Sesion14

Aplicaciones de la función derivada Matemáticas Aplicadas a CC SS II
César Martín- IES Leopoldo Cano Página 1
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN DERIVADA
Y DE LA DERIVADA EN UN PUNTO
1.- Recta tangente y recta normal en un punto:
El valor de f´(a), representa la pendiente de la recta tangente a la función en el
punto ( a , f(a) ) ; pretendemos obtener la ecuación de esa recta a partir de la
expresión matemática de la función.
3 ; 1
Para obtener la ecuación de una recta necesitamos un punto y la
pendiente:
PUNTO ( a , b )
PENDIENTE = m = f´(a)
En nuestro caso:
PUNTO: x = 1
y = f(1) = 1 -3 = -2 P ( 1 , -2 )
PENDIENTE: ´ ! "
# ! #
´ 3 6
Recta será 3 1 2 3 1

La recta NORMAL es perpendicular a la recta tangente; el punto es el
mismo y sólo necesitamos obtener la pendiente; para ello debemos recordar la
relación entre las pendientes de rectas perpendiculares:
! ´ 1 ; ´
& '
(
En nuestro caso m = f´(1) = -3; con lo cual ´
'
(
&'
&
'
RECTA NORMAL:
P ( 1 , -2 )
Pendiente = 1/3 ) * "

2.- Derivabilidad de una función (RACIONAL, VALOR ABSOLUTO, TROZOS):
Pretendemos estudiar los puntos en los que la función tiene derivada o
estudiar si tiene derivada en un punto concreto.
En todos los casos para estudiar la derivabilidad en un punto, debemos
tener garantizada LA CONTINUIDAD EN EL PUNTO; es decir si no es continua,
nunca puede existir la derivada en ese punto.
FUNCIÓN RACIONAL: Al igual que al estudiar la continuidad, los únicos valores
con problemas son los valores que ANULAN EL DENOMINADOR. Para esos
valores no es continua, con lo cual no existe la derivada.
FUNCIÓN A TROZOS: Si se pide un estudio general, debemos analizar cada
trozo por separado; pero sólo debemos realizar el estudio en el intervalo
abierto correspondiente.
Los puntos de unión de los trozos se analizan de forma individual, pero
estudiando primero la continuidad.
+
2 ,- . 0
2 2 ,- 0 0 . 2
8 ,- 2 2
3
En cada trozo las funciones son continuas y con derivada, ya que son
polinomios y no presentan problemas de cálculo de f(a) ni de f´(a).
Podemos obtener la expresión de f´(x), pero sólo lo podemos garantizar
en los intervalos abiertos:
´ +
3 2 ,- . 0
4 2 ,- 0 . . 2
2 ,- 5 2
3
El estudio de f´( 0) y de f´(2) los hacemos de forma individual:
f´(0) :Primero debemos comprobar si es continua en x= 0
0 2 0 2 0 0
lim
9 : ;<
lim
9 : ;<
2 0
lim
9 : ;=
lim
9 : ;=
2 2 0
f(x) es continua en x=0
Para ver si existe f´(0), debemos estudiar las derivadas laterales:
lim
9 : ;<
´ lim
9 : ;<
3 2 2
lim
9 : ;=
´ lim
9 : ;=
4 2 2
Al ser iguales, f´(0) = -2

f´(2) :Primero debemos comprobar si es continua en x= 2
2 2 8 12
lim
9 : <
lim
9 : <
2 2 8 4 12
lim
9 : =
lim
9 : =
8 4 8 12
f(x) es continua en x = 2
Para ver si existe f´(2), debemos estudiar las derivadas laterales:
lim
9 : <
´ lim
9 : <
4 2 10
lim
9 : =
´ lim
9 : =
2 4
Al no ser iguales, no existe f´(2)

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO: Para realizar el estudio de la continuidad y
derivabilidad es imprescindible expresar la función como una función a trozos y
después se realiza el estudio de la función.
Recuerda que para expresar una función valor absoluto como función a
trozos debemos realizar un estudio del signo:
| 4 |
Estudiamos el signo de 4 :
Soluciones de 4 0 ; 0 ; 4
Signo:
4 4 4
POSITIVO 0 NEGATIVO 4 POSITIVO
La función quedará:
+
4 ,- . 0
4 ,- 0 0 0 4
4 ,- 5 4
3

3.- Propiedades de f(x) a partir del signo de la
función derivada:(crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos)
El estudio del signo de la función derivada, nos va a proporcionar información del
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS RELATIVOS y MÍNIMOS RELATIVOS. Los resultados
que podemos aplicar son los siguientes:
?- ´ 5 0 @ A, BA -A CA
?- ´ . 0 @ A, A BA -A CA
?- ´ 0 D , A BA -A CA EA BA -A CA @ C-A A Fá - BAH C-I A
?- ´ 0 D , A EA BA -A CA BA -A CA @ C-A A F- - BAH C-I A
Realizando un estudio completo del signo de la función derivada f´(x), podemos obtener
información completa del crecimiento y extremos relativos de una función.
EJEMPLO1: * *J
" *"
Realizamos un estudio del signo de la función derivada ´ 4 4
a) Veamos cuando se anula: 4 4 K ; 4 1 0
Soluciones: x= 0 ; x = 1 ; x = -1
b) Estudio del signo:
SIG f´(x) NEGAT 0 POSIT 0 NEGAT 0 POSIT
PROP f(x) Decreciente -1 Creciente 0 Decreciente 1 Creciente
min Max min
L M N 1 , 0 P 1 , ∞
E L M : ∞ , 1 P 0 , 1
FÍMLFK T LUK:
En x= -1 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
decreciente a creciente. El punto será ( -1 , f( -1) )
f(-1 ) = (-1) 4
– 2 (-1 )2
= 1 -2 = -1. m ( -1 , -1 )
En x= 1 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
decreciente a creciente. El punto será ( 1 , f( 1) )
f(1 ) = 1 4
– 2 ·1 2
= 1 -2 = -1. m ( 1 , -1 )

FÁWLFK T LUK:
En x= 0 hay un máximo relativo ya que la derivada es cero y pasa de creciente a
decreciente. El punto será ( 0 , f( 0) )
f(0 ) = 0 4
– 2 ·02
= 0 -0 = 0. M ( 0 , 0 )
Con la información anterior es fácil realizar un esbozo de la gráfica de la función:
EJEMPLO2: *
*"
*&
Realizamos un estudio del signo de la función derivada ´
9X& 9
9&' X
a) Veamos cuando se anula NUMERADOR: 2 K ; 2 0
Soluciones: x= 0 ; x = 2
Veamos cuando se anula DENOMINADOR: 1 K ; 1
b) Estudio del signo:
SIG f´(x) POSIT 0 NEGAT ND NEGAT 0 POSIT
PROP f(x) Creciente 0 Decreciente 1 Decreciente 2 Creciente
Max min
L M N ∞ , 0 P 2 , ∞
E L M : 0 , 1 P 1 , 2
FÁWLFK T LUK:
En x= 0 hay un máximo relativo ya que la derivada es cero y pasa de Creciente
a Decreciente. El punto será ( 0 , f( 0) )
0
;X
;&'
;
&'
0 ; D C F 0 , 0

En x= 1 no hay ni mínimo relativo ni máximo relativo, ya que la función no
existe (no hay punto) . Si recordamos tendrá ASÍNTOTA VERTICAL EN x = 1 .
FLMLFK T LUK:
En x= 2 hay un mínimo relativo ya que la derivada es cero y pasa de
Decreciente a Creciente. El punto será ( 2 , f( 2) )
2
X
&'
Y
'
4 ; D C 2 , 4
Con la información anterior es fácil realizar un esbozo de la gráfica de la función:

1.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función
9 Z&
9
en x = -1.
2.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función T 7 en x = 0.
3.- Halla la ecuación de la recta tangente de la función
9
'& 9 X en x = 3.
4.- Halla los valores de a y b para que la recta tangente a la gráfica de * *"
] en el
punto ( 1 , 5 ) sea la recta y = 3 x + 2.
5.- Estudiar la derivabilidad de la función ^
1 ,- 0 1
T ,- 5 1
3
6.- Sea la función +
,- 0 0
,- 0 . 0 1
3 ,- 5 1
3
a) Calcular los valores de “a “ y “ b “ para que sea continua.
b) Con los valores anteriores, obtener la función derivada.
7.- Sea la función _
9 &
9 ` '
,- 0 0
2 3 ,- 5 0
3
Estudiar su derivabilidad en x = 0.
8.- Sea la función | 6 2 |; calcular su función derivada.
9.- Sea la función +
1 ,- . 1
3 ,- 2 1
3
Calcular los valores de “a” y “b” para que sea siempre derivable.
10.- Sea la función _
4 3 ,- 0 1
2 1 ,- 1 . . 1
a `
9
,- 2 1
3
Calcular el valor de “k”, para que sea continua en toda la recta y representarlo.
Calcular la función derivada.

11.- Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, así como los máximos y mínimos
relativos de la función 1 .
relativos de la función 8 6 Y
.
relativos de la función 1 .
relativos de la función
9 X & 9 `
9 & '
.
Y; & b 9
'; & 9
.
9 c
9 & b
.
relativos de la función A 9
.
relativos de la función A9
3 .
relativos de la función A9X ` 9 `'
.
de 9
9X .

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