S07_s1- Distribución Binomial y Poisson.pdf
- 1. FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
- 2. TEMARIO 1. Conceptos generales variable aleatoria 2. Variable aleatoria discreta: Distribución Binomial 3. Variable aleatoria discreta: Distribución Poisson
- 3. LOGRO DE LA SESIÓN: Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los conceptos de variable aleatoria, para asociar el resultado de un experimento aleatorio de tipo discreto o de Poisson, tomando en cuenta aplicaciones en contextos reales de sus carreras.
- 4. Datos/Observaciones DUDAS SOBRE LA CLASE ANTERIOR: 1) ¿Qué temas trabajamos la clase anterior? 2) ¿Hubo algún ejercicio que no pudieron resolver? 3) ¿Pará que sirve el teorema de bayes? 4) ¿Cuándo aplicamos probabilidad total?
- 5. Datos/Observaciones CONOCIMIENTOS PREVIOS: Se conoce por experiencias anteriores que el 20% de las plantas de limonero son atacadas por cierta plaga. Si se desea llevar a cabo un experimento con 10 plantas. Cuál será la probabilidad de que: a) 5 plantas sean atacadas? b)3 o más plantas sean atacadas?
- 6. Datos/Observaciones UTILIDAD DEL TEMA: APLICACIONES DE DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y POISSON • Utilizamos la distribución binomial en todos los eventos donde solamente hay dos resultados. En el campo de los negocios por ejemplo cuando una inversión genera una ganancia o pérdida. Ahí, sin darnos cuenta, estamos haciendo uso de este concepto. • La distribución de Poisson se utiliza en el campo de riesgo operacional con el objetivo de modelar las situaciones en que se produce una pérdida operacional. En riesgo de mercado se emplea el proceso de Poisson para los tiempos de espera entre transacciones financieras en bases de datos de alta frecuencia.
- 7. DESARROLLO DEL TEMA: Variable aleatoria üEs la descripción numérica del resultado de un experimento. üUna variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales. üLas variables aleatorias se designan por letras mayúsculas: X, Y,Z, etc., y a sus valores que toman por letras minúsculas. Lo que es aleatorio es el experimento, sobre cuyo espacio muestral se define la variable aleatoria. La variable aleatoria atribuye a cada elemento un número fijo y determinado.
- 8. VARIABLE ALEATORIA Variable aleatoria: Discreta y Continua VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA El rango está determinado por un conjunto finito o infinito numerable de valores. El rango está determinado por un conjunto infinito no numerable de valores. Ejemplos: - Número de personas contagiadas por covid. - Cantidad de preguntas correctamente contestadas en una evaluación de personal. - Número de profesionales que participan en un proyecto. Ejemplos: - Temperatura del ambiente en °C. - Peso en Kg de lotes de mercadería. - Tamaño en MB de una aplicativo en ANDROID.
- 9. Sea el experimento: Se lanzan 3 monedas Variable Aleatoria: X= Número de sellos obtenidos Espacio muestral 𝛺 = CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS P=f(x) 2 3 X 1/8 3/8 1/8 3/8 0 1 Función de Probabilidad Propiedad Espacio Muestral R(x) P(X=x) CCC 0 1/8 = 0,125 CCS,CSC,SCC 1 3/8 = 0,375 CSS,SCS,SSC 2 3/8 = 0,375 SSS 3 1/8 = 0,125 R ( x ) Variable aleatoria: Discreta
- 10. VARIABLE ALEATORIA Variable aleatoria: Continua Si: a < b, se tiene que 𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = ' ! " 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 1)𝑓 𝑥 ≥ 0 2) ∫ #$ $ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
- 11. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Distribución discreta: Binomial 1. El experimento consiste en una secuencia de "n" pruebas, donde "n" se fija antes del experimento. 2. Las pruebas son independientes, por lo que el resultado de cualquier prueba no afecta al resultado de cualquier otro. 3. En cada prueba, solo hay 2 posibles resultados: éxito o fracaso Probabilidad de éxito = 𝑝 Probabilidad de fracaso = 𝑞 = 1 −𝑝
- 12. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Distribución discreta: Binomial 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛 𝜇 =𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 Para construir una distribución binomial es necesario conocer el número de pruebas que se repiten (n) y la probabilidad de que suceda un éxito en cada una de ellas (P). Notación: X ~ B(n,p) Usos por ejemplo: ü Un tratamiento médico puede ser: Efectivo o No Efectivo. ü El cliente de un banco puede ser catalogado como: Moroso o No Moroso ü Un artículo producido puede ser: Defectuoso o No Defectuoso Fórmula
- 13. EJERCICIO 1 65 de cada 100 estudiantes de un colegio del interior del país cursan estudios universitarios al terminar secundaria. En un grupo de 8 estudiantes elegidos al azar de un determinado colegio del interior del país que están culminando su etapa escolar. Calcule la probabilidad de que estudien una carrera: a)Exactamente 3 estudiantes b)Más de 6 estudiantes c)Calcule la media
- 14. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Solución: Distribución discreta binomial X: Número de estudiantes que estudian una Carrera universitaria. Fracaso: {No estudien una carrera} → 𝑞 =0.35 Éxito: {Estudien una carrera} → p = 65/100 =0.65 X ~ B(n=8 ; p = 0,65) P(𝑋 = 3) = % & .0. 653 ∙ 0. 355 = La probabilidad que estudien 3 alumnos de un total de 8 una carrera es solución a: 3 alumnos estudien una carrera universitaria (X=3) 𝑃 (𝑋 > 6 )= 𝑃 ( 𝑋 =7)+ 𝑃 ( 𝑋 =8) La probabilidad que estudien más de 6 alumnos de un total de 8 una carrera es 0.169 solución b.Más de 6 alumnos estudien ( X>6) 𝑋 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 𝐸 (𝑋)= 𝑛𝑝 𝐸 ( 𝑋)= solución c. Media 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑛 𝑥 𝑝!𝑞"#!
- 15. La probabilidad de que se encuentre un artículo defectuoso en la línea de producción es 0.2. De 10 artículos elegidos al azar, calcular la probabilidad de que haya 6 artículos defectuosos. EJERCICIO 2
- 16. EJERCICIO 3 El 2% de los tornillos fabricados por un torno mecánico presentan defectos. Si tenemos un lote de 200 tornillos. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 5 tornillos defectuosos?
- 17. EJERCICIO 4 En una universidad se encontró que usualmente 35% de los estudiantes no aprueban el primer curso de Estadística. En el presente ciclo se matriculan 8 estudiantes en el curso. ¿Cuál es la probabilidad de que no aprueben más de 6 alumnos?
- 18. DISTRIBUCIÓN POISSON Distribución discreta: Poisson Cuando en una distribución binomial n > 30 y p < 0,1 puede considerarse que cumple con la distribución poisson 𝜆 =np El proceso de Poisson es un experimento aleatorio utilizado para describir el número de veces que un evento ocurre en un espacio finito de observación (área, tiempo, etc). Es útil para la ocurrencia de eventos por unidad de tiempo: errores/mes, quejas/semana,defectos/día. Tasa de ocurrencia (𝝀) 𝜆 𝐴 = 50 importante recordar que es para 5 horas ¿Cuantas llamadas recibirá en 4 horas? Ejemplo. La central telefónica A recibe 50 llamadas telefónicas en 5 horas.
- 19. DISTRIBUCIÓN POISSON Distribución discreta: Poisson 𝜇 = 𝐸(𝑋)= 𝜆 D𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝑥 = 0,1,2,3, … Donde: ü P(X=x) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor finito x. ü λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). La constante e tiene un valor aproximado de 2.711828 Notación: X ~ P(𝜆) Fórmula
- 20. DISTRIBUCIÓN POISSON Ejercicio: Distribución discreta Poisson Un cajero automático es utilizado cada 20 minutos por 6 personas. Se desea saber cuál es la probabilidad de que: a) El cajero sea utilizado por 10 personas en 20 minutos. b) El cajero sea utilizado por al menos 3 personas en 20 minutos. c) El cajero sea utilizado por 5 personas en 10 minutos
- 21. DISTRIBUCIÓN POISSON Ejercicio: Distribución discreta Poisson: Solución a: La probabilidad de que el cajero sea u;lizado por 10 personas en 20 minutos es 0,041. Sea: X: Número de personas que usan cajero automático: Tasa de ocurrencia: 𝜆1 = 6 𝑃(𝑥 ≥ 3) = 𝑃(𝑥 = 3) + 𝑃(𝑥 = 4) + 𝑃(𝑥 = 5) + ⋯ La probabilidad de que el cajero sea utilizado por 10 personas en 20 minutos es . Piden: Solución b: Piden: Propiedad = 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑒#;. 𝜆< 𝑥! , 𝑋 = 0,1,2,3, … 𝑃 𝑋 = 10 = 𝑒#=. 6>? 10! = 1 − 𝑒#=. 6? 0! + 𝑒#=. 6> 1! + 𝑒#=. 6@ 2! 𝑃 𝑥 ≥ 3 = 1 − 𝑃 𝑥 < 3 = 1 − 𝑃 𝑥 = 0 + 𝑃 𝑥 = 1 + 𝑃(𝑥 = 2) 𝑃 𝑥 ≥ 3 = 1 − 0.062
- 22. DISTRIBUCIÓN POISSON Solución c: La probabilidad de que el cajero sea uklizado por 5 personas en 10 minutos es: Ejercicio: Distribución discreta Poisson: 6 personas 𝜆𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 𝜆𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 3 20 minutos 10 minutos Reemplazando: 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑒#;. 𝜆< 𝑥! , 𝑋 = 0,1,2,3, … 𝑃 𝑋 = 5 = 𝑒#A. 3B 5! =
- 23. DISTRIBUCIÓN POISSON Ejercicio: Distribución discreta Poisson Se cree que el número promedio de individuos por cada 2𝑘𝑚2 de cierta especie de mamíferos que habita en las alturas de cierta region es de 1.2. Si se kene una área de 3 𝑘𝑚2.¿Cuál es la probabilidad que se encuentre como mínimo 2 individuos? Solución Del problema: Tasa de ocurrencia: 𝜆1 = 1.2 para 2𝑘𝑚2 2 𝑘𝑚2 3 𝑘𝑚2 1.2 ind. 𝜆𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 X: Número de habitantes por área Piden: 𝜆𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜 = 1.8 =1 −(0.4629) = 0.5371 𝑃(x ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑥 < 2) = 1 − [P ( 𝑥 = 0) +P(x=1) La probabilidad que se encuentre como mínimo 2 individuos es 0.5371. P(x ≥ 2) 1 − 𝑒#>.L ∗ 1,8? 0! + 𝑒#>.L ∗ 1,8> 1!
- 24. Conclusiones ESPACIO PRACTICO AUTONOMO: Resolveremos el siguiente ejercicio de manera individual 8 minutos!!
- 25. EJERCICIO PROPUESTO Nº1 Se conoce por experiencias anteriores que el 20% de las plantas de limonero son atacadas por cierta plaga. Si se desea llevar a cabo un experimento con 10 plantas. Calcule la probabilidad de que: a) 5 plantas sean atacadas? b) 3 o más plantas sean atacadas?
- 26. EJERCICIO PROPUESTO Nº2 A cierta fábrica de laminados de madera, llegan por término medio 3 clientes cada 2 horas. Suponiendo que las llegadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson. Calcule La probabilidad de que en una mañana de trabajo (de 9:30 a 13:30 horas) lleguen más de 2 clientes.
- 27. CIERRE: ¿Qué hemos aprendido? 1. ¿Cuál es la diferencia entre una variable aleatoria discreta y variable aleatoria con7nua? 2. ¿Qué diferencias existe entre una distribución Binomial y Poisson?