Algebra(1) 5° 1 b
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I. El documento presenta las leyes exponenciales de la potenciación, incluyendo definiciones y teoremas. II. Se explican conceptos como exponente natural, exponente cero, exponente uno, exponente entero positivo y exponente entero negativo. III. Se plantean ejemplos y ejercicios para aplicar las leyes exponenciales.
![17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria
vecesn
xx.x.x
= xn
, n ∈ N ; n > 1
Observación : Lo expuesto anteriormente en
(1) se puede esquematizar de la siguiente
forma :
∈=
≠=
〉∧∈
=
Ra,1n;a
0a,0n;1
1nNn;aa.a.a
an
2) Exponente Entero Negativo
Nos indica que la base diferente de cero afectada
de exponente negativo se invierte. (inverso
multiplicativo)
n
n
n
a
1
a
1
a
:defineseNn0aSi
==
∈∧≠
−
Ejemplos :
9
1
3
1
3
2
2
==−
( )
( ) 125
1
125
1
5
1
5
3
3
−=
−
=
−
=− −
( ) 6
2 −
− =
( )62
1
−
=
64
1
2
1
6
=
27
125
3
5
3
5
5
3
3
333
==
=
−
Observación :
definidoNo,0 n−
LEYES EXPONENCIALES
DE LA POTENCIACIÓN
TEOREMAS:
A continuación enunciamos los teoremas :
Sea : {a;b} ⊂ R ∧ {m; n; p} ⊂ Z
1. nmnm
aa.a +
=
2. 0a;a
a
a nm
n
m
≠= −
3. ( ) p.n.m
p
nm
aa =
4. ( ) nnn
b.ab.a =
n.pn.m
n
pm b.ab.a =
5. 0b,
b
a
b
a
n
nn
≠=
0b,
b
a
b
a
n.p
mn
n
p
m
≠=
Observaciones importantes :
a. La potenciación es distributiva respecto a la
multiplicación y división (teoremas 4 y 5)
b.
( )
cadenaenonentesexp
conPotencia
m
potencia
dePotencia
p
nm
pn
aa ≠
c. Una potencia con exponentes en cadena, se
reduce desde la parte superior.
a
m
n
p
w
a
m
w
T
a
T
I= = =
d. [ (a ) ]m n p
[ (a ) ]m p n
=
e. Recordar que la igualdad goza de la
propiedad simétrica, es decir:
Rb,a,abba ∈∀=↔=
f. Los teoremas expuestos son fácilmente
demostrables para exponentes naturales. Es
necesario que puedan ampliarse a exponentes
reales, pero para su demostración es necesario
otros elementos de matemática superior.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
Ejemplo 1: Simplificar : 294
336
30x14x15
80x35x21
Solución :
Se recomienda descomponer las bases como
producto de factores primos, obteniéndose
bases iguales :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )294
3436
5x3x2x7x2x5x3
5x2x7x5x7x3
Aplicando potencia de un producto :
2229944
3123366
5x3x2x7x2x5x3
5x2x7x5x7x3
Multiplicando y dividiendo potencias con
bases iguales :
91166
12696
7x2x5x3
2x5x7x3
= 2
Ejemplo 2: Al reducir :
E = 1x1x2xx2
1xx2x1x2
3.53.5
3.53.5
−−
−+
−
−
Se puede afirmar que :
I. Si x es una cantidad positiva muy grande,
las expresión es uno.
II. Si x = 8 la expresión igual a 5.
III. La expresión no depende de x.
Solución :
Factorizando en el numerador y denominador :
1x1x2
3.5 −−
E =
( )13.53.5
53.53.5
1x1x2
21x1x2
−
−
−−
−−
E = 5E
14
70
=⇒
Al obtener como resultado una expresión numérica
donde la letra x ya no aparece, concluimos que la
expresión es independiente de x, es decir para
cualquier valor que tome x, la respuesta siempre
será 5.
Luego :
I) F
II) V
III) V
Ejemplo 3: Si :
xx
x
x = 2. Calcular
w =
xxxxxxxx
x
x
++
Solución :
Recordar :
1. nmnm
a.aa =+
S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."](https://image.slidesharecdn.com/algebra151b-140516103306-phpapp02/85/Algebra-1-5-1-b-2-320.jpg)
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- 1. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1. Mediante ejercicios reconoce y aplica las leyes exponenciales que rigen en la potenciación de monomios. 2. El estudiante adquiere habilidad operativa y reduce expresiones garantizando su correcta definición y procedimientos. II. COMENTARIO PREVIO Estamos en época de grandes cambios en la enseñanza secundaria, en todas partes del mundo. Es que los educadores tienen la sensación que la brecha existente entre la enseñanza actual y las necesidades culturales del hombre moderno, debe ser llenado urgentemente o se convertirá en un abismo infranqueable. Una de las principales características de la ciencia moderna es el uso de la matemática. Por eso no es de extrañar que en muchos lugares la reforma de la enseñanza comience por esta materia. Si ella no se actualiza, será difícil modernizar lo demás. El doctor Luis Santaló en Por qué y para que enseñar matemática en la escuela, sostiene: “Posiblemente lo más importante y Primordial es la elección de los temas a tratar”. Y a esta elección, podemos añadir y destacar otro problema fundamental; el del desglose, ordenación y jerarquización de estos temas, ya que la naturaleza jerárquica de la matemática hace muy importante para el que aprende que quien enseña lo haga en la secuencia adecuada. Con lo expuesto justificamos el estudio de las Leyes Exponenciales en tres sesiones: Sesión Nº 01: Leyes de la Potenciación Sesión Nº 02: Leyes de la Radicación Sesión Nº 03: Ecuaciones Exponenciales Ubicándonos dentro del contexto de la sesión Nº 01 comentamos: Con frecuencia se denomina al álgebra como la aritmética de las siete operaciones queriendo subrayar con ello que a las cuatro operaciones matemáticas conocidas por todos, el álgebra añade otras tres; la potenciación y sus dos inversas (Radicación y Logaritmación). Pues bien, comencemos nuestras pláticas algebraicas con “la quinta operación” LA POTENCIACIÓN. Esta operación responde a exigencias propias de la vida práctica, ya que tiene múltiples aplicaciones en las diferentes ramas de la ciencia. Veamos algunos ejemplos: Una de las aplicaciones es la teoría molecular de la materia en la cual, Amadeo Avogadro determina una constante llamándola el número de Avogadro cuyo valor es N = 6,023 x 2310 . ¿Cómo sería sin la representación exponencial? Otra de las aplicaciones es en el campo de la astronomía donde también se trabajan con cantidades de gran magnitud; tales como la velocidad de la luz, la distancia que existe de un astro a otro, etc. Otra aplicación importante se observa en la física cuando se trabajan las ecuaciones dimensionales, donde se utilizan básicamente el exponente negativo. Finalmente concluimos planteando el siguiente problema de astronomía: se acostumbra describir las distancias entre las estrellas mediante unidades llamadas años luz. Por definición, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año (365 días). Si la luz viaja con una velocidad de 3,1x 510 Km/s aproximadamente. ¿Cuántos km hay en un año luz? III. CONTENIDO TEORICO LEYES EXPONENCIALES Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de potenciación y radicación en el campo de los números reales. El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo de los demás temas sea de la mejor manera. Potenciación Es la operación matemática que permite la presencia del exponente afectando a una expresión llamada base y cuyo resultado se denomina potencia. RP;Zn;Ra;Pa n ∈∈∈= Donde: a: Base n: Exponente P: Potencia Definiciones Importantes 1) Exponente Natural En la potenciación, si el exponente “n” es un número natural y la base “a” es un número real se define: a) Exponente Cero Toda cantidad real a excepción del cero elevada al exponente cero es igual a la unidad. 0aRa,1a 0 ≠∧∈= Ejemplo: Dar el valor si existe en: 0 9 8 63 2 35 2 15 2 3 2 E −+++= Solución: ¡CUIDADO! previamente debemos analizar la base para verificar si es distinto de cero. 9 8 9x7 2 7x5 2 5x3 2 3x1 2 −+++ 9 8 9 1 7 1 7 1 5 1 5 1 3 1 3 1 1 − −+ −+ −+ − 0 9 8 9 1 1 =−− ∴ 10E 0 ≠= No tiene sentido calcular 00 pues es indeterminado b) Exponente Uno Toda cantidad real elevada el exponente natural uno es igual a la misma cantidad. Ra,aa 1 ∈∀= Ejemplo : reduce la expresión : 9732 51 1 12 5 1 ++ Solución : 5 16 3 5 1 12 5 1 =+=++ c) Exponente entero positivo Una cantidad real elevada a un exponente “n” natural mayor que uno (1), equivale a multiplicar “n” veces dicha cantidad (base). 1nNn;Ra;aa.a.aa n 〉∧∈∈= Ejemplos: veces5 5 3x3x3x3x33 = = 243 (- 5)3 = (- 5) (- 5) (- 5) = - 125 S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...." I LEYES
- 2. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria vecesn xx.x.x = xn , n ∈ N ; n > 1 Observación : Lo expuesto anteriormente en (1) se puede esquematizar de la siguiente forma : ∈= ≠= 〉∧∈ = Ra,1n;a 0a,0n;1 1nNn;aa.a.a an 2) Exponente Entero Negativo Nos indica que la base diferente de cero afectada de exponente negativo se invierte. (inverso multiplicativo) n n n a 1 a 1 a :defineseNn0aSi == ∈∧≠ − Ejemplos : 9 1 3 1 3 2 2 ==− ( ) ( ) 125 1 125 1 5 1 5 3 3 −= − = − =− − ( ) 6 2 − − = ( )62 1 − = 64 1 2 1 6 = 27 125 3 5 3 5 5 3 3 333 == = − Observación : definidoNo,0 n− LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACIÓN TEOREMAS: A continuación enunciamos los teoremas : Sea : {a;b} ⊂ R ∧ {m; n; p} ⊂ Z 1. nmnm aa.a + = 2. 0a;a a a nm n m ≠= − 3. ( ) p.n.m p nm aa = 4. ( ) nnn b.ab.a = n.pn.m n pm b.ab.a = 5. 0b, b a b a n nn ≠= 0b, b a b a n.p mn n p m ≠= Observaciones importantes : a. La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división (teoremas 4 y 5) b. ( ) cadenaenonentesexp conPotencia m potencia dePotencia p nm pn aa ≠ c. Una potencia con exponentes en cadena, se reduce desde la parte superior. a m n p w a m w T a T I= = = d. [ (a ) ]m n p [ (a ) ]m p n = e. Recordar que la igualdad goza de la propiedad simétrica, es decir: Rb,a,abba ∈∀=↔= f. Los teoremas expuestos son fácilmente demostrables para exponentes naturales. Es necesario que puedan ampliarse a exponentes reales, pero para su demostración es necesario otros elementos de matemática superior. EJERCICIOS EXPLICATIVOS Ejemplo 1: Simplificar : 294 336 30x14x15 80x35x21 Solución : Se recomienda descomponer las bases como producto de factores primos, obteniéndose bases iguales : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )294 3436 5x3x2x7x2x5x3 5x2x7x5x7x3 Aplicando potencia de un producto : 2229944 3123366 5x3x2x7x2x5x3 5x2x7x5x7x3 Multiplicando y dividiendo potencias con bases iguales : 91166 12696 7x2x5x3 2x5x7x3 = 2 Ejemplo 2: Al reducir : E = 1x1x2xx2 1xx2x1x2 3.53.5 3.53.5 −− −+ − − Se puede afirmar que : I. Si x es una cantidad positiva muy grande, las expresión es uno. II. Si x = 8 la expresión igual a 5. III. La expresión no depende de x. Solución : Factorizando en el numerador y denominador : 1x1x2 3.5 −− E = ( )13.53.5 53.53.5 1x1x2 21x1x2 − − −− −− E = 5E 14 70 =⇒ Al obtener como resultado una expresión numérica donde la letra x ya no aparece, concluimos que la expresión es independiente de x, es decir para cualquier valor que tome x, la respuesta siempre será 5. Luego : I) F II) V III) V Ejemplo 3: Si : xx x x = 2. Calcular w = xxxxxxxx x x ++ Solución : Recordar : 1. nmnm a.aa =+ S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 3. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria 2. ( ) ( )mnnmn.m aaa == 3. n pnpnp a ma.mm aaa == + Luego en w se obtiene : W = xxxxxxxx x.x x + W = xxxx. xxxxx x.xx W = xxxx xxx xx x x x W = 1622 42 2 == PRACTICA DE CLASE 01. Si A = 111 325 −−− ++ N = 1 19 30 − . Hallar A + N a) 3 5 b) 2 c) 1/3 d) 31/30 e) 19/30 02. Reducir : veces6veces6veces6 2xx2.22.2.2.22.2.2.2 ++ a) 64 b) 36 c) 192 d) 128 e) N.a. 03.Reducir : E = 5,0 4x2xx 4x2xx 777 777 +− +− −− ++ a) 1/7 b) 7 c) 343 d) 7 e) 49 04.La edad de José es el cuádruplo de la edad de Carlos. Si Carlos tiene en años. ( ) 2 3 5,0 2 64 44 2 − − Entonces dentro de dos años dichas edades sumarán : a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 05.Reducir : ( ) ( ) + + − + 2n6 veces3n2 veces2n4 6n3 x 1 x xx.x.x xx.x.x x a) x b) x2 c) x3 d) x4 e) x5 06.Calcular el valor de E : E = 2 1 12222 6 1 7 1 3 1 2 3 2 5 1 + + + + −−−− a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 07.Si : E = , 3.3 33 1n 1n3n − ++ − P = 92n91n 91n90n 22 22 ++ ++ + + Entonces P. E es: a) 12 b) 24 c) 48 d) 8 e) N.A. 08.Si : xx = 5, Reducir : ( ) ( )1xx xx 4x xxx5 x x + + + + − a) 1 b) x c) x+1 d) x2 e) x5 09.Simplificar : 3xx5x 1x4x2x 2.22.152 2.622.5 ++ −++ −− +− a) 1 b) 2x c) 2x - 1 d) 7 e) N.a. 10.Efectuar : E = 10 432 63 6x35x30 15x14x24 a) 15 b) 157 c) 1510 d) 2255 e) c y d TAREA DOMICILIARIA 01.Simplificar : x1x2x3x4x x1x2x3x4x 3737373737 3737373737 ++++ ++++ −−−− ++++ a) 37 b) 372 c) 373 d) 374 e) N.a. 02.Si xx = 2, calcular el valor de: E = x1 x2x x + + a) 32 b) 16 c) 128 d) 256 e) 64 03.Proporcionar el exponente final de x11 en la expresión : E = ( ) ( ) ( ) ( )1310635241 xx.x.x x ≠ 0; 1 a) 550 b) 50 c) 11 d) 55 e) N.a. 04.Si : xx = 2, Calcular : x 1x x xxxx2 x 1x x1x xxxx − ++ −− + + a) 4 b) 16 c) 24 d) 20 e) N.a. 05.Si A = 3n 3n 53 53 3 3 2 2 32 − −− B = 14 6 4 22 Hallar el valor de: ( )A2 B 7 2 n 1 − Donde : 1 x 2 x 3 x ……x7 = n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 06.Si tenemos la expresión S definida como : S = x8x9x10x 10x2x1xx 2222 2222 ++++ ++++ −−− +++ Halle : 32 S a) 64 b) 32 c) 128 d) 256 e) 1024 07.Determinar el valor de verdad de las proposiciones : I) ∀ x∈ R; x0 = 1 ⇒ (- 2)0 = 1 II) Si xm .xn = xm+n ⇒ 33 .33 = 99 III) ∀ x ∈ R; (- x)2 = x2 ∨ (- 3)2 = - 9 a) VFV b) VVF c) VVV d) VFF e) FFF 08.Determinar la veracidad o falsedad de las proposiciones : I) ∀ x ∈ R; n ∈ N : (-x)2n = x2n II) ∀ x ∈ R; n ∈ N: (-x)2n+1 = - x2n+1 III) ∀ x ∈ R; x2 ≥ 0 S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 4. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria IV) ∀ x ∈ R; x3 ∈ R a) VVFF b) VFVF c) VVVF d) FFVV e) N.a. 09.Si P(x) = ( ) x 2x1xx 5 555x ++ ++ Calcular : P(10) a) 31 b) 310 c) - 310 d) - 3100 e) 300 10.Si : k5 = 35 – k3 El valor de : M = ( ) factores1k k 3 5 3x3xx3x3x3 + es a) 16 9 b) 8 9 c) 243 3 d) 81 27 e) hay 2 correctas I. OBJETIVOS ESPECIFICOS . 1. Mediante leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de monomios. 2. Relacione las leyes exponenciales de la radicación de monomios en la resolución de ejercicios. II. COMENTARIO PREVIO En la sesión anterior se hizo referencia a la potenciación, como la quinta operación matemática y que presenta dos inversas (radicación y logaritmación). Luego de haber estudiado la potenciación nos asiste el imperativo de realizar el estudio de una inversa de ésta, en este caso: LA RADICACIÓN III. CONTENIDO TEORICO . RADICACIÓN EN R. Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades: Indice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de radicación la definimos, así: 1nNn;rara nn >∧∈=⇔= donde: a n = r Indice (n N)ε Raíz enésimaRadicando como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior). • Si n es par ∧ a ≥ 0 → principalraíz 0r ≥ • Si n es par ∧ a <0 → r ∉ R • Si n es impar ∧ a ≥ 0 → r ≥ 0 • Si es impar ∧ a < 0 → r < 0 Ejemplos: principal realraíz 4 381 = ⇒ 34 = 81 5 32 = 2 ⇒ 25 = 32 3 125− = - 3 125 = -5 ⇒ (-5)3 = -125 Definición de Exponente Fraccionario n mn m aa = ; n m es una fracción irreductible Ejemplos: • 288 33 1 == • 3 1 38181 1144 1 === −−− • 55 35 3 12555 == • 7 5 7 5 22 = Leyes Exponenciales de la Radicación A continuación enunciamos los siguientes teoremas: 1) nnn b.aab = ; { } Rb;a nn ⊂ Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b ≥ 0 2) n n n b a b a = ; b ≠ 0 , { } Rb;a nn ⊂ Si n es par entonces a ≥ 0 ∧ b > 0 3) mnpm n p aa = ; m , n,p ∈ R Si mnp > 0 → a ≥ 0 4) mnp cbpanp mnp cmn bm am n p cba z.y.x z.y.xzyx = = OBSERVACIÓN: Del Teorema anterior, si las bases x, y z son iguales, se concluye a una forma practica de reducir, veamos: 4.1) mnp cp)ban(m n p cba xxxx ++ = 4.2) mnp cp)ban(m n p cba xx:x:x +− = + - + 5) Valor principal de una radicación: )2n(NnRAsi;rA n n ≥∈∧∈= + Luego: <− ≥ == 0xsi;a 0xsi;a aa n2 n2 Ejemplos: 3|3|32 == ( ) 3|3|3 2 =−=− S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...." ¡IMPORTANTE! La radicación es distributivo con respecto alamultiplicación y división. ¡IMPORTANTE! La radicación es distributivo con respecto alamultiplicación y división. Leyes de Waltor LEYES EXPONEN
- 5. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria 3252534 4 −= − ; 3 - 5 2 < 0 36366 6 −= − ; 6 - 3 > 0 COROLARIO aa 1n2 1n2 = + + Ejemplos: ( ) 223 3 −=− 33 5 5 = COROLARIO b cab ac xx = Si a.b es par → x ∈ R ∧ x ≥ 0 TEOREMAS ADICIONALES 1) n m 1m 1 n m radicalesn m m m m aa.....aaa − − = 2) n n m 1m 1m radicalesn m m m m a:a....:a:a:a + + = Si “n” es impar 3) n n m 1m 1m radicalesn m m m m a:a....:a:a:a + − = Si “n” es par TEOREMAS DE CONVERGENCIA 1) 1nn n n x...xxx − =∞ ; x ∈ R, ∀n ∈ R - {0 ; -1} 2) 1nn n n x...:x:x:x + =∞ ; x ∈ R, ∀n ∈ R-{0;-1} En ambos teoremas: n ∈ N ∧ n ≥ 2 sólo en el caso de que “n” sea un número par el radicando “x” deberá ser positivo. 3) 1 + x + x2 + x3 + … = x1 1 − ; 0 < x < 1 4) xx x x x xx = ⇔ 0 < x < e e = 2,7182…. EJERCICIOS EXPLICATIVOS N° 2 Ejemplo 01. Proporcionar el valor de: W = 3 4 5 2 2 3 23 5 2 81.4 27.32 Solución: Aplicando la definición de exponente fraccionario en cada radical, se obtiene: W = 35 4 3 6 5 4 3 2 5 3 4 5 6 3.2 27.32 81.4 27.32 = W = 35 46 3.2 3.2 ⇒ W = 6 Ejemplo 2: Reducir: 4 2 1 44 4004525 7514812 3 −+ −+ − Solución: ( ) 4 2 1 4 24 2 205x95 3x253x163x4 3 −+ −+ − −+ −+ − 4x 2 1 20535 353432 3 22 3 52 3 52 3 3 = − → ( )( )( ) 20 3 543 = / / Ejemplo 3: Halle el exponente de x x en: x1x xx2 x1 1 x x.xx x − ++ Solución: ( ) xx x x xxx x x x xx x ++ ( ) 1xxx xxx x − = Luego el exponente de x x es e 1x x − Ejemplo 4: Efectuar: E = ( ) ( ) 1 5 3 5 2 3 3232 − −− − −+− Solución: ( ) ( ) 4 1 323232 2 55 25 2 = −=−=− − − − ( ) ( ) 8 1 23232 3 3 55 3 −=−= −=− − −− En E se obtiene: E = 3 1 8 1 4 1 − − E = 28 8 1 3 1 3 1 == − Ejemplo 5: Calcular el valor de: P = 04412 13825 16932 168100 −−−− −−−− ++ Solución: Efectuando cada uno de los términos por separado: * 100 32 - 25 1/2 1/5 - 8 1/2 - 3 -1 1/3 = 10 * 8 9 - 2 = 8 - 1 9 - 1/2 = 8 = 2 1/3 * 16 16 - 4 1/2 1/4 - 4 1 0 416 2 1 = Reemplazando los valores en P: P = 10 + 2 + 4 P = 16 Ejemplo 6: Reducir: ( ) 77 5 5 3 3 4 4 2− Solución: ( ) 77 5 5 3 3 4 4 2 // / / − S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 6. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria ( ) 3 3 4 4 2 / / − ( ) 224 4 =− Si simplificamos directamente se podría llegar a una contradicción, pero la expresión si existe pues ( ) 44 22 =− es positivo. Ejercicio 7: Reducir a su forma más simple: M = 3 3 3 3 2222 x....xxx , n radicales. Solución: Por inducción y aplicamos la ley de Walter: 1 radical: 3 2 x = 3 13 x − 2 radical: 3 3 22 xx = 2 23 13 x − 3 radical: 3 3 3 222 xxx = 3 33 13 x − . . . . n radicales: n 3 133 3 3 3 2222 n xx...xxx − = PRACTICA DE CLASE 01.Reducir : M = 5x x5x5 5x5x 157 715− −− −− − − a) 107 b) 7 c) 103 d) 95 e) 105 02. Al reducir: x 7 2 x 7 256 x 5 1x 7 2 7 + se obtiene: 3 5 7 − ; hallar el valor de: 2x x − a) 27 b) 3 c) 9 d) 30 e) 81 03.Hallar el exponente final de x. m 1m m 1m m 1m x x x − − − .. . Sabiendo que existen “t” radicales. a) m-t + 1 b) m-t - 1 c) mt+1 - 1 d) mt - 1 e) m-t+1 - 1 04.Reducir: ( ) ( ) yx yx yx x2 3 3213 yx y2 − + − − + a) 17 b) 10 c) 24 d) 4 e) 8 05.Calcular: A = 4 42 22981 )()( −+− a) 10-4 2 b) 4 2 c) 10 d) 23 e) 10 + 2 8 06.Al reducir: A = 5 56 6 32585 )()( −+− se obtiene: a) 2 6 b) 6 2 c) -2 2 d) 2 e) N.A. 07.Efectuar: A = 5 5253 643227 )()( −+−+−+− a) -15 b) 5 c) -7 d) -5 e) N.A. 08.Reducir: 2xx x4 x51x 250 42 ),( )( , −+ a) -22 b) 212 c) (1/2)-2 d) 2-3 e) (1/2)2 09. Dar el equivalente de: 16 523 5 23 5 ba ba − . . / a) a . 6 b b) a 5 b c) ab2 d) b2 e) a2 b 10.Si “n” es un número entero positivo mayor que 2; simplifique: 12n 12nn 1n n 1n n n − + − + a) n-1 b) 1 n − c) n d) n-n e) nn 11.Efectuar: 1nm n m 3 m 2 mm 2nn xxxx xx − ...... a) 2-1 b) 1 c) x2 d) 2 e) x 12.Efectuar: E = 31816 81 /−−− a) 34 b) 3-1 c) 3-3 d) 3-2 e) 3 TAREA DOMICILIARIA 01. Al efectuar : -1 -3 84 . 4(-2) -1 -3 -27 125 1 -1 -2 -4 16 1 .S = Obtendríamos : a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32 02. Indique Ud. El exponente final de M 1 Si : 25 333 4 3 23 x......x.x x.x.x 10 multiplicaciones indicadas M = 120 a) 27 b) 15 c) 57 d) 75 e) 37 03. Cuál será el valor más simple de la expresión : R= n227 n23 3 1n23 125 + a) 5 b) 52 c) 5-1 d) 5-3 e) N.a. 04. Reducir : A = 2n 2n2n 2n2n 52 25+ −−−− ++ − − a) 2-1 b) 10-1 c) 10 d) 5 e) 2 05. Si al efectuar : S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 7. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria 5 5 5 5 3333 x.....xxx Se obtiene xm siendo : m = n 5 465 ; Hallar el valor de “n” siendo este el número de radicales de la expresión dada. a) 5 b) 4 c) 3 d) 6 e) 2 06. Reducir : yx yx yx yyx x 2 4184 − + −− + a) 9 b) 11 c) 10 d) 5 e) N.A. 07. El equivalente de: A = 3 4 49 4 4 49 2 7 7 2 es 4 abcdef,0 . Calcular: (a+c+e)-(b+d+f) a) 11 b) -11 c) 9 d) -9 e) N.a. 08. Reducir : M = 8 85 56 6 )13()323()31( −+−+− a) 2 32− b) 6° c) 323 − d) )13(4 − e) N.a. 09. Calcular : R = 18 63 63 3 1 9. 3 1 9 9 1 3. 9 1 3 + − + − a) 9 b) 1 3 − c) 3 d) 2 1 27 e) 18 3 10. Calcular : B = 1x x2x 3x31x )2(4)3(9 2)6(3 + ++ + + a) 2 1 3 b) 2 1 4 c) 2-1 d) 4 e) 2x+1 11.Reducir: a>0 2a a 2 a322a a.a.....a.a.aa2P − −= a) 2 a b) a a c) a d) 3 a e) 1a a + 12. Sabiendo que (a - b) es impar ; al efectuar : ab baba ab )ab()ba(R − −− − −+−= Se obtiene : a) ba b.a + b) ba b.a − c) 0 d) 1 e) 2 13. Al reducir : Radicales50Radicales50 3.........3.......333H = Se obtiene : a) 1 b) 3 1 c) 3100 d) 350 e) 3 14. Si : 3 3 3 3 ............55555M = 4 4 4 4 .............5555N = Calcular: N M . a) 3 55 b) 5 5 c) 6 55 d) 4 55 e). 6 5 15. Al efectuar : ................3333A = ......5.5.5.55B 20126 = Dar la suma de las cifras de : B - A a) 2 b) 5 c) 7 d) 16 e) N.A. 16. Señalar verdadero o falso : I) Rx;xx 4 44 4 ∈∀= II) Rx;xx 5 55 5 ∈∀= III) Rx;xx2nzn:Si a nn a ∈∀=→≥∧∈ + IV) 333 4.832 −=− a) VVFV b) FVFF c) VVVV d) FVVV e) FVFV I. OBJETIVOS ESPECIFICOS . 1. Reconoce y transforma una ecuación trascendente a ecuación algebraica, para su posterior resolución. II. COMENTARIO PREVIO . Se hizo referencia a la potenciación y radicación con el estudio de sus respectivas leyes. La aplicación de dichas leyes se encuentra con frecuencia en la resolución de ecuaciones exponenciales. III. CONTENIDO TEORICO ECUACIONES EXPONENCIALES Reciben este nombre las ecuaciones trascendentes reductibles a ecuaciones algebraicas, y se caracterizan por tener la incógnita como exponente. Para resolver ecuaciones exponenciales es necesario tener presente la siguiente propiedad : En una igualdad de potencias que presentan igual base; es necesario que los exponentes sean iguales para cumplir con la relación de igualdad. Am = An → m = n ; A ≠ 0; 1; − 1 En algunos casos, cuando la incógnita se presenta en la base y en el exponente, su valor se puede obtener formando expresiones análogas en los dos miembros de la ecuación. Veamos los ejemplos : si : xx = 55 → x = 5 si : a 3a − = 8 38 − → a = 8 Es necesario recordar estructuras que caracterizan a cierto tipo de ejercicio, donde se aplican criterios de la teoría exponencial y Ecuaciones Exponenciales. 1. Hallar “x” en : →=nX nX XX ... S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...." Si n = # par X = n n± Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+ − {0} X = n n ECUACIONES CON EXPRESIONES
- 8. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria 2. Resolver : →= ∞ nX XX ... 3. Reducir : nEnE n nn nn =→= ∞ ;∀ n ∈ R+ − {0} 4. Reducir : 1nn n n XE...XXXE − =→∞= ;∀n ∈ R−{0;1} x > 0 5. Reducir : 1nn n n XEXXXE +=→= ...::: ;∀n∈R−{0; −1} x > 0 6. Efectuar : 1nE1nn1nnE +=→++++= ...)()( ; ∀ n ( n + 1 ) ∈ R+ − { 0 } 7. Efectuar : nE1nn1nnE =→−+−+= ...)()( ; ∀ n ( n + 1 ) ∈ R+ − { 0 } ¡Importante! : Por la frecuencia en la presentación de dichos ejercicios, es necesario que los alumnos reconozcan la forma o estructura de los mismos y de inmediato indicar el resultado. Se sugiere que las estructuras expuestas ( 1 al 7); sean demostradas en clase por el profesor. PRACTICA DE CLASE 01.Hallar “x” si: ( ) 813/1 /2 =x a) -2 b) -1/2 c) -1 d) -3 e) N.A. 02. Hallar el valor de “x” si: 34 13 2 . aaa xx =− a) 1 b) -1 c) 4/7 d) 7/4 e) -4/7 03.Si “r” y “s” son las soluciones de la ecuación: )3(927 52 xx = , r+s es: a) 7/2 b) -5/2 c) -3/2 d) 3/2 e) -7/2 04. Resolver: )5/(3 3 1 − = x x a a a) x=0 b) x=-1/2 c) x=3 d) x=1/2 e) x= -5 05.Hallar el valor de “a” si: 255 3 55 − =a a) 6 b) 2 c) -5 d) -2 e) N.a. 06.El valor de “x” si: 12 98 125 −−−− x = 5 5 es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 07.Reducir siendo x > 0. M = 2 3 3 3 222 3 4 4 4 ....::: ....... ∞ ∞ xxx xxx a) 1 b) -1 c) 3 d) 4 e) N.a. 08.Siendo: x = ...303030 +++ calcular: E = 3 3 3 ....xxx +++ a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.a. 09. Resolver el sistema: 162 15 )yx2( = − 813 3 = −yx dar como respuesta el valor de x.y + x + y. a) 1824 b) 1820 c) 1816 d) 1812 e) N.a. 10.Siendo: 2 22/1 =x x hallar el valor de: P = 16 12/1 −− − xx x a) 2 2 b) 2 c) 2 /2 d) 1 e) 0 11.A partir de: 2 22 = − − x x Calcular x x a) 2 b) 2-1 c) 22 d) 23 e) 24 12.Resolver: 33 55125 232 + − = x x a) 0,5 b) 0,2 c) 1,2 d) 0,6 e) N.a. 13. Después de resolver: 2893 18116 =+ −+ xx se obtiene un número decimal de la forma: mnp,0 . Hallar p. a) 1 b) 8 c) 5 d) 3 e) 6 14.Si: P = 15 1515 1 1 110 110110 1 1 5 5 1 10 10 1 5 10 − − − − − − − − − − − − Calcular: E = P P P PP P a) 1/2 b) 2 c) 5 d) 10 e) 50 15.Resolver: x . 1xx 16 16 + = 21x x )( + a) 2 b) 22 c) 23 d) 28 e) N.a. 16.Si: 51875I250T25W 5ITW === Calcular: R = ( ) 31 1250 .I.T.W a) 531 b) 562 c) 52 d) 53 e) 54 S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...." Si n = # par X = n n± Si n =#impar ; ∀ n ∈ R+ − {0} X = n n
- 9. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01. Al reducir : 4 3 3 4 x 555 555 se obtiene 5x ; el valor de 2x es : a) 23 7 b) 1 c) 23 14 d) 2 e) 13 7 02. Al reducir : 12a 2a 1a 11a 2 xx − + + −− Se obtiene : x 5 x . Hallar (a+2) . a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 03. Al reducir : x32 x316 x2 1x32 5 + se obtiene 52 5 − ; hallar el valor de : 2x x − a) 16 b) 3 c) 125 d) 20 e) 1276 04. Si el equivalente de : 8 x 3 4 )6,0(es 25 9 9 25 3 5 5 3 ; Hallar : xx . a) 1 b) 27 c) 4 d) 55 e) 363 05. Si : 18)1x2(3 6)1x2( =− − . Hallar x+1. a) 4 , 5 b) 3 , 5 c) 2 , 5 d) 3 7 e) 1,5 06. Al efectuar : 12 1 x 2xx 12x 125.525 +− Se obtiene 15 7 5 Hallar la suma de cifras del valor de x. a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 07. Si al efectuar : 3 2 1 36 6 1 2 1 4 1 33 ba ba − − se obtiene n a b ; Hallar “n”. a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7 08. Resolver : x24x23 2781 = a) 1 b) 2 1 c) 2 1− d) –1 e) 4 1 09. Hallar x . y en : 2 y 9x 16y227)x3( = ∧= a) 2 2 b) 218 c) 29 d) 23 e) N.a. 10. Hallar x . y en : 1,0y3x 25y3x − =∧= a) 5 33 b) 5 3 c) 4 32,0 d) 1 e) N.A. 11. Hallar E = x . 16 Z Si : 1717z4525x 17)z17(;5x == a) 5 b) 3 517 c) 4 517 d) 5 517 e) N.a. 12. Hallar x . z en : 16 5,0z 33 x 5,0Z; 3 9 x == a) 23 9− b) 49 23− c) 83 9− d) 89 4.3 −− e) N.a. S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
- 10. 17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 5to Año Secundaria ÁLGEBRA 5to Año Secundaria TAREA DOMICILIARIA 01. Al reducir : 4 3 3 4 x 555 555 se obtiene 5x ; el valor de 2x es : a) 23 7 b) 1 c) 23 14 d) 2 e) 13 7 02. Al reducir : 12a 2a 1a 11a 2 xx − + + −− Se obtiene : x 5 x . Hallar (a+2) . a) 3 b) 4 c) 6 d) 7 e) 5 03. Al reducir : x32 x316 x2 1x32 5 + se obtiene 52 5 − ; hallar el valor de : 2x x − a) 16 b) 3 c) 125 d) 20 e) 1276 04. Si el equivalente de : 8 x 3 4 )6,0(es 25 9 9 25 3 5 5 3 ; Hallar : xx . a) 1 b) 27 c) 4 d) 55 e) 363 05. Si : 18)1x2(3 6)1x2( =− − . Hallar x+1. a) 4 , 5 b) 3 , 5 c) 2 , 5 d) 3 7 e) 1,5 06. Al efectuar : 12 1 x 2xx 12x 125.525 +− Se obtiene 15 7 5 Hallar la suma de cifras del valor de x. a) 7 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 07. Si al efectuar : 3 2 1 36 6 1 2 1 4 1 33 ba ba − − se obtiene n a b ; Hallar “n”. a) 4 b) 5 c) 3 d) 2 e) 7 08. Resolver : x24x23 2781 = a) 1 b) 2 1 c) 2 1− d) –1 e) 4 1 09. Hallar x . y en : 2 y 9x 16y227)x3( = ∧= a) 2 2 b) 218 c) 29 d) 23 e) N.a. 10. Hallar x . y en : 1,0y3x 25y3x − =∧= a) 5 33 b) 5 3 c) 4 32,0 d) 1 e) N.A. 11. Hallar E = x . 16 Z Si : 1717z4525x 17)z17(;5x == a) 5 b) 3 517 c) 4 517 d) 5 517 e) N.a. 12. Hallar x . z en : 16 5,0z 33 x 5,0Z; 3 9 x == a) 23 9− b) 49 23− c) 83 9− d) 89 4.3 −− e) N.a. S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S5AL31B “El nuevo símbolo de una buena educación...."