Imagen abstracta de una mujer sentada en libros y estudiando en una computadora portátil

Systemas Y Control Automatco para ingenieros eléctricos

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Universidad de Tarapaca

Este documento presenta el análisis de sistemas mediante el método de la energía y las analogías mecánico-eléctricas. Introduce conceptos como torque-voltaje, ecuaciones de energía cinética y potencial, y ecuación de Lagrange. Incluye varios ejemplos numéricos que ilustran cómo modelar sistemas mecánicos y encontrar sus ecuaciones de movimiento equivalentes a circuitos eléctricos.

Ingeniería
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UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ANALISIS DE SISTEMAS Y CONTROL AUTOMATICO. Paul Terrazas L. 8 de marzo de 2021 Resumen Análisis de sistemas es un lenguaje matemátco que ayuda a proponer sistemas análogos mecánicos a eléctricos para obtener un resultado de acorde a un valor aproximado a la realidad. Se plantean dibujos y ejercicios que están desarrollados en base a diferentes niveles de aprendisaje.
2 Índice 1. Acerca del texto 3 2. Marco teórico Torque-Voltaje 4 3. Analogı́a Torque-Voltaje 5 3.1. Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.2. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2. METODO DE LA ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.5. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6.1. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.7. Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.8. Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.8.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Desarrollo por medio de la Energı́a 10 4.1. Ecuación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Ecuaciones cinéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3. Coordenadas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.4. Función de disipación de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.5. Ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.6. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.7. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.8. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.9. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.9.1. Desarrollo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.9.3. Analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.9.4. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
1 Acerca del texto 3 1. Acerca del texto Este texto representa el resumen de una serie de apuntes de ingenierı́a con la finalidad de unificar los diferentes ramos de la carrera en un solo texto. Se estudiará Análisis de Sistemas mecánicos para poder estudiarlos con sistemas eléctricos a con de circuitos eléctricos. No contiene palabras ya que esta explicada en el canal de youtube por lo tanto se simplifica el resumen de ejercicios. WEB Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
2 Marco teórico Torque-Voltaje 4 2. Marco teórico Torque-Voltaje Dispositivos de Acoplamiento Mecánico Los dispositivos de acoplamiento mecánico son elementos que permiten unir partes de sistemas mecánicos de los tipos básicos ya vistos, sean éstos del tipo trasla- cional o rotatorios (es decir: elementos inerciales o masas, elementos elásticos y elementos disipativos o amortiguadores). Estos elementos de acoplamiento permiten cambiar velocidades, fuerzas o torques y direcciones de los movimientos entre las distintas partes de un sistema. En general, cuando se consideran ideales los dispositivos de acoplamiento mecánico, ellos no introducen pérdidas de energı́a en el sistema (lo que equivale a decir que no hay fuerzas disipativas por roce o fricción). También en un caso próximo al ideal, se pueden despreciar sus inercias (lineales o rotacionales) y sus partes constituyentes se pueden suponer no deformables, es decir, se pueden considerar perfectamente rı́gidas. Todas estas consideraciones son teóricas en un sentido estricto, ya que es imposible conseguir en forma total la eliminación de estos efectos en un aparato real. Sin embargo es fácil establecer un modelo de un sistema de acoplamiento real, agregando al modelo ideal elementos de inerciales, disipativos y elásticos que incluyan estas caracterı́sticas inevitables. Los tipos más conocidos son: palancas, engranajes, conjuntos de poleas y correas, piñones y cadenas, combinaciones de cremalleras con engranajes y tornillos sin fin. A continuación analizaremos los aspectos de cada tipo, necesarios para establecer un modelo matemático y la respectiva representacion eléctrica análoga. Existen otras formas especiales de acoplamiento, por ejemplo las combinaciones de bielas y cigüenal, o levas y otras diversas, que por su geometrı́a presentan no linealidades por lo que no se analizarán. a)Palancas. Palancas. Palancas. Constituyen el caso más simple, sea el tipo de la figura siguiente: Las diversas variables mecánicas se rigen por las leyes de la estática. En particular, las fuerzas en ambos extremos están relacionadas según las longitudes de los brazos por: F1r1 = F2r2 → F1 F2 = r2 r1 Por la conservación de la energı́a, el trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza F1 al desplazar hacia abajo el extremo derecho de la palanca una distancia x1 debe ser igual al trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza F2 al desplazar hacia arriba el extremo izquierdo de la palanca una distancia x2 , esto es: p1 = p2 → F1x1 t = F2x2 t → x1 x2 = F2 F1 → x1 x2 = r1 r2 finalmente se obtiene: x1r2 = x2r1 → dx1 dt r2 = dx2 dt r1 → u1r2 = u2r1 → u1 u2 = r1 r2 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
3 Analogı́a Torque-Voltaje 5 3. Analogı́a Torque-Voltaje 3.1. Ejemplo 1. 3.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [5] V = L1 di1 dt + 1 C1 R (i1 − i2)dt + V13 V13 V13 [2] 0 = J2θ̈2 +B2θ̇2 +k1(θ2 −θ1)+τ24 τ24 τ24 [6] 0 = L2 di2 dt +R2i2 + 1 C1 R (i2 −i1)dt+V24 V24 V24 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31 V31 V31 = L3 di3 dt + R1i3 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42 V42 V42 = L4 di4 dt + R3i4 + 1 C2 R i4dt 3.1.2. Circuito equivalente. Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
3 Analogı́a Torque-Voltaje 6 3.2. METODO DE LA ENERGÍA 3.3. Ecuaciones de energı́a. Energı́a cinética T = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3θ̇2 3 + 1 2 J4θ̇2 4 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2θ2 4 Energı́a Disipativa D = 1 2 B2θ̇2 2 + 1 2 B1θ̇2 3 + 1 2 B3θ̇2 4 3.4. Ecuación de transformador. Como existe un transformador se debe considerar la relación: θ3 θ1 = 1 a → θ3 = 1 a θ1 θ4 θ2 = 1 b → θ4 = 1 b θ2 Energı́a cinética T = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] Energı́a Potencial U = 1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 Energı́a Disipativa D = 1 2 B2θ̇2 2 + 1 2 B1[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 B3[ 1 b2 θ̇2 2] 3.5. Ecuación del Lagrangiano. L = T − U (1) L = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] − [1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 ] L = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] − 1 2 k1(θ1 − θ2)2 − 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 ∂L ∂θ̇1 = J1θ̇1 + J3 1 a2 θ̇1 ∂ dt ( ∂L ∂θ̇1 ) = J1θ̈1 + J3 1 a2 θ̈1 ∂L ∂θ̇2 = J2θ̇2 + J4 1 b2 θ̇2 ∂ dt ( ∂L ∂θ̇2 ) = J2θ̈2 + J4 1 b2 θ̈2 ∂L ∂θ1 = −k1(θ1 − θ2) ∂D ∂θ̇1 = B1[ 1 a2 θ̇1] ∂L ∂θ2 = k1(θ1 − θ2) − k2[ 1 b2 θ2] ∂D ∂θ̇2 = B2θ̇2 + B3[ 1 b2 θ̇2] 3.6. Ecuación de Lagrange. d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi i = 1, 2. (2) n=1,Q2 = 1 [1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1 a2 θ̈1] − [−k1(θ1 − θ2)] + B1[ 1 a2 θ̇1] [1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1 a2 θ̈1] + k1(θ1 − θ2) + B1[ 1 a2 θ̇1] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1] θ1 = aθ3 [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1] Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
3 Analogı́a Torque-Voltaje 7 [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3 ¨ aθ3 + B1aθ̇3] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a [J3θ̈3 + B1θ̇3] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [3] τ13 τ13 τ13 = 1 a [J3θ̈3 + B1θ̇3] τ31 τ31 τ31 = aτ13 τ13 τ13 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 n=2, Q2 = 0 d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) − ∂L ∂x2 + ∂D ∂ẋ2 = Q2 (3) [2] 0 = J2θ̈2 + J4[ 1 b2 θ̈2] − k1(θ1 − θ2) − k2[ 1 b2 θ2] + B2θ̇2 + B3[ 1 b2 θ̇2] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 − k2[ 1 b2 θ2] + B3[ 1 b2 θ̇2] + J4[ 1 b2 θ̈2] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b2 [k2θ2 + B3θ̇2 + J4θ̈2] θ2 = bθ4 [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b2 [k2bθ4 + B3bθ̇4 + J4bθ̈4] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4] [4] τ24 τ24 τ24 = 1 b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4] τ42 τ42 τ42 = bτ24 τ24 τ24 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 3.6.1. Resumen de ecuaciones [1] τ1 = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [5] V1 = L1 di1 dt + 1 C1 R (i1 − i2)dt + V13 V13 V13 [2] 0 = J2θ̈2 + B2θ̇2 + k1(θ2 − θ1) +τ24 τ24 τ24 [6] 0 = L2 di2 dt + R2i2 + 1 C1 R (i2 − i1)dt +V24 V24 V24 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31 V31 V31 = L3 di3 dt + R1i3 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42 V42 V42 = L4 di4 dt + R3i4 + 1 C2 R i4dt Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
3 Analogı́a Torque-Voltaje 8 3.7. Ejemplo 2. 3.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. [1] τ1 = J1θ̈1 + τ12 τ12 τ12 [8] V1 = L1 di1 dt + V12 V12 V12 [2] τ21 τ21 τ21 = J2θ̈2 + k1(θ2 − θ1) [9] V21 V21 V21 = L2 di2 dt + 1 C1 R (i2 − i3)dt [3] 0 = J3θ̈3 + B1(θ̇3 − θ̇4) + k1(θ3 − θ2) + τ36 τ36 τ36 [10] 0 = L3 di3 dt + R1(i3 − i4) + 1 C1 R (i3 − i2)dt + V36 V36 V36 [4] 0 = J4θ̈4 + B1(θ̇4 − θ̇3) + B2(θ̇4 − θ̇5) [11] 0 = L4 di4 dt + R1(i4 − i3) + R2(i4 − i5) [5] −τ2 −τ2 −τ2 = J5θ̈5 + +B2(θ̇5 − θ̇4) [12] −V2 −V2 −V2 = L5 di5 dt + R2(i5 − i4) [6] τ63 τ63 τ63 = J6θ̈6 + k2(θ6 − θ7) [13] V63 V63 V63 = L6 di6 dt + 1 C2 R (i6 − i7)dt [7] 0 = J7θ̈7 + B3 ˙ θ7 + k2(θ7 − θ6) [14] 0 = L7 di7 dt + R3i7 + 1 C2 R (i7 − i6)dt 3.7.2. Circuito equivalente Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
3 Analogı́a Torque-Voltaje 9 3.8. Ejemplo 3. 3.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. [1] F F F = m1ẍ1 + B1ẋ1 + k1(x1 − x2) [5] V V V = L1 di1 dt + R1i1 + 1 C1 R (i1 − i2)dt [2] 0 = m2ẍ2 +B2ẋ2 +k1(x2 −x1)+k2x2 +F1 F1 F1 [6] 0 = L2 di2 dt +R2i2 + 1 C1 R (i2 −i1)dt+ 1 C2 R i2dt+V1 V1 V1 [3] τ τ τ = J3θ̈3 + B3θ̇3 + k3(θ3 − θ4) [7] Vτ Vτ Vτ = L3 di3 dt + R3i3 + 1 C3 R (i3 − i4)dt [4] 0 = J4θ̈4 + B4θ̇4 + B5θ̇4 + k3(θ4 − θ3) [8] 0 = L4 di4 dt + R4i4 + R5i4 + 1 C3 R (i4 − i3)dt [5] F1 F2 = l2 l1 F2 = l1 l2 F1 τ τ τ = F2r τ τ τ = l1r l2 F1 [10] Vτ Vτ Vτ = l1r l2 V1 V1 V1 → V1 Vτ = l2 l1r 3.8.2. Circuito equivalente Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
4 Desarrollo por medio de la Energı́a 10 4. Desarrollo por medio de la Energı́a 4.1. Ecuación de Lagrange L = T − U (4) 4.2. Ecuaciones cinéticas Energı́a cinética T = 1 2 mẋ2 (5) Energı́a Potencial U = 1 2 kx2 (6) Energı́a Disipativa D = 1 2 Bẋ2 (7) 4.3. Coordenadas geométricas qi → xi d dt ( ∂L ∂xi ) − ∂L ∂xi = 0 (8) 4.4. Función de disipación de Rayleigh La energı́a dicipada en un sistema se define mediante los elementos dicipadores a través de la ecuación: D = 1 2 (B1δ̇1, B2δ̇2, B3δ̇3, ..., Bnδ̇n) (9) Por lo tanto la ecuación queda: d dt ( ∂L ∂q̇i ) − ∂L ∂qi + ∂D ∂q̇i = 0 (10) Cuando los elementos poseen una exitación de entrada se agrega el término Qi ésimo d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi , i = 1, 2, 3, ..., n (11) Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
4 Desarrollo por medio de la Energı́a 11 4.5. Ejemplo 4. 4.6. Ecuaciones de energı́a. Energı́a cinética T = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3ẋ2 3 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3x2 3 Energı́a Disipativa D = 1 2 B1(ẋ1 − ẋ2)2 + 1 2 B2ẋ2 2 + 1 2 B3ẋ2 3 4.7. Ecuación de transformador. Como existe un transformador se debe considerar la relación: x2 x3 = l1 l2 = a → x3 = 1 a x2 Energı́a cinética T = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3(x2 a )2 Energı́a Disipativa D = 1 2 B1(ẋ1 − ẋ2)2 + 1 2 B2ẋ2 2 + 1 2 B3(ẋ2 a )2 4.8. Ecuación del Lagrangiano. L = T − U (12) L = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 − (1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3(x2 a )2 ) L = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 − 1 2 k1(x1 + x2)2 − 1 2 k2x2 2 − 1 2 k3(x2 a )2 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
4 Desarrollo por medio de la Energı́a 12 4.9. Ecuación de Lagrange. d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi i = 1, 2. (13) ∂L ∂ẋ1 = m1ẋ1 → d dt ( ∂L ∂ẋ1 ) = m1ẍ1 ∂L ∂ẋ2 = m1ẋ2 + 1 a2 m3ẋ2 → d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 ∂L ∂x1 = −k1(x1 − x2) ∂L ∂x2 = k1(x1 − x2) − k2x2 − 1 a2 k3x2 ∂D ∂ẋ1 = B1(ẋ1 − ẋ2) ∂D ∂ẋ2 = −B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 4.9.1. Desarrollo del sistema. n=1, Q1 = F d dt ( ∂L ∂ẋ1 ) − ∂L ∂x1 + ∂D ∂ẋ1 = Q1 (14) [1] F = m1ẍ1 − [−k1(x1 − x2)] + B1(ẋ1 − ẋ2) [1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2) n=2, Q2 = 0 d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) − ∂L ∂x2 + ∂D ∂ẋ2 = Q2 (15) [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 − [k1(x1 − x2) − k2x2 − 1 a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1 a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1 a2 1 a2 1 a2 k3x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + ( 1 a2 1 a2 1 a2 m3ẍ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 k3x2 + 1 a2 1 a2 1 a2 B3ẋ2) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 (m3ẍ2 + k3x2 + B3ẋ2) x2 = ax3 [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 (am3ẍ3 + ak3x3 + aB3ẋ3) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a 1 a 1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1 F1 F1 F1 F1 F1 = 1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [3] F1 = 1 a F2 F1 F2 = 1 a → F1 F2 = l2 l1 [3] F2 = aF1 [3] F2 = a1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [3] F2 F2 F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
4 Desarrollo por medio de la Energı́a 13 4.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange. [1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1 F1 F1 [3] F2 F2 F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3 4.9.3. Analogı́a F-V. [4]V = [5] [6] 4.9.4. Circuito equivalente. Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.

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Systemas Y Control Automatco para ingenieros eléctricos

  • 1. UNIVERSIDAD DE TARAPACÁ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA ANALISIS DE SISTEMAS Y CONTROL AUTOMATICO. Paul Terrazas L. 8 de marzo de 2021 Resumen Análisis de sistemas es un lenguaje matemátco que ayuda a proponer sistemas análogos mecánicos a eléctricos para obtener un resultado de acorde a un valor aproximado a la realidad. Se plantean dibujos y ejercicios que están desarrollados en base a diferentes niveles de aprendisaje.
  • 2. 2 Índice 1. Acerca del texto 3 2. Marco teórico Torque-Voltaje 4 3. Analogı́a Torque-Voltaje 5 3.1. Ejemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.1.2. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2. METODO DE LA ENERGÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.3. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.4. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.5. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3.6.1. Resumen de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3.7. Ejemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.7.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.8. Ejemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.8.2. Circuito equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4. Desarrollo por medio de la Energı́a 10 4.1. Ecuación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.2. Ecuaciones cinéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.3. Coordenadas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.4. Función de disipación de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4.5. Ejemplo 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.6. Ecuaciones de energı́a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.7. Ecuación de transformador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.8. Ecuación del Lagrangiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.9. Ecuación de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.9.1. Desarrollo del sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.9.3. Analogı́a F-V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.9.4. Circuito equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 3. 1 Acerca del texto 3 1. Acerca del texto Este texto representa el resumen de una serie de apuntes de ingenierı́a con la finalidad de unificar los diferentes ramos de la carrera en un solo texto. Se estudiará Análisis de Sistemas mecánicos para poder estudiarlos con sistemas eléctricos a con de circuitos eléctricos. No contiene palabras ya que esta explicada en el canal de youtube por lo tanto se simplifica el resumen de ejercicios. WEB Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 4. 2 Marco teórico Torque-Voltaje 4 2. Marco teórico Torque-Voltaje Dispositivos de Acoplamiento Mecánico Los dispositivos de acoplamiento mecánico son elementos que permiten unir partes de sistemas mecánicos de los tipos básicos ya vistos, sean éstos del tipo trasla- cional o rotatorios (es decir: elementos inerciales o masas, elementos elásticos y elementos disipativos o amortiguadores). Estos elementos de acoplamiento permiten cambiar velocidades, fuerzas o torques y direcciones de los movimientos entre las distintas partes de un sistema. En general, cuando se consideran ideales los dispositivos de acoplamiento mecánico, ellos no introducen pérdidas de energı́a en el sistema (lo que equivale a decir que no hay fuerzas disipativas por roce o fricción). También en un caso próximo al ideal, se pueden despreciar sus inercias (lineales o rotacionales) y sus partes constituyentes se pueden suponer no deformables, es decir, se pueden considerar perfectamente rı́gidas. Todas estas consideraciones son teóricas en un sentido estricto, ya que es imposible conseguir en forma total la eliminación de estos efectos en un aparato real. Sin embargo es fácil establecer un modelo de un sistema de acoplamiento real, agregando al modelo ideal elementos de inerciales, disipativos y elásticos que incluyan estas caracterı́sticas inevitables. Los tipos más conocidos son: palancas, engranajes, conjuntos de poleas y correas, piñones y cadenas, combinaciones de cremalleras con engranajes y tornillos sin fin. A continuación analizaremos los aspectos de cada tipo, necesarios para establecer un modelo matemático y la respectiva representacion eléctrica análoga. Existen otras formas especiales de acoplamiento, por ejemplo las combinaciones de bielas y cigüenal, o levas y otras diversas, que por su geometrı́a presentan no linealidades por lo que no se analizarán. a)Palancas. Palancas. Palancas. Constituyen el caso más simple, sea el tipo de la figura siguiente: Las diversas variables mecánicas se rigen por las leyes de la estática. En particular, las fuerzas en ambos extremos están relacionadas según las longitudes de los brazos por: F1r1 = F2r2 → F1 F2 = r2 r1 Por la conservación de la energı́a, el trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza F1 al desplazar hacia abajo el extremo derecho de la palanca una distancia x1 debe ser igual al trabajo realizado por unidad de tiempo por la fuerza F2 al desplazar hacia arriba el extremo izquierdo de la palanca una distancia x2 , esto es: p1 = p2 → F1x1 t = F2x2 t → x1 x2 = F2 F1 → x1 x2 = r1 r2 finalmente se obtiene: x1r2 = x2r1 → dx1 dt r2 = dx2 dt r1 → u1r2 = u2r1 → u1 u2 = r1 r2 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 5. 3 Analogı́a Torque-Voltaje 5 3. Analogı́a Torque-Voltaje 3.1. Ejemplo 1. 3.1.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [5] V = L1 di1 dt + 1 C1 R (i1 − i2)dt + V13 V13 V13 [2] 0 = J2θ̈2 +B2θ̇2 +k1(θ2 −θ1)+τ24 τ24 τ24 [6] 0 = L2 di2 dt +R2i2 + 1 C1 R (i2 −i1)dt+V24 V24 V24 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31 V31 V31 = L3 di3 dt + R1i3 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42 V42 V42 = L4 di4 dt + R3i4 + 1 C2 R i4dt 3.1.2. Circuito equivalente. Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 6. 3 Analogı́a Torque-Voltaje 6 3.2. METODO DE LA ENERGÍA 3.3. Ecuaciones de energı́a. Energı́a cinética T = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3θ̇2 3 + 1 2 J4θ̇2 4 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2θ2 4 Energı́a Disipativa D = 1 2 B2θ̇2 2 + 1 2 B1θ̇2 3 + 1 2 B3θ̇2 4 3.4. Ecuación de transformador. Como existe un transformador se debe considerar la relación: θ3 θ1 = 1 a → θ3 = 1 a θ1 θ4 θ2 = 1 b → θ4 = 1 b θ2 Energı́a cinética T = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] Energı́a Potencial U = 1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 Energı́a Disipativa D = 1 2 B2θ̇2 2 + 1 2 B1[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 B3[ 1 b2 θ̇2 2] 3.5. Ecuación del Lagrangiano. L = T − U (1) L = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] − [1 2 k1(θ1 − θ2)2 + 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 ] L = 1 2 J1θ̇2 1 + 1 2 J2θ̇2 2 + 1 2 J3[ 1 a2 θ̇2 1] + 1 2 J4[ 1 b2 θ̇2 2] − 1 2 k1(θ1 − θ2)2 − 1 2 k2[ 1 b2 θ2]2 ∂L ∂θ̇1 = J1θ̇1 + J3 1 a2 θ̇1 ∂ dt ( ∂L ∂θ̇1 ) = J1θ̈1 + J3 1 a2 θ̈1 ∂L ∂θ̇2 = J2θ̇2 + J4 1 b2 θ̇2 ∂ dt ( ∂L ∂θ̇2 ) = J2θ̈2 + J4 1 b2 θ̈2 ∂L ∂θ1 = −k1(θ1 − θ2) ∂D ∂θ̇1 = B1[ 1 a2 θ̇1] ∂L ∂θ2 = k1(θ1 − θ2) − k2[ 1 b2 θ2] ∂D ∂θ̇2 = B2θ̇2 + B3[ 1 b2 θ̇2] 3.6. Ecuación de Lagrange. d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi i = 1, 2. (2) n=1,Q2 = 1 [1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1 a2 θ̈1] − [−k1(θ1 − θ2)] + B1[ 1 a2 θ̇1] [1] τ = J1θ̈1 + J3[ 1 a2 θ̈1] + k1(θ1 − θ2) + B1[ 1 a2 θ̇1] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1] θ1 = aθ3 [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3θ̈1 + B1θ̇1] Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 7. 3 Analogı́a Torque-Voltaje 7 [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a2 [J3 ¨ aθ3 + B1aθ̇3] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + 1 a [J3θ̈3 + B1θ̇3] [1] τ = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [3] τ13 τ13 τ13 = 1 a [J3θ̈3 + B1θ̇3] τ31 τ31 τ31 = aτ13 τ13 τ13 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 n=2, Q2 = 0 d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) − ∂L ∂x2 + ∂D ∂ẋ2 = Q2 (3) [2] 0 = J2θ̈2 + J4[ 1 b2 θ̈2] − k1(θ1 − θ2) − k2[ 1 b2 θ2] + B2θ̇2 + B3[ 1 b2 θ̇2] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 − k2[ 1 b2 θ2] + B3[ 1 b2 θ̇2] + J4[ 1 b2 θ̈2] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b2 [k2θ2 + B3θ̇2 + J4θ̈2] θ2 = bθ4 [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b2 [k2bθ4 + B3bθ̇4 + J4bθ̈4] [2] 0 = J2θ̈2 − k1(θ1 − θ2) + B2θ̇2 + 1 b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4] [4] τ24 τ24 τ24 = 1 b [k2θ4 + B3θ̇4 + J4θ̈4] τ42 τ42 τ42 = bτ24 τ24 τ24 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 3.6.1. Resumen de ecuaciones [1] τ1 = J1θ̈1 + k1(θ1 − θ2) + τ13 τ13 τ13 [5] V1 = L1 di1 dt + 1 C1 R (i1 − i2)dt + V13 V13 V13 [2] 0 = J2θ̈2 + B2θ̇2 + k1(θ2 − θ1) +τ24 τ24 τ24 [6] 0 = L2 di2 dt + R2i2 + 1 C1 R (i2 − i1)dt +V24 V24 V24 [3] τ31 τ31 τ31 = J3θ̈3 + B1θ̇3 [7] V31 V31 V31 = L3 di3 dt + R1i3 [4] τ42 τ42 τ42 = J4θ̈4 + B3θ̇4 + k2θ4 [8] V42 V42 V42 = L4 di4 dt + R3i4 + 1 C2 R i4dt Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 8. 3 Analogı́a Torque-Voltaje 8 3.7. Ejemplo 2. 3.7.1. Ecuaciones Torque-Voltaje y analogı́a. [1] τ1 = J1θ̈1 + τ12 τ12 τ12 [8] V1 = L1 di1 dt + V12 V12 V12 [2] τ21 τ21 τ21 = J2θ̈2 + k1(θ2 − θ1) [9] V21 V21 V21 = L2 di2 dt + 1 C1 R (i2 − i3)dt [3] 0 = J3θ̈3 + B1(θ̇3 − θ̇4) + k1(θ3 − θ2) + τ36 τ36 τ36 [10] 0 = L3 di3 dt + R1(i3 − i4) + 1 C1 R (i3 − i2)dt + V36 V36 V36 [4] 0 = J4θ̈4 + B1(θ̇4 − θ̇3) + B2(θ̇4 − θ̇5) [11] 0 = L4 di4 dt + R1(i4 − i3) + R2(i4 − i5) [5] −τ2 −τ2 −τ2 = J5θ̈5 + +B2(θ̇5 − θ̇4) [12] −V2 −V2 −V2 = L5 di5 dt + R2(i5 − i4) [6] τ63 τ63 τ63 = J6θ̈6 + k2(θ6 − θ7) [13] V63 V63 V63 = L6 di6 dt + 1 C2 R (i6 − i7)dt [7] 0 = J7θ̈7 + B3 ˙ θ7 + k2(θ7 − θ6) [14] 0 = L7 di7 dt + R3i7 + 1 C2 R (i7 − i6)dt 3.7.2. Circuito equivalente Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 9. 3 Analogı́a Torque-Voltaje 9 3.8. Ejemplo 3. 3.8.1. Ecuaciones mecanicas y analogı́a F-V. [1] F F F = m1ẍ1 + B1ẋ1 + k1(x1 − x2) [5] V V V = L1 di1 dt + R1i1 + 1 C1 R (i1 − i2)dt [2] 0 = m2ẍ2 +B2ẋ2 +k1(x2 −x1)+k2x2 +F1 F1 F1 [6] 0 = L2 di2 dt +R2i2 + 1 C1 R (i2 −i1)dt+ 1 C2 R i2dt+V1 V1 V1 [3] τ τ τ = J3θ̈3 + B3θ̇3 + k3(θ3 − θ4) [7] Vτ Vτ Vτ = L3 di3 dt + R3i3 + 1 C3 R (i3 − i4)dt [4] 0 = J4θ̈4 + B4θ̇4 + B5θ̇4 + k3(θ4 − θ3) [8] 0 = L4 di4 dt + R4i4 + R5i4 + 1 C3 R (i4 − i3)dt [5] F1 F2 = l2 l1 F2 = l1 l2 F1 τ τ τ = F2r τ τ τ = l1r l2 F1 [10] Vτ Vτ Vτ = l1r l2 V1 V1 V1 → V1 Vτ = l2 l1r 3.8.2. Circuito equivalente Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 10. 4 Desarrollo por medio de la Energı́a 10 4. Desarrollo por medio de la Energı́a 4.1. Ecuación de Lagrange L = T − U (4) 4.2. Ecuaciones cinéticas Energı́a cinética T = 1 2 mẋ2 (5) Energı́a Potencial U = 1 2 kx2 (6) Energı́a Disipativa D = 1 2 Bẋ2 (7) 4.3. Coordenadas geométricas qi → xi d dt ( ∂L ∂xi ) − ∂L ∂xi = 0 (8) 4.4. Función de disipación de Rayleigh La energı́a dicipada en un sistema se define mediante los elementos dicipadores a través de la ecuación: D = 1 2 (B1δ̇1, B2δ̇2, B3δ̇3, ..., Bnδ̇n) (9) Por lo tanto la ecuación queda: d dt ( ∂L ∂q̇i ) − ∂L ∂qi + ∂D ∂q̇i = 0 (10) Cuando los elementos poseen una exitación de entrada se agrega el término Qi ésimo d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi , i = 1, 2, 3, ..., n (11) Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 11. 4 Desarrollo por medio de la Energı́a 11 4.5. Ejemplo 4. 4.6. Ecuaciones de energı́a. Energı́a cinética T = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3ẋ2 3 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3x2 3 Energı́a Disipativa D = 1 2 B1(ẋ1 − ẋ2)2 + 1 2 B2ẋ2 2 + 1 2 B3ẋ2 3 4.7. Ecuación de transformador. Como existe un transformador se debe considerar la relación: x2 x3 = l1 l2 = a → x3 = 1 a x2 Energı́a cinética T = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 Energı́a Potencial U = 1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3(x2 a )2 Energı́a Disipativa D = 1 2 B1(ẋ1 − ẋ2)2 + 1 2 B2ẋ2 2 + 1 2 B3(ẋ2 a )2 4.8. Ecuación del Lagrangiano. L = T − U (12) L = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 − (1 2 k1(x1 − x2)2 + 1 2 k2x2 2 + 1 2 k3(x2 a )2 ) L = 1 2 m1ẋ2 1 + 1 2 m2ẋ2 2 + 1 2 m3(ẋ2 a )2 − 1 2 k1(x1 + x2)2 − 1 2 k2x2 2 − 1 2 k3(x2 a )2 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 12. 4 Desarrollo por medio de la Energı́a 12 4.9. Ecuación de Lagrange. d dt ( ∂L ∂ẋi ) − ∂L ∂xi + ∂D ∂ẋi = Qi i = 1, 2. (13) ∂L ∂ẋ1 = m1ẋ1 → d dt ( ∂L ∂ẋ1 ) = m1ẍ1 ∂L ∂ẋ2 = m1ẋ2 + 1 a2 m3ẋ2 → d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 ∂L ∂x1 = −k1(x1 − x2) ∂L ∂x2 = k1(x1 − x2) − k2x2 − 1 a2 k3x2 ∂D ∂ẋ1 = B1(ẋ1 − ẋ2) ∂D ∂ẋ2 = −B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 4.9.1. Desarrollo del sistema. n=1, Q1 = F d dt ( ∂L ∂ẋ1 ) − ∂L ∂x1 + ∂D ∂ẋ1 = Q1 (14) [1] F = m1ẍ1 − [−k1(x1 − x2)] + B1(ẋ1 − ẋ2) [1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2) n=2, Q2 = 0 d dt ( ∂L ∂ẋ2 ) − ∂L ∂x2 + ∂D ∂ẋ2 = Q2 (15) [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 − [k1(x1 − x2) − k2x2 − 1 a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1 a2 k3x2] − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 m3ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 + 1 a2 1 a2 1 a2 k3x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 B3ẋ2 [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + ( 1 a2 1 a2 1 a2 m3ẍ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 k3x2 + 1 a2 1 a2 1 a2 B3ẋ2) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 (m3ẍ2 + k3x2 + B3ẋ2) x2 = ax3 [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a2 1 a2 1 a2 (am3ẍ3 + ak3x3 + aB3ẋ3) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + 1 a 1 a 1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1 F1 F1 F1 F1 F1 = 1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [3] F1 = 1 a F2 F1 F2 = 1 a → F1 F2 = l2 l1 [3] F2 = aF1 [3] F2 = a1 a (m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3) [3] F2 F2 F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3 Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.
  • 13. 4 Desarrollo por medio de la Energı́a 13 4.9.2. Resumen de ecuaciones de Lagrange. [1] F = m1ẍ1 + k1(x1 − x2) + B1(ẋ1 − ẋ2) [2] 0 = m2ẍ2 − k1(x1 − x2) + k2x2 − B1(ẋ1 − ẋ2) + B2ẋ2 + F1 F1 F1 [3] F2 F2 F2 = m3ẍ3 + k3x3 + B3ẋ3 4.9.3. Analogı́a F-V. [4]V = [5] [6] 4.9.4. Circuito equivalente. Análisis de Sistemas y Control Automático Paul Terrazas L.