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- 1. Métodos De Eliminación Gaussiana Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma: A.X = B El método de eliminación Gaussiana (simple), consiste en escalonar la matriz aumentada del sistema: ( AM B ) para obtener un sistema equivalente : a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + + a1n xn = b1 ′ ′ ′ a22 x2 + a23 x3 + ... + a2n xn = b2′ M ′ ′ ann xn = bn ′ donde la notación aij se usa simplemente para denotar que el elemento aij cambió. Se despejan las incógnitas comenzando con la última ecuación y hacia arriba. Por esta razón, muchas veces se dice que el método de eliminación Gaussiana consiste en la eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: x1 + 2x2 + 3x3 = 1 4x1 + 5x2 + 6 x3 = −2 7 x + 8x + 10x = 5 1 2 3 Usando el método de eliminación Gaussiana. Solución._ Escalonamos la matriz aumentada del sistema: 1 2 3 1 ÷ 4 5 6 −2 ÷ 7 8 10 5 ÷
- 2. Multiplicando por (-4) fila 1 restando a la fila 2: 1 2 3 1 −4F1 − F2 1 2 3 1 ÷ ÷ 4 5 6 −2 ÷ → 0 −3 −6 −6 ÷ 7 8 10 5 ÷ ÷ 7 8 10 5 Multiplicando por (-7) fila 1 restando a la fila 3 Se tiene: 1 2 3 1 1 2 3 1 ÷ ÷ 0 −3 −6 −6 ÷ → 0 −3 −6 −6 ÷ 7 8 10 5 ÷−7 F + F ÷ 1 3 0 −6 −11 −2 Y dividiendo el segundo renglón entre –3 , tenemos la matriz equivalente: 1 2 3 1 1 2 3 1 ÷ ÷ 0 −3 −6 −6 ÷F2 / −3 → 0 1 2 2÷ 7 8 10 5 ÷ ÷ 0 −6 −11 −2 Multiplicando por (3) fila 1 sumando a la fila 3 se obtiene: 1 2 3 1 1 2 3 1 ÷ ÷ 0 1 2 2÷ → 0 1 2 2 ÷ 0 −6 −11 −2 ÷6 F2 + F3 ÷ 0 0 1 10 Por lo tanto, el sistema equivale a: x1 + 2x2 + 3x3 = 1 x2 + 2x3 = 2 x3 = 10 De la última ecuación se tiene; sustituir este valor en la ecuación de arriba para obtener x3 = 10; sustituir estos valores en la ecuación de arriba para obtener x2 = -18 x1 = 7.
- 3. Método de Gauss-Jordan El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El número de operaciones elementales de este método, es superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más). Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el cual, el método de Gauss - Jordán es un método computacionalmenteo bueno cuando tenemos que resolver varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán. En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas con la misma matriz. Descomposición LU Factorización De Cholesky Factorización de QR, Householder Solución De Sistemas Lineales Utilizando Métodos Iterativos Método de Gauss Seidel El método de eliminación para resolver ecuaciones simultáneas suministra soluciones suficientemente precisas hasta para 15 o 20 ecuaciones. Es difícil definir el margen
- 4. mínimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es aún más difícil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinación de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe. No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incógnita diferente para cada ecuación es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuación, la convergencia está asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultáneas lineales se conoce como sistema diagonal. La secuencia de pasos que constituyen el método de Gauss-Seidel es la siguiente: 1. Asignar un valor inicial a cada incógnita que aparezca en el conjunto. Si es posible hacer una hipótesis razonable de éstos valores, hacerla. Si no, se pueden asignar valores seleccionados arbitrariamente. Los valores iniciales utilizados no afectarán la convergencia como tal, pero afectarán el número de iteraciones requeridas para dicha convergencia. 2. Partiendo de la primera ecuación, determinar un nuevo valor para la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando para las otras incógnitas los valores supuestos. 3. Pasar a la segunda ecuación y determinar en ella el valor de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en esa ecuación, utilizando el valor calculado para la incógnita del paso 2 y los valores supuestos para las incógnitas restantes. 4. Continuar con las ecuaciones restantes, determinando siempre el valor calculado de la incógnita que tiene el coeficiente más grande en cada ecuación particular, y utilizando siempre los últimos valores calculados para las otras incógnitas de la ecuación. (Durante la primera iteración, se deben utilizar los valores supuestos para las incógnitas hasta que se obtenga un valor calculado). Cuando la ecuación final ha sido resuelta, proporcionando un valor para la única incógnita, se dice que se ha completado una iteración. 5. Continuar iterando hasta que el valor de cada incógnita, determinado en una iteración particular, difiera del valor obtenido en la iteración previa, en una cantidad menor que cierto error seleccionado arbitrariamente. El procedimiento queda entonces completo.
- 5. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuación por el método Gauss-Seidel utilizando un error = 0.001. 0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = 19,30 3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85 0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40 1 2 3 Solución : Primero ordenar las ecuaciones, de modo que en la diagonal principal estén los coeficientes mayores para asegurar la convergencia. 3,0x1 − 0,1x2 − 0,2x3 = 7,85 0,1x1 − 7,0x2 − 0,3x3 = −19,30 0,3x − 0,2x − 10,0x = 71,40 1 2 3 Despejar cada una de las variables sobre la diagonal: 7,850,1x2 + 0,2x3 x1 − = 3 −19,30 + 0,1x1 − 0,3x3 x2 = 7 71,40 − 0,3x1 + 0,2x2 x3 = 10 Suponer los valores iniciales x2 = 0 y x3 = 0 y calcular x1: 7,85 x1 − = 0 = 2,616666 3 Este valor junto con el de x3 se puede utilizar para obtener x2: −19,30 + 0,1x1 − 0,3x3 x2 = 0 = −2,794523 7 La primera iteración se completa sustituyendo los valores de x 1 y x2 calculados obteniendo: −19,30 + 0,1 ( 2,616666 ) − 0,3 ( −2,794523 ) x3 = 0 = 7,005609 10 En la segunda iteración, se repite el mismo procedimiento:
- 6. 7,85 + 0,1 ( −2,794523 ) − 0,2 ( 7,005609 ) x1 = 1 = 2,990556 3 −19,30 − 0,1 ( 2,990556 ) + 0,3 ( 7,005609 ) x2 = 1 = −2,499624 7 71,4 − 0,3 ( 2,990556 ) + 0,2 ( −2,499624 ) x3 = 1 = 7,000290 10 Comparando los valores calculados entre la primera y la segunda iteración, se absoluto de cada variable: x1 − x1 = 2,990556 − 2,616666 = 0,373890 1 0 x2 − x2 = −2,794523 − ( −2,499524 ) = 0,294899 1 0 x3 − x3 = 7,005609 − 7,000290 = 0,005319 1 0 Como se observar, no cumple la condición: xi1 − xi0 < error, siendo i = 1,2,3 Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para iteración. Se repite el proceso: 7,85 + 0,1 ( −2,499624 ) − 0,2 ( 7,000290 ) x1 = 2 = 3,000031 3 −19,30 − 0,1 ( 3,000031) + 0,3 ( 7,000290 ) x2 = 2 = −2,499988 7 71,4 − 0,3 ( 3,000031) + 0,2 ( −2,499988 ) x3 = 2 = 6 ,999999 10 Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto) x1 − x1 = 3,000031 − 2,990556 = 0,009475 2 1 x2 − x2 = −2,499988 − ( −2,499624 ) = 0,000364 2 1 x3 − x3 = 6 ,999999 − 7,000290 = 0,000291 2 1 Como se observa todavía no se cumple la condición xi2 − xi1 < error, siendo i = 1,2,3 Se toma los valores calculados en la última iteración como supuestos para la siguiente iteración. Se repite el proceso:
- 7. 7,85 + 0,1 ( −2,499988 ) − 0,2 ( 6 ,999999 ) x1 = 3 = 3,000000 3 −19,30 − 0,1 ( 3,000000 ) + 0,3 ( 6 ,999999 ) x2 = 3 = −2,500000 7 71,4 − 0,3 ( 3,000000 ) + 0,2 ( −2,500000 ) x3 = 3 = 7,000000 10 Comparar de nuevo los valores obtenidos (calculo error absoluto) x1 − x12 = 3,000000 − 3,000031 = 0,000031 3 x2 − x2 = −2,500000 − ( −2,499988 ) = 0,000012 3 2 x3 − x3 = 7,000000 − 6 ,999999 = 0,000001 3 2 Dado que se cumple la condición, el resultado es: x1 = 3,0 x2 = −2,5 x3 = 7,0 Método de Jacobi El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el método requiere un número infinito de operaciones, ya que la eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b para cualquier vector inicial X o. Partimos de una aproximación inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y sustituimos estos valores en la ecuación: (k) Que es la expresión que nos proporciona las nuevas componentes del vector x en función de (k-1) vector anterior x en la iteración de Jacobi, en su respectivo algoritmo; donde el a el método de Jacobi más que usar el último valor disponible de , con base en un conjunto de las x anteriores (). De esta forma, como se generan nuevos valores, no se usan en forma inmediata sino que se retienen para la siguiente iteración.