Sistema No Lineal_Print.pdf

Solución de sistemas no lineales
Alessandri Canchoa Q.
Setiembre 2020

Contents
0.1 Solución numérica de sistemas de ecuaciones no lineales . . . . . 1
0.1.1 Método de punto …jo para sistemas no lineales con dos
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 Caso general del método de punto …jo . . . . . . . . . . . 6
0.1.3 El método de Newton para sistemas no lineales con dos
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.1.4 Caso general del Método de Newton . . . . . . . . . . . . 23
0.1 Solución numérica de sistemas de ecuaciones
no lineales
0.1.1 Método de punto …jo para sistemas no lineales con
dos variables
El problema es determinar las soluciones del siguiente sistema no lineal
f1 (x1; x2) = 0;
f2 (x1; x2) = 0;
(1)
donde fk : D R2
! R; k = 1; 2 son funciones.
Denotando,
f (x) =
f1 (x)
f2 (x)
; x =
x1
x2
; 0 =
0
0
;
se tiene que f : D R2
! R2
es una función de…nida por las funciones compo-
nentes fk; k = 1; 2. Se dice que un punto x 2 D es un cero de f si f(x ) = 0.
Luego, solucionar el problema (1) es equivalente a encontrar los ceros de f:
Consideramos indistintamente fk (x) = fk
x1
x2
o fk xT
= fk (x1; x2).
f1 (x1; x2) = 0;
f2 (x1; x2) = 0;
1

Para solucionar un sistema de la forma (1) por el método de punto …jo se
transforma en un sistema equivalente de la forma
x1 = G1 (x1; x2) ;
x2 = G2 (x1; x2) ;
(2)
Al inicio se debe estimar un punto inicial x0
= x0
1; x0
2
T
: Luego, se con-
struyen las iteraciones del punto …jo, dados por
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2 ;
xk+1
2 = G2 xk
1; xk
2 ;
; k = 0; 1; 2; : (3)
Se debe notar que (2) se puede expresar como x = G(x) donde G : e
D
R2
! R2
es una función y
x =
x1
x2
; G (x) =
G1 (x)
G2 (x)
;
luego solucionar (2)) es equivalente a encontrar los puntos …jos de G, esto es, a
buscar los puntos x tales que x = G(x ). Las iteraciones (3) son equivalentes
a xk+1
= G(xk
); k = 0; 1; 2; :
Método de punto …jo con desplazamientos sucesivos
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2 ;
xk+1
2 = G2 xk+1
1 ; xk
2 ;
; k = 0; 1; 2; (4)
Teorema. (Iteración de punto …jo- Caso bidimensional) Sean las funciones
G1; G2 y sus derivadas parciales continuas en una región que contiene un punto
…jo (x1; x2)
T
de G =
G1
G2
. Si x
(0)
1 ; x
(0)
2
T
está su…cientemente cerca de
(x1; x2)
T
y
@G1
@x1
(x1; x2) +
@G1
@x2
(x1; x2) < 1;
@G2
@x1
(x1; x2) +
@G2
@x2
(x1; x2) < 1;
entonces las iteraciones de punto …jo
x
(k+1)
1 = G1 x
(k)
1 ; x
(k)
2 ;
x
(k+1)
2 = G2 x
(k)
1 ; x
(k)
2 ;
k = 0; 1; 2; 3;
converge al punto …jo (x1; x2).
2

Ejemplo Determine una solución del siguiente sistema no lineal con una
tolerancia de 10 14
y un error relativo aproximado menor a 10 14
.
x1 2x2
2 = 0 (5)
x1x2 1 = 0
a) Aplicando el método de punto …jo,
b) Aplicando el método de punto …jo tipo Gauss-Seidel (o con desplazamien-
tos simultaneos)
Solución De…nimos la función
F (x1; x2) =
f1 (x1; x2)
f2 (x1; x2)
=
x1 2x2
2
x1x2 1
(6)
De (5) se obtiene (por ejemplo)
x1 2x2
2 = 0 =) x2 =
p
x1=2
x1x2 1 = 0 =) x1 = 1=x2
x1 = 1=x2 (7)
x2 =
p
x1=2
De…nimos la función
G (x1x3) =
G1 (x1; x2)
G2 (x1; x2)
=
1=x2
p
x1=2
(8)
a) Iteraciones de punto …jo
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2 ;
xk+1
2 = G2 xk
1; xk
2 ;
k = 0; 1; 2; :
o
xk+1
1 = 1=xk
2;
xk+1
2 =
p
xk
1=2;
k = 0; 1; 2; :
Gra…cando para obtener un punto inicial:
ezplot(’
x1-2*x2^2’
)% Grá…ca: x1-2*x2^2 = 0
hold on % Para plotear sobre la última grá…ca
ezplot(’
x1*x2-1’
) % Grá…ca: x1*x2-1 = 0
ezplot(’
x1*x2’
) % Grá…ca: x1*x2 = 0 (los ejes coordenados )
axis equal
shg % Visualiza la grá…ca
3

Se obtiene el punto inicial: x0
=
x0
1
x0
2
=
1:2691
0:79148
:
Función en Octave/ MATLAB
function [k, xk] = punto_…jo(f, g, x0, tol, err)
% Método de punto …jo
% Autor: Alessandri Canchoa Q. 16/09/2020
% Entrada f, g : funciones
% x0 : Punto incial.
% tol : Tolerancia
% err : Cota del error relativo aproximado.
% Salida xk : Raíz aprox. de f o punto …jo de g
k = 0; xk = x0;
PARAR = 0;
while ~PARAR
xk1 = g(xk); % x(k+1) = g(x(k))
PARAR = norm(f(xk1)) < tol & norm(xk1-xk)/(norm(xk1)+eps) <
err;
4

k = k+1; xk = xk1;
end
end
Corrida en Octave/MATLAB:
f =@(x) [x(1)-2*x(2)^2 ; x(1)*x(2)-1];
g =@(x) [ 1/x(2); sqrt(x(1)/2)];
x0 = [1.2691,0.79148]’
; tol = 1e-14; err = 1e-14 ;
[k, xk] = punto_…jo(f, g, x0, tol, err)
k = 81
xk =
1.259921049894876e+00
7.937005259841025e-01
Se obtiene la aproximación buscada
x =
x1
x2
:=
1:259921049894876
0:7937005259841025
:
b) De (8) se tiene
G (x1; x2) =
G1 (x1; x2)
G2 (x1; x2)
=
1=x2
p
x1=2
(9)
Por (4) se obtienen las iteraciones de punto …jo con desplazamientos sucesivos
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2 ;
xk+1
2 = G2 xk+1
1 ; xk
2 ;
k = 0; 1; 2; 3
o
xk+1
1 = 1=xk
2 (10)
xk+1
2 =
q
xk+1
1 =2
donde k = 0; 1; 2; :
function [k, xk] = punto_…joGS(f, g, x0,tol,err)
% Método de punto …jo con desplazamientos sucesivos
% o de tipo Gauss - Seidel
% Método de punto …jo
% Entrada f, g : funciones
% x0 : Punto incial.
% tol : Tolerancia
% err : Cota del error relativo aproximado.
% Salida xk : Raíz aprox. de f o punto …jo de g
n=length(x0);
5

k=0; xk =x0; xk1=xk;
PARAR = 0;
while ~PARAR
for j=1:n
xx = g(xk1);
xk1(j)=xx(j);
end
PARAR = norm(xk1-xk)/(norm(xk1)+eps)< err & norm(f(xk1))< tol;
k = k+1; xk = xk1;
end
end
Corrida en Octave/MATLAB:
f =@(x) [x(1)-2*x(2)^2 ; x(1)*x(2)-1];
g =@(x) [ 1/x(2); sqrt(x(1)/2)];
x0 = [1.278, 0.7822]’
; tol = 1e-14; err = 1e-14 ;
[k, xk] = punto_…joGS(f, g, x0,tol,err)
xk =
1.259921049894877
0.7937005259841011
Se obtiene la aproximación
x =
x1
x2
:=
1:259921049894877
0:7937005259841011
:
Para solucionar el mismo problema, se han requerido 43 iteraciones de punto
…jo con desplazamientos sucesivos, mientras que con el método de punto …jo se
han requerido 83 iteraciones.
0.1.2 Caso general del método de punto …jo
El problema es determinar las soluciones del siguiente sistema no lineal
f1 (x1; x2; ; xn) = 0;
f2 (x1; x2; ; xn) = 0;
.
.
.
fn (x1; x2; ; xn) = 0:
(11)
donde fk : D Rn
! R; k = 1; 2; ; n son funciones.
Denotando,
f (x) =
0
B
B
B
@
f1 (x)
f2 (x)
.
.
.
fn (x)
1
C
C
C
A
; x =
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
; 0 =
0
B
B
B
@
0
0
.
.
.
0
1
C
C
C
A
;
6

se tiene que f : D Rn
! Rn
es una función de…nida por las funciones com-
ponentes fk; k = 1; 2; ; n. Se dice que un punto x 2 D es un cero de f si
f(x ) = 0. Luego, solucionar el problema (11) es equivalente a encontrar los
ceros de f:
Consideramos indistintamente fk (x) o fk xT
= fk (x1; x2; ; xn).
Método de Punto Fijo multivariable
Para solucionar un sistema de la forma (1) por el método de punto …jo se
transforma en un sistema equivalente de la forma
x1 = G1 (x1; x2; ; xn) ;
x2 = G2 (x1; x2; ; xn) ;
.
.
.
xn = Gn (x1; x2; ; xn) :
(12)
Al inicio se debe estimar un punto inicial x0
= x0
1; x0
2; ; x0
n
T
: Luego, se
construyen las iteraciones del punto …jo, dados por
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2; ; xk
n ;
xk+1
2 = G2 xk
1; xk
2; ; xk
n ;
.
.
.
xk+1
n = Gn xk
1; xk
2; ; xk
n ;
; k = 0; 1; 2; (13)
Se debe notar que (2) se puede expresar como x = G(x) donde G : e
D
Rn
! Rn
es una función y
x =
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
; G (x) =
0
B
B
B
@
G1 (x)
G2 (x)
.
.
.
Gn (x)
1
C
C
C
A
;
luego solucionar (2) es equivalente a encontrar los puntos …jos de G, esto es, a
buscar los puntos x tales que x = G(x ). Las iteraciones (3) son equivalentes
a xk+1
= G(xk
); k = 0; 1; 2; :
Método de Punto Fijo con desplazamientos sucesivos
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2; xk
3; ; xk
n ;
xk+1
2 = G2 xk+1
1 ; xk
2; xk
3; ; xk
n ;
xk+1
3 = G2 xk+1
1 ; xk+1
2 ; xk
3; ; xk
n ;
.
.
.
xk+1
n = Gn xk+1
1 ; xk+1
2 ; xk+1
3 ; ; xk+1
n 1; xk
n ;
; k = 0; 1; 2; (4)
7

Teorema. (Iteración de punto …jo- Caso tridimensional) Sean las fun-
ciones G1; G2; G3 y sus derivadas parciales continuas en una región que con-
tiene un punto …jo (x1; x2; x3)
T
. Si x0
1; x0
2; x0
3
T
está su…cientemente cerca de
(x1; x2; x3)
T
y
@G1
@x1
(x1; x2; x3) +
@G1
@x2
(x1; x2; x3) +
@G1
@x3
(x1; x2; x3) < 1;
@G2
@x1
(x1; x2; x3) +
@G2
@x2
(x1; x2; x3) +
@G2
@x3
(x1; x2; x3) < 1;
@G3
@x1
(x1; x2; x3) +
@G3
@x2
(x1; x2; x3) +
@G3
@x3
(x1; x2; x3) < 1;
entonces las iteraciones de punto …jo
xk+1
1 = G1 xk
1; xk
2; xk
3 ;
xk+1
2 = G2 xk
1; xk
2; xk
3 ;
xk+1
3 = G3 xk
1; xk
2; xk
3 ;
k = 0; 1; 2; 3;
converge al punto …jo (x1; x2; x3).
Ejemplo Consideremos el sistema no lineal
3x1 cos (x2x3)
1
2
= 0
x2
1 81 (x2 + 0:1)
2
+ sen x3 + 1:06 = 0
e x1x2
+ 20x3 +
10 3
3
= 0
((*))
Solución Despejando x1; x2; x3; de cualquiera de las ecuaciones, por ejem-
plo, se obtiene
x1 =
1
3
cos (x2x3) +
1
6
x2 =
1
9
p
x2
1 + sen x3 + 1:06 0:1
x3 =
1
20
e x1x2
10 3
60
Se tienen las iteraciones del punto …jo
xk+1
1 =
1
3
cos xk
2xk
3 +
1
6
xk+1
2 =
1
9
q
xk
1
2
+ sen xk
3 + 1:06 0:1
xk+1
3 =
1
20
e xk
1 xk
2
10 3
60
; k = 0; 1; 2;
NOTA Para una implementación computacional de este método se debe
expresar en su forma vectorial, para lo cual se debe reconocer las funciones f; g
y la variable x. En el problema las funciones f; G : R3
! R3
están de…nidas por
8

f(x1; x2; x3) =
0
B
B
B
@
3x1 cos (x2x3)
1
2
x2
1 81 (x2 + 0:1)
2
+ sen x3 + 1:06
e x1x2
+ 20x3 +
10 3
3
1
C
C
C
A
;
G(x1; x2; x3) =
0
B
B
B
B
@
1
3
cos (x2x3) +
1
6
1
9
p
x2
1 + sen x3 + 1:06 0:1
1
20
e x1x2
10 3
60
1
C
C
C
C
A
; x =
0
@
x1
x2
x3
1
A
Se debe resolver el problema de punto …jo: Buscar el punto …jo de G o la
solución de
x = G(x);
Las iteraciones de punto …jo, es
xk+1
= G(xk
); k = 0; 1; 2; 3;
Para correr el programa :
f = @(x) [3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;
x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06
exp(-x(1)*x(2))+ 20*x(3)+(10*pi-3)/3];
g = @(x) [(1/3)*cos(x(2)*x(3))+1/6
(1/9)*sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06 )-0.1
-exp(-x(1)*x(2))/20-(10*pi-3)/60 ];
format long
x0 = [0.1, 0.1 -0.1]’
; tol = 1e-14; err=1e-13;
[k, xk] = punto_…jo(f, g, x0,tol,err)
k = 11
xk =
5.000000000000000e-01
2.775557561562891e-17
-5.235987755982988e-01
En 11 iteraciones se obtiene
x1 = 0:500000000000000
x2 = 0:000000000000000
x3 = 0:523598775598299:
Se tienen las iteraciones del punto …jo con desplazamientos o del tipo Gauss
- Seidel
9

xk+1
1 =
1
3
cos xk
2xk
3 +
1
6
xk+1
2 =
1
9
q
xk+1
1
2
+ sen xk
3 + 1:06 0:1
xk+1
3 =
1
20
e xk+1
1 xk+1
2
10 3
60
; k = 0; 1; 2;
Para correr el programa :
f = @(x) [3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;
x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06
exp(-x(1)*x(2))+ 20*x(3)+(10*pi-3)/3];
g = @(x) [(1/3)*cos(x(2)*x(3))+1/6
(1/9)*sqrt(x(1)^2+sin(x(3))+1.06 )-0.1
-exp(-x(1)*x(2))/20-(10*pi-3)/60 ];
format long g
x0 = [0.1, 0.1 -0.1]’
; tol = 1e-14; err=1e-13;
[k, xk] = punto_…joGS(f, g, x0,tol,err)
k = 6
xk =
0.5
8.326672684688674e-17
-0.5235987755982988
En 6 iteraciones se obtiene
x1 = 0:500000000000000
x2 = 0:000000000000000
x3 = 0:5235987755982988:
0.1.3 El método de Newton para sistemas no lineales con
dos variables
Para determinar las soluciones del siguiente sistema no lineal
f1 (x1; x2) = 0;
f2 (x1; x2) = 0;
(14)
donde fk : D Rn
! R; k = 1; 2 son funciones.
Denotando
f (x) =
f1 (x)
f2 (x)
; x =
x1
x2
; 0 =
0
0
;
se tiene que f : D R2
! R2
nentes fk; k = 1; 2.
Matriz jacobiana de f :
10

J f (x) =
0
B
@
@f1
@x1
@f1
@x2
@f2
@x1
@f2
@x2
1
C
A
Iteraciones del Método de Newton
8
<
:
J f xk
wk
= f xk
k = 0; 1; 2;
xk+1
= xk
+wk
o
8
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
:
0
B
@
@f1
@x1
xk
1; xk
2
@f1
@x2
xk
1; xk
2
@f2
@x1
xk
1; xk
2
@f2
@x2
xk
1; xk
2
1
C
A
wk
1
wk
2
=
f1 xk
1; xk
2
f2 xk
1; xk
2
k = 0; 1; 2;
xk+1
1
xk+1
2
=
xk
1
xk
2
+
wk
1
wk
2
En cada paso se debe solucionar un sistema de ecuaciones lineales, para lo
cual se puede aplicar el siguiente resultado.
Regla de Cramer Dado el sistema lineal
a11 a12
a21 a22
x1
x2
=
b1
b2
:
Si =
a11 a12
a21 a22
= a11a22 a12a21 6= 0, entonces éste sistema lineal tiene
solución única y está dada por
x1 =
1 b1 a12
b2 a22
; x2 =
1 a11 b1
a21 b2
:
Ejemplo Determine la solución del sistema lineal
3x1 + 5x2 = 23
4x1 13x2 = 12
Solución Se tiene A =
3 5
4 13
; b =
23
12
. Se cumple
= det(A) =
3 5
4 13
= 3( 13) 4 5 = 59 6= 0;
11

Luego se obtiene la solución
x1 =
1
59
23 5
12 13
=
359
59
;
x2 =
1
59
3 23
4 12
=
56
59
:
Se quiere determinar la(s) solución(es) por el método de Newton con una
tolerancia de 10 13
y error relativo aproximado menor de 10 13
del sistema no
lineal
x2
1 x2 = 4
2ex2
= x3
1
donde x1 y x2 representan las medidas de las alturas de dos postes. Indique las
iteraciones del método de Newton. Calcule en detalle una iteración evaluando
un criterio para terminar con un punto inicial adecuado.
El sistema no lineal es equivalente a
x2
1 x2 4 = 0
x3
1 2ex2
= 0
…gure
ezplot(’
x1^2-x2-4’
)
hold on
ezplot(’
x1^3-2*exp(x2)’
)
ezplot(’
x1*x2’
))
xlabel(’
X1’
)
ylabel(’
X2’
)
grid on
12

De la grá…ca dada se obtiene el punto inicial: x(0)
=
x
(0)
1
x
(0)
2
!
=
2:5
2
El sistema no lineal es equivalente a
x2
1 x2 4 = 0
x3
1 2ex2
= 0
Se tiene
f (x1; x2) =
f1 (x1; x2)
f2 (x1; x2)
=
x2
1 x2 4
x3
1 2ex2
J f (x) =
0
B
@
@f1
@x1
@f1
@x2
@f2
@x1
@f2
@x2
1
C
A =
2x1 1
3x2
1 2ex2
J f x(k)
w(k)
= f x(k)
k = 0; 12; 3;
x(k+1)
= x(k)
+ w(k)
Iteraciones del Método de Newton:
13

0
@
2x
(k)
1 1
3 x
(k)
1
2
2ex
(k)
2
1
A w
(k)
1
w
(k)
2
!
=
0
B
@
x
(k)
1
2
x
(k)
2 4
x
(k)
1
3
2ex
(k)
2
1
C
A
x
(k+1)
1
x
(k+1)
2
!
=
x
(k)
1
x
(k)
2
!
+
w
(k)
1
w
(k)
2
!
k = 0; 1; 2; 3;
Para k = 0 :
J f x(0)
w(0)
= f x(0)
x(1)
= x(0)
+ w(0)
o
0
@
2x
(0)
1 1
3 x
(0)
1
2
2ex
(0)
2
1
A w
(0)
1
w
(0)
2
!
=
0
B
@
x
(0)
1
2
x
(0)
2 4
x
(0)
1
3
2ex
(0)
2
1
C
A
x
(1)
1
x
(1)
2
!
=
x
(0)
1
x
(0)
2
!
+
w
(0)
1
w
(0)
2
!
5:000000000000000 1:000000000000000
18:750000000000000 14:778112197861301
w0
1
w0
2
=
0:250000000000000
0:846887802138699
Se obtiene
w0
=
w0
1
w0
2
=
0:051643294813030
0:008216474065151
Luego
x1
= x0
+ w0
=
2:5
2
+
0:051643294813030
0:008216474065151
=
2:448356705186970
1:991783525934849
Criterio para …nalizar: Para tol = 10 13
y err = 10 13
f x(1)
2
= 0:019550286067126 < tol = 10 13
FALSO
x(1)
x(0)
2
x(1)
2
= 0:016568243967852 < err = 10 13
FALSO
Como las condiciones no se cumplen se debe continuar.
Para k = 1 :
J f x(1)
w(1)
= f x(1)
x(2)
= x(1)
+ w(1)
14

o
4:896713410373939 1:000000000000000
17:983351667501982 14:657185697299578
w(1)
=
0:002667029899144
0:019367514988339
De esto se obtiene
w(1)
=
w
(1)
1
w
(1)
2
!
=
0:366687475297393 10 3
0:871466421439340 10 3
Reemplazando
x(2)
=
x
(2)
1
x
(2)
2
!
= x(1)
+ w(1)
=
2:447990017711673
1:992654992356288
y err = 10 13
f x(2)
2
= 4:581751011699599 10 6
< tol = 10 13
FALSO
x(2)
x(1)
2
x(2)
2
= 2:995335639518840 10 4
< err = 10 13
FALSO
Para k = 2 :
J f x(2)
w(2)
= f x(2)
x(3)
= x(2)
+ w(2)
4:895980035423345 1:000000000000000
17:977965380447984 14:669964509811837
w
(1)
1
w
(1)
2
!
=
0:013445970559189 10 5
0:457977760603967 10 5
De esto se obtiene
w(2)
=
w
(1)
1
w
(1)
2
!
=
0:121686111249779 10 6
0:461313065675326 10 6
Reemplazando
x(3)
=
x
(3)
1
x
(3)
2
!
= x(2)
+ w(2)
=
2:447989896025561
1:992654531043223
y err = 10 13
f x(3)
2
= 1:454905655697146 10 12
< tol = 10 13
FALSO
x(3)
x(2)
2
x(3)
2
= 1:511473044830984 10 7
< err = 10 13
FALSO
15

Para k = 3 :
J f x(3)
w(3)
= f x(3)
x(4)
= x(3)
+ w(3)
4:895979792051122 1:000000000000000
17:977963593129711 14:669957742367096
w
(3)
1
w
(3)
2
!
=
0:001421085471520 10 11
0:145483625146880 10 11
De esto se obtiene
w
(3)
1
w
(3)
2
!
=
0:030890194787233 10 12
0:137026914735611 10 12
Reemplazando
x(4)
=
x
(4)
1
x
(4)
2
!
= x(3)
+ w(3)
=
2:447989896025530
1:992654531043086
y err = 10 13
f x(4)
2
= 1:986027322597819 10 15
< tol = 10 13
V ERDADERO
x(4)
x(3)
2
x(4)
2
= 4:450664624913791 10 14
< err = 10 13
V ERDADERO
Como ambos condiciones se cumplen se acepta a
x1
x2
x
(4)
1
x
(4)
2
!
=
2:447989896025530
1:992654531043086
como una aproximación de la solución.
Resumiendo se obtiene la siguiente Tabla
function [k, xk] = newton_Rn(f, Jf, x0, tol, err)
% Método de Newton
16

% Entrada f : función
% Jf : Jacobiano de f
% x0 : Punto incial
% tol : Tolerancia
% err : Cota del error relativo aproximado
% Salida xk : Raíz aproximada de la función f
k = 0; xk = x0;
PARAR = 0;
while ~PARAR
wk = -Jf(xk)nf(xk);
xk1 = xk+wk;
PARAR = norm(wk)/(norm(xk1)+eps) < err &...
norm(f(xk1)) < tol;
k = k+1; xk = xk1;
end
end
Para ejecutar en Octave o MATLAB:
f = @(x) [x(1)^2-x(2)-4
x(1)^3-2*exp(x(2))];
Jf=@(x) [2*x(1), -1
3*x(1)^2, -2*exp(x(2))];
x0 = [2.5; 2]; tol = 1e-13; err = 1e-13;
format long
[k, xk] = newton_Rn(f, Jf, x0, tol, err)
k = 4
xk =
2.447989896025530
1.992654531043086
x1
x2
=
2:447989896025530
1:992654531043086
en la cuarta
iteración.
Ejemplo Se quiere solucionar el sistema no lineal
y2
x2
1 = 0
x2
+ y2
4 = 0
por el método de Newton con una tolerancia de 10 13
y error relativo aproxi-
mado menor de 10 13
.
Solución Con el cambio de variables x1 = x; x2 = y, se tiene
x2
2 x2
1 1 = 0
x2
1 + x2
2 4 = 0
Gra…cando para obtener un punto inicial.
17

…gure
ezplot(’
x2^2-x1^2-1’
)
hold on
ezplot(’
x1^2+x2^2-4’
)
ezplot(’
x1*x2’
)
xlabel(’
X1’
)
ylabel(’
X2’
)
grid on
Gr…cas de x2
2 x2
1 1 = 0; x2
1 + x2
2 4 = 0:
Se obtiene el punto inicial: x0
=
x0
1
x0
2
=
1:2214
1:5801
Se tiene
f (x1; x2) =
f1 (x1; x2)
f2 (x1; x2)
=
x2
2 x2
1 1
x2
1 + x2
2 4
J f (x) =
@f1
@x1
@f1
@x2
@f2
@x1
@f2
@x2
!
=
2x1 2x2
2x1 2x2
Iteraciones del método de Newton
18

J f x(k)
w(k)
= f x(k)
k = 0; 12; 3;
x(k+1)
= x(k)
+ w(k)
2xk
1 2xk
2
2xk
1 2xk
2
wk
1
wk
2
=
xk
2
2
xk
1
2
1
xk
1
2
+ xk
2
2
4
!
; k = 0; 1; 2; 3;
xk+1
1
xk+1
2
=
xk
1
xk
2
+
wk
1
wk
2
Para k = 0 :
2x0
1 2x0
2
2x0
1 2x0
2
w0
1
w0
2
=
x0
2
2
x0
1
2
1
x0
1
2
+ x0
2
2
4
!
2:4428 3:1602
2:4428 3:1602
w
(0)
1
w
(0)
2
!
=
4:898049999999987 10 3
1:146602999999979 10 2
w0
=
w
(0)
1
w
(0)
2
!
=
1:039171571419500 10 3
1:039171571419500 10 3
x
(1)
1
x
(1)
2
!
= x0
+ w0
=
1:2214
1:5801
+
w
(0)
1
w
(0)
2
!
=
1:224749451449157
1:581139171571420
Continuando se obtiene
Usando Octave/MATLAB
f = @(x) [x(2)^2-x(1)^2-1
x(1)^2+x(2)^2-4];
Jf = @(x) [-2*x(1), 2*x(2)
2*x(1), 2*x(2) ];
x0 = [1.2214,1.5801]’
; tol = 1e-13; err = 1e-13;
19

format long
[k, xk] = newton_Rn(f, Jf, x0, tol, err)
k = 4
xk =
1.224744871391589
1.581138830084190
x
y
: =
x4
1
x4
2
=
1:224744871391589
1:581138830084190
:
Ejemplo Aplicando el método de newton, determine una solución del sigu-
iente sistema no lineal con una tolerancia de 10 14
y un error relativo aproxi-
mado menor a 10 14
.
x1 2x2
2 = 0 (1)
x1x2 1 = 0
Solución Gra…cando para obtener un punto inicial (ya se vió en un ejemplo
precedente).
…gure
ezplot(’
x1-2*x2^2’
)
hold on
ezplot(’
x1*x2-1’
)
ezplot(’
x1*x2’
)
axis equal
Se obtiene el punto inicial:
x0
y0
=
1:278
0:7822
:
x1 2x2
2 = 0 (1)
x1x2 1 = 0
Se tiene
f (x1; x2) =
f1 (x1; x2)
f2 (x1; x2)
=
x1 2x2
2
x1x2 1
Punto inicial: x(0)
=
x
(0)
1
x
(0)
2
!
=
1:278
0:7822
:
J f (x) =
@f1
@x1
@f1
@x2
@f2
@x1
@f2
@x2
!
=
1 4x2
x2 x1
20

-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
x1
x
2
x1
x2
= 0
Figure 1: Grá…ca de x1 2x2
2 = 0; x1x2 1 = 0:
21

J f x(k)
w(k)
= f x(k)
k = 0; 12; 3;
x(k+1)
= x(k)
+ w(k)
1 4x
(k)
2
x
(k)
2 x
(k)
1
!
w
(k)
1
w
(k)
2
!
=
0
@ x
(k)
1 2 x
(k)
2
2
x
(k)
1 x
(k)
2 1
1
A
x
(k+1)
1
x
(k+1)
2
!
=
x
(k)
1
x
(k)
2
!
+
w
(k)
1
w
(k)
2
!
k = 0; 1; 2; 3;
function F = F(x)
F= [x(1)-2*x(2)^2
x(1)*x(2)-1];
function JF = JF(x)
% Matriz jacobiana de f01
JF = [1 -4*x(2)
x(2) x(1)];
Usando MATLAB
El punto inicial x0 = (1:278; 0:7822)
T
se obtuvo mediante una grá…ca.
x =
x1
x2
:=
1:259921049894873
0:793700525984100
:
22

0.1.4 Caso general del Método de Newton
Para determinar las soluciones del siguiente sistema no lineal
f1 (x1; x2; ; xn) = 0;
f2 (x1; x2; ; xn) = 0;
.
.
.
fn (x1; x2; ; xn) = 0:
(1)
donde fk : D Rn
! R; k = 1; 2; ; n son funciones.
Denotando
f (x) =
0
B
B
B
@
f1 (x)
f2 (x)
.
.
.
fn (x)
1
C
C
C
A
; x =
0
B
B
B
@
x1
x2
.
.
.
xn
1
C
C
C
A
; 0 =
0
B
B
B
@
0
0
.
.
.
0
1
C
C
C
A
;
se tiene que f : D Rn
! Rn
nentes fk; k = 1; 2; ; n.
J f (x) =
0
B
B
B
B
@
@f1
@x1
@f1
@x2
@f1
@xn
@f2
@x1
@f2
@x2
@f2
@xn
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
@fn
@x1
@fn
@x2
@fn
@xn
1
C
C
C
C
A
J f x(k)
w(k)
= f x(k)
k = 0; 12; 3;
x(k+1)
= x(k)
+ w(k)
En cada paso se debe solucionar un sistema de ecuaciones lineales.
Ejemplo Resuelva el sistema no lineal con una tolerancia de 10 14
y un
error relativo aproximado menor que 10 13
.
3x1 cos (x2x3)
1
2
= 0
x2
1 81 (x2 + 0:1)
2
+ sen x3 + 1:06 = 0
e x1x2
+ 20x3 +
10 3
3
= 0
((*))
Solución De…niendo la función f : R3
! R3
por
f(x1; x2; x3) =
0
B
B
B
@
3x1 cos (x2x3)
1
2
x2
1 81 (x2 + 0:1)
2
+ sen x3 + 1:06
e x1x2
+ 20x3 +
10 3
3
1
C
C
C
A
23

Jacobiano de f :
Jf(x) =
0
B
@
@f1
@x1
@f1
@x2
@f1
@x3
@f2
@x1
@f2
@x2
@f2
@x3
@f3
@x1
@f3
@x2
@f3
@x3
1
C
A =
0
@
3 x3 sen(x2x3) x2 sen(x2x3)
2x1 162(x2 + 0:1) cos x3
x2e x1x2
x1e x1x2
20
1
A
Iteraciones del método de Newton
Jf(x(k)
)w(k)
= f(x(k)
);
x(k+1)
= x(k)
+ w(k)
; k = 0; 1; 2; 3;
f = @(x) [ 3*x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2
x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06
exp(-x(1)*x(2))+ 20*x(3)+(10*pi-3)/3];
Jf = @(x) [ 3, x(3)*sin(x(2)*x(3)), x(2)*sin(x(2)*x(3))
2*x(2), -162*(x(2)+0.1), cos(x(3))
-x(2)*exp(-x(1)*x(2)), -x(1)*exp(-x(1)*x(2)), 20 ];
x0 = [0.1, 0.1 -0.1]’
; tol = 1e-14; err=1e-13;
%x0 = [0.1, 0.1, 0.1]’
; tol = 1e-14; err = 1e-14;
[iter, xk] = newton_Rn(f, Jf, x0, tol, err)
iter = 7
xk =
0.5
-1.455011446521009e-18
-0.5235987755982988
x
y
: =
x4
1
x4
2
=
0
@
0:500000000000000
0:000000000000000
0:5235987755982988
1
A :
24

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