Mgrandeejemplos
- 1. Universidad Nacional Experimental de Guayana Coordinación de Pregrado Facultad de Ingeniería En Informática Programación Dinámica Lineal y Entera Ejercicios Resueltos de M Grande PASOS: 1. Pasar a la forma estándar el Modelo Matemático 2. Agregar variable artificial donde no hay variable de holgura 3.Penalizar las variables artificiales en la función objetivo asignando coeficiente positivo muy grande "M" (minimizar = +M, maximizar= -M) 4.Quitar las "m" de la columna artificial, ya teniendo solución inicial 5.Se aplica el Método Simplex 1. EJERCICIOS: Maximizar z= 3x1 + 5x2 x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1+2x2=18 x1, x2 ≥ 0 *La función objetivo se debe penalizar con -M, por ser maximización y para hacer z=0 por lo tanto: z= 3x1 + 5x2 -M, entonces: z-3x1-5x2+M= 0 x1 + H1 = 4 2x2 +H2 = 12 3x1 + 2x2 + A1 = 18
- 2. (-MR4+R1) -3R2+R4; (3M+3)R2+R1 R4(-2)+R3 ; R4 (2M+5)+R1 R3(-1)+R2 ; R3 (9/2)+R1 ; R3(3/2)+R4 Solucion: x= 2 x2=6 H1=2 x1 + H1 = 4 2x2 + H2 = 12 3x1+2x2 +A1 = 18 Entonces: 2+2 = 4
- 3. 2(6) + 0 = 12 3(2) + 2(6) +0 =18 2. EJERCICIO: Minimice Z= 4X1 + X2 La forma estándar se obtiene restando un superávit X3 en la segunda restricción y añadiendo una holgura X en la tercera restricción. Por tanto obtenemos Minimice Z= 4X1 +X2 La primera y segunda ecuación no tiene variables que desempeñen el papel de holguras. Por consiguiente, utilizamos las variables R1 y R2 en estas dos ecuaciones y las penalizamos en la función objetivo con MR1 + MR2. La PL resultante se da como Minimice Z=4X1 +X2 + MR1 + MR2
- 4. En el modelo modificado, ahora podemos utilizar R1, R2 y X4 como la solución básica factible inicial como lo demuestra la siguiente tabla simplex Antes de proceder con los cálculos del método simplex, necesitamos hacer que el renglón -Z sea consistente con el resto de la tabla simplex. De manera específica, el valor de z asociado con la solución básica inicial R1 = 5, R2 6, y X4 = 4 debe ser 3M + 6M + O = 9M en vez de O, como se muestra en el lado derecho del renglón -Z. Esta inconsistencia se debe al hecho de que R, y R2 tienen coeficientes no cero (-M, -M) en e! renglón -Z Estas inconsistencias se eliminan sustituyendo R1 y R2 en el renglón -Z, utilizando las ecuaciones apropiadas de restricción. En particular, observe los elementos “1” realzados en el renglón -R1 y en el renglón -R2. Multiplicando cada uno de los renglones –R1 y de los renglones -R2 por M y añadiendo la suma al renglón -Z, efectivamente se sustituirá a R1 y R2 en el renglón objetivo. Podemos resumir este paso como
- 5. Nuevo renglón Z= Antiguo renglón Z + M x (Renglón R1) + M x (Renglón R2) Esto se aplica como 3. EJERCICIO: Maximizar: Z3x1+5x2 X1≤4 *con signos mayor que o menor que agrego holgura 2x2≤12 3x1+2x2=18 *con signo = agrego artificial X1 X2 ≥0 La función objetivo se debe panalizar con -MA1, por ser maximización y para hacer a z=0 por lo tanto, Z-3X1-5X2+MA1=0 Entonces las restricciones quedarían: X1+H1=4 2X2+H2=12 3X1+2X2+A1=18
- 7. Minimizar Sujeto a: Minimizar Sujeto a: Minimizar Sujeto a: Minimizar Sujeto a:
- 8. V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución Z 1 -3 -2 -4 0 0 -M 0 R1 0 2 2 3 -1 0 1 15 S2 0 2 3 1 0 1 0 12 V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución Z 1 -3+2M -2+2M -4+3M -M 0 0 15M R1 0 2 2 3 -1 0 1 15 S2 0 2 3 1 0 1 0 12 Criterio para seleccionar la variable entrante: Maximización : El valor mayor negativo del renglón Z. Minimización : El valor mayor positivo del renglón Z. V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución Z 1 -1/3 2/3 0 -4/3 0 4/3-M 20 X3 0 2/3 2/3 1 -1/3 0 1/3 5 S2 0 4/3 7/3 0 1/3 1 -1/3 7 V.B. Z X1 X2 X3 S1 S2 R1 Solución Z 1 -5/7 0 0 -10/7 -2/7 10/7-M 18 X3 0 2/7 0 1 -3/7 -2/7 3/7 3
- 9. X2 0 4/7 1 0 1/7 3/7 -1/7 3 5. EJERCICIOS: Maximizar Sujeto a: Maximizar Sujeto a:
- 10. Maximizar Sujeto a: Maximizar Sujeto a: V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución Z 1 -4 -1 0 0 M M 0 R1 0 3 1 0 0 0 0 3 R2 0 4 3 -1 0 1 1 6 S2 0 1 2 0 1 0 0 3 V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución Z 1 -4-7M -1-4M M 0 0 0 -9M R1 0 3 1 0 0 0 0 3
- 11. R2 0 4 3 -1 0 1 1 6 S2 0 1 2 0 1 0 0 3 V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución Z 1 0 1/3- 5/3M M 0 4/3+7/3M 0 4-2M X1 0 1 1/3 0 0 1/3 0 1 R2 0 0 5/3 -1 0 -4/3 0 2 S2 0 0 5/3 0 1 -1/3 1 2 V.B. Z X1 X2 S1 S2 R1 R2 Solución Z 1 0 0 1/5 0 8/5+M -1/5+M 18/5 X1 0 1 0 1/5 0 3/5 3/5 R2 0 0 1 -3/5 0 -4/5 3/5 6/5 S2 0 0 0 1 1 1 -1 1
- 12. 6. EJERCICIO
- 13. 7. EJERCICIO Resuelva el siguiente modelo de programación lineal aplicando la Técnica de la Gran M. Max. Z= 2X1 + X2 s.a. X1 + X2 = 4 -X1 + 2 X2 = 2 X1, X2 0 Penalización. Max. Z= 2X1 + X2 –MW1 – MW2 s.a. X1 + X2 + W1 = 4 -X1 + 2 X2 + W2 = 2 X1, X2, W1, W2 0 Igualamos a 0 la función objetivo. Z = 2X1 + X2 –MW1 – MW2
- 14. Z -2X1 - X2 +MW1 + MW2 = 0