Electronica potencia (2)

ELECTRÓNICA DE POTENCIA:
Aspectos Generales y Convertidores Electrónicos
Alexander Bueno Montilla
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
Departamento de Conversión y
Transporte de Energía
Febrero, 2012

Índice general
Índice general III
I Conceptos Básicos 1
1. Análisis de los Circuitos Mediante Series de Fourier. 3
1.1. Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Expresiones de la Serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Serie de Fourier forma compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Transformada Rápida de Fourier (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Simetría de la Función g(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.1. Función Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.2. Función Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5.3. Simetría de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6. Coeﬁcientes de Fourier de Ondas Simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6.1. Funciones Pares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.2. Funciones Impares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6.3. Funciones con Simetría de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7. Valor Efectivo o Eﬁcaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.8. Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.9. Factor de Distorsión Armónica Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11. Factor de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
III

IV ÍNDICE GENERAL
1.12. Análisis de Circuitos Eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13. Cálculo de Potencia Para Formas de Onda Periódicas No Sinusoidales . . . . . . . 12
1.13.1. Potencia Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.13.2. Potencia Aparente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.13.3. Factor de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.14. Potencia de Distorsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.15. Ejemplo de Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.16. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2. Calidad de Servicio Eléctrico 19
2.1. Transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1. Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2. Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Variaciones de Tensión de Corta Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1. Hueco o Sag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Oleaje o Swell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.3. Interrupción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Variaciones de Tensión de Larga Duración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Desbalance de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5. Parpadeo de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6. Desbalance de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7. Distorsión en la Forma de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8. Característica y Clasiﬁcación de los fenómenos Electromagnéticos . . . . . . . . . 29
3. Circuitos con Interruptores 31
3.1. Deﬁniciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2. Circuito Resistivo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Circuito Resistivo Capacitivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1. Resolución de la Ecuación Diferencial en Corriente . . . . . . . . . . . . . 34
3.3.2. Solución de la Ecuación Diferencial Utilizando Transformada de Laplace . 35

ÍNDICE GENERAL V
3.3.3. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4. Circuito Resistivo Inductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.1. Resolución de la Ecuación Diferencial en Corriente: . . . . . . . . . . . . 38
3.4.2. Resolución de la Ecuación Diferencial por Transformada de Laplace . . . . 38
3.4.3. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5.1. Solución Homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.2. Solución Particular Fuente Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5.3. Solución Particular (Régimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . . . . . . 40
3.5.4. Solución Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5.4.1. Solución Particular por el Método Clásico. . . . . . . . . . . . . 41
3.5.5. Formas de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II Aspectos Generales y Dispositivos 45
4. Introducción 47
4.1. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2. Funciones Básicas de los Convertidores Electrónicos de Potencia . . . . . . . . . . 48
4.3. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.1. Residencial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.3.2. Comercial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.3. Industrial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.4. Transporte: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3.5. Transmisión y Otras Utilidades: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4. Dispositivos Semiconductores de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1. Diodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2. Tiristor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.4.3. Triac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

VI ÍNDICE GENERAL
4.4.4. Tiristores Auto Desactivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4.5. Transistores BJT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.6. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4.7. IGBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4.8. SIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5. Clasificación de los Semiconductores de Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.6. Selección de Semiconductores de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7. Ventajas y Desventajas de la Electrónica de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III Puentes AC - DC 69
5. Rectificadores de Media Onda No Controlado 71
5.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.2. Rectificador con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.2.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.3. Tensión Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2.5. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.3.5. Factor de Rizado en Tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3.6. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4. Rectificador con Carga Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.4.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.4.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

ÍNDICE GENERAL VII
5.4.5. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.5.1. Régimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.2. Estado Estacionario. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5.2.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2.2. Tensión Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2.3. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.2.4. Corriente Efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.3. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.6. Rectificador con Carga Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.6.2. Solución Particular Fuente Constante: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.4. Solución Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.6.5. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.6. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6.9. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7. Ejemplo: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7.1. Rectificador con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.7.1.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6. Rectificador de Media Onda Controlado 115
6.2. Rectificador con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

VIII ÍNDICE GENERAL
6.2.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2.5. Factor de Rizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3.1. La corriente para tα ≤ t ≤ tβ es: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.1.1. Solución Homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.1.2. Solución Particular (Régimen Sinusoidal Permanente) . . . . . . 120
6.3.1.3. Solución Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3.2. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.3. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3.6. Factor de Rizado en Tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.3.7. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.4. Rectificador con Carga Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
6.4.1. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.2. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.4.5. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5. Rectificador con Carga Activa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.5.1. Cálculo del límite de controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
6.5.5. Solución Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5.6. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

ÍNDICE GENERAL IX
6.5.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.5.10. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7. Rectificador Monofásico 141
7.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3. Esquema del Rectificador de Onda Completo Monofásico . . . . . . . . . . . . . . 142
7.4. Operación del Puente Rectificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
7.5. Circuito Equivalente del Puente Rectificador Monofásico . . . . . . . . . . . . . . 146
7.6. Análisis de la Condición No Continuada de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7.6.1. Cálculo del Límite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.6.2. Corriente en la carga: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.6.3. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.6.4. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.7. Análisis de la Condición Continuada de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
7.7.2. Solución Homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.7.5. Solución Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.7.6. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.7.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

X ÍNDICE GENERAL
7.7.10. Análisis en Series de Fourier de la Tensión en la Carga . . . . . . . . . . . 155
7.7.10.1. Cálculo de los términos cn: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.7.10.2. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.8. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.9. Puente Semicontrolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.9.1. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
7.9.1.1. Corriente para el intervalo α ≤ ωt ≤ π . . . . . . . . . . . . . . 164
7.9.1.2. Corriente para el intervalo π ≤ ωt ≤ π +α . . . . . . . . . . . . 164
7.9.1.3. Condición continuada de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.9.2. Tensión media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.9.3. Tensión efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.9.4. Corriente media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.9.5. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.10.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga Resistiva . . . . . . . . . . . . . 169
7.10.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.10.3. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . . 174
7.10.3.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.10.4. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL . . . . . . . . . . 180
7.10.4.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
7.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
8. Rectificador Trifásico 191
8.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
8.3. Esquema del Rectificador Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.4. Operación del Puente Rectificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8.5. Análisis de la Operación del Puente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

ÍNDICE GENERAL XI
8.5.2. Solución Homogénea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.5.5. Solución Total: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
8.5.6. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5.7. Corriente Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.5.10. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.6. Manejador de Disparo de los SCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
8.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.7.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL . . . . . . . . . . . . . . . . 208
8.7.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC . . . . . . . . . . . . . . . . 209
8.7.2.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
8.7.3. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL . . . . . . . . . . 214
8.7.3.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Efecto de la Inductancia del Generador en los Rectificadores 225
9.2. Rectificador de Media Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
9.2.1. Análisis del proceso de conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
9.2.2. Corriente en la carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
9.2.3. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.3. Rectificador Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
9.3.1. Análisis del Proceso de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9.3.2. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
9.4. Rectificador Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
9.4.1. Análisis del Proceso de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

XII ÍNDICE GENERAL
9.5. Impacto del Rectificador sobre el Sistema Alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.5.1. Puente Monofásico Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.5.2. Puente Trifásico Controlado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
9.6. Regulación Internacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
10. Efecto de los Rectificadores de Diodos sobre el Sistema de Potencia 251
10.2. Rectificador de media onda con diodo de descarga libre . . . . . . . . . . . . . . . 251
10.3. Rectificador de media onda bifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
10.4. Rectificador monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10.5. Rectificador trifásico de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
10.6. Rectificador trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
10.7. Rectificador hexafásico de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.8. Rectificador hexafásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
10.9. Rectificador Dodecafásico o de 12 pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.10.Límites de distorsión de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
10.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
IV Puentes AC - AC 275
11. Controlador AC - AC 277
11.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
11.3. Puente Semicontrolado Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.3.1. Formas de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
11.3.2. Expresión de Corriente α ≤ ωt ≤ β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.3.3. Ángulo de Apagado (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.3.4. Límite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

ÍNDICE GENERAL XIII
11.3.7. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
11.4. Puente Controlado Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.4.1. Forma de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.4.2. Expresión de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.4.3. Ángulo de Apagado (β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.4.4. Límite de Controlabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.4.7. Conﬁguraciones Adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.4.8. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
11.5. Puente Controlado Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
11.5.1. Conﬁguraciones en Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
11.5.2. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
11.6. Controlador por Modulación de Ancho de Pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
11.6.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
11.7. Compensador Estático de Reactivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
11.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
V Puentes DC - DC 311
12. Controlador DC - DC 313
12.2. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.3. Tipos de Convertidores DC - DC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.3.1. Chopper Reductor o Tipo "A" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12.3.2. Chopper Elevador o Tipo "B" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
12.3.3. Chopper Tipo "C" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
12.3.4. Chopper Tipo "D" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

XIV ÍNDICE GENERAL
12.3.5. Chopper Tipo "E" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
12.3.6. Chopper a Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.4. Análisis del Chopper Reductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.4.1. Condición No Continuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
12.4.1.1. Expresión de Corriente Condición No Continuada. . . . . . . . . 320
12.4.2. Condición Continuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
12.4.3. Expresión de Corriente Condición Continuada. . . . . . . . . . . . . . . . 323
12.4.3.1. Primer ciclo de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.4.3.2. Segundo ciclo de operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
12.4.3.3. Régimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
12.4.3.4. Tensión Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.4.4. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
12.5. Chopper Elevador con carga LE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
12.5.1. Expresión de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.6. Chopper elevador con carga activa RLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.6.1. Etapa de acumulación de energía 0 ≤ t ≤ ton . . . . . . . . . . . . . . . . 333
12.6.2. Etapa de devolución de energía a la fuente ton ≤ t ≤ T . . . . . . . . . . . 334
12.6.3. Rizado de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
12.6.4. Potencia promedio de devuelta a la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
12.6.5. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
12.7. Convertidor Buck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
12.7.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
12.7.2. Análisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
12.8. Convertidor Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
12.8.1. Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
12.8.2. Análisis aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
12.9. Convertidor Buck/Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.10.Frenado Eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
12.10.1.Frenado Regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

ÍNDICE GENERAL XV
12.10.2.Frenado Reostático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.10.3.Frenado Combinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
12.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
VI Puentes DC - AC 355
13. Inversores 357
13.2. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
13.3. Inversor Monofásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
13.3.1. Expresión de Corriente en Régimen Permanente . . . . . . . . . . . . . . 363
13.3.3. Expresión en Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
13.3.3.1. Tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
13.3.3.2. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.3.4. Factor de Distorsión Armónica (THD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.3.5. Potencia Activa de 1ra Armónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.4. Inversor Trifásico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13.4.1. Tensión en Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
13.4.3. Factor de Distorsión Armónica Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4.4. Modelo en Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
13.4.4.1. Inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
13.4.4.2. Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
13.5. Modulación por Ancho de Pulso (PWM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
13.5.1. Índice de Modulación de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
13.5.2. Índice de Modulación de Amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
13.5.3. Contenido Armónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
13.6. Modulación de Ancho de Pulso Modiﬁcada SPWM . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

XVI ÍNDICE GENERAL
13.7. Técnicas Avanzadas de Modulación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.7.1. Trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
13.7.2. Por Inyección de Armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
13.7.3. Escalera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
13.7.4. Por Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.7.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.8. Modulación Delta de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
13.9. Instalación de Inversores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.10.Simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
13.10.1.Inversor monofásico con carga resistiva inductiva. . . . . . . . . . . . . . . 399
13.10.2.Modelo en vectores espaciales del inversor trifásico con carga RL. . . . . . 400
13.10.3.Modulación delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
13.11.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
VII Especiﬁcaciones y Protección de Dispositivos Electrónicos de Poten-
cia 407
14. Especiﬁcaciones de Componentes de Potencia 409
14.2. Tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
14.3. Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.4. Frecuencia de Interrupción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.5. Capacidad de Variación de Corriente (di/dt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.6. Capacidad de Variación de Tensión (dv/dt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.7. Requisitos de Activación y Apagado de Compuerta . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.8. Protección con Fusible I2t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.9. Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.10.Pérdidas en Diodos y Tiristores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.10.1.Pérdidas de Conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
14.10.2.Modelo Térmico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412

ÍNDICE GENERAL XVII
14.11.Pérdidas en Transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.11.1.Pérdidas de Bloqueo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.11.2.Pérdidas de Conducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.11.3.Pérdidas de Conmutación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
14.11.3.1.Modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
14.11.3.2.Modelo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14.11.3.3.Modelo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
14.11.4.Pérdidas Totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
15. Protección de Sobrecorriente en Semiconductores 419
15.1. Aspectos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
15.2. Fusibles ultra rápidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
15.3. Protección termo-magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
15.4. Protección activa de transistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
16. Barra de Corriente Continua 427
16.1. Aspecto Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
16.2. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
16.3. Manejador de frenado dinámico y regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
16.3.1. Frenado dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
16.3.2. Frenado regenerativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
VIII Accionamientos de Máquinas Eléctricas Rotativas 433
17. Introducción a los Sistemas con Accionamiento Eléctrico. 435
17.2. Accionamiento para Máquinas Eléctricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
18. Sistemas Mecánicos 441
18.2. Par de Fricción o Rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444

XVIII ÍNDICE GENERAL
18.3. Par de Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
18.4. Conversión Entre Sistemas Lineales y Rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
18.5. Caja de Cambio o Engranajes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
18.6. Características Mecánicas de Operación de un Accionamiento Eléctrico . . . . . . 450
18.6.1. Par acelerante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
18.6.2. Cuadrantes de Operación de un Accionamiento . . . . . . . . . . . . . . . 450
18.6.3. Par Resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
19. Máquina de Corriente Continua 455
19.1. Principio de Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
19.2. Modelo de la Máquina de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
19.3. Determinación de los Parámetros del Modelo de la Máquina de Corriente Continua 460
19.4. Tipos de Conexión de la Máquina de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . 462
19.4.1. Conexión Independiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
19.4.2. Conexión Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
19.4.3. Conexión Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
19.5. Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua . . . . . . . . . . . . . . . 469
19.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
20. Máquina de Inducción 477
20.1. Modelo en Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
20.2. Modelo en Régimen Sinusoidal Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
20.2.1. Equivalente Thévening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
20.2.2. Característica Par Deslizamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
20.2.3. Par Eléctrico Aproximado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
20.3. Parámetros del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
20.4. Estudio en régimen permanente de la máquina de inducción . . . . . . . . . . . . . 492
20.4.1. Comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de la tensión
de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
20.4.2. Comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de la fre-
cuencia de alimentación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496

ÍNDICE GENERAL XIX
20.4.3. Comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de la tensión
y frecuencia de alimentación constantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
20.4.4. Comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de la resis-
tencia de rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
20.5. Clasiﬁcación NEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
20.6. Arranque de la Máquina de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
20.6.1. El arrancador estrella-delta: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
20.6.2. El arrancador por autotransformador: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
20.6.2.1. Arranque por conexión de bobinas serie-paralelo: . . . . . . . . 505
20.7. Accionamientos de la Máquina de Inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
20.7.1. Control Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
20.7.1.1. Arranca Suaves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
20.7.1.2. Tensión - Frecuencia Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
20.7.1.3. Accionamiento a Deslizamiento Constante . . . . . . . . . . . . 517
20.7.2. Control Vectorial por Campo Orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
20.7.3. Control Vectorial Directo de Par y Flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
20.7.3.1. Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de ﬂujo en el
estator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
20.7.3.2. Estrategia de control directo de par . . . . . . . . . . . . . . . . 527
20.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
21. La Máquina Sincrónica 537
21.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
21.2. Descripción de la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
21.3. Modelo de la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
21.4. Transformación a vectores espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
21.5. Transformación a coordenadas rotóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
21.6. Transformación de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
21.7. Régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
21.8. Circuito equivalente de la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

XX ÍNDICE GENERAL
21.9. Máquinas de imán permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
21.9.1. Ecuaciones de la máquina sincrónica de imán permanente referidas al rotor 554
21.10.Accionamiento de la máquina sincrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
21.10.1.Control tensión frecuencia constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
21.10.2.Control vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556
21.10.3.Control Directo de Par . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
IX Técnicas Modernas de Control 565
22. Rectificador por Modulación de Ancho de Pulso 567
22.1. Rectificadores bidireccionales de potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
22.1.1. Rectificador VSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
22.1.2. Rectificador CSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
22.2. Rectificadores Unidireccionales de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
22.2.1. Rectificador PWM Boost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
22.2.2. Rectificador Vienna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
22.3. Esquemas de Control para Rectificadores PWM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
22.3.1. Control de potencia instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
22.3.2. Control de Corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
23. Modulación de Vectores Espaciales 585
23.2. Modulación de Vectores Espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
23.2.1. Modulación Generalizada en coordenadas vectoriales (x,y) . . . . . . . . . 588
23.2.2. Modulación Generalizada en coordenadas naturales (a,b,c) . . . . . . . . 592
23.2.3. Relación de uso del vector nulo δ en SVPWM . . . . . . . . . . . . . . . 592
23.2.4. Método de Modulación Generalizado utilizando δ . . . . . . . . . . . . . 594
23.2.5. Ejemplos de secuencias de disparo del inversor . . . . . . . . . . . . . . . 596
23.3. Resultados Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
23.4. Convertidores Multinivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
23.4.1. MODULACIÓN DE VECTORES ESPACIALES EN CONVERTIDORES MULTI-
NIVEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604

ÍNDICE GENERAL XXI
X Bibliografía 605
Bibliografía 607
XI Apéndices 615
A. Vectores Espaciales 617
A.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
A.2. Potencia Activa y Reactiva Instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
A.2.1. Operación Balanceada y Desbalanceada: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
A.2.2. Operación Armónica: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
A.2.3. Operación Transitoria: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
A.2.4. Interpretación Física: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
B. Circuitos de Primer y Segundo Orden 627
B.1. Circuito de Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
B.2. Circuito de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
C. Modelo de Sistemas Lineales en Espacio de Estados 631
C.1. Descripción general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
C.2. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
D. Fundamentos de Electricidad 633
D.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
D.2. Potencia Instantánea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
D.3. Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
D.4. Valor Efectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
D.5. Fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
D.6. Impedancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
D.6.1. Reactancia Inductiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
D.6.2. Reactancia Capacitiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637

XXII ÍNDICE GENERAL
D.7. Leyes de Kirchhoff Fasoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637
D.8. Régimen Sinusoidal Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
D.9. Potencia Aparente, Activa y Reactiva en Sistemas Sinusoidales . . . . . . . . . . . 639
D.10.Método de Mallas en Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
D.11.Método de Nodos en Forma Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641
D.12.Teorema de Thévening y Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643
D.13.Teorema de Máxima Transferencia de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
D.14.Sistemas Eléctricos Trifásicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645
D.14.1. Conexión Estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646
D.14.2. Conexión Delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
D.14.3. Equivalente Delta Estrella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
D.14.4. Potencia Trifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 648
E. Circuitos Magnéticos 651
E.1. Aspectos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
E.2. Materiales Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
E.3. Leyes de los Circuitos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
E.4. Excitación Sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
E.4.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658
E.5. Transformador Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661
F. Funciones Trigonométricas 663
F.1. Funciones Seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663
F.2. Funciones Coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664
F.3. Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665
G. Transformada de Laplace 667
G.1. Deﬁnición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
G.2. Tabla de Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667
H. Rutina de Integración Numérica de Paso Fijo (Ode1) 669

Capítulo 1
Análisis de los Circuitos Mediante Series de
Fourier.
1.1. Serie de Fourier
Es una representación a través de expresiones trigonométricas de una función periódica. Para esta
representación se utiliza una suma inﬁnita de funciones sinusoidales y cosenoidales de distintas
frecuencias, mutuamente ortogonales entre si.
Una función se denomina periódica si cumple:
g(t) = g(t +T) (1.1)
Donde:
T es el tiempo en un periodo de la señal.
Si conocemos la frecuencia (f) en Hertz de la señal, se puede escribir la frecuencia eléctrica como:
ω =
2π
T
= 2π f (1.2)
Sustituyendo de ecuación (1.2) en la ecuación (1.1), se puede escribir la condición de periodicidad
de una señal de la siguiente forma:
g(ωt) = g(ωt +2π) (1.3)
El teorema de Fourier indica que la función periódica g(t) se puede escribir como el valor medio de
la función más una serie inﬁnita de términos sinusoidales en senos y coseno de frecuencia angular
3

4 1.2. Expresiones de la Serie de Fourier
nω, donde n es un entero positivo y se denomina armónica. Por lo tanto g(t) se puede escribir
como:
g(t) =
a0
2
+
∞
∑
n=1,2,3,···
(an cos(ωt)+bn sen(ωt)) (1.4)
Las expresiones constantes a0, an y bn, se pueden determinar a partir de las siguientes expresiones:
a0 =
2
T
¢ T
0
g(t)dt (1.5)
an =
2
T
¢ T
0
g(t)cos(nωt)dt (1.6)
bn =
2
T
¢ T
0
g(t)sen(nωt)dt (1.7)
Las condiciones suficientes que debe cumplir una función g(t) para ser representada mediante
Series de Fourier son:
1. La función g(t) debe ser continua en el período T, o debe tener a lo sumo un número finito
de discontinuidades en el intervalo de un período.
2. La función g(t) debe tener un número finito de máximos y mínimos en el periodo T .
3. La integral del valor absoluto de la función g(t) en un período debe ser finita.
Las condiciones anteriores, son conocidas como CONDICIONES DE DIRICHLET y si una función
g(t) las cumple puede ser expresada en series de Fourier. Sin embargo, existen funciones que no
cumplen todas las condiciones anteriores y admiten representación en series de Fourier.
1.2. Expresiones de la Serie de Fourier
Los senos y cosenos de la expresión de la función periódica g(t) de una misma frecuencia, pueden
combinarse en una solo sinusoidal originando expresiones alternativas de la serie de Fourier.
g(t) =
a0
2
+
∞
∑
n=1,2,3,···
|cn|cos(nωt +θn) =
a0
2
+
∞
∑
n=1,2,3,···
|cn|sen(nωt +ςn) (1.8)
Donde:

|cn| = a2
n +b2
n
θn = arctan
bn
an
ςn = θn −
π
2
1.3. Serie de Fourier forma compleja
Utilizando la identidad de Euler (ejϑ = cos(ϑ)+ jsen(ϑ)), se puede expresar la Serie de Fourier
de forma compleja como:
g(t) =
D0
2
+
∞
∑
n=1
Dnejnωt
+D
∗
ne−jnωt
=
∞
∑
n=−∞
Dnejnωt
(1.9)
Donde:
Dn =
1
T
¢ T
0
g(t)e−jnωt
dt (1.10)
La relación entre an, bn, cn y Dn es:
an = 2ℜe (Dn) ∀ n = 0,1,2,3,···
bn = 2ℑm (Dn) ∀ n = 1,2,3,···
(1.11)
cn = an + jbn = 2Dn (1.12)
Sustituyendo la expresión (1.12) en la ecuación (1.10), se obtiene:
cn =
2
T
¢ T
0
g(t)ejnωt
dt (1.13)
1.4. Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Se deﬁne como la transformada rápida de Fourier de una señal g(t) periódica y discretizada en “N”
muestras en un periodo T a intervalos regulares “ts”, como:

6 1.5. Simetría de la Función g(t)
F {g(t)}n = FFT {g(t)}n =
N−1
∑
k=0
g(k ·ts)·e−j 2πkn
N (1.14)
Donde:
T = N ·ts (1.15)
Se puede calcular los coeficientes de la serie de Fourier en forma compleja (Dn) a partir de la
expresión (1.14) como:
Dn ≈
1
T
N−1
∑
k=0
N ·ts
Dn ≈
1
N
N−1
∑
k=0
N (1.16)
Dn ≈
1
N
F {g(t)}n
Sustituyendo la expresión (1.16) en (1.12), se puede calcular los coeficientes de la serie de Fourier
(cn) a partir de los coeficientes de la trasformada rápida de Fourier como:
cn = an + jbn ≈
2
N
F {g(t)}n ∀ n = 0,1,2,··· ,N −1 (1.17)
1.5. Simetría de la Función g(t)
Cuando la función periódica g(t) presenta ciertas simetrías, se simplifica enormemente el cálculo
de los coeficientes de Fourier. Las simetrías más importantes a considerar son:
1.5.1. Función Par
Se dice que la función g(t) es una función par, cuando se cumple la igualdad:
g(−t) = g(t) (1.18)
1.5.2. Función Impar
Se dice que la función g(t) es una función impar, cuando se cumple la igualdad:

g(−t) = −g(t) (1.19)
1.5.3. Simetría de Media Onda
Se dice que una función g(t) tiene una simetría de media onda, cuando cumple la condición:
g(t) = −g t +
T
2
(1.20)
1.6. Coeficientes de Fourier de Ondas Simétricas
Las propiedades de simetría anteriormente presentadas, permiten simplificar el cálculo de los coefi-
cientes de Fourier. Si calculamos la integral en un periodo completo de las funciones que presentan
simetría par o impar, tenemos:
¢ to+T
t0
g(t)dt =



2
¢ to+T
t0+T
2
g(t)dt ∀ g(t) par
0 ∀ g(t) impar
(1.21)
Para evaluar los coeficientes de Fourier de las expresiones (1.6) y (1.7), es necesario evaluar la
simetría de las funciones:
h(t) = g(t)cos(nωt)
k(t) = g(t)sen(nωt)
(1.22)
Si la función g(t) es par, se obtiene:
h(−t) = g(−t)cos(−nωt) = g(t)cos(nωt) = h(t)
k(−t) = g(−t)sen(−nωt) = −g(t)sen(nωt) = −k(t)
(1.23)
Si la función g(t) es impar, se obtiene:
h(−t) = g(−t)cos(−nωt) = −g(t)cos(nωt) = −h(t)
k(−t) = g(−t)sen(−nωt) = g(t)sen(nωt) = k(t)
(1.24)

8 1.6. Coeﬁcientes de Fourier de Ondas Simétricas
Al evaluar los coeﬁcientes de Fourier de las ecuaciones (1.6) y (1.7), con las simetrías obtenidas en
las expresiones (1.23) y (1.24) se obtiene:
1.6.1. Funciones Pares
an = 2
T
¢ T
2
−T
2
g(t)cos(nωt)dt = 4
T
¢ T
2
0
g(t)cos(nωt)dt
bn = 0
(1.25)
1.6.2. Funciones Impares
an = 0
bn = 2
T
¢ T
2
−T
2
g(t)sen(nωt)dt = 4
T
¢ T
2
0
g(t)sen(nωt)dt
(1.26)
1.6.3. Funciones con Simetría de Media Onda
Utilizando la simetría de la expresión (1.20) en las ecuaciones (1.6) y (1.7), se puede demostrar que
su desarrollo en serie de Fourier sólo contiene armónicos impares.
an = 2
T
¢ T
2
−T
2
g(t)cos(nωt)dt = 2
T
¢ 0
−T
2
g(t)cos(nωt)dt +
¢ T
2
0
g(t)cos(nωt)dt
bn = 2
T
¢ T
2
−T
2
g(t)sen(nωt)dt = 2
T
¢ 0
−T
2
g(t)sen(nωt)dt +
¢ T
2
0
g(t)sen(nωt)dt
(1.27)
Realizando el cambio de variable t = τ −T/2 en la expresión (1.27) y teniendo en cuenta la simetría
de media onda, se obtiene:

an = 2
T
¢ T
2
0
g τ − T
2 cosnω τ − T
2 dτ +
¢ T
2
0
g(t)cos(nωt)dt
an = 2
T
¢ T
2
0
−g(τ)cosnω τ − T
2 dτ +
¢ T
2
0
g(t)cos(nωt)dt
bn = 2
T
¢ T
2
0
g τ − T
2 sennω τ − T
2 dτ +
¢ T
2
0
g(t)sen(nωt)dt
bn = 2
T
¢ T
2
0
g(τ)sennω τ − T
2 dτ +
¢ T
2
0
g(t)sen(nωt)dt
(1.28)
Evaluando la expresión (1.28), para n par e impar se obtiene:
n par:
an = 0
bn = 0
(1.29)
n impar:
an = 4
T
¢ T
2
0
g(t) cos(nωt)dt
bn = 4
T
¢ T
2
0
g(t) sen(nωt)dt
(1.30)
1.7. Valor Efectivo o Eﬁcaz
El valor efectivo o eﬁcaz de la función periódica g(t) puede calcularse a partir de las armónicas de
las series de Fourier, mediante la siguiente expresión:
Grms = a2
0 +
∞
∑
n=1,2,3,···
G2
rmsn
= a2
0 +
∞
∑
n=1,2,3,···
cn
√
2
2
(1.31)
=
1
T
¢ T
0
(g(t))2
dt

10 1.8. Valor Medio
Donde:
Grmsn corresponde al valor efectivo de la señal para la armónica n.
1.8. Valor Medio
El valor medio de la función periódica g(t) puede calcularse a partir del termino a0 de las series de
Fourier, como:
G0 =
a0
2
=
1
T
¢ T
0
g(t)dt (1.32)
1.9. Factor de Distorsión Armónica Total
El factor de distorsión armónica total (THD) de una señal es una medida del contenido total de
armónicas de la señal respecto a una referencia, generalmente la primera armónica, y se calcula
como:
THD =
G2
rms −G2
rms1
Grms1
=
∑∞
n=2,3,··· G2
rmsn
Grms1
(1.33)
1.10. Factor de Rizado
El factor de rizado (FR) es una medida del contenido armónico total de la señal con respecto al
valor medio de la misma.
FR =
G2
rms −G2
0
G0
=
∑∞
n=1,2,3,··· G2
rmsn
G0
(1.34)
1.11. Factor de Forma
El factor de forma mide la proporción entre el valor medio y efectivo de una señal.
FF =
Grms
G0
(1.35)

1.12. Análisis de Circuitos Eléctricos
Si la función periódica g(t), que acabamos de descomponer en serie de Fourier, alimenta en tensión
un circuito eléctrico como el mostrado en la ﬁgura 1.1 (vf (t) = g(t)), se puede calcular la expresión
de la serie de Fourier de la corriente en la carga a través del conocimiento de la serie de la tensión
aplicada a la carga.
Figura 1.1: Circuito RL
Como se observa de la ﬁgura 1.1, la tensión en régimen permanente sobre la carga RL corresponde
a la tensión de la fuente vf (t) posterior a la conexión del interruptor Sw. La tensión en la carga se
puede expresar en Series de Fourier como:
vcarga(t) = V0 +
∞
∑
n=1,2,···
Vn sen(nωt +ςn) (1.36)
donde:
V0 =
a0
2
Vn = |cn| = a2
n +b2
n
ςn = arctan
bn
an
−
π
2
La expresión de la corriente en serie de Fourier se puede obtener en función de la serie de tensión
de la expresión (1.36) como:

12 1.13. Cálculo de Potencia Para Formas de Onda Periódicas No Sinusoidales
i(t) = I0 +
∞
∑
n=1,2,···
Vn
Zn
sen(nωt +ςn −ϕn) (1.37)
donde:
I0 =
V0
R
Zn = R2 +(nωL)2
ϕn = arctan
nωL
R
La expresión (1.37), se puede utilizar como respuesta particular en la solución de la ecuación dife-
rencial que describe el comportamiento del circuito de la ﬁgura 1.1, con la ﬁnalidad de evaluar el
régimen transitorio luego del cierre del interruptor Sw.
1.13. Cálculo de Potencia Para Formas de Onda Periódicas No
Sinusoidales
Los circuitos de electrónica de potencia tienen, normalmente tensiones y/o corrientes que son si-
métricas pero no sinusoidales. En el caso general se pueden extrapolar los conceptos de potencia
aparente y reactiva utilizados para formas de ondas sinusoidales. Uno de los errores comunes al
calcular la potencia promedio en circuitos de potencia, es tratar de aplicar las relaciones de ondas
sinusoidales para ondas que no los son.
1.13.1. Potencia Media
Las formas de onda periódica de tensión y corriente pueden ser representadas a través de su serie
de Fourier como:
v(t) = V0 +
∞
∑
n=1
Vn sen(nωt +ψn)
i(t) = I0 +
∞
∑
n=1
In sen(nωt +φn)
(1.38)
La potencia media se puede calcular como:

P = 1
T
¢ T
0
p(t)dt = 1
T
¢ T
0
(v(t)i(t))dt
P = 1
T
¡ T
0 V0 +
∞
∑
n=1
Vn sen(nωt +ψn) I0 +
∞
∑
n=1
In sen(nωt +φn) dt
(1.39)
Recordando la identidad trigonométrica:
sen(a)sen(b) =
1
2
(cos(a−b)−cos(a+b)) (1.40)
P = V0I0 +
∞
∑
n=1
VnIn
2
cos(ψn −φn) (1.41)
1.13.2. Potencia Aparente
La potencia aparente se calcula a partir de los valores efectivos de la tensión y corriente como:
S = VrmsIrms = P2 +Q2 (1.42)
1.13.3. Factor de Potencia
El factor de potencia (f p) se calcula a partir de su deﬁnición como:
f p =
P
S
=
V0I0 +
∞
∑
n=1
VnIn
2 cos(ψn −φn)
VrmsIrms
(1.43)
1.14. Potencia de Distorsión
En el caso particular que la tensión sólo contenga la armónica fundamental y alimente una carga
no lineal se obtiene:
v(t) = V1 sen(ωt +ψ1)
i(t) =
∞
∑
n=1
In sen(nωt +φn)
(1.44)

14 1.14. Potencia de Distorsión
La potencia media, se obtiene a partir de la expresión (1.39), como:
P =
V1I1
2
cos(ψ1 −φ1) = Vrms1Irms1 cos(ψ1 −φ1) (1.45)
El factor de potencia:
f p =
VrmsIrms1 cos(ψ1 −φ1)
VrmsIrms
=
Irms1
Irms
cos(ψ1 −φ1) (1.46)
Observe que para el caso sinusoidal permanente con armónica fundamental (n = 1) y carga lineal
se obtiene:
v(t) =
√
2Vrms1 sen(ωt +ψ1)
i(t) =
√
2Irms1 sen(ωt +φ1)
(1.47)
f p1 =
Vrms1Irms1 cos(ψ1 −φ1)
Vrms1Irms1
= cos(ψ1 −φ1) (1.48)
S1 = Vrms1Irms1 (cos(ψ1 −φ1)+ jsen(ψ1 −φ1)) = P1 + jQ1 (1.49)
Note: que la potencia activa en ambos casos es igual.
Utilizando el resultado de la expresión (1.48), se puede reescribir la ecuación (1.46), como:
f p =
Irms1
Irms
f p1 (1.50)
Definiendo el Factor de desplazamiento del factor de potencia (DPF) como:
DPF ≡ f p1 (1.51)
Utilizando la definición (1.51) , se puede escribir la ecuación (1.50) como:
f p =
Irms1
Irms
DPF (1.52)
Se define la potencia de de distorsión (D) como:
D ≡ Vrms1
∞
∑
n=1
I2
rmsn
(1.53)

Utilizando la deﬁnición (1.53) y la expresión (1.49), la potencia aparente en la carga no lineal, se
calcula como:
S = P2 +Q2 = P2
1 +Q2
1 +D2 = S2
1 +D2 (1.54)
1.15. Ejemplo de Aplicación
En esta sección se calcula la expansión en series de Fourier de una onda cuadrada como la mostrada
en la ﬁgura 1.2. Esta onda se puede representar matemáticamente como:
v(t) =



V 0 ≤ t ≤ T
2
−V T
2 < t < T
(1.55)

16 1.15. Ejemplo de Aplicación
Figura 1.2: Gráfica de función v(t)
Aplicando la definición de la expresión (1.8) para la función v(t) , considerando su simetría, obte-
nemos:
v(t) = ∑
nimpares
4V
nπ
sen
2πn
T
t (1.56)
En la figura 1.3, se presenta la evolución de la función v(t) de la expresión (1.56) al considerar las
armónicas desde la fundamental hasta la 17ma armónica:

(a) Vista en 2D

18 1.16. Ejercicios
1.16. Ejercicios
1. Determine el valor medio, efectivo y la descomposición en Series de Fourier de las siguientes
formas de onda:
a) v(t) = |sen(ωt)| ∀ t
b) v(t) =



sen(ωt) 0 ≤ ωt ≤ T
2
0 T
2 ≤ ωt ≤ T
c) i(t) =



Imin +(Imax −Imin) t
δT 0 ≤ t ≤ δT
Imax −(Imax −Imin) t−δT
T−δT δT ≤ t ≤ T
d) p(t) = v(t)∗i(t) donde: v(t) =
√
2V sen(ωt) e i(t) =



0 0 < t < T
4
I T
4 ≤ t ≤ T
2
0 T
2 < t < 3T
4
−I 3T
4 ≤ t ≤ T
2. Para la forma de onda p(t) del ejercicio anterior determine:
a) Potencia activa
b) Potencia reactiva
c) Potencia de distorsión
d) Factor de potencia

Capítulo 2
Calidad de Servicio Eléctrico
2.1. Transitorios
El término transitorio se ha utilizado en el análisis de las variaciones del sistema eléctrico de poten-
cia para referirse a un evento no deseado de naturaleza momentánea y fortuita. Normalmente esta
palabra se asocia a la respuesta oscilatoria amortiguada de un circuito tipo RLC.
Los transitorios pueden clasiﬁcarse en dos categorías:
Impulsos
Oscilaciones
2.1.1. Impulso
Es una inyección momentánea de energía que ocasiona cambios en las tensiones y/o corrientes
en el sistema de potencia, se caracteriza por ser unidireccional y presentar tiempos de acenso y
descenso en el orden de los micro segundos. La causa más común de los transitorios tipo impulso
son los relámpagos o descargas atmosféricas, estas se caracterizan por presentar tiempos de cresta
de 1,2µs y tiempos de cola de 50µs. En la ﬁgura 2.1, se presenta la onda característica de un
descarga atmosférica y su efecto sobre la tensión en el sistema de potencia.
19

20 2.1. Transitorios
(a) Onda característica (b) Efecto sobre el sistema
Figura 2.1: Transitorio tipo Impulso
Debido a las altas frecuencias involucradas, la forma de los transitorios impulsivos pueden cambiar
rápidamente debido a los componentes del circuito y pueden tener características muy diferentes
cuando se ve desde diferentes puntos del sistema de potencia. Los transitorios impulsivos pueden
excitar la frecuencia natural de oscilación del sistema de potencia.
2.1.2. Oscilaciones
Son variaciones positivas y negativas entorno al valor de la tensión y/0 corriente de una frecuencia
superior a la del sistema de potencia. Se pueden clasiﬁcar de acuerdo a su frecuencia, duración y
magnitud en:
Alta frecuencia: La oscilación presenta componentes de frecuencia superiores a los 500kHz
con una duración típica de micro segundos.
Media frecuencia: La oscilación presenta componentes de frecuencia entre 5 y 500kHz
su duración esta en el orden de las decenas de micro segundos e incluso varios ciclos a
frecuencia fundamental.
Baja Frecuencia: La oscilación presenta componentes de frecuencia menores a 5kHz su
duración esta en el orden de 0,3 a 50ms.
En la ﬁgura 2.2, se presenta un ejemplo de oscilación de alta y baja frecuencia. Esta categoría de
fenómenos se encuentran comúnmente en los sistemas de distribución y es causada por muchos
tipos de eventos y maniobras. La causa más frecuente de este fenómeno es la energización de
bancos de condensadores, que por lo general resulta en una tensión oscilatoria transitoria con una
frecuencia primaria entre 300 y 900Hz. La magnitud máxima puede acercarse a 2,0 pu, pero suele

ser 1,3 a 1,5 en por unidad con una duración de entre 0,5 y 3 ciclos en función del sistema de
amortiguación.
(a) Alta Frecuencia (b) Baja Frecuencia
Figura 2.2: Ejemplos de oscilaciones
2.2. Variaciones de Tensión de Corta Duración
Esta clasificación abarca la categoría de la IEC de caídas de tensión e interrupciones breves. Las
variaciones dependiendo su duración pueden clasificarse en: instantáneas o temporales. Las varia-
ciones de tensión de corta duración son causadas principalmente por condiciones de falla, procesos
de toma y bote de cargas de gran capacidad y conexiones sueltas en los alimentadores de un circuito.
Dependiendo el tipo de evento (falla, energización o bote de carga), su localización y condiciones
de operación del sistema se pueden producir tres tipos de fenómenos en la red eléctrica:
Caída temporal de la tensión (hueco o sag).
Aumento temporal de la tensión (oleaje o swell).
Pérdida completa de la tensión (interrupción).
2.2.1. Hueco o Sag
Es una disminución de entre 0,1 y 0,9 en por unidad del valor efectivo de la tensión o corriente con
una duración entre 0,5 ciclos y un minuto. Los huecos o sag de tensión son generalmente asociados
a fallas en el sistema o a la energización de cargas de alto consumo o arranque de grandes motores.
En la figura 2.3, se presenta un ejemplo de un sag en las tres fases de un sistema de potencia.

22 2.2. Variaciones de Tensión de Corta Duración
Figura 2.3: Ejemplo de Sag
2.2.2. Oleaje o Swell
Se define como un aumento entre 1,1 y 1,8 en por unidad del valor efectivo de la tensión o corriente
con una duración entre 0,5 ciclos y un minuto. Son causados por los mismos fenómenos de los
huecos pero su frecuencia de ocurrencia es menor. En la figura 2.4, se presenta un ejemplo de un
swell en una fase del sistema de potencia.
Figura 2.4: Ejemplo de Swell
El término sobre tensión momentánea es utilizado por muchos autores para referirse a los swell.
2.2.3. Interrupción
Se define como una disminución menor al 0,1 en por unidad de la tensión o corriente del sistema
por un tiempo no superior a un minuto. Las interrupciones pueden ser el resultado de fallas en

equipos o sistemas de control en la red eléctrica. Las interrupciones se miden por su duración ya
que la magnitud es siempre inferior al 10% de la nominal. Generalmente las interrupciones son
precedidas por sag. En la ﬁgura 2.5, se presenta un ejemplo de una interrupción en una fase del
sistema de potencia.
Figura 2.5: Ejemplo de interrupción
2.3. Variaciones de Tensión de Larga Duración
Las variaciones de larga duración abarcan aquellas desviaciones de los valores efectivos de tensión
superiores a un minuto. La norma ANSI C84.1-2006 establece los límites de tolerancia de tensión
en estado estacionario en un sistema de 60Hz.
Las variaciones de larga duración se pueden clasiﬁcar en:
Interrupción sostenida: Es la disminución superior al 90% del valor efectivo de la tensión
con una duración superior a un minuto. Generalmente requiere la intervención de un operador
para poder restablecer el servicio.
Subtensiones: Es una disminución del valor efectivo de la tensión a menos del 90% del valor
nominal con una duración mayor a un minuto.
Sobretensiones: Es un aumento del valor efectivo de la tensión por encima del 10% del valor
nominal con una duración mayor a un minuto.
Las sobretensiones y subtensiones, generalmente son causadas por variaciones repentinas de la
carga en la red de potencia o por sistemas de conexión y desconexión de equipos o carga.

24 2.4. Desbalance de tensión
2.4. Desbalance de tensión
Los desbalances de tensión en un sistema trifásico se originan por la alimentación de cargas de
alto consumo monofásicas conectadas entre fase y neutro o entre línea y línea. Estos desbalances
de tensión pueden ocasionar componentes de secuencia negativa y cero que afectan a las máquinas
de corriente alterna conectadas al punto común de acoplamiento. La circulación de corrientes de
secuencia negativa causa incrementos en el calentamiento de los devanados del convertidor elec-
tromecánico. El desbalance de tensión se puede definir como:
Máxima desviación entre la magnitud promedio de tensión, expresada en porcentaje de la
magnitud promedio de tensiones de las fases.
Vdesb(%) = 100·
|Vmax −Vmedio|
|Vmedio|
(2.1)
Magnitud de la tensión de secuencia negativa en porcentaje de la magnitud de tensiones de
secuencia positiva.
Vdesb(%) =
˜V2
˜V1
·100 (2.2)
Un método de medición y cálculo del desbalance de tensión debe combinar ambas definiciones
en términos de magnitud y duración. En la figura 2.6 se muestra un ejemplo de desequilibrio de
tensión.
Figura 2.6: Desequilibrio de Tensión

2.5. Parpadeo de tensión
El parpadeo o flicker es una variación rápida de tensión debido a cambios bruscos de la demanda.
Pueden ser percibido por el ojo humano y causar molestias. Evaluar el parpadeo en el punto común
de acoplamiento es difícil y requiere un registro estadístico de estas fluctuaciones de tensión. Estas
variaciones rápidas son ocasionadas por oscilaciones de la tensión entre un 0,9 y 1,1 en por unidad
a baja frecuencia. En la figura 2.7, se presenta la forma de onda de la tensión durante la ocurrencia
de un parpadeo.
Figura 2.7: Forma de onda de un parpadeo
2.6. Desbalance de corriente
Los desequilibrios de corriente se pueden representar mediante el cociente de la componente de
secuencia negativa y positiva. Las componentes de corriente de secuencia negativa producen calen-
tamiento adicional sobre los devanados de los generadores conectados al (PCC), así como par en
sentido contrario al de giro. Por diseño, los generadores permiten un máximo de 10% de corrien-
te de secuencia negativa total en relación a la componente de secuencia positiva. La corriente de
desbalance se expresa como:
Idesb(%) =
˜I2
˜I1
·100 (2.3)
donde:
˜I2 Fasor de la corriente de secuencia negativa.
˜I1 Fasor de la corriente de secuencia positiva.
En la figura 2.8 se muestra un ejemplo de desequilibrio de corriente.

26 2.7. Distorsión en la Forma de Onda
Figura 2.8: Desequilibrio de corriente
2.7. Distorsión en la Forma de Onda
La distorsión en la forma de onda se deﬁne como la desviación de esta con respecto a una onda
sinusoidal. Esta desviación se evaluá principalmente por el contenido espectral de la onda.
Las principales distorsiones en la forma de onda que se analizan son:
Nivel DC: Es la presencia de un valor de corriente continua en la forma de onda.
Armónicos: Son componentes sinusoidales en la tensión y/o corriente con frecuencias que
son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental (50 o 60Hz). En la ﬁgura 2.9, se presenta
el contenido armónico de una señal. Para la evaluación del impacto armónico sobre el sistema
de potencia en el (PCC) la IEEE Std. 519-1992 propone cuatro indicadores:
• Distorsión armónica total de tensión (THD).
• Distorsión armónica individual de tensión (IHDv).
• Factor de distorsión total de demanda (TDD).
TDD =
50
∑
n=2
i2
n
imax
(2.4)
• Distorsión armónica individual de corriente (IHDi).

(a) Forma de onda (b) Contenido armónico
Figura 2.9: Contenido armónico de una señal
Interarmónicos: Son componentes sinusoidales en la tensión y/o corriente con frecuencias
que son múltiplos no enteros de la frecuencia fundamental (50 o 60Hz). La principal fuente
de distorsión interarmónica son los convertidores estáticos de frecuencia y los dispositivos
de formación de arcos.
Mueca o line notching: Es una perturbación periódica en la tensión producto del funcio-
namiento de un convertidor de electrónica de potencia cuando la corriente es conmutada de
una fase a otra del sistema de potencia. En la ﬁgura 2.10 se presenta las muecas de tensión
producidas por el proceso de conmutación de un puente rectiﬁcador trifásico.
Figura 2.10: Ejemplo de mueca o line noching

28 2.7. Distorsión en la Forma de Onda
Ruido: Son distorsiones superpuestas a las ondas de tensión y/o corriente con un contenido
espectral inferior a 200kHz. Ruidos en el sistema de potencia puede ser causados por los
dispositivos electrónicos de potencia, equipos de arco eléctrico y fuentes de alimentación
conmutadas. En la figura 2.11 se presenta el efecto del ruido sobre la tensión del sistema de
potencia.
Figura 2.11: Ejemplo de ruido en el sistema de potencia
Variaciones de frecuencia: Se definen como desviaciones de la frecuencia de alimentación
de su valor nominal. Esta variación está estrechamente ligada con la variación en la velocidad
de rotación de los generadores. En la figura 2.12 se presenta una variación de frecuencia en
la tensión del sistema de potencia.
Figura 2.12: Ejemplo de variación de frecuencia

2.8. Característica y Clasificación de los fenómenos Electromag-
néticos
Según la IEEE Std. 1159-1995 [1], los fenómenos electromagnéticos en los sistemas de potencia
se pueden clasificar de acuerdo a su contenido espectral, su duración y magnitud de tensión como:
Tabla 2.1: Clasificación de los fenómenos electromagnéticos en sistemas de potencia
Categoría Contenido Espectral Duración Magnitud
Nanosegundos > 5ns < 50ns
Impulso Microsegundos > 1µs 50ns → 1ms
Transitorio
Milisegudos > 0,1ms > 1ms
Baja frecuencia < 5kHz 0,3 → 50ms 0 → 4 pu
Oscilatorio Media frecuencia 5 → 500kHz 20µs 0 → 8 pu
Alta frecuencia 0,5 → 5MHz 5µs 0 → 4 pu
Instantáneas
Sag 0,5 → 30ciclos 0,1 → 0,9 pu
Swell 0,5 → 30ciclos 1,1 → 1,8 pu
Variaciones Interrupciones 0,5ciclos → 3s < 0,1 pu
de corta Momentáneas Sag 30ciclos → 3s 0,1 → 0,9 pu
duración Swell 30ciclos → 3s 1,1 → 1,8 pu
Interrupciones 3s → 1min < 0,1 pu
Temporales Sag 3s → 1min 0,1 → 0,9 pu
Swell 3s → 1min 1,1 → 1,2 pu
Variaciones Interrupción sostenida > 1min 0,0 pu
de larga Subtensiones > 1min 0,8 → 0,9 pu
duración Sobretensiones > 1min 1,1 → 1,2 pu
Desbalance Estado Estacionario 0,5 → 2%
Nivel DC Estado Estacionario 0 → 0,1%
Distorsión Armónicas 0 → 100th Estado Estacionario 0 → 20%
Tensión forma Interarmónicas 0 → 6kHz Estado Estacionario 0 → 2%
de onda Notching Estado Estacionario
Ruido Banda ancha Estado Estacionario 0 → 1%
Fluctuaciones < 25Hz Intermitentes 0,1 → 7%
Variaciones de la frecuencia industrial < 10s

30 2.8. Característica y Clasiﬁcación de los fenómenos Electromagnéticos

Capítulo 3
Circuitos con Interruptores
3.1. Definiciones:
Interruptor: dispositivo que permite la circulación de corriente mediante la apertura o cierre del
circuito.
Carga: Conjunto de dispositivos eléctricos aguas abajo del interruptor.
3.2. Circuito Resistivo:
En la figura 3.1, se observa la configuración de un circuito resistivo, alimentado por una fuente de
tensión continua. El interruptor Sw, se cierra en t = t1.
Figura 3.1: Circuito resistivo
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensión en el circuito tenemos:
vfuente(t) = vSw(t)+vcarga(t) (3.1)
31

32 3.2. Circuito Resistivo:
Analizando la tensión en cada una de las componentes del circuito para todo instante de tiempo se
obtiene:
vfuente(t) = VDC ∀ t (3.2)
vSw(t) =
VDC ∀ t < t1
0 ∀ t ≥ t1
(3.3)
vcarga(t) =
0 ∀ t < t1
VDC ∀ t ≥ t1
(3.4)
La corriente por el circuito posterior al cierre de interruptor para t ≥ t1 es:
i(t) =
VDC
R
(3.5)
Para observar los oscilo gramas de tensión y corriente de este circuito se simulo, con una carga
resistiva de 2Ω y una fuente de tensión de corriente continua de 10V. El interruptor se cierra a
los 0,1s, permitiendo la circulación de corriente. En las ﬁguras 3.2 y 3.3 se presentan la tensión y
corriente en la carga resistiva y la tensión en el interruptor y la fuente respectivamente.
(a) Tensión (b) Corriente
Figura 3.2: Tensión y corriente sobre la Carga Resistiva

(a) Tensión en el interruptor (b) Tensión en la fuente
Figura 3.3: Tensión en el interruptor y la fuente para la carga resistiva
3.3. Circuito Resistivo Capacitivo
En la ﬁgura 3.4, se observa la conﬁguración de un circuito resistivo capacitivo (RC), alimentado
por una fuente de tensión continua. Aplicando el concepto de carga para este circuito, esta estaría
conformada por la resistencia y el condensador en serie. El condensador se encuentra cargado a
una tensión V1 antes de la operación del interruptor en t = t1.
Figura 3.4: Circuito RC
Aplicando la ley de Kirchhoff de tensión en el circuito tenemos:

34 3.3. Circuito Resistivo Capacitivo
vfuente(t) = vSw(t)+vcarga(t) (3.6)
donde:
vcarga(t) = vR(t)+vC(t)
Analizando la tensión en cada una de los elementos del circuito para todo instante de tiempo se
obtiene:
vfuente(t) = VDC ∀ t (3.7)
vSw(t) =
VDC −vc(t) ∀ t ≤ t1
0 ∀ t > t1
(3.8)
vcarga(t) =
vc(t) ∀ t ≤ t1
VDC ∀ t > t1
(3.9)
Para encontrar la corriente por el circuito posterior al cierre de interruptor t ≥ t1 es necesario resol-
ver la ecuación diferencial que describe el comportamiento del circuito.
VDC = Ri(t)+
1
C
¢ ∞
t1
i(t)dτ +vC(t1) (3.10)
VDC = RC
dvC(t)
dt
+vC(t) (3.11)
3.3.1. Resolución de la Ecuación Diferencial en Corriente
Derivando la ecuación (3.10), se obtiene una ecuación diferencial en corriente para el circuito:
0 = R
di(t)
dt
+
1
C
i(t) (3.12)
La solución a la ecuación diferencial (3.12), se obtiene como:
i(t) = ke− t
RC (3.13)
Para encontrar el valor de la constante k es necesario conocer las condiciones iniciales del circuito
antes del cierre del interruptor Sw en el tiempo t = t1.

i(t1) =
VDC −vc(t1)
R
(3.14)
Al sustituir la corriente en t = t1 en la ecuación (3.13), se obtiene la expresión de la corriente del
circuito.
i(t1) = VDC−vc(t1)
R = ke−
t1
RC
↓
k = VDC−vc(t1)
R e
t1
RC
↓
i(t) = VDC−vc(t1)
R e−
(t−t1)
RC
(3.15)
Otra forma de encontrar la corriente del circuito es resolver la ecuación diferencial de tensión de la
expresión (3.11):
VDC = RCdvC(t)
dt +vC(t)
vC(t) = vCh
(t)+vCp(t)
vC(t) = ke− t
RC +VDC
(3.16)
Para encontrar el valor de la constante se utiliza las condiciones iniciales.
vC(t1) = vc(t1) = ke−
t1
RC +VDC
↓
k = (vc(t1)−VDC)e
t1
RC
↓
vC(t) = VDC +(vc(t1)−VDC)e−
(t−t1)
RC
(3.17)
Para encontrar la corriente es necesario multiplicar por C la tensión en el capacitor y derivarla con
respecto al tiempo.
3.3.2. Solución de la Ecuación Diferencial Utilizando Transformada de La-
place
Debido a que las condiciones iniciales no están deﬁnidas para el tiempo t = 0 es necesario utilizar
el siguiente cambio de variable:
t = t −t1 (3.18)

36 3.3. Circuito Resistivo Capacitivo
Aplicando la transformada de Laplace a la expresión (3.10), se obtiene:
VDC
s = RI(s)+ 1
CsI(s)+ vc(t1)
s
VDC−vc(t1)
s = R+ 1
Cs I(s)
(3.19)
Despejando I(s) de la expresión (3.19) se obtiene:
I(s) =
VDC −vc(t1)
s
·
1
R+ 1
Cs
=
VDC −vc(t1)
R
·
1
s+ 1
RC
(3.20)
Utilizando la anti transformada de Laplace se obtiene:
i(t) =
VDC −vc(t1)
R
·e− t
RC (3.21)
Devolviendo el cambio de variable de la expresión ( 3.18), se obtiene la corriente por el circuito.
i(t) =
VDC −vc(t1)
R
·e−
(t−t1)
RC (3.22)
3.3.3. Formas de Onda
En la ﬁgura 3.5 se puede observar las formas de onda de tensión y corriente de este circuito, para
una carga resistiva de 2Ω, capacitiva de 80mF y una fuente de tensión de corriente continua de
10V. El interruptor se cierra a los 0,1s, permitiendo la circulación de corriente. En la ﬁgura 3.6 se
presentan la tensión en el interruptor y la fuente.
Figura 3.5: Tensión y corriente sobre la carga resistiva capacitiva

(a) Tensión en el interruptor (b) Tensión en la fuente
Figura 3.6: Tensión en el interruptor y la fuente para la carga resistiva capacitiva
3.4. Circuito Resistivo Inductivo
En la ﬁgura 3.7, se presenta un circuito resistivo inductivo alimentado por una fuente de corriente
continua, el interruptor es accionado en t = t1.
Figura 3.7: Circuito RL
Para encontrar la corriente para t ≥ t1, se resuelve la ecuación diferencial de primer orden que
describe el circuito.

38 3.4. Circuito Resistivo Inductivo
3.4.1. Resolución de la Ecuación Diferencial en Corriente:
La condición inicial al operara el interruptor de corriente es cero debido a que este se encuentra en
estado abierto.
VDC = Ri(t)+Ldi(t)
dt
i(t) = ih(t)+ip(t)
i(t) = ke−R
L t + VDC
R
(3.23)
Sustituyendo el valor de la condición inicial se encuentra el valor de la constate k.
i(t1) = ke−R
L t1 + VDC
R
↓
k = −VDC
R e
R
L t1
↓
i(t) = VDC
R 1−e−R
L (t−t1)
(3.24)
3.4.2. Resolución de la Ecuación Diferencial por Transformada de Laplace
Aplicando la transformada de Laplace a la expresión (3.23) y el cambio de variable de la ecuación
(3.18), se obtiene:
VDC
s = RI(s)+LsI(s)
VDC
s = (R+Ls)I(s)
(3.25)
Despejando I(s) de la expresión (3.25), se obtiene:
I(s) =
VDC
s
·
1
(R+Ls)
=
VDC
R
·
1
1+sL
R
=
VDC
L
·
1
R
L +s
(3.26)
Aplicando fracciones parciales a la expresión (3.26), resulta:
I(s) =
VDC
Rs
−
VDC
s+ R
L R
(3.27)
Realizando la anti transformada de Laplace, de la expresión (3.27) y devolviendo el cambio de
variable (t = t −t1), se obtiene:

i(t) =
VDC
R
1−e−R
L t
=
VDC
R
1−e−R
L (t−t1)
(3.28)
En la ﬁgura 3.8 se puede observar la tensión y corriente en la carga, para una carga resistiva de 2Ω,
inductiva de 80mH y una fuente de tensión de corriente continua de 10V. El interruptor se cierra a
los 0,1s, permitiendo la circulación de corriente.
Figura 3.8: Tensión y corriente en la carga resistiva inductiva
3.5. Ejemplo
En la ﬁgura 3.9, se observa un circuito resistivo inductivo alimentado por una fuente de tensión
variable en el tiempo de la forma: vf (t) =
√
2V sen(ωt +ν)+VDC, se debe encontrar la corriente
que circula por el circuito.

40 3.5. Ejemplo
Figura 3.9: Circuito resistivo inductivo
3.5.1. Solución Homogénea
ih(t) = ke−R
L t
(3.29)
Multiplicando el numerador y denominador de la exponencial por ω se obtiene:
ih(t) = ke
− ωt
tan(ϕ) (3.30)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
3.5.2. Solución Particular Fuente Constante
ip(t) = −
VDC
R
(3.31)
3.5.3. Solución Particular (Régimen Sinusoidal Permanente)
Encontrando la corriente en régimen permanente, utilizando fasores obtenemos:
ip(t) =
√
2V
Z
sen(ωt +ν −ϕ) (3.32)

donde:
Z = R2 +(ωL)2
3.5.4. Solución Total
Condición inicial de corriente en el circuito es cero, debido a que el interruptor se encuentra abierto
i(t1) = 0:
i(t1) = 0 =
√
2V
Z sen(ωt1 +ν −ϕ)− VDC
R +ke
−
ωt1
tan(ϕ)
↓
k = VDC
R −
√
2V
Z sen(ωt1 +ν −ϕ) e
ωt1
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt +ν −ϕ)− VDC
R + VDC
R −
√
2V
Z sen(ωt1 +ν −ϕ) e
−
(ωt−ωt1)
tan(ϕ)
(3.33)
Sacando factor común
√
2V/Z, tenemos:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt +ν −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen(ωt1 +ν −ϕ) e
−
(ωt−ωt1)
tan(ϕ) (3.34)
donde:
m =
VDC
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
Este mismo ejercicio se puede aplicar diferentes métodos para encontrar la solución particular a
las fuentes forzantes, como por ejemplo la solución clásica o Laplace. Estos métodos son más
laboriosos que el de régimen sinusoidal permanente y se obtiene la misma respuesta.
3.5.4.1. Solución Particular por el Método Clásico.
ip(t) = Acos(ωt)+Bsen(ωt)
dip(t)
dt = −Aω sen(ωt)+Bω cos(ωt)
(3.35)

42 3.5. Ejemplo
Sustituyendo la expresión de la solución particular (3.35) en la ecuación diferencial, se obtiene:
vf (t) = Ri(t)+Ldi(t)
dt
vf (t) = R(Acos(ωt)+Bsen(ωt))+L(−Aω sen(ωt)+Bω cos(ωt))
vf (t) = (RA+BωL)cos(ωt)+(RB−AωL)sen(ωt)
(3.36)
Igualando término a término la ecuación (3.36), resulta:
√
2V cos(ν)sen(ωt) = (RB−AωL)sen(ωt)
√
2V sen(ν)cos(ωt) = (RA+BωL)cos(ωt)
(3.37)
Resolviendo el sistema de ecuaciones de la expresión (3.37) se obtienen el valor de A y B
B =
√
2V cos(ν −ϕ)
A =
√
2V sen(ν)
R − BωL
R
(3.38)
donde:
ϕ = tan−1 ωL
R
(3.39)
En la ﬁgura 3.10 se observa la tensión y corriente en la carga con una carga resistiva de 2Ω,
inductiva de 80mH y una fuente de tensión de vf (t) = 10+10sen(37t). El interruptor se cierra a
los 0,1s, permitiendo la circulación de corriente.

3.6. Ejercicios
1. Determine la tensión vc(t) y la corriente i(t) por el circuito de la ﬁgura 3.11 si la condición
inicial de la tensión del condensador es vc(0) = V1.
Figura 3.11: Ejercicio 1
2. Determine la expresión de la corriente i(t) y de la tensión del condensador vc(t) para t ≥ 0
para el circuito de la ﬁgura 3.12. Sí C = 0,7mF, L = 15mH, VDC = 10V y R = 5Ω. Suponga
que las condiciones iniciales del circuito son vc(0) = V1 y i(0) = 0

44 3.6. Ejercicios
3. Para el circuito de la ﬁgura 3.13, determine el tiempo en el cual la corriente por el interruptor
Sw2 para por cero.Para este tiempo determine la tensión sobre el capacitor. Dibuje las formas
de onda de la tensión y corriente por los elementos del circuito.

Parte II
Aspectos Generales y Dispositivos
45

Capítulo 4
Introducción
4.1. Reseña Histórica
La electrónica de potencia se desarrollo en base a las técnicas de conversión de energía alterna a
continua, presentes a inicios del siglo XX, con el desarrollo de los sistemas ferroviarios y masivos
de pasajeros. En 1902 Cooper - Hewitt desarrollan el primera válvula de descarga parcial de gas,
permitiendo funciones periódicas de conexión y desconexión. Estas válvulas podrían manejar hasta
un kilo amper (1kA) a varios kilos voltios de tensión.
Para 1914 Langmuir descubre el principio de control por rejilla de una descarga de arco, esto
permite que Loulon en 1922 lo utilice para el control de la tensión mediante una válvula de mercurio
con control de encendido denominada “tiratrón” . Esta componente podría soportar tensiones de
hasta 15kV y corrientes de 20A.
Durante 1930 un gran número de instalaciones de rectificación se encontraban en operación con
capacidades hasta los mega vatios, en estas se utilizaban válvulas de mercurio en el proceso de con-
versión de energía. Estas instalaciones se utilizaban para cargar baterías desde las redes de corriente
alterna monofásicas y trifásicas, para los sistemas de transporte. Con los años, nuevas aplicaciones
fueron utilizando las instalaciones rectificadoras lo que impulso aun más su desarrollo y ampliación
en la conversión de altos bloques de energía. Entre las aplicaciones con mayor consumo de energía
tenemos el alumbrado y el transporte masivo de personas. En la figura 4.1, se presenta una válvula
de mercurio utilizada para rectificación en 1930 por parte de la empresa Philips y el esquema de un
tiratrón, respectivamente.
47

48 4.2. Funciones Básicas de los Convertidores Electrónicos de Potencia
(a) Válvula de mercurio Philips (b) Esquema de un tiratrón
Figura 4.1: Válvulas de mercurio
Durante los finales de la década de los treinta, se empiezan a instalar estaciones rectificadoras de
baja potencia a partir de diodos semiconductores de potencia. En 1950 los Lab. Bell desarrollan el
primer tiratrón en base a la tecnología semiconductora y en 1958 la General Electric lo comercializa
con el nombre de “Rectificador de Silicio Controlado (SCR)” lo cual inicia un nuevo impulso de
la electrónica de potencia lo que trajo como consecuencia que otros dispositivos de baja potencia
se fabricasen para requerimientos de alta potencia, entre estos dispositivos encontramos a los BJT,
MOSFET, FET, GTO, SITH, MCT e IGBT.
4.2. Funciones Básicas de los Convertidores Electrónicos de Po-
tencia
La electrónica de potencia se utiliza principalmente para la conversión de la energía eléctrica, me-
diante operaciones controladas de interrupción de tensión y/o corriente, tanto en los sistemas de
corriente alterna como de corriente continua. En la figura 4.2, se presentan el esquema de las cuatro
formas de conversión de energía eléctrica entre los sistemas de corriente alterna y continua

4. Introducción 49
Figura 4.2: Conversión de energía eléctrica
Rectiﬁcación: es el proceso de transformación de AC a DC.
Inversión: es el proceso de transformación de DC a AC.
Conversión DC: es el proceso de transformación de DC a DC de distinto nivel.
Conversión AC: es el proceso de transformación de AC a AC de distinto nivel y/o frecuencia.
Estas cuatro formas de conversión de energía son realizada con los puentes convertidores electróni-
cos de la ﬁgura 4.3. Estos puentes se pueden utilizar para acoplar sistemas de corriente continua y
alterna, así como para alimentar, conectar y desconectar cargas en ambos sistemas de alimentación.
(a) Conversión AC - AC (b) Conversión DC - DC (c) Conversión DC - AC y AC
- DC
Figura 4.3: Convertidores electrónicos de potencia
4.3. Aplicaciones
La electrónica de potencia se utiliza en diversos campos, entre las aplicaciones mas importantes se
encuentran:
4.3.1. Residencial:
Refrigeradores.

50 4.3. Aplicaciones
Congeladores.
Aires acondicionados.
Iluminación.
Equipos electrónicos (computadores y equipos de entretenimiento).
Puertas de estacionamiento.
Iluminación.
Computadores.
Electrodomésticos.
4.3.2. Comercial:
Aire acondicionado.
Ventiladores.
Calefacción.
Iluminación.
Equipos de oﬁcina.
Elevadores.
Escaleras mecánicas.
Fuentes ininterrumpidas de potencia (UPS).
4.3.3. Industrial:
Bombas.
Compresores.
Control de máquinas eléctricas.
Robótica.
Hornos de inducción y arco.

4. Introducción 51
Láser industriales.
Electro ﬁltros.
Calderas.
Soldadoras.
4.3.4. Transporte:
Control de vehículos eléctricos.
Cargadores de batería.
Locomotoras eléctricas.
Subterráneos y Tranvías.
Trole buses.
4.3.5. Transmisión y Otras Utilidades:
Transmisión en corriente continua (HVDC).
Compensadores de reactivos (SVS).
Fuentes suplementarias de energía.
Fuentes de poder.
4.4. Dispositivos Semiconductores de Potencia
4.4.1. Diodo
Es el dispositivo más básico de la electrónica de potencia, esta constituido por una juntura semi-
conductora PN su encendido se realiza cuando la tensión entre su ánodo y cátodo supera la tensión
de ruptura de la componente (vak ≥ vto). Esta tensión de ruptura se encuentra en baja potencia al-
rededor de 0,7V para componentes en silicio y en 0,3V para germanio. En electrónica de potencia
los diodos son de silicio y su tensión de ruptura esta en el rango de 1V a 2V. En la ﬁgura 4.4, se
presenta el símbolo eléctrico del dispositivo, su esquema como semiconductor y una foto de estas
dispositivos.

52 4.4. Dispositivos Semiconductores de Potencia
(a) Símbolo (b) Esquema Semiconductor
(c) Foto
Figura 4.4: Diodo
El apagado de esta componente se realiza cuando la corriente cruce por cero (iD = 0) lo cual
origina la restitución de la barrera de potencial en la juntura PN. En la figura 4.5a, se presenta la
curva de tensión corriente del diodo, esta característica depende de la temperatura de operación
de la componente. En la gráfica se puede observar que la componentes no comienza a conducir
corriente hasta que la tensión entre sus terminales no es mayor a la tensión de ruptura (vak ≥
vto), generalmente esta información así como el inverso de la pendiente de curva en la zona de
conducción (RD) son suministrados por el fabricante en la hoja de datos del dispositivo. Debido a
que la tensión de ruptura de los diodo es inferior al 0,1% de la tensión en conducción se puede
idealizar la curva característica de la componente mostrada en la figura 4.5a, para los fines de
análisis y consideraciones del efecto sobre la carga y red de alimentación, a la característica que se
muestra en la figura 4.5b.

4. Introducción 53
(a) Característica real (b) Característica ideal
Figura 4.5: Características del diodo
En la tabla 4.1, se presentan las principales características de los diodos que existen actualmente en
el mercado:
Tabla 4.1: Tipos de diodos
Tipo Tensión (kV) Corriente (kA) Frecuencia (kHz)
Uso General 5.0 5.0 1.0
6.0 3.5 1.0
0.6 9.57 1.0
2.8 1.7 20.0
Alta Velocidad 4.5 1.95 20.0
6.0 1.1 20.0
0.6 0.017 30.0
Schottky 0.15 0.08 30.0
4.4.2. Tiristor
El Tiristor o SCR esta conformado por tres junturas NP en serie, este dispositivo reemplazo al los
tiratrones y posee controlo de encendido a través del suministro de un pulso de corriente en el orden
de los 20mA en la compuerta de disparo o gate, adicionalmente requiere polarización ánodo cátodo
positiva (vak > 0) . Su apagado al igual que los diodos depende de que la corriente cruce por cero.
En la ﬁgura 4.6, se presenta su simbología, terminales y esquema como semiconductor. Adicional-

mente, en la figura 4.7 se presenta la forma de construir un tiristor a partir de dos transistores BJT
(PNP y NPN).
(a) Símbolo (b) Esquema como Semiconductor
(c) Foto
Figura 4.6: Tiristor o SCR
(a) Esquema Semiconductor (b) Esquema por Componentes
Figura 4.7: Tiristor a partir de transistores BJT
En la figura 4.8a, se presenta la característica tensión corriente del dispositivo, la tensión de ruptura
de los tiristores se encuentra entre 1V y los 2V aproximadamente. Al igual que los diodos, la
tensión de ruptura de los tiristores es inferior al 0,1% de la tensión en conducción, esto permite
idealizar la curva característica a la mostrada en la figura 4.8b.

4. Introducción 55
Figura 4.8: Característica del tiristor
En la tabla 4.2, se presentan las principales características de los tiristores que existen actualmente
en el mercado:
Tabla 4.2: Tipos de tiristores
Bloque Inverso 4.5 3.0 20.0
6.0 2.3 20.0
4.5 3.7 20.0
Conmutados por línea 6.5 4.2 0.06
2.8 1.5 0.06
5.0 4.6 0.06
5.0 3.6 0.06
5.0 5.0 0.06
Alta Velocidad 2.8 1.85 20.0
1.8 2.1 20.0
Bidireccionales 4.2 1.92 20.0
RCT (Con diodo en antiparalelo) 2.5 1.0 20.0
Conducción Inversa 2.5 1.0 5.0
Gatt (Tracción) 1.2 0.40 20.0
Fototiristor o Lumínicos 6.0 1.5 0.400

4.4.3. Triac
El Triac esta conformado por dos tiristores en antiparalelo, también se le conoce como relé de esta
sólido y su aplicación más común es en los dimer de luz para bombillos incandescentes. Ambos
tiristores se construyen sobre la misma pastilla de silicio con la finalidad que tengan características
similares a fin que la onda sea simétrica en ambos semiciclos de operación, esta componente es
bidireccional en corriente. En la figura 4.9, se presenta el símbolo del dispositivo.
(a) Símbolo (b) Foto
Figura 4.9: Triac
La ventaja de utilizar este dispositivo en lugar de dos tiristores en configuración anti paralelo es que
solo se requiere un circuito de disparo. En la figura 4.10a, se presenta la característica de tensión
corriente del dispositivo. En la figura 4.10b, se presenta la característica ideal de la componente
que se utilizara para el análisis tanto en la carga como en la fuente de alimentación.
Figura 4.10: Característica del triac

4. Introducción 57
En la tabla 4.3, se presentan las principales características de los triac que existen actualmente en
el mercado:
Tabla 4.3: Tipos de triac
Uso General 1.2 0.3 0.4
4.4.4. Tiristores Auto Desactivables
Estos dispositivos presentan control de encendido y apagado a través de la compuerta, dependiendo
la tecnología de diseño los requerimientos de encendido y apagado difieren entre uno y otro. Para
el caso del GTO que se basa en la tecnología de los tiristores se requiere para su encendido tensión
positiva ánodo cátodo y un pulso de corriente por el gate de 20mA, mientras que para el apagado
se requiere un pulso de corriente que puede oscilar hasta un 10% de la corriente de conducción. El
MCT que se basa en la tecnología de los transistores BJT requiere para su encendido y apagado,
la existencia o no de un pulso de corriente, este pulso depende de la ganancia hfe del componente
y de la corriente de conducción. El SITH esta basado en la tecnología de los MOSFET y requiere
para el encendido y apagado un pulso de tensión en el gate adicionalmente de la polarización en
directo al igual que el MCT. Otros tiristores auto desactivables de tecnología híbrida son: el MTO
fue desarrollado por Silicon Power Company y es una combinación de un GTO y un MOSFET
para realizar el apagado de la componente. El ETO es un dispositivo que combina el MOS y GTO
tomando las ventajas de ambas componentes, el manejo de potencia del GTO y el encendido y
apagado por tensión del MOS. El ETO fue inventado en el Virginia Power Electronics Center, en
colaboración con SPO. El IGCT es la combinación de un GTO de conmutación permanente, con
un activador de compuerta en tarjeta de circuito impreso multicapa que toma la corriente del cátodo
por un 1µs y la aplica en el gate para el apagado de la componente. En la figura 4.11, se presenta
el símbolo de los diferentes tiristores auto desactivables. En la figura 4.12 se presenta la foto de un
GTO.
En la figura 4.13a, se presenta la característica de tensión corriente de los tiristores auto desacti-
vables. A igual que los tiristores la tensión de ruptura de los componentes auto desactivables son
menores al 0,1% de la tensión de diseño por lo cual la característica de la figura 4.13a, se puede
idealizar a fines de realizar lo análisis del impacto en la carga y fuente de alimentación de con-
vertidores construidos con este tipo de dispositivo. Se puede destacar que estos componentes solo
permiten la conducción unidireccional de la corriente. En la figura 4.13b, se presente la caracterís-
tica ideal de los tiristores auto desactivables.

(a) GTO (b) IGCT
(c) MCT (d) SITH
(e) MTO (f) ETO
Figura 4.11: Tiristores auto desactivables (símbolo y esquema)
Figura 4.12: GTO

4. Introducción 59
Figura 4.13: Característica tiristores autodesactivables
En la tabla 4.4, se presentan las principales características de los tiristores auto desactivables que
existen actualmente en el mercado:
Tabla 4.4: Tipos de tiristores auto desactivables
GTO 4.5 4.0 10.0
HD-GTO 4.5 3.0 10.0
Pulso-GTO 5.0 4.6 10.0
MCT 4.5 0.25 5.0
1.4 0.065 5.0
MTO 4.5 0.5 5.0
ETO 4.5 4.0 5.0
IGCT 4.5 3.0 5.0
SITH 4.0 2.2 20.0
4.4.5. Transistores BJT
Los transistores BJT más utilizados en la electrónica de potencia son los NPN, y su operación se
centra en corte y saturación, es decir, como interruptor electrónico. En la ﬁgura 4.14, se presenta es
símbolo de un transistor NPN destacando sus terminales. Un transistor NPN se encuentra polariza-
do sí la tensión del colector es mayor a la de la base y esta mayor que la del emisor (vC > vB > vE)
en por lo menos 0,7V. La polarización de este dispositivo se realiza por corriente y es de la forma:

ibase =
icolector
hfe
=
iemisor
hfe +1
(4.1)
Figura 4.14: Transistor NPN
Para operar el transistor en corte es necesario suministra cero corriente por la base, generalmente
par evitar operaciones no deseadas que pudiesen colocar el dispositivo en la zona activa de ope-
ración por corrientes inducidas en los circuitos de disparo se coloca corriente negativa en la base
a fin de garantizar la operación en corte de la componente. La condición para operar el transistor
en saturación es que la corriente de la base debe ser mayor o igual a la del colector en conducción
entre la ganancia de corriente del dispositivo o hfe.
ibasesaturaci ón
≥ icolectoroperaci ón
1
hfe
(4.2)
En la figura 4.15a, se presenta la característica de operación del transistor NPN, se puede observar
como la zona de operación de la componente depende de la corriente de base utilizada para su
polarización. La ganancia (hfe) típica de los transistores de potencia en corriente esta alrededor de
50. En la figura 4.15b, se presenta la característica ideal de la componente como interruptor elec-
trónico, es decir, en la zona de corte y saturación. Esta componente es unidireccional en corriente
y requiere siempre la presencia de la señal de corriente en la base para su operación.

4. Introducción 61
(a) Característica real (b) Característica ideal en corte y sa-
turación
Figura 4.15: Característica del transistor BJT
En la tabla 4.5, se presentan las principales características de los transistores BJT de potencia que
Tabla 4.5: Tipos de transistores BJT de potencia
Individual 0.4 0.25 25.0
Darlington 1.2 0.40 20.0
4.4.6. MOSFET
Los MOSFET más utilizados en electrónica de potencia son los canal N, su símbolo se presenta en
la ﬁgura 4.16, al igual que los transistores BJT su operación se reduce a interruptor electrónico, es
decir, en corte y saturación. La ventaja de este dispositivo en relación con el BJT es su polarización
en tensión y alta impedancia de entrada. En la ﬁgura 4.17a, se presenta la característica de operación
de los MOSFET en función de la tensión gate source.

(a) Símbolo (b) Foto
Figura 4.16: MOSFET
En la ﬁgura 4.17b, se presenta la característica ideal de la componente como interruptor electrónico,
es decir, en la zona de corte y saturación. Esta componente es unidireccional en corriente y requiere
siempre la presencia de la señal en el gate para su operación.
(a) Característica de operación real (b) Característica ideal de corte y sa-
turación
Figura 4.17: Característica del MOSFET
En la tabla 4.6, se presentan las principales características de los transistores MOSFET de potencia
que existen actualmente en el mercado:

4. Introducción 63
Tabla 4.6: Tipos de transistores MOSFET de potencia
Individual 0.8 0.0075 100.0
COOLMOS 0.8 0.0078 125.0
COOLMOS 0.6 0.04 125.0
COOLMOS 1.0 0.0061 125.0
4.4.7. IGBT
Los transistores de compuerta aislada o IGBT combinan las características de los MOSFET de alta
impedancia de entrada y polarización en tensión con la baja impedancia de salida de los BJT lo
que origina una alta ganancia de corriente. Esta componente se construye colocando en cascada un
MOSFET que polariza un par de BJT, su símbolo y esquema interno se presenta en la figura 4.18.
(a) Símbolo (b) Esquema Interno
(c) Foto
Figura 4.18: IGBT
En la figura 4.19a, se presenta la característica de operación del IGBT, en función de la tensión base
emisor de polarización (vBE). En la figura 4.19b, se presenta la característica ideal de operación del
IGBT como interruptor electrónico de potencia.

(a) Característica real (b) Característica ideal de corte y sa-
turación
Figura 4.19: Característica de operación del IGBT
En la tabla 4.7, se presentan las principales características de los transistores IGBT de potencia que
Tabla 4.7: Tipos de transistores IGBT de potencia
Individual 1.2 0.052 100.0
Individual 1.2 0.025 100.0
HVIGBT (Sencillo) 6.5 1.2 100
HVDIODE (Dual) 6.5 1.2 100
4.4.8. SIT
El SIT es el FET de electrónica de potencia, su símbolo se presenta en la ﬁgura 4.20, su aplicación
se reserva para altas frecuencias en la industria aeronáutica y aeroespacial.

4. Introducción 65
Figura 4.20: SIT
En la figura 4.21, se presenta la característica de operación del dispositivo en función de la tensión
de polarización gate source y su característica ideal como interruptor electrónico.
(a) Real (b) Interruptor Electrónico
Figura 4.21: Características de operación del SIT
En la tabla 4.8, se presentan las principales características de los transistores SIT de potencia que
Tabla 4.8: Tipos de transistores SIT de potencia
4.5. Clasificación de los Semiconductores de Potencia.
Los semiconductores de potencia se pueden clasificar de acuerdo a su grado de controlabilidad para
el encendido y apagado, así como por su capacidad de soportar corriente y tensión unidireccional
o bidireccional como:

66 4.5. Clasificación de los Semiconductores de Potencia.
Activación y desactivación sin control.
Activación controlada y desactivación sin control.
Activación y desactivación controlada.
Requerimiento de encendido por nivel de compuerta.
Requerimiento de encendido por flanco o pulso en la compuerta.
Capacidad de tensión bipolar.
Capacidad de tensión unipolar.
Corriente bidireccional.
Corriente Unidireccional.
En la tabla 4.9, se presentan las característica de conmutación de cada uno de los semiconductores
de potencia de acuerdo a su grado de controlabilidad.
Tabla 4.9: Características de conmutación de los semiconductores de potencia
Dispositivo Señal de Compuerta Control Tensión Corriente
Continua Pulso Encendido Apagado Unipolar Bipolar Unidireccional Bidireccional
Diodo X X
BJT X X X X X
MOSFET X X X X X
IGBT X X X X X
SIT X X X X X
SCR X X X X
RCT X X X X
TRIAC X X X X
GTO X X X X X
MTO X X X X X
ETO X X X X X
IGCT X X X X X
SITH X X X X X
MCT X X X X X
En la figura 4.22, se presenta los niveles de potencia manejados por los diferentes fabricantes de
dispositivos electrónicos de potencia para principios del año 2000, en lo relativo a IGBT, Tiristores,
GTO y MOSFET.

4. Introducción 67
Figura 4.22: Intervalo de potencia de los semiconductores de potencia comerciales a principios de
siglo [2].
4.6. Selección de Semiconductores de Potencia
La selección de un dispositivo de potencia, para una determinada aplicación, no depende única-
mente de los niveles de la tensión y corriente requeridos, también dependen de su característica de
conmutación, niveles de perdidas en los tres estados de operación (conducción, bloqueo y conmu-
tación), del grado de controlabilidad y frecuencia de conmutación que requiera la aplicación. Los
niveles de perdidas que pueden manejar la componente depende de su capacidad de disipación de
calor al medio ambiente que esta estrechamente ligada con su disipador.
4.7. Ventajas y Desventajas de la Electrónica de Potencia
Los dispositivos semiconductores de potencia permiten construir puentes convertidores electróni-
cos, eﬁcientes que mejoran las prestaciones estáticas y dinámicas de los procesos de conversión

68 4.7. Ventajas y Desventajas de la Electrónica de Potencia
de energía eléctrica. Estos puentes originan procesos más eficientes debido a la capacidad de con-
mutar grandes bloques de energía con mínimas pérdidas. Estos incrementos en las prestaciones y
eficiencia se logra al combinar distintas áreas del conocimiento dentro de las aplicaciones de la
electrónica de potencia. En la figura 4.23, se presentan algunas de las áreas que interactúan dentro
de la electrónica de potencia.
Figura 4.23: Multidisciplinaridad de la electrónica de potencia
La conmutación de altos bloques de energía trae consigo la introducción de contaminación armó-
nica en tensión y corriente sobre las líneas de alimentación, problemas de resonancia, interferencia
electromagnética, fallas de aislación, entre otras. Estos problemas pueden solucionarse mediante
filtros pasivos y/o activos o mejorando las estrategia de conmutación de los puentes electrónicos.

Capítulo 5
Rectificadores de Media Onda No
Controlado
5.1. Aspectos Generales
Un rectificador convierte la corriente alterna en corriente continua. La finalidad de un rectificador
puede ser generar una onda de tensión o corriente continua pura o con un nivel determinado de
corriente continua. En la practica los rectificadores de media onda se utilizan en las aplicaciones
de baja potencia debido a que estos introducen sobre el sistema de alterna, corriente media con
contenido diferente de cero. Esta corriente media ocasiona problemas de saturación en las máquinas
eléctricas y en especial en los transformadores. Aunque sus aplicaciones son limitadas, merece la
pena su estudio ya que su compresión permitirá el análisis de configuraciones más compleja de los
puentes convertidores de electrónica de potencia. En la figura 5.1, se presenta la configuración de
este puente convertidor.
Figura 5.1: Puente rectificador de media onda
En este capitulo centraremos el estudio de los rectificadores de media onda alimentados con fuentes
sinusoidales, su análisis con otro tipo de alimentación alterna es análogo. Para activar el diodo
o derrumbar la barrera de potencial de la juntura NP, se requiere su polarización en directo es
decir, que el ánodo sea más positivo que el cátodo (vak > 0), mientras que para su desactivación se
71

72 5.2. Rectificador con Carga Resistiva
requiere que la corriente que circula por el dispositivo sea igual ha cero, una forma de lograr esto
es polarizando el dispositivo en inverso, es decir con tensión ánodo - cátodo negativa (vak < 0), o
esperar que la corriente pase naturalmente por cero (i(tβ ) = 0), esto trae como consecuencia que el
apagado del diodo dependa de la naturaleza de la carga, en pocas palabras del adelanto o atraso del
cruce por cero de la corriente con respecto a la tensión.
Para el estudio del puente rectificador es necesario realizar algunas definiciones que serán útiles
para la compresión y análisis de su funcionamiento.
Ángulo o tiempo de encendido (α):
Es el ángulo o instante de tiempo en el cual la barrera de potencial de la juntura se derrumba y por
la componente empieza a circular corriente.
Ángulo o tiempo de apagado (β):
Es el ángulo o instante de tiempo en el cual la barrera de potencial de la juntura se restituye y por
la componente se inhibe o suprime la circulación de corriente.
Ángulo o tiempo de conducción (γ):
Es el tiempo total o diferencia angular en al cual circula corriente por la componente y esta definido
por:
γ = β −α (5.1)
5.2. Rectificador con Carga Resistiva
En la figura 5.2, se presenta en puente rectificador de media onda con carga pura resistiva. El
punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresión: vf (t) =
√
2V sen(ωt).

Figura 5.2: Puente rectificador de media onda no controlado con carga resistiva
Considerando el diodo ideal, es decir que su tensión de ruptura es cero, el ángulo de encendido
del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo. Esto ocurre
durante el semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto el ángulo de encendido es cero
(α = 0).
Para encontrar el ángulo de apagado es necesario encontrar cuando la corriente pasa naturalmente
por cero (i(tβ ) = 0). En el circuito de la figura 5.2, la corriente para 0 ≤ t ≤ tβ es:
i(t) =
vf (t)
R
=
√
2V sen(ωt)
R
(5.2)
La corriente de la expresión (5.2) pasa naturalmente por cero en ωtβ = π, por lo tanto el ángulo de
apagado es β = π.
En la figura 5.3, se presenta la corriente y la tensión en la carga resistiva y la fuente para este puente
convertidor no controlado.
Figura 5.3: Formas de Onda para la carga resistiva

Como el circuito de la figura 5.2 es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corrien-
te por la fuente de corriente alterna. En la figura 5.4, se presentan los contenidos armónicos de
tensión y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido armónico luego de la
fundamental se obtiene en la armónica cero correspondiente al valor medio y la segunda armónica.
Adicionalmente se puede ver como las armónicas de alto orden tienden a cero.
Figura 5.4: Contenido armónico para la carga resistiva
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara las definiciones vistas en el ca-
pítulo 1 en el intervalo del periodo en donde la función esta definida, que es entre el ángulo de
encendido (α) y el de apagado de la componente (β).
5.2.1. Tensión Media
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|β
α
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|π
0
V0 =
√
2V
2π (1−(−1))
V0 =
√
2V
π
(5.3)

5.2.2. Corriente Media
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
R sen(ωt)dωt
I0 =
√
2V
2πR −cos(ωt)|β
α
I0 =
√
2V
2πR −cos(ωt)|π
0
I0 ==
√
2V
2πR (1−(−1))
I0 =
√
2V
πR = V0
R
(5.4)
5.2.3. Tensión Efectiva
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ β
α (1−cos(2ωt))dωt
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
π
0
Vrms = V2
2π π −0− sen(2π)
2 + sen(0)
2
Vrms = V2
2π ·π = V√
2
(5.5)
5.2.4. Corriente Efectiva
Irms = 1
2π
¡ β
α
√
2V
R sen(ωt)
2
dωt
Irms = V2
R2π
¡ β
Irms = V2
R22π
1− sen(2ωt)
2
β
α
Irms = V2
R22π
1− sen(2ωt)
2
π
0
Irms = V2
R22π
π −0− sen(2π)
2 + sen(0)
2
Irms = V2
R22π
·π = V√
2R
(5.6)

76 5.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva
5.2.5. Factor de Rizado
FR =
V√
2
2
−
√
2V
π
2
√
2V
π
=
π2
4
−1 = 1,21 (5.7)
5.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva
En la figura 5.5, se presenta en puente rectificador de media onda con carga resistiva inductiva. El
√
2V sen(ωt).
Figura 5.5: Puente rectificador de media onda no controlado con carga resistiva inductiva
del diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo durante el
semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto α = 0 .
por cero (i(tβ ) = 0). La corriente para el circuito de la figura 5.5 se obtiene resolviendo la ecuación
diferencial de corriente obtenida a partir del recorrida de mallas del circuito como:
Solución Homogénea.
ih(t) = ke−R
L t
(5.8)

ih(t) = ke
− ωt
tan(ϕ) (5.9)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
Solución Particular (Régimen Sinusoidal Permanente)
Encontrando la corriente en régimen permanente, utilizando fasores se obtiene:
ip(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ) (5.10)
donde:
Z = R2 +(ωL)2
Solución Total
La solución total de la corriente del circuito de la ﬁgura 5.5 se obtiene de las expresiones (5.9) y
(5.10) como:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)+ke
− ωt
tan(ϕ) (5.11)
La condición inicial del circuito debido a que el diodo se encuentra abierto o en no conducción es
cero: i(0) = 0, por la tanto el valor de k, se puede determinar como:
i(0) = 0 =
√
2V
Z sen(0−ϕ)+ke
− 0
tan(ϕ)
↓
k = −
√
2V
Z sen(−ϕ) =
√
2V
Z sen(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)+
√
2V
Z sen(ϕ)e
− ωt
tan(ϕ)
(5.12)
√
2V/Z se obtiene:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)+sen(ϕ)e
− ωt
tan(ϕ) (5.13)

La corriente de la expresión (5.13) pasa naturalmente por cero cuando i(tβ ) = 0, por lo tanto el
ángulo de apagado se calcula igualando esta expresión ha cero. La ecuación (5.13) se hace cero si
V = 0 o Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por
ninguna fuente de tensión o no posee carga conectada, por lo cual la única forma que la expresión
(5.13) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
sen ωtβ −ϕ +sen(ϕ)e
−
ωtβ
tan(ϕ) = sen(β −ϕ)+sen(ϕ)e
− β
tan(ϕ) = 0 (5.14)
La expresión (5.14) no posee una solución analítica para β, este tipo de expresión se le conoce
como ecuación trascendental y su solución es numérica. Diversos métodos de solución numérica se
pueden emplear para la solución de esta ecuación. La solución del ángulo de apagado esta acotada
entre π ≤ β ≤ 2π para el circuito de la figura 5.5. En la figura 5.6, se presenta la gráfica de la
solución de esta expresión para diferentes valores del ángulo de carga (ϕ) .
Figura 5.6: Solución gráfica a la expresión (5.14)
En la figura 5.7, se presentan las forma de onda de la tensión y corriente en la carga y fuente
de alterna de este puente convertidor, para una fuente de vf (t) =
√
2120sen(377t), R = 60Ω y
L = 223mH . Para esta carga el ángulo de apagado es β = 4,1351rad = 236,9233◦

Figura 5.7: Formas de onda para la carga RL
Como el circuito de la figura 5.5, es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corriente
por la fuente de corriente alterna. En la figura 5.8, se presentan los contenidos armónicos de tensión
y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido armónico luego de la fundamental
se obtiene en la armónica cero correspondiente al valor medio y la segunda armónica.
Figura 5.8: Contenido armónico para la carga RL
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara la definiciones vistas en el capítulo
1 en el intervalo del periodo en donde la función esta definida, que es entre el ángulo de encendido
(α) y el de apagado de la componente (β).

V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|
β
0
V0 =
√
2V
2π (1−cos(β))
(5.15)
I0 = 1
2π
¡ β
α i(t)dωt
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)+sen(ϕ)e
− ωt
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
1
2π
¡ β
α sen(ωt −ϕ)+sen(ϕ)e
− ωt
tan(ϕ) dωt
I0 = V0
R =
√
2V
2πR (1−cos(β))
(5.16)
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
0
Vrms = V2
2π β −0− sen(2β)
2 + sen(0)
2
Vrms = V 1
2π · β − sen(2β)
2
(5.17)
Nota: La expresión (5.17) solo es válida en radianes
Irms = 1
2π
¡ β
α i(t)2dωt
Irms = 1
2π
¡ β
α
√
2V
− ωt
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
2π
¡ β
α sen(ωt −ϕ)+sen(ϕ)e
− ωt
tan(ϕ)
2
dωt
(5.18)

5.3.5. Factor de Rizado en Tensión
FR =
V 1
2π · β − sen(2β)
2
2
−
√
2V
2π (1−cos(β))
2
√
2V
2π (1−cos(β))
(5.19)
En la ﬁgura 5.9, se presenta la solución gráﬁca en función del ángulo de carga (ϕ) de la corriente
media y efectiva normalizada en la carga, es decir la solución de las integrales de las expresiones
(5.16) y (5.18).
Figura 5.9: Corriente media y efectiva normalizada en función del ángulo ϕ
Donde:
I0 =
√
2V
Z
·Imedia (5.20)
Irms =
√
2V
Z
·Iefectiva (5.21)
5.3.6. Simulación

1 % Media Onda No Controlado con fuente sinusoidal
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RL
4
5 % Entrada de datos
6 V=input('Tension efectiva de la fuente sinusoidal ');
7 R=input('Resistencia [Ohm] ');
8 L=input('Inductancia [H] ');
9 f=input('Frecuencia de la fuente [Hz] ');
10
11 % Parámetros
12 fi=atan (2*pi*f*L/R);
13 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
14
15 % Cálculo del ángulo de apagado
16 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)+sin(fi)*exp(-t/tan(fi)),[pi])
17
18 % Función en el tiempo
19 t=0:0.001:b;
20 i=sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)+sin(fi)*exp(-t/tan(fi)));
21 v=sqrt (2)*V*sin(t);
22
23 % Valores Medios
24 Io =1/(2* pi)*trapz(t,i)
25 Vo=sqrt (2)*V/(2*pi)*(1-cos(b))
26 Imedia=Vo/R
27
28 % Valores Efectivos
29 Irms=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,i.^2))
30 Vrms=V*sqrt (1/(2* pi)*(b-(sin(2*b))/2))
31
32 %Factor de rizado
33 FR_i=sqrt(Irms^2-Io^2)/Io
34 FR_v=sqrt(Vrms^2-Vo^2)/Vo
35
36 % Primera Armónica
37 Vrms_1=abs(1/pi*(trapz(t,v.*exp(j*t))))/sqrt (2)
38 Irms_1=abs(1/pi*(trapz(t,i.*exp(j*t))))/sqrt (2)
39

40 % THD
41 THDv=sqrt(Vrms^2-Vrms_1 ^2)/Vrms_1
42 THDi=sqrt(Irms^2-Irms_1 ^2)/Irms_1
43
44 % Graficas
45 figure (1)
46 t1 =0:0.001:2* pi;
47 vf=sqrt (2)*V*sin(t1);
48 nx=size(t1)-size(t);
49 nx(1)=1;
50 vx=[v,zeros(nx)];
51 ix=[i,zeros(nx)];
52 plot(t1,vf,'-.',t1,vx,'r','LineWidth ' ,2);grid
53 legend('Fuente ','Carga');
54 set(gca ,'FontSize ',12,'FontName ','Times');
55 xlim ([0 2*pi]);
56 set(gca ,'XTick' ,0:pi/6:2*pi);
57 set(gca ,'XTickLabel ',{'0','T/12','T/6','T/4','T/3','5T/12','T/2','7T
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
58 set(gca ,'YTickLabel ',{' '})
59 xlabel('Tiempo ','fontsize ',14,'fontname ','Times');
60 ylabel('Magnitud ','fontsize ',14,'fontname ','Times');
61
62 figure (2)
63 plot(t1,ix,'LineWidth ' ,2);grid
64 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})

84 5.4. Rectificador con Carga Inductiva
5.4. Rectificador con Carga Inductiva
En la figura 5.10, se presenta en puente rectificador de media onda con carga inductiva pura. El
√
2V sen(ωt).
Figura 5.10: Puente rectificador de media onda no controlado con carga inductiva
semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo tanto α = 0.
por cero (i(tβ ) = 0). Para encontrar la expresión temporal de la corriente para 0 ≤ t ≤ tβ , se puede
utilizar el resultado del circuito RL de la sección anterior, con Z = ωL y ϕ = π/2 que corresponden
al caso inductivo puro.
i(t) =
√
2V
− ωt
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
ωL sen ωt − π
2 +sen π
2 e
− ωt
tan(π
2 )
↓
i(t) =
√
2V
ωL sen ωt − π
2 +1
↓
i(t) =
√
2V
ωL [1−cos(ωt)]
(5.22)
ángulo de apagado se calcula igualando esta ha cero. La ecuación (5.22) se hace cero si V = 0 o
Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por ninguna
fuente de tensión o no posee carga conectada, por lo cual la única forma que la expresión (5.22) sea
cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .

1−cos ωtβ = 1−cos(β) = 0 (5.23)
Despejando β de la expresión (5.23), se obtiene:
cos(β) = 1
↓
β = 2π
(5.24)
En la ﬁgura 5.11, se presenta la tensión y corriente en la carga y fuente de alterna de este puente
convertidor, para una fuente de vf (t) =
√
2120sen(377ωt), y L = 223mH.
Figura 5.11: Formas de onda para la carga inductiva
por la fuente de corriente alterna. En la ﬁgura 5.12, se presentan los contenidos armónicos de
tensión y corriente en la carga. Se puede observar que el mayor contenido armónico en la corriente
luego de la fundamental se obtiene en la armónica cero correspondiente al valor medio.

Figura 5.12: Contenido armónico para la carga inductiva
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara la deﬁniciones vistas anteriormente
en el capítulo 1.
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|2π
0
V0 =
√
2V
2π (1−1)
V0 = 0
(5.25)
I0 = 1
2π
¡ β
α i(t)dωt
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
ωL [1−cos(ωt)] dωt
I0 =
√
2V
ωL
1
2π
¡ 2π
α [1−cos(ωt)]dωt
I0 =
√
2V
ωL
1
2π (2π) =
√
2V
ωL
(5.26)

Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
2π
α
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
2π
0
Vrms = V2
2π 2π −0− sen(4π)
2 + sen(0)
2
Vrms = V 1
2π ·(2π)
Vrms = V
(5.27)
Irms = 1
2π
¡ β
α i(t)2dωt
Irms = 1
2π
¡ 2π
α
√
2V
ωL [1−cos(ωt)]
2
dωt
Irms =
√
2V
ωL
1
2π
¡ 2π
α 1−2cos(ωt)+(cos(ωt))2
dωt
Irms =
√
2V
ωL
1
4π
¡ 2π
α (3−4cos(ωt)+cos(2ωt))dωt
Irms =
√
2V
ωL
6π
4π
Irms =
√
3V
ωL
(5.28)
5.4.5. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip L
4
9
10 % Parámetros

11 XL=(2*pi*f*L);
12
14 b=2*pi
15
17 t=0:0.001:b;
18 i=sqrt (2)*V/XL*(1-cos(t));
20
21 % Valores Medios
23 Vo=sqrt (2)*V/(2*pi)*(1-cos(b))
24
25
28 Vrms=V*sqrt (1/(2* pi)*(b-(sin(2*b))/2))
29
32
33
37
38 % THD
41
42 % Graficas
43 figure (1)
44 t1 =0:0.001:2* pi;
46 nx=size(t1)-size(t);
47 nx(1)=1;
48 vx=[v,zeros(nx)];
49 ix=[i,zeros(nx)];

53 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
59
60 figure (2)
62 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
5.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre
En la figura 5.13, se presenta en puente rectificador de media onda con carga resistiva inductiva
y diodo de descarga libre. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal
(vf (t) =
√
2V sen(ωt)).
Figura 5.13: Puente rectificador de media onda no controlado con carga RL y diodo de descarga
libre

90 5.5. Rectificador con Diodo de Descarga Libre
Considerando el diodo D1 ideal, es decir que su tensión de ruptura es cero, el ángulo de encendido
semiciclo positivo de la sinusoide (vak ≥ 0) por lo cual αD1 = 0 y βD1 = π. Para el diodo D2 de
descarga libre el cual se encuentra en paralelo con la carga, su polarización en directo se alcanza
en el semiciclo negativo de la onda sinusoidal por lo tanto αD2 = π y βD2 = 2π. Al encender el
diodo dos este le da un camino de circulación a la corriente de la carga, asumiendo la totalidad de
la corriente del diodo principal permitiendo el apagado del mismo. Este mecanismo de apagado se
conoce como conmutación forzada.
En la figura 5.14 se presenta el oscilo grama de corriente en la carga RL durante la operación del
convertidor electrónico. En esta figura se puede observar claramente dos etapas de operación en
el puente. Una transitoria correspondiente a la energización del puente y la otra a la operación en
estado estacionario. La operación en estado estacionario se caracteriza por que la corriente sobre
la carga en un periodo de operación completo del puente debe ser de valor igual al mismo ins-
tante el el periodo anterior. A este hecho se le conoce como condición de régimen permanente y
matemáticamente se expresa como:
i(t) = i(t +T) (5.29)
Figura 5.14: Corriente por la carga resistiva inductiva
Para encontrar la corriente en la carga, se analizará cada etapa de operación de forma separada.

5.5.1. Régimen transitorio
Durante la conducción del diodo D1, el circuito de la figura 5.13 se puede analizar como un recti-
ficador de media onda con carga resistiva inductiva, con condición inicial de corriente para t = 0
igual a cero. La expresión de corriente para 0 ≤ ωt ≤ π que corresponde al diodo principal es:
i(t) =
√
2V
Z
− ωt
tan(ϕ) (5.30)
Evaluando la condición final de la expresión (5.30) en ωt = π, se obtiene la condición inicial para
la corriente que circula por el diodo D2.
i(tπ) =
√
2V
Z
sen(π −ϕ)+sen(ϕ)e
− π
tan(ϕ) = Ia (5.31)
La expresión de corriente para π ≤ ωt ≤ 2π que corresponde al diodo D2 es:
i(t) = ke
− ωt
tan(ϕ) (5.32)
Sustituyendo la condición inicial de corriente encontrada en la expresión (5.31) en la ecuación
(5.32) se obtiene:
i(t) = Iae
−
(ωt−π)
tan(ϕ)
i(t) =
√
2V
Z sen(π −ϕ)+sen(ϕ)e
− π
tan(ϕ) e
−
(ωt−π)
tan(ϕ)
(5.33)
Durante la conducción o polarización del diodo D2 sobre la carga queda aplicada la tensión de
ruptura del diodo, al considerar este como ideal la tensión en la carga es igual a cero.
Evaluando la condición final de la expresión (5.33) en ωt = 2π, se obtiene la condición inicial para
el siguiente periodo de operación del puente convertidor.
i(t2π) = Iae
− π
tan(ϕ) =
√
2V
Z
sen(π −ϕ)+sen(ϕ)e
− π
tan(ϕ) e
− π
tan(ϕ) = Ib (5.34)
5.5.2. Estado Estacionario.
Para encontrar las expresiones de corriente de los diodos D1 y D2 del circuito de la figura 5.13
en estado estacionario, se evaluara la corriente en un periodo cualquiera luego de alcanzada la
condición de régimen permanente de la expresión (5.29). Este periodo esta comprendido para el

diodo D1 entre 2nπ ≤ ωt ≤ (2n+1)π y para el diodo D2 entre (2n+1)π ≤ ωt ≤ (2n+2)π donde
n ∈ N.
Durante la conducción del diodo D1, el circuito de la figura 5.13, se puede analizar como un rec-
tificador de media onda con carga RL, con condición inicial de corriente para t = t2nπ diferente de
cero. A la condición inicial de la corriente en t = t2nπ se denominara I02π. La expresión de corriente
para 2nπ ≤ ωt ≤ (2n+1)π que corresponde al diodo D1 es:
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)+ke
− ωt
tan(ϕ)
↓
i(t2nπ) = I02π =
√
2V
Z sen(2nπ −ϕ)+ke
− 2nπ
tan(ϕ)
↓
k = I02π −
√
2V
Z sen(2nπ −ϕ) e
2nπ
tan(ϕ) = I02π +
√
2V
Z sen(ϕ) e
2nπ
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)+ I02π +
√
2V
Z sen(ϕ) e
−
(ωt−2nπ)
tan(ϕ)
(5.35)
√
2V/Z tenemos:
i(t) =
√
2V
Z
−
(ωt−2nπ)
tan(ϕ) +I02πe
−
(ωt−2nπ)
tan(ϕ) (5.36)
Note que la expresión (5.36) es igual a la expresión (5.30) si se suma la condición inicial multipli-
cada por la exponencial respectiva.
Evaluando la condición final de la expresión (5.36) en ωt = (2n+1)π, se obtiene la condición
inicial para la corriente que circula por el diodo dos.
i(t(2n+1)π) =
√
2V
Z sen((2n+1)π −ϕ)+sen(ϕ)e
− π
tan(ϕ) +I02πe
− π
tan(ϕ) = I0π
I0π =
√
2V
Z sen(ϕ)+sen(ϕ)e
− π
tan(ϕ) +I02πe
− π
tan(ϕ)
I0π =
√
2V sen(ϕ)
Z 1+e
− π
tan(ϕ) +I02πe
− π
tan(ϕ)
(5.37)
La expresión de corriente para (2n+1)π ≤ ωt ≤ (2n+2)π que corresponde al diodo dos es:
i(t) = I0πe
−
(ωt−(2n+1)π)
tan(ϕ)
i(t) =
√
2V sen(ϕ)
Z 1+e
− π
tan(ϕ) +I02πe
− π
tan(ϕ) e
−
(ωt−(2n+1)π)
tan(ϕ)
(5.38)
Note que la expresión (5.38) es igual a la expresión (5.33), la única diferencia es la denominación
y valor de la condición inicial.

Evaluando la condición final de la expresión (5.38) en ωt = (2n+2)π, se obtiene la condición
inicial para el siguiente periodo de operación del puente convertidor. Como estamos analizando el
estado estacionario y por la condición de régimen permanente, se obtiene:
i t(2n+2)π = I0πe
− π
tan(ϕ) = I02π (5.39)
Utilizando los resultados de las expresiones (5.37) y (5.39), se pueden obtener los valores de las
corrientes iniciales I0π e I02π. De la ecuación (5.39) se obtiene:
I0π = I02πe
π
tan(ϕ) (5.40)
Sustituyendo la expresión (5.40) en el resultado de la ecuación (5.37), se obtiene:
I0π = I02πe
π
tan(ϕ) =
√
2V sen(ϕ)
Z 1+e
− π
tan(ϕ) +I02πe
− π
tan(ϕ)
I02π e
π
tan(ϕ) −e
− π
tan(ϕ) =
√
2V sen(ϕ)
Z 1+e
− π
tan(ϕ)
I02π =
√
2V sen(ϕ)
Z ·
1+e
− π
tan(ϕ)
e
π
tan(ϕ) −e
− π
tan(ϕ)
(5.41)
En la figura 5.15 se presentan las forma de onda de la tensión y corriente en la carga y fuente
√
2120sen(377t) , R = 60Ω y
L = 223mH.
Figura 5.15: Formas de onda para un rectificador no controlado de media onda con diodo de des-
carga libre

Como el circuito de la figura 5.15, es un circuito serie la corriente por la carga es la superposición de
la corriente en cada uno de los diodos que integran el circuito. En la figura 5.16, se puede observar
la corriente por el diodo principal y el de descarga libre.
Figura 5.16: Corriente por el diodo D1 y de descarga libre (D2) para la carga RL
En la figura 5.17, se presentan los contenidos armónicos de tensión y corriente en la carga. Se puede
observar que el mayor contenido armónico lo presenta la tensión, mientras que la corriente es casi
de continua.
Figura 5.17: Contenido armónico para la carga resistiva inductiva

Para encontrar la tensión media y efectiva se aplicara la deﬁniciones del capítulo 1.
5.5.2.1. Tensión Media
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|β
α
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|π
0
V0 =
√
2V
2π (1−(−1))
V0 =
√
2V
π
(5.42)
5.5.2.2. Tensión Efectiva
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
π
0
Vrms = V2
2π π −0− sen(2π)
2 + sen(0)
2
Vrms = V2
2π ·π = V√
2
(5.43)
5.5.2.3. Corriente Media
I0 = I0D1
+I0D2
=
V0
R
=
√
2V
πR
(5.44)
donde:
I0D1
=
1
2π
¢ π
0
√
2V
Z
− ωt
tan(ϕ) +I02πe
− ωt
tan(ϕ) dωt (5.45)
I0D2
=
1
2π
¢ 2π
π
I0πe
−
(ωt−π)
tan(ϕ) dωt (5.46)

5.5.2.4. Corriente Efectiva
Irms = I2
rmsD1
+I2
rmsD2
(5.47)
donde:
IrmsD1
=
1
2π
¢ π
0
√
2V
Z
− ωt
tan(ϕ) +I02πe
− ωt
tan(ϕ)
2
dωt (5.48)
IrmsD2
=
1
2π
¢ 2π
π
I0πe
−
(ωt−π)
tan(ϕ)
2
dωt (5.49)
5.5.3. Simulación
1 % Programa para Diodo de descarga libre con fuente de la forma
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RL
4
10
11 % Parámetros
13 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
14
15 % Condición de régimen permanente
16 I02=sqrt (2)*V*sin(fi)/Z*(1+ exp(-pi/tan(fi)))/(exp(pi/tan(fi))-exp(-pi
/tan(fi)))
17 I01=I02*exp(pi/tan(fi))
18
19 if I02 <0
20 I02=0;
21 I01=sqrt (2)*V/Z*(sin(pi-fi)+sin(fi)*exp(-(pi)/tan(fi)));
22 end
23

25 t1 =0:0.001: pi;
26 t2=pi :0.001:2* pi;
27 id1=sqrt (2)*V/Z*(sin(t1-fi)+sin(fi)*exp(-(t1)/tan(fi)))+I02*exp(-(t1)
/tan(fi));
28 id2=I01*exp(-(t2-pi)/tan(fi));
29 t=[t1,t2];
30
31 % Rizado
32 Rizado =(max(id1)-min(id2))/2
33
34 % Corriente media y efectiva de los diodos y la carga
35 Io_d1 =1/(2* pi)*trapz(t1,id1)
36 Io_d2 =1/(2* pi)*trapz(t2,id2)
37 Io=Io_d1+Io_d2
38 Irms_d1=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t1,id1 .^2))
39 Irms_d2=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t2,id2 .^2))
40 Irms=sqrt(Irms_d1 ^2+ Irms_d2 ^2)
41
42 % Tensión media y efectiva
43 Vo=sqrt (2)*V/pi
44 Vrms=V/sqrt (2)
45
49
50
51
52 % Graficas
53 figure (1)
54 t2 =0:0.001:2* pi;
55 vx=sqrt (2)*V*sin(t2).*( square(t2)+1) *.5;
57 ix=[id1 ,id2];
61 xlim ([0 2*pi]);

98 5.6. Rectificador con Carga Activa
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
67
68 figure (2)
70 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
77
78 figure (5)
79 % Gráficas
80
81 ID1=[id1 ,zeros(size(id2))];
82 ID2=[zeros(size(id1)),id2];
83 plot(t,ID1 ,t,ID2 ,'-.r','LineWidth ' ,2);grid
84 legend('i_d_1','i_d_2')
86 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
5.6. Rectificador con Carga Activa
En la figura 5.18, se presenta en puente rectificador de media onda con carga activa del tipo resistiva
inductiva y fuente de tensión continua. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma
sinusoidal (vf (t) =
√
2V sen(ωt)).

Figura 5.18: Puente rectiﬁcador de media onda no controlado con carga activa
Considerando el diodo ideal, es decir que su tensión de ruptura es cero, el ángulo de encendido del
diodo para esta fuente sinusoidal se obtiene cuando el diodo se polariza en directo (vak ≥ 0), esto
ocurre cuando la fuente de tensión sinusoidal iguala y supera a la fuente de tensión continua (E) de
la carga por lo cual el ángulo de encendido es función de las magnitudes de la fuente sinusoidal y
continua del circuito.
vf (t) ≥ E
√
2V sen(ωt) ≥ E
sen(ωt) ≥ E√
2V
sen(α) = E√
2V
α = arcsen E√
2V
(5.50)
por cero (i(tβ ) = 0).
La solución homogénea para un circuito de primer orden viene dada por la expresión:
i(t)h = ke−R
L t
(5.51)
i(t)h = ke
− ωt
tan(ϕ) (5.52)

donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
5.6.2. Solución Particular Fuente Constante:
i(t)p = −
E
R
(5.53)
i(t)p =
√
2V
Z
sen(ωet −ϕ) (5.54)
donde:
Z = R2 +(ωeL)2
5.6.4. Solución Total:
Condición inicial del circuito debido a que el diodo se encuentra abierto o en no conducción:
i(tα) = 0
i(tα) = 0 =
√
2V
Z sen(α −ϕ)− E
R +ke
− α
tan(ϕ)
↓
k = −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
α
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωet −ϕ)− E
R + −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
(5.55)
√
2V/Z tenemos:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωet −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen(α −ϕ) e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) (5.56)
donde:

m =
E
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
La corriente de la expresión 5.56 pasa naturalmente por cero cuando i(tβ ) = 0, por lo tanto el ángulo
de apagado se calcula igualando esta ha cero. La ecuación 5.56 se hace cero si V = 0 o Z = ∞, estas
dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por ninguna fuente de
tensión o no posee carga conectada, por lo cual la única forma que la expresión 5.56 sea cero es
que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
sen ωetβ −ϕ − m
cos(ϕ) + m
cos(ϕ) −sen(α −ϕ) e
−
(ωtβ −α)
tan(ϕ) = 0
sen(β −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(β−α)
tan(ϕ) = 0
(5.57)
La expresión 5.57 no posee una solución analítica para β, este tipo de expresión se le conoce
entre π − α ≤ β ≤ 2π. En la ﬁgura 5.19, se presentan las forma de onda de la tensión y corriente
en la carga y fuente de alterna de este puente convertidor.
Figura 5.19: Formas de onda en la carga activa

Figura 5.20: Contenido armónico en la carga activa
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara la deﬁnición en vista anteriormente
en el intervalo del periodo en donde la función esta deﬁnida, que es entre el ángulo de encendido y
el de apagado de la componente.
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dω +
¡ α+2π
β Edωt
V0 = 1
2π
√
2V −cos(ωt)|β
α + Eωt|α+2π
β
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(β))+E 2π−(β−α)
2π
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(β))+E 1− γ
2π
(5.58)
I0 = 1
π
¡ β
α i(t)dωet
I0 = 1
π
¡ β
αmin
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
1
π
¡ β
αmin
sen(ωt −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
Io = Vo−E
R =
√
2V
2πR (cos(α)−cos(β))− γ E
2πR
(5.59)

Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt +
¡ α+2π
β E2dωt
Vrms = V2
2π
¡ β
α (1−cos(2ωt))dωt + 1
2π
¡ α+2π
β E2dωt
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
+ E2
2π ωt|α+2π
β
Vrms = V2
2π β −αmin − sen(2β)
2 + sen(2αmin)
2 +E2 1− β−αmin
2π
Vrms = V2
2π γ − sen(2β)
2 + sen(2α)
2 +E2 1− γ
2π
(5.60)
Nota: La expresión (5.60) sólo es válida en radianes.
Irms = 1
π
¡ β
α i(t)2dωet
Irms = 1
π
¡ β
α
√
2V
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
π
¡ β
α sen(ωt −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
(5.61)
5.6.9. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RLE
4
9 E=input('Tension de la carga ');
11
12 % Parámetros

14 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
15 m=E/(sqrt (2)*V);
16 a=asin(m);
17
19 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)-m/cos(fi)+(m/cos(fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan
(fi))),[pi])
20 g=b-a;
21
23 t=a:(b-a)/1000:b;
24 i=sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)-m/cos(fi)+(m/cos(fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/
tan(fi))));
26
27 % Valores Medios
29 Vo=sqrt (2)*V/(2*pi)*(cos(a)-cos(b))+E*(2*pi-g)/(2*pi)
30
31
34 Vrms=sqrt(V^2/(2* pi)*(g-(sin(2*b))/2+( sin(2*a))/2)+E^2*(1-g/(2*pi)))
35
39
40 % Graficas
41 figure (1)
42 tant =0:a/300:a;
43 tdes=b:(2*pi-b)/300:2* pi;
44 t1=[tant ,t,tdes];
46 vx=[E*ones(size(tant)),v,E*ones(size(tdes))];
47 ix=[zeros(size(tant)),i,zeros(size(tdes))];

51 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
57
58 figure (2)
60 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
67
69 Vrms_1=abs(1/pi*(trapz(t1,vx.*exp(j*t1))))/sqrt (2)
70 Irms_1=abs(1/pi*(trapz(t1,ix.*exp(j*t1))))/sqrt (2)
71
72 % THD
5.7. Ejemplo:
5.7.1. Rectificador con Carga RC
En la figura 5.21, se presenta en puente rectificador de media onda con carga del tipo resistiva capa-
citiva. El puente esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal (vf (t) =
√
2V sen(ωt)).

106 5.7. Ejemplo:
Figura 5.21: Puente rectificador de media onda no controlado con carga RC
Analizando en puente rectificador de media onda de la figura 5.21, se obtiene:
Ecuación de corriente:
i(t) = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(5.62)
Tensión en el intervalo: α ≤ ωt ≤ β
vcarga(t) = vf (t) =
√
2V sen(ωt) (5.63)
Sustituyendo la expresión (5.63) en (5.62), se obtiene:
i(t) =
√
2V
R
·(ωCR·cos(ωt)+sen(ωt)) (5.64)
Definiendo:
q = ωCR (5.65)
Se puede escribir la expresión (5.64) como:
i(t) =
√
2V
R
·(q·cos(ωt)+sen(ωt)) (5.66)
La corriente pasa naturalmente por cero en el ángulo de apagado (β):
i
β
ω
= 0 =
√
2V
R
·(q·cos(β)+sen(β)) (5.67)

Despejando el ángulo de pagado de la expresión (5.67) y recordando que la solución se
encuentra π
2 ≤ β ≤ π por ser una carga resistiva capacitiva, se obtiene:
β = π −arctan(q) (5.68)
Para encontrar el ángulo de encendido (α) se debe evaluar la corriente sobre la carga cuando
el diodo se apaga (β ≤ ωt ≤ α +2π).
i(t) = 0 = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(5.69)
Resolviendo la ecuación diferencial (5.69) y evaluando su condición inicial, se obtiene:
vcarga(t) =
√
2V sen(β)e−
(ωt−β)
q (5.70)
Para encontrar el ángulo de encendido (α) se iguala la tensión en la carga con la fuente en
α +2π:
√
2V sen(β)e−
(α+2π−β)
q =
√
2V sen(α +2π) (5.71)
La ecuación (5.71) no posee respuesta analítica y se debe resolver por métodos numéricos.
Tensión media en la carga:
V0 =
√
2V
2π
cos(α)−cos(β)+q·sen(β)· 1−e−
(2π+α−β)
q (5.72)
En la ﬁgura 5.22, se presenta la forma de onda de tensión y corriente sobre la carga. Adicionalmen-
te, en la ﬁgura 5.23 se muestra los contenidos armónicos de tensión y corriente en la carga.
Figura 5.22: Formas de onda en la carga RC

108 5.7. Ejemplo:
Figura 5.23: Contenido armónico en la carga RC
5.7.1.1. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RC
4
8 C=input('Capacitancia [F] ');
10
11
12 % Parámetros
13 q=2*pi*f*R*C;
14 % Angulo de apagado
15 b=pi-atan(q)
16 % Angulo de encendido
17 a=fsolve(@(t) sin(b)*exp(-(2*pi+a-b)/q)-sin(t+2*pi) ,[0.01])
18
20 t1=linspace(a,b,500);
21 v1=sqrt (2)*V*sin(t1);
22 i1=sqrt (2)*V/R*(q*cos(t1)+sin(t1));
23 t2=linspace(b,a+2*pi ,500);
24 v2=sqrt (2)*V*sin(b)*exp(-(t2-b)/q);

25 i2=zeros(size(t2));
26 t=[t1,t2];
27 v=[v1,v2];
28 i=[i1,i2];
29 gama=b-a
30
31 % Valores Medios
33 Vo =1/(2* pi)*trapz(t,v)
34
35
38 Vrms=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,v.^2))
39
40 % Rizado de tensión
41 Dv=(sqrt (2)*V-sqrt (2)*sin(a)*V)/2
42
46
47
51
52 % THD
55
56 % Graficas
57 figure (1)
58 t1=[t];
59 vf=sqrt (2)*sin(t1);
60 vx=[v];
61 ix=[i];
63
64 set(gca ,'FontSize ',12,'FontName ','Symbol ');

110 5.8. Ejercicios
65 xlim([a 2*pi+a]);
66 set(gca ,'XTick',a:pi/6:2*pi+a);
67 set(gca ,'XTickLabel ',{'a','T/12+a','T/6+a','T/4+a','T/3+a','5T/12+a',
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
72 set(legend ,'FontSize ',12,'FontName ','Time');
73
74 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
5.8. Ejercicios
1. Un puente rectificador de media onda no controlado con diodo de descarga libre es alimen-
tado por una fuente sinusoidal de tensión efectiva 220V a 60Hz. Este convertidor alimenta
una carga RL de 60Ω y 60mH. Determine:
a) Corriente en régimen permanente, corriente media y efectiva en los diodos y la carga,
rizado de corriente, tensión media y efectiva sobre la carga y factor de rizado de tensión
y corriente.
b) Especifique los diodos necesarios para la construcción de este puente si VTO = 1V y
RD = 12mΩ1
2. Un puente rectificador de media onda no controlado alimenta una carga RL de 60Ω y 60mH.
La fuente de alimentación vf (t) posee una tensión pico de 200V y una frecuencia de 60Hz.
Determine:
1PD = VTOI0D +RDI2
rmsD

a) Tiempo de apagado, tensión media y efectiva sobre la carga, corriente media y efectiva
en la carga, factor de rizado y distorsión armónica total de tensión y corriente, tensión
y corriente efectiva a frecuencia fundamental.
vf (t) =



V sen 2πt
T 0 ≤ t ≤ T
4
V T
4 ≤ t ≤ T
2
−V T
2 ≤ t ≤ T
3. Se dispone de un puente rectificador de media onda no controlado con una carga resistiva
e inductiva de R = 50Ω y L = 130mH. El puente se alimenta con una fuente de la forma:
vf (t) = 311,13cos 2π
T t − π
3 u(t), la frecuencia de la fuente es 60Hz. Determine:
a) Ángulo de apagado.
b) Tensión media y efectiva sobre la carga.
c) Corriente media y efectiva sobre la carga.
d) Potencia disipada por la carga y el diodo si se conoce que vTO = 0,9V y RD = 15mΩ
e) Factor de distorsión y distorsión armónica de tensión y corriente en la carga y la fuente.
4. Se dispone del puente rectificador de la figura 5.24, con los siguientes valores R = 20Ω
Lσ = 7mH y L = 60mH. Determine:
Figura 5.24: Problema 4
a) Tensión y corriente media por la carga.
b) Potencia entregada por la fuente y disipada en la carga.
c) Factor de potencia en la fuente.

112 5.8. Ejercicios
5. Se dispone de un puente rectificador de media onda no controlado con diodo de descarga
libre, alimentado desde una fuente de la forma:
vf (t) =



V cos 2π
T t − π
2 0 ≤ t ≤ T
4
V T
4 ≤ t < T
2
−V t − T
2
T
2 < t ≤ T
Determine, sí el rectificador alimenta una carga resistiva inductiva de R = 40Ω y L = 100mH
y la tensión efectiva de la fuente de alimentación (vf (t)) es de 147,20V
a) Expresión de corriente en el primer ciclo de operación.
b) Expresión de corriente en régimen permanente.
c) Rizado de corriente en régimen permanente. %R = 100(Imax −Imin)/Imax
d) Corriente media y efectiva en cada componente del puente en régimen permanente.
e) Tensión media y efectiva sobre la carga.
f) Potencia disipada por la carga.
g) Inductancia adicional que sería necesaria colocar en el circuito y su posición para man-
tener un rizado de corriente del 3% con un corriente media de 2,0458A
6. Repita el problema anterior cambiando la fuente de tensión vf (t) por:
vf (t) =



8Vt2
T2 0 ≤ t ≤ T
4
V
2 + 2V
T t − T
4
T
4 ≤ t < T
2
−V T
2 < t ≤ T
7. Se tiene el puente rectificador de media onda con diodo de descarga libre. La fuente es una
onda cuadrada alterna con valor pico de 100V y un periodo de 20mseg. La resistencia es de
10Ω y la inductancia de 11,9175H.
a) Desarrolle las expresiones de corriente del circuito.
b) Calcule los valores de corriente en T
2 y T.
c) Calcule el valor medio y efectivo de la corriente en cada diodo y la carga.
8. Dado el puente rectificador de media onda con diodo de descarga libre, alimentado por una
fuente sinusoidal vf (t) =
√
2208cos(377t −2π/3) con una carga RL de 30Ω y L = 300mH.
a) Desarrolle las expresiones de corriente por los diodos en función de cosenos.

b) Tensión media y efectiva por la carga.
c) Valor de la corriente en régimen permanente.
d) Valor medio y efectivo de corriente por cada diodo y la carga.

Capítulo 6
Rectificador de Media Onda Controlado
Los rectificadores de media onda de diodos son conocidos como no controlados, debido a que su
salida en corriente continua es fija y determinada por el valor pico de la fuente de corriente alterna
que lo alimenta, su forma y la carga conectada en sus terminales. Una forma de controlar el valor
DC entregado por el puente rectificador es reemplazar el diodo por otro dispositivo de electrónica
de potencia capaz de tener mayor grado de controlabilidad. Una de las posibles formas de controlar
la salida del puente rectificador es sustituir el diodo por un rectificador controlado de silicio (SCR)
o tiristor. En la figura 6.1, se presenta el esquema del puente rectificador de media onda controlado
con tiristor.
Figura 6.1: Esquema del rectificador de media onda controlado
El control de la tensión de corriente continua a la salida del rectificador, se basa en retardar el inicio
de la conducción del SCR mediante el pulso de corriente en la compuerta del dispositivo. Este
pulso de corriente en la compuerta del dispositivo corresponde al ángulo de encendido (α) de la
componente. Para tener control de encendido del tiristor se deben cumplir dos condiciones básicas:
Polarización ánodo cátodo positiva (vak ≥ 0) y pulso de corriente en la compuerta del dispositivo
(ig > 0).
115

A diferencia del diodo, el tiristor no entrará en estado de conducción en cuanto la señal de la fuente
de alimentación sea positiva. La conducción no se inicia hasta que se aplica un pulso de corriente
en la compuerta de encendido (Gate), lo cual es la base para utilizar el SCR como dispositivo de
control. Una vez que el tiristor derrumba la barrera de potencial de las junturas NP y comienza a
conducir, la corriente por la compuerta de encendido se puede retirar y el dispositivo continua en
conducción hasta que la corriente que circula por el se hace igual a cero de forma natural o forzada.
6.2. Rectificador con Carga Resistiva
En la figura 6.2, se presenta el puente rectificador de media onda controlado con carga pura resistiva.
El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresión: vf (t) =
√
2V sen(ωt).
Figura 6.2: Puente rectificador de media onda controlado con carga resistiva
Considerando el Tiristor ideal, es decir que su tensión de ruptura es cero, el rango de controlabilidad
del puente esta determinado por aquello valores del ángulo de encendido donde el tiristor se encuen-
tre polarizado en directo (vak ≥ 0), garantizando de esta forma la conducción de la componente. El
rango de control del tiristor esta comprendido para este caso particular de fuente sinusoidal en su
semiciclo positivo (0 ≤ α ≤ π). El ángulo de encendido α define el tiempo de inicio de conducción
de la componente mediante la siguiente expresión:
tα =
α
ω
(6.1)
por cero (i(tβ ) = 0). La corriente para tα ≤ t ≤ tβ es:
i(t) =
vf (t)
R
=
√
2
V
R
sen(ωt) (6.2)

La corriente de la expresión (6.2) pasa naturalmente por cero en ωtβ = π, por lo tanto el ángulo de
apagado es β = π.
En la ﬁgura 6.3, se presentan las forma de onda de la tensión y corriente en la carga y fuente de
alterna de este puente convertidor para un ángulo de disparo α = π/3.
Figura 6.3: Tensión y corriente en la carga resistiva
Como el circuito de la ﬁgura 6.2 es un circuito serie la corriente por la carga es la misma corriente
Figura 6.4: Contenido armónico de la tensión y corriente para la carga resistiva

Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara las deﬁniciones del capítulo 1.
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|β
α
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(β))
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(π))
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−(−1))
V0 =
√
2V
2π (1+cos(α))
(6.3)
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
R sen(ωt)dωt
I0 =
√
2V
2πR −cos(ωt)|β
α
I0 =
√
2V
2πR (cos(α)−cos(β))
I0 =
√
2V
2πR (cos(α)−cos(π))
I0 =
√
2V
2πR (cos(α)−(−1))
I0 =
√
2V
2πR (1+cos(α))
(6.4)
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
2π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2π β −α − sen(2β)
2 + sen(2α)
2
Vrms = V2
2π π −α − sen(2π)
2 + sen(2α)
2
Vrms = V2
2π π −α + sen(2α)
2
(6.5)

Irms = 1
2π
¡ β
α
√
2V
R sen(ωt)
2
dωt
Irms = V2
2πR2
¡ β
Irms = V2
2πR2 1− sen(2ωt)
2
β
α
Irms = V2
2πR2 β −α − sen(2β)
2 + sen(2α)
2
Irms = V2
2πR2 π −α − sen(2π)
2 + sen(2α)
2
Irms = V2
2πR2 π −α + sen(2α)
2
(6.6)
6.2.5. Factor de Rizado
FR =
V2
2π π −α + sen(2α)
2 −
√
2V
2π (1+cos(α))
2
√
2V
2π (1+cos(α))
(6.7)
6.3. Rectificador con Carga Resistiva Inductiva
En la figura 6.5, se presenta el puente rectificador de media onda controlado con carga resistiva in-
ductiva. El punte esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal dada por la expresión:
vf (t) =
√
2V sen(ωt).
Figura 6.5: Puente rectificador de media onda controlado con carga RL

del puente esta determinado por aquello valores del ángulo de encendido donde el tiristor se encuen-
tre polarizado en directo (vak ≥ 0), garantizando de esta forma la conducción de la componente. El
rango de control del tiristor esta comprendido para este caso particular de fuente sinusoidal en su
semiciclo positivo (0 ≤ α ≤ π).
por cero (i(tβ ) = 0).
6.3.1. La corriente para tα ≤ t ≤ tβ es:
6.3.1.1. Solución Homogénea.
ih(t) = ke−R
L t
(6.8)
Multiplicando el numerador y denominador de la exponencial por ω, se obtiene:
ih(t) = ke
− ωt
tan(ϕ) (6.9)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
6.3.1.2. Solución Particular (Régimen Sinusoidal Permanente)
ip(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ) (6.10)
donde:
Z = R2 +(ωL)2
6.3.1.3. Solución Total
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)+ke
− ωt
tan(ϕ) (6.11)

Sustituyendo la condición inicial del circuito i(tα) = 0, en la expresión (6.11), se obtiene:
i(tα) = 0 =
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ke
− α
tan(ϕ)
↓
k = −
√
2V
Z sen(α −ϕ) e
α
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)−
√
2V
Z sen(α −ϕ) e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
(6.12)
√
2V/Z se obtiene:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) (6.13)
ángulo de apagado se calcula igualando la ecuación ha cero. La expresión (6.13) se hace cero si
V = 0 ó Z = ∞ , estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por
de corriente (6.13) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
sen ωtβ −ϕ −sen(α −ϕ)e
−
(ωtβ −α)
tan(ϕ) = sen(β −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−
(β−α)
tan(ϕ) = 0 (6.14)
entre π ≤ β ≤ 2π .
√
2120sen(377t) , R = 60Ω y
L = 223mH, con un ángulo de encendido de α = π/6. Para esta carga el ángulo de apagado es
β = 4,1243rad = 263,3027◦.

Figura 6.7: Contenido armónico de la tensión y la corriente en la carga resistiva inductiva
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara las deﬁniciones del capítulo 1.

V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|β
α
V0 =
√
2V
(6.15)
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
1
2π
¡ β
α sen(ωt −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 = V0
R =
√
2V
2πR (cos(α)−cos(β))
(6.16)
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
2π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2 + sen(2α)
2
(6.17)
Irms = 1
2π
¡ β
α
√
2V
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
2π
¡ β
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
(6.18)

6.3.6. Factor de Rizado en Tensión
FR =
V2
2 + sen(2α)
2 −
√
2V
2
√
2V
(6.19)
6.3.7. Simulación
1 % Media Onda Controlado con fuente sinusoidal
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tipo RL
4
5 clear
6
12 alfa=input('Angulo de encendido en grados ');
13 alfa=alfa*pi/180;
14
15 % Parámetros
17 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
18 a=alfa;
19
21 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)+(-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi))),[pi])
22 g=b-a;
23
25 t=linspace(a,b ,1000);
27 i=sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)+(-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi))));
29 t=[t,t2];
30 v=[v,zeros(size(t2))];
31 i=[i,zeros(size(t2))];

32
33 % Valores Medios
36
37
41
45
46 % Graficas
47 vf=sqrt (2)*V*sin(t);
48 vx=[v];
49 ix=[i];
50 t1=t;
51 figure (1)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
62
63 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

72
76
77 % THD
6.4. Rectificador con Carga Inductiva
En la figura 6.8, se presenta en puente rectificador de media onda con carga inductiva pura. El
√
2V sen(ωt).
Figura 6.8: Puente rectificador de media onda controlado con carga inductiva
El rango de control del tiristor esta comprendido para este caso particular de fuente sinusoidal en
su semiciclo positivo, es decir para los ángulos comprendidos entre 0 ≤ α ≤ π.
por cero (i(tβ ) = 0). Para encontrar la corriente para tα ≤ t ≤ tβ , se puede utilizar el resultado del
circuito RL con Z = ωL y ϕ = π/2 que corresponden al caso inductivo puro.

i(t) =
√
2V
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
ωL sen ωt − π
2 −sen α − π
2 e
−
(ωt−α)
tan(π
2 )
↓
i(t) =
√
2V
ωL sen ωt − π
2 −sen α − π
2
↓
i(t) =
√
2V
ωL [cos(α)−cos(ωt)]
(6.20)
ángulo de apagado se calcula igualando la expresión ha cero. La expresión (6.20) se hace cero si
V = 0 ó ωL = ∞ , estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentan-
do por ninguna fuente de tensión o no posee carga conectada, por lo cual la única forma que la
expresión (6.20) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
cos(α)−cos ωtβ = [cos(α)−cos(β)] = 0
↓
cos(α) = cos(β)
↓
β = −α = 2π −α
(6.21)
En la ﬁgura 6.9, se presentan las forma de onda de la tensión y corriente en la carga y fuente de
alterna de este puente convertidor, para una fuente de vf (t) =
√
2120sen(377t) y L = 223mH.
Figura 6.9: Tensión y Corriente en la carga inductiva

fundamental se obtiene en la armónica cero correspondiente al valor medio.
Figura 6.10: Contenido armónico de tensión y corriente en la carga inductiva
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicaran las deﬁniciones presentadas en
el capítulo 1.
V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
2π −cos(ωt)|β
α
V0 =
√
2V
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(2π −α)) = 0
(6.22)
I0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V
ωL [cos(α)−cos(ωt)] dωt
I0 =
√
2V
ωL
1
2π
¡ β
α (cos(α)−cos(ωt))dωt
I0 =
√
2V
2πωL [cos(α)ωt −sen(ωt)]|β
α
I0 =
√
2V
2πωL [cos(α)(β −α)−sen(β)+sen(α)]
I0 =
√
2V
πωL [cos(α)(π −α)+sen(α)]
(6.23)

Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
2π
¡ β
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
Vrms = V2
2 + sen(2α)
2
Vrms = V2
π π −α + sen(2α)
2
(6.24)
Irms = 1
2π
¡ β
α
√
2V
ωL [cos(α)−cos(ωt)]
2
dωt
Irms =
√
2V
ωL
1
2π
¡ β
α (cos(α)−cos(ωt))2
dωt
Irms =
√
2V
ωL
1
2π
¡ β
α (cos(α))2
−2cos(α)cos(ωt)+(cos(ωt))2
dωt
Irms =
√
2V
ωL
1
2π (π −α) 1+2(cos(α))2
− sen(2α)
2 −4cos(α)sen(α)
(6.25)
6.4.5. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tipo L
4
5 clear
6

13 a=alfa;
14
15 % Parámetros
16 fi=pi/2;
17 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2);
18
20 b=2*pi-alfa
21 g=b-a;
22
26 i=sqrt (2)*V/Z*(cos(alfa)-cos(t));
28 t=[t,t2];
29 v=[v,zeros(size(t2))];
31
32 % Valores Medios
35
36
40
44
45 % Graficas
47 vx=[v];
48 ix=[i];
49 t1=t;
50 figure (1)

'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
61
62 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
71
75
76 % THD
6.5. Rectiﬁcador con Carga Activa
sinusoidal dada por la expresión: vf (t) =
√
2V sen(ωt).

Figura 6.11: Puente rectiﬁcador de media onda controlado con carga activa
del puente esta determinado por aquello valores del ángulo de encendido donde el tiristor se en-
cuentre polarizado en directo (vak ≥ 0), garantizando de esta forma la conducción de la componente,
esto ocurre cuando la fuente de tensión sinusoidal iguala y supera a la fuente de tensión continua
(E) de la carga por lo cual el ángulo de encendido mínimo es función de la magnitud de las fuentes
sinusoidal y continua del circuito. El rango de control del tiristor esta comprendido para este caso
particular de fuente sinusoidal entre el ángulo de disparo mínimo y máximo (αmin ≤ α ≤ αmax).
6.5.1. Cálculo del límite de controlabilidad
vf (t) ≥ E
√
2V sen(ωt) ≥ E
sen(ωt) ≥ E√
2V
sen(α) ≥ E√
2V
α ≥ arcsen E√
2V
(6.26)
La relación (6.26) se cumple para:
αmin ≤ α ≤ αmax (6.27)
Donde:
αmin = arcsen(m)

m =
E
√
2V
αmax = π −αmin
por cero (i(tβ ) = 0). La corriente para αmax ≤ ωt ≤ β es:
i(t)h = ke
− ωt
tan(ϕ) (6.28)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
i(t)p = −
E
R
(6.29)
i(t)p =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ) (6.30)
donde:
Z = R2 +(ωL)2

Condición inicial del circuito debido a que el tiristor se encuentra abierto o en no conducción:
i(tα) = 0
i(tα) = 0 =
√
2V
R +ke
− α
tan(ϕ)
↓
k = −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
α
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
Z sen(ωt −ϕ)− E
R + −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
(6.31)
√
2V/Z tenemos:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen(α −ϕ) e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) (6.32)
donde:
m =
E
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
ángulo de apagado se calcula igualando esta ha cero. La ecuación (6.32) se hace cero si V = 0 ó
Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por ninguna
fuente de tensión o no posee carga conectada, por lo cual la única forma que la expresión (6.32) sea
cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
sen ωtβ −ϕ − m
cos(ϕ) + m
−
(ωtβ −α)
tan(ϕ) = 0
sen(β −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(β−α)
tan(ϕ) = 0
(6.33)
entre αmax ≤ β ≤ 2π para cualquier caso.
√
2120sen(377t), E = 50V,

R = 60Ω , y L = 223mH. Para esta carga el ángulo de apagado es β = 4,1243rad = 236,3027◦ y
el de encendido α = π/6rad = 30◦
Figura 6.12: Tensión y corriente en la carga activa
Figura 6.13: Contenido armónico de corriente y tensión en la carga activa
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicaran las deﬁniciones vistas en el
capítulo 1.

V0 = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dω +
¡ α+2π
β Edωt
V0 = 1
2π
√
2V −cos(ωt)|β
α + Eωt|α+2π
β
V0 =
√
2V
2π (cos(α)−cos(β))+E 2π−(β−α)
2π
(6.34)
I0 = 1
π
¡ β
α i(t)dωet
I0 = 1
π
¡ β
α
√
2V
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
1
π
¡ β
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 = V0−E
R
(6.35)
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt +
¡ α+2π
β E2dωt
Vrms = V2
2π
¡ β
2π
¡ α+2π
β E2dωt
Vrms = V2
2π 1− sen(2ωt)
2
β
α
+ E2
2π ωt|α+2π
β
Vrms = V2
2 + sen(2α)
2 +E2 1− β−α
2π
Vrms = V2
2π γ − sen(2β)
2 + sen(2α)
2 +E2 1− γ
2π
(6.36)
Irms = 1
π
¡ β
α i(t)2dωet
Irms =
√
2V
Z
√
π
¡ β
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
(6.37)

6.5.10. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tipo RLE
4
5 clear
6
15
16 % Parámetros
18 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
19 m=E/(sqrt (2)*V);
20 a=asin(m);
21
22 if alfa >=a
23 a=alfa;
24 end
25
27 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)-m/cos(fi)+(m/cos(fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan
(fi))),[pi])
28 g=b-a;
29
tan(fi))));
35 t=[t,t2];
36 v=[v,E*ones(size(t2))];

38
39 % Valores Medios
42
43
47
51
52 % Graficas
54 vx=[v];
55 ix=[i];
56 t1=t;
57 figure (1)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
68
69 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

78
82
83 % THD
6.6. Ejercicios
1. Demostrar que el factor de potencia del rectificador de media onda controlado con carga re-
sistiva es:
f p =
1
2
−
α
2π
+
sen(2α)
4π
2. Encuentre las expresiones de corriente en régimen permanente en función del ángulo de
disparo (α) para un puente rectificador de media onda controlado con diodo de descarga
libre.
3. Se dispone de un puente de media onda controlado que alimenta una carga RLE de 60Ω,
223mH y 60V. El puente se alimenta desde un sistema de 50Hz a una tensión efectiva de
220V y su ángulo de disparo es de π/6 . Determine:
a) Ángulo de apagado.
c) Corriente media y efectiva de la carga.
d) Facto de rizado en tensión y corriente.
e) Valor de la componente fundamental de alimentación.
f) Potencia en la carga.
g) Potencia activa, reactiva y distorsión entregada por la fuente.
4. Se dispone de un puente rectificador de media onda controlado con carga RL. El puente es
alimentado desde un sistema con Tensión (vf (t)) pico de 200V a 60Hz. La Resistencia e

140 6.6. Ejercicios
Inductancia son de 60Ω y 250mH respectivamente. Calcule:
vf (t) =



V 0 ≤ t ≤ T
4
V sen(ωt) T
4 ≤ t < T
2
−V T
2 < t ≤ T
a) Forma de onda sobre la carga.
b) Ángulo de apagado.
c) Tensión Media y efectiva sobre la carga.
d) Corriente media y efectiva sobra la Carga.
e) Potencia disipada por el diodo. Si Vto = 1,5V y Rd = 12mΩ1
f) Factor de distorsión de tensión y Corriente.
5. Para el puente rectiﬁcador de media onda con diodo de descarga libre de la ﬁgura 6.14, ali-
mentado desde un sistema sinusoidal de tensión efectiva 120V a frecuencia de 60Hz con una
carga de R = 12Ω y L = 20mH. Determine para un ángulo de disparo de 30◦:
a) Expresiones de corriente del circuito en función del ángulo de disparo.
b) Valor medio de la tensión y corriente en la carga.
c) Corriente media en los componentes de potencia.
d) Corriente pico en las componentes.
1PT = VTOI0T +RDI2
rmsT

Capítulo 7
Rectificador Monofásico
La finalidad de los rectificadores de onda completa es la misma que los de media onda, generar una
tensión o corriente continua especifica, a partir de una fuente de corriente alterna. Los rectificadores
de onda completa, presentan mejores ventajas comparativas que los de media onda. La ventaja más
importante, es que la corriente media en el sistema alterno de alimentación del rectificador es
cero, evitando así los problemas asociados al fenómeno de saturación de las máquinas eléctricas
conectadas a la misma barra de alimentación en corriente alterna. Adicionalmente, disminuye el
rizado en las corrientes de salida en la barra de corriente continua y se obtiene un mayor valor de
tensión y corriente continua para la misma fuente de alimentación.
En este capitulo se analizará el puente rectificador monofásico de onda completa controlado, el
análisis del rectificador no controlado o de diodos es análogo al controlado si sustituimos el ángulo
de disparo por cero o αmin en el caso de tener carga activa tipo RLE.
7.2. Aplicaciones
Fuentes de poder.
Control de velocidad y posición de máquinas de corriente continua.
Transmisión en Corriente Continua (HVDC).
Excitatriz de máquinas sincrónicas.
Electro filtros.
Entre otras.
141

142 7.3. Esquema del Rectificador de Onda Completo Monofásico
7.3. Esquema del Rectificador de Onda Completo Monofásico
En la figura 7.1a, se presenta el esquema de un rectificador controlado de onda completa clásico,
utilizado en electrónica de baja potencia. Este puente esta compuesto por cuatro interruptores elec-
trónicos de potencia, lo cuales son encendidos alternadamente en parejas cada medio ciclo de la
onda alterna de la fuente de poder. Otra representación del mismo puente convertidor, se puede
observar en la figura 7.1b. Generalmente esta representación es la más utilizada en electrónica de
potencia.
(a) Diagrama (b) Esquema
Figura 7.1: Puente rectificador monofásico
7.4. Operación del Puente Rectificador
Durante el semiciclo positivo de la fuente de tensión, los tiristores uno y tres se encuentran polari-
zados en directo mientras que los componentes dos y cuatro en inversor. Durante este semiciclo, al
recibir pulso de disparo por la compuerta los SCR uno y tres entran en conducción y la corriente
circula por las componentes y la carga como se muestra en la figura 7.2.

Figura 7.2: Circulación de corriente por el puente convertidor durante el semiciclo positivo de la
fuente
Los tiristores uno y tres pueden apagar de forma natural si la corriente pasa por cero antes de que
los SCR dos y cuatro reciban orden de encendido durante el semiciclo negativo de la fuente. Adi-
cionalmente, estos tiristores también pueden apagar de forma forzada al encender los dispositivos
dos y cuatro los cuales suministrarán un nuevo camino de circulación a la corriente de la carga
durante el semiciclo negativo de la fuente. En la figura 7.3, se presenta el camino de circulación de
la corriente durante el semiciclo negativo de la fuente con los dispositivos dos y cuatro encendidos.
Figura 7.3: Circulación de corriente por el puente convertidor durante el semiciclo negativo de la
fuente
Para obtener simetría en la corriente en la fuente con respecto al semiciclo positivo y negativo los
ángulos de disparos entre las componentes T1, T3 y T2, T4 deben estar desfasados en la mitad del
periodo de la fuente alterna (T/2). En la figura 7.2 y 7.3 se puede observar como la circulación de
corriente en la carga es igual para ambos casos.
El esquema de pagado de las componentes (natural o forzado) define dos formas de operación del
puente convertidor.
Condición no continuada de corriente: cuando el apagado de las componentes se realiza de forma
natural (i(tβ ) = 0), en esta operación la corriente sobre la carga es cero durante un lapso de tiempo,

144 7.4. Operación del Puente Rectificador
en el cual ninguno de los componentes electrónicos conduce corriente. Otra forma de determinar
esta condición de operación es calculando el ángulo de apagado de las componentes el cual debe
ser menor al de encendido de los dispositivos a conmutar (β < (α +T/2)). En las figuras 7.4 y 7.5,
se presenta las formas de onda de tensión y corriente sobre la carga. En la figura 7.6 se muestra
la forma de onda de corriente que suministra al rectificador la fuente de alterna en condición no
continuada. Adicionalmente, se presenta el contenido armónica de cada forma de onda.
(a) Forma de onda (b) contenido armónico
Figura 7.4: Tensión en la carga operación no continuada
Figura 7.5: Corriente en la carga operación no continuada

Figura 7.6: Corriente en la fuente operación no continuada
Condición continuada de corriente: corresponde cuando el apagado de las componentes se realiza
de forma forzada, esto ocurre cuando el ángulo de apagado de las componentes que se encuentran en
conducción es mayor que el ángulo de encendido de las componentes a conmutar (β ≥ (α +T/2)).
En esta condición de operación en régimen permanente la corriente por la carga es diferente a cero.
En las figuras 7.7 y 7.8, se presenta las formas de onda de tensión y corriente sobre la carga, en la
figura 7.9 se muestra la corriente que suministra al rectificador la fuente de alterna en condición
continuada. Adicionalmente, se presenta el contenido armónica de cada forma de onda.
Figura 7.7: Tensiones en la carga operación continuada

146 7.5. Circuito Equivalente del Puente Rectificador Monofásico
Figura 7.8: Corriente en la carga operación no continuada
Figura 7.9: Corriente en la fuente operación no continuada
7.5. Circuito Equivalente del Puente Rectificador Monofásico
El puente rectificador de onda completa monofásico de puede modelar mediante la superposición
de dos puentes de media onda desfasados en medio periodo de la señal de alterna, agrupando los
tiristores T1, T3 y T2, T4 en dos SCR TA y TB donde:
TA ⇒ T1 ∧T3
TB ⇒ T2 ∧T4
(7.1)

En la figura 7.10 se presenta el circuito equivalente del puente rectificador de onda completa mo-
nofásico. El periodo de la señal en el lado de corriente continua es de la mitad del de la fuente de
corriente alterna que alimenta el convertidor (T/2).
Figura 7.10: Circuito equivalente del rectificador de onda completa monofásico
En la figura 7.10 las fuente de tensión v1(t) corresponde a la tensión de la fuente original del sistema
alterno (vf (t)) y la fuente v2(t) es la señal complementaria a la tensión v1(t).
v1(t) ≡ vf (t)
v2(t) = v1 t + T
2 = vf t + T
2 = −vf (t)
(7.2)
El estudio del circuito equivalente del rectificador de onda completa monofásico, es simple y puede
realizarse analizando cada puente de media onda por separado y utilizar el método de superposición
para integrar el análisis. Como el periodo de la señal en el lado de continua coincide con el intervalo
de conducción de cada puente de media onda basta con realizar el análisis de uno de ellos, ya que
en otro se comporta de manera análoga.
7.6. Análisis de la Condición No Continuada de Corriente
sinusoidal dada por la expresión: vf (t) =
√
2V sen(ωt).

148 7.6. Análisis de la Condición No Continuada de Corriente
Figura 7.11: Puente rectiﬁcador de media onda no controlado con carga activa
El análisis de esta puente es el mismo que el realizado en la Sección 6.5 por lo tanto:
7.6.1. Cálculo del Límite de Controlabilidad
El tiristor comienza a conducir cuando su tensión ánodo cátodo es mayor a cero, en este caso esta
condición se alcanza para:
vf (t) ≥ E (7.3)
Sustituyendo la expresión de la fuente en la ecuación (7.3), se obtiene:
√
2V sen(ωt) ≥ E
sen(ωt) ≥ E√
2V
sen(α) ≥ E√
2V
α ≥ arcsen E√
2V
αmin ≤ α ≤ αmax
(7.4)
donde:
αmin = arcsen(m)
m =
E
√
2V
αmax = π −αmin

por cero (i(tβ ) = 0). La corriente para α ≤ ωt ≤ β es:
7.6.2. Corriente en la carga:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen(α −ϕ) e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) (7.5)
donde:
m =
E
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
ángulo de apagado se calcula igualando le expresión (7.5) ha cero. La ecuación (7.5) se hace cero si
V = 0 ó Z = ∞, estas dos soluciones son triviales e implican que el circuito no esta alimentando por
(7.5) sea cero es que el termino entre corchetes sea igual ha cero para tβ .
sen ωtβ −ϕ − m
cos(ϕ) + m
−
(ωtβ −α)
tan(ϕ) = 0
sen(β −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(β−α)
tan(ϕ) = 0
(7.6)
entre αmax ≤ β ≤ 2π para cualquier caso.
Para encontrar la tensión y corriente media y efectiva se aplicara las deﬁniciones del capítulo 1 con
un periodo en la carga igual a la mitad de la fuente de alimentación alterna.
V0 = 1
π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)dωt +
¡ α+π
β Edωt
V0 = 1
π
√
2V −cos(ωt)|β
α + Eωt|α+π
β
V0 =
√
2V
π (cos(α)−cos(β))+E π−(β−α)
π
(7.7)

150 7.7. Análisis de la Condición Continuada de Corriente
I0 = 1
π
¡ β
α i(t)dωt
I0 = 1
π
¡ β
α
√
2V
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
1
π
¡ β
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ) dωt
I0 = V0−E
R
(7.8)
Vrms = 1
π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt +
¡ α+π
β E2dωt
Vrms = V2
π
¡ β
π
¡ α+π
β E2dωt
Vrms = V2
π 1− sen(2ωt)
2
β
α
+ E2
π ωt|α+π
β
Vrms = V2
π β −α − sen(2β)
2 + sen(2α)
2 +E2 1− β−α
π
Vrms = V2
π γ − sen(2β)
2 + sen(2α)
2 +E2 1− γ
π
(7.9)
Nota: La expresión (7.9) solo es válida en radianes
Irms = 1
π
¡ β
α i(t)2dωt
Irms = 1
π
¡ β
α
√
2V
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
π
¡ β
cos(ϕ) + m
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
(7.10)
7.7. Análisis de la Condición Continuada de Corriente
La condición continuada del puente rectiﬁcador de onda completa monofásico puede ser analizada
en régimen transitorio y régimen permanente de operación. En esta sección se estudia el puente en
régimen permanente de operación.

vf (t) ≥ E (7.11)
Sustituyendo la expresión de la fuente en la ecuación (7.11), se obtiene:
√
2V sen(ωt) ≥ E
sen(ωt) ≥ E√
2V
sen(α) ≥ E√
2V
α ≥ arcsen E√
2V
(7.12)
donde:
αmin = arcsen(m)
m =
E
√
2V
αmax = π −αmin
Para considerar que el puente se encuentra en condición continuada se debe cumplir que:
β ≥ α +π (7.13)
Imin ≥ 0
La expresión de la corriente en la carga en régimen permanente para α ≤ ωt ≤ α + π y conside-
rando la condición inicial de corriente i(tα) = Imin es:
7.7.2. Solución Homogénea.

i(t)h = ke
− ωt
tan(ϕ) (7.14)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
i(t)p = −
E
R
(7.15)
i(t)p =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ) (7.16)
donde:
Z = R2 +(ωL)2
i(tα) = Imin
i(tα) = Imin =
√
2V
R +ke
− α
tan(ϕ)
↓
k = Imin −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
α
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
R + Imin −
√
2V
Z sen(α −ϕ)+ E
R e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
(7.17)
√
2V/Z tenemos:

i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen(α −ϕ) e
−
(ωt−α)
tan(ϕ) +Imine
−
(ωt−α)
tan(ϕ) (7.18)
donde:
m =
E
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
Como el puente se encuentra trabajando en régimen permanente, debe satisfacer la condición:
i(t) = i(t +T) (7.19)
Aplicando la condición de régimen permanente en el punto ﬁnal del intervalo se puede encontrar
el valor de la condición inicial de corriente (Imin).
i(tα+π) = Imin (7.20)
Sustituyendo la expresión (7.20) en la ecuación (7.18) se obtiene:
Imin =
√
2V
Z sen(α +π −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
−
(α+π−α)
tan(ϕ) +Imine
−
(α+π−α)
tan(ϕ)
Imin 1−e
− π
tan(ϕ) =
√
2V
Z sen(α +π −ϕ)− m
cos(ϕ) + m
− π
tan(ϕ)
(7.21)
Recordando que:
sen(π +a) = sen(π)cos(a)+sen(a)cos(π) = −sen(a) (7.22)
Se puede simpliﬁcar la expresión (7.21) en:
Imin 1−e
− π
tan(ϕ) =
√
2V
Z
−sen(α −ϕ) 1+e
− π
tan(ϕ) +
m
cos(ϕ)
e
− π
tan(ϕ) −1 (7.23)
Calculando Imin de la expresión (7.23), se obtiene:

Imin =
√
2V
Z
sen(ϕ −α)
1+e
− π
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
−
E
R
(7.24)
El puente rectiﬁcador se encuentra en condición continuada de corriente si y solo si Imin ≥ 0. Re-
emplazando la expresión (7.24) en la expresión (7.18) y simpliﬁcando se obtiene la corriente total
como:
i(t) =
√
2V
Z

sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
−

2sen(α −ϕ)e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)



 (7.25)
capítulo 1.
V0 = 1
π
¡ α+π
α
√
2V sen(ωt)dωt
V0 = 1
π
√
2V −cos(ωt)|α+π
α
V0 =
√
2V
π (cos(α)−cos(α +π))
V0 = 2
√
2V
π cos(α)
V0 ≈ 0,9V cos(α)
(7.26)
I0 = 1
π
¡ α+π
α i(t)dωt
I0 = 1
π
¡ α+π
α
√
2V
cos(ϕ) − 2sen(α−ϕ)e
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
dωt
I0 =
√
2V
Z
1
π
¡ α+π
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
dωt
I0 = V0−E
R
(7.27)

Vrms = 1
π
¡ α+π
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ α+π
Vrms = V2
π 1− sen(2ωt)
2
α+π
α
Vrms = V2
π α +π −α − sen(2(α+π))
2 + sen(2α)
2
Vrms = V2
π π − sen(2α+2π)
2 + sen(2α)
2
Vrms = V2π
π
Vrms = V
(7.28)
Irms = 1
π
¡ α+π
α i(t)2dωt
Irms = 1
π
¡ α+π
α
√
2V
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
π
¡ α+π
−
(ωt−α)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
2
dωt
(7.29)
7.7.10. Análisis en Series de Fourier de la Tensión en la Carga
La tensión en la carga se puede representar en serie de Fourier utilizando la siguiente expresión:
Vcarga(t) = V0 +
∞
∑
n=1
an cos
2πnt
T
+
∞
∑
n=1
bn sen
2πnt
T
(7.30)
=
c0
2
+
∞
∑
n=1
|cn|cos
2πnt
T
−∠cn
Donde:
V0 ≈ 0,9V cos(α)

ω =
2π
T
an =
2
T
¢ T
0
vf (t)cos
2πnt
T
dt
bn =
2
T
¢ T
0
vf (t)sen
2πnt
T
dt
cn =
2
T
¢ T
0
vf (t)ej 2πnt
T dt
7.7.10.1. Cálculo de los términos cn:
cn =
2
π
¢ α+π
α
√
2V sen(ωt)ej2nωt
dωt (7.31)
Desarrollando la expresión (7.31), se obtiene:
cn =
√
2V
π
¢ α+π
α
−j ej(2n+1)ωt
−ej(2n−1)ωt
dωt (7.32)
Integrando la expresión (7.32):
cn =
√
2V
π
e
j(2n−1)ωt
2n−1 − e
j(2n+1)ωt
2n+1
α+π
α
cn =
√
2V
π
e
j(2n−1)α+π
−e
j(2n−1)α
2n−1 − e
j(2n+1)α+π
−e
j(2n+1)α
2n+1
cn =
√
2V
π
e
j(2n−1)π
−1 e
j(2n−1)α
2n−1 −
e
j(2n+1)π
−1 e
j(2n+1)α
2n+1
(7.33)
Para simpliﬁcar la expresión (7.33), se analizará el valor de e
j(2n−1)π
y e
j(2n+1)π
donde n ∈ N:
e
j(2n−1)π
= cos((2n−1)π)+ jsen((2n−1)π) = −1 ∀n ∈ N (7.34)
e
j(2n+1)π
= cos((2n+1)π)+ jsen((2n+1)π) = −1 ∀n ∈ N
Sustituyendo la expresión (7.34) en la (7.33), se obtiene:

cn =
2
√
2V
π
e
j(2n+1)α
2n+1
−
e
j(2n−1)α
2n−1
∀n ∈ N (7.35)
7.7.10.2. Resumen
Vcarga(t) =
2
√
2V
π
cos(α)+ℜe
∞
∑
n=1,2,3,···
e
j(2n+1)α
2n+1
−
e
j(2n−1)α
2n−1
·e−jn2ωt
7.8. Simulación
1 % Onda Completa Controlado Monofásico con fuente sinusoidal
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RLE
4
11
12 % Constantes
13 m=E/(sqrt (2)*V)
14 Z=sqrt(R^2+(2* pi*f*L)^2)
15 fi=atan ((2*pi*f*L)/R)
16 alfa1=asin(m); % Alfa mínimo
17 alfa2=pi-alfa1; % Alfa máximo
18 disp('Limite de Controlabilidad en grados ')
19 [alfa1 *180/pi, alfa2 *180/pi]
20
21 % Angulo de disparo
22 alfa=input('ángulo de disparo en grados ');
24
25 % Limite de controlabilidad
26 if (alfa1 >alfa)| (alfa >alfa2)

158 7.8. Simulación
27 disp('El ángulo de disparo está fuera del límite de contrabilidad
se fijo en alfa minimo ');
28 alfa=alfa1;
29 end
30
31
32 % Cálculo del beta
33 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)-m/cos(fi)+(m/cos(fi)-sin(alfa -fi))*exp(-(t-
alfa)/tan(fi)),[pi])
34 g=b-alfa; % Angulo de Conducción
35 a=alfa;
36 Imin=sqrt (2)*V/Z*sin(fi-a)*((1+ exp(-pi/tan(fi)))/(1-exp(-pi/tan(fi)))
)-E/R;
37
38 if Imin <0
39 disp('El puente esta trabajando en condición no continuada ')
40
41 % Funciones en el tiempo
tan(fi))));
45
46 tdes=linspace(b,pi+a,300);
47 t=[t,tdes];
48
49 v=[v,E*ones(size(tdes))];
50 i=[i,zeros(size(tdes))];
51
52 else
53
54 disp('El puente esta trabajando en condición continuada ')
55 Imin
56 % Funciones en el Tiempo
57 t=linspace(a,a+pi ,1000);
58 i=sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)-m/cos(fi) -(2*sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi))
)/(1-exp(-pi/tan(fi))));
60
61 end

62
63 % Valores Medios
64 Io=1/(pi)*trapz(t,i)
65 Vo=1/pi*trapz(t,v)
66
67 % Rizo
68 Rizo =0.5*( max(i)-min(i))
69
71 Irms=sqrt (1/(pi)*trapz(t,i.^2))
72 Vrms=sqrt (1/(pi)*trapz(t,v.^2))
73
74 % Potencia
75 S=V*Irms % Fuente
76 Pe=E*Io
77 Pr=R*Irms^2
78 fp=(Pe+Pr)/S
79
83
84 % Primera Armónica carga
85 Vrms_1=abs(2/pi*(trapz(t,v.*exp(2*j*t))))/sqrt (2)
86 Irms_1=abs(2/pi*(trapz(t,i.*exp(2*j*t))))/sqrt (2)
87
88 % THD carga
91
92 % Graficas
93 figure (1)
94 clf
95 t1=[t,t+pi];
97 vx=[v,v];
98 ix=[i,i];

102 xlim([alfa 2*pi+alfa]);
103 set(gca ,'XTick',alfa:pi/6:2*pi+alfa);
104 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
106 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
108 end
109
114
115 figure (2)
120 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
122 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
124 end
128
129 ix=[i,-i];
130 figure (3)
135 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

137 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
139 end
143
144 % Primera Armónica fuente
145 Irms_f_1=abs(1/pi*(trapz(t1,ix.*exp(j*t1))))/sqrt (2)
146
147 % THD fuente
148 THDi_f=sqrt(Irms^2-Irms_f_1 ^2)/Irms_f_1
7.9. Puente Semicontrolado
En la figura 7.12 se presenta el esquema del puente rectificador semicontrolado alimentando una
carga resistiva inductiva. Este puente esta conformado por dos tiristores y dos diodos a diferencia
del puente controlado.
Figura 7.12: Puente rectificador semicontrolado
Durante la operación del puente en cada semiciclo de la forma de onda de la fuente, el diodo inferior
del tiristor que se encuentra encendido queda conectado en paralelo a la carga realizando funciones
de descarga libre. En la figura 7.13 se presentan las topologías de conducción del puente para los
semiciclos positivos y negativos de la fuente.

162 7.9. Puente Semicontrolado
(a) Semiciclo positivo (b) Semiciclo negativo
Figura 7.13: Topología del rectificador semicontrolado para cada semiciclo de la fuente
El diodo de descarga libre origina que la carga no pueda ver tensión negativa (vcarga(t)). La ope-
ración de este convertidor en condición continuada de corriente depende de la constante de tiempo
de la carga (τ), el periodo de operación de la fuente (T) y del retardo en el encendido (α) del puen-
te. Para garantizar condición continuada de operación para una carga resistiva inductiva, se debe
garantizar que:
τ =
L
R
≥
αT
10π
(7.36)
En las figuras 7.14 y 7.15 se presentan las formas de onda de tensión y corriente sobre la carga con
su respectivo contenido armónico. Se puede observar en las figuras como el diodo de descarga libre
impide la aplicación de tensión negativa sobre la carga y da un camino de circulación a la corriente
hasta que se realice el encendido de la otra componente.
(a) Forma de Onda (b) Contenido armónico
Figura 7.14: Tensión sobre la carga RL

Figura 7.15: Corriente sobre la carga RL
En la ﬁgura 7.16 se presenta la forma de onda de corriente en la fuente de alimentación con su
respectivo contenido armónico. Por la simetría de la forma de onda el espectro esta constituido por
únicamente armónicas impares.
Figura 7.16: Corriente en la fuente de alimentación
7.9.1. Corriente
Para el análisis del puente se supondrá que se satisface la condición de la expresión 7.36 y que la
tensión de alimentación del puente es de la forma: vf (t) =
√
2V sen(ωt).

7.9.1.1. Corriente para el intervalo α ≤ ωt ≤ π
En este intervalo que corresponde a la operación del tiristor y del diodo, la ecuación diferencial que
describe el circuito de la figura 7.12 es:
vf (t) = Ri+L
di
dt
(7.37)
Resolviendo la ecuación diferencial 7.37 con la condición inicial de corriente i(α/ω) = Iα se obtie-
ne:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)+ Iα −
√
2V
Z
sen(α −ϕ) e
− ωt−α
tan(ϕ) (7.38)
Donde:
Z = R2 +(ωL)2 (7.39)
ϕ = arctan
ωL
R
(7.40)
Evaluando la condición final de corriente en el intervalo se obtiene:
i(π/ω) = Iπ =
√
2V
Z
sen(π −ϕ)+ Iα −
√
2V
Z
sen(α −ϕ) e
− π−α
tan(ϕ) (7.41)
7.9.1.2. Corriente para el intervalo π ≤ ωt ≤ π +α
En este intervalo que corresponde a la operación del diodo de descarga libre, la ecuación diferencial
que describe el circuito de la figura 7.12 es:
0 = Ri+L
di
dt
(7.42)
Resolviendo la ecuación diferencial 7.42 con la condición inicial de corriente i(π/ω) = Iπ se obtiene:
i(t) = Iπe
− ωt−π
tan(ϕ) (7.43)
Evaluando la condición final de corriente en el intervalo se obtiene:
i
α +π
ω
= Iπe
− α
tan(ϕ) (7.44)

7.9.1.3. Condición continuada de corriente
En régimen permanente se debe cumplir que la corriente al inicio y al final de un periodo debe ser
igual i α+π
ω = Iα por lo tanto de las expresiones 7.41 y 7.44 se obtiene:
Iπ =
√
2V
Z 1−e
− π
tan(ϕ)
sen(π −α)−sen(α −ϕ)e
− π−α
tan(ϕ)
Iα = Iπe
− α
tan(ϕ)
(7.45)
7.9.2. Tensión media
De la forma de onda de tensión de la figura 7.14 se puede calcular la tensión media sobre la carga
como:
V0 =
1
π
¢ π
α
√
2V sen(ωt)dωt =
√
2V
π
(1−cos(α)) (7.46)
7.9.3. Tensión efectiva
De la forma de onda de tensión de la figura 7.14 se puede calcular la tensión efectiva sobre la carga
como:
Vrms =
1
π
¢ π
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt = V
1
π
π −α +
sen(2α)
2
(7.47)
7.9.4. Corriente media
La corriente media sobre la carga se puede calcular a partir de la expresión 7.46 correspondiente a
la tensión media como:
I0 =
V0
R
=
√
2V
πR
(1−cos(α)) (7.48)
7.9.5. Simulación
1 % Onda Completa Semi Controlado Monofásico con fuente sinusoidal
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RL

4
7 R=input('Resistencia de carga [Ohm] ');
8 L=input('Inductancia de filtro [H] ');
10 a=input('Ángulo de disparo en grados ')*pi/180;
11
12 % Constantes
13 w=2*pi*f;
14 Z=sqrt(R^2+(w*L)^2);
15 fi=atan((w*L)/R);
16 tau=L/R;
17 alfa=a;
18
19 % Tiempo
20 t1=linspace(a,pi ,300);
21 t2=linspace(pi,a+pi ,100);
22 t=[t1,t2];
23
24 % Tensión sobre la carga
26 v2=zeros(size(t2));
27 v=[v1,v2];
28
29 % Corriente en los límites de intervalos
30 I_pi=sqrt (2)*V/Z*(sin(pi-fi)-sin(a-fi)*exp(-(pi-a)/tan(fi)))/(1-exp(-
pi/tan(fi)))
31 I_alfa=I_pi*exp(-a/tan(fi))
32
33 % Corriente en el Tiempo
34 i1=sqrt (2)*V/Z*sin(t1-fi)+(I_alfa -sqrt (2)*V/Z*sin(a-fi))*exp(-(t1-a)/
tan(fi));
35 i2=I_pi*exp(-(t2-pi)/tan(fi));
36 i=[i1,i2];
37
38 % Valores Medios
41

42 % Rizo
44
48
49 % Potencia
51 Pr=R*Irms^2
52 fp=(Pr)/S
53
57
61
62 % THD
65
66 % Graficas
67 figure (1)
68 clf
69 t1=[t,t+pi];
71 vx=[v,v];
72 ix=[i,i];
78 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
80 else

/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
82 end
83
88
89 figure (2)
94 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
96 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
98 end
102
103 ix=[i,-i];
104 figure (3)
109 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
111 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
113 end

117
120
121 % THD
7.10. Ejemplos
7.10.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga Resistiva
En la figura 7.17, se presenta el puente rectificador monofásico de onda completa no controlado con
carga resistiva. Este convertidor es un caso particular del puente rectificador monofásico controlado
analizado en la sección 7.7, donde:
L = 0
E = 0
α = 0
β = π
(7.49)
El puente rectificador monofásico no controlado con carga resistiva trabaja en condición continuada
de corriente debido a que cumple la condición de la expresión (7.13).
Figura 7.17: Puente rectificador monofásico con carga R
Sustituyendo las condiciones de la expresión (7.49) en los resultados de la sección 7.7, se obtiene:
Corriente para 0 ≤ ωt ≤ π:
i(t) =
√
2V
R [sen(ωt)] (7.50)

170 7.10. Ejemplos
Tensión Media
V0 = 2
√
2V
π ≈ 0,9V (7.51)
Corriente Media
I0 = V0
R = 2
√
2V
πR ≈ 0,9V
R
(7.52)
Tensión Efectiva
Vrms = V (7.53)
Corriente Efectiva
Irms = V
R
(7.54)
En las ﬁguras 7.22 y 7.19, se presenta la forma de onda de tensión y corriente sobre la carga con
su respectivo contenido armónico. Adicionalmente, en la ﬁgura 7.20, se muestra la corriente en la
fuente de alimentación con su respectivo contenido armónico.
Figura 7.18: Tensiones en la carga R

Figura 7.19: Corriente en la carga R
Figura 7.20: Corriente en la fuente con Carga R
7.10.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL
En la figura 7.21, se presenta el puente rectificador monofásico de onda completa no controlado con
carga resistiva inductiva. Este convertidor es un caso particular del puente rectificador monofásico
controlado analizado en la sección 7.7, donde:
E = 0
α = 0
(7.55)
El puente rectificador monofásico no controlado con carga resistiva inductiva trabaja en condición
continuada de corriente debido a que cumple la condición de la expresión (7.13).

172 7.10. Ejemplos
Figura 7.21: Puente rectiﬁcador monofásico con carga RL
Corriente en régimen permanente para 0 ≤ ωt ≤ π:
i(t) =
√
2V
−
(ωt)
tan(ϕ) +Ime
−
(ωt)
tan(ϕ) (7.56)
Im =
√
2V
Z
sen(ϕ)
1+e
− π
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
(7.57)
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)+ 2sen(ϕ)e
−
(ωt)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
(7.58)
Tensión Media
V0 = 2
√
2V
π ≈ 0,9V (7.59)
Corriente Media
I0 = V0
R = 2
√
2V
πR ≈ 0,9V
R
(7.60)
Tensión Efectiva
Vrms = V (7.61)
Corriente Efectiva
Irms =
√
2V
Z
1
π
¡ π
0 sen(ωt −ϕ)+ 2sen(ϕ)e
−
(ωt)
tan(ϕ)
1−e
− π
tan(ϕ)
2
dωt (7.62)

Serie de Fourier de la tensión sobre la carga
Vcarga(t) =
2
√
2V
π
1−
∞
∑
n=1,2,3,···
2
4n2 −1
cos(2nωt)
Figura 7.22: Tensiones en la carga RL
Figura 7.23: Corriente en la carga R

174 7.10. Ejemplos
Figura 7.24: Corriente en la fuente con Carga R
7.10.3. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC
En la figura 7.25, se presenta un puente rectificador de onda completa monofásico con carga del
tipo resistiva capacitiva (RC). El puente esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal
(vf (t) =
√
2V sen(ωt)).
Figura 7.25: Puente rectificador monofásico con carga RC
Analizando en puente rectificador de onda completa de la figura 7.25, se obtiene:
i(t) = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(7.63)
Tensión en el intervalo: α ≤ ωt ≤ β
vcarga(t) = vf (t) =
√
2V sen(ωt) (7.64)

i(t) =
√
2V
R
Deﬁniendo:
q = ωCR (7.66)
i(t) =
√
2V
R
i
β
ω
= 0 =
√
2V
R
·(q·cos(β)+sen(β)) (7.68)
encuentra π
β = π −arctan(q) (7.69)
el diodo se apaga (β ≤ ωt ≤ α +π).
i(t) = 0 = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(7.70)
vcarga(t) =
√
2V sen(β)e−
(ωt−β)
q (7.71)
Para encontrar el ángulo de encendido (α) se iguala la tensión en la carga en α +π:
√
2V sen(β)e−
(α+π−β)
q = −
√
2V sen(α +π) (7.72)

176 7.10. Ejemplos
V0 =
√
2V
π
cos(α)−cos(β)+q·sen(β)· 1−e−
(π+α−β)
q (7.73)
su respectivo contenido armónico. Adicionalmente, en la ﬁgura 7.28 se muestra la corriente en la
Figura 7.26: Tensión en la carga RC
Figura 7.27: Corriente en la carga RC

Figura 7.28: Corriente en la fuente con carga RC
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RC
4
10
11
12 % Parámetros
13 q=2*pi*f*R*C;
15 b=pi-atan(q)
17 a=fsolve(@(t) sin(b)*exp(-(t+pi-b)/q)-sin(t) ,[0.01])
18
20 t1=linspace(a,b,500);
23 t2=linspace(b,a+pi ,500);

178 7.10. Ejemplos
26 t=[t1,t2];
27 v=[v1,v2];
28 i=[i1,i2];
29 gama=b-a
30
31 % Valores Medios
33 Vo=1/(pi)*trapz(t,v)
34
35
39
43
45 Dv=(sqrt (2)*V-sqrt (2)*sin(b)*V)/2
46
47 % Graficas
48 figure (1)
49 t1=[t,t+pi];
51 vx=[v,v];
52 ix=[i,i];
54
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

64
65 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
74
75 ix=[i,-i];
76 figure (3)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
85
88
89 % THD

180 7.10. Ejemplos
7.10.4. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL
En la figura 7.29, se presenta el puente rectificador monofásico de onda completa no controlado
con filtro LC en la barra de corriente continua y carga resistiva inductiva.
Figura 7.29: Puente rectificador monofásico con filtro LC y carga RL
Para analizar el convertidor de la figura 7.29, se utilizara la técnica de resolución de circuitos
mediante series de Fourier. La forma de onda de la tensión vrec en los bornes del filtro se muestra
en la figura 7.30, esta tensión se puede representar en series de Fourier como:
vrec(t) =
v0
2
+
∞
∑
n=1,2,3,···
|vn|cos(nωt +∠vn) (7.74)
donde:
vn =
2
π
¢ π
0
√
2V sen(ωt)ej2nωt
dωt (7.75)
Figura 7.30: Forma de onda de tensión en la barra DC vrec

Calculando vn de la expresión (7.75), se obtiene:
vn =
2
π
¢ π
0
√
2V
2j
ejωt
−e−jωt
ej2nωt
dωt
=
2
√
2
π
·V ·
ej(2n−1)π −1
2n−1
−
ej(2n+1)π −1
2n+1
(7.76)
= −
2
√
2V
π
·
2
4n2 −1
∀ n
Reemplazando los resultados de la expresión (7.76) en la ecuación (7.74), se obtiene la expresión
de la serie de Fourier de la tensión en bornes del filtro:
vrec(t) =
2
√
2V
π
1−
∞
∑
n=1,2,3,···
2
4n2 −1
cos(2nωt) (7.77)
Para calcular la corriente i(t) suministrada por el rectificador al filtro se utiliza el cálculo de la serie
de Fourier de corriente a partir de la tensión.
i(t) =
io
2
+
∞
∑
n=1,2,3,···
|in|cos(nωt +∠in) (7.78)
donde:
in =
vn
Zn
(7.79)
Zn = (R+ jnωL)
1
jωCfiltro
+ jωLfiltro (7.80)
Zn = jωLfiltro +
R+ jnωL
jRCfiltronω −(nω)2
LCfiltro +1
∀ n = 0,1,2,···
La tensión sobre la carga (vcarga(t)) se puede calcular a partir de la serie de Fourier de tensión en el
rectificador (vrec(t)) utilizando divisor de tensión como:
vcarga(t) =
vc0
2
+
∞
∑
n=1,2,3···
|vcn|cos(nωt +∠vcn) (7.81)
donde:

182 7.10. Ejemplos
vcn = vc ·
(R+ jnωL) 1
jωCfiltro
Zn
(7.82)
A partir de la serie de Fourier de tensión sobre la carga de la expresión (7.81), dividiendo sobre la
impedancia armónica de la carga (Zcarga = R + jnωL) se puede obtener la serie de Fourier de la
corriente por la carga.
icarga(t) =
ic0
2
+
∞
∑
n=1,2,3···
|icn|cos(nωt +∠icn) (7.83)
donde:
icn =
vcn
R+ jnωL
(7.84)
En la figura (7.31), se presenta la corriente i(t), icarga(t) e if (t) para el puente de la figura (7.29),
con R = 50Ω, L = 15mH, Lfiltro = 100mH, Cfiltro = 200µF y una tensión efectiva de 120V a
60Hz. En la figura (7.32), se presenta la tensión en la carga RL.
(a) Filtro (i(t)) (b) Carga (icarga(t)) (c) Fuente (if (t))
Figura 7.31: Corrientes en el rectificador con filtro LC

Figura 7.32: Tensión en la carga
1 % Rectificador Onda Completa Monofásico con fuente sinusoidal
2 % vf (t) =
√
2vsen(ωt)
3 % Carga tip RL, con filtro LC
4
8 L2=input('Inductancia de carga [H] ');
10 C=input('Capacitancia del filtro [F] ');
12 w=2*pi*f;
13
14 % Valores Medios
15 Vo=0.9*V
16 Io=Vo/R
17
18 % Armonicas
19 n=1:30;
20 ln=length(n);
21 t=linspace(0,pi/w ,1000);
22 vrec (1,:)=Vo*ones(size(t));
23 is(1,:)=Io*ones(size(t));
24 vr(1,:)=Vo*ones(size(t));

184 7.10. Ejemplos
25 ic(1,:)=Io*ones(size(t));
26 for i=1:ln
27 s=j*n(i)*w;
28 % Filtro LC Caga RL
29 %Zn = (R+ jnωL) 1
jωCfiltro
+ jωLfiltro
30 Zs=((s^2*C*L+1)*R+(s^3*C*L+s)*L2+s*L)/(s*C*R+s^2*C*L2+1);
31 %Z1n = 1
Zn
(R+ jnωL) 1
jωCfiltro
32 Z1=(R+s*L2)/((s^2*C*L+1)*R+(s^3*C*L+s)*L2+s*L);
33 Zc=R+s*L;
34
35 vc=0.9*V*( -2/(4*n(i)^2-1));
36 vrec(i+1,:)=vc*cos(n(i)*w*t);
37 is(i+1,:)=vc/abs(Zs)*cos(n(i)*w*t-angle(Zs)); % Corriente en el filtro
38 vr(i+1,:)=vc*abs(Z1)*cos(n(i)*w*t+angle(Z1)); % Tensión en la Carga
39 ic(i+1,:)=vc*abs(Z1)/abs(Zc)*cos(n(i)*w*t+angle(Z1)-angle(Zc)); %
Corriente en la Carga
40 end
41
42 i=sum(is); % i(t)
43 v=sum(vrec); % vrec(t)
44 vcarga=sum(vr); % vcarga(t)
45 icarga=sum(ic); % icarga(t)
46 t=t*w;
47
48 % Valores medios en la carga
49 Vo_carga =1/pi*trapz(t,vcarga);
50 Io_carga =1/pi*trapz(t,icarga)
51
52 % Rizo
53 Rizoi_rec =0.5*( max(i)-min(i))
54 Rizov_carga =0.5*( max(vcarga)-min(vcarga))
55 Rizoi_carga =0.5*( max(icarga)-min(icarga))
56 %
58 Irms_rec=sqrt (1/(pi)*trapz(t,i.^2))
59 Vrms_rec=sqrt (1/(pi)*trapz(t,v.^2))
60 Vrms_carga=sqrt (1/(pi)*trapz(t,vcarga .^2))
61 Irms_carga=sqrt (1/(pi)*trapz(t,icarga .^2))
62 %
63 % Potencia

64 S=V*Irms_rec % Fuente
65 Pcarga=Irms_carga ^2*R
66 fp=( Pcarga)/S
67 %
69 FR_i_rec=sqrt(Irms_rec^2-Io_carga ^2)/Io
70 FR_v_rec=sqrt(Vrms_rec^2-Vo_carga ^2)/Vo
71 FR_v_carga=sqrt(Vrms_carga ^2-Vo_carga ^2)/Vo_carga
72 FR_i_carga=sqrt(Irms_carga ^2-Io_carga ^2)/Io_carga
73 %
74 % Primera Armónica en el filtro
75 Vrms_1=abs(2/pi*(trapz(t,v.*exp(2*j*t))))/sqrt (2)
76 Irms_1=abs(2/pi*(trapz(t,i.*exp(2*j*t))))/sqrt (2)
77
78 % THD a la entrada del filtro
79 THDv=sqrt(Vrms_rec^2-Vrms_1 ^2)/Vrms_1
80 THDi=sqrt(Irms_rec^2-Irms_1 ^2)/Irms_1
81
82 % Graficas
83 figure (1) % vrec(t)
84 t1=[t,t+pi];
86 vx=[v,v];
87 ix=[i,i];
89 legend('Fuente ','V rec');
91 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
94 % set(gca,'YTickLabel',' ')
95 xlabel('Tiempo (s)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
96 ylabel('Tesnión (V)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
98 %
99 figure (2) % i(t)
102 xlim ([0 2*pi]);

186 7.10. Ejemplos
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
107 ylabel('Corriente (A)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
108 %
109 figure (5) % icarga(t)
110 plot(t1 ,[icarga ,icarga],'LineWidth ' ,2);grid
112 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
118 %
119 ix=[i,-i];
120 figure (3) % if (t)
123 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
129
130 % Primera Armónica en la fuente
132
133 % THD en la fuente
134 THDi_f=sqrt(Irms_rec^2-Irms_f_1 ^2)/Irms_f_1
135
136 figure (4) % vcarga(t)
137 plot(t1,vf,'-.',t1 ,[vcarga ,vcarga],'r','LineWidth ' ,2);grid
138 legend('Fuente ','V carga');

140 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
145 ylabel('Tensión (V)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
7.11. Ejercicios
1. Un puente rectificador de onda completa monofásico presenta una carga RL de 30Ω y 75mH.
El puente se alimenta de un sistema de 120V a 60Hz. Determine la potencia consumida por
la carga, rizado, factor de rizado de tensión y corriente y el factor de potencia en la fuente
para α = 25◦ y α = 75◦.
2. Se modela un electro imán conectando una bobina de 120mH en serie con una resistencia
de 5Ω. La corriente media en la bobina debe ser de 10A para establecer el campo magnético
necesario. Determine:
a) El ángulo de disparo necesario para que el rectificador controlado produzca esta co-
rriente media, si el rectificador se alimenta de un transformador reductor de relación
2 : 1 desde un sistema de 240V a 60Hz (lado de alta) y su reactancia de cortocircuito es
de 6%. Nota: el rectificador se conecta del lado de baja.
b) Determine el tiempo de conmutación de los tiristores.
c) Rizado de corriente.
d) Es valida la aproximación I0 ≈ Irms. Comente su respuesta.
3. Un rectificador monofásico de onda completa no controlado, alimenta una carga activa de
3Ω , 35mH y 24V. La tensión efectiva de la fuente que alimenta el rectificador es 120V a
60Hz. Determine:
a) Corriente media y efectiva por la carga.
b) La potencia absorbida por la fuente de corriente continua.
c) Potencia disipada en forma de calor por la carga.
d) Factor de potencia en la fuente de alterna.

188 7.11. Ejercicios
e) Calcule el rizado de corriente en la carga.
4. Encontrar el factor de potencia del rectificador monofásico controlado con carga RL. Asuma
que la inductancia es lo suficientemente grande para considerar que la corriente de carga es
continua.
5. Calculé el condensador necesario del puente de la figura 7.25 para que el puente suministre
una potencia de 500W con una tensión de entrada de 220V efectivos. El puente debe tener
un rizado en tensión menor al 20%.
6. Para el puente semicontrolado de la figura 7.33 determine:
a) Límites de controlabilidad del puente.
b) Expresiones de corriente.
c) Potencia instantánea y media entregada por la fuente.
d) Factor de potencia consumido por el convertidor.
7. Para el puente semicontrolado de la figura 7.34 realice un programa simulación que calcule:

a) Formas de onda de tensión y corriente a la entrada del ﬁltro y a la salida.
b) Valor medio y efectivo de la corriente y tensión e la carga.
c) THD de tensión y corriente en la fuente y carga.
d) Contenido armónico de las tensiones y corrientes a la entrada y salida del ﬁltro.
e) Contenido armónico de la corriente de la fuente.

Capítulo 8
Rectificador Trifásico
La finalidad de los rectificadores trifásicos es la misma que los de media onda y onda completa
monofásica, generar una tensión o corriente continua especifica, a partir de una fuente de corrien-
te alterna. Los rectificadores trifásicos, presentan mejores ventajas comparativas que los de media
onda. La ventaja más importante, es que la corriente en el sistema alterno de alimentación del rec-
tificador es cero, evitando así los problemas asociados al fenómeno de saturación de las máquinas
eléctricas conectadas a la misma barra de alimentación en corriente alterna. Adicionalmente, dis-
minuye el rizado en las corrientes de salida en la barra de corriente continua y se obtiene un mayor
valor de tensión y corriente continua.
En este capitulo se analizará el puente rectificador trifásico controlado, el análisis del rectificador
no controlado o de diodos es análogo al controlado si sustituimos el ángulo de disparo por cero.
8.2. Aplicaciones
Fuentes de poder.
Control de velocidad y posición de máquinas de corriente continua.
Transmisión en Corriente Continua (HVDC).
Excitación de máquinas sincrónicas.
Electro filtros.
Entre otras.
191

192 8.3. Esquema del Rectificador Trifásico
8.3. Esquema del Rectificador Trifásico
En la figura 8.1, se presenta el esquema de un rectificador controlado trifásico. Este puente esta
compuesto por seis interruptores electrónicos de potencia, lo cuales son encendidos alternadamente
en parejas cada medio ciclo de las tres ondas alternas de la fuente de poder.
Figura 8.1: Diagrama del puente rectificador trifásico
8.4. Operación del Puente Rectificador
En el análisis inicial del circuito de la figura 8.1, se considera que el generador trifásico es equili-
brado, de secuencia positiva (a, b, c) e ideal al igual que los Tiristores. En este circuito se tiene:
1. En los terminales eléctricos del puente se aplica la tensión línea a línea del sistema trifásico
generado por la fuente de poder. (vab, vbc, vca)
2. Aplicando la ley de Kirchhoff de tensiones sobre el circuito, se demuestra que sólo puede
conducir un tiristor en la mitad superior del puente (T1, T3, T5). El tiristor en estado de con-
ducción corresponde al que presenta la mayor tensión instantánea de fase en su cátodo y tiene
pulso de encendido en la compuerta.
3. De igual forma, la ley de Kirchhoff de tensiones muestra que sólo puede conducir a la vez un
tiristor de la mitad inferior (T2, T4, T6). El tiristor en estado de conducción tendrá su cátodo
conectado a la tensión de fase de menor valor en ese instante.
4. Los Tiristores de la misma rama no pueden conducir al mismo tiempo debido a que origina-
rían un cortocircuito en la barra de corriente continua.
5. La tensión de salida del puente sobre la carga, se obtiene como la superposición de las ten-
siones línea a línea del sistema trifásico y de sus complementos.

6. Debido a que la transición de la tensión línea a línea más elevada se realiza cada sexto del
periodo del generador el puente se denomina: rectificador de seis pulsos.
En la figura 8.2 se muestra las tensiones línea a línea que genera este sistema de tensiones trifásicas
línea a neutro con su respectivo complemento. En la figura 8.3 se presenta la secuencia de disparo
del puente convertidor de la figura 8.1.
Figura 8.2: Tensiones línea a línea del generador trifásico con sus complementos

Figura 8.3: Secuencia de disparo del puente
En las ﬁguras 8.4, 8.5 se presenta la forma de onda y contenido armónico de tensión y corriente
sobre la carga RLE.
Figura 8.4: Tensión en la carga RLE del puente trifásico

Figura 8.5: Corriente en la carga RLE del puente trifásico
En la ﬁgura 8.6, se presenta la corriente por cada tiristor del puente. La corriente en un tiristor
en conducción es igual a la corriente en la carga, cada componente conduce una tercera parte del
periodo de la fuente. Para calcular la corriente en cada fase del generador se aplicara la ley de
Kirchhoff de corriente en los terminales eléctricos del puente rectiﬁcador.
ia = iT1 −iT4
ib = iT3 −iT6
ic = iT5 −iT2
(8.1)

Figura 8.6: Corriente por los tiristores del puente
En la ﬁgura 8.7, se presenta las corriente en la fase "a" de la fase del generador para la carga RLE
considerada con un ángulo de disparo de 30◦, en régimen permanente de operación.
Figura 8.7: Corriente en la fase “a” para una carga RLE del puente trifásico
De la operación del puente rectiﬁcador se puede determinar la corriente media y efectiva de ope-
ración de los tiristores y la corriente efectiva sobre las fases del sistema alterno de alimentación.

Asumiendo, que el valor de inductancia de la carga garantiza que el cociente entre el valor medio
y efectivo de la corriente sobre esta, en régimen permanente de operación, este cercano a uno se
puede determinar estos valores como:
I0Tiristor =
1
3
I0 (8.2)
IrmsTiristor =
1
√
3
Io (8.3)
IrmsSistema =
2
3
I0 (8.4)
La potencia aparente entregada por el generador trifásico es:
ST =
√
3VllIrmsSistema (8.5)
Comercialmente los rectificadores poseen filtro pasabajos en el lado de corriente continua, en la
figura 8.8, se presenta la forma de onda típica de tensión línea a línea y corriente en la fase “a” de
un sistema de potencia que alimenta un rectificador trifásico no controlado (diodos) el cual posee
en la barra de corriente continua un filtro pasabajos (LC) para disminuir el rizado de la tensión
de continua sobre la carga. Adicionalmente en la figura 8.9, se presenta el contenido armónico
introducido al sistema por la operación de este puente convertidor.

Figura 8.8: Forma de onda de tensión y corriente en el sistema de alimentación del rectiﬁcador de
diodos

Figura 8.9: Contenido armónico introducido al sistema por la operación del rectificador de diodos
Si comparamos el contenido armónico de la corriente de la figura 8.7, que corresponde a la ope-
ración de un rectificador sin filtro pasabajos (LC) en la barra de corriente continua, con el de la
figura 8.9 el cual posee filtro, vemos como la utilización del filtro en el lado de continua incrementa
notoriamente el contenido armónico de la corriente en especial la 5ta y 7ma armónica.
8.5. Análisis de la Operación del Puente
La condición de operación del puente de seis pulsos puede ser analizada en régimen transitorio y
régimen permanente de operación. En esta sección se analizará el puente en régimen permanente
de operación.

200 8.5. Análisis de la Operación del Puente
Analizando el circuito de la ﬁgura 8.1 y considerando los Tiristores ideales, es decir que su tensión
de ruptura es cero, el rango de controlabilidad del puente esta determinado por aquello valores del
ángulo de encendido donde el tiristor se encuentre polarizado en directo (vak ≥ 0), garantizando
de esta forma la conducción de la componente, esto ocurre cuando la fuente de tensión sinusoidal
iguala y supera a la fuente de tensión continua (E) de la carga por lo cual el ángulo de encendido
mínimo es función de la magnitud de las fuentes sinusoidal y continua del circuito. El rango de
control del tiristor esta comprendido para este caso particular de fuente sinusoidal entre el ángulo
de disparo mínimo y máximo (αmin ≤ α ≤ αmax).
vf (t) ≥ E (8.6)
Sustituyendo la expresión de la fuente en la ecuación 8.6, se obtiene:
√
2V sen(ωt) ≥ E
sen(ωt) ≥ E√
2V
sen(α) ≥ E√
2V
α ≥ arcsen E√
2V
(8.7)
donde:
αmin = arcsen(m)
m =
E
√
2V
αmax = π −αmin
La expresión de la corriente en la carga en régimen permanente para α +π/3 ≤ ωt ≤ α +2π/3 y
considerando la condición inicial de corriente i tα+π/3 = Imin , viene dada por:

8.5.2. Solución Homogénea.
i(t)h = ke
− ωt
tan(ϕ) (8.8)
donde:
tan(ϕ) =
ωL
R
i(t)p = −
E
R
(8.9)
i(t)p =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ) (8.10)
donde:
Z = R2 +(ωL)2
i tα+π/3 = Imin
i tα+π/3 = Imin =
√
2V
Z sen α + π
3 −ϕ − E
R +ke
−
α+ π
3
tan(ϕ)
↓
k = Imin −
√
2V
Z sen α + π
3 −ϕ + E
R e
α+ π
3
tan(ϕ)
↓
i(t) =
√
2V
R + Imin −
√
2V
Z sen α + π
3 −ϕ + E
R e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ)
(8.11)

√
2V/Z tenemos:
i(t) =
√
2V
Z
sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
m
cos(ϕ)
−sen α +
π
3
−ϕ e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ) +Imine
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ)
(8.12)
donde:
m =
E
√
2V
cos(ϕ) =
R
Z
Como el puente se encuentra trabajando en régimen permanente, debe satisfacer la condición:
i(t) = i(t +T) (8.13)
Aplicando la condición de régimen permanente en el punto ﬁnal del intervalo se puede encontrar
el valor de la condición inicial de corriente (Imin).
i tα+2π/3 = Imin (8.14)
Imin =
√
2V
Z sen α + 2π
3 −ϕ − m
cos(ϕ) + m
cos(ϕ) −sen α + π
3 −ϕ e
−
(α+ 2π
3 −α− π
3 )
tan(ϕ)
+Imine
−
(α+ 2π
3 −α− π
3 )
tan(ϕ)
Imin 1−e
−
π
3
tan(ϕ) =
√
2V
Z sen α + 2π
3 −ϕ − m
cos(ϕ)
+
√
2V
Z
m
cos(ϕ) −sen α + π
3 −ϕ e
−
π
3
tan(ϕ)
Imin =
√
2V
Z

sen(α+2π
3 −ϕ)−sen(α+π
3 −ϕ)e
−
π
3
tan(ϕ)
1−e
−
π
3
tan(ϕ)

− E
R
(8.15)
Reemplazando la expresión (8.15) en la ecuación (8.12) y simpliﬁcando se obtiene la corriente total
como:

i(t) =
√
2V
Z

sen(ωt −ϕ)−
m
cos(ϕ)
+
sen(ϕ −α)
1−e
−
π
3
tan(ϕ)
e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ)

 (8.16)
capítulo 1.
V0 = 3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
√
2V sen(ωt)dωt
V0 = 3
π
√
2V −cos(ωt)|
α+2π
3
α+π
3
V0 = 3
√
2V
π cos α + π
3 −cos α + 2π
3
V0 = 3
√
2V
π cos(α)cos π
3 −sen(α)sen π
3 −cos(α)cos 2π
3 +sen(α)sen 2π
3
V0 = 3
√
2V
π
1
2 cos(α)−
√
3
2 sen(α)+ 1
2 cos(α)+
√
3
2 sen(α)
V0 = 3
√
2V
π cos(α)
V0 ≈ 1,35V cos(α)
(8.17)
I0 = 3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
i(t)dωt
I0 = 3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
√
2V
cos(ϕ) + sen(ϕ−α)
1−e
−
π
3
tan(ϕ)
e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ) dωt
I0 =
√
2V
Z
3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
sen(ωt −ϕ)− m
1−e
−
π
3
tan(ϕ)
e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ) dωt
I0 = V0−E
R
(8.18)

Vrms = 3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = 3V2
π
¡ α+2π
3
α+π
3
(1−cos(2ωt))dωt
Vrms = 3V2
π 1− sen(2ωt)
2
α+2π
3
α+π
3
Vrms = 3V2
π α + 2π
3 −α − π
3 −
sen(2(α+π
3 ))
2 +
sen(2(α+2π
3 ))
2
Vrms = V2
π π − sen(2α+2π)
2 + sen(2α)
2
Vrms =
√
2V 1
2 + 3
√
3
4π cos(2α)
(8.19)
Irms = 3
π
¡ α+2π
3
α+π
3
i(t)2dωt
Irms =
√
6V
Z
√
π


¡ α+2π
3
α+π
3
sen(ωt −ϕ)− m
1−e
−
π
3
tan(ϕ)
e
−
(ωt−α− π
3 )
tan(ϕ)
2
dωt


(8.20)
8.5.10. Simulación
1 % Puente rectificador Trifasico controlado
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tipo RLE
4
5
12 % Constantes
13 m=E/(sqrt (2)*V)
14 Z=sqrt(R^2+(2* pi*f*L)^2)

19 [alfa1 *180/pi, alfa2 *180/pi]
20
24 if alfa <alfa1 -pi/3
25 alfa=alfa1 -pi/3;
26 disp('angulo fuera del limite de controlabilidad se fija alfa_min ')
27 end
28
29 % Corriente Mínima
30 Imin=sqrt (2)*V/Z*((sin(alfa +2*pi/3-fi)-sin(alfa+pi/3-fi)*exp(-(pi/3)/
tan(fi)))/(1-exp(-(pi/3)/tan(fi))))-E/R
32 t=linspace(pi/3+alfa ,2*pi/3+alfa ,1000);
33 i=(sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)-m/cos(fi)+(sin(fi-alfa)/(1-exp(-(pi/3)/tan(
fi)))-sin(alfa+pi/3-fi))*exp(-(t-alfa -pi/3)/tan(fi))));
35
36 % Valores sobre la Carga
37 Io=(3/pi*trapz(t,i))
38 Irms=sqrt (3/pi*trapz(t,i.^2))
39 Vo =1.35*V*cos(alfa)
40 Vrms=sqrt (2)*V*sqrt (1/2+3* sqrt (3) /(4*pi)*cos(2* alfa))
41 % Potencia
42 PR=R*Irms^2
43 Po=E*Io
44
45
46
50
51 % Rizo

53
54 % Graficas
55 figure (1)
56 xp=length(t);
57 t1=linspace(alfa+pi/3,alfa+pi/3+2*pi ,6* length(t));
59 vx=[v,v,v,v,v,v];
60 ix=[i,i,i,i,i,i];
64 xlim([alfa+pi/3 2*pi+alfa+pi/3]);
65 set(gca ,'XTick',alfa+pi/3:pi/6:2*pi+alfa+pi/3);
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
67 %set(gca,'YTickLabel',' ')
71
72 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
81
82 ix=[zeros (1 ,1000),i,i,zeros (1 ,1000) ,-i,-i];
83 figure (3)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

92
93 %Potencias en la fuente
94 Irms_fuente=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t1,ix.^2))
95 S=sqrt (3)*V*Irms_fuente
96 fp=(PR+Po)/S
8.6. Manejador de Disparo de los SCR
En la figura 8.10, se presenta el esquema de un manejador de disparo para los tiristores que com-
ponen el puente. Este manejador se basa en tomar una muestra de la tensión de alimentación del
rectificador, detectar los cruces por cero de la señal a fin de sincronizar los disparos del SCR, a par-
tir de esta referencia un multiplicador de frecuencia genera seis ondas con un tercio de la frecuencia
original. Por otra parte un generador de funciones determina, para el valor de la tensión de corriente
continua de referencia y con la limitación del ángulo máximo de disparo, el valor α que satisface
el valor de referencia de continua bajo la premisa que la onda de alimentación de rectificador es
puramente sinusoidal. Con la tensión de referencia, al ángulo de disparo y las seis ondas de un
tercio de la frecuencia, se alimenta un circuito retardador el cual genera un pulso de disparo para
cada uno de los tiristores que conforman el puente de acuerdo a su orden de encendido, este pulso
se amplifica y se envía a los gate de cada tiristor. El esquema para un puente monofásico es similar
con la diferencia que el multiplicador de frecuencia genera dos ondas a la mitad de la frecuencia de
la referencia.
Figura 8.10: Manejador de disparo para tiristores

208 8.7. Ejemplos
8.7. Ejemplos
8.7.1. Puente Rectificador de Diodos con Carga RL
En la figura 8.11, se presenta el puente rectificador trifásico de onda completa no controlado con
carga resistiva inductiva. Este convertidor es un caso particular del puente rectificador trifásico
controlado analizado en la sección 8.5, donde:
E = 0
α = 0
(8.21)
Figura 8.11: Puente rectificador trifásico con carga RL
Corriente en régimen permanente para π
3 ≤ ωt ≤ 2π
3 :
i(t) =
√
2V
Z

sen(ωt −ϕ)+
sen(ϕ −α)
1−e
−
π
3
tan(ϕ)
e
−
(ωt− π
3 )
tan(ϕ)

 (8.22)
Tensión Media
V0 = 3
π
¡ 2π
3
π
3
√
2V sen(ωt)dωet = 3
√
2V
π ≈ 1,35V (8.23)
Corriente Media
I0 = V0
R = 3
√
2V
πR ≈ 1,35V
R
(8.24)
Tensión Efectiva
Vrms = 3
π
¡ 2π
3
π
3
√
2V sen(ωt)
2
dωt =
√
2V 1
2 + 3
√
3
4π
(8.25)
Corriente Efectiva
Irms = 3
π
¡ 2π
3
π
3
i(t)2dωet (8.26)

8.7.2. Puente Rectificador de Diodos con Carga RC
En la figura 8.12, se presenta en puente rectificador de onda completa trifásico con carga del tipo
resistiva capacitiva (RC). El puente esta alimentado por una fuente alterna de forma sinusoidal
(vab(t) =
√
2V sen(ωt)).
Figura 8.12: Puente rectificador trifásico con carga RC
Analizando en puente rectificador de onda completa de la figura 8.12, se obtiene:
i(t) = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(8.27)
Tensión en el intervalo: α + π
3 ≤ ωt ≤ β
vcarga(t) = vab(t) =
√
2V sen(ωt) (8.28)
i(t) =
√
2V
R
Definiendo:
q = ωCR (8.30)
i(t) =
√
2V
R

210 8.7. Ejemplos
i
β
ω
= 0 =
√
2V
R
·(q·cos(β)+sen(β)) (8.32)
encuentra π
β = π −arctan(q) (8.33)
el diodo se apaga β ≤ ωt ≤ α + 2π
3 .
i(t) = 0 = C ·
dvcarga
dt
+
vcarga
R
(8.34)
vcarga(t) =
√
2V sen(β)e−
(ωt−β)
q (8.35)
Para encontrar el ángulo de encendido (α) se igual la tensión en la carga en α + 2π
3 :
√
2V sen(β)e−
(α+ 2π
3 −β)
q = −
√
2V sen α +
2π
3
−
4π
3
(8.36)
V0 =
3
√
2V
π
cos α +
π
3
−cos(β)+q·sen(β)· 1−e−
(π
3 +α−β)
q (8.37)

Figura 8.13: Tensión en la carga RC
Figura 8.14: Corriente en la carga RC

212 8.7. Ejemplos
Figura 8.15: Corriente en la fase “a” para una carga RC del puente trifásico
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RC
4
6 V=input('Tension efectiva línea a línea de la fuente sinusoidal ');
9 f=60; %input('Frecuencia de la fuente [Hz] ');
10
11
12 % Parámetros
13 q=2*pi*f*R*C;
15 b=pi-atan(q)
17 a=fsolve(@(t) sin(b)*exp(-(-b+t+2*pi/3)/q)+sin(t+2*pi/3-4*pi/3)
,[0.001])
18
20 t1=linspace(a+pi/3,b,500);

23 t2=linspace(b,a+2*pi/3 ,500);
26 t=[t1,t2];
27 v=[v1,v2];
28 i=[i1,i2];
29 gama=b-a
30
31 % Valores Medios
33 Vo=3/(pi)*trapz(t,v)
34
35
39
43
45 Dv=(sqrt (2)*V-sqrt (2)*sin(b)*V)/2
46
47
48 % Graficas
49 figure (1)
50 xp=length(t);
51 alfa=a;
52 t1=linspace(alfa+pi/3,alfa+pi/3+2*pi ,6* length(t));
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

214 8.7. Ejemplos
66
67 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
76
78 figure (3)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
87
88 %Potencias en la fuente
89 Irms_fuente=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t1,ix.^2))
90 S=sqrt (3)*V*Irms_fuente
8.7.3. Puente Rectificador de Diodos con filtro LC y Carga RL
En la figura 8.16, se presenta el puente rectificador trifásico de onda completa no controlado con
filtro LC en la barra de corriente continua y carga resistiva inductiva.

Figura 8.16: Puente rectificador trifásico con filtro LC y carga RL
Para analizar el convertidor de la figura 8.16, se utilizara la técnica de resolución de circuitos
mediante series de Fourier. La forma de onda de la tensión vrec en los bornes del filtro se muestra
en la figura 8.17, esta tensión se puede representar como series de Fourier como:
vrec(t) =
v0
2
+ℜe
∞
∑
n=1
vne−jn2π
T t
(8.38)
donde:
vn =
3
π
¢ 2π
3
π
3
√
2V sen(ωt)ej6nωt
dωt (8.39)
Figura 8.17: Forma de onda de tensión en la barra DC vrec
Calculando vn de la expresión (8.39), se obtiene:

216 8.7. Ejemplos
vn =
3
π
¢ 2π
3
π
3
√
2V
2 j
ejωt
−e−jωt
ej6nωt
dωt
=
3
√
2
π
·V ·
¢ 2π
3
π
3
ej(6n+1)ωt
−ej(6n−1)ωt
dωt
=
3
√
2
π
·V ·
ej(6n−1)ωt
6n−1
−
ej(6n+1)ωt
6n+1
2π
3
π
3
(8.40)
=
3
√
2V
π
·
ej(6n−1)2π
3 −ej(6n−1)π
3
6n−1
−
ej(6n+1)2π
3 −ej(6n+1)π
3
6n+1
∀ n
Para calcular la corriente i(t) suministrada por el rectificador al filtro se utiliza el cálculo de la serie
de Fourier de corriente a partir de la tensión.
i(t) =
vo
2R
+ℜe
∞
∑
n=1
vn
Zn
e−jn2π
T t
(8.41)
donde:
Zn = (R+ jnωL)
1
jωCfiltro
+ jωLfiltro (8.42)
Zn = jωLfiltro +
R+ jnωL
jRCfiltronω −(nω)2
LCfiltro +1
∀ n = 0,1,2,···
La tensión sobre la carga (vcarga(t)) se puede calcular a partir de la serie de Fourier de tensión en el
rectificador (vrec(t)) utilizando divisor de tensión como:
vcarga(t) =
vo
2
+ℜe
∞
∑
n=1
vn ·Z1ne−jn2π
T t
(8.43)
donde:
Z1n =
(R+ jnωL) 1
jωCfiltro
Zn
(8.44)
A partir de la serie de Fourier de tensión sobre la carga de la expresión (8.43), dividiendo sobre la
impedancia armónica de la carga (Zcarga = R + jnωL) se puede obtener la serie de Fourier de la
corriente por la carga.

icarga(t) =
vo
2R
+ℜe
∞
∑
n=1
vn ·
Z1n
Zcarga
e−jn2π
T t
(8.45)
En la figura 8.18, se presenta la corriente i(t), icarga(t) e if (t) para el puente de la figura 8.16, con
R = 50Ω, L = 15mH, Lfiltro = 100mH, Cfiltro = 200µF y una tensión efectiva de 208V a 60Hz.
En la figura 8.19, se presenta la tensión en la carga RL.
(a) Filtro (i(t)) (b) Carga (icarga(t)) (c) Fuente (ia(t))
Figura 8.18: Corrientes en el rectificador con filtro LC
Figura 8.19: Tensión en la carga
2 % vf (t) = (2)∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RL con filtro LC
4 clear

218 8.7. Ejemplos
8 L2=input('Inductancia de carga [H] ');
10 C=input('Capacitancia del filtro [F] ');
11 f=60; %input('Frecuencia de la fuente [Hz] ');
12 w=2*pi*f;
13
14 % Coeficientes serie de Fourier Tensión
15 n=0:49;
16 for i=1: length(n)
17 cn(i)=3* sqrt (2)*V/pi *(1/(6*n(i) -1)*(exp(j*(6*n(i) -1)*2*pi/3)-exp(j
*(6*n(i) -1)*pi/3)) -1/(6*n(i)+1)*(exp(j*(6*n(i)+1)*2*pi/3)-exp(j
*(6*n(i)+1)*pi/3)));
18 end
19 cn(1)=cn(1)/2;
20
21
22 % Valores Medios
23 Vo=cn(1)
24 Io=Vo/R
25
26 % Armonicas
27 n=1:49;
28 ln=length(n);
29 t=linspace(pi/(3*w) ,2*pi/(3*w) ,1000);
30 T=(t(length(t))-t(1));
31 vrec (1,:)=Vo*ones(size(t));
32 is(1,:)=Io*ones(size(t));
33 vr(1,:)=Vo*ones(size(t));
34 ic(1,:)=Io*ones(size(t));
35
36 for i=1:ln
37 s=j*n(i)*w;
38 % Filtro LC Caga RL
39 Zs=((s^2*C*L+1)*R+(s^3*C*L+s)*L2+s*L)/(s*C*R+s^2*C*L2+1);
40 Z1=(R+s*L2)/((s^2*C*L+1)*R+(s^3*C*L+s)*L2+s*L);
41 Zc=R+s*L;
42
43 vrec(i+1,:)=real(cn(i+1)*exp(-j*2*pi/T*n(i)*t));

44 is(i+1,:)=real(cn(i+1)/Zs*exp(-j*2*pi/T*n(i)*t));
45 vr(i+1,:)=real(cn(i+1)*Z1*exp(-j*2*pi/T*n(i)*t));
46 ic(i+1,:)=real(cn(i+1)*Z1/Zc*exp(-j*2*pi/T*n(i)*t));
47 end
48
49 % Sumatoria
50 i=sum(is);
51 v=sum(vrec);
52 vcarga=sum(vr);
53 icarga=sum(ic);
54 t=t*w;
55
56 % Valores medios en la carga
57 Vo_carga =3/pi*trapz(t,vcarga);
58 Io_carga =3/pi*trapz(t,icarga)
59
60 % Rizo
61 Rizoi_rec =0.5*( max(i)-min(i))
62 Rizov_carga =0.5*( max(vcarga)-min(vcarga))
63 Rizoi_carga =0.5*( max(icarga)-min(icarga))
64 %
66 Irms_rec=sqrt (3/(pi)*trapz(t,i.^2))
67 Vrms_rec=sqrt (3/(pi)*trapz(t,v.^2))
68 Vrms_carga=sqrt (3/(pi)*trapz(t,vcarga .^2))
69 Irms_carga=sqrt (3/(pi)*trapz(t,icarga .^2))
70 %
71 % Potencia
72 S=sqrt (3)*V*Irms_rec % Fuente
73 Pcarga=Irms_carga ^2*R
74 fp=( Pcarga)/S
75 %
77 FR_i_rec=sqrt(Irms_rec^2-Io_carga ^2)/Io
78 FR_v_rec=sqrt(Vrms_rec^2-Vo_carga ^2)/Vo
79 FR_v_carga=sqrt(Vrms_carga ^2-Vo_carga ^2)/Vo_carga
80 FR_i_carga=sqrt(Irms_carga ^2-Io_carga ^2)/Io_carga
81 %
82
83 % Graficas

220 8.7. Ejemplos
84 figure (1) % Tensión en el filtro
85 xp=length(t);
86 t1=linspace(pi/3,pi/3+2*pi ,6* length(t));
91 legend('Fuente ','Carga','Location ','Best');
93 xlim([pi/3 2*pi+pi/3]);
94 set(gca ,'XTick',pi/3:pi/6:2*pi+pi/3);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
98 ylabel('Tensión (v)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
100
101 figure (2) % Corriente en el filtro
103 xlim([pi/3 2*pi+pi/3]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
110
112 figure (3) % Corriente en la fase .a"
114 xlim([pi/3 2*pi+pi/3]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})

121
122 % Primera Armónica en la fase .a"
124
125 % THD en corriente Fase .a"
126 THDi_f=sqrt(Irms_rec^2-Irms_f_1 ^2)/Irms_f_1
127
128 v=vcarga;
129 i=icarga;
130 vx=[v,v,v,v,v,v];
131 ix=[i,i,i,i,i,i];
132 figure (4) %Tensión en la carga
134 legend('Fuente ','Carga','Location ','Best');
136 xlim([pi/3 2*pi+pi/3]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
143
144 figure (5) % Cooriente en la carga
146 xlim([pi/3 2*pi+pi/3]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})

222 8.8. Ejercicios
8.8. Ejercicios
1. Se utiliza un generador de Vl−l = 480V a 60Hz para alimentar a un rectificador trifásico no
controlado. La carga RL es de 120Ω en serie con 35mH. Determine: La corriente media y
eficaz de la carga y diodos. La corriente eficaz del generador y el factor de potencia.
2. Se tiene un rectificador trifásico controlado con lazo de control PI que mantiene la tensión
de continua sobre la carga constante. Por una falla del sistema eléctrico el fusible de la fase
“a” se quema abriendo esta fase (No puede circular corriente por esta fase). Determine si
el puente es capaz de seguir operando y en que rango de tensiones se puede mantener la
operación del puente. En esta condición comente que impacto tendrá sobre la carga y el
sistema la falla en la alimentación del puente.
3. Se utiliza un generador de 380V efectivos línea a línea a 50Hz para alimentar a un rectifica-
dor trifásico controlado con un ángulo de disparo de 0,5236rad. El rectificador alimenta una
carga RL serie de 90Ω y 150mH. Determine:
a) La corriente media y eficaz de la carga.
b) La corriente media y eficaz de los diodos.
c) La corriente eficaz del generador.
d) El factor de potencia en el generador.
e) Potencia disipada por la carga.
f) Determine el valor de inductancia L adicional para que el factor de rizado sea menor
del 2% de la corriente de la carga.
4. Se utiliza un generador de 416V efectivos línea a línea para alimentar un rectificador trifásico
controlado. El ángulo de disparo es de 35◦ y la carga es RL de 50Ω y 50mH. Determine:
a) La corriente media por la carga.
b) La amplitud de la sexta armónica de corriente.
c) La corriente efectiva por las líneas del generador
5. Para el puente de la figura 8.20 determine las expresiones de corriente en régimen permanen-
te, condición de operación, límite de controlabilidad, tensión y corriente media y efectiva.

6. Explique las ventajas y desventajas de un rectificador de 12 pulsos al compararlo con un
rectificador monofásico o trifásico de onda completa.
7. Para el puente de la figura 8.21 determine las expresiones de corriente en régimen permanen-
te, condición de operación, límite de controlabilidad, tensión y corriente media y efectiva.

Capítulo 9
Efecto de la Inductancia del Generador en
los Rectificadores
En este capítulo se analizara el efecto sobre la tensión de la carga que produce considerar la induc-
tancia de la fuente sobre los rectificadores de media onda, monofásicos y trifásicos. Esta inductan-
cia se debe al hecho de considerar la fuente no ideal, para este caso donde se analizan los sistemas
de potencia, el parámetro de mayor importancia del modelo de la fuente es su inductancia asocia-
da. Adicionalmente, si consideramos el modelo Thévening del sistema para evaluar el impacto del
rectificador sobre el sistema de potencia, este esta representado por una fuente y una reactancia.
La mayoría de los rectificadores no controlados y controlados son alimentados por un transforma-
dor que adecua el nivel de tensión a los requerimientos de la carga. En la figura 9.1, se presenta el
modelo ”Γ” del transformador obtenido mediante las pruebas de cortocircuito y vacío.
Figura 9.1: Modelo ”Γ” del transformador
En sistemas de potencia debido a que la corriente consumida por la rama de magnetización es menor
al 1% de la nominal del transformador se tiende a despreciar su efecto el cual no repercute noto-
225

226 9.2. Rectificador de Media Onda
riamente sobre su punto de operación. Adicionalmente, la resistencia de la rama de cortocircuito
se tiende a despreciar debido a que su valor es mucho menor que la reactancia. Esta aproximación
del modelo del transformador en sistemas de potencia es utilizada para los cálculos de nivel de
cortocircuito, estabilidad y flujo de carga. El fabricante del transformador suministra el valor de la
reactancia de cortocircuito en la placa de identificación del convertidor electromecánico. El valor
de la reactancia es suministrado en porcentaje (%) o por unidad (p.u.) de la base de impedancia
del transformador (Zbase). Este valor en transformadores de potencia oscila ente un 6% y 12% de
la base de impedancia del transformador.
Z[Ω] =
X[%] ·Zbase
100
= X[p.u.] ·Zbase (9.1)
donde:
Zbase =
V2
n
ST
(9.2)
Por otra parte los conductores que premien acoplar el rectificador a la fuente de poder o al transfor-
mador, poseen una inductancia la cual se puede estimar a partir del calibre y distancia del conductor
o ser asumida para los sistemas de baja tensión (< 600V) en 0,1 µH
m por fase.
9.2. Rectificador de Media Onda
En la figura 9.2, se presenta el esquema del rectificador de media onda con diodo de descarga libre
con carga resistiva inductiva. El valor de la inductancia de la carga (L) garantiza que el cociente
entre la corriente media y efectiva tiende a la unidad, es decir Io/Irms ≈ 1. La tensión de alimentación
del circuito es vf (t) =
√
2V sen(ωt).
Figura 9.2: Rectificador de media onda

En la ﬁgura 9.3, se presenta la forma de onda dela corriente por la carga y los diodos D1 y D2 en
régimen permanente. En la ﬁgura 9.4 se muestra la forma de onda de tensión sobre la carga.
(a) Carga (b) Diodos
Figura 9.3: Forma de onda de corriente
Figura 9.4: Forma de onda de tensión sobre la carga
9.2.1. Análisis del proceso de conmutación
Durante el proceso de conmutación ambos diodos D1 y D2 se encuentran encendidos, esta con-
dición se mantiene hasta que la corriente por el diodo que este conmutando pase por cero. Para
estudiar el fenómeno de conmutación, se analizará t = 0 donde el diodo D1 está en el proceso de

encendido y D2 en apagado. Con ambos diodos encendidos se produce un cortocircuito en la fuente
y la corriente en esta viene dada por la expresión:
vf (t) = Lσ
diD1
dt
¢ ωt
o
diD1 =
¢ ωt
0
√
2V
ωLσ
sen(ωt)dωt (9.3)
iD1(t) =
√
2V
ωLσ
(1−cos(ωt))+iD1(0)
La corriente en el diodo D2 se puede calcular como:
iD2(t) = i(t)−iD1(t)
= Io −
√
2V
ωLσ
(1−cos(ωt))+¨
¨¨¨B0
iD1(0) (9.4)
Al ﬁnalizar el tiempo de conmutación (tµ) el diodo D1 está encendido y asume la totalidad de la
corriente por la carga, es decir iD1 tµ = I0 y la corriente en el diodo D2 es cero. Evaluando la
expresión (9.4) en el ángulo de conmutación µ = ωtµ, se obtiene:
iD2 tµ = Io −
√
2V
ωLσ
(1−cos(µ)) ⇒ cos(µ) = 1−
I0ωLσ
√
2V
µ = arccos 1−
I0ωLσ
√
2V
(9.5)
La tensión media sobre la carga al considerar la conmutación, se obtiene como:
Vo =
1
2π
¢ π
µ
√
2V sen(ωt)dωt
=
√
2V
2π
(cos(µ)−cos(π)) (9.6)
=
√
2V
2π
(cos(µ)+1)
Sustituyendo el valor de cos(µ) de la expresión (9.5) en la ecuación de tensión media (9.6), se
obtiene:

Vo =
√
2V
π
1−
IoωLσ
2
√
2V
(9.7)
=
√
2V
π
−
IoωLσ
2π
9.2.2. Corriente en la carga
La corriente i(t) por la carga en régimen permanente se puede calcular como:
Para 0 ≤ ωt ≤ π :
i(t) =
√
2V
Z1
sen(ωt −ϕ1)+sen(ϕ1)e
− ωt
tan(ϕ1)
+I02πe
− ωt
tan(ϕ1)
(9.8)
donde:
Z1 = R2 +(ω(Lσ +L))2
ϕ1 = arctan
ω(Lσ +L)
R
Para π ≤ ωt ≤ 2π :
i(t) = Ioπe
− ωt−π
tan(ϕ) (9.9)
donde:
ϕ = arctan
ωL
R
Corriente Ioπ e I02π:
I02π =
√
2V
Z1
sen(ϕ1) 1+e
− π
tan(ϕ1)
e
π
tan(ϕ1)
−e
− π
tan(ϕ1)
(9.10)
Ioπ = I02πe
π
tan(ϕ1)
(9.11)

9.2.3. Simulación
1 % Programa para Diodo de descarga libre con fuente de la forma
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tip RL
4
8 L=input('Inductancia de la carga [H] ');
9 Ls=input('Inductancia de la fuente [H] ');
11
12 % Parámetros
13 fi=atan (2*pi*f*(L+Ls)/R);
14 Z=sqrt ((2*pi*f*(L+Ls))^2+R^2);
15 Io=sqrt (2)*V/(pi*R)
16
17 mu=acos(1-Io*2*pi*Ls/(sqrt (2)*V))
18 t1=linspace(0,mu ,100);
19 id1_0=sqrt (2)*V/(2*pi*Ls)*(1-cos(t1));
20 id2_0=Io-id1_0;
21 t2=linspace(mu,pi ,400);
22 id1_1=Io*ones(size(t2));
23 id2_1=Io*zeros(size(t2));
24 t3=linspace(pi,pi+mu ,100);
25 id1_2=Io+sqrt (2)*V/(2*pi*Ls)*(cos(pi)-cos(t3));
26 id2_2=Io-id1_2;
27 t4=linspace(mu+pi ,2*pi ,400);
28 id1_3=Io*zeros(size(t2));
29 id2_3=Io*ones(size(t2));
30 t=[t1,t2,t3,t4];
31 id1=[id1_0 ,id1_1 ,id1_2 ,id1_3];
32 id2=[id2_0 ,id2_1 ,id2_2 ,id2_3];
33 v=[zeros(size(t1)),sqrt (2)*V*sin(t2),zeros(size(t3)),zeros(size(t4))
];
34
35 % Tensión media y efectiva

38
42 %
43
44
45 % Graficas
46 figure (1)
48 ix=[id1 ,id2];
49 plot(t,vf,'-.',t,v,'r','LineWidth ' ,2);grid
52 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
58
59 figure (2)
60 subplot (2,1,1)
61 plot(t,id1 ,'LineWidth ' ,2);grid
62 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
69 legend('i_d_1')
70 subplot (2,1,2)
71 plot(t,id2 ,'LineWidth ' ,2);grid
72 xlim ([0 2*pi]);

232 9.3. Rectificador Monofásico
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
79 legend('i_d_2')
80
81 figure (5)
82 % Gráficas
83 plot(t,id1 ,t,id2 ,'-.r','LineWidth ' ,2);grid
84 legend('i_d_1','i_d_2')
86 xlim ([0 2*pi]);
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
9.3. Rectificador Monofásico
En la figura 9.5, se presenta el esquema de un rectificador no controlado monofásico con carga
resistiva inductiva y una inductancia de fuente . El valor de la inductancia de la carga garantiza que
el cociente entre la corriente media y efectiva de la carga sea tendiente a la unidad.
Figura 9.5: Puente rectificador monofásico con inductancia en la fuente
La inductancia de la fuente origina que al cambiar la polaridad de la tensión del generador, la
corriente del mismo no podrá cambiar instantáneamente y deberá ser transferida paulatinamente

entre los diodos D1, D3 y D2, D4. El periodo de tiempo durante el cual se realiza el proceso de
transferencia de corriente entre los dos pares de diodos se denomina intervalo de conmutación y es
denotado con la letra ”µ”. Durante el proceso de conmutación los cuatros diodos que conforman
el rectificador permanecen encendidos originando dos cortocircuitos, uno a nivel de la carga de la
barra de continua y otro a nivel de la fuente. La corriente de cortocircuito de la fuente es únicamente
limitada por la inductancia Lσ .
En la figura 9.6, se presenta el oscilo grama de tensión en la barra de corriente continua y la corriente
por el diodo número 1 y de la fuente de alterna, destacando el intervalo de conmutación del puente.
Figura 9.6: Tensión en la barra de continua y corriente durante el proceso de conmutación
En la figura 9.6, se puede observar que durante la conmutación la tensión en la barra de corriente
continua cae a cero disminuyendo el valor de tensión media obtenida del rectificador.

9.3.1. Análisis del Proceso de Conmutación
Supongamos que el puente de la figura 9.5, se alimenta de una fuente de tensión sinusoidal de la
forma vf (t) =
√
2V sen(ωt) y que la corriente en la carga es constante y de valor I0. La condición
inicial de corriente en la inductancia de la fuente Lσ y en la fuente durante la conmutación de los
diodos D1, D3 a D2, D4 es +I0 y llega a −I0 transcurrido el tiempo de conmutación. El interva-
lo de conmutación comienza cuando cambia la polaridad de la fuente para t = T/2. Durante la
conmutación la corriente en la fuente viene dada por la siguiente expresión:
if (t) = 1
ωLσ
¡ ωt
π
√
2V sen(ωt)dωt +I0
if (t) =
√
2V
ωLσ
−cos(ωt)|ωt
π +I0
if (t) = −
√
2V
ωLσ
(1+cos(ωt))+I0
(9.12)
Evaluando la expresión (9.12) al finalizar el intervalo de conmutación (ωt = π + µ) y despejando
el ángulo de conmutación µ, se obtiene:
if tπ+µ = −I0 = −
√
2V
ωLσ
(1+cos(π + µ))+I0
cos(π + µ) = 1− 2I0ωLσ√
2V
µ = arccos 1− 2I0ωLσ√
2V
= arccos 1− 2I0Xσ√
2V
(9.13)
Donde:
Xσ = ωLσ
En esta condición de operación del puente rectificador, si evaluamos la tensión media sobre la carga
se obtiene:
V0 = 1
π
¡ π
µ
√
2V sen(ωt)dωt
V0 =
√
2V
π (cos(µ)−cos(π))
V0 =
√
2V
π (1+cos(µ))
(9.14)
Sustituyendo el resultado de la expresión (9.13) en la ecuación (9.14), se obtiene:
V0 =
√
2V
π 2− 2I0Xσ√
2V
V0 ≈ 0,9V − 2IoXσ
π
(9.15)
Por la tanto la inductancia de la fuente reduce la tensión media en la barra de corriente continua del
puente rectificador de onda completa.

9.3.2. Simulación
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Carga tipo RLE considerando la inductancia de fuente
4
8 Lc=input('Inductancia [H] ');
9 Lf=input('Inductancia de la fuente [H] ');
12
13 % Constantes
14 L=Lc+Lf;
15 m=E/(sqrt (2)*V)
16 Z=sqrt(R^2+(2* pi*f*L)^2)
21 [alfa1 *180/pi, alfa2 *180/pi]
22
26
27 % Limite de controlabilidad
28 if (alfa1 >alfa)| (alfa >alfa2)
29 disp('El ángulo de disparo está fuera del límite de contrabilidad
se fijo en alfa minimo ');
30 alfa=alfa1;
31 end
32
33
34 % Cálculo del beta
35 b=fsolve(@(t) sin(t-fi)-m/cos(fi)+(m/cos(fi)-sin(alfa -fi))*exp(-(t-
alfa)/tan(fi)),[pi])
36 g=b-alfa; % Angulo de Conducción

37 a=alfa;
38 Im=sqrt (2)*V/Z*sin(fi-a)*((1+ exp(-pi/tan(fi)))/(1-exp(-pi/tan(fi))))-
E/R;
39
40 if Im <0
41 disp('El puente esta trabajando en condición no continuada ')
42
tan(fi))));
47
48 tdes=linspace(b,pi+a,300);
49 t=[t,tdes];
50
51 v=[v,E*ones(size(tdes))];
52 i=[i,zeros(size(tdes))];
53 is=i;
54
55 else
56
57 disp('El puente esta trabajando en condición continuada ')
58 Im
59 % Funciones en el Tiempo
60
61 mu=fsolve(@(t) sqrt (2)*V/(2*pi*Lf)*(cos(a)-cos(t))-Im-sqrt (2)*V/Z*(
sin(t-fi)-m/cos(fi) -(2*sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi)))/(1-exp(-pi
/tan(fi)))),[a+0.001])
62 t1=linspace(a,mu ,500);
63 i1=sqrt (2)*V/Z*(sin(t1-fi)-m/cos(fi) -(2*sin(a-fi)*exp(-(t1-a)/tan(
fi)))/(1-exp(-pi/tan(fi))));
64 is1=sqrt (2)*V/(2*pi*Lf)*(cos(a)-cos(t1))-Im;
65 v1=zeros(size(t1));
66 t2=linspace(mu,a+pi ,1000);
67 i2=sqrt (2)*V/Z*(sin(t2-fi)-m/cos(fi) -(2*sin(a-fi)*exp(-(t2-a)/tan(
fi)))/(1-exp(-pi/tan(fi))));
68 is2=i2;
70 i=[i1,i2];

71 is=[is1 ,is2];
72 v=[v1,v2];
73 t=[t1,t2];
74
75
76 end
77
78 % Valores Medios
81
82 % Rizo
84
88
89 % Potencia
91 Pe=E*Io
92 Pr=R*Irms^2
93 fp=(Pe+Pr)/S
94
98
102
103 % THD
106
107 % Graficas
108 figure (1)
109 clf
110 t1=[t,t+pi];

112 vx=[v,v];
113 ix=[i,i];
119 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
121 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
123 end
124
129
130 figure (2)
135 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
137 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
139 end
143
144 ix=[is,-is];
145 figure (3)

150 if alfa ~=0
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
152 else
/12','2T/3','3T/4','5T/6','11T/12','T'})
154 end
158
161
162 % THD
9.4. Rectificador Trifásico
En la figura 9.7, se presenta el esquema del rectificador trifásico no controlado con inductancia en
la fuente. Para el análisis del efecto de la inductancia de la fuente sobre el valor medio de la tensión
sobre la barra de corriente continua, supondremos que el cociente entre el valor medio y efectivo
de la corriente en la carga tiende a la unidad.
Figura 9.7: Esquema del puente rectificador trifásico no controlado con inductancia en la fuente

240 9.4. Rectificador Trifásico
9.4.1. Análisis del Proceso de Conmutación
Para el análisis del puente durante el proceso de conmutación supondremos que los diodos D1 y
D2 se encuentran encendidos y se produce una conmutación o transición de corriente entre las
componentes D1 y D3 en la mitad superior del puente en t = π/ω. En la figura 9.8, se presenta el
circuito equivalente del puente rectificador cuando se produce la conmutación de los diodos D1 y
D3.
Figura 9.8: Circuito equivalente del puente rectificador para la conmutación de los diodos D1 y D3
Del circuito de la figura 9.8, se obtiene:
ia(t) = iu(t)
ib(t) = I0 −iu(t)
ic(t) = −I0
(9.16)
Calculando la corriente en el cortocircuito (iu(t)), producida por la conducción de los diodos D1 y
D3, se obtiene:
van(t)−Lσ
diu(t)
dt +Lσ
d
dt (I0 −iu(t))−vbn(t) = 0
Lσ
diu(t)
dt = van(t)−vbn(t)
2 = vab(t)
2
iu(t) = 1
ωLσ
¡ t
π
vab(τ)
2 dωt +iu
π
ω
(9.17)
En la condición de conmutación estudiada, la corriente inicial por la inductancia de la fuente (Lσ )
en t = π/ω de la fase “a” es I0 y esta disminuye a cero al finalizar el proceso de conmutación en
t = π+µ
ω . Calculando la corriente ia
π+µ
ω , se obtiene:
ia
π + µ
ω
=
√
2V
2ωLσ
(−1−cos(π + µ))+I0 = 0 (9.18)
Despejando el ángulo de conmutación (µ) de la expresión 9.18, se obtiene:

1−cos(µ) = 2ωLσ I0√
2V
⇓
µ = arccos 1− 2ωLσ I0√
2V
= arccos 1− 2Xσ I0√
2V
(9.19)
Calculando la tensión sobre la carga (vcarga(t)) durante el periodo se conmutación del circuito de
la ﬁgura 9.8, se obtiene:
van(t) = Lσ
diu(t)
dt +vcarga(t)+Lσ
dI0
dt +vcn(t)
⇓
vcarga(t) = van(t)−vcn(t)−Lσ
diu(t)
dt
(9.20)
Reemplazando el valor de Lσ
diu(t)
dt de la expresión (9.17) en la (9.20), se obtiene:
vcarga(t) = van(t)−vcn(t)− van(t)−vbn(t)
2 = van(t)+vbn(t)
2 −vcn(t)
vcarga(t) = vac(t)+vbc(t)
2
(9.21)
En al ﬁgura 9.9, se presenta el oscilograma de tensión sobre la barra de corriente continua y la
corriente por los diodos D1 y D3 durante el proceso de conmutación.

242 9.4. Rectiﬁcador Trifásico
Figura 9.9: Tensión en la barra de corriente continua y corriente por los diodos D1 y D3
Calculando la caída de tensión (∆v) durante el proceso de conmutación, se obtiene:
∆v = vbc(t)−vcarga(t) = vbc(t)−
vac(t)+vbc(t)
2
= −
vab(t)
2
(9.22)
Calculando el valor medio de la caída de tensión en el periodo de conducción del puente, se obtiene:
∆V =
3
π
¢ π+µ
π
−
√
2V
2
sen(ωt)dωt =
3
√
2V
2π
(1−cos(µ)) (9.23)
Reemplazando el resultado del la expresión (9.19) en la (9.23), se obtiene la caída de tensión media
del puente como:

∆V =
3
π
ωLσ I0 =
3
π
Xσ I0 (9.24)
Calculando la tensión media de la carga en un periodo de conducción del puente, a partir de la
forma de onda de la figura 9.9 obtenemos:
V0 =
3
π
√
2V −Xσ I0 ≈ 1,35V −
3
π
Xσ I0 (9.25)
La caída de tensión producto de la inductancia de la fuente, en rectificadores monofásicos y trifási-
cos en análoga si los puentes son controlados.
9.5. Impacto del Rectificador sobre el Sistema Alterno
El proceso de conmutación, producto de la inductancia de fuente se refleja en el lado de corriente
continua como una caída de tensión sobre la carga DC, mientras que en el lado de corriente alterna
se ve como una caída de tensión en los bornes del rectificador, esta caída se denomina "Line Not-
ching" o "Muesca" y es producto del cortocircuito transitorio en el sistema de corriente alterna a
través de los dispositivos semiconductores que están en proceso de conmutación. Este fenómeno
distorsiona la tensión a la entrada del rectificador como podemos apreciar a continuación.
9.5.1. Puente Monofásico Controlado
En la figura 9.10, se presenta la forma de onda de tensión en la carga y en bornes de entrada de un
rectificador monofásico controlado para una carga activa de R = 100Ω, L = 223mH y E = 30V ,
alimentada desde un sistema monofásico sinusoidal da de tensión efectiva V = 120V a 60Hz. El
ángulo de disparo del puente es de α = 30◦. La fuente se acopla al puente mediante línea resistiva
inductiva de Rf = 0,1Ω y Lf = 10mH.

244 9.5. Impacto del Rectificador sobre el Sistema Alterno
Figura 9.10: Tensión en la carga y bornes de un rectificador monofásico con fuente no ideal
En la figura 9.11, se muestra el detalle de la caída de tensión en bornes del rectificador y en la carga
debido al proceso de conmutación debido a la resistencia e inductancia de la fuente.
Figura 9.11: Tensión en la carga y bornes de un rectificador monofásico con fuente no ideal "deta-
lle"

9.5.2. Puente Trifásico Controlado
En la figura 9.12, se presenta la forma de onda de tensión en la carga y en bornes de entrada de
un rectificador trifásico controlado para una carga activa de R = 60Ω, L = 223mH y E = 30V ,
alimentada desde un sistema trifásico sinusoidal de secuencia positiva de tensión efectivaV = 416V
a 60Hz. El ángulo de disparo del puente es de α = 40◦. La fuente trifásica se acopla al puente
mediante línea resistiva inductiva de Rf = 0,1Ω y Lf = 1mH.
Figura 9.12: Tensión en la carga y bornes de un rectificador trifásico con fuente no ideal
En la figura 9.13, se muestra el detalle de la caída de tensión en bornes del rectificador y en la carga
debido al proceso de conmutación debido a la resistencia e inductancia de la fuente.

246 9.6. Regulación Internacional
Figura 9.13: Tensión en la carga y bornes de un rectificador trifásico con fuente no ideal "detalle"
9.6. Regulación Internacional
Las recomendaciones internacionales IEEE Std. 519, establece limitaciones sobre la profundidad
de la muesca, el factor de distorsión armónica total de tensión (THDV ) y el área de la muesca de la
tensión línea a línea en bornes de la barra de alimentación del rectificador, esto con la finalidad de
no afectar a otros equipos conectados a la misma barra de alimentación. En la tabla 9.1, se presentan
los límites para sistemas de baja tensión (< 600V), en función del tipo de sistema alimentado.
Tabla 9.1: Límites de distorsión por muesca para sistemas de baja tensión [3]
Aplicaciones Especiales 1 Sistemas en General Sistemas Dedicados2
Profundidad de la muesca 10% 20% 50%
THDV 3% 5% 10%
Área de la Muesca (AN) 16400V µs 22800V µs 36500V µs
Nota: para sistemas mayores de 480V debe escalarse AN por el factor
V
480
Para calcular la profundidad de la muesca (%pm) y su área (AN) se utiliza la siguiente referencia:

Figura 9.14: Deﬁnición de %pm y AN
Donde:
t Tiempo de duración de la muesca.
d Profundidad en el punto medio con respecto a la tensión sin la muesca.
V Tensión en el punto medio sin la muesca.
Para calcular la profundidad de la muesca y su área se utiliza las siguientes expresiones:
%pm =
d
V
100 (9.26)
AN = t d (9.27)
9.7. Ejercicios
1. El puente de ﬁgura 9.2 se alimenta de una fuente de 240V a 60Hz con una inductancia
Lσ = 3mH. Si el convertidor alimenta una carga que consume 10A determine:
a) Ángulo de conmutación.
b) Caída de tensión producto de Lσ .
c) Lσ para reducir la caída de tensión a la mitad con un incremento de la carga del 10%.

248 9.7. Ejercicios
2. Determine para un puente de media onda con diodo descarga libre el tiempo de conmutación
para una carga de 45Ω y 150mH. La fuente que alimenta es puente es de 120V a 60Hz y se
conecta al punte mediante un alimentador de inductancia 20mH.
3. El puente de la figura 9.5 es alimentado por una fuente de 220V a 50Hz. La fuente se conecta
al rectificador mediante un alimentador de inductancia 100µH. Para una carga de 8Ω y
100mH determine:
a) Ángulo de conmutación.
c) Corriente media y efectiva en la carga.
4. Determine la caída de tensión y el ángulo de conmutación para un puente rectificador mo-
nofásico controlado que alimenta una carga de 55Ω, 230mH y 20V. El puente se alimenta
de una fuente de 220V a 50Hz con una inductancia de dispersión de 15mH. El ángulo de
disparo del puente es de π/6.
5. Un puente rectificador monofásico controlado es alimentado por una fuente no ideal de ten-
sión. La fuente presenta una tensión efectiva de 240V a 60Hz con una inductancia de disper-
sión de 10mH. El rectificador alimenta una carga de 12A cuando es accionado a un ángulo
de disparo de π/3. Determine:
a) Tensión media y efectiva sobre la carga.
b) Ángulo de conmutación.
c) Potencia consumida por la carga.
d) THD de la corriente en la fuente de alimentación.
6. El puente de la figura 9.7 es alimentado desde un sistema trifásico de tensión línea a línea de
416V a 60Hz con Lσ = 5mH. Si el puente alimenta una carga que consume una corriente
efectiva en las fases del sistema trifásico de 16,33A cuando se dispara con un ángulo de
necendido de 20◦, determine:
a) Caída de tensión.
c) Corriente media y efectiva en la carga
d) Ángulo de conmutación.
e) Potencia consumida por la carga.

7. Determine el tiempo de conmutación para un rectiﬁcador trifásico de diodos alimentado des-
de un sistema de 416V línea a línea a 60Hz. El puente alimenta una carga de 30Ω y 300mH.
El puente se conecta a la fuente mediante un transformador de aislamiento de relación 1 : 1
con una reactancia de cortocircuito de 4% en la base del transformador. El transformador se
especiﬁco durante su compra para suplir una carga de corriente continua de 25A.

Capítulo 10
Efecto de los Rectificadores de Diodos sobre
el Sistema de Potencia
En este capítulo se presenta el efecto de los rectificadores de diodos de media onda y onda completa
sobre el sistema de potencia, desde el punto de vista de su impacto armónico en las corrientes,
corrientes de diseño y el factor de distorsión armónica en la barra de alimentación. Adicionalmente,
se presenta el impacto sobre el contenido armónico de las corrientes de los diversos esquemas de
conexión de los transformadores que alimentan el puente rectificador y sus aplicaciones.
Para este estudio se modelara la carga en la barra de corriente continua como fuente de corriente
para simular una carga con alto contenido inductivo y como fuente de tensión para representar car-
gas con alto contenido capacitivo. El valor de la fuente de tensión para modelar cargas capacitivas
se escoge igual a la tensión media suministrada por el puente rectificador a la barra de corriente
continua.
10.2. Rectificador de media onda con diodo de descarga libre
En la figura 10.1, se presenta el esquema del rectificador de media onda con diodo de descarga
libre. Este circuito se utiliza para circuitos de muy baja potencia.
251

252 10.2. Rectificador de media onda con diodo de descarga libre
Figura 10.1: Rectificador de media onda con diodo de descarga libre
En la figura 10.2, se presenta la forma de onda de corriente sobre la fuente de alterna que alimenta el
rectificador de la figura 10.1, en porcentaje del valor de la corriente en la barra de corriente continua
(IDC) para una carga en corriente continua modelada como fuente de corriente y de tensión.
(a) Carga modelada como fuente de corriente (b) Carga modelada como fuente de tensión
Figura 10.2: Forma de onda de la corriente en la fuente del rectificador de media onda con diodo
de descarga libre
La corriente efectiva suministrada por la fuente se puede calcular en función de la corriente media
en la barra de corriente continua (IDC) como:
Para carga modelada como fuente de corriente
Irms =
IDC
√
2
≈ 0,7071IDC (10.1)
Para carga modelada como fuente de tensión
Irms = 1,4926IDC (10.2)

La tensión media suministrada por el rectificador a la carga es:
V0 =
√
2
π
V ≈ 0,45V (10.3)
donde:
V Tensión efectiva de la fuente.
En la figura 10.3, se presenta el contenido armónico de la corriente de la figura 10.2, en porcentaje
del valor de la fundamental.
Figura 10.3: Contenido armónico de la forma de onda de la corriente de la figura 10.2
El factor de distorsión armónica de corriente de este puente en la barra de alimentación es:
THDi = 1,1765 (10.4)
THDi = 1,4926 (10.5)

254 10.3. Rectificador de media onda bifásico
10.3. Rectificador de media onda bifásico
En la figura 10.4, se presenta el esquema del rectificador de media onda bifásico o con transfor-
mador de toma central. Este circuito se utiliza para circuitos de baja potencia y baja tensión. En
este esquema los devanados secundarios del transformador son de la misma tensión nominal que el
primario.
Figura 10.4: Rectificador de media onda bifásico
En la figura 10.5, se presenta la forma de onda de corriente sobre el primario del transformador
(ifuente) y la corriente que suministra el secundario del transformador a cada uno de los diodos
(irectificador1,2
) del rectificador de la figura 10.4, las formas de onda están en porcentaje del valor de
la corriente en la barra de corriente continua (IDC).
Figura 10.5: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador que alimenta el
rectificador de media onda bifásico
La corriente efectiva en cada devanado del transformador en función de la corriente en la barra de
corriente continua (IDC) es:

IRMSfuente
= IDC
IRMSRectificador1,2
= 0,7037IDC
(10.6)
IRMSfuente
= 1,2735IDC
IRMSRectificador1,2
= 0,9IDC
(10.7)
V0 =
2
√
2
π
V ≈ 0,9V (10.8)
donde:
En la ﬁgura 10.6, se presenta el contenido armónico de las corrientes de la ﬁgura 10.5, en porcentaje
El factor de distorsión armónica de corriente en los devanados del transformador es:

256 10.4. Rectificador monofásico
THDifuente = 0,4186
THDirectificador1,2
= 1,1716
(10.9)
THDifuente = 0,2776
THDirectificador1,2
= 1,0745
(10.10)
10.4. Rectificador monofásico
En la figura 10.7, se presenta el esquema del rectificador monofásico de onda completa. Este cir-
cuito se utiliza para circuitos de baja potencia y media tensión.
Figura 10.7: Rectificador monofásico
(ifuente) y la corriente que suministra el secundario del transformador (irectificador) al rectificador
de la figura 10.7, las formas de onda están en porcentaje del valor de la corriente en la barra de
corriente continua (IDC).
Figura 10.8: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador que alimenta el
rectificador monofásico

IRMSfuente
= IDC
IRMSRectificador
= IDC
(10.11)
IRMSfuente
= 1,2712IDC
IRMSRectificador
= 1,2712IDC
(10.12)
V0 =
2
√
2
π
V ≈ 0,9V (10.13)
donde:
En la ﬁgura 10.9, se presenta el contenido armónico de las corrientes de la ﬁgura 10.8, en porcentaje

258 10.5. Rectificador trifásico de media onda
THDifuente = 0,4230
THDirectificador
= 0,4230
(10.14)
THDifuente = 0,2725
THDirectificador
= 0,2725
(10.15)
10.5. Rectificador trifásico de media onda
En la figura 10.10, se presenta el esquema del rectificador trifásico de media onda con transforma-
dor Yy. Este circuito se utiliza para circuitos de media potencia y baja tensión.
Figura 10.10: Rectificador trifásico de media onda con transformador Yy

Figura 10.11: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador (Yy) que alimenta
el rectificador trifásico de media onda
IRMSfuente
= 0,3348IDC
IRMSRectificador
= 0,4061IDC
(10.16)
IRMSfuente
= 1,0646IDC
IRMSRectificador
= 1,0875IDC
(10.17)
V0 =
3
π
√
2
V ≈ 0,675V (10.18)
donde:
V Tensión efectiva línea a línea de la fuente.
En la figura 10.12, se presenta el contenido armónico de las corrientes de la figura 10.11, en por-
centaje del valor de la fundamental.

260 10.5. Rectificador trifásico de media onda
THDifuente = 0,6155
THDirectificador
= 1,0571
(10.19)
THDifuente = 0,4052
THDirectificador
= 0,5393
(10.20)
En la figura 10.13, se presenta el esquema del rectificador trifásico de media onda con transfor-
mador Dy. Este circuito se utiliza al igual que el anterior en circuitos de media potencia y baja
tensión.
Figura 10.13: Rectificador trifásico de media onda con transformador Dy

Figura 10.14: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador (Dy) que alimenta
el rectiﬁcador trifásico de media onda
IRMSfuente
= 0,4643IDC
IRMSRectificador
= 0,5699IDC
(10.21)
IRMSfuente
= 0,6191IDC
IRMSRectificador
= 0,7361IDC
(10.22)
V0 =
3
π
√
2
V ≈ 0,675V (10.23)
donde:

262 10.6. Rectificador trifásico
THDifuente = 0,6226
THDirectificador
= 1,0569
(10.24)
THDifuente = 0,9161
THDirectificador
= 1,3290
(10.25)
10.6. Rectificador trifásico
En la figura 10.16, se presenta el esquema del rectificador trifásico de media onda con transforma-
dor Yy. Este circuito se utiliza para circuitos de media potencia y media tensión.
Figura 10.16: Rectificador trifásico con transformador Yy

Figura 10.17: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador (Yy) que alimenta
el rectiﬁcador trifásico
IRMSfuente
= 0,8102IDC
IRMSRectificador
= 0,8078IDC
(10.26)
IRMSfuente
= 1,04IDC
IRMSRectificador
= 1,033IDC
(10.27)
V0 =
3
√
2
π
V ≈ 1,35V (10.28)
donde:

264 10.6. Rectificador trifásico
THDifuente = 0,2515
THDirectificador
= 0,2515
(10.29)
THDifuente = 0,7706
THDirectificador
= 0,7791
(10.30)
En la figura 10.19, se presenta el esquema del rectificador trifásico de media onda con transfor-
mador Dy. Este circuito se utiliza al igual que el anterior en circuitos de media potencia y media
tensión.
Figura 10.19: Rectificador trifásico con transformador Dy

el rectiﬁcador trifásico
IRMSfuente
= 0,8102IDC
IRMSRectificador
= 0,8078IDC
(10.31)
IRMSfuente
= 1,0401IDC
IRMSRectificador
= 1,0333IDC
(10.32)
V0 =
3
√
2
π
V ≈ 1,35V (10.33)
donde:

266 10.7. Rectificador hexafásico de media onda
THDifuente = 0,2515
THDirectificador
= 0,2524
(10.34)
ara carga modelada como fuente de tensión
THDifuente = 0,7707
THDirectificador
= 0,7792
(10.35)
10.7. Rectificador hexafásico de media onda
En la figura 10.22, se presenta el esquema del rectificador Hexafásico de media onda con transfor-
mador Dy. Este circuito se utiliza para circuitos de alta potencia y baja tensión.

Figura 10.22: Rectiﬁcador hexafásico de media onda con transformador Dy
el rectiﬁcador hexafásico de media onda
IRMSfuente
= 0,8336IDC
IRMSRectificador
= 0,3902IDC
(10.36)

268 10.7. Rectiﬁcador hexafásico de media onda
IRMSfuente
= 1,6923IDC
IRMSRectificador
= 0,2826IDC
(10.37)
V0 ≈ 0,780V (10.38)
donde:
THDifuente = 0,2494
THDirectificador
= 1,4279
(10.39)
THDifuente = 1,1700
THDirectificador
= 1,0748
(10.40)

10.8. Rectificador hexafásico
En la figura 10.25, se presenta el esquema del rectificador Hexafásico de onda completa con trans-
formador Dd. Este circuito se utiliza para circuitos de alta potencia y media tensión.
Figura 10.25: Rectificador hexafásico de onda completa con transformador Dd
(ifuente) y la corriente que suministra dos fases del secundario del transformador (irectificador1,2
) al
rectificador de la figura 10.25, las formas de onda están en porcentaje del valor de la corriente en la
barra de corriente continua (IDC).
Figura 10.26: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador (Dd) que alimenta
el rectificador hexafásico de onda completa

270 10.8. Rectiﬁcador hexafásico
IRMSfuente
= 1,6538IDC
IRMSRectificador
= 0,5674IDC
(10.41)
IRMSfuente
= 1,4840IDC
IRMSRectificador
= 0,4646IDC
(10.42)
V0 ≈ 1,56V (10.43)
donde:
THDifuente = 0,2557
THDirectificador
= 0,7345
(10.44)
THDifuente = 0,0399
THDirectificador
= 0,4228
(10.45)

10.9. Rectificador Dodecafásico o de 12 pulsos
En la figura 10.28, se presenta el esquema del rectificador dodecafásico o de 12 pulsos, este rectifi-
cador requiere para su implementación de un transformador de tres devanados con conexión Dyd.
Este circuito se utiliza para circuitos de alta potencia y alta tensión.
Figura 10.28: Rectificador dodecafásico o de 12 pulsos
(ifuente) y la corriente que suministra los dos secundarios del transformador (irectificadorY,D
) al rec-
tificador de la figura 10.28, las formas de onda están en porcentaje del valor de la corriente en la
barra de corriente continua (IDC).
Figura 10.29: Forma de onda de la corriente en los devanados del transformador (Dyd) que alimenta
el rectificador dodecafásico

272 10.9. Rectiﬁcador Dodecafásico o de 12 pulsos
IRMSfuente
= 1,5764IDC
IRMSRectificadorY
= 0,8079IDC
IRMSRectificadorD
= 0,8080IDC
(10.46)
IRMSfuente
= 1,8541IDC
IRMSRectificadorY
= 0,9350IDC
IRMSRectificadorD
= 0,9350IDC
(10.47)
V0 ≈ 2,70V (10.48)
donde:

THDifuente = 0,2298
THDirectificadorY
= 0,2516
THDirectificadorD
= 0,2516
(10.49)
THDifuente = 0,0937
THDirectificadorY
= 0,3108
THDirectificadorD
= 0,3108
(10.50)
10.10. Límites de distorsión de corriente
Idealmente, la distorsión armónica causada por un solo consumidor puede ser limitada a un nivel
aceptable en algún punto del sistema; en tanto que el sistema completo puede ser operado sin
distorsión armónica sustancial en cualquier parte del mismo. Los límites de distorsión armónica
para sistemas de distribución hasta 69kV son:
Tabla 10.1: Límites de distorsión armónica de corriente para sistemas de distribución en general
(desde 120V hasta 69kV) [3]
ISC
IL
h < 11 11 ≤ h < 17 17 ≤ h < 23 23 ≤ h < 35 35 ≤ h THD
< 20∗ 4,0 2,0 1,5 0,6 0,3 5,0
20 < 50 7,0 3,5 2,5 1,0 0,5 8,0
50 < 100 10,0 4,5 4,0 1,5 0,7 12,0
100 < 1000 12,0 5,5 5,0 2,0 1,0 15,0
> 1000 15,0 7,0 6,0 2,5 1,4 20,0
∗ Todo equipo de generación de potencia está limitado a estos valores de distorsión de
corriente, sin tener en cuenta la relación ISC
IL
.
Donde:
Isc Corriente máxima de cortocircuito en la barra de alimentación común a
otras cargas.
IL Corriente de carga (componente fundamental) en la barra de alimentación.
Estos límites pueden ser utilizados como valores de diseño de un sistema en "condiciones idea-
les" de operación. Para periodos cortos, durante arranques o en condiciones inusuales, los limites

pueden excederse en 50 %. Esta tabla esta formulada en base a los rectificadores de 6 pulsos para
usarse con rectificadores de mas fases se pueden incrementar los valores en:
k =
# fases
6
(10.51)
10.11. Ejercicios
1. Encuentre las expresiones en régimen permanente de la corriente y los valores medios y
efectivos de la tensión y corriente para una carga activa RLE alimentada desde un puente
rectificador de media onda trifásico controlado.
2. Repita el ejercicio anterior para un puente hexafásico no controlado de onda completa.
3. Explique las ventajas y desventajas desde el punto de vista de la carga y del sistema de
potencia de utilizar un puente dodecafásico al compararlo con un puente trifásico de onda
completa.
4. Explique la estrategia a utilizar para lograr que los rectificadores se ajusten a la distorsión
armónica recomendada en la tabla 10.1.

Capítulo 11
Controlador AC - AC
Los controladores AC - AC tiene como finalidad suministrar tensión y corriente alterna variable
a partir de una fuente alterna. Su operación se basa en la conexión y desconexión a intervalos
regulares de la fuente sobre la carga. Este convertidor esta conformado por dos semiconductores
de potencia colocados en antiparalelo que controlan la conexión de la fuente en cada semiciclo.
Por el tipo de componente de potencia que se utiliza en su construcción se clasifican en dos tipo:
Controlado (dos SCR o TRIAC) y Semicontrolado (SCR y Diodo). En la figura 11.1 se observa el
esquema de un puente semicontrolado y controlado monofásico.
(a) Puente semicontrolado (b) Puente controlado
Figura 11.1: Controlador AC - AC
11.2. Aplicaciones
Hornos industriales.
Hornos de inducción.
277

278 11.3. Puente Semicontrolado Monofásico
Control de iluminación.
Arranque y control de velocidad de motores de inducción.
Control de reactivos.
Relés de estado solido.
11.3. Puente Semicontrolado Monofásico
11.3.1. Formas de onda
En la figura 11.2 se presenta la forma de onda de tensión y corriente sobre la carga resistiva induc-
tiva. En la figura se presenta el contenido armónico de tensión y corriente sobre la carga del puente
de la figura 11.1a. Para la simulación se utilizo una fuente sinusoidal de 120V eficaz, a 60Hz, una
carga resistiva inductiva de 60Ω y 223mH y un ángulo de disparo (α) de 3π/2.
Figura 11.2: Tensión y corriente en la carga para un controlador AC - AC semicontrolado
Se puede observar en la figura anterior que el puente posee control en el semiciclo en el cual el
tiristor conduce. En la figura 11.2 se puede observar como la corriente en el diodo es mayor que
en el tiristor, este aspecto de debe tomar en cuenta al momento de especificar cada componente.
Ambas componentes durante su conducción son sometidas a tensiones positivas y negativas ánodo
- cátodo. Entre las características de este puente se puede destacar que introduce componentes de

tensión y corriente media sobre la carga y armónicas de baja frecuencia a la red de alimentación y
la carga. En la ﬁgura 11.3 se presenta los espectros armónicos de tensión y corriente originados por
este puente.
Figura 11.3: Contenido armónico sobre la carga para el controlador AC - AC semicontrolado
El factor de distorsión armónica (THD) para la simulación en tensión es: 0,4582 y en corriente:
0,3265. La tensión efectiva para este ángulo de disparo es de: 108,1223V y la corriente efectiva es:
1,0014A.
Este puente no se puede utilizar para el control de máquinas eléctricas debido a la componente de
continua en tensión y corriente que ocasionaría la saturación del circuito magnético del convertidor
electromagnético.
11.3.2. Expresión de Corriente α ≤ ωt ≤ β
i(t) =
√
2V
Z
−(ωt−α)
tan(ϕ) (11.1)
donde:
Z = R2 +(ωL)2
ϕ = tan−1 ωL
R

11.3.3. Ángulo de Apagado (β)
sen(β −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−(β−α)
tan(ϕ) = 0 (11.2)
11.3.4. Límite de Controlabilidad
Como la operación de este convertidor electrónico se basa en la operación no simultánea de
las componentes electrónicas, esto se alcanza al cumplir la condición:
α +2π ≥ β (11.3)
El límite de controlabilidad del puente se obtiene para el rango de ángulo de encendidos
comprendidos en el intervalo:
ϕ ≤ α ≤ π (11.4)
Vrms = 1
2π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V 1
2π γ − sen(2β)
2 + sen(2α)
2
(11.5)
Irms =
√
2V
Z
1
2π
¡ β
−(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt (11.6)
11.3.7. Simulación
1 % Controlador AC - AC Semi controlado monofásico
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Datos

8 alfa2=input('Angulo de Encendido en grados ');
9
10 % Variables
11 a=alfa2*pi/180;
12 fi=atan (2*pi*f*L/R)
13 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
14
15 % Cálculo del angulo de apagado
16 beta=fsolve(@(t) sin(t-fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi)) ,[2*pi])
17
18 % Límite de controlabilidad
19 if beta >=a+2*pi;
20 disp('el puente no esta controladondo ');
21 t=linspace(a,a+2*pi ,1000);
23 i=sqrt (2)*V/Z*sin(t-fi);
24 else
25 beta *180/pi
26 t=linspace(a,beta ,1000);
27 ta=linspace(beta ,a+2*pi ,500);
28 i=sqrt (2)*V/Z*(sin(t-fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi)));
29 v=[sqrt (2)*V*sin(t),zeros(size(ta))];
30 t=[t,ta];
31 i=[i,zeros(size(ta))];
32 end
33
34 % Corrientes y Tensión efectiva
35 Irms_carga=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,i.^2))
36 Vrms_carga=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,v.^2))
37 Irms_scr=Irms_carga/sqrt (2)
38
39 % Cálculo de potencia
40 P=R*Irms_carga ^2
41 fp_fuente=P/(V*Irms_carga)
42 fp_carga=P/( Vrms_carga*Irms_carga)
43
44
45 % Graficas

47 vx=[v];
48 ix=[i];
49 t1=t;
50 figure (1)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
61
62 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
71
75
76 % THD
77 THDv=sqrt(Vrms_carga ^2-Vrms_1 ^2)/Vrms_1
78 THDi=sqrt(Irms_carga ^2-Irms_1 ^2)/Irms_1

11.4. Puente Controlado Monofásico
Este puente se construye con dos tiristores en antiparalelo o un triac. La ventaja al utilizar un triac
es que debido a que ambos tiristores se fabrican sobre la misma pastilla de silicio sus características
son idénticas lo cual original que el control de los semiciclos positivos y negativos sean idénticos
eliminando cualquier componente de continua sobre la carga y fuente. Al utilizar dos tiristores
en antiparalelo como sus características no son idénticas sobre la carga pueden aparecer pequeñas
diferencias en los semiciclos originando la aparición de una componente DC.
11.4.1. Forma de onda
En la figura 11.4 se presenta las formas de onda de tensión y corriente para un carga resistiva
inductiva originado por el puente controlado de la figura 11.1b. Para la simulación se utilizo una
fuente sinusoidal de 120V eficaces, a 60Hz, una carga resistiva inductiva de 60Ω y 223mH y un
ángulo de disparo (α) de 3π/2. La corriente media sobre cada semiconductor no es nula debido a
que su operación es unidireccional y su corriente eficaz por la simetría, corresponde a 1/
√
2 de la
de la carga.
Figura 11.4: Tensión y corriente en la carga para un controlador AC - AC semicontrolado
En la figura 11.5 se presenta el espectro armónico de tensión y corriente sobre la carga obtenida
en la simulación. El factor de distorsión armónica (THD) para la simulación en tensión es: 0,7726
y en corriente: 0,2589. La tensión efectiva para este ángulo de disparo es de: 93,859V y la co-
rriente efectiva es: 0,7496A. Este puente para la misma carga y ángulo de disparo presenta mayor
distorsión armónica que el semicontrolado.

284 11.4. Puente Controlado Monofásico
Figura 11.5: Contenido armónico sobre la carga para el controlador AC - AC controlado
Entre las características de este puente se puede destacar: los tiristores no conducen simultánea-
mente, la tensión sobre la carga es la misma de la fuente cuando alguna de las dos componentes se
encuentra en conducción y nula cuando están apagadas. La corriente y tensión media sobre la carga
y fuente son nulas si la operación del puente es simétrica para ambos semiciclos.
11.4.2. Expresión de Corriente
Durante un semiciclo de operación se puede evaluar la expresión de la corriente resolviendo la
ecuación diferencial:
vf (t) = Ri+L
di
dt
(11.7)
Para una alimentación sinusoidal de la forma vf (t) =
√
2V sen(ωt) con condición inicial de co-
rriente cero para el tiempo de encendido (α) la expresión (11.7) durante el semiciclo positivo,
resulta:
i(t) =
√
2V
Z
−(ωt−α)
tan(ϕ) (11.8)
donde:
Z = R2 +(ωL)2

ϕ = tan−1 ωL
R
La expresión (11.8) es válida para los tiempos comprendidos entre el ángulo de encendido (α) y
el de apagado (β) y es similar a la obtenida para un puente rectiﬁcador de media onda controlado.
El semiciclo negativo es simétrico por lo cual se puede utilizar la expresión anterior con signo
contrario.
11.4.3. Ángulo de Apagado (β)
El ángulo de apagado para los tiristores corresponde al instante de tiempo en el cual la corriente
pasa por cero. Este instante se calcula igualando la expresión (11.8) a cero.
√
2V
Z
−(β−α)
tan(ϕ) = 0 (11.9)
La solución de la expresión (11.9) posee dos soluciones triviales (Z = ∞ y V = 0) estas soluciones
implican uno la ausencia de carga conectada y la otro la no energización del circuito. Por lo cual la
solución se reduce a:
−(β−α)
tan(ϕ) = 0 (11.10)
La ecuación (11.10) no posee solución analítica debido a que es una ecuación transcendental por
cual se debe resolver por métodos numéricos.
11.4.4. Límite de Controlabilidad
El funcionamiento de este convertidor electrónico se basa en la operación no simultánea de las
componentes electrónicas, esto se alcanza al cumplir la condición:
α +π ≥ β (11.11)
El valor límite de controlabilidad se alcanza cuando β = α + π, que corresponde al ángulo de
apagado crítico para pasar de operación no continuada a continuada. En esta condición si evaluamos
la expresión (11.10), se obtiene:

sen(α +π −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−π
tan(ϕ) = 0
−sen(α −ϕ)−sen(α −ϕ)e
−π
tan(ϕ) = 0 (11.12)
sen(ϕ −α)· 1+e
−π
tan(ϕ) = 0
La expresión 1+e
−π
tan(ϕ) para cualquier valor de ϕ es positiva y esta acotada en el rango [1,2], es
decir, que para que la expresión (11.12) se anula únicamente en α = ϕ y es negativa para valores
de α ≥ ϕ indicando que el ángulo de apagado (β) es menor que el ángulo límite de α + π. Esta
condición garantiza operación no continuada del puente. El límite de controlabilidad del puente se
obtiene para el rango de ángulo de encendidos comprendidos en el intervalo:
ϕ ≤ α ≤ π (11.13)
Como la operación de este convertidor electrónico se basa en la operación no simultánea de las
componentes electrónicas, esto se alcanza al cumplir la condición:
α +π ≥ β (11.14)
La tensión efectiva sobre la carga se calcula a partir de la deﬁnición y de la tensión de la fuente
como:
Vrms = 1
π
¡ β
α
√
2V sen(ωt)
2
dωt
Vrms = V2
π
¡ β
Vrms = V 1
π γ − sen(2β)
2 + sen(2α)
2
(11.15)
La corriente efectiva por la carga y la fuente, se calcula utilizando la expresión (11.8) como:
Irms = 1
π
¡ β
α
√
2V
−(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
Irms =
√
2V
Z
1
π
¡ β
−(ωt−α)
tan(ϕ)
2
dωt
(11.16)

La corriente efectiva por cada tiristor se obtiene por superposición como:
Irms = I2
rmsT1
+I2
rmsT2
(11.17)
Como cada uno de los tiristores conduce en intervalos de tiempo iguales:
IrmsT1 = IrmsT2 =
Irms
√
2
(11.18)
11.4.7. Configuraciones Adicionales
En la figura 11.6 se presentan dos configuraciones del puente controlador AC - AC controlado,
para operaciones cuando la tensión de la fuente supera la especificación de los tiristores del puente.
Generalmente estas configuraciones se utilizan cuando hay disponibilidad de componentes en el
inventario de la empresa y no se desean adquirir nuevas componentes.
(a) Dos componentes serie (b) Tres componentes serie
Figura 11.6: Configuraciones adicionales del controlador AC - AC monofásico.
11.4.8. Simulación
1 % Controlador AC - AC
2 % vf (t) =
√
2∗v∗sen(ωt)
3 % Datos
9
10 % Variables

11 a=alfa2*pi/180;
13 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
14
15 % Ángulo de apagado
16 beta=fsolve(@(t) sin(t-fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi)),[pi])
17
18 %Límite de controlabilidad
19 if beta >=a+pi;
24 else
25 beta *180/pi
26 t=linspace(a,beta ,1000);
27 ta=linspace(beta ,a+pi ,500);
28 tb=linspace(a+pi,beta+pi ,1000);
29 tc=linspace(beta+pi,a+2*pi ,500);
31 v=[sqrt (2)*V*sin(t),zeros(size(ta)),sqrt (2)*V*sin(tb),zeros(size(tc))
];
32 t=[t,ta,tb,tc];
33 i=[i,zeros(size(ta)),-i,zeros(size(tc))];
34 end
35
36 % Volores Efectivos de tensión y corriente
37 Irms_carga=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,i.^2))
38 Vrms_carga=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,v.^2))
39 Irms_scr=Irms_carga/sqrt (2)
40
41 % Cálculo de potencia
42 P=R*Irms_carga ^2
43 fp_fuente=P/(V*Irms_carga)
44 fp_carga=P/( Vrms_carga*Irms_carga)
45
46
47 % Graficas
49 vx=[v];

50 ix=[i];
51 t1=t;
52 figure (1)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
63
64 figure (2)
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
73
77
78 % THD
79 THDv=sqrt(Vrms_carga ^2-Vrms_1 ^2)/Vrms_1
80 THDi=sqrt(Irms_carga ^2-Irms_1 ^2)/Irms_1
11.5. Puente Controlado Trifásico
En la ﬁgura 11.7 se presenta el esquema de un puente controlador AC - AC trifásico para carga
conectada en estrella y en delta.

290 11.5. Puente Controlado Trifásico
La operación del puente trifásico depende de la estrategia de disparo de las componentes semicon-
ductoras y se puede realizar con dos componentes conduciendo corriente positiva y una negativa o
viceversa. En la figura 11.8 se muestra las formas de onda de corriente en la fase "a" y tensión línea
línea "ab" para una carga resistiva inductiva (RL) conectada en estrella con los siguientes paráme-
tros: tensión efectiva línea - línea de 416V a 60Hz, resistencia de 10Ω e inductancia de 30mH y
un ángulo de encendido de 1,3963rad.
En la figura 11.9 se presenta la corriente por los dos tiristores que componen el puente en la fase
"a". Al igual que en el caso monofásico la corriente en régimen permanente es simétrica en el
semiciclo positivo y negativo.
Figura 11.9: Corriente en las componentes de la fase "a"
En la figura 11.10 se presenta el espectro armónico de tensión y corriente sobre la carga obtenida en
la simulación. El factor de distorsión armónica (THD) para la simulación en tensión es: 0,7202 y en
corriente: 0,1580. La tensión efectiva para este ángulo de disparo es de: 322,5936V y la corriente
efectiva es: 10,0788A.

(a) Carga en estrella
(b) Carga en delta
Figura 11.7: Esquema del puente controlador AC - AC trifásico

Figura 11.8: Formas de onda de corriente y tensión sobre la carga para el puente trifásico
Figura 11.10: Contenido armónico de la corriente y tensión para el puente trifásico
Otra configuración utilizada de los puentes de la figura 11.7a, en donde el punte se utiliza para
interconectar la fuente con la carga es el presentado en la figura (11.11) en donde el convertidor se
utiliza para realizar la conexión del neutro en la carga.

Figura 11.11: Puente convertidor trifásico para conexión de neutro.
11.5.1. Configuraciones en Delta
En la sección anterior se presento el controlador AC - AC como interconexión entre la fuente y la
carga, esta configuración permite controlar la tensión efectiva sobre cargas conectadas en estrella
(figura 11.7a) o delta (figura 11.7b). Cuando se dispone de acceso a los seis terminales que con-
forman la carga, se puede conectar esta en serie con el convertidor de potencia y conformar una
delta con esta configuración. En la figura 11.12 se presenta el esquema de conexión propuesto. Este
esquema presenta por cada rama un comportamiento similar al puente monofásico tanto a nivel de
tensiones como corrientes y el control de cada rama se desfasa en 2π/3 de la anterior .
Figura 11.12: Puente controlador AC - AC trifásico en delta (carga y convertidor)

En la figura 11.13 se presenta la tensión línea a línea de este convertidor para una carga resistiva
inductiva alimentada desde un sistema trifásico sinusoidal de secuencia positiva. En la figura 11.14,
se presenta la corriente en las tres ramas de la carga y por las fases “a”, “b” y “c” suministradas por
la fuente. Finalmente, en la figura 11.15 se presenta el espectro armónico de la corriente (iab) de la
carga y de la fase (ia) de la fuente. Se puede observar como las armónicas múltiplos de tres de la
corriente quedan atrapadas en la delta y no circulan hacia la fuente.
Figura 11.13: Tensión línea a línea sobre la carga
(a) Ramas de la carga (b) Fases de la fuente
Figura 11.14: Corrientes en las fases de la fuente y ramas de la carga

(a) Corriente iab (b) Corriente ia
Figura 11.15: Contenido armónico
Otro esquema utilizado para configuraciones en delta se presenta en la figura 11.16. Esta configu-
ración permite utilizar la mitad de las componentes que el puente anterior y alterna la conexión de
la fuente línea a línea con dos ramas de la delta en serie.
Figura 11.16: Puente controlador AC - AC trifásico en delta (convertidor)
11.5.2. Simulación
1 % Puente controlador AC-AC trifásico en delta (carga y convertidor)
2 % Datos
3 V=input('Tension efectiva de la fuente sinusoidal (V_a_b) ');

8
9 % Variables
10 a=alfa2*pi/180;
12 Z=sqrt ((2*pi*f*L)^2+R^2);
13 beta=fsolve(@(t) sin(t-fi)-sin(a-fi)*exp(-(t-a)/tan(fi)),[pi])
14
15 % Condición de operación
16 if beta >=a+pi;
21 else
22 beta *180/pi
23 x=round((beta -a)/pi *1200);
24 t=linspace(a,beta ,x);
25 ta=linspace(beta ,a+pi ,1200-x);
27 v=[sqrt (2)*V*sin(t),zeros(size(ta))];
28 t=[t,ta];
29 i=[i,zeros(size(ta))];
30 v=[v,-v];
31 i=[i,-i];
32 t=[t,t+pi];
33 end
34
35 %Corientes en las líneas
36 iab=i;
37 ibc=[[i(1601:2400) ,i(1:1600) ]];
38 ica=[[i(801:2400) ,i(1:800) ]];
39
40 % Corrientes en las fases
41 ia=iab -ica;
42 ib=ibc -iab;
43 ic=ica -ibc;
44
45 % Tensiones en las líneas
46 vab=v;

47 vbc=[[v(1601:2400) ,v(1:1600) ]];
48 vca=[[v(801:2400) ,v(1:800) ]];
49
51
52 Irms_a=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,ia.^2))
53 Vrms_ab=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,vab .^2))
54 Irms_ab=sqrt (1/(2* pi)*trapz(t,iab .^2))
55 P=3*R*Irms_ab ^2
56 fp_fuente=P/(sqrt (3)*V*Irms_a)
57 fp_carga=P/(sqrt (3)*Vrms_ab*Irms_a)
58 %
59 %
60 % Graficas
62 t1=t;
63 figure (1)
64 plot(t1,vab ,t1,vbc ,'-.',t1,vca ,'--','LineWidth ' ,2);grid
65 legend('v_a_b','v_b_c','v_c_a','Location ','Best','Orientation ','
horizontal ');
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})
74
75 figure (2)
76 plot(t1,ia,t1,ib,'-.',t1,ic,'--','LineWidth ' ,2);grid
77 legend('i_a','i_b','i_c','Location ','Best','Orientation ','horizontal '
);
'T/2+a','7T/12+a','2T/3+a','3T/4+a','5T/6+a','11T/12+a','T+a'})

298 11.6. Controlador por Modulación de Ancho de Pulso
86
88 Vrms_1=abs(1/pi*(trapz(t1,vab.*exp(j*t1))))/sqrt (2)
89 Irms_1=abs(1/pi*(trapz(t1,ia.*exp(j*t1))))/sqrt (2)
90
91 % THD
92 THDv=sqrt(Vrms_ab^2-Vrms_1 ^2)/Vrms_1
93 THDi=sqrt(Irms_a^2-Irms_1 ^2)/Irms_1
11.6. Controlador por Modulación de Ancho de Pulso
Los esquemas tradicionales de puentes controladores AC - AC construidos con tiristores y triacs,
permiten regular el valor efectivo de tensión suministrado en la carga cortocircuitos en intervalos
regulares en función del ángulo de disparo (α). Esta estrategia introduce un alto contenido armónico
a la red de alimentación como se observa en la secciones pasadas, para las simulaciones realizadas
a nivel de puentes monofásico el factor de distorsión armónica (THD) esta alrededor del 77% para
un puente controlado. Adicionalmente las armónicas introducidas en la red, de mayor valor, son
inferiores a la décimo tercera armónica (13va), estas frecuencias poseen una alta probabilidad de
resonancia con compensadores de reactivos pasivos instalados en el sistema o con configuraciones
de circuitos tipo tanque (LC) debido a la combinación de la capacitan e inductancia de los cables o
líneas de transmisión.
Un esquema capaz de reducir el valor de las armónicas con mayor probabilidad de resonancia es
distribuir el cortocircuito de la carga en el tiempo a través de técnicas de modulación. La técni-
ca de modulación más utilizada para este fin, es la de control por ancho de pulso (PWM). Esta
estrategia garantiza reducir el valor de las armónica de baja frecuencia en función al número de
pulsos empleados en la modulación. Este esquema adicional a la fundamental, introduce en su ma-
yoría armónicas de altas frecuencias múltiplos de la frecuencia de la onda portadora, las cuales son
rápidamente atenuadas por el sistema.
En la figura 11.17 se presenta el esquema del puente controlador AC - AC por modulación de
ancho de pulso. Este puente esta compuesto por componentes bidireccionales de corriente que
operan de forma complementaría entre si, una para la conexión de la carga a la fuente y la otra para
el cortocircuito.

Figura 11.17: Puente controlador AC - AC con control por PWM
El análisis de este puente se puede realizar mediante Series de Fourier. La tensión del convertidor
(vconvertidor(t)) se obtiene de la convolución del tren de pulso de la modulación (g(t)) y la tensión
de la fuente (vf (t)). Para este caso la tensión en bornes del convertidor es igual a la tensión de la
carga.
vconvertidor(t) = vcarga(t) = g(t)·vf (t) (11.19)
donde:
g(t) =



1 kTc < t < (k +δ)Tc
0 (k +δ)Tc < t < (k +1)Tc
k ∈ N (11.20)
vf (t) =
√
2Vrms sen(ωt) (11.21)
En la expresión (11.20) δ corresponde al ciclo de trabajo de la modulación y esta comprendida
entre 0 y 1. La corriente en la carga se puede calcular a partir de la Serie de Fourier de la tensión
en la carga como:
i(t) = ℜe
∞
∑
n=1
Ine−jnωt
(11.22)
donde:
In =
1
N
F {vconvertidor(t)}n ·
1
Zcarga(n)
(11.23)

En la figura 11.18 se presenta las gráficas de corriente y tensión para un controlador AC - AC
controlado por PWM para una carga resistiva e inductiva de 22Ωy 223mH, alimentada desde un
sistema sinusoidal de tensión de 120V efectivos a una frecuencia de 60Hz. Para la modulación se
utilizo una frecuencia de portadora de 12 veces la fundamental (720Hz) con un ciclo de trabajo
40%.
Figura 11.18: Tensión y corriente en la carga para un controlador AC - AC por PWM
la simulación. El factor de distorsión armónica (THD) para la simulación en tensión es: 1,2253 y
en corriente: 0,0947. La tensión efectiva para esta condición es de: 75,8678V y la corriente efectiva
es: 0,5545A. Los valores de la componente fundamental son en tensión 47,9708V y en corriente
0,552A. Si se compara estos resultados al espectro armónico obtenido en la figura 11.5 se puede
observar un menor contenido armónico en las corrientes de la carga, evidenciado por un menor
THD y un menor contenido armónico en tensión para las armónicas inferiores a la décimo tercera
sin incluir la fundamental. En la figura 11.19 se observa las componentes armónica en los entornos
de la frecuencia de modulación empleada.

Figura 11.19: Contenido armónico de tensiones y corrientes para el controlador AC - AC por PWM
En la figura (11.20) se presenta es esquema de filtrado utilizado en esta topología de puente con-
vertidor para reducir el contenido armónico de la tensión y corriente en la carga.
Figura 11.20: Puente controlador AC - AC con control por PWM con filtro
Para el puente de la figura (11.20), se puede calcular la tensión sobre la carga como:
vcarga(t) = ℜe
∞
∑
n=1
Vne−jnωt
(11.24)
donde:
Vn =
1
N
F {vconvertidor(t)}n ·
Zcarga(n) 1
jnωCfiltro
Zcarga(n) 1
jnωCfiltro
+ jnωLfiltro
(11.25)

En la figura 11.21 se presenta las gráficas de corriente y tensión para un controlador AC - AC
controlado por PWM para una carga resistiva e inductiva de 22Ωy 223mH, alimentada desde un
sistema sinusoidal de tensión de 120V efectivos a una frecuencia de 60Hz. Para la modulación se
utilizo una frecuencia de portadora de 12 veces la fundamental (720Hz) con un ciclo de trabajo
40%. Para el filtro se utilizo una capacitancia de 10µF y una inductancia de 60mH lo que origina
una frecuencia de corte de 205,47Hz.
Figura 11.21: Tensión y corriente en la carga para un controlador AC - AC por PWM con filtro LC
la simulación. El factor de distorsión armónica (THD) para la simulación en tensión es: 0,1197 y
en corriente: 0,0947. La tensión efectiva para esta condición es de: 41,3497V y la corriente efectiva
es: 0,5545A. Los valores de la componente fundamental son en tensión 41,0568V y en corriente
0,552A. La inclusión del filtro LC redujo en contenido armónico en la tensión y corriente en la
carga. En la figura 11.22 se observa las componentes armónica en los entornos de la frecuencia de
modulación empleada.

Figura 11.22: Contenido armónico de tensiones y corrientes para el controlador AC - AC por PWM
con filtro LC
Se puede calcular el rizado de tensión y corriente en la carga en función de la inductancia y capa-
citancia del filtro como:
∆i =
Vrms1(1−δ)Tc
Lfiltro
∆vcarga =
∆iTc
δCfiltro
(11.26)
De la expresión (11.26) se puede observar que para disminuir el rizado de tensión y corriente
basta aumentar los valores de inductancia y capacitancia del filtro o aumentar la frecuencia de
modulación T−1
c .
11.6.1. Simulación
Controlador AC AC por modulación de Ancho de pulso
1 % Controlador AC AC por Modulación de Ancho de Pulso (PWM)
2 % Datos
3 clear
4 clc
5 Vac =input('Tension AC rms de la fuente ');
6 f =input('Frecuencia fundamental [Hz] ');
7 R =input('Resistencia de la carga [Ohm] ');

8 L =input('Inductancia de la carga [H] ');
9 delta =input('Ciclo de trabajo (0 a 1)');
10 fc =input('Frecuencia de modulación [Hz] ');
11 T=1/f; % Perido de la Señal
12
13 % Analisis mediante Series de Fourier
14
15 % Funciones Temporales
16 t=linspace(0,T ,5000); % Tiempo se tomaran 5000 muestras
17 w=2*pi*f; % Frecuencai Eléctrica de la fuente
18 vf=sqrt (2)*Vac*sin(w*t); % Tensión de la fuente
19 PWM=( square (2*pi*fc*t,delta *100) +1) *.5; % Modulación por ancho de Pulso
20 vf=vf.*PWM; % Tensión en bornes del convertidor
21
22 % Cálculo de la Serie de Fourier en basa de la FFT de la función
23 Cn_a=fft(vf)/( length(t)/2); % Serie de Fourier
24 Cn_a (1)=Cn_a (1)/2; % Ajuste del valor medio
25
26 % Inicialización de Variables
27 vc=Cn_a (1)*ones(size(t));
28 ic=vc/R;
29 Vrms=abs(Cn_a (1))^2;
30 Irms=(abs(Cn_a (1))/R)^2;;
31 I1=0;
32 V1=0;
33
34 % Cálculo de tensión y corriente sobre la carga
35 for k=1:( length(t)/2);
36 n=k-1; % Orden armónico
37 Cn=Cn_a(k); % Coeficiente C para la armónica n
38 Zc=R+j*n*w*L; % Impedancia de la carga par la armónia n
39 % Corriente por el convertidor
40 ic=ic+real(Cn/Zc*exp(-j*2*pi*n*t/T));
41 % Tensión en la carga
42 vc=vc+real(Cn*exp(-j*2*pi*n*t/T));
44 if n==1
45 V1=abs(Cn/sqrt (2));
46 I1=abs((Cn/Zc)/sqrt (2));
47 end

48 Vrms=Vrms+abs(Cn^2)/2;
49 Irms=Irms+abs(Cn/Zc)^2/2;
50
51 end
52 % Cálculo del valor Efectivo
53 Vrms=sqrt(Vrms)
54 Irms=sqrt(Irms)
55 % Cálculo del THD
56 THD_v=sqrt(Vrms^2-V1^2)/V1
57 THD_i=sqrt(Irms^2-I1^2)/I1
58 % Cálculo de Fundamentales
59 V1
60 I1
61 % Graficas
62 figure (1) % Corriente en la Carga
63 plot(t,ic,'LineWidth ' ,2);grid
65 xlim ([0 T]);
68 figure (2) % Tensión en la Carga
69 plot(t,vc,'LineWidth ' ,2);grid
71 xlim ([0 T]);
73 ylabel('Tensión en la Carga (V)','fontsize ',14,'fontname ','Times');
Controlador AC AC por modulación de ancho de pulso con ﬁltro LC
1 % Controlador AC AC por Modulación de Ancho de Pulso (PWM) con Filtro LC
2 % Datos
3 clear
4 clc
5 Vac =input('Tension AC rms de la fuente ');
6 f =input('Frecuencia fundamental [Hz] ');
7 R =input('Resistencia de la carga [Ohm] ');
8 L =input('Inductancia de la carga [H] ');
9 Lf =input('Inductancia del filtro [H] ');
10 Cf =input('Capacitancia del filtro [F] ');

11 delta =input('Ciclo de trabajo (0 a 1)');
12 fc =input('Frecuencia de modulación [Hz] ');
13 T=1/f; % Perido de la Señal
14
16
17 % Funciones Temporales
18 t=linspace(0,T ,5000); % Tiempo se tomaran 5000 muestras
19 w=2*pi*f; % Frecuencai Eléctrica de la fuente
20 vf=sqrt (2)*Vac*sin(w*t); % Tensión de la fuente
21 PWM=( square (2*pi*fc*t,delta *100) +1) *.5; % Modulación por ancho de Pulso
22 vf=vf.*PWM; % Tensión en bornes del convertidor
23
24 % Cálculo de la Serie de Fourier en basa de la FFT de la función
25 Cn_a=fft(vf)/( length(t)/2); % Serie de Fourier
26 Cn_a (1)=Cn_a (1)/2; % Ajuste del valor medio
27
28 % Inicialización de Variables
29 vc=Cn_a (1)*ones(size(t));
30 vco=Cn_a (1)*ones(size(t));
31 ic=Cn_a (1)/R*ones(size(t));
32 i=ic;
33 Vrms=abs(Cn_a (1))^2;
34 Irms=(abs(Cn_a (1))/R)^2;;
35 I1=0;
36 V1=0;
37
38 % Cálculo de tensión y corriente sobre la carga
39 for k=2:( length(t)/2);
40 n=k-1; % Orden armónico
41 Cn=Cn_a(k); % Coeficiente C para la armónica n
42 Zc=R+j*n*w*L; % Impedancia de la carga par la armónia n
43 ZLf=j*n*w*Lf; % Reactancia inductiva del filtro
44 Zcf =1/(j*n*w*Cf); % Recatncia capacitiva del filtro
45 Zent=ZLf+Zcf*Zc/(Zcf+Zc); % Impedancia de entrada del convertidor
46 DT=Cn*(Zcf*Zc/((Zcf+Zc)*Zent)); % Caida de tensión en la carga
47 % Tensión en el convertidor
48 vco=vco+real(Cn*exp(-j*2*pi*n*t/T));
49 % Corriente por el convertidor
50 i=i+real(Cn/Zent*exp(-j*2*pi*n*t/T));

52 vc=vc+real(DT*exp(-j*2*pi*n*t/T));
53 % Corriente en la carga
54 ic=ic+real(DT/Zc*exp(-j*2*pi*n*t/T));
55 if n==1
56 V1=abs(DT/sqrt (2));
57 I1=abs((Cn/Zc)/sqrt (2));
58 end
59 Vrms=Vrms+abs(DT^2)/2;
60 Irms=Irms+abs(Cn/Zc)^2/2;
61 end
62 % Cálculo del valor Efectivo
63 Vrms=sqrt(Vrms)
64 Irms=sqrt(Irms)
65 % Cálculo del THD
66 THD_v=sqrt(Vrms^2-V1^2)/V1
67 THD_i=sqrt(Irms^2-I1^2)/I1
68 % Cálculo de Fundamentales
69 V1
70 I1
71 % Graficas
72 figure (1) % Corriente en la Carga
73 plot(t,ic,'LineWidth ' ,2);grid
75 xlim ([0 T]);
81 xlim ([0 T]);
Rutina para la evaluación de la Tensión efectiva del puente
1 % Controlador AC-AC por PWM Evaluación de Tensión Efectiva
2
3 % Datos

4
5 V=input('Tensión efectiva de la fuente ');
6 f=input('Frecuencia de la fuente ');
7 Duty=input('Porcentaje del Ciclo de Trabajo ');
8 fp=input('Múltiplo de la fundamental de la portadora ');
9
10 % Variables
11 fp=fp*f;
12 T=1/f;
13 t=linspace(0,T ,1000) ;;
14 Vf=sqrt (2)*V*sin(2*pi*f*t);
15 PWM=( square (2*pi*fp*t,Duty)+1)/2;
16 onda=PWM.*Vf;
17
18 % Contenido Armónico
19 Np=length(onda);
20 a=fft(onda)*2/Np;
21 a(1)=a(1)/2;
22
23 % Valores Efectivos de Tensión
24 np=floor(Np/2);
25 Vrms=sqrt((sum((abs(a(2:np))/sqrt (2)).^2))+abs(a(1))^2)
26 THDv= sqrt(Vrms^2-(abs(a(2))/sqrt (2))^2)/(abs(a(2))/sqrt (2))
27
28 % Figura
29 figure (1)
30 plot(t,Vf,t,onda ,'r');grid
31 figure (2)
32 bar ((0:49) ,abs(a(1:50))./abs(a(2)));
33 grid;
34 axis([-1 50 0 1.2]);
35 xlabel('Armónica de la fundamental ')
36 ylabel('p.u. fundamental ')
37 legend('Contenido Armónico de Tensión ')

11.7. Compensador Estático de Reactivos
En la ﬁgura 11.23 se presenta el esquema de un compensador estático de reactivos, este puente esta
conformado por un condensador en paralelo a un controlador AC - AC que alimenta a un inductor,
la potencia reactiva entregada a la barra por el compensador se puede calcular como:
Qneta = Qinductor −Qcapacitor
Qneta =
V2
L
ωL −V2ωC
(11.27)
donde:
V Tensión efectiva de la barra de alimentación del SVS
Figura 11.23: Esquema del compensador estático de reactivos
La tensión efectiva (VL) sobre el inductor se puede calcular a partir de la expresión (11.15) con un
ángulo de apagado de 2π −α como:
VL = V 2−
2α
π
(11.28)
11.8. Ejercicios
1. Un controlador AC - AC monofásico, se alimenta de un sistema de120V efectivos a 60Hz
y alimenta una carga de R = 22Ω y L = 20mH. Este puente se acciona a dos ángulos de
disparo de 45◦ y 90◦. Determine: Valor efectivo de la corriente en la carga y los SCR, potencia
consumida por la carga, factor de potencia de la fuente y carga y THD de tensión y corriente
en la carga.
2. Una carga resistiva absorbe 200W cuando se conecta a una fuente de tensión de 240V efec-
tivos @ 60Hz. Diseñar un circuito en el que la misma resistencia absorba 200W cuando la
tensión efectiva de la fuente sea de 416V @ 60Hz.

3. Que ventaja y desventaja tiene utilizar para la construcción de este puente un triac en vez de
dos SCR en anti paralelo.
4. Para el puente de la ﬁgura 11.24, determine en función de los ángulos de disparo α1 y α2:
a) Expresiones de corriente en régimen permanente.
b) Límite de controlabilidad.
c) Formas de onda de tensión y corriente.
d) Valor efectivo de la tensión y corriente sobre la carga.
e) Contenido armónico de las tensiones y corrientes sobre la carga.

Capítulo 12
Controlador DC - DC
Los controladores DC - DC tiene como finalidad suministrar tensión y corriente continua variable
a partir de una fuente de corriente continua. En la literatura a estos convertidores estáticos se les
conoce como: "Chopper" o "Troceadores". Su principio de funcionamiento se basa en una opera-
ción periódica, en donde se suministra tensión de la fuente a la carga durante un tiempo (ton) y
posteriormente se aplica un cortocircuito sobre esta, el resto del período (T). Para la construcción
de un chopper, se requieren componentes con control de encendido y apagado. En muchas oportu-
nidades se han utilizado tiristores con circuitos auxiliares de apagado. En la figura 12.1 se ilustra el
principio de funcionamiento, presentando la tensión sobre la carga.
La tensión media sobre la carga se puede calcular a partir de la definición como:
V0 = 1
T
¡ ton
0 VDCdt
V0 = VDC
ton
T
(12.1)
Se define como razón de conducción del chopper (δ) al término:
δ =
ton
T
(12.2)
Sustituyendo la definición de la ecuación (12.2) en la expresión (12.1), se obtiene la tensión media
sobre la carga en función de la razón de conducción.
V0 = VDCδ (12.3)
donde:
0 ≤ δ ≤ 1
313

314 12.2. Aplicaciones
Figura 12.1: Tensión sobre la carga de un controlador DC - DC
En la ﬁgura 12.1, se presenta la tensión media sobre la carga. Para este caso corresponde al 60%de
la fuente, es decir, δ = 0,6.
12.2. Aplicaciones
Control de motores de corriente continua.
Fuentes de poder DC.
Tracción de vehículos eléctricos.
Frenado eléctrico.
12.3. Tipos de Convertidores DC - DC
En esta sección detallaremos los esquemas de las distintas conﬁguraciones de los chopper más
utilizadas en la industria. La componente con control de encendido y apagado se denotara con el
símbolo de un tiristor circunscrito en un circulo, esta componente puede ser: un tiristor con circuito
de apagado, un tiristor autodesactivable o un transistor. En los esquemas se denotara el sentido de
circulación de la corriente por la carga y la tensión sobre esta.

12.3.1. Chopper Reductor o Tipo "A"
En la figura 12.2, se presenta el esquema de un chopper reductor o tipo "A". En este esquema la
corriente por la carga sólo puede ser positiva al igual que la tensión, debido a la disposición de
las dos componentes de potencia. Su principal aplicación como su nombre lo indica es suministrar
tensión continua variable desde cero hasta el valor de la fuente. En este puente la componente con
control se utiliza para suministrar tensión a la carga mientras que el diodo de descarga libre origina
el cortocircuito necesario para regular la tensión.
Figura 12.2: Chopper tipo "A"
12.3.2. Chopper Elevador o Tipo "B"
En la figura 12.3, se presenta el esquema de un chopper elevador o tipo "B". En este esquema,
la componente principal coloca la carga en cortocircuito, estableciendo una corriente en sentido
contrario al indicado en la figura. Al apagarse la componente principal la inductancia de la carga se
opondrá al cambio brusco de corriente manteniendo el sentido de circulación de esta, de la carga a
la fuente. Este puente requiere para su funcionamiento que la carga sea activa, es decir, que posea
fuente de tensión y que posea una componente de inductancia. La fuente de la carga es inferior a la
de la fuente, de hay el nombre de chopper elevador. Su principal aplicación es frenado regenerativo.

316 12.3. Tipos de Convertidores DC - DC
Figura 12.3: Chopper tipo "B"
12.3.3. Chopper Tipo "C"
En la ﬁgura 12.4, se presenta el esquema del chopper tipo "C", este puente combina a los dos ante-
riores en un solo convertidor. Permite tanto la operación de reducción como elevación de tensión,
su funcionamiento tiene las mismas restricciones que el chopper elevador. Su principal aplicación
es en tracción de vehículos eléctricos tanto en las operación de aceleración como de frenado. Este
puente se utiliza en el Metro de Caracas para el control de las armaduras de los motores de corriente
continua, utilizados en tracción y frenado de los vagones.
Figura 12.4: Chopper tipo "C"
12.3.4. Chopper Tipo "D"
En la ﬁgura 12.5, se presenta el esquema de un chopper tipo "D". Este puente suministra tensión
positiva cuando las componentes con control están conduciendo y tensión negativa cuando están

apagadas. La corriente en la carga sólo puede ser positiva por la disposición de las componentes de
potencia.
Figura 12.5: Chopper tipo "D"
12.3.5. Chopper Tipo "E"
En la ﬁgura 12.6, se presenta el esquema del chopper tipo "E", a esta conﬁguración también se le
conoce en la literatura como inversor o puente "H". Este esquema se obtiene de la superposición
de de dos chopper tipo "D" en contra fase. Esta estructura, le da la posibilidad de suministrar
tensión y corriente positiva y negativa a la carga. Su principal aplicación adicional a la de inversor
(suministrar tensión AC a partir de una fuente DC) es la del control de los campos de motores de
corriente continua para vehículo eléctricos, este puente permite invertir el sentido de circulación de
la corriente en el devanado lo que ocasiona la inversión del sentido de giro del motor. En el caso
del Metro de Caracas esto permite invertir el sentido de circulación de tren sin girar los vagones.

318 12.3. Tipos de Convertidores DC - DC
Figura 12.6: Chopper tipo "E"
12.3.6. Chopper a Transistores
En la ﬁgura 12.7, se presenta el esquema de un chopper reductor con transistores el principio de
funcionamiento es el mismo que el del chopper tipo "A".
Figura 12.7: Chopper a transistores

12.4. Análisis del Chopper Reductor
En la figura 12.8, se presenta el esquema de un chopper reductor con carga resistiva inductiva y
fuente de tensión.
Figura 12.8: Chopper reductor
Dependiendo de los valores de resistencia, inductancia y fuente de tensión (E) el puente puede
presentar dos condiciones de operación diferentes. La primera denominada "Condición No Con-
tinuada" en la cual la corriente pasa por cero durante el tiempo que no conduce la componente
principal, apagando el diodo de descarga libre. La segunda denominada "Condición Continuada"
la corriente no pasa por cero y se establece un régimen permanente que satisface:
i(t) = i(t +T) (12.4)
12.4.1. Condición No Continuada
En la figura 12.9, se presenta la forma de onda de corriente y tensión para la carga en condición
no continuada de corriente para una carga de 60Ω, 20mH y 50V, alimentada desde una fuente de
corriente continua de 100V con una razón de conducción de 0,6. El chopper opera a una frecuencia
de 1kHz. En esta figura se puede destacar que la corriente es periódica para todos los ciclos de
operación. La corriente pasa naturalmente por cero en un tiempo igual a tβ = 0,8mseg.
La corriente en cada una de las componentes que conforman este puente, en la condición no conti-
nuada de corriente se presenta en la figura 12.10.

320 12.4. Análisis del Chopper Reductor
Figura 12.9: Tensión y corriente en la carga para un chopper reductor en condición no continuada
de corriente
(a) Componente principal (Qp) (b) Componente Secundaria (Qs)
Figura 12.10: Corrientes en las componentes del chopper reductor en condición no continuada de
corriente
12.4.1.1. Expresión de Corriente Condición No Continuada.
Analizando la forma de onda de corriente para la condición no continuada mostrada en la ﬁgura
12.9, se debe analizar por un lado el circuito cuando la componente principal (Qp) esta conduciendo
(0 ≤ t ≤ ton) y por el otro el circuito cuando la componente secundaria (Qs) que funciona como
diodo de descarga libre está en operación (ton ≤ t ≤ tβ ).

Corriente para 0 ≤ t ≤ ton
La ecuación diferencial del circuito en esta condición es:
VDC = Ri+L
di
dt
+E (12.5)
La corriente para este intervalo de tiempo viene dado por la solución de la ecuación diferencial
(12.5), con condición inicial i(0) = 0.
i(t) =
VDC −E
R
1−e
−t
τ (12.6)
donde:
τ =
L
R
Para evaluar la operación del diodo de descarga libre es necesario conocer la condición ﬁnal de
corriente en el extremo de este intervalo (i(ton)) que es la condición inicial de corriente para el
diodo.
i(ton) = Imax =
VDC −E
R
1−e
−ton
τ (12.7)
Corriente para ton ≤ t ≤ tβ
La ecuación diferencial del circuito en esta condición es:
0 = Ri+L
di
dt
+E (12.8)
La corriente para este intervalo de tiempo viene dado por la solución de la ecuación diferencial
(12.8), con condición inicial de la expresión (12.7) (i(ton) = Imax).
i(t) = −E
R 1−e−
(t−ton)
τ +Imaxe−
(t−ton)
τ
i(t) = −E
R 1−e−
(t−ton)
τ + VDC−E
R 1−e
−ton
τ e−
(t−ton)
τ
(12.9)
Para evaluar el tiempo (tβ ) en el cual la corriente pasa por cero se iguala a cero la expresión (12.9)
y se despeja el tiempo.
tβ = τ ln e
ton
τ 1+
VDC −E
E
1−e−ton
τ (12.10)

Tensión Media
Para calcular la tensión media sobre la carga se aplica la definición en la forma de onda de tensión
de la figura 12.9.
V0 = 1
T
¡ ton
0 VDCdt +
¡ T
tβ
Edt
V0 = VDC
ton
T +E
(T−tβ )
T
V0 = VDCδ +E 1−
tβ
T
(12.11)
12.4.2. Condición Continuada
En la figura 12.11, se presenta la forma de onda de corriente para una carga de 60Ω, 200mH y 40V,
alimentada desde una fuente de corriente continua de 100V con una razón de conducción de 0,6. El
chopper opera a una frecuencia de 1kHz. En esta figura se puede destacar que la corriente presenta
una estabilización desde cero hasta su régimen permanente.
Figura 12.11: corriente en la carga para un chopper reductor en condición continuada de corriente
En la figura 12.12 se presenta el detalle de la corriente y tensión en régimen permanente de ope-
ración para la carga de 60Ω, 200mH y 40V. La corriente en cada una de las componentes que
conforman este puente, en la condición continuada de corriente se presenta en la figura 12.13.

Figura 12.12: Tensión y corriente en la carga para un chopper reductor en condición no continuada
de corriente
(a) Componente principal (Qp) (b) Componente Secundaria (Qs)
Figura 12.13: Corrientes en las componentes del chopper reductor en condición no continuada de
corriente
12.4.3. Expresión de Corriente Condición Continuada.
Analizando la forma de onda de la corriente de la ﬁgura 12.11 para la condición continuada , se
requiere analizar por un lado el circuito cuando la componente principal (Qp) esta conduciendo
(0 ≤ t ≤ ton) y por el otro el circuito cuando conduce la componente secundaria (Qs) (ton ≤ t ≤ T).

12.4.3.1. Primer ciclo de operación
La ecuación diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la ex-
presión (12.5) al igual que en la condición anterior. Con la condición inicial (i(0) = 0), la corriente
en este intervalo viene dada por la expresión (12.6).
i(t) =
VDC −E
R
1−e− t
τ (12.12)
Donde
τ corresponde a la constante de tiempo del circuito.
Para evaluar la operación del diodo de descarga libre es necesario calcular la condición final de
corriente (i(ton)) de este circuito que corresponde a la condición inicial de corriente del próximo
intervalo.
i(ton) = Ia =
VDC −E
R
1−e−ton
τ (12.13)
Corriente para ton ≤ t ≤ T
La ecuación diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la
expresión (12.8) al igual que en la condición anterior. Con la condición inicial (i(ton) = Ia), la
corriente en este intervalo viene dada por la expresión (12.9).
i(t) = −
E
R
1−e−
(t−ton)
τ +Iae−
(t−ton)
τ (12.14)
Para evaluar el próximo ciclo de operación es necesario evaluar la condición final de la corriente
de la expresión (12.14), en t = T.
i(T) = Ib = −
E
R
1−e−
(T−ton)
τ +Iae−
(T−ton)
τ (12.15)
12.4.3.2. Segundo ciclo de operación
Como la función es periódica para comodidad del análisis se redefinará el eje del tiempo a t = 0
para el segundo ciclo de operación del puente

La ecuación diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la ex-
presión (12.5) al igual que en la condición anterior. Con la condición inicial (i(0) = Ib), la corriente
en este intervalo viene dada por la expresión:
i(t) =
VDC −E
R
1−e− t
τ +Ibe− t
τ (12.16)
Para evaluar la operación del diodo de descarga libre es necesario calcular la condición ﬁnal de
corriente (i(ton)) de este circuito que corresponde a la condición inicial de corriente del próximo
intervalo.
i(ton) = I1 =
VDC −E
R
1−e−ton
τ +Ibe−ton
τ (12.17)
La ecuación diferencial del circuito cuando conduce la componente principal viene dada por la
expresión (12.8) al igual que en la condición anterior. Con la condición inicial (i(ton) = I1), la
corriente en este intervalo viene dada por la expresión (12.17).
i(t) = −
E
R
1−e−
(t−ton)
τ +I1e−
(t−ton)
τ (12.18)
Para evaluar el próximo ciclo de operación es necesario evaluar la condición ﬁnal de la corriente
de la expresión 12.18, en t = T.
i(T) = I2 = −
E
R
1−e−
(T−ton)
τ +I1e−
(T−ton)
τ (12.19)
12.4.3.3. Régimen Permanente
Se puede seguir evaluando ciclo a ciclo de operación hasta alcanzar la condición de régimen per-
manente dado por la expresión (12.4). Otra manera, es utilizar la condición de la expresión (12.4)
en las ecuaciones (12.17) y (12.19) para obtener los valores de la corriente en t = ton(Imax) y t = T
(Imin) en régimen permanente. De la condición de régimen permanente se obtiene:
i(0) = i(T) = Imin (12.20)
i(ton) = Imax (12.21)

Sustituyendo las expresiones (12.20) y (12.21) en las expresiones (12.17) y (12.19), se obtiene:
Imax =
VDC −E
R
1−e−ton
τ +Imine−ton
τ (12.22)
Imin = −
E
R
1−e−
(T−ton)
τ +Imaxe−
(T−ton)
τ (12.23)
Imax = VDC−E
R 1−e−ton
τ + −E
R 1−e−
(T−ton)
τ +Imaxe−
(T−ton)
τ e−ton
τ
Imax = VDC−E
R 1−e−ton
τ + E
R e−T
τ − E
R e−ton
τ +Imaxe−T
τ
Imax 1−e−T
τ = VDC
R 1−e−ton
τ + E
R e−T
τ −1
Imax = VDC
R
1−e−ton
τ
1−e− T
τ
+ E
R
e− T
τ −1
1−e− T
τ
Imax = VDC
R
1−e−ton
τ
1−e− T
τ
− E
R = VDC
R
1−e− δT
τ
1−e− T
τ
− E
R
(12.24)
Sustituyendo el resultado de la expresión (12.24), en la ecuación (12.23) se obtiene:
Imin =
VDC
R
e
ton
τ −1
e
T
τ −1
−
E
R
=
VDC
R
e
δT
τ −1
e
T
τ −1
−
E
R
(12.25)
El rizado de operación del chopper se puede calcular a partir de los resultados de las expresiones
(12.24) y (12.25) como:
∆i =
Imax −Imin
2
=
VDC
2R


1−e−ton
τ
1−e−T
τ
−
e
ton
τ −1
e
T
τ −1

 (12.26)
Reduciendo la expresión del rizado de corriente (12.26), se obtiene:
∆i =
VDC
2R
1−e−ton
τ +e−T
τ −e−
(T−ton)
τ
1−e−T
τ
=
VDC
2R
1−e−δT
τ +e−T
τ −e−
(1−δ)T
τ
1−e−T
τ
(12.27)
La razón de conducción (δmax) que maximiza el rizado de corriente se obtiene como:
∂∆i
∂δ δmax
=
VDC
2R
τ
T
e
(1−δmax)T
τ −e
δmaxT
τ
1−e−T
τ
= 0 (12.28)

Despejando el valor de δmax de la ecuación (12.28), se obtiene:
δmax =
1
2
(12.29)
12.4.3.4. Tensión Media
Para calcular la tensión media sobre la carga se aplica la deﬁnición en la forma de onda de tensión
de la ﬁgura 12.12.
V0 = 1
T
¡ ton
0 VDCdt
V0 = VDC
ton
T
V0 = VDCδ
(12.30)
12.4.4. Simulación
1 % Chopper Tipo A
2 % Datos
3 V=input('Tension DC de la fuente ');
7 T=input('Periodo [s] ');
8 ton=input('Tipo de encendido [s] ');
9 % Corrientes
10 delta=ton/T
11 tau=L/R
12 Imax=(V/R*(1-exp(-delta*T/tau))/(1-exp(-T/tau)))-E/R;
13 Imin=(V/R*(exp(delta*T/tau) -1)/(exp(T/tau) -1))-E/R;
14 t1=linspace(0,ton ,1000);
15 t2=linspace(ton ,T ,1000);
16 if Imin <0
17 disp('Condición no continuada ')
18 i1=(V-E)/R*(1-exp(-t1/tau));
19 Imax=(V-E)/R*(1-exp(-ton/tau))
20 Imin =0;
21 tb=tau*log(exp(ton/tau)*(1+(V-E)/E*(1-exp(-ton/tau))))
22 t2=linspace(ton ,tb ,500);
23 i2=(-E)/R*(1-exp(-(t2-ton)/tau))+Imax*exp(-(t2-ton)/tau);

24 t3=linspace(tb,T,500);
25 v=[V*ones(size(t1)),zeros(size(t2)),E*ones(size(t3))];
26 t2=[t2,t3];
27 i2=[i2,zeros(size(t3))];
28 else
29 Imin
30 Imax
31 i1=(V-E)/R*(1-exp(-t1/tau))+Imin*exp(-t1/tau);
32 i2=(-E)/R*(1-exp(-(t2-ton)/tau))+Imax*exp(-(t2-ton)/tau);
33 v=[V*ones(size(t1)),zeros(size(t2))];
34 end
35
36 rizado =(Imax -Imin)/2
37 i=[i1,i2];
38 t=[t1,t2];
39
40 % Valores Medios
41 Io=1/T*trapz(t,i)
42 Vo=1/T*trapz(t,v)
43
45 Irms=sqrt (1/T*trapz(t,i.^2))
46 Vrms=sqrt (1/T*trapz(t,v.^2))
47
48 % Factores de Rizado
51
52 % Graficas
53 vf=V*ones(size(t));
54 vx=[v];
55 ix=[i];
56 t1=t;
57 figure (1)
61 xlim ([0 T]);
63 ylabel('Tensión ','fontsize ',14,'fontname ','Times');

64
65 figure (2)
67 xlim ([0 T]);
70 ylabel('Corriente ','fontsize ',14,'fontname ','Times');
71
72 figure (3) % Componente Principal
73 plot(t1 ,[i1,zeros(size(i2))],'LineWidth ' ,2);grid
75 xlim ([0 T]);
76 xlabel('Tiempo ','fontsize ',14,'fontname ','Times'); ylabel('Corriente '
,'fontsize ',14,'fontname ','Times');
77
78 figure (4) % Componente Secundaria
79 plot(t1 ,[zeros(size(i1)),i2],'r','LineWidth ' ,2);grid
81 xlim ([0 T]);
82 xlabel('Tiempo ','fontsize ',14,'fontname ','Times'); ylabel('Corriente '
,'fontsize ',14,'fontname ','Times');
12.5. Chopper Elevador con carga LE
En la ﬁgura 12.14, se presenta el esquema de un chopper elevador, la principal aplicación de es-
te convertidor es el de recuperación de energía a la red, en especial en operaciones de frenado
eléctrico.
Figura 12.14: Esquema del chopper elevador

330 12.5. Chopper Elevador con carga LE
El principio de operación de este chopper es bastante simple, la componente principal coloca un
cortocircuito sobre la carga estableciendo una corriente circulatoria en el sentido mostrado en la
figura 12.14, y acumulando energía en el inductor. Al apagar la componente principal la energía
acumulada en el inductor fuerza el encendido del diodo a fin de mantener la condición de corriente,
durante este tiempo se establece una corriente circulatoria entre la fuente E2 y E1, hasta que se
encienda nuevamente la componente principal o que la corriente trate de cambiar de sentido de
circulación lo que ocasionaría el apagado natural del diodo. En la figura 12.15, se presenta la
forma de onda de corriente y tensión de este puente para un inductancia de 100mH , una fuente
E2 = 60V y E1 = 100V. La razón de conducción del chopper es 0,4 con una frecuencia de operación
de 500Hz. Adicionalmente, en la figura 12.16, se muestra la corriente en cada componente que
conforma el convertidor para esta condición de operación.
Figura 12.15: Corriente y tensión en la carga para un chopper elevador

Figura 12.16: Corriente en las componentes del chopper elevador
12.5.1. Expresión de corriente
La ecuación diferencial del circuito para este intervalo de operación viene dada por la siguiente
expresión:
E2 = L
di
dt
(12.31)
La solución a la ecuación diferencial (12.31) es:
i(t) =
E2
L
t +i(0) (12.32)
Evaluando la corriente en la condición ﬁnal del intervalo, para obtener la condición inicial del
próximo se obtiene:
i(ton) = I1 =
E2
L
ton +i(0) (12.33)

332 12.5. Chopper Elevador con carga LE
La ecuación diferencial del circuito para este intervalo de operación viene dada por la siguiente
expresión:
E2 −E1 = L
di
dt
(12.34)
La solución a la ecuación diferencial (12.34), con condición inicial de corriente de la expresión
(12.33) en t = ton:
i(t) =
E2 −E1
L
(t −ton)+I1 (12.35)
=
E2 −E1
L
(t −ton)+
E2
L
ton +i(0)
=
E2
L
t −
E1
L
(t −ton)+i(0)
Evaluando la corriente en la condición ﬁnal del intervalo, para obtener la condición inicial del
próximo se obtiene:
i(T) = I2 =
E2
L
T −
E1
L
(T −ton)+i(0) (12.36)
Para calcular el régimen permanente utilizaremos la condición de régimen permanente, que esta-
blece que la corriente es periódica:
i(0) = i(T) = Imin
i(ton) = Imax
(12.37)
Para encontrar los valores de Imax e Imin se sustituye la expresión (12.37) en la (12.36) para obtener:
Imin = E2
L T − E1
L (T −ton)+Imin
0 = E2
L T − E1
L (T −ton)
0 = E2T −E1 (T −ton)
(12.38)
Dividiendo la expresión (12.38) entre T se obtiene:
E1 1− ton
T = E2
E2
E1
= (1−δ)
(12.39)
El resultado de la expresión (12.39), se le conoce como condición de régimen permanente del
chopper elevador.

12.6. Chopper elevador con carga activa RLE
En la ﬁgura 12.17, se presenta el esquema de un chopper elevador con carga activa RLE. En la
ﬁgura 12.18 se presenta la formas de onda de tensión, corriente y potencia entregada a la fuente
durante un periodo en régimen permanente de operación continuada del convertidor.
Figura 12.17: Chopper elevador con carga activa
(a) Tensión (b) Corriente (c) Potencia
Figura 12.18: Chopper elevador con carga activa
12.6.1. Etapa de acumulación de energía 0 ≤ t ≤ ton
Durante esta etapa se puede calcular la corriente de cortocircuito de régimen permanente, con la
componente principal cerrada, a partir de la ecuación diferencial del circuito y de la condición
inicial de régimen permanente (i(0) = Imin):
i(t) =
E
Ra
1−e− t
τ +Imine− t
τ (12.40)

334 12.6. Chopper elevador con carga activa RLE
Donde:
τ =
La +Lchoque
Ra
De la expresión (12.40), se puede calcular la condición final de corriente en el intervalo para t =
toncomo:
i(ton) = Imax =
E
Ra
1−e−ton
τ +Imine−ton
τ (12.41)
12.6.2. Etapa de devolución de energía a la fuente ton ≤ t ≤ T
Calculando la corriente que circula por la fuente al abrir la componente principal a partir de la
ecuación diferencial del circuito y de la condición inicial (12.41), se obtiene:
i(t) =
E −VDC
Ra
1−e−
(t−ton)
τ +Imaxe−
(t−ton)
τ (12.42)
Evaluando la expresión de corriente (12.42) en el final del intervalo e igualándola a la condición
final de régimen permanente (i(T) = Imin), se obtiene:
i(T) = Imin =
E −VDC
Ra
1−e−
(T−ton)
τ +Imaxe−
(T−ton)
τ (12.43)
12.6.3. Rizado de corriente
De las expresiones (12.41) y (12.43), se pueden obtener los valores de Imin e Imax en régimen
permanente sustituyendo una ecuación en la otra y simplificando.
Imax =
E
Ra
−
VDC
Ra
e−ton
τ −e−T
τ
1−e−T
τ
=
E
Ra
−
VDC
Ra
e−δT
τ −e−T
τ
1−e−T
τ
(12.44)
Imin =
E
Ra
−
VDC
Ra
1−e−
(T−ton)
τ
1−e−T
τ
=
E
Ra
−
VDC
Ra
1−e−
(1−δ)T
τ
1−e−T
τ
(12.45)
Con los resultados de las expresiones (12.44) y (12.45), se puede calcular el rizado de corriente
como:

∆i =
Imax −Imin
2
=
VDC
2Ra
1−e−ton
τ +e−T
τ −e−
(T−ton)
τ
1−e−T
τ
=
VDC
2Ra
1−e−δT
τ +e−T
τ −e−
(1−δ)T
τ
1−e−T
τ
(12.46)
Comparando las expresiones (12.46) y (12.27), se puede observar que el rizado de corriente del
chopper elevador elevador con carga RLE es el mismo obtenido para esta carga en la conﬁguración
reductora. Por tanto la razón de conducción que maximiza el valor de rizado de corriente es el
mismo de la expresión (12.29).
12.6.4. Potencia promedio de devuelta a la red
La potencia promedio de frenado se calcula como el promedio de la potencia instantánea entregada
a la fuente cuando la componente principal esta abierta (ton ≤ t ≤ T). Esta potencia viene dado por
la expresión:
Pfrenado = VDC
1
T
¢ T
ton
E −VDC
Ra
1−e−
(t−ton)
τ +Imaxe−
(t−ton)
τ dt (12.47)
Desarrollando la expresión (12.47), se obtiene:
Pfrenado =
V2
DC
Ra
E
VDC
−1 (1−δ)+ τ
T
1+e− T
τ −e−ton
τ −e−
(T−ton)
τ
1−e− T
τ
Pfrenado =
V2
DC
Ra
E
VDC
−1 (1−δ)+ τ
T
e− δT
τ +e−
(1−δ)T
τ −e− T
τ −1
1−e
T
τ
(12.48)
12.6.5. Simulación
1 % Chopper Tipo B
2 % Datos
3 V=input('Tension DC de la fuente ');
7 T=input('Periodo [s] ');
8 ton=input('Tipo de encendido [s] ');
9 % Corrientes
10 delta=ton/T
11 tau=L/R

336 12.6. Chopper elevador con carga activa RLE
12 Imax=E/R-V/R*(exp(-delta*T/tau)-exp(-T/tau))/(1-exp(-T/tau));
13 Imin=E/R-V/R*(1-exp(-(1-delta)*T/tau))/(1-exp(-T/tau));
14 t1=linspace(0,ton ,1000);
15 t2=linspace(ton ,T ,1000);
16 % Condición de operación
17
18 if Imin <0
19 disp('Condición no continuada ')
20 Imin=0
21 i1=E/R*(1-exp(-t1/tau))+Imin*exp(-t1/tau);
22 Imax=max(i1)
23 i2=(E-V)/R*(1-exp(-(t2-ton)/tau))+Imax*exp(-(t2-ton)/tau);
24 valor=(i2 >=0);
25 i2=i2.*valor;
26 v=[zeros(size(t1)),(V*ones(size(t2)).*valor)+(1-valor).*E];
27 tb=t2((valor));
28 tb(length(tb))
29 else
30 i1=E/R*(1-exp(-t1/tau))+Imin*exp(-t1/tau);
31 i2=(E-V)/R*(1-exp(-(t2-ton)/tau))+Imax*exp(-(t2-ton)/tau);
32 v=[zeros(size(t1)),V*ones(size(t2))];
33 end
34
35 % Corrientes
36
37 rizado =(Imax -Imin)/2
38 i=[i1,i2];
39 t=[t1,t2];
40
41 % Valores Medios
43 Vo=1/T*trapz(t,v)
44
46 Irms=sqrt (1/T*trapz(t,i.^2))
47 Vrms=sqrt (1/T*trapz(t,v.^2))
48
49 % Factores de Rizado

52
53 % Potencia de Frenado
54 frenado =(t>=ton);
55 p=v.*i.* frenado;
56 P=1/T*trapz(t,p)
57
58 % Graficas
59 vf=V*ones(size(t));
60 vx=[v];
61 ix=[i];
62 t1=t;
63 figure (1)
67 xlim ([0 T]);
70
71 figure (2)
73 xlim ([0 T]);
77
78 figure (3)
79 plot(t1,p,'LineWidth ' ,2);grid
80 xlim ([0 T]);
83 ylabel('Potencia devuelta a la red (W)','fontsize ',14,'fontname ','
Times');

338 12.7. Convertidor Buck
12.7. Convertidor Buck
En la figura 12.19, se presenta la configuración del puente convertidor DC/DC tipo Buck. Este
puente presenta dos interruptores electrónicos (Sw y Sw) cuya operación es complementaria entre
sí.
Figura 12.19: Puente Convertidor Buck
En la figura 12.20, se puede observar las dos topologías del puente convertidor Buck en función del
estado del interruptor Sw.
(a) Sw cerrado (b) Sw abierto
Figura 12.20: Topologías del convertidor Buck en función del estado de Sw
Analizando la tensión en bornes del interruptor Sw en función de la operación del convertidor se
obtiene la forma de onda de la figura 12.21.

Figura 12.21: Tensión en bornes del interruptor Sw
La forma de onda de la ﬁgura 12.21 se puede descomponer en Series de Fourier como:
v(t) = ℜe
∞
∑
n=0
Cne−j 2πn
T t
(12.49)
donde:
Cn =
2
T
¢ ton
0
VDCej 2πn
T t
dt (12.50)
Resolviendo la expresión (12.50), se obtiene
C0 = VDCδ
Cn = −jVDC
nπ ej2πδn −1 ∇ n ≥ 1
(12.51)
Sustituyendo las expresiones (12.51) en la Serie de Fourier de la ecuación (12.49), se obtiene:
v(t) = VDC δ +ℜe
∞
∑
n=1
−j
1
nπ
ej2πδn
−1 e−j 2πn
T t
(12.52)
A partir de la Serie de Fourier de v(t) con la impedancia de entrada del circuito vista desde los
terminales del interruptor electrónico Sw se puede calcular la corriente i(t) como:
i(t) = VDC
δ
R
+ℜe
∞
∑
n=1
−j
1
nπZent(n)
ej2πδn
−1 e−j 2πn
T t
(12.53)

donde:
Zent(n) = jωnL+R
1
jωnC
= jωnL+
R
jωnRC +1
(12.54)
En el circuito de la ﬁgura 12.19, se puede determinar la tensión sobre la resistencia vcarga(t) a partir
de la Serie de Fourier de v(t) (ecuación (12.52)) utilizando un divisor de tensión para cada una de
las frecuencia n.
vcarga(t) = VDC

δ +ℜe


∞
∑
n=1
−j
1
nπ


ej2πδn −1 R
jωnL(jωnRC +1)+R

e−j 2πn
T t



 (12.55)
12.7.1. Simulación
1 % Chopper Tipo BUCK
2 % Datos
3 Vdc =input('Tension DC de la fuente ');
4 R =input('Resistencia [Ohm] ');
5 L =input('Inductancia [H] ');
6 C =input('Capacitancia [F] ');
7 T =input('Periodo [s] ');
8 delta =input('Razón de Conducción ');
9
11 t=linspace(0,T ,1000); % Tiempo
12 w=2*pi/T; % Frecuencia Eléctrica
13 % Valor medio de la tensión de fuente, carga y corriente por el inductor
14 v=delta*Vdc*ones(size(t));
15 vc=v;
16 i=v/R;
17 % Para precisión del programa se calcularán 1000 armónicas
18 for n=1:1000;
19 % Tensión de la fuente (fig. 12.21)
20 Cn=-j*Vdc/(n*pi)*(exp(j*2*pi*delta*n) -1); % Coeficientes de Fourier
21 v=v+real(Cn*exp(-j*2*pi*n*t/T));
22 % Corriente en el inductor
23 Zn=j*w*n*L+R/(R*n*C*j*w+1); % Impedancia de entrada
24 i=i+real(Cn/Zn*exp(-j*2*pi*n*t/T));

26 DT=R/(j*w*n*L*(R*n*C*j*w+1)+R); % Divisor de tensión
27 vc=vc+real(Cn*DT*exp(-j*2*pi*n*t/T));
28 end
29 % Cálculo del Rizado
30 Rizado_corrinte =(max(i)-min(i))/2
31 Rizado_Tension_Carga =(max(vc)-min(vc))/2
32
33 % Graficas
34 figure (1) % Corriente en el Inductor
35 plot(t,i,'LineWidth ' ,2);grid
37 xlim ([0 T]);
43 xlim ([0 T]);
12.7.2. Análisis aproximado
Muchos autores analizan el convertidor Buck de manera aproximada suponiendo que la tensión
vcarga ≈ V0, es decir que el valor de capacitancia C es muy elevado y permite asumir que la tensión
es aproximadamente constante y de valor δVDC. En esta condición la corriente por el inductor (i(t))
se puede calcular como:
i(t) =
1
L
¢
vL(t)dt (12.56)
donde:
vL(t) =



VDC −V0 0 ≤ t ≤ ton
−V0 ton < t < T
(12.57)
Resolviendo la ecuación (12.56) para las dos condiciones de tensión del inductor en función de la
conectividad del interruptor Sw dadas en la expresión (12.57), se obtiene:

i(t) =



VDC−V0
L t +Imin 0 ≤ t ≤ ton
−V0
L (t −ton)+Imax ton < t < T
(12.58)
En la ﬁgura 12.22 se presenta la forma de onda de la corriente i(t) para esta condición de operación.
Figura 12.22: Forma de onda de la corriente i(t)
La corriente media de la ﬁgura 12.22 por el inductor se puede calcular de forma aproximada como:
I0 ≈
1
2
(Imax +Imin) (12.59)
Sustituyendo la expresión (12.58) en la ecuación (12.59), se obtiene:
I0 ≈
VDC −V0
2L
ton +Imin (12.60)
Remplazando ton = δT en la expresión (12.60), se obtiene:
I0 ≈
VDC −V0
2L
δT +Imin (12.61)
Por otra parte, la corriente media por el inductor es igual a la corriente media por la carga resistiva,
es decir:
I0 ≈
V0
R
(12.62)
Sustituyendo la expresión (12.62) en la (12.61), se obtiene el valor de corriente mínimo (Imin)
como:

Imin =
V0
R
−
δT (VDC −V0)
2L
(12.63)
De la expresión (12.63), se puede calcular el rizado de corriente ∆i y el valor mínimo de inductancia
(Lmin) que garantiza que el puente trabaje en condición continuada de corriente (Imin = 0) como:
∆i =
VDC −V0
L
δT (12.64)
Lmin =
δT (VDC −V0)R
2V0
(12.65)
El valor de la capacitancia C se puede calcular en función del rizado de tensión que se permite
durante la operación del convertidor Buck (∆vcarga) como:
C =
V0(1−δ)
8L f2∆vcarga
(12.66)
12.8. Convertidor Boost
En la figura 12.23, se presenta la configuración del puente convertidor DC/DC tipo Boost. Este
puente presenta dos interruptores electrónicos (Sw y Sw) cuya operación es complementaria entre
sí.
Figura 12.23: Puente Convertidor Boost
En la figura 12.24, se puede observar las dos topologías del puente convertidor Boost en función
del estado del interruptor Sw.

344 12.8. Convertidor Boost
(a) Sw cerrado (b) Sw abierto
Figura 12.24: Topologías del convertidor Buck en función del estado de Sw
Calculando la tensión en la carga (vcarga(t)) y la corriente por el inductor (i(t)) en función de la
posición del interruptor Sw, se obtiene:
Para 0 ≤ t ≤ ton
En este intervalo el circuito a analizar corresponde al de la figura 12.24a donde:
vcarga(t) = vcarga(0)e− t
RC
i(t) =
VDC
L
t +i(0) (12.67)
Evaluando las condiciones finales del intervalo 0 ≤ t ≤ ton, se obtienen las condiciones iniciales
para el circuito de la figura 12.24b
vcarga(ton) = vcarga(0)e−ton
RC
i(ton) =
VDC
L
ton +i(0) (12.68)
Para ton ≤ t ≤ T
La ecuación diferencial que describe el comportamiento de la tensión en la carga para este intervalo
es:
VDC = LC
d2vcarga
dt2
+
L
R
dvcarga
dt
+vcarga (12.69)
Resolviendo la ecuación diferencial 12.69 en función de las raíces del polinomio característico se
obtiene:

vcarga(t) = vh(t)+vp(t) (12.70)
donde:
vp(t) = VDC (12.71)
vh(t) = k1es1t +k2es2t → (s1 = s2) ∈ R
vh(t) = k1e−st +k2t es2t → (s1 = s2) ∈ R
vh(t) = eσt (k1 cos(ωt)+k2 sen(ωt)) → (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z
(12.72)
s1,2 =
−L
R ± L
R
2
−4LC
2LC
(12.73)
De las condiciones iniciales vcarga(ton) e i(ton) se pueden determinar los valores de k1 y k2 resol-
viendo los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en función del tipo del tipos de respuesta
homogénea como:
k1
k2
= [A]−1
vcarga(ton)−VDC
1
C i(ton)−
vcarga(ton)
R
(12.74)
donde:
[A] =
es1ton es2ton
s1 es1ton s2 es2ton
→ (s1 = s2) ∈ R (12.75)
[A] =
es1ton ton es1ton
s1 es1ton (1+s1ton)es1ton
→ (s1 = s2) ∈ R (12.76)
[A] = eσton
cos(ωton) sen(ωton)
σ cos(ωton)−ω sen(ωton) ω cos(ωton)+σ sen(ωton)
→ (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z
(12.77)
Conocida la tensión sobre la carga, se puede calcular la corriente del inductor como:
i(t) =
vcarga(t)
R
+C
dvcarga
dt
(12.78)
Las condiciones ﬁnales de este intervalo, corresponden a las iniciales del siguiente ciclo y son:

vcarga(T) = VDC +vh(T)
i(T) =
vcarga(T)
R
+C
dvcarga
dt t=T
(12.79)
La respuesta del convertidor alcanza su régimen permanente cuando:
vcarga(t) = vcarga(t +T)
i(t) = i(t +T) (12.80)
12.8.1. Simulación
1 % Chopper Tipo BOOST
2 % Datos
3 Vdc =input('Tension DC de la fuente ');
4 R =input('Resistencia [Ohm] ');
5 L =input('Inductancia [H] ');
6 C =input('Capacitancia [F] ');
7 T =input('Periodo [s] ');
8 delta=input('Razón de Conducción ');
9
10 % Análisis Temporal
11 s=roots([L*C L/R 1]) % Raices del Polinomio Característico
12 % Condiciones Iniciales
13 I1=0;
14 V1=0;
15 nc=0;
16 parar =2; % Condición para detener el programa
17 % Intervalos de Conducción
18 ton=delta*T;
19 t1a=linspace(0,ton ,500); % 0 ≤ t ≤ ton
20 t2a=linspace(ton ,T,500); % ton ≤ t ≤ T
21 % Cálculo de la Tensión en la carga y la corriente por el inductor
22 % nc son el número ciclos de operación para garantizar llegar a régimen permenente
23 while parar ~=1
24 % for i=1:3
25 t1=t1a+nc*T;

26 t2=t2a+nc*T;
27 ton=delta*T+nc*T;
28 % Para 0 ≤ t ≤ ton
29 iL1=Vdc/L*(t1-nc*T)+I1;
30 vC1=V1*exp(-(t1-nc*T)/(C*R));
31 % Condición final del intervalo 0 ≤ t ≤ ton
32 I2=iL1(length(t1));
33 V2=vC1(length(t1));
34 DV2=1/C*(I2-V2/R);
35 % Para ton ≤ t ≤ T
36 B=[V2-Vdc;DV2];
37 if imag(s(1))~=0 % Solución Compleja Conjuda
38 sigma=real(s(1));
39 w=imag(s(1));
40 % disp('hola')
41 A=exp(sigma*ton)*[cos(w*ton),sin(w*ton);sigma*cos(w*ton)-w*sin(w*
ton),w*cos(w*ton)+sigma*sin(w*ton)];
42 k=AB;
43 vC2=Vdc+exp(sigma*t2).*(k(1)*cos(w*t2)+k(2)*sin(w*t2));
44 iL2=vC2/R+exp(sigma*t2)*C.*(( sigma*k(1)+k(2)*w)*cos(w*t2)+(sigma*
k(2)-k(1)*w)*sin(w*t2));
45 else
46 if s(1)~=s(2) % Solución Real y diferente
47 A=[exp(s(1)*ton),exp(s(2)*ton);s(1)*exp(s(1)*ton),s(2)*exp(s(2)*
ton)];
48 k=AB;
49 vC2=k(1)*exp(s(1)*t2)+k(2)*exp(s(2)*t2)+Vdc;
50 iL2=vC2/R+k(1)*s(1)*exp(s(1)*t2)+k(2)*s(2)*exp(s(2)*t2);
51 else % Solución Real e igual
52 A=exp(s(1)*ton)*[1,ton;s(1) ,1+s(1)*ton];
53 k=AB;
54 vC2=(k(1)+k(2)*t2).*exp(s(1)*t2)+Vdc;
55 iL2=vC2/R+exp(s(1)*t2).*(s(1)*k(1)+k(2)+s(1)*k(2)*t2);
56 end
57 end
58 % Condición para evaluar la llegada al régimen permanente
59 if abs(V1-vC2(length(t2)))<1e-4
60 parar =1;
61 end
62 % Condición final del intervalo ton ≤ t ≤ T

63 I1=iL2(length(t2));
64 V1=vC2(length(t2));
65 nc=nc+1;
66 end
67
68 % Valores temporales del último ciclo de operación
69 t=[t1a ,t2a];
70 i=[iL1 ,iL2];
71 vc=[vC1 ,vC2];
72
73 % Cálculo del Rizado
74 Rizado_corrinte =(max(i)-min(i))/2
75 Rizado_Tension_Carga =(max(vc)-min(vc))/2
76
77 % Valores Medios
79 Vo=1/T*trapz(t,vc)
80
81 % Graficas de Corriente y Tensión
82 figure (1) % Corriente en el Inductor
83 plot(t,i,'LineWidth ' ,2);grid
85 xlim ([0 T]);
91 xlim ([0 T]);
12.8.2. Análisis aproximado
Muchos autores analizan el convertidor Boost de manera aproximada suponiendo que la tensión
vcarga ≈ V0, es decir que el valor de capacitancia C es muy elevado y permite asumir que la tensión
es aproximadamente constante y de valor VDC
(1−δ). En esta condición la corriente por el inductor (i(t))
se puede calcular como:

i(t) =



VDC
L t +Imin 0 ≤ t ≤ ton
VDC−V0
L (t −ton)+Imax ton < t < T
(12.81)
Evaluando las condiciones ﬁnales de cada intervalo de la expresión (12.81) y con la condición de
régimen permanente (i(t) = i(t +T)) se puede encontrar los valores de Imin e Imax como:
Imin = VDC−V0
L (T −ton)+Imax
Imax = VDC
L ton +Imin
(12.82)
Calculando la corriente promedio por la inductancia a partir de la expresión (12.59) y (12.82), se
obtiene:
I0 ≈ Imin +
VDC
2L
ton = Imin +
VDC
2L
δT (12.83)
Sustituyendo el resultado de la expresión (12.83) en los valores de Imin e Imax de la ecuación (12.82),
se obtiene:
Imin = I0 − VDC
2L δT
Imax = I0 + VDC
2L δT
(12.84)
De la expresión (12.84), se puede calcular el valor del rizado de corriente (∆i) por el inductor y el
valor mínimo de inductancia que garantiza condición continuada de corriente (Imin = 0) como:
∆i =
VDC
2L
δT (12.85)
Lmin =
VDCδT
2I0
(12.86)
Para esta conﬁguración de puente convertidor se puede calcular la corriente media por el inductor
(I0) en función de la corriente media por la resistencia R como:
I0 =
V0
R(1−δ)
(12.87)
donde:

350 12.9. Convertidor Buck/Boost
V0 =
VDC
(1−δ)
(12.88)
Sustituyendo el resultado de las expresiones (12.87) y (12.88) en el valor de la inductancia mínima
de ecuación (12.86), se obtiene:
Lmin = (1−δ)δT
VDCR
2V0
= (1−δ)2
δ
R
2 f
(12.89)
El valor de la capacitancia C se puede calcular en función del rizado de tensión que se permite
durante la operación del convertidor Boost (∆vcarga) como:
C =
VDC
Rf∆vcarga
(12.90)
12.9. Convertidor Buck/Boost
En la ﬁgura 12.25, se presenta el esquema de un convertidor dual Buck/Boost. La operación co-
mo convertidor Buck requiere que el interruptor Sw2 permanezca cerrado y Sw1 conmute. Para la
operación como puente Boost el dispositivo Sw1 debe permanecer cerrado y Sw2 conmutando.
Figura 12.25: Convertidor dual Buck/Boost
12.10. Frenado Eléctrico
Por lo general, en la tracción de vehículo accionados por motores de corriente continua, como por
ejemplo los trenes del Metro de Caracas, se utiliza el frenado eléctrico para disminuir la velocidad
del móvil. Existen dos esquemas de frenado eléctrico, el primero se denomina regenerativo y con-
siste en extraer energía del sistema mecánico y devolverla a la red de corriente continua, utilizando
un chopper elevador. El segundo se denomina reostático y consiste en extraer energía del sistema

mecánico y disiparla en un reóstato de frenado. En un sistema de tracción eléctrica la condición de
frenado eléctrico se puede mantener para velocidades superiores 2km/h .
12.10.1. Frenado Regenerativo
Este esquema de frenado, al momento de devolver la energía a la red de alimentación de corriente
continua, tiene como limitación la capacidad de absorción de esta, generalmente esta capacidad no
puede exceder el 15 % del valor de diseño de tensión del sistema. Para utilizar este esquema de
frenado el mayor tiempo posible se coordina la devolución de energía a la red por el vehículo en
proceso de frenado, con el consumo de otro vehículo en la misma línea de alimentación acelerando.
En la ﬁgura 12.26, se presenta el esquema del frenado regenerativo.
Figura 12.26: Esquema de frenado regenerativo
El funcionamiento de este esquema consiste en realizar un cortocircuito en la armadura de la má-
quina de corriente continua que se conecta en serie con una inductancia de choque para establecer
una corriente por este circuito. Posteriormente, se apaga la componente y la energía acumulada en
la inductancia de la máquina en conjunto con la inductancia de choque origina el encendido del
diodo y la corriente de la armadura de la máquina circula hacia la fuente hasta tanto no encienda
nuevamente la componente principal. En la operación de frenado se disminuye la velocidad por tan-
to la fuerza electromotriz de la máquina en cada operación es menor. Para mantener una condición
de operación de régimen permanente en este puente se debe respetar el resultado de la expresión
(12.39), por este motivo este esquema no se puede utilizar para detener completamente la máquina,
el frenado ﬁnal se realiza mediante sistemas mecánicos convencionales.

352 12.10. Frenado Eléctrico
12.10.2. Frenado Reostático
Este esquema de frenado, en una primera etapa funciona igual que el anterior, se establece una
corriente circulatoria por la armadura de la máquina y la inductancia de choque producto del cor-
tocircuito de este circuito a través de la componente principal del puente. La energía acumulada
en las inductancias es disipada luego del apagado de la componente principal, y el encendido del
tiristor de frenado, en una resistencia de frenado. En la ﬁgura 12.27, se presenta el esquema de este
tipo de frenado.
Figura 12.27: Esquema de frenado reostático
La potencia promedio de frenado reostático, viene dado por la expresión:
Pfrenado = Rfrenado (Ia (1−δ))2
(12.91)
12.10.3. Frenado Combinado
En la ﬁgura 12.28, se presenta un esquema para frenado que incluye el frenado regenerativo y
reostático en un solo puente. Este esquema usa el frenado regenerativo hasta el límite de absorción
de la red y luego termina de realizar la operación mediante la disipación de energía en el reóstato
de frenado. Este esquema, es el que utilizar el Metro de Caracas para disminuir la velocidad de los
trenes en las estaciones, el alto total del tren se realiza mediante zapatas mecánicas en la ruedas. La
temperatura en los túneles del Metro de Caracas, se debe a la disipación de calor en las resistencias
de frenado.

Figura 12.28: Esquema de frenado combinado
12.11. Ejercicios
1. Un chopper tipo A se energiza de una fuente de 600V y alimenta una carga de R = 15Ω,
L = 4mH y E = 200V, con un periodo de 4000µs y un tiempo de encendido de 2500µs.
Determine corriente media, rizado de corriente. Recalcule para L = 40mH.
2. Un Chopper tipo A o reductor, presenta los siguientes parámetros: VDC = 24V , razón de
conducción δ = 0,65 , L = 250mH y R = 10Ω. La frecuencia de conmutación es de 25kHz.
Determine:
a) La tensión de Salida.
b) Las corrientes máximas y mínimas en la bobina.
c) El rizado de la Tensión de salida.
3. Un chopper tipo B se energiza de una fuente de 600V y alimenta una carga de R = 15Ω,
L = 40mH y E = 400V, con un periodo de 4000µs y un tiempo de encendido de 2500µs.
Determine corriente media, rizado de corriente y potencia devuelta a la red.
4. Un chopper tipo Buck presenta los siguientes parámetros: VDC = 24V, δ = 0,65 , L =
250µH, C = 75µF y R = 10Ω. La frecuencia de conmutación es de 25kHz. Determine:
a) La tensión de Salida.
b) Las corrientes máximas y mínimas en la bobina.
c) El rizado de la Tensión de salida.

5. El chopper Buck de la ﬁgura 12.19 esta alimentado por una fuente de 24V y conmuta a
100kHz. Este puente alimenta un conjunto de cargas que requieren las siguientes especiﬁca-
ciones para su funcionamiento: Tensión variable de 5 → 15V con un rizado pico a pico de
3%, Corriente de 5 → 8A sin importar el nivel de tensión. Determine:
a) Lmin necesaria para mantener un rizado de corriente del 7%.
b) Cmin para mantener el rizado de tensión solicitado.
c) Compruebe los resultados mediante simulaciones.
6. Un chopper tipo Boost, presenta los siguientes datos VDC = 20V, δ = 0,6 , L = 65µH,
C = 200µF y R = 10Ω. La frecuencia de conmutación es de 45kHz.
a) Calcule la tensión de salida.
b) Calcule la corriente media, máxima y mínima en la bobina.
c) Calcule el rizado de la tensión de salida.
d) Determine la corriente media por el diodo.
7. Diseñar un convertidor Boost que trabaje con una tensión de entrada en el rango de 120 →
300V con una tensión de salida de 400V. El rizado de la tensión de salida no puede superar
el 4% pico a pico. La frecuencia de conmutación del puente es de 50kHz. El puente alimenta
una carga que consume 150W y se desea que el convertidor mantenga condición continuada
de corriente con cargas de hasta 50W.
a) Determine la inductancia (L) y la capacitancia (C) del puente.
b) Compruebe sus resultados mediante simulaciones.

Capítulo 13
Inversores
Los inversores, son circuitos que tienen como finalidad suministrar tensión o corriente alterna, va-
riable en magnitud y frecuencia a partir de una fuente de corriente continua. Los rectificadores
controlados en algunos casos y dependiendo del ángulo de disparo pueden trabajar como inverso-
res. Las principales aplicaciones de los inversores son el control de velocidad y posición de los
máquinas de corriente alterna, la fabricación de fuentes ininterrumpidas de potencia (UPS) para
cargas críticas y dispositivos de corriente alterna que funciones a partir de una batería como los
vehículos eléctricos.
13.2. Principio de Funcionamiento
En la figura 13.1, se presenta el esquema de un inversor monofásico. Este convertidor esta con-
formado por cuatro interruptores bidireccionales de corriente. La operación sincronizada de los
interruptores Sw1,2,3,4 permite aplicar sobre la carga tensiones positivas (+VDC), negativas (−VDC)
y cero (0).
Figura 13.1: Esquema del Inversor Monofásico
357

358 13.2. Principio de Funcionamiento
Para obtener tensión positiva (+VDC) en la carga, es necesario cerrar los interruptores Sw1 y Sw3,
mientras que Sw2 y Sw4 permanecen abiertos. En la figura 13.2 se presenta la topología del conver-
tidor para esta secuencia de operación de los interruptores.
Figura 13.2: Topología de los interruptores para obtener tensión positiva en la carga
Para obtener tensión negativa (−VDC) en la carga, es necesario cerrar los interruptores Sw2 y Sw4,
mientras que Sw1 y Sw3 permanecen abiertos. En la figura 13.3 se presenta la topología del conver-
tidor para esta secuencia de operación de los interruptores.
Figura 13.3: Topología de los interruptores para obtener tensión negativa en la carga
Para obtener tensión cero (0) en la carga, es necesario cerrar los interruptores Sw2 y Sw1 ó Sw3 y
Sw4 mientras que los demás permanecen abiertos. Generalmente se alterna las dos secuencias de
disparo, de forma simétrica, para obtener tensión cero en la carga con la finalidad que todas las
componentes manejen los mismos niveles de pérdidas. En la figura 13.4 se presenta la topología
del convertidor para esta secuencia de operación de los interruptores.

13. Inversores 359
(a) Opción 1 (b) Opción 2
Figura 13.4: Topología de los interruptores para obtener tensión cero en la carga
En la tabla 13.1 se presenta un resumen de la secuencia de operación de los interruptores para
obtener cada una de las tensiones +VDC,−VDC y 0 sobre la carga.
Tabla 13.1: Secuencia de Disparo del Inversor Monofásico
Interruptores Cerrados Tensión sobre la Carga
Sw1 y Sw3 +VDC
Sw2 y Sw4 −VDC
Sw1 y Sw2 0
Sw3 y Sw4 0
Controlando el tiempo que el convertidor permanece en cada uno de los estados de la tabla 13.1,
se puede controlar la frecuencia y magnitud efectiva de la tensión o corriente sobre la carga. Los
puentes inversores pueden trabajar con carga pasiva o activa alterna.
En la ﬁgura 13.5, se presenta la forma de onda de tensión sobre la carga para una operación si-
métrica del inversor en dos estados (+VDC, −VDC). Controlado el tiempo de conmutación de los
interruptores (T/2), se puede modiﬁcar la frecuencia de la onda de tensión de salida. La tensión
efectiva sobre la carga se puede calcular en este caso como:
Vrms =
1
T
¢ T
0
V2
DCdt = VDC (13.1)

Figura 13.5: Tensión en la carga para un inversor monofásico en operación de 2 estados
Para modificar el valor efectivo de la onda de salida del inversor, es necesario modular el valor
de la fuente DC en cada semiciclo de la onda de alterna de forma simétrica. Esta modulación se
puede realizar de forma análoga a la operación de los controladores DC - DC (chopper) en donde
durante el tiempo de conducción de las componentes se realizaban cortocircuitos en la carga a fin
de disminuir el valor de la tensión media sobre esta. A este tipo de operación se le conoce como
control por tres estados (+VDC, −VDC, 0). Otra posibilidad de reducir el valor medio de la fuente
DC, durante el semiciclo de operación de la onda alterna es invertir el valor de la fuente durante un
instante de tiempo, a esta operación se le conoce como control por dos estados (+VDC, −VDC). En
la figura 13.6, se presenta la forma de onda de tensión sobre la carga para un inversor con control
de 3 estados. Para este caso la tensión efectiva sobre la carga en función del ancho del pulso a, es:
Vrms =
1
T
¢ a+x
x
V2
DCdt +
¢ a+x+T
2
x+T
2
V2
DCdt =
2
T
¢ a+x
x
V2
DCdt = VDC
2a
T
(13.2)
Donde:
0 ≤ a ≤
T
2

13. Inversores 361
Figura 13.6: Tensión en la carga para un inversor monofásico en operación de 3 estados
Realizando el cambio de variable a = T/2−2x en la expresión (13.2), se obtiene:
Vrms = VDC 1−
4x
T
(13.3)
La tensión de salida del inversor de la figura (13.6), aprovechado su simetría, se puede expresar en
series de Fourier como:
v(t) =
∞
∑
n=1,2,3,···
Cn sen(nωt) (13.4)
donde:
Cn =
4
T
¢ T
2 −x
x
VDC sen(nωt)dωt =
8VDC
nT
cos(nx) (13.5)
0 ≤ x ≤
T
4
(13.6)
La variación del valor de "x" permite modificar el valor efectivo de la señal de salida, así como
la amplitud de cada armónica de la onda. Por esta razón el contenido armónico de la señal puede
ser controlado con una escogencia adecuada del valor de "x". Por ejemplo un valor de x = T/12,
anula la tercera armónica de la señal y sus múltiplos. En la figura 13.7, se presenta un ejemplo

362 13.3. Inversor Monofásico
gráfico de la eliminación de las terceras y quinta armónica en tres formas de ondas generadas por el
inversor. Se puede observar en la 13.7a y 13.7b como el área positiva y negativa en ambas gráficas
se compensan, ocasionando la anulación de la armónica respectiva. Por otro lado en la 13.7cse
observa la forma de onda para la eliminación de la tercer y quinta armónica en la figura 13.7d se
evidencia que en el espectro armónico de la señal no hay presencia de tercera ni quinta armónica.
(a) Tercera armónica (b) Quinta armónica
(c) Tercera y quinta armónica (d) Contenido armónico figura 13.7c
Figura 13.7: Eliminación de armónicos
13.3. Inversor Monofásico
En la figura 13.8, se presenta el esquema de un puente inversor monofásico de media onda y onda
completa. Los interruptores bidireccionales en este caso, están construido por un IGBT en antipa-
ralelo con un diodo. Esta configuración permite que la corriente positiva sea manejada por el IGBT,
mientras que la negativa por el diodo de descarga.
En la figura 13.9, se presenta la forma de onda de tensión y corriente sobre la carga en régimen
permanente para un inversor de media onda, destacando la componente en conducción en cada
instante de tiempo.

13. Inversores 363
(a) Media Onda (b) Onda Completa
Figura 13.8: Inversor monofásico
Figura 13.9: Tensión y corriente en la carga para un inversor de media onda
En la figura 13.10, se presenta la forma de onda de tensión y corriente sobre la carga en régimen
permanente, para un inversor de onda completa, destacando la componente en conducción en cada
instante de tiempo.
13.3.1. Expresión de Corriente en Régimen Permanente
Para el inversor monofásico de la figura 13.8, se puede apreciar que la para la configuración de
media onda la tensión sobre la carga varía entre ±VDC/2 , mientras que para el de onda completa
varía ente ±VDC. La ecuación diferencial que describe el circuito para una carga del tipo RL viene
dada por:
vf (t) = Ri(t)+L
di(t)
dt
(13.7)

364 13.3. Inversor Monofásico
Figura 13.10: Tensión y corriente en la carga para un inversor de onda completa
Donde:
vf (t) =



V1 0 ≤ t ≤ T
2
−V1
T
2 < t < T
Para el puente inversor de media onda V1 = VDC/2 , mientras que para el de onda completa V1 =
VDC.
Resolviendo la ecuación diferencial (13.7), para cada uno de los semiciclos obtenemos:
para 0 ≤ t ≤ T
2 :
i(t) = k1e− t
τ +
V1
R
(13.8)
Evaluando la condición inicial i(0) = −Imin en la expresión (13.8), se obtiene:
i(t) =
V1
R
1−e− t
τ −Imine− t
τ (13.9)
La condición ﬁnal del intervalo se obtiene como:
i
T
2
= Imax =
V1
R
1−e− T
2τ −Imine− T
2τ (13.10)

13. Inversores 365
para T
2 ≤ t ≤ T:
i(t) = k2e− t
τ −
V1
R
(13.11)
Evaluando la condición inicial i(T/2) = Imax en la expresión (13.11), se obtiene:
i(t) =
V1
R
e−
(t− T
2 )
τ −1 +Imaxe−
(t− T
2 )
τ (13.12)
La condición ﬁnal del intervalo, se obtiene como:
i(T) = Imin =
V1
R
e− T
2τ −1 +Imaxe− T
2τ (13.13)
Por simetría de la onda se cumple que:
Imin = −Imax (13.14)
Sustituyendo la condición de simetría (13.14) en la ecuación (13.10), se obtiene:
Imax = V1
R 1−e− T
2τ −Imaxe− T
2τ
Imax 1+e− T
2τ = V1
R 1−e− T
2τ
|Imax| = |Imin| = V1
R
1−e− T
2τ
1+e− T
2τ
(13.15)
Vrms =
2
T
¢ T
2
0
V2
1 dt = V1 (13.16)
13.3.3. Expresión en Series de Fourier
13.3.3.1. Tensión
v(t) =
∞
∑
n=1,3,5,···
4V1
nπ
sen
2πnt
T
(13.17)
Nota: La expresión (13.17), es solo válida par los n impares.

366 13.4. Inversor Trifásico
13.3.3.2. Corriente
i(t) =
∞
∑
n=1,3,5,···
4V1
nπ
1
Z
sen
2πnt
T
−φn (13.18)
donde:
Z = R2 +(nωL)2
φn = arctan
nωL
R
13.3.4. Factor de Distorsión Armónica (THD)
El factor de distorsión armónica (THD) para tensión es:
THD =
v2
1 − 4V1
nπ
2
4V1
nπ
= 0,48343 (13.19)
13.3.5. Potencia Activa de 1ra Armónica
P1 =

 4V1
nπ R2 +(ωL)2


2
R (13.20)
13.4. Inversor Trifásico
En la ﬁgura 13.11, se presenta el esquema de un inversor trifásico construido con IGBT y diodos
de descarga libre en antiparalelo.

13. Inversores 367
Figura 13.11: Inversor trifásico
El sistema trifásico generado a partir de la fuente de corriente continua debe cumplir las siguientes
condiciones:
1. La tensiones en las tres fases deben poseer igual módulo.
2. Debe existir un desfasaje de 2π/3 entre las fases.
3. El sistema de tensiones debe tener una secuencia (a,b,c) o (a,c,b).
4. La suma de las tensiones en cada instante de tiempo debe ser cero (vab(t)+vbc(t)+vca(t) =
0).
En la ﬁgura 13.12, se presenta un posible sistema de tensiones trifásicas generadas por el inversor.
Analizando este sistema de tensiones, se puede evidenciar que cumple las tres primeras condiciones
pero la sumatoria de tensiones línea a línea instantáneas es diferente de cero.

Figura 13.12: Sistema de tensiones trifásica
Estudiando la secuencia de disparo de los IGBT para generara este sistema trifásico de la ﬁgura
13.12, se pude deducir que para la obtención de esta forma de onda se requiere la operación simul-
tanea de los dos componentes pertenecientes a la misma rama, esto ocasionaría un cortocircuito en
la fuente de corriente continua, razón por la cual esta forma de onda no puede ser generada por este
puente convertidor.
Para cumplir la condición que la sumatoria instantánea de tensiones entre las fases sea igual ha cero,
las formas de onda generadas por el puente inversor no pueden poseer tercer armónico (secuencia
0). Esta condición garantiza que no exista operación simultánea de dos interruptores de la misma
rama. En la ﬁgura 13.13, se presenta un sistema de tensiones trifásica sin tercer armónico, con su
respectiva secuencia de disparo de las componentes para su generación en un inversor trifásico.

13. Inversores 369
Figura 13.13: Sistema de tensiones trifásicas sin presencia de tercer armónico
En la figura 13.14, se presenta el contenido armónico de la tensión “vab” para las formas de onda
de las figuras 13.12 y13.13. Se puede apreciar la ausencia de terceros armónicos y sus múltiplos en
el contenido armónico de las dos ondas correspondientes a la figura 13.13.

Figura 13.14: Contenido armónica del sistema de tensiones trifásicas con y sin tercer armónico
13.4.1. Tensión en Series de Fourier
La expresión en series de Fourier de la tensión línea a línea del inversor trifásico sobre la carga para
la forma de onda de la ﬁgura 13.13 es:
vab(t) =
∞
∑
n=1,3,5,···
4VDC
nπ
cos
nπ
6
sen n ωt +
π
6
(13.21)
vbc(t) =
∞
∑
n=1,3,5,···
4VDC
nπ
cos
nπ
6
sen n ωt −
π
2
(13.22)
vca(t) =
∞
∑
n=1,3,5,···
4VDC
nπ
cos
nπ
6
sen n ωt −
7π
6
(13.23)
Se puede destacar que para n = 3 y sus múltiplos los coeﬁcientes de de la serie son iguales ha cero.
La tensión efectiva total línea a línea sobre la carga es:
Vrms =
2
3
VDC (13.24)

13. Inversores 371
13.4.3. Factor de Distorsión Armónica Total
El factor de distorsión armónica total en tensión es:
THD =
V2
rms −V2
rms1
Vrms1
= 0,31084 (13.25)
13.4.4. Modelo en Vectores Espaciales
Respetando que los interruptores de la misma rama operan de manera complementaria entre si, a
fin de evitar cortocircuitos sobre la fuente de corriente continua.
Sw4 = Sw1
Sw6 = Sw3
Sw2 = Sw5
(13.26)
Se pueden redefinir los interruptores de la figura 13.11, en función de las fases del sistema trifásico
como:
Figura 13.15: Esquema del inversor trifásico con operación complementaria de interruptores
Donde Swx igual a "1" corresponde al encendido del interruptor superior de la rama "x" y "0"
corresponde al encendido del interruptor inferior de la rama.
Definiendo el vector espacial de tensión línea neutro como:
−→vfn ≡
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



va(t)
vb(t)
vc(t)


 = vα(t)+ jvβ (t) (13.27)
A partir de la definición (13.27), se puede calcular el vector espacial de tensión aplicado a partir de
las tensiones línea a línea, como:

−→vll = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3



vab(t)
vbc(t)
vca(t)


 = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3






va(t)
vb(t)
vc(t)


−



vb(t)
vc(t)
va(t)






−→vll = 1−ej 4π
3
−→vfn
(13.28)
−→vll =
√
3ej π
6 −→vfn (13.29)
El resultado de la expresión (13.29), es análogo al obtenido en régimen sinusoidal permanente al
pasar de tensiones de línea a tensiones de fase.
13.4.4.1. Inversor
Utilizando la expresión (13.28) se puede calcular el vector espacial de tensiones línea a línea del
inversor en función de los interruptores de las fases como:
−→vll =
2
3
(Swa −Swb)+ej 2π
3 (Swb −Swc)+ej 4π
3 (Swc −Swa) VDC (13.30)
=
2
3
1−ej 4π
3 Swa +ej 2π
3 Swb +ej 4π
3 Swc VDC
Utilizando el resultado de la expresión (13.29) y la ecuación (13.30), se puede obtener el vector
espacial de tensión aplicado por el inversor en función del estado del interruptor de cada fase como:
−→vfn =
2
3
Swa +ej 2π
3 Swb +ej 4π
3 Swc VDC (13.31)
En la tabla 22.2,se presentan los vectores espaciales obtenidos con el inversor trifásico para cada
una de las posibles combinaciones de los interruptores de la ﬁgura 13.15.

13. Inversores 373
Tabla 13.2: Vectores espaciales de tensiones del inversor trifásico
Swa Swb Swc
−→vfn
0 0 0 0
0 0 1 − 2
3VDC ej π
3
0 1 0 − 2
3VDC e−j π
3
0 1 1 − 2
3VDC
1 0 0 2
3VDC
1 0 1 2
3VDC e−j π
3
1 1 0 2
3VDC ej π
3
1 1 1 0
En la ﬁgura 13.16, se presenta el vector espacial de tensiones que aplica el inversor a la carga en
por unidad de la tensión de Corriente continua VDC.
Se puede calcular la tensión fase neutro aplicada por el inversor a la carga a partir del vector espacial
como:
ℜe −→vfn =
2
3
va(t)−
1
2
(vb(t)+vc(t)) (13.32)
Como el sistema no posee neutro conectado, se tiene que:
va(t)+vb(t)+vc(t) = 0 ⇒ va(t) = −(vb(t)+vc(t)) (13.33)
Sustituyendo el resultado de la expresión (13.33) en la ecuación (13.32), se obtiene:
va(t) =
2
3
ℜe −→vfn (13.34)
Si rotamos el vector espacial de la expresión (13.27) en ej 4π
3 , y aplicando un procedimiento análogo
al utilizado para la expresión (13.34), se obtiene:
−→vfnej 4π
3 = 2
3 ej 4π
3 1 ej 2π
3



va(t)
vb(t)
vc(t)


 ⇒ vb(t) = 2
3ℜe −→vfnej 4π
3 (13.35)

De la ecuación (13.33), se obtiene el valor de vc(t) como:
vc(t) = −(va(t)+vb(t)) (13.36)
Figura 13.16: Tensión espacial del inversor trifásico.
En la figura 13.17, se presentan la tensión fase neutro generada por el inversor para la opción de
conmutación mostradas en la figura 13.13.
Coeficientes de Fourier de la tensión fase neutro de la figura 13.17:
Vn,l−n
=
2VDC
3nπ
2+cos
nπ
3
−cos
nπ
3
(13.37)
n = 1,5,7,11,13,...

13. Inversores 375
Figura 13.17: Tensiones fase neutro del inversor trifásico
13.4.4.2. Carga
En la ﬁgura 13.18, se presenta el modelo trifásico equilibrado de una carga activa y/o pasiva co-
nectada en delta y estrella en bornes del inversor. El modelo en vectores espaciales del inversor y
la carga se puede expresar como:
−→vfn = k−→e +[Z(p)−M(p)]
−→
i (13.38)
donde:
−→vfn =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3 Swa Swb Swc
t
−→e =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3 v1(t) v2(t) v3(t)
t
p =
d
dt

(a) Delta
(b) Estrella
Figura 13.18: Inversor con carga activa y/o pasiva trifásica
En la tabla 13.3, se muestran los valores de la impedancia operacional Z(p) y M(p) de la expresión
(13.38) para los elementos resistivos, inductivos y capacitivos.

13. Inversores 377
Tabla 13.3: Impedancias operacionales en conexión estrella y delta
Elemento kY ZY (p) MY (p) k∆ Z∆(p) M∆(p)
Resistencia 1 R 0 e
−j π
6
√
3
R
3 0
Inductancia 1 Lp Mp e
−j π
6
√
3
L
3 p M
3 p
Capacitancia 1 1
Cp 0 e
−j π
6
√
3
1
3Cp 0
En la figura 13.19, se presenta el vector espacial de tensión y corriente en porcentaje de su valor
pico, para una carga resistiva inductiva conecta en estrella de 60Ω y 223mH, alimentada desde
una fuente de corriente continua de 100V, con la estrategia de disparo de la figura 13.13 a una
frecuencia de 60Hz. En la figura 13.32 se muestra la forma de onda de tensión y corriente en la
fase "a", en porcentaje del valor pico correspondiente.
Figura 13.19: Vector espacial de tensión y corriente en la carga RL

378 13.5. Modulación por Ancho de Pulso (PWM)
Figura 13.20: Tensión y corriente en la fase "a" de la carga RL
En la ﬁgura 13.21, se presenta el espectro armónico de la tensión y corriente de la fase "a" en
porcentaje de la componente fundamental.
Figura 13.21: Espectro armónico de tensión y corriente en la fase "a" de la carga RL
13.5. Modulación por Ancho de Pulso (PWM)
La modulación por ancho de pulso (PWM, Pulse Width Modulation) proporciona un método para
disminuir el factor de distorsión armónica (THD) en la corriente que suministra el inversor a la

13. Inversores 379
carga. La salida de un inversor con PWM con algo de filtrado, cumple las regulaciones de distorsión
armónica total más fácilmente que un inversor con salida mediante ondas cuadradas. Si bien la
salida con PWM posee un contenido alto de armónicas, estas son de frecuencias elevadas lo cual
facilita su filtrado y atenuación por parte de la carga.
La modulación PWM controla la amplitud de la tensión de salida utilizando diferentes formas de
onda moduladoras o de referencia. Dos ventajas de esta modulación son la reducción de los reque-
rimientos de filtrado y el control de la amplitud de la salida. Entre las desventajas podemos citar
el incremento en las pérdidas del dispositivo interruptor por el mayor número de conmutaciones
realizadas y una mayor complejidad de los circuitos de control.
La modulación PWM puede ser realizada de dos forma:
Bipolar : Cuando el inversor utiliza dos estados +VDC y −VDC.
Unipolar: Cuando el inversor utiliza tres estados +VDC,−VDC y 0.
En las figuras 13.22 y 13.23, se presentan los esquemas de modulación unipolar y bipolar para una
onda sinusoidal de referencia y una triangular de portadora.
Figura 13.22: Modulación PWM Unipolar

380 13.5. Modulación por Ancho de Pulso (PWM)
Figura 13.23: Modulación PWM Bipolar
13.5.1. Índice de Modulación de Frecuencia
El índice de modulación de frecuencia mf se define como el cociente entre la frecuencia de la
portadora y de la referencia:
mf =
fportadora
freferencia
(13.39)
La señal de salida del PWM posee la misma frecuencia fundamental que la onda de referencia y
armónicas en y alrededor de los múltiplos del índice de modulación. La escogencia de índices de
modulación elevados facilita el filtrado de la onda de salida, pero incrementa las perdidas en los
dispositivos electrónicos de potencia utilizados en la conmutación.
13.5.2. Índice de Modulación de Amplitud
El índice de modulación de amplitud ma se define como la relación entre la amplitud de la señal de
referencia y la portadora:
ma =
Vpicoreferencia
Vpicoportadora
(13.40)
Si ma ≤ 1, la amplitud de la componente fundamental de la salida del PWM es linealmente propor-
cional a ma, es decir:
Vrms1 =
√
2maVDC (13.41)

13. Inversores 381
De esta forma se puede controlar la amplitud de la componente de frecuencia fundamental de la
salida del PWM al variar ma. Si ma es mayor que uno, la amplitud de la fundamental de salida se
incrementa pero de forma no lineal.
13.5.3. Contenido Armónico
En la figura 13.24, se presenta el contenido armónico de la salida del PWM unipolar y bipolar de
las figuras 13.22 y 13.23, para este caso se utilizo un índice de modulación mf = 12 y ma = 0,5.
Figura 13.24: Contenido armónico de la modulación PWM
En la figura 13.24 se puede destacar que el valor de la fundamental tanto para la salida bipolar como
para la unipolar, coincide con el índice de modulación de amplitud ma. Los mayores contenidos
armónicos se localizan en los alrededores del índice de modulación de frecuencia mf . La salida
bipolar presenta mayor contenido armónico que la señal unipolar.
Si modificamos el índice de modulación de amplitud a uno (ma = 1) obtendremos los resultados
mostrados en la tabla 13.4 de valor efectivo en por unidad del valor de la tensión de corriente
continua (vDC) y distorsión armónica total para la modulación unipolar y bipolar:

382 13.6. Modulación de Ancho de Pulso Modificada SPWM
Tabla 13.4: Característica de la modulación PWM para referencia sinusoidal con ma = 1 y mf = 12
Valor efectivo total (Vrms) Valor efectivo 1ra armónica (Vrms1) THD
Unipolar 0.7792 0.7077 0.4606
Bipolar 0.9690 0.7095 0.93
13.6. Modulación de Ancho de Pulso Modificada SPWM
En esta modulación se utiliza una sinusoidal como referencia pero la portadora se modifica a fin
de disminuir el número de conmutaciones del puente inversor. La portadora que se utiliza varía
como una diente de sierra en los extremos de cada semiciclo de la referencia, que corresponde a
los sitios donde más varía la sinusoidal mientras que en la cresta se mantiene un pulso cuadrado.
La modulación por diente de sierra se aplica en los siguientes rangos: [0,π/3], [2π/3,4π/3] y
[5π/3,2π]. En el rango [π/3,2π/3] y [4π/3,5π/3] la portadora es un pulso cuadrado. En las figuras
13.25 y 13.26, se presentan los esquemas de esta modulación para ma = 1 y mf = 12 unipolar y
bipolar.
Figura 13.25: Modulación SPWM Unipolar

13. Inversores 383
Figura 13.26: Modulación SPWM Bipolar
En la ﬁgura 13.27, se presenta el contenido armónico de la modulación por ancho de pulso modiﬁ-
cada unipolar y bipolar.
Figura 13.27: Contenido armónico de la modulación SPWM
En la tabla 13.5 se presenta el valor efectivo en por unidad del valor de la tensión de corriente
continua (VDC) y distorsión armónica total para la modulación SPWM unipolar y bipolar:

384 13.7. Técnicas Avanzadas de Modulación.
Tabla 13.5: Característica de la modulación SPWM para referencia sinusoidal con ma = 1 y mf = 12
Unipolar 0.9585 0.8554 0.5057
Bipolar 0.9857 0.8104 0.6923
Esta modulación disminuye el número de conmutaciones del puente inversor disminuyendo sus
pérdidas por este concepto, aumenta el valor efectivo total y de la 1ra armónica de tensión com-
parado con la modulación PWM clásica y disminuye la distorsión armónica total generada por el
puente convertidor.
13.7. Técnicas Avanzadas de Modulación.
En esta sección estudiaremos la modulación PWM bipolar y unipolar aplicadas a diferentes ondas
de referencia, desde el punto de vista de distorsión armónica total generada, valor efectivo de la
señal de salida y valor efectivo de la 1ra armónica. Durante la comparación se utilizará una modu-
lación de amplitud de uno (ma = 1) y de frecuencia de doce (mf = 12). Al finalizar la sección se
presentara una tabla comparativa para cada modulación (unipolar y bipolar) a fin de ver cual es más
efectiva desde los puntos de vista analizados.
13.7.1. Trapezoidal
En este caso la onda de referencia es una trapezoidal, esta onda se construye a partir de un triangular
la cual se recorta a partir de una amplitud especifica la cual puede ser ajustada. En la figuras 13.28
y 13.29, se presenta el esquema de esta modulación unipolar y bipolar, para esta referencia.
cada unipolar y bipolar. En la tabla 13.6 se presenta el valor efectivo en por unidad del valor de la
tensión de corriente continua (VDC) y distorsión armónica total para la modulación PWM unipolar
y bipolar, con referencia trapezoidal:
Tabla 13.6: Característica de la modulación PWM para referencia trapezoidal
Unipolar 0.8729 0.8395 0.2850
Bipolar 0.9854 0.8399 0.6137

13. Inversores 385
Figura 13.28: Modulación trapezoidal Unipolar
Figura 13.29: Modulación trapezoidal Bipolar

Figura 13.30: Contenido armónico para la modulación PWM con referencia trapezoidal
13.7.2. Por Inyección de Armónicas
En este caso la onda de referencia es una onda sinusoidal de frecuencia fundamental, con inyección
de un contenido armónico especíﬁco de tercera y novena armónica. La expresión 13.42, muestra el
contenido armónico más utilizado en esta modulación. En las ﬁguras 13.31 y 13.32, se presenta el
esquema de esta modulación unipolar y bipolar, para esta referencia.
vref (t) = 1,15 sen(ωt)+0,27 sen(3ωt)−0,029 sen(9ωt) (13.42)
cada unipolar y bipolar. En la tabla 13.7 se presenta el valor efectivo en por unidad del valor de la
tensión de corriente continua (VDC) y distorsión armónica total para la modulación PWM unipolar
y bipolar, con referencia por inyección de armónicas:
Tabla 13.7: Característica de la modulación PWM para referencia por inyección de armónicas
Unipolar 0.8576 0.8127 0.3369
Bipolar 0.9754 0.8227 0.6369

13. Inversores 387
Figura 13.31: Modulación por inyección de armónicas Unipolar
Figura 13.32: Modulación por inyección de armónicas Bipolar

Figura 13.33: Contenido armónico para la modulación PWM con referencia armónica
13.7.3. Escalera
Esta modulación aproxima una referencia sinusoidal por niveles o peldaños, generalmente se uti-
lizan de dos a cuatro peldaños en las aproximaciones. Los niveles de los escalones se calculan
para eliminar armónicas especiﬁcas y para cada número de niveles se recomienda un índice de mo-
dulación de frecuencia especiﬁco mf . Para obtener un valor elevado de la fundamental con baja
distorsión armónica se recomienda los siguientes índices de modulación:
Dos niveles: mf = 15.
Tres niveles: mf = 21.
Cuatro niveles: mf = 27.
A continuación observaremos las formas de onda y contenido armónico para aproximaciones de
dos, tres y cuatro niveles con los índices de modulación recomendados, para la modulación PWM
bipolar y unipolar.
En la tabla 13.8 se presenta el valor efectivo en por unidad del valor de la tensión de corriente con-
tinua (VDC) y distorsión armónica total para la modulación PWM unipolar y bipolar, con referencia
escalonada para dos, tres y cuatro niveles:

13. Inversores 389
Tabla 13.8: Característica de la modulación PWM para referencia escalonada
Dos Niveles Tres Niveles Cuatro Niveles
Índice de modulación en frecuencia (mf ) 15 21 27
Valor efectivo total (Vrms) 0.9068 0.9261 0.8461
Unipolar Valor efectivo 1ra armónica (Vrms1) 0.8394 0.8614 0.7825
THD 0.4089 0.3947 0.4112
Valor efectivo total (Vrms) 0.9846 0.9799 0.9531
Bipolar Valor efectivo 1ra armónica (Vrms1) 0.8425 0.8680 0.7850
THD 0.6048 0.5239 0.6885
Dos niveles: mf = 15.
Figura 13.34: Modulación escalera 2 niveles Unipolar

Figura 13.35: Modulación escalera 2 niveles Bipolar
Figura 13.36: Contenido armónico para la modulación PWM con referencia escalera 2 niveles

13. Inversores 391
Tres niveles: mf = 21.

Cuatro niveles: mf = 27.

13. Inversores 393
13.7.4. Por Pasos
La modulación por pasos consiste en aproximar una onda sinusoidal de referencia por niveles, esta
discretización se realiza cada π/9. En las ﬁguras 13.43 y 13.44, se presenta la forma de onda para

la modulación PWM unipolar y bipolar con un índice de modulación de amplitud de uno y de
frecuencia de doce. En la ﬁgura 13.45, se presenta el contenido armónico de la modulación por
ancho de pulso modiﬁcada unipolar y bipolar.
Figura 13.43: Modulación por pasos Unipolar
Figura 13.44: Modulación por pasos Bipolar

13. Inversores 395
Figura 13.45: Contenido armónico para la modulación PWM con referencia por pasos
En la tabla 13.9 se presenta el valor efectivo en por unidad del valor de la tensión de corriente con-
tinua (VDC) y distorsión armónica total para la modulación PWM unipolar y bipolar, con referencia
por pasos:
Tabla 13.9: Característica de la modulación PWM para referencia por pasos
Unipolar 0.7875 0.7197 0.4443
Bipolar 0.9736 0.7177 0.9166
13.7.5. Resumen
En la tabla 13.10, se presenta un resumen de las modulaciones PWM unipolar y bipolar estudiadas
para un índice de modulación de amplitud de uno (ma = 1) y de frecuencia de doce (mf = 12),
con acepción de la modulación escalera que se realizo con los índices de modulación de frecuencia
recomendados para los niveles estudiados.

396 13.8. Modulación Delta de Corriente
Tabla 13.10: Modulaciones PWM para las diferentes referencias
Unipolar Bipolar
Referencia de la Modulación Vrms Vrms1 THD Vrms Vrms1 THD
Sinusoidal 0.7792 0.7077 0.4606 0.9690 0.7095 0.9300
SPWM 0.9585 0.8554 0.5057 0.9857 0.8104 0.6923
Trapezoidal 0.8729 0.8395 0.2850 0.9854 0.8399 0.6137
Por Inyección de Armónicas 0.8576 0.8127 0.3369 0.9754 0.8227 0.6369
Escalera (2 niveles) 0.9068 0.8394 0.4089 0.9846 0.8425 0.6048
Por Pasos 0.7875 0.7197 0.4443 0.9736 0.7177 0.9166
Se puede observar en la tabla 13.10, como la modulación unipolar presenta menor distorsión ar-
mónica a la carga que la bipolar, pero esto requiere un puente inversor de tres estados. Ambas
modulaciones obtienen valor efectivos de primera armónica similares. La escogencia de una refe-
rencia especifica depende de los estados que maneje el puente convertidor y la máxima frecuencia
de conmutación que soporten las componentes para los requerimientos de la carga.
13.8. Modulación Delta de Corriente
La modulación delta de corriente consiste en adecuar la estrategia de disparo de los componentes
del inversor para seguir una referencia de corriente determinada, dentro de una banda de histéresis
definida. La estrategia de disparo consiste en colocar tensión VDC en la carga, si la referencia es
mayor que la corriente medida en el circuito y −VDC si es menor. La frecuencia de operación del
inversor depende del ancho de la ventana de histéresis a menor ancho mayor número de conmu-
taciones. En la figura 13.46, se presenta la corriente de referencia y mediada en la carga resistiva
inductiva de un puente inversor monofásico. Para este ejemplo se utilizo una referencia de corriente
sinusoidal de la forma: i(t) = sen(2π f t) con R = 60Ω, L = 223mH, f = 60Hz y VDC = 100V.

13. Inversores 397
Figura 13.46: Corriente de referencia y real en un inversor monofásico accionado por modulación
delta
En la ﬁgura 13.47, se presenta la tensión en bornes de la carga resistiva inductiva obtenida de la
estrategia de conmutación por modulación delta de la ﬁgura 13.46.
Figura 13.47: Tensión en la carga del inversor monofásico accionado por modulación delta

398 13.9. Instalación de Inversores
13.9. Instalación de Inversores
Al utilizar inversores la corriente alterna que circula por los conductores del equipo, su alimenta-
ción desde la red y la conexión al motor es reemplazada por un tren de pulsos de alta frecuencia
que modifican los conceptos tradicionales aplicados a las instalaciones eléctricas industriales. La
circulación de corrientes importantes de alta frecuencia produce caídas no lineales en conducto-
res así como campos electromagnéticos y radiación que pueden perturbar el funcionamiento de
equipos cercanos. Coexisten actualmente diversas legislaciones, en distintos países, para establecer
limites a las perturbaciones introducidas por los equipos. Quizás la más exigente al respecto sea en
la actualidad la norma europea que establece dos niveles de perturbación generada por un variador:
El nivel industrial, que básicamente todo variador debe satisfacer sin la utilización de elemen-
tos exteriores, en la medida que el variador sea instalado de acuerdo a las recomendaciones
del fabricante. Dichas recomendaciones dan métodos de cableado, protección, instalación y
cableado.
El nivel residencial, mas exigente que el anterior en el cual deben utilizarse generalmente
filtros adicionales en la alimentación y salida del variador para limitar las perturbaciones
introducidas. Aparte de utilizar los filtros el inversor debe ser instalado de acuerdo a las
recomendaciones del fabricante.
El análisis de las perturbaciones generadas por el inversor nos lleva a dividir la instalación en 3
partes:
Cableado inversor-motor: El cable variador motor es realmente una línea de transmisión
donde circulan corrientes de alta frecuencia. Como toda línea de transmisión tiene una ate-
nuación (producto de la derivación capacitiva de energía a masa) que reduce la energía trans-
mitida y que alcanza finalmente el motor. En caso de instalaciones donde el motor se encuen-
tre lejos del inversor (>100 metros) debe considerarse la utilización de conductores de baja
capacidad o sobredimensionar el inversor para disponer de la energía necesaria para el motor.
No debe descartarse la posibilidad de resonancias en una frecuencia dada de operación. Di-
cha línea además puede comportase como antena radiante y perturbando por radiofrecuencia
otros equipos o instalaciones. Se recomienda minimizar dichos efectos racionalizando el ca-
bleado, separando señal de potencia y equipos entre si utilizando conductores blindados con
la conexión adecuada a masa, evitando la formación de lazos de masa que reducen el efecto
del blindaje.
Instalación de inversor: El inversor debido a las energías internas en juego puede conside-
rarse como un emisor de radiofrecuencia. A fin de limitar este efecto el mismo debería estar

13. Inversores 399
instalado en un gabinete metálico que actué como jaula de faraday previendo la conveniente
refrigeración térmica al equipo.
Suministro de energía: Por el conductor de conexión del rectificador que alimenta el inver-
sor, a la red de suministro circulan corrientes pulsantes que producen caídas no lineales en
dicho cable. El fenómeno se denomina reinyecion a la fuente, existiendo el riesgo de que
si hubiera otros equipos conectados a la misma línea vean modificado o perturbado su fun-
cionamiento. La minimización de la reinyección a la fuente implica la correcta selección de
cableados en cuanto a componentes y distribución. Puede considerarse la utilización de filtros
que limiten dicho efecto. Los fabricantes incluyen dichos filtros en los accesorios ofrecidos
con el inversor.
13.10. Simulación
13.10.1. Inversor monofásico con carga resistiva inductiva.
Programa Principal
1 % Programa Principal
2 global V f R L
3 % Inversor Monofásico
4 % Variables
5 V=input('Tensión DC ');
6 R=input('Carga Resistiva ');
7 L=input('Carga Inductiva ');
8 f=input('Frecuencia ');
9 % Cálculo de la corriente
10 y0=0; % Condición Inicial
11 [T,X]=ode1('corriente ' ,0,20/f,y0 ,1/(100*f)); % Corriente en la Carga
12 Onda=( square (2*pi*f*T,50)); % Forma de Onda
13 Vcarga=V*Onda; % Tensión sobre la Carga
14 Vf=V*ones(length(T));
15 figure (3)
16 subplot (2,1,1); plot(T,X);
17 xlabel('Tiempo [s]'); ylabel('Corriente [A]'); grid;
18 subplot (2,1,2); plot(T,Vf,T,Vcarga ,'r'); grid;
19 xlabel('Tiempo [s]'); ylabel('Tensión [V]');legend('fuente ','carga');
20 % Cálculo de Armónicos

21 Deltat=T(2)-T(1);
22 largo=length(T);
23 Np=100; carga=[X,Vcarga ];
24 a=carga(largo -Np+1:largo ,:);
25 a1=fft(a(:,1))*2/(Np); a1(1)=a1(1)/2;
26 a2=fft(a(:,2))*2/(Np); a2(1)=a2(1)/2;
27 figure (1)
28 subplot (2,1,1); bar ((0:49) ,abs(a1 (1:50))./abs(a1(2)),'r');
29 xlabel('Armónicas '); ylabel('p.u.fundamental ')
30 legend('Contenido Armónico de Corriente ');axis([-1 50 0 1.2]); grid;
31 subplot (2,1,2); bar ((0:49) ,abs(a2 (1:50))./abs(a2(2))); grid;
32 xlabel('Armónica '); ylabel('p.u. fundamental ')
33 legend('Contenido Armónico de Tensión '); axis([-1 50 0 1.2]);
34 % Cálculo de Distorsión armónica
35 np=floor(Np/2);
36 Vrms=sqrt((sum((abs(a2(2:np))/sqrt (2)).^2))+abs(a2(1))^2)
37 THDv= sqrt(Vrms^2-(abs(a2(2))/sqrt (2))^2)/(abs(a2(2))/sqrt (2))
38 Irms=sqrt((sum((abs(a1(2:np))/sqrt (2)).^2))+abs(a1(1))^2)
39 THDi= sqrt(Irms^2-(abs(a1(2))/sqrt (2))^2)/(abs(a1(2))/sqrt (2))
Función corriente
1 % Función corriente.m
2 function px=corriente(t,x)
3 global V f R L
4 i=x;
5 Vcarga=V*( square (2*pi*f*t,50)); % Tensión sobre la Carga
6 px=(Vcarga -R*i)/L; % Derivada de la corriente en la Carga
13.10.2. Modelo en vectores espaciales del inversor trifásico con carga RL.
Programa Principal
1 % Progrma Principal
2 global V f R L w
3 % Inversor trifásico
4 % Variables

13. Inversores 401
5 V=input('Tensión DC ');
8 f=input('Frecuencia '); T=1/f; w=2*pi*f;
9 % Cáculo de la corriente
11 [t,ies]=ode1('corriente3f ' ,0,.2,y0,T/100); % Corriente en la Carga
12 % Tensiones
13 vab =((( square(w*t ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi ,1/3*100) +1) *.5));
14 vbc =((( square(w*t-2*pi /3 ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi -2*pi
/3 ,1/3*100) +1) *.5));
15 vca =((( square(w*t-4*pi /3 ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi -4*pi
/3 ,1/3*100) +1) *.5));
16 ves=sqrt (2/3)*V*(vab+exp(j*2*pi/3)*vbc+exp(j*4*pi/3)*vca)*exp(-j*pi
/6)/sqrt (3); % vector
espacial
17 i=length(ies) -100: length(ies);
18 %Series de Fourier
19 Fv=fft(sqrt (2/3)*real(ves(i)))/( length(i)/2); Fv(1)=Fv(1)/2; Fv=Fv/Fv
(2) *100;
20 Fi=fft(sqrt (2/3)*real(ies(i)))/( length(i)/2); Fi(1)=Fi(1)/2; Fi=Fi/Fi
(2) *100;
21 figure (1)
22 magv=max(abs(ves(i)))/100; magi=max(abs(ies(i)))/100;
23 plot(real(ves(i))/magv ,imag(ves(i))/magv ,real(ies(i))/magi ,imag(ies(i
))/magi ,'r'); grid;
24 xlabel('Real'); ylabel('Imag'); legend('Tensión ','Corriente '); axis('
equal');
25 figure (2)
26 va=sqrt (2/3)*real(ves(i))/(sqrt (2/3)*max(real(ves(i))))*100;
27 ia=sqrt (2/3)*real(ies(i))/(sqrt (2/3)*max(real(ies(i))))*100;
28 plot(t(i),va,t(i),ia,'r'); grid;
29 xlabel('Tiempo (s)'); ylabel(' % del valor pico'); legend('Tensión ','
Corriente ');
30 figure (3)
31 clf
32 subplot (2,1,1); bar(0:30,abs(Fv (1:31))); grid; axis ([0 30 0 100]);
33 xlabel('Armónicas '); ylabel(' % de la Fundamental '); legend('Tensión ')
;
34 subplot (2,1,2); bar(0:30,abs(Fi (1:31)),'r'); grid; axis ([0 30 0 100])
;

35 xlabel('Armónicas '); ylabel(' % de la Fundamental '); legend('Corriente
');
Función Corriente
1 % Función corriente3f.m
2 function px=corriente3f(t,x)
3 global V f R L w
4 i=x;
5 % Tensión sobre la Carga
6 vab1 =((( square(w*t ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi ,1/3*100) +1) *.5));
7 vbc1 =((( square(w*t-2*pi /3 ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi -2*pi
/3 ,1/3*100) +1) *.5));
8 vca1 =((( square(w*t-4*pi /3 ,1/3*100) +1) *.5) -((square(w*t-pi -4*pi
/3 ,1/3*100) +1) *.5));
9 % Vector Espacial
10 ves1=sqrt (2/3)*V*(vab1+exp(j*2*pi/3)*vbc1+exp(j*4*pi/3)*vca1)*exp(-j*
pi/6)/sqrt (3);
11 px=(ves1 -R*i)/L; % Derivada de la corriente en la Carga
13.10.3. Modulación delta
Programa principal
1 % Programa Principal
2 global V f R L SW k
3 % Inversor V=input('Tensión DC ');
6 f=input('Frecuencia ');
7 % Cálculo de la corriente
9 k=1;
10 t=0:1/(100*f):20/f;
11 SW=zeros(1,length(t));
12 [t,I]=ode1('corrientedelta ' ,0,20/f,y0 ,1/(100*f)); % Corriente en la Carga
13 % Graficas

13. Inversores 403
14 ref=sin(2*pi*f*t);
15 i=length(t) -99: length(t); % Último Ciclo
16 figure (1)
17 plot(t(i),ref(i),t(i),I(i),'r'); grid
18 axis([t(i(1)) t(i(length(i))) -1.2 1.2]);
19 xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Corriente (A) '); legend('I_r_e_f ','I')
;
20 figure (2)
21 plot(t(i),SW(i));grid;
22 xlabel('Tiempo (s)'); ylabel('Tensión (V) ');
23 axis([t(i(1)) t(i(length(i))) -1.2 1.2]);
Función de corriente
1 % Función corrientedelta.m
2 function px=corrientedelta(t,x)
3 global V f R L SW k
4 i=x; ref=sin(2*pi*f*t); % Referencia de Corriente
5 k=k+1;
6 if abs(ref -i) >=0.05
7 SW(k)=sign(ref -i);
8 else
9 SW(k)=SW(k-1);
10 end
11 Vcarga=V*SW(k); % Tensión sobre la Carga
12 px=(Vcarga -R*i)/L; % Derivada de la corriente en la Carga
13.11. Ejercicios
1. El inversor de la ﬁgura 13.8a se alimenta de una fuente VDC de 500V. El puente se controla
mediante SPWM con una frecuencia fundamental de 60Hz y un índice de modulación de
amplitud y frecuencia de 0,6 y 35 respectivamente. Determine:
a) Contenido armónico de la tensión sobre la carga hasta el armónico 20
b) Tensión efectiva y THD en la carga.
c) Corriente efectiva para una carga RL de 60Ω y 150mH.

d) Formas de onda de tensión y corriente.
2. Un inversor monofásico tipo puente “H” con control de ancho de pulso alimenta una carga
R = 10Ω y L = 35mH. Este inverso se alimenta de una fuente continua de 250V y la frecuen-
cia de salida del convertidor es 60Hz. Determine el valor efectivo de la corriente fundamental
cuando el pulso es igual a T/2. Si la frecuencia se reduce a 30Hz determine el ancho del pul-
so para obtener el mismo valor de corriente en la carga a frecuencia fundamental.
3. Un inversor monofásico alimenta una carga RL serie con R = 30Ω y L = 30mH . La frecuen-
cia de salida es de 150Hz. Especifique la tensión de fuente de continua tal que la corriente
de carga para la frecuencia fundamental sea de 2,5 amperes efectivos.
4. Un inversor monofásico de onda completa alimenta una carga RL serie de 30Ω y 30mH. La
frecuencia de salida del inversor es de 120Hz. Determine:
a) Especificar la fuente de alimentación DC para que la corriente efectiva de fundamental
sea de 2A.
b) Calcule la potencia consumida por la carga (Considere hasta la armónica 5).
c) Hasta que armónica usted consideraría para cometer un error en el cálculo de la corrien-
te efectiva menor al 1%.
5. El puente de la figura 13.8b alimenta la carga de la figura 13.48. El convertidor tiene un es-
quema de modulación por PWM unipolar con mf = 15 y ma = 0,8. Los parámetros del filtro
y la carga son Lfiltro = 15mH, Cfiltro = 47µF y R = 50Ω. Determine:

13. Inversores 405
Figura 13.48: Problema 5
a) Tensión VDC para obtener una tensión efectiva en la carga resistiva de 115V efectivos a
200Hz.
b) Dibuje las formas de onda de tensión y corriente sobre la carga a la salida del convertidor
(vinv) y sobre la carga (vr).
c) Potencia disipada por la carga.
d) Repita el problema utilizando PWM bipolar.
6. Un inversor trifásico de un pulso por semiciclo, posee una barra de continua regulable. La
carga esta conformada por una estrella equilibrada con R = 5Ω y L = 70mH. La frecuencia
de salida varia entre 30 y 60Hz. Determine el rango de tensión DC necesario para mantener
la componente de frecuencia fundamental de la corriente en la línea en 10A
7. Un inversor trifásico de un pulso por semiciclo esta alimentado de una fuente DC de 400V y
puede variar la frecuencia de salida entre 25 y 100Hz. El inversor alimenta un carga RL serie
conectada en estrella de 20Ω y 30mH por fase. Determine.
a) Para el rango de frecuencia del inversor como varia la corriente efectiva de fundamental
de la corriente.

b) Que efecto tiene sobre el THD de corriente y tensión línea neutro la variación de fre-
cuencia.
c) Explique como resolvería el problema si la carga estuviese conectada en delta y no en
estrella.
8. Un inversor trifásico alimenta una carga en estrella de 45Ω y 300mH por rama. El puente se
alimenta desde una barra de corriente continua de 400V. El esquema de control del inversor
es por PWMunipolar con una frecuencia de conmutación de 5kHz y un indice de modulación
de amplitud unitario. La frecuencia de fundamental suministrada a la carga es de 60Hz.
Determine:
a) Contenido armónico de la tensión y corriente en la carga.
b) Potencia activa y reactiva instantánea y promedio en la carga.
c) Corriente y tensión efectiva en la carga.
9. Compare las técnicas de Modulación y Control de inversores a nivel de ventajas y desventa-
jas. Explique su respuesta.

Parte VII
Especiﬁcaciones y Protección de
Dispositivos Electrónicos de Potencia
407

Capítulo 14
Especificaciones de Componentes de
Potencia
Para especificar una componente de potencia se debe en cuenta los siguientes aspectos: tensión que
soporta apagada, corriente media y efectiva que proporciona al circuito en conducción, capacidad
de di/dt, capacidad de dv/dt, requisitos de activación y desactivación, frecuencia de operación y
potencia que disipa en sus diferentes estados de operación.
La potencia que disipa un componente semiconductor, se puede clasificar de acuerdo a su estado
de operación en:
Bloqueo: Cuando la componente se encuentra apagada.
Conducción: Cuando la componente esta encendida.
Conmutación: Son las producidas por el cambio de estado entre conducción y bloqueo y
viceversa.
Circuitos Auxiliares: Son las producidas por los circuitos asociados de encendido o apagado
de la componente, generalmente se consideran por separado y no afectan en la determinación
del semiconductor.
14.2. Tensión
Se debe tener en cuenta al momento de especificar una componente la tensión pico que soporta la
componente de forma directa (en conducción) e inversa (apagado).
409

410 14.3. Corriente
14.3. Corriente
Se debe considerar en la especificación la corriente promedio y efectiva de la componente en con-
ducción, su corriente de fuga en apagado y de pico repetitivo y no repetitivo.
14.4. Frecuencia de Interrupción
Al momento de especificar la frecuencia de operación de la componente se deben considerar los
tiempos requeridos para el encendido y pagado de la componente con seguridad, así como los
tiempos muertos que por seguridad hay que tomar al momento de conmutar elementos de la misma
rama a fin de poder garantizar que no se produzcan cortocircuitos en las ramas.
14.5. Capacidad de Variación de Corriente (di/dt)
El dispositivo requiere un tiempo para que toda la superficie conductora permita el flujo de co-
rriente. Si la corriente aumenta con rapidez, el flujo se concentraría en una determinada parte del
semiconductor superando su densidad de corriente y deteriorándolo permanentemente. Para limitar
el di/dt se utilizan inductores en serie con los dispositivos de potencia, esta inductancia general-
mente se denomina inductor de amortiguamiento.
14.6. Capacidad de Variación de Tensión (dv/dt)
Debido a las capacitancias interna de los semiconductores de potencia es necesario limitar la taza
de crecimiento de la tensión durante las operaciones de conmutación del dispositivo. Generalmente
para limitar el dv/dt se utilizan circuitos auxiliares de conmutación denominados Snubber. El
Snubber más común consiste en un arreglo RC en paralelo con la componente.
14.7. Requisitos de Activación y Apagado de Compuerta
Otro aspecto al considerar al momento de especificar una componente son los requerimientos de
encendido y apagado de la misma, desde el punto de vista de niveles de tensión, corriente, pérdidas,
circuitos adicionales y costo que estos para el circuitos de potencia.

14.8. Protección con Fusible I2
t
Cuando el equipo de potencia requiere protección contra cortocircuitos en la línea de alimentación
y esta se realiza con fusibles es necesario una operación coordinada entre este y la componente. El
I2t del dispositivo semiconductor debe ser mayor que el del fusible a fin de garantizar una operación
selectiva de este, a fin de que el equipo se encuentre protegido ante fallas.
14.9. Temperatura
Durante la operación de los dispositivos de potencia es necesario que estos no superen las máximas
temperaturas de operación del semiconductor, ya que pueden variar sus propiedades dieléctricas.
Los factores que influyen en el aumento de la temperatura de los dispositivos son: las pérdidas
en las diferentes zonas de operación y el intercambio de calor con el medio ambiente (modelo
térmico).
14.10. Pérdidas en Diodos y Tiristores
Para especificar un diodo o un tiristor por sus pérdidas se deben tomar en cuenta las potencias
promedio disipadas en cada estado de operación y compararlas con las indicadas por el fabricante.
Un aspecto a considerar al hacer la comparación, es el tipo de prueba realizada por el fabricante
para determinar las pérdidas totales de la componente como son: el tipo de onda de corriente y
tensión utilizadas para cargar el dispositivo. En los diodos y tiristores las pérdidas por bloqueo
son muy bajas debido a que las corrientes de fuga de estas componentes están en el orden de los
micro amperes, mientras las de conmutación por su baja frecuencia de conmutación (frecuencia
industrial) son poco significativas al compararlas con las de conducción. Por esta razón se enfoca
el estudio de las pérdidas a únicamente las de conducción, dejando un margen de sobre diseño por
no considerar las contribuciones de bloqueo y conmutación.
14.10.1. Pérdidas de Conducción
Para calcular las pérdidas promedio de conducción es necesario parametrizar la característica de
corriente del diodo y de conducción del tiristor mostrada en la figura 14.1.
La parametrización más sencilla para la característica mostrada en la figura 14.1, es una recta de la
forma:
v(t) = VTO +RDi(t) (14.1)

412 14.10. Pérdidas en Diodos y Tiristores
Figura 14.1: Característica de conducción del diodo y tiristor
Donde VTO es la tensión de ruptura del dispositivo que esta alrededor de uno a dos voltios y RD es la
resistencia dinámica de la componente y coincide con el inverso de la pendiente de la característica.
Los valores de VTO y RD son dados por el fabricante como especiﬁcación de la componente en su
hoja de datos.
A partir de la expresión (14.1), se puede calcular la potencia promedio de conducción como:
P = 1
T
¡ T
0 v(t)i(t)dt
P = 1
T
¡ T
0 [VTO +RDi(t)] i(t)dt
P = VTO
1
T
¡ T
0 i(t)dt +RD
1
T
¡ T
0 i(t)2 dt
P = VTOI0comp. +RDI2
rmscomp.
(14.2)
Las corrientes media y efectiva de la ecuación (14.2), corresponden a las que circulan por la com-
ponente durante su operación.
14.10.2. Modelo Térmico.
El modelo térmico es una representación eléctrica, a través de un circuito RC, del fenómeno de
calentamiento de la componente al disipar potencia. Este modelo sirve para especiﬁcar el disipador
a ser colocado con la componente para garantizar que la componente no se deteriore a efecto del
incremento de temperatura durante el proceso de conducción. El calentamiento de la componente

debe ser tal que la juntura semiconductora no supere los 175◦C para evitar el cambio de estado del
silicio y su pérdida de propiedades semiconductoras y por el otro se tiene como limitación que el
calor irradiado no puede incrementar la temperatura ambiente. En el modelo térmico la temperatura
es representada por la tensión del circuito y la potencia disipada por la corriente. Por esta razón el
cociente entre la temperatura y la potencia es denominado resistencia térmica que tiene unidades
de [◦C/W]. Cada interfaz de dos materiales entre el semiconductor hasta el disipador se representa
con una resistencia y capacitancia térmica. En la figura 14.2, se presenta el modelo térmico del
dispositivo.
Figura 14.2: Modelo térmico del diodo y tiristor
El circuito RC de la figura 14.2 presenta una constante de tiempo asociada, dada por el producto de
la resistencia y capacitancia térmica, un análisis pesimista de este proceso desprecia la constantes de
tiempo y supone un proceso instantáneo de transferencia de calor entre la juntura semiconductora
y el medio ambiente. Para evitar el deterioro del semiconductor se debe cumplir que:
Tjuntura −Tambiente ≥ P∑RT érmicas (14.3)
Como para la determinación de la potencia promedio se utilizo una aproximación en la parame-
trización de la curva de conducción del diodo y del tiristor y adicionalmente, se despreciaron las
pérdidas de conmutación y bloque del dispositivo se considerará un factor de seguridad en la ecua-
ción (14.8), de 0,8.
0,8 Tjuntura −Tambiente ≥ P ∑RTermicas
0,8 Tjuntura −Tambiente ≥ P Rjuntura−carcaza +Rcarcaza−disipador +Rdisipador−ambiente
(14.4)
De la expresión (14.4), se puede calcular la resistencia térmica disipador - ambiente como:

414 14.11. Pérdidas en Transistores
Rdisipador−ambiente ≤
0,8 Tjuntura −Tambiente
P
−Rjuntura−carcaza −Rcarcaza−disipador (14.5)
14.11. Pérdidas en Transistores
Para especiﬁcar un transistor por sus pérdidas se deben tomar en cuenta las potencias promedio
disipadas en conducción, bloqueo y conmutación y compararlas con las indicadas por el fabricante.
A diferencia del caso de los diodos y tiristores en los transistores por sus altas frecuencias de con-
mutación las pérdidas en estos procesos puede ser comparables o superiores a las de conducción.
14.11.1. Pérdidas de Bloqueo
Estas son producida por las corrientes de fuga de la componente y la tensión colector emisor o
drain source en bloqueo, es decir en no conducción. Las corrientes de fuga en componentes semi-
conductoras, están en el orden de los micro amperes. La potencia promedio de bloqueo se calcula
como:
Pbloqueo = VCEcorte
1
T
¡ T
ton
Ifugadt
Pbloqueo = VCEcorte
[T−ton]
T Ifuga
Pbloqueo = VCEcorteIfuga [1−δ]
(14.6)
14.11.2. Pérdidas de Conducción
Estas pérdidas son producidas cuando la componente conduce y depende de la corriente media por
la componente y la tensión colector emisor o drain source de saturación. La tensión de saturación
de un transistor estas alrededor de uno a dos voltios. La potencia promedio de conducción se puede
calcular como:
Pconduccion = VCEsat
1
T
¡ ton
0 Icdt
Pconduccion = VCEsat
ton
T Ic
Pconduccion = VCEsat δ Ic
(14.7)

14.11.3. Pérdidas de Conmutación
Estas pérdidas se deben al proceso de encendido y apagado de las componentes. Este proceso es
aleatorio y depende de como se derrumba la barrera de potencial a medida que empieza a circular
corriente en el caso del encendido, como se restituye la barrera de potencial conforme se extingue
la circulación de la corriente en el apagado. Estas pérdidas dependen directamente del número de
operaciones de encendido y apagado que realice la componente durante su operación. Para calcular
la potencia promedio de encendido y apagado hay que tener en cuenta que es un proceso aleatorio,
que se puede ajustar a un modelo estadístico de la operación de encendido y apagado. Como todo
proceso de diseño se debe tener en cuenta el peor caso para determinar la máxima potencia disipada
en esta condición. Los procesos de encendido y apagado de las componentes son similares por eso
para la determinación de las pérdidas se estudiara sólo el encendido, las pérdidas de apagado se
calcularan de igual forma teniendo en cuenta que los tiempos de apagado de los transistores. El
tiempo de apagado de un transistor está en el orden de tres a cuatro veces el de encendido.
Para estudiar las pérdidas de encendido se estudiaran tres modelos estadístico de este fenómeno.
14.11.3.1. Modelo 1
En la ﬁgura 14.3, se presenta el esquema de tensión y corriente en la componentes durante el
proceso de encendido. En este modelo se asume que la barrera de potencial no se derrumba hasta
que la corriente por la componente no se establece completamente.
Figura 14.3: Tensión y corriente durante el encendido de un transistor "Modelo 1"
Para calcular las pérdidas promedio se parametrizará la corriente a una rampa de la forma:
i(t) =
Ic
tenc
t (14.8)

Donde:
tenc es el tiempo de encendido de la componente.
Utilizando la expresión (14.8) y asumiendo la tensión constante e igual a VCEcortese puede calcular
la potencia como:
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o i(t)VCEcortedt
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o VCEcorte
Ic
tenc
t dt
Pconmu = f VCEcorteIc
tenc
2
(14.9)
Donde:
f es la frecuencia de conmutación de la componente.
14.11.3.2. Modelo 2
En la ﬁgura 14.4, se presenta el esquema de tensión y corriente en la componente durante el proceso
de encendido. En este modelo se asume que la barrera de potencial se derrumba al mismo tiempo
que se establece la corriente por la componente.
Para calcular las pérdidas promedio se parametrizará la corriente a una rampa como en la expresión
(14.8), y la tensión se parametriza de la forma:
v(t) =
VCEcorte −VCEsat
tenc
t (14.10)

Utilizando la expresión (14.8) y (14.10)se puede calcular la potencia como:
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o i(t)v(t)dt
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o
Ic
tenc
t
VCEcorte−VCEsat
tenc
t dt
Pconmu = f (VCEcorte −VCEsat )Ic
tenc
6
(14.11)
14.11.3.3. Modelo 3
En la ﬁgura 14.5, se presenta el esquema de tensión y corriente en la componente durante el proceso
de encendido. En este modelo se asume que la barrera de potencial se derrumba completamente al
circular la corriente por la componente.
Para calcular las pérdidas promedio se parametrizará la corriente a una rampa como en la expresión
(14.8), y la tensión se asumirá constante e igual a VCEsat . Se puede calcular la potencia como:
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o i(t)VCEsat dt
Pconmu = 1
T
¡ tenc
o VCEsat
Ic
tenc
t dt
Pconmu = f VCEsat Ic
tenc
2
(14.12)
14.11.4. Pérdidas Totales
Para encontrar las pérdidas totales del transistor es necesario sumar las de conducción, bloqueo
y conmutación tanto en encendido como apagado. Para las pérdidas de conmutación se considera

el modelo estadístico uno por ser el más pesimista y el que considera mayores disipaciones de
potencia. Entonces las pérdidas totales de un transistor se pueden resumir como:
Ptotal = Pbloqueo +Pconduccion + Pconmuenc +Pconmuof f
Ptotal = VCEcorteIfuga [1−δ]+VCEsat δ Ic + f VCEcorteIc
tenc
2 +
tof f
2
(14.13)
Donde:
tof f es el tiempo de apagado de la componente.

Capítulo 15
Protección de Sobrecorriente en
Semiconductores
15.1. Aspectos generales
En este capitulo se estudian los esquemas de protección contra sobre corriente mas utilizados en
semiconductores y como se realiza su ajuste a fin de impedir el deterioro del semiconductor ante
esta eventualidad. Los dispositivos más utilizados en la protección de semiconductores son los fusi-
bles ultra rápidos, los interruptores termo-magnéticos también conocidos como breaker o ITM y la
protección activa que brinda los manejadores ("driver") de disparo de los transistores de potencia.
15.2. Fusibles ultra rápidos
Los semiconductores pueden soportar de forma transitoria sobre corrientes de intensidad bajas y
medias con una duración inferior a un ciclo de la fuente de alimentación. Esta especificación es
dada por el fabricante de la pastilla semiconductora y generalmente su determinación se realiza con
una forma sinusoidal de medio ciclo. La protección contra sobre carga puede llevarse a cabo con
algún elemento de interrupción lenta o por medio de un circuito de mando. Para sobre corrientes
altas específicamente de cortocircuito se debe limitar su duración a periodos inferiores a la fuente
de alimentación, la única alternativa para interrumpir estas altas corrientes en tiempos menores a un
ciclo de operación son los fusibles ultra rápidos. La coordinación de este fusible no se realiza bajo
la característica tiempo corriente del fusible sino de acuerdo al parámetro I2t, cuyo concepto ilustra
la disipación de energía que la corriente provoca en el semiconductor originando la elevación de su
temperatura sin ocasionar su destrucción, mientras que en el fusible representa la energía necesaria
para que este alcance su fusión e interrumpa la corriente. En la figura 15.1, se presenta los dos
esquemas más comunes de los fusibles ultra rápidos.
419

420 15.2. Fusibles ultra rápidos
Figura 15.1: Tipos y forma interior de los fusibles ultra rápidos de potencia
El cuello es la parte de menor sección del fusible y es donde tiene lugar la fusión. Para sobre
corrientes moderadas los tramos entre alrededor del cuello sirven como disipador pero ante altas
corrientes esta área no es capaz de disipar el calor lo cual ocasiona la elevación de la temperatura
hasta alcanzar la fusión del filamento. En la figura 15.2, se presenta la característica de corriente
del fusible durante su proceso de fusión e interrupción de la corriente.
Figura 15.2: Evolución temporal de la corriente y tensión en un fusible ultra rápido durante la
fusión.
En t1 se produce la fusión y aparece sobre los terminales del fusible la tensión del arco eléctrico vf .
En t2 la tensión del fusible iguala a la tensión de la fuente y la corriente llega a su valor máximo
IM. Cuando el área B iguala a la área A, en el instante t3 la corriente se extingue y el circuito queda
abierto, entonces se puede definir los siguientes tiempos de operación:

Tiempo de Fusión:
tf = t1 −t0 (15.1)
Tiempo de arco:
ta = t3 −t1 (15.2)
Tiempo de actuación:
tt = tf +ta = t3 −t0 ≈
3 I2t
I2
M
(15.3)
Generalmente la coordinación del fusible ultra rápido no se realiza con el tiempo de actuación sino
con el parámetro I2t, este parámetro se deﬁne como:
I2
t =
tB¢
tA
i2
dt (15.4)
Este valor depende de la duración y de la forma de onda considerada, generalmente para semi-
conductores se calcula a partir de un semiciclo de onda sinusoidal, mientras que para los fusibles
se calcula a partir de una onda triangular. Este hecho hace que ambos parámetros no se puedan
comparar directamente. Para coordinar la actuación del fusible afín de proteger el semiconductor
se debe cumplir:
IM I2
t fusible
≤ 6 10−3
2 f I2
t semiconductor
3/2
(15.5)
donde:
f Frecuencia de la fuente de alimentación.
Para el caso de corriente continua la expresión (15.5) se escala por un factor β como:
IM I2
t fusible
≤
6 10−3
β
4 f I2
t semiconductor
3/2
(15.6)
donde:
β = 0,4+ 3,7
3+τ τ ≤ 20ms
β = 0,45+5,5·10−3τ 20ms ≤ τ ≤ 50ms
(15.7)

422 15.3. Protección termo-magnética
15.3. Protección termo-magnética
La protección de diodos y tiristores mediante fusibles ultra rápidos es segura, sin embargo posee
el problema de los costos de reposición del fusible luego de su operación. Esto no presenta mayor
inconveniente debido a que esta protección esta pensada como respaldo y opera ocasionalmente,
cuando no funciona otras protecciones primarias o cuando se presenta una falla de altas corrientes
como un cortocircuito en la barra de continua.
En aplicaciones donde condiciones de operación imprevistas son frecuentes y habituales como en
equipos portátiles y de enseñanza, se emplea para proteger los diodos y tiristores interruptores
termo-magnéticos similares a los utilizados en la protección de instalaciones eléctricas, y en los
que la unidad de apertura magnética para altas corrientes se realiza más sensible y rápida a fin de
proteger el semiconductor.
Los interruptores termo-magnéticos poseen dos métodos de apertura: uno térmico mediante un
sensor bi-metálico con tiempo de actuación largo que puede ser ajustado para abrir a partir de
sobrecargas mayores o iguales al 10 % de la corriente nominal y una unidad magnética compuesta
por un pequeño solenoide que actúa en pocos mili segundos para altas corrientes. Ambas unidades
desencadenan o activan un mecanismo de apertura donde el arco es seccionado en una cámara
apaga-chispas a fin de lograr su extensión y por tanto la interrupción de la corriente. En la figura
15.3, se presenta una vista interna de un interruptor termo-magnético.
Figura 15.3: Vista interna de un interruptor termo-magnético
Donde:
1. Interruptor.

2. Mecanismo de disparo.
3. Terminales donde se establece el arco eléctrico.
4. Terminales
5. Unidad térmica
6. Ajuste temporización unidad térmica
7. Unidad magnética.
8. Cámara apaga-chispas
En la ﬁgura 15.4, se presenta la curva tiempo corriente de estas dispositivos donde se puede ob-
servar la característica térmica para corrientes pequeñas y la magnética para altas corrientes. Estos
dispositivos no se han generalizado para aplicaciones en este campo y son pocos los fabricantes
que lo ofrecen comercialmente.
Figura 15.4: Curva tiempo corriente de un interruptor termo-magnético
La naturaleza mecánica de estos dispositivos produce tolerancias apreciables en las características
que se observan en la ﬁgura 15.4, que obligan a tomar margenes de seguridad conservadores en
el diseño. Adicionalmente por su sensibilidad a vibraciones mecánicas tienden a no utilizarse en
aplicaciones con movimiento. Su selección para protección de semiconductores se puede realizar

424 15.4. Protección activa de transistores
utilizando el mismo concepto de I2t utilizado en los fusibles ultra rápidos, o bien utilizando la
característica tiempo corriente del interruptor. En el caso del semiconductor la corriente máxima
que soporta durante medio ciclo de una sinusoidal sin daño se puede calcular de los datos del
fabricante como:
Imax = 4 f (I2t) (15.8)
Los interruptores termo-magnéticos rápidos se emplear también como dispositivos de conexión y
desconexión habitual y como protección primaria contra sobre corrientes para equipos de electró-
nica de potencia sencillos.
15.4. Protección activa de transistores
Los transistores de potencia en todas su versiones (BJT, MOSFET, IGBT, etc.) poseen en sus ma-
nejadores de disparo la posibilidad de limitar o interrumpir la corriente en caso que alcance valores
excesivos simplemente deshabilitando el pulso de disparo de la componente. Este esquema de pro-
tección se basa en la medición de corriente que circula por la componente, esto se realiza añadiendo
una resistencia en serie con el terminal de emisor o surtidor del transistor. Esta resistencia es de un
bajo valor óhmico y de una especiﬁcación capaz de manejar la corriente en conducción de la com-
ponente. La tensión sobre esta resistencia es monitoreada por un circuito comparador que se ajusta
para que a partir de un valor deshabilite las ordenes de disparo a las bases o gates de los transistores.
Los tipos de protección y niveles de prioridad que están disponibles en las unidades de manejo de
disparo de los transistores son:
Nivel 1: Generación de una alarma de sobrecarga con posible envió de señales a otra protec-
ción para su apertura.
Nivel 2: Generación de alarma por sobrecarga debido a la disminución de la tensión de
alimentación del puente con posible envió de señales a otra protección para su apertura.
Nivel 3: Sobre corriente en una fase o a tierra se procede a la desconexión de la unidad de
disparo y apagado de todos los transistores que componen el puente y se envía una señal de
alarma.
Para los niveles uno y dos el fenómeno se presenta en todas las fases del puente convertidor y si
esta no supera el 10 % de la corriente nominal de diseño no se procede a la desconexión en caso
contrario una protección deberá proceder a la apertura de acuerdo a un temporización previamente
establecida. Estas unidades también protegen contra sobretensión en la fuente de alimentación, la

cual cuando supera un 15 % de la tensión de diseño se procede a la desconexión de la unidad de
disparo y apagado de todos los transistores que componen el puente.

426 15.4. Protección activa de transistores

Capítulo 16
Barra de Corriente Continua
16.1. Aspecto Generales
Son muchas las aplicaciones que requieren una fuente de corriente continua ideal, con un rizado
inferior al obtenido con los diferentes rectificadores de diodos o controlados. Para lograr esto es
necesario la inclusión de un filtro, el tamaño de este depende del número de fases del rectificador
empleado y del rizado de corriente o tensión deseado. Otro aspecto a considerar en el diseño de
una barra de corriente continua, es que la carga DC entregue durante ciertos periodos de opera-
ción energía a la barra, en el caso de utilizar un rectificador controlado o activo esta energía puede
ser traspasada al lado de corriente alterna, pero si se utiliza un rectificador de diodos esta energía
no puede ser traspasada e incrementaría la tensión de la barra si esta posee un condensador para
disminuir el rizado de tensión. Para evitar elevar la tensión de operación de la barra DC durante
los periodos de regeneración se utiliza una resistencia de frenado a fin de disipar la energía prove-
niente de la carga DC. En este capitulo se presentan los diferentes tipos de filtros empleados y el
dimensionamiento de la resistencia de frenado en las barras de corriente continua.
16.2. Filtros
La escogencia de un tipo de filtro especifico depende de los requerimientos de la carga DC conecta-
da a la Barra. Si se desea disminuir el rizado de corriente es necesario la inclusión de inductancia en
el filtro a fin de lograr este objetivo, recordando que la inclusión de un valor mínimo de inductancia
en la barra de continua permite garantizar para rectificadores de media onda y monofásicos que
alcancen la condición continuada de corriente, con su consecuentes beneficios que anteriormente
se presentaron en el capítulo respectivo. Cuando el objetivo es disminuir el rizado de tensión es
necesario la colocación de un capacitor en el filtro generalmente este condensador se trabaja a un
85 % de su valor nominal de tensión a fin de poder permitir durante operaciones transitorias de poca
duración la regeneración de la carga DC sin la colocación de resistencia de frenado. En la figura
16.1, se presenta el esquema de conexión del filtro en la barra DC.
427

428 16.2. Filtros
Figura 16.1: Filtro en la barra de corriente continua
Los tipos de filtros utilizados en las barras de corriente continua, para rectificadores son:
Filtro L: Consta de una inductancia serie con la carga
Filtro C: Formado por un condensador en paralelo a la carga.
Filtro LC: Es un filtro L conectado en cascada con el filtro C.
Filtro π: Están conformado por un filtro LC conectado en cascada con un filtro C.
Filtro LC doble: Consta de dos filtros LC conectados en cascada.
En la figura 16.2, se presentan los esquemas de los diversos tipos de filtros para rectificadores

(a) Filtro L (b) Filtro C
(c) Filtro LC (d) Filtro π
(e) Filtro LC doble
Figura 16.2: Diversos tipos de filtros para rectificadores
El rizado producido por los rectificadores controlados es mayor que los de diodos y por ende requie-
ren filtros de mayor tamaño. Generalmente las cargas en la barra de corriente continua requieren
la regulación de tensión, por eso el filtro más utilizado es el LC, esta configuración se le conoce
como filtro pasa bajos. Suponiendo que el puente trabaja en condición continuada y que el flujo de
corriente por la inductancia L es siempre diferente de cero, pude aplicarse el principio de superpo-
sición y ver el efecto del filtro sobre cada armónico de tensión proporcionada por el rectificador. El
mayor valor de rizado se alcanza cuando el puente trabaja en vacío, el filtro LC presenta la siguiente
función de transferencia en el dominio de la frecuencia:
vfiltro(S)
vrecticador(S)
=
1
SC
SL− 1
SC
=
1
S2LC −1
(16.1)

430 16.3. Manejador de frenado dinámico y regenerativo
La relación (16.1), muestra que el filtro es más efectivo a mediada que se incrementa la frecuencia
del armónico considerado y cuanto mayor sea el producto de la inductancia y la capacitancia que
lo conforman. Cada armónico es atenuado aproximadamente por el cuadrado de su frecuencia, esto
hace que al momento de diseñar el filtro filtro se realice para una frecuencia de corte para armónicos
de bajo orden. Dos aspectos a considerar al momento de diseño del filtro es la frecuencia natural
(ωn) de corte del filtro LC la cual no puede ser excitada por el contenido armónico del rectificador y
en caso de utilizar bobinas con núcleo de hierro las pérdidas adicionales producto de las corrientes
armónicas.
ωn =
1
LC
(16.2)
Para conseguir un rizado a la salida determinado el producto LC ha de tener un valor determinado.
Para escoger los valores de L y C se debe tener en cuenta adicionalmente:
Un valor bajo de L hace que sus pérdidas y, por tanto, las del filtro sean bajas.
Un valor bajo de L mejora la estabilidad dinámica del filtro.
Un valor alto de L limita las máximas corrientes en la barra de corriente continua.
Generalmente los fabricantes optan por utilizar como inductancia L el valor obtenido de las barra
de conexión dentro del BUS DC y no colocan inductancia adicional para el filtro. En el caso que la
exigencia del rizado de salida sea muy pequeña es preferible utilizar un filtro LC doble.
16.3. Manejador de frenado dinámico y regenerativo
Durante la operación de un máquina eléctrica con un variador de velocidad, esta puede estar someti-
da a operaciones de frenado mecánico o eléctrico para disminuir su velocidad. El frenado mecánico
es externo al variador y esta colocado en la carga mecánica e introduce un par contrario al movi-
miento con la finalidad de detener o disminuir la velocidad del accionamiento. El frenado eléctrico
se clasifica en dinámico y regenerativo. En cualquiera de los dos casos la máquina opera como
generador y la energía cinética del accionamiento es transformada en energía eléctrica.
16.3.1. Frenado dinámico
Durante el frenado dinámico, la energía eléctrica alterna en los terminales de la máquina es conver-
tida en corriente continua por los diodos de descarga libre del inversor y suministrada a la barra de
corriente continua del rectificador, para ser disipada en una resistencia de frenado (Rd) la cual es

accionada por un transistor de compuerta aislada o IGBT. En la figura 16.3, se presenta el esquema
del convertidor con unidad de frenado dinámico.
Figura 16.3: Convertidor de velocidad con unidad de frenado dinámico
La operación de la unidad de frenado dinámico es muy sencilla, cuando la máquina actúa como
generador y la tensión en sus terminales supera la tensión de la barra de corriente continua, en esta
etapa el inversor actúa como rectificador utilizando los diodos de descarga libre de los IGBT que lo
conforman. Esta operación establece un flujo de corriente que no puede circular al sistema alterno
por el rectificador de diodos, originando que el condensador (C ) del filtro se comience a cargar y
empiece a elevar la tensión de la barra. La unidad de frenado dinámico se activa cuando la tensión
de la barra supera el 10 % de su valor nominal con la finalidad de que la resistencia de frenado
(Rd) disipe el exceso de energía y limite la tensión de la barra a su tensión nominal de diseño. El
principio de operación de esta unidad es la misma que el chopper reductor donde se controla la
razón de conducción (δ) del IGBT para obtener la característica de disipación de potencia de la
figura 16.4.

432 16.3. Manejador de frenado dinámico y regenerativo
Figura 16.4: Característica de disipación de potencia de la unidad de frenado dinámico
La máxima disipación de potencia se obtiene cuando la razón de conducción del chopper es igual
a uno, es decir el IGBT esta todo el tiempo en conducción y es igual a:
Pmax =
V2
DC
Rd
(16.3)
El valor máximo de resistencia de frenado (Rd) que se puede instalar esta limitada por la capaci-
dad de la máquina y del inversor en soportar la operación de frenado. En general se instala una
resistencia de un 15 a 30 % de la potencia de variador por las limitaciones anteriormente señaladas.
16.3.2. Frenado regenerativo
En el frenado regenerativo la energía suministrada a la barra de corriente continua por la máquina
eléctrica es traspasada al sistema de corriente alterna al sustituir el rectificador de diodos de la
figura 16.3 por un rectificador activo o PWM o en su defecto por un rectificador controlado.

Parte VIII
Accionamientos de Máquinas Eléctricas
Rotativas
433

Capítulo 17
Introducción a los Sistemas con
Accionamiento Eléctrico.
En las últimas décadas, se han implementado diversas estrategias de control para el accionamiento
de la máquina eléctricas a través de puentes convertidores electrónicos. Estas estrategias permiten
obtener una excelente respuesta del convertidor electromecánico en estado estacionario, pero una
pobre respuesta en régimen dinámico de operación. Entre las causas que producen esta pobre res-
puesta dinámica, encontramos los cambios en el enlace de flujo en el entre hierro de la máquina,
debido al proceso de conmutación de los interruptores estáticos del puente convertidor. Esta pe-
queña variación afecta la magnitud y fase del enlace de flujo. Para corregir estas variaciones en
el enlace de flujo es necesario controlar instantáneamente la magnitud y fase de las corrientes en
cada una de las bobinas que conforman el estator y rotor. La mayoría de las estrategias de los ac-
cionamientos en corriente alterna, utilizan la magnitud y frecuencia de las corrientes del estator
como variable de control, y no toman en cuenta su fase. Esto ocasiona una desviación en la fase y
magnitud del enlace de flujo en el entre hierro de la máquina.
Las variaciones en el enlace de flujo en el entre hierro de la máquina, ocasionan oscilaciones en
el par eléctrico instantáneo entregado por el convertidor, esto se refleja como fluctuaciones en la
velocidad y oscilaciones del eje mecánico. Esta condición es indeseable en la mayoría de los ac-
cionamientos que requieren altas prestaciones dinámicas, tales como actuadores robóticos, bombas
de extracción, donde se requiere alta precisión, rápido posicionamiento o un control preciso de
velocidad ante variaciones de la carga mecánica. Las variaciones en el enlace de flujo en el entre
hierro ocasionan altos picos de corriente en el estator de la máquina. Estos picos de corriente deben
ser suplidos por el convertidor electrónico durante la operación del accionamiento. Para cubrir este
requerimiento, es necesario el sobre dimensionar las componentes de potencia, lo cual incrementa
el costo total del convertidor estático de energía.
435

436 17.2. Accionamiento para Máquinas Eléctricas
Al comparar los accionamientos de corriente alterna con los de corriente continua, y en especial
con los de la máquina de corriente continua en conexión independiente, en lo relativo al control
dinámico de velocidad, en la máquina DC es más sencillo este control debido, a que se puede con-
trolar de manera independiente el flujo, el cual se mantiene constante durante la operación, y el par
eléctrico. El par eléctrico y el flujo magnético se controlan independientemente a través únicamente
del control de la magnitud de la corriente de armadura y campo del convertidor electromecánico.
La sencillez del control de la máquina DC, se basa en que sólo se debe controlar la magnitud de las
corrientes en el campo y la armadura, a diferencia de los motores AC donde existen más grados de
libertad (magnitud, frecuencia y fase) lo que complica más el controlador.
En la máquina de corriente alterna es posible realizar un control del flujo y del par eléctrico de
manera independiente al igual que la máquina de corriente continua. Para controlar el par y el flujo
de manera independiente es necesario controlar la fase, magnitud y frecuencia de las corrientes en
el estator. Las corrientes en el estator dependen por una parte del enlace de flujo en el rotor el cual
es función de la posición angular de este con respecto al estator y de la corriente que circula por
el rotor. Para realizar el control de la corriente del estator es necesario conocer en cada instante
del tiempo el enlace de flujo del rotor el cual varía dinámicamente con la posición del rotor. El
control de fase, magnitud y frecuencia de la corriente del estator se puede realizar a través del
puente inversor utilizando control vectorial.
El control vectorial de las máquinas AC es equivalente al control independiente de flujo y par de la
máquina de corriente continua. Este control incrementa las características dinámicas del acciona-
miento al tomar en cuenta todos los grados de libertad presentes en la corriente del estator en cada
una de las fases y reduce las fluctuaciones en el enlace de flujo en el entre hierro de la máquina,
debidos a las conmutaciones del puente inversor.
17.2. Accionamiento para Máquinas Eléctricas
En la figura 17.1, se presenta el esquema de un accionamiento para una máquina eléctrica. Un ac-
cionamiento eléctrico persigue conseguir una determinada respuesta de un sistema mecánico. Estas
respuestas pueden ser: velocidad, par, posición o aceleración. Adicionalmente, los accionamientos
deben cumplir una una serie de restricciones (tiempo de respuesta, aceleraciones máximas, sobre
oscilación de la variable a controlar y no sobrepasar determinados valores de corriente, tensión u
otras).

Figura 17.1: Esquema de un accionamiento eléctrico de motores
Partes principales de un accionamiento eléctrico:
Fuente de alimentación: en general, la red eléctrica de corriente alterna o un generador.
Convertidor electrónico de potencia: Puede ser una combinación de distintos tipos de con-
vertidores: AC - DC, AC - AC, DC - AC, DC - DC. El convertidor podría ser reversible en
potencia o no reversible.
Sistema de control: puede ser analógico, digital o una combinación de ambos. A menudo se
emplean micro controladores o procesadores digitales de señales (DSP) de gran velocidad y
capacidad de cálculo.
Motor eléctrico: de AC o de DC. La tendencia es usar motores de AC.
Sistema de transmisión (caja de engranajes) y carga mecánica: Puede ser pasivo (el par
es siempre en sentido contrario a la velocidad de giro) o activo (el par tiene un sentido único,
independientemente del sentido de giro), característico de los aparatos de elevación.
Sensores: transformadores de intensidad o de tensión, sondas de efecto Hall, tacómetros o
encoders. La tendencia es eliminar los sensores mecánicos y sustituirlos por observadores,
disminuyendo las fallas y necesidades de mantenimiento.
La máquinas eléctricas más empleadas para realizar accionamientos eléctricos son las de corriente
alterna y corriente continua. Entre las máquinas de corriente alterna tenemos: inducción, sincróni-
cas de imán permanente y de reluctancia. El puente convertidor electrónico se deﬁne en función de
dos aspectos fundamentales: el sistema de alimentación: continua o alterna que determina su entra-
da y la maquina eléctrica a emplear que determina la salida (continua o alterna). En la tabla 17.1,
se presentan los convertidores electrónicos más utilizados en la fabricación de accionamientos.

Tabla 17.1: Puentes convertidores utilizados en accionamientos.
Puente Electrónico Fuente de Alimentación Máquina Eléctrica
Chopper Corriente Continua Corriente Continua
Rectiﬁcador No Controlado y Controlado Corriente Alterna Corriente Continua
Inversor Corriente Continua Corriente Alterna
Ciclo convertidor Corriente Alterna Corriente Alterna
Controlador AC - AC Corriente Alterna Corriente Alterna
El esquema de control del accionamiento, debe garantizar un proceso de conversión de energía
eléctrica a mecánica eﬁciente, teniendo en cuenta la calidad de la energía suministrada al motor
y a la red de alimentación. Hoy en día con el poder de cálculo y velocidad de los Procesadores
Digitales de Señales (DSP), permiten que el esquema de control se puede realizar el tiempo real,
incrementado las prestaciones dinámicas del accionamiento, ante cambios brusco de la carga y
reduciendo el impacto de armónicas al sistema de alimentación y al motor. Entre las prestaciones
más solicitadas en los accionamientos eléctricos encontramos:
Sistema mecánico:
• Control rápido, continuo y a distancia del sistema.
• Ajuste de variables (caudal, presión, etc.).
• Características dinámica:
1. Tiempos cortos en arranque, paro e inversión.
2. Tiempos cortos en cambios de velocidad.
3. Control de aceleración.
• Requerimientos de precisión:
1. Mantener la velocidad constante.
2. Parar en una posición determinada.
3. Suministrar par a bajas velocidades
Sistema eléctrico de alimentación y motor
• Menor sobre intensidad de arranque.
• Posibilidad de ahorro de energía.
• Control del factor de potencia.
• Control de la inyección de armónicos.

• Menores esfuerzos mecánicos en el motor.
• Menor calentamiento
Para alcanzar estas características y prestaciones, es necesario tener presente que los accionamien-
tos eléctricos presentan una naturaleza multidisciplinaria donde intervienen varias áreas del cono-
cimiento, en la ﬁgura 17.2, se presentan algunas de estas áreas.
Figura 17.2: Multidisciplinaridad de las accionamientos eléctricos
En los capítulos siguiente se estudiaran las áreas del conocimiento más importantes para entender el
funcionamiento, prestaciones, características e impacto sobre la carga y el sistema eléctrico de ali-
mentación, de los accionamientos de máquinas eléctricas. Las aplicaciones de los accionamientos
eléctricos son muy variadas, entre las principales encontramos:
Procesos industriales: agitadores, bombas, ventiladores, compresores, etc.
Maquinaria: cabrestantes, prensas, aﬁladores, molinos, etc.
Acondicionamiento de calor y frío industrial: bombas, sopladores, compresores, etc.
Industria del acero y del papel: elevación, grúas, rodillos, etc.
Transporte: ascensores, vehículos, trenes, metros, etc. Industria textil: telares, etc.
Industria del alimento: transporte, ventilación, empaquetado, etc.

Industria del petróleo, gas y minería
Residencial: bombas, congeladores, lava platos, lavadoras, etc.
Industria manufacturera.
Industrial Textil.

Capítulo 18
Sistemas Mecánicos
En este capítulo se estudian las ecuaciones que describen el comportamiento y características de los
sistemas mecánicos más comunes de los accionamientos eléctricos. En la ﬁgura 18.1, se presenta
el esquema de un sistema mecánico lineal, donde fe es la fuerza actuante, fL la fuerza resistente, M
la masa del cuerpo y x la posición relativa a un eje de coordenadas.
Figura 18.1: Sistema mecánico lineal.
Aplicando las ecuaciones de movimiento en una dimensión podemos calcular:
La velocidad:
v(t) =
dx(t)
dt
(18.1)
La aceleración:
a =
fe(t)− fL(t)
M
=
fM(t)
M
=
d2x(t)
dt2
(18.2)
La potencia:
p(t) = fM(t)·v(t) (18.3)
441

442 18.1. Aspectos Generales
La energía cinética:
WM(t) =
1
2
M ·v(t)2
(18.4)
En la ﬁgura 18.2, se presenta el esquema de un sistema mecánico rotacional, donde f es la fuerza
actuante, Mg es la componente de peso de la fuerza resistente, M la masa del cuerpo y ϕ la posición
relativa a un eje de coordenadas.
Figura 18.2: Sistema mecánico rotacional.
Aplicando las ecuaciones de movimiento circular, podemos calcular:
El par:
−→
Te =
−→
fe −
−→
fL ×−→r (18.5)
donde:
fL = Mg·sen(β) (18.6)
Debido a que la fuerza se aplica perpendicularmente a la barra el producto vectorial es máximo por
la tanto el módulo de la ecuación (18.5), se reduce a:
Tr = (fe − fL)r (18.7)
En un accionamiento eléctrico el par resultante Tr, se puede calcular de manera análoga. En la
ﬁgura 18.3, se presenta un esquema del sistema mecánico de un accionamiento eléctrico, donde

Te es el par producido por el motor y Tmel par de la carga que se opone al movimiento, que esta
conformado por el par de la carga mecánica y el par de fricción. En este caso el par resultante Tr
es:
Tr = Te −Tm (18.8)
Figura 18.3: Sistema mecánico de un accionamiento eléctrico
La aceleración:
am =
Tr(t)
(Jm +JL)
=
Tr(t)
Jeq
=
d2ϕ(t)
dt2
=
dωm(t)
dt
(18.9)
donde:
Jm es el momento de inercia del motor.
JL es el momento de inercia de la carga.
Jeq es la inercia total del conjunto máquina carga.
La inercia de un cilindro sólido de masa "M" y de radio "r", se puede calcular como:
J =
1
2
M ·r2
(18.10)
La velocidad:
ωm(t) =
dϕ(t)
dt
= ωm(0)+
¢ t
0
am(τ)dτ (18.11)
La posición:

444 18.2. Par de Fricción o Rozamiento
ϕ(t) = ϕ(0)+
¢ t
0
ωm(τ)dτ (18.12)
La potencia:
p(t) = Tr(t)·ωm(t) (18.13)
La energía cinética:
WM(t) =
1
2
J ·ωm(t)2
(18.14)
18.2. Par de Fricción o Rozamiento
El par de fricción o rozamiento (Tf ) esta compuesto por tres componentes: la fricción estática, la
fricción de Coulomb y la fricción viscosa. El par de fricción puede ser representado como:
Tf = Test ático +TCoulomb +Tviscosa = Test ático +TCoulomb +k ·ωm(t) (18.15)
Donde:
La fricción estática (Test ático) es debido a las diferencias del coeficiente dinámico al comenzar
un movimiento, frecuentemente este término se desprecia.
La fricción de Coulomb (TCoulomb) es constante e independiente de la velocidad y es el pro-
ducto del rozamiento entre sólidos.
La fricción viscosa (Tviscosa) corresponde a la característica de rozamiento entre sólidos y
líquidos y es proporcional a la velocidad.
En la figura 18.4, se presenta la característica del par de fricción de un accionamiento eléctrico.

Figura 18.4: Característica de fricción de un accionamiento
18.3. Par de Torsión
Para acoples muy largos y finos entre la máquina eléctrica y la carga mecánica se pueden pro-
ducir diferencias en las velocidades en ambos extremos del acople. Esta diferencia de velocidad
se traduce en un par de torsión (Tt) aplicado sobre el eje de rotación que tratara de deformarlo y
produce fluctuaciones o oscilaciones en el par de la máquina y en algunos casos puede producir la
fractura del eje en los regímenes de aceleración y desaceleración. En la figura 18.5, se muestra una
presentación esquemática de este fenómeno.
El par de torsión en el eje se puede calcular como:
Ttorsi ón = K (ϕmot −ϕcarga) = K (ωmot −ωcarga)dt
Ttorsi ón = K∆ωdt
(18.16)
donde:
∆ω = ωmot −ωcarga (18.17)
La aceleración del motor y la carga se puede calcular como:

446 18.3. Par de Torsión
Figura 18.5: Par de torsión
dωmot(t)
dt
=
Te −Ttorsi ón
Jmot
(18.18)
dωcarga(t)
dt
=
Ttorsi ón −Tm
Jcarga
(18.19)
Calculando el par del motor de la ecuación (18.18), obtenemos:
Te = Jmot
dωmot(t)
dt
+Ttorsi ón (18.20)
Derivando la ecuación (18.20) y reemplazando ωmot de la ecuación (18.17), se obtiene:
dTe
dt
= Jmot
d2∆ω(t)
dt2
+
dTtorsi ón
dt
(18.21)
Sustituyendo la definición del par de torsión (18.16) en la ecuación (18.21), se obtiene:
dTe
dt
= Jmot
d2∆ω(t)
dt2
+K∆ω(t) (18.22)
La ecuación característica de la expresión (18.22), es:
Jmots2
+K = 0 (18.23)
Esta ecuación característica tiene dos polos complejos conjugados, lo que ocasiona una respuesta
natural oscilatoria en la velocidad. En la figura 18.6, se presenta un equivalente eléctrico de la figura
18.5.

Figura 18.6: Equivalente eléctrico de la figura18.5
Si el valor de K tiende a infinito (∞), no aparece diferencia de velocidad entre la carga mecánica y
el motor y se puede considerar una inercia equivalente (Jeq).
Jeq = Jmot +Jcarga (18.24)
18.4. Conversión Entre Sistemas Lineales y Rotatorios
En la figura 18.7, se presenta el esquema de una banda transportadora que relaciona un sistema
lineal con el rotatorio de la máquina eléctrica.
Figura 18.7: Esquema de una banda transportadora
La fuerza y velocidad lineal que debe suministrar el motor a la banda viene dado por la siguiente
expresión:

448 18.5. Caja de Cambio o Engranajes
fe = M
dv(t)
dt
+ fL (18.25)
v(t) = rωm (18.26)
donde:
r es el radio del rodillo de la banda donde se acopla el motor.
M la masa transportada.
v(t) la velocidad lineal de la transportadora.
fL la fuerza resistente al movimiento.
ωm La velocidad angular del motor.
De la ecuación (18.25), se puede calcular el par mecánico entregado por el motor a la banda como:
Tm = r · fe = r2
M
dv(t)
dt
+r · fL (18.27)
El par eléctrico total entregado por el motor es la superposición del par mecánico y el par requerido
para acelerar el motor.
Te = Jm
dωm(t)
dt
+r2
M
dv(t)
dt
+r · fL (18.28)
18.5. Caja de Cambio o Engranajes
La caja de cambio o de engranajes es en la mecánica lo que un transformador es en la electricidad,
su funcionamiento es análogo donde: el par es a la corriente y la velocidad es a la tensión. En la
ﬁgura 18.8, se presenta un esquema de caja de cambio con engranajes circulares ideal.

Figura 18.8: Esquema de una caja de cambios
En una caja de cambio la velocidad tangencial en los engranajes cilíndricos es igual, es decir:
r1ωmot = r2ωm (18.29)
Si consideramos la caja de cambios ideal, es decir sin pérdidas, la potencia entregada por un engra-
naje es igual a la potencia del otro.
ωmot ·T1 = ωm ·T2 (18.30)
Donde:
T1 = Te −Jmot
dωmot(t)
dt
(18.31)
T2 = Tm +Jcarga
dωm(t)
dt
(18.32)
De las expresiones (18.29) y (18.30), se obtiene la siguiente relación de la caja:
r1
r2
=
ωm
ωmot
=
T1
T2
(18.33)
En conclusión si la velocidad se incrementa el par disminuye y si la velocidad disminuye el par
aumenta.
Sustituyendo las expresiones (18.31) y (18.32) en la ecuación (18.30) y utilizando la relación de la
caja de cambios (18.33), se obtiene:

450 18.6. Características Mecánicas de Operación de un Accionamiento Eléctrico
Te −Tm
r1
r2
= Jmot
dωmot(t)
dt
+
r1
r2
Jcarga
dωm(t)
dt
(18.34)
Calculando la velocidad angular de la carga de la expresión (18.33), se obtiene:
ωm = r1
r2
ωmot
dωm
dt = r1
r2
dωmot
dt
(18.35)
Si se sustituye el resultado de la ecuación (18.35) en la expresión (18.34), se obtiene:
Te −Tm
r1
r2
= Jmot
dωmot(t)
dt
+
r1
r2
2
Jcarga
dωmot(t)
dt
= Jmot +
r1
r2
2
Jcarga
dωmot(t)
dt
(18.36)
Donde:
Jeq = Jmot +
r1
r2
2
Jcarga (18.37)
18.6. Características Mecánicas de Operación de un Acciona-
miento Eléctrico
18.6.1. Par acelerante
Deﬁniendo el par acelerante (Ta) como la diferencia entre el par eléctrico y el mecánico referido al
mismo eje, un accionamiento eléctrico puede operar en tres regímenes de operación: aceleración si
Ta > 0, desaceleración si Ta < 0 y en régimen permanente si Ta = 0.
Ta = Te −Tm = Jeq
dωmot(t)
dt
(18.38)
18.6.2. Cuadrantes de Operación de un Accionamiento
En la ﬁgura 18.9, se presentan los cuadrantes de operación de un accionamiento eléctrico.

Figura 18.9: Cuadrantes de operación de un accionamiento eléctrico
Una máquina eléctrica funciona como motor cuando desarrolla un par en el mismo sentido que la
velocidad de giro. Si se desea que la velocidad de giro pueda invertirse el par ha de hacerlo también
(cuadrantes I y III). Sea cual sea el sentido de marcha, si la máquina funciona como motor debe
consumir potencia activa del convertidor electrónico.
En muchas aplicaciones existen instantes de tiempo en los cuales la máquina eléctrica ha de desa-
rrollar un par opuesto a la velocidad de giro (cuadrantes II y IV). Cuando la máquina eléctrica
desarrolla un par opuesto a la velocidad de giro se dice que funciona en régimen de frenado. En
este caso la potencia mecánica es negativa (cuadrantes II y IV).
Se desea reducir de forma rápida la velocidad de giro (por ejemplo cuando un tren llega a una
estación). En este caso la velocidad de giro en tracción tiene el mismo sentido que en frenado.
La máquina pasaría del cuadrante I al cuadrante IV (o del III al II). Se desea retener un peso en
descenso (un tren bajando una cuesta o un peso en una grúa en descenso). En este caso la velocidad
de giro en tracción tiene sentido opuesto al de frenado. En tracción la máquina trabajaría en el
cuadrante I y en frenado en el cuadrante II. En general el funcionamiento de la máquina en los
cuadrantes II y IV se realiza durante tiempos breves (regímenes transitorios), aunque en algún caso
podrían ser tiempos elevados (una vagoneta bajando una rampa prolongada).
En funcionamiento como freno la máquina eléctrica desarrolla un par opuesto a la velocidad y por
tanto recibe energía mecánica de la carga (el exceso de energía cinética entre dos velocidades o la

energía potencial de un peso en descenso). Para poder frenar se ha de poder convertir esta energía
mecánica en otro tipo de energía. Caben tres posibilidades de conversión:
Convertirla en energía eléctrica y devolverla a la red en condiciones adecuadas (tensión y
frecuencia de red).
Convertirla en energía eléctrica y disipar dicha energía en forma de calor en una resistencia.
Convertirla en calor en el interior de la máquina.
Lo más racional es devolver energía a la red, pero ello requiere un convertidor reversible, el cual
es más caro que uno no-reversible. Para evaluar si vale la pena regenerar energía se ha de tener en
cuenta que la energía mecánica puesta en juego depende del momento de inercia total del sistema
mecánico (máquina eléctrica más carga), de la velocidad y del número de frenadas por hora, y por
otra, la existencia o no de consumidores cercanos que puedan usar dicha energía. En los trenes de
largo recorrido los convertidores no son reversibles: el tren realiza pocas paradas y en general no
existen trenes cercanos al que está frenando. Por el contrario, en los trenes de cercanías (o metros)
se recupera la energía, ya que el tren efectúa numerosas paradas y existen muchas unidades en un
determinado tramo de vía.
El frenado eléctrico no siempre es necesario, y se puede recurrir a un freno mecánico o al frenado
libre. En ocasiones lo que se precisa es un frenado suave, de forma que la máquina desarrolle un
par en el mismo sentido del movimiento pero de valor inferior al demandado por la carga mecánica
que impida la frenada brusca (es el caso de cintas transportadoras o para evitar el golpe de ariete en
válvulas).
18.6.3. Par Resistente
El par resistente que opone la carga a ser movida es, en general, una función de la velocidad de
giro (en algunos casos también depende de la posición, como es el caso de un muelle). Los pares
resistentes pueden ser clasiﬁcados en cuatro categorías:
Pares invariables con la velocidad (Tm = k0).
• Extrusoras, bombas y compresores de émbolo con presión constante: puede ser un par
oscilante en el tiempo. Trabajan en un sólo cuadrante.
• Grúas (elevación): cuatro cuadrantes (en el II cuadrante en régimen transitorio). En el
III cuadrante para bajar a gran rapidez. Habitualmente tienen un contrapeso. Requie-
ren un freno mecánico. El par que ofrecen es la suma de un término constante y una
fricción viscosa, pero de forma simpliﬁcada se puede despreciar este último término,
especialmente a bajas velocidades.

• Cintas transportadoras (transporte horizontal), trenes de laminación, cepillos, cilindros
de laminación, molinos de bolas, máquinas y herramientas con fuerza de corte constante
(tornos) y en general mecanismos en los que prevalece el rozamiento sólido (guía que
se traslada, carretilla).
• Cabestrante: se exige que el motor pueda desarrollar par nominal en reposo. Funciona
en los cuadrantes I y IV. El control ha de ser de par.
Pares linealmente dependientes de la velocidad (Tm = k1ωm).
• Calandrias con rozamiento viscoso (máquinas para alisado de tejidos y papel), exprimi-
dores, lavadoras.
• Pulidoras
• Frenos de Foucault
Pares que dependen del cuadrado de la velocidad (Tm = k2ω2
m).
• Bombas centrífugas, ventiladores, compresores de émbolo trabajando en una red abierta
de tuberías. Trabajan en el primer cuadrante. Con una pequeña reducción de velocidad
se puede variar mucho el caudal.
• Máquinas en las que predomina el efecto centrífugo
Pares que dependen inversamente de la velocidad (Tm = k3
ωm
).
• Bobinadoras: posibilidad de oscilación del sistema mecánico. Enrollado (papel, hilo,
otros).
La ecuación general de par resistente es:
Tm = k0 +k1ωm +k2ω2
m +
k3
ωm
(18.39)
En la ﬁgura 18.10, se presentan dos ejemplos de par resistente, para una función cuadrática y para
una inversamente proporcional a la velocidad en función de la velocidad angular.

(a) Cuadrática (b) Inversa
Figura 18.10: Características par resistente velocidad

Capítulo 19
Máquina de Corriente Continua
19.1. Principio de Funcionamiento
El principio de funcionamiento de las máquinas eléctricas rotativas es muy sencillo, y se basa en
alineación de campos magnéticos entre un sistema fijo en el espacio denominado "estator" y uno
con movilidad rotacional denominado "rotor". En la figura 19.1, se presenta un esquema de este
principio de funcionamiento en la figura 19.1(a) tenemos un imán en forma de "U" que produce
líneas de campo magnético entre su norte y sur en dirección horizontal. Se introduce un imán en
forma de "I", pivoteado en el centro para permitir su rotación con su norte y sur alineados con
respecto a la vertical. La atracción magnética entre el norte y sur de ambos imanes ocasiona un giro
de π/2 del imán pivoteado para alinear los polos magnéticos como se muestra en la figura 19.1(b).
(a) Posición Inicial (b) Posición Final
Figura 19.1: Principio de funcionamiento de las máquinas eléctricas rotativas
455

Bajo este principio funcionan las máquinas eléctricas rotativas, pero en vez de utilizar imanes se
utilizan electroimanes para aumentar la intensidad del campo magnético resultante. En una máqui-
na de corriente continua el imán en forma de "U" se remplaza con un circuito magnético como el
mostrado en la figura 19.2, este circuito se alimenta desde una fuente de corriente continua pro-
duciendo líneas de campo magnético sobre la horizontal. Adicionalmente, se destaca el sistema de
alimentación del rotor a través de contactos deslizantes denominados "escobillas".
Figura 19.2: Esquema del circuito magnético del estator
El imán en forma de "I" se remplazara por el circuito magnético de la figura 19.3, este circuito esta
conformado por dos bobinas de alimentación dispuestas una a π/2 de la otra.
Figura 19.3: Esquema del circuito magnético del rotor
Al introducir esta pieza en el circuito magnético de la figura 19.2, la bobina un se energiza a través
de los contactos deslizantes, produciendo un enlace de flujo en la pieza, ocasionando la aparición
de un norte y sur magnético en la vertical, el cual trata de alinearse con el producido por el enlace
de flujo del estator en la horizontal. Este fenómeno ocasiona que la pieza de la figura 19.3 gire
π/2 con la finalidad de alinear los campos. Al girar el rotor la bobina 1 se desenergiza, mientras la
bobina 2 queda alimentada por los contactos deslizantes repitiéndose el proceso. En la figura 19.4,
se ilustra el proceso que ocasiona que la máquina comience a rotar. El contacto entre las bobinas

del rotor y las escobillas de alimentación se denomina "delga" y el conjunto de estas conforman el
colector de la máquina.
(a) Posición 1 (b) Posición 2
Figura 19.4: Esquema de rotación de la máquina eléctrica
Si se analiza las corrientes en las bobinas del rotor, se pude observar que la corriente por cada
bobina que lo conforma, depende de la posición angular del rotor variando desde valores positivos
a negativos, es decir, la corriente en las bobinas del rotor es alterna a una frecuencia eléctrica igual
a la velocidad de rotación de la máquina (ωm). Esto se debe a que las escobillas en conjunto a las
delgas, que conforman el colector de la máquina realizan un proceso de inversión mecánica de la
alimentación del circuito de rotor.
Para que una máquina eléctrica produzca par promedio diferente de cero, se requiere por lo menos
dos enlaces de flujo magnético (λ) desfasados en tiempo y espacio. En la máquina de corriente
continua el enlace de flujo del estator (λe) es continua y se encuentra espacialmente sobre la ho-
rizontal, mientras que el enlace de flujo del rotor (λr) esta sobre la vertical y es alterno, de estas
forma se cumple la condición necesaria para obtener par promedio diferente de cero.
En las máquinas de corriente continua generalmente al circuito de campo se denomina "Campo"
y se representa con la letra "f", mientras que el rotor se denomina "Armadura" y se representa
con la letra "a". En la figura 19.5 se observan las partes que conforman una máquina de corriente
continua, su campo y armadura.
19.2. Modelo de la Máquina de Corriente Continua
En la figura 19.6, se presenta un esquema de una máquina de corriente continua, esta máquina esta
compuesta por dos ejes eléctricos (armadura y campo) y un eje mecánico.

458 19.2. Modelo de la Máquina de Corriente Continua
(a) Máquina DC
(b) Campo (c) Armadura
Figura 19.5: Máquina de corriente continua
Figura 19.6: Esquema de la máquina de corriente continua

Las ecuaciones generales que describen el comportamiento de la máquina de eléctricas rotativas son
las de la fuerza electromotriz en los terminales eléctricos y la ecuación de Newton en los terminales
mecánicos:
[v] = [R][i]+ p([L][i])
Jdωm
dt = Te −Tm
(19.1)
Donde:
p =
d
dt
La ecuación de los terminales eléctricos de la expresión (19.1), se puede descomponer en:
[v] = [R][i]+[L] p[i]+ dθ
dt
d
dθ [L][i]
[v] = [R]+[L] p+ dθ
dt
d
dθ [L] [i]
(19.2)
En el caso de la máquina de corriente continua se tienen tantas ecuaciones eléctricas como termina-
les eléctricos estén presentes en el circuito. Las ecuaciones del modelo de la máquina de corriente
continua son:
vf
va
=
Rf +Lf p 0
ωmLfa Ra +La p
if
ia
J pωm = Lfaif ia −Tm
(19.3)
Donde:
Ra es la resistencia del devanado de armadura.
Rf es la resistencia del devanado de campo.
La es la inductancia propia del devanado de armadura.
Lf es la inductancia propia del devanado de campo.
Lfa es la inductancia mutua entre el devanado de campo y armadura
La expresión matricial (19.3), se puede escribir para cada uno de los circuitos como:
vf = Rf if +Lf
dif
dt
va = Raia +La
dia
dt +ωmLfaif
Jdωm
dt = Lfaif ia −Tm
(19.4)

46019.3. Determinación de los Parámetros del Modelo de la Máquina de Corriente Continua
En la ﬁgura 19.7, se presenta el circuito equivalente de la máquina de corriente continua. Algunos
autores denominan a la inductancia mutua ente el devanado de campo y armadura (Lfa) como "G".
El término ωmLfaif corresponde a la fuerza electromotriz inducida en la armadura de la máquina
(E).
Figura 19.7: Modelo de la máquina de corriente continua
La expresión (19.4), es válida para cualquier tipo de alimentación y se le conoce como modelo
dinámico de la máquina de corriente continua. En régimen permanente con alimentación en tensión
continua en los devanados de armadura y campo, es decir p = 0, el sistema de ecuaciones 19.4, se
reduce a:
Vf = Rf If
Va = RaIa +ωmGIf
GIf Ia = Tm
(19.5)
Al sistema de ecuaciones (19.5), se le conoce como el modelo en régimen permanente de la má-
quina de corriente continua.
19.3. Determinación de los Parámetros del Modelo de la Má-
quina de Corriente Continua
Toda máquina eléctrica posee una placa de identiﬁcación en su chasis con la información de su
punto nominal. Este punto es a aquel que el fabricante garantiza que la máquina alcanza su tempe-
ratura de operación, sin deterioro de su vida útil. Generalmente, los datos de corriente son los más
importantes debido a que determinan directamente el calentamiento de la máquina. Recordando

que los equipos de baja tensión deben por normativa internacional estar aislados en un kilo voltio
más dos veces su tensión de operación. Los datos que ﬁguran en la placa son:
Tensión nominal del circuito de campo (Vfn).
Tensión nominal del circuito de armadura (Van).
Corriente nominal del circuito de campo (Ifn).
Corriente nominal del circuito de armadura (Ian).
Potencia de salida en el eje de la máquina (Ps).
Velocidad mecánica nominal (ωmn).
Generalmente, estos valores se encuentran dados en el sistema internacional de medida, "MKS",
con la salvedad de la velocidad que viene dada es revoluciones por minuto. El factor de conversión
de rpm a rad/s es:
ωm
rad
s
=
π
30
ωm (rpm) (19.6)
Otro factor importante en conocer es el de HP a kW, el cual se presenta en la expresión :
Ps (kW) = 0,746Ps (HP) (19.7)
De los datos de placa se pueden calcular los parámetros del modelo de la máquina de corriente
continua como:
Rf =
Vfn
Ifn
(19.8)
En =
Ps
Ian
(19.9)
G =
En
ωnIfn
(19.10)
Ra =
Van −En
Ian
(19.11)

462 19.4. Tipos de Conexión de la Máquina de Corriente Continua
Para determinar las inductancias propias del circuito de campo y armadura se realiza a partir de la
medición de la constante de tiempo de cada uno de los circuitos.
Lf = Rf τf (19.12)
La = Raτa (19.13)
19.4. Tipos de Conexión de la Máquina de Corriente Continua
19.4.1. Conexión Independiente
En esta conexión los circuitos de armadura y campo se alimentan de fuentes continuas indepen-
dientes generalmente de tensiones distintas (Vf = Va). El esquema eléctrico de esta conexión es el
mostrado en la ﬁgura 19.7. En esta condición la corriente de armadura y campo se pueden calcular,
utilizando las expresiones del sistema de ecuación (19.5), como:
If =
Vf
Rf
(19.14)
Ia =
Va −GωmIf
Ra
(19.15)
Sustituyendo las expresiones (19.14) y (19.15) en la ecuación del par eléctrico se obtiene:
Te = GIf Ia
Te = G
Vf
Rf
Va−Gωm
Vf
Rf
Ra
Te =
GVf
Rf Ra
Va −Gωm
Vf
Rf
(19.16)
Del resultado de la ecuación (19.16), se puede calcular el par de arranque de la máquina (Tarr) que
corresponde a velocidad mecánica igual a cero y la velocidad sincrónica (ωs) que corresponde a
par eléctrico igual a cero.
Tarr =
GVf Va
Rf Ra
(19.17)

ωs =
Va Rf
GVf
(19.18)
En la figura 19.8, se presenta la curva par velocidad de la máquina de corriente continua en conexión
independiente. La velocidad de operación para un requerimiento especifico de par mecánico se
obtiene de la intersección de la característica de par mecánico y par eléctrico para una tensión de
alimentación de armadura y campo especifica.
Figura 19.8: Curva par velocidad de la MCC en conexión independiente
Para controlar la velocidad de un accionamiento mecánico ante variaciones de carga, se puede variar
la tensión de armadura o campo de forma de desplazar la curva de par velocidad a punto especifico
de velocidad. En la figura 19.9, se presenta como ante variaciones de la tensión de armadura la
característica de la figura 19.8, se desplaza en rectas paralelas, mientras que ante variaciones de
la tensión de campo cambia su inclinación. A través, de las variaciones de la tensión de armadura
y campo se puede controlar la velocidad de la máquina para un requerimiento de par mecánico
específico.

(a) Control de Tensión de Armadura
(b) Control de Tensión de Campo
Figura 19.9: Control de velocidad de la MCC en conexión independiente

19.4.2. Conexión Paralelo
En esta conexión los circuitos de armadura y campo se alimentan de la misma fuentes continua
(V = Vf = Va), la corriente que suministra esta fuente corresponde a la sumatoria de la corriente de
armadura y campo de la máquina. El esquema eléctrico de esta conexión es el mostrado en la ﬁgura
19.10.
Figura 19.10: Modelo eléctrico de la MCC conexión paralelo
En esta condición la corriente de armadura y campo se pueden calcular, utilizando las expresiones
del sistema de ecuación (19.5), como:
If =
V
Rf
(19.19)
Ia =
V −GωmIf
Ra
(19.20)
Sustituyendo las expresiones (19.19) y (19.20) en la ecuación del par eléctrico se obtiene:
Te = GIf Ia
Te = G V
Rf
V−Gωm
V
Rf
Ra
Te = GV2
Rf Ra
1−G ωm
Rf
(19.21)
corresponde a velocidad mecánica igual a cero y la velocidad sincrónica (ωs) que corresponde a
par eléctrico igual a cero.

Tarr =
GV2
Rf Ra
(19.22)
ωs =
Rf
G
(19.23)
En la figura 19.11, se presenta la curva par velocidad de la máquina de corriente continua en co-
nexión paralelo. La velocidad de operación para un requerimiento especifico de par mecánico se
alimentación especifica.
Figura 19.11: Curva par velocidad de la MCC en conexión paralelo
Para controlar la velocidad de un accionamiento mecánico ante variaciones de carga, se puede variar
la tensión de alimentación, de forma de desplazar la curva de par velocidad a punto especifico de
velocidad. En la figura 19.12, se presenta como ante variaciones de la tensión de alimentación la
característica de la figura 19.11, cambia su inclinación. En este caso al utilizar una sola fuente de
alimentación se pierde un grado de libertad con respecto al control de la máquina en conexión
independiente.

Figura 19.12: Control de velocidad de la MCC en conexión paralelo
19.4.3. Conexión Serie
En esta conexión los circuitos de armadura y campo se alimentan de la misma fuentes continua
(V = Vf +Va), la corriente al estar conectados en serie es la misma para ambos circuitos (I = Ia =
If ). El esquema eléctrico de esta conexión es el mostrado en la ﬁgura 19.13.
Figura 19.13: Modelo eléctrico de la MCC conexión serie
En esta condición la corriente del circuito se pueden calcular como:
I = If = Ia =
V
Rf +Ra +Gωm
(19.24)

Sustituyendo las expresión 19.24 en la ecuación del par eléctrico se obtiene:
Te = GIf Ia = GI2
Te = GV2
(Rf +Ra+Gωm)
2
(19.25)
corresponde a velocidad mecánica igual a cero como:
Tarr =
GV2
Rf +Ra
2
(19.26)
La velocidad sincrónica de esta máquina en la cual se alcanza par eléctrico igual a cero no esta
definida y tiende a infinito (ωs = ∞) ya que para esta velocidad se anula el resultado de la expresión
(19.25). En la figura 19.14, se presenta la curva par velocidad de la máquina de corriente continua
en conexión serie. La velocidad de operación para un requerimiento especifico de par mecánico se
alimentación especifica.
Figura 19.14: Curva par velocidad de la MCC en conexión serie
Para controlar la velocidad de un accionamiento mecánico ante variaciones de carga, se puede
variar la tensión de alimentación, de forma de desplazar la curva de par velocidad a punto espe-
cifico de velocidad como se muestra en la figura 19.15. En este caso al utilizar una sola fuente

de alimentación se pierde un grado de libertad con respecto al control de la máquina en conexión
independiente.
Figura 19.15: Control de velocidad de la MCC en conexión serie
19.5. Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua
Los accionamientos de la máquina de corriente continua deben presentar la característica de par,
ﬂujo y fuerza electromotriz en función de la velocidad, mostrada en la ﬁgura 19.16 para cada uno
de los cuadrantes de operación del convertidor electromecánico. En esta característica de acciona-
miento el par se mantiene constante mientras la tensión de armadura alcanza su valor régimen, este
proceso se realiza limitando el valor de la corriente de armadura al nominal, mediante el control de
la tensión.

470 19.5. Accionamiento de las Máquinas de Corriente Continua
Figura 19.16: Característica de accionamiento de la máquina de corriente continua
En la figura 19.17, se presenta el esquema de accionamiento de una máquina de corriente continua
en lazo cerrado con realimentación en corriente.
Figura 19.17: Accionamiento de la máquina de corriente continua.
La fuente de alimentación puede ser en corriente alterna o continua, el controlador de velocidad
combina las funciones de un controlador PI con limitación. Este accionamiento limita la corriente
en el circuito de armadura de la máquina a 1,5 veces la corriente nominal del devanado.
En las figuras 19.18 y 19.19 se presenta la respuesta de la maquina de corriente continua controlada
con el esquema de la figura 19.17 ante una consigna de velocidad constante y toma de carga para
una máquina de corriente continua de 5 HP , con un rectificador monofásico controlado como
convertidor, desde un sistema de 220V a frecuencia industrial de 60Hz.

Figura 19.18: Corriente de armadura y velocidad mecánica

Figura 19.19: Tensión de armadura y ángulo de disparo del rectificador
En las figuras 19.20 y 19.21 se presenta la respuesta de la maquina de corriente continua controlada
con el esquema de la figura 19.17 ante una variación de velocidad para una máquina de corriente
continua de 5 HP , con un chopper tipo “ A” como convertidor desde un sistema de corriente
continua de 280V.

Figura 19.20: Corriente de armadura y velocidad mecánica

(a)

19.6. Ejercicios
1. Una máquina de corriente continua, posee los siguientes datos nominales: Va = 230V; Ps =
5,6kW; Ia = 27A; La = 15mH; Perdidas del Campo 150W; n = 2500rpm; Vf = 230V. La
máquina acciona un montacargas a una velocidad de 72km/h y desarrolla una potencia de
5,0kW durante su operación al levantar la carga. El montacargas esta acoplado al motor por
una polea circular de área 8,5085m2 y una caja de cambio de relación 21 : 1. El sistema de
alimentación disponible es trifásico de 416V @60Hz.
a) Determine la velocidad, par mecánico en el eje y motor. Masa total levantada por el
montacargas y % de carga en campo y armadura.
b) Si la máquina se alimenta por el campo y la armadura con un rectificador trifásico. De-
termine α del puente si el sistema alterno posee una inductancia de dispersión de 15mH
por fase. Determine el tiempo de conmutación. Es posible mantener esta condición de
operación. Si no puede mantener la condición de operación que acción tomaría.
c) Si se alimenta el campo con un rectificador monofásico conectado línea a línea con un
ángulo de disparo de π/3. Determine la constante de tiempo mínima que debe poseer
el campo para garantizar condición continuada.
d) Si la máquina se alimenta por el campo y la armadura con dos rectificadores monofásico
conectado línea a línea. Determine el ángulo de disparo del puente si el sistema alterno
posee una inductancia de dispersión de17mH. Asuma que la constante de tiempo del
Campo es de 15mseg. Demuestre la condición de operación de ambos puentes.
2. Un tranvía eléctrico posee cuatro (4) motores de corriente continua, uno en cada rueda con
los siguientes datos nominales: Va = 230V, Ia = 30A, Vf = 230V, If = 4,8A, Ps = 5,4kW y
n = 1750rpm. El banco de motores es alimentado por un chopper a transistores Tipo A desde
un riel de 400V. DC. El banco de motores se conectan dos en paralelo y dos independientes,
alimentados en el campo por un chopper auxiliar de razón de conducción de 0,6. El vehículo
tiene una masa total de 0,9Ton y puede transportar cuatro pasajeros y un chófer de peso
aproximado de 75kg c/u. El diámetro de la rueda es de 0,80m y estas están acopladas al eje
de la máquina a través de un caja de cambio de relación 4 : 1.
a) Calcule la razón de conducción del chopper si el vehículo sube un pendiente del 10%
con una velocidad de 60km/h. Si se posee los siguientes dispositivos de electrónica de
potencia:
Transistor: Ptotal = 1100W, hfe = 50, Vcesat = 2,8V, Vcemax = 1000V, Icmax = 140A,
Iccort = 2mA, tenc = 3µs, tof f = 15µs
Diodo: Rd = 5mΩ, Vto = 0,85V, Rt jc = 0,9◦C/W, Ta = 30◦C y T j = 180◦C

b) Determine las pérdidas de conducción y bloqueo del transistor.
c) Determine la máxima frecuencia de conmutación del transistor en esta condición de
operación.
d) Pérdidas en el diodo de descarga libre.
e) Calcule la resistencia térmica del disipador asociado al diodo descarga libre.
3. Un motor de corriente continua se alimenta desde una fuente de 300V DC a través de un
chopper reductor que opera a 1kHz. El motor acciona un montacargas el cual consume una
potencia de 4,8kW a un velocidad de 1710rpm. Determine:
a) Parámetros del Motor.
b) Razón de conducción del Chopper.
c) Corriente máxima, mínima y rizado en los circuitos de armadura y campo.
d) Corriente máxima, mínima y rizado entregado por el chopper.
Datos del Motor: Va = 230V, Ia = 30A, n = 1750rpm, Ps = 5kW, Vf = 230V, If = 3A,
τa = 2,04s, τf = 27,39ms
4. Un Montacargas es accionado por un motor de corriente continua con los siguientes datos
nominales: Va = 230V, Ia = 27A, Ps = 4,9kW, n = 1750rpm, Vf = 115V, If = 2,3A, τa =
15ms. El montacargas es accionado en la armadura por un chopper tipo "C" desde una barra
de 300V. El campo de la máquina de corriente continua es alimentado por un chopper auxiliar
tipo "E" de razón de conducción un tercio desde la misma barra de continua. Determine:
a) El Chopper es capaz de realizar la operación de tracción y frenado. Explique bien su
respuesta y demuestre la operación de ambos chopper en las condiciones de operación
que usted considera que puede trabajar.
b) Razón de conducción para levantar una carga de 35kg a una velocidad de 72km/h, si la
polea del montacargas posee 1,25m de diámetro y posee una caja de cambio de 4,5 : 1.
c) Si el chopper realiza frenado regenerativo. Calcule la potencia de frenado para una
razón de conducción de 0,767 en armadura y 0,5 en el campo.

Capítulo 20
Máquina de Inducción
20.1. Modelo en Vectores Espaciales
La máquina de inducción se clasifica de acuerdo a su tipo de rotor en: Bobinado o Jaula de Ar-
dilla. Estos rotores se puede modelar con un embobinado trifásico. En la figura 20.1 se presenta
un diagrama de esta maquina y de sus tipos de rotor. En la figura 20.2, se presenta un diagrama
esquemático un una máquina de inducción trifásica en el estator y rotor.
(a) Máquina de Inducción
(b) Rotor tipo jaula de ardilla (c) Rotor bobinado
Figura 20.1: Esquema de la máquina de inducción y de sus tipos de rotor
477

478 20.1. Modelo en Vectores Espaciales
Figura 20.2: Esquema de la máquina de inducción trifásica
Despreciando los efectos del ranurado, excentricidades estáticas y dinámicas del rotor, corrientes
de Eddy, el efecto de la saturación magnética y una distribución no sinusoidal de la fuerza mag-
neto motriz, el modelo de la máquina de inducción trifásica se puede escribir matricialmente de la
siguiente forma:
ve
vr
=
Re 0
0 Rr
ie
ir
+ p
Lee Ler
Lre Lrr
ie
ir
(20.1)
Te −Tm = J ¨θ +α ˙θ (20.2)
donde:
ve = vae vbe vce
t
vr = var vbr vcr
t
ie = iae ibe ice
t

ir = iar ibr icr
t
Para evaluar cada uno de los términos que conforman la matriz de inductancia definida en la expre-
sión (20.1), es necesario utilizar la siguiente definición.
Lk j = NkNj℘k j (20.3)
donde:
Lk j es la inductancia entre la bobina k y j.
Nk es el número de vueltas de la bobina k.
Nj es el número de vueltas de la bobina j.
℘k j es la permeanza del circuito magnético entre ambos devanados.
Las matrices de inductancia son dependientes de la posición angular del rotor. Cada parámetro de
inductancia de la ecuación (20.1), se obtiene en forma aproximada, superponiendo el efecto de la
fluctuación de la permeanza del camino magnético, debido a las ranuras del rotor y estator sobre
la distribución armónica espacial de las FMM de la máquina. La distribución espacial de la fuerza
magneto motriz puede ser considerada en la expresión de la inductancia. Por otra parte los coefi-
cientes inductivos pueden también ser obtenidos excitando con corrientes unitarias un devanado de
la máquina y calculando el enlace de flujo de todos lo devanados del convertidor electromecánico
utilizando las ecuaciones de Maxwell.
Considerando la expansión más simple en serie de Fourier para las inductancias mutuas estator -
rotor, las matrices de inductancia y resistencia que definen el modelo de la máquina de inducción,
puede escribirse de la siguiente forma:
R =
Re 0
0 Rr
=
ReU 0
0 RrU
(20.4)
λ = L(θ)·i =
Lee Ler
Lre Lrr
ie
ir
(20.5)
donde:
Lee = Le +Lσe = LeS+LσeU
Lrr = Lr +Lσr = LrS+LσrU

Ler = Lt
re =LerC
Las matrices U, S, C de las expresiones (20.4) y (20.5), corresponden a las matrices unitaria, simé-
trica y cíclica respectivamente. A continuación, se deﬁnen cada una de estas matrices.
U =



1 0 0
0 1 0
0 0 1


 (20.6)
S =



1 −1
2 −1
2
−1
2 1 −1
2
−1
2 −1
2 1


 (20.7)
C =



cos(θ) cos θ + 2π
3 cos θ + 4π
3
cos θ + 4π
3 cos(θ) cos θ + 2π
3
cos θ + 2π
3 cos θ + 4π
3 cos(θ)


 (20.8)
Para transformar el modelo dinámico de la máquina de inducción a vectores espaciales se utilizara
la transformación presentada en la expresión (13.27), para cada una de las matrices que describen
el comportamiento de la máquina de inducción.
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



1 0 0
0 1 0
0 0 1


 =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3 (20.9)
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



1 −1
2 −1
2
−1
2 1 −1
2
−1
2 −1
2 1


 =
3
2
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3 (20.10)
2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3 C =
= 1
2
2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3



ejθ



1 ej 2π
3 ej 4π
3
ej 4π
3 1 ej 2π
3
ej 2π
3 ej 4π
3 1


+e−jθ



1 ej 4π
3 ej 2π
3
ej 2π
3 1 ej 4π
3
ej 4π
3 ej 2π
3 1






= 3
2ejθ 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
(20.11)
Aplicando la transformación de vectores espaciales (20.9) a la (20.11), se obtiene el modelo vecto-
rial de la máquina de inducción:

ve
vr
=
Re 0
0 Rr
ie
ir
+ p
Le Lerejθ
Lere−jθ Lr
ie
ir
ve
vr
=
Re 0
0 Rr
ie
ir
+ jωm
0 Lerejθ
−Lere−jθ 0
ie
ir
+
Le Lerejθ
Lere−jθ Lr
p
ie
ir
(20.12)
Te = Lerℑm ie irejθ
∗
(20.13)
donde:
Le = Lσe +
3
2
Le
Lr = Lσr +
3
2
Lr
Ler =
3
2
Ler
Para reducir el sistema de ecuaciones (20.12), se multiplica la ecuación del rotor por ejθ , con la
ﬁnalidad de proyectar esta corriente a un eje de referencia solidario con el estator:
ve
vrejθ
=
Re 0
0 Rrejθ
ie
ir
+ jωm
0 Lerejθ
−Lere−jθ ejθ 0
ie
ir
+
Le Lerejθ
Lere−jθ ejθ Lrejθ
p
ie
ir
ve
vrejθ
=
Re 0
0 Rr
ie
ejθ ir
+ jωm
0 Ler
−Ler 0
ie
ejθ ir
+
Le Ler
Ler Lr
pie
ejθ pir
(20.14)
Deﬁniendo:
ve
r = vrejθ
(20.15)
ie
r = irejθ
(20.16)

Se puede redeﬁnir el sistema de ecuaciones (20.13) como:
ve
ve
r
=
Re 0
0 Rr
ie
ie
r
+ jωm
0 Ler
−Ler 0
ie
ie
r
+
Le Ler
Ler Lr
pie
ejθ pir
(20.17)
Derivando la expresión (20.16), se obtiene:
pie
r = p irejθ
= pirejθ
+ jωmirejθ
⇒ pirejθ
= pie
r − jωmie
r (20.18)
Sustituyendo la expresión (20.18), en el sistema (20.17), se obtiene el modelo de la máquina de
inducción en vectores espaciales referido al estator:
ve
ve
r
=
Re 0
0 Rr
ie
ie
r
+ jωm
0 Ler
−Ler 0
ie
ie
r
+
Le Ler
Ler Lr
pie
pie
r − jωmie
r
ve
ve
r
=
Re 0
0 Rr
ie
ie
r
+ jωm
0 Ler
−Ler 0
ie
ie
r
+
Le Ler
Ler Lr
pie
pie
r
− jωm
Le Ler
Ler Lr
0
ie
r
ve
ve
r
=
Re 0
0 Rr
ie
ie
r
+
Le Ler
Ler Lr
p
ie
ie
r
−jωm
0 0
Ler Lr
ie
ie
r
(20.19)
Te = Lerℑm ie ie
r
∗
(20.20)
En la ﬁgura 20.3, se presenta el circuito equivalente del modelo vectorial de la máquina de induc-
ción en referencia al eje del estator. Este modelo es válido en condiciones de operación dinámicas,
estado estacionario y armónicas. El par electromecánico se obtiene directamente de la expresión de
coenergía en el campo.

Figura 20.3: Modelo en vectores espaciales de la máquina de inducción referido al estator
20.2. Modelo en Régimen Sinusoidal Permanente
Al aplicar un sistema de tensiones trifásicas, balanceadas de secuencia positiva a los devanados del
estator, con las bobinas de rotor en cortocircuito se obtienen los siguientes vectores espaciales.
ve = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2V



cos(ωet)
cos ωet − 2π
3
cos ωet − 4π
3



ve = 1
2
2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2V



ejωet



1
ej 4π
3
ej 2π
3


+e−jωet



1
ej 2π
3
ej 4π
3






ve = 3
2
2
3
√
2Vejωet =
√
3Vejωet = ˜Veejωet
(20.21)
ie = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2Ie



cos(ωet −β)
cos ωet −β − 2π
3
cos ωet −β − 4π
3



ie = 1
2
2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2Ie



ej(ωet−β)



1
ej 4π
3
ej 2π
3


+e−j(ωet−β)



1
ej 2π
3
ej 4π
3






ie = 3
2
2
3
√
2Ieejωete−jβ =
√
3Iee−jβ ejωet = ˜Ieejωet
(20.22)

484 20.2. Modelo en Régimen Sinusoidal Permanente
vr = 0 (20.23)
ir = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2Ir



cos((ωe −ωr)t −ν)
cos (ωe −ωr)t −ν − 2π
3
cos (ωe −ωr)t −ν − 4π
3



ir = 1
2
2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3
√
2Ir



ej((ωe−ωr)t−ν)



1
ej 4π
3
ej 2π
3


+e−j((ωe−ωr)t−ν)



1
ej 2π
3
ej 4π
3






ir = 3
2
2
3
√
2Irej(ωe−ωr)te−jν =
√
3Ir e−jν ej(ωe−ωr)t = ˜Irej(ωe−ωr)t
(20.24)
Sustituyendo los resultados de las expresiones (20.21) a la (20.24), en el sistema de ecuaciones
diferenciales (20.12), se obtiene:

˜Veejωet
0
=
Re 0
0 Rr
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
+ p
Le Lerejθ
Lere−jθ Lr
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
˜Veejωet
0
=
Re 0
0 Rr
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
+ jωr
0 Lerejθ
Lere−jθ 0
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
+
Le Lerejθ
Lere−jθ Lr
p
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
˜Veejωet
0
=
Re 0
0 Rr
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
+ jωr
0 Lerejθ
Lere−jθ 0
˜Ieejωet
˜Irej(ωe−ωr)t
+
Le Lerejθ
Lere−jθ Lr
p
jωe ˜Ieejωet
j(ωe −ωr) ˜Irej(ωe−ωr)t
˜Ve
0
=
Re 0
0 Rr
˜Ie
˜Ire−jωrt
+
0 jωrLerejθ
−jωrLere−jθ 0
˜Ie
˜Ire−jωrt
+
jωeLe j(ωe −ωr)Lerejθ
jωeLere−jθ j(ωe −ωr)Lr
p
˜Ie
˜Ire−jωrt
˜Ve
0
=
Re 0
0 Rr
˜Ie
˜Ire−jωrt
+
jωeLe jωeLerejθ
j(ωe −ωr)Lere−jθ j(ωe −ωr)Lr
˜Ie
˜Ire−jωrt
(20.25)
Deﬁniendo el deslizamiento de la máquina de inducción como la diferencia de velocidad angular
eléctrica y mecánica en por unida de la velocidad angular eléctrica.
s =
ωe −ωr
ωe
(20.26)
Dividiendo la ecuación del rotor de la expresión (20.25) entre el deslizamiento de la máquina de
inducción y multiplicándola por ejθ , se obtiene el modelo de la máquina de inducción en régimen
sinusoidal permanente:
˜Ve
0
=
Re 0
0 Rr
s
˜Ie
˜Ire−jωrt
+
jωeLe jωeLerejθ
jωeLere−jθ jωeLr
˜Ie
˜Ire−jωrt
(20.27)
Como ωrt = θ, la expresión (20.27) se puede reducir al multiplicar la ecuación del rotor por ejθ .

˜Ve
0
=
Re 0
0 Rr
s ejθ
˜Ie
˜Ir
+
jωeLe jωeLerejθ
jωeLer jωeLrejθ
˜Ie
˜Ir
˜Ve
0
=
Re 0
0 Rr
s
˜Ie
˜Irejθ
+
jXe jXer
jXer jXr
˜Ie
˜Irejθ
(20.28)
Para encontrar la ecuación de Par eléctrico en régimen sinusoidal permanente, se sustituirá los
resultados de las expresiones (20.22) y (20.24) en la ecuación de par eléctrico (20.13):
Te = Lerℑm
√
3Iee−jβ ejωet
√
3Ire−jνej(ωe−ωr)tejθ
∗
Te = Lerℑm
√
3Iee−jβ ejωet
√
3Irejνe−j(ωe−ωr)te−jθ
Te = Lerℑm 3Iee−jβ Irejν
Te = 3LerIeIrℑm e−jβ ejν
Te = 3LerIeIr sen(ν −β)
(20.29)
En la ﬁgura 20.4, se presenta el circuito equivalente del modelo en régimen sinusoidal permanente
de la máquina de inducción.
Figura 20.4: Modelo en régimen sinusoidal permanente de la máquina de inducción
20.2.1. Equivalente Thévening
A partir del circuito equivalente de la ﬁgura 20.4, se puede calcular el par eléctrico de la máquina
de inducción como:

Te =
3
ωe
˜Irejθ
2 Rr
s
(20.30)
Una forma rápida para calcular la corriente del rotor es realizar un equivalente Thévening de la
máquina vista desde el rotor a fin de reducir el circuito a una solo malla. En la figura 20.5, muestra
el equivalente planteado para el circuito de la figura 20.4. En la figura 20.6, se presenta el circuito
equivalente luego de realizado el Thévening.
Figura 20.5: Equivalente Thévening propuesto de la máquina de inducción
Figura 20.6: Equivalente Thévening de la máquina de inducción
En la figura 20.6, ˜Vth y Zth, corresponden a:
˜Vth = ˜Ve
jXer
Re + jXe
= ˜Ve
jωeLer
Re + jωeLe
(20.31)
Zth = Rth + jXth = j(Xr −Xer)+
(X2
er−XeXer)+j(ReXer)
Re+jXe
Zth = jωe (Lr −Ler)+
ω2
e (L2
er−LeLer)+jωe(ReLer)
Re+jωeLe
(20.32)

Del circuito de la ﬁgura 20.6, se puede calcular la corriente en el rotor como:
˜Irejθ
=
˜Vth
Rth + Rr
s + jXth
(20.33)
Reemplazando la expresión de la corriente del rotor (20.33), en la ecuación de par eléctrico (20.30),
se obtiene:
Te =
3
ωe
˜Vth
2
Rth + Rr
s
2
+X2
th
Rr
s
(20.34)
La potencia de salida de la máquina se puede calcular como:
Ps = 3 ˜Irejθ
2 Rr(1−s)
s
= 3
˜Vth
2
(1−s)
Rth + Rr
s
2
+X2
th
Rr
s
(20.35)
20.2.2. Característica Par Deslizamiento
En la ﬁgura 20.7, se presenta la característica de par deslizamiento para un máquina de inducción,
generada a partir de la expresión (20.34). En la característica el deslizamiento s = 1, corresponde a
velocidad mecánica igual a cero, es decir con la maquina detenida. Los deslizamientos de operación
de la máquina de inducción están entre el tres y cinco por ciento.

Figura 20.7: Curva par deslizamiento de la máquina de inducción
20.2.3. Par Eléctrico Aproximado
Deslizamientos cercanos a uno (s → 1)
Para deslizamientos cercanos a la unidad se puede aproximar la ecuación de par eléctrico (20.34),
a la siguiente expresión:
Te ≈
3
ωe
˜Vth
2
R2
th +X2
th
Rr
s
(20.36)
En la ﬁgura 20.8, se presenta una comparación entre los resultados de la expresión (20.34) y (20.36)
para deslizamientos cercanos a uno. Esta aproximación del par eléctrico en torno a esta región de
operación se denomina Par de la Zona No Lineal.

Figura 20.8: Curva par deslizamiento zona no lineal
Deslizamientos cercanos a cero (s → 0)
Para deslizamientos cercanos a cero, es decir de operación, se puede aproximar la ecuación de par
eléctrico (20.34), a la siguiente expresión:
Te ≈
3
ωe
˜Vth
2 s
Rr
(20.37)
En la ﬁgura 20.9, se presenta una comparación entre los resultados de la expresión (20.34) y (20.37)
para deslizamientos cercanos a cero. Esta aproximación del par eléctrico en torno a esta región de
operación se denomina Par de la Zona Lineal.

Figura 20.9: Curva par deslizamiento zona lineal
Par Máximo
De la expresión (20.34), se puede calcular el par máximo de la máquina de inducción en régimen
permanente y el deslizamiento al cual se alcanza este par, como:
Temax ≈
3
2ωe
˜Vth
2
Xth
(20.38)
sTemax
=
Rr
R2
th +X2
th
(20.39)
20.3. Parámetros del Modelo
Al igual que la maquina de corriente continua, la máquina de inducción presenta una placa de
identiﬁcación de su punto nominal de operación en su chasis con los siguientes datos:
Tensión nominal línea a línea de los devanados del estator.
Corriente nominal de los devanados del estator.

492 20.4. Estudio en régimen permanente de la máquina de inducción
Tipo de conexión (Delta o estrella).
Factor de potencia nominal.
Potencia de salida en el eje.
Aislación.
A diferencia de la máquina de corriente continua los datos de placa son insuﬁcientes para deter-
minar los valores de los parámetros que describen el modelo, por eso es necesario realizar pruebas
para determinar por lo menos tres puntos de operación de la máquina y a través de métodos de
minimización obtener los parámetros. Para un diseño rápido pueden utilizar los valores típicos en
por unidad (p.u.) de la máquina que son:
Tabla 20.1: Valores en por unidad de la máquina de inducción
Parámetro Valor [p.u]
Xe 3,1
Xr 3,1
Xer 3,0
Re 0,03
Rr 0,01
Para encontrar los valores en el sistema físico de las resistencias y reactancias de la máquina, basta
utilizar la expresión:
Z[Ω] =
V2
L−L
ST
Z[p.u.] (20.40)
20.4. Estudio en régimen permanente de la máquina de induc-
ción
En esta sección se presentara el comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de
la tensión y frecuencia de alimentación, con la ﬁnalidad de evaluar el impacto de estas variaciones
en su comportamiento en régimen estacionario de operación. Para este estudio se utilizara una
máquina de inducción de barra profunda con los siguientes datos nominales.
Vn = 4,0kV In = 145A f p = 85% Ps = 825kW n = 1195rpm

El fabricante de la máquina suministro los parámetros del circuito equivalente en régimen sinusoi-
dal permanente en por unidad de las bases del estator del convertidor.
Re = 0,0081 pu Rr = 0,0045 pu Le = 2,8966 pu Lr = 3,2233 pu Ler = 2,9614 pu
Ten = 0,92117 pu Temax = 2,6720 pu ηn = 0,85332
Se evaluará el desempeño del convertidor electromecánico en régimen permanente de operación
para variaciones de la tensión y frecuencia de la fuente de alimentación estatórica desde el punta de
vista de par entregado por el eje mecánico, potencia mecánica de salida, corrientes de alimentación
estatórica y factor de potencia en el estator. Durante la evaluación se trabajara en por unidad para
mayor comodidad y se despreciaran las pérdidas mecánicas en el eje por fricción y ventilación. Se
escogerá como frecuencia eléctrica base durante el estudio ωe = 377 rad
s con la finalidad de que las
reactancias e inductancias en por unidad sean iguales (X0/1 = L0/1).
20.4.1. Comportamiento de la máquina de inducción ante variaciones de la
tensión de alimentación.
Se evaluara el comportamiento de la máquina de inducción para variaciones de la tensión de ali-
mentación de: 0,25, 0,5, 0,75, 1,0 y 1,2 en por unidad de la nominal a frecuencia constante para un
rango de velocidad mecánica de 0 a 2 en por unidad de la velocidad mecánica nominal. En la figura
20.10, se presenta el par eléctrico en régimen permanente entregado por la máquina para cada una
de las tensiones de alimentación. En la gráfica se observa como el par disminuye con el cuadrado
de la tensión aplicada.
En la figura 20.11, se muestra la potencia de salida en el eje de la máquina de inducción para las
diferentes consignas de tensión de alimentación, despreciando las pérdidas mecánicas. Al igual que
el par la potencia en el eje disminuye con el cuadrado de la tensión en bornes del convertidor.

Figura 20.10: Par eléctrico de operación ante variaciones de la tensión de alimentación de la má-
quina de inducción.
En la ﬁgura 20.12, se muestra la corriente de alimentación del estator de la máquina de inducción
para las diferentes consignas de tensión de alimentación. Se puede observar como la corriente
de arranque de la máquina es proporcional a la tensión aplicada a sus bornes, esta estrategia de
arranque permite reducir las corrientes durante la energización del convertidor electromecánico.
Un aspecto al considerar a realizar arranques a tensión reducida es la disminución del par eléctrico
suministrado y su repercusión en el par acelerante.
En la ﬁgura 20.13, se muestra el factor de potencia de la máquina de inducción para las diferentes
consignas de tensión de alimentación. Se puede apreciar que el factor de potencia no es afectado por
la disminución de la tensión en bornes en el estator y es función del deslizamiento del convertidor.

Figura 20.11: Potencia de salida de operación ante variaciones de la tensión de alimentación de la
máquina de inducción.
Figura 20.12: Corriente en el estator de operación ante variaciones de la tensión de alimentación de
la máquina de inducción.

Figura 20.13: Factor de potencia ante variaciones de la tensión de alimentación de la máquina de
inducción.
frecuencia de alimentación.
Se evaluara el comportamiento de la máquina de inducción para variaciones de la frecuencia de
alimentación de: 0,25, 0,5, 0,75, 1,0 y 1,2 en por unidad de la nominal a tensión constante para
un rango de velocidad mecánica de 0 a 2 en por unidad de la velocidad mecánica nominal. En la
figura 20.14, se presenta el par eléctrico en régimen permanente entregado por la máquina para cada
una de las frecuencias de alimentación. En la figura se puede apreciar como el par es inversamente
proporcional a la frecuencia de la fuente de alimentación del convertidor y no mantiene una relación
lineal.
En la figura 20.15, se muestra la potencia de salida en el eje de la máquina de inducción para
las diferentes consignas de frecuencias de alimentación, despreciando las pérdidas mecánicas. La
potencia mecánica en el eje posee un comportamiento similar, un cuidado que de debe poseer al
operar la máquina a tensión nominal con frecuencia reducida es los pares de torsión aplicados al
eje del convertidor en esta condición.
para las diferentes consignas de frecuencias de alimentación. Se puede apreciar como a baja fre-
cuencia se elevan de manera considerable las corrientes de arranque del convertidor a más de 12
veces la nominal, pero su decaimiento es a más baja velocidad debido al cambio de la velocidad sin-
crónica con la frecuencia. Al utilizar estas estrategias para el arranque es necesario considerar los
ajustes de las protecciones de corriente del convertidor para permitir estas corrientes de arranque.

consignas de frecuencias de alimentación. Se puede observar que la dependencia del factor de
potencia con el deslizamiento no se altera ante variaciones de la frecuencia de alimentación de la
máquina al mantener la tensión constante.
Figura 20.14: Par eléctrico de operación ante variaciones de la frecuencias de alimentación de la
Figura 20.15: Potencia de salida de operación ante variaciones de la frecuencias de alimentación

Figura 20.16: Corriente en el estator de operación ante variaciones de la frecuencias de alimentación
Figura 20.17: Factor de potencia ante variaciones de la frecuencias de alimentación de la máquina
de inducción.
tensión y frecuencia de alimentación constantes.
Se evaluara el comportamiento de la máquina de inducción para variaciones de tensión y frecuencia
de alimentación de: 0,25, 0,5, 0,75, 1,0 y 1,2 en por unidad de la nominal en un rango de velocidad

mecánica de 0 a 2 en por unidad de la velocidad mecánica nominal. En la ﬁgura 20.18, se presenta
el par eléctrico en régimen permanente entregado por la máquina para cada una de los rangos
de tensión y frecuencias de alimentación. Se puede observar como la curva de par se traslada
en paralelas al cambiar la frecuencia, manteniendo la relación tensión frecuencia constante. Para
frecuencias bajas la curva se ve atenuada pero mantiene su forma, este comportamiento permite
mantener un par eléctrico constante durante la aceleración de la máquina a su velocidad de régimen
controlado la variación de frecuencia conforme el convertidor toma velocidad.
En la ﬁgura 20.19, se muestra la potencia de salida en el eje de la máquina de inducción para las di-
ferentes consignas de tensión y frecuencias de alimentación, despreciando las pérdidas mecánicas.
La potencia en el eje entregada por la máquina varía proporcional con la frecuencia, esto permite
entregar altos pares a baja velocidades.
para las diferentes consignas de tensión y frecuencias de alimentación. Se puede observar como la
corriente de arranque de la máquina no se afecta por las variaciones de la frecuencia al mantener la
relación tensión frecuencia constante Esto se debe a que la impedancia equivalente del convertidor
vista desde el estator a bajas velocidades, es decir altos deslizamiento, es muy inductiva al man-
tener la relación v/f = cte el modulo de corriente permanece constante ante las variaciones de la
frecuencia.
consignas de tensión y frecuencias de alimentación. Se puede observar que la dependencia del fac-
tor de potencia con el deslizamiento no se altera ante variaciones de la frecuencia de alimentación
de la máquina al mantener la relación tensión frecuencia constante.

Figura 20.18: Par eléctrico de operación ante variaciones de la tensión y frecuencias de alimenta-
ción de la máquina de inducción.
Figura 20.19: Potencia de salida de operación ante variaciones de la tensión y frecuencias de ali-
mentación de la máquina de inducción.

Figura 20.20: Corriente en el estator de operación ante variaciones de la tensión y frecuencias de
alimentación de la máquina de inducción.
Figura 20.21: Factor de potencia ante variaciones de la tensión y frecuencias de alimentación de la
resistencia de rotor
Se puede observar que para los entornos de los puntos de operación de la máquina de inducción
(s → 0) el par eléctrico de la máquina es inversamente proporcional a la resistencia de rotor. En

502 20.5. Clasificación NEMA
(a) (b) Detalle
Figura 20.22: Par eléctrico ante variaciones de la resistencia del rotor
la figura 20.22, se presenta el par eléctrico de la máquina de inducción ante variaciones de la
resistencia del rotor, para tensión y frecuencia nominal. Se puede destacar que un máquina con
baja resistencia del rotor posee un mejor regulación de velocidad en el entorno del punto nominal
a expensas de un menor par de arranque.
20.5. Clasificación NEMA
La National Electrical Manufacture Association (NEMA) de los Estados Unidos, ha clasificado las
máquinas de a cuerdo a su característica par velocidad en función de la resistencia de rotor de la
máquina de inducción. En la figura 20.23, se presenta la característica par velocidad de la máquina
de inducción de acuerdo a la clasificación NEMA.

Figura 20.23: Clasificación NEMA de la máquina de inducción
Las máquina con clasificación A se caracterizan por tener bajo par de arranque y baja resistencia de
rotor lo cual aumenta su eficiencia a bajo deslizamiento. La máquina tipo B se utiliza en conjunto
con los variadores de velocidad, su valores de par de arranque y corriente son iguales que la tipo A
pero esta máquina es mas eficiente al trabajar con altos deslizamientos de operación, generalmente
esta característica se obtiene al utilizar rotores tipo jaula de ardilla con barras profundas. La má-
quina Tipo C y D se caracterizan por altos pares de arranque y alta resistencia de rotor lo cual la
hace menos eficiente para deslizamientos pequeños comparadas con las otras clasificaciones. Más
recientemente se ha introducido en el mercado la máquina tipo E que posee las ventajas de la tipo
A y B pero es de mayor eficiencia.
20.6. Arranque de la Máquina de Inducción
Para reducir la corriente durante el proceso de aceleración de la carga mecánica se han utilizado
varios sistemas. Estos arrancadores difieren unos de otros en el método de reducción de tensión.
Algunos utilizan el cambio de conexiones de las bobinas de la máquina, otros utilizan transforma-
dores o autotransformadores y los más modernos se diseñan mediante convertidores electrónicos
de potencia. Los arrancadores son costosos para ser aplicados a máquinas pequeñas, y el impacto
de la corriente de arranque en estas máquinas no es importante ni para la máquina, ni para la red.
Es necesario recordar que una máquina pequeña tiene una relación superficie-volumen muy grande
y esto le permite disipar bien sus pérdidas. A continuación se detallan algunos ejemplos de los
arrancadores más utilizados en la industria:

504 20.6. Arranque de la Máquina de Inducción
20.6.1. El arrancador estrella-delta:
El método más simple para reducir la tensión de una máquina consiste en conectarla inicialmente
en estrella y cuando el deslizamiento es pequeño se cambia la conexión del motor a delta. La
tensión final sobre cada bobina de la máquina debe ser su propia tensión nominal. Este método de
arranque reduce la tensión en
√
3 veces la tensión nominal de la máquina y la corriente se reduce en
esta misma proporción. Los pares eléctricos se reducen a un tercio del par a tensión nominal. Este
procedimiento es uno de los más económicos, pero es necesario disponer de un sistema adecuado
de tensiones que permita la conexión delta de la máquina durante el régimen permanente. El cambio
de conexión se realiza cuando la máquina alcanza un deslizamiento cercano al de operación en la
conexión estrella. La orden de cambio puede ser dada por un temporizador si se conoce la inercia de
la carga o el tiempo de aceleración con tensión reducida. Si el cambio de conexión se realiza antes
de que las corrientes disminuyan, el arrancador pierde efectividad. El tiempo total de arranque con
este dispositivo es aproximadamente tres veces mayor que el arranque en directo de la máquina,
esto es importante en el momento de especificar las protecciones del motor.
En la figura 20.24a se presenta el gráfico del par y la corriente en la máquina durante el proceso
de arranque estrella-delta. Con estos arrancadores es posible lograr que la corriente máxima no
exceda el valor 3,0 pu, mientras que en un arranque directo, esta corriente podría alcanzar 5,0 pu.
En la figura 20.24b se muestra el diagrama de un arrancador industrial estrella-delta. Se utilizan
tres contactores y un temporizador que los activa. Además deben incluirse protecciones térmicas
para desconectar la máquina en caso de sobrecarga.
(a) Características del par eléctrico y la corriente del
arrancador
(b) Diagrama esquemático del arrancador
Figura 20.24: Arrancador estrella-delta

20.6.2. El arrancador por autotransformador:
El arrancador estrella-delta es muy económico, pero permite una sola posibilidad en la reducción
de la tensión. Utilizando transformadores o autotransformadores, es posible utilizar una reducción
arbitraria de la tensión. También es posible arrancar la máquina en varios pasos utilizando diferen-
tes derivaciones del transformador. Este esquema de arranque es más costoso.
20.6.2.1. Arranque por conexión de bobinas serie-paralelo:
En algunas máquinas, cada una de las bobinas del estator se dividen en dos partes, con la intención
de utilizar diferentes tensiones de alimentación, por ejemplo 208V ó 416V. Si las bobinas de cada
fase se conectan en serie, la máquina se puede conectar a un sistema de 416V. Si por el contrario
las dos bobinas de cada fase se conectan en paralelo, el sistema de alimentación debe ser de 208V.
Existen esquemas similares al de la figura 20.24 para arrancar el motor de inducción en un sistema
de 208V con las bobinas de cada fase conectadas en serie, y posteriormente reconectar estas bobinas
en paralelo para alcanzar el punto de operación de régimen permanente. Este esquema tiene un
comportamiento similar al del arrancador estrella-delta, con la salvedad de que las corrientes se
reducen a la mitad y el par eléctrico a la cuarta parte durante la aceleración.
20.7. Accionamientos de la Máquina de Inducción
Algunos accionamientos mecánicos regulados con máquina de inducción requieren poseer una res-
puesta dinámica ante variaciones de la señal de consigna. Al mismo tiempo es necesario reducir
el efecto de las perturbaciones, como variaciones del par mecánico, sobre el funcionamiento del
accionamiento. En general sistemas de baja inercia presentan este tipo de requerimiento. Un ejem-
plo claro de la necesidad de una buena respuesta dinámica, así como de un control que refleje
fielmente el comportamiento dinámico del sistema, es el de un servomecanismo. Con el modelo
en régimen permanente de la máquina de inducción, estos objetivos no se pueden alcanzar debi-
do a que las estrategias de control que consideran este modelo, no se tiene en cuenta la respuesta
dinámica de la máquina. Para mejorar estos esquemas de control es necesario considerar mode-
los dinámicos de la máquina de inducción para realizar las acciones de control sobre las variables
eléctricas instantáneas que definen el par eléctrico, con el fin de mejorar las respuestas dinámicas
del accionamiento. En la figura 20.25, se presenta la característica de tracción y frenado que debe
suministrar el accionamiento de un motor de inducción. En esta curva se mantiene el par constante
hasta que la máquina alcanza una determinada velocidad (ωbase) y posteriormente se controla a
potencia constante, durante estas dos etapas se limita la corriente en los devanados del estator a un
valor constante. Finalmente la máquina se lleva a su punto de operación a deslizamiento constante.

506 20.7. Accionamientos de la Máquina de Inducción
Figura 20.25: Característica de tracción y frenado de un motor de inducción
20.7.1. Control Escalar
20.7.1.1. Arranca Suaves
El arranca suave es el más simple y económico método de control de velocidad de la máquina de
inducción, en la ﬁgura 20.26, se presenta el esquema del puente convertidor.
Figura 20.26: Esquema del arranca suave
En la ﬁgura 20.27, se presenta el diagrama de control de un arranca suaves para motores de in-
ducción. Este accionamiento consiste en regular la tensión efectiva a frecuencia fundamental del
estator mediante el uso de un controlador AC - AC. Durante el arranque se limita la corriente en el
estator controlado la tensión efectiva sobre los devanados de la máquina. Este accionamiento esti-
ma la tensión efectiva de referencia del puente convertidor utilizando una curva de par vs. corriente

a frecuencia industrial. Las máquinas que más se utilizan con este tipo de arrancador son la NEMA
tipo D.
Figura 20.27: Esquema de control de un arranca suave
En la ﬁgura 20.28, se presenta en esquema de regulación de par y corriente al variar la tensión
de alimentación de la máquina de inducción con el arranca suave, la intersección de estas carac-
terísticas de par con el par resistencia de la carga determina el punto de operación del convertidor
electromecánico.
(a) Par (b) Corriente
Figura 20.28: Característica de par y corriente para una máquina de inducción accionada con una
arranca suave
20.7.1.2. Tensión - Frecuencia Constante
El primer controlador de velocidad de las máquinas de inducción y tal vez el más utilizado en
la práctica hasta el presente, consiste básicamente en regular la fuente de alimentación, variando
la frecuencia de las tensiones aplicadas a las bobinas del estator. En la ﬁgura 20.29, se presenta

el esquema constructivo de un controlador v/f = cte. La variación de la frecuencia afecta pro-
porcionalmente las reactancias de magnetización y dispersión en el circuito equivalente, pero las
resistencias se mantienen aproximadamente constantes si el efecto pelicular no es muy pronuncia-
do. Para que la densidad de ﬂujo magnético sea prácticamente constante, dentro de los límites de
diseño de la máquina, es necesario variar la amplitud de la tensión de alimentación en la misma
proporción que se varía la frecuencia. Con esta estrategia la magnitud del par eléctrico obtenido en
cada velocidad puede ser cercano, o incluso superior al par nominal.
Figura 20.29: Esquema de un cicloconvertidor
En la ﬁgura 20.30, se presentan las características par eléctrico-velocidad angular del rotor para
una máquina de inducción alimentada mediante cuatro frecuencias diferentes, manteniendo cons-
tante la relación entre la amplitud de la tensión de alimentación y la frecuencia. Incrementando
paulatinamente la frecuencia, es posible acelerar una carga mecánica a través de los puntos 1, 2, 3,
hasta alcanzar el punto 4. Si la variación de la frecuencia es lenta en comparación con la inercia
del conjunto máquina carga mecánica, la corriente de la máquina en esta condición se reduce en
comparación con un arranque directo a plena tensión.

Figura 20.30: Característica par eléctrico velocidad para una máquina de inducción con control de
tensión - frecuencia constante
El control tensión-frecuencia constante, permite mantener cualquier punto de operación intermedio,
aumentar o reducir la velocidad mecánica de la máquina. Operando a bajas frecuencias, se incre-
menta el par eléctrico de arranque, pero el par eléctrico máximo de la máquina es prácticamente
constante, siempre y cuando las reactancias del circuito equivalente de la máquina en régimen
permanente sean mucho mayores que las respectivas resistencias.
Este controlador de velocidad requiere una fuente de alimentación alterna regulable en tensión y
frecuencia. Para esta función, en el pasado se empleaban máquinas sincrónicas reguladas en velo-
cidad y corriente de campo. Esta solución trasladaba el problema de regulación al eje mecánico del
generador sincrónico. Mediante los interruptores electrónicos de alta velocidad es posible diseñar
y construir fuentes de alimentación alternas reguladas en tensión y frecuencia. Los convertidores
electrónicos de inversión fueron desarrollados durante la década de los treinta utilizando diversos
dispositivos tales como: las válvulas de alto vacío con cátodos incandescentes, tiratrones o ignitro-
nes. Esta tecnología evoluciona considerablemente durante las décadas de los setenta y ochenta con
el auge de la electrónica de potencia y la aparición de los tiristores y transistores de alta potencia.
En la figura 20.31 se muestra el diagrama de un controlador de velocidad para un motor de induc-
ción que utiliza el método de tensión - frecuencia constante. El sistema realimenta la velocidad o la
posición del eje mecánico. Esta velocidad se compara con una referencia determinada por el usua-
rio o por la aplicación. El error obtenido de la comparación entre las medidas y las referencias se
utiliza para definir la frecuencia de operación del inversor y con la técnica de modulación definida
para el convertidor se determinan las señales de encendido y apagado de las componentes semicon-
ductores del puente. Algunos puentes convertidores regulan la tensión de la barra de continua a fin
de no modular la tensión sobre la máquina con el inversor, esto simplifica el control del inversor a
expensas de utilizar un rectificador controlado o un chopper en la barra de corriente continua.

Figura 20.31: Variador de velocidad por control de tensión - frecuencia constante.
En la figura 20.32, 20.33 y 20.34 se presenta la respuesta del esquema de la figura 20.31 al seguir
una consigna de velocidad, para una máquina de inducción de 3HP alimentada con un puente
inversor de un pulso por semiciclo, desde un sistema trifásico de 220V a frecuencia industrial de
60Hz. La conversión AC - DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

Figura 20.32: Velocidad mecánica, par y tensión de la barra de continua para el accionamiento de
tensión frecuencia constante

(a)

inversor con control por SPWM, desde un sistema trifásico de 220V a frecuencia industrial de
60Hz. La conversión AC - DC se realiza con un rectiﬁcador no controlado trifásico.
tensión frecuencia constante con SPWM

(a)

20.7.1.3. Accionamiento a Deslizamiento Constante
El proceso de aceleración y frenado de la máquina de inducción se puede realizar controlando el
par eléctrico mediante la frecuencia de deslizamiento. Esto permite acelerar el convertidor con par
constante o variable, controlando la frecuencia de deslizamiento.
Para controlar el par de aceleración de la máquina es necesario mantener la relación tensión -
frecuencia constante, esto con la finalidad de obtener una densidad de flujo magnético aproxima-
damente constante.
La frecuencia de deslizamiento debe estar limitada a un valor máximo que asegure el funciona-
miento de la máquina de inducción en un punto estable de la característica par eléctrico velocidad
mecánica y además permita limitar las corrientes durante el proceso de aceleración a un consumo
igual a la capacidad de sobrecarga del equipo de potencia. En la figura 20.38, se presenta el esque-
ma de un accionamiento que mantiene el deslizamiento constante. En este esquema la frecuencia de
operación del inversor se determina a partir de la velocidad mecánica del rotor y del deslizamiento
de referencia, mientras la tensión de referencia se calcula del error de velocidad. El control de la
tensión se puede realizar con el inversor a través de técnicas de modulación o con un rectificador
controlado o un chopper conectado en la barra de corriente continua.
Figura 20.38: Variador de velocidad a deslizamiento constante
20.7.2. Control Vectorial por Campo Orientado
Aplicando la teoría de auto valores y auto vectores a la matriz de inductancia obtenida del modelo
de la máquina de inducción en vectores espaciales (20.12), se pueden encontrar dos transformacio-
nes de variables genéricas. Una transformación que refiere las variables del rotor al estator y la otra
refiere las variables del estator al rotor.

Utilizando la transformación que refiere las variables del rotor al estator y escogiendo los coeficien-
tes adecuados para anular la influencia de la derivada de las corrientes del estator en la ecuación
del rotor, se obtiene la transformación a Vectores de Campo Orientado.
im = ie +
Lr
Ler
irejθ
(20.41)
Proyectando las ecuaciones de la máquina de inducción del sistema (20.12) en un sistema de dos
ejes coordenados ortogonales, uno solidario con la dirección de la variable transformada im y el
otro en cuadratura a esta dirección, se obtiene el modelo en campo orientado de la máquina de
inducción.
vde = Reide + ˆLe pide +δiqs +
L2
er
Lr
pim (20.42)
vqe = Reiqe + ˆLe piqe +δids +
L2
er
Lr
pδim (20.43)
pim =
1
Tm
(ide −im) (20.44)
p(δ −θ) =
1
Tm
iqe
im
(20.45)
Donde:
ˆLe = Le −
Ler
Lr
Tr =
Lr
Rr
En el modelo por campo orientado, el par eléctrico depende del producto de la corriente de magne-
tización y de la componente en cuadratura de la corriente del estator. Los sistemas de control por
campo orientado se fundamentan en la posibilidad de ajustar el valor de estas dos variables.
Te =
L2
er
Lr
iqeim (20.46)
Tal como sucede en las máquinas de corriente continua, en las máquinas de inducción el circui-
to de campo tiene una constante de tiempo relativamente lenta. Por esta razón resulta ventajoso
mantener la corriente de magnetización en el valor máximo posible, para incrementar la velocidad

de respuesta del sistema. La corriente de magnetización se controla mediante el ajuste de la com-
ponente directa de la corriente del estator. En régimen permanente estas dos corrientes tienen el
mismo valor.
El principal problema de los controladores por campo orientado consiste en adecuar el valor de las
corrientes o tensiones de alimentación a sus valores en variables transformadas. La transformación
directa e inversa entre las coordenadas primitivas y las coordenadas de campo orientado dependen
de la posición instantánea del vector espacial de la corriente de magnetización im. Esto presenta
un problema importante al diseñar este tipo de controlador, debido a que no resulta simple medir o
estimar este ángulo. La medición requiere incluir sensores especiales en la máquina. Estimar esta
posición requiere la integración en tiempo real del sistema de ecuaciones diferenciales que modelan
la máquina de inducción. La primera solución es costosa y difícil de implementar en la practica.
La segunda alternativa depende de la velocidad del estimador, de la exactitud del modelo y de la
variabilidad de los parámetros durante la operación. Por esta razón es conveniente la utilización de
estimadores rápidos y precisos de las variables no medibles, entre los cuales encontramos las redes
neurales y estimadores de estado. También es indispensable la estimación de los parámetros de la
máquina de inducción en tiempo real. Estas dos técnicas permiten una solución rápida y eﬁciente
para la estimación de la posición de la corriente de magnetización.
En la ﬁgura 20.39 se muestra el esquema de un controlador de velocidad de una máquina de induc-
ción en coordenadas de campo orientado donde se utiliza un inversor controlado por corriente por
modulación delta.
Figura 20.39: Controlador de velocidad en coordenadas de campo orientado.

El estimador de estado es el subsistema del controlador que permite determinar el valor de las
variables no medibles de la máquina de inducción - par eléctrico y la posición y magnitud del
vector espacial de la corriente de magnetización - en cada instante de tiempo a partir de la medición
directa de las tensiones y corrientes de las bobinas del estator y la velocidad mecánica del rotor.
El sistema de control utilizado parte de la comparación entre la velocidad del rotor de la máquina
de inducción con una referencia determinada para generar un error de velocidad. Este error, es
utilizado por un bloque proporcional integral PI, para producir una consigna de par eléctrico. El
par eléctrico obtenido por el estimador de la máquina de inducción, se compara con la consigna
de par obtenida del PI. Este nuevo error se introduce en otro bloque PI para producir la consigna
de la componente cuadratura de la corriente de referencia i
ref
qe . Simultáneamente se determina la
corriente de magnetización de referencia i
ref
m , de acuerdo a la velocidad mecánica del rotor de la
máquina de inducción para evitar la saturación del material magnético y no exceder los límites
térmicos nominales. Al comparar la corriente de magnetización de referencia i
ref
m , con la corriente
de magnetización que se obtiene del estimador iest
m , se determina un error que se introduce a otro
controlador PI, para producir la componente directa de la corriente de referencia i
ref
de . Las corrientes
i
ref
de e i
ref
qe se transforman a variables primitivas y como resultado se obtienen las corrientes de
referencia que el inversor debe seguir. En la ﬁgura 20.40, se presenta el diagrama de bloques del
sistema de control propuesto.
Figura 20.40: Diagrama de bloques del controlador.
El bloque limitador de par es una protección para evitar que en condiciones transitorias, la máquina
pueda exceder los límites térmicos y mecánicos de diseño. Además durante la operación de la
máquina, es conveniente que la corriente de magnetización se mantenga en el mayor valor posible,
para incrementar la velocidad de respuesta del sistema. Cuando la máquina excede la velocidad
sincrónica, es recomendable debilitar la corriente de magnetización para no exceder el límite de
potencia nominal. Este valor límite viene dado por la corriente de magnetización de la máquina

de inducción en vacío cuando se le aplica en bornes, la tensión nominal. La corriente nominal de
magnetización está deﬁnida por el valor de la inductancia mutua estator - rotor.
Por esta razón, se incluye en el sistema de control un bloque limitador de la corriente de magne-
tización en función de la velocidad mecánica de la máquina de inducción. Para deducir la función
que describe el bloque limitador de la corriente de magnetización, se deber tener en cuenta las
condiciones de régimen permanente de la máquina de inducción.
i2
e = i2
de +i2
qe = i2
m +i2
qe ⇒ iqe = i2
e −i2
m (20.47)
Sustituyendo la expresión de par eléctrico (20.46) en la ecuación (20.47) y multiplicando ambos
miembros por la velocidad mecánica del rotor ωm se obtiene:
ωmTe =
L2
er
Lr
i2
e −i2
m imωm = Peje (20.48)
Evaluando la expresión (20.48) en los valores nominales de la máquina de inducción, se puede
encontrar el valor de la velocidad a partir de la cual es conveniente debilitar la corriente de magne-
tización.
ωcritico =
PejeLr
L2
er imn i2
e −i2
m
=
Pejen
Ten
= ωmn (20.49)
A partir de ésta velocidad, se desea debilitar la corriente de magnetización para mantener la poten-
cia constante. Reescribiendo la expresión (20.48) se obtiene:
ωmim i2
e −i2
m =
PejenLr
L2
er
= cte. (20.50)
Desarrollando la expresión (20.50) se obtiene la corriente de magnetización en función de la velo-
cidad.
iref
m =
√
2
2
i2
en
− i4
en
−
4P2
ejen
L2
r
L4
erω2
m
(20.51)
La función que determina la referencia de la corriente de magnetización en función de la velocidad
se ilustra en la ﬁgura 20.41.

Figura 20.41: Corriente de magnetización de referencia en función de la velocidad mecánica del
rotor.
El principal problema del estimador de estado de las variables internas de la máquina es la variabi-
lidad de los parámetros con la temperatura, la frecuencia y la saturación magnética. En particular el
estimador por campo orientado, es muy sensible a variaciones de la constante de tiempo del rotor
Tr, debido a que inﬂuye directamente en la estimación de la magnitud y dirección instantánea del
vector espacial de la corriente de magnetización. Los errores en la estimación de la verdadera posi-
ción angular de la corriente de magnetización, producen errores en la transformación que permite
desacoplar el par eléctrico en dos componentes independientes.
Para solventar este problema es necesario la utilización de algoritmos de estimación paramétrica en
tiempo real que permitan ajustar los parámetros del estimador de estado de la máquina de inducción
ante su variación durante la operación de la misma.
inversor, desde un sistema trifásico de 460V a frecuencia industrial de 60Hz. La conversión AC -
DC se realiza con un rectiﬁcador no controlado trifásico.

campo orientado

(a)

20.7.3. Control Vectorial Directo de Par y Flujo
Durante la década de los ochenta, Takahashi introduce una técnica avanzada de control escalar de-
nominada control directo de par y flujo (DTC) o direct self-control (DSC), la cual suministra la
consigna de disparo para las componentes de un inversor en tensión. Esta técnica permite obte-
ner una característica dinámica del accionamiento comparable con la de otros accionamientos por
control vectorial. Recientemente, este esquema de control ha sido introducido comercialmente en
diferentes convertidores de distintas industrias despertando un alto interés a nivel industrial. Este
esquema, como su nombre lo indica, se basa en el control del par eléctrico de la máquina y del
flujo en el estator, a través de la selección del vector espacial de tensión más apropiado de una
tabla, para seguir la referencia de estas señales. La información de disparo de las componentes del
inversor para cada vector espacial de tensión está contenida en la tabla de control.
20.7.3.1. Expresión vectorial de par eléctrico y del enlace de flujo en el estator
La expresión (20.20) puede ser representada de forma más sencilla, a través del producto vectorial
de la corriente del rotor y del estator como:
Te = Ler iqeidr −ideiqr = Ler
−→
ie
r ×
−→
ie (20.52)
El enlace de flujo del estator se puede obtener, a partir de la integración directa de la fuerza elec-
tromotriz en los devanados del estator.
λe =
¢
ve −Reie dt = Leie +Lerie
r (20.53)
donde:
−→xe = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3 xae(t) xbe(t) xce(t)
t
∀x ∈ {v,i,λ}
(20.54)
−→xe =
√
2
3 e−j π
6 1 ej 2π
3 ej 4π
3 xabe(t) xbce(t) xcae(t)
t
∀x ∈ {v}
(20.55)
Para calcular el enlace de flujo del estator a partir de la integral de la expresión (20.53) es necesario
realizar la medición directa de la tensión y corriente en los terminales del estator.
Despejando el vector especial de la corriente del rotor de la expresión (20.53) y sustituyendo el
resultado en la expresión (20.52), se obtiene el par eléctrico de la máquina de inducción en función
del vector espacial del flujo y la corriente del estator.

Te =
−→
λe ×
−→
ie (20.56)
El único parámetro del modelo de la máquina de inducción involucrado en la estimación del par
eléctrico instantáneo y del enlace de flujo del estator, es la resistencia del estator (Re). El error
introducido en la estimación por la variación de este parámetro con la temperatura es despreciable
y puede ser reducido utilizando métodos de estimación paramétrica en tiempo real.
El puente inversor trifásico genera ocho diferentes salidas de tensión, dependiendo la tensión en
la barra de corriente continua y la conectividad de los seis interruptores estáticos que conforman.
Utilizando la expresión (20.55) para cada una de estas posibles salidas, se puede encontrar el vector
espacial de tensión aplicado sobre los terminales del convertidor electromecánico.
−→ve = 2
3 1 ej 2π
3 ej 4π
3 SwVDC (20.57)
Donde, Sw es un vector que representa el estado de los interruptores del puente de dimensión 3x1.
En este vector, el elemento "1" corresponde al encendido del interruptor superior, mientras que "0"
indica el encendido del interruptor inferior de la misma rama. Seis de los vectores espaciales de
tensión poseen magnitud uniforme y se encuentran desfasados entre ellos. Los otros dos estados
están asociados al vector espacial nulo.
20.7.3.2. Estrategia de control directo de par
En la figura 20.45, se presenta el diagrama en bloques del controlador directo de par. La magnitud
del enlace de flujo y el par eléctrico de referencia son comparados con los estimados de la máquina
de inducción, que se calculan a partir, de la corriente del estator, el vector de interrupciones del
inversor y la tensión de la barra de continua. Los errores de par y flujo son procesados en dos
comparadores de histéresis de tres y dos niveles respectivamente, a partir de estos resultados y
de la posición angular del enlace de flujo del estator se determina el vector de interrupciones del
inversor. El algoritmo del controlador directo de par se fundamenta en escoger el vector espacial
de tensión que maximice el cambio necesario en el enlace de flujo del estator, para ajustar el par
eléctrico a partir de la expresión 20.56.

Figura 20.45: Diagrama en bloques del controlador directo de par.
El controlador por histéresis del enlace de flujo posee dos salidas digitales de acuerdo al valor del
error en la magnitud del enlace de referencia y el estimado y de la banda de histéresis (HB(
−→
λe)
)
utilizada, de acuerdo a las siguientes expresiones:
S −→
λe
= 1 ∀ error −→
λe
> HB −→
λe
S −→
λe
= 0 ∀ error −→
λe
< −HB −→
λe
(20.58)
donde: 2HB −→
λe
corresponde al ancho de banda de histéresis del controlador. Este controlador al
mantener la magnitud del enlace de flujo del estator limitada a una banda de histéresis origina una
trayectoria circular del vector espacial del enlace de flujo del estator. Sustituyendo la expresión
(20.57) en la (20.53), se obtiene el vector espacial del enlace de flujo del estator en función de la
salida del puente inversor.
−→
λe =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3 SwVDC ·t −Re ·
¢
−→
ie dt +
−→
λe
t=0
(20.59)
Considerando que las caídas de tensión en los devanados del estator son pequeñas, las variaciones
en la dirección del enlace de flujo del estator
−→
λe, son ocasionadas por la dirección del vector espacial
de tensión aplicado al convertidor. Es decir, una escogencia adecuada del vector espacial de tensión
aplicado a la máquina de inducción, determina un control sobre la magnitud y trayectoria del enlace
de flujo del estator. En la figura 20.46 se puede observar la trayectoria del vector espacial del enlace
de flujo del estator y la variación en el enlace de flujo del estator correspondiente a cada uno de los
vectores espaciales de tensión del inversor para un instante de tiempo ∆t.

(a) (b)
Figura 20.46: (a) Trayectoria del vector especial del enlace de flujo del estator, (b) variación del
enlace de flujo en función del vector espacial de tensión del inversor.
El controlador por histéresis del par eléctrico posee tres salidas digitales de acuerdo al valor del
error en la magnitud del par de referencia y el estimado y de la banda de histéresis (HB(Te)) utiliza-
da, de acuerdo a las siguientes expresiones:
S(Te) = 1 ∀ errorTe > HB(Te)
S(Te) = −1 ∀ errorTe < HB(Te)
S(Te) = 0 ∀ −HB(Te) < errorTe < HB(Te)
(20.60)
La estrategia del controlador directo de par, se fundamenta en ajustar el par eléctrico al de referen-
cia, mediante el control de la magnitud y sentido de rotación del vector espacial del enlace de flujo
del estator. Esta posibilidad de ajuste, define seis zonas de operación dependiendo de la posición
del vector espacial del enlace de flujo del estator. Estas zonas de control coinciden con la locali-
zación de los vectores espaciales de tensión del inversor. Cada uno de estas seis zonas de control
tiene un ancho de π/3 radianes y vienen dados por la expresión (20.61). En la figura 20.46 (a) se
puede observar las seis zonas de operación .
(2N −3)·
π
6
≤ Z(n) ≤ (2N −1)·
π
6
(20.61)
En cada zona de operación, una escogencia adecuada del vector espacial de tensión permite incre-
mentar o decrementar la magnitud del enlace de flujo del estator y alterar su sentido de rotación.

Manteniendo las magnitudes de corriente y el enlace de flujo constante, se puede controlar el par
eléctrico resultante, modificando el ángulo relativo entre el enlace de flujo y la corriente del esta-
tor. Este ángulo relativo se puede variar controlando el sentido de rotación del vector espacial del
enlace de flujo en el estator.
Por ejemplo, si el vector espacial del enlace de flujo se encuentra en la primera zona de operación
Z(1), y se desea aumentar la magnitud del enlace, se debe aplicar sobre los terminales de la máquina
el vector espacial de tensión −→v2 si el par de referencia es menor que la referencia o el vector espacial
−→v6 si el par eléctrico es mayor que la referencia.
En la tabla 20.2 se presenta la secuencia de disparo del inversor para la estrategia de control directo
de par, a partir de la posición del enlace de flujo del estator, y la salida de los comparadores de
histéresis del flujo y par eléctrico. Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio del par
eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza el vector espacial de tensión que se encuentra
dentro de la zona de localización del enlace de flujo, así como tampoco el localizado en la zona
opuesta.
Tabla 20.2: Secuencia de disparo del inversor para el controlador directo de par.
S(
−→
λe)
S(Te) Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) Z(5) Z(6)
1 1 −→v1
−→v5
−→v4
−→v6
−→v2
−→v3
1 0 −→v7
−→v0
−→v7
−→v0
−→v7
−→v0
1 −1 −→v5
−→v4
−→v6
−→v2
−→v3
−→v1
0 1 −→v2
−→v3
−→v1
−→v5
−→v4
−→v6
0 0 −→v0
−→v7
−→v0
−→v7
−→v0
−→v7
0 −1 −→v6
−→v2
−→v3
−→v1
−→v5
−→v4
El estimador de par y flujo de la figura estimador de la figura 20.45, se basa en la utilización de las
expresiones (20.56), (20.57) y (20.61) para el cálculo de las variables par, flujo y zona de operación.
Consideramos el ejemplo de la figura 20.46 (b), el enlace de flujo estimado se encuentra en la zona
de operación Z(2) punto "A" y es mayor que la referencia (HB(
−→
λe)
= 0) y adicionalmente, el par
eléctrico es mayor a la referencia (HB(Te) = −1), para corregir esta situación es necesario, como se
observa en la tabla 20.2, aplicar el vector espacial de tensión −→v6 para desplazar el enlace de flujo al
punto "B". Este procedimiento es el utilizado por el control directo de par, para el ajuste del enlace
de flujo del estator y del par eléctrico a los valores de referencia.
Las respuestas dinámicas de los accionamientos de la máquina de inducción que utilizan control
directo de par, son comparables a los obtenidos con otros esquemas de control vectorial. La esti-
mación del enlace de flujo de estator y del par eléctrico instantáneo sólo depende de la resistencia
del estator (Re), a diferencia de otros controladores vectoriales como el de campo orientado en

los que los estimadores, dependen de un conjunto mayor de parámetros del modelo de la máquina
de inducción. Entre estos parámetros encontramos: las inductancias del estator, rotor y mutua del
estator-rotor, la constante de tiempo del rotor, estos parámetros son fuertemente afectados durante
la operación del convertidor electromecánico, por las variaciones del grado de saturación magnéti-
ca y la temperatura. El efecto por variaciones de la temperatura sobre la resistencia del estator es
despreciable y puede ser corregida en línea con métodos de estimación paramétrica.
Entre las características del control directo de par tenemos:
No utiliza realimentación en corriente.
No utiliza el esquema tradicional de control por ancho de pulso.
Los controladores por histéresis del enlace de flujo del estator y del par eléctrico generan un
rizado sobre estas variables.
La frecuencia de conmutación del puente inversor no es constante y depende de la banda de
histéresis de los controladores de par eléctrico y del enlace de flujo.
inversor, desde un sistema trifásico de 460V a frecuencia industrial de 60Hz. La conversión AC -
DC se realiza con un rectificador no controlado trifásico.

DTC

(a)

20.8. Ejercicios
1. Un inversor trifásico de cuatro pulsos por ciclo, con una tensión de alimentación de 400V
alimenta a un motor de inducción trifásico de tensión nominal 346,4V fase – fase @ 50Hz.
Con los siguientes parámetros: Xe = Xr = 7,19Ω, Xer = 7,0Ω y Rr = 0,07Ω. El motor a
60Hz posee un deslizamiento0 nominal del 5%. Manteniendo la relación de tensión aplicada
en bornes del motor y frecuencia constante. Determine:
a) Frecuencia del inversor para que la máquina arranque con un par mecánico de 1,5 veces
el par máximo nominal.
b) Velocidad mecánica de la máquinas acciona un par de 1,2 veces el nominal a un desli-
zamiento del 3%.
c) Ancho del pulso en segundos para obtener la tensión eﬁcaz en bornes del motor de la
pregunta anterior.
2. Explique las ventajas y limitaciones del modelo de la máquina de Inducción con vectores
espaciales al compararlo con el de régimen sinusoidal.

Capítulo 21
La Máquina Sincrónica
21.1. Introducción
Las máquinas de corriente continua y de inducción tienen un amplio rango de aplicaciones indus-
triales tales como tracción, bombeo, control y otros. Sin embargo, la operación del sistema eléctrico
de potencia requiere la conversión de grandes cantidades de energía primaria, en energía y poten-
cia eléctrica. La energía eléctrica puede ser transportada y convertida en otras formas de energía
en forma limpia y económica. La máquina sincrónica es hoy por hoy, el convertidor utilizado más
ampliamente para realizar esta tarea.
Dependiendo del sistema mecánico de accionamiento, las máquinas sincrónicas pueden construirse
de rotor liso cuando deban operar en altas velocidades, o con rotor de polos salientes cuando son
accionadas a menor velocidad.
Aun cuando un gran porcentaje de máquinas sincrónicas son utilizadas como generadores en las
plantas de producción de energía eléctrica, debido fundamentalmente al alto rendimiento que es
posible alcanzar con estos convertidores y a la posibilidad de controlar la tensión, en numerosas
ocasiones se emplea industrialmente como elemento motriz. Como otros convertidores electrome-
cánicos, la máquina sincrónica es completamente reversible y se incrementa día a día el número
de aplicaciones donde puede ser utilizada con grandes ventajas, especialmente cuando se controla
mediante fuentes electrónicas de frecuencia y tensión variable. El principal inconveniente para su
uso como motor es que no desarrolla par de arranque, pero si se incluye en el rotor de la máqui-
na un devanado auxiliar de jaula de ardilla, es posible obtener par de aceleración como motor de
inducción hasta una velocidad cercana a la de sincronismo, y excitar en el momento apropiado la
bobina del campo, con la ﬁnalidad de sincronizar la máquina a la red mediante los pares transitorios
adicionales que se obtienen durante este proceso. Si la fuente de alimentación puede reducir la fre-
cuencia angular de las tensiones o corrientes de armadura a valores muy bajos, la máquina es capaz
de sincronizarse a esa red y posteriormente ser acelerada al mismo tiempo que se incrementa paula-
tinamente la frecuencia de la fuente. Como la construcción de fuentes de gran potencia controladas
537

538 21.2. Descripción de la máquina sincrónica
(a) Estator de la máquina sincrónica (b) Rotor de polos salientes
Figura 21.1: Partes de las máquinas sincrónicas
en frecuencia es hoy día factible mediante puentes inversores con interruptores estáticos, es posi-
ble que en el futuro esta máquina incremente notablemente su importancia como accionamiento
industrial, e incluso desplace a las máquinas de corriente continua.
21.2. Descripción de la máquina sincrónica
La máquina sincrónica es un convertidor electromecánico de energía con una pieza giratoria deno-
minada rotor o campo, cuya bobina se excita mediante la inyección de una corriente continua, y una
pieza ﬁja denominada estator o armadura por cuyas bobinas circula corriente alterna. Las corrientes
alternas que circulan por los enrollados del estator producen un campo magnético rotatorio que gira
en el entre hierro de la máquina con la frecuencia angular de las corrientes de armadura. El rotor
debe girar a la misma velocidad del campo magnético rotatorio producido en el estator para que el
par eléctrico medio pueda ser diferente de cero. Si las velocidades angulares del campo magnético
rotatorio y del rotor de la máquina sincrónica son diferentes, el par eléctrico medio es nulo. Por esta
razón a esta máquina se la denomina sincrónica; el rotor gira mecánicamente a la misma frecuencia
del campo magnético rotatorio del estator durante la operación en régimen permanente. En la ﬁgura
21.1a y 21.1b, se observa el estator y rotor de una máquina sincrónica de polos salientes.
Durante la operación de la máquina sincrónica en régimen permanente, la velocidad mecánica del
rotor es igual a la velocidad angular del campo magnético rotatorio producido por el estator. En
estas condiciones, sobre los conductores o bobinas del campo no se induce fuerza electromotriz.
Para producir fuerza magnetomotriz en el rotor es necesario inyectar corriente en esta bobina me-
diante una fuente externa. De esta forma se obtienen dos campo magnéticos rotatorios que giran
a la misma velocidad, uno producido por el estator y otro por el rotor. Estos campos interactúan

produciendo par eléctrico medio y se realiza el proceso de conversión electromecánica de energía.
La condición necesaria, pero no suficiente, para que el par medio de la máquina sea diferente de
cero es:
ωe = p·ωm (21.1)
donde:
p es el número de pares de polos de la máquina sincrónica.
La bobina del rotor o campo de la máquina sincrónica se alimenta mediante la inyección de corrien-
te continua, como se mencionó anteriormente, con la finalidad de producir un campo magnético de
magnitud constante, semejante al de un imán permanente, pero de una intensidad mucho mayor.
Debido a que el rotor de la máquina gira en régimen permanente a la velocidad sincrónica, el cam-
po magnético constante producido en este sistema se comporta, desde el punto de vista del estator,
como un campo magnético rotatorio. En la figura 21.2 se ha representado el esquema básico de una
máquina sincrónica trifásica de polos salientes.
La magnitud del par en una máquina sincrónica se puede evaluar como:
Te = k ·FrFe senδ (21.2)
donde:
k es una constante de proporcionalidad que depende de la geometría de la
máquina y de la disposición física de las bobinas.
Fe es la amplitud de la distribución sinusoidal de la fuerza magnetomotriz del
estator.
Fr es la amplitud de la distribución sinusoidal de la fuerza magnetomotriz del
rotor.
δ es el ángulo entre las amplitudes de las dos fuerzas magnetomotrices, co-
nocido generalmente como ángulo de carga.
Las fuerzas magnetomotrices del estator Fe, y del rotor Fr tienen una amplitud constante y para
que en la expresión (21.2) el par medio resulte constante, es necesario que el ángulo δ entre las dos
fuerzas magnetomotrices sea constante en el tiempo durante la operación en régimen permanente.
Para lograr esto, las dos fuerzas magnetomotrices deben girar a la misma velocidad angular.
Cuando la máquina sincrónica se encuentra desequilibrada, el campo magnético rotatorio producido
por las bobinas del estator es elíptico. Este campo se puede descomponer en dos campos magnéticos

540 21.2. Descripción de la máquina sincrónica
(a) Modelo elemental demostrativo
(b) Esquema básico
Figura 21.2: Esquema básico de una máquina sincrónica trifásica de polos salientes

rotatorios circulares de sentidos contrarotativos. Para que sea posible la producción de par eléctrico
medio en estas condiciones, es necesario que la velocidad del rotor esté sincronizada con uno de
los dos campos magnéticos contrarotativos. El campo que está fuera de sincronismo y gira en el
sentido contrario del rotor, produce par eléctrico transitorio, pero su valor medio es cero.
Si se cortocircuita la bobina de campo en el rotor de la máquina sincrónica, es posible en ciertos
casos acelerar el rotor como si fuera un motor de inducción con rotor devanado. En el campo se
inducen fuerzas electromotrices con la frecuencia del deslizamiento cuando el campo magnético
rotatorio del estator corta a los conductores del campo. La fuerza electromotriz inducida en el
rotor fuerza la circulación de corrientes por este devanado. Aun cuando el par eléctrico puede ser
muy reducido, en algunas ocasiones este método puede ser utilizado para arrancar en la máquina
sincrónica sin cargas mecánicas acopladas.
21.3. Modelo de la máquina sincrónica
Analizando el comportamiento de los ejes eléctricos de la máquina sincrónica en el sistema de
coordenadas correspondiente a las bobinas reales o físicas, se satisface el siguiente sistema de
ecuaciones:
vabc,f = Rabc,f iabc,f +
d
dt
λabc,f (21.3)
En los sistemas lineales, la relación entre las corrientes que circulan por las bobinas y los enlaces
de ﬂujo que las enlazan vienen dados por la relación:
λabc,f (θ,i) = Labc,f (θ) iabc,f (21.4)
Sustituyendo esta relación en la expresión (21.3) se obtiene el resultado siguiente:
vabc,f = Rabc,f iabc,f + Labc,f
d
dt
iabc,f +
dθ
dt
d
dt
Labc,f iabc,f =
= Rabc,f iabc,f + Labc,f p iabc,f + ˙θ · τabc,f iabc,f (21.5)
El sistema de ecuaciones diferenciales (21.5) representa el comportamiento dinámico de las bobinas
de la máquina sincrónica en coordenadas primitivas. La matriz de inductancia Labc,f depende de
la posición relativa θ del rotor con respecto al estator, por esta razón la matriz de transición de
estado también depende de la posición angular del rotor. Si la velocidad de la máquina es constante,
la posición angular del rotor es:
θ = θ0 +ωmt (21.6)

542 21.3. Modelo de la máquina sincrónica
La solución del sistema (21.5) puede obtenerse mediante métodos numéricos de integración, utili-
zando algoritmos tales como Euler, Runge-Kutta o Adams entre muchos otros. El principal incon-
veniente que se presenta es la necesidad de evaluar e invertir la matriz de inductancias de la máquina
en cada paso de integración, debido a la dependencia de esta matriz con la posición angular del ro-
tor. Por este motivo durante varias décadas se desarrollaron transformaciones de coordenadas que
simplifican el problema, aceleran notablemente los cálculos y permiten interpretar más fácilmente
el comportamiento dinámico y estático de la máquina sincrónica.
Durante los períodos transitorios, la velocidad angular de la máquina cambia y la posición angular
del rotor es una nueva variable de estado que debe ser evaluada para determinar su dependencia
temporal. En este caso es necesario incorporar una ecuación adicional al sistema (21.5) para deter-
minar el comportamiento dinámico del eje mecánico de la máquina:
1
2
iabc,f
t
τabc,f iabc,f −Tm = J ¨θ +α ˙θ (21.7)
Esta expresión representa el balance del par eléctrico y mecánico en el eje del rotor. El par acele-
rante es igual al par eléctrico del convertidor, menos el par resistente opuesto por la carga y por las
pérdidas mecánicas. La ecuación diferencial (21.7) puede ser expresada mediante dos ecuaciones
diferenciales de primer orden:
˙ωm = 1
J
1
2 iabc,f
t
τabc,f iabc,f −Tm −α ˙θ
˙θ = ωm
(21.8)
donde:
J es el momento de inercia del rotor,
Tm es el par mecánico resistente,
α es el coeficiente de fricción dinámica
El sistema de seis ecuaciones diferenciales formado por las cuatro ecuaciones del sistema (21.5),
y las dos ecuaciones mecánicas representadas por la expresión (21.8), definen el comportamiento
dinámico y transitorio completo de la máquina sincrónica de la figura 21.2. Este sistema de ecua-
ciones diferenciales es no lineal y los coeficientes son variables en el tiempo, por este motivo es
necesario recurrir a técnicas numéricas para evaluar el comportamiento de la máquina o simplificar
el problema mediante la técnica de transformación de coordenadas.
En la matriz de inductancia de la máquina sincrónica, se encuentra toda la información necesaria
para determinar su comportamiento. En la matriz de inductancia se resume la información sobre
la disposición geométrica de las bobinas, sus acoplamientos, números de vueltas y reluctancias de
los diferentes caminos magnéticos. Una vez conocida la matriz de inductancias se puede evaluar la

matriz de par calculando la derivada parcial de esta matriz con respecto a la posición angular del
rotor. La matriz de inductancias de la máquina sincrónica esquematizada en la ﬁgura 21.2 posee la
siguiente estructura:
Labc,f (θ) =
[Lee(θ)] [Ler(θ)]
[Lre(θ)] Lf
(21.9)
[Lee(θ)] =



Laa(θ) Mab(θ) Mac(θ)
Mba(θ) Lbb(θ) Mbc(θ)
Mca(θ) Mcb(θ) Mcc(θ)


 ; Lef (θ) = Lfe(θ)
t
=



Maf (θ)
Mbf (θ)
Mcf (θ)



donde:
e es subíndice referido a las bobinas del estator,
f es el subíndice referido a las bobinas del campo,
a,b,c son los subíndices de las tres bobinas físicas del estator.
Cada una de las inductancias de la máquina sincrónica se puede representar como una función del
ángulo θ. Esta función es periódica porque se repite nuevamente cada vez que el rotor realiza un
giro completo. Esta propiedad permite representar estas funciones mediante expansiones en series
de Fourier, con el ángulo θ como variable. Si la pieza polar se diseña convenientemente, es posible
representar las inductancias de la máquina con un número reducido de los términos de la serie.
La expresión de la matriz de inductancias más simple consiste en considerar términos dependientes
hasta en 2θ, para las inductancias estator-estator y términos en θ para las inductancias estator-rotor.
La inductancia del rotor Lf , es independiente de la posición θ del rotor debido a que el estator de
la máquina es aproximadamente liso. El resto de las inductancias propias y mutuas depende de la
posición angular θ, si el rotor de la máquina es de polos salientes. Las permeanzas de los caminos
magnéticos de las bobinas del estator y de los acoplamientos estator-rotor son dependientes de la
posición angular θ. Cuando la pieza polar del rotor se encuentra alineada con una de las bobinas
del estator, el camino magnético posee la máxima permeanza. Si la pieza polar se encuentran en
cuadratura con la bobina, el entre hierro es muy grande y disminuye la permeanza. La variación de
la permeanza depende del ángulo 2θ porque una bobina alineada con el polo norte del rotor tiene
el mismo camino magnético cuando el alineamiento ocurre con el polo sur. Estas inductancias se
pueden representar aproximadamente mediante las siguientes funciones:
Laa(θ) = L1e +M2e cos2θ +··· (21.10)
Lbb(θ) = L1e +M2e cos2(θ −
2π
3
)+··· (21.11)
Lcc(θ) = L1e +M2e cos2(θ −
4π
3
)+··· (21.12)

544 21.3. Modelo de la máquina sincrónica
Mab(θ) = Mba(θ) = −M1e −M2e cos2(θ +
π
6
)+··· (21.13)
Mac(θ) = Mca(θ) = −M1e −M2e cos2(θ −
π
6
)+··· (21.14)
Mbc(θ) = Mcb(θ) = −M1e −M2e cos2(θ −
π
2
)+··· (21.15)
donde:
Ld ≡
3
2
(L1e +M2e) ; Lq ≡
3
2
(L1e −M2e) ; Ld f ≡
3
2
Mef (21.16)
L1e =
Ld +Lq
3
; M2e =
Ld −Lq
3
(21.17)
M1e
L1e
2
(21.18)
En lo que se reﬁere a los acoplamientos mutuos estator-rotor la funcionalidad de las inductancias es
diferente porque al girar el rotor 180◦, la bobina del campo invierte su polaridad. Las inductancias
del estator varían entre un valor máximo y un mínimo, siempre positivo respecto a la posición an-
gular del rotor. Sin embargo, los acoplamientos mutuos estator-rotor varían entre un valor máximo
positivo hasta un valor máximo negativo, que en valor absoluto son idénticos, cuando el rotor de
la máquina gira 180◦. Las inductancias mutuas entre el estator y el rotor pueden ser aproximadas
mediante las siguientes funciones:
Maf (θ) = Mfa(θ) = Mef cosθ +··· (21.19)
Mbf (θ) = Mfb(θ) = Mef cos(θ −
2π
3
)+··· (21.20)
Mcf (θ) = Mfc(θ) = Mef cos(θ −
4π
3
)+··· (21.21)
Si el rotor de la máquina sincrónica es liso, todas las inductancias del estator son independientes
de la posición del rotor. En esta situación la matriz de inductancias Labc,f (θ) , se expresa de la
siguiente forma:
Labc,f (θ) =






L1e M1e M1e Mef cosθ
M1e L1e M1e Mef cos(θ − 2π
3 )
M1e M1e L1e Mef cos(θ − 4π
3 )
Mef cosθ Mef cos(θ − 2π
3 ) Mef cos(θ − 4π
3 ) Lf






(21.22)
Aun para el caso de una máquina sincrónica de rotor liso, la solución del sistema de ecuaciones
diferenciales que determina el comportamiento de la máquina sincrónica requiere el uso de métodos
numéricos, debido a la dependencia de las inductancias mutuas entre el estator y el campo, con la

posición θ del rotor. El modelo de la máquina sincrónica de rotor liso o de polos salientes se puede
obtener mediante transformaciones del sistema de coordenadas.
21.4. Transformación a vectores espaciales
Para aplicar la transformación de vectores espaciales a las ecuaciones (21.5) y (21.7) que represen-
tan el comportamiento de la máquina sincrónica en coordenadas primitivas es conveniente expresar
por separado las ecuaciones del estator y del rotor:
[ve] = [Re][ie]+ p [Lee][ie]+ Lef if (21.23)
vf = Rf if + p Lfe [ie]+Lf if (21.24)
Aplicando esta transformación de vectores espaciales a la expresión (21.23), se obtienen el siguien-
te resultado:
−→ve = Re
−→
ie + p (L1e +M1e)
−→
ie +
3
2
M2eej2θ −→
ie
∗
+
3
2
Mef ejθ
if (21.25)
vf = Rf if + p Ld f
ejθ i∗
e +e−jθ ie
2
+Lf if (21.26)
donde:
−→xe =
2
3
xa +αxb +α2
xc (21.27)
El par eléctrico es:
Te =
1
2
(Ld −Lq)ℑm (e−jθ −→
ie )2
+Ld f ℑm e−jθ −→
ie if (21.28)
Las expresiones (21.25), (21.26) y (21.28) modelan la máquina sincrónica utilizando vectores es-
paciales. La principal ventaja de esta transformación consiste en la reducción de las tres ecuaciones
del estator a una sola en variable compleja. Por otra parte, aun cuando la dependencia angular en
θ se mantiene en este sistema de coordenadas, las correspondientes expresiones han sido simpli-
ﬁcadas convenientemente al utilizar los términos e±jθ . En la expresión (21.28) correspondiente al
par eléctrico pueden observarse dos componentes: el par de reluctancia y el par producido entre las
fuerzas magnetomotrices del estator y del campo.

546 21.5. Transformación a coordenadas rotóricas
21.5. Transformación a coordenadas rotóricas
Para eliminar la dependencia en θ existente en el modelo de la máquina sincrónica en vectores
espaciales, es posible referir las variables del estator al sistema de referencia del rotor, el cual
se encuentra exactamente en la posición θ con respecto al sistema solidario con el estator. Por
esta razón es posible multiplicar la ecuación del estator por e−jθ para referir estas ecuaciones a un
sistema de coordenadas sincronizado con el eje del campo. Este nuevo sistema de coordenadas es
conocido como ejes d y q. El eje directo d apunta en la misma dirección que el eje del campo f.
El eje cuadratura q se encuentra a 90◦ en adelanto con respecto al eje d. De esta forma se pueden
introducir las siguientes deﬁniciones:
vdq
e ≡ vd + jvq = −→ve e−jθ
(21.29)
idq
e ≡ id + jiq =
−→
ie e−jθ
(21.30)
Derivando la expresión (21.30) se obtiene la relación siguiente:
e−jθ
p
−→
ie = pid + jpiq + j ˙θidq
e (21.31)
Al multiplicar la ecuación (21.25) por el término de rotación e−jθ , se obtiene:
vdq
e = Reidq
e +
1
2
(Ld +Lq) pidq
e + j ˙θidq
e +
1
2
(Ld −Lq) pidq∗
e + j ˙θidq∗
e +Ld f pif + j ˙θif
(21.32)
Descomponiendo la expresión (21.32) en parte real y parte imaginaria, resulta:
vd = Reid + p Ldid +Ld f if − ˙θLqiq = Reid + pλd − ˙θλq (21.33)
vq = Reiq + p Lqiq + ˙θ Ldid +Ld f if = Reiq + pλq + ˙θλd (21.34)
Realizando transformaciones semejantes en la ecuación (21.26), se obtiene el resultado siguiente:
vf = Rf if + p
Ld f
2
idq
e + idq
e
∗
+Lf if =
vf = Rf if + p Lf if +Ld f id = Rf if + pλf (21.35)
Finalmente transformando las variables espaciales de la expresión (21.28) correspondiente al par
eléctrico, se obtiene:
Te =
1
2
(Ld −Lq)ℑm (idq
e )2
+Ld f ℑm e−jθ −→
ie if =

= Ld −Lq idiq +Ld f iqif = λdiq −λqid = λdq
e ×idq
e (21.36)
El sistema de ecuaciones diferenciales que determina el comportamiento dinámico de la máquina
sincrónica se puede expresar de la siguiente forma:



vd = Reid + pλd −ωλq
vq = Reiq + pλq +ωλd
vf = Rf if + pλf
J ˙ω = λ
dq
e ×i
dq
e −Tm(ω)
(21.37)
donde:
λd = Ldid +Ld f if ,
λq = Lqiq,
λf = Lf if +Ld f id,
λ
dq
e = λd + jλq.
21.6. Transformación de Park
En la máquina sincrónica, el campo magnético rotatorio producido por las fuerzas magnetomotrices
de los devanados estatóricos, gira a la velocidad sincrónica ωe. El rotor de la máquina también gira
a la velocidad sincrónica ωr = ωe. Por esta razón es conveniente referir las ecuaciones diferenciales
que deﬁnen el comportamiento de la máquina a un sistema de coordenadas solidario con el rotor.
De acuerdo con estos lineamientos se deﬁnen los siguientes ejes magnéticos:
Eje d : Gira con respecto al estator a la velocidad del rotor, y en todo momento se encuentra
colineal con el eje magnético del campo.
Eje q : Rota con respecto al estator a la velocidad del rotor, y en todo momento se encuentra
en cuadratura con el eje magnético del campo.
Eje 0 : Fijo en el estator y se encuentra desacoplado magnéticamente del resto de los ejes de
la máquina.
Eje f : Solidario con el sistema rotórico y colineal con el eje magnético de la bobina de campo.
Aun cuando los ejes d y q giran a igual velocidad que el rotor, estos ejes representan variables del
estator. El eje 0 es necesario para permitir que la transformación de coordenadas sea bidireccional,
es decir, se pueda transformar de variables primitivas a variables dq0 y viceversa. El eje 0 tiene

548 21.6. Transformación de Park
una estrecha relación con las variables de secuencia cero de la transformación de componentes
simétricas. En la práctica el eje 0 permite representar flujos de dispersión que no están acoplados
con otras bobina de la máquina. En la figura 21.3(b) se ha representado el sistema de coordenadas
dq0− f.
La transformación de coordenadas primitivas abc, f a coordenadas dq0, f es:






id
iq
i0
if






=
2
3







cosθ cos θ − 2π
3 cos θ − 4π
3 0
−senθ −sen θ − 2π
3 −sen θ − 4π
3 0
1√
2
1√
2
1√
2
0
0 0 0 3
2













ia
ib
ic
if






(21.38)
El modelo de la máquina sincrónica utilizando la transformación de Park es:






vd
vq
v0
vf






=






Re +Ld p −ωLq 0 Ld f p
ωLd Re +Lq p 0 ωLd f
0 0 R0 +L0 p 0
Ld f p 0 0 Rf +Lf p












id
iq
i0
if






Jpω = Ld −Lq idiq +Ld f iqif −ρω −Tm (21.39)
El modelo de la máquina sincrónica obtenido a partir de la transformación de vectores espaciales
referidos a las coordenadas del rotor 21.37 coincide con el modelo 21.39, obtenido aplicando la
transformación de Park.
En un sistema trifásico sin neutro no circula corriente de secuencia cero, pero cuando las tres
corrientes de fase encuentran un camino de retorno, es necesario considerar esta componente. La
componente de secuencia cero representa la circulación de corrientes iguales y en fase por las
bobinas de la máquina. Estas corrientes no producen magnetización debido a que la suma de las
fuerzas magnetomotrices de las tres bobinas es cero. Sin embargo, los flujos de dispersión si poseen
componente de secuencia cero. En el modelo de la máquina no existe acoplamiento magnético
de esta secuencia con el resto de las bobinas. Esta componente no puede producir par eléctrico,
pero influye en las pérdidas de la máquina y en las fuerzas electromotrices sobre las bobinas. En
la expresión 21.39 no aparecen fuerzas electromotrices de generación sobre la bobina de campo.
Esto se debe a que el sistema de coordenadas dq0 es solidario al eje f del campo. Los flujos
de las bobinas d y q no cruzan tangencialmente a los conductores del campo. Sin embargo, en
este eje pueden aparecer fuerzas electromotrices por transformación, debido a que el flujo de la
bobina del eje directo atraviesa el devanado de campo. Por el contrario, el eje cuadratura no puede
producir ningún efecto sobre el campo debido a que se encuentra permanentemente en una posición
ortogonal.

Figura 21.3: Modelo en coordenadas dq0− f de la máquina sincrónica
En la ﬁgura (21.3)se presenta el modelo en coordenadas dq0− f que satisface las ecuaciones 21.39.
En la máquina real, las corrientes id e iq no circulan por ningún devanado físico, para determinar
las corrientes reales es necesario aplicar la transformación inversa de coordenadas dq0− f a coor-
denadas primitivas.
21.7. Régimen permanente
Para analizar el comportamiento de la máquina sincrónica en régimen permanente es necesario
excitar los circuitos de armadura con un sistema equilibrado y simétrico de corrientes. Además, en
estas condiciones el rotor de la máquina debe girar a la velocidad sincrónica. La posición relativa
del rotor con respecto al sistema de referencia solidario al estator es:
θ = ωt +θ0 (21.40)
En régimen permanente las ecuaciones del modelo 21.39 se reducen a:
vd = Reid −ωLqiq = Reid −Xqiq (21.41)
vq = Reiq +ωLdid +ωLd f if = Reiq +Xdid +ef (21.42)
vf = Rf if (21.43)
Te = (Ld −Lq)idiq +Ld f iqif (21.44)

550 21.8. Circuito equivalente de la máquina sincrónica
21.8. Circuito equivalente de la máquina sincrónica
A partir del modelo 21.39 que deﬁne el comportamiento dinámico de las corrientes de la máquina
sincrónica en convención motor, se puede modelar la máquina mediante cuatro circuitos eléctricos
acoplados por términos de generación y transformación, mediante transformadores y fuentes de
tensión dependientes de corriente. En la ﬁgura 21.4 se presenta el circuito equivalente de la máquina
sincrónica de polos salientes.
(a) Modelo transitorio de polos salientes
(b) Modelo permanente de polos salientes (c) Modelo permanente de rotor liso
Figura 21.4: Circuitos equivalente de la máquina sincrónica en convención motor
Si la máquina sincrónica es de rotor liso, las reactancias del eje directo y del eje cuadratura son
iguales y se denomina entonces reactancia sincrónica Xs.
Valores típicos adimensionales de las inductancias propias, mutuas y de dispersión en las máquinas
sincrónicas convencionales se presentan en la tabla 21.1.

Tabla 21.1: Rango típico de los valores de las inductancias de la máquina sincrónica de polos
salientes
Inductancia Rango en pu
Ld f = Lmd = Lmf 0,7 ∼ 1,1
Lmq 0,5 ∼ 0,7
Lσd ≈ Lσq = σd Ld f (0,1 ∼ 0,2)Ld f
Lσ f = σf Ld f (0,2 ∼ 0,3)Ld f
Ld = (1+σd)Ld f (1,1 ∼ 1,2)Ld f
Lf = (1+σf )Ld f (1,2 ∼ 1,3)Ld f
Lq = (1+σq)Lmq (1,1 ∼ 1,2)Lmq
Ld = Ld −
L2
d f
Lf
(0,27 ∼ 0,43)Ld f
Lf = Lf −
L2
d f
Ld
(0,29 ∼ 0,47)Ld f
21.9. Máquinas de imán permanente
Los materiales magnéticos fueron utilizados en la fabricación de máquinas eléctricas a partir de la
década de los cincuenta, los materiales más utilizados actualmente en la construcción de estos con-
vertidores electromecánicos son los magnetos de ferrita, alnico-5, samarium-cobalt y neodymiun.
En la figura 21.5, se presenta la característica de magnetización de los imanes permanentes.
Figura 21.5: Característica de magnetización de los imanes permanentes.
En la figura 21.6 se muestra la característica de desmagnetización del imán permanente durante el
proceso de operación de la máquina, a partir de esta curva se puede determinar la densidad de flujo
de imán durante la operación. Generalmente esta desmagnetización en condiciones normales de
operación esta limitada como se muestra en la figura 21.6 y se tiende a considerar constante. Si el

552 21.9. Máquinas de imán permanente
imán en una operación bajo fallas, como un cortocircuito, es sometido a una intensidad de campo
magnético superior al punto de Hcr´ıtico, el imán pierde fuerza cohecitiva y modifica su característica
de flujo de remanencia.
Figura 21.6: Característica de remanencia del imán permanente.
Los esquemas de disposición de los imanes en el rotor de la máquina sincrónica, se muestran en
la figura 21.7. Los esquemas de montaje superficial de los imanes 21.7a y 21.7b, originan que la
reactancia de eje directo y cuadratura sean similares (Ld ≈ Lq) , mientras que el montaje de los
imanes embutido en el rotor 21.7c origina que la reactancia de cuadratura sea mayor que la de eje
directo (Lq > Ld). Por las facilidades constructivas la mayoría de las máquinas sincrónica de imán
permanente presentan una disposición superficial de los imanes. En la figura 21.8, se muestra una
máquina sincrónica de imán permanente con imanes superficiales en el rotor.

(a) Embutido en la superficie (b) Montaje Superficial
(c) Incrustado en el rotor
Figura 21.7: Esquema de montaje de los imanes permanentes en el rotor.
(a) Estator - rotor (b) Rotor con imanes superficiales
Figura 21.8: Máquina sincrónica de imán permanente.

554 21.10. Accionamiento de la máquina sincrónica
21.9.1. Ecuaciones de la máquina sincrónica de imán permanente referidas
al rotor
El sistema de ecuaciones diferenciales que determina el comportamiento dinámico de la máquina
sincrónica de imán permanente se puede expresar de la siguiente forma:



vd = Reid + pλd −ωλq
vq = Reiq + pλq +ωλd
J ˙ω = λ
dq
e ×i
dq
e −Tm(ω)
(21.45)
donde:
λd = Ldid +λaf
λq = Lqiq
λdq
e = λd + jλq
El sistema de ecuaciones 21.45 es similar al 21.37, donde el enlace de flujo del campo, se sustituye
por el producido por el imán permanente (λaf ). Desarrollando la expresión de par eléctrico de la
ecuación 21.7, se obtiene:
Te = λaf iq + Ld −Lq iqid (21.46)
Para imanes con montaje superficial la ecuación 21.46, se reduce a:
Te = λaf iq (21.47)
21.10. Accionamiento de la máquina sincrónica
21.10.1. Control tensión frecuencia constante
En la figura 21.9, se presenta el esquema de control de un motor sincrónico por tensión frecuencia
constante. En este accionamiento la relación entre la tensión de alimentaron de la máquina y la
frecuencia de las corrientes del estator se mantiene constante. Generalmente el esquema de control
de inversor es por modulación de ancho de pulso (PWM). En la figura 21.10, se presenta el esquema

de tracción de este accionamiento, en donde se observa como la tensión de alimentación de la
máquina esta acotada en un límite inferior para frecuencias bajas.
Figura 21.9: Esquema del accionamiento v/ f = cte para máquinas sincrónicas
Figura 21.10: Características par velocidad para el accionamiento v/ f = cte de la máquina sincró-
nica

Figura 21.11: Diagrama de control vectorial de la máquina sincrónica
21.10.2. Control vectorial
Para simplificar la ecuación de par de la máquina sincrónica cuando se realiza control vectorial es
escoge que la corriente del eje cuadratura de la máquina sea igual a cero (id = 0) , en esta condición
el vector espacial de corriente y el par se reduce ha:
Te = λf iq (21.48)
idq
e ≡ jiq =
−→
ie e−jθ
(21.49)
En el caso de máquinas de imán permanente se sustituye el enlace de flujo del campo (λf ) por el
enlace de flujo equivalente del imán (λaf ). En la figura 21.11, se presenta el diagrama de control
vectorial de una máquina sincrónica , este esquema incluye un lazo para establecimiento del enlace
de flujo del estator durante el arranque el cual permite accionar la máquina a par constante, luego de
establecido el flujo al valor de referencia se procede a dar una referencia de corriente en el eje direc-
to de cero. El esquema de control mantiene la corriente en el estator de la máquina constante y las
ordenes de encendido y apagado de las componentes del inversor se realiza mediante modulación
delta de corriente.
una consigna de velocidad, para una máquina de sincrónica de polos salientes de 200HP alimentada
con un puente inversor , desde un sistema trifásico de 460V a frecuencia industrial de 60Hz. La
conversión AC - DC se realiza con un rectificador activo trifásico.

Figura 21.12: Velocidad mecánica, par eléctrico y ﬂujo del estator para el accionamiento de la
máquina sincrónica de polos salientes

(a)

una consigna de velocidad, para una máquina de sincrónica de imán permanente con distribución de
ﬂujo sinusoidal de 5HP alimentada con un puente inversor , desde un sistema trifásico de 220V a
frecuencia industrial de 60Hz. La conversión AC - DC se realiza con un rectiﬁcador no controlado
trifásico.
Figura 21.15: Velocidad mecánica y par eléctrico para el accionamiento de la máquina sincrónica
de imán permanente

(a)

21.10.3. Control Directo de Par
En la figura 21.18, se muestra el esquema de control directo de par del motor sincrónico, este
esquema es similar al estudiado para la máquina de inducción y se basa en el mismo principio.
Figura 21.18: Diagrama de control directo de par de la máquina sincrónica
En la tabla 21.2 se presenta la secuencia de disparo del inversor para la estrategia de control directo
de par, a partir de la posición del enlace de flujo del estator, y la salida de los comparadores de
histéresis del flujo y par eléctrico. Con la finalidad de incrementar la velocidad de cambio del par
eléctrico y magnitud del enlace de flujo, no se utiliza el vector espacial de tensión que se encuentra
dentro de la zona de localización del enlace de flujo, así como tampoco el localizado en la zona
opuesta.
Tabla 21.2: Secuencia de disparo del inversor para el controlador directo de par de la máquina
sincrónica.
HB(
−→
λe)
HB(Te) Z(1) Z(2) Z(3) Z(4) Z(5) Z(6)
1 1 −→v5
−→v4
−→v6
−→v2
−→v3
−→v1
1 −1 −→v6
−→v2
−→v3
−→v1
−→v5
−→v4
−1 1 −→v1
−→v5
−→v4
−→v6
−→v2
−→v3
−1 −1 −→v2
−→v3
−→v1
−→v5
−→v4
−→v6
En el control de la máquina sincrónica no se utilizan los estados −→v0 y −→v7 debido a que estos producen
un vector de cero tensión sobre los devanados del estator lo cual es contraproducente para la vida
útil del imán permanente.

Parte IX
Técnicas Modernas de Control
565

Capítulo 22
Rectificador por Modulación de Ancho de
Pulso
En los últimos años las aplicaciones que requieren conversión AC − DC se han incrementado con
avances tecnológicos. En la figura 22.1 se presenta la clasificación de los rectificadores de acuerdo
a su frecuencia de conmutación y topología.
Figura 22.1: Clasificación de los rectificadores
Los rectificadores conmutados a frecuencia industrial de diodos son los más sencillos y económicos
en el proceso de conversión de energía alterna a continua. El uso en estos convertidores con tiris-
tores permite controlar el flujo de energía del lado de alterna al de corriente continua. La principal
desventaja de estos convertidores son la generación de armónicos y consumo de potencia reactiva
sobre el sistema de corriente alterna. Para mitigar estos problemas es necesario la inclusión de fil-
tros pasivos a la entrada del convertidor AC −DC con la finalidad de reducir su impacto armónico
sobre el sistema de alimentación.
567

568 22.1. Rectificadores bidireccionales de potencia
Otra manera conceptualmente diferente de realizar el conversión de AC − DC es utilizar compo-
nentes con control de encendido y apagado que permita modular la corriente de entrada del puente
controlando en factor de potencia en la barra de alimentación de alterna. El uso de transistores con-
mutados a alta frecuencia para la construcción de estos tipos de rectificadores permite disminuir su
impacto armónico de baja frecuencia al utilizar técnicas de modulación por ancho de pulso (PWM).
Entre los rectificadores que utilizan modulación por ancho de pulso se encuentran dos vertientes
de acuerdo a si permiten flujo bidireccional de potencia entre el lado AC y DC. Los rectificadores
PWM unidireccionales de potencia encontramos en tipo Boost y el Vienna, mientras que en lo bidi-
reccionales encontramos los rectificadores de fuente de tensión (VSR) y los de fuente de corriente
(CSR). El esquema de control de los rectificadores PWM permite, regular la magnitud de la tensión
en la barra de corriente continua.
22.1. Rectificadores bidireccionales de potencia
22.1.1. Rectificador VSR
Monofásico
El rectificador PWM, más utilizado es el que utiliza la topología del puente inversor con transistores
(VSI), para realizar la operación de rectificación. En la figura 22.2, se presenta el esquema del
puente rectificador monofásico. Note que de no existir orden de disparo de los transistores (Qi) el
puente se comporta como un puente rectificador de diodos.
Figura 22.2: Rectificador PWM monofásico
En la tabla 22.1 se presenta los valores de tensión en bornes del rectificador en función de la
conectividad de los transistores Q1 y Q2.

Tabla 22.1: Tensión vrec para el rectificador PWM monofásico
Q1 Q2 vrec
0 0 0
1 0 VDC
0 1 −VDC
1 1 0
Calculando la corriente suministrada por la fuente de alterna (if (t)) en la figura 22.2, se obtiene:
if (t) =
1
Lσ
¢
vf (t)−vrec dt (22.1)
De la expresión 22.1, se puede observar que se puede controlar el flujo de potencia entre el lado
de alterna y continua controlando la magnitud y fase de la corriente if (t) mediante el control de
la tensión en bornes del rectificador (vrec) que es función del estado de conectividad de los tran-
sistores Q1 y Q2. El control de la corriente if permite regular el factor de potencia consumido por
el convertidor. En la figura 22.3, se presenta el esquema de control del puente rectificador PWM
monofásico. En este esquema se compara la tensión de referencia de la barra de continua con la
medida en el capacitor CBUS, el error alimenta un controlador proporcional integral cuya salida es
multiplicada por la tensión de la fuente en por unidad (vf (t)), obteniendo la corriente de referencia
del sistema (ifref
(t)). Esta corriente de referencia es comparada con la medición realizada en el
circuito y con el error de esta comparación se calcula el vector de interrupciones del puente Sw
utilizando la modulación delta de corriente .
Figura 22.3: Esquema de control del rectificador PWM monofásico
Trifásico
En la figura 22.4, se presenta el esquema del puente rectificador PWM trifásico.

Figura 22.4: Rectificador PWM trifásico
El esquema de control del puente trifásico es similar al del monofásico si se utilizan los vectores
espaciales en vez de las magnitudes medidas. Recordando que:
−→vf (t) = −→vrec(t)+Lσ
d
−→
if (t)
dt
(22.2)
Donde:
−→
if (t) =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



ia(t)
ib(t)
ic(t)


 (22.3)
−→vrec(t) =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



Q1
Q2
Q3


 VDC (22.4)
El vector Q1 Q2 Q3
t
representa el estado de los interruptores del puente trifásico. En este
vector el elemento "1" corresponde al encendido del interruptor superior, mientras que "0" indica el
encendido del interruptor inferior de la misma rama. El vector espacial de tensiones del rectificador
presenta solamente ocho posibles estados correspondientes a las combinaciones de los interrup-
tores. En la tabla 22.2 se presentan los ocho estados de tensión del rectificador en función de la
conectividad de los interruptores del puente.

Tabla 22.2: Vectores espaciales de tensiones del rectificador (−→vrec) trifásico
Q1 Q2 Q3
−→vfn
0 0 0 0
0 0 1 − 2
3VDC ej π
3
0 1 0 − 2
3VDC e−j π
3
0 1 1 − 2
3VDC
1 0 0 2
3VDC
1 0 1 2
3VDC e−j π
3
1 1 0 2
3VDC ej π
3
1 1 1 0
En la figura 22.5, se presenta el esquema de control del puente trifásico con vectores espaciales.
Figura 22.5: Esquema de control del rectificador PWM trifásico
Utilizando la teoría de vectores espaciales para modificar la estrategia de control del puente rectifi-
cador por ancho de pulso, es posible utilizar este puente como rectificador activo, controlar el factor
de potencia en la barra donde esta conectado, regular la tensión de la barra de corriente continua,
compensar los armónicos introducidos por otros puentes convertidores electrónicos conectados a la
misma barra de alimentación en corriente alterna y controlar el flujo instantáneo de potencia activa
y reactiva.
En la figura 22.6, se presenta las formas de onda de tensión línea a línea y corriente en la fase “a”
del sistema de potencia que alimenta un rectificador por modulación de ancho de pulso con filtro
pasabajos (LC) en el lado de corriente continua. Adicionalmente en la figura 22.7, se presenta el

contenido armónico de estas formas de onda. La operación de este tipo de puente convertidor pro-
duce armónicas de corriente, de alto orden en el sistema de potencia que son rápidamente atenuadas
por este, a diferencia de los rectiﬁcadores convencionales.
Figura 22.6: Forma de onda de tensión y corriente en el sistema que alimenta un rectiﬁcador trifá-
sico por PWM

Figura 22.7: Contenido armónico de la tensión y corriente en el sistema que alimenta un rectificador
trifásico por PWM
22.1.2. Rectificador CSR
En la figura 22.8, se presenta el esquema del puente rectificador bidireccional con fuente de co-
rriente en la barra de corriente continua. La corriente del rectificador (
−→
irec(t)) presenta ocho posi-
bles estados en función de la conectividad de los transistores Q1, Q2 y Q3. De estos ocho estados
dos corresponden al vector cero.

Figura 22.8: Rectificador CSR trifásico
En este puente se controla la corriente de la fuente alterna (
−→
if (t)) mediante el vector de conectivi-
dades Q1 Q2 Q3
t
y la fuente de tensión (−→vf (t)) como:
−→
if (t) =
−→
iC (t)+
−→
irec(t)
= C
d−→vf (t)
dt
+
−→
irec(t) (22.5)
donde:
−→
irec(t) =
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



Q1
Q2
Q3


 IDC (22.6)
En la figura 22.9, se presentan los estados de corriente del rectificador (
−→
irec(t)) en por unidad de
la corriente de IDC para cada una de los diferentes estados de conectividad del puente de la figura
22.8.

Figura 22.9: Corriente espacial del rectificador
−→
irec trifásico en por unidad de IDC.
22.2. Rectificadores Unidireccionales de Potencia
22.2.1. Rectificador PWM Boost
En la figura 22.10, se presenta el esquema del puente rectificador PWM tipo Boost en su configu-
ración monofásica y trifásica.

576 22.2. Rectificadores Unidireccionales de Potencia
(a) Monofásico
(b) Trifásico
Figura 22.10: Rectificador PWM con chopper
Este puente permite regular la tensión de la barra de continua y el ángulo relativo entre la tensión y
corriente de alimentación, mediante el control de apertura y cierre del transistor QBUS. En la figura
22.11, se presenta el esquema de control del puente. En este esquema se compara la tensión de
la barra de corriente continua con la referencia deseada, el error se introduce en un controlador
proporcional integral, la salida de este controlador se multiplica por el modulo de la tensión de la
fuente, obteniendo la corriente de referencia de la inductancia L de la barra de continua (iLref (t)).
Al comparar la corriente iL(t) medida con la referencia se determina la secuencia de disparo del
transistor QBUS utilizando por ejemplo la modulación de delta de corriente. Este puente no permite
devolver energía a la red de alterna.

Figura 22.11: Esquema de control del rectificador PWM con chopper
22.2.2. Rectificador Vienna
El rectificador tipo Vienna fue propuesto en 1993 por el Prof. Johann W. Kolar y consiste en un
puente rectificador de tres niveles 0,±VDC
2 con transistores con capacidad de conducción de
corriente bidireccional. En la figura 22.12, se presenta el esquema de un puente rectificador Vienna
monofásico. La tensión vrec depende del estado del interruptor Q1 y del sentido de circulación de la
corriente if (t). La corriente en el lado de corriente alterna se puede controlar utilizando la expresión
(22.1).
Figura 22.12: Puente rectificador Vienna monofásico
En puentes trifásicos esta configuración se utiliza en fuentes con neutro aislado. En la figura 22.13,
se presenta el esquema de un puente rectificador tipo Vienna trifásico. Este puente se puede con-
trolar utilizando vectores espaciales, teniendo en cuenta que no puede traspasar energía del lado de
continua a alterna.

578 22.3. Esquemas de Control para Rectificadores PWM
Figura 22.13: Rectificador trifásico tipo Vienna
22.3. Esquemas de Control para Rectificadores PWM
A continuación se presentan dos ejemplos de control para puentes rectificadores PWM tipo VSR tri-
fásicos. El primero controlando la potencia instantánea en la barra de corriente alterna y el segundo
controlando la corriente por el sistema alterno.
22.3.1. Control de potencia instantánea
Sin Armónica en la Fuente de Alimentación
En este ejemplo se controla la potencia activa y reactiva instantánea consumida por el rectificador
activo desde un sistema de potencia balanceado de secuencia positiva y con tensión equilibrada
vf (t) = sen(ωt) (22.7)
Durante la operación se cambio la referencia de potencia activa de positiva a negativa, y la de
potencia reactiva de cero a positiva. En la figura 22.14 se presenta la variación de la consigan de
control de potencia activa y reactiva instantánea del rectificador activo. En esta referencia se invierte
el flujo de potencia activa del sistema de alterna al de corriente continua.

Figura 22.14: Potencia activa y reactiva instantánea en la barra del Sistema
En la ﬁgura 22.15 se presenta la forma de onda de tensión y corriente en la fase "a" del sistema de
potencia para la consigna de potencia de la ﬁgura 22.14. Noté como la corriente invierte su fase al
cambiar el sentido de circulación de la potencia activa.
Figura 22.15: Tensión y corriente de la fase “a” en la barra del Sistema

En la figura 22.16 se presenta el contenido armónico de la tensión y la corriente en el sistema
de alimentación de alterna para el puente rectificador activo. Se puede destacar que no parecen
armónicas por debajo de la armónica treinta.
Figura 22.16: Contenido armónico de la tensión y corriente en la fase “a” del sistema
Con Armónica en la Fuente de Alimentación
En este ejemplo se controla la potencia activa y reactiva instantánea consumida por el rectificador
activo desde un sistema de potencia balanceado de secuencia positiva y con tensión equilibrada y
distorsionada
vf (t) = 1,0·sen(ωt)+0,2·sen(5·ωt) (22.8)
Durante la operación se cambio la referencia de potencia activa de positiva a negativa, y la de
potencia reactiva de cero a positiva. En la figura 22.17 se presenta la variación de la consigan de
control de potencia activa y reactiva instantánea del rectificador activo. En esta referencia se invierte
el flujo de potencia activa del sistema de alterna al de corriente continua.

En la ﬁgura 22.18 se presenta la forma de onda de tensión y corriente en la fase "a" del sistema de
potencia para la consigna de potencia de la ﬁgura 22.17. Noté como la corriente invierte su fase al
cambiar el sentido de circulación de la potencia activa.

En la figura 22.19 se presenta el contenido armónico de la tensión y la corriente en el sistema de
alimentación de alterna para el puente rectificador activo. Se puede destacar como el controlador
ajusta el contenido armónico de la corriente a fin de obtener una referencia de potencia activa y
reactiva instantánea constante.
22.3.2. Control de Corriente
En este ejemplo se controla la corriente instantánea consumida por el rectificador activo desde un
sistema de potencia balanceado de secuencia positiva y con tensión equilibrada y distorsionada de
la forma presentada en la expresión (22.8). Durante la operación se cambio la magnitud y fase de
la corriente consumida por el rectificador activo
i(t) = I ·sen(ωt −ϕ) (22.9)
En la figura 22.20 se presenta la forma de onda de la tensión y la corriente en el sistema de alterna.
Durante el tiempo de simulación se cambio la magnitud y la fase de la corriente de referencia como
se observa en la figura.

En la ﬁgura 22.21 se presenta la potencia activa y reactiva instantánea en el sistema de corriente
alterna para cada una de las corrientes de referencias utilizadas en la simulación.

En la ﬁgura 22.22 se presenta el contenido armónico de la tensión y corriente por el sistema de
corriente alterna. Noté que la corriente sólo presenta armónica fundamental coincidiendo con la
referencia suministrada al convertidor.

Capítulo 23
Modulación de Vectores Espaciales
En la figura 23.1 se presenta el inversor trifásico de tensión, este convertidor es utilizado en las
mayorías de las aplicaciones modernas que requieren un control preciso del flujo bidireccional de
potencia entre los lados de alterna y/o continua. Recientemente muchas investigaciones se centran
en el desarrollo de formas eficientes de control, de este puente, con una disminución de la carga
computacional del microprocesador, baja inyección de contenido armónico al sistema, reducción
de las pérdidas de conmutación y de la interferencia electromagnética y una alta flexibilidad en la
selección de la estrategia de modulación utilizando en hardware tradicional de control. Entre las
técnicas de control de este convertidor electrónico de potencia, encontramos la modulación delta,
eliminación selectiva de armónicas, técnicas de modulación de ancho de pulso PWM híbridas,
entre otras. De estas técnicas las basados en PWM con portadoras triangulares han sido la opción
preferida, y en las últimas décadas diversas variantes de esta técnica se han estudiado.
Figura 23.1: Diagrama circuital del inversor de tensión trifásico
En los últimos años, con la disponibilidad de una potencia de procesamiento cada vez mayor,
estrategias de control de alto rendimiento basadas en la teoría de vectores espaciales, que han
abierto nuevas posibilidades en el control de sistemas dinámicos. La modulación por ancho de
585

586 23.2. Modulación de Vectores Espaciales
pulso de vectores espaciales (SVPWM), ha representado un tema de una extensa investigación para
el mejoramiento de las prestaciones del control dinámico.
En este capítulo se propone un algoritmo especialmente diseñado para aplicaciones que requieren
cambios frecuentes en las estrategias de modulación, para la generación de un vector espacial de
tensión con un periodo promedio de portadora. Las principales ventajas de este algoritmo pueden
resumirse como:
El algoritmo permite la unificación de todas las estrategias de modulación de vectores espa-
ciales con pulsos de simetría central. Este algoritmo puede ser aplicado indistintamente a los
sistemas descritos en coordenadas naturales (a,b,c) o a los descritos utilizando coordenadas
(x,y) en vectores espaciales.
Definición de una expresión analítica de identificación del sector de trabajo que utiliza sólo
la función de signo, comparaciones lógica y operaciones aritméticas de suma, resta y multi-
plicación.
El algoritmo permite su aplicación para sintetizar modulaciones continuas o discontinuas,
como SPMW, SVPWM, DPWMmin, DPWMmax, DPWM(0,1,2,3) a través de la utilización de
una fórmula cerrada con un único parámetro para la selección de la estrategia de modulación.
El ciclo de trabajo para cada una de las ramas del convertidor que se utiliza en sintetizar el
vector espacial promedio v, utiliza circuitos PWM estándares, con un número reducido de
operaciones lo cual facilita su aplicación en un alta gama de micro-controladores.
El algoritmo propuesto utiliza dos vectores para la definición de tres sectores o zonas bases
que conforman un paralelogramo, que cubre el espacio hexagonal producido por el converti-
dor de la figura 23.1.
A nivel experimental se han comprobado siete ejemplos en el laboratorio y los resultados
muestran la ventaja de utilizar el algoritmo generalizado en el propio sistema de coordenadas
del control.
23.2. Modulación de Vectores Espaciales
El puente inversor trifásico de la figura 23.1, presenta 43 = 64 estados posibles, de los cuales
33 = 27 son permitidos ya que no producen cortocircuitos sobre el lado de corriente continua,
de estos estados sólo 23 = 8 presentan un dispositivo encendido en cada una de las ramas que
conforman el puente. Tres de estados estados pueden considerarse un conjunto base para producir
mediante combinaciones lineales los otros cinco estados. En la figura 23.2 se muestran tres vectores

bases α0, α1 y α2, que corresponden a los estados (1,0,0), (0,1,0) y (0,0,1) respectivamente. En
esta representación “1” corresponde al componente de potencia de la parte superior de puente (Q H)
encendido mientras que el de la parte inferior (Q L) se encuentra apagado, y “0” corresponde al
componente de potencia de la parte inferior (Q L) encendido, mientras el superior (Q H) se encuentra
apagado.
Figura 23.2: Vectores y paralelogramos bases
Cualquier vector espacial promedio, normalizado por ξVDC, inscrito en el espacio hexagonal de la
ﬁgura 23.2, puede ser obtenido utilizando la transformación de Clarke como:
v = ξ vaNα0
+vbNα1
+vcNα2
(23.1)
ξ usualmente toma valores de 1, 2
3 o 2
3. Normalizando la expresión (23.1) por ξVDC, podemos
escribir el vector espacial de tensión en por unidad como:
vpu =vx + jvy = ξ
ξVDC
vaNα0 +vbNα1 +vcNα2 =
= 1
VDC
(va −vN)+(vb −vN)α +(vc −vN)α2 =
= Da +Dbα +Dcα2
(23.2)
Donde vaN, vbN y vcN corresponden a las tensiones de las fases con respecto a la barra de tensión
negativa de la fuente de corriente continua (VDC), α = ej 2π
3 , y Da, Db y Dc corresponden a los ciclos
de trabajo de cada una de las ramas del inversor de la ﬁgura 23.1.

La magnitud instantánea del vector espacial de tensión en el inversor trifásico depende del valor
de ξ y esta pude ser calculada de vamaxα0 = vbmaxα1 = vcmaxα2 = ξVDC. Sin embargo, con el
uso de la modulación por ancho de pulso la tensión promedio en cada rama puede ser controlada
en cada período de la señal portadora.
En este trabajo se propone un algoritmo general y compacto de modulación por ancho de pulso de
vectores espaciales (SVPWM) para la síntesis de cualquier vector espacial, en el espacio hexagonal
normalizado cubiertos por los vectores base de la figura 23.2. El método utiliza la técnica de dos
vectores bases para la modulación mediante intersección con ondas triangulares, también conocida
como ondas portadoras en telecomunicaciones.
Este método generalizado puede ser aplicada a los sistemas descritos en coordenadas naturales
(a,b,c) o en los sistemas cartesianos (x,y) que describen los vectores espaciales; para ello, las
expresiones para la selección del sector utilizando sólo las operaciones matemáticas básicas.
Este algoritmo no permite describir las estrategias de conmutación que no son adecuadas para las
implementaciones con portadoras triangulares estándar.
La relación entre el tiempo empleado en el estado (0,0,0) en comparación con el tiempo empleado
en el estado (1,1,1) cuando ambos vectores son utilizado para sintetizar el vector de cero, en
un período de PWM particular, se ha utilizado tradicionalmente como la base para los diferentes
algoritmos generalizados de SVPWM. Esta proporción se referirá en este trabajo como la relación
vector nulo δ y se utilizará tanto para las coordenadas vectoriales(x,y) y naturales (a,b,c). En
general δ, puede tomar cualquier valor entre cero y uno y al mismo tiempo, este valor puede ser
modificado a partir del período de control, dependiendo de la estrategia de modulación que se
desee utilizar. Para δ = 1 el vector cero se sintetiza mediante el uso único estado (0,0,0). Del
mismo modo, para δ = 0 el vector cero se sintetiza utilizando sólo estado (1,1,1).
23.2.1. Modulación Generalizada en coordenadas vectoriales (x,y)
Las estrategias de control modernas suelen describir el espacio vectorial mediante un sistema dos
coordenadas ortonormales (x,y) y realizan la representación de las variables de estado del sistema
de potencia como la tensión, el flujo, la potencia y la corriente en dicho sistema. Para los sistemas
trifásicos esta descripción en vectores espaciales tiene la ventaja de reducir la cantidad de las ecua-
ciones necesarias para un modelo dinámico del mismo, para la realización de procesos de control.
Aunque los ciclos de trabajo, para la obtención de una tensión especifica, requeridos por cada rama
del puente inversor trifásico pueden obtenerse fácilmente mediante el uso de transformaciones de
dos o tres ejes. En este trabajo se propone un procedimiento basado sólo en la conmutación de dos
ramas del puente en cada ciclo de control.

Definición de paralelogramos:
El vector nulo se puede obtener utilizando sólo el estado 00 = (0,0,0) o el estado 07 = (1,1,1).
Cuándo el vector nulo es sintetizado utilizando únicamente el estado 00, el espacio hexagonal se
divide en tres regiones descritas por los paralelogramos z0 = {0,1,2}que son mostrados en la figura
23.3a. En este caso el vector espacial v es sintetizado con la rama que no conmuta en estado “0”.
Por otra parte, cuando se realiza la síntesis del vector nulo únicamente con el estado 07 el espacio
hexagonal se divide en las tres zonas que forma los paralelogramo z1 = {0,1,2}, presentados en la
figura 23.3b y el espacio vectorial se sintetiza con la rama que no conmuta en estado “1”. El espacio
hexagonal puede ser dividido en diferentes zonas dependiendo del valor del operador z0 o z1, de
forma general se pueden representar con el operador zn, con n = {0,1}. Cada zona es identificada
por el superíndice (zn) para cualquiera de los ejes bases αzn o −αzn, este corresponde al vector en
el el límite de la zona de paralelogramo para un vector espacial v y se mueve en sentido antihorario.
En general cualquier zona zn = {0,1,2} puede ser rotada al paralelogramo base (zonez0=0) definida
por los vectores directores α0 y α1, utilizando rotación y suma vectorial.
(a) Zonas para D0,z0+2=0 (b) Zonas para D1,z1+2=1
Figura 23.3: Espacio hexagonal normalizado definido por la salida del inversor
En cualquier rama k, con k = {0,1,2}, la operación de la rama no conmutada en el estado n, permite
normalizar la magnitud de la tensión promedio y definirla igual al ciclo de trabajo Dk,n. Como se
muestra en la figura 23.3, el estado de la rama no conmutada del inversor Dn,zn+2 = n define la zona
de operación con n = 0 (fig. 23.3a) y para n = 1 (fig. 23.3b). El algoritmo para la sintetización del
vector espacial v utiliza las dos descripciones mostradas en la figura 23.3. Esta descripción puede
ser simplificada utilizando la información del sector N, que se obtiene utilizando el ángulo θ del
vector espacial.
N =
3θ
π
(23.3)

θ (vx,vy) =



arctan
vy
vx
vx > 0
π +arctan
vy
vx
vy ≥ 0, vx < 0
−π +arctan
vy
vx
vy < 0, vx < 0
π
2 vy > 0, vx = 0
−π
2 vy < 0, vx = 0
0 vy = 0, vx = 0
(23.4)
donde x = máx{n ∈ Z|n ≤ x} = floor(x) y θ (vx,vy) = atan2(vx,vy). Las zonas z0 y z1 son de-
finidas utilizando la información del sector N utilizando aritmética de modulo 3, mediante las
siguientes expresiones:
z0 =
N
2
(mod 3), z1 =
N +3
2
(mod 3) (23.5)
Ciclos de Trabajo para las zonas generalizadas:
La generalización del algoritmo en la zona z0 = 0, definida por los vectores directores α0 y α1, es
utilizada para definir este como paralelogramo base y calcular los ciclos de trabajo Dn,zn y Dn,zn+1
requeridos por cualquier vector ubicado en Zonazn en función de los del paralelogramo base. La
sintetización de cualquier vector espacial v ubicado en cualquier zona (Zonazn) requiere sumar al
vector espacial en por unidad (vpu) el vector −αzn+2Dn,zn+2, que corresponde al estado de la rama
no conmutada. El resultado de esta operación es rotada por el ángulo α−zn. En la figura 23.4, se
presenta un ejemplo de esta operación para referir cualquier zona (Zonazn) al paralelogramo base.
La modulación requerida en las ramas que presentan conmutación se obtiene de:

Figura 23.4: Sintetización del vector v de una zona zn al paralelogramo base zn = 0
vpu −αzn+2
Dn,zn+2 α−zn
= α0
Dn,zn +α1
Dn,zn+1 (23.6)
Deﬁniendo el vector espacial normalizado y rotado como:
v (zn) = vx + jvy = vpuα−zn
(23.7)
Reemplazando la expresión (23.7) en (23.6),
v (zn)−α2
Dn,zn+2 = α0
Dn,zn +α1
Dn,zn+1 (23.8)
Considerando n, el estado de la rama que no conmuta, los ciclos de trabajo del inversor se calculan
como:
Dn,zn = vx +
vy
√
3
+n
Dn,zn+1 =
2vy
√
3
+n
Dn,zn+2 = n
(23.9)
donde Da = Dn,0, Db = Dn,1 y Dc = Dn,2, y los subíndices operan utilizando aritmética de módulo
3.

23.2.2. Modulación Generalizada en coordenadas naturales (a,b,c)
Una aplicación sencilla de SVPWM en coordenadas naturales (a,b,c), utiliza las tensiones de fa-
se normalizadas, cuando el vector cero (00) es sintetizado únicamente con el estado (0,0,0) es
proporcional a las siguientes expresiones:
Do,k = (vkN −vmin) k = a,b,c. (23.10)
Cuando el vector cero (07) es sintetizado sólo con el estado (1,1,1):
D1,k = (1+vkN −vmax) k = a,b,c (23.11)
donde, las tensiones están normalizadas por VDC y,
vmin = 1
VDC
m´ın(vaN,vbN,vcN)
vmax = 1
VDC
m´ax(vaN,vbN,vcN)
(23.12)
Estas dos formas posibles para sintetizar un vector espacial se utilizarán más adelante en la versión
escalar del algoritmo generalizado de SVPWM.
23.2.3. Relación de uso del vector nulo δ en SVPWM
Un parámetro similar a la relación vector nulo δ, tradicionalmente se ha propuesto como un pará-
metro de control en diversas técnicas de modulación por diferentes autores. Como primera estra-
tegia de modulación de δ proporciona una forma de combinar los ciclos de trabajo resultantes de
sintetizar el vector nulo 0 mediante los estados (0,0,0) y (1,1,1). Una estrategia más general de
modulación de este parámetro puede ser una función de la posición angular del vector espacial a
sintetizar.
Aplicación de la relación δ en coordenadas vectoriales (x,y)
Los ciclos de trabajo obtenidos para cada rama del inversor de tensión mediante el algoritmo gene-
ralizado, corresponden a un promedio de los ocho (8) posibles estados permisibles del convertidor.
Estableciendo una combinación lineal entre los ciclos de trabajo obtenidos en función del estado
de la rama no conmutada del inversor obtenemos:
Dk = δD0,k +(1−δ)D1,k k = {0,1,2} (23.13)

La aplicación práctica del algoritmo generalizado de modulación se simplifica mediante la defini-
ción de las siguientes variables intermedias,
fx = vx; fy =
vy
√
3
(23.14)
Utilizado estas variables intermedias, la selección del sector se puede expresar como:
N(fx, fy) =
3θ
π
= 2,5−sgn(fy)[(fx > fy)+(fx > −fy)+0,5] (23.15)
N(fx, fy) localiza el vector espacial a ser sintetizado dentro de uno de los sectores que define el
espacio hexagonal de la figura 23.3, y define las expresiones necesarias para calcular los ciclos de
trabajo Da, Db y Dc.
El procedimiento para calcular los ciclos de trabajo de cada una de las ramas del inversor, se puede
resumir en:
1. De las expresiones (23.14) y (23.15), se determina el sector donde se encuentra el vector
espacial a ser sintetizado.
2. Con el sector N, y las expresiones (23.5), se determina el valor de z0 y z1.
3. De la expresión (23.7), se calcula v (z0) y v (z1).
4. El subíndice zn en la expresión (23.9) es remplazado primero con z0 y luego con z1, obte-
niendo los ciclos de trabajo en función del estado de la rama que no conmuta (Do,k,D1,k).
5. Finalmente, se determina los ciclos de trabajo de cada rama (Da,Db,Dc) en función del pa-
rámetro δ utilizando la expresión (23.13)
En la tabla 23.1, se presentan las expresiones necesarias para el cálculo de los ciclos de trabajo
de cada una de las ramas del inversor en función de las variables intermedias y del parámetro δ.
Esta tabla se obtiene utilizado el procedimiento anteriormente descrito y puede ser utilizada en la
implementación del algoritmo generalizado.

Tabla 23.1: Expresiones para la implementación práctica de los ciclos de trabajo del algoritmo
generalizado
N z0 z1 Da Db Dc
0 0 1 δ(fx + fy −1)+1 Da − fx + fy Da − fx − fy
1 0 2 Db + fx − fy δ(2 fy −1)+1 Db −2 fy
2 1 2 Db + fx − fy δ(−fx + fy −1)+1 Db −2 fy
3 1 0 Dc + fx + fy Dc +2fy δ(−fx − fy −1)+1
4 2 0 Dc + fx + fy Dc +2fy δ(−2 fy −1)+1
5 2 1 δ(fx − fy −1)+1 Da − fx + fy Da − fx − fy
Aplicación de la relación δ en coordenadas naturales (a,b,c)
En coordenadas naturales, los ciclos de trabajo de las ramas del inversor se obtienen utilizado
las expresión 23.13 y sustituyendo en esta los resultados de las expresiones (23.10) y (23.11), se
obtiene:
Dk = (1−δ)(1−vmax)−δvmin +vkN {k = a,b,c} (23.16)
En coordenadas naturales las estrategias de modulación se obtienen por inyección de componente
de secuencia cero, la tensión de secuencia cero v0 inyectada por la estrategia de modulación es,
v0 = (1−δ)(1−vmax)−δvmin (23.17)
y los ciclos de trabajo son:
Dk = v0 +vk {k = a,b,c} (23.18)
El SVPMW clásico puede ser obtenido, seleccionando δ = 1
2.
23.2.4. Método de Modulación Generalizado utilizando δ
Como mencionamos en 23.1, los métodos de modulación son inﬁnitos en teoría y depende de la
escogencia del valor de la relación del vector nulo δ, pero únicamente pocos casos han sido reporta-
dos en aplicaciones practicas. Las técnicas de modulación vectorial pueden dividirse en modulación
por ancho de pulso continuas (CPWM) y discretas (DPWM) tanto para las formulación en coorde-
nadas naturales como vectoriales. El método generalizado propuesto en este trabajo reproduce las
estrategias de modulación SVPWM, DPWM0, DPWM1, DPWM2 y DPWM3 que presenta Hava a

inicios del siglo XXI, estableciendo la relación del vector nulo δ en función de la posición angular
del vector espacial de tensión en por unidad (vpu = vx + jvy). En la tabla 23.2 se presenta el valor
de δ, obtenidas a partir del algoritmo generalizado, para cada una de estas modulaciones.
Tabla 23.2: Ejemplos de modulaciones utilizando el algoritmo generalizado
Modulación δ
DPWMmin 1
DPWMmax 0
SVPWM 1
2
DPWM0
1
2 [1+(−1)n1
]
DPWM1
1
2 [1+(−1)n2
]
DPWM2
1
2 1+(−1)(n1+1)
DPWM3
1
2 1+(−1)(n2+1)
SPWM
2
3 vrx−1
2
vrx+
vry√
3
−1
− 1
2 ·(−1)n1
+ 1
2
vrx + jvry = (vx + jvy)·α−π
3 n1
Para coordenadas vectoriales (x,y):
n1 = N = 2,5−sign(fy)[(fx > fy)+(fx > −fy)+0,5]
n2 = 3,5−sign(fx +3fy)[(fx > 0)+(fx > 3 fy)+0,5]
Para coordenadas naturales (a,b,c):
n1 = N = 2,5−sign(vbN −vcN)[(vaN > vbN)+(vaN > vcN)+0,5]
n2 = 3,5+sign(vcN)[(vaN > 0)+(vaN > −vcN)+0,5]
Aunque el algoritmo generalizado es la combinación lineal de dos métodos de modulación discon-
tinua DPWMmin y DPWMmax, la modulación sinusoidal estándar puede ser representada mediante
el ajuste de δ en función del ángulo θ del vector espacial.
Por ejemplo, la señal sinusoidal con amplitud máxima que se puede sintetizar en cada rama del
puente inversor, debe poseer un valor medio de VDC
2 . Esta estrategia de modulación trae como resul-
tado en las tres fases del sistema una componente de secuencia cero constante. Para este ejemplo,
los ciclos de trabajo del puente inversor son,
Da(t) = 1
2 [1+sen(ωt +φ)]
Db(t) = 1
2 [1+sen(ωt +φ −2π/3)]
Dc(t) = 1
2 [1+sen(ωt +φ −4π/3)]
(23.19)
donde la componente de secuencia cero corresponde a:

Da(t)+Db(t)+Dc(t) =
3
2
(23.20)
Reemplazando la expresión (23.20) en la (23.13), obtenemos el valor de δ para esta modulación
como:
δ =
3
2 −∑D1,k
∑(D0,k −D1,k)
{k = 0,1,2.} (23.21)
Para ángulos del vector espacial de tensión comprendidos en el rango de 0 ≤ θ ≤ π
3 → N = 0,
remplazando este resultado en la expresión (23.9), el valor de δ se obtiene como:
δ =


2
3vx − 1
2
vx +
vy
√
3
−1

 (23.22)
Si el ángulo θ del vector espacial se encuentra fuera del rango 0, π
3 , se puede emplear la expresión
(23.22) para el cálculo del δ, rotando el vector espacial en por unidad (vpu) en α−π
3 N
, es decir:
vr = vrx + jvry = (vx + jvy)·α−π
3 N
(23.23)
Finalmente se puede calcular δ para la modulación SVPWM, en coordenadas vectoriales, a partir
de la expresión (23.23) como:
δ =
2
3vrx − 1
2
vrx +
vry
√
3
−1
−
1
2
·(−1)N
+
1
2
(23.24)
La ecuación 23.24 puede expresarse en coordenadas naturales como:
δ =
1
2 −vmax
1−vmax +vmin
(23.25)
23.2.5. Ejemplos de secuencias de disparo del inversor
En la ﬁgura 23.5, se muestra los ciclos de trabajo típicos necesario para producir una trayectoria
circular de amplitud máxima del vector espacial de tensión utilizando los valores de δ = 0,1, 1
2. La
trayectoria circular utilizada en coordenadas vectoriales (x,y), para este ejemplo es:
vpu(t) = vx + jvy =
√
3
2
ejωt
(23.26)

(a) Ciclo de trabajo con δ = 1 (b) Ciclo de trabajo con δ = 0 (c) Ciclo de trabajo con δ = 1
2
Figura 23.5: Formas de onda para una modulación de trayectoria circular con amplitud máxima
utilizando SPWM
23.3. Resultados Experimentales
Durante la implementación práctica del algoritmo generalizado, hay varios factores que deben ser
considerados para optimizar la longitud del código y la complejidad de las operaciones utilizadas.
Para los microprocesadores de gama baja, ninguna función trigonométrica debe ser empleada y el
número de operaciones deben mantenerse al mínimo. Para lograr esto, las variables intermedias
definidas en la expresión (23.14), se utilizan para la modulación en coordenadas vectoriales (x,y).
La superposición de las tres zonas de paralelogramo definidas en la figura 23.3, para la modulación
con el vector cero sintetizado con los estados (0,0,0) y (1,1,1), resulta en los seis sectores tradi-
cionales triangulares que definen el espacio hexagonal de trabajo del puente inversor. La tabla 23.1
presenta los ciclos de trabajo correspondientes a cada sector de N en el hexágono, en función de
la relación vector nulo δ. La tabla 23.1 es una representación directa de la aplicación práctica del
algoritmo generalizado.
Para la implementación práctica del algoritmo, se puede calcular la relación del vector nulo δ en
la tabla 23.2 para los casos DPWM0, DPWM1, DPWM2 y DPWM3 simplemente extrayendo el bit
menos significativo (LSB) de n1 o n2.
DPWM0 → δ = not(n1&1)
DPWM1 → δ = not(n2&1)
DPWM2 → δ = (n1&1)
DPWM3 → δ = (n2&1)
El algoritmo propuesto se implemento en un DSP de punto flotante (ADSP-21061-40MHz) utili-
zando una plataforma de pruebas experimental. La etapa de potencia de la plataforma utiliza seis
IGBT’s de 50A, 1200V, con un capacitor de 2200µF a 450V en la barra de corriente continua. El
puente se acopla al sistema mediante tres inductores de 7mH y 0,05Ω.

598 23.3. Resultados Experimentales
Las señales de PWM se obtienen de un coprocesador de movimiento ADMC − 201AP, con las
siguientes condiciones de funcionamiento:
Frecuencia del reloj 8MHz
Tiempo muerto 500ns
Pulso de supresión 500ns
Selección del período muestreo de conmutación del PWM 800
Con esta configuración de los circuitos de PWM se encuentran operando a una frecuencia de con-
mutación de 10kHz . Los registros para la programación de los ciclos de trabajo del PWM utiliza
números enteros en el rango de [0 ↔ 800] para definir los ciclos de trabajo entre 0% y el 100%.
En las figuras 23.6 y 23.7, se presenta la corriente y señal de disparo para los componentes de
la fase “a” del punte inversor de la figura 23.1, para las modulaciones DPWMmin, DPWMmax ,
DPWM0, DPWM1, DPWM2 y DPWM3 sintetizando un vector espacial de tensión que describe una
trayectoria circular con una magnitud en por unidad de 0,8998.
(a) DPWMmin (b) DPWMmax (c) DPWM0
Figura 23.6: Corriente y señal de disparo en la fase “a” del inversor para las modulaciones
DPWMmin, DPWMmax y DPWM0.
(a) DPWM1 (b) DPWM2 (c) DPWM3
Figura 23.7: Corriente y señal de disparo en la fase “a” del inversor para las modulaciones DPWM1,
DPWM2 y DPWM3.

En la ﬁgura 23.8, se presenta el contenido armónico de la corriente en la fase “a” de la carga, este
contenido varía de manera poco signiﬁcativa para todos los los métodos de modulación analizados.
Aunque las formas de onda de corriente y su contenido armónico aparecen la misma para los seis
métodos de modulación a analizados, la señal de disparo para los dispositivos de cada rama del
puente inversor tienen formas diferentes.
Figura 23.8: Contenido armónico de la corriente en la fase “a” para los diferentes métodos de
modulación
En la tabla 23.3, se muestra las operaciones requeridas por las estrategias de modulación en coor-
denadas naturales (a,b,c) y vectoriales (x,y). La menor cantidad de operaciones se logra con una
relación constante vector nulo δ, pero si este es varía la cantidad de operaciones es similar en ambos
sistemas de coordenadas.
Tabla 23.3: Operaciones computacionales para las diferentes modulaciones SVPWM
Función δ constante DPWM0 DPWM1 DPWM2 DPWM3
Multiplicación 7 6 8 6 8
Coordenadas Sumas 10 11 15 10 14
Vectoriales Lógicas 2 3 5 3 5
(x,y) Signo 1 1 2 1 2
Multiplicación 5 6 6 6 6
Coordenadas Sumas 6 11 10 10 9
Naturales Mínimo 2 2 2 2 2
(a,b,c) Máximo 2 2 2 2 2
Lógicas 0 3 3 3 3
Signo 0 1 1 1 1
En la tabla 23.4 se muestra el tiempo de ejecución del algoritmo generalizado implementado sobre
un procesador digital de señales. Para esta aplicación particular, la diferencia en tiempo de ejecu-

600 23.4. Convertidores Multinivel
ción es también insignificante para las estrategias de modulación en los dos sistemas de coordena-
das. Estos resultados corroboran la ventaja de utilizar una estrategia de modulación en el mismo
sistema de coordenadas utilizado por el controlador.
Tabla 23.4: Tiempos de ejecución del algoritmo generalizado en ADSP−21061 a 40MHz
Método de Tiempo en µs
Modulación Coordenadas vectoriales Coordenadas naturales
DPWMmin
DPWMmax 1,62 1,03
SVPWM
DPWM0 2,18 2,13
DPWM1 2,18 2,13
DPWM2 2,15 2,10
DPWM3 2,15 2,10
23.4. Convertidores Multinivel
Recientemente se han introducido a nivel industrial aplicaciones que requieren convertidores multi-
nivel. Estos convertidores incrementan el número de interruptores electrónicos de potencia necesa-
rios para obtener niveles de tensión adicionales, que permitan reducir la necesidad de conmutacio-
nes y aumentar la eficiencia del puente. En la actualidad las topologías de mayor uso dependen del
tipo de acoplamiento entre los diferentes niveles: mediante diodos, utilizando capacitores flotantes
o en conexión cascada.
En la figura 23.9 se muestran las tres topologías utilizadas en la literatura para una rama del puente
convertidor. En la Figura 23.9a se ilustra una rama del convertidor multinivel con acoplamiento
mediante diodos, en la figura 23.9b se utilizan condensadores flotantes y en la Figura 23.9c se
representa una rama del esquema en cascada. Por otra parte, para cargas con terminales abiertos
se puede obtener un convertidor multinivel utilizando el puente dual mostrado en la figura 23.10,
cuya topología corresponde a la de un convertidor de dos niveles en cascada. Este tipo de carga
es común en convertidores electromecánicos, especialmente aquellos diseñados para ser utilizados
con arrancadores estrella-delta.
Los convertidores multinivel presentan varias ventajas para la alimentación de las diversas cargas
encontradas en aplicaciones industriales de potencia, entre las cuales se destacan:
Obtener señales con un menor contenido armónico.
La tensión al que se someten los dispositivos conmutadores de potencia es menor que en el
caso de los convertidores de dos niveles.

(a) Rama multinivel acoplada mediante diodos (b) Rama multinivel acoplada mediante capacitores
(c) Rama multinivel tipo cascada
Figura 23.9: Diferentes conﬁguraciones de ramas de convertidores multinivel

Proporcionan mayores estados de conmutación.
Utilizan menores frentes de onda de tensión (dv/dt).
Los esquemas de modulación, para puentes multinivel reportados en la literatura se basan en el
uso de técnicas de PWM donde se requiere generar tantas portadoras como niveles presente el
puente. En la configuración dual mostrada en la figura 23.10, cada devanado del estator se alimenta
mediante un puente “H”, con lo cual se obtienen los valores Vdc1
, (Vdc1
−Vdc2
) y −Vdc2
entre los
terminales de cada fase de la máquina de inducción.
Figura 23.10: Puente convertidor dual en cascada para alimentación de máquinas de inducción con
extremos abiertos
La presencia de los dos inversores incrementa el número de los estados de conmutación posibles.
En un inversor trifásico simple existen 7 estados diferentes (23 −1), mientras que en un multinivel
en cascada se obtendría un máximo de 7n , donde n es el número de etapas en cascada. Para el caso
de la figura 23.10, se obtiene un máximo de 49 posibles estados. En la Figura 23.11 se muestran
los vectores espaciales que es posible obtener para diferentes valores de las fuentes Vdc1
y Vdc2
. En
la Figura 23.11a se muestra el caso cuando las tensiones de la barra de continua de ambos puentes
son iguales, en el cual se obtienen solamente 19 estados diferentes. En la Figura 23.11b se muestra
el caso cuando una barra de corriente continua es el doble que la otra, en el cual se obtienen 37
estados diferentes con una distribución uniforme. Finalmente en la Figura 23.11c se muestra el
caso cuando la barra de tensión continua de un puente es mayor al doble que la otra, en el cual se
obtienen 49 estados posibles con una distribución no uniforme.

(a) 19 Estados (Vcc1 = Vcc2 ) (b) 37 Estados (Vcc1 = 1
2Vcc2 )
(c) 47 Estados (Vcc1 = 1
3Vcc2 )
Figura 23.11: Estados posibles de los vectores espaciales con variación relativa de las fuentes de
tensión continua de cada uno de los puentes en cascada
Los convertidores multinivel pueden ser modulados para sintetizar vectores espaciales en cualquier
punto del espacio de soluciones de la ﬁgura 23.11, utilizando técnicas de modulación continuas y
discontinuas basadas en PWM.

23.4.1. MODULACIÓN DE VECTORES ESPACIALES EN CONVERTIDORES MUL-
TINIVEL
En la figura 23.12 se presentan los estados de un puente convertidor multinivel de tres niveles.
Se pueden definir análogamente, como en los puentes de dos niveles, tres vectores directores
(α◦,α1,α2) o sus opuestos para dividir el espacio hexagonal de solución en tres paralelogramos.
Aplicando la misma metodología se puede modular utilizando el algoritmo genérico cualquier vec-
tor espacial inscrito en el espacio de solución del convertidor. Los ciclos de trabajo se definen entre
los dos estados adyacentes a la proyección del vector espacial sobre los vectores directores utiliza-
dos. Esta modulación permite la obtención de tensiones con un número menor de conmutaciones
del convertidor, la reducción de su contenido armónico y la disminución de los dv/dt que se traducen
en esfuerzos dieléctricos inferiores sobre la aislación de la carga, conectada cuando el desempeño
de este tipo de puentes se compara con el de puentes convencionales de dos niveles. Por otra parte,
dicha modulación permite reducir las pérdidas por conmutación del puente y las especificaciones
de potencia de los interruptores electrónicos.
Figura 23.12: Espacio de solución vectorial para un puente multinivel de tres estados

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Apéndice A
Vectores Espaciales
A.1. Definición
Tradicionalmente en el análisis de sistemas de potencia se ha utilizado la transformaciones modales
tales como: componentes simétricas, Clark, Park, entre otras. Estas transformaciones polifásicas
permiten desacoplar las ligazones entre las ecuaciones que describen el comportamiento del sistema
de potencia simétricos y que adicionalmente, pueden presentar componentes con simetría cíclica.
En sistemas de potencia balanceados, conectados en estrella con neutro aislado o en delta, las
componentes de secuencia cero pueden ser despreciadas, debido a que en esta condición son cero.
Las componentes de secuencia positiva y negativa tienen un comportamiento similar, en especial
en sistemas simétricos, y una es la compleja conjugada de la otra. Durante las últimas décadas,
la transformación de vectores espaciales ha sido utilizada ampliamente en el control dinámico de
máquinas eléctricas. Definiendo la transformación de vectores espaciales como:
−→x ≡
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



xa(t)
xb(t)
xc(t)


 = xα(t)+ jxβ (t) = x(t)ejξ(t)
(A.1)
El coeficiente 2/3 es necesario para mantener la in varianza de potencia entre el sistema de coor-
denadas primitivas y el de vectores espaciales. Este coeficiente viene dado por la transformación
hermitiana de componentes simétricas ( 1/3) y el
√
2 para producir en vectores espaciales la mis-
ma potencia activa instantánea que el sistema original debido al efecto de la secuencia negativa en
sistemas balanceados. En la figura A.1 se muestra una interpretación gráfica de la transformación
a vectores espaciales.
617

618 A.1. Deﬁnición
Figura A.1: Interpretación gráﬁca de la transformación de vectores espaciales

A.2. Potencia Activa y Reactiva Instantánea
En sistemas de potencia trifásicos la potencia activa instantánea p(t) se calcula por la superposición
de la potencia activa instantánea por cada una de las fases del sistema.
p(t) = va(t)ia(t)+vb(t)ib(t)+vc(t)ic(t) (A.2)
La definición convencional de la potencia aparente S, esta basada en la capacidad del equipo en fun-
ción de la tensión y corriente nominal en condición de operación balanceada (
√
3Vl´ınea−l´ınea Il´ınea).
La potencia reactiva Q en sistemas trifásicos se define como la relación entre la potencia aparente
y la activa a través del Teorema de Pitágoras (
√
S2 −P2). Este concepto es utilizado por los inge-
nieros para el diseño y evaluación de los sistemas de potencia. Sin embargo, bajo condiciones no
balanceadas de operación o ante la presencia de armónicos en las tensiones o corrientes del siste-
ma esta definición se corrige, introduciendo los conceptos de factor de potencia de desplazamiento
(DPF) y de factor de distorsión armónica total (THD). A finales de la década de los noventa Kazib-
we introduce los procedimientos para la realización de medidas de la potencia reactiva y los costos
asociados a esta potencia en los sistemas eléctricos.
Una mejor y más precisa definición de la potencia activa, reactiva y aparente instantánea en sistemas
de potencia trifásicos se puede obtener al utilizar la teoría de los vectores espaciales.
Recordando la definición del fasor de potencia aparente.
˜S = ˜V ˜I∗
= V ejα
·I e−jβ
= V I ej(α−β)
= V I ejγ
= P+ jQ (A.3)
Una expresión similar puede ser obtenida al utilizar los vectores espaciales de tensión y corriente.
−→s (t) = −→v (t)·
−→
i (t)∗
= p(t)+ jq(t) (A.4)
donde:
−→v (t) ≡
2
3
1 ej 2π
3 ej 4π
3



va(t)
vb(t)
vc(t)


 (A.5)
−→
i (t)∗
≡
2
3
1 ej 4π
3 ej 2π
3



ia(t)
ib(t)
ic(t)


 (A.6)

620 A.2. Potencia Activa y Reactiva Instantánea
Sustituyendo las expresiones de los vectores espaciales de tensión y corriente en la ecuación (A.4)
se obtiene la expresión de potencia instantánea en coordenadas primitivas ABC.
−→s (t) = p(t)+ jq(t) = [va(t)ia(t)+vb(t)ib(t)+vc(t)ic(t)]
+j
√
3
3 [vbc(t)ia(t)+vca(t)ib(t)+vab(t)ic(t)]
(A.7)
Esta expresión de potencia instantánea (A.7) es válida en cualquier condición de operación, para
sistemas de potencia de tres o cuatro hilos, para régimen transitorio y estado estacionario, condición
de operación balanceada y no balanceada y ante formas de ondas sinusoidales o no sinusoidales.
La parte real ecuación (A.7) coincide con la definición clásica de la potencia trifásica instantánea
(A.2). Por otra parte, la parte imaginaria de la ecuación (A.7) define un concepto de la potencia
reactiva instantánea que en algunos casos coincide con la definición clásica de potencia reactiva.
Para un sistema de potencia trifásico balanceado en estado estacionario y alimentado por formas
de onda sinusoidales, la potencia activa y reactiva instantánea son invariantes en el tiempo, esto se
debe a que el vector espacial de tensión (A.5) y corriente (A.6) poseen una amplitud y un ángulo
relativo entre ellos constante en el tiempo. En esta condición la definición clásica de potencia
activa y reactiva coincide con la expresión (A.7) mientras que para condiciones de alimentación
no sinusoidal y sistemas des balanceados las definiciones clásicas y vectoriales de la potencia son
diferentes.
Sustituyendo la expresión de la potencia aparente instantánea (A.4) en la definición del factor de
potencia, se obtiene el factor de potencia instantáneo como:
f p(t) =
p(t)
−→s (t)
(A.8)
La expresión (A.8) al igual que la (A.7) es válida en cualquier condición de operación, para sistemas
de tres o cuatro hilos.
A continuación, se presentan tres casos de la aplicación de la definición de potencia instantánea
vectorial comparada con la definición clásica de potencia.
A.2.1. Operación Balanceada y Desbalanceada:
Considerando un sistema de potencia trifásico tres hilos, alimentado por un sistema de tensiones
sinusoidales balanceados de valor efectivo 1p.u., aplicado a un par de cargas balanceadas conecta-
das en delta con valor de: (1,0+ j1,0 p.u.) y ( 0,8+ j0,6 p.u.) por rama. Para el caso desbalanceado
se aplicara un factor de 1,0, 1,05 y 0,95 a cada rama de la carga respectivamente. En las figuras A.2
y A.3 se presenta una comparación entre los resultados de potencia activa y reactiva instantánea
calculada a partir de la definición clásica y los cálculos obtenidos al utilizar la definición de po-
tencia instantánea vectorial de la expresión A.7. Se puede observar en las figuras A.2 y A.3 que el

Figura A.2: Deﬁnición clásica y vectorial de la potencia para carga puramente resistiva en condición
de operación balanceada y desbalanceada.
cálculo de potencia por la deﬁnición clásica como la vectorial coincide perfectamente en condición
balanceada de operación, mientras que para la condición desbalanceada sólo reproduce la potencia
activa. El oscilograma del vector espacial de potencia instantánea permite visualizar la variación
en el tiempo de la potencia activa y reactiva. El centro de gravedad del oscilograma representa la
potencia activa y reactiva promedio de la carga.
A.2.2. Operación Armónica:
En este caso analizaremos la potencia activa y reactiva entregada por un inversor trifásico de un
pulso por semiciclo, sin control por ancho de pulso, aplicado a una carga conectada en delta de
impedancia a frecuencia fundamental de 0,8+ j0,6 en p.u. La tensión vab(t) aplicada por el inversor
a la carga puede ser descrita a través de series de Fourier de la siguiente forma:
vab(t) =
∞
∑
n=1
4 3
2
(2n−1)π
·cos
(2n−1)π
6
·sen (2n−1)· ωt +
π
6
(A.9)

Figura A.3: Deﬁnición clásica y vectorial de la potencia para carga resistiva inductiva en condición
de operación balanceada y desbalanceada.

Figura A.4: Definición clásica y vectorial de la potencia para carga resistiva inductiva alimentada
por un inversor trifásico sin control por ancho de pulso.
Las tensiones vbc(t) y vca(t) pueden representarse a través de la expresión A.9 considerando la fase
relativa en atraso de 2π/3 y 4π/3 respectivamente. En la figura A.4 se presenta los resultados del
cálculo de la potencia activa y reactiva utilizando las dos definiciones. Se puede destacar que para
ambas definiciones la potencia promedio activa coincide perfectamente mientras que la potencia
reactiva difiere. La potencia media vectorial coincide con el centro geométrico de su oscilograma.
A.2.3. Operación Transitoria:
En la operación normal de sistema de potencia se presentan diferentes condiciones de operación
transitorias tales como: arranque de motores, energización de transformadores y operaciones de
apertura y cierre de líneas de transmisión, durante estas maniobras las tensiones y corrientes apli-
cadas presentan distorsiones originando que sus formas de onda no sean sinusoidales. Por ejemplo,
consideremos el arranque de un motor de inducción trifásico de jaula de ardilla a plena tensión
desde un sistema de tensiones sinusoidales balanceado de frecuencia fundamental. El motor se en-
cuentra cargado en el eje a par nominal. En la figura A.5 se presenta, la potencia activa y reactiva
instantánea durante el proceso de arranque del convertidor. La definición clásica de potencia no
puede ser aplicada en esta condición de operación, debido a que requiere la evaluación de los valo-

Figura A.5: Vector espacial de potencia durante un arranque a plena tensión de una máquina de
inducción.
res efectivos de tensión y corriente en las bobinas que conforman el estator. Una de las principales
ventajas de la definición de la potencia a través de vectores espaciales, es la posibilidad de utili-
zarla para estimar los parámetros del modelo de la máquina de inducción en régimen dinámico de
operación.
A.2.4. Interpretación Física:
Una interpretación física de la expresión de potencia instantánea (A.7) se puede obtener al consi-
derar, la relación existente entre la fuerza electromotriz e, y la intensidad de campo eléctrico
−→
E
por una parte y de la intensidad de campo magnético
−→
H y la corriente i por otra. El producto vec-
torial de estas dos intensidades de campo en cada punto del espacio y del tiempo define el vector
de Pointing
−→
S =
−→
E ×
−→
H . Este vector espacio-temporal representa el flujo de potencia transferida
por unidad de área debido a los campos electromagnéticos. Por ejemplo, en el entre hierro de las
máquinas eléctricas rotatorias el vector de Pointing
−→
S en cada punto del espacio y del tiempo, tiene
dos componentes una en sentido axial y otra tangencial. La componente axial determina la potencia
activa transferida entre el estator y el rotor, mientras que la tangencial representa la potencia que
fluye en el entre hierro para mantener el campo electromagnético rotatorio. En líneas de transmi-

sión trifásicas el fenómeno es similar, la potencia activa instantánea corresponde a la componente
longitudinal del vector de Pointing mientras que la potencia reactiva corresponde a la componente
tangencial o rotatoria de este vector. Debido a que la corriente i esta relacionada con la intensidad
de campo magnético
−→
H a través de la ley de Amper y la fuerza electromotriz e se obtiene de la
integral de la intensidad de campo eléctrico
−→
E , es razonable pensar que la potencia activa instantá-
nea p(t) esta relacionada con la componente radial del vector de Pointing
−→
S , y la potencia reactiva
instantánea q(t) con la componente tangencial de este vector.

Apéndice B
Circuitos de Primer y Segundo Orden
B.1. Circuito de Primer Orden
Los circuitos de primer orden presentan una ecuación diferencial de la forma:
g(t) = A
dx(t)
dt
+Bx(t) (B.1)
Para solucionar la ecuación diferencial de la expresión (B.1), se debe encontrar los modos naturales
de oscilación del sistema que son la solución de la ecuación homogénea de la siguiente forma:
Adx(t)
dt = −Bx(t)
dx(t)
dt = −B
Ax(t)
dx(t)
x(t) = −B
Adt
¡ dx(t)
x(t) = −
¡ B
Adt
ln(x(t)) = −B
At +Cte
eln(x(t)) = e(−B
At+Cte)
xh(t) = e−B
AteCte = ke−B
At
xh(t) = ke− t
τ
(B.2)
τ =
A
B
(B.3)
627

628 B.2. Circuito de Segundo Orden
donde:
τ: Es la constante de tiempo del circuito. Para los circuitos RC y RL la constante de
tiempo son τ = RC y τ = L/R respectivamente.
La solución particular de la ecuación diferencial de la expresión (B.1) debe poseer la misma forma
que la función farsante g(t) y debe satisfacer la ecuación diferencial. La solución particular se
puede obtener de la siguiente tabla de soluciones:
Tabla B.1: Forma de las soluciones particulares para ecuaciones diferenciales
Forma de la Excitación g(t) Forma de la Solución Particular xp(t)
K0 A
K0t At +B
K0 +K1t At +B
K0 +K1t +K2t2 At2 +Bt +C
K0e−bt b = 1
τ Ae−bt
K0e−1
τ t
At ·e−1
τ t
K0 sen(bt) Asen(bt)+Bcos(bt)
K0 cos(bt) Asen(bt)+Bcos(bt)
Los coeﬁcientes de la solución particular se determinan al sustituir la forma de la solución en la
ecuación diferencial e igualando termino a termino. La solución total a la ecuación diferencial de la
expresión (B.1) es la suma de la solución homogénea y particular. Los coeﬁcientes de la solución
homogénea se determinan a partir de las condiciones iniciales del circuito.
B.2. Circuito de Segundo Orden
Los circuitos de segundo orden presentan una ecuación diferencial de la siguiente forma:
g(t) = A
d2x(t)
dt2
+B
dx(t)
dt
+Cx(t) (B.4)
Para resolver la ecuación diferencial, al igual que el caso anterior es necesario encontrar los modos
naturales de oscilación del sistema mediante la solución de la ecuación característica de la expresión
(B.4).

B. Circuitos de Primer y Segundo Orden 629
As2
+Bs+C = 0 (B.5)
La ecuación característica (B.5) puede ser resuelta utilizando la solución o resolverte de la ecuación
de segundo grado o cuadrática de la siguiente forma:
s1,2 =
−B±
√
B2 −4AC
2A
(B.6)
Los modos naturales de oscilación o la solución homogénea de la expresión (B.4), depende de la
forma de las raíces s1, s2. Estas raíces pueden ser de tres formas: reales y diferentes, reales e iguales
o complejas conjugadas.
xh(t) = k1es1t +k2es2t → (s1 = s2) ∈ R
xh(t) = k1e−st +k2t es2t → (s1 = s2) ∈ R
xh(t) = eσt (k1 cos(ωt)+k2 sen(ωt)) → (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z
(B.7)
La solución particular a la ecuación diferencial (B.4) a igual que los valores de las constantes kn, se
obtienen mediante el mismo procedimiento que para el caso de ecuaciones diferenciales de primer
orden. Alguno autores denominan las soluciones homogéneas de la ecuación diferencial de segundo
orden, de acuerdo a su respuesta al escalón (u(t)) como:
Sobreamortiguado: (s1 = s2) ∈ R
Críticamente amortiguado: (s1 = s2) ∈ R
Subamortiguado: (s1,2 = σ ± jω) ∈ Z

630 B.2. Circuito de Segundo Orden

Apéndice C
Modelo de Sistemas Lineales en Espacio de
Estados
C.1. Descripción general
El modelo de sistemas lineales en espacio de estado consiste en presentar las ecuaciones diferen-
ciales que describen el comportamiento del sistema como un sistema diferencial de primer orden.
dx1
dt
= a11x1 +a12x2 + f(t)
dx2
dt
= a21x1 +a22x2 (C.1)
donde:
xi Corresponde a las variables de estado “i”.
aij Son coeﬁcientes constantes.
f(t) La función forzante
Escribiendo el sistema de ecuaciones diferenciales (C.1) en forma matricial, se obtiene:
px = A·x+B·u (C.2)
donde:
x =
x1
x2
u = f(t)
631

632 C.2. Ejemplo
A =
a11 a12
a21 a22
B =
1
0
En la representación matricial se denomina:
A Matriz de transición de estados
x Vector de variables de estado
B Matriz de entradas
C.2. Ejemplo
Encontrar el espacio de estado de la ecuación diferencial de segundo orden:
¨x+a˙x+bx = f(t) (C.3)
Para escribir la ecuación diferencial (C.3) en espacio de estado es necesario definir dos variables
de estado a fin de poder escribir el sistema mediante ecuaciones de primer orden.
Definiendo:
x1 = x
x2 = ˙x (C.4)
La ecuación diferencial (C.3), se puede escribir como ecuaciones de primer orden utilizando las
definiciones de la expresión (C.4) como:
px2 +ax2 +bx1 = f(t)
px1 = x2
(C.5)
Reescribiendo el sistemas de ecuaciones diferencial de la expresión (C.5), en forma matricial se
obtiene el modelo de la expresión (C.3) en espacio de estados.
p
x1
x2
=
0 1
−b −a
·
x1
x2
+
0
1
· f(t) (C.6)

Apéndice D
Fundamentos de Electricidad
D.1. Aspectos Generales
En este capítulo se realizara un resumen de los conceptos básicos de electricidad necesarios para
los diferentes temas que se abordaran a lo largo de los diferentes capítulos de conversión de energía
eléctrica a través de puentes electrónicos de potencia.
Entre los conceptos a repasar se tienen:
Potencia instantánea para sistemas eléctricos y físicos.
Valor medio y efectivo de una señal.
Concepto y utilización de fasor.
Deﬁnición de impedancia.
Leyes de Kirchhoff.
Método de mallas y nodos.
Teorema de Thévening, Norton y máxima transferencia de potencia.
Régimen sinusoidal permanente y sistemas eléctricos monofásicos.
Potencia activa y reactiva de un sistema eléctrico.
Sistemas eléctricos trifásicos.
633

634 D.2. Potencia Instantánea
D.2. Potencia Instantánea
La potencia instantánea de un puerto eléctrico o mecánico se calcula como el producto instantáneo
de la variable entre y la variable a través del puerto. En el caso de electricidad la variable entre co-
rresponde a la tensión, mientras que la variable a través corresponde a la corriente. En los sistemas
mecánicos las definición de estas variables son Velocidad para la variable entre y Fuerza o Par para
la variable a través. El concepto de variable entre y a través esta íntimamente ligado con la forma
de realizar la medición de estas. En el caso de la variable entre que requiere un punto o patrón de
referencia para realizar la medición, este es el caso de la tensión que se mide con respecto a dos
puntos.
p(t) = v(t)i(t)
p(t) = ν(t)F(t)
p(t) = ω(t)τ(t)
(D.1)
Donde:
v(t): Tensión.
i(t): Corriente.
ν(t): Velocidad lineal.
F(t): Fuerza.
ω(t): Velocidad angular.
τ(t): Par.
D.3. Valor Medio
El valor medio de una señal periódica g(t) corresponde al valor de corriente continua de la señal y
es el promedio ponderado en un periodo de los valores de esta. Se calcula como:
GDC = G0 =
1
T
¢ T
0
g(t)dt (D.2)
D.4. Valor Efectivo
El valor efectivo o eficaz de una señal es conocido también como valor cuadrático medio o rms. El
valor eficaz de una señal periódica se basa en el concepto de potencia media o promedio entregada.

En el caso de circuitos eléctricos, con una tensión continua aplicada sobre los terminales de una
resistencia, la potencia media se calcula como:
P0 =
V2
DC
R
(D.3)
Para el caso de una tensión periódica aplicada sobre los terminales de la resistencia, la tensión eficaz
o el valor eficaz de la señal se define como la tensión que proporciona la misma potencia media
que la tensión de continua. La tensión eficaz se puede calcular utilizando la siguiente expresión.
P0 =
V2
rms
R
(D.4)
Si calculamos la potencia media en una resistencia a partir de la expresión (D.1) y (D.2), se obtiene:
P0 =
1
T
¢ T
0
p(t)dt =
1
T
¢ T
0
v(t)i(t)dt =
1
T
¢ T
0
v(t)
R
dt =
1
R
1
T
¢ T
0
v(t)2
dt (D.5)
Igualando las expresiones de potencia media de las expresiones (D.4) y (D.5) se obtiene:
P0 =
V2
rms
R
=
1
R
1
T
¢ T
0
v(t)2
dt (D.6)
donde la expresión de la tensión eficaz o rms es:
Vrms =
1
T
¢ T
0
v(t)2dt (D.7)
El valor efectivo o eficaz de una señal es la raíz cuadrada del valor medio del cuadrado de la señal,
expresión que en inglés da lugar a rms (root mean square).
Grms =
1
T
¢ T
0
g(t)2dt (D.8)
Por ejemplo el valor efectivo de una señal sinusoidal de la forma: g(t) = Asen(ωt +η) es:
Grms =
1
2π
¢ 2π
0
(Asen(ωt +η))2
dt (D.9)
Aplicando la identidad del ángulo doble en la expresión (D.9) se obtiene:

636 D.5. Fasor
Grms = 1
2π
¡ 2π
0 A2 1−cos(2(ωt+η))
2 dt
Grms = A 1
4π ([ωt −sen(2(ωt +η))]|) = A√
2
(D.10)
D.5. Fasor
Un fasor es la representación a través de un número complejo de una magnitud sinusoidal que varía
en el tiempo. Para una función sinusoidal g(t) de la forma g(t) = Asen(ωt +η) se puede escribe
en función del valor efectivo, de la fase de la función g(t) y de la ecuación de Euler como:
g(t) =
√
2ℑm
A
√
2
ej(ωt+η)
=
√
2ℑm
A
√
2
ejη
ejωt
=
√
2ℑm
A
√
2
η ejωt
=
√
2ℑm ˜G ejωt
(D.11)
donde el fasor es:
˜G = Grmsejη
= Grms η
Para funciones cosenoidales la representación es similar pero se utiliza la parte real del número
complejo.
D.6. Impedancia
Es la relación que existe entre el fasor de tensión y corriente en los terminales de un dispositivo.
Z =
˜V
˜I
= R+ jX (D.12)
Donde:
R: Resistencia.
X: Reactancia.
D.6.1. Reactancia Inductiva
Si alimentamos un inductor con una corriente sinusoidal de la forma i(t) = I sen(ωt) la tensión
entre sus terminales viene dada por:

vL(t) = L
di
dt
= LωI cos(ωt) = LωI sen ωt +
π
2
(D.13)
Calculando los fasor de tensión y corriente en la bobina se obtiene la impedancia.
Z =
LωIrms
π
2
Irms
= Lωej π
2 = jXL = jωL (D.14)
donde:
XL = ωL
D.6.2. Reactancia Capacitiva
Si alimentamos un capacitor con una tensión sinusoidal de la forma v(t) = V sen(ωt)la corriente
que circula por el, viene dada por:
ic(t) = C
dv
dt
= CωV cos(ωt) = CωV sen ωt +
π
2
(D.15)
Calculando los fasor de tensión y corriente en el capacitor se obtiene la impedancia.
Z =
Vrms
CωVrms
π
2
=
1
ωC
ej π
2 = −jXC = −j
1
ωC
donde:
XC = −
1
ωC
D.7. Leyes de Kirchhoff Fasoriales
En un nodo de un circuito eléctrico, la suma algebraica de las corrientes es igual a cero.
N
∑
i=1
˜Im = 0 (D.16)
La suma algebraica de las "N" fuerzas electromotrices de una malla de un circuito eléctrico, es igual
a la suma algebraica de las "M" caídas de tensión correspondientes a cada uno de los elementos
pasivos en la malla.

638 D.8. Régimen Sinusoidal Permanente
N
∑
i=1
˜Ei =
M
∑
i=1
Zi · ˜Ii (D.17)
D.8. Régimen Sinusoidal Permanente
Este método nos permite encontrar la respuesta en régimen permanente de circuitos eléctricos ali-
mentados con fuentes sinusoidales, utilizando los conceptos de fasor e impedancia. En la figura
D.1, se muestra un circuito resistivo, inductivo y capacitivo serie alimentado por una fuente de
tensión sinusoidal.
Para encontrar la corriente en régimen permanente o estacionario que circula por el circuito de la
figura D.1, ante una alimentación sinusoidal de la forma: vf (t) =
√
2V sen(ωt +η), se calculara el
fasor de corriente en función del fasor de tensión y la impedancia del circuito utilizando la ley de
Ohm.
Figura D.1: Circuito RLC Serie
Se calcula el fasor de tensión utilizando la definición de la ecuación (D.11) en función del valor
efectivo de la sinusoide y de la fase de la onda:
˜V = Vrms η (D.18)
Calculamos la impedancia total del circuito para la frecuencia angular ω que corresponde a la
frecuencia de alimentación de la sinusoidal:
Z = R+ j(XL −Xc) = R+ j ωL−
1
ωC
= |Z|ejϕ
= |Z| ϕ (D.19)

donde:
|Z| = R2 + j(XL −Xc)2
= ℜe(Z)2
+ℑm(Z)2
ϕ = arctan
ℑm(Z)
ℜe(Z)
Utilizando la deﬁnición de impedancia de la expresión (D.12), se puede calcular el fasor de co-
rriente en el circuito.
˜I =
˜V
Z
=
Vrms η
|Z| ϕ
=
Vrms
|Z|
(η −ϕ) = Irms (η −ϕ) (D.20)
Con el fasor de corriente y la deﬁnición del fasor de la expresión (D.11), se puede encontrar la
corriente en el dominio del tiempo que circula por el circuito.
i(t) =
√
2
Vrms
|Z|
sen(ωt +η −ϕ) (D.21)
D.9. Potencia Aparente, Activa y Reactiva en Sistemas Sinusoi-
dales
En los circuitos lineales alimentados por generadores sinusoidales, todas las tensiones y corrientes
en régimen permanente son sinusoidales. La potencia instantánea y media se puede calcular a partir
de las expresiones (D.1) y(D.2). Para cualquier elemento del circuito supongamos que la tensión y
corriente son de la forma:
v(t) =
√
2Vrms sen(ωt +ψ)
i(t) =
√
2Irms sen(ωt +φ)
(D.22)
La potencia instantánea es:
p(t) = v(t)i(t) =
√
2Vrms sen(ωt +ψ)
√
2Irms sen(ωt +φ) (D.23)
Utilizando la identidad trigonométrica:
sen(a)sen(b) =
1
2
(cos(a−b)−cos(a+b)) (D.24)

640 D.9. Potencia Aparente, Activa y Reactiva en Sistemas Sinusoidales
p(t) = 2
2VrmsIrms [cos(ωt +ψ −ωt −φ)−cos(ωt +ψ +ωt +φ)]
p(t) = VrmsIrms [cos(ψ −φ)−cos(2ωt +ψ +φ)]
(D.25)
La potencia media es:
P = 1
T
¡ T
0 p(t)dt = VrmsIrms
T
¡ T
0 [cos(ψ −φ)−cos(2ωt +ψ +φ)]dt
P = VrmsIrms cos(ψ −φ)
(D.26)
La potencia compleja ˜S se define como:
˜S = ˜V ˜I∗
= Vrmsejψ
Irmse−jφ
∗
= Vrmsejψ
Irmsejφ
= Sej(ψ−φ)
= P+ jQ (D.27)
La magnitud del número complejo que define la potencia se denomina potencia aparente y es ex-
presada en unidades de volta-amperes [VA].
S = VrmsIrms (D.28)
La parte real de la potencia compleja es la correspondiente a la potencia activa promedio. Esta
potencia promedio es la que realiza el trabajo en el circuito y sus unidades son los vatios [W].
P = ℜe ˜S = VrmsIrms cos(ψ −φ) (D.29)
La parte imaginaria de la potencia compleja es la correspondiente a la potencia reactiva promedio.
Esta potencia promedio es la necesaria para mantener los campos magnéticos y/o eléctricos en el
circuito y sus unidades son los volta-amperes-reactivos [var].
Q = ℑm ˜S = VrmsIrms sen(ψ −φ) = S2 −P2 (D.30)
El factor de potencia es una medida de la cantidad de potencia la cual es capaz de transferir energía
o trabajo en el circuito, en relación a la potencia total o aparente del mismo circuito. El factor de
potencia se considera en "retraso" o "inductivo" si la Q es positiva. Si la Q es negativa el factor de
potencia se considera en "adelanto" o "capacitivo".
f p =
P
S
(D.31)
A nivel industrial, comercial y residencial se busca que el factor de potencia sea lo más cercano a
uno posible con la finalidad de que la energía producida sea utilizada al máximo en el proceso de
realización de trabajo.

D.10. Método de Mallas en Forma Matricial
La forma matricial para la ley de Ohm para circuitos exclusivamente con fuentes de tensión inde-
pendientes e impedancias se escribe como:
˜V = [Z]· ˜I (D.32)
La forma expandida de la ecuación D.32, es:






˜V1
˜V2
...
˜VN






=






Z11 Z12 Z13 ··· Z1N
Z21 Z22 Z23 ··· Z2N
··· ··· ··· ··· ···
ZN1 ZN2 ZN3 ··· ZNN






·






˜I1
˜I2
...
˜IN






(D.33)
El elemento Z11(fila 1, columna 1) es la suma de todas las impedancias a través de las cuales pasa
la corriente ˜I1 de la malla, de manera similar Z22,··· , ZNN, llevan signo positivo.
El elemento Z12(fila 1, columna 2) es la suma de todas las impedancias a través de las cuales pasan
la corriente de malla ˜I1 y ˜I2.
El signo de Z12 es "+" si las dos corrientes están en la misma dirección y el signo es "-" si es-
tán en dirección opuesta. De modo análogo los elementos Z21, Z23, Z32, etc., son la suma de las
impedancias comunes a las dos corrientes de malla indicadas por los subíndices, con los signos
determinados como se describió antes para Z12. La matriz Z es simétrica por lo tanto:
Zij = Zji (D.34)
La tensión ˜V1 del vector ˜V corresponde a la suma de todas las fuentes de fuerza electromotriz que
impulsan corriente de malla ˜I1. Una tensión se toma positiva si ˜I1 pasa de "-" a "+", es decir, hay una
"subida"; de lo contrario se considera negativa. Cada elemento del vector de corriente (˜Ii) identifica
la corriente en cada una de las mallas.
La corriente en cada malla se puede calcular resolviendo la ecuación (D.32) como:
˜I = [Z]−1
· ˜V (D.35)
D.11. Método de Nodos en Forma Matricial
La forma matricial para la ley de Ohm para admitancias, tensiones y corrientes es:

642 D.11. Método de Nodos en Forma Matricial
˜Ibarra = [Ybarra]· ˜Vbarra (D.36)
Las admitancias son el inverso de las impedancias.
Yi =
1
Zi
(D.37)
La forma expandida de la ecuación (D.36), es:






˜Ibarra1
˜Ibarra2
...
˜IbarraN






=






Y11 Y12 Y13 ··· Y1N
Y21 Y22 Y23 ··· Y2N
··· ··· ··· ··· ···
YN1 YN2 YN3 ··· YNN






·






˜Vbarra1
˜Vbarra2
...
˜VbarraN






(D.38)
El coeﬁciente Y11se llama admitancia propia del nodo o barra "1" y corresponde a la suma de
todas las admitancias conectadas a la barra "1". De forma análoga las admitancias Y22,··· , YNN,
son las admitancias propias de las barras 2,··· ,N respectivamente y se obtienen sumando todas las
admitancias conectadas a los nodos 2,··· ,N.
El coeﬁciente Y12 es la coadmitancia de las barras 1 y 2, y es la suma de todas las admitancias o
nexos que unen a ambas barras. Y12 tiene signo negativo. De forma análoga, Y23, Y13, en general Yij
para i = j tiene signo negativo. La matriz de admitancias Ybarra es simétrica por tanto:
Yij = Yji (D.39)
La intensidad de corriente ˜Inodo1
es la suma de todas las corrientes de fuente que pasan por el nodo
"1". Una corriente que entra en el nodo tiene signo positivo, la que sale del nodo se le asigna signo
negativo. Las intensidades ˜Inodo2
,··· ˜, InodoN
son la suma de las corrientes que pasan por los nodos
2, ··· , N, respectivamente.
La tensión ˜Vbarra1
del vector ˜Vbarra corresponde a la tensión entre la barra "1" y la referencia. La
tensión en cada barra con respecto a la referencia se puede calcular resolviendo la ecuación (D.36)
como:
˜Vbarra = [Ybarra]−1
· ˜Ibarra (D.40)
La inversa de la matriz Ybarra se denomina matriz de impedancia de barra (ZBus). Los elementos
de la diagonal principal de esta matriz (Zbusii
) corresponde a las impedancias de Thévening entre el
nodo "i" y el de referencia.

[Zbus] = [Ybarra]−1
(D.41)
D.12. Teorema de Thévening y Norton
Cualquier red lineal de dos terminales se puede remplazar con un circuito equivalente de Théve-
ning que consiste en un fuente de tensión y una impedancia en serie. El voltaje se llama "Tensión
equivalente de Thévening" ( ˜Vth) y la impedancia es Zth. Por otra parte, también cualquier red lineal
de dos terminales se puede remplazar con un circuito equivalente de Norton que consiste en un
fuente de corriente y una impedancia en paralelo. La corriente se llama "Corriente equivalente de
Norton" ( ˜IN) y la impedancia es Zth. En ambos teoremas la impedancia equivalente es la misma.
La tensión equivalente de Thévening ( ˜Vth) corresponde a la tensión que aparece entre los termina-
les "a y b" cuando el circuito se encuentra abierto. La corriente equivalente de Norton ( ˜IN) es la
corriente que circula entre los terminales "a y b" cuando estos se encuentran en cortocircuito.En la
ﬁguraD.2, se presenta un equivalente Thévening y Norton de una red eléctrica.
Zth =
˜Vth
˜IN
(D.42)
(a) Sistema Eléctrico
(b) Equivalente Thévening (c) Equivalente Norton
Figura D.2: Equivalente de Thévening de una red eléctrica

644 D.13. Teorema de Máxima Transferencia de Potencia
D.13. Teorema de Máxima Transferencia de Potencia
Para obtener máxima transferencia de potencia a una impedancia de carga conectada entre los
terminales "a" y "b" de una red eléctrica, se requiere utilizar el equivalente Thévening de la red. En
la ﬁgura D.3, se presenta un esquema del circuito.
Figura D.3: Circuito equivalente de Thévening con una impedancia de carga
Donde:
Zth = Rth + jXth (D.43)
Zcarga = Rcarga + jXcarga (D.44)
La potencia aparente entregada a la carga es:
Scarga = Zcarga · ˜I
2
= Pcarga + jQcarga = Rcarga · ˜I
2
+ jXcarga · ˜I
2
(D.45)
Entonces la potencia activa entregada a la carga es:
P = Rcarga · ˜I
2
(D.46)
La corriente ˜I del circuito de la ﬁgura D.3, se puede calcular utilizando la ley de Ohm como:
˜I =
˜Vth
Zth +Zcarga
=
˜Vth
(Rth +Rcarga)+ j(Xth +Xcarga)
(D.47)
Sustituyendo la expresión (D.47) en la ecuación (D.46), se obtiene:

P = Rcarga ·
˜Vth
2
(Rth +Rcarga)2
+(Xth +Xcarga)2
(D.48)
El máximo de potencia se obtiene derivando la expresión de potencia (D.48) con respecto a la resis-
tencia de la carga (Rcarga) e igualando a cero. Se puede eliminar el término (Xth +Xcarga)2
haciendo
que Xcarga = −Xth. Entonces la ecuación (D.48), se reduce ha:
P = Rcarga ·
˜Vth
2
(Rth +Rcarga)2
(D.49)
Derivando se obtiene:
∂P
∂Rcarga
=
˜Vth
2
(Rth −Rcarga)
(Rth +Rcarga)3
(D.50)
El valor de Rcargaque anula la expresión (D.50) es:
Rcarga = Rth (D.51)
En conclusión para obtener máxima transferencia de potencia en una impedancia de carga se re-
quiere que:
Zcarga = Z∗
th (D.52)
D.14. Sistemas Eléctricos Trifásicos
Los sistemas eléctricos trifásicos se caracterizan por tener magnitudes de tensión y corriente iguales
en las diferentes fases que lo componen y presentar un desfasaje entre ellas igual a 2π/3, además
debe presentar una secuencia de operación, bien positiva (abc) o negativa (acb) y la suma de las
tensiones línea a línea de todas las fases es cero (vab(t)+vbc(t)+vca(t)) = 0.
Existen dos formas de conectar las cargas en un sistema trifásico. La conexión estrella en donde las
tres ramas posee un punto común en las tres fases denominado "neutro" el cual puede ser aislado
si no presenta conexión, o puesto a tierra sólidamente a través de un conductor o a través de un
resistencia o reactancia. La conexión delta las tres ramas se conectan en serie. En la ﬁgura D.4, se
presenta el esquema de una fuente trifásica conectada en estrella y delta denotando sus corrientes
y tensiones de rama y fase.

646 D.14. Sistemas Eléctricos Trifásicos
(a) Estrella (b) Delta
Figura D.4: Esquema de una fuente de tensión trifásica
D.14.1. Conexión Estrella
Por ejemplo un sistema de tensiones balanceado en estrella de secuencia positiva con sus respectivo
fasor, posee las siguientes tensiones por fase:
van(t) =
√
2V sen(ωt) ⇒ ˜Van = Vej0
vbn(t) =
√
2V sen ωt − 2π
3 ⇒ ˜Vbn = Ve−j 2π
3
vcn(t) =
√
2V sen ωt − 4π
3 ⇒ ˜Vcn = Ve−j 4π
3
(D.53)
Las tensiones línea a línea se pueden calcular a partir de las tensiones de fase utilizando los fasores.
˜Vab = ˜Va − ˜Vb = V ej0 −e−j 2π
3 =
√
3Vej π
6 ⇒ vab(t) =
√
2
√
3V sen ωt + π
6
˜Vbc = ˜Vb − ˜Vc = V e−j 2π
3 −e−j 4π
3 =
√
3Ve−j π
2 ⇒ vbc(t) =
√
2
√
3V sen ωt − π
2
˜Vca = ˜Vc − ˜Va = V e−j 4π
3 −ej0 =
√
3Ve−j 5π
6 ⇒ vca(t) =
√
2
√
3V sen ωt − 5π
6
(D.54)

Para encontrar las tensiones línea a línea a partir de las tensiones de fase en un sistema trifásico
basta con multiplicar la magnitud de la tensión por
√
3 y sumar a la fase de la sinusoidal π/6.
˜Vij =
√
3ej π
6 · ˜Vin (D.55)
En la conexión estrella las corrientes de cada fase es igual a la corriente de la respectiva rama. La
impedancia de la estrella se puede definir a partir de la ley de Ohm como:
ZY =
˜Vin
˜Ii
(D.56)
D.14.2. Conexión Delta
Por ejemplo un sistema de corrientes balanceado en delta de secuencia positiva con sus respectivo
fasor, posee las siguientes corrientes por rama:
iab(t) =
√
2I sen(ωt) ⇒ ˜Iab = Iej0
ibc(t) =
√
2I sen ωt − 2π
3 ⇒ ˜Ibc = Ie−j 2π
3
ica(t) =
√
2I sen ωt − 4π
3 ⇒ ˜Ica = Ie−j 4π
3
(D.57)
De los nodos de la figura D.4b se puede calcular las corrientes en las ramas como:
˜Ia = ˜Iab − ˜Ica = I ej0 −e−j 4π
3 =
√
3Ie−j π
6 ⇒ ia(t) =
√
2
√
3I sen ωt − π
6
˜Ib = ˜Ibc − ˜Iab = I e−j 2π
3 −e−j0 =
√
3Ie−j 5π
6 ⇒ ib(t) =
√
2
√
3I sen ωt − 5π
6
˜Ic = ˜Ica − ˜Ibc = I e−j 4π
3 −e−j 2π
3 =
√
3Iej π
2 ⇒ ic(t) =
√
2
√
3I sen ωt + π
2
(D.58)
Para encontrar las corrientes de línea a partir de las corrientes de rama en un sistema trifásico basta
con multiplicar la magnitud de la corriente por
√
3 y restar a la fase de la sinusoidal π/6.
˜Ii =
√
3e−j π
6 · ˜Iij (D.59)
En la conexión delta las tensiones línea a línea son iguales a las tensiones de la respectiva rama. La
impedancia de la delta se puede definir a partir de la ley de Ohm como:
Z∆ =
˜Vij
˜Iij
(D.60)

D.14.3. Equivalente Delta Estrella
La conexión delta se puede modelar como una estrella con el neutro aislado utilizando las relaciones
(D.55) y (D.59).
Z∆ =
˜Vij
˜Iij
=
√
3ej π
6 · ˜Vin
1√
3
ej π
6 · ˜Ii
= 3·
˜Vin
˜Ii
= 3·ZY (D.61)
D.14.4. Potencia Trifásica
Para un sistema de tensiones y corrientes trifásicas balanceadas y de secuencia positiva de la forma:
van(t) =
√
2V sen(ωt)
vbn(t) =
√
2V sen ωt − 2π
3
vcn(t) =
√
2V sen ωt − 4π
3
(D.62)
ia(t) =
√
2I sen(ωt −β)
ib(t) =
√
2I sen ωt − 2π
3 −β
ic(t) =
√
2I sen ωt − 4π
3 −β
(D.63)
La potencia instantánea en el sistema trifásico se calcula a partir de la potencia instantánea de cada
una de las fases como:
p(t) = van(t)·ia(t)+vbn(t)·ib(t)+vcn(t)·ic(t) (D.64)
Sustituyendo las expresiones (D.62) y (D.63) en la ecuación (D.64) obtenemos:
p(t) = 2VI sen(ωt)sen(ωt −β)+2VI sen ωt − 2π
3 sen ωt − 2π
3 −β
+2VI +sen ωt − 4π
3 sen ωt − 4π
3 −β
(D.65)
Simpliﬁcando la expresión (D.65) con la identidad trigonométrica (D.24), obtenemos:
p(t) = VI cos(β)−VI cos(2ωt −β)+VI cos(β)−VI cos 2ωt −β − 4π
3
+VI cos(β)−VI cos 2ωt −β − 8π
3
p(t) = 3VI cos(β)
(D.66)
La potencia promedio de un circuito trifásico es:

P =
1
T
¢ T
0
p(t)·dt = 3VI cos(β) (D.67)
Del resultado de la expresión (D.66), la potencia instantánea de un circuito trifásico balanceado es
constante e igual a tres veces la potencia promedio de un circuito monofásico equivalente.
La potencia compleja en un sistema eléctrico trifásico se expresa en función la de potencia de una
fase o en función de la tensión línea a línea y de la corriente de línea como:
˜S3Φ = 3 ˜S1Φ = 3 ˜Vin ˜Ii
∗
=
√
3 ˜Vij ˜Ii
∗
= P+ jQ (D.68)
Para un sistema balanceado y equilibrado la potencia compleja es:
˜S3Φ = 3 ˜S1Φ = 3 ˜Vin ˜Ii
∗
= 3Vej0 Ie−jβ
∗
= 3VIejβ
˜S3Φ = 3VI (cos(β)+ jsen(β)) = P+ jQ
(D.69)
Otra forma de obtener la potencia instantánea para circuitos de tres hilos es decir, con neutro aislado
es:
p(t) = vab(t)·ia(t)−vbc(t)·ic(t) (D.70)
si desarrollamos la expresión (D.70), obtenemos:
p(t) = (va(t)−vb(t))·ia(t)−(vb(t)−vc(t))·ic(t)(ia(t)+ic(t))
p(t) = va(t)·ia(t)+vc(t)·ic(t)−vb(t)
(D.71)
De la condición de neutro aislado:
ia(t)+ib(t)+ic(t) = 0
ib(t) = −(ia(t)+ic(t))
(D.72)
Sustituyendo el resultado de la expresión (D.72) en la ecuación de potencia instantánea D.71, se
obtiene la misma expresión de (D.64).
p(t) = va(t)·ia(t)+vb(t)·ib(t)+vcn(t)·ic(t) (D.73)

Apéndice E
Circuitos Magnéticos
E.1. Aspectos Generales
En los circuitos eléctricos, la conexión entre elementos pasivos se realiza por medio de materiales
conductores. Estos materiales obligan a la corriente a seguir trayectorias determinadas, obedecien-
do las leyes de Kirchhoff. Cuando se estudia los dispositivos electromagnéticos y electromecánicos
tales como los transformadores y las máquinas eléctricas, se plantea un problema similar, con la ca-
nalización y concentración de altas densidades de flujo magnético en trayectorias especificas, esto
se logra con la utilización de materiales ferro magnéticos. Un circuito magnético está conformado
generalmente por una estructura de hierro, sobre la cual se bobinan uno o más arrollados por donde
circulan corrientes. Esta corrientes al circular por los devanados dan lugar a los flujos magnéticos
que aparecen en el sistema. En la figura E.1, se presenta un esquema de un circuito magnético con
entre hierro.
Figura E.1: Esquema de un circuito magnético con entre hierro
El cálculo preciso de los flujos magnéticos en un circuito magnético es laboriosa y requiere un alto
consumo de tiempo computacional, además de la utilización correcta de las ecuaciones de Maxwell
y de la condición de contorno entre los diferentes medios analizados. Sin embargo, para la mayoría
651

652 E.2. Materiales Magnéticos
de las aplicaciones de los circuitos magnéticos en Electrotecnia, estos pueden ser resueltos de forma
aproximada.
El comportamiento de un circuito magnético viene dado fundamentalmente por la ley de Gauss
del campo magnético ( · B = 0) y por el hecho de que en los materiales ferro magnéticos la
permeabilidad es elevada y muy superior a la del vacío (µ >> µ0). Estas condiciones corresponden,
en el caso de circuitos eléctricos, a la consideración que en un medio conductor en donde no exista
carga eléctrica atrapada la divergencia de la densidad de corriente es cero ( ·J = 0). Esto se debe
a que la conductividad del conductor (σ) es muy elevada en comparación con la de los materiales
aislantes y dieléctricos. Esta similitud hace que se pueda aplicar a los circuitos magnéticos todos
los teoremas de redes analizados en los cursos de teoría de circuitos eléctricos, aunque la resolución
es algo más laboriosa, debido al carácter no lineal del núcleo ferro magnético.
E.2. Materiales Magnéticos
Las propiedades magnéticas macroscópicas de un material lineal, homogéneo e isotrópico se defi-
nen en función de su valor de permeabilidad magnética (µ), que es un coeficiente que expresa la
proporcionalidad entre la intensidad del campo magnético (H) y la densidad de campo magnético
(B).
B = µH (E.1)
Generalmente la permeabilidad magnética del medio (µ) se expresa en función de la permeabilidad
magnética del vacío (µ0) como:
µ = µr · µ0 (E.2)
donde:
µr es la permeabilidad magnética del medio respecto al vacío.
µ0 es la permeabilidad magnética del vacío (4π ·10−7 H/m).
Los materiales magnéticos presentan saturación o variación de la permeabilidad a partir de un valor
de densidad de campo magnético. Este punto se le conoce como codo de saturación y oscila entre
los 1,0 a 1,2 Teslas. En la figura E.2 se presenta la característica de permeabilidad para el acero
magnético M-27 utilizado en la fabricación de transformadores.

Figura E.2: Característica de magnetización del material M-27
E.3. Leyes de los Circuitos Magnéticos
La descripción exacta del campo magnético requiere el uso de las ecuaciones de Maxwell, las con-
diciones de contorno entre los medios y el conocimiento preciso de las relaciones entre la intensidad
de campo magnético y su densidad en los medios donde se establece el campo. Como en el análisis
de los circuitos magnéticos las frecuencias de excitación involucradas son relativamente bajas (fre-
cuencia industrial), se puede emplear con suﬁciente exactitud las aproximaciones de campo cuasi

654 E.3. Leyes de los Circuitos Magnéticos
estacionario, es decir, se pueden despreciar las corrientes de desplazamiento de las ecuaciones de
Maxwell, obteniendo:

γ
H·dl =
¢
s
J·ds = ∑i = Ni = FMM (E.3)
La expresión (E.3), nos indica que la circulación del campo magnético H en un camino cerrado γ
es igual a la suma de corrientes que atraviesan la superficie circunscrita por el camino. Si existen
N espiras llevando cada una la corriente i, la suma de corrientes será igual al producto Ni. Este
producto se denomina Fuerza Magnetomotriz (FMM) y sus unidades son los amper-vueltas (Av).
La fuerza magnetomotriz es la causa que se establezca un campo magnético en un circuito, de un
modo análogo al de la fuerza electromotriz causa en un circuito eléctrico el establecimiento de una
corriente.
En la mayoría de las situaciones prácticas que se suelen dar en el estudio de las máquinas eléctricas,
el camino γ elegido para aplicar la ley de Ampere (E.3), coincide con la trayectoria media seguida
por las líneas de campo magnético H. Por otro parte, si el material es homogéneo e isotrópico, la
magnitud de H es la misma en todo el recorrido, de ahí que la expresión (E.3), se pueda escribir de
forma escalar como:
H l = FMM = Ni (E.4)
donde:
l representa la longitud magnética media de las líneas de H.
Otro concepto importante que se debe recordar es el de flujo magnético Φ que atraviesa una super-
ficie S, que viene definido por:
Φ =
¢
s
B·ds (E.5)
Las unidades del flujo magnético son los Webers (Wb). En la práctica la inducción magnética es
prácticamente constante en la sección transversal de los núcleos ferro magnéticos y además tiene
la misma dirección que el vector de superficie, por esto la expresión (E.5), se puede escribir como:
Φ = BS (E.6)
Sustituyendo los resultados de las expresiones (E.1) y (E.6) en la ecuación (E.4), se obtiene:

FMM = Ni =
Bl
µ
= Φ
l
µS
(E.7)
Si denominamos reluctancia magnética ℜ a:
ℜ ≡
l
µS
(E.8)
Al inverso de la reluctancia magnética se le conoce como permeanza y se denota con la letra:℘.
℘=
1
ℜ
(E.9)
La permeanza magnética tiene unidades de Henrios, sustituyendo la definición (E.8) en la expresión
(E.7), se obtiene:
FMM = Ni = Φℜ (E.10)
La expresión (E.10), es fundamental para el estudio de los circuitos magnéticos y se le conoce
como ley de Hopkinson, o ley de Ohm de los circuitos magnéticos, por su analogía con la ley de
Ohm de las redes eléctricas.
e = Ri (E.11)
Como se deduce de las expresiones anteriores, existe una gran analogía entre los circuito eléctricos
y magnéticos. Esto hace posible el estudio de los circuitos magnéticos, utilizando las mismas téc-
nicas de análisis empleadas en los circuitos eléctricos. Sin embargo, existen diferencias en ambos
circuitos que no permiten que las técnicas que se utilizan en el análisis de los circuitos eléctricos
tengan la misma exactitud en el estudio de los circuitos magnéticos. Esto se debe a que la corriente
en un circuito eléctrico esta limitada al material conductor y la fuga son despreciables en los cir-
cuitos magnéticos el flujo no se limita al material ferro magnético sino existe una proporción que
circula por el aire, que se conoce como flujo de dispersión. Esto flujo de dispersión oscila entre un
diez a quince por ciento del flujo total. Otro aspecto importante a considerar es la expresión de las
líneas de flujo a circular por espacios de aire entre dos piezas magnéticas conocidos como entre
hierro.
En la tabla E.1, se presentan los parámetros equivalentes entre los circuitos eléctricos y magnéticos,
así como sus unidades en el sistema internacional de medida.

656 E.3. Leyes de los Circuitos Magnéticos
Tabla E.1: Parámetros equivalentes entre los circuitos eléctrico y magnéticos
Circuito eléctrico Circuito magnético
e Fuerza electromotriz (V) FMM Fuerza magnetomotriz (Av)
J Densidad de corriente (A/m) B Densidad de campo magnético (T)
σ Conductividad (S/m) µ Permeabilidad magnética (H/m)
E Campo eléctrico (V/m) H Intensidad de campo magnético (Av/m)
i Corriente eléctrica (A) Φ Flujo magnético (Wb)
En la figura E.3, se representa el análogo eléctrico del circuito magnético de la figura E.1. En la
tabla E.2, se presentan las analogías entre las leyes de los circuitos eléctricos y los magnéticos.
Figura E.3: Análogo eléctrico del circuito magnético de la figura E.1.
Tabla E.2: Leyes equivalentes entre los circuitos eléctricos y magnéticos
Circuito eléctrico Circuito magnético
Primera ley de Kirchhoff: ∑i = 0 Primera ley de Kirchhoff: ∑Φ = 0
Segunda ley de Kirchhoff: ∑e = ∑Ri Segunda ley de Kirchhoff:
∑FMM = ∑ℜΦ
∑FMM = ∑H l
Resistencia: R = l
σS Reluctancia: ℜ = l
µS
Resistencia en serie: RT = ∑Ri Reluctancia en serie: ℜT = ∑ℜi
Resistencia en paralelo: 1
RT
= ∑ 1
Ri
Reluctancia en paralelo: 1
ℜT
= ∑ 1
ℜi
El enlace de flujo de un circuito magnético (λ) se define como:
λ = NΦ = Li (E.12)
De la expresión (E.12), se puede calcular la inductancia del circuito como:

L =
λ
i
=
NΦ
i
(E.13)
Si se sustituye la expresión (E.10), en la ecuación (E.13), se obtiene el valor de la inductancia en
función de los parámetros geométricos del circuito y características del material.
L =
N2
ℜ
= N2
℘=
N2µS
l
(E.14)
E.4. Excitación Sinusoidal
Si alimentamos el circuito magnético de la figura E.1, con una tensión sinusoidal de la forma
v(t) =
√
2Vrms cos(ωt), se puede determinar el flujo en el material magnético utilizando la ley de
Faraday como:
v(t) =
√
2Vrms cos(ωt) =
dλ
dt
= N
dΦ
dt
(E.15)
Integrando la expresión (E.15), se obtiene el flujo como:
Φ =
1
N
¢
√
2Vrms cos(ωt)dt =
√
2Vrms
Nω
sen(ωt) (E.16)
De la expresión (E.16), se obtiene el valor pico del flujo como:
Φmax =
√
2Vrms
N2π f
=
√
2
2π
Vrms
N f
=
1
4,44
Vrms
N f
(E.17)
Como el circuito posee área transversal constante (At), entonces:
Φmax = Bmax At (E.18)
Sustituyendo la ecuación (E.18) en la expresión (E.17), se obtiene:
Vrms = 4,44ΦmaxN f = 4,44BmaxAtN f = 4,44 f λmax (E.19)
El resultado de la expresión (E.19), indica que al variar la tensión efectiva de alimentación si-
nusoidal de un circuito magnético, es necesario variar en la misma proporción la frecuencia de
alimentación a fin de mantener el flujo y la densidad de campo magnético constante.

658 E.4. Excitación Sinusoidal
E.4.1. Ejemplo
Los materiales magnéticos presentan saturación o variación de la permeabilidad a partir de un valor
de densidad de campo magnético. Este punto se le conoce como codo de saturación y oscila entre
los 1.0 a 1.2 Teslas. En la figura E.4a se presenta la característica de permeabilidad para el acero
magnético M-27 utilizado en la fabricación de transformadores. En la figura E.4b se presenta la
característica de permeabilidad del material magnético M-27 en escala semilogarítmica para la
intensidad de campo magnético.
(a) Lineal (b) Semilogarítmica
Figura E.4: Característica H vs B para el material M-27
A partir de la característica de permeabilidad del material se puede encontrar la curva de magneti-
zación del material. Esta curva esta definida por la relación entre la fuerza magnetomotriz y el flujo
magnético en el material. Recordando:
φ = B·AT (E.20)
FMM = N ·i = H ·lmedia (E.21)
donde:
AT Área transversal.
lmedia Longitud media del material.
N Numero de vueltas.

Para un circuito magnético el área transversal y la longitud esta definido por la geometría de núcleo
o acero magnético. El número de vueltas esta definido por la bobina del circuito. Considerando
estos dos aspectos y teniendo presente las expresiones (E.20) y (E.21) se puede determinar que
la corriente en el circuito es directamente proporcional a la intensidad del campo magnético y el
flujo magnético a la densidad del campo. En la figura E.5 se presenta la curva de magnetización del
material M-27.
Figura E.5: Curva de magnetización del acero magnético M-27
Alimentando la bobina del circuito magnético con una tensión sinusoidal de la forma v(t) = K ·
cos(ωt), podemos encontrar el flujo en el circuito magnético utilizando la ley de Faraday.
v(t) =
dφ
dt
⇒ φ(t) =
¢
v(τ)·dτ (E.22)
Sustituyendo la expresión de la tensión en la ecuación (E.22), se obtiene al flujo magnético en el
núcleo del circuito como:
φ(t) =
K
ω
·sen(ωt) (E.23)
Conocido el flujo magnético del núcleo del circuito y con la curva de magnetización de la figura
E.5, se puede determinar la corriente que circula por la bobina para cada instante de tiempo. En la
figura E.6 se presenta las formas de onda de la tensión y flujo magnético normalizados y la corriente
resultante al considerar la curva de magnetización de la figura E.5.

660 E.4. Excitación Sinusoidal
Figura E.6: Corriente en de excitación del circuito magnético ante una alimentación en tensión
sinusoidal
En la figura E.7, se presenta el espectro armónico de la corriente, luego de descomponerla mediante
series de Fourier.
Figura E.7: Espectro armónico de la corriente
Del espectro armónico de la corriente se puede obtener una aproximación de la corriente del circuito
analítica si consideramos las armónicas más significativas (n = 1,3,5,7).
i(t) ≈ 0,7151·sen(ωt)−0,2195·sen(3ωt)+0,07595·sen(5ωt)+0,0046·sen(7ωt) (E.24)
En la figura E.8, se presenta el Oscilograma obtenido al evaluar la expresión (E.24) en el tiempo.

Figura E.8: Oscilograma de Corriente a partir de la Serie de Fourier y su respectivo error
E.5. Transformador Ideal
Un circuito magnético con por lo menos dos bobinas, como el mostrado en la figura E.9, es ali-
mentado por la bobina 1 por una tensión sinusoidal de la forma e1(t) =
√
2Vrms cos(ωt). De la
expresión (E.16), el flujo magnético resultante en el circuito es:
Φ(t) =
√
2Vrms
N1ω
sen(ωt) (E.25)
Figura E.9: Esquema del circuito magnético de un transformador de dos devanados
El flujo por ley de Faraday induce una tensión sobre la bobina 2 de la forma:
e2(t) = N2
dΦ(t)
dt
= N2
√
2Vrms
N1
cos(ωt) (E.26)
Realizando el cociente entre las dos tensiones, se obtiene:

662 E.5. Transformador Ideal
e1
e2
=
N1
N2
(E.27)
La expresión (E.27), nos indica que la relación entre las tensiones inducidas en las dos bobinas
del circuito es igual la relación entre el número de vueltas de ambas bobinas. El cociente entre el
número de vueltas de la bobina 1 y el número de vueltas de la bobina 2, se denomina relación de
transformación.
a =
N1
N2
(E.28)
Por otra parte los amper vuelta de la bobina 1 deben ser iguales a los amper vuelta de la bobina 2,
debido a que comparten el mismo circuito magnético.
i1(t)N1 = ℜeqΦ(t) = i2(t)N2 (E.29)
De la expresión (E.29), se obtiene:
i1
i2
=
N2
N1
=
1
a
(E.30)

Apéndice F
Funciones Trigonométricas
En este anexo se presentan, las funciones e identidades trigonométricas más utilizadas en la reso-
lución de problemas en Electrónica de Potencia.
F.1. Funciones Seno
sen(−θ) = −sen(θ)
sen
π
2
±θ = cos(θ)
sen(π ±θ) = sen(θ)
sen
3π
2
±θ = −cos(θ)
sen(2kπ ±θ) = ±sen(θ)
sen(a±b) = sen(a)cos(b)±cos(a)sen(b)
sen(2a) = 2sen(a)cos(a)
sen(a)+sen(b) = 2 sen
a+b
2
cos
a−b
2
663

664 F.2. Funciones Coseno
sen(a)−sen(b) = 2 sen
a−b
2
cos
a+b
2
sen(a)sen(b) =
1
2
[cos(a−b)−cos(a+b)]
sen(a)cos(b) =
1
2
[sen(a−b)+sen(a+b)]
F.2. Funciones Coseno
cos(−θ) = cos(θ)
cos
π
2
±θ = sen(θ)
cos(π ±θ) = −cos(θ)
cos
3π
2
±θ = ±sen(θ)
cos(2kπ ±θ) = cos(θ)
cos(a±b) = cos(a)cos(b) sen(a)sen(a)
cos(2a) = 1−2(sen(a))2
= 2(cos(a))2
−1
cos(a)+cos(b) = 2 cos
a+b
2
cos
a−b
2
cos(a)−cos(b) = 2 sen
a+b
2
sen
a−b
2
cos(a)cos(b) =
1
2
[cos(a−b)+cos(a+b)]

F. Funciones Trigonométricas 665
cos(a)sen(b) =
1
2
[sen(a+b)−sen(a−b)]
F.3. Integrales
¢
sen(n(a))da = −
cos(n(a))
n
¢
cos(n(a))da =
sen(n(a))
n
¢
sen2
(x)dx =
x
2
−
1
4
sen(2x)+C
¢
cos2
(x)dx =
x
2
+
1
4
sen(2x)+C
¢
(sen(n(a)))2
da =
a
2
−
sen(2n(a))
4n
¢
sen(mx) cos(nx)dx = −
cos((n+m)x)
2(n+m)
−
cos((m−n)x)
2(m−n)
+C
¢
sen(mx) sen(nx)dx =
sen((m−n)x)
m−n
−
sen((n+m)x)
n+m
+C
¢
eax
sen(bx)dx =
eax
a2 +b2
(asen(bx)−bcos(bx))+C
¢
eax
cos(bx)dx =
eax
a2 +b2
(acos(bx)+bsen(bx))+C
¢
sen(x)ejnx
dx =
1
2
ej(n−1)x
n−1
−
ej(n+1)x
n+1
+C
¢
cos(x)ejnx
dx = −
j
2
ej(n−1)x
n−1
+
ej(n+1)x
n+1
+C

Apéndice G
Transformada de Laplace
G.1. Deﬁnición
F(s) = L {f(t)} =
¢ ∞
0
e−st
f(t)dt (G.1)
G.2. Tabla de Transformada de Laplace
f(t) = L −1 {F(s)} F(s) = L (f)
δ(t) 1
u(t)
1
s
eat ·u(t)
1
s−a
tn ·u(t)
n!
sn+1
(n = 0,1,...)
sen(at)·u(t)
a
s2 +a2
cos(at)·u(t)
s
s2 +a2
sinh(at)·u(t)
a
s2 −a2
cosh(at)·u(t)
s
s2 −a2
Ha(t)
e−as
s
δ(t −a) e−as
f (t) sL (f)− f(0)
667

668 G.2. Tabla de Transformada de Laplace
f(t) = L −1 {F(s)} F(s) = L (f)
f (t) s2L (f)−sf(0)− f (0)
δ(t −τ) e−τs
(t−τ)n
n! e−α(t−τ) ·u(t −τ) e−τs
(s+α)n+1
tn
n! ·u(t) 1
sn+1
tq
Γ(q+1) ·u(t) 1
sq+1
u(t −τ) e−τs
s
t ·u(t) 1
s2
tn
n!e−αt ·u(t) 1
(s+α)n+1
e−αt ·u(t) 1
s+α
1
b−a e−at −e−bt 1
(s+a)(s+b)
sen(ωt +ϕ)·u(t) ssen(ϕ)+ω cosϕ
s2+ω2
e−αt sen(ωt)·u(t) ω
(s+α)2+ω2
e−αt cos(ωt)·u(t) s+α
(s+α)2+ω2
n
√
t ·u(t) s−(n+1)/n ·Γ 1+ 1
n
ln t
t0
·u(t) −t0
s (ln(t0s)+γ)
Jn(ωt)·u(t)
ωn
(s+
√
s2+ω2)
−n
√
s2+ω2
In(ωt)·u(t)
ωn
(s+
√
s2−ω2)
−n
√
s2−ω2
Donde:
Ha(t) =
0 t ≤ a
1 t a

Apéndice H
Rutina de Integración Numérica de Paso
Fijo (Ode1)
1 function [tout , yout] = ode1(ypfun , t0, tfinal , y0, paso)
2 %ODE23 Solve differential equations, low order method.
3 % ODE23 integrates a system of ordinary differential equations using
4 % 2nd and 3rd order Runge-Kutta formulas.
5 % [T,Y] = ODE23('yprime', T0, Tfinal, Y0) integrates the system of
6 % ordinary differential equations described by the M-file YPRIME.M,
7 % over the interval T0 to Tfinal, with initial conditions Y0.
8 % [T, Y] = ODE23(F, T0, Tfinal, Y0, TOL, 1) uses tolerance TOL
9 % and displays status while the integration proceeds.
10 %
11 % INPUT:
12 % F - String containing name of user-supplied problem description.
13 % Call: yprime = fun(t,y) where F = 'fun'.
14 % t - Time (scalar).
15 % y - Solution column-vector.
16 % yprime - Returned derivative column-vector; yprime(i) = dy(i)/dt.
17 % t0 - Initial value of t.
18 % tfinal- Final value of t.
19 % y0 - Initial value column-vector.
20 % tol - The desired accuracy. (Default: tol = 1.e-3).
21 % trace - If nonzero, each step is printed. (Default: trace = 0).
22 %
23 % OUTPUT:
24 % T - Returned integration time points (column-vector).
25 % Y - Returned solution, one solution column-vector per tout-value.
26 %
27 % The result can be displayed by: plot(tout, yout).
669

670
28 %
29 % See also ODE45, ODEDEMO.
30
31 % C.B. Moler, 3-25-87, 8-26-91, 9-08-92.
32 % Copyright (c) 1984-94 by The MathWorks, Inc.
33
34 % Initialization
35 %pow = 1/3;
36 %if nargin 5, tol = 1.e-3; end
37 %if nargin 6, trace = 0; end
38
39 t = t0;
40 hmax = (tfinal - t)/paso;
41 h = paso;
42 y = y0(:);
43 chunk = round(hmax);
44 tout = zeros(chunk ,1);
45 yout = zeros(chunk ,length(y));
46 k = 1;
47 tout(k) = t;
48 yout(k,:) = y.';
49
50 while (t tfinal)
51
52 % Compute the slopes
53 s1 = feval(ypfun , t, y); s1 = s1(:);
54 %s2 = feval(ypfun, t+h, y+h*s1); s2 = s2(:);
55 %s3 = feval(ypfun, t+h/2, y+h*(s1+s2)/4); s3 = s3(:);
56 t = t + h;
57 % y = y + h*(s1 + 4*s3 + s2)/6;
58 y=y+h*s1;
59 k = k+1;
60 if k length(tout)
61 tout = [tout; zeros(chunk ,1)];
62 yout = [yout; zeros(chunk ,length(y))];
63 end
64 tout(k) = t;
65 yout(k,:) = y.';
66
67 tout = tout (1:k);

H. Rutina de Integración Numérica de Paso Fijo (Ode1) 671
68 yout = yout (1:k,:);
69 end

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