El inefable numero pi

63Autores científico-técnicos y académicos
Desde tiempos inmemoriales se observó que la longi-
tud de cualquier circunferencia es un poco superior al tri-
ple de su diámetro, de modo que en toda circunferencia
la razón entre ambas magnitudes (longitud y diámetro)
permanece siempre constante. Ése número es el que
denotamos con π.
Longitud de la circunferencia
π = ----------------------
Diámetro de la circunferencia
¿Por qué se emplea precisamente esa letra griega
para referirnos a esa constante numérica? El matemático
inglés William Oughtred (1574-1660), que por cierto fue
el creador de la regla de cálculo, a finales del siglo XV
utilizó en un libro las letras griegas, π y δ, para denotar al
perímetro y diámetro de una circunferencia, ya que son
las iniciales de los correspondientes términos griegos
περíµετρου (la medida del alrededor) y δι´αµετρου (la
medida a través).
Si se hubiera conservado esa simbología, el número
que ahora llamamos π se escribiría en la forma ; sin
embargo, para simplificar los cálculos en muchos proble-
mas se tenía la costumbre de considerar un diámetro
unidad, motivo por el cual el valor de la expresión ante-
rior se reduce al actual π. Finalmente, en 1737, en su
Análisis el gran matemático
Leonard Euler (1707-1783)
decidió designar con el sím-
bolo π a la razón entre el
perímetro y el diámetro de
la circunferencia y, claro
está, todos los matemáticos
imitaron a Euler.
También se debe a Euler,
entre otros muchísimos
avances matemáticos, la fór-
mula quizá más bella de
ä
ð
Vicente Trigo Aranda
El inefable número π
π
δ
π

64 Autores científico-técnicos y académicos
todas las ciencias, puesto que relaciona los cinco núme-
ros fundamentales:
eπi + 1 = 0
Ya en la antigüedad se apreció que π era un número
un tanto rarillo, que no se parecía en nada a los habitua-
les (1, 2,...), y como su utilidad era manifiesta en todo
tipo de construcción, se dedicaron múltiples esfuerzos a
averiguar más sobre él. Tampoco nos olvidemos de los
griegos que, como realizaban sus cálculos con regla y
compás, se topaban con π continuamente.
Es comprensible, por tanto, que durante muchos
siglos el cálculo de los decimales de π fuese una activi-
dad estelar en Matemáticas. El número π mantuvo ocu-
pados a los más insignes matemáticos y calculistas y su
estudio constituyó una empresa que posibilitó grandes
avances en diversas ramas de las Matemáticas.
Pero, ¿cuánto vale exactamente π? Desde 1761 se
sabe que es un número irracional; es decir, que tiene
infinitas cifras decimales no periódicas. Así, a modo de
introducción al tema, le muestro π con sus primeros dos-
cientos decimales:
3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679
82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128
48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 ....
¿Es preciso conocer tantos decimales de π? La res-
puesta es tajante: No. En los cálculos normales que se
pueden precisar en arquitectura o ingeniería basta con
manejar cinco o seis decimales y sólo en caso muy
excepcionales (mediciones astronómicas, por ejemplo)
se precisan quince o veinte decimales, como máximo.
Entonces, ¿para qué sirve hallar tantos decimales de
π? La única aplicación práctica que se me ocurre es la
de probar algún prototipo de microprocesador antes de
salir al mercado1... Pero, ¿acaso no se escala el Everest?
¿Y eso tiene alguna utilidad o se hace simplemente por-
que está ahí? Algo similar ha sucedido a lo largo de la
historia con la obtención de las cifras de π. Era un reto
por superar... o una tentación en la que caer.
En la actualidad, con la llegada de los ordenadores,
esos cálculos apenas tienen más importancia que la sim-
ple curiosidad; tan es así, que unas páginas más adelan-
te le explicaré donde puede conseguir un breve progra-
ma para hallar tantos decimales como desee. Lo verda-
deramente importante no es obtener más y más decima-
les del número π sino conocer los métodos y esfuerzos
que se han sucedido durante siglos y milenios para saber
más sobre ese inefable número. A comentar estos pro-
gresos es a lo que voy a dedicar en este artículo.
MÉTODOS GEOMÉTRICOS
En la antigüedad los babilonios, así como los
hindúes antes de nuestra era, daban a π el valor ,
que resulta muy cómodo y sencillo de manipular. Más
adelante, los fenicios y egipcios2 manejaron en arquitec-
tura e ingeniería otra aproximación racional de π, ,
que además de ser muy operativa conlleva un error infe-
rior al 0,04%.
Un libro que nunca puede dejar de citarse al hablar
de π es la Biblia. En el Libro I de los Reyes, 7. 23, se
describe un depósito de agua del palacio de Salomón en
los siguientes términos: “Tenía diez codos de borde a
borde; era enteramente redondo y de cinco codos de
altura; un cordón de treinta codos medía su contorno”
De esta frase mucha gente ha deducido que los
hebreos asignaban a π el valor 3, lo que no sería ilógico
del todo, ya que sus conocimientos matemáticos no eran
muy brillantes, pero me parece una conclusión muy
cogida por los pelos... y más sabiendo que el arquitecto
era fenicio y conocía una aproximación mejor de π. En
mi opinión se trata simplemente de una licencia narrati-
va de quien escribió el texto... ¿O acaso se imagina al
escriba indicando que el depósito medía 9,5492965
codos de lado a lado?
7
22
8
1
3+
π
1 Como dice Philip J. Davis en su libro The Lore of Large Numbers: “El misterioso y maravilloso número π se ha visto reducido a un garga-
rismo con el que las máquinas de calcular se aclaran la garganta”
2 En el papiro Rhind (1650 aC) se indica que el área del círculo es la misma que la de un cuadrado que tuviese por lado los 8/9 del diámetro
del círculo; de donde se deduciría que π valdría 3,16049. Sin embargo, parece ser que más adelante descubrieron la fracción 710/226 que
aproxima π hasta con seis decimales,

De todas formas, siempre hay gente rara que se
toma al pie de la letra lo que viene en la Biblia. Según
Isaac Asimov, en un estado norteamericano (¡es que los
yanquis son muy suyos!) se sometió a votación la pro-
puesta de fijar por ley el valor de π en 3. Lógicamente el
proyecto no salió adelante3.
El primer intento conocido de hallar un valor aproxi-
mado de π se debe al genial Arquímedes (Siracusa, 287-
212 aC), que ideó un método muy ingenioso que expu-
so en su Medida del círculo.
Si se inscribe un polígono regular de n lados en una
circunferencia, al aumentar el número de lados (cuando
n → ∞ en notación actual) el perímetro del polígono se
acercará a la longitud de la circunferencia. Lo mismo
sucede cuando se trabaja con polígonos circunscritos a
la circunferencia.
Partiendo de un hexágono regular, cuyo lado es igual
al radio de la circunferencia, y duplicando cada vez el
número de lados, Arquímedes llegó hasta el polígono de
96 lados. Calculando el perímetro del inscrito y circuns-
crito probó que:
10 1
3 + --< π < 3 + --
71 7
Observe que si se toma como π el promedio de los
dos valores se obtiene 3.141851, que tiene sólo un error
en la aproximación del orden del 0,008%.
Tiempo después, el astrónomo egipcio Ptolomeo (85-
165) ya manejaba las siguientes aproximaciones de π:
377 177
-- y 3 --
120 1250
Aunque parezca sorprendente, hasta el siglo XVI no
se obtuvo una aproximación del número π mejor que la
de Arquímedes.... en Europa, porque mucho antes el
astrónomo chino Tsu Chung Chih (430-501) obtuvo la
fracción que sigue a continuación como resumen de una
acotación inferior y superior de π.. El mismo sistema
siguió en el viejo continente, ¡más de mil años después!,
el astrónomo Adrien Métius4:
355
π ≈ --= 3,14159292...
113
El siguiente paso importante lo dio el abogado y
matemático francés Vieta (1540-1603), que es conside-
rado el padre del álgebra (en su libro In artem analyti-
cam isagoge de 1591 fue el primero en utilizar las letras
x, y para denotar valores desconocidos). Siguiendo apli-
cando el método de Arquímedes, ¡y trabajando con un
polígono de 393.216 lados!, Vieta logró en 1593 los pri-
meros 9 decimales de π.
Mayor todavía fue la proeza del matemático alemán
Ludolph von Ceulen (1540-1610) que, en 1596, calculó
los primeros 20 decimales de π aplicando el sistema de
Arquímedes; en 1615 una edición póstuma presentó 35
decimales, para lo que necesitó un polígono de 262
lados. Por lo visto pidió que se grabaran en su tumba,
¡curioso epitafio! ... Su logro perduró tanto que en algu-
nos libros alemanes todavía se llama a π número de
Ludolph.
π
3 Aunque parezca mentira (libro Guiness de los Records), “en 1897 la Asamblea Legislativa del Estado de Indiana decretó que el valor de π
era 4”.
4 Como curiosidad, puede comprobar que si se escriben las cifras del numerador y denominador en orden inverso se consigue una aproxima-
ción de la raíz cuadrada de π.

MÉTODOS ANALÍTICOS
El trabajo ímprobo de von Ceulen demostró que los
métodos geométricos no eran muy eficaces para calcular
π. Casualmente entonces comenzó a desarrollarse el
Análisis matemático que, como se descubrió enseguida,
ofrecía herramientas más potentes para enfrentarse al
desafío de π.
Por ejemplo, Vieta fue el primero en descubrir una
serie infinita de fracciones que converge hacia π.
La puerta que abrió, interrelacionando una constan-
te geométrica con productos y series infinitas de núme-
ros, dejó pasar a muchos otros grandes matemáticos:
• El inglés John Wallis (1616-1703) demostró en
1665, en su Arithmetica infinitorum, que:
π 2 2 4 4 6 6 8 8
-= -· -· -· -· -· -· -· -·....
2 1 3 3 5 5 7 7 9
• En 1671 el escocés James Gregory (1638-1675)
encontró el desarrollo en serie de la función arco
tangente:
x3 x5 x7
arctg x = x - -+ -- -+....
3 5 7
• Dos años después el alemán Gottfried Leibniz
(1646-1716) halló la siguiente serie, de manera
independiente5, que resulta muy fácil de memori-
zar pero presenta el inconveniente de que conver-
ge muy lentamente6:
π 1 1 1 1
-= -- -+ -- - +....
4 1 3 5 7
• En 1699 el inglés Abraham Sharp (1651-1742)
llegó hasta los 72 decimales, partiendo de la fór-
mula de Gregory.
• En 1706 el inglés John Machin (1680-1752) dio a
conocer la siguiente expresión, que converge con
rapidez a π y calculó sus primeros cien decimales:
1 1
π = 16arctg -- 4 arctg --
5 293
Muchos de los esfuerzos realizados hasta entonces
para obtener cifras de π tenían por objeto encontrar
alguna periodicidad que permitiese expresarlo en forma
de fracción. En 1761 el matemático alemán Johann
Lambert (1728-1777) demostró que π es un número
irracional; dicho de otra forma, no se puede poner como
cociente de dos enteros.
π
5 Puede deducirse fácilmente de la expresión de Gregory sin más que hacer x = 1.
6 Hay que sumar 50 términos para encontrar dos decimales exactos, 500 para hallar 3, etc.

Si le apetece, puede ver la demostración en la
siguiente página, donde también encontrará la prueba
de la irracionalidad de e y log 2.
http://xavier.gourdon.free.fr/Constants/constants.html
A pesar de que Lambert había demostrado que π
tiene infinitos decimales no periódicos, siguieron
buscándose más decimales de π, seguramente a modo
de pasatiempo o por abrirse un pequeño hueco en la
historia de las Matemáticas. Así, George Vega calculó
140 decimales, Zacharias Dase7 200 y Ritcher 500.
Pero sin la menor discusión, la persona que se lleva
la palma en lo de dedicar más tiempo a la tarea de bus-
car decimales de π, es el matemático inglés William
Shanks (1812-1882). A partir de la fórmula de Machin
obtuvo el valor de π con 707 decimales en 1873... ¡tras
la friolera de veinte años de cálculos manuales8! ... Y
para colmo, se confundió en el decimal número 528, de
modo que los posteriores ya resultaron incorrectos...
Como curiosidad le diré que todos ellos están grabados
en una sala del palacio de la Decouverte, en París.
Y EL AZAR
π, además de aparecer en cuestiones geométricas y
numéricas, también se encuentra íntimamente ligado
con el azar, como verá a continuación; sin embargo,
observe que eso no quiere decir que sus cifras estén
colocadas aleatoriamente, ni mucho menos, puesto que
siguen un algoritmo determinado. Seguidamente le voy
a mostrar tres apariciones de π en cuestiones de azar y
probabilidad.
Dibuje un cuadrado de lado l e inscriba en él un círcu-
lo. Como el área del círculo es y la del cuadra-
do l2, resulta que la probabilidad de que un punto del
cuadrado se halle también en el círculo será:
área del círculo π
-----------------= -
área del cuadrado 4
Este resultado ofrece un nuevo camino para hallar π,
basándonos en el hecho de que la frecuencia relativa de
un suceso tiende a su probabilidad. Así, si obtenemos al
azar un conjunto de puntos del cuadrado9 y contabiliza-
mos los que se encuentran también en el círculo, la fre-
cuencia relativa de éstos últimos multiplicada por 4 dará
un valor aproximado de π.
Es posible que piense que he hecho trampa, ya que
si bien interviene el azar también aparece un círculo, que
está íntimamente ligado a π. Algo de razón tiene, pero lo
cierto es que he comenzado con ese problema porque
es fácil comprender el resultado. Por ejemplo, ¿a que no
sabe cuál es la probabilidad de que dos números natura-
les sean primos entre sí; es decir, no tengan ningún divi-
sor común salvo 1? ¿Verdad que no tiene mucha idea?
... Es lógico, ya que esta vez resulta mucho más compli-
cado obtener la respuesta, que es:
6
-
π2
Teniendo en cuenta ese resultado, ahora bastaría con
tomar al azar n parejas de números y contar cuántas de
ellas, m, no tienen divisores comunes. De esta forma, se
tendría:
6n
π ≈ ------
m
Pero, sin lugar a dudas la aparición más sugestiva de
π en cuestiones de azar tiene que ver con un experimen-
to que tiene nombre propio: Las agujas de Buffon.
Georges L. Leclerc (1707-1788), conde de Buffon,
fue un naturalista y escritor francés que, además de ser
recordado por encontrar una notable manera de hallar
π, también lo es por ser el primer científico en afirmar
(1745) que la edad de la Tierra no era la indicada en la
Biblia10, lo cual le ocasionó muchos problemas con la
Iglesia hasta que fue forzado a retractarse.
Veamos la original forma de obtener π que descubrió
Buffon. Se dibuja una serie de rectas paralelas, separa-
das entre sí por una distancia d y se lanza sobre el dibujo
una aguja cuya longitud es la mitad de d. La probabili-
dad de que la aguja corte alguna línea es 1/π.
2
2
ð 




 l
π
7 En 1824, cuando sólo tenía 16 años, tardó 2 meses en calcular los 205 primeros decimales de π... No, no me he equivocado. Los cinco
últimos estaban mal.
8 Algunas fuentes afirman que sólo fueron quince los años dedicados a esta labor. En cualquier caso, es una barbaridad.
9 Lanzando dardos, por ejemplo. No resulta un método muy científico, porque enseguida se presentan sesgos, pero sí muy divertido.
10 Según Buffon la Tierra había surgido del choque de un cometa con el Sol hacía unos setenta y cinco mil años. Actualmente se considera
que la edad real de nuestro planeta ronda los 4600 millones de años.
π
π

Por tanto, si se lanzan n agujas y c es el número de
ellas que cortan a alguna paralela. Se cumple que:
n
π ≈ ----
c
En las siguientes direcciones puede encontrar una
información más completa sobre este problema, inclu-
yendo también la demostración del resultado obtenido
por Buffon y varias simulaciones del experimento, algu-
nas de ellas incluso on-line:
http://www.mste.uiuc.edu/reese/buffon/buffon.html
http://www.efg2.com/lab/Mathematics/Buffon.htm
http://stud2.tuwien.ac.at/~e9527412/Buffon.html
http://www.geocities.com/~worsleyschool/science/buf
fon.html
LA CUADRATURA DEL CÍRCULO
Como ya le he indicado al comienzo, los griegos
acostumbraban a resolver sus problemas geométricos
utilizando únicamente regla y compás. Sin embargo, se
encontraron con tres problemas, aparentemente senci-
llos, que se les atragantaban una y otra vez, sin encon-
trar manera de resolverlos11:
La cuadratura del círculo: Construir un cuadrado de
área igual al de un círculo dado12.
La duplicación del cubo: Encontrar la arista de un
cubo cuyo volumen sea el doble del de un cubo
dado.
La trisección de un ángulo: Dividir un ángulo en tres
partes iguales.
Los primeros matemáticos de quienes se tienen noti-
cia que intentaron resolver el problema de la cuadratura
del círculo fueron Hipócrates de Quios y Anaxágoras
(500-428 aC) y durante más de dos mil años el intento
resolverlo fue continuo, lo que produjo múltiples avan-
ces en Geometría. Por ejemplo, algunos nombres que
merece la pena recordar son los del cardenal de Cusa
(1401-1464), Oronce Fine (1494-1555), Joseph Scaliger
(1540-1609), Thomas Hobbes13 (1588-1679), etc.
Tan abundantes eran las memorias tendentes a
demostrar la cuadratura del círculo que, en 1775, la
Academia de la Ciencias de París publicó una resolución
señalando que ya no examinaría más hipotéticas solu-
ciones de la cuadratura del círculo, la trisección del
ángulo o la duplicación del cubo... ni proyectos sobre
máquinas de movimiento perpetuo.
Pero, ¿cuándo un problema es resoluble con regla y
compás? En Análisis matemático de Rey Pastor la res-
π
11 En las siguientes direcciones tiene tratados estos tres problemas
clásicos con detenimiento:
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Squaring_the_circle.html#s59
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Doubling_the_cube.html#s9
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Trisecting_an_angle.html#s25
12 La rectificación del círculo, también similar, consiste en construir
con regla y compás un segmento cuya longitud sea la de una cir-
cunferencia dada.
13 Matemático aficionado, que creyó haber demostrado la cuadratu-
ra del círculo, es sobre todo conocido por los panfletos y libros que
editó contra Wallis, que no paraba de refutarle sus errores. ¡Cómo
olvidar un título tan jugoso como Castigo escolar impuesto al señor
Hobbes por no dar debidamente sus lecciones! ¿Y qué decir de
Notas sobre la geometría absurda, el lenguaje patán, la política de la
Iglesia escocesa y otros barbarismos del señor Wallis?

puesta es sumamente clara: ”La condición necesaria y
suficiente para que un problema geométrico sea solubre
con la regla y el compás es que la incógnita pueda
expresarse en función de los datos por medio de una
expresión racional o irracional cuadrática”.
En 1882 Ferdinand Lindermann (1852-1939)
publicó su famoso artículo Ueber die Zahl π en Mathe-
matische Annalen y dejó zanjada la cuestión, ya que
demostró que π es un número trascendente; es decir,
que no puede obtenerse a partir de un número finito de
operaciones algebraicas con los enteros. Dicho de otra
forma, no es una raíz de una ecuación algebraica de
coeficientes enteros.
En otras palabras, la cuadratura del círculo es impo-
sible... aunque sólo en el sentido que los griegos daban
a este problema, claro está14. Desde el punto de vista
actual, cuadrar un círculo es tan trivial como hallar la
raíz cúbica de 2 o el logaritmo de 7.
LLEGAN LOS ORDENADORES
Con el surgimiento de los ordenadores era de espe-
rar que se obtuviesen más y más dígitos decimales de π,
ya que se trata de una cuestión muy apropiada para ser
programada... y así ha sucedido. Conforme fueron trans-
curriendo los años fueron encontrándose más y más
decimales de π, en una carrera ininterrumpida, como
puede apreciarse en la siguiente relación:
• 1946: El inglés D. F. Ferguson obtuvo 620 decima-
les (llegó hasta los 808 en 1947). Entonces fue
cuando se descubrió el error de Shanks.
• 1949: John W. Wrench y Levi B. Smith, con un
ordenador todavía electromecánico, hallaron los
primeros 1120 decimales.
• 1949: Georges W. Reitwiesher programó ENIAC
con el algoritmo de Machin. Tras más de 70 horas
de funcionamiento, encontró los 2037 primeros
dígitos de π.
• 1961: Daniel Shanks y John W. Wrech programa-
ron un IBM que, funcionando 8 horas, obtuvo
100.265 dígitos.
• 1974: Jean Guilloud y Martine Bouyer lograron
un millón de decimales. Codificaron en un Con-
trol Data, que trabajó durante 23 h 18 m, las
siguientes expresiones debidas a Stormer y Gauss:
En 1975 Richard P. Brent y Eugene Salamin, traba-
jando independientemente, descubrieron un complejo
algoritmo que permite hallar π con mucha mayor rapi-
dez. Así, mientras los métodos citados anteriormente exi-
gen para obtener n decimales un número de operacio-
nes proporcional a n, con este nuevo algoritmo la pro-
porcionalidad lo es con respecto a log n, que resulta
muy inferior15.
Siguiendo ese algoritmo los japoneses tomaron la
delantera en la carrera por encontrar decimales de π.
Kazunori Miyoshi en 1981 obtuvo dos millones de deci-
males con un FACOM durante 137 horas y Kanada,
Tamura, Yoshino y Ushiro lograron, en 1983, dieciséis
millones de decimales tras unas 30 horas.
En 1986 el récord de cifras decimales (29.360.128)
retornó a Occidente. Se logró con un superordenador
239
1
arctg20
57
1
arctg32
18
1
arctg48ð −+=
239
1
arctg4
57
1
arctg8
8
1
arctg24ð ++=
π
14 Los otros dos problemas también son irresolubles, ya que se reducen a raíces cúbicas.
15 Si le apetece saber de qué va este método, puede visitar la página:
π
π

Cray-2 de la NASA, que estuvo calculando 28 horas y
fue programado por David H. Bailey.
De nuevo el japonés Yasumasa Kanada retornó al
Guiness durante los años siguientes, codificando el algo-
ritmo de Brent y Salamin: En enero de 1987 con un
NEC halló 133.554.000 decimales. En marzo de 1988,
dejó un superordenador Hitachi trabajando durante 5h
54m y halló 201.326.000 decimales. Un año después
alcanzó los 536.870.000 decimales tras 67h y 13m.
Sólo un año más tarde, los hermanos Gregory y
David Chudnovsky obtuvieron ¡mil millones de decima-
les de π! ... y, en 1994, ¡más de cuatro mil millones!
Pero otra vez Kanada volvió a coger el mando:
6.442.450.938 decimales en 1995; más de diecisiete mil
millones en 1996... y en septiembre de 1999 alcanzó los
¡sesenta y ocho mil millones!
Lógicamente, y más ahora que se conocen tantísi-
mos decimales de π, se han estudiado a fondo sus cifras,
buscando encontrar alguna propiedad curiosa, algún
sesgo, etc. Se les han pasado tests de todo tipo para
estudiar su uniformidad y su aleatoriedad y, por el
momento todos ellos los ha superado con nota alta.
Dicho de otra forma, los diez dígitos se encuentran
repartidos de una forma similar16 y sus apariciones pare-
cen como si fuesen al azar... ¡Ojo, sólo lo parecen!
Si tiene curiosidad por obtener los decimales de π,
puede localizar múltiples páginas por Internet (por ejemplo,
las de Yahoo dedicadas en exclusiva a este objeto). No
obstante, prefiero recomendarle la siguiente dirección
donde encontrará el programa PiFast que calcula tantos
decimales de π como desee, además de adjuntar una
exposición de los algoritmos que codifica. Para que se haga
una idea de la potencia y rapidez de ese breve programa,
le diré que en mi Pentium 500 ha tardado un minuto en
obtener un millón de decimales de π. ¡Casi nada!
Otras direcciones donde hallará muchísima informa-
ción sobre π, de toda índole, son las que le indico a con-
tinuación. ¡Que disfrute con las visitas!
http://www.joyofpi.com/
http://www.acc.umu.se/~olletg/p/tribute.html
http://www.exploratorium.edu/learning_studio/p/p.html
http://webs.adam.es/rllorens/pihome.htm
http://www.ugcs.caltech.edu/~eveander/
http://pw1.netcom.com/%7ehjsmith/p.html
http://www.cecm.sfu.ca/p/
http://www.astro.univie.ac.at/~wasi/p/
REGLAS MNEMOTÉCNICAS
Para terminar con π nada mejor que citar una serie de
curiosas y simpáticas reglas con las que memorizar sus pri-
meras cifras decimales e impresionar a nuestras amista-
des. Para recordar los dígitos basta contar las letras que
conforman cada palabra... Y si quiere entretenerse puede
intentar crear alguna más poética o graciosa.
Soy y seré a todos definible.
Mi nombre tengo que daros.
Cociente diametral, siempre inmedible,
soy de los redondos aros.
(Manuel Golmayo)
Soy π, lema y razón ingeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando, enunció magistral.
Por su ley singular, bien medido
el gran orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.
(R. Nieto París, de Colombia)
En su excelente libro Los números y sus misterios,
André Warusfel cita dos en francés sin indicar sus auto-
res (me disculpo de antemano por los posibles errores de
trascripción):
Que j’aime à fairè apprendre un nombre utile aux sages!
Inmortel Archimède, artiste, ingénieur
Qui de ton jugement peut priser la valeur?
Pour moi ton problème eut de sérieux avantages.
Car j’aime à faire apprécier ce nombre, object des soins
patients, longtemps répétés, engendrés par ce dur
problème grec: carrer le cercle. Même son nom habituel
est un symbole (périmètre) utile.
Y tampoco hay que olvidar a los supermemoriones.
Por lo visto, en 1983 Rajan Mahadevan fue capaz de
recordar los primeros 31.811 decimales de π y, en 1987
el japonés Hideaki Tomoyori empleó más de diecisiete
horas en recitar 40.000 decimales... Una manera nada
sencilla de salir en el Guiness.
π
16 Por ejemplo, entre los primeros diez millones de decimales las frecuencias de cada uno de los diez dígitos 0, 1, ..., 9 son, respectivamente:
999440, 999333, 1000306, 999964, 1001093, 1000466, 999337, 1000207, 999814 y 1000040.

El inefable numero pi

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