Ejebn

Universidad Tecnológica de
Torreón.

Ejemplos de Distribuciones de
probabilidad.
-Bernoulli
- Binomial
-Poisson
-Normal
-Gamma
-T de student

Lizbeth Martinez.
2A

-BERNOULLI

1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9 ¿Cuál es la
probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 = 0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, para así poder darles un
premio, pero la maestra los seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la
probabilidad de que salga el alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero 16.

P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un automóvil, al momento de
sacar alguno de ellos ¿que probabilidad hay para que pueda salir
premiado el boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 = 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno numero 342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 = 341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p) se
considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale
(1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es
decir, salir cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, ya que cumple todos
los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5

Distribución Binomial

Ejemplo 1:
Supongamos que se lanza un dado 50 veces y queremos la probabilidad de
que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(50, 1/6) y
la probabilidad sería P(X=20):

Ejemplo 2:

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo
de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la
novela 2 personas?

B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.¿Y cómo máximo 2?

Ejemplo 3:

Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la
misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas
actuales, la probabilidad de que una persona en estas
condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad
de que, transcurridos 30 años, vivan:

1. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

2.Al menos tres personas.

3.Exactamente dos personas.

Ejemplo 4: Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la
probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

Ejemplo 5:

La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.
Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte
exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de
que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

POISSON

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de
contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si
tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes

• n= 100

• P=0.03

• =100*0.03=3

• x=5

Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada
una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de
85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con
defectos.

• n=85

• P=0.02

• P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

• X=4

• =1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular
la probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

• n=20

• P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418

• X=3

• =3

Ejemplo4.- El 8% de los registros contables de una empresa presentan
algún problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros
¿Calcular probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

• n=40

• P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

• =3.2

• X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las personas tienen
defecto de la vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar
¿Calcular Probabilidad que existan 5 registros con problemas?

n=40

P=0.08

=10

DISTRIBUCIÓN NORMAL.

La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la
ocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide
el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con
parámetros a= nn lambda(escala) y p=n (forma). Se denota
Gamma(a,p).

Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos
físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy
utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una
consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).

Ejercicio 1
El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de
Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora
hasta la llegada del segundo paciente.
Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo
paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).
Solución:
Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a p)
a : Escala 60000
p : Forma 20000
Punto X 10000

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826
Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174
Media 0,3333
Varianza 0,0556
Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2
Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta
intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.
2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)
a : Escala 0,8100
p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000
Cola Derecha Pr [X>=k] 0,1000
Punto X 14,2429
Media 9,6420
Varianza 11,9037
Moda 8,4074
El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

T DE STUDENT

Ejemplo 1: Un fabricante de focos afirma que su producto durará un
promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar este promedio esta
persona verifica 25 focos cada mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05
y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué conclusión
deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?:

520 521 511 513 510 µ=500 h
513 522 500 521 495 n=25
496 488 500 502 512 Nc=90%
510 510 475 505 521 X=505.36
506 503 487 493 500 S=12.07

SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.

Ejemplo 2: El profesor Pérez olvida poner su despertador 3 de cada 10
días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone el
despertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase,
mientras que 2 de cada 10 días en los que olvida poner el despertador,
llega a tiempo adar su primera clase.

(a) Identiﬁca y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar
su primera clase?

Solución:

En primer lugar conviene identiﬁcar el experimento aleatorio que estamos
realizando. Este consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor
Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de
sucesos. A continuación traducimos en términos de probabilidad de los
sucesos anteriores todos los datos que nos dan en el enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por
tanto nos piden que calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema

completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de la probabilidad total,
de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha
proporcionando el enunciado, sin embargo no conocemos directamente el
valor de P(T |¯ O¯). Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se

puede escribir como: P(T¯) = + =0.69

Ejemplo 3: La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen
media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en
una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a
20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de
libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea
inferior a 20.5 mm es del 99.02%

Ejemplo 4:

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso:
0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores
hasta cruzarnos en el punto w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será
el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la
primera columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad
acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil
w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso
anterior, pero buscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

Ejemplo 5 :

Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de
tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

Ejebn

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (16)

Similar a Ejebn (20)

Más de LMartiinez (20)

Ejebn