Metodo simplexdual
- 1. METODO DUAL SIMPLEX. Este método se aplica a problemas óptimos pero infactibles. En este caso, las restricciones se expresan en forma canónica (restricciones ). La función objetivo puede estar en la forma de maximización o de minimización. Después de agregar las variables de holgura y de poner el problema en la tabla, si algún elemento de la parte derecha es negativo y si la condición de optimidad está satisfecha, el problema puede resolverse por el método dual simplex. Note que un elemento negativo en el lado derecho significa que el problema comienza óptimo pero infactible como se requiere en el método dual simplex. En la iteración donde la solución básica llega a ser factible esta será la solución óptima del problema. CONDICION DE FACTIBILIDAD. La variable que sale es la variable básica que tiene el valor más negativo (los empates se rompen arbitrariamente si todas las variables básicas son no negativas, el proceso termina y esta última tabla es la solución óptima factible). CONDICION DE OPTIMIDAD. La variable que entra se elige entre las variables no básicas como sigue. Tome los cocientes de los coeficientes de la función objetivo entre los coeficientes correspondientes a la ecuación asociada a la variable que sale. Ignore los cocientes asociados a denominadores positivos o cero. La variable que entra es aquella con el cociente más pequeño si el problema es de minimizar o el valor absoluto más pequeño si el problema es de maximización (rompa los empates arbitrariamente). Si los denominadores son ceros o positivos el problema no tiene ninguna solución factible.
- 2. EJERCICIOS RESUELTOS V INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Método Simplex Dual Docente: Juan Carlos Vergara Schmalbach F.O. Min. Z = 4X1 + 12X2 + 18X3 S.A. X1 + 3X3 ≥ 3 2X2 + 2X3 ≥ 5 X1, X2, X3 ≥ 0 SOLUCIÓN1 PASO 1: Convertir el problema de minimización en uno de maximización. La función objetivo se multiplica por -1 F.O. Max. Z = - 4X1 - 12X2 - 18X3 Las restricciones se multiplican por -1 S.A. - X1 - 3X3 ≤ -3 - 2X2 - 2X3 ≤ -5 X1, X2, X3 ≥ 0 PASO 2: Se convierten las inecuaciones en ecuaciones. F.O. Z + 4X1 + 12X2 + 18X3 = 0 S.A. - X1 - 3X3 + S1 = -3 – 2X2 - 2X3 + S2 = -5 1HILLER, Frederick. "INTRODUCCIÓN A LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES". Editorial Mc. Graw Hill. México, 1997. Pág. 265
- 3. PASO 3: Se determinan las variables básicas y no básicas. ·Básicas: S1 y S2 ·No Básicas: X1, X2 y X3 PASO 4: Elaborar la tabla inicial del simplex Variable Básica Variables X1 X2 X3 S1 S2 Solución S1 -1 0 -3 1 0 -3 S2 0 -2 -2 0 1 -5 Z 4 12 18 0 0 0 PASO 5: Determinar la variable que sale (fila pivote) Es el número más negativo de la solución de las restricciones = fila de S2 PASO 6: Determinar la variable que entra (columna pivote) Razón = Coeficiente de Z / coeficiente fila pivote. Razón Mayor = Columna X2 (-12 / 2) Variable Básica Variables X1 X2 X3 S1 S2 Solución S1 -1 0 -3 1 0 -3 S2 0 -2 -2 0 1 -5 Z 4 12 18 0 0 0 Razón - -6 -9 - 0 PASO 7: Elaborar la nueva tabla del simplex a) Nueva fila pivote = Fila pivote / elemento pivote 0 -2 -2 0 1 -5 -2 -2 -2 -2 -2 -2 0 1 1 0 -0,5 2,5 Fila Pivote Elemento Pivote Nueva Fila Pivote
- 4. b) Nuevas filas = fila anterior - coeficiente de la columna pivote x nueva fila pivote. Nueva Fila (S1) -1 0 -3 1 0 -3 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 -0,5 2,5 -1 0 -3 1 0 -3 Nueva Fila (Z) 4 12 18 0 0 0 12 12 12 12 12 12 0 1 1 0 -0,5 2,5 4 0 6 0 6 -30 Nueva Tabla del Simplex Variable Básica Variables X1 X2 X3 S1 S2 Solución S1 -1 0 -3 1 0 -3 X2 0 1 1 0 -1 2,5 Z 4 0 6 0 6 -30 Razón -4 - -2 0 - Se realizan nuevamente los pasos del 5 al 7 obteniendo como solución final: Variable Básica Variables X1 X2 X3 S1 S2 Solución X3 0,33 0 1 -0,33 0 1 X2 -0,33 1 0 0,33 -0,5 1,5 Z 2 0 0 2 6 -36 NOTA: No hay más iteraciones cuando no existan soluciones con coeficientes negativos. R El valor mínimo se alcanza para un X2 = 3/2 y X3 = 1, para un Z = 36 X Fila Anterior Coeficiente Nueva Fila Pivote Nueva Fila
- 5. EJEMPLO 2 Minimizar Sujeto a: Minimizar Sujeto a: V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución Z 1 -2000 -1000 0 0 0 S1 0 -3 -1 1 1 -40 S2 0 -2 -2 0 0 -60 V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución Z 1 -1000 0 0 -500 30000 S1 0 -2 0 1 -1/2 -10 X2 0 1 1 0 -1/2 30 V. Básica Z X1 X2 S1 S2 Solución Z 1 0 -1000 -500 -250 35000 S1 0 1 -1 -1/2 1/ 4 5 S2 0 0 -2 1/ 2 -5/4 25
- 6. Ejemplo 3 Resolver por el método simplex-dual el siguiente programa lineal. Mínimizar Z = 2X1 + X2 Sujeto a 3X1 + X2 ≥≥≥≥ 3 4X1 + 3X2 ≥≥≥≥ 6 X1 + 2X2 ≥≥≥≥ 3 X 1 ≥≥≥≥ 0 , X2 ≥≥≥≥ 0
- 7. Reescribiendo este programa Máximizar – Z = – 2X1 – X2 Sujeto a – 3X1 – X2 + X3 = – 3 – 4X1 – 3X2 + X4 = – 6 – X1 – 2X2 + X5 = – 3 X1 ≥≥≥≥ 0 , X2 ≥≥≥≥ 0 , X3 ≥≥≥≥ 0 , X4 ≥≥≥≥0 , X5 ≥≥≥≥ 0
- 8. Coeficiente de Iteración Variable Básica Número Ecuación Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado Derecho 0 Z 0 -1 2 1 0 0 0 0 X3 1 0 -3 -1 1 0 0 -3 X4 2 0 -4 -3 0 1 0 -6 X5 3 0 -1 -2 0 0 1 -3 Tabla Simplex-Dual
- 9. Coeficiente de Iteración Variable Básica Número Ecuación Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado Derecho 1 Z 0 -1 2/3 0 0 1/3 0 -2 X3 1 0 -1 2/3 0 1 - 1/3 0 -1 X2 2 0 1 1/3 1 0 - 1/3 0 2 X5 3 0 1 2/3 0 0 - 2/3 1 1 Tabla Primera Iteración
- 10. Coeficiente de Iteración Variable Básica Número Ecuación Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado Derecho 2 Z 0 -1 0 0 2/5 1/5 0 -2 2/5 X1 1 0 1 0 - 3/5 1/5 0 3/5 X4 2 0 0 1 4/5 - 3/5 0 1 1/5 X5 3 0 0 0 1 -1 1 0 Tabla Segunda Iteración
- 11. Coeficiente de Iteración Variable Básica Número Ecuación Z X1 X2 X3 X4 X5 Lado Derecho 0 Z 0 -1 2 1 0 0 0 0 X3 1 0 -3 -1 1 0 0 -3 X4 2 0 -4 -3 0 1 0 -6 X5 3 0 -1 -2 0 0 1 -3 1 Z 0 -1 2/3 0 0 1/3 0 -2 X3 1 0 -1 2/3 0 1 - 1/3 0 -1 X2 2 0 1 1/3 1 0 - 1/3 0 2 X5 3 0 1 2/3 0 0 - 2/3 1 1 2 Z 0 -1 0 0 2/5 1/5 0 -2 2/5 X1 1 0 1 0 - 3/5 1/5 0 3/5 X2 2 0 0 1 4/5 - 3/5 0 1 1/5 X5 3 0 0 0 1 -1 1 0 Tabla Final