Simetricas Y Transitivas
- 1. 2.2.3 Simétricas y transitivas
- 2. 2.2.3 Simétricas y transitivasSimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento, el segundo también se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) (x,y) ∈ R ⇒ (y,x) ∈ RAntisimétrica: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento diferente, el segundo no se relaciona con el primero, con símbolos: (∀ x)(∀ y) ((x,y) ∈ R ^ x ≠ y) ⇒ (y,x) ∉ R)
- 3. 2.2.3 Simétricas y transitivasTransitiva: Si cuando un elemento está relacionado con un segundo elemento y el segundo está relacionado con un tercero, entonces el primero está relacionado con el tercero: (∀ x)(∀y)(∀z)((x,y) ∈R ^ (y,z) ∈R) -> (x,z) ∈R).Como podemos ver para que una relación sea simétrica, siempre que un par está en R el par inverso debe también estar. sin embargo en la antisimétrica si un par está en la relación el par inverso n puede estar.Nota: Vemos que la definición de antisimétrica se indica que el par inverso no puede estar cuando los elementos son distintos por razones obvias.
- 4. 2.2.3 Simétricas y transitivasEjemplos: Analizaremos en base a lo anterior.A = {a,b,c,d,e}R1 = (a,a),(b,b),(a,c),(b,c),(c,a),(d,d)R2 = (a,a),(a,d),(c,b),(d,a),(c,e),(e,e))R3 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(b,c),(b,a))R4 = (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(b,e),(c,e),(b,d),(d,a),(e,e)R5 = (a,c),(a,e),(e,c),(b,c)R6 = (a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(a,e),(b,c),(c,b),(e,a)R7 = (a,b),(b,d),(c,a),(d,e),(e,c),(b,c),(b,a))
- 5. 2.2.3 Simétricas y transitivasTeorema Una relación R en un conjunto es simétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal son iguales.Teorema Una relación R en un conjunto es antisimétrica si y sólo si los elementos opuestos con respecto a la diagonal principal no pueden ser iguales a 1; esto es, puede aparecer 0 con 1 o pueden aparecer ceros.De las relaciones anteriores R6 es simétrica. R3, R5 son antisimétricas y R3, R6 y R6 son transitivas.
- 6. 2.2.3 Simétricas y transitivas