos
2
2
1
'( )
1 1
'( )
2
x t
t
t
y t
t



       
 2
2
1
'( ) 0 Nunca en el intervalo dado
1 1
'( ) 0 1
2
x t
t
t
y t t
t

 

         
ambas derivadas existen
en el intervalo de estudio
Punto crítico t=1
 x(1) ln 1 0
y(1) 1
  


punto de tangencia horizontal
En el intervalo dado, la curva tiene una
única rama que va de  0,1P a
 54.1,1
1
2
1
,1 












e
eQ
Dibujo de la gráfica de la función en el
intervalo dado:
Como la función es continua en el intervalo se puede aplicar la regla de Barrow

Integrales
a) La longitud del arco de curva viene dado por la expresión
   
2 2
'( ) '( )dl x t y t dt  
22 2 4 2 2
2 2 2
1 1 2 1 1
2 2 2
t t t t
dl dt dt dt
t t t t
     
        
Por tanto,
2
21
1
2

 
e t
L dt
t
Como
2
2
1 2
2 2
t t
dt C
t t

  
La longitud buscada es )(17.1
2
12
2
2
1
u
e
e
t
t
L
e







b) La superficie encerrada entre la curva y el eje de abscisas viene dada por
( ) '( )dA y t x t dt 
1 1 1
2
dA t dt
t t
 
  
 
1 1 1 1
2 2 2
t
t dt C
t t t
 
    
 
 ….. obsérvese que es la misma integral anterior
 )(17.1
2
12
2
2
2
1
u
e
e
t
t
A
e








Integrales
61.- Dada la función f(x)=x2
obtener los siguientes volúmenes de revolución
a) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
b) Volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y el eje OX,
entre x=0 y x=2, alrededor del eje OY.
Solución:
a. El volumen viene dado por  
2522
2
0
0
x 32
V x dx
5 5
  
      
 

3
20.11(u )
b. El volumen viene dado por el volumen del cilindro exterior menos el volumen que genera el
área encerrada entre la curva y el eje OY
El volumen del cilindro exterior es )(1642 32
uV  
El volumen del área encerrada viene dado por
42
4 4
2
0 0
0
y
V x (y)dy ydy
2
 
       
 
 
3
8 (u )

Integrales
62.- Determinar las áreas siguientes:
a) Encerrada por la función f(x) y el eje OX siendo
4
2
x 6
si 6 x 6
x 6
f(x)
3
en otro caso
x x 20

   
 

  
b) Encerrada por la curva r( ) a sen(2 ) con a 0   
c) De la superficie engendrada al girar alrededor del eje OX, el lazo de la curva
9 y2
= x (3 - x)2
Solución:
a)  
b
a
A f x dx 
⎛ x - 6 3 ⎞
IF⎜-6 < x < 6, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#1: ⎜ 4 2 ⎟
⎝ x + 6 x - x - 20 ⎠
-6 6 ∞
⌠ ⎮ 3 ⎮ ⌠ ⎮ x - 6 ⎮ ⌠ ⎮ 3 ⎮
⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx + ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx + ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮dx
#2: ⎮ ⎮ 2 ⎮ ⎮ ⎮ 4 ⎮ ⎮ ⎮ 2 ⎮
⌡ ⎮ x - x - 20 ⎮ ⌡ ⎮ x + 6 ⎮ ⌡ ⎮ x - x - 20 ⎮
-∞ -6 6
1/4 ⎛ 6·√6 + 431 6·√6 + 431 ⎞
24 ·ATAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#3: ⎜ 1/4 1/4 ⎟
⎝ 430·(2·54 - 1) 430·(2·54 + 1) ⎠
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ -
2
⎛ 1/4 ⎞
1/4 ⎜ 2·54 - 6·√6 - 1 ⎟
24 ·LN⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
⎜ 1/4 ⎟ 1/4
⎝ 2·54 + 6·√6 + 1 ⎠ LN(55) 24 ·π
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 3 2
#4: 4.794039633 (u2
)

Integrales
b) S r d 
1
2
2
1
2



#5: r = a ⎮SIN(2·θ)⎮
Obsérvese la simetría de la curva y que el máximo se obtiene para
r = a ⎮SIN(2·θ)⎮ = 1, es decir θ = π/4
Se trata de una rosa de 4 hojas. El área encerrada se obtiene integrando y
multiplicando por 8 el área encerrada por la curva entre los límites 0 y π/4,
es decir
π/4 2
⌠ 1 2 π·a
#6: 8·⎮ ⎯·(a·⎮SIN(2·θ)⎮) dθ = ⎯⎯⎯⎯
⌡ 2 2
0
c)      dxxf1xf2S
b
a
2
 
2 2
#7: 9·y = x·(3 - x)
Para la parte superior de la curva para 0≤x≤3, tenemos
1
#8: y ≔ ⎯·(3 - x)·√x
3
el elemento diferencial es
d ⎛ ⎞
#9: ⎯⎯ ⎜ y ⎟
dx ⎝ ⎠
1 - x
#10: ⎯⎯⎯⎯⎯
2·√x
sustituyendo en la fórmula
b

Integrales
⌠ ⎛ ⎛d ⎞2⎞
#11: 2·π·⎮ y·√⎜1 + ⎜⎯⎯ y⎟ ⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝dx ⎠ ⎠
a
obtenemos
1
⎯·(3 - x)·√x·(x + 1)
#12: 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·√x
#13: x  Real (0, ∞)
3
⌠ 1
⎮ ⎯·(3 - x)·√x·(x + 1)
#14: ⎮ 3
2·π·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 2·√x
0
#15: 3·π (u2
)

Integrales
63.- Calcular:
a) La longitud del arco de la parábola y = x2
– 2x + 5 comprendido entre los
puntos (1, 4) y
3 17
,
2 4
 
 
 
.
b) El área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1 (ecuación en
coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva 2
r cos  .
Solución
a)
2
#1: y = x - 2·x + 5
⎛ 3 2 ⎞
#2: IF⎜1 < x < ⎯, x - 2·x + 5⎟
⎝ 2 ⎠
La integral
b
2
a
L 1 y' dx  proporciona la longitud entre x=a y x=b
d 2
#3: ⎯⎯ (x - 2·x + 5)
dx
#4: 2·x - 2
2
#5: √(1 + (2·x - 2) )
3/2
⌠ 2
#6: ⌡ √(1 + (2·x - 2) ) dx
1
LN(√2 + 1) √2
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯⎯
4 4
O bien, aproximadamente
#8: 0.5738967873

Integrales
b)
2
#9: r = COS(α)
#10: r = 1
2
#11: COS(α) < r < 1
Sean  r f( ) y  r g( ) dos curvas continuas en  1 2,  y tal que  0 < g( )< f( )
en 1 2,  , entonces el área comprendida entre ambas curvas es:
2
1
2 21
S (f ( ) g ( )) d
2


    
Buscamos los valores de  que hace:
2
#12: r = COS(α) = 1
#13: SOLVE(r = COS(α) = 1, α, Real)
#14:(α = 2·π ) ∨ (α = -π ) ∨ (α = π ) ∨ (α = 0 )
y por otra parte
2
#15: r = COS(α) = 0
2
#16: SOLVE(r = COS(α) = 0, α, Real)
⎛ 3·π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞
#17: ⎜α = ⎯⎯⎯ ∧ r = 0⎟ ∨ ⎜α = - ⎯ ∧ r = 0⎟ ∨ ⎜α = ⎯ ∧ r = 0⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
Aplicando la fórmula anterior y multiplicando por 4 debido a la simetría:
π/2
4·1 ⌠ 2 2 2
#18: ⎯⎯⎯·⌡ (1 - (COS(α) ) ) dα
2 0
5·π
#19: ⎯⎯⎯
8

Integrales
64.- Dada la función f(x) = 3 2
1
x x 2 
b) Calcular el área encerrada por f(x), y el eje X en [2,).
c) Estudiar la convergencia de
2
1
f(x) dx .
d) Estudiar la convergencia de
0
f(x) dx

 .
Solución:
Primeramente calculamos una función primitiva de f(x) por el método de descomposición en
fracciones simples, podemos escribir:
2
3 2 2 2 2
1 1 A Mx N A(x 2x 2) (Mx N)(x 1)
x x 2 (x 1)(x 2x 2) x 1 x 2x 2 (x 1)(x 2x 2)
     
   
          
Obteniendo
1
A
5A M 0
1
2A M N 0 M
5
2A N 1
3
N
5


   
 
      
    


Sustituyendo los valores obtenidos podemos resolver
3 2 2
1 1/5 1/5x 3/5
I dx dx dx
x x 2 x 1 x 2x 2
 
   
      
2 2
1 1 1 x 3 1
dx dx dx
5 x 1 5 x 2x 2 5 x 2x 2
   
      
2 2
1 1 x 1 1 3 1
ln x 1 dx dx
5 5 x 2x 2 5 x 2x 2
 
    
    
 
2 2
2 x 11 1 1 2 1
ln x 1 dx dx
5 5 2 x 2x 2 5 x 2x 2

    
    
 2
2
1 1 1 2 1
ln x 1 ln x 2x 2 dx
5 5 2 5 (x 1) 1
      
 
   21 1 2
ln x 1 ln x 2x 2 artg x 1 C
5 10 5
          2
x 11 2
ln artg x 1 C
5 5x 2x 2

    
 

Integrales
a)
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#1: 3 2
x + x - 2
1
-2 < x < 0 ∧ 0 > y > ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#2: 3 2
x + x - 2
Área=
2
3 20
1
dx
x x 2


   
2
2
0
x 11 2
ln artg x 1
5 5x 2x 2

  
   
  
 
   2
2 11 2 1 2
ln artg 2 1 ln 2 artg 1
5 5 10 52 2( 2) 2
                    
1 1 2 1 2
ln3 ln 2 ln 2
5 10 5 2 10 5 2
 
       
1
ln3
5
 
0
⌠ ⎮ 1 ⎮ LN(3) π
⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx = ⎯⎯⎯⎯⎯ + ⎯
#3: ⎮ ⎮ 3 2 ⎮ 5 5
⌡ ⎮ x + x - 2 ⎮
-2
b)
1
2 < x ∧ 0 < y < ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#4: 3 2
x + x - 2
Área
k
3 2 3 22 2k
1 1
dx lím dx
x x 2 x x 2


 
     k
lím

 
k
2
2
x 11 2
ln artg x 1
5 5x 2x 2
  
   
  

Integrales
=
k
lím

   2 2
k 1 2 11 2 1 2
ln artg k 1 ln artg 2 1
5 5 5 5k 2k 2 2 2 2 2
   
      
     
=
2 2 1
arctg3 ln10
5 2 5 10

   =
2 1 1
arctg ln10
5 5 2 3 10
    
      
  
=
1 2 1
ln10 arctg
10 5 3
  
   
  
⎛ 1 ⎞
∞ 2·ATAN⎜⎯⎟
⌠ ⎮ 1 ⎮ LN(10) ⎝ 3 ⎠
#5: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dx = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎮ ⎮ 3 2 ⎮ 10 5
⌡ ⎮ x + x - 2 ⎮
2
c)
1
1 < x < 2 ∧ 0 < y < ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#8: 3 2
x + x - 2
1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 2
x + x - 2
#6: lim ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x→1+ 1
⎯⎯⎯⎯⎯
x - 1
1
#7: ⎯
5
La integral
2
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
⌡ x - 1
1
Es divergente y por el criterio del cociente:
2
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
#9: ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
1

Integrales
d)
∞
⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#10: ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
0
∞ 1 2
⌠ 1 ⌠ 1 ⌠ 1
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx +
#11:⎮ 3 2 ⎮ 3 2 ⎮ 3 2
⌡ x + x - 2 ⌡ x + x - 2 ⌡ x + x - 2
0 0 1
∞
⌠ 1
+ ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx = ∞
⎮ 3 2
⌡ x + x - 2
2

Integrales
65.- Calcular
2
-x
-
e dx

 .
Solución:
Al ser
2
-x
e una función par tenemos que
2 2
-x -x
- 0
e dx 2 e dx
 

  con el cambio de variable x2
=z
resulta 2xdx=dz y con los límites de integración iguales ya que 02
=0 y ∞2
=∞. Por tanto,
2 2
1
-
-x -x -z -z -z 2
- 0 0 0 0
1 1 1
e dx 2 e dx 2 e dz= e dz= e z dz=
2x 2z
    

 
    
 
     

Integrales
66.- Considerando la circunferencia de radio R en coordenadas polares, hallar:
a) El área del círculo.
b) La longitud de la circunferencia.
c) El volumen de la esfera.
d) La superficie de la esfera.
Solución:
#1: r = R
a) Área del circulo de radio R
⎛ π ⎞
⎜ 1 ⌠ 2 ⎟
#2: 2·⎜⎯·⌡ R dα⎟
⎝ 2 0 ⎠
2
#3: π·R
b) Longitud de la circunferencia de radio R
π
⌠ 2
#4: 2·⌡ √R dα
0
#5: 2·π·R
c) Volumen de la esfera de radio R
π
2 ⌠ 3
#6: ⎯·π·⌡ R ·SIN(α) dα
3 0
3
4·π·R
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
d) Superficie de la esfera
π
⌠ 2
#8: 2·π·⌡ R·SIN(α)·√R dα
0
2
#9: 4·π·R

Integrales
67.- La tasa de variación en la población de conejos es 2
dP 100 25t
dt t 8t 16,1


 
(t
tiempo en años) Hallar:
a) Al cabo de cuánto tiempo es máxima dicha población.
b) Si la población inicial de conejos es de 50 unidades, hallar el número
máximo de conejos.
c) ¿Se extinguirán los conejos?
Solución:
P(t) es el número de conejos después de t años.
a) Buscamos el máximo, es decir, un punto extremo de la función P(t). Para ello resolvemos la
ecuación dP/dt=0
⎛ 100 - 25·t ⎞
SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, t, Real⎟
#1: ⎜ 2 ⎟
⎝ t - 8·t + 16.1 ⎠
#2: t = ±∞ ∨ t = 4
Confirmamos con la derivada segunda que es un máximo
dP 100 - 25·t
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#3: dt 2
t - 8·t + 16.1
2
250·(10·t - 80·t + 159)
#4: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
(10·t - 80·t + 161)
Para t=4
2
250·(10·4 - 80·4 + 159)
#5: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2
(10·4 - 80·4 + 161)
#6: -250<0
P es máxima al cabo de 4 años
b)
P(0) = 50 es el número inicial de conejos.
4 4
0 0
dP dP
dt P(4) P(0) P(4) P(0) dt
dt dt
     
4
⌠ 100 - 25·t 25·LN(161)
50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 50
#7: ⎮ 2 2
⌡ t - 8·t + 16.1
0
4
⌠ 100 - 25·t
50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = 113.5175545
#8: ⎮ 2
⌡ t - 8·t + 16.1
0

Integrales
Al cabo de 4 años la población será de 113 conejos
c) ¿Existe un valor de t=x para el cuál P(t)=0?
x
⌠ 100 - 25·t
50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = 0
#9: ⎮ 2
⌡ t - 8·t + 16.1
0
⎛ x ⎞
⎜ ⌠ 100 - 25·t ⎟
SOLVE⎜50 + ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt = 0, x, Real⎟
#10: ⎜ ⎮ 2 ⎟
⎜ ⌡ t - 8·t + 16.1 ⎟
⎝ 0 ⎠
4 4
√10·√(161·e - 1) √10·√(161·e - 1)
#11: x = 4 - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 4
10 10
#12: x = 33.64675725 ∨ x = -25.64675725
En 33,64 años, no habrá conejos

Integrales
68.- a) Demostrar que si y = arg th x, entonces 2
1
y'
1 x


3
2x
t
ln x
F(x) e dt 
c) Calcular el volumen engendrado al girar el área encerrada por la curva y =
x2
el eje OX, entre x=0 y x=2, alrededor del eje OX.
d) Calcular
1 1
,
2 2
 
  
 
Solución:
a)
      2
1 1 1 1 1 1 1
y' arg thx ln 1 x ln 1 x '
2 2 2 1 x 2 1 x 1 x
  
        
   
Otra forma:
 2
2 2derivando respecto x
shy 1 1
y=argthx x=thy= 1= 1-th y y' y'
chy 1 th y 1 x
     
 
b)
Sea
x
a
G(x) f (t)dt G '(x) f (x)   siendo f una función continua en [a,x]
Consideramos la función continua en R: f(t) =
2
t
e y g(x)=x3
, h(x)=lnx funciones derivables.
Entonces:
3 3 3
2 2 2 2 2x a x x ln x
t t t t t
ln x ln x a a a
F(x) e dt e dt e dt e dt e dt         
g(x) h(x)
a a
f (t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))    
Derivando:
 3 2 1
F'(x) G'(g(x))g'(x) G'(x)h '(x) f (g(x))g'(x) f (h(x))h '(x) f (x )3x f ln x
x
      
   
2
3 2x lnx2 1
= 3x e - e
x
c)
 
25
b 2 222 2 4
a 0 0
0
x
V= y dx= x dx x dx
5
 
     
 
  
3
5
2
5
u
d)
Aplicando la propiedad   2p 1 2q 12
0
p,q 2 sen t cos dt 
 


1 1
2 1 2 1
2 22 2
0 0
1 1
, 2 sen t cos dt 2 dt 2
2 2 2
  
    
 
 
 

 

Integrales
69.- a) Demostrar que si y = arg sh x, entonces
2
1
y'
x 1


3
2
x
e
ln t
F(x) dt
t
 
c) Estudiar la convergencia y, en su caso, calcular el valor de la integral de
f(x) tgx en el intervalo 0,
2
 
  
.
d) Calcular (4)
Solución:
a)
    
2
2
2 2
2x
1
12 x 1y' argshx ' ln x x 1 '
x x 1 x 1

     
  
Otra forma:
2 2 2 2derivando respecto x ch y sh y 1
1 1 1
y=argshx x=shy 1=chy y' y'
chy shy 1 x 1 
      
 
b)
Sea
x
a
Consideramos la función continua en R: f(t)=lnt/t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x3
,
función derivable. Entonces:
3
2
x
e
lnt
F(x) dt
t
 
g(x)
a
f (t)dt G(g(x))
Derivando:
3 2
F'(x) G'(g(x))g'(x) f(g(x))g'(x) f(x )3x   
3 3
2
3
ln(x ) ln(x )
3x 3
x x

c)
Impropia de 2º especie puesto que no está acotada en x=
2

.
2 2 2
0 0 00 0
senx
I tgx dx lím tgx dx lím dx
cos x
 
 
        
  
 
 
     2
00 0
lím ln(cos x) lím ln(cos ln(cos0)
2

 
  
             
  


 

 . DIVERGENTE
d)
Sabiendo que (p) (p 1)!   para cualquier p natural
(4) = 3! = 3.2.1 = 6

Integrales
70.- a) Demostrar la siguiente relación: arg sh x = ln  2
x x 1 
3
x
x
sent
F(x) dt
t
 
c) La curva y2
= e-2x
gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del
cuerpo limitado por la superficie engendrada entre la curva, el eje de abscisas
(OX) cuando x>0.
d) Calcular
7
2
 
  
 
, sabiendo que
1
2
 
   
 
Solución:
a)
Del seno hiperbólico
x x
e e
sh(x) y
2


  
x x 2x 2x x
x
1
2y e 2ye e 1 e 2ye 1 0
e
          resolviendo la ecuación de segundo grado
2
x 22y 4y 4
e y y 1 0
2
 
     y una única solución factible x 2
e y y 1   y según la
definición de logaritmos  2
y argsh(x) ln x x 1   
b)
Sea
x
a
Consideramos la función continua en R: f(t)=sent/ t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x3
,
h(x)=x funciones derivables. Entonces:
3 3 3
x a x x x
x x a a a
sent sent sent sent sent
F(x) dt dt dt dt dt
t t t t t
         
g(x) h(x)
a a
f (t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))    
Derivando:
3 2
F'(x) G'(g(x))g'(x) G'(x)h '(x) f (g(x))g'(x) f (h(x))h '(x) f (x )(3x ) f (x)      
3
2
3
sen(x ) sen(x)
= 3x -
xx
c)
Obviamente la asíntota horizontal es el eje de abscisas y la expresión del volumen:
b k
2 2x 2x 2k 2.0
a 0 0k k
1 1
V f (x)dx e dx lím e dx lím e e
2 2

   
 
 
           
 
   2kk
1
lím
2 2e
  
   
  2

d)
Sabiendo que (p) (p 1) (p 1)     para cualquier p>1
7 7 7 5 5 5 3 3 5 3 1 1
1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
                    
                               
                    
15
8


Integrales
71.- a) Demostrar la siguiente relación:  2 2
ch x sh x ch 2x 
3
2
x
x
sent
F(x) dt
t
 
c) La integral
2
20
x
dx
4 x
 , ¿es impropia? Calcularla.
d) Calcular (4,5)
Solución:
a)
2 2x x x x 2x 2x
2 2 e e e e e e
ch (x) sh (x) ch(2x)
2 2 2
  
       
         
     
b)
Sea
x
a
Consideramos la función continua en R: f(t)=sent/t salvo en el cero que está acotada y g(x)=x3
,
h(x)=x2
funciones derivables. Entonces:
3 3 3 2
2 2
x a x x x
x x a a a
sent sent sent sent sent
F(x) dt dt dt dt dt
t t t t t
         
g(x) h(x)
a a
f (t)dt f(t)dt G(g(x)) G(h(x))    
Derivando:
3 2 2
F'(x) G'(g(x))g'(x) G'(x)h '(x) f (g(x))g'(x) f (h(x))h '(x) f (x )3x f (x )2x      
3 2
2
3 2
sen(x ) sen(x )
=3x -2x
x x

3 2
sen(x ) sen(x )
=3 -2
x x
c)
Impropia de 2º especie puesto que no está acotada en x=2.
2 2
2 20 00
xdx xdx
I lím
4 x 4 x


  
 
 


2
2
0 0
lím 4 x 2 R


     
 


. CONVERGENTE
d)
Sabiendo que:
(p) (q)
(p,q)
(p q)
 
 
 
y resulta
(4) (5) 3! 4! 1
(4,5)
(4 5) 8! 8 7 5
  
    
   
1
280

Integrales
72.-Dada la función
2
x
f(x) e
 . Se pide:
a) Calcular el área encerrada por la función f(x) y su asíntota.
b) Calcular el volumen generado por la función f(x) al girar alrededor de su
asíntota.
c) Hallar la longitud de la función f(x) en el intervalo [0,1].
d) La función f(x) gira alrededor de su asíntota. Calcular la superficie
obtenida en el intervalo [-1,1].
Solución:
a)
2
#1: - x
e
El eje de abscisas es la asíntota de la función, ya que:
2
- x
#2: lim e
x→∞
#3: 0
Asíntota horizontal y = 0
 
b
a
A f x dx 
∞
⌠ 2
#4: ⎮ - x
⌡ e dx
-∞
#5: √π u2
b)
b
2
a
V y dx 
∞
⌠ ⎛ 2⎞2
#6: ⎮ ⎜ - x ⎟
⌡ π·⎝e ⎠ dx
-∞
3/2
√2·π
#7: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ u3
2

Integrales
c)
⎛ 2⎞
#8: ⎜ - x ⎟
IF⎝0 < x < 1, e ⎠
L y dx
a
b
  1 2
'
d 2
#9: ⎯⎯ - x
dx e
2
#10: - x
- 2·x·e
1
⌠ ⎛⎛ 2⎞2 ⎞
#11: ⎮ ⎜⎜ - x ⎟ ⎟
⌡ √⎝⎝- 2·x·e ⎠ + 1⎠ dx
0
1
⌠ 2 ⎛ 2 ⎞
#12: ⎮ - x ⎜ 2·x 2⎟
⌡ e ·√⎝e + 4·x ⎠ dx
0
#13: 1.20444107 u
d)
2
#14: - x
-1 < x < 1 ∧ 0 < y < e
    
b
2
a
2 f x 1 f x dx 

Integrales
d 2
#15: ⎯⎯ - x
dx e
2
#16: - x
- 2·x·e
⎛ 2⎞2
#17: ⎜ - x ⎟
1 + ⎝- 2·x·e ⎠
2 ⎛ ⎛ 2⎞2⎞
#18: - x ⎜ ⎜ - x ⎟ ⎟
2·π·e ·√⎝1 + ⎝- 2·x·e ⎠ ⎠
1
⌠ 2 ⎛ ⎛ 2⎞2⎞
#19: ⎮ - x ⎜ ⎜ - x ⎟ ⎟
⌡ 2·π·e ·√⎝1 + ⎝- 2·x·e ⎠ ⎠ dx
-1
#20: 11.07528523 u2

Integrales
73.- a) Hallar el área del lazo de la estrofoide
2 2
2 2
1 t t(1 t )
,
1 t 1 t
  
   
b) Calcular el volumen de un lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t 1 t(1 t )
,
1 t 1 t
  
   
al girar
alrededor del eje de simetría.
c) Hallar la longitud del lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t(1 t ) 1 t
,
1 t 1 t
  
   
d) Calcular la superficie generada por el lazo de la estrofoide
2 2
2 2
t(1 t ) t 1
,
1 t 1 t
  
   
Solución:
a)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥
#3: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎛⎡ 2 2 ⎤ ⎞
⎜⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥ ⎟
#4: SOLVE⎜⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0⎥, [t]⎟
⎜⎢ 2 2 ⎥ ⎟
⎝⎣ 1 + t 1 + t ⎦ ⎠
#5: [t = -1, t = 1]
⎛⎡ 2 2 ⎤ ⎞
⎜⎢ 1 - t t·(1 - t ) ⎥ ⎟
#6: SOLVE⎜⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0⎥, [t]⎟
⎜⎢ 2 2 ⎥ ⎟
⎝⎣ 1 + t 1 + t ⎦ ⎠
#7: [t = 0]
2
d 1 - t
#8: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dt 2
1 + t

Integrales
4·t
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#9: 2 2
(t + 1)
1
⌠ ⎮ 2 ⎮
⎮ ⎮ t·(1 - t ) ⎛ 4·t ⎞⎮
#10: 2·⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎮ dt
⎮ ⎮ 2 ⎜ 2 2 ⎟⎮
⌡ ⎮ 1 + t ⎝ (t + 1) ⎠⎮
0
4 - π
#11: ⎯⎯⎯⎯⎯ u2
2
b)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t - 1 t·(1 - t ) ⎥
#11: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
Obviamente el eje de simetría es el eje de abscisas
Buscamos los puntos de intersección con el eje de abscisas
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#12: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#13: t = -1 ∨ t = 1
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#14: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#15: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0

Integrales
2
t - 1
#16: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1
2
1 + t
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#17: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = -1, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#18: t = 0
1
0
t
2
t
V y (t)x '(t)dt 
2
d t - 1
#19: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dt 2
1 + t
4·t
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#20: 2 2
(t + 1)
1
0
t
2
t
V y (t)x '(t)dt 
1
⌠ ⎛ 2 ⎞2
⎮ ⎜ t·(1 - t ) ⎟ 4·t
#21: π·⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⎮ ⎜ 2 ⎟ 2 2
⌡ ⎝ 1 + t ⎠ (t + 1)
0
4·π
#22: 2·π·LN(2) - ⎯⎯⎯u3
3
c)
1
0
t
2 2
t
L x ' (t) y' (t)dt 
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t·(1 - t ) 1 - t ⎥
#3: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
Buscamos el punto de cruce o punto doble, en este caso el (0,0):

Integrales
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#4: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#5: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
⎛ 2 ⎞
⎜ 1 - t ⎟
#6: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#7: t = -1 ∨ t = 1
⎡ 2 2 ⎤
d ⎢ t·(1 - t ) 1 - t ⎥
#8: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
dt ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎡ 4 2 ⎤
⎢ t + 4·t - 1 4·t ⎥
#9: ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎣ (t + 1) (t + 1) ⎦
1
⌠ ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎮ ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#10: ⎮ √⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dt
⎮ ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
-1
1
⌠ 4 2
⎮ √(t + 6·t + 1)
#11: 2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⎮ 2
⌡ t + 1
0
#12: 2.489597270 u
d)
⎡ 2 2 ⎤
⎢ t·(1 - t ) t - 1 ⎥
#8: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦

Integrales
       
1
0
t
2 2
t
2 y t x t y t dt  
Obtenemos los puntos de intersección con el eje de abscisas
⎛ 2 ⎞
⎜ t·(1 - t ) ⎟
#9: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#10: t = -1 ∨ t = 1 ∨ t = 0
⎛ 2 ⎞
⎜ t - 1 ⎟
#11: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯, t⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ 1 + t ⎠
#12: t = -1 ∨ t = 1
⎡ 2 2 ⎤
d ⎢ t·(1 - t ) t - 1 ⎥
#16: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
dt ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 1 + t 1 + t ⎦
⎡ 4 2 ⎤
⎢ t + 4·t - 1 4·t ⎥
#17: ⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎢ 2 2 2 2 ⎥
⎣ (t + 1) (t + 1) ⎦
⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#18: √⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎟ ⎟
⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
2 ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
2·π·(t - 1) ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#19: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
2 ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
1 + t ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
-1
⌠ 2 ⎛⎛ 4 2 ⎞2 ⎞
⎮ 2·π·(t - 1) ⎜⎜ t + 4·t - 1 ⎟ ⎛ 4·t ⎞2⎟
#20: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dt
⎮ 2 ⎜⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎟
⌡ 1 + t ⎝⎝ (t + 1) ⎠ ⎝ (t + 1) ⎠ ⎠
1
⎛ 1 1 ⎞
⎜ ⌠ 4 2 ⌠ 4 2 ⎟
⎜ ⎮ √(t + 6·t + 1) ⎮ √(t + 6·t + 1) ⎟
#21: 4·π·⎜2·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt - ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt⎟
⎜ ⎮ 2 2 ⎮ 2 ⎟
⎜ ⌡ (t + 1) ⌡ t + 1 ⎟
⎝ 0 0 ⎠
#22: 8.360409629 u2

Integrales
74.- a) Hallar el área de un lazo de la curva r(α) = 2sen(2α).
b) La curva r(α) = 2sen(2α) gira alrededor del eje polar. Calcular e1 volumen
obtenido.
c) Determinar la longitud de un lazo de la curva r(α) = sen(2α).
d) La curva r(α) = cos(α) gira alrededor del eje polar. Calcular la superficie
engendrada.
Solución:
a)
#1: r = 2·SIN(2·α)
#2: 0 = 2·SIN(2·α)
#3: SOLVE(0 = 2·SIN(2·α), α, Real)
π π
#4: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
Un pétalo se obtiene entre 0 y el π/2
2
1
1
A r d
2


 
π/2
⌠ 1 2
#5: ⎮ ⎯·(2·SIN(2·α)) dα
⌡ 2
0
π
#6: ⎯u2
2
b)
2
1
32
V r sen d
3


   
⎛ π/2 ⎞
⎜ 2 ⌠ 3 ⎟
#7: 2·⎜⎯·π·⌡ (2·SIN(2·α)) ·SIN(α) dα⎟
⎝ 3 0 ⎠
512·π
#8: ⎯⎯⎯⎯⎯u3
105

Integrales
c)
#24: r = SIN(2·α)
#25: 0 = SIN(2·α)
#26: SOLVE(0 = SIN(2·α), α, Real)
π π
#27: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
2
1
2 2
L r r ' d


  
d
#28: ⎯⎯ SIN(2·α)
dα
#29: 2·COS(2·α)
π/2
⌠ 2 2
#30: ⌡ √(SIN(2·α) + (2·COS(2·α)) ) dα
0
π/2
⌠ 2
#31: ⌡ √(3·COS(2·α) + 1) dα
0
#32: 2.422112055 u
d)
#12: r = COS(α)
#13: SOLVE(0 = COS(α), α, Real)

Integrales
3·π π π
#14: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
2 2 2
#15: SOLVE(1 = COS(α), α, Real)
#16: α = - 2·π ∨ α = 2·π ∨ α = 0
2
1
2 2
LS 2 rsen r r ' d


    
d
#17: ⎯⎯ COS(α)
dα
#18: - SIN(α)
π/2
⌠ 2 2
#19: ⌡ 2·π·COS(α)·SIN(α)·√((- SIN(α)) + COS(α) ) dα
0
#20: πu2

Integrales
75.- Dada la curva en coordenadas polares r = eα
, con α < 0, se pide:
a) El área de la región entre la curva y el eje OX.
b) La longitud de la curva.
Solución:
a)
 2
1
0 0 022 2 2
kk
1 1 1 1
A r d e d e d lím e d
2 2 2 2

  
   
           
 02 2k
kk k
1 1 1
lím e 1 lím e
2 2 4

 
     
1
4
2
u
b)
     2
1
0 0 02 222
kk
L r r' d e e d 2 e d 2 lím e d

   
   
             =
 0 0 k
kk k
2 lím e 2 e lím e
 
      2 u

Integrales
76. Hallar el área limitada por las regiones:
x2
+y2
2x; x2
+y2
4x; yx; y0
Solución:
2 2
#1: x + y > 2·x
2 2
#2: x + y < 4·x
#3: y < x
#4: y > 0
2 2 2 2
#5: x + y > 2·x ∧ y > 0 ∧ x + y < 4·x ∧ y < x
⎡ 2 2 ⎤
#6: SOLVE(⎣x + y = 2·x, y = x⎦, [x, y])
#7: [x = 0 ∧ y = 0, x = 1 ∧ y = 1]
⎡ 2 2 ⎤
#8: SOLVE(⎣x + y = 4·x, y = x⎦, [x, y])
#9: [x = 0 ∧ y = 0, x = 2 ∧ y = 2]
⎡ 2 2 ⎤
#10: SOLVE(⎣x + y = 2·x⎦, [y])
#11: [y = √(x·(2 - x)), y = - √(x·(2 - x))]
⎡ 2 2 ⎤
#12: SOLVE(⎣x + y = 4·x⎦, [y])
#13: [y = √(x·(4 - x)), y = - √(x·(4 - x))]
2 4
#14: ∫ (x - √(x·(2 - x))) dx + ∫ √(x·(4 - x)) dx
1 2
3·π 3
#15: ⎯⎯⎯ + ⎯ u2
4 2

Integrales
77.- a) Sea
cos x si x - ,0
2
f(x)
4 sen x si x 0,
2
  
    
 
       
1a ) Hallar I = 2
2
f(x) dx


 .
2a ) Hallar el valor de k tal que I = .k
3a ) ¿Existe algún punto c del intervalo ,
2 2
  
  
tal que f(c) = k?
4a ) ¿Contradice esto el Teorema del valor medio integral?
b) Hallar el área interior a la circunferencia de centro el origen y radio1
(ecuación en coordenadas polares r = 1) y exterior a la curva
2
r cos
4
 
   
 
.
Solución:
a1) Hallar I = 



2
2
dx)x(f .
I      
0 0
2 2
00
22
cos x dx 4 sen x dx senx 4x cos x
 
 
         2 1 
a2) I  2 1 k     
 2 1
k
 


a3) f(c)  k, para cualquier c 




 

2
,
2
, pues











]
2
0,(xsixsen4
]0,
2
-[xsiccos
)c(f , luego,
 
 










]
2
0,(xsi54,
]0,
2
-[xsi10,
)c(f .
a4) No contradice esto el Teorema del valor medio integral, pues al no ser f continua en 0, no
se verifican las hipótesis del teorema:
50sen4)x(flim10cos)x(flim
0x0x
 


Integrales
b)
#2: r1(α) ≔ 1
⎛ π ⎞2
#3: r2(α) ≔ COS⎜α - ⎯⎟
⎝ 4 ⎠
Intersección de ambas curvas:
⎛ π ⎞2
#4: 1 = COS⎜α - ⎯⎟
⎝ 4 ⎠
⎛ ⎛ π ⎞2 ⎞
#5: SOLVE⎜1 = COS⎜α - ⎯⎟ , α, Real⎟
⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠
11·π 9·π 7·π 5·π 3·π
#6: α = - ⎯⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ----
4 4 4 4 4
π
∨ α = ⎯
4
Ángulos para los que r2 pasa por el polo:
⎛ π ⎞
#7: COS⎜α - ⎯⎟ = 0
⎝ 4 ⎠
⎛ ⎛ π ⎞ ⎞
#8: SOLVE⎜COS⎜α - ⎯⎟ = 0, α, Real⎟
⎝ ⎝ 4 ⎠ ⎠
5·π 3·π π
#9: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯
4 4 4
Área del círculo:
2
#10: π·1 = π
Área encerrada por r2: 4 A1, siendo A1 medio lazo.
⎛ π/4 ⎞
⎜ 1 ⌠ ⎛ π ⎞4 ⎟
#11: 4·⎜⎯·⎮ COS⎜α - ⎯⎟ dα⎟
⎜ 2 ⌡ ⎝ 4 ⎠ ⎟
⎝ - π/4 ⎠
3·π
#12: ⎯⎯⎯
8
Área dentro del círculo r1 y fuera de los lazos r2:
3·π 5·π
#13: π - ⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯ u2
8 8

Integrales
78.- a) Hallar el volumen engendrado por la rotación del área encerrada en la
circunferencia de ecuación (x-2)2
+ (y-4)2
b) Dada la curva (en coordenadas polares): r sen cos    calcular su longitud.
Solución:
a)
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
integración correspondiente al girar alrededor del eje X son:
2-1=1 y 2+1=3
Resolviendo en y queda  
2
y 4 1 x 2   
El volumen engendrado, en general, viene dado por
b
2
a
V y dx 
En este caso, el volumen del toro de revolución es el generado por el área encerrada entre la
semicircunferencia superior y el eje X, restando el generado por el área que queda entre la
semicircunferencia inferior y el eje X.
     
2 2
3 32 2
1 1
V 4 1 x 2 dx 4 1 x 2 dx           
3
2
1
V 16 x 4x 3 dx     
2 3
8 (u )
b)
Antes de calcular la longitud hay que ver el dominio de la función r. Sólo se tendrán en cuenta
aquellos valores angulares para los que r > 0.
Es evidente que para ángulos del primer cuadrante r>0 así como para ángulos del tercer cuadrante
r<0. Hay que discutir los casos en el segundo y cuarto cuadrantes.
Si se hace r=0 se obtiene r sen cos   = 0 lo cual ocurre para los ángulos =3/4π y =7/4π y
ahora queda por comprobar si r>0 se da para los ángulos mayores o menores que los dados en cada
cuadrante. En el segundo cuadrante, r>0 para ángulos menores que 3/4π y en el cuarto cuadrante,
r>0 para ángulos mayores que 7/4π.
El resumen puede verse en la zona sombreada del gráfico
en general,    
2
1
2 2
L r( ) r '( ) d


     ,
como en este caso    
2 2
r( ) r '( ) 2    se tiene que
3
2
4
7
0
4
L 2 d 2 d


      2 (u)
O bien, simplemente
3
4
-
4
L 2 d 2 (u)

   
=3/4π
=7/4π

Integrales
79.- Dada la curva
   
 
x t cos 2t
t
y t tg
2
 

  
  
 
.
a) Calcular el área encerrada por la curva y el eje OY en el segundo
cuadrante (x < 0, y > 0).
b) El área del apartado anterior gira alrededor del eje OY, calcular el
volumen de revolución obtenido.
Solución:
⎡ ⎛ t ⎞⎤
#1: ⎢COS(2·t), TAN⎜⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
Período = m.c.m.(π,2π) = 2π
a) Área 2º cuadrante:
#2: COS(2·t) = 0
#3: SOLVE(COS(2·t) = 0, t, Real)
3·π π π
#4: t = ⎯⎯⎯ ∨ t = - ⎯ ∨ t = ⎯
4 4 4
⎡ ⎛ π ⎞⎤
⎢ ⎜ ⎯ ⎟⎥
#5: ⎢ ⎛ π ⎞ ⎜ 4 ⎟⎥
⎢COS⎜2·⎯⎟, TAN⎜⎯⎯⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
#6: [0, √2 - 1]
⎡ ⎛ 3·π ⎞⎤
⎢ ⎜ ⎯⎯⎯ ⎟⎥
#7: ⎢ ⎛ 3·π ⎞ ⎜ 4 ⎟⎥
⎢COS⎜2·⎯⎯⎯⎟, TAN⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎟⎥
⎣ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 2 ⎠⎦
#8: [0, √2 + 1]
   
1
0
t
t
A y' t x t dt 
d ⎡ ⎛ t ⎞⎤
#9: ⎯⎯ ⎢COS(2·t), TAN⎜⎯⎟⎥
dt ⎣ ⎝ 2 ⎠⎦
⎡ 1 ⎤
#10: ⎢ - 2·SIN(2·t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
⎣ COS(t) + 1 ⎦
1
#11: COS(2·t)·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1
COS(2·t)
#12: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1

Integrales
⎮ COS(2·t) ⎮
#13: ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ COS(t) + 1 ⎮
3·π/4
⌠ ⎮ COS(2·t) ⎮
#14: ⎮ ⎮⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dt
⌡ ⎮ COS(t) + 1 ⎮
π/4
#15: π – 2 unidades lineales las que estemos empleando.
b) Volumen de revolución alrededor de OY:
1
0
t
2
t
V x (t).y'(t)dt 
⎮ 2 1 ⎮
#16: π·⎮COS(2·t) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮
⎮ COS(t) + 1 ⎮
2
π·COS(2·t)
#17: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
COS(t) + 1
3·π/4
⌠ 2
⎮ π·COS(2·t)
#18: ⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
⌡ COS(t) + 1
π/4
#19: π·(4 - π) unidades cúbicas las que estemos empleando.

Integrales
80.- Área interior simultáneamente a las dos curvas siguientes dadas en
coordenadas polares:
r = 2
sen  y r =
1
2
(circunferencia de centro en el polo y radio
1
2
).
Solución:
2
#20: SIN(α)
El período es π. La curva queda dibujada entera para 0 ≤ α ≤ 2π.
Puntos de corte entre ambas curvas:
1 2
#22: ⎯ = SIN(α)
2
5·π 5·π 3·π 3·π π π
#24: α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
4 4 4 4 4 4
En el primer cuadrante el punto de corte se obtiene para α = π/4.
Valores de α para los que la curva alcanza el polo:
2
#25: SIN(α) = 0
2
#26: SOLVE(SIN(α) = 0, α, Real)
#27: α = -π ∨ α = π ∨ α = 0
En el primer cuadrante: α = 0.
Calculamos el área del primer cuadrante y la multiplicamos por 4.
2
1
21
A r d
2


 
π/4 π/2
1 ⌠ 2 2 1 ⌠ ⎛ 1 ⎞2
#27: ⎯·⌡ (SIN(α) ) dα + ⎯·⎮ ⎜⎯⎟ dα
2 0 2 ⌡ ⎝ 2 ⎠
π/4
5·π - 8
#28: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64
5·π - 8
#29: 4·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
64
5·π - 8
#30: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯unidades cuadradas las que estemos empleando.
16

Integrales
81.- La elipse de ecuación 1
49
22

yx
gira alrededor del eje de abscisas.
Calcular el volumen y la superficie del cuerpo de revolución que se obtiene.
Solución:
2 2
x y
#1: ⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9 4
Corte con OX:
2 2
x 0
#2: ⎯⎯ + ⎯⎯ = 1
9 4
2
x
#3: ⎯⎯ = 1
9
⎛ 2 ⎞
⎜ x ⎟
#4: SOLVE⎜⎯⎯ = 1, x, Real⎟
⎝ 9 ⎠
#5: x = -3 ∨ x = 3
Volumen de revolución:
  
b
2
a
V f x dx 
3
⌠ ⎛ ⎛ 2 ⎞⎞
⎮ ⎜ ⎜ x ⎟⎟
#7: ⎮ π·⎜4·⎜1 - ⎯⎯⎟⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ 9 ⎠⎠
-3
#8: 16·π u3
Superficie de revolución:
 
b
2
L
a
S 2 y 1 y´ dx  
⎛ 2 2 ⎞
⎜ x y ⎟
#9: SOLVE⎜⎯⎯ + ⎯⎯ = 1, y, Real⎟
⎝ 9 4 ⎠

Integrales
2 2
2·√(9 - x ) 2·√(9 - x )
#10: y = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3
2
d 2·√(9 - x )
#11: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx 3
2·x
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#12: 2
3·√(9 - x )
2
2·√(9 - x ) ⎛ ⎛ 2·x ⎞2⎞
#13: 2·π·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·√⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
3 ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎝ ⎝ 3·√(9 - x ) ⎠ ⎠
⎛ 2 ⎞
2 ⎜ 5·x - 81 ⎟
4·π·√(9 - x )·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#14: ⎜ 2 ⎟
⎝ x - 9 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
9
3
⌠ ⎛ 2 ⎞
⎮ 2 ⎜ 5·x - 81 ⎟
⎮ 4·π·√(9 - x )·√⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟
#15: ⎮ ⎜ 2 ⎟
⎮ ⎝ x - 9 ⎠
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dx
⌡ 9
-3
⎛ √5 ⎞
72·√5·π·ATAN⎜⎯⎯⎟
#16: ⎝ 5 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + 8·π
5
#17: 67.67287265 u2

Integrales
a) F(x)=
3
x
2
5
ln (t ) dt ; b) G(x) =  
4
x
5x
ln x t dt ; c) H(x) =
tg x
2
sen t dt .
d) I(x)=
tgx
sen x
sen x cos t dt ; e) J(x)=
ln x
3
tg t dt ; f) K(x)= 2
x
x
tg x sen t dt ;
g) L(x)=
3
x
1
cos t dt ; h) M(x)=
3
2
x
x
cos x sen t dt ; i) N(x)= 2
x
x
tg x sen t dt
Solución:
a) F‘(x) =    62232
xnl3x)x(nl3x  .
b) G(x) =   dttln x
4
x
5x 
  5x5xx4ln xdtt
x
1
)x('G 43
x
5x
4
  .
c) H‘(x) = 2 2
1 sen(tg )
sen(tg ) 0
cos cos
x
x
x x
  .
d) I(x) =
tgx
senx
sen cosx t dt =
tgx
senx
sen cosx t dt 
I'(x) 
tgx
2senx
1
cos cos sen cos(tg ) cos cos(sen )
cos
x t dt x x x x
x
 
   
 
 =.
e) J‘(x) =
1 tg( n )
tg( n ) 0
l x
l x
x x
  .
f) K(x) = dttx
x
x2
sentg = 2
x
x
tg senx t dt 
K '(x)    2 2
x x
x x
tg ' sen tg sen 'x t dt x t dt   
   =
2
x
2
2 x
1 1
sen tg sen 2 sen
cos 2
t dt x x x x
x x
 
  
 
 .
g) L‘(x) =  xcos3x 32
.
h) M(x) =  dttsenxcos
3
2
x
x
       
3
2
x
2 3 2
x
M'(x) senx sen t dt cos x 3x sen x 2xsen x      .
i) N(x) = dttx
x
x2
sentg 2
x
x
=tg senx t dt 
G '( )x    2 2
x x
x x
tg ' sen tg sen 'x t dt x t dt   
   =
2
x
2
2 x
1 1
sen tg sen 2 sen
cos 2
t dt x x x x
x x
 
  
 
 .

Integrales
83.- Hallar el área de la región comprendida entre la curva en polares
 r 7 cos 6   y la circunferencia de centro el origen y radio 6.
Solución:
  ,...
2
,
6
66cos7




Por las simetrías de las curvas, el área A pedida es 12 veces el
área rayada de la figura. Por tanto,
A = 12    





 

d6
2
1
d6cos7
2
1 6
0
26
0
2
=
= 6 







6
4
33
= 6
4
9
=
2
27
u2

Integrales
84.- Calcular la longitud de la curva 2
9y x(3 x) 
Solución:
L = dx)x('f1
b
a
2
 
2
#90: 9·y = x·(3 - x)
Puntos de corte con OX (y = 0): x = 3 ∨ x = 0
2
#95: SOLVE(9·y = x·(3 - x), y)
√(x·(3 - x)) √(x·(3 - x))
#96: y = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3 3
d √(x·(3 - x)) 3 - 2·x
#97: ⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx 3 6·√(x·(3 - x))
⎛ ⎛ 3 - 2·x ⎞2⎞
#99: √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
⎝ ⎝ 6·√(x·(3 - x)) ⎠ ⎠
3
⌠ ⎛ ⎛ 3 - 2·x ⎞2⎞
L= 2 ⎮ √⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx = 6.682099172 u
⌡ ⎝ ⎝ 6·√(x·(3 - x)) ⎠ ⎠
0

Integrales
de abscisas del arco de la curva y = lnx comprendido entre 0 y 1. Indica, en su
caso, si la integral que has utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es
convergente o divergente.
Solución:
V =
1
2
0
( )f x dx 
V  
1 1 22
0 c
ln ( ) lim ln

   c
x dx x dx  2 u3
Es una integral impropia de segunda especie:
función no acotada en intervalo de integración finito
pues  
2
0
lim ln
x
x

 
Es convergente.

Integrales
86.- Calcular la superficie del elipsoide de revolución engendrada por la rotación
alrededor del eje de abscisas de la elipse cuyas ecuaciones paramétricas son:
x 2 cos t
y 3sent
 


.
Solución:
La elipse es simétrica respecto de los ejes y periódica de periodo 2π (por serlo x e y), en
consecuencia, el elipsoide se genera rotando la mitad superior (intervalo [0, π].
Para t= 0(2,0) y para t= π (-2,0)
S =       dtt'yt'xty2
2
2
t
t
22
  =
   
2 2
0
2 3sen 2sen 3cost t t dt

   =18·π -
1 7 5
12 5 ln
5 2

  
    
  
 89 u2

Integrales
87.- Hallar el volumen del sólido generado al girar, alrededor del eje OX, el
arco de la curva y =sen2
x comprendido entre x = 0 y x =.
Solución:
V =  
b 22 2
a 0
( ) sen  f x dx x dx

 
2
33
8
u


Integrales
88.- Calcular la longitud de la curva y x(1 x)  . Indica, en su caso, si la
divergente.
Solución:
La curva corresponde a una semicircunferencia. Su dominio es el intervalo [0,1] que son los valores
donde (1 ) 0 x x
Es una integral impropia de segunda especie: función no acotada en intervalo de integración
finito pues
2
0
1 2
lim 1
(1 )x
x
x x

 
     
e igual para x1-
Es convergente.
L = dx)x('f1
b
a
2
  =
2
1
0
1 2
1
(1 )
x
dx
x x
 
    
 =
2
2 2
0.5 0.5
0 c0
1 2 1 2
1 2 lim 1
(1 ) (1 )

    
             
 c
x x
dx dx
x x x x 2
u


Integrales
89.- Hallar la superficie del sólido generado por la astroide de ecuación
3
3
x cos t
y sen t
 


al girar alrededor del eje OY.
Solución:
Por las simetrías de la curva, el volumen obtenido al girar alrededor del eje OY coincide con el
obtenido al girar alrededor de OX:
La curva en el primer cuadrante se obtiene para 


 

2
,0t , por tanto:
S = 2∙2       dtt'yt'xty2
0
22


 , y también:

S =2∙ 2       dtt'yt'xtx2
0
22


 ,
⎡ 3 3⎤
#50: ⎣COS(t) , SIN(t) ⎦
d ⎡ 3 3⎤ ⎡ 2 2 ⎤
#51: ⎯⎯ ⎣COS(t) , SIN(t) ⎦ = ⎣ - 3·SIN(t)·COS(t) , 3·SIN(t) ·COS(t)⎦
dt
π/2
⌠ 3 2 2 2 2 2
2·2·π⌡ COS(t) ·√((- 3·SIN(t)·COS(t) ) + (3·SIN(t) ·COS(t) ) ) dt
0
12π
#58: ·⎯⎯⎯⎯⎯ u2
5

Integrales
de abscisas del arco de la curva y = xe-x
para x ≥ 0. Indica, en su caso, si la
divergente.
Solución:
V =    dxxf
0
2


V = π    
c2 2-x -x
0 0
xe lim xe
c
dx dx


   4

u3
Es una integral impropia de primera especie (intervalo
de integración infinito y función continua en el
intervalo) convergente.

Integrales
91.- Calcular el área comprendida entre las curvas en polares:
a) r 1 cos   y r cos  .
b) r 1 cos   y r cos   .
Solución:
a) Ambas curvas son periódicas de periodo 2π y simétricas respecto del eje polar por serlo el
coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas.
Los límites de integración se obtienen por intersección para r=0:
r 1 cos 0        ; r cos 0
2

     
Y para r=1 en la circunferencia r cos 1 0     
Y r=2 en la cardioide r 1 cos 2 0      
b) Ambas curvas son periódicas de periodo 2π y simétricas respecto del eje polar por serlo el
coseno, en consecuencia, el área es 2 veces la región por encima del eje de abscisas
Por lo tanto, A= 21
( )
2
r d


  
2    
2 2
2
0 0
1 1
1 cos cos
2 2
 
   
 
 d d


   
5
4
 u2
Por lo tanto, A= 21
( )
2
r d


  
2    
/22 2
0
1 1
1 cos cos
2 2
 
     
 d d
 

   
5
4
 u2

Integrales
de abscisas de la curva 4
1
y
x 1


. Indica, en su caso, si la integral que has
utilizado es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
Solución:
Es una integral impropia de primera especie (función continua en intervalo de integración
infinito: (0,∞) y es convergente.
V =
2
b
2
4a 0
1
( ) 2
1
  
  
 
 f x dx dx
x
 
2
c
40
1
=2 lim
1
 
 
 
c
dx
x

2
33 2
8
u


Integrales
93.- Las curvas, en polares,  r sen 2  y  r cos 2  , se cortan dando lugar
a varios recintos interiores comunes a ambas curvas, todos de la misma área.
Calcular el área de uno de estos recintos.
Solución:
#1: COS(2·α) = SIN(2·α)
#6: SOLVE(COS(2·α) = SIN(2·α), α, Real)
5·π 3·π π
#7: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯
8 8 8
COS(2·α) = 0
SOLVE(COS(2·α) = 0, α)
3·π π π
α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
4 4 4
SIN(2·α) = 0
SOLVE(SIN(2·α) = 0, α, Real)
π π
α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
La fórmula a utilizar es:
   


dr
2
1
A
2
π/8
⌠ 2
⌡ SIN(2·α) dα
0
π 1
⎯⎯ - ⎯
16 8
π/4
⌠ 2
⌡ COS(2·α) dα
π/8
π 1
⎯⎯ - ⎯
16 8
1 ⎛ π 1 ⎞ 1 ⎛ π 1 ⎞ π - 2
A = ⎯·⎜⎯⎯ - ⎯⎟ + ⎯·⎜⎯⎯ - ⎯⎟ = ⎯⎯⎯⎯⎯ u2
2 ⎝ 16 8 ⎠ 2 ⎝ 16 8 ⎠ 16

Integrales
U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: CÁLCULO Y ESTADÍSTICA 153
94.- Plantear la integral que da la longitud del primer arco de la espiral r  
(coordenadas polares).
Solución:
#70: √α
Para valores de α entre 0 y 2·π, se obtiene el primer arco de la espiral:
La longitud viene dada por:      

d'rrL
2
0
22
d
#71: ⎯⎯ √α
dα
1
#72: ⎯⎯⎯⎯
2·√α
2·π
⌠ ⎛ 2 ⎛ 1 ⎞2⎞
#74: L = ⎮ √⎜√α + ⎜⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
⌡ ⎝ ⎝ 2·√α ⎠ ⎠
0
Aproximando esta integral con el comando  de Derive:
#76: 11.27394126
L = 11.27394126 u

Integrales
95.- Calcular el volumen obtenido por la rotación de la curva 2
3
3 x
y
x


alrededor del eje de abscisas. Indica, en su caso, si la integral que has utilizado
es impropia, a qué tipo pertenece y si es convergente o divergente.
Solución:
2 3 - x
y = ⎯⎯⎯⎯⎯
#40: 1/3
x
y = 0  x = 3
El volumen pedido viene dado por: V = 
3
0
2
dxy
3
⌠ 3 - x
⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯ dx
#41: ⎮ 1/3
⌡ x
0
2/3
27·3
#42: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
10
2/3
27·3
V =  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ u3.
10
La integral utilizada es una integral impropia de segunda especie (función no acotada en un
intervalo de integración finito) convergente.

Integrales
96.- Calcular la superficie de revolución engendrada por la rotación alrededor del
eje de abscisas del bucle derecho de la curva
 
x cos t
y sen 3t
 


Solución:
#16: [COS(t), SIN(3·t)]
Trigonometry ≔ Expand
#17: SOLVE(SIN(3·t), t, Real)
5·π 4·π 2·π 2·π π π
#18:t = ⎯⎯⎯ ∨ t = ⎯⎯ ∨ t = - ⎯⎯⎯ ∨ t = ⎯⎯ ∨ t = - ⎯ ∨ t = 
3 3 3 3 3 3
∨ t = -π ∨ t = π ∨ t = 0
Para t = 0, se obtiene el punto: (1, 0).
Para t = π/3, se obtiene el punto (1/2, 0).
      dtt'yt'xty2S 3
0
22



d
#19: ⎯⎯ [COS(t), SIN(3·t)]
dt
⎡ 2 ⎤
#20: ⎣ - SIN(t), COS(t)·(3 - 12·SIN(t) )⎦
2 2
#21: 2·π·SIN(3·t)·√((- SIN(t)) + (3·COS(3·t)) )
π/3
⌠ 2 2
#22: ⌡ 2·π·SIN(3·t)·√((- SIN(t)) + (3·COS(3·t)) ) dt
0
π/3
⌠ 2 2
#23: 2·π·⌡ SIN(3·t)·√(9·COS(3·t) + SIN(t) ) dt
0
Aproximando esta integral con el comando  de Derive:
#24: 6.825649852 u2

Integrales
97.-
a) Hallar el área limitada por las regiones
2 2
x y 2x  ; 2 2
x y 4x  ; y x ; y 0 .
b) Hallar el área limitada por las curvas
x 1 cos t
y sent
  

 
;
x 2 2 cos t
y 2sent
  

 
;
x t
y t
 

 
;
x t
y 0
 

 
c) Hallar el área limitada por las curvas
r 2 cos  ; r 4 cos ; 1tg  ;  sen 0
Solución:
a) Buscamos los puntos de intersección entre las circunferencias y la recta:
2 2
x y 2x
A(1,1)
y x
 

 
2 2
x y 4x
B(2,2)
y x
 

 
   
2 4 2 2 4
2 2 2 2
1 2 1 1 2
A x 2x x dx 4x x dx x dx 2x x dx 4x x dx *              
Calculamos cada integral por separado:
22
2
1 1
1
x 3
I x dx
2 2

  


2 2
2 2 2 22 2 2
2 1 1 0 0 0
1 cos2t
I 2x x dx 1 (x 1) dx 1 sen t cos tdt cos tdt dt
2
  

             
2
0
1 sen2t
t
2 2 4

 
    
4 4
2 2 2 22 2 2
3 2 2 0 0 0
1 cos2t
I 4x x dx 4 (x 2) dx 4 4sen t 2costdt 4 cos tdt 4 dt
2
  

             
2
0
1 sen2t
4 t
2 2

 
     
Quedando, A=(*)= 1 2 3
3
I I I
2 4

      
3 3
2 4



Integrales
b) Buscamos los puntos de intersección entre las circunferencias y la bisectriz del primer cuadrante:
1
1
1
2
2
x 1 cos t
y sent
t
2x t
y t
  

 
 
  
   
1
1
1
2
2
x 2 2cos t
y 2sent
t
2x t
y t
  

 
 
  
   
Obviamente con el eje de abscisas resulta en los dos casos t=0.
En el caso de la recta
x t
y t
 

 
los límites son 1 y 2
La fórmula a utilizar será:
1
0
t
t
A y(t)x '(t) dt 
2
1 1
x(t) t 3
x'(t) 1 I t 1 dt
y(t) t 2
 
      
 

22
2 0
x 1 cos t
x'(t) sent I sen tdt
y sent 4

   
     
 

22
3 0
x 2 2cos t
x'(t) 2sent I 4 sen tdt
y 2sent

  
      
 

Quedando, A= 1 2 3
3
I I I
2 4

      
3 3
2 4


Obsérvese que I2 e I3 son la cuarta parte de círculos de radios 2 y 1 respectivamente.
c) La recta tgα=1 tiene un ángulo de 45º, es
decir, π/4 radianes con el eje polar, luego:
   2 2
1 1
2 2 2 2 2 24 4
2 1 0 0
1 1 1
I r d r r d 16cos 4cos d 6 cos d
2 2 2
 
 
 
                
3( 2)
4
 


Integrales
98.- Hallar el volumen del sólido obtenido al hacer girar la región comprendida
entre y=x2
e y=2x alrededor del eje X.
Solución:
El volumen pedido viene dado por: V =  
b
2 2
1 2a
y y dx 
Haciendo x2
=2x, resulta los puntos x=0, x=2
V =         
2
b 2 2222 2 2 2 4 3 5
1 2a 0 0
0
4 1
y y dx 2x x dx 4x x dx x x
3 5
 
            
 
  
= 364
(u )
15


Integrales
99.-Hallar la superficie engendrada por la rotación de la circunferencia de
ecuación (x-2)2
+ (y-4)2
Solución:
Al ser una circunferencia de centro (2,4) y radio 1 los límites de
integración correspondiente al girar alrededor del eje X son:
2-1=1 y 2+1=3
Resolviendo en y queda  
 
2
2
2 x
y 4 1 x 2 y'
1 x 2

     
 
La superficie engendrada, en general, viene dada por
 
b 2
L a
S 2 y 1 y' dx  
En este caso, la superficie del toro de revolución es la generado por el área encerrada entre la
semicircunferencia superior y el eje X, e igual la generada por el área que queda entre la
semicircunferencia inferior y el eje X.
 
3 2
L 1
S 2 2 y 1 y' dx    
    
2
3
2
2
1
2 x
4 4 1 x 2 1 dx
1 x 2
                
   2
8 2 1 (u ) 

Integrales
100.-a) Hallar el área interior al círculo r=1 y exterior a la cardioide r=1-cosα.
b) Determinar la longitud de la cardioide r=1-cosα
Solución:
a) La fórmula a utilizar es:  2
1
2 2
2 1
1
A r r d
2


  
Los puntos de intersección entre las dos curvas son
r 1 2cos 0
r 1 cos
2

  
      
    

  222
2
1
A 1 1 cos d
2



     
2
2 (u )
4


b)
Al ser una curva de periodo 2, la longitud viene dada por:
 
2 2 22 2 2
0 0
L r (r') d 1 cos sen d
 
           8(u)

Integrales
101.- Obtener el área de la superficie generada por la curva  r 2 cos 2  al
girar alrededor del eje polar.
Solución:
En el polo r=0, obtenemos  r 0 2cos 2 cos(2 ) 0
4

         
Y en la intersección con el eje polar    r 2 2cos 2 cos(2 ) 1 0,         
   
 
 
 
 
 
2
2
2
r 2cos 2 r 2cos 2
2 sen 2 2sen 2
r' r'
cos 2cos 2
    
 
   

     
 
 
2
1
2
22 4
0
2sen 2
S 2 rsen r r' d 2 2 2cos 2 sen 2cos 2 d
cos 2




             
 
  2
8 4 2 (u ) 

Integrales
102.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva 2 2 4
y x x  alrededor del
eje de abscisas.
Solución
Es decir, resolvemos 4 2
1
x x 0 x 0
1


    


El volumen pedido viene dado por: V =
b
2
a
y dx
V =    
b 1 1
2 4 2 4 2
a 1 0
y dx x x dx 2 x x dx

         
4
15

u2
0 15
Calculamos los puntos de intersección con el eje de
abscisas

Integrales
103.- Estudiar si el área de la región comprendida entre la curva de ecuaciones
2
2 (t)
y(t) 2cos (
x(t
t)
) t g  

 
y su asíntota es finita o no.
Solución
Tiene una asíntota horizontal que es el eje de abscisas (y=0) para t=
2

2
t t
2 2
lim2tgt ;lim2cos t 0
 
 
  
Además la curva es simétrica respecto del eje de ordenadas pues
2 2
2 ( t) 2tg(t) x(t)
y( t) 2cos
x( t
( t) 2cos (t) y(t)
) tg      

    
 

La fórmula a utilizar será:
1
0
t
t
A y(t)x '(t) dt 
2
2
x '(t)
cos t

1
0
t
22 2
2t 0 0
2
A y(t)x '(t) dt 2 2cos t dt 8 dt
cos t
 
      4u2

Integrales
104.- Hallar la longitud de la elipse de ecuación
5
r
3 2 cos

 
.
Solución
La fórmula a utilizar es:
2
1
2 2
L r (r ') d


  
Estableciendo los límites de integración entre 0 y 2pi
d 5 10·SIN(α)
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#1: dα 3 - 2·COS(α) 2
(2·COS(α) - 3)
⎛⎛ 5 ⎞2 ⎛ 10·SIN(α) ⎞2⎞
√⎜⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ =
#2: ⎜⎝ 3 - 2·COS(α) ⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎟
⎝ ⎝ (2·COS(α) - 3) ⎠ ⎠
5·√(13 - 12·COS(α))
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
(2·COS(α) - 3)
2π
⌠ 5·√(13 - 12·COS(α))
·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα = 16.53724725 u.
#3: ⎮ 2
⌡ (2·COS(α) - 3)
0
 
2
2
2
20
5 10sen
L d
3 2cos 3 2cos
    
            
 16.53724725 u

Integrales
105.- Hallar el volumen engendrado al rotar la curva
 2
2 x 3 x
y
1 x



(Trisectriz
de Maclaurin) alrededor del eje de abscisas.
Solución
 2
0x 3 x
0 x
31 x
 
   
 
b
2
a
y dx
 2
b 32
a 0
x 3 x
V y dx
1 x

    
    3
8ln 2 3 u 
Calculamos los puntos de
intersección con el eje de abscisas.

Integrales
106.- Hallar el volumen del cuerpo intersección de los cilindros:
x2
+ y2
= r2
; y2
+ z2
= r2
Solución:
Podemos observar que al hacer cortes perpendiculares a la sección común de los dos cilindros se
obtienen cuadrados de lado 2y. Por lo tanto,
b
a
A(x)dx
   
2
2 2 2
A(x) 2y 2 r x  
 
r3r 2 2 2 3
r
r
x 4
V 4 r x dx 4 r x 4 r
3 3

 
      
  

3
3
16
r
2 2 2
x y r 

Integrales
 
 
 3
sen , se pide:
c) Longitud de la curva (para valores de  dentro del dominio de la
función).
Solución
a) T =  623
b) La curva se dibuja completa para    

 2,0
3
6,0
Ha de ser r  0 , es decir:    






 
3,0,0
3
0
3
sen
c)
⎛ α ⎞
#63: SIN⎜⎯⎟
⎝ 3 ⎠
d ⎛ α ⎞
#64: ⎯⎯ SIN⎜⎯⎟
dα ⎝ 3 ⎠
⎛ α ⎞
COS⎜⎯⎟
#65: ⎝ 3 ⎠
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
       


dffL
1
0
22
3·π
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ α ⎞ ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ COS⎜⎯⎟ ⎟ ⎟
#67: ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟
⎮ √⎜SIN⎜⎯⎟ + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠
0
3·π
⌠ ⎛ ⎛ α ⎞2 ⎞
⎮ √⎜8·SIN⎜⎯⎟ + 1⎟ dα
#68: ⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎠
0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
#69: 6.682446610 u

ETSI de Topografía, Geodesia y Cartografía
 


2
x cos t
y tg t
y su asíntota.
Solución
⎡ 2 ⎤
#33: ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
#34: SOLVE(TAN(t), t, Real)
#35: t = -π ∨ t = π ∨ t = 0
⎡ 2 ⎤
#36: lim ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
t→π/2
#37: [0, ±∞]
     
1
0
tb
a t
A f x dx y t x t dt   
d ⎡ 2 ⎤
#38: ⎯⎯ ⎣COS(t) , TAN(t)⎦
dt
⎡ 1 ⎤
⎢ - 2·SIN(t)·COS(t), ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
#39: ⎢ 2 ⎥
⎣ COS(t) ⎦
π/2
⌠ 2 1
⎮ 2·COS(t) ·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dt
#41: ⎮ 2
⌡ COS(t)
0
#42: π u2

Integrales
  2 2
3y x ( x) alrededor del eje de abscisas.
Solución
2 2
#23: y = x - (3 - x)
2
#24: SOLVE(x - (3 - x) , x, Real)
7 √13 √13 7
#25: x = ⎯ - ⎯⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯⎯ + ⎯
2 2 2 2
2 2
#26: SOLVE(y = x - (3 - x) , y, Real)
2 2
#27: y = - √(- x + 7·x - 9) ∨ y = √(- x + 7·x - 9)
    
b b
2 2
a a
S 2 f (x) 1 f x dx 2 y 1 y' dx      
d 2
#28: ⎯⎯ √(- x + 7·x - 9)
dx
7 - 2·x
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#29: 2
2·√(- x + 7·x - 9)
√13/2 + 7/2
⌠ 2 ⎛ ⎛ 7 - 2·x ⎞2⎞
⎮ 2·π·√(- x + 7·x - 9)·√⎜1 + ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
#31: ⎮ ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎟ dx
⌡ ⎝ ⎝ 2·√(- x + 7·x - 9) ⎠ ⎠
7/2 - √13/2
#32: 40.84070174 u2

 
 
 3
cos , se pide:
c) Longitud de la curva (para valores de  dentro del dominio de la
función).
Solución
a) T =  623

 2,0
3
6,0
Ha de ser r  0 , es decir:









 









 







 
6,
2
9
2
3
,02,
2
3
2
,0
3
0
3
cos
c)
⎛ α ⎞
#70: COS⎜⎯⎟
⎝ 3 ⎠
       


dffL
1
0
22
d ⎛ α ⎞
#71: ⎯⎯ COS⎜⎯⎟
dα ⎝ 3 ⎠
⎛ α ⎞
SIN⎜⎯⎟
#72: ⎝ 3 ⎠
- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
3·π/2 6·π
⌠ ⎛ ⎛ ⎛ α ⎞ ⎞2⎞ ⌠ ⎛ ⎛
⎮ ⎜ ⎜ SIN⎜⎯⎟ ⎟ ⎟ ⎮ ⎜ ⎜
#76: ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜ ⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟ ⎮ ⎜ ⎛ α ⎞2 ⎜
⎮ √⎜COS⎜⎯⎟ + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα + ⎮ √⎜COS⎜⎯⎟ + ⎜-
⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎠ ⌡ ⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎝
0 9·π/2
⎛ α ⎞ ⎞2⎞
SIN⎜⎯⎟ ⎟ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎟ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dα
3 ⎠ ⎠
#77: 6.682446610 u

Integrales



 
2
1
x
tg t
y sen t
y su asíntota.
Solución
⎡ 1 2⎤
#43: ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
⎣ TAN(t) ⎦
⎡ 1 2⎤
#44: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
t→0 ⎣ TAN(t) ⎦
#45: [±∞, 0]
⎡ 1 2⎤
#46: lim ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
t→π/2 ⎣ TAN(t) ⎦
#47: [0, 1]
     
1
0
tb
a t
A f x dx y t x t dt   
d ⎡ 1 2⎤
#48: ⎯⎯ ⎢⎯⎯⎯⎯⎯⎯, SIN(t) ⎥
dt ⎣ TAN(t) ⎦
⎡ 1 ⎤
⎢- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, 2·SIN(t)·COS(t)⎥
#49: ⎢ 2 ⎥
⎣ SIN(t) ⎦
π/2
⌠ 2 ⎮ 1 ⎮
⎮ 2·SIN(t) ·⎮- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎮ dt
#51: ⎮ ⎮ 2 ⎮
⌡ ⎮ SIN(t) ⎮
0
#52: πu2

  2 2 4
1x (y ) y alrededor del eje de ordenadas.
Solución
2 2 4
#12: x = (y + 1) - y
2 4
#13: SOLVE((y + 1) - y , y)
1 √3·i 1 √3·i 1 √5
#14: y = - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = - ⎯ + ⎯⎯⎯⎯ ∨ y = ⎯ - ⎯⎯ ∨ y =
2 2 2 2 2 2
√5 1
⎯⎯ + ⎯
2 2
2 2 4
#15: SOLVE(x = (y + 1) - y , x)
4 2 4 2
#16: x = - √(- y + y + 2·y + 1) ∨ x = √(- y + y + 2·y + 1)
 
d
2
c
S 2 x 1 x ' dy  
d 4 2
#17: ⎯⎯ √(- y + y + 2·y + 1)
dy
3
2·y - y - 1
#18: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 2
√(- y + y + 2·y + 1)
√5/2 + 1/2
⌠ ⎛ ⎛
⎮ 4 2 ⎜ ⎜
#20: ⎮ 2·π·√(- y + y + 2·y + 1)·√⎜1 + ⎜-
⎮ ⎜ ⎜
⌡ ⎝ ⎝
1/2 - √5/2
3 ⎞2⎞
2·y - y - 1 ⎟ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dy = 27.21509683 u2
4 2 ⎟ ⎟
√(- y + y + 2·y + 1) ⎠ ⎠

Integrales
 
 
 2
tg , se pide:
c) Área encerrada por la curva y el eje OY (para valores de  dentro del
dominio de la función).
Solución
a) T =  22

 ,0
2
2,0
Ha de ser r  0 , es decir:  


 







 
,0
2
,0
2
0
2
tg
c)
⎛ α ⎞
#78: TAN⎜⎯⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ ⎛ α ⎞ ⎞
#79: SOLVE⎜TAN⎜⎯⎟, α, Real⎟
⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎠
#80: α = - 2·π ∨ α = 2·π ∨ α = 0
   


df
2
1
A
1
0
2
π/2
⌠ 1 ⎛ α ⎞2
#82: ⎮ ⎯·TAN⎜⎯⎟ dα
⌡0 2 ⎝ 2 ⎠
4 - π
#83: ⎯⎯⎯⎯⎯ u2
4

Integrales
114.- Hallar el volumen engendrado al girar el área encerrada entre la curva
 


2
x cos t
y tg t
y su asíntota alrededor de dicha asíntota.
Solución
Buscamos su asíntota
2
t t
2 2
t t
2 2
lím x(t) lím cos t 0
x 0
lím y(t) lím tg t
 
 
 
 
  

 
  

Al girar alrededor del eje Y
    
1
0
t
2
t
V x t y' t dt 
2
1
y(t) tgt y'(t)
cos t
  
      
1
0
t 2
22 2
2
t
2
1
V x t y' t dt cos t dt
cos t



     
2
2

u3

Integrales
115.- Hallar la longitud de la curva    
2
2 4
1y x x .
Solución
2 2 4
#1: y = (x + 1) - x
2 4
#2: SOLVE((x + 1) - x , x)
1 √3·i
#3: x = - ⎯ - ⎯⎯⎯⎯
2 2
1 √3·i
x = -⎯ - ⎯⎯⎯⎯
2 2
1 √5
x = ⎯ - ⎯⎯ ∨
2 2
√5 1
x = ⎯⎯ + ⎯
2 2
   dxxf1L
b
a
2
 
2 2 4
#5: SOLVE(y = (x + 1) - x , y)
4 2 4 2
#6: y = - √(- x + x + 2·x + 1) ∨ y = √(- x + x + 2·x + 1)
d 4 2
#7: ⎯⎯ √(- x + x + 2·x + 1)
dx
3
2·x - x - 1
#8: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 2
√(- x + x + 2·x + 1)
√5/2 + 1/2
⌠ ⎛ ⎛ 3 ⎞2⎞
⎮ ⎜ ⎜ 2·x - x - 1 ⎟ ⎟
#10: ⎮ √⎜1 + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟ dx
⎮ ⎜ ⎜ 4 2 ⎟ ⎟
⌡ ⎝ ⎝ √(- x + x + 2·x + 1) ⎠ ⎠
1/2 - √5/2
#11: 4.498824500 u
Hay que multiplicar por 2 para obtener la longitud total de la curva, pues el
resultado anterior se refiere a la parte positiva (y0):
L = 2 (4.498824500) = 8.997649000 u

Integrales
116- Determinar la curva que pasa por el punto (e, 2) y cuya pendiente en cada
punto (x,y), tal que x > 0, es ln x
Solución
 
x
y ln xdx ln(x) 1 C
2
   
Obligamos a que la curva pase por el punto (e, 2):
 
e
2 ln(e) 1 C C 2
2
    
Luego, la curva pedida es:
 
x
y ln(x) 1 2
2
  

a) F(x) =
ln x
3
cos t dt .
b) G(x) =
ln x
cos x
cos x sen t dt .
Solución:
a)
Sea
x
a
G(x) f (t)dt G '(x) f (x)  
Consideramos la función continua en R: f(t) = cost y g(x)= lnx una función derivable. Entonces:
ln x
2
F(x) cos tdt 
g(x)
a
f (t)dt G(g(x))
Derivando:
1
F'(x) G '(g(x))g'(x) f(g(x))g'(x) f (ln x)
x
   
1
cos(ln x)
x

b) G(x) =
ln x
cos x
cos x sen t dt 
Sea
x
a
F(x) f (t)dt G '(x) f (x)  
Consideramos la función continua en R: f(t)= sent y g1(x)=lnx; g2(x)=cosx funciones derivables.
Entonces:    ln x a ln x ln x cosx
cosx cosx a a a
G(x) cos x sentdt cos x sentdt sentdt cos x sentdt sentdt         
   
2g (x) g1(x)
2 1a a
cos x f (t)dt f (t)dt cos x F(g (x)) F(g (x))    
Derivando:
   
 
2 2 1 2 1
2 1 2 1
G '(x) cos x F'(g (x))g '(x) F'(g (x)) senx F(g (x)) F(g (x))
1
cos x f (g (x)) f (g (x))senx senx F(g (x)) F(g (x))
x
    
 
     
 
   
ln x
1
x cos x
G '(x) cos x sen ln x sen cos x senx senx sen t dt      .

Integrales
118.- Calcular:
a) La longitud de la curva en polares 2
r 5 cos(2 ) 
b) El área encerrada por uno de los bucles de la curva anterior.
c) El área interior común a la curva anterior y a 2
r 5 sen(2 )  .
Solución:
2
a) #1: r = 5·COS(2·α)
#2: SOLVE(5·COS(2·α), α, Real)
3·π π π
#3: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯ ∨ α = ⎯
4 4 4
#13: r = √(5·COS(2·α))
d
#14: ⎯⎯ √(5·COS(2·α))
dα
√5·SIN(2·α)
#15: - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(COS(2·α))
2 2
#18: √(r + r’ )
⎛ ⎛ √5·SIN(2·α) ⎞2⎞
#19: √⎜5·COS(2·α) + ⎜- ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ ⎟
⎝ ⎝ √(COS(2·α)) ⎠ ⎠
√5·SIGN(COS(2·α))
#20: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
√(COS(2·α))
π/4
⌠ √5·SIGN(COS(2·α))
#23: 4·⎮ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ dα
⌡ √(COS(2·α))
0
#24: 11.72536142 unidades lineales.
b) El área de la mitad del bucle es:
π/4 2
#25: A = 1/2 ∫ r(α) dα
0
Luego, el área pedida es:
1 π/4
#26: 2·⎯·∫ 5·COS(2·α) dα = 5/2 unidades cuadradas.
2 0

c)
2
#4: r = 5·SIN(2·α)
#8: SOLVE(5·SIN(2·α), α, Real)
π π
#9: α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = 0
2 2
#5: 5·COS(2·α) = 5·SIN(2·α)
#6: SOLVE(5·COS(2·α) = 5·SIN(2·α), α, Real)
5·π 3·π π
#7: α = ⎯⎯⎯ ∨ α = - ⎯⎯⎯ ∨ α = ⎯
8 8 8
El área correspondiente al primer cuadrante es suma de dos áreas A1 y A2:
π/8
#28: A1 =∫ 5·SIN(2·α) dα
0
π/4
#29: A2 =∫ 5·COS(2·α) dα
π/8
1 ⎛ π/8 π/4 ⎞
⎯·⎜∫ 5·SIN(2·α) dα + ∫ 5·COS(2·α) dα⎟
2 ⎝ 0 π/8 ⎠
5 5·√2
#31: ⎯ - ⎯⎯⎯⎯
2 4
Para obtener el área total interior a ambas curvas hemos de multiplicar por 2:
⎛ 5 5·√2 ⎞
#32: 2·⎜⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎟
⎝ 2 4 ⎠
5·√2
#33: 5 - ⎯⎯⎯⎯unidades cuadradas.
2

Integrales
f(x) 2x 1 x , calcular el volumen engendrado al girar la
curva alrededor del eje de ordenadas
Solución:
2
#1: y = 2·x·√(1 - x )
 
2
1
y 2
OY y
V x y dy    
Consideramos el arco de curva del primer cuadrante
y posteriormente multiplicaremos por 2 el resultado.
Hemos de calcular para qué valor de x esta función
alcanza el máximo:
d 2
#2: ⎯⎯ (2·x·√(1 - x ))
dx
2
2·(1 - 2·x )
#3: ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
√(1 - x )
⎛ 2 ⎞
⎜ 2·(1 - 2·x ) ⎟
#4: SOLVE⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x, Real⎟
⎜ 2 ⎟
⎝ √(1 - x ) ⎠
√2 √2
#5: x = - ⎯⎯ ∨ x = ⎯⎯
2 2
Sustituyendo en la función, se obtiene la imagen: f(
2
2
) = 1
El volumen será la resta de los volúmenes siguientes:
El generado al girar la curva desde x =
2
2
hasta x = 1 menos el volumen obtenido cuando la curva
gira desde x = 0 hasta x =
2
2
. Los valores entre los que varía la “y” son los mismos en ambos
casos, no así la expresión para “x” en cada uno de los dos tramos de curva.

2 2 2
#7: y = 4·x ·(1 - x )
⎡ 2 2 2 ⎤
#15: SOLVE(⎣y = 4·x ·(1 - x )⎦, [x])
⎡ 2 2
⎢ √2·√(√(1 - y ) + 1) √2·√(√(1 - y ) + 1)
#16: ⎢x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯,
⎣ 2 2
2 2 ⎤
√2·√(1 - √(1 - y )) √2·√(1 - √(1 - y )) ⎥
x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯, x = - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎥
2 2 ⎦
1
⌠ ⎛ 2 ⎞2
⎮ ⎜ √2·√(√(1 - y ) + 1) ⎟ π + 4
#19: ⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dy = ⎯⎯⎯⎯⎯
⌡ ⎝ 2 ⎠ 8
0
1
⌠ ⎛ 2 ⎞2
⎮ ⎜ √2·√(1 - √(1 - y )) ⎟ 4 - π
#22: ⎮ ⎜⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎟ dy =⎯⎯⎯⎯⎯
⌡ ⎝ 2 ⎠ 8
0
2
⎛ π + 4 4 - π ⎞ π
#24: π·⎜⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎟ = ⎯⎯
⎝ 8 8 ⎠ 4
Como se indicaba más arriba, hemos de multiplicar por 2:
2 2
π π
#26: 2·⎯⎯ = ⎯⎯ unidades cúbicas.
4 2

Integrales
120.- Hallar el área sombreada de la figura que es simultáneamente exterior a
la curva en polares r 2 cos(3 )   e interior a r 2 cos(3 )   .
Solución:
Resolvemos la intersección de las dos curvas
2 + COS(3·α) = 2 - COS(3·α)
Obteniendo
π π π
α = - ⎯ ∨ α = ⎯ ∨ α = ⎯
6 6 2
Si calculamos la región correspondiente al primer cuadrante:
             
1
0
6
2 2 2 2
1 2
0
1 1 4
A f f d 2 cos 3 2 cos 3 d
2 2 3



             
El área toral será 6 veces: 8 u2

Soluciones de los ejercicios propuestos:
1.- Calcular, si son convergentes, las integrales:
a) 


0
x252
dxex b) 


0
ax1p
dxex con a>0.
Solución: a) e5
/4 b) p
(p)
a

2.- Calcular 
1
0
dx
x
xln
.
Solución: -4
3.- Hallar p y q para que 2 

2
0
35
dttcostsen =(p,q) y calcular 

2
0
35
dttcostsen .
Solución: 1/24
4.- Lo mismo para 

2
0
dttcostsen 64
Solución:
3
512

5.- Determínese si las integrales siguientes convergen o divergen:
a) 2
0
tgxdx

 b)
1
dx
x 1


 c)
4
0
dx
4 x
 d) x x1
dx
e 2

 e)
2 cos x
dx
x




Solución: a) 2
0
tgxdx

 (diverge) b)
1
dx
x 1


 (diverge) c)
4
0
dx
4 x
 (converge)
d) x x1
dx
e 2

 (converge) e)
2 cos x
dx
x



 (diverge)
6.- Hallar el área común al círculo ρ1 = 3cosα y a la cardioide ρ2 = 1+ cosα.
Solución:
4
5

7.- La curva y2
= 2xe-2x
gira alrededor de su asíntota. Hallar el volumen del cuerpo limitado por la
superficie engendrada.
Solución:
2


U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 55
Derivada de una integral.
Si f:  b,a R es continua y una función derivable en x0 (a,b), entonces la función

)x(g
a
dt)t(f)x(F es derivable en x0 y )x(g))x(g(f)x(F 000

Se generaliza de forma que 
)x(g
)x(h
dt)t(f)x(F es derivable en x0 , siendo
).x(h))x(h(f)x(g))x(g(f)x(F 00000


Convergencia
Aproximación de los términos de una sucesión hacia una función (o número) en
algún sentido que se pueda precisar.
 Una integral impropia es convergente si existe y su valor es un número real.

Integral definida
Sea f:  b,a R una función continua y positiva, entonces la integral definida es
)a(F)b(Fdx)x(f
b
a
 siendo F(x) una función primitiva cualquiera de f(x).

Área de una curva en coordenadas polares
Sea  r f( ) la ecuación de una curva en coordenadas polares, siendo f( ) continua en
 1 2,  . El área del sector limitado por la curva  r f( ) y los radios vectores 1   y
2   es:
S r d 
1
2
2
1
2



Área de una figura plana
 Sea f:  b,a R una función integrable en  b,a . El área de la región del plano
determinada por f(x), el eje OX, y las abscisas x=a, x=b es 
b
a
dx)x(f
 Si la curva viene dada en paramétricas





)t(yy
)t(xx
,
1
0
t
t
A y(t)x '(t) dt 
 Si f y g son funciones integrables en  a,b , el área de la región del plano
comprendida entre sus gráficas es  
b
a
dx)x(g)x(f

Integral impropia
La integral
b
a
f(x)dx es impropia si ocurre al menos una de las dos condiciones:
 a, b, o ambos son infinitos
 La función f(x) no está acotada en el intervalo [a,b]

Volúmenes de cuerpos de revolución
Se llama sólido de revolución al generado por la rotación de una región del plano
alrededor de un eje situado en él. Si la región esta definida por y=f(x), x=a, x=b y
f(x) es continua en  a b, el volumen es:
a) V f x dx
a
b
  2
( ) alrededor del eje OX.
b) V x dy
c
d
  2
alrededor del eje OY.
c) Si la generatriz es una curva cerrada, V f x f x
a
b
  ( ( ) ( ))1
2
2
2
dx .
d) Si la curva viene dada en paramétricas





)t(yy
)t(xx
, V y t x t dt
t
t
  2
0
1
( ) '( )
e) Si la curva viene dada en coordenadas polares r f( )  , al girar alrededor del eje
polar se obtiene:V r 
2
3
3
1
2
  


sen d

Longitud de un arco de curva
Sea y=f(x) una función continua en  a,b y con derivada continua en (a,b).
La longitud de la curva y=f(x) entre x=a y x=b, es :  
b
2
a
L 1 y' dx .
 Si la curva viene dada en paramétricas
x x(t)
y y(t)



,
 
1
0
t
2 2
t
L x' (t) y' (t)dt
 Si la curva viene dada en coordenadas polares  r f( ) , entonces:


  
2
1
2 2
L r r' d
 Para una curva en el espacio definida por  r(t) x(t), y(t),z(t)

 , la longitud
de una arco de curva es:   
1
0
t
2 2 2
t
s x' (t) y' (t) z' (t) dt

Coordenadas polares
Sea O un punto fijo del plano, denominado “polo” y sea la semirrecta de origen O,
denominada “eje polar”. Entonces cualquier punto del plano P, queda determinado
por el par (r, θ) siendo r la distancia euclídea del punto P al polo (r > 0) y θ el
argumento, el ángulo formado por el eje polar y el segmento OP en el sentido
positivo (contrario a las agujas del reloj).
x rcos
y rsen
 

 
O Polo Eje
θ
P
r
Argumento
(x,y)
x
y

Volumen por secciones
Dado un cuerpo, si se conoce la expresión del área A(x) de toda sección
producida en ese cuerpo, por un plano perpendicular al eje OX en función de la
abscisa x del punto donde el plano corta al eje, el volumen es: V A x dx
a
b
  ( ) .

Hipérbola
La diferencia de las distancias de un punto cualquiera de la hipérbola a los
focos es igual a 2a.
Sea la hipérbola de ecuación canónica
2 2
2 2
x y
1
a b
  , entonces:
 Excentricidad:
c
e 1
a
 
 Vértices: A(a,0); A’(-a,0).
 Focos: F(c,0); F’(-c,0).
 Directrices: 2 2
x a / c;x a / c  
 Ejes de simetría: x=0; y=0; eje focal: y=0
 Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría
 Distancia focal: d(F,F’)=2c.
 Parámetro focal: 2
p b / a
 Hipérbola equilátera: cuando a=b

Asíntotas de una hipérbola
Las asíntotas de una hipérbola son rectas que pasan por el centro de la cónica y
tienen de pendiente m, solución de la ecuación: 0mama2a 2
221211  .
Este último resultado se obtiene de aplicar que, en general, las asíntotas oblicuas a
una curva de ecuación y = f(x) tienen de pendiente
x
)x(f
lim
x 

Focos
Focos de una sección cónica son los puntos de contacto de su plano con las esferas
inscritas en el cono y tangentes a dicho plano (el de la sección).
Relativo a una cónica es cada uno de los puntos fijos que determinan la cónica. Las
cónicas con centro (elipse e hipérbola) tienen dos (a una distancia c del centro) y la
parábola uno.
Folium de Descartes
Hoja de Descartes (1638)

Área de una superficie de revolución
 Sea la curva y=f(x) siendo f(x)>0 para todo x[a, b] y f ’ continua en [a, b], el área de la
superficie de revolución engendrada al girar la curva y=f(x) alrededor del eje OX entre los
valores de abscisa a y b es:
    
b
2
a
S 2 f x 1 f x dx  
 Sea la curva
 
 
x x t
y y t
  
 
  
donde las funciones x e y tienen derivada continua en el intervalo
[t0 ,t1]. El área de la superficie de revolución engendrada al girar, alrededor del eje OX, el
arco de dicha curva entre los valores del parámetro t0 y t1 es:
       
1
0
t
2 2
t
S 2 y t x t y t dt   
 Si la curva esta expresada en coordenadas polares  r f  , y gira alrededor de su eje polar
la superficie de revolución del arco de la curva entre los argumentos 10 y  con 10 
es:
         
1
0
2 2
S 2 f sen f f d


        .

Casquete esférico
Casquete esférico: parte de la superficie de la esfera, cortada
por un plano que no pasa por su centro.
Área 2 r h  
2
Volumen h (3r h)
3

   

Cicloide
Es el lugar descrito por un punto fijo P de una circunferencia que rueda sin
deslizarse por una recta fija.
En coordenadas cartesianas, las
ecuaciones paramétricas son:
x r ( t - sent)
y r ( 1 - cos t)



Problema propuesto por Johan BERNOULLI (1696)
Entre todas las curvas que unen dos puntos del plano la curva de descenso
más rápido (braquistócrona) es la cicloide. Un ejemplo de arco de cicloide
son las pistas de salto de esquí.
Es tautocrona: si invertimos una cicloide y dejamos caer rodando dos
canicas a diferente altura (sin rozamiento), las dos llegarán al punto más bajo
al mismo tiempo.
Es isócrona: el período de un péndulo no varía cuando este oscila entre dos
cicloides, siendo la trayectoria otra cicloide.

Cardioide
Es el lugar descrito por un punto fijo P de
una circunferencia que rueda sin deslizarse
sobre otra circunferencia que tiene el
mismo radio.
Las ecuaciones paramétricas, en
coordenadas cartesianas, son:
x r (2sen t - sen2t)
y r (2 cos t - cos 2t)



En coordenadas polares:
ρ=a(1+cosα)=2acos2
(α/2)

Pendiente
Tangente del ángulo formado por una línea o una superficie con el plano
horizontal.
La derivada de una función f en un punto a, f ’(a), representa la pendiente de la
recta tangente a f en x=a.

Teorema del Valor Medio integral
Si f es integrable en  b,a , y m  f(x)  M para todo x b,a , existe  M,m tal
que )ab(dx)x(f
b
a

Si además f es continua en  b,a , existe un punto c(a,b) tal que
)ab()c(fdx)x(f
b
a


Asíntotas de una función
Verticales: Si x  a  y  .
x a
lím f (x) x a

    es una asíntota vertical
(Sólo puede haber asíntotas verticales en los puntos que no pertenecen al dominio)
Horizontales: Si x    y  b.
x
lím f(x) b y b

   es una asíntota horizontal
Oblicuas: y = mx + n es una asíntota oblicua, siendo:
x
f (x)
m lím
x
 
  
 
;  
x
n lím f (x) mx

 
Nota: las asíntotas nos informa de si la función está o no acotada.

Esfera
Esfera: sólido terminado por una superficie curva cuyos puntos equidistan todos de
otro interior llamado centro.
2
Área 4 r 
34
Volumen r
3
 

Volumen del cilindro
Cilindro: cuerpo limitado por una superficie cilíndrica
cerrada y dos planos que la cortan.
Área lateral 2 r h  
2
Volumen r h  

Volumen del cono
Cono: sólido limitado por un plano que corta a una
superficie cónica cerrada.
21
Volumen r h
3
  
Área lateral r s  

Volumen del tronco de cono
Volumen 2 21
(r rR R ) h
3
    
Área lateral s (r R)   

Ecuaciones paramétricas
Ecuaciones en las que intervienen parámetros.
 Ecuaciones paramétricas de una curva plana son ecuaciones de la forma
x=x(t), y=(t) donde el parámetro t recorre los valores del campo de
existencia.
 Ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial son las coordenadas de
un vector del subespacio vectorial como combinación lineal de los vectores
de una base.
 Ecuaciones paramétricas de una recta:
En el plano: siendo P(x0,y0) un punto cualquiera y  1 2v v ,v

un vector director.
Ecuaciones paramétricas de la recta: 0 1
0 2
x x tv
y y tv
 

 
En el espacio: Siendo P=(p1,p2,p3) un punto cualquiera y )v,v,v(v 321

un vector
director de la recta.
Ecuaciones paramétricas:








333
222
111
tvpx
tvpx
tvpx
.

Parábola
Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo F, llamado foco, y una recta fija r, llamada directriz.
Sea la parábola de ecuación reducida 2
y 2px , entonces:
 Foco: F (p/2,0).
 Directriz: x= - p/2.
 Eje de simetría: es la perpendicular del foco a la directriz y=0
 Vértice: O(0,0) punto de intersección de la curva con el eje de simetría.
 Parámetro: es la distancia del foco a la directriz p.
 Excentricidad: e=1

Triángulo Equilátero
Equilátero si tiene los tres lados iguales.

Cisoide de Diocles
Curva plana construida a partir de una circunferencia de radio a, un punto P que
cumple que la distancia de P a Q es igual a la distancia de O a R. Con ella se puede
resolver el problema de la duplicación del cubo.
En coordenadas rectangulares:
3
2 x
y
2a x


En ecuaciones paramétricas:
2
3
x 2asen t
2asen t
y
cos t
 




P
a X
Y
O
Q
R

Circunferencia
Circunferencia es el lugar geométrico de los `puntos del
plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una
cantidad que se llama radio.
Para una circunferencia de centro C(a,b) y radio r, se
tiene que: d(C,P)=r con P(x,y) punto genérico del plano
obtenemos:    
2 2 2 2 2 2 2 2
x a y b r x y 2ax 2by a b r 0           
CircunferenciaLongitud 2 r 

Dominio de definición o campo de existencia.
Conjunto de valores para los cuales se pueden efectuar los cálculos que indica la
expresión analítica de la función.
  D x R tales que, existe y f x  

Simetrías de una curva en forma polar
Para una función r r( )  en forma polar:
Simetría respecto el eje polar:
Al sustituir  por  queda lo mismo: r( ) r( )   :
Simetría respecto al polo:
Al sustituir  por    queda lo mismo: r( ) r( )     :
Simetría respecto el eje Y:
Al sustituir  por    queda lo mismo: r( ) r( )     :

Integrales en intervalos no acotados
(Integral impropia de 1ª especie).
Los distintos tipos son: a)
b
-
f(x)dx
 ,b) a
f(x)dx

 , c) -
f(x)dx


a) Sea aR, f(x) función acotada e integrable en el intervalo [a,x] para todo x ≥a.
Definimos
k
a ak
f(x)dx lím f(x)dx


 
• Si éste límite existe, y es igual a un nº finito L, se dice que la integral a
f(x)dx

 =L,
es convergente.
• Si tal límite es infinito la integral es divergente.
• Cuando no existe límite se dice que no existe valor de la integral o ésta es
divergente por oscilación.
b) De la misma forma, f(x) es acotada e integrable en el intervalo [x, b] siendo
bR.
Se define:
b b
- kk
f(x)dx lím f(x)dx
 
  En los casos en que, éste límite (sea finito, sea
infinito o no exista), la integral será (convergente, divergente o b divergente por
oscilación).
c) Se define
c
- - c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
 
 
    . La integral del primer miembro se dice
convergente, si existen y son finitas ambas integrales del segundo miembro. Se dice
divergente si al menos una de ellas es no convergente.

Integrales de funciones no acotadas.
(Integral impropia de segunda especie).
a) Sea f(x) una función definida en un intervalo (a,b], integrable en todo intervalo
[x,b] con a<x≤b y no acotada en el límite inferior del intervalo de integración,
x a
lím f (x)=±

 .
I=
b b
a a+0
f(x)dx lím f(x)dx

  , I es convergente, divergente u oscilante si el límite es
finito, infinito o no existe, respectivamente.
b) Análogamente se define la integral en intervalo de la forma [a,b). Sea f(x) no
acotada en el límite superior del intervalo de integración
x b
lím f (x)=±


I=
b b
a a0
f(x)dx lím f(x)dx


  , I es convergente, divergente u oscilante si el límite es
finito, infinito o no existe, respectivamente.
c) Si la función está definida en (a,b) y
x a
lím f (x)=±

 ;
x b
lím f (x)=±

 , siendo integrable
en todo intervalo contenido en (a,b) diremos que la integral I=
b
a
f(x)dx es
convergente cuando lo sean simultáneamente las integrales de f en los intervalos
(a,c] y [c,b).
d) f(x) no esta acotada en un punto c(a,b).
b
a
f(x)dx
1
21 2
c b c b
a c a c+0 0
f(x)dx f(x)dx lím f(x)dx+ lím f(x)dx

   
    
en caso de ser ambos límites finitos la integral del primer miembro es convergente,
en otro caso la integral es divergente.

Máximos locales.
 La función f tiene en el punto x=a un máximo local o relativo si existe
un entorno (a-h, a+h) de a tal que para todo x a del entorno se verifica:
   f x f a resulta      f x h f a f x h    .
Si f ’(a)=0 y f ’’(a)< 0, entonces (a, f(a)) es un máximo local
También pueden existir extremos (máximos y mínimos) donde no es derivable
la función.
 Se dice que f tiene un máximo relativo en un punto 0 0(x , y ) A cuando
0 0f (x , y ) f (x, y) (x,y)  perteneciente a un entorno de 0 0(x , y ) .
 Máximo Absoluto es el mayor de los máximos locales o relativos.

Eje
Eje es la recta del plano o del espacio que sirve de referencia a los puntos de ese
plano o de ese espacio o bien a una figura o a una transformación.
La elipse y la hipérbola tienen dos ejes de simetría; la parábola solamente uno que
pasa por su vértice.
Eje de coordenadas: cada una de las rectas mediante las que se define un sistema
de coordenadas cartesianas en el plano o en el espacio.
Eje de abscisas: eje de coordenadas, generalmente horizontal, en un sistema de
coordenadas cartesianas del plano y que se denomina X.
Eje de ordenadas: eje de coordenadas, generalmente vertical, en un sistema de
coordenadas cartesianas del plano y que se denomina Y.
Eje focal: en una cónica es el eje de simetría que contiene a los focos.
 Eje mayor en la elipse corresponde al eje focal
 Eje menor en la elipse corresponde al eje no focal
Eje polar en coordenadas cartesianas polares es la semirrecta que parte del polo.
Eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano
que tienen la misma potencia respecto de las dos circunferencias.

Elipse
La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos es
igual al doble de su semieje mayor.
Sea la elipse de ecuación reducida
2 2
2 2
x y
1
a b
  , entonces:
 Excentricidad:
c
e 1
a
 
 Vértices: A(a,0); A´(-a,0); B(0,b); B´(0,-b).
 Semieje mayor: a; semieje menor: b.
 Focos: F(c,0); F’(-c,0).
 Directrices:
2
a
x
c
 
 Ejes de simetría: x=0; y=0; eje focal o eje mayor: y=0.
 Centro: O(0,0) punto de intersección de los ejes de simetría.
 Distancia focal: d(F,F´)=2c.
 Parámetro focal: 2
p b / a

Divergencia
Dicho de dos o más líneas o superficies: Irse apartando sucesivamente unas de
otras.
 Una integral impropia es divergente si existe y su valor es infinito.
 Sobre una función vectorial 1 2 3F f i f j f k  
  
31 2 ff f
div(F) F
x y z
 
    
  
 
DIVERGENCIA
Físicamente, permite medir el flujo del campo a través de una superficie.

Asíntotas en una curva plana
En este párrafo, t0 puede ser un número real ó  .
a) Si
0t t
lim x(t) a

 ,
0t t
lim y(t)

  , entonces: la recta x = a es asíntota vertical.
b) Si
0t t
lim x(t)

  ,
0t t
lim y(t) b

 , entonces: la recta y = b es asíntota
horizontal.
c) Si
0t t
lim x(t)

  ,
0t t
lim y(t)

 
c1) Si
0t t
0y(t)
lim
x(t)

 

, la curva carece de asíntota y se dice que tiene una
rama parabólica.
c2) Si
0t t
y(t)
lim m
x(t)

c21)
0t t
lim (y(t) m x(t))

    , entonces no hay asíntota; tiene una rama
parabólica.
c22)
0t t
lim (y(t) m x(t)) b

   , entonces la recta y = mx + b es asíntota
oblicua.

Lemniscata
Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen que el producto de
distancias a otros dos puntos fijos F(-f,0) y F’(f,0) vale el cuadrado de la
semidistancia entre dichos puntos.
Es una curva en forma de lazo
centrado en el origen.
La ecuación en coordenadas polares,
es:
r2
= k2
cos(2a)
La ecuación implícita, en coordenadas
cartesianas, es:
(x2
+ y2
) 2
= k2
(x2
– y2
)

Integrales Eulerianas
Función gamma de Euler
Seap R , p>0. Sea x p 1
0
(p) e x dx

 
   la función gamma de Euler. Esta
integral es convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de 1ª especie.
Función beta de Euler
Seap,q R , p,q>0. Sea
1
p 1 q 1
0
(p,q) x (1 x) dx 
   la función beta de Euler.
Esta integral es convergente y recibe el nombre de Integral Euleriana de 2ª
especie.

Periodicidad en una curva plana
Si x(t) e y(t) son funciones periódicas de períodos 1 2p y p respectivamente, la
función vectorial F(t) (x(t),y(t))

 es también periódica de período p = mínimo
común múltiplo de p1 y p2 , y sólo hará falta hacer variar t en un intervalo de
amplitud p (es decir,  t a, a p  ).
La gráfica será en este caso cerrada, siempre que x(t) e y(t) y sean funciones
continuas.
La elección de a dependerá de consideraciones de simetría aplicables a la
curva.
Periodicidad de una función
Una función f(x) es periódica, de periodo T si existe T 0 , tal que,
   f x T f x  para todo x perteneciente al dominio de definición.
(Sólo pueden ser periódicas las funciones cuya expresión analítica depende de
las funciones senx, cosx, tgx, etc.)

Folium de Descartes
Hoja de Descartes (1638)
Ecuaciones cartesianas:
3 3
x y 3axy 0   siendo a una constante a 
Ecuaciones paramétricas:
3
2
3
3at
x
1 t
siendo a una constante a
3at
y
1 t

 

 
 
Ecuaciones polares:
3 3
3asen cos
r
sen cos
 

  
siendo a una constante a 
Ecuación de la asíntota:
y x a  

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