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Matemáticas aplicadas a las CCSS 2 - Derivadas 1

Tabla de Derivadas
Función Derivada Función Derivada
y = k y0 = 0 − −
y = x y0 = 1 − −
y = x2 y0 = 2x y = f (x)2 y0 = 2f (x)f 0(x)
y = xn y0 = nxn−1 y = f (x)n y0 = n f (x)n−1 f 0(x)
y =
1
x
y0
= −
1
x2
y =
1
f (x)
y0
= −
f 0(x)
f (x)2
y =
1
xn
y0
=
−n
xn+1
y =
1
f (x)n
y0
= −
n f 0(x)
f (x)n+1
y =
√
x y0
=
1
2
√
x
y =
p
f (x) y0
=
f 0(x)
2
p
f (x)
y = 3
√
x y0
=
1
3
3
√
x2
y = 3
p
f (x) y0
=
f 0(x)
3 3
p
f (x)2
y = n
√
x y0
=
1
n
n
√
xn−1
y = n
p
f (x) y0
=
f 0(x)
n n
p
f (x)n−1
y = ax y0 = ax ln a y = af (x) y0 = af (x) ln a f 0(x)
y = ex y0 = ex y = ef (x) y0 = ef (x) f 0(x)
y = loga x y0
=
1
x ln a
y = loga f (x) y0
=
f 0(x)
f (x) ln a
y = ln x y0
=
1
x
y = ln f (x) y0
=
f 0(x)
f (x)
y = sen x y0 = cos x y = sen f (x) y0 = f 0(x) cos f (x)
y = cos x y0 = − sen x y = cos f (x) y0 = −f 0(x) sen f (x)
y = tg x y0
= 1 + tg2
x =
1
cos2 x
y = tg f (x) y0
= (1 + tg2
f (x))f 0
(x) =
f 0(x)
cos2 f (x)
y = cotg x y0
= −1 − cotg2
x =
−1
sen2 x
y = cotg f (x) y0
= (−1 − cotg2
f (x))f 0
(x) =
−f 0(x)
sen2 f (x)
y = arc sen x y0
=
1
√
1 − x2
y = arc sen f (x) y0
=
f 0(x)
p
1 − f (x)2
y = arccos x y0
=
−1
√
1 − x2
y = arccos f (x) y0
=
−f 0(x)
p
1 − f (x)2
y = arc tg x y0
=
1
1 + x2
y = arc tg f (x) y0
=
f 0(x)
1 + f (x)2


Propiedades de la derivadas
Supongamos que f (x) y g(x) son funciones derivables y sea k un número real. Entonces se cumplen
las siguientes propiedades:
1. La derivada de un número real por una función es el número por la derivada de la función:
y = k f (x) =⇒ y0
= k f 0
(x)
2. La derivada de una suma o de una diferencia es la suma o la diferencia de las derivadas:
y = f (x) + g(x) =⇒ y0
= f 0
(x) + g0
(x)
y = f (x) − g(x) =⇒ y0
= f 0
(x) − g0
(x)
3. La derivada de un producto es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin
derivar, más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda:
y = f (x)g(x) =⇒ y0
= f 0
(x)g(x) + f (x)g0
(x)
4. La derivada de un cociente es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar,
menos la primera función sin derivar por la derivada de la segunda; todo ello dividido por la
segunda función al cuadrado:
y =
f (x)
g(x)
=⇒ y0
=
f 0(x)g(x) − f (x)g0(x)
g(x)2

Algunos ejemplos de cálculo de derivadas
• y =
√
3x =⇒ y0
=
√
3
• y = 5
√
3x + 1 =⇒ y0
=
3
5 5
p
(3x + 1)4
• y =
2
x6
. Obsérvese que la función se puede escribir así: y = 2
1
x6
. Entonces: y0
= 2
−6
x7
=
−12
x7
• y =
5x − 1
5x + 1
=⇒ y0
=
5(5x + 1) − (5x − 1)5
(5x + 1)2
=
25x + 5 − 25x + 5
(5x + 1)2
=
10
(5x + 1)2
• y =
2
(x − 1)3
=⇒ y0
=
0(x − 1)3 − 2 · 3(x − 1)2
(x − 1)6
=
−6(x − 1)2
(x − 1)6
=
−6
(x − 1)4
• y = x3
√
x5 =⇒ y0
= 3x2
√
x5 +
5x7
2
√
x5
=
6x2 · x5
2
√
x5
+
5x7
2
√
x5
=
6x7 + 5x7
2
√
x5
=
11x7
2
√
x5
=
11x7
√
x5
2x5
=
11x2
√
x5
2
=
11x2 · x2
√
x
2
=
11x4
√
x
2
Esta derivada se podría haber hecho de otras dos formas distintas:
X Obsérvese que la función se puede escribir así: y = x3
√
x5 = x3
· x5/2
= x11/2
. Entonces
y0
=
11
2
x9/2
=
11
2
√
x9 =
11
2
x4
√
x =
11x4
√
x
2
X La otra forma consiste en escribir la función introduciendo x3 dentro del radical:
y = x3
√
x5 =
√
x11 . Entonces y0
=
11x10
2
√
x11
=
11x10
√
x11
2x11
=
11x15
√
x
2x11
=
11x4
√
x
2
• y =
1
3
√
x2
. Utilizando que la derivada de y =
1
f (x)
es y0
= −
f 0(x)
f (x)2
, se tiene que y0
= −
2x
3
3
√
x4

3
√
x2
2
=
−
2x
3x 3
√
x
3
√
x4
= −
2
3 3
√
x
x 3
√
x
= −
2
3x 3
√
x
Pero quizás sea más fácil hacerlo así: y =
1
3
√
x2
= x−2/3
=⇒ y0
= −
2
3
x−5/3
= −
2
3
3
√
x5
= −
2
3x 3
√
x
• y =
5x
√
x − 5
=⇒ y0
=
5
√
x − 5

− 5x
1
2
√
x
√
x − 5
2
=
10
√
x
√
x − 5

− 5x
2
√
x
√
x − 5
2
=
10
√
x
√
x − 5

− 5x
2
√
x
√
x − 5
2
=
10x
√
x − 5

− 5x
√
x
2x
√
x − 5
2
=
10x
√
x − 50x − 5x
√
x
2x
√
x − 5
2
=
5x
√
x − 50x
2x
√
x − 5
2
=
5
√
x − 10

2
√
x − 5
2

• y =
1
x
+
1
x2
+
1
x3
=⇒ y0
= −
1
x2
−
2x
x4
−
3x2
x6
= y0
= −
1
x2
−
2
x3
−
3
x4
=
−x2 − 2x − 3
x4
También se puede hacer escribiendo y =
1
x
+
1
x2
+
1
x3
=
x2 + x + 1
x3
, y aplicando la regla de de-
rivación de un cociente: y0
=
(2x + 1)x3 − (x2 + x + 1)3x2
x6
=
x2 (2x2 + x) − (3x2 + 3x + 3)

x6
=
−x2 − 2x − 3
x4
• y =
−2x
(x2 − 1)
2
=⇒ y0
=
−2 x2 − 1
2
− −2x · 2 x2 − 1

2x

(x2 − 1)
4
=
−2 x2 − 1
2
+ 8x2 x2 − 1

(x2 − 1)
4
=
−2 x2 − 1

x2 − 1 − 4x2

(x2 − 1)
4
=
−2 −3x2 − 1

(x2 − 1)
3
=
2 3x2 + 1

(x2 − 1)
3
• y =
√
x
ex
=⇒ y0
=
1
2
√
x
ex
−
√
x ex
(ex)2
=
ex −2x ex
2 e2x
√
x
=
ex(1 − 2x)
2 e2x
√
x
=
1 − 2x
2 ex
√
x
• y =
ln x
x
=⇒ y0
=
1
x
x − ln x
x2
=
1 − ln x
x2
• y =
q
x +
√
x =⇒ y0
=
1 +
1
2
√
x
2
p
x +
√
x
=
2
√
x + 1
4
√
x
p
x +
√
x
=
2
√
x + 1
4
p
x2 + x
√
x
• y =
x + 1
x + 2
(2x − 5) =⇒ y0
=

(x + 2) − (x + 1)
(x + 2)2

(2x − 5) +
x + 1
x + 2
· 2 =
2x − 5
(x + 2)2
+
2x + 2
x + 2
=
2x − 5 + (2x + 2)(x + 2)
(x + 2)2
=
2x − 5 + 2x2 + 4x + 2x + 4
(x + 2)2
=
2x2 + 8x − 1
(x + 2)2
• y = 3
√
x
√
x + 3

=⇒ y0
=
1
3
3
√
x2
√
x + 3

+ 3
√
x
1
2
√
x
=
√
x + 3
3
3
√
x2
+
3
√
x
2
√
x
=
√
x + 3
3
√
x
3x
+
3
√
x
√
x
2x
=
2 3
√
x
√
x + 3

+ 3 3
√
x
√
x
6x
=
3
√
x 2
√
x + 6 + 3
√
x

6x
=
3
√
x 5
√
x + 6

6x
• y =
r
1
x2 − 2
=⇒ y0
=
−
2x
(x2 − 2)
2
2
r
1
x2 − 2
=
−
2x
(x2 − 2)
2
2
√
x2 − 2
= −
x
√
x2 − 2
(x2 − 2)2
= −
x(x2 − 2)
(x2 − 2)2
√
x2 − 2
=
−
x
(x2 − 2)
√
x2 − 2
• y = x2
(x − 2)4
=⇒ y0
= 2x(x − 2)4
+ x2
4(x − 2)3
= 2x(x − 2)3
(x − 2 + 2x) = 2x(x − 2)3
(3x − 2)
• y =
r
sen x
x
=⇒ y0
=
1
2
r
sen x
x
·
x cos x − sen x
x2
=
r
x
sen x
·
x cos x − sen x
2x2


Aplicaciones de las derivadas
1. Monotonía. Extremos relativos
Definición 1. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo (a, b):
• f es estrictamente creciente en (a, b) si: x y ⇒ f (x) f (y) ∀ x , y ∈ R
• f es estrictamente decreciente en (a, b) si: x y ⇒ f (x) (y) ∀ x , y ∈ R
(a) Creciente (b) Decreciente
Figura 1: Monotonía
Definición 2. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo (a, b) y x0 ∈ (a, b).
Sea también ε 0 y E = (x0 − ε , x0 + ε), un entorno centrado en x0.
• Se dice que f alcanza en el punto x0 un mínimo relativo si f (x0) 6 f (x), ∀ x ∈ E.
• Se dice que f alcanza en el punto x0 un máximo relativo si f (x0) f (x), ∀ x ∈ E.
(a) Mínimo (b) Máximo
Figura 2: Extremos relativos
Teorema 1. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo (a, b). Entonces:
• Si f 0(x) 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es estrictamente creciente en el intervalo (a, b).
• Si f 0(x) 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es estrictamente decreciente en el intervalo (a, b).
• Si f alcanza un máximo o un mínimo relativo en un punto x0 ∈ (a, b) ⇒ f 0 (x0) = 0.

2. Curvatura. Puntos de inflexión
Definición 3. Una función se dice convexa en un intervalo, si en dicho intervalo las tangentes
a la gráfica quedan por debajo de la misma. En caso contrario se dice cóncava. Si en un punto
determinado cambia la curvatura, es decir, a la izquierda del mismo la función es cóncava y a la
derecha convexa, o al revés, dicho punto recibe el nombre de punto de inflexión.
(a) Convexa (b) Cóncava
(c) Punto de inflexión
Figura 3: Curvatura y puntos de inflexión
Teorema 2. Sea f una función real de variable real definida en un intervalo (a, b). Entonces:
• Si f 00(x) 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es convexa en el intervalo (a, b).
• Si f 00(x) 0, ∀ x ∈ (a, b) ⇒ f es cóncava en el intervalo (a, b).
• Si f tiene punto de inflexión en x0 ∈ (a, b) ⇒ f 00 (x0) = 0.

Ejemplos del estudio de la monotonía, los extremos, la curvatura y
los puntos de inflexión de una función
1. Monotonía y extremos relativos
En la práctica, para estudiar la monotonía y los extremos relativos de una función f, se procede
de la siguiente manera:
a) Se excluyen del estudio los siguientes puntos:
• Los puntos que no pertenecen al dominio de la función (puntos de discontinuidad de f,
que también lo son de f 0, pues si una función no es continua en un punto tampoco es
derivable en el mismo).
• Los puntos en los que no esté definida f 0 (el resto de puntos de discontinuidad de f 0).
• Los puntos críticos de f, es decir, aquellos que hacen la derivada 0:
x ∈ R tales que f 0(x) = 0.
b) Se divide la recta real R en distintos intervalos, separados por los puntos anteriores. Es posi-
ble demostrar que en cada uno de estos intervalos el signo de f 0 no cambia. Por tanto, según
el Teorema 1, f es siempre estrictamente creciente, o estrictamente decreciente, en cada uno
de ellos.
c) Teniendo en cuenta lo anterior, construimos una tabla donde las columnas serán dichos in-
tervalos y los puntos que los separan. Añadimos una fila para los signos de f 0 y otra para la
monotonía de f.
d) En los puntos que separan los intervalos, si no son puntos de discontinuidad de f, obser-
vamos la monotonía de f a la izquierda y a la derecha. Si hay cambio de estrictamente de-
creciente a estrictamente creciente, o de estrictamente creciente a estrictamente decreciente,
tendremos un máximo o un mínimo relativo, respectivamente, en dicho punto.
Ejemplo 1: Estudiar la monotonía y los extremos relativos de la función f (x) =
x3
x2 − 1
El dominio de f es R − {−1, 1} (−1 y 1 anulan el denominador). La derivada de f es
f 0
(x) =
3x2 x2 − 1

− x3 · 2x
(x2 − 1)
2
=
x4 − 3x2
(x2 − 1)
2
Es claro que los puntos de discontinuidad de f 0 son los mismos que los de f (−1 y 1 son otra vez
los números que anulan el denominador de f 0).
Veamos los puntos que anulan la derivada:
x4 − 3x2
(x2 − 1)
2
= 0 ⇔ x4
− 3x2
= 0 ⇔ x2

x2
− 3

= 0 ⇔
(
x2 = 0 ⇔ x = 0
x2 − 3 = 0 ⇔ x =
√
3 ó x = −
√
3
Así pues los puntos obtenidos para dividir la recta real son −1 y 1 (que no pertenecían al dominio)
y estos últimos: 0,
√
3 −
√
3. Por tanto:
(−∞, −
√
3) −
√
3 (−
√
3, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1,
√
3)
√
3 (
√
3, +∞)
f 0 + 0 − @ − 0 − @ − 0 +
f ↑↑ máximo ↓↓ @ ↓↓ ? ↓↓ @ ↓↓ mínimo ↑↑

Los signos se han obtenido dando un valor cualquiera a f 0 dentro del intervalo. Por ejemplo, para

−∞, −
√
3

, tomamos, por ejemplo, x = −2 y evaluamos la derivada en este punto:
f 0
(−2) =
(−2)4 − 3(−2)2
((−2)2 − 1)
2
=
16 − 12
9
=
4
9
0
Obsérvese que el signo del denominador, al ser un cuadrado, será siempre positivo. Por tanto
bastaría con estudiar, en este caso, el signo del numerador. Hay que destacar que lo importante
no es resultado en sí, sino su signo.
Por tanto f es estrictamente creciente en

−∞, −
√
3

∪
√
3, +∞

, y es estrictamente decreciente
en

−
√
3, −1

∪ (−1, 0) ∪ (0, 1).
En x0 = −
√
3 la función cambia de ser estrictamente creciente a ser estrictamente decreciente,
por lo que x0 = −
√
3 es un máximo relativo. Como f

−
√
3

=

−
√
3
3

−
√
3
2
− 1
=
−3
√
3
2
, las
coordenadas del máximo relativo son −
√
3,
−3
√
3
2
!
.
En x0 =
√
3 la función cambia de ser estrictamente decreciente a ser estrictamente creciente, por
lo que x0 = −
√
3 es un mínimo relativo. Como f
√
3

=
√
3
3
√
3
2
− 1
=
3
√
3
2
, las coordenadas
del mínimo relativo son
√
3,
3
√
3
2
!
.
Obsérvese que, excluyendo los puntos de discontinuidad de la función, queda un punto x0 = 0,
en el que no cambia la monotonía de la función. En estos casos lo que ocurre es que x0 es un punto
de inflexión de la función.
2. Curvatura y puntos de inflexión
El estudio de la curvatura y de los puntos de inflexión de una función f es similar al de la mono-
tonía y los extremos relativos. Dividimos la recta real R en intervalos. En este caso los puntos que
se excluyen, y que separarán cada uno de los intervalos, son los puntos de discontinuidad de f,
f 0 y f 00, así como los puntos que anulan la segunda derivada. Es posible demostrar que en estos
intervalos el signo de f 00 no cambia.
A continuación, como en el caso de la monotonía, se construye una tabla donde las columnas
serán dichos intervalos y los puntos que los separan. Añadimos una fila para los signos de f 00 y
otra para la curvatura de f.
Finalmente, en los puntos que separan los intervalos, si no son puntos de discontinuidad de f,
observamos la curvatura de f a la izquierda y a la derecha. Si ha cambio de convexa a cóncava o
de cóncava a convexa, tendremos un punto de inflexión en dicho punto.
Ejemplo 2: Estudiar la curvatura de la función del Ejemplo 1, f (x) =
x3
x2 − 1
.
Usando los resultados obtenidos en el Ejemplo 1, tenemos:
f 00
(x) =
4x3 − 6x

x2 − 1
2
− x4 − 3x2

2 x2 − 1

2x
(x2 − 1)
4
=

=
x2 − 1

4x3 − 6x

x2 − 1

− 4x x4 − 3x2

(x2 − 1)
3
=
4x5 − 4x3 − 6x3 + 6x − 4x5 + 12x3
(x2 − 1)
3
=
=
2x3 + 6x
(x2 − 1)
3
=
2x x2 + 3

(x2 − 1)
3
Los puntos de discontinuidad vuelven a ser −1 y 1. Veamos dónde se anula la segunda derivada:
f 00
(x) = 0 ⇔
2x x2 + 3

(x2 − 1)
3
= 0
⇔ 2x

x2
+ 3

= 0 ⇔
(
2x = 0 ⇔ x = 0
x2 + 3 = 0 , que no tiene solución
La tabla que resulta ahora es la siguiente:
(−∞, −1) −1 (−1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +∞)
f 00 − @ + 0 − @ +
f cóncava @ convexa punto de inflexión cóncava @ convexa
Por tanto f es convexa en (−1, 0) ∪ (1, +∞) y cóncava en (−∞, −1) ∪ (0, 1)
En x0 = 0 la función pasa de ser convexa a cóncava, luego x0 = 0 es un punto de inflexión. Como
f (0) = 0, las coordenadas del punto de inflexión son (0, 0).
Con el estudio realizado en los ejemplos anteriores y teniendo en cuenta que x = −1 y x = 1 son
sendas asíntotas verticales, podemos realizar las representación gráfica de la función:
Figura 4: Gráfica de la función

Ejercicios
1. Calcula las derivadas de las siguientes funciones y simplifica el resultado todo lo posible.
1) y = x3 + 2x 2) y = (x + 2)2 3) y = x2 − 5
4) y =
1
x
+
1
x2
+
1
x3
5) y = (x + 2
√
x)3 6) y = 3
5
√
x3 + 2
√
x + 3
√
4x
7) y = x
3
√
x3 + 7x +
1
3
√
x2
8) y =
2x2
3
+
4x
5
−
1
6
9) y = 2x3 + 9x2
10) y = 1 +
2
x
−
2
x2
11) y =
1
3
√
x2
−
3
x
√
x
12) y = 2x4 − 3x2 + 1
13) y =
1
4
−
1
3
x − x2
− 3x3
14) y = 2
√
x + 3
√
x 15) y = x2
√
x3
16) y = 1 −
2
x2
17) y = 5
√
x +
√
5x −
x3
√
x3
18) y =
ln x
7
+
2
x
19) y =
√
x3 +
3
√
x2 20) y = 3x(x2 − 2) 21) y = (2 − 6x)2
22) y =
x + x3
x2
23) y =
1
2x
+
x
2
24) y = 3
√
x +
√
3
25) y =
x −
√
x
2 +
√
x
26) y = (x2 − x + 1) ex 27) y =
x3
ex
28) y = (x2 + 3x − 1)(2x3 − 1) 29) y =
2x + 1
2x − 1
30) y =
3x
x − 1
+
2x
x2 − 1
31) y =
1 − 3
√
x
√
x
32) y =
ex
x
33) y =
ex +2
ex −2
34) y = 3x sen x + 4 35) y =
senx
3
36) y =
x + 1
x − 1
37) y =
ex +1
ex
38) y = x sen x 39) y =
2x + 1
x2 − 1
40) y =
e3x
x
41) y = 2x ex +x2 42) y = ln x sen x
43) y =
1
ln x
44) y = (x5
− 3x)

1
x2

45) y =
x3 + 3x + 2
x2 − 1
46) y =
x + 1
√
x
47) y =

x + 1
x + 2

(2x − 5) 48) y =
x + 1
x2 + 2x + 2
49) y =
sen x
x
50) y = x2 sen x 51) y =
cos x
x
52) y =
√
x2 − 1 53) y =
1
√
x + 1
54) y =

1
x − 3
2
55) y =
−4
(x + 2)2
56) y = 2
4
√
4 − x2 57) y =
1
√
x2 − 3x + 4
58) y =
√
sen x 59) y = x sen
1
x
60) y =
cos x
x

2. Realiza un estudio completo de las funciones que se dan a continuación: dominio, puntos de corte
con los ejes, asíntotas, continuidad, monotonía, extremos relativos, curvatura, puntos de inflexión
y representación gráfica:
a) f (x) = x3
− 3x b) f (x) = x3
+ 3x2
+ 4
c) f (x) =
x2 − 9
x − 2
d) f (x) =
x2 + 1
x + 1
e) f (x) =
x − 1
x2 + 2
f ) f (x) =
x3 − 1
x2 − 1
g) f (x) =
x2 + 3
x
h) f (x) =
x2 + 1
x3 − 1
i) f (x) =
x(x + 1)
x2 − 4
j) f (x) =
x
x2 − 1
k) f (x) =
1 − x
x2 + 1
l) f (x) =
9
x2 + 9
m) f (x) =
4x2
x2 + 3
n) f (x) = x −
1
x
ñ) f (x) =
x2 − x
x + 1
o) f (x) =
x2 − 2x + 2
x − 1
3. Suponiendo que el rendimiento (R) en % de un estudiante en una hora de examen viene dado por
R(t) = 300t(1 − t) siendo 0 6 t 6 1 (tiempo en horas), se pide:
a) Representar gráficamente la función R(t).
b) Indicar cuándo aumenta y disminuye el rendimiento. ¿Cuándo se hace cero?
c) ¿Cuándo es máximo el rendimiento y cuál es?
4. El coeficiente de elasticidad de un producto, en función de la temperatura (t) en grados centígra-
dos, viene definido por la función: E(t) =
t2
9
− 2t + 10.
a) ¿A qué temperatura o temperaturas se obtiene una elasticidad de 2?
b) Calcular el valor de la temperatura para la que la elasticidad es mínima.
c) Calcular ese mínimo.
5. La cotización de las acciones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona
todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley: C = x3 − 45x2 + 243x + 30000,
siendo x el número de días.
a) ¿Cuál ha sido la cotización en Bolsa el día 2?
b) Determina los días en que alcanza las cotizaciones máxima y mínima.
c) Calcula esas cotizaciones máxima y mínima.

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