Sce cap04 02
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Este documento trata sobre distorsión en sistemas de comunicaciones. Explica que la distorsión altera la forma de onda de una señal y puede ser lineal o no lineal. También clasifica la distorsión y describe distorsión armónica y por intermodulación. Define transmisión sin distorsión y explica sus condiciones en los dominios del tiempo y la frecuencia. Además, proporciona ejemplos de cálculo de distorsión armónica.
![Sistemas de Comunicaciones 2
Capítulo 4. Distorsión
Distorsión
Definición 1. Distorsión. Es cualquier cambio en una señal que altera su forma de onda básica (en el dominio
del tiempo) o bien, altera la relación entre sus componentes espectrales (domino de la frecuencia). La
distorsión puede ser del tipo lineal o del tipo no lineal
Definición 2. Distorsión lineal. Es la alteración de la forma de onda de la señal transmitida y se debe a la
respuesta en frecuencia no plana del medio de transmisión, que trabaja como filtro y tiende a atenuar o a
resaltar algunas frecuencias del mensaje. El efecto en telefonía es que a veces se no reconocemos la voz del
que nos habla porque se modifica su timbre.
Definición 3. Distorsión alineal. Es un tipo de distorsión no lineal y ocurre cuando un sistema, debido a su
ganancia no línea, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias múltiplo de las frecuencias ya
presente (armónicas) o bien, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias suma y diferencia de
las frecuencias ya presentes en la señal (intermodulación). Auditivamente, se escucha como un ruido
intermitente.
Transmisión sin distorsión
El estudio de un sistema que transmite sin distorsión, una señal, se realiza en el dominio del tiempo y en el
dominio de la frecuencia. Para este estudio considere el sistema de la figura 1 en el cual la señal de salida
ݕሺݐሻ se calcula como la convolución de la señal de entrada ݔሺݐሻ con la respuesta a impulso del sistema ݄ሺݐሻ,
es decir:
ݕሺݐሻ ൌ ݄ሺݐሻ ∗ ݔሺݐሻ (1)
Figura 1. Diagrama a bloque de un sistema genérico. Tal sistema se usará para explicar la
transmisión sin distorsión de las señales.
Estudio en el dominio del tiempo
En el dominio del tiempo, la señal que entrega un sistema que transmite sin distorsión deben satisfacer las
siguientes condiciones:
MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011](https://image.slidesharecdn.com/scecap0402-121020224019-phpapp01/85/Sce-cap04-02-2-320.jpg)
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Capítulo 4. Distorsión
• La magnitud de la respuesta en frecuencia es independiente de la frecuencia
• El ancho de banda del sistema que transmite sin distorsión es infinito
La ecuación (9) es la fase de la respuesta en frecuencia.
݂ܽ݁ݏሼܪሺ߱ሻሽ = −߬߱ (9)
La gráfica de la ecuación (9) puede verse en la figura 2.9. De esta figura puede notarse que el desfasamiento
que provoca el sistema en una señal que lo atraviesa es proporcional a la frecuencia.
Figura 2. Curvas de magnitud (a) y fase (b) de la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión.
Clasificación de la distorsión
La figura 3 exhibe la clasificación general de la distorsión que será tratada
Figura 3. Clasificación de la distorsión.
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Capítulo 4. Distorsión
En la ecuación 11, los términos de potencias superiores a la potencia tres tienen significados similares, el
término de la potencia cuarta produce la distorsión por cuarta armónica, el término de la quinta potencia
produce la distorsión por quinta armónica, y así sucesivamente.
Comportamiento temporal de un sistema no lineal
La figura 5.a ilustra la curva de ganancia de un sistema no lineal al cual se le alimenta un tono puro o
senoide. La salida generada por el sistema puede verse como una senoide deformada.
Comportamiento espectral de un sistema no lineal
Cuando se alimenta un tono puro a un sistema no lineal, la señal de salida es el tono deformado. El espectro
de ese tono puede verse en la figura 5.c.
Demostración del comportamiento no lineal de un amplificador con JFET
El JFET es un semiconductor con comportamiento típicamente cuadrático. La figura 6 ilustra un amplificador
JFET con autopolarización. La ecuación que describe la salida en función de la entrada es:
ଶ
ݒ௦ = ݒܣ௧ ݒܤ௧ (12)
Figura 5. Respuesta temporal de un sistema con ganancia no lineal. Observe que luego de alimentar una
senoide, el sistema entrega una senoide deforme.
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Capítulo 4. Distorsión
Medición de la distorsión por la n-ésima armónica
La distorsión que provoca por la segunda armónica se puede cuantificar en porcentaje del voltaje de la
componente fundamental de la forma que sigue:
ܸଶ°ு
% °2ܦܪൌ × 100%
ܸி
(15)
En donde
• ܸଶ°ு es el voltaje de la segunda armónica.
• ܸி es el voltaje de la componente fundamental.
De forma semejante, la distorsión por tercer armónica puede cuantificarse también en un porcentaje del
voltaje de la componente fundamental como:
ܸଷ°ு
%= °3ܦܪ × 100% (16)
ܸி
De forma general se puede cuantificar la distorsión por la ݊ − é ܽ݉݅ݏarmónica como la relación de su
voltaje al voltaje de la componente fundamental.
Medición de la distorsión armónica total
La distorsión generada por todo el contenido armónico se puede expresar a partir del teorema de Parseval
como:
%ܶ ܦܪൌ ඥሺ%°2ܦܪሻଶ + ሺ%°3ܦܪሻଶ + ⋯ (17)
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Capítulo 4. Distorsión
Primero se quita el cuadrado de la expresión trigonométrica, es decir, se aplica una identidad trigonométrica
y resulta que:
ݒ௦ = 50 250ܿݏሺ100ݐሻ + 2.5 + 2.5ܿݏሺ200ݐሻ + 2݊݁ݏሺ200ݐሻ (24)
Obsérvese que en la expresión anterior se tiene la suma ⋯ + 2.5ܿݏሺ200ݐሻ + 2݊݁ݏሺ200ݐሻ para resolver
esta situación de dos componentes en cuadratura se emplea la siguiente identidad trigonométrica
ܾ
ܽܿ ݔ݊݁ݏܾ + ܿݏൌ ඥܽଶ + ܾ ଶ ܿ ݏ൬ ݃ݐܽ − ݔ൰ (25)
ܽ
Aplicando la ecuación (23) a la ecuación (22) se puede resolver de la forma que sigue
2
ݒ௦ ൌ 52.5 + 25ܿݏሺ100ݐሻ + ඥ2.5ଶ + 2ଶ ܿ ݏ൬200݃ݐܽ − ݐ ൰ (26)
2.5
Así que la distorsión armónica total se calcula como:
√2.5ଶ + 2ଶ
%ܶ ܦܪൌ × 100% ൌ 12.806%
25 (27)
Intermodulación
Cuando una señal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen componentes espectrales nuevas que no
son armónicas de esa señal. Estas nuevas componentes provocan que la señal, a la salida del circuito,
aparezca deformada.
Definición 5. La intermodulación es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia
no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son suma y resta de las
frecuencias de las componentes espectrales ya presentes en la señal.
Ecuaciones para el comportamiento no lineal y cuadrático de un amlificador
Considere nuevamente el circuito amplificador con JFET de la figura 5. Tal amplificador tiene una curva de
ganancia característicamente cuadrática y que es modelada por la ecuación (12). Si ahora la entrada es la
suma de dos tonos puros, es decir:
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Capítulo 4. Distorsión
Si se sustituyen la pareja de ecuaciones (29) en la ecuación (30) se logra
݀ܽݖݑݎܿ ݐܿݑ݀ݎൌ ܸ ܸ cos൫߱௫ − ߱௬ ൯ ܸ ܸ − ݐcos൫߱௫ + ߱௬ ൯ݐ
௫ ௬ ௫ ௬ (31)
Donde puede observarse que:
• ܸ ܸ cos൫߱௫ − ߱௬ ൯ :ݐes una componente espectral en frecuencia diferencia
௫ ௬
• ܸ ܸ cos൫߱௫ ߱௬ ൯ :ݐes una componente espectral en frecuencia suma
௫ ௬
Ejemplo:
Si dos senoides de frecuencias 1ሾݖܪܭሿ y de 20ሾݖܪܭሿ ingresan a un amplificador de ganancia cuadrática,
calcule cuantas componentes espectrales sale y a cuales frecuencias.
Cada senoide de entrada genera una componente de directa, su propia frecuencia y una segunda armónica.
Además, el producto cruzado genera dos componentes espectrales a frecuencias suma y diferencia. Así que
a la salida del sistema se tienen 7 componentes espectrales en las siguientes frecuencias:
Para la senoide de 1ሾ݇ݖܪሿ se tiene
ܦܥ
1ሾ݇ݖܪሿ
2ሾݖܪܭሿ
La senoide de 20ሾ݇ݖܪሿ genera (se repite la componente de directa)
ܦܥ
20ሾ݇ݖܪሿ
40ሾݖܪܭሿ
El producto cruzado genera
19ሾ݇ݖܪሿ
21ሾ݇ݖܪሿ
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![Bibliografía
[Malvino] Malvino; Albert, "Principios de eletrónica" McGraw Hill, 7a edición](https://image.slidesharecdn.com/scecap0402-121020224019-phpapp01/85/Sce-cap04-02-13-320.jpg)
Sce cap04 02
- 1. Distorsión Objetivo • El alumno entenderá cuales son las condiciones de un medio para transmisión sin distorsión • El alumno aprenderá a clasificar y medir la distorsión. Contenido • Distorsión • Transmisión sin distorsión • Clasificación de la distorsión • Distorsión armónica • Distorsión por intermodulación
- 2. Sistemas de Comunicaciones 2 Capítulo 4. Distorsión Distorsión Definición 1. Distorsión. Es cualquier cambio en una señal que altera su forma de onda básica (en el dominio del tiempo) o bien, altera la relación entre sus componentes espectrales (domino de la frecuencia). La distorsión puede ser del tipo lineal o del tipo no lineal Definición 2. Distorsión lineal. Es la alteración de la forma de onda de la señal transmitida y se debe a la respuesta en frecuencia no plana del medio de transmisión, que trabaja como filtro y tiende a atenuar o a resaltar algunas frecuencias del mensaje. El efecto en telefonía es que a veces se no reconocemos la voz del que nos habla porque se modifica su timbre. Definición 3. Distorsión alineal. Es un tipo de distorsión no lineal y ocurre cuando un sistema, debido a su ganancia no línea, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias múltiplo de las frecuencias ya presente (armónicas) o bien, genera nuevas componentes espectrales en frecuencias suma y diferencia de las frecuencias ya presentes en la señal (intermodulación). Auditivamente, se escucha como un ruido intermitente. Transmisión sin distorsión El estudio de un sistema que transmite sin distorsión, una señal, se realiza en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia. Para este estudio considere el sistema de la figura 1 en el cual la señal de salida ݕሺݐሻ se calcula como la convolución de la señal de entrada ݔሺݐሻ con la respuesta a impulso del sistema ݄ሺݐሻ, es decir: ݕሺݐሻ ൌ ݄ሺݐሻ ∗ ݔሺݐሻ (1) Figura 1. Diagrama a bloque de un sistema genérico. Tal sistema se usará para explicar la transmisión sin distorsión de las señales. Estudio en el dominio del tiempo En el dominio del tiempo, la señal que entrega un sistema que transmite sin distorsión deben satisfacer las siguientes condiciones: MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 3. 1. La salida es una réplica de la entrada. ݕሺݐሻ ൌ ݔሺݐሻ (2) 2. La salida puede estar amplificada o atenuada respecto de la entrada. ݕሺݐሻ ൌ ݇ݔሺݐሻ (3) 3. La salida puede estar retrasada en tiempo respecto de la entrada. ݕሺݐሻ ൌ ݇ݔሺ߬ − ݐሻ (4) Estudio en el dominio de la frecuencia Se busca conocer la respuesta en frecuencia del sistema que transmite sin distorsión. Para tal fin, iguale las ecuaciones (1) y (4): ݄ሺݐሻ ∗ ݔሺݐሻ = ݇ݔሺ߬ − ݐሻ (5) Se aplica ahora la transformada de Fourier a la ecuación (5). ܪሺ߱ሻܺሺ߱ሻ = ܺܭሺ߱ሻ݁ ିఠఛ (6) Si ahora se retira la señal de entrada, la cual es común a ambos lados del signo igual, se logra (7) ܪሺ߱ሻ = ି ݁ܭఠఛ La ecuación (7) representa la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión una señal. A este respecto, dado que la ecuación de respuesta en frecuencia es un complejo, se hace necesario un estudio en magnitud y fase La ecuación (8) es la magnitud de la respuesta en frecuencia: ‖ܪሺ߱ሻ‖ = ܭ (8) La gráfica de la ecuación (8) puede verse en la figura 2.a. De esta figura puede notarse lo siguiente:
- 4. Sistemas de Comunicaciones 4 Capítulo 4. Distorsión • La magnitud de la respuesta en frecuencia es independiente de la frecuencia • El ancho de banda del sistema que transmite sin distorsión es infinito La ecuación (9) es la fase de la respuesta en frecuencia. ݂ܽ݁ݏሼܪሺ߱ሻሽ = −߬߱ (9) La gráfica de la ecuación (9) puede verse en la figura 2.9. De esta figura puede notarse que el desfasamiento que provoca el sistema en una señal que lo atraviesa es proporcional a la frecuencia. Figura 2. Curvas de magnitud (a) y fase (b) de la respuesta en frecuencia de un sistema que transmite sin distorsión. Clasificación de la distorsión La figura 3 exhibe la clasificación general de la distorsión que será tratada Figura 3. Clasificación de la distorsión. MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 5. Distorsión armónica Cuando una señal senoidal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen armónicas de esa señal, mismas que provocan que tal señal, a la salida del circuito, aparezca deformada. Definición 4. La distorsión armónica es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son múltiplo (armónicas) de las frecuencias de otras componentes espectrales ya presentes en la señal. La ecuación temporal que describe la distorsión alineal Considere la curva de ganancia lineal de la figura 4.a. Esta curva puede ser descrita por la ecuación siguiente ݒ௦ = ݒܣ௧ (10) Considere ahora la curva de ganancia no lineal de la figura 4.b. Esta curva puede ser descrita por la siguiente ecuación ଶ ଷ ݒ௦ = ݒܣ௧ ݒܤ௧ ݒܥ௧ ⋯ (11) Donde los términos de la ecuación 11 tienen los siguientes significados: • ݒܣ௧ : Es el término lineal, la señal de entrada es amplificada por un factor .ܣ ଶ • ݒܤ௧ : Es el término cuadrático, responsable de la distorsión por segunda armónica. ଷ • ݒܥ௧ : Es el término cúbico, responsable de la distorsión por tercera armónica. • Y así sucesivamente. Figura 4. (a) Curva de ganancia lineal. (b) Curva de ganancia no lineal.
- 6. Sistemas de Comunicaciones 6 Capítulo 4. Distorsión En la ecuación 11, los términos de potencias superiores a la potencia tres tienen significados similares, el término de la potencia cuarta produce la distorsión por cuarta armónica, el término de la quinta potencia produce la distorsión por quinta armónica, y así sucesivamente. Comportamiento temporal de un sistema no lineal La figura 5.a ilustra la curva de ganancia de un sistema no lineal al cual se le alimenta un tono puro o senoide. La salida generada por el sistema puede verse como una senoide deformada. Comportamiento espectral de un sistema no lineal Cuando se alimenta un tono puro a un sistema no lineal, la señal de salida es el tono deformado. El espectro de ese tono puede verse en la figura 5.c. Demostración del comportamiento no lineal de un amplificador con JFET El JFET es un semiconductor con comportamiento típicamente cuadrático. La figura 6 ilustra un amplificador JFET con autopolarización. La ecuación que describe la salida en función de la entrada es: ଶ ݒ௦ = ݒܣ௧ ݒܤ௧ (12) Figura 5. Respuesta temporal de un sistema con ganancia no lineal. Observe que luego de alimentar una senoide, el sistema entrega una senoide deforme. MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 7. VCC 5V VCC R1 1k 1 C2 Q1A 100nF C1 2 100nF 2N5454 R2 1k 0 0 Figura 6. Circuito amplificador con JFET. Este circuito provoca típicamente un curva de ganancia cuadrática. Si la señal de entrada es un tono puro descrito como: ݒ௧ = ܸ ݊݁ݏሺ߱ ݐሻ (13) Sustituyamos ahora la ecuación de entrada (13) en la ecuación característica (12) y tendremos la siguiente señal: ଶ ଶ ܸܤ ܸܤ ܸ௦ = ܸܣ ݊݁ݏሺ߱ ݐሻ − ܿݏሺ2߱ ݐሻ (14) 2 2 Donde los términos de la señal que resulta significan: ଶ • ܸܤ ⁄2 es una componente de directa. • ܸܣ ݊݁ݏሺ߱ ݐሻ es la componente fundamental a frecuencia ߱ . ଶ ሺܸܤ ⁄2ሻܿݏሺ2߱ ݐሻ es la componente por segunda armónica (a frecuencia 2߱ ). • Utilidad de la distorsión armónica Los circuitos que producen distorsión armónica con todo propósito se emplean como: • Multiplicadores de frecuencia • Circuitos sintonizadores • Sintetizadores de frecuencias • Generadores de funciones de alta frecuencia
- 8. Sistemas de Comunicaciones 8 Capítulo 4. Distorsión Medición de la distorsión por la n-ésima armónica La distorsión que provoca por la segunda armónica se puede cuantificar en porcentaje del voltaje de la componente fundamental de la forma que sigue: ܸଶ°ு % °2ܦܪൌ × 100% ܸி (15) En donde • ܸଶ°ு es el voltaje de la segunda armónica. • ܸி es el voltaje de la componente fundamental. De forma semejante, la distorsión por tercer armónica puede cuantificarse también en un porcentaje del voltaje de la componente fundamental como: ܸଷ°ு %= °3ܦܪ × 100% (16) ܸி De forma general se puede cuantificar la distorsión por la ݊ − é ܽ݉݅ݏarmónica como la relación de su voltaje al voltaje de la componente fundamental. Medición de la distorsión armónica total La distorsión generada por todo el contenido armónico se puede expresar a partir del teorema de Parseval como: %ܶ ܦܪൌ ඥሺ%°2ܦܪሻଶ + ሺ%°3ܦܪሻଶ + ⋯ (17) MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 9. Ejemplos de distorsión armónica Primer ejemplo: La curva característica de transferencia de un amplificador es: ଶ ݒ௦ = 100 50ݒ௧ ݒ௧ (18) Si la señal de entrada es: ݒ௧ = 5݊݁ݏሺ100ݐሻ (19) Calcule el %ܶܦܪ Sustituyendo la entrada en la ecuación de transferencia del amplificador resulta que salida es: ݒ௦ = 112.5 + 250݊݁ݏሺ100ݐሻ − 12.5ܿݏሺ200ݐሻ (20) Entonces el %ܶ ܦܪse calcula como: 12.5 %ܶ ܦܪൌ × 100% ൌ 5% (21) 250 Segundo ejemplo La curva característica de salida de un amplificador es: ݒ௦ ൌ 4 + 200ܿݏሺ100ݐሻ + 10ܿݏሺ150ݐሻ (22) Calcule el %ܶܦܪ Dado que la ecuación representa una señal con dos componentes espectrales cuyas frecuencias no so múltiplo una de la otra, resulta que %ܶ0 = ܦܪ Tercer ejemplo: La señal de salida de un amplificador ha sido cualificada mediante la siguiente ecuación ݒ௦ ൌ 50 + 250ܿݏሺ100ݐሻ + 5ܿ ݏଶ ሺ200ݐሻ + 2݊݁ݏሺ200ݐሻ (23) Calcule el %ܶܦܪ
- 10. Sistemas de Comunicaciones 10 Capítulo 4. Distorsión Primero se quita el cuadrado de la expresión trigonométrica, es decir, se aplica una identidad trigonométrica y resulta que: ݒ௦ = 50 250ܿݏሺ100ݐሻ + 2.5 + 2.5ܿݏሺ200ݐሻ + 2݊݁ݏሺ200ݐሻ (24) Obsérvese que en la expresión anterior se tiene la suma ⋯ + 2.5ܿݏሺ200ݐሻ + 2݊݁ݏሺ200ݐሻ para resolver esta situación de dos componentes en cuadratura se emplea la siguiente identidad trigonométrica ܾ ܽܿ ݔ݊݁ݏܾ + ܿݏൌ ඥܽଶ + ܾ ଶ ܿ ݏ൬ ݃ݐܽ − ݔ൰ (25) ܽ Aplicando la ecuación (23) a la ecuación (22) se puede resolver de la forma que sigue 2 ݒ௦ ൌ 52.5 + 25ܿݏሺ100ݐሻ + ඥ2.5ଶ + 2ଶ ܿ ݏ൬200݃ݐܽ − ݐ ൰ (26) 2.5 Así que la distorsión armónica total se calcula como: √2.5ଶ + 2ଶ %ܶ ܦܪൌ × 100% ൌ 12.806% 25 (27) Intermodulación Cuando una señal excita un circuito no lineal, en la salida aparecen componentes espectrales nuevas que no son armónicas de esa señal. Estas nuevas componentes provocan que la señal, a la salida del circuito, aparezca deformada. Definición 5. La intermodulación es la alteración de la forma de onda de una señal debido a que la ganancia no lineal del sistema genera nuevas componentes espectrales en frecuencias que son suma y resta de las frecuencias de las componentes espectrales ya presentes en la señal. Ecuaciones para el comportamiento no lineal y cuadrático de un amlificador Considere nuevamente el circuito amplificador con JFET de la figura 5. Tal amplificador tiene una curva de ganancia característicamente cuadrática y que es modelada por la ecuación (12). Si ahora la entrada es la suma de dos tonos puros, es decir: MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 11. ݒ௧ = ݒ௫ ݒ௬ (28) Donde ݒ௫ = ܸ ݊݁ݏሺ߱௫ ݐሻ ௫ (29) ݒ௬ = ܸ ݊݁ݏ൫߱௬ ݐ൯ ௬ Sustituyendo la ecuación 28 en la ecuación 12 se logra ଶ ݒ௦ = ܣ൫ݒ௫ ݒ௬ ൯ ܤ൫ݒ௫ ݒ௬ ൯ (30) Desarrollando la ecuación (30) y agrupando términos se logra ݒ௦ = ሺݒܣ௫ ݒܤ௫ ሻ ൫ݒܣ௬ ݒܤ௬ ൯ 2ݒܤ௫ ݒ௬ ଶ ଶ (29) Donde • ሺݒܣ௫ + ݒܤ௫ ሻ: es el termino correspondiente a la salida correspondiente a la entrada ݒ௫ ଶ • ൫ݒܣ௬ + ݒܤ௬ ൯: es el término correspondiente la salida correspondiente a la entrada ݒ௬ ଶ • 2ݒܤ௫ ݒ௬ : es término se conoce como producto cruzado. Los dos primeros términos de la ecuación (29) indican un comportamiento lineal ya que cada entrada genera su propia salida: el efecto de estos términos ya ha sido estudiado. El tercer término, conocido como producto cruzado, corresponde a un comportamiento no lineal y es el objeto de interés del presente segmento. El producto cruzado Es el producto cruzado que apareció en la ecuación 29 y corresponde a: ݀ܽݖݑݎܿ ݐܿݑ݀ݎൌ ݒ௫ ݒ௬ (30)
- 12. Sistemas de Comunicaciones 12 Capítulo 4. Distorsión Si se sustituyen la pareja de ecuaciones (29) en la ecuación (30) se logra ݀ܽݖݑݎܿ ݐܿݑ݀ݎൌ ܸ ܸ cos൫߱௫ − ߱௬ ൯ ܸ ܸ − ݐcos൫߱௫ + ߱௬ ൯ݐ ௫ ௬ ௫ ௬ (31) Donde puede observarse que: • ܸ ܸ cos൫߱௫ − ߱௬ ൯ :ݐes una componente espectral en frecuencia diferencia ௫ ௬ • ܸ ܸ cos൫߱௫ ߱௬ ൯ :ݐes una componente espectral en frecuencia suma ௫ ௬ Ejemplo: Si dos senoides de frecuencias 1ሾݖܪܭሿ y de 20ሾݖܪܭሿ ingresan a un amplificador de ganancia cuadrática, calcule cuantas componentes espectrales sale y a cuales frecuencias. Cada senoide de entrada genera una componente de directa, su propia frecuencia y una segunda armónica. Además, el producto cruzado genera dos componentes espectrales a frecuencias suma y diferencia. Así que a la salida del sistema se tienen 7 componentes espectrales en las siguientes frecuencias: Para la senoide de 1ሾ݇ݖܪሿ se tiene ܦܥ 1ሾ݇ݖܪሿ 2ሾݖܪܭሿ La senoide de 20ሾ݇ݖܪሿ genera (se repite la componente de directa) ܦܥ 20ሾ݇ݖܪሿ 40ሾݖܪܭሿ El producto cruzado genera 19ሾ݇ݖܪሿ 21ሾ݇ݖܪሿ MI. Mario Alfredo Ibarra Carrillo [Escribir texto] Año 2011
- 13. Bibliografía [Malvino] Malvino; Albert, "Principios de eletrónica" McGraw Hill, 7a edición