sistemas de numeracion
- 3. Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permi-ten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbo-lo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.
- 5. El sistema de numeración que utiliza-mos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígi-tos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc. El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la de-recha.
- 7. El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1). En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números. De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así: 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir: 8 + 0 + 2 + 1 = 11
- 9. El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal. En el sistema de numeración octal, los números se representan mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lu-gar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8. Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así: 2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610 2738 = 149610
- 11. En el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decima-les 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16. Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16: 1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719 1A3F16 = 671910
- 13. La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito: 2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910 2378 = 15910
- 14. Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado 0 0000 0 0 0000 0000 1 0001 1 1 0001 0001 2 0010 2 2 0010 0011 3 0011 3 3 0011 0011 0010 4 0100 4 4 0100 0100 0110 5 0101 5 5 0101 0101 0111 6 0110 6 6 0110 0110 0101 7 0111 7 7 0111 0111 0100 8 1000 8 10 1000 1000 1100 9 1001 9 11 1001 1001 1101 10 1010 A 12 0001 0000 1010 1111 11 1011 B 13 0001 0001 1011 1110 12 1100 C 14 0001 0010 1100 1010 13 1101 D 15 0001 0011 1011 14 1110 E 16 0001 0100 1001 15 1111 F 17 0001 0101 1000
- 15. Para aprender a sumar, con cinco o seis años de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dígitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho más sencilla que en decimal. Sólo hay que recordar cuatro combinaciones posibles: Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes: + 0 1 0 0 1 0 + 0 = 0 1 1 0+1 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posición siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos: 010 + 101 = 111 210 + 510 = 710 001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010 1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110 110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810
- 16. La técnica de la resta en binario es, nuevamente, igual que la misma operación en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: - 0 1 0 0 1 0 – 0 = 0 1 – 0 = 1 1 1+1 0 1 – 1 = 0 La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 10 - 1, es decir, 210 – 110 = 1. Esa unidad prestada debe devolverse, sumándola, a la posición siguiente. Veamos algunos ejemplos: 111 – 101 = 010 710 – 510 = 210 10001 – 01010 = 00111 1710 – 1010 = 710 11011001 – 10101011 = 00101110 21710 – 17110 = 4610 111101001 – 101101101 = 001111100 48910 – 36510 = 12410
- 17. La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender: En un ordenador, sin embargo, la operación de multiplicar se realiza mediante sumas repetidas. Eso crea algunos problemas en x 0 1 la programación porque cada suma de dos UNOS origina un 0 0 0 arrastre, que se resuelven contando el número de UNOS y de arrastres en cada columna. Si el número de UNOS es par, la suma 1 0 1 es un CERO y si es impar, un UNO. Luego, para determinar los arrastres a la posición superior, se cuentan las parejas de UNOS. Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal: 3349 * 13 = 43537
- 18. Igual que en el producto, la división es muy fácil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS. Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario: Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo número de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la división tomando un dígito más (1001 entre 100). Si la división es posible, entonces, el divisor sólo podrá estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente. El procedimiento de división continúa del mismo modo que en el sistema decimal.