Sol4
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1) El resumen trata sobre problemas de matemáticas de 2o de ESO y bachillerato. Incluye cálculos para determinar el aumento porcentual del área de un rectángulo cuando se modifican su base y altura, y hallar el valor de a·b·c cuando se conocen valores de a·b, b·c y a·c. 2) También resume la solución a un problema geométrico que involucra ángulos de un triángulo y su bisectriz, y cálculos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones.
Sol4
- 1. Problemas de la 4ª semana 2º ESO 1º-) Si la base de un rectángulo se aumenta un 20% y la altura un 25%, ¿qué tanto por ciento aumenta su área?. Solución: Sean a y b la base y la altura del rectángulo, su área es A = ab, la base del nuevo rectángulo es a + 0,2a = 1,2a y la altura b + 0,25b = 1,25b, el área de este nuevo rectángulo es A = 1,2a•1,25b = 1,5ab. Luego el área aumenta 0,5ab, es decir, el 50%. 2º-) Si a, b, y c son números positivos que verifican: a⋅b = 3 ; b⋅c = 8 y a⋅c = 6. Calcular a⋅b⋅c Solución: Multiplicando miembro a miembro las tres igualdades obtenemos: a·b·b·c·a·c =3·8·6 → a2 ·b2 ·c2 = 144 → haciendo raíz cuadrada → a·b·c = 12. 3º-) La bisectriz del ángulo A forma 85º con el lado opuesto y 54º con la bisectriz del ángulo C. Calcular los ángulos del triángulo. Solución: CM es bisectriz, luego: 85º + 54º + 2 C = 180º → 2 C = 41º Los restantes ángulos son los de la figura. Los ángulos son: A = 26º ; B = 72º C = 82º.
- 2. 4º ESO 1º-) ¿Cuál es el dígito unidad de 32003 ? Solución: Calculamos las primeras potencias de 3: 31 = 3 → 32 = 9 → 33 = 27 → 34 = 81 → 35 = 243 → 36 = 729 Vemos que la última cifra se repite cíclicamente cada 4 potencias, luego al dividir el exponente 2003 entre 4 da de resto 3, entonces el dígito unidad de 32003 es el mismo que el dígito unidad de 33 , es decir, 7. 2º-) Sea ab un número de dos dígitos. La suma de los cubos de los dígitos es 243, y el producto de la suma de los dígitos por el producto de los dígitos es 162. Hallar el número. Solución: ( ) =⋅+ =+ 162 24333 abba ba → ( ) ( )baabbaabbababa +++=+++=+ 333 3322333 ( ) 97297291623243 33 ==+⇒=⋅+=+ baba == + = =+ 18 9 162162 9 ba ab ba → Resolviendo el sistema → a = 3 ; b = 6 3º-) Un rectángulo es dividido en rectángulos más pequeños, como se muestra en la figura. Si los perímetros de los 5 rectángulos pequeños son los de la figura. Calcular el perímetro del rectángulo grande. x y z a 6 b 12 4 6 c 8 Solución Consideremos las incógnitas de la figura, se verifica =+→=+ =+→=+ =+→=+ =+→=+ =+→=+ 3622 61222 4822 2422 3622 zbzb xbxb ycyc ybyb yaya → últimas2las yprimeras3lasSumando → −=+ −=++ bzx ycba 29 39
- 3. El perímetro es ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 282436436 44364292184218 618222 =⋅−=+− =−−=−−+=−++ =−+++=+++++= yb ybybyzx yzyxcbazyxP Bachillerato 1º-) ¿Cuál de los dos números 3312 y 6310 es mayor? Solución: ( ) ( ) 601061010 601251212 226463 223233 ==< ==> → 1012 6333 > 2º-) Resolver la ecuación 77256725 = +⋅+ − xx Solución: Multiplicamos la ecuación por x + 725 → xxxxx +⋅= +⋅ +⋅+ +⋅ − 72577257256725725 xxx +⋅= +⋅+ +⋅ − 72577256725725 2 ( ) xxx +⋅= +⋅+ − 72577256725 2 22 xxx cambioelhacemos +=⇒ +⋅= +⋅+ 725y725772561 2 6 1 ;10176761 22 ==⇒=+−⇒=+ yyoresolviendyyyy =⇒ +==⇒ += + 6 1 loglog725 6 1 ;07251 725 xaritmostomandox xx
- 4. 3º-) La diagonal de un paralelepípedo rectangular es L y forma un ángulo α con el plano de la base. Calcular el área lateral del paralelepípedo si el área de la base es S. Solución: ( ) ( ) ( ) αα ααα ααα α 22 222222222 22222222 cos22222 cos2cos2cos22 cos 22 cos cos LSsenLbahhahblateralÁrea LSbaLSbaLSabba sumando Lba Sba Lba Sba senLh Ld +⋅⋅⋅=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅= +=+⇒+=+⇒+=++ ⇒ ⋅=+ =⋅⋅ ⇒ ⋅=+ =⋅ ⇒ ⋅= ⋅= a b dα h