El desafío de PI
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El documento describe los diferentes métodos que se han utilizado a lo largo de la historia para calcular el número π, desde los egipcios en el siglo XVII a.C. hasta los cálculos actuales utilizando supercomputadoras. Se explica cómo se usaron polígonos regulares inscritos y circunscritos en una circunferencia para aproximar π y cómo los matemáticos han ido mejorando la precisión de su cálculo a lo largo de los siglos.
El desafío de PI
- 1. El desafío de π Como ya debes saber, π es un número irracional, es decir, no puede ser obtenido mediante la división (razón, proporción) de dos números enteros. Se trata de un número con infinitas cifras decimales, no periódico. 1. Las calculadoras científicas actuales expresan en pantalla el número π con diez dígitos qKL. Sin embargo, queremos ampliar el número de cifras decimales, ya que sabemos que internamente las calculadoras trabajan con más dígitos que los que muestran en pantalla. a. ¿Qué proceso tenemos que realizar para determinar las siguientes cifras decimales que la calculadora no nos ha dado? b. Expresa π con los decimales no mostrados inicialmente. El reto de encontrar más dígitos (decimales) de π se ha mantenido desde tiempos muy remotos. En el siglo XVII antes de Cristo, en un libro egipcio, se describe que el área del cuadrado con longitud lateral de 8/9 de diámetro del círculo es igual al área del círculo. El valor de π fue 16049,3 81 256 con un error menor del 1%. 2. Justifica mediante los cálculos correspondientes el valor de π hallado por los egipcios en el siglo XVII a.C. 3. Determina con la ayuda del número π de la calculadora este error relativo menor al 1%.
- 2. Arquímedes (siglo III antes de Cristo) delimita el valor de π en 7 22 71 223 mediante el cálculo de los perímetros de polígonos circunscritos e inscritos. Desde la antigüedad hasta el siglo XVII, la aproximación de π fue calculada a partir de los perímetros de los polígonos regulares circunscritos e inscritos. Cálculo de π a partir de polígonos regulares (~ s. XVI) Antiguo Egipto (s.XVII a.C.) 81 256 2 dígitos Arquímedes (s. III a. C.) 7 1 3 71 10 3 3 dígitos Zu Chongzhi (s. V d.C.) 113 355 7 dígitos Ludolph van Ceulen Holanda 1596 Cálculos a lo largo de su vida 35 dígitos EXPERIMENTA: Veamos a continuación el cálculo de π a partir de: 4. Los perímetros de los polígonos regulares de 2n+1 lados, inscritos y circunscritos a una circunferencia de diámetro 1, obtenidos a partir de un cuadrado inicial (n=1) A partir de la aplicación de geometría de la calculadora (fx-9860GII, fx-CG20 o ClassPad), dada una circunferencia de radio 0,5 obtener los cuadrados circunscrito e inscrito y hallar los perímetros. A continuación realizar el cálculo del perímetro de los octágonos regulares circunscrito e inscrito. Imágenes correspondientes a la fx-CP400 ClassPad Para los siguientes polígonos regulares de 16 y 32 lados respectivamente, la graficación de los mismos se confunde con la circunferencia de diámetro 1.
- 3. Realiza los cálculos del perímetro con la ayuda de tus conocimientos de trigonometría. Rellena la tabla siguiente: n 2n+1 lados del polígono regular Perímetro del polígono regular inscrito Perímetro del polígono regular circunscrito 1 4 2,83 4 2 8 3,06 3,31 3 16 4 32 5. Los perímetros de los polígonos regulares de 3 · 2n lados, inscritos y circunscritos a una circunferencia de diámetro 1, obtenidos a partir de un hexágono regular inicial (n=1) A partir de la aplicación de geometría de la calculadora, dada una circunferencia de radio 0,5 obtener los hexágonos regulares circunscrito e inscrito y hallar los perímetros. A continuación realizar el cálculo del perímetro de los dodecágonos regulares circunscrito e inscrito. Para los siguientes polígonos regulares de 24 y 48 lados respectivamente, la graficación de los mismos se confunde con la circunferencia de diámetro 1. Realiza los cálculos del perímetro con la ayuda de tus conocimientos de trigonometría. Rellena la tabla siguiente: n 3·2n lados del polígono regular Perímetro del polígono regular inscrito Perímetro del polígono regular circunscrito 1 6 2,83 4 2 12 3,06 3,31 3 24 4 48 6. Redacta un pequeño texto explicativo del procedimiento realizado que incluya las dos siguientes preguntas: a. ¿Qué relación existe entre la longitud de una circunferencia y el perímetro de los polígonos regulares? b. ¿Por qué escogemos una circunferencia de diámetro 1?
- 4. El reto matemático de encontrar más dígitos de π utilizando este algoritmo poligonal se mantuvo hasta el siglo XVI. Ludolph van Ceulen (1540-1610), un holandés, alcanzó 35 dígitos de π en 1630, con un polígono regular de 262 lados. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Van_Ceulen.html Sin embargo, podemos encontrar al instante 50 dígitos de π con la calculadora online Keisan de Casio. 7. Accede al siguiente link y obtén el número π con sus primeros 35 dígitos. http://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1354857068 8. ¿Te atreves a dar el número π con 50 dígitos? Piensa que Ludolph pasó gran parte de su vida dedicada al cálculo de 35 dígitos de π. He aquí una réplica de la lápida de su tumba (la original desapareció) en la que aparecen las 35 cifras del número π obtenidas por Ludolph van Ceulen . Fuente: https://mateturismo.wordpress.com/2010/05/27/pi-en-san-pedro-de-leiden/
- 5. ¿QUIERES SABER MÁS? A partir del siglo XVII se utilizaran otros procedimientos basados en el análisis matemático para la determinación del número π. En el año 1400, el matemático indio Madhava descubrió una fórmula de π, que fue redescubierta de forma independiente en Europa 200 años más tarde por los matemáticos James Gregory y Gottfried Leibniz, mejorando por primera vez desde el año 400 la aproximación de Zu Chongzhi. Esta fórmula se conoce como la serie de Madhava o serie de Gregory-Leibniz. http://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1355116324 http://keisan.casio.com/exec/system/1355116674 Desde la mitad del siglo XX en adelante, todos los cálculos de π se han hecho con la ayuda de calculadoras o computadoras. En 1949, la primera computadora ENIAC alcanzó 2.037 dígitos de π en 70 horas usando la fórmula de Machin. En 2002, un equipo japonés llegó a 1.241 mil millones de dígitos de π por la fórmula Takano similar utilizando el superordenador. Como la prueba de rendimiento del equipo, el equipo de todos los países han estado compitiendo para convertirse en el número uno del mundo en el cálculo de π. En 1914, el genio matemático indio Ramanujan, encontró una fórmula que convergía a π de forma exponencial. Murió a la edad de 32 años. En 1987, los hermanos Chudnovsky desarrollaron una fórmula similar. Ellos construyeron un superordenador hecho a mano en su casa y competían ferozmente con otros equipos para calcular π. http://keisan.casio.com/exec/system/1355104874 Además, en 1976, Salamin y Brent descubrieron la nueva fórmula para el cálculo de π con un gran número de dígitos mediante el uso de de la media aritmética- geométrica de Gauss. Esta fórmula tiene la convergencia cuadrática, y el número de dígitos correctos se duplica cada iteración, por ejemplo, 5, 10 y 20 dígitos. Después de 40 iteraciones, el número de dígitos correctos es 1 billón. En el futuro se prevé que los nuevos superalgoritmos determinarán π de manera rápida y precisa sin basarse en el rendimiento de los ordenadores. http://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi?id=system/2006/1355108617 9. Investiga cuál es la máxima precisión (nº de decimales necesario) del número π que se necesita en la actualidad para realizar cálculos en ciencia y tecnología en la actualidad.